NOMBRE: ISRAEL PRIETO

CARRERA: 7mo PETROQUIMICA

FECHA: 08-12-2015

TEMA: METODO SIMPLEX

En qué consiste el método simplex.

El método simplex se basa en el álgebra y se lo emplea para resolver problemas de programación lineal tanto de máximos como de mínimos.

Es un proceso repetitivo numérico que permite llegar a una solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solución básica, si esta solución básica factible tomada como punto de partida no satisface es necesario tomar otra solución que nos dé para Z>0< y así sucesivamente hasta llegar a la solución final.

Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas, fue creado por George Detring quien realizo investigación basado en relaciones matemáticas de carácter lineal.

Existen 3 requisitos en la solución en un problema de programación lineal por el método simplex:

1. Todas las imitaciones o restricciones deben estar establecidas como ecuaciones.

2. El segundo de un limitante o restricción, no puede ser negativo.

3. Todas las variables están restringidas a valores no negativos.

Aplicaciones del método simplex.

La aplicación del método del Simplex, se utiliza cuando el problema es de un tamaño suficientemente grande. Está diseñado para problemas de programación lineal cuya matriz tiene la propiedad de diseminación (el número de no-cero es pequeño).

Hay implementaciones del método simple para la solución de problemas de programación lineal con las matrices de restricción escasa.

Se han desarrollado diversas variantes del método simplex que tienen en cuenta las particularidades de las diversas clases especiales de problemas de programación lineal (problemas de bloque, los problemas de transporte y otros).

Este modelo sirve para la correcta interpretación de modelos de decisión

basados en descripciones matemáticas con la finalidad de ayudar en la toma de

decisiones en situaciones de incertidumbre.

Restricciones.

Normalización de las restricciones

Otra de las condiciones del modelo estándar del problema es que todas las restricciones sean ecuaciones de igualdad (también llamadas restricciones de igualdad), por lo que hay que convertir las restricciones de desigualdad o inecuaciones en dichas identidades matemáticas.

La condición de no negatividad de las variables (x1,..., xn ≥ 0) es la única excepción y se mantiene tal cual.

Restricción de tipo "≤"

Para normalizar una restricción con una desigualdad del tipo "≤", hay que añadir una nueva variable, llamada variable de holgura xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la ecuación correspondiente (que ahora sí será una identidad matemática o ecuación de igualdad).

a11·x1 + a12·x2 ≤ b1 a11·x1 + a12·x2 + 1·xs = b1

Restricción de tipo "≥"

En caso de una desigualdad del tipo "≥", también hay que añadir una nueva variable llamada variable de exceso xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en la ecuación correspondiente.

Surge ahora un problema con la condición de no negatividad con esta nueva variable del problema. Las inecuaciones que contengan una desigualdad de tipo "≥" quedarían:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Al realizar la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero. En este caso la nueva variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1 y no cumpliría la condición de no negatividad. Es necesario añadir otra nueva variable xr, llamada variable artificial, que también aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo y sumando en la restricción correspondiente. Quedando entonces de la siguiente manera:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1·xr = b1

Restricción de tipo "="

Al contrario de lo que cabría pensar, para las restricciones de tipo "=" (aunque ya son identidades) también es necesario agregar variables artificiales xr. Como en el caso anterior, su coeficiente será cero en la función objetivo y aparecerá sumando en la restricción correspondiente.

a11·x1 + a12·x2 = b1 a11·x1 + a12·x2 + 1·xr = b1

En el último caso se hace patente que las variables artificiales suponen una violación de las leyes del álgebra, por lo que será necesario asegurar que dichas variables artificiales tengan un valor 0 en la solución final. De esto se encarga el método de las Dos Fases y por ello siempre que aparezcan este tipo de variables habrá que realizarlo.

Variables de holgura y exceso

El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iníciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slackor surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".

Variable artificial / método de la "m"

Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad.

Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M grande, donde M significa un número demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).

EJERCICIO

Aplicar del método simplex para el siguiente programa lineal

Max (z)=100x1+200x 2

x1+ x2≤80

0.8x 1+2x 2≤124

x1 , x2≥0

Para convertir las inecuaciones en ecuaciones se añade una variable de holgura por cada ecuación, con lo que queda:

Max (z)=100x1+200x 2+s1+s2

x1+ x2+s1=80

0.8x 1+2x 2+s2=124

x1 , x2 , s1 , s2≥0

Hacemos x1=0 , x2=0, el sistema de ecuaciones es anterior es equivalente a resolver:

s1+0 s2=80

0 s1+s2=124

Cj 100 200 0 0 xB cB β x1 x2 s1 s2 RATIOSs1 0 80 1 1 1 0 80s2 0 124 0.8 2 0 1 62

Zj 0 0 0 0 CjZj 100 200 0 0

En términos numéricos el valor de los costes reducidos se calcula de la siguiente forma:

z1= 0*1 + 0*0,8 = 0 c1 – z1 = 100 – 0 = 100

z2= 0*1 + 0*2 = 0 c2 – z2 = 200 – 0 = 200

z3=0*1 + 0*0 = 0 c3 – z3 = 0 – 0 = 0

z4 = 0*0 + 0*1 = 0 c4 – z4 = 0 – 0 = 0

En la solución inicial estos ratios son (80/ 1=80; 124/2=62).

El mínimo es 62 y, por tanto, sale de la base la variable s2. La próxima Base está formada, por lo tanto, por las variables (s1, x2). En la tabla la iteración 0 se ha marcado el pivote (y=2 ) en la celda sombreada.

Fila s2:

β=124/2

x1 = 0,8/2

x2 = 2/2

s1 = 0/2

s2 = 1/2

Fila s1:

β=80-(62*1) = 18

x1 = 1-(0,4*1) = 0,6

x2 = 1-(1*1) = 0

s1 = 1-(0*1) = 1

s2 = 0-(1/2*1) = -1/2

Cj 100 200 0 0

xB cB β x1 x2 s1 s2 RATIOSs1 0 18 0.6 0 1 -0,5 30s2 200 62 0.4 1 0 0,5 155

Zj 80 200 0 100 Cj-Zj 20 0 0 -100

El coste reducido de la variable (no básica) (x1=20) es positivo. Luego no estamos en el óptimo y debe aplicarse la regla de entrada en la base.

Bibliografía:

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el- ingeniero- industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/

http://msimplexuniguajira.blogspot.com/2013/11/ventajas-y-desventajas-del- metodo.html

https://unijeancarlosioind.files.wordpress.com/2012/08/informe-metodo- simplex.pdf

http://www.phpsimplex.com/ teoria_metodo_simplex.htm#normalizacion_restricciones