UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 1de 15Marzo 06 Conceptos Bsicos Enmuchasocasioneslafuncinquenecesitamosoptimizarest determinada por ms de dos variables independientes, estos es, la funcin objetivo y las restricciones tienen tres o ms variables. Para estos casos el mtodo grfico no es aplicable debido a que necesitamos un eje cartesiano porcadavariableindependiente,peropodemosrecurriraunmtodo algebraico llamado mtodo Simplex. El mtodo consiste en convertir el sistema de desigualdades en un sistema deigualdadesconlarestriccindetenertodaslasvariablespositivas. Debidoaqueelsistemadeigualdadestendrmsvariablesque ecuaciones,existenunnmeroinfinitodesoluciones.Elmtodobuscala solucinptima(mximaomnima)deeseconjuntoinfinitode soluciones.

Primeroconvertimoscadarestriccinenunaigualdadintroduciendouna variablenonegativadiferenteencadarestriccin(sinconsiderarlas restriccionesnaturales),alacualllamamosvariabledeholgura. Representamoselconjuntodeecuacionesmatricialmenteincluyendola funcinobjetivoenunamatrizaumentadaotablasmplex.Esposible probarqueelvalorptimodelafuncinobjetivosepresentacuando algunasdelasvariablessoncero,adichasolucinlallamamossolucin bsica, si cumple con todas las igualdades generadas y las variables son no negativas, entonces se denomina solucin bsica factible (SBF). Silaprimeratablasmplexrepresentaunasolucinbsicafactible, entoncesnosdamosalalabordeencontrarotraSBFquemejoreelvalor de la funcin objetivo, esto se logra mediante reduccin de renglones en la matrizaumentada.Parapoderdecidirlasoperacionesderenglonesa realizarseutilizanalgunoscriteriosquedetallamosenlossiguientes ejemplos. UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 2de 15Marzo 06 Ejemplo 1. Se desea maximizar la funcin: Z = 2x + 3y, sujeta a las restricciones x > 0, y > 0, x + 4y s 9, y 2x + ys 4. Cada restriccin se convierte en igualdad mediante la introduccin de una variable de holgura que debe sumarse a la partemenor de la desigualdad, en nuestro ejemplo, al lado izquierdo: Si u, v > 0 entonces 4 2 4 29 4 9 4= + + s += + + s +v y x y xu y x y x Demaneraqueelsistemadeecuacionesincluyendolafuncinobjetivo tiene la siguiente representacin matricial: Zvuv u y xZ y xv y xu y x0 0 3 34 1 0 1 29 0 1 4 1

3 24 39 4= += + += + + Observamos que el conjunto de soluciones para este sistema es: Si x = 0 y y = 0 entonces u = 9 y v = 4 Esteconjuntodevaloresconstituyeunasolucinbsicafactiblequenos permiteinicializarelmtodo:partimosdelvalorZ=0ytrataremosde optimizarlo,ennuestroejemploestosignificaincrementarlo,dadoque realizamos una maximizacin de la funcin objetivo. UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 3de 15Marzo 06 Paralograrlametaanteriorintercambiamosalgunadelasvariablesque valenceroporunavariablecuyovalornoesceromediantereduccinde renglones. Llamamos ax y y variables de entrada,mientras queu y v son lasvariablesdesalidayalrenglndelafuncinobjetivolellamamos indicadores. En una maximizacin la primera variable de entrada la determinamos con el indicador ms grande: xyuv u14109 v21014 2300Z variable de entrada: y Paraentenderestaeleccinsiescribimoslaecuacincorrespondienteal rengln de los indicadores: 2x + 3y = Z siy=0yx>0,porejemplox=1,obtenemosunincrementode2enZ, pero si x = 0 y y > 0 por ejemplo y = 1 el incremento de Z es de 3 unidades. Por tanto, conviene que y deje de ser cero para tomar un valor mayor. Ahoradividimoslostrminosindependientesentreloscoeficientesdela variabledeentraday:elcocientemspequeopositivodeterminala variable de salida: xyuv u141099/4variable de salida: u v210144/1 2300Z variable de entrada: y UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 4de 15Marzo 06 Demaneraquedebemostransformarlacolumna 314yen 001upormediode reduccin de renglones, obteniendo la siguiente matriz: xyuv y1/411/409/4 v7/401/417/4 5/403/40Z27/4 En esta matriz podemos leer los siguientes valores: six = 0, u = 0 entonces y = 9/4, v = 7/4 y Z = 27/4. Esta solucin es factible ya que cumple con el conjunto de restricciones y es mejor que nuestra solucin inicial (Z = 0), sin embargo ser la solucin ptima?Paradeterminarloescribimoslaecuacincorrespondienteal rengln de los indicadores: 45x 43u = Z 427 Despejando Z tenemos: Z = 427 + 45x 43u Podemos observar que Z puede incrementarse si u = 0 y x > 0, por tanto, la solucin encontrada no es ptima. Podemos mecanizar el anlisis anterior notandoquesiunindicadorpermanecepositivo,dichoindicadorpermite incrementarelvalordelafuncin,as,elprocesodemaximizacinno termina mientras existan indicadores positivos. UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 5de 15Marzo 06 Repetimos el procedimiento de transformar una variable de entrada en una de salida: xyuv y1/411/409/49/4 1/4 v7/401/417/47/4 7/4 5/403/40Z27/4 variable de entrada: xvariable de salida: v Debemostransformarlacolumna 4 / 54 / 74 / 1en 010pormediodereduccinde renglones, obteniendo la matriz: xyuv y012/71/72 x101/74/71 004/75/7Z8 Observamosquenoquedanindicadorespositivosyportantohemos terminado la maximizacin. Los valores obtenidos son: si u = 0, v = 0 entonces x = 1, y = 2 con Z = 8. De manera que el mximo valor de Z es 8 y se obtiene con x = 1 y y = 2. Ejemplo2.MaximizarZ=x+3y+4z,sujetaalasrestricciones siguientes: x, y, z > 0; x + y + z s 5; UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 6de 15Marzo 06 2x + y + 2z s 8; 3x + 2y + z s 11

Establecemoslasigualdadescorrespondientesconlavariablesdeholgura y la matriz aumentada: Si u, v, w > 0 entonces Zwvuw v u z y xZ z y xw z y xv z y xu z y x0 0 0 4 3 111 1 0 0 1 2 38 0 1 0 2 1 25 0 0 1 1 1 1 4 311 3 38 2 25= + += + + += + + += + + + Observamos que la solucin propuesta por esta matriz (x, y, z = 0, u = 5, v = 8 y w = 11), es una solucin factible, por tanto, nos damos a la tarea de iniciar el procedimiento de maximizacin. Las variables de entrada y salida son z y v, respectivamente: xyzuvw U1111005 v2120108 w32100111 134000Z Demaneraquetransformamoslacolumnazenvobteniendolasiguiente matriz: xyzuvw u01/201 1/2 01 z11/2101/204 w23/200 1/2 17 3 100 2 0 Z16 UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 7de 15Marzo 06 Observamosqueantenemosindicadorespositivos,asquelanueva variabledeentradaesyylavariabledesalidaesu,usandoreduccinde renglones obtenemos la siguiente matriz: xyzuvw y0101 1 02 z101 1 103 w200 3 114 -300 21 0 Z18 Dondepodemosobservarquelosindicadoressonnegativosocero,por tanto,elprocesodemaximizacinhaterminadoteniendoquelos siguientes valores: Siu ,v, x = 0 entonces y = 2, z = 3 y w = 4 y el valor mximo de la funcin es Z = 18. As, se obtiene el mximo de Z = 18 con x = 0,y = 2 y z = 3. Es posible que en un ejercicio de optimizacin la solucin trivial (x = 0 y y = 0) no sea una solucin factible, como lo ilustramos con el Ejemplo 3. Maximizar Z = 2x 3y, sujeta a las restricciones siguientes: x, y > 0; 3x + 5y > 30; 5x + 4y s 40; Establecemoslasigualdadescorrespondientesconlavariablesdeholgura y la matriz aumentada: Si u, v > 0 entonces Zvuv u y xZ y xv y xu y x0 0 3 240 1 0 4 530 0 1 5 33 240 4 530 5 3= = + += + UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 8de 15Marzo 06 Observamos que la solucin bsica no es factible: Si x = 0, y = 0 entonces u = 30 y v = 40 Demaneraquebuscamosunasolucinbsicafactibleantesdeiniciarel proceso de maximizacin. Para ello suponemos a x y y variables de entrada yanalizamosloscuatrococientes,tomamoselmspequeopara seleccionar las variables de entraday salida, en este casoyes variable de entrada y u es variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: xyuv y 3/51 1/50 6 v13/504/5116 19/50 3/5 0Z+18 Observamosquelasolucinbsicaesfactible,portanto,iniciamosel proceso de maximizacin. Seleccionamos a x como variable de entrada y v como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: xyuv y0 1 5/133/13 30/13 x104/135/1380/13 00 23/1319/13Z70/13 Podemosafirmarquehemosterminadolamaximizacin,yaquelos indicadores son no positivos y tenemos u, v = 0, con x = 1380 y y = 1330. De manera que el mximo es de Z = 1370 con x = 1380 y y = 1330. Ahora resolvemos un problema de maximizacin de utilidades: Ejemplo 4. Una compaa elabora dos productos, P y Q. Cada unidad de P requiere3horasenlaprimeramquinay5horasenunasegunda mquina.CadaunidaddeQdemanda4horasenlaprimeramquinay3 UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 9de 15Marzo 06 horas en la segunda mquina. Se dispone de110 horas a lasemana en la primeramquinayde120horasenlasegunda.Silacompaaobtiene utilidad de $80 porcada unidad de P y $60 por cada unidad de Q, cunto deber de producirse decada unidad con objeto demaximizar la utilidad total? Podemos organizar los datos en la siguiente tabla: Mquina I Mquina II Utilidad Producto P (x)3580 Producto Q (y)4360 Disponibilidad110120 El conjunto de desigualdades que actan como restricciones son: x > 0, y > 0 3x + 4y s 110 5x + 3y s 120 Y funcin de objetivo a maximizar es: P = 80x + 60y. Lasigualdadesobtenidasalintroducirlasvariablesdeholgura correspondientes (u, v > 0) junto que la funcin objetivo son: 3x + 4y + u = 110 5x + 3y + v = 120 80x + 60y = P La matriz aumentada es: xyuv u3410110 v5301120 806000P Notemosquelasolucinpropuestaesfactible(todaslasvariablessonno negativas:x,y=0,u=110,v=120).Lavariabledeentradaesxyla UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 10de 15Marzo 06 variabledesalidaesv,realizandolastransformacionesporreduccinde renglones obtenemos la siguiente matriz: xyuv u011/51 3/5 38 x13/501/524 0120 16P1920 Donde la variable de entrada es y y la variable de salida es u, al terminar la reduccin de renglones correspondiente obtenemos la siguiente matriz: xyuv y015/11 3/11 190/11 x10 3/11 4/11150/11 00 60/11140/11P2127.27 De donde obtenemos los valores x = 13.63 y y = 17.27 con u, v = 0, obteniendo una valor de P = 2,127.27 Clculo de Mnimos por Mtodo Simplex El mtodo Simplex est diseado inicialmente para mximos, sin embargo, es posible aplicarlo amnimos con las consideraciones necesarias. Dichas consideraciones las ilustraremos en el siguiente Ejemplo5.MinimizarlafuncinZ=x+4yconlasrestricciones siguientes: x > 0 y > 0 x + 3y > 6 2x + y > 7 UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 11de 15Marzo 06 El sistema de ecuaciones que se obtiene al agregar las variables de holgura es el siguiente: x + 3y u = 6 2x + y v = 7 x + 4y = Z Y la tabla smplex correspondiente es: xyuv u13 1 06 v210 1 7 1400Z La solucin obtenida de esta matriz no es factible: si x = 0 y y = 0 tenemos que u = 6 y v = 7 Portanto,buscamosunasolucinfactible.Tomamosycomovariablede entrada y u como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: xyuv y 1/31 1/30 2 v5/301/3 1 5 1/3 04/30 Z8 La solucin x = 0, u = 0, y = 2 y v = 5 an no es factible, de manera que seleccionamosxcomovariabledeentradayvcomovariabledesalida, obteniendo la siguiente matriz: xyuv y0 1 2/5 1/51 x 1 0 1/5 3/5 3 007/5 1/5Z7 UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 12de 15Marzo 06 La solucin encontrada es factible: u = 0, v = 0, x = 3, y = 1 y Z = 7 Del rengln de los indicadores podemos escribir las siguientes ecuaciones: 7/5u 1/5v = Z 7Z = 7 + 7/5u 1/5v PodemosobservarqueunvalorpositivodeuincrementaelvalordeZ, pero una valor positivo de v disminuye el valor de Z. Podemos generalizar diciendoque,enelclculodemnimos,antagnicamentealclculode mximos,elindicadornegativomspequeonossealalavariablede entrada.Elprocesodeminimizacinterminacuandolosindicadoressean positivos o cero. Iniciamos la minimizacin seleccionando a v como variable de entrada y y como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: xyuv v0 5 2 15 x 13 10 6 0110 Z6 Observamosquelosindicadoressonpositivosocero,portanto,hemos terminadolaminimizacin:siy=0,u=0entoncesx=6yv=0para obtener Z = 6. El mnimo valor de Z es 6 y se obtiene con x = 6 y y = 0. EJERCICIOS A)DeterminalosvaloresmximosdelafuncinobjetivoZsujetasalas restricciones dadas aplicando el mtodo Simplex. 1.- Z = 3x + 4 2.- Z = 3x + 2y x > 0,y > 0x > 0,y > 0 2x + y s 3 2x + y s 4 x + 2y s 5 UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 13de 15Marzo 06 3.- Z = 2( x + y ) 4.- Z = 5x + y x > 0,y > 0x > 0,y > 0 6x + 5y s 173x +y s 7 4x + 9y s 17x +y s 3 x + 2y s 5 5.- Z = x + 3y 6.- Z = 3x + 3y x > 0,y > 0 x > 0,y > 0 2x + 3y s 63x + 2y s 6 2x + y s 5x + 2y s 4 x + 4y s 6 7.- Z = x + 2y - z8.-Z = 2x - y + 3z x,y,z, > 0 x, y, z, > 0 2x +y +z s 4x + 3y + z s 5 x + 4y + 2z s 52x + 2y + z s 7 9.- Z = x + y + z10.-Z = 3x + y + 4z x, y,z, > 0 x,y, z,> 0 x +2y +zs 5x + 2y+ 2zs 9 2x+y + 2zs 72x + y +3zs13 2x + 3y + 4zs 133x + 2y +zs 13 B)DeterminalosvaloresmnimosdelafuncinobjetivoZsujetaalas restricciones dadas utilizando el mtodo Simplex. 11.- Z = x + y12.- Z = x + 2y x > 0,y > 0 x > 0,y > 0 x +3y > 6x + y > 5 2x +y > 7x + 4y > 8 13.- Z = x + 4y14.- Z = x - y 0 s x s 4x > 0,y > 0 0 sys 4x +y > 4 0 sys 7x +2ys 10 15.- Z = x + 2y16.-Z = x + y x > 0,y > 0 - s y - x s 2 UTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 14de 15Marzo 06 2x + y > 7 y + 2x s 8 2y - x > - 1y + 4x > 7 2x - y > - 3 17.- Z = x + 2y18.-Z= x + 3y +4z x > 0, y > 0 x, y, z, > 0 y + x > - 1 x + y + z >4 3y -x > -2. 2x + y + 2z > 6

C) Resuelve los problemas siguientes utilizando el mtodo Simplex. 19.-Una compaa destiladora tiene dos gradosde whisky en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca super consta de dos terceras partesdelgradoIyunatercerapartedelgradoII.Lacompaadisponede3000 galones del grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galn de la marca regularproduceuna utilidadde$5,mientrasquecadagaln delsuper produceuna utilidadde$6.Cuntosgalonesdecadamarcadeberaproducirlacompaaafinde maximizar sus utilidades? 20.-Una compaa vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla ms barata contieneun80%decacahuatesyun20%denueces,mientrasquelamscara contiene50%decadatipo.Cadasemanalacompaaobtiene1800kilosde cacahuates y 1200 kilos de nuecesde susfuentes de suministros. Cuntos kilos de cada mezcla deberan producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $10 porcada kilo de la mezcla ms barata y $15 por cada kilo de la mezcla ms cara? 21.- Una compaa produce dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2horasencadamquinay5horasenunasegundamquina.CadaunidaddeB demanda 4 horas en la primera mquina y 3 horas en la segunda mquina. Se dispone de100 horas a lasemana en la primera mquina y de 110 horas en la segunda. Si la compaa obtiene utilidad de $70 porcada unidad de A y $50 por cada unidad de B, cunto deber de producirse y venderse decada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? 22.- Una compaa vende tres diferentes tipos de frituras, el tipo regular contiene 80%decacahuate,20%denuecesynocontienepistaches;lamezclasuperUTEQCarrera de Administracin Elabor: Arturo Corona Pegueros 15de 15Marzo 06 contiene 50% de cacahuates, 30% de nueces y 20% de pistaches y la mezcla de lujo contiene30% de cacahuates, 30% denueces y 40%de pistaches. La empresa tiene asegurados suministrospor 4300 libras de cacahuate, 2500 de nueces y 2200 libras de pistaches a la semana. Si lautilidad es de 10 centavos por libras de cada mezcla, Cuntas libras de cada una deberan venderseconobjeto de maximizar la utilidad total? 23.-Unacompaaposeedosminas,PyQ.Cadatoneladademineraldela primera mina produce 50 libras de cobre, 4 libras decinc y una libra de molibdeno. Cada tonelada de mineral procedente de Qproduce 15 libras de cobre, 8 de cincy 3 librasdemolibdeno.Lacompaadebeproduciralmenos87,500,16,000y5000librasalasemanadeestostresmetales,respectivamente.Sitieneuncostode$50 por tonelada obtener mineralde P y $60 por tonelada extraerlo de la mina Q, cunto mineral deber obtenerse de cada mina conobjeto de cumplir losrequerimientos de produccin aun costo mnimo? Y para obtener una utilidad mxima? Cul es esta utilidad mxima? Elaborado por: Arturo Corona Pegueros Academia de Matemticas Carrera de Administracin Universidad Tecnolgica de Quertaro Comentarios y sugerencias: acorona@uteq.edu.mx ltima actualizacin: Marzo 2006