Modelos de Distribucin

Modelos de Distribucin

INTRODUCCINEl comportamiento de una variable aleatoria queda descrita por su distribucin de probabilidad.En muchas tareas estadsticas, se busca determinar una distribucin de probabilidad o modelo probabilstico que satisfaga un conjunto de supuestos, para estudiar los resultados observados de un experimento aleatorio.Se pueden definir muchas distribuciones de probabilidad tanto de variable aleatoria discreta como de variable aleatoria continua.Algunas variables aleatorias se adaptan muy bien a una serie de problemas prcticos y aparecen con bastante frecuencia. Por tanto, un estudio detallado de las mismas facilita bastante la construccin de las correspondientes funciones de probabilidad, como tambin de sus principales parmetros. As, para un problema dado, verificaremos si satisface las condiciones de los modelos conocidos, pues esto facilita bastante nuestro trabajo. En esta seccin estudiaremos alguno de estos modelos, tratando de enfatizar las condiciones en que stas aparecen, su funcin de probabilidad, parmetros, como encontrar probabilidades y para concluir con algunos ejemplos para quedar en claro cada una de las probabilidades.

INDICEIntroduccin i.Pgina.1. DISTRIBUCIN DISCRETA1.1. Distribucin Uniforme discreta 1.1.1. Funcin de Probabilidad 051.1.2. Teorema 051.1.3. Demostracin 051.2. Distribucin de Bernoulli 1.2.1. Definicin 061.2.2. Ensayo de Bernoulli 061.2.3. Funcin de probabilidad 061.2.4. Demostracin 071.3. Distribucin Binomial1.3.1. Experimento Binomial 071.3.2. Variable Binomial 071.3.3. Funcin de probabilidad 081.3.4. Teorema 091.3.5. Demostracin091.4. Distribucin Geomtrica1.4.1. Experimento geomtrico 091.4.2. Variable geomtrica 091.4.3. Funcin de probabilidad 091.4.4. Teorema 101.4.5. Demostracin 101.5. Distribucin de Pascal o binomial negativa 1.5.1. Experimento binomial negativo o de Pascal 101.5.2. Funcin de probabilidad 111.5.3. Teorema 121.5.4. Demostracin 12

1.6. Distribucin Hipergeomtrica1.6.1. Definicn 131.6.2. Funcin de probabilidad 131.6.3. Torema 131.7. Distribucin de Poisson1.7.1. Funcin de probabilidad 141.7.2. Teorema 141.7.3. Demostracin 151.8. Ejemplos2. DISTRIBUCIN CONTINUA2.1. Distribucin uniforme 2.1.1. Funcin de densidad 172.1.2. Grfica 172.1.3. Teorema 172.1.4. Demostracin 182.2. Distribucin normal2.2.1. Funcin de densidad 182.2.2. Grfica 182.2.3. Propiedades 182.2.4. Teorema 192.2.5. Demostracin 192.3. Distribucin Gamma2.3.1. Funcin de distribucin 202.3.2. Propiedades 202.3.3. Teorema2.3.4. Demostracin 212.3.5. Grfica 212.4. Distribucin exponencial2.4.1. Funcin de densidad 222.4.2. Grfica 222.5. Distribucin chi-cuadrado2.5.1. Funcin de densidad 232.5.2. Grfica 242.5.3. Propiedades 242.5.4. Uso de la tabla Chi-cuadrado 252.6. Distribucin t de Student2.6.1. Funcin de densidad 252.6.2. Uso de la tabla t-Student 252.7. Distribucin F 2.7.1. Funcin de densidad 261.7.1. Grfica 261.7.2. Uso de la tabla F 271.7.3. Teorema 271.7.4. Demostracin 272.8. Ejemplos CONCLUSIONES ii.BIBLIOGRAFIA iii.

1. DISTRIBUCION DISCRETA1.1. Distribucin Uniforme DiscretaSe dice que una variable aleatoria discreta que toma valores = 1, =N tiene distribucin uniforme.1.1.1. Funcin de ProbabilidadSu funcin de probabilidad es dado por:

1.1.2. TeoremaSi es una variable aleatoria que tiene distribucin uniforme discreta, entonces:i) ii) iii)

1.1.3. Demostracini) ii)

iii)

1.2. Distribucin de Bernoulli 1.2.1. DefinicinLa variable aleatoria X definida en de manera que atribuye a E el valor 1 y a F el valor 0, se denomina variable aleatoria de Bernoull. 1.2.2. Ensayo de BernoulliEs un experimento que tiene dos posibles resultados mutuamente excluyentes, generalmente llamados xito y fracaso.Ejemplo: a) En el lanzamiento de una moneda loa resultados posibles son cara o sello.b) En el lanzamiento de un dado los resultados posibles son nmero 5 diferentes de 5.c) En la seleccin de una pieza de un lote de 500 piezas. Los resultados posibles son defectuosos o no defectuosos.d) En la seleccin de una persona al azar de un grupo de 1,000. Los resultados posibles son hombre o mujer.En todos estos casos, podemos estar interesados en la ocurrencia de un xito (ocurrencia de una cara, nmero 5, pieza defectuosa, etc.) o fracaso (ocurrencia de sello, nmero diferente de 5, pieza buena, etc.).

1.2.3. Funcin de probabilidadLa variable aleatoria , que toma solamente dos valores 0 y 1.

Se denomina variable aleatoria de Bernoulli, donde el parmetro p satisface y

De la definicin tenemos: y 1.2.4. TeoremaSi x es una variable aleatoria con distribucin Bernoulli de parmetro p, entonces:i) ii) iii) 1.2.5. Demostracini) ii) iii) 1.3. Distribucin Binomial1.3.1. Experimento binomialSe denomina experimento binomial a un nmero fijo, n, de repeticiones independientes de un experimento aleatorio de Bernoull, y por lo tanto, se caracteriza porque:a. Las n pruebas son estadsticamente independientes.b. Los resultados de cada prueba son dos mutuamente excluyentes, xito (E) y fracaso (F).c. La probabilidad p de xito es invariante en cada una de las pruebas.El espacio muestral del experimento binomial es el conjunto:

1.3.2. Variable Binomial

Se denomina variable binomial a la variable aleatoria X definida en como el nmero de xitos que ocurren en las n pruebas de Bernoull. Los posibles valores de X son: 0, 1, 2, 3, , n. Si k es cualquier valor de la variable binomial, el evento [X k] consiste de todos los elementos de que contengan k xitos(E) y fracasos (F). La probabilidad de cada uno de estos eventos elementales es igual a . El nmero de estos eventos elementales es igual a:

Por tanto, la probabilidad de obtener k xitos en n pruebas Bernoull es,

Para verificar que la suma de las probabilidades binomiales es igual a 1, se

utiliza el binomio: .En efecto,

1.3.3. Funcin de probabilidadSe dice que la variable aleatoria X definida como el nmero de xitos que ocurren en las n pruebas de Bernoull, tiene distribucin binomial con parmetros n y p y se escribe , si su funcin de probabilidad es:

NOTA. Sean, n variables aleatorias independientes de Bernoull con distribucin para cada. Entonces, la suma de esta n variable aleatoria independiente representa el nmero de xitos en n ensayos de Bernoull, esto es, la variable aleatoria:

cuyos valores son: 0,1,2,..., n, tiene distribucin Binomial .1.3.4. Teorema

Si , entoncesi) ii) 1.3.5. Demostracini) ii)

1.4. Distribucin Geomtrica1.4.1. Experimento geomtricoSe denomina experimento geomtrico a las repeticiones independientes de un experimento aleatorio de Bernoull hasta obtener el primer xito. En cada ensayo de Bernoull puede ocurrir un xito (E) con probabilidad p o un fracaso (F) con probabilidad, siendo.1.4.2. Variable geomtricaSe denomina variable geomtrica a la variable aleatoria X definida como el nmero repeticiones independientes de un ensayo de Bernoull hasta que resulte el primer xito. Los posibles valores de X son: 1, 2, 3,..., etc... Si k es uno de los valores de la variable, el evento, consiste del suceso elemental de que contenga los primeros resultados fracasos y el ltimo o k-simo resultado un xito. La probabilidad de que ocurra el primer xito en la k-sima prueba es igual a,

1.4.3. Funcin de probabilidadSe dice que la variable aleatoria X que se define como el nmero de repeticiones independientes de un ensayo de Bernoull hasta que ocurra el primer xito, tiene distribucin de probabilidad geomtrica con parmetro p y se escribe, si su funcin de probabilidad es:

Para probar que la suma de las probabilidades geomtricas es igual a 1, se utiliza la suma infinita:

, si

En efecto, 1.4.4. TeoremaSi X es una variable aleatoria con distribucin geomtrica de parmetro p, entonces:i)

ii)

1.4.5. Demostracini) ii)

1.5. Distribucin de Pascal o binomial negativa 1.5.1. Experimento binomial negativo o de Pascal

Se denomina experimento binomial negativo o de Pascal a las repeticiones independientes de un experimento aleatorio de Bernoull hasta obtener el xito nmero r. En cada ensayo de Bernoull puede ocurrir un xito con probabilidad p o un fracaso con probabilidad .

A la variable aleatoria X que se define como el nmero de intentos hasta que ocurra el xito nmero r se le denomina variable aleatoria binomial negativa o de Pascal. Su rango es el conjunto:

Si k RX, el evento ocurre, si resulta xito en la k-sima prueba y en las restantes pruebas resultan xitos y fracasos. Luego, la probabilidad de tener el r-simo xito en la k-sima prueba es igual a:

1.5.2. Funcin de probabilidad

Si se repite en forma independiente un ensayo de Bernoull, donde cada resultado puede ser un xito con probabilidad p o un fracaso con probabilidad se dice que la variable aleatoria X que se define como el nmero de intentos hasta que ocurran r xitos, tiene distribucin binomial negativa o de Pascal con parmetros r y p y se escribe X ~ P(r, p), si su funcin de probabilidad es:

Para verificar que la suma de las probabilidades de Pascal es igual a uno, se usa la siguiente serie binomial negativa:

NOTA. Sean , r variables aleatorias independientes cada una con distribucin geomtrica G(p), tales que:X1 es el nmero de repeticiones necesarias hasta la ocurrencia del primer xito (E).X2 es el nmero de repeticiones entre la primera ocurrencia de E hasta la segunda ocurrencia de E. ... Etc.Xr es el nmero de repeticiones necesarias entre la ocurrencia de E hasta la r-sima ocurrencia de E.Entonces, la variable aleatoria:

es el nmero de repeticiones independientes de un ensayo de Bernoull hasta que se obtenga el xito nmero r. Luego, X tiene distribucin de Pascal con parmetros r y p.1.5.3. TeoremaSi x es una variable aleatoria con distribucin binomial negativa con parmetros r y p, entonces:i) ii) 1.5.4. Demostracini) Sean , r variables aleatorias independientes cada una con distribucin geomtrica, G(p), entonces, la variable aleatoria:

tiene distribucin de Pascal con parmetros r y p. Luego,

ii)

1.6. Distribucin Hipergeomtrica1.6.1. DefinicinEste modelo se utiliza cuando consideramos extracciones de una poblacin que est dividida en dos caractersticas, y estas extracciones son hechas sin reposicin. Para ilustrar, consideremos una poblacin de N elementos, donde r de los cuales tienen caracterstica A, y N-r tiene caracterstica B. un grupo de n elementos es seleccionado aleatoriamente de esta poblacin, sin reemplazamiento, y sea X la variable aleatoria de inters que denota el nmero de elementos del grupo que tienen la caracterstica A. 1.6.2. Funcin de probabilidadSe dice que una variable aleatoria X que denota el nmero de elementos que poseen la caracterstica A en una muestra aleatoria de tamao n seleccionada de una poblacin de N elementos de los cuales r tiene caracterstica A y N-r caracterstica B, tiene distribucin hipergeomtrica, si su funcin de probabilidad es dado por:

Donde mx. La notacin que utilizar ser x1.6.3. TeoremaSi X es una variable aleatoria con distribucin hupergeomtrica H(N,n,r), entonces:i) ii)

2.9. Distribucin de PoissonSe dice que la variable aleatoria discreta X, cuyos valores posibles son: 0,1,2,..., tiene distribucin de Poisson con parmetro y se escribe X~P().2.9.1. Funcin de probabilidad

Para verificar que la suma de las probabilidades de Poisson es igual a 1, se utiliza la suma

En efecto, La distribucin de Poisson se aplica a problemas donde la variable aleatoria es el nmero de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, o en una regin plana (con un promedio dado), por ejemplo, entre otros:* Nmero de llamadas que recibe una central telefnica en el perodo de un minuto.* Nmero de accidentes de trabajo que ocurren en una fbrica durante una semana.* Nmero de fallas en la superficie de una cermica rectangular.* Nmero de bacterias en un volumen de un de agua.2.9.2. TeoremaSi X ~ P(), entonces: i) Media: ii) Varianza: 2.9.3. Demostracini)

ii)

2.10. EjemplosEjemplo 1. Un matemtico fumador de pipas lleva consigo, todas las veces, 2 cajas de fsforos, 1 en su bolsillo izquierdo y en su bolsillo derecho. Cada vez que l requiere de un fsforo la toma con igual probabilidad de uno de sus bolsillos. Considere el momento cuando el matemtico descubre primero que una de sus cajas de fsforos est vaca. Si se supone que cada caja de fsforos contiene inicialmente N fsforos, Cul es la probabilidad de que haya exactamente k fsforos en la otra caja, k=0,1,, n? SOLUCIN. Sea el evento E: el matemtico descubre primero que la caja de fsforos del bolsillo derecho est vaco y que hay exactamente k fsforos en la caja del bolsillo izquierdo. Este evento ocurrir si y slo si la seleccin N+1 de la caja del bolsillo derecho es hecho en el ensayo N+1+N-K. Luego el experimento es un experimento binomial negativa con p=1/2, r=n+1, x=N-K, entonces:

Como hay igual probabilidad de que el matemtico descubra primero que la caja del bolsillo izquierdo est vaco y que hay exactamente k fsforos en la caja del bolsillo derecho entonces la probabilidad deseada es:

Ejemplo2. Una urna contiene N bolas blancas y M negras. Las bolas son aleatoriamente seleccionadas de la urna, una en cada extraccin, hasta obtener una bola negra. Si suponemos que cada bola seleccionada es regresada antes de la siguiente extraccin, Cul es la probabilidad de que?a) exactamente N extracciones son necesariasb) por lo menos k extracciones son necesariasSOLUCIN.Sea x la variable aleatoria que denota al nmero de extracciones necesarias antes de obtener la bola negra, entonces x tiene distribucin geomtrica con parmetro y Luego:a) b)

3. DISTRIBUCIONES CONTINUAS2.1. Distribucin uniforme

Se dice que la variable aleatoria continua, X, tiene distribucin uniforme (o rectangular) en el intervalo [a, b], y se describe por si su funcin de densidad de probabilidad es

2.1.1. Funcin de densidadLa funcin de distribucin del modelo uniforme es:

2.1.2. GrficaLa grfica de la funcin de densidad y de la distribucin acumulada se dan en la figura 2.1.

Figura 7.1 Funcin de densidad y de distribucin acumulada uniforme2.1.3. TeoremaSi X es una variable aleatoria continua con distribucin uniforme en , entonces:i)

ii)

2.1.4. Demostracini) ii)

2.2. Distribucin normal

Se dice que la variable aleatoria continua, X, que toma los valores reales, se distribuye normalmente (o ms brevemente es normal) con parmetros y se describe por .2.2.1. Funcin de densidadSu funcin de densidad es:

Donde: 2.2.2. Grfica

2.2.3. Propiedades A partir de su grfica y del anlisis de su funcin de densidad, la curva normal tiene las siguientes propiedades:1.

Es simtrica con respecto al eje vertical , ya que slo depende de x mediante la expresin , luego:

2. Tiene valor mximo en (su moda). Este valor mximo es:

3. Tiene al eje X como una asntota horizontal, ya que

4.

Tiene puntos de inflexin en , por tanto, es cncava hacia abajo en el intervalo y cncava hacia arriba en cualquier otra parte.5. El rea total que encierra la curva y el eje X es igual a 1.2.2.4. TeoremaSi la variable aleatoria X tiene distribucin normali)

ii)

2.2.5. Demostracini)

Haciendo , resulta , y , luego,

ii)

Haciendo , resulta , y , luego,

Luego 2.3. Distribucin Gamma

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribucin gamma, con parmetros , y se representa por , si su funcin de densidad es:

donde y son constantes positivas.2.3.1. Funcin GammaLa funcin Gamma, denotada por r (), es dada por:

Donde es un nmero real positivo2.3.2. Propiedades1.

Si , entonces, .

En efecto, haciendo , en la funcin gamma, e integrando por partes, se obtiene,

Luego, .2.

3.

4.

Si es igual a un nmero entero: , entonces,

En efecto, aplicando: , repetidamente, resulta,

.

Luego, .

2.3.3. Teorema

Si , entonces, a) Media: , b) Varianza: 2.3.4. Demostracina)

Si , entonces, , y , luego,

b)

Si entonces, y

Luego,

2.3.5. Grfica

La figura es la grfica de la distribucin gamma cuando , para ,, .

2.4. Distribucin exponencialDiremos que una variable aleatoria continua X tiene distribucin exponencial con parmetro (0).2.4.1. Funcin de densidad

2.4.2. GrficaEs un modelo apropiado a vida til de objetos.

NOTA. La distribucin exponencial es un caso particular de la distribucin gamma cuando . Luego, si la variable aleatoria X tiene distribucin exponencial con parmetro o , entonces tiene,

a) Media: b) Varianza:

Por otra parte, su funcin de distribucin acumulada en el intervalo es: ,

Observar tambin que: 2.5. Distribucin chi-cuadrado

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribucin chi-cuadrado con r grados de libertad, y se representa por 2.5.1. Funcin de densidad

donde r es un nmero entero positivo.

2.5.2. Grfica

NOTA. La distribucin chi-cuadrado es un caso particular de la distribucin gamma, cuando y . Luego, si o si , entonces, su media y su varianza respectivamente son:

a) y b)

2.5.3. PropiedadesLas siguientes proposiciones (cuya prueba omitimos) son de importancia para el desarrollo de este texto.

1) Si , entonces, .

2) Si , son r variables aleatorias independientes tales que , para cada i 1,2,3,...,r, entonces,

Con frecuencia, , se define como la suma de los cuadrados de r variables aleatorias independientes distribuidas cada una como . 3) Propiedad reproductiva de la distribucin chi-cuadrado

Si , son k variables aleatorias independientes tales que , para cada i 1,2,3,...,k, entonces,

2.5.4. Uso de la tabla chi-cuadrado

Si la variable aleatoria X se distribuye como una chi-cuadrado con r grados de libertad, esto es, si , entonces, en la tabla de probabilidades chi-cuadrado se puede encontrar una probabilidad o un valor , mediante la relacin

como se indica en la figura 7.8.

2.6. Distribucin t de Student

Se dice que una variable aleatoria continua T se distribuye segn t-student (ms brevemente segn t) con r grados de libertad y se representa por ,2.6.1. Funcin de densidad

donde r es un entero positivo.2.6.2. Uso de la tabla t-Student

Si la variable aleatoria T tiene distribucin t-Student con r grados de libertad, o , en la tabla de probabilidades t-Student se puede encontrar una probabilidad o un valor mediante la relacin: P[c X c] 0.95, implica P[X c] 0.975, luego c 2.228.Por interpolacin:

Valor t :

reas respectivas :

Luego, , de donde resulta .

3.1. Distribucin F

Se dice que una variable aleatoria continua X se distribuye segn F con y grados de libertad y se representa por ,3.1.1. Funcin de densidad

donde y , son nmeros enteros positivos3.1.2. Grfica

3.1.3. Uso de la tabla F

Si la variable aleatoria , en la tabla de probabilidades F se puede encontrar una probabilidad o un valor , mediante la relacin: , como se indica en la figura 7.12.

Para determinar valores de F correspondientes a reas , 0.01, 0.025, 0.05, o para determinar probabilidades correspondientes a valores de se usa el teorema siguiente:

3.1.4. Teorema

Si X tiene distribucin F con grados de libertad y , entonces, tiene distribucin F con grados de libertad y , esto es,

3.1.5. Demostracin

Por otra parte, se distribuye segn , entonces, , esto es,

3.2. EjemplosEjemplo 1. Alberto y Mara acuerdan encontrarse en la plaza San Martn entre las 7:00 pm y 8:00 pm. Cada uno espera al otro ms de 10 minutos. Hallar la probabilidad de que se encuentren:a) Sabiendo que Alberto llega a las 7:30 pm.b) Sabiendo que cualquiera de ellos llega en cualquier momento, al azar.SOLUCION.Dividiendo la hora de 7:00 a 8:00 pm. En 60 minutos, consideremos que cualquiera de ellos llega en un momento entre 0 y 60.Sean las variables aleatorias:X: momento de llegada de Alberto entre Y: momento de llegada de Mara entre Luego, X e Y son variable aleatoria continuas con distribucin uniforme entre 0 y 60, y sus funciones de densidad son:

a) Como Alberto llega a las 7:30 pm, entonces para que se encuentre, Mara debe llegar entre las 7:20 y 7:40 pm., esto es, entre el momento 20 y el momento 40. Luego la probabilidad pedida es:

b) Las v.a. X e Y son independientes. Luego la funcin de densidad conjunta de X e Y es:

La probabilidad de que se encuentren en cualquier momento es:

=

Ejemplo 2. Si , hallar:

a) a tal que , si .

b) a y b tales que , , si

c) a tal que , si .SOLUCION.

a) 53.67.

b) De , se tiene , resultando

Por otra parte, , de donde resulta,

, entonces , 5.01.c) Por interpolacin:

Area acumulada:

valor de chi-cuadrado:

luego, , de donde se obtiene 1.8267.

4. DISTRIBUCIONES MUESTRALES4.1 Poblacin y Muestra Aleatoria 4.1.1 Poblacin. Es el conjunto con referencia al cual se desea hacer alguna investigacin determinada. El nmero de elementos que forman la poblacin y que indicaremos con la letra N, se llama tamao de la poblacin. Recordemos que la poblacin puede ser finita o infinita. Si el nmero de elementos de una poblacin es elevado se la considera para el tratamiento estadstico, en algunos casos como infinita. 4.1.2 Muestra aleatoria.El requisito fundamental de una buena muestra es que sea representativa de la poblacin que trata de describir. La palabra representativa es la clave de esta idea. El objetivo de los tcnicos de muestreo es que cada elemento de la poblacin tenga una oportunidad igual e independiente de ser incluido en la muestra. Estos procesos de muestreo conducen a una muestra aleatoria. Veamos aqu una definicin precisa de muestra aleatoria.

4.2. Parmetros y Estadsticos o Estadgrafos 4.2.1 ParmetrosUn parmetro es una caracterizacin numrica de la distribucin de la poblacin de manera que describe, parcial o completamente, la funcin de densidad de probabilidad de la caracterstica de inters.Ejemplo. Cuando se especifica el parmetro de una distribucin exponencial se describe de manera completa la funcin de densidad de probabilidad como:

Una vez que se conoce el parmetro , puede formularse cualquier proposicin probabilstica de inters. Por ejemplo:

Observacin. El o los parmetros inherentes a un modelo de probabilidad, son desconocidos y por tanto es imposible calcular las probabilidades deseadas. Por esta razn los parmetros se estiman en base a los llamados estadsticos o estadgrafos que, a su vez, se obtienen a partir de la informacin contenida en una muestra aleatoria. Antes de dar la definicin de estadstico, debe notarse que un parmetro es una constante fija cuyo valor se desconoce.4.2.2 Estadsticos o Estadgrafos Definicin. Sea (X1, X2,, Xn) una muestra aleatoria de una variable aleatoria X. Cualquier funcin real Y = H(X1, X2,, Xn) de las observaciones de la muestra se llama estadstico o estadgrafoAlgunos estadsticos importantes Sea (X1, X2,, Xn) una muestra aleatoria de la v.a. X. Definiremos algunos estadsticos importantes. Media muestral

Es estadstico X toma el valor cuando:

En la prctica el trmino media muestral se aplica tanto al estadstico X como a su valor calculado x . Varianza muestral

La razn para dividir por n-1 es que de esta forma, como veremos ms adelante (cuando se estudien los procedimientos de estimacin), la medida de variabilidad resultante es el mejor estimador de la varianza poblacional (desconocida). Desviacin estndar

Observar que la varianza muestral S2 se mide en trmino del cuadrado de las unidades originales de las mediciones. As, si la varianza muestral se expresa en kilogramos al cuadrado para datos originales en kilogramos, al extraer la raz cuadrada positiva de S2, obtenemos la desviacin estndar muestral, que regresa la medida de variabilidad a las unidades originales de las mediciones.

Mnimo muestral

Mximo muestral

Rango muestral

4.3. Esperanza y Varianza de la Media Muestral Supongamos que (X1, X2,,Xn) es una muestra aleatoria de la v.a. X. La media muestral de esas n observaciones ser:

Queremos saber cul es la distribucin de X , dado que se trata de una variable aleatoria y podemos hallar su distribucin. 1. Calcularemos primero la esperanza matemtica de X . Si llamamos E(X) = tendremos que E(Xi) = , i = 1, 2,, n; dado que cada Xi (i = 1, 2,, n) es una v.a. idntica a X (por definicin de muestra aleatoria). Entonces:

2. Calcularemos ahora la varianza de X para ver la dispersin de los distintos valores de medias muestrales, alrededor de . Llamaremos 2 ( )CONCLUSIONES1. Los valores de las medidas caractersticas que se obtienen de una muestra sern slo una aproximacin de los valores de las medidas caractersticas de la poblacin. 2. Los valores obtenidos de las medidas caractersticas que se obtienen dependern de la muestra utilizada. Muestras diferentes darn valores diferentes por tanto Var

BIBLIOGRAFA1. MIACC MEZA, Mximo (1996), Tpicos de estadstica descriptiva y probabilidad Lima, Per.2. Crdova Zamora, Estadstica GeneralPgina 26