Tenga la amabilidad de resolver el siguiente problema:

En una granja existen gallinas y conejos; se cuentan 50 animales y 120 patas ,

¿cuántas gallinas hay?

Para resolver este problema existen varias formas, como ,por ejemplo: por medio de

plantear una ecuación de primer grado con una variable , un sistema de ecuaciones de dos

variables y usando el método de la falsa suposición ( o falso criterio) .

Sin embargo, existe otro método, llamado “El Método del Rombo” y ¿en qué consiste ese

método? ¿Cuándo y cómo se aplica? ¿Quiéren saberlo? Pués síganme...................

Es un método que nos permite resolver problema de planteo de ecuaciones, de manera

práctica y sencilla; y se aplica cuando en un problema se presentan 2 cantidades totales y

2 cantidades unitarias.

Primeramente grafiquemos el rombo ABCD:

Donde en los vértices horizontales (A y C) se colocan las cantidades totales y en los

vértices verticales (B y D) las cantidades unitarias.

Para aclarar más las cosas veamos la descripción de los elementos del rombo:

* A representa la cantidad total de elementos que incluye dos especies o clases [ por

ejemplo: animales (perros y gatos) , vehículos (autos y bicicletas) , etc].

* C representa la cantidad total de elementos que presentan la misma característica de

B y D. [por ejemplo: total de patas, total de neumáticos, etc].

* B y D representan cantidades unitarias de elementos relacionados con la primera y

segunda especie con cierta característica común [ por ejemplo: patas, nuemáticos,

etc].

Teniendo en cuenta la figura anterior, efectuemos las siguientes operaciones:

El vértice vertical inferior nos indica que el resultado de las operaciones corresponde a la

cantidad de elementos de la segunda especie , entonces:

DB

CBxAespeciesegundaladeelementosdeCantidad

)( ......(☺)

Si quisiéramos calcular la cantidad de elementos de la primera especie las operaciones indicadas

en el rombo adoptan la siguiente forma:

Entonces :

BD

CDxAespecieprimeraladeelementosdeCantidad

)( .......(☺)

Observación importante:

La ubicación de las cantidades B y D en los vértices verticales es arbitraria, pudiendo ir,

por ejemplo, en el vértice vertical inferior B o D . Lo mismo sucede para el vértice vertical

inferior, la elección de: “en que vértice vertical colocaré a B o D”, dependerá de lo

que el problema me pida. Es más, podemos usar cualquiera de los dos esquermas de

representación y el resultado es el mismo.

Ahora apliquemos lo aprendido en nuestro problema...............

Del enunciado del problema podemos deducir que:

A = 50 animales (cantidad total de animales dividido en dos especies : conejos y

gallinas)

C = 120 patas ( cantidad total que presenta una característica común a las dos especies

involucradas o sea las “ patas” )

B = 4 patas ( cantidad unitaria que representa el número de patas de cada conejo) .

D = 2 patas (cantidad unitaria que representa el número de patas de cada gallina) .

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:

Fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones de acuerdo a ☺

nos permitirá obtener el número de gallinas , entonces:

gallinasx

gallinasdeCantidad 4024

120)450(

y si nos preguntaran por el número de conejos. Simplemente,al total de animales, le

restamos la cantidad de gallinas y listo:

conejosconejosdeCantidad 104050

Para calcular el número de conejos, también hubiéramos podido aplicar ☺ , pero de

acuerdo a lo anterior, no es necesario aplicar nuevamente el método .

Dime que te pareció el método.... simple ¿verdad? Practiquemos resolviendo los siguientes

problemas:

1) Debo pagar S/.2050 con 28 billetes de S/.50 y S/.100 .¿Cuántos billetes de S/.50 debo

emplear?.

Solución:

Del enunciado del problema podemos deducir que:

A = 28 billetes ( cantidad total de billetes dividida en dos clases: billetes de S/.50 y

billetes de S/.100 )

C = S/.2050 ( cantidad total que presenta una característica común a las dos clases de

billetes involucradas o sea los “soles” )

B = S/.50 ( cantidad unitaria que representa el valor de una de billete ) .

D = S/.100 (cantidad unitaria que representa el valor de otra clase billete) .

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones

Fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones, de acuerdo a ☺

,nos permitirá obtener la cantidad de billetes de S/.50 , entonces:

billetesx

SdebilletesdeCantidad 1550100

2050)10028(50./

2) En un examen de admisión que consta de 50 preguntas , un postulante por cada

pregunta bien contestada gana dos puntos y por cada pregunta mal contestada pierde un

punto. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contestó todas las

preguntas planteadas?

Solución:

De acuerdo al enunciado del problema:

A = 50 preguntas ( cantidad total de preguntas dividida en dos clases: preguntas bien y

mal contestadas )

C = 64 puntos ( cantidad total que presenta una característica común a las dos especies

involucradas es decir los “puntos” )

B = 2 puntos ( cantidad unitaria que representa el puntaje de una pregunta bien

contestada ) .

D = -1 puntos ( cantidad unitaria que representa el puntaje de una pregunta mal

contestada, nótese el signo negativo que representa el sentido de pérdida) .

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones

Fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones ,de acuerdo a

☺, nos permitirá obtener la cantidad de preguntas mal contestadas , entonces:

12)1(2

64)250( xscontestadamalpreguntasdeCantidad

Como nos piden la cantidad de preguntas correctas, entonces, al total de preguntas le

restamos la cantidad de preguntas mal contestadas y listo:

381250scontestadabienpreguntasdeCantidad

3) Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema

que resuelva el muchacho reciba 10 pesetas y por cada problema que no resuelva perderá

6 pesetas . Después de resolver los 12 problemas el recibe 72 pesetas .¿Cuántos problemas

resolvió?.

Solución :

De acuerdo al enunciado del problema:

A = 12 problemas ( cantidad total de problemas dividido en dos clases: problemas

resueltos y problemas no resueltos )

C = 64 pesetas ( cantidad total que presenta una característica común a los dos tipos de

Problemas o sea el dinero en pesetas )

B = 10 pesetas ( cantidad unitaria que representa el dinero recibido por una pregunta

bien contestada ) .

D = -6 pesetas ( cantidad unitaria que representa el dinero perdido por una pregunta

mal contestada ) .

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones

Nuevamente fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones, de

acuerdo a ☺, nos permitirá obtener la cantidad de problemas que resolvió , entonces:

9106

72)612( xresolvióqueproblemasdeCantidad

4)Un litro de leche pura pesa 1930 gramos; cierto día se compraron 6 litros de leche

adulterada que pesa 6120 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche?

Solución :

En este problema no es fácil distinguir las cantidades totales y unitarias que deben ir en el

rombo .Pues bién,debemos tener en cuenta en este problema que ,como dato adicional, 1

litro de agua pesa 1000 gramos , ahora ¿te diste cuenta?

De acuerdo al enunciado del problema y al dato adicional:

A = 6 litros ( cantidad total de leche adulterada dividida en dos partes: leche pura

y agua )

C = 6120 gramos ( cantidad total que presenta una característica común a los dos tipos

de sustancias )

B = 1030 gramos ( cantidad unitaria que representa el peso de un litro de leche pura ).

D = 1000 gramos ( cantidad unitaria que representa el peso de un litro de agua).

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:

Otra vez, fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones, de

acuerdo a ☺ , nos permitirá obtener la cantidad de litros de agua contiene la leche

adulterada , entonces:

litrosx

aguadelitrosdeCantidad 210001030

6120)10306(

5) Un barril contiene 154 litros de vino que debe ser envasado en 280 botellas , unas de

0,75 litros y otros de 0,4 litros ¿cuántas botellas de 0,75 litros se van a necesitar?

Solución :

Directamente de acuerdo al enunciado del problema :

A = 154 litros de vino

C = 280 botellas (de diferentes capacidades)

B = 0,75 litros ( capacidad de una botella)

D = 0,4 litros (capacidad de la otra clase de botella)

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:

El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones, de acuerdo a ☺

,nos permitirá obtener la cantidad de botellas de 0,75 litros que se va a necesitar,

entonces:

botellasx

litrosdebotellasdeCantidad 12075,04,0

154)4,0280(75,0

6) Dos niños han recorrido en total 64 metros, dando entre los dos 100 pasos.

Si cada paso del segundo mide 50 cm y cada paso del primero 70 cm .¿Cuántos pasos más

que el segundo ha dado el primero?.

Solución:

Directamente de acuerdo al enunciado del problema :

A =100 pasos. (dividido en número de pasos dado por un niño y otro)

C = 64 metros = 6400 cm.

B = 50 cm. (longitud de un paso dado por un niño)

D = 70 cm. (longitud de un paso dado por el otro niño)

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:

El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones ,de acuerdo a ☺ ,

nos permitirá obtener la cantidad de pasos que ha dado el segundo niño, entonces:

pasosx

niñodelpasosdeCantidad 305070

6400)70100(2

luego el primero dio: pasos7030100

Por tanto la cantidad de pasos que dio el segundo más que el primero será:

pasos304070

7) En un establo hay vacas, caballos y aves. Si el número total de animales es de 28 y el

número contado de patas es 94. ¿Cuántas aves hay?

Solución:

Aparentemente, en este problema, no se puede aplicar el método del rombo debido a que

en el número total de animales existe la presencia de 3 clases de animales , sin embargo,

ten en cuenta, que tanto las vacas como los caballos, debido a que ambos tienen 4 patas,

los puedes reunir en una sola clase de animales.

De acuerdo al enunciado del problema :

A =28 animales. (dividido en dos clases: por un lado vacas y caballos y de otro las

aves)

C = 94 patas.

B = 4 patas.

D = 2 patas.

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:

El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones, de acuerdo a ☺,

nos permitirá obtener la cantidad de aves que hay en el establo, entonces:

avesx

avesdeCantidad 924

94)428(

De otro lado el número de animales entre vacas y caballos será: 19928

8) María gasta 180 soles en comprar 100 frutas entre manzanas, peras y duraznos. Las

manzanas y las peras cuestan 2 soles cada uno, y los duraznos 1 sol cada uno. Si en su

compra llevó 10 manzanas mas que peras. ¿Cuántas manzanas mas que duraznos compró?

Solución:

Otra vez nos topamos con un problema, en el cuál ,aparentemente, no se puede aplicar el

método del rombo, debido a que, en la cantidad total de frutas, figuran tres clases

diferentes de ellas y encima hay un dato adicional : hay 10 manzanas más que peras, sin

embargo, teniendo en cuenta que las manzanas y las peras cuestan lo mismo, las podemos

asociar juntas como una misma especie de fruta.

Con estas aclaraciones de acuerdo al enunciado del problema:

A =100 frutas. (dividido en dos clases: por un lado manzanas y peras y de otro los

duraznos)

C = 2 soles. (costo de cada manzana y pera)

B = 1 sol.(costo de cada durazno)

D = 180 soles

Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:

El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones ,de acuerdo a ☺,

nos permitirá obtener la cantidad de duraznos, entonces:

duraznosx

duraznosdeCantidad 2012

180)2100(

Pero, la cantidad de manzanas,¿ Cómo las obtenemos? Observa:

Como en total hay 100 frutas y 20 duraznos, entonces, la cantidad de manzanas y peras

será: 8020100 cierto? O mas simplificado: P+ M = 80

Ahora ,de acuerdo al dato adicional : hay 10 manzanas más que peras entonces: M-P =10

Luego resolviendo el sistema de ecuaciones: La cantidad de manzanas M será 45.

Por tanto y finalmente¿Cuántas manzanas más que duraznos compró?: 252045

9) Julio trabaja para Andrés durante 35 días con la condición de que por cada día que

trabaje recibirá 15 euros y por cada día que no trabaje él tendrá que pagar una multa de

10 euros.

¿Cuántos días trabaja Julio si no recibe nada?

Solución:

De acuerdo al enunciado del problema:

A =35 días.( dividido en: días que trabaja y días que no)

C = 0 euros.( en total no recibió nada)

B = 15 euros. (dinero que recibirá por cada día que trabaje)

D = -10 euros. (dinero que recibirá por cada día que no trabaje)

Luego:

Fíjate en el vértice vertical superior , éste nos indica que el resultado de las operaciones de

acuerdo a ☺ nos permitirá obtener la cantidad de días que trabajo, entonces:

díasx

trabajoquedíasdeCantidad 21)15(10

0)1035(

10) En un congestionado barrio chino el maestro Confucio contó 45 vehículos entre

bicicletas y triciclos, además de contar 120 neumáticos. ¿Cuántos triciclos había en aquel

barrio?

Solución:

De acuerdo al enunciado del problema:

A =45 vehículos.( entre: bicicletas y triciclos)

C = 120 neumáticos .

B = 2 neumáticos. (cantidad de neumáticos que tiene una bicicleta)

C = 3 neumáticos (cantidad de neumáticos que tiene un triciclo)

Luego:

Fíjate en el vértice vertical superior , éste nos indica que el resultado de las operaciones,

de acuerdo a ☺ , nos permitirá obtener la cantidad de triciclos, entonces:

triciclosx

triciclosdeCantidad 3032

120)245(

¿Qué te parecieron esto problemas? Fáciles,¿ si? Pero, por favor,lee la siguiente

advertencia:

Advertencia: como pueden notar el método del rombo es un método bastante fácil y sencillo de

aplicar en la resolución de problemas como los que has visto, sin embargo, no deja de ser un

método “mecánico”. No enseña al alumno a “razonar”, sólo opera y listo , por esta razón es

recomendable que el profesor y el alumno intente primero resolver estos problemas usando los

conocidos métodos de plantear una ecuación de primer grado o plantear un sistema de ecuaciones

o bién algún método aritmético . Sólo al final se aplicará este método en la resolución del problema

planteado.

Huaral(Perú),23 de agosto de 2002

Julio A. Miranda Ubaldo

Profesor de matemáticas

Email: jmiub@yahoo.com