PRESENTACIN DEL TRABAJO INVESTIGATIVO: MTODOS DE INTEGRACIN; CONCERNIENTES A LA ASIGNATURA DE ANLISIS MATEMTICO II

TERCER CICLO A

CHRISTIAN MIGUEL PACHECO

UNIVERSIDAD CATLICA DE CUENCA

UNIDAD ACADMICA DE ARQUITECTURA INGENIERA CIVIL Y DISEO

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CUENCA

2015OBJETIVO GENERALDominar cualquiera de las diferentes tcnicas o mtodos usados para resolver una integral O tambin conocida como antiderivada[footnoteRef:1]. [1: Contraria a la derivada, la ms de las veces se le denomina integral (Nociones bsicas aprendidas en clase)]

OBJETIVOS ESPECFICOSI) Identificar correctamente cada paso consecutivo para la resolucin de una integral dada. (Definida o indefinida)[footnoteRef:2] [2: Como ya se ha visto en las primeras clases de anlisis matemtico II, integral definida o indefinida no afecta a la resolucin de la misma. Pues se habla de lo mismo, solamente con la excepcin de que la definida toma valores especificados de la funcin o ecuacin ya integrada.]

II) Contrastar las caractersticas entre un mtodo u otro de integracin.III) Reconocer cul es el mtodo ms efectivo para la resolucin de una integral.IV) Reconocer en qu casos, qu mtodos no son posibles utilizar para resolver una integralV) Ahondar en el conocimiento terico de cada mtodo para un mayor entendimiento.

INTRODUCCINE

n ste trabajo investigativo se completan los procedimientos de integracin. El propsito de dicha tarea investigativa, como se ha mencionado anteriormente es Llegar a la plena capacidad de resolver integrales de los tipos referenciados a los mtodos que se estudiarn, claro est, ya vistos anteriormente en clases. Se estudiarn las tcnicas imprescindibles para reducir a inmediatas aquellas integrales que no lo sean: integracin por partes, integrales de cocientes de polinomios por descomposicin en fracciones simples y frmulas de reduccin. Todos los mtodos de integracin tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo clculo resulte ms sencillo. La integracin por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones ms una integral que, pretendidamente, es ms sencilla que la de partida. La descomposicin en fracciones simples de un cociente de polinomios transforma ste en una suma de fracciones cuyas integrales pueden solucionarse con facilidad. Como Hemos de ver a lo largo de ste trabajo es que; el nico objetivo de estos diferentes mtodos es reducir una funcin o ecuacin cualquiera a su forma ms simple dada por la relacin del teorema fundamental del clculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una funcin cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal funcin es el resultado de la antiderivada. La integracin directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.

INDICE DE CONTENIDOS1.- El mtodo de integracin por partes11.1 Observaciones.2Ejemplo Primero4Ejemplo segundo:42.- Integrales trigonomtricas.72.1 Generalidades e identidades imprescindibles.7Ejemplo primero:82.4 Integrales de la forma 8Primer Ejemplo8Segundo Ejemplo:92.5 Observaciones92.6 Caso en que n o m es impar9Primer ejemplo102.7 Integrales de la forma 10Primer ejemplo:102.8 Integrales de la forma 112.8.1 Caso en que n es par112.8.2 Caso en que n es impar11Ejemplo primero112.9 Integrales de la forma 122.9.1 Caso en que n es par12Ejemplo primero132.9.2 Caso en que m es impar132.9.3 Caso en que n es impar y m es par134.10 Integrales de la forma con n m143.-Integracin por sustitucin trigonomtrica15Primer ejemplo16Segundo ejemplo17Ejemplo tres184.-Integracin de funciones Racionales19Primer ejemplo20Segundo ejemplo204.1 Observacin I21Caso 4.2214.3 Observacin II23Caso 4.423Ejemplo:244.4 Observacin III:244.5 Observacin IV25Ejemplo I26Caso 4.526Ejemplo I275 Teorema de Descomposicin en Fracciones simples (Generalizado)286.-INTEGRACIN NUMRICA:296.1 Es como un conteo de bloques.306.2 La regla trapezoidal306.3 La regla de Simpson316.4 Error de integracin:327.- REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS, LINKOGRFICAS Y ANEXOS.337.1Referencias bibliogrficas y linkogrficas347.2 Anexos35

V

DESARROLLO:En esta seccin, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Clculo, se desarrollarn las investigaciones acerca de las principales tcnicas de Integracin que permitirn encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los mtodos de integracin, se presentan ejemplos tpicos que van desde los casos ms simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad. Se ha de estudiar los principales mtodos de integracin, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, o bien reducirla a una integral ms sencilla. 1.- El mtodo de integracin por partesEste mtodo nos permitir resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una funcin por la derivada de otra. Ms precisamente, deduciremos la frmula de integracin por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.Se trata de otro mtodo que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: Sea u(x) una funcin. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada ser u y su diferencial du = udx Sea v(x) otra funcin. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada ser v y su diferencial dv = vdx

Supongamos que deseamos resolver una integral de la forma siguiente:

Es decir, la funcin integrando es el producto de la funcin u y la derivada de v. Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una funcin que es el producto De una funcin u por la diferencial de otra v. De acuerdo; ya puestos! Vamos a deducir una frmula que nos permitir resolver integrales de este tipo. Veamos:Sea (uv)(x) = u (x)v(x) la funcin producto de u y v. Para abreviar expresaremos uv Derivemos la funcin producto: (uv)= u v + u v (recuerda derivada de un producto) La diferencial de la funcin producto ser:

Si consideramos la igualdad d(uv) = v du + u dv e integramos en ambos miembros:

Considerando que la integracin es la operacin recproca de la derivacin, es decir, la Integral de la derivada de una funcin es esa funcin:

Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner:

Recordemos que el objetivo es calcular la integral I = (.u dv), por lo que despejando:

Que es la frmula del mtodo de integracin por partes, la cual nos permite resolver la Integral =.u dv si antes somos capaces de resolver la integral.

1.1 Observaciones.Hagamos algunas observaciones importantes que deben considerarse al aplicar este mtodo de integracin:Este mtodo de integracin se emplea cuando la funcin integrando es el producto de una funcin (u) por la derivada de otra (v), es decir:

En la prctica, si empleamos este mtodo, debemos separar el integrando en dos partes.Una es la funcin u = u(x) y la otra dv = v(x) dx. Saber elegir adecuadamente quien Hace el papel de u(x) y quien el de v(x) es el paso ms difcil en muchos casos. Suele ocurrir que al hacer una eleccin para u(x) y v(x), la integral, lejos de resolverse, se complique ms. Esto significa que no hemos hecho la eleccin correcta y debemos Intentarlo con una nueva. Ntese que para resolver al integral = (udv). Debemos hallar el producto de dos funciones (uv), lo cual no representa ninguna dificultad y otra integral

Esta ltima integral debe ser ms fcil de resolver que I =. (udv) , ya que si fuese ms complicada el mtodo no sera til (evidentemente, no nos interesa que para resolver una integral tengamos que hacer una ms complicada que la que nos dan).Puede ocurrir que la integral.vdu que debemos resolver para hallar I =. (udv) , se tenga que resolver por este mismo mtodo, es decir, hay que aplicar el mtodo de integracin por partes dos veces. Para recordar la frmula de integracin por este mtodo, existe una regla nemotcnica que es facilita recordarla y as evitar un esfuerzo memorstico. Veamos:Ilustracin 1Regla nemotcnica: Un da vi una vaca sin cola vestida de uniforme

Ejemplo PrimeroEncuentre:

Solucin.

Volvemos a integrar por partes tomando u = x y dv = e2x dx; en consecuencia du = dx y v =0.5e2x;Se obtiene:

Ejemplo segundo:

En este ejemplo veremos un caso en el que hay que aplicar el mtodo en dos ocasiones:Queremos resolver la integral:

Veamos:

Decidimos intentarlo por el mtodo por partes.Hacemos una eleccin (con la esperanza que funcione):

Escribimos la frmula:

Observamos que necesitamos hallar du y v :

Se sustituye la frmula:

En stos casos tenemos que ser un poco observadores y recurrir a la siguiente idea-reflexin: Debemos resolver la integral I1, la cual nos parece ms difcil que la propuesta. EstoNos lleva a pensar lo siguiente:O el mtodo elegido (integracin por partes) no es bueno para esta integral o laEleccin de las funciones u y dv no ha sido la adecuadaEn funcin de lo mencionado antes:

Cortamos con lo anterior e intentamos otra eleccin:

Hallemos los elementos que faltan para poder aplicar la frmula:

Omitimos la constante C[footnoteRef:3]. [3: A la final, se agrega al ltimo del ejercicio la constante C, ya que es indefinida, sin embargo al ltimo ha de agregarse pues sobreentindase que es la suma de todas las constantes Ci de integracin ]

Aplicamos la frmula:

Hemos llamado: Debemos resolver la integral I1, la cual nos parece ms fcil que la propuesta. Esto nosAnima a seguir por este camino.Hacemos la eleccin:

Aplicamos la frmula:

Que nos da finalmente:

2.- Integrales trigonomtricas.

2.1 Generalidades e identidades imprescindibles.Se ha investigado mtodos para resolver integrales de productos y potenciasDe funciones trigonomtricas. Todos consisten, esencialmente, en el mtodo de sustitucin junto con algunas identidades trigonomtricas. Las identidades trigonomtricas fundamentales que debemos recordar son:

Y las identidades de la suma de dos ngulos:

Cualquier otra identidad que sea necesaria se deduce a partir de estas, y as lo veremosEn la medida que se necesite. Debemos esforzarnos por aprender a obtener las nuevas identidades a partir de las vistas anteriormente en vez de memorizarlas. 2.3 Integrales de la forma y

Caso en que n es par. Usamos las identidades:

Las cuales se deducen combinando las identidades: Y De la siguiente manera:

Luego de realizada la sustitucin trigonomtrica adecuada, se desarrolla el polinomio deSenos o cosenos y se resuelven cada uno de los sumandos: los de potencia par por esteMtodo y los de potencia impar por el mtodo que se explica en el caso siguiente.Ejemplo primero:

Podemos notar claramente que realizando las sustituciones adecuadas ya puestas, el ejercicio se torna sumamente sencillo, estos casos siempre funcionan como se ha dicho; para cuando se trata de la funcin seno o coseno y n sea una potencia positiva par.2.4 Integrales de la forma En estos casos utilizamos las identidades descrito al inicio de esta seccin de integrales trigonomtricas, naturalmente la idea es obtener solo integrales de cosenos para proceder de la manera misma que el mtodo de 2.3, ntese que tan solo es un caso especial en que difieren los exponentes de cada una de las funciones trigonomtricas que se multiplican.Veamos un primero ejemplo:Primer Ejemplo:

En resolucin, se reemplaza la identidad trigonomtrica sen2 y cos2 por las fundamentales descritas al inicio del apartado, de donde su integracin es fcilmente posible.Notemos con un caso aparentemente ms complejo, sin embargo se notar que en nada lo es, supongamos que a la expresin anterior le multiplicamos nuevamente por cos2.Segundo Ejemplo:

Se procede con el razonamiento anterior y como es menester mencionar, la nica diferencia resalta en el segundo binomio, que sta vez est elevado al cuadrado. Se resuelve el producto notable y se multiplican respectivamente, lo que nos da una expresin fcilmente integrable.Veamos unas pequeas observacin:

2.5 Observaciones: Alternativamente estas integrales pueden resolverse expresando seno en trminos de coseno (o coseno en trminos de seno) mediante la identidad sen 2x + cos2 x = 1, se transforma as a una suma de integrales de una sola de las funciones trigonomtricas que se consideran y se resuelven segn los casos de la seccin 2.3. En la prctica esto resulta ser ms ineficiente que la sustitucin simultnea explicada antes, puesto que aumenta las potencias en vez de disminuirlas.

2.6 Caso en que n o m es impar.Lo veremos mejor explicado con un ejemplo:Primer ejemplo:

Hemos descompuesto el cos3; en dos productos que nos dan el mismo, pero de sta manera se ha podido cambiar por su igual (1-sen2x), acto seguido se ha resuelto como en los casos anteriores. Veamos un segundo ejemplo:

2.7 Integrales de la forma

Para todo n 2, realizamos la descomposicin (tann x) = tan2 x tann-2x. Sustituimos tan2 x por sec2 x 1 y resolvemos por el mtodo de cambio de variable. (Recuerde que tan2 x + 1 = sec2 x, la cual se obtiene dividiendo (4.1) por cos2 x.)

Primer ejemplo:

Con la utilizacin de las relaciones pitagricas se llega una expresin ms simple, integrable para el estudiante.

2.8 Integrales de la forma Existen dos casos, en los que n ser par o caso contrario impar, se toman medidas con respecto a cada una de las soluciones:2.8.1 Caso en que n es parSe realiza la descomposicin:

Se utiliza la identidad y el mtodo de cambio de variable.Vemoslo:Primer ejemplo:

2.8.2 Caso en que n es imparProcedemos a realizar la descomposicin:

Y, luego utilizamos el mtodo de integracin por partes:Ejemplo primero:

Sean:

Entonces:

Sumando a ambos lados de la igualdad y dividiendo entre 2, se puede concluir que:

Las integrales de la forma:

Se resuelven de manera anloga a los ltimos dos casos anteriores, empleando por supuesto las identidades trigonomtricas apropiadas y recordando que:

2.9 Integrales de la forma

2.9.1 Caso en que n es par. Para estos casos recurrimos a hacer la siguiente descomposicin:

De manera que la integral original se transforma en una integral polinmica sencilla.Ejemplo primero:

2.9.2 Caso en que m es impar.Hacemos la siguiente descomposicin:

Y luego realizamos un cambio de variable:

De manera que la integral original se transforma en una integral polinmica sencilla.Ejemplo primero:

2.9.3 Caso en que n es impar y m es par.Expresamos la integral original en trminos de sec x solamente por medio de la transformacin.

Para luego resolver por el mtodo de la integracin por partes.Primer ejemplo:

4.10 Integrales de la forma con n mUtilizamos la identidad:

La cual se obtiene al sumar las identidades:

La cual se obtienen de las identidades bsicas:

Sumamos cada uno de los trminos:Sumando 4.9 y 4.10, se obtiene 4.8, en cambio restando 4.10 4.9, se obtiene 4.7

Ejemplo primero:

Con ste ltimo se finaliza los integrales de expresiones trigonomtricas. Que como hemos visto, estn constituidos por artificios de reemplazos, de las relaciones trigonomtricas elementales.

3.-Integracin por sustitucin trigonomtricaSin un integrando contiene una expresin de la forma:

Donde a > 0 y b > 0, una sustitucin trigonomtrica adecuada transforma la integralOriginal en una que contiene funciones trigonomtricas, ms fcil de resolver en general.Las sustituciones adecuadas son:Si se tiene:

Para devolver el cambio hacemos uso de la definicin geomtrica de las funciones trigonomtricas: en un tringulo rectngulo si t es la medida del ngulo de uno de los catetos a la hipotenusa, entonces sen t = (cateto opuesto/ hipotenusa) , cos t = (cateto adyacente/ hipotenusa) , y las dems funciones trigonomtricas se definen combinando adecuadamente estas dos (e.g. tan t = (sen t / cos t) = (cateto opuesto/cateto adyacente)). Los detalles se ilustran en los siguientes ejemplos.Primer ejemplo:

Ahora retornamos a la variable original de la siguiente manera: Si x = 3sen t entonces:(x/3) = sen t; por lo tanto, en un tringulo rectngulo con uno de sus ngulos de medida tEl cateto opuesto al ngulo t tiene longitud x y la hipotenusa longitud 3. El otro cateto,De acuerdo con el Teorema de Pitgoras, es entonces(9 x2). As se tiene la siguienteFigura:

Este es el tringulo correspondiente a la ecuacin x = 3sen t. A partir de este se deducen las siguientes igualdades: ; y de donde podemos concluir entonces que:

Segundo ejemplo:

Sea x=2 tg ; en consecuencia, dx= 2sec2tdt. Luego,

Retornamos a la variable original: si x = 2tan t entonces x/ 2 = tan t. El tringulo correspondiente a esta ecuacin es:

Por lo tango csct= y cot t= 2/x. Finalmente,

Ejemplo tres:

Completamos cuadrados: x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 y trabajamos con la integral:

Sea x + 1 = 2tan, por lo tanto, dx = 2sec2 d. Entonces:

Volvemos a la variable original. El tringulo rectngulo correspondiente a la ecuacintan = (x+1)/2 es

Del cual se deduce que sen = .Finalmente:

De donde se puede llegar a la respuesta. Con ste ltimo ejemplo se concluye el apartado de integracin por sustitucin trigonomtrica.

4.-Integracin de funciones Racionales[footnoteRef:4] [4: Se le denomina funciones racionales, a la razn entre dos polinomios de grado n y m.]

Nos ocuparemos ahora de la integral de funciones de la forma donde:

Es decir, p(x) es un polinomio de grado m y q(x) es un polinomio de grado n. Observe que, en ambos polinomios, se asume el coeficiente del trmino de mayor grado es 1; esto siempre puede tenerse mediante una simple factorizacin. Adems el caso interesante se presenta cuando m < n; porque si m n, efectuamos la divisin de polinomios para expresar como donde r(x) es un polinomio de menor grado que t(x). Para dividir polinomios utilice el mtodo que ms le convenga (siempre que sea matemticamente valido); uno que a m me agrada consiste en factorizar el denominador y, sucesivamente, construir en el numerador los factores del denominador, uno a uno, haciendo las cancelaciones necesarias, hasta obtener un numerador de menor grado que el denominador. Los siguientes ejemplos sencillos ilustran esta situacin.Primer ejemplo: Observamos que:

Por la tanto;

.

Segundo ejemplo:

Resolvemos as:

Luego:

Ahora, si m < n, descomponemos en un suma de fracciones simples, esto es:

Donde los denominadores de cada fraccin son los factores lineales o cuadrticos (y potencias de estos) que resultan de la factorizacin de q(x) (siendo li y rj las multiplicidades respectivas de estos factores en q(x)). Que tal descomposicin es posible siempre es un importante teorema del algebra cuya demostracin dejamos para el final de ste captulo, y que utiliza, a su vez, el no menos importante teorema fundamental del lgebra (que no demostraremos aqui1) segn el cual todo polinomio, con coeficientes reales, puede factorizarse en un producto de polinomios de grado 1 o 2, irreducibles y con coeficientes reales.De acuerdo con lo antes escrito, estamos asumiendo entonces que nuestro polinomioq(x) viene dado en la forma:Donde los factores de grado 2 son irreducibles en R4.1 Observacin ILa irreducibilidad en R de x2+2bx+c se deduce verificando la desigualdadc b2> 0.Se tienen cuatro casos:Caso 4.2 Los factores de q(x) son todos lineales y ninguno se repite. Es decir,

En ese caso escribimos:

Donde A1, A2, ..., An son nmeros reales que se determinan igualando numeradores yResolviendo las ecuaciones que se obtienen, para distintos valores arbitrarios de x, comoSe ilustra en el siguiente ejemplo. Factorizamos el denominador:

De acuerdo con lo explicado escribimos:

Como los denominadores son iguales, igualamos numeradores:

Y asignando valores arbitrarios a x (preferiblemente que anulen algn factor) obtenemos:

Por lo tanto:

4.3 Observacin IIOtra manera de calcular los coeficientes A1,.. . , An se basa en la siguiente observacin sobre la derivada de q(x). Puesto que:

Donde ninguno de los factores se repite, su derivada tiene la forma:

Por otra parte, si:

Entonces, multiplicando ambos lados por q(x), tenemos:

Observando que, para cada i = 1,. . . , n, el producto de factores lineales que acompaa a Ai Es exactamente el iesimo sumando de q_(x), concluimos que, para cada i = 1, . . . , n,A1=

Es decir, el valor de Ai es igual al cociente de p sobre q_, ambos evaluados en ai, la isima raz del polinomio q. Esta frmula para calcular los coeficientes Ai puede ser mas ventajosa que resolver sistemas de ecuaciones lineales, en particular si q(x) es un polinomio de grado muy grande. Como ejemplo calculemos los coeficientes A y B del ejemplo anterior utilizando esta frmula. Tenemos que q_(x) = 2x y, por lo tanto, A = p(2)/q_(2) = 3/4 y B = p(2)/q_(2) = 1/4. Finalmente, tngase en cuenta que en la deduccin de la frmula (6.2) se utiliz el que q(x) es un producto de factores lineales todos distintos y, por lo tanto, esta frmula no sirve para calcular los Ai de los casos que siguen a continuacin.Caso 4.4Los factores de q(x) son todos lineales y algunos se repiten. Supongamos que (x a) es un factor que se repite k veces. Entonces, correspondiente a ese factor habr, en la descomposicin (6.1), la suma de las k fracciones simples.

Donde A1..Ak son nmeros reales, Luego se procede como en el caso anterior.Ejemplo: Escribamos:

Igualamos numeradores

Y observamos que fcilmente se obtienen A = 7/27 y D = 2/3 si evaluamos la ecuacinAnterior en x = 2 y x = 1 respectivamente. Para obtener los otros dos coeficientes Evaluamos x en 0 y en 1 (y damos los valores hallados a A y D), lo cual da las ecuaciones.

De estas ltimas se obtienen B= 7/9 y C= 23/27 por lo tanto,

4.4 Observacin III:En este caso tambin los coeficientes A1, . . . , Ak, que acompaan a las fracciones Simples correspondientes a cada potencia del factor (x a) que se repite k veces, pueden Calcularse por una frmula que envuelve la derivada de una funcin. Veamos cmo. Si q(x) Se descompone en (x a)kh(x), con h(a) _= 0, entonces:

Multiplicando por (x a)k obtenemos:

De aqu se deduce que A1=

A2= Sucesivamente; hasta:

4.5 Observacin IVLa factorizacin de q(x) contiene factores cuadrticos irreducibles que no se repiten. En este caso al descomponer p(x)/q(x) en una suma de fracciones simples, por cada factor cuadrtico irreducible de q(x), digamos x2+2bx+c, corresponde una fraccin cuyo denominador es el factor cuadrtico y numerador un polinomio de grado 1 con coeficientes indeterminados; es decir, una fraccin de la forma:

Luego se procede a igualar numeradores y resolver las ecuaciones correspondientes para determinar los coeficientes reales, como en el caso anterior.

Ejemplo I

Descomponemos el integrando en fracciones simples:

Y obtenemos:

Para x=3, x= -3 y x=1 se tiene, respectivamente A= 31/108, B=29/108, D= (27A-27B-1)/9= -1/18 y C= (40A-20b-sd-3)/8 = 4/9, Por lo tanto:

Caso 4.5 La factorizacin de q(x) contiene factores cuadrticos irreducibles que se repiten. Supongamos que x2 + 2bx + c es un factor de q(x) que se repite k veces, entonces en la Descomposicin de p(x)/q(x) en suma de fracciones simples debe tenerse correspondiente. Al factor (x2 + 2bx + c)k, la suma de las siguientes k fracciones:

Donde A1, B1..Ak, Bk son nmeros reales a ser determinados como en los casos anteriores:Ejemplo I

Reducimos a fracciones simples:

Igualando numeradores se sigue que:

Igualando coeficientes y resolviendo simultneamente obtenemos A= -1/9, B=1/3, C=1/3, D= 1/9 y E=2/9 Por lo tanto,

Para resolver:

Multiplicamos numerador y denominador por 2 y hacemos la sustitucin:

Y para resolver:

Utilizamos el mtodo de sustitucin trigonomtrico, tomando x + 1 =( 2 tan ) y dx =(2 sec2 d), lo cual nos da el resultado final:

Nota adicional: Veamos una demostracin del teorema que fundamenta los mtodos de ste apartado a saber:5 Teorema de Descomposicin en Fracciones simples (Generalizado)Sea p(x)/q(x) una funcin racional, donde p(x) y q(x) son polinomios con coeficientes reales, grado de p(x) < grado de q(x) y q(x) tiene la siguiente factorizacin en factores lineales y cuadrticos irreducibles con multiplicidades respectivas lj (1 j k) y rj (1 j s):

Entonces:

Se puede expresar como la suma de todas las expresiones obtenidas de la siguiente manera: por cada factor (x a)l de q(x) se tiene una expresin de la forma:

Con A1.At nmeros reales; y por cada factor:

Se tiene una expresin de la forma:

Cabe recalcar que los dos tipos de fracciones que constituyen las expresiones generales anteriores se llaman simples.

6.-INTEGRACIN NUMRICA:En algunos casos las integrales pueden ser an ms complejas, como por ejemplo:

Para un pndulo. Este tipo de integrales tambin puede ser difcil de resolver con base en funciones elementales. Entonces, que se puede hacer al enfrentarse a este tipo de integrales?Existen dos posibles pasos a seguir si no se puede llegar a una solucin analtica de alguna integral.1. Hacer algunas aproximaciones, haciendo algn parmetro pequeo.2. Hacer la integracin numrica.Ambos pasos requieren de un poco de arte, pero en este texto estamos interesados. En el segundo punto. En sta seccin de este trabajo investigativo de anlisis matemtico II se discutir ste tipo de situaciones e incluso como realizar integrales numricas similares, que posean lmites infinitos. Qu tan buena es la aproximacin de una integral con suma?, Este es el tipo de pregunta que el lector tiene que hacer ya que los computadores son realmente buenos sumando, pero malos para integrar. Y a veces, sumar no es eficiente y se requiere ayudar al computador para obtener un resultado preciso y rpido.6.1 Es como un conteo de bloques.La integracin numrica se conoca anteriormente como cuadratura numrica o simplemente cuadratura (Cuadratura en ingls). La integracin numrica de una funcin puede requerir de habilidad matemtica, pero en principio es fcil en un computador. Una forma tradicional de integracin numrica es usar un papel milimetrado y contar el nmero de cajones (cuadrados) que estn por debajo de la curva a integrar. Es por esto que en principio se llama cuadratura (aunque el mtodo sea ms avanzado que contar cajones). Siguiendo la definicin de la integral de Riemman (tal vez la primera definicin rigurosa de la integral de una funcin)

La integral de una funcin f(x) entre a y b. es el lmite de la suma sobre cajones a medida que el espesor h de los cajones aproxima cero. La integracin numrica de una funcin f(x) se aproxima entonces como la suma finita sobre cajones de altura f(x) y espesor wi,

Lo cual se asemeja a la definicin de Riemann, excepto que no hay un lmite. La ecuacin anterior es la forma standard para todos los algoritmos de integracin; la funcin f(x) se evala en N puntos en el intervalo [a, b] a los valores de la funcin fi = f(xi) se suman con una ponderacin o peso wi. Esta sumatoria da la integral exacta solamente cuando N = 1, y puede ser exacta aun si N es finito si la funcin integrable es un polinomio. Los distintos algoritmos de integracin equivalen a diferente seleccin de los pesos wi y de los puntos xi. A medida que N aumenta, as mismo aumenta la precisin (excepto por errores de redondeo o round-off). La mejor aproximacin depende en buena parte de la funcin f(x).Nota adicional:Algunas funciones varan muy lentamente en algunas regiones y es necesario acelerar el decaimiento para sumar ms rpido. Esto se puede hacer Con cambios de variables de tal forma que comprima la regin de inters y sean necesarios menos puntos N

6.2 La regla trapezoidal La primera aproximacin para la integracin numrica es la regla trapezoidal, ilustrada grficamente en la Figura adjunta. La curva a integrar se aproxima con Trapezoides. Cada trapezoide posee un rea proporcional al promedio de la altura de los lados multiplicado por la base (espesor).

Donde el espaciamiento entre puntos es h = (b a)/N. En trminos de la ecuacin antes descrita, los pesos wi siguen la siguiente regla.Regla trapezoidal:

Ilustracin 2La regla trapezoidal6.3 La regla de SimpsonPara cada intervalo, la regla de Simpson aproxima la funcin a integrar f(x)Con una parbola (ver figura 3 a continuacin):

Donde todos los intervalos tienen un muestreo homogneo. Sin la intencin de derivar esta relacin, para el intervalo 1 and +1 la funcin f(x) se puede expresar como la suma ponderada de valores de la funcin en tres puntos, as:

:

Ilustracin 3Aproximacin de una funcin f(x) a ser integrada (Curva roja) usando la regla trapezoidal (Lnea recta) y la regla de Simpson, ambos con lneas negras. Note que la funcin f(x) es dividida en N puntos y la aproximacin se hace en sub-intervalos (i1) en la figura.Esta ltima aproximacin se puede generalizar evaluando la funcin en dos intervalos adyacentes, de tal forma que la funcin f(x) se evala en los dos extremos (i 1) y un punto central (i)

En trminos de nuestra regla de integracin estndar, se obtienen los pesos:

Sin embargo, es importante notar que el nmero de puntos N TIENE que ser impar para la regla de Simpson. Esto puede no ser una dificultad para funciones que se pueden evaluar en cualquier punto, pero si puede ser una limitacin si se tienen datos de campo o de laboratorio.

6.4 Error de integracin:En general, el usuario elige una regla de integracin que resulte en una respuesta precisa realizando la menor cantidad de operaciones, es decir con un valor N tan pequeno como sea posible. Un estimado crudo de la aproximacin o error del algoritmo " y de su error relativo _ expandiendo la funcin f(x) como una serie de Taylor alrededor del punto central del intervalo de integracin. Posteriormente se multiplica el error por el nmero de intervalos N que se ha utilizado para dividir el intervalo total [a, b].

Ilustracin 4Errores de algoritmos de integracin.La ilustracin 4 muestra cono una pequea modificacin en la integracin puede llevar a una proporcionalidad a una derivada de f de mayor orden. Tambin que, como es de esperarse, a un mayor nmero N, un descenso del error. En general, la conclusin fundamental es que la regla de Simpson es una mejora sobre la regla Trapezoidal, con una pequea adicin en la dificultad deLa implementacin del algoritmo.

7.- REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS, LINKOGRFICAS Y ANEXOS.

7.1Referencias bibliogrficas y linkogrficas.Para la realizacin de ste trabajo investigativo se han citado las diversas fuentes:(Louis Leithold, El clculo, Edicin Sptima, OXFORD UNIVERSITY- HARLA MEXICO, S.A. DE S.V., 1998)Traduccin directa por Steven T. Byington, Antonio Romero Juarez y Marcelo Santos Soros, de:(William Anthony Grandville, Elements of the diferential and integral calculus (revised edition) Ginn and Company)Versin en espaol de la obra, por grupo Editorial Iberoamericano S.A.:Earl W Skowski,Calculus with analytic gemoetry- 4th Edition, Pws publishers, 1988)https://www.youtube.com/watch?v=p1s1Hcq43jUhttp://es.slideshare.net/kovovaro/integracin-por-fracciones-parciales-22028519http://www.academia.edu/5881564/Integraci%C3%B3n_por_fracciones_parcialeshttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Fracciones_parcialeshttp://www.alasala.cl/wp-content/uploads/2012/07/capitulo9.pdfhttp://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integracion-mediante-fracciones-parciales-ejemplo-2http://ehernandez.mat.utfsm.cl/MAT021/pdfs/FraccionesParciales.pdf

7.2 Anexos

4