2.1 Teoría del método simplex

Para poder aplicar el método simplex a un modelo de programación lineal es necesario que este se encuentre en su forma estándar.

La forma estándar.

Las características de la forma estándar son:

1.-Todas las restricciones son ecuaciones excepto para las restricciones de

no negatividad que permanecen como desigualdades.

2.-Los elementos del lado derecho de cada ecuación son no negativos.

3.-Todas las variables son no negativas.

4.-la función objetivo es del tipo de Maximización o minimización.

Transformaciones elementales.

1.-Las restricciones de desigualdad pueden cambiarse por ecuaciones

introduciendo en el lado izquierdo de cada una de tales restricciones una

variable no negativa.(estas nuevas variables se conocen como variables de

holgura o superavit las cuales se sumaran si la desigualdad es  (Holgura)

y se restaran si la desigualdad es  (Superávit o exceso).

2.-El signo del lado derecho (-) puede eliminarse multiplicando la ecuación

por  (-1) en caso de que sea necesario.

3.-Una restricción de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor

absoluto puede cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a

la original se le antepone el signo negativo a su lado derecho.

4.-Una variable que es irrestricta en signo ( esto es positiva, negativa o

cero) es equivalente a la  diferencia entre dos variables no negativas por

consiguiente si X es irrestricta en signo puede remplazarse por (X+-X-)

donde X+  y X-  son   0.

5.-Una desigualdad en una dirección ( o ) puede cambiarse a una

desigualdad opuesta ( o ) multiplicando ambos lados por (-1).

6.-Una ecuación puede ser remplazada por dos desigualdades en

direcciones opuestas.

7.-La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a

la maximización de la expresión negativa de esta función –f(x), y viceversa.

El método simplex.

Podemos decir que es la determinación algebraica de los puntos extremos del espacio de soluciones factibles (método gráfico), partiendo de la forma estándar. En la cual tenemos un sistema con m ecuaciones y n incógnitas.

La diferencia entre el número de ecuaciones y las incógnitas nos dan el

número de variables que son iguales a cero en un punto extremo, las

cuales son llamadasvariables no básicas, y las variables restantes son

llamadas básicas.

El método simplex inicia con un punto extremo o solución factible básica.

1.-La función objetivo se presenta como una ecuación y al pasarla a la

tabla simplex cambian de signo los coeficientes de la función objetivo.

2.-Se coloca toda la información en una tabla.

3.-El siguiente paso es determinar una solución básica factible ( punto

extremo). El método simplex hace esto eligiendo una variable no básica a

la cual se le conoce como la variable que entra (se convertirá en básica) y

una variable básica que se le conoce como la variable que sale ( se

convertirá en no básica). La que entra está determinada por la condición

de optimidad y la que sale por la condición de factibilidad.

4.-Condición de optimidad.- Dada la ecuación X0 (función objetivo)

expresada en función de las variables no básicas solamente, se elige la

variable que entra enmaximización como la variable no básica que tiene el

mayor coeficiente negativo y en minimización   como la variable no  básica

que tiene el mayor coeficiente positivo, en la ecuación X0. Un empate entre

dos variable no básicas o más se rompe arbitrariamente. Cuando los

coeficientes del lado izquierdo de la ecuación X0 (Función objetivo)son no

negativos (maximización) o no positivos (minimización) se ha llegado al

punto optimo.

5.-Condición de factibilidad.-La variable que sale es la variable básica

correspondiente al cociente más pequeño de los valores actuales de las

variables básicas entre los coeficientes positivos de las restricciones de la

variable que entra. Un empate puede romperse arbitrariamente.