Mtodos de integracin numrica

Hemos visto que al tener nuestro circuito elementos reactivos, la solucin del mismo viene determinada por un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. As, por lo general, las ecuaciones del sistema tendrn la forma:F(x, x', t) = 0 Los mtodos de resolucin numrica no proporcionan la solucin en forma continua, sino discreta. La solucin se calcula despus de haber determinado etc. Evidentemente as es el funcionamiento bsico de condensadores y bobinas cuyo estado depende de las condiciones actuales y del estado anterior. El error local de truncamiento (ELT) es proporcional al paso del intervalo: , o tambin, y se define como el error de la solucin suponiendo que las soluciones en intervalos de tiempo anteriores ( etc) son exactas. El error total de depender del ELT que se origina en y del ELT de las anteriores soluciones. Recordemos que para bajar el ELT en ANALOGIA.EXE debemos elevar la frecuencia de muestreo en las opciones de muestreo del men de opciones. En el programa, el paso de integracin es fijo y definible en las opciones de muestreo, aunque como veremos existen algoritmos para calcular el ELT en cada momento y disminuir el paso de integracin si supera un cierto lmite, pero son tcnicas excesivamente complicadas que se aplican en los programas profesionales de anlisis. En general, para un cierto mtodo de solucin, se puede obtener o bien en funcin de un nico valor anterior, por ejemplo, o bien mediante una funcin de p valores previos. En el primer caso tenemos un mtodo de un solo paso, y en el segundo un mtodo multipaso. Por otra parte, el clculo de se puede hacer mediante una frmula explcita, como por ejemplo:

o bien mediante una implcita, como por ejemplo:

siendo necesaria una iteracin para calcular. En cualquier caso es deseable que la solucin tienda a la exacta cuando el paso h se hace ms pequeo y que sea calculable prcticamente. Antes de continuar con los distintos mtodos y sus caractersticos, avanzar que en ANALOGIA.EXE se ha usado el mtodo trapezoidal, que es implcito y de un solo paso. Al exponer a continuacin otros tipos de anlisis veremos el por qu de la eleccin del mtodo del trapecio. Mtodos de integracin numrica - Mtodo directo (explcito) de EulerLa primera posibilidad para la aproximacin es el desarrollo en serie de Taylor:

para lo cual necesitamos conocer las derivadas de x con respecto al tiempo. El error de truncamiento producido ser (resto en la forma de Lagrange):

directamente del desarrollo de Taylor, podemos escribir:

siendo el trmino con la segunda derivada el ELT, producindose un mtodo de integracin explcita:

La grfica anterior es la interpretacin geomtrica de este mtodo, ya que es la aproximacin de la funcin x(t) por la tangente dibujada en el punto anterior. Vemos pues que para el valor exacto de x es y mediante la aproximacin obtenemos el valor . Mtodos de integracin numrica - Mtodo directo de Euler. Equivalentes de bobina y condensador En ANALOGIA.EXE disponemos de tres elementos elctricos pasivos: resistencias, bobinas y condensadores. Es a estos dos ltimos a los que hay que aplicar las tcnicas de integracin que simulan su comportamiento, por lo que vamos a ver como es posible dibujar el esquema elctrico del modelo matemtico escogido como aproximacin (en este apartado el mtodo directo de Euler). La integracin de una funcin f(t) por el mtodo directo de Euler se puede escribir como: Para una inductancia se verifica que: por lo cual, mediante la aproximacin directa de Euler queda como: Este resultado se puede interpretar elctricamente como el siguiente circuito: En el caso de una capacidad, sabemos que: es decir: por lo cual, mediante la aproximacin directa de Euler queda como: Esta ecuacin se puede representar con el siguiente circuito elctrico:

Mtodos de integracin numrica - Algoritmo implcito (regresivo) de Euler Llamado en ingls "backward Euler algorithm", este mtodo se puede deducir desarrollando y alrededor del punto :

resultando:

en donde el trmino de la segunda derivada es el error local de truncamiento (ELT). Este algoritmo de integracin implcita proporciona una relacin entre y para cada intervalo

Los mtodos de integracin explcitos requieren que se pueda obtener explcitamente x'=f(x,t), lo que no es posible en el anlisis nodal. En los mtodos implcitos, la resolucin de la anterior ecuacin se verifica por un procedimiento iterativo. Una forma es iniciar el procedimiento a partir de una solucin inicial explcita dada por el mtodo de Euler:

y corregirla iterativamente por el mtodo implcito de Euler aplicando:

donde k indica el nmero de iteraciones. El algoritmo de integracin plantea as el anlisis transitorio como una sucesin de estudios en continua en cada intervalo Mtodos de integracin numrica - Mtodo regresivo de Euler. Equivalentes de bobina y condensador Vamos a ver como se dibuja el esquema elctrico de la aproximacin por el mtodo regresivo de Euler. La integracin de una funcin f(t) por el mtodo regresivo (implcito) de Euler se puede escribir como: Para una inductancia se verifica que: por lo cual, mediante la aproximacin implcita de Euler queda como: Este resultado se puede interpretar elctricamente como el siguiente circuito: En el caso de una capacidad, sabemos que: es decir: por lo cual, mediante la integracin numrica aproximada en la forma regresiva de Euler queda como: Esta ecuacin se puede representar con el siguiente circuito elctrico:

Mtodos de integracin numrica - Mtodo del trapecio

Este mtodo implcito es el usado por ANALOGIA.EXE, por lo que es el ms importante de todos para comprender el proyecto. El mtodo se obtiene tomando para la prediccin de el valor medio de las derivadas en y . Su deduccin es anloga a la del algoritmo de Euler implcito: y se pueden desarrollar en la forma (a partir de el desarrollo en serie de Taylor): Eliminando se obtiene el mtodo trapezoidal: en el que el ltimo trmino es el ELT. Al igual que en el mtodo implcito de Euler, podemos ver de forma grfica la aproximacin realizada por el mtodo trapezoidal: Segn vemos en la figura, siguiendo el gradiente en , llegaramos desde (,) al punto Q. Si determinamos el gradiente en , ahora a partir de (,) llegaramos al punto Q1. Promediando ambas derivadas, alcanzamos el punto Q2, que es una mejor aproximacin a P1. Sorprendentemente, el mtodo del trapecio, a pesar de su sencillez, es un buen compromiso entre exactitud, estabilidad y esfuerzo de clculo. Es por ello por lo que se ha elegido para el anlisis en ANALOGIA.EXE, teniendo en cuenta adems que programas tan prestigiosos como Spice utilizan este mtodo (incorporando adicionalmente el control automtico del salto mediante evaluacin del ELT). Mtodos de integracin numrica - Mtodo del trapecio. Equivalentes de bobina y condensador Vamos a ver como se dibuja el esquema elctrico de la aproximacin por el mtodo trapezoidal. Realmente es as como efecta el anlisis ANALOGIA.EXE, sustituyendo cada bobina y condensador del circuito por un pareja generador+admitancia cuyos valores cambian en cada instante del tiempo de anlisis en funcin de las condiciones actuales y las condiciones del instante anterior. La integracin de una funcin f(t) por el mtodo del trapecio se puede escribir como:

Para una inductancia se verifica que:

por lo cual, mediante la aproximacin trapezoidal queda como:

Este resultado se puede interpretar elctricamente como el siguiente circuito:

En el caso de una capacidad, sabemos que:

es decir:

por lo cual, mediante la integracin numrica aproximada a travs del mtodo del trapecio queda como:

Mtodos de integracin numrica - Mtodos explcitos de Runge-Kutta Una posibilidad de mejora es, para cada intervalo tomar varios puntos intermedios y calcular en ellos las pendientes o derivadas. Se gana en precisin a cambio de un aumento notable del tiempo de clculo. El rango del algoritmo de Runge-Kutta viene indicado por el nmero de puntos intermedios que se toma en cada intervalo. El ms utilizado es el de rango cuatro:

Las soluciones intermedias (k1, k2, k3 y k4) se usan slo para el clculo de , y no para determinaciones posteriores. Mtodos de integracin numrica - Mtodos predictores-correctores Hasta ahora hemos visto mtodos de un solo paso. Tanto los mtodos predictores-correctores como los algoritmos de Gear que veremos a continuacin son mtodos multipaso. Los mtodos multipaso son algoritmos en que al pasar de un valor aproximado al siguiente, se tiene en cuenta la informacin recibida desde el principio de la integracin, ayudando a mantener una mejor concordancia entre la solucin aproximada y la exacta. Los mtodos predictores-correctores son de los ms empleados, y consiste en calcular cuando se conocen unos valores previos mediante un mtodo explcito (predictor) que conduce a . Seguidamente se emplea un mtodo implcito (corrector) en el que se toma como valor inicial. Un par cualquiera de mtodos de estas caractersticas puede ser usado como conjunto predictor-corrector, desendose que ambos algoritmos tengan un ELT del mismo orden. Un par predictor corrector muy usado se puede ofrecer a partir del mtodo explcito de Euler y del mtodo implcito del trapecio:

Mtodos de integracin numrica - Algoritmos de Gear Los mtodos multipaso propuestos por Gear obedecen a la ecuacin: en que los k+1 coeficientes se pueden obtener por el mtodo de los coeficientes indeterminados. Los mtodos para k=1 a 6 forman los seis mtodos de Gear, siendo el primero el correspondiente al implcito de Euler.