Metodo Del Polinomio de Villarreal

7/27/2019 Metodo Del Polinomio de Villarreal

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BREVE RESEAEn 1873, encontrndose en su pueblo natal Tcume del departamento deLambayeque(Per), FedericoVillarreal V. (1850-1923) descubre un mtodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera.Este hecho provoc que otro matemtico peruano Cristbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a

profundidad este descubrimiento y bautizase eldesarrollode la potencia del polinomio como el "Polinomio de

Villarreal". El historiador peruano Jorge Basadre en su "Historia dela Repblicadel Per" (Tomo X, pag.28)

dice: " Es tan perfecto que aun para el caso de un binomio resulta fcil yseguroy rpido que el mtodo delbinomio deNewton".

En sutesisde 1879 para optar el grado de bachiller en cienciasmatemticastitulado: Frmulas

ymtodosque deben completarse en matemticas puras" Villarreal inserta su mtodo pasando desapercibido

- segn l"porel estadode las matemticas en el Per". Este novedoso mtodo Villareal lo publica por

primera vez el 31 de marzo de 1886 en larevista" La Gaceta Cientfica" (2do tomo) pero como siempre

sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la debida importancia a su trabajo.

En 1919 Villarreal nuevamente publica su mtodo esta vez en la "Revista de Ciencias" bajo el ttulo de:

"Elevacin de polinomios a una potencia cualquiera" que es justamente el ttulo de este trabajo.

METODO DEL POLINOMIO DE VILLARREAL

Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "m":

y elevmoslo a la n-sima potencia, es deesperarse que el resultado sea otro polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado"mn":

en resumidascuentas:

donde yprocedamos a obtener los coeficientes:bmn, ,......, , , y usando el mtododeLeibnitz(mtodo de los coeficientes indeterminados).

Hagamos: .....(2) y

......(3)Entonces la ecuacin (1) podemos escribirla de la siguiente manera:

.....(4)Tomandoderivadasa la ecuacin (4):

.....(5)

y multiplicndola por :

......(6)Pero de (4) la ecuacin (6) tambin puede escribirse como:

.....(7)

De acuerdo a la ecuacin (7) es necesario que derivemos y entonces de (2) y (3)respectivamente:
http://www.monografias.com/trabajos54/flora-fauna-lambayecana/flora-fauna-lambayecana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/flora-fauna-lambayecana/flora-fauna-lambayecana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/flora-fauna-lambayecana/flora-fauna-lambayecana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos910/la-republica-platon/la-republica-platon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos910/la-republica-platon/la-republica-platon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos910/la-republica-platon/la-republica-platon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elcapneu/elcapneu.shtml#PRENSAhttp://www.monografias.com/trabajos12/elcapneu/elcapneu.shtml#PRENSAhttp://www.monografias.com/trabajos12/elcapneu/elcapneu.shtml#PRENSAhttp://www.monografias.com/trabajos5/cuentas/cuentas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/cuentas/cuentas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/cuentas/cuentas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/teodicea-leibniziana/teodicea-leibniziana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/teodicea-leibniziana/teodicea-leibniziana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/teodicea-leibniziana/teodicea-leibniziana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#tablahttp://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#tablahttp://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#tablahttp://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#tablahttp://www.monografias.com/trabajos36/teodicea-leibniziana/teodicea-leibniziana.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/cuentas/cuentas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elcapneu/elcapneu.shtml#PRENSAhttp://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos910/la-republica-platon/la-republica-platon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/flora-fauna-lambayecana/flora-fauna-lambayecana.shtml


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.....(8)

.....(9)

Vayamos por partes efectuando primeramente para esto multipliquemos (3) y (8), que

por comodidad vamos a iniciarlo desde los primeros trminos de y , luego a esteresultado le multiplicamos " " entonces tendremos:

Luego:

.....(10)

Anlogamente efectuemos siguiendo las mismas indicaciones que la multiplicacinanterior obtenindose:Luego:

......(11)De la ecuacin (7) : (10) y (11) son iguales, ahora bien de acuerdo al mtodo de los coeficientesindeterminados para que estaigualdadse verifique cualquiera que sea elvalorde "x" es necesario que

en ambos miembros los coeficientes sean idnticos y de una misma potencia de "x", entonces porcomparacin:
http://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtml


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Despejando :

....(12)

Despejando :

....(13)

Despejando :

....(14)

Despejando ::

.....(15)y as sucesivamente:...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

....

.....(16)

Despejando :

.......(16)y continua..................pero nosotros hasta aqu nos quedamos.

Las expresiones (12) , (13), (14), (15) y (16) son los coeficientes del polinomio yporinduccinmatemticalo podemos escribir de manera ms general as:

.....(17)
http://www.monografias.com/trabajos6/elme/elme.shtml#induccionhttp://www.monografias.com/trabajos6/elme/elme.shtml#induccionhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/elme/elme.shtml#induccion


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Siendo: y

Esta Frmula nos permite calcular con mucha facilidad los coeficientes del polinomio a quin sele denomina, con justa razn: El Polinomio de Villarreal y a la frmula (17):Frmula de recurrencia deVillarreal.

Ejemplo: DesarrollarSolucin:

El polinomio esta completo y ordenado respecto a " " luego por comparacin con la expresin (1 ):

; ;

; ; ; y

Procedamos a obtener los coeficientes teniendo en cuenta que: y

Usando la frmula de los coeficientes de Villarreal (17) para cada valor de " " .

Para :

Para

Para

Para


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Para

Ntese que:

Para

Al igual que en caso anterior

Para

Aqu:

Para


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Aqu

.........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

y as sucesivamente siguiendo este mismoprocedimientoque es bastante simple y repetitivo obtendremos los

dems coeficientes:

:

Por tanto los trminos del polinomio sern:

.

Finalmente el desarrollo de la potencia del polinomio ser:

=

Este ejemplo aparece en el trabajo original de Villarreal que estamos desarrollando.
http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

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