Método Simplex - JRVARGAS · simplex, primero debemos eliminar las desigualdades en las...

Método Simplex

M.C. Ing. Julio Rito Vargas A. Agosto 2008

Universidad Nacional de Ingeniería

Sede: UNI-Norte

Investigación de Operaciones I

Modelos de Programación Matemática

Programación Lineal

. El Método Simplex

Ejemplo.

Resolver el siguiente problema de P.L.

Max

s. a:

21 34 xxz

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

0,

602

40

21

21

21

xx

xx

xx

Para resolver por el método

simplex, primero debemos

eliminar las desigualdades en

las restricciones. Eso se logra

introduciendo variables

artificiales o de holguras.

En la primer restricción

sumamos una variable x3 para

establecer la igualdad. Lo

mismo hacemos con la segunda

restricción, le sumamos una

variable x4.



El Método Simplex

Ejemplo.

Modelo ampliado

Max

0,

602

40

:.

00034

21

421

321

4321

xx

xxx

xxx

as

xxxxZ

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

Las variables artificiales

que hemos introducidos

en las restricciones,

serán parte de la función

objetivo pero tendrán

coeficiente cero, ya que

deben alterar los

resultados del modelo.

La función objetivo se

iguala a cero, por

simples transformaciones

algebraicas.



El Método Simplex.

Iteración 0:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z -4 -3 0 0 0

X3 1 1 1 0 40

X4 2 1 0 1 60

En la primera iteración

se hace tomando en

cuenta cual es valor

más negativo de la

primer fila (fila de Z),

puede verse que es -

4, esto determina que

la variable que entrará

a las VB será x1.

Cada valor de la columna seleccionada que no sea ni cero ni negativo

se divisor de sus lados derechos respectivos, esto es 40/1 y 60/2, el

cociente más pequeño determinará la VB que sale. En este caso sale

x4.



El Método Simplex.

Iteración 0:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z -4 -3 0 0 0

X3 1 1 1 0 40

X1 1 1/2 0 1/2 30

Una vez seleccionada

la columna y fila

pivote, procedemos a

través de

transformaciones de

filas a hacer cero los

valores de la columna

pivote excepto el

número pivote que

tiene que ser uno.



El Método Simplex.

Iteración 0:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z 0 -1 0 2 120

X3 0 1/2 1 -1/2 10

X1 1 1/2 0 1/2 30



El Método Simplex.

Iteración 1:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z 0 -1 0 2 120

X3 0 1/2 1 -1/2 10

X1 1 1/2 0 1/2 30

2f2f2



El Método Simplex.

Iteración 1:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z 0 -1 0 2 120

X2 0 1 2 -1 20

X1 1 1/2 0 1/2 30-1/2f2+f3 f3



El Método Simplex.

Iteración 1:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z 0 -1 0 2 120

X2 0 1 2 -1 20

X1 1 0 -1 1 20



El Método Simplex.

Iteración 1:

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

VB x1 x2 X3 x4LD

Z 0 0 2 1 140

X2 0 1 2 -1 20

X1 1 0 -1 1 20

f2+f1 -->f1

llegamos a la solución óptima, al no haber valores negativos en la

primer fila. Por tanto x2=20 y x1=20 con max z=140 (óptimo)



En este caso:

60

40

3,4

b

c

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

1012

0111, IA

4

3

x

xX

X

XX

B

B

N



Iteración 0:

Entonces:

Solución factible (0,0,40,60) Z=0

1

10

01

BB

Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

4

3

x

xX B

60

40

60

40

10

01

4

3

x

x

0,0c

060

400,0

BB Xcz



Iteración 1:

Entonces:


Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

1

3

x

xX B

30

10

60

40

2

10

2

11

1

3

x

x

4,0c 120

30

104,0

BB Xcz

2

10

2

11

20

111BB



Iteración 2:

Entonces:


Inv

esti

gació

n d

e O

pera

cio

nes

1

2

x

xX B

20

20

60

40

11

12

1

2

x

x

4,3c 140

20

204,3

BB Xcz

11

12

21

111BB

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