Metodo Matricial

Capítulo 5

Método matricial

5.1. Contenido

El concepto de rigidez. Matriz de rigidez de una viga. Método directo de larigidez. Vector de cargas. Sistemas de coordenadas. Transformación de sistemas decoordenadas, matrices de rotación. Matriz de rigidez elemental. Matriz de rigidezglobal de la estructura, montaje. Ensamblaje del vector de cargas. Ensamblaje delvector de desplazamientos. Imposición de las condiciones de contorno. Sistema deecuaciones a resolver. Cálculo de esfuerzos y reacciones. Cargas de origen térmico.Errores de montaje. Apoyos inclinados.

5.2. Objetivos

Presentar el método matricial como sistematización de los conceptos presenta-dos anteriormente. Aplicar el método directo de la rigidez en estructuras sencillas.Calcular desplazamientos. Calcular esfuerzos en cualquier tipo de estructura.

5.3. Qué se debe saber al terminar este tema

1. Qué es la matriz de rígidez en coordenadas locales y en coordenadas globales.Cómo pasar de una a otra (matriz de rotación). Matriz de rotación para vigasy barras.

2. Ensamblar la matriz de rigidez global de una estructura

3. Ensamblar el vector de cargas

4. Imponer condiciones de contorno en el sistema. Porqué son necesarias. Elegirgrados de libertad en el caso del método directo.

5. Cálcular esfuerzos a partir de los desplazamientos. Dibujar diagramas decortantes, axiles y momentos flectores

33

CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 34

6. Identificar las grados de libertad existentes en una estructura. Saber quématriz de rigidez debemos emplear

7. Resolver estructuras con articulaciones internas

8. Introducir asientos en los apoyos, errores de montaje y efectos térmicos

5.4. Ejercicios resueltos

1. Sobre la estructura de la figura obtener los diagramas de esfuerzos de todaslas barras

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En las páginas siguientes se encuentran las matrices de rigidez locales y glo-bales de todas las barras, así como los vectores de fuerzas de empotramientocoordenadas en locales y globales y los vectores de esfuerzos, además de losdiagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.

CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS

AB A I E L alfa5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00

Matriz de rigidez locales

1 2 3 4 5 61 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.02 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.05 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+036 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04

Matriz de rotación

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

1 1 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+002 2 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 3 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 4 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+005 5 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+036 6 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04

Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra

Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+010.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 1

0.0 0.000E+00 150.000 150.000 20.0 0.000E+00 150.000 150.000 30.0 0.000E+00 0.000 0.000 40.0 0.000E+00 150.000 150.000 50.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 6

Calculo de esfuerzos en los extremos

Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales

1.14E-02 0.01136509 9.502E+02 10.00E+00 0 1.289E+02 2-2.82E-02 -0.028208195 2.154E+01 36.32E-03 0.006319047 -9.502E+02 4

-8.09E-02 -0.080853151 1.711E+02 5-5.96E-03 -0.005962288 -1.483E+02 6

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FG A I E L alfa2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00



Matriz de rotación

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 6

10 11 12 13 14 151 10 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+002 11 0.000E+00 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+023 12 0.000E+00 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+024 13 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+005 14 0.000E+00 -1.540E+02 -4.620E+02 0.000E+00 1.540E+02 -4.620E+026 15 0.000E+00 4.620E+02 9.240E+02 0.000E+00 -4.620E+02 1.848E+03


Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000

0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000



-1.19E-02 -0.011906099 -9.959E+02 10-7.82E-02 -0.078184172 1.120E+00 11-5.58E-03 -0.005581865 7.827E-01 120.00E+00 0 9.959E+02 13-1.02E-01 -0.102205696 -1.120E+00 140.00E+00 0 5.940E+00 15

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CG A I E L alfa1.20E-03 6.60E-06 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01



Matriz de rotación

0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.01.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 7 6.160E+02 -5.086E-12 9.240E+02 -6.160E+02 5.086E-12 9.240E+022 8 -5.086E-12 8.365E+04 5.660E-14 5.086E-12 -8.365E+04 5.660E-143 9 9.240E+02 5.660E-14 1.848E+03 -9.240E+02 -5.660E-14 9.240E+024 13 -6.160E+02 5.086E-12 -9.240E+02 6.160E+02 -5.086E-12 -9.240E+025 14 5.086E-12 -8.365E+04 -5.660E-14 -5.086E-12 8.365E+04 -5.660E-146 15 9.240E+02 5.660E-14 9.240E+02 -9.240E+02 -5.660E-14 1.848E+03



0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000



0.00E+00 0.103660774 1.217E+02 7-1.04E-01 0 0.000E+00 80.00E+00 0 0.000E+00 90.00E+00 0.102205696 -1.217E+02 13-1.02E-01 0 0.000E+00 140.00E+00 0 0.000E+00 15

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CF A I E L alfa2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 2.07E+02


1 2 3 4 5 61 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.02 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+003 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.05 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+006 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00

Matriz de rotación

-0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.00.4 -0.9 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 -0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 67 8 10 11

1 7 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+002 8 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+003 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 10 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+005 11 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+006 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00



0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000



0.00E+00 0.046415054 5.245E+01 7-1.04E-01 0.092688721 0.000E+00 80.00E+00 0 0.000E+00-1.19E-02 0.045653562 -5.245E+01 10-7.82E-02 0.064577644 0.000E+00 110.00E+00 0 0.000E+00

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BG A I E L alfa2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 3.33E+02


1 2 3 4 5 61 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.02 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+003 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.05 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+006 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00

Matriz de rotación

0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.00.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 4 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+002 5 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+003 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 13 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+005 14 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+006 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00



0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000



6.32E-03 0.041852936 9.177E+03 4-8.09E-02 -0.069465777 0.000E+00 50.00E+00 0 0.000E+00-1.02E-01 -0.091387656 -9.177E+03 130.00E+00 -0.045763529 0.000E+00 140.00E+00 0 0.000E+00

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BF A I E L alfa2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01



Matriz de rotación

0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.01.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 4 1.232E+03 -1.017E-11 1.848E+03 -1.232E+03 1.017E-11 1.848E+032 5 -1.017E-11 1.673E+05 1.132E-13 1.017E-11 -1.673E+05 1.132E-133 6 1.848E+03 1.132E-13 3.696E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 1.848E+034 10 -1.232E+03 1.017E-11 -1.848E+03 1.232E+03 -1.017E-11 -1.848E+035 11 1.017E-11 -1.673E+05 -1.132E-13 -1.017E-11 1.673E+05 -1.132E-136 12 1.848E+03 1.132E-13 1.848E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 3.696E+03



0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000



6.32E-03 0.080853151 4.465E+02 4-8.09E-02 0.006319047 1.120E+00 5-5.96E-03 -0.005962288 1.328E+00 6-1.19E-02 0.078184172 -4.465E+02 10-7.82E-02 -0.011906099 -1.120E+00 11-5.58E-03 -0.005581865 2.031E+00 12

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AF A I E L alfa2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.70E+00 -2.66E+01



Matriz de rotación

0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.00.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 1 5.995E+04 -2.992E+04 1.657E+02 -5.995E+04 2.992E+04 1.657E+022 2 -2.992E+04 1.508E+04 3.314E+02 2.992E+04 -1.508E+04 3.314E+023 3 1.657E+02 3.314E+02 1.655E+03 -1.657E+02 -3.314E+02 8.275E+024 10 -5.995E+04 2.992E+04 -1.657E+02 5.995E+04 -2.992E+04 -1.657E+025 11 2.992E+04 -1.508E+04 -3.314E+02 -2.992E+04 1.508E+04 -3.314E+026 12 1.657E+02 3.314E+02 8.275E+02 -1.657E+02 -3.314E+02 1.655E+03



0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000



1.14E-02 0.010164807 -1.061E+03 10.00E+00 0.005083501 -3.634E+00 2-2.82E-02 -0.028208195 -2.154E+01 3-1.19E-02 0.024322386 1.061E+03 10-7.82E-02 -0.075252518 3.634E+00 11-5.58E-03 -0.005581865 -2.814E+00 12

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BC A I E L alfa5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00



Matriz de rotación

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 4 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+002 5 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 6 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 7 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+005 8 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+036 9 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04


Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+010.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 4

0.0 0.000E+00 150.000 150.000 50.0 0.000E+00 150.000 150.000 60.0 0.000E+00 0.000 0.000 70.0 0.000E+00 150.000 150.000 80.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 9



6.32E-03 0.006319047 1.190E+03 4-8.09E-02 -0.080853151 1.548E+02 5-5.96E-03 -0.005962288 1.470E+02 60.00E+00 0 -1.190E+03 7-1.04E-01 -0.103660774 1.452E+02 80.00E+00 0 -1.182E+02 9

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Fn Femp 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 U1.0 0.0 0.0 248245.3 -29923.8 165.7 -188300.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 165.7 U12.0 R2 150.0 -29923.8 16051.1 3257.4 0.0 -975.3 2926.0 29923.8 -15075.7 331.4 0.03.0 0.0 150.0 165.7 3257.4 13358.9 0.0 -2926.0 5852.0 -165.7 -331.4 827.5 U34.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0 432896.8 -27574.4 1848.0 -188300.0 0.0 0.0 -1232.0 0.0 1848.0 -55064.8 27574.4 U45.0 0.0 300.0 0.0 -975.3 -2926.0 -27574.4 183058.9 0.0 0.0 -975.3 2926.0 0.0 -167300.0 0.0 27574.4 -13808.2 U56.0 0.0 - 0.0 0.0 2926.0 5852.0 1848.0 0.0 27104.0 0.0 -2926.0 5852.0 -1848.0 0.0 1848.0 U67.0 R7 0.0 -188300.0 0.0 0.0 243980.8 27574.4 924.0 -55064.8 -27574.4 0.0 -616.0 0.0 924.0 0.08.0 0.0 150.0 0.0 -975.3 -2926.0 27574.4 98433.6 -2926.0 -27574.4 -13808.2 0.0 0.0 -83650.0 0.0 U89.0 R9 -150.0 0.0 2926.0 5852.0 924.0 -2926.0 13552.0 0.0 0.0 0.0 -924.0 0.0 924.0 0.0

10.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 -165.7 -1232.0 0.0 -1848.0 -55064.8 -27574.4 0.0 199892.1 -2349.4 -2013.7 -83650.0 0.0 0.0 U1011.0 0.0 0.0 29923.8 -15075.7 -331.4 0.0 -167300.0 0.0 -27574.4 -13808.2 0.0 -2349.4 196338.0 130.6 0.0 -154.0 462.0 U1112.0 0.0 0.0 165.7 331.4 827.5 1848.0 0.0 1848.0 0.0 0.0 0.0 -2013.7 130.6 7198.9 0.0 -462.0 924.0 U1213.0 R13 0.0 -55064.8 27574.4 -616.0 0.0 -924.0 -83650.0 0.0 0.0 139330.8 -27574.4 -924.0 0.014.0 0.0 0.0 27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 0.0 0.0 -154.0 -462.0 -27574.4 97612.2 -462.0 U1415.0 R15 0.0 924.0 0.0 924.0 0.0 462.0 924.0 -924.0 -462.0 3696.0 0.0

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0

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Femp 1.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 11.0 12.0 14.0 U1.0 0.0 0.0 248245.3 165.7 -188300.0 0.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 165.7 0.0 U13.0 0.0 150.0 165.7 13358.9 0.0 -2926.0 5852.0 0.0 -165.7 -331.4 827.5 0.0 U34.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 432896.8 -27574.4 1848.0 0.0 -1232.0 0.0 1848.0 27574.4 U45.0 0.0 300.0 0.0 -2926.0 -27574.4 183058.9 0.0 -975.3 0.0 -167300.0 0.0 -13808.2 U56.0 0.0- 0.0 0.0 5852.0 1848.0 0.0 27104.0 -2926.0 -1848.0 0.0 1848.0 0.0 U68.0 0.0 150.0 0.0 0.0 0.0 -975.3 -2926.0 98433.6 -27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 U8

10.0 0.0 0.0 -59945.3 -165.7 -1232.0 0.0 -1848.0 -27574.4 199892.1 -2349.4 -2013.7 0.0 U1011.0 0.0 0.0 29923.8 -331.4 0.0 -167300.0 0.0 -13808.2 -2349.4 196338.0 130.6 -154.0 U1112.0 0.0 0.0 165.7 827.5 1848.0 0.0 1848.0 0.0 -2013.7 130.6 7198.9 -462.0 U1214.0 0.0 0.0 0.0 0.0 27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 0.0 -154.0 -462.0 97612.2 U14

1.0097E-05 -4.3413E-06 4.8102E-06 -2.1882E-05 -2.3076E-06 -2.7663E-05 -1.0650E-06 -2.2170E-05 -2.0816E-06 -2.8205E-05-4.3413E-06 8.9394E-05 -2.0169E-06 3.1783E-05 -1.4907E-05 3.5095E-05 3.7900E-06 3.0438E-05 -3.0655E-06 3.5174E-054.8102E-06 -2.0169E-06 4.8138E-06 -1.1465E-05 -1.6905E-06 -1.7179E-05 -1.0721E-06 -1.1740E-05 -1.9055E-06 -1.7731E-05

-2.1882E-05 3.1783E-05 -1.1465E-05 1.5878E-04 1.5100E-05 1.8968E-04 2.1605E-05 1.5242E-04 1.1295E-05 1.8855E-04-2.3076E-06 -1.4907E-05 -1.6905E-06 1.5100E-05 4.3552E-05 2.4457E-05 3.1685E-06 1.4974E-05 -6.8527E-06 2.3563E-05-2.7663E-05 3.5095E-05 -1.7179E-05 1.8968E-04 2.4457E-05 2.7661E-04 3.2374E-05 1.8595E-04 1.7687E-05 2.6911E-04-1.0650E-06 3.7900E-06 -1.0721E-06 2.1605E-05 3.1685E-06 3.2374E-05 9.4552E-06 2.0990E-05 3.3139E-06 3.1152E-05-2.2170E-05 3.0438E-05 -1.1740E-05 1.5242E-04 1.4974E-05 1.8595E-04 2.0990E-05 1.5187E-04 1.1139E-05 1.8452E-04-2.0816E-06 -3.0655E-06 -1.9055E-06 1.1295E-05 -6.8527E-06 1.7687E-05 3.3139E-06 1.1139E-05 1.4344E-04 1.7990E-05-2.8205E-05 3.5174E-05 -1.7731E-05 1.8855E-04 2.3563E-05 2.6911E-04 3.1152E-05 1.8452E-04 1.7990E-05 2.7292E-04

U1= 1.1365E-02U3= -2.8208E-02U4= 6.3190E-03U5= -8.0853E-02U6= -5.9623E-03U8= -1.0366E-01

U10= -1.1906E-02U11= -7.8184E-02U12= -5.5819E-03U14= -1.0221E-01

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AB A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 3.00E+00 9.00E+01


1 2 3 4 5 61 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.02 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.73 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.74 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.05 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.76 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4

Matriz de rotación

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0-1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 1 1.8 0.0 -2.7 -1.8 0.0 -2.72 2 0.0 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.03 3 -2.7 0.0 5.4 2.7 0.0 2.74 4 -1.8 0.0 2.7 1.8 0.0 2.75 5 0.0 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.06 6 -2.7 0.0 2.7 2.7 0.0 5.4


Aplicación a Puntual 4.00E-02 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.000 -0.020 0.000 0.000 1

0.020 0.000 0.000 0.000 20.015 0.015 0.000 0.000 30.000 -0.020 0.000 0.000 40.020 0.000 0.000 0.000 5

-0.015 -0.015 0.000 0.000 6




0.00E+00 -0.01 2.625E-04-1.00E-02 -6.12574E-19 2.861E-020.00E+00 0 2.421E-02

0.0006655 -0.010001316 -2.625E-04-0.01000132 -0.0006655 1.139E-020.00272618 0.002726179 1.616E-03

-2.50E-02-2.00E-02-1.50E-02-1.00E-02-5.00E-030.00E+005.00E-031.00E-021.50E-022.00E-022.50E-023.00E-02

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Momentos Flectores

-1.50E-02-1.00E-02-5.00E-030.00E+005.00E-031.00E-021.50E-022.00E-022.50E-023.00E-023.50E-02

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Esfuerzos Cortantes

BC A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 3.00E+00 0.00E+00


1 2 3 4 5 61 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.02 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.73 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.74 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.05 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.76 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4

Matriz de rotación

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 4 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.02 5 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.73 6 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.74 7 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.05 8 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.76 9 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4


Aplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 0.000 0.000

0.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.000




6.65E-04 0.0006655 1.139E-02-1.00E-02 -0.010001316 2.625E-042.73E-03 0.002726179 -1.616E-03

0.0006084 0.000608404 -1.139E-020.00025227 0.000252272 -2.625E-040.0042062 0.004206199 2.404E-03

-3.00E-03

-2.50E-03

-2.00E-03

-1.50E-03

-1.00E-03

-5.00E-04

0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Momentos Flectores

0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

3.00E-04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0Longitud

Esfuerzos Cortantes

DE A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 8.00E+00 9.00E+01

-25Matriz de rigidez locales

1 2 3 4 5 61 74.8 0.0 0.0 -74.8 0.0 0.02 0.0 0.1 0.4 0.0 -0.1 0.43 0.0 0.4 2.0 0.0 -0.4 1.0


3 0.0 0.4 2.0 0.0 -0.4 1.04 -74.8 0.0 0.0 74.8 0.0 0.05 0.0 -0.1 -0.4 0.0 0.1 -0.46 0.0 0.4 1.0 0.0 -0.4 2.0

Matriz de rotación

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0-1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 6

10 11 12 13 14 151 10 0.1 0.0 -0.4 0.0 0.1 -0.42 11 0.0 74.8 0.0 -67.8 31.6 0.03 12 -0.4 0.0 2.0 -0.2 -0.3 1.04 13 0.0 -67.8 -0.2 61.5 -28.6 -0.25 14 0.1 31.6 -0.3 -28.6 13.4 -0.36 15 -0.4 0.0 1.0 -0.2 -0.3 2.0

Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraEsfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra

Aplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 0.215 0.000 10

0.0 0.0 0.000 0.215 110.0 0.0 0.000 0.000 120.0 0.0 -0.215 -0.195 130.0 0.0 0.000 0.091 140.0 0.0 0.000 0.000 15

Calc lo de esf er os en los e tremosCalculo de esfuerzos en los extremos


0.00E+00 0 1.807E-020.00E+00 0 -2.937E-050.00E+00 0 -2.350E-04

0.00291127 0.002638508 -1.807E-020 0.001230356 2.937E-05

0.00023069 0.000230692 0.000E+00

Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes

2 50E 04

-2.00E-04

-1.50E-04

-1.00E-04

-5.00E-05

0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Momentos Flectores

3 50E 05

-3.00E-05

-2.50E-05

-2.00E-05

-1.50E-05

-1.00E-05

-5.00E-06

0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Esfuerzos Cortantes

-2.50E-04

-2.00E-04

-1.50E-04

-1.00E-04

-5.00E-05

0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Momentos Flectores

-3.50E-05

-3.00E-05

-2.50E-05

-2.00E-05

-1.50E-05

-1.00E-05

-5.00E-06

0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Esfuerzos Cortantes

CD A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 5.00E+00 -3.69E+01


1 2 3 4 5 61 119.7 0.0 0.0 -119.7 0.0 0.02 0.0 0.4 1.0 0.0 -0.4 1.03 0.0 1.0 3.3 0.0 -1.0 1.6


3 0.0 1.0 3.3 0.0 -1.0 1.64 -119.7 0.0 0.0 119.7 0.0 0.05 0.0 -0.4 -1.0 0.0 0.4 -1.06 0.0 1.0 1.6 0.0 -1.0 3.3

Matriz de rotación

0.8 -0.6 0.0 0.0 0.0 0.00.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.8 -0.6 0.00.0 0.0 0.0 0.6 0.8 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 7 76.8 -57.3 0.6 -76.8 57.3 0.62 8 -57.3 43.3 0.8 57.3 -43.3 0.83 9 0.6 0.8 3.3 -0.6 -0.8 1.64 10 -76.8 57.3 -0.6 76.8 -57.3 -0.65 11 57.3 -43.3 -0.8 -57.3 43.3 -0.86 12 0.6 0.8 1.6 -0.6 -0.8 3.3


Aplicación a Puntual 0 Uniforme 1.60E-020.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 -0.0300 0.0000 7

0.0 0.0 0.0400 0.0500 80.0 0.0 0.0333 0.0333 90.0 0.0 -0.0300 0.0000 100.0 0.0 0.0400 0.0500 110.0 0.0 -0.0333 -0.0333 12



6.08E-04 0.000335457 1.015E-022.52E-04 0.000566802 4.433E-024.21E-03 0.004206199 4.760E-02

0 0 -7.015E-020 0 3.567E-020 0 -2.592E-02


2 00E 02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-026.00E-02

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Momentos Flectores

4 00E 02-3.00E-02-2.00E-02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-02

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Esfuerzos Cortantes

-2.00E-02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-026.00E-02

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Momentos Flectores

-4.00E-02-3.00E-02-2.00E-02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-02

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Longitud

Esfuerzos Cortantes

CE A I E L alfa1.25E-03 0.00E+00 2.10E+05 6.40E+00 5.13E+01

-63.87Matriz de rigidez locales

1 2 3 4 5 61 41.0 0.0 0.0 -41.0 0.0 0.02 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.03 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.04 -41.0 0.0 0.0 41.0 0.0 0.05 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.06 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Matriz de rotación

0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0-0.8 0.6 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.9 0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0


1 7 16.0 20.0 0.0 -11.3 23.0 0.02 8 20.0 25.0 0.0 -14.1 28.7 0.03 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.04 13 -11.3 -14.1 0.0 8.0 -16.2 0.05 14 23.0 28.7 0.0 -16.2 33.1 0.06 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


Aplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 -0.0084 -0.0053 7

0.0 0.0 0.0000 -0.0066 80.0 0.0 0.0000 0.0000 0.0 0.0 0.0082 0.0036 130.0 0.0 0.0000 -0.0074 140.0 0.0 0.0000 0.0000



6.08E-04 0.000577281 -3.731E-022.52E-04 -0.000317085 0.000E+000.00E+00 0 0.000E+00

0.00291127 0.001282151 3.715E-020 0.002613731 0.000E+000 0 0.000E+00


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Momentos Flectores

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Esfuerzos Cortantes

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Longitud

Momentos Flectores

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Longitud

Esfuerzos Cortantes

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 U Fn Femp1.0 1.8 0.0 -2.7 -1.8 0.0 -2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 R1 -0.0202.0 0.0 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.01 R2 0.0003.0 -2.7 0.0 5.4 2.7 0.0 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 R3 0.0154.0 -1.8 0.0 2.7 201.3 0.0 2.7 -199.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.0 -0.020 0.0005.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 201.3 2.7 0.0 -1.8 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U5 0.0 0.000 1.9956.0 -2.7 0.0 2.7 2.7 2.7 10.9 0.0 -2.7 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U6 0.0 -0.015 0.0007.0 0.0 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 292.3 -37.2 0.6 -76.8 57.3 0.6 -11.3 23.0 0.0 U7 0.0 -0.005 0.0008.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.8 -2.7 -37.2 70.1 -1.9 57.3 -43.3 0.8 -14.1 28.7 0.0 U8 0.0 0.043 0.0009.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.7 2.7 0.6 -1.9 8.7 -0.6 -0.8 1.6 0.0 0.0 0.0 U9 0.050 0.033 0.000

10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -76.8 57.3 -0.6 76.9 -57.3 -1.0 0.0 0.1 -0.4 0.0 R10 0.00011.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 57.3 -43.3 -0.8 -57.3 118.1 -0.8 -67.8 31.6 0.0 0.0 R11 0.26512.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.8 1.6 -1.0 -0.8 5.3 -0.2 -0.3 1.0 0.0 R12 -0.03313.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -11.3 -14.1 0.0 0.0 -67.8 -0.2 69.4 -44.8 -0.2 U13 0.0 -0.192 0.00014.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 23.0 28.7 0.0 0.1 31.6 -0.3 -44.8 46.5 -0.3 0.0 R14 0.08415.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.4 0.0 1.0 -0.2 -0.3 2.0 U15 0.0 0.000 0.000

Femp### 0.0 2.7 ### 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.0200.0 201.3 2.7 0.0 -1.8 2.7 0.0 0.0 U5 -1.9952.7 2.7 10.9 0.0 -2.7 2.7 0.0 0.0 U6 0.015

### 0.0 0.0 ### -37.2 0.6 ### 0.0 U7 0.0050.0 -1.8 -2.7 ### 70.1 -1.9 ### 0.0 U8 -0.0430.0 2.7 2.7 0.6 -1.9 8.7 0.0 0.0 U9 0.0170.0 0.0 0.0 ### -14.1 0.0 ### -0.2 U13 0.20.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.2 2.0 U15 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.000670.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U5 -0.010000.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U6 0.002730.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U7 0.000610.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U8 0.000250.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 U9 0.004210.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U13 0.002910.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 U15 0.00023


5.5. Ejercicios propuestos

1. En la celosía de la figura determinar los esfuerzos en las barras DF y DC, y los desplazamientos de los nudos debidos a: Las cargas exteriores, unincremento de temperatura de 30 grados en la barras DF y ED y un asientohorizontal en el apoyo C de 0.5 cm α = 1,2∆10−5C−1

10kN

10kN

6 m 6

m

E=2.1·106 kg/cm2

A=17.4 cm2

A B

F

E C

D

A B

F

E C

D

-16442 -38802

-49412 33212 33212

Esfuerzos en N

Dx=5.2 mm

Dy=-0.78 mm

Fx=0.459 mm

Fy=0.567 mm

2. En la estructura de la figura , todas las barras están constituidas por perfilesHEB 500 de acero. Se pide:

Dibujar y numerar los grados de libertad de la estructura, de forma


2 m

2 m

50 kN

q

50 kN

A

B C

D

q

2 m 2 m

2 m

4 m

G F

E q = 20kN/ m (distancia medida en proyección horizontal)

50 kNm

3 m

2 m

2 m

que se obtenga directamente los desplazamientos del nudo G. (solu-ción:GDL= 25)

Matriz de rigidez de la barra BE en coordenadas locales y globales, condibujo de los ejes considerados.´

Ecuación de equilibrio de la estructura con introducción de las condi-ciones de contorno.

Supuesta resuelta la estructura y obtenidoslos siguientes desplazamien-tos (en globales ) para los nudos E y B, diagrama de solicitaciones enla barra EB Nudo E giro = -0.000284 rad ; nudo B dx = -0.0129 cm dy= -0.0336 cm giro= 0.000064 radianes

Soluciónes: Esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos cargas ex-teriores,empezando por nudo E: -24kN, 32kN, 26.67kN.m, -24kN, 32kN, -26.67kN.m; esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos a desplazamien-tos,empezando por nudo E: -98.77kN, -4.4kN, -26.67kN.m, 98.77kN, 4,4kN,-4.67m.kN; esfuerzos totales sobre extremos barra en locales,empezando pornudo E: -122.77 kN, 27,6kN, 0, 74.77kN, 36,4kN, - 22,00m.kN).

3. Sobre la estructura de la figura


A B

D

qAB

C

Mext

Plantear simbólicamente el sistema final de ecuaciones Ax=B, siendo x elvector de desplazamientos desconocidos y B el término independiente, quepermite resolver al estructura de la figura. Identificar claramente los gradosde libertad empleados y seguir el orden alfabético de los nudos para la nu-meración de los grados de libertad. Las propiedades de cada barra debenespecificase nombrando los extremos de estas.

Cuantificar como se modifican los términos A, B y x del sistema de ecuacionesanterior si la barra CD tiene un incremento de temperatura de ∆t.

Soluciones:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

26

72 3

64 412 4

3 6 122

ext

AB BC BCB

extCDBC BCBC

MqL EIEI EIL L UL

M UEI EI EALL L L

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤− +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭+−⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

A

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

26

72 3

64 412 4

3 6 122

ext

AB BC BCB

extCD CDBC BCBC

MqL EIEI EIL L UL

M UEI EI EAEA T LL L Lα

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤− +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭+− − Δ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

A


5.6. Matrices de rigidez

[]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛ −

−

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

LAELAE

LAELAE

LK

[

]⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛

−

−=

θθ

θθ

θθ

θθ

0

0

0

0

0

0

0

0

Cos

Sen

Sen

Cos

Cos

Sen

Sen

Cos

R

[

][][

][]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛

−−

−−

−−

−−

==

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

2

2

2

2

2

2

2

2

Sen

LAESe

nC

osLAE

Sen

LAESe

nC

osLAE

Sen

Cos

LAEC

osLAE

Sen

Cos

LAEC

osLAE

Sen

LAESe

nC

osLAE

Sen

LAESe

nC

osLAE

Sen

Cos

LAEC

osLAE

Sen

Cos

LAEC

osLAE

RK

RK

LT

G

[]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛

−

−−

−

−−

=

LEI

LEILEI

LEILEI

LEI

LEI

LEILEI

LEILEI

LEILEI

LEI

LEI

LEI

LK

4

26

2

2

6

26

312

2

6

3

12

2

26

4

26

26

3

12

26

3

12

[

]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛

−

−−

−

−

−−

−

=

LEI

LEILEI

LEILEI

LEI

LEI

LEILAE

LAELEI

LEILEI

LEILEI

LEI

LEI

LEILAE

LAE

LK

4

26

0

2

26

0

26

312

0

2

6

312

0

0

0

0

0

2

26

0

4

2

6

0

26

3

12

0

26

312

0

0

0

0

0

[

]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛

−

−

=

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

θθ

θθ

θθ

θθ

Cos

Sen

Sen

Cos

Cos

Sen

Sen

Cos

R

[]

[][

][

]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛

−−

−+

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

+−

−−

−⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

+−

+⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

−−

−−

−−

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

−+

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

+−

−⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

−−

−⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛+

−+

==

4

26

2

6

2

26

26

2

6

2

23

12

3

12

2

6

22

312

3

12

2

6

3

12

22

312

26

3

12

2

23

12

2

26

26

4

26

26

26

2

23

12

312

2

6

22

312

312

2

6

312

22

312

2

6

3

12

2

23

12

LEIC

osLEI

Sen

LEILEI

Cos

LEISe

nLEI

Cos

LEISe

nLAE

Cos

LEISe

nC

osLAE

LEIC

osLEI

Sen

LAEC

osLEI

Sen

Cos

LAE

LEI

Sen

LEISe

nC

osLAE

LEIC

osLAE

Sen

LEISe

nLEI

Sen

Cos

LAE

LEIC

osLAE

Sen

LEI

LEIC

osLEI

Sen

LEILEI

Cos

LEISe

nLEI

Cos

LEISe

nLAE

Cos

LEISe

nC

osLAE

LEIC

osLEI

Sen

LAEC

osLEI

Sen

Cos

LAE

LEI

Sen

LEISe

nC

osLAE

LEIC

osLAE

Sen

LEISe

nLEI

Sen

Cos

LAE

LEIC

osLAE

Sen

LEI

RK

RK

LT

G

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

Mat

rice

s de

Rig

idez

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