MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE

2X2

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (2X2)

donde x e y son las incógnitas, a, a’, b y b’ son los coeficientes y c y c’ son los términos independientes.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:

Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con

dos incógnitas3X-Y=92X +3Y= 5

Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que resten -9 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya suma sea 5. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos

POSIBILIDAD DE SOLUCIONES

Una solución del sistema es un par de números “x” e “y” reales que al sustituirlos en las dos ecuaciones las verifiquen.

Cuando un sistema tiene solución se dice que es compatible; en caso contrario será incompatible. Los sistemas compatibles pueden tener una única solución o infinitas soluciones.

El análisis de las diferentes soluciones de un sistema sería el

siguiente:

En este caso se llama sistema compatible indeterminado.Esto se producirá cuando todos los coeficientes que forman una y otra ecuación seanproporcionales, es decir :

A/A’ = B/B’ = C/C’( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 , c’ ≠ 0 porque no existe la división por cero )

Gráficamente significaría que ambas rectas son la misma, son coincidentes

a) Infinitas soluciones

b) Solución única

En este caso se llama sistema compatible determinado. Loscoeficientes de las incógnitas no serán proporcionales , es decir:A/A’ ≠ B/B’

( con a’ ≠ 0 y b’ ≠ 0 )

Gráficamente significaría que ambas rectas se cortan en un único punto

c) No tenga solución

En este caso se llama sistema incompatible. Los coeficientes de x e y serán proporcionales pero no a los términos independientes, es decir :

A/A’ = B/B’ ≠ C/C’( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 y c’ ≠ 0)

Gráficamente esto ocurrirá cuando las dos rectas no tengan puntos comunes es decir sean paralelas

Existen cuatro métodos o técnicas básicas para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

MÉTODO DE IGUALACIÓN

MÉTODO DE REDUCCIÓN (+ Y -)

MÉTODO DE DETERMINANTES

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

MÉTODO POR REPRESENTACION GRAFICA

EJEMPLO

Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema

3X+Y=7X+2Y=-1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Despejando de la primer ecuación la variable “y” se obtiene:

Sustituyendo en la segunda ecuación:

Y = 7 − 3X (*)

X + 2.(7 − 3X) = −1

y aplicando distintas operaciones se llega:

X+14-6X=1 => -5X+14=-1 -5 X--------- => X=3 -5

volviendo a la ecuación (*) se obtiene que

Entonces las soluciones son:X = 3 E Y = -2

Y = 7 – 3.3 ⇒ Y = -2

Verificación:3X+Y=7X+2Y=-1

se reemplaza por los valores obtenidos:

3.3+(-2)=73+2.(-2)-1⇒

7=7-1=-1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar de ambas ecuaciones una misma variable y luego igualar.

3X+Y=7X+2Y=-1

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Despejando de la primer y segunda ecuación la variable “y” se obtiene:

Y=7-3X

Y=-1-X(*)______

2

Igualando: multiplicando cruzado se llega a:2.(7 − 3X) = −1− X

aplicando distributiva:14 − 6X = −1− X

agrupando variables: 14+1 = −x +6 x ⇒15 = x se llega a el valor

__5

de: x = 3 volviendo a las ecuaciones (*) se obtiene el valor de y = -2

MÉTODO DE REDUCCIÓN + O -

Consiste en multiplicar una (o ambas) ecuación (es) por números reales que permitan igualar los coeficientes de una de las variables, para luego sumar o restar las ecuaciones y anular dicha variable.Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga

este sistema:

3X+Y=7X+2Y=-1

OPCIÓN I:Si quisiéramos anular la variable x, tendríamos que multiplicar a la segunda ecuación por “3” y luego restarlas. Es equivalente a multiplicarla por “-3” y sumar las ecuaciones.Multiplicando por “-3” a la segunda

ecuación nos queda:3X+Y=7-3X-6Y=3

Sumando ambas ecuaciones:

3X+Y=7

-3X-6Y=3

0X-5Y=10________ ⇒ Y =

10___

5Y = -2⇒

Al valor de “y” se lo reemplaza en la primer o segunda ecuación y se obtiene

el de “x”,

ejemplo reemplazando en la segunda: x + 2.(−2) = −1⇒ x − 4 = −1⇒ x = −1+ 4

entonces x = 3

OPCIÓN I:

OPCIÓN II:

La otra posibilidad era la de cancelar la variable “y”, para ello convenía multiplicar a la primer ecuación por “-2” :-6X-2Y=-14

X+2Y=-1sumando ambas ecuaciones

16X-2Y=-14X+2Y=-1

-5X- 0Y =-15

_________ ⇒X = -15 5___ ⇒ X = 3

Teniendo el valor de “x” se reemplaza en alguna de las ecuaciones como por ejemplo

en la primer ecuación :

3.3 + Y = 7⇒9 + Y = 7⇒ Y = 7 − 9 ENTONCES Y = -2

OPCIÓN II:

MÉTODO POR DETERMINANTES

Este método tiene una justificación teórica no tan sencilla como suresolución. En este nivel de conocimientos, adoptaremos la practicidad de hallar las soluciones de las variables a través del cálculo por determinantes sin entrar en el desarrollo formal de ellos.

Partimos de un sistema de ecuaciones ordenado

como el del ejemplo anterior:3X+Y=7X+2Y=-1

MÉTODO POR DETERMINANTES

(en el miembro de la derecha de cada ecuación se encuentra los términos de la variable “x” e “y” , y en el miembro del lado derecho el término independiente)

3 1 1 2

Δ= =3.2-1.1=6-1=5

Leyendo por columna son los coeficientes de “x” y son los coeficientes de “y”

31

12

MÉTODO POR DETERMINANTES

También se calculan otros dos determinantes x Δ y Δ y

La columna de los coeficientes de “x” se

reemplazó por la de los términos

independientes

La columna de los coeficientes de “y” se reemplazó por lade los términos independientes

=3.(-1)-1.7=-3-7=-10=7.2-(-1).1=14-1=15ΔX= ΔY= 7 1 -1 2

3 7 1 -1

Ahora calculamos la variable “x” como

X=--------Δx

Δ

y la variable “y” comoy=--------Δy

Δ

Resulta en el ejemplo que las soluciones son:

X=---------=-------=3Δx

Δ15 5

MÉTODO POR DETERMINANTES

Y=---------=-------=-2ΔyΔ

-10 5

MÉTODO GRAFICO

Un sistema puede resolverse en forma gráfica. Su solución resulta ser la intersección de dos rectas.De cada una de las ecuaciones se despeja la variable “y”, para transformar a la ecuación en una función de “y” dependiendo de “x”, se grafica cada función, que resulta ser una recta (por tener la variable “x” elevada a la primer potencia).¿Cómo graficar estas rectas?█ Podemos armar una tabla de valores o graficarla usando el concepto de pendiente y ordenada al origen

MÉTODO GRAFICO

Resolver analítica y gráficamente el siguiente sistema:

-2X+Y=-7X+Y=2

Para resolverlo analíticamente podemos aplicar cualquiera de los métodos antes mencionados

(Sustitución, igualación, reducción). Llegamos a obtener la siguiente solución:

x = 3 e y = -1

Resolución gráfica:

Para este ejemplo armaremos dos sencillas tablas, recomendando representar por lo mínimo tres puntos (si bien una recta se determina con dos puntos, no es conveniente representar sólo dos, porque puede calcularse alguno mal y graficar en consecuenciaincorrectamente)Despejando de ambas ecuación la variable “y” se obtiene: Y=-X+2

Y=2X-7

MÉTODO GRAFICO

MÉTODO GRAFICO

Armando tablas de valores y graficando se obtiene:

X Y=-x+2

0 2

1 1

2 0

X Y=2x-7

0 -7

1 -5

2 -3

( 3; -1) Es el punto deintersección de las rectas:es decir la solución gráfica,coincidente con la que seencontró en forma analítica.

MÉTODO GRAFICO

MUCHAS GRACIAS