Métodos de Análisis Ingenieril

SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S

Métodos de AnálisisIngenieril

Ecuaciones Algebraicas Lineales

M.C. Fco. Javier de la Garza S.Cuerpo Académico Sistemas Integrados

de ManufacturaGama.fime.uanl.mx/~jdelagar

[email protected]


Capítulo 9

Eliminación de Gauss

2


• Una ecuación de la forma ax+by+c=0 ó su equivalente ax+by=-c se le llama ecuación lineal en las variables x y y.

• ax+by+cz=d es una ecuación lineal en tres variables x, y y z.

• Una ecuación lineal de n variables se representa como a1x1+a2x2+ … +anxn = b

• La solución de esta ecuación consiste de los números reales c1, c2, c3, … , cn. Si se requiere trabajar con más de una ecuación lineal entonces se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales simultaneas.

Ecuaciones Algebraicas Lineales


Métodos para la Solución de Sistemas de Ecuaciones sin

Computadora

• Para un número pequeño de ecuaciones (n ≤ 3) las ecuaciones lineales pueden solucionarse con técnicas simples.

• El álgebra lineal brinda las herramientas para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones lineales.

• En la actualidad las computadoras permiten la solución de grandes conjuntos de ecuaciones lineales.


Solución de un Número Pequeño de Ecuaciones

• Existen muchas formas de solucionar un sistema de ecuaciones lineales:– Método Gráfico– Regla de Cramer– Método de Eliminación– Métodos por Computadora

Para n ≤ 3

Eliminación de Gauss


Métodos Gráficos

• Para dos ecuaciones:

• Resolver ambas ecuaciones para x2:

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

22

21

22

212

1212

11

12

112 ónintercepci)(pendiente

ab

xaa

x

xxab

xaa

x


• Graficar x2 vs. x1, la intersección de las líneas es la solución.


Métodos Gráficos

• O igualar para solucionar por x1

12

11

22

21

12

1

22

2

12

11

22

21

22

2

12

1

1

22

2

12

11

12

11

22

21

22

21

22

21

12

11

12

112

0

aa

aa

ab

ab

aa

aa

ab

ab

x

a

b

a

bx

a

a

a

a

a

bx

a

a

a

bx

a

ax


Sin solución Solución infinita Sistema mal condicionado

.Pendientes

muy cercanas


Determinantes y la Regla de Cramer

• El determinante se puede ilustrar mediante el conjunto de tres ecuaciones:

• Donde A es la matriz de coeficientes:

bAx

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A


• Si se supone que todas las matrices son cuadradas, hay un número asociado con cada matriz A llamado determinante D (D=det (A)). Si [A] es de primer orden, entonces [A] tiene un elemento:A=[a11]

D=a11

• Para una matriz de 2° orden, A= el determinante es D= a11 a22-a21 a12

a11 a12

a21 a22


223132213231

222113

233133213331

232112

233233223332

232211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaD

aaaaaa

aaD

aaaaaa

aaD

aaa

aaa

aaa

D

• Para una matriz de 3er orden:


3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaD

• La regla de Cramer expresa la solución de un sistema de ecuaciones lineales como una fracción de dos determinantes con denominador D:

D

aab

aab

aab

x 33323

23222

13121

1 D

aba

aba

aba

x 33331

23221

13111

2 D

baa

baa

baa

x 33231

22221

11211

3


Método de Eliminación

• La estrategia básica es solucionar una de las ecuaciones para una de las incógnitas y eliminar esa variables en las ecuaciones restantes por substitución.

• La eliminación de incógnitas puede extenderse a sistemas con más de 2 ó 3 ecuaciones, sin embargo, este método se vuelve muy tedioso para realizarse a mano.


Eliminación de Gauss Simple

• Extensión del método de eliminación para grandes sistemas de ecuaciones desarrollando un esquema sistemático o algorítmico para eliminar incógnitas y sustituir hacia atrás.

• Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para n ecuaciones consiste en dos fases:– Eliminación de incógnitas– Sustitución hacia atrás.


Desventajas de los Métodos de Eliminación

• División entre cero. Es posible que en las fases de eliminación y sustitución hacia atrás ocurra una división entre cero.

• Errores de Redondeo. Existen debido al uso de un número limitado de decimales.

• Sistemas mal condicionados. Sistemas en los que pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución. Esto debido a que dos o más ecuaciones son similares y un amplio rango de resultados puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada. Los errores por redondeo pueden inducir pequeños cambios en los coeficientes, estos cambios pueden generar grandes errores en su solución.


• Sistemas Singulares. Cuando dos ecuaciones son idénticas se pierde un grado de libertad y se daría un caso imposible de n-1 ecuaciones con n incógnitas. Tales casos podrían no ser obvios cuando se tienen grandes conjuntos de ecuaciones. El hecho de que el determinante de un sistema singular es cero puede usarse en un algoritmo después de la etapa de eliminación. Si se crea un elemento diagonal en cero, se termina el cálculo.


Técnicas para mejorar las soluciones

• Uso de más cifras significativas.• Pivoteo. Cuando un elemento pivote

es cero, la normalización origina una división entre cero. También surge el problema cuando el elemento pivote es cercano a cero. Se puede evitar:– Pivoteo parcial. Cambiar las filas para

que el elemento mayor sea el pivote.– Pivoteo total. Buscar el mayor elemento

en filas y columnas y entonces cambiar.


Gauss-Jordan• Es una variante de la eliminación de

Gauss. Las principales diferencias son:– Cuando una incógnita se elimina, ésta es

eliminada de todas las ecuaciones en lugar de hacerlo sólo en las subsecuentes.

– Todas las filas se normalizan al dividirlas entre su elemento pivote.

– El paso de eliminación genera una matriz de identidad.

– En consecuencia, no es necesario usar la solución hacia atrás para obtener la solución.

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