Método Galerkin-Rosenbrock Adaptativo Para Un Modelo de Reacción-combustión

Matemticas: Enseanza UniversitariaISSN: [email protected] Regional de MatemticasColombia

Domnguez Garca, Carolina; Duque, JairoMtodo Galerkin-Rosenbrock adaptativo para un modelo de reaccin-combustin

Matemticas: Enseanza Universitaria, vol. XVII, nm. 2, diciembre, 2009, pp. 83-100Escuela Regional de Matemticas

Cali, Colombia

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Vol. XVII, No 2, Diciembre (2009)Matemticas: 83100

Matemticas:

Enseanza Universitaria

cEscuela Regional de MatemticasUniversidad del Valle - Colombia

Mtodo GalerkinRosenbrock adaptativo para un modelo de

reaccincombustin

Carolina Domnguez GarcaUniversidad del Valle

Jairo DuqueUniversidad del Valle

Recibido Feb. 17, 2009 Aceptado Oct. 28, 2009

AbstractIn this paper the existence and uniqueness of a weak solution for a nonlinear parabolic systemmodeling a combustion-reaction process are proved. The combustion-reaction process obeysArrhenius Law for small values of time. The boundary conditions describe the ignition processof the reaction by means of a Dirichlet condition on a portion of the boundary kept at a constanttemperature, while on the rest of the boundary a homogeneous Neumann condition is maintainedafter ignition. Numerical results validating the eciency of the proposed multistep method arealso presented.

Keywords: Finite element method, a piori estimate, nonlinear parabolic system, Fixed-PointTheorem, Rosenbrock method

MSC(2000): 47J25, 65M60

ResumenEn este trabajo se demuestra existencia y unicidad de la solucin dbil de un sistema parablicono lineal de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera mixtas, las cuales modelan unproceso de reaccin-combustin. El proceso de reaccin-combustin obedece la ley de Arrheniuspara valores pequeos del tiempo. Las condiciones de frontera describen el proceso de ignicin dela reaccin mediante una condicin tipo Dirichlet que calienta una parte de la frontera, mientrasel resto de la frontera tiene una condicin tipo Neumann homognea la cual se mantiene despusde la ignicin. Adems se presentan resultados numricos que validan la eciencia del mtodomultipaso propuesto.

Palabras y frases claves: Mtodo de los elementos nitos, estimativo a priori, sistema para-blico no lineal, teorema de punto jo, mtodo de Rosenbrock

1 Introduccin

Consideremos el siguiente sistema parablico no lineal

tu(x, t) +A(x, t)u = f(u) en (0, ],

B(x, t)u = g(x, t) sobre [0, ], (1)u(x, 0) = u0(x) en {t = 0},

donde RN es el dominio espacial con frontera = 1 2 que satisface12 = , x = (x1, . . . , xN ) es la variable espacial, t es la variable temporalcon t [0, ] para algn > 0, A es un operador lineal, B es el operador quedescribe las condiciones de frontera, u Rm es la funcin solucin en trminos delas variables (x, t) y el trmino f(u) es una funcin no lineal en u. Denotaremos

84 C. Domnguez y J. Duque

con al conjunto (0, ] ( al conjunto (0, ]) y con i la derivadaparcial respecto a xi. El operador A est denido como

A(x, t)u =N

j,k=1

j(ajk(x, t) ku) + aj(x, t) ju+ c(x, t)u.

Las condiciones de frontera son mixtas; denidas de tipo Dirichlet

B(x, t)u = u sobre 1,

donde u = 0 en 1, y de tipo Neumann

B(x, t)u =N

j,k=1

ajk(x, t)j ku = g(x, t)|2 sobre 2,

donde j es la j-sima componente del vector = (1, . . . , N ), el cual es normalhacia afuera de la frontera .

Hiptesis del problema del sistema parablico en estudio:

i. es una regin abierta y acotada en RN con C1 y N 1.ii. g(x, t) C( [0, ], Rm) y f(u(, t)) L2(,Rm) es Lipschitz continua.iii. Los coecientes ajk(x, t), aj(x, t), c(x, t) C( ,Rm Rm) para j, k =

1, . . . , N , son matricesmm para cada j, k = 1, . . . , N , las cuales se puedenrepresentar como

ajk = (arsjk(x, t))1r,sm, aj = (a

rsj (x, t))1r,sm, 1 j, k N,

c = (crs(x, t))1r,sm.

Adems, existe una constante > 0 tal que

Njk=1

mrs=1

arsjk(x, t) sk

rj ||2 (x, t) , RmN , (2)

donde la norma de cada uno de los anteriores coecientes est dada por

||ajk||max=m

rs=1

||arsjk(x, t)||maxx , ||aj ||max=m

rs=1

||arsj (x, t)||maxx

||c||max =m

rs=1

||crs(x, t)||maxx .

En lo sucesivo usaremos la siguiente notacin:

Mtodo GalerkinRosenbrock adaptativo 85

Escribiremos las funciones ajk(x, t), aj(x, t), c(x, t) y g(x, t) sin sus argu-mentos.

Denotaremos con u, la derivada parcial de u respecto al tiempo tu.

El espacio L2(,Rm) contiene las funciones v : Rm, donde v =(v1, . . . , vm), tal que cada vi L2() para 0 i m, y la norma sedene como ||v||L2(,Rm) =

mi=1 ||vi||2L2()

1/2.

De forma anloga se dene el espacio H1(,Rm) cuya norma es

vH1(,Rm) =

mi=1

(vi)2 +

mi=1

Nj=1

(jvi)2dx1/2

=v2L2(,Rm) + Dv2L2(,Rm)1/2.

En lo sucesivo denotaremos la norma || ||L2(,Rm) y || ||H1(,Rm), como|| ||L2 y || ||H1 , respectivamente.

X es un espacio de Banach. Los espacios Lp(0, ;X) y C(0, ;X), se tomarncomo esta denido en [7, cap 5.9.2 ].

2 Formulacin variacional del problema

A continuacin plantearemos la formulacin variacional del sistema (1). Conside-remos la forma bilineal b dependiente del tiempo

b(u, v; t) =N

j,k=1

ajk ku jv dx+

(aj ju v + cuv) dx

. (3)

Ahora, supongamos que u es una solucin regular del problema con la siguientetransformacin

u : [0, ] H1(,Rm), (4)denida como [u(t)](x) := u(x, t) para x y 0 t , anlogamente denimosg : [0, ] L2(2,Rm) tal que [g(t)](x) := g(x, t) para x 2 y 0 t .

Supongamos v V = H1(,Rm), luego multiplicamos la EDP (1) por v eintegramos sobre . Y aplicando integracin por partes en el trmino de segundoorden en la derivada, obtenemos la siguiente expresin

(u, v) + b(u, v; t) = (f, v) + (g, v) (5)

para cada 0 t , donde (, ) denota el producto interno en L2(,Rm),excepto para el trmino (g, v) en donde se toma el producto interno en L2(2,R

m).


En lo sucesivo los superndices indicarn las componentes de las funciones y seconsiderar vV 1, entonces

supvV

(u, v)=supvV

(b(u, v; t) + (f, v) + (g, v))

supvV

Nj,k=1

||ajk||max|Du||Dv|dx+

Nj=1

||aj ||max|Du||v|dx+

||c||max|u| |v| dx+

|fv| dx+

2

|gv| dS,

luego tomamos a =N

j,k=1 ||ajk||max, a=N

j=1 ||aj ||max, y c = ||c||max, y apli-cando la desigualdad de Hlder para integrales, obtenemos

supvV

(u, v) supvV

aDuL2 DvL2 + aDuL2 vL2 + cuL2vL2+

fL2 vL2 + gL2(2,Rm)vL2(2,Rm), (6)

como es acotado y C1, aplicamos el teorema de la Traza para garantizarque existe un operador lineal acotado Er y una constante r tal que

Ervr2L2() rvr2H1() para 1 r m,

EvL2(2,Rm) vH1(,Rm) con =r max1rm

r

1/2,

aplicando en (6), la desigualdad de Hlder para sumas nitas, se tiene

supvV

(u, v) supvV

a2Du2L2 + a2Du2L2 + c2u2L2 + f2L2

1/2Dv2L2 + 3v2L2

1/2+ gL2(2,Rm) vH1

,

usando la desigualdad (|x|+ |y|)q |x|q+ |y|q para 0 < q < 1 en el primer trminodel lado derecho y posteriormante dividiendo en ambos lados por vH1 nos queda

supvH1(,Rm)

(u, v)

vH13(a2 + a2 + c2)uH1 +

3fL2 + gL2(2,Rm), (7)

por tanto u(t) pertenece al espacio dual de H1(,Rm), siempre que u(t) H1(,Rm), f(u(, t)) L2(,Rm) y g(t) L2(2,Rm).

Entonces la formulacin del problema variacional consiste en encontrar u H1(,Rm) tal que

(u, v) + b(u, v; t) = (f, v) + (g, v), para v H1(,Rm) (8)con v|1 = 0, u(x, 0) = u0(x) en , donde t (0, ], u(t) pertenece al dual deH1(,Rm) y b(u, v; t) es la forma bilineal presentada en (3).


3 Existencia y unicidad de la solucin dbil

Para demostrar existencia y unicidad de la solucin dbil del sistema (1), primerose resuelve el problema lineal de existencia y unicidad, suponiendo f = f(x, t),y posteriormente recurrimos al teorema de punto jo de Banach considerandof = f(u).

Supongamos f = f(x, t) para denir [f(t)](x) := f(x, t), escribiremos f :[0, ] L2(,Rm), adicionalmente de (7) podemos considerar la solucin u =u(x, t) H1(,Rm) para cada 0 t . El espacio H1(,Rm) separable implicala existencia de una base ortogonal {wi}i=1 del espacio de soluciones H1(,Rm),con funciones suaves wi : Rm (wi = (w1i , w2i , . . . , wmi )), para las cualeswi|1 = 0, y a su vez estas funciones forman una base ortonormal del espacioL2(,Rm).

A continuacin aplicaremos el mtodo de Galerkin usando la notacin dada en(4), tomando n como un entero positivo en la funcin de la solucin aproximadaun : [0, ] H1(,Rm) denida como

un(t) =ni=1

dni (t)wi(x). (9)

La condicin inicial est dada por

u0(x) = u0(x) =ni=1

dni (0)wi(x), (10)

multiplicando por wl(x) e integrando sobre , obtenemos

(u0(x), wl(x)) = dnl (0). (11)

Nuestro objetivo es determinar los coecientes dni (t) para t (0, ] con i =1, . . . , n de la ecuacin variacional

(un, wl) + b(un, wl; t) = (f , wl) + (g, wl). (12)

Adems (un, wl) = (dnl )(t) y b(un, wl; t) =

ni=1 d

ni (t)b(wi, wl; t); de esta manera

(12) se puede reescribir como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

(dnl )(t) +

ni=1

b(wi, wl; t)dni (t) = (f , wl) + (g, wl), l = 1, . . . , n

con (u0(x), wl(x)) = dnl (0), y aplicando el teorema fundamental de existencia

de las ecuaciones diferenciales ordinarias se garantiza existencia y unicidad dedn1 (t), d

n2 (t), . . . , d

nn(t)

para casi todo 0 t < . De esta manera obtenemos que

la funcin un es solucin de (12) en con condicin inicial (11).


Proposicin 3.1. Supongamos que la forma bilineal b(, , t) satisface la condicindenida en (2), entonces existen constantes 1, 2 > 0 tales que

1||u||H1 b(u,u; t) + 2||u||L2 .Demostracin. De la condicin (2), tenemos que existe una constante > 0 talque

Nj,k=1

mr,s=1 a

rsjk

sk

rj ||2, con Rm N , observemos que = Du, don-

de |Du| =m

s=1

Nj=1(ju

s)21/2

, reemplazando estos valores en la desigualdad

e integrando sobre obtenemos

|Du|2 dx

Nj,k=1

mr,s=1

arsjkkusju

r

=b(u,u, t)

Nj=1

mr,s=1

arsj jus ur dx

mr,s=1

crsus ur dx

b(u,u; t)+Nj=1

||aj ||max|Du| |u|dx+||c||max

|u|2dx,

aplicando la desigualdad de Young para > 0

|Du|2dxb(u,u; t)+

Nj=1

||aj ||max(|Du|2+ 14 |u|2)dx+||c||max

|u|2dx,

escogemos que satisfaga N

j=1 ||aj ||max = 2 , luego adicionamos el trmino2

u

2dx en ambos lados de la desigualdad, y nalmente agrupando trminossemejantes obtenemos

2

(|Du|2 + u2)dx b(u,u; t) +

14

Nj=1

||aj ||max + ||c||max + 2

|u|2dx,

tomando 1 =2 y 2 =

14

Nj=1 ||aj ||max + ||c||max + 2 , se concluye el resultado.

Observacin 3.2. Como 1 > 0 tambin se tiene el siguiente estimativo

0 b(u,u; t) + 2u2L2Proposicin 3.3. (Estimativos de la energa) Existe una constante C > 0 talque

max0t

un(t)L2 + un(t)L2(0,,H1(,Rm)) + un(t)L2(0,,(H1(,Rm))) Cu0(x)L2 + f(t)L2(0,,L2(,Rm)) + ||g||L2(0,,L2(2,Rm)) (13)


Demostracin. La demostracin de este estimativo es tcnica y puede ser consul-tada en el trabajo de tesis [5, cap. 2]

De los estimativos de la energa dados en la proposicin 3.3 se obtiene que la su-cesin {un(t)}n=1 es acotada en L2(0, ,H1(,Rm)) y que la sucesin {un(t)}n=1es acotada en L2(0, , (H1(,Rm))). Como

L2(0, ,H1(,Rm)) y L2(0, , (H1(,Rm)))

son espacios de Hilbert (ver [3, pag 473]), entonces existen subsucesiones

{unl(t)}l=1 {un(t)}n=1 y {unl(t)}l=1 {un(t)}n=1tales que

unl(t) - u(t) en L2(0, ,H1(,Rm)), (14)

unl(t) - v en L2(0, , (H1(,Rm))), (15)

por tanto v = u(t).

El siguiente resultado usa las subsucesiones {unl(t)}l=1 y {unl(t)}l=1 parademostrar la convergencia de la aproximacin de Galerkin.

Teorema 3.4. Existe una nica solucin dbil del sistema parablico lineal.

Demostracin. Demostremos existencia: Fijemos un entero LN y tomemos unafuncin v C1(0, ,H1(,Rm)) tal que v(t) =Ll=1 dl(t)wl(x), donde {dl(t)}Ll=1son funciones suaves. Multiplicando la ecuacin (12) por dl(t) y sumando desde 1hasta L, tenemos

(un(t), v(t)) + b(un(t), v(t); t) = (f(t), v(t)) + (g(t), v(t)),

luego integramos de 0 a y reemplazamos n por nl

0

(unl(t), v(t)) +

Nj,k=1

(ajkkunljv)dx+

ajjunl v dx

+

cunlv dx

dt =

0

(f(t), v(t)) +

2

g(t)v dS

dt, (16)

de (14) y (15) aplicamos la convergencia dbil para las sucesiones unl y unl , porlo tanto

0

(u(t), v(t)) + b(u(t), v(t); t)

dt =

0

(f(t), v(t)) +

2

g(t)v dS

dt.


Ahora, reemplazando (u(t), v(t)) por (u(t), v(t)) (u(t), v(t)) y considerandov() = 0, obtenemos

0

(u(t), v(t)) + b(u(t), v(t); t) dt = 0

(f(t), v(t)) +

2

g(t)v dS

dt+ (u(0), v(0)). (17)

Retomando la ecuacin (16) escribimos 0

(unl(t), v(t)) + b(unl(t), v(t); t) dt = 0

(f(t), v(t)) +

2

g(t)v dS

dt+ (unl(0), v(0)), (18)

y por denicin de v(t) tenemos (u0(x), v(0)) =Ll=1

(u0(x), wl(x))2, adicionalmen-

te unl(0) =

nlk=1

dnlk (0)wk(x) implica que (unl(0), v(0)) =L

k=1

(u0(x), wk(x))2, por

tanto (unl(0), v(0)) = (u0(x), v(0)). En consecuencia (18) converge a 0

(u(t), v(t)) + b(u(t), v(t); t) dt = 0(f(t), v(t)) dt+

0

2

g(t) v(t)dS dt+ (u0(x), v(0)), (19)

por consiguiente unl(0) converge dbilmente a u0, y por (17) y (19) concluimosque u(0) = u0 por ser v(0) arbitrario.

A continuacin demostremos unicidad: supongamos que u y w son solucionesdbiles del problema lineal (f = f(x, t)), entonces

(u, v) + b(u, v; t) = (f , v) + (g, v), (20)

(w, v) + b(w, v; t) = (f , v) + (g, v), (21)

restando (21) a (20), y reemplazando v = uw, obtenemos(u w,uw) + b(uw,uw; t) = 0. (22)

Luego

d

dt

1

2uw2L2(,Rm) =

d

dt

1

2

(uw)2dx = (u w,uw), (23)

obsrvese que el producto interno en el dual de H1(,Rm) se puede identicarcon el producto interno de L2(,Rm), debido a la inclusin continua y densa


H1(,Rm) . L2(,Rm) . (L2(,Rm)) . (H1(,Rm)), donde se identicael espacio L2(,Rm) con su dual por el teorema de representacin de Riesz. Porlo anterior y la Observacin 3.2 en (22), obtenemos

(u w,uw) = b(uw,uw; t) Cu2L2(,Rm),

luegod

dt

1

2uw2L2(,Rm) Cu2L2(,Rm),

como C > 0 usamos la desigualdad de Gronwall

u(t)w(t)2L2(,Rm) eR t02C ds u(0)w(0)2L2(,Rm),

para todo 0 t , y por denicin u0(x) = u(0) = w(0), entonces u(t) = w(t)para todo 0 t .

En lo sucesivo denotaremos con X el espacio X = C(0, , L2(,Rm)), y ||v||como

v = max0t

v(t)L2(,Rm). (24)

Considerando u como en (4), tenemos que si u(t) L2(0, ,H1(,Rm)) y u(t) L2(0, , (H1(,Rm))) entonces u X ([3, pg 473]).

A continuacin presentamos nuestro resultado de existencia

Teorema 3.5. Existe una nica solucin dbil del sistema no lineal de EDPsparablicas planteado en (1).

Demostracin. Considerando u(t) X como en (4), denamos la funcin h(t) :=f(u(t)) para 0 t tal que h L2(0, , L2(,Rm)), siendo f(u(t)) una funcinLipschitz continua. Ahora consideremos el siguiente sistema parablico lineal deEDPs

w +A(x, t)w = h(t) en

B(x, t)w = g(x, t) en [0, ] (25)w(0) = u0(x) en {t = 0},

donde = 1 2 tal que 1 2 = , B(x, t)w = w con w|1 = 0 en 1 yB(x, t)w =

Nj,k=1 ajk(x, t)kw j = g(x, t)|2 = g(t)|2 en 2. Por el Teorema 3.4

el problema (25) presenta una nica solucin dbil con w L2(0, ,H1(,Rm))y w L2(0, , (H1(,Rm))), en consecuencia w X y satisface

(w(t), v) + b(w(t), v) = (h(t), v) + (g(t), v), 0 t , (26)

para cada v H1(,Rm) y w(0) = u0(x).


Ahora denimos la aplicacin G : X X tal que para u, u X se tienew = G(u) y w = G(u); como w satisface (26) para h = f(u(t)) y w satisface(26) para un h = f(u(t)), entonces al reemplazar estos valores en (26) tenemos

(w(t), v) + b(w(t), v) = (h(t), v) + (g(t), v) (27)

(w(t), v) + b(w(t), v) = (h(t), v) + (g(t), v), (28)

restando (28) a (27)

(w(t) w(t), v) + b(w(t) w(t), v; t) = (h(t) h(t), v).

Considerando v = w(t) w(t), junto con (23) y la Observacin 3.2, obtenemosddt

12w(t)w(t)2L2 ddt 12w(t)w(t)2L2 +b(w(t)w(t),w(t)w(t); t)+

Cw(t)w(t)2L2= (h(t) h(t),w(t) w(t)) + Cw(t) w(t)2L2 .

Luego, por la desigualdad de Young para > 0 escribimos

ddtw(t) w(t)2L2 2w(t) w(t)2L2 +

2

4f(u) f(u)2L2+

2Cw(t) w(t)2L2 ,

por ser f(u(t)) Lipschitz continua, existe un K > 0 tal que

ddtw(t) w(t)2L2 2( + C)w(t) w(t)2L2 + K2u(t) u(t)2L2 .

Tomando = K2

ddtw(t) w(t)2L2 (K + 2C)w(t) w(t)2L2 + u(t) u(t)2L2 ,

y observando que K + 2C > 0, y u(t) u(t)2L2 es una funcin no negativa ysumable sobre [0, ], entonces por la desigualdad de Gronwall (forma diferencial)se obtiene

w(t) w(t)2L2 e(K+2C)R t0dsw(0)w(0)2L2 +

t0u(s) u(s)2L2ds

, (29)

por denicin de w y w se tiene w(0) = w(0) = u0(x), y tomando el mximosobre 0 t en ambos lados, obtenemos

max0t

w(t) w(t)2L2 e(K+2C) max0t u(t) u(t)2L2

max0t

w(t) w(t)L2 e(K+2C)

1/2max0t

u(t) u(t)L2 ,


por (24) escribimos

G(u)G(u) e(K+2C)

1/2u u,escogiendo un = t1 1 tal que

e(K+2C)t1t1

1/2< 1. De esta manera la aplica-

cin G es una contraccin y por el Teorema de Punto Fijo de Banach concluimosque G tiene un punto jo, es decir, existe un u(t) X tal que G(u(t)) = u(t)para 0 t t1.

Ahora demostremos unicidad: supongamos que u y u son dos soluciones dbilesde (1), lo cual implica que en la desigualdad (29) w = u y w = u, as pues

u(t)u(t)2L2e(K+2C)R t0dsu(0) u(0)2L2 +

t0u(s) u(s)2L2ds

= e(K+2C)t t0u(s) u(s)2L2ds

para 0 t y por la desigualdad de Gronwall u(t) u(t)2L2 = 0 para0 t , por lo tanto u(t) = u(t) para 0 t .

4 Mtodo de Galerkin-Rosenbrock adaptativo

El mtodo de Rosenbrock es un mtodo multipaso para calcular la solucin a-proximada un en el tiempo tn a partir del dato inicial u0. Concretamente un sepuede obtener de la siguiente forma recursiva

un+1 = un +

si=1

mi Uni, un+1 = un +

si=1

mi Uni, (30)

con 1

I Fu(tn, un)

Uni = F (ti, Ui)

i1j=1

cijUnj + i Ft(tn, un), (31)

donde >0 es el tamao del paso en el tiempo, 1s7 es un entero positivo quedetermina el nmero de pasos de Rosenbrock, los valores internos estn denidoscomo tn=n, ti= tn+i, Ui = un +

i1j=1 aij Unj , y los coecientes mi, mi, ,

i, i vienen predeterminados segn el s escogido, los cuales se pueden consultaren [8, cap. II y V.1, Appendix B ] junto con la ecuaciones que discretizan lascondiciones de frontera y demas detalles del mtodo.

Los calculos numricos fueron realizados con MuFeS [6], un cdigo basadoen el mtodo de los elementos nitos, desarrollado en el Departamento de Ma-temticas de la Universidad del Valle. Las rutinas de renamiento que hemosimplementado usan el cdigo Triangle [11], donde en cada proceso de renamien-to producimos una triangulacin de Delaunay, reduciendo el rea de los trigulos


en un 50%, este mismo procedimiento se aplica a la generacin de los subdominiosi .

En cada iteracin del mtodo de Rosenbrock calculamos los vectores Uni (coni = 1, . . . , s en la iteracin n) de (31) mediante una discretizacin de Galer-kin con elementos nitos lineales, combinando esta discretizacin con la tcnicaadaptativa descrita en [4], la cual consiste en enriquecer el espacio de elementosnitos, renando localmente. Para realizar este proceso adaptativo consideremosuna particin regular T h de de elementos tringulares T de dimetro hT (readel tringulo), y sea wT el conjunto formado por el elemento T unido con loselementos tringulares que comparten vrtice con el. Obtenida la discretizacindel dominio se aplica el mtodo de los elementos nitos para calcular una solu-cin aproximada Uhni de (31), a esta solucin se le llamara solucin global. Luegotomamos el subdominio i , con frontera i determinada por el valor quepresenta la solucin aproximada Uhni en los nodos de la frontera, donde i estaformado por los elementos resultantes de la renacin del conjunto wT (vase lagura 1). En i se resuelve la ecuacin (31), calculandose U

hni de manera local,

este procedimiento se realiza hasta completar todos los elementos de la particinT h, luego se considera un indicador del error basado en la solucin local y la globalpara cada elemento T T h y se rena en los elementos T T h que contribuyencon el 60% o mas del error en la solucin ( = 0,6 en [4]). En la malla renadase calcula de nuevo Uhni. Finalmente con los vectores Un1, Un2, . . . , Uns y con lasolucin actual un se determina un+1 en la malla nal renada, sin embargo solotomaremos el valor de un+1 en los nodos pertenecientes a la malla inicial (es decirla malla que se utiliz para el primer calculo de Un1). De esta forma evitamosrenar elementos ya renados que no contribuyen al error durante la evolucin dela reaccin en el tiempo (ver gura 5).

a b

Figura 1: Renamiento local realizado por el proceso adaptativo, donde (a) es el conjuntowT asociado al tringulo T T h y (b) es el respectivo subdominio i generado de larenacin de wT .

A continuacion presentamos el proceso de reaccin-combustin en un slido,en donde seguiremos el comportamiento de la concentracin de un reactante Yque comienza a combustionar en la medida en que se incrementa la temperaturaT , debido a una fuente variable de calor que calienta una seccin de la frontera


del slido. Estos procesos describen una reaccin qumica caracterizada por lacombustin del reactante, por lo tanto la evolucin del fenmeno de reaccin-combustin se desarrolla en lapsos de tiempo muy cortos. El trmino no linealdel sistema determina la reaccin qumica utilizada, la cual es de primer ordeny contiene un trmino de Arrhenius, que acopla las componentes de la solucinu = (T, Y ) y a su vez requiere una energa de activacin E mnima para que lareaccin ocurra.

Problema. Consideremos el siguiente problema, el cual ilustra un fenmeno dereaccin-combustin

tT (x, y, t) T (x, y, t) = Qw en (0, ],

tY (x, y, t) = w en [0, ], (32)T (x, y, 0) = 300 en {t = 0},Y (x, y, 0) = 1 en {t = 0},

con w = K0Y eET , donde el dominio R2 es un circulo abierto de radio

R =0.0024 cm, (x, y) son las variables espaciales, t (0, ] es la variabletemporal y la frontera = 1 2 tal que 1 2 = , la cual se ilustra en lagura 2.

Figura 2: El dominio y su frontera = 1 2 tal que 1 2 = , donde 1 es unarco de circunferencia de 45o y el resto de circunferencia es 2.

Adems suponemos condiciones de frontera mixtas, las cuales seran de tipoNeumann homogneas excepto para T durante los primeros 0.05 seg, a esta con-dicion la llamaremos TD y viene dada por

TD(x, y, t) = 300 + t en 1 para t (0, 0.05], (33)

El reactante comienza activarse por una fuente variable descrita por la condi-cin de frontera TD hasta t 0.05, posterior a este tiempo la condicin cambia auna condicin de frontera Neumann homognea. Como la fuente no sigue siendosuministrada entonces tendremos que la temperatura alcanza su valor mximo T


en algn momento del proceso de reaccin-combustin, donde T > 300. Q, E, y son coecientes constantes positivos tales que Q es un parmetro liberadorde calor, E es la energa de activacin de la reaccin y es un coeciente dedifusividad trmica. Adicionalmente K0 es una funcin que describe el coecientede difusin microscpico respecto al radio, tal que K0 =5800 hasta el radio in-terno r =0.0018 cm y se incrementa linealmente hasta llegar al radio del discoR =0.0024 cm.

En este problema la funcin f(T, Y ) = (Qw,w) corresponde a la parte nolineal del sistema (32), por consiguiente debemos probar que f(T, Y ) es Lipschitzcontinua. Para ello utilizaremos el siguiente resultado.

Proposicin 4.1. Sea f : X V , X un conjunto convexo respecto a las compo-nenetes x = (x1, . . . , xn) y V un espacio vectorial. Si existen todas las derivadasparciales f(X)/xi, i = 1, . . . , n y estn acotadas por M para toda x X,entonces f es Lipschitz continua en X.

Se tiene

Df(T, Y ) =

QK0 YT 2 eE/T QK0eE/T

K0YT 2

eE/T K0eE/T

como Q y E son constantes positivas, y K0(x, y) es una funcin continua y aco-tada en , entonces cada una de las derivadas parciales de f existen. Adems elconjunto [0, 1] (0, T ] es convexo. Ahora probaremos que stas derivadas parcia-les son acotadas en sus intervalos de denicin; como T > 0 se determina que

lmT0+eE/T

T 2= 0 (utilizando la sustitucin z = e1/T para T > 0). Por tanto

QK0 YT 2 eE/T (Q+ 1)5800 1T 2 eE/T (Q+ 1)5800 eE/T |.De esta forma se concluye que las derivadas parciales de f(T, Y ) son acotadas, portanto f(T, Y ) es una funcin Lipschitz continua. Entonces aplicando el Teorema3.5 concluimos que para el sistema de ecuaciones (32) existe una nica solucindbil.

Discretizacin del sistema aplicando el mtodo de Rosenbrock: Partien-do pues del sistema de ecuaciones (32) y aplicando a ste el mtodo de Rosenbrock,se tiene que

Fu Unj =

QK0 YT 2 eE/T + (2x + 2y) QK0eE/T

K0Y ET 2 eE/T K0eE/T

U1,njU2,nj

.


Haciendo los respectivos calculos, la ecuacin (31) se puede escribir como

1

U1,nj QK0Y ET 2 eE/TU1,nj (2xU1,nj + 2yU1,nj)QK0eE/TU2,nj

QK0U2,ieE/U1,i (2xU1,i + 2yU1,i) +i1j=1

cijU1,nj = 0,

1

U2,nj +K0Y

ET 2

eE/TU1,nj +K0eE/TU2,nj +K0U2,ie

E/U1,i+

i1j=1

cijU2,nj = 0.

Las condiciones de fronteras (vase (33)) se agrupan apropiadamente en la ecua-cin g(x, y, t, u) B(x, y, t, u)u = 0 sobre para t (0, ] y en el esquema delmtodo de Rosenbrock se representan como

DnUni = g(, ti, Ui)B(, ti, Ui)Ui + iEn (34)

g(x, y, t) =

TD

0

para (x, y) 1 con t (0, 0.05]

0

0

para (x, y) 2 con t (0, 0.05]

B(x, y) =

1 0

0

para (x, y) 1 2 con t (0.05, ]

0

0

para (x, y) 1 2 con t (0.05, ].

Siguiendo la nomenclatura de [8, cap. II.2 y VII.2], calculamos Dn y En, como gno depende de u y B no depende de t, entonces Dn =B(x, y)|u=un,t=tn en yEn =

tg(x, y, t)|u=un,t=tn = en 1, reemplazando los anteriores resultados en

(34) obtenemos

(B(x, y))Uni = g(x, y, ti)B(x, y)Ui + i tn g(x, y, tn).

Entonces U1,niU2,ni

=

TD U1,i + itTL

U2,i


en 1 para la primera compontente, en 12 para la segunda componente, dondet (0, 0.05], y

U1,niU2,ni

=

U1,iU2,i

en 1 2 para t (0.05, ]

El proceso adaptativo se limita a una iteracin para cada calculo del vector Uni(para i = 1, 2, 3) en cada paso, en el cual renamos los elementos que contribuyencon el 60% del error en la solucin ( = 0,6 en [4]).

La solucin del problema se btuvo aplicando la tcnica adaptativa con lossiguientes datos: =0.05, =22000, s = 3, el tamao del paso fue =0.0003 yse efectuaron 1200 iteraciones, as pues la combustin del reactante se efectu en0.36 segundos. La gura 3 muestra los cambios de temperatura en el disco. Unailustracin de la secuencia de renacin de la malla para el calculo de los vectoresUn1, Un2 y Un3, se puede observar en la gura 5, donde se calculo la solucinaproximada u = (T, Y ) en el tiempo t =0.290 seg. La solucin se puede visualizaren la gura 3 para la componente T y en la gura 4 para la componente Y .

Figura 3: Temperatura T para t = 0.156, 0.241, 0.30, 0.42 seg.

Figura 4: Concentracin del reactante Y para t = 0.074, 0.204, 0.285, y 0.299 seg. Elcolor azul representa el reactante que an no combustiona.

5 Conclusiones

1. En este trabajo presentamos un marco terico apropiado para demostrar laexistencia y unicidad de la solucin dbil de un sistema parablico no linealde ecuaciones de segundo orden en donde ilustramos un modelo de reaccin-combustin en un slido dominados por una reaccin tipo Arrhenius, este


a b c d

Figura 5: Proceso de renacin de la malla para el calculo de Un1, Un2 y Un3, tomadoen el tiempo tn =0.290 seg en la iteracin n =969. De izquierda a derecha se muestraen (a) la malla inicial de 347 nodos y 542 triangulos, en (b) se renan 10 tringulos delos 542 de (a), en (c) se renan 76 tringulos de los 562 de (b) y en (d) se renan 260tringulos de los 702 de (c). En (a) se calcula Un1, luego se aplica la tcnica adaptativay se calcula Un1 en la malla (b), posteriormente se calcula Un2 en (b) y asi se sigue elproceso sucesivamente.

anlisis supone que el trmino de Arrhenius w es una funcin Lipchitz con-tinua. Este estudio terico se puede emplear para describir procesos de di-fusin mas generales de una sustancia soluto, es decir, la evolucin en eltiempo de la densidad de alguna cantidad u en una regin .

2. El estimativo a-posteriori usado en el mtodo adaptativo se basa en la so-lucin de un problema lineal local. Este estimativo es muy costoso dadala naturaleza multipaso del mtodo. Por tanto es necesario desarrollar unindicador a posteriori ms eciente.

3. En este trabajo no se abordo el proceso adaptativo en el tiempo, el cualqueda sugerido para estudios posteriores, en donde se puede seguir aplicandoel mtodo de Rosenbrock adaptativo para el tiempo (vase [8])

Referencias

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[2] R. Dautray, J. L. Lions; Mathematical analysis and numerical methods forscience and technology, Volume 2, Spectral theory and applications, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1990.

[3] R. Dautray, J. L. Lions; Mathematical analysis and numerical methods forscience and technology, Volume 5, Spectral theory and applications, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1990.

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[5] C. Domnguez, Mtodo Galerkin-Rosenbrock adaptativo para un modelo dereaccincombustin, Universidad del Valle, Cali-Colombia, 2006.

[6] J. Duque, MuFes: A Multilevel Finite element Solver, version 0.3.0,http://www.univalle.edu.co/ jjduque/Mufes, (2003).

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[9] Python, Python copyright 1991-1995 by Stichting Mathematisch Centrum,Amsterdam, The Netherlands, http://www.python.org

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[12] R. Verfrth, A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-renement techniques, iley Teubner, Great Britain, 1996.

[13] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor The Finite Element Method, The basis, Vol1, fth edition, Butterworth Heinemann, Spain, (2000)

Direccin de los autores

Carolina Domnguez Garca Departamento de Matemticas, Universidad del Valle,

Cali, Colombia

e-mail: [email protected]

Jairo Duque Departamento de Matemticas, Universidad del Valle, Cali, Colombia

e-mail: [email protected]

Método Galerkin-Rosenbrock Adaptativo Para Un Modelo de Reacción-combustión

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