Métodos de regresión no paramétricos para el análisis de datos longitudinales

Mster Universitario en Estadstica Aplicada - Curso 2010/2011

Universidad de Granada

MTODOS DE REGRESIN NO PARAMTRICOS PARA

EL ANLISIS DE DATOS LONGITUDINALES

Trabajo Fin de Mster

Lnea de Investigacin: Estimacin no paramtrica de curvas en R

Realizado por: Jos Antonio Linero Morante

D.N.I.: 74912127-T

Tutora: Dra. D. Mara Dolores Martnez Miranda

Fecha: Diciembre 2011

ndice de contenidos

Captulo 1: Introduccin 1

1.1. Motivacin de ejemplos de datos longitudinales 1

1.1.1. Datos de progesterona 2

1.2. Modelizacin de efectos mixtos: de paramtrico a no paramtrico 6

1.2.1. Modelos paramtricos de efectos mixtos 6

1.2.2. Regresin no paramtrica y suavizacin 7

1.2.3. Modelos no paramtricos de efectos mixtos 10

Captulo 2: Modelos paramtricos de efectos mixtos 12

2.1. Introduccin 12

2.2. Modelo lineal de efectos mixtos 12

2.2.1. Especificacin del modelo 12

2.2.2. Estimacin de los efectos fijos y aleatorios 15

2.2.3. Interpretacin bayesiana 16

2.2.4. Estimacin de los componentes de varianza 18

2.2.5. Los algoritmos EM 20

Captulo 3: Suavizadores en regresin no paramtrica 24

3.1. Introduccin 24

3.2. Suavizador del ncleo polinomial local 27

3.2.1. Grado general del suavizador LPK 27

3.2.2. Suavizadores lineal y constante local 29

3.2.3. Funcin del ncleo 31

3.2.4. Seleccin del ancho de banda 32

3.2.5. Un ejemplo ilustrativo 34

Captulo 4: Mtodos localmente polinomiales 35

4.1. Introduccin 35

4.2. Modelo no paramtrico para la media poblacional 36

4.2.1. Mtodo del ncleo polinomial local 37

4.2.2. Mtodo del ncleo polinomial local GEE 40

4.3. Modelo no paramtrico de efectos mixtos 44

4.4. Modelado de efectos mixtos polinomial local 45

4.4.1. Aproximacin polinomial local 45

4.4.2. Estimacin por mxima verosimilitud local 46

4.4.3. Estimacin a partir de la verosimilitud local marginal 48

4.4.4. Estimacin a partir de la verosimilitud local conjunta 50

4.4.5. Estimacin de los componentes 53

4.5. Eleccin de buenos anchos de banda 54

4.5.1. Validacin cruzada dejar-un-sujeto-fuera 55

4.5.2. Validacin cruzada dejar-un-punto-fuera 56

4.6. Aplicacin a los datos de progesterona 56

Apndice: Cdigo en R generado para las aplicaciones 60

Referencias 74

Trabajo Fin de Mster en Estadstica Aplicada 2010/2011

1

Captulo 1: Introduccin

Los datos longitudinales tales como mediciones repetidas tomadas en cada uno

de una serie de sujetos a travs del tiempo surgen con frecuencia de muchos estudios

biomdicos y clnicos as como de otras reas cientficas. Estudios actualizados sobre

anlisis de datos longitudinales se pueden encontrar en Demidenko (2004) y Diggle,

Heagerty, Liang y Zeger (2002), entre otros. Los modelos paramtricos de efectos

mixtos son una herramienta poderosa para modelar la relacin entre una variable

respuesta y las covariables en estudios longitudinales. Los modelos lineales de efectos

mixtos (linear mixed-effects (LME)) y los modelos no lineales de efectos mixtos

(nonlinear mixed-effects (NLME)) son los dos ejemplos ms populares. Varios libros se

han publicado para resumir los logros en estas reas (Jones 1993, Davidian y Giltinan

1995, Vonesh y Chinchilli 1996, Pinheiro y Bates 2000, Verbeke y Molenberghs 2000,

Diggle, Heagerty, Liang y Zeger 2002, y Demidenko 2004, entre otros). Sin embargo,

para muchas aplicaciones, los modelos paramtricos pueden ser demasiado restrictivos

o limitados, y a veces no estn disponibles al menos para el anlisis de los datos

preliminares. Para superar esta dificultad, las tcnicas de regresin no paramtricas se

han desarrollado para el anlisis de datos longitudinales en los ltimos aos. Con este

trabajo se tiene la intencin de estudiar los mtodos existentes e introducir tcnicas de

reciente desarrollo que combinan ideas de modelado de efectos mixtos y tcnicas de

regresin no paramtricas para el anlisis de datos longitudinales.

1.1. Motivacin de ejemplos de datos longitudinales

En los estudios longitudinales, los datos de los individuos se coleccionan varias

veces a travs del tiempo mientras que en los estudios de corte transversal slo se

obtiene un dato puntual para cada sujeto individual (es decir, un solo punto en el tiempo

por sujeto). Por lo tanto, la diferencia clave entre los datos longitudinales y los datos de

corte transversal es que los datos longitudinales estn generalmente correlacionados en

un sujeto y son independientes entre sujetos, mientras que los datos de corte transversal

a menudo son independientes.

Un desafo para el anlisis de datos longitudinales es cmo dar cuenta de las

correlaciones intra-sujeto. Los modelos LME y NLME son herramientas poderosas para

el manejo de un problema cuando adecuados modelos paramtricos estn disponibles

para relacionar una variable de respuesta longitudinal a sus covariables. Muchos


2

ejemplos de datos de la vida real han sido presentados en la literatura que emplea

tcnicas de modelado LME y NLME (Jones 1993, Davidian y Giltinan 1995, Vonesh y

Chinchilli 1996, Pinheiro y Bates 2000, Verbeke y Molenberghs 2000, Diggle,

Heagerty, Liang y Zeger 2002, y Demidenko 2004, entre otros). Sin embargo, para

muchos otros ejemplos de datos prcticos, adecuados modelos paramtricos pueden no

existir o son difciles de encontrar. Ejemplos de estudios biomdicos y clnicos se

presentarn y se utilizarn en este trabajo a modo de ilustracin. En estos ejemplos, los

modelos LME y NLME ya no son aplicables, y tcnicas de modelado de efectos mixtos

no paramtricos (nonparametric mixed-effects (NPME)), que son los temas centrales de

este trabajo, son una opcin natural al menos en la fase inicial de anlisis exploratorios.

Aunque los ejemplos de datos longitudinales en este trabajo son de estudios biomdicos

y clnicos, las metodologas propuestas en este trabajo son tambin aplicables a datos de

panel o datos agrupados de otros campos cientficos. Todos los conjuntos de datos y los

correspondientes anlisis de cdigos a travs del ordenador en este trabajo son de libre

acceso en la siguiente pgina web: (Adems, debemos notar que dicho cdigo est

escrito mediante el programa Matlab y nosotros en este trabajo escribimos el cdigo

mediante R, nuestro cdigo escrito en R se puede ver en el apndice titulado Cdigo en

R generado para las aplicaciones que se encuentra al final del trabajo.)

http://www.urmc.rochester.edu/smd/biostat/people/faculty/WuSite/publications.htm.

1.1.1. Datos de progesterona

Los datos de progesterona fueron recogidos en un estudio de la prdida temprana

del embarazo realizado por el Instituto de Toxicologa y Salud Ambiental en la Seccin

de Epidemiologa Reproductiva del Departamento de Servicios de Salud de California,

Berkeley, EE.UU. Las Figuras 1.1 y 1.2 muestran los niveles de progesterona en el

metabolito urinario en el transcurso de los ciclos menstruales de las mujeres (das). Las

observaciones procedan de pacientes con la funcin reproductiva sana inscritos en una

clnica de inseminacin artificial donde los intentos de inseminacin fueron oportunos

para cada ciclo menstrual. Los datos haban sido alineados por el da de la ovulacin

(Da 0), determinado por la hormona luteinizante en suero, y truncado en cada extremo

para presentar curvas de igual longitud. Las mediciones se registran una vez al da por

cada ciclo de 8 das antes del da de la ovulacin y hasta 15 das despus de la

ovulacin. Una mujer puede tener uno o varios ciclos. La duracin del perodo de

observacin es de 24 das. Algunas mediciones de algunos sujetos estaban perdidas por


3

diversas razones. El conjunto de datos consiste en dos grupos: las curvas de

progesterona conceptiva (22 ciclos menstruales) y las curvas de progesterona no

conceptiva (69 ciclos menstruales). Para ms detalles sobre este conjunto de datos, ver

Yen y Jaffe (1991), Brumback y Rice (1998), y Fan y Zhang (2000), entre otros.

La Figura 1.1 (a) presenta un diagrama espagueti de las 22 curvas en bruto de

progesterona conceptiva. Los puntos indican el nivel de progesterona observados en

cada ciclo, y estn conectados con segmentos de lnea recta. El problema de los valores

perdidos no es muy serio aqu ya que cada curva de ciclo tiene por lo menos 17 de las

24 mediciones. En general, las curvas en bruto presentan un patrn similar: antes del da

de la ovulacin (Da 0), las curvas en bruto son planas, pero despus del da de la

ovulacin, por lo general se mueven hacia arriba. Sin embargo, es fcil ver que en una

curva de ciclo, las mediciones varan en torno a alguna curva subyacente que parece ser

suave, y para ciclos diferentes, las curvas suaves subyacentes son diferentes unas de

otras. La Figura 1.1 (b) presenta las medias punto a punto (curva de color negro con

puntos en la traza) con banda de desviacin estndar (standard deviation (SD)) punto a

punto del 95% (curvas de color rojo con puntos en la traza). Fueron obtenidos de una

manera sencilla: en cada punto de tiempo distinto , la media y la desviacin estndar se

calculan utilizando los datos de corte transversal en . Se puede observar que la curva

media punto a punto es bastante suave, aunque no es difcil descubrir que todava hay

algo de ruido aparecido en la curva media punto a punto.

-5 0 5 10 15

-4-2

02

4

Figura 1.1 (a) Grupo conceptivo

dias

log (prog)


4

La Figura 1.2 (a) presenta un diagrama espagueti de las 69 curvas en bruto de

progesterona no conceptiva. Comparada con las curvas de progesterona conceptiva,

estas curvas se comportan muy similares antes del da de la ovulacin, pero por lo

general muestran una tendencia diferente despus del da de la ovulacin. Es fcil ver

que, al igual que en las curvas de progesterona conceptiva, los ciclos individuales

subyacentes de las curvas de progesterona no conceptiva parecen ser suaves, y tambin

lo es su curva media subyacente. Una estimacin ingenua de la curva media subyacente

es la curva media punto a punto, que se muestra como curva de color negro con puntos

en la traza en la Figura 1.2 (b). La banda del 95% SD punto a punto (curvas de color

rojo con puntos en la traza) proporciona una estimacin aproximada de la exactitud de

la estimacin ingenua.

-5 0 5 10 15

-2-1

01

23

Figura 1.1 (b) Grupo conceptivo

dias

log (prog)


5

Los datos de progesterona se han utilizado para ilustraciones de los mtodos de

regresin no paramtricos por varios autores. Por ejemplo, Fan y Zhang (2000) los

utiliz para ilustrar su mtodo de dos pasos para estimar la funcin media subyacente de

los datos longitudinales o de los datos funcionales, Brumback y Rice (1998) los utiliz

para ilustrar una tcnica de modelado de efectos mixtos con alisamiento spline para

estimar ambas funciones media e individual, mientras que Wu y Zhang (2002a) los

utiliz para ilustrar un enfoque de modelado de efectos mixtos polinomial local.

-5 0 5 10 15

-4-2

02

4

Figura 1.2 (a) Grupo no conceptivo

dias

log (prog)

-5 0 5 10 15

-2-1

01

2

Figura 1.2 (b) Grupo no conceptivo

dias

log (prog)


6

1.2. Modelizacin de efectos mixtos: de paramtrico a no paramtrico

1.2.1. Modelos paramtricos de efectos mixtos

Para la modelizacin de datos longitudinales, los modelos paramtricos de

efectos mixtos, tales como modelos lineales y no lineales de efectos mixtos, son una

herramienta natural. Los modelos lineales o no lineales de efectos mixtos se pueden

especificar como modelos lineales y no lineales jerrquicos, desde una perspectiva

bayesiana.

Los modelos lineales de efectos mixtos (linear mixed-effects (LME)) se utilizan

cuando la relacin entre una variable respuesta longitudinal y sus covariables se puede

expresar a travs de un modelo lineal. El modelo LME introducido por Harville (1976,

1977), y Laird y Ware (1982) en general se puede escribir como

donde y son, respectivamente, los vectores de respuestas y los errores de medicin

para el -simo sujeto, y son, respectivamente, los vectores de efectos fijos

(parmetros de la poblacin) y efectos aleatorios (parmetros individuales), y y

son las matrices de diseo asociadas a los efectos fijos y a los efectos aleatorios. Es fcil

notar que la media y la matriz de covarianza de est dada por

Los modelos no lineales de efectos mixtos (nonlinear mixed-effects (NLME)) se

utilizan cuando la relacin entre una variable respuesta longitudinal y sus covariables se

puede expresar a travs de un modelo no lineal, el cual es conocido a excepcin de

algunos parmetros. Un modelo no lineal jerrquico general o modelo NLME se puede

escribir como (Davidian y Giltinan 1995, Vonesh y Chinchilli 1996):

donde con siendo una funcin conocida,

una matriz de diseo y un parmetro especifico de sujeto para el


7

-simo sujeto. En el anterior modelo NLME, la es una funcin conocida de las

matrices de diseo y , el vector de efectos fijos y el vector de efectos aleatorios

. Como ejemplo, un modelo lineal simple para puede escribirse como

. La media marginal y la varianza-covarianza de no puede ser

dada para un modelo NLME general. Se pueden aproximar utilizando tcnicas de

linealizacin (Sheiner, Rosenberg y Melmon 1972, Sheiner y Beal 1980, y Lindstrom y

Bates 1990, entre otros).

Definiciones ms detalladas de los modelos LME y NLME se darn en el

Captulo 2. Ya sea en un modelo LME o en un modelo NLME, las variaciones entre-

sujeto e intra-sujeto se cuantifican separadamente por los componentes de varianza y

. En un estudio longitudinal, los datos de sujetos diferentes se suponen

por lo general que son independientes, pero los datos del mismo sujeto pueden estar

correlacionados. Las correlaciones pueden ser causadas por la variacin entre-sujeto

(heterogeneidad entre los sujetos) y/o la correlacin serial del error de medicin. Hacer

caso omiso de la correlacin existente de los datos longitudinales puede llevar a

conclusiones incorrectas e ineficientes. Por lo tanto, un requisito clave para el anlisis

de datos longitudinales es un modelo apropiado y estimar con precisin los

componentes de varianza as que las funciones media e individual subyacente deben ser

modeladas de manera eficiente. Esta es la razn por la cual el anlisis de datos

longitudinales es ms difcil tanto en el desarrollo terico y aplicacin prctica en

comparacin con el anlisis de datos de corte transversal.

La aplicacin con xito de un modelo LME o un modelo NLME al anlisis de

datos longitudinales depende en gran medida de la suposicin (hiptesis) de un modelo

lineal o no lineal adecuado para la relacin entre la variable respuesta y las covariables.

A veces esta hiptesis puede ser no vlida para un conjunto de datos longitudinales

dado. En este caso, la relacin entre la variable respuesta y las covariables tiene que ser

modelada no paramtricamente. Por lo tanto, tenemos que extender los modelos

paramtricos de efectos mixtos a los modelos no paramtricos de efectos mixtos.

1.2.2. Regresin no paramtrica y suavizacin

Un modelo paramtrico de regresin requiere el supuesto de que la forma de la

funcin de regresin subyacente se conoce a excepcin de los valores de un nmero

finito de parmetros. La seleccin de un modelo paramtrico depende en gran medida


8

del problema en cuestin. A veces el modelo paramtrico se puede derivar de las teoras

mecanicistas detrs del problema cientfico, mientras que en otras ocasiones el modelo

se basa en la experiencia o es simplemente deducido de los grficos de dispersin de los

datos. Un grave inconveniente del modelado paramtrico es que un modelo paramtrico

puede ser demasiado restrictivo en algunas aplicaciones. Si un modelo paramtrico

inadecuado es utilizado, es posible producir conclusiones errneas a partir del anlisis

de regresin. En otras situaciones, un modelo paramtrico no puede estar disponible

para su uso. Para superar las dificultades causadas por el supuesto restrictivo de una

forma paramtrica de la funcin de regresin, se puede quitar la restriccin de que la

funcin de regresin pertenece a una familia paramtrica. Este enfoque conduce a la

llamada regresin no paramtrica.

Existen muchos mtodos de regresin no paramtrica y suavizacin. Los

mtodos ms populares incluyen suavizacin del ncleo, ajuste polinomial local,

regresin (polinomial) splines, suavizacin splines, y penalizado splines. Algunos otros

enfoques, tales como grfico de dispersin localmente ponderado suavizado (locally

weighted scatter plot smoothing (LOWESS)), mtodos basados en wavelet y otros

enfoques basados en series ortogonales tambin son de uso frecuente en la prctica. La

idea bsica de estos enfoques no paramtricos es dejar que los datos determinen la

forma ms adecuada de las funciones. Hay uno o dos llamados parmetros de

suavizacin en cada uno de estos mtodos para controlar la complejidad del modelo y la

compensacin entre el sesgo y la varianza del estimador. Por ejemplo, el ancho de

banda en la suavizacin del ncleo local determina la suavidad de la funcin de

regresin y la bondad de ajuste del modelo a los datos as que cuando , el modelo

no paramtrico local se convierte en un modelo paramtrico global, y cuando , la

estimacin que resulta esencialmente interpola los puntos de datos. Por lo tanto, la

frontera entre el modelado paramtrico y no paramtrico no puede estar bien definida si

se toma el parmetro de suavizacin en cuenta. Los mtodos no paramtricos y

paramtricos de regresin no deben considerarse como competidores, sino que se

complementan entre s. En algunas situaciones, las tcnicas no paramtricas se pueden

utilizar para validar o sugerir un modelo paramtrico. Una combinacin de ambos

mtodos no paramtricos y paramtricos es ms poderoso que un nico mtodo en

muchas aplicaciones prcticas.


9

Existe una vasta literatura sobre la suavizacin y los mtodos no paramtricos de

regresin para datos de corte transversal. Buenos estudios sobre estos mtodos se

pueden encontrar en los libros de de Boor (1978), Eubank (1988), Hrdle (1990),

Wahba (1990), Green y Silverman (1994), Wand y Jones (1995), Fan y Gijbels (1996),

y Ruppert, Wand y Carroll (2003), entre otros. Sin embargo, muy poco se ha hecho para

desarrollar los mtodos no paramtricos de regresin para el anlisis de datos

longitudinales hasta los ltimos aos. Mller (1988) fue el primero en abordar el

anlisis de datos longitudinales con los mtodos no paramtricos de regresin. Sin

embargo, en esta monografa anterior, el enfoque bsico es el de estimar la curva de

cada individuo por separado, por lo tanto, la correlacin intra-sujeto de los datos

longitudinales no se consider en el modelaje. Las metodologas de Mller (1988) son

esencialmente similares a los mtodos no paramtricos de regresin para datos de corte

transversal.

En aos recientes, ha habido un auge en el desarrollo de mtodos no

paramtricos de regresin para el anlisis de datos longitudinales que incluyen la

utilizacin de mtodos de suavizacin tipo-ncleo (Hoover, Rice, Wu y Yang 1998, Wu

y Chiang 2000, Wu, Chiang y Hoover 1998, Fan y Zhang 2000, Lin y Carroll 2001a, b,

Wu y Zhang 2002a, Welsh, Lin y Carroll 2002, Cai, Li y Wu 2003, Wang 2003, Wang,

Carroll y Lin 2005), mtodos de suavizacin spline (Brumback y Rice 1998, Wang

1998a, b, Zhang, Lin, Raz y Sowers 1998, Lin y Zhang 1999, Guo 2002a, b) y mtodos

de regresin (polinomial) spline (Shi, Weiss y Taylor 1996, Rice y Wu 2001, Huang,

Wu y Zhou 2002, Wu y Zhang 2002b, Liang, Wu y Carroll 2003). Hay una gran

cantidad de literatura reciente en esta rea de investigacin, y es imposible tener una

lista completa aqu. La importancia de los mtodos no paramtricos de modelado ha

sido reconocido en el anlisis de datos longitudinales y para las aplicaciones prcticas,

ya que los mtodos no paramtricos son flexibles y robustos frente a supuestos

paramtricos. Dicha flexibilidad es til para la exploracin y anlisis de datos

longitudinales, cuando apropiados modelos paramtricos no estn disponibles. En este

trabajo, no tenemos la intencin de cubrir todas las tcnicas no paramtricas de

regresin. En cambio, nos vamos a centrar en el mtodo de suavizacin polinomial

local. Incorporamos este procedimiento no paramtrico de suavizacin en los modelos

de efectos mixtos para proponer tcnicas no paramtricas de modelado de efectos

mixtos para el anlisis de datos longitudinales.


10

1.2.3. Modelos no paramtricos de efectos mixtos

Un conjunto de datos longitudinales tal como los datos de progesterona

presentados en la Seccin 1.1, pueden expresarse en una forma comn como

donde indican los puntos de tiempo de diseo (por ejemplo, das en los datos de

progesterona), la respuesta observada en (por ejemplo, log(prog) en los datos

de progesterona), el nmero de observaciones para el -simo sujeto, y es el

nmero de sujetos. Para tal conjunto de datos longitudinales, no asumimos un modelo

paramtrico para la relacin entre la variable respuesta y la covariable en el tiempo. En

cambio, justamente asumimos que las funciones individual y de media poblacional son

funciones sin problemas en el tiempo , y dejamos que los propios datos determinen la

forma de las funciones subyacentes. Siguiendo Wu y Zhang (2002a), introducimos un

modelo no paramtrico de efectos mixtos (nonparametric mixed-effects (NPME)) como

donde modela la funcin de media poblacional del conjunto de datos

longitudinales, llamada funcin de efecto fijo, modela la salida de la -sima

funcin individual de la funcin de media poblacional , llamada la -sima funcin

de efecto aleatorio, y son los errores de medicin que no se pueden explicar por

las funciones de efecto fijo y las funciones de efecto aleatorio.

En general se supone que son realizaciones i.i.d. de un

proceso suave (smooth process (SP)) subyacente, , con funcin de media 0 y

funcin de covarianza , y son realizaciones i.i.d. de un proceso de ruido

blanco no correlacionado, , con funcin de media 0 y funcin de covarianza

. Esto es, y . Aqu

cuantifica la variacin entre-sujeto mientras que cuantifica la variacin intra-

sujeto. Cuando se habla de las inferencias basadas en la verosimilitud o la interpretacin

Bayesiana, por simplicidad, generalmente asumimos que los procesos asociados son

Gausianos, es decir, , y .

En el marco de modelado NPME, necesitamos llevar a cabo las siguientes tareas:

(1) estimar la funcin (media poblacional) de efecto fijo ; (2) predecir las funciones


11

de efecto aleatorio y las funciones individuales

; (3) estimar la funcin de covarianza ; y (4) estimar la funcin de

varianza de ruido .

La , y caracterizan las caractersticas de la poblacin de una

respuesta longitudinal mientras que y capturan las caractersticas

individuales. Para simplificar, la funcin media poblacional y las funciones

individuales se refieren a veces como las curvas de poblacin y las curvas

individuales, respectivamente. Debido a que en el modelo NPME (1.4), las cantidades

de destino , , y son todas no paramtricas, la combinacin de

tcnicas de suavizacin y enfoques de modelado de efectos mixtos es necesario para la

estimacin de estas cantidades desconocidas.


12

Captulo 2: Modelos paramtricos de efectos mixtos

2.1. Introduccin

Los modelos paramtricos de efectos mixtos o los modelos de efectos aleatorios

son herramientas poderosas para el anlisis de datos longitudinales. Los modelos

lineales o no lineales de efectos mixtos (incluyendo los modelos lineales o no lineales

generalizados de efectos mixtos) han sido ampliamente utilizados en muchos estudios

longitudinales. Buenos estudios sobre estos enfoques se pueden encontrar en los libros

de Searle, Casella y McCulloch (1992), Davidian y Giltinan (1995), Vonesh y

Chinchilli (1996), Verbeke y Molenberghs (2000), Pinheiro y Bates (2000), Diggle,

Heagerty, Liang y Zeger (2002), y Demidenko (2004), entre otros. En este captulo,

vamos a revisar los modelos lineales de efectos mixtos y haremos hincapi en los

mtodos que vamos a utilizar en captulos posteriores. El enfoque de este trabajo es

presentar las ideas de modelado de efectos mixtos en suavizacin y regresin no

paramtrica para el anlisis de datos longitudinales, es importante entender los

conceptos bsicos y las propiedades clave de los modelos paramtricos de efectos

mixtos.

2.2. Modelo lineal de efectos mixtos

2.2.1. Especificacin del modelo

Harville (1976, 1977) y Laird y Ware (1982) propusieron por primera vez el

siguiente modelo general lineal de efectos mixtos (linear mixed-effects (LME)):

donde , y denotan la respuesta y el error de medicin de la -

sima medicin del -simo sujeto, los parmetros desconocidos y

generalmente se llaman el vector de efectos fijos y los vectores de efectos aleatorios,

respectivamente (para simplificar, a menudo se refieren como parmetros de efectos

fijos y efectos aleatorios del modelo LME), y y son los asociados a los vectores

covariables de efectos fijos y efectos aleatorios. En la expresin anterior, y ,

son conocidas como las componentes de varianza del modelo LME. En el


13

modelo LME anterior, para simplificar, asumimos que y son independientes con

distribuciones normales, y las mediciones entre-sujeto son independientes.

El modelo LME (2.1) se escribe a menudo en la forma siguiente:

donde ,

, y

.

El modelo LME anterior incluye modelos lineales de coeficientes aleatorios

(Longford 1993) y modelos para mediciones repetidas como casos especiales. Por

ejemplo, un modelo de dos etapas lineal de coeficiente aleatorio para curvas de

crecimiento (Longford 1993) se puede escribir como

donde , , y se definen de manera similar como en (2.2), es un vector

de coeficientes aleatorios del -simo sujeto, y es una matriz de diseo que

contiene las covariables entre sujetos. Es fcil ver que el modelo lineal de coeficiente

aleatorio (2.3) puede escribirse en la forma del modelo general LME (2.2) una vez que

se establece .

De hecho, se puede escribir un modelo general de dos etapas lineal de

coeficiente aleatorio en la forma del modelo general LME (2.2). Un modelo general de

dos etapas de coeficiente aleatorio se puede escribir como (Davidian y Giltinan 1995,

Vonesh y Chinchilli 1996)


14

donde es una matriz de diseo con elementos de 0 y 1 organizados para

determinar los componentes de que son al azar, y es el asociado al vector de

efectos aleatorios -dimensional. Este modelo general de dos etapas de coeficiente

aleatorio se puede escribir en la forma del modelo general LME (2.2):

una vez que se establece y

. De hecho, es

fcil demostrar que el modelo general de dos etapas de coeficiente aleatorio (2.4) es

equivalente al modelo general LME (2.2). En particular, cuando , el modelo

general de dos etapas de coeficiente aleatorio (2.4) se reduce al modelo de coeficiente

aleatorio (2.3) para curvas de crecimiento. Ntese que el modelo general de dos etapas

de coeficiente aleatorio (2.4) tambin se conoce como modelo de efectos mixtos de dos

etapas y el modelo general LME (2.2) tambin se llama modelo lineal jerrquico.

En notacin matricial, el modelo general LME (2.2) se puede escribir adems

como

donde

Por lo general se asume que las mediciones repetidas de sujetos diferentes son

independientes y estn correlacionadas solamente cuando vienen del mismo sujeto.

Basado en el modelo general LME (2.5), tenemos

donde la matriz de covarianza del vector de

mediciones repetidas para el -simo sujeto es . Podemos ver

que la correlacin entre las mediciones repetidas puede ser inducida o a travs del

trmino de variacin entre-sujeto o a travs de la matriz de covarianza intra-

sujeto . Por lo tanto, incluso si los errores de medicin intra-sujeto ( )


15

son independientes, las mediciones repetidas pueden estar an correlacionadas

debido a la variacin entre-sujeto. En algunos problemas, la correlacin puede provenir

de dos fuentes. Sin embargo, para simplificar, podemos asumir que la correlacin es

inducida nicamente a travs de la variacin entre-sujeto o asumir que es diagonal en

el desarrollo de metodologas.

2.2.2. Estimacin de los efectos fijos y aleatorios

Las inferencias de y para el modelo general LME (2.2)

pueden basarse en el mtodo de verosimilitud o el mtodo de mnimos cuadrados

generalizados. Conocidas y , las estimaciones de y

se pueden obtener minimizando el siguiente logaritmo dos veces negativas de

la funcin de densidad conjunta de y (hasta una

constante):

Puesto que son los vectores de parmetros de efectos

aleatorios, la expresin (2.7) no es un logaritmo de verosimilitud (log-likelihood)

convencional. Para mayor comodidad, a partir de ahora y a lo largo de este trabajo,

llamamos a (2.7) un logaritmo de verosimilitud generalizado (generalized log-likelihood

(GLL)) de los parmetros de efectos mixtos ( , ). Tenga en cuenta que

el primer trmino del lado derecho de (2.7) es un residuo ponderado tomando la

variacin intra-sujeto en cuenta, y el trmino es una penalizacin debido a los

efectos aleatorios tomando la variacin entre-sujeto en cuenta.

Para determinadas y , minimizar el criterio GLL (2.7) es

equivalente a resolver las denominadas ecuaciones del modelo mixto (Harville 1976,

Robinson 1991):

donde , , , , y se definen en (2.6). Utilizando el algebra matricial, las

ecuaciones de rendimiento del modelo mixto


16

donde y . Las matrices de

covarianzas de y son:

2.2.3. Interpretacin bayesiana

Es conocido que el modelo general LME (2.2) tiene una estrecha relacin con un

modelo Bayesiano en el sentido de que las soluciones (2.8) y (2.9) son las expectativas a

posteriori de los parmetros de un modelo Bayesiano en virtud de no informativas

probabilidades (distribuciones) a priori.

Antes de seguir adelante, manifestamos los siguientes dos lemas tiles cuyas

demostraciones se pueden encontrar en algunos libros de texto estndar multivariante,

por ejemplo, Anderson (1984).

Lema 2.1 Sean , y matrices , y tales que y son

invertibles. Entonces

En particular, cuando , y donde es un vector , tenemos

Lema 2.2 Sea

donde es invertible. Entonces


17

Definimos ahora el siguiente problema Bayesiano:

con distribucin a priori para y :

donde , y son independientes unas de otras, y se define en

(2.6).

Ntese que la especificacin de es flexible. Por ejemplo, podemos dejar que

. Esto indica que los componentes de son independientes unos de otros.

Adems, cuando , tenemos . Esto indica que el lmite a priori

en no es informativo.

Teorema 2.1 Los mejores predictores imparciales lineales (2.8) y (2.9) que minimizan

el criterio GLL (2.7) son los mismos que las expectativas del lmite a posteriori del

problema Bayesiano definido en (2.14) y (2.15) con . Esto es,

Adems, como , tenemos las siguientes distribuciones a posteriori:

donde y

Ntese que y implican los parmetros desconocidos y . Si sustituimos

las estimaciones puntuales de y (vamos a discutir cmo estimarlos en las siguientes

subsecciones), las estimaciones Bayesianas, y se refieren generalmente como


18

estimaciones empricas de Bayes, aunque la estimacin emprica de Bayes se aplica

convencionalmente slo a los efectos aleatorios .

El Teorema 2.1 da las distribuciones del lmite a posteriori de , y en el

marco Bayesiano (2.14) y (2.15) cuando o cuando lo a priori en no es

informativo. A veces, es interesante conocer la distribucin a posteriori de y cuando

est dada, por ejemplo, cuando . En realidad, este conocimiento es la base para

el algoritmo EM basado en la mxima verosimilitud que vamos a revisar en el siguiente

apartado. El siguiente teorema da los resultados relacionados.

Teorema 2.2 Bajo el marco Bayesiano (2.14) y (2.15), tenemos

Vale la pena notar que, segn el Teorema 2.2, tenemos y

.

2.2.4. Estimacin de los componentes de varianza

Si las matrices de covarianza, y , son desconocidas, pero sus estimaciones

puntuales, por ejemplo, y , estn disponibles, entonces podemos tener

. Las estimaciones de y por lo tanto pueden ser obtenidas por

sustitucin de y en (2.8) y (2.9). Sus correspondientes errores estndar estn dados

por (2.10) y (2.12) despus de sustituir y por sus estimaciones. Sin embargo, estos

errores estndar estn subestimados ya que los errores de estimacin de y no se

contabilizan.

Bajo el supuesto de normalidad, el mtodo de mxima verosimilitud (maximum

likelihood (ML)) y el mtodo de mxima verosimilitud restringida (restricted maximum

likelihood (REML)) son dos tcnicas populares para estimar los componentes

desconocidos de y , aunque esto puede no ser adecuado si la hiptesis de

normalidad es cuestionable.

Bajo los supuestos de normalidad siguientes,

, , ,


19

la funcin de verosimilitud generalizada se puede escribir como

donde es la dimensin de y . Si el vector de efectos aleatorios es

integrable, podemos obtener la siguiente funcin de verosimilitud convencional:

El mtodo ML para la estimacin de componentes de varianza es maximizar la

siguiente funcin de log-verosimilitud:

con respecto a los componentes de varianza para un determinado . Sin embargo, la

maximizacin conjunta con respecto a los componentes de varianza , y el vector de

parmetros de efectos fijos tambin da lugar a la estimacin de en (2.8).

El mtodo REML se utiliza para integrar a y de con el fin de

ajustar la prdida de grados de libertad debido a la estimacin de del mtodo ML, es

decir, para maximizar

Se puede demostrar que

donde como se define en (2.18). Por lo tanto,

tenemos que


20

Las estimaciones REML de componentes de varianza se pueden obtener a travs

de la maximizacin

Derivaciones ms detalladas de estos resultados se pueden encontrar en

Davidian y Giltinan (1995).

2.2.5. Los algoritmos EM

La implementacin de los mtodos ML y REML no es trivial. Para superar esta

dificultad de implementacin, los mtodos de algoritmo EM y de Newton-Raphson han

sido propuestos (Laird y Ware 1982, Dempster, Rubin y Tsutakawa 1981, Laird, Lange

y Stram 1987, Jenrich y Schluchter 1986, Lindstrom y Bates 1990). Los libros de

Searle, Casella y McCulloch (1992), Davidian y Giltinan (1995), Vonesh y Chinchilli

(1996) y Pinheiro y Bates (2000) tambin proporcionan una buena revisin de estos

mtodos de implementacin. El paquete estndar de software estadstico tal como R

ofrece funciones convenientes para implementar estos mtodos (por ejemplo, la funcin

lme de R). Haremos una breve revisin del algoritmo EM aqu.

Recordemos que por lo general asumimos que tiene la forma simple

siguiente:

Cuando y se conocen, bajo el supuesto de normalidad, las estimaciones

naturales ML de y sern

Este es el paso M del algoritmo EM. Debido a que y no se conocen, las

estimaciones anteriores no son computables. Hay dos maneras de superar esta

dificultad, asociadas, respectivamente, con el algoritmo EM basado en el ML o REML.

Ntese que las estimaciones ML de y se obtienen a travs de la

maximizacin de la funcin de log-verosimilitud (2.20) con el vector de parmetros de


21

efectos fijos dado. Por lo tanto, la clave para el algoritmo EM basado en el ML

es sustituir la y en (2.23) con

respectivamente. El razonamiento subyacente es que los componentes de varianza y

se estiman sobre la base de los residuos despus de que la componente de efectos

fijos estimada se elimina de los datos en bruto, y la estimacin no tomar la

variacin de en cuenta. Este es el paso E del algoritmo EM basado en el ML.

Usando el Teorema 2.2, podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 2.3 Supongamos que el modelo Bayesiano definido en (2.14) y (2.15) se

cumple, y supongamos que satisface (2.22). Entonces tenemos que

En el lado derecho de las expresiones (2.25), los componentes de varianza y

an son desconocidas. Sin embargo, cuando se sustituyen por los valores actuales

disponibles, los valores actualizados de y se pueden obtener. En otras palabras,

proporcionando algunos valores iniciales de y , se pueden actualizar y

utilizando (2.25) hasta la convergencia. Esta es la idea principal del algoritmo EM. Para

simplificar, los valores iniciales pueden tomarse como y . El ciclo

principal para el algoritmo EM basado en el ML es el siguiente:

(a) Dados y , calcular y utilizando (2.8) y (2.9).

(b) Dados y , actualizar y utilizando (2.25).

(c) Alternar entre (a) y (b) hasta la convergencia.

Sea el ndice de secuencia de las iteraciones, y , los

valores estimados de y en la iteracin . Otras notaciones tales como , se

definen de forma similar. A continuacin, ms formalmente, el algoritmo EM basado en

el ML puede ser escrito como sigue:


22

Algoritmo EM basado en el ML

Paso 0. Establecer . Sea , y .

Paso 1. Establecer . Actualizar y utilizando

donde

Paso 2. Actualizar y utilizando

donde

Paso 3. Repetir los pasos 1 y 2 hasta la convergencia.

El algoritmo EM basado en el REML puede ser igualmente descrito. Las

principales diferencias son:

(a) El algoritmo EM basado en el REML se ha desarrollado para encontrar las

estimaciones REML de y que maximizan (2.21).

(b) La clave para el algoritmo EM basado en el REML es reemplazar y en

(2.23) por y en lugar de sus expectativas condicionadas a y

como se indica en (2.24). Estas expectativas condicionales se pueden obtener

fcilmente utilizando el Teorema 2.1 y las presentaremos en el Teorema 2.4 a

continuacin para facilitar su consulta.


23

(c) El algoritmo EM basado en el REML puede ser obtenido simplemente a travs

de sustituir todos los en el Paso 2 del algoritmo EM basado en el ML

anterior con , donde

El Teorema 2.4 a continuacin es similar al Teorema 2.3 pero se basa en el

Teorema 2.1.

Teorema 2.4 Supongamos que el modelo Bayesiano definido en (2.14) y (2.15) se

cumple, y supongamos que satisface (2.22). Entonces como ,

donde

.


24

Captulo 3: Suavizadores en regresin no paramtrica

3.1. Introduccin

En el Captulo 2, hemos revisado los modelos paramtricos de efectos mixtos

para datos longitudinales, en particular hemos visto los modelos lineales de efectos

mixtos. Estos modelos paramtricos de efectos mixtos han sido ampliamente estudiados

y aplicados para analizar datos longitudinales en la literatura (Lindsey 1993, Diggle,

Liang y Zeger 1994, Davidian y Giltinan 1995, Vonesh y Chinchilli 1996, Pinheiro y

Bates 2000, Verbeke y Molenberghs 2000). Uno de los supuestos bsicos de estos

modelos es que la variable de respuesta (o a travs de una funcin de enlace conocida)

es una funcin paramtrica conocida de ambos efectos fijos y efectos aleatorios. Es

decir, para cada individuo, la relacin subyacente entre la respuesta y las covariables de

efectos mixtos es paramtrica. Sin embargo, esta suposicin no siempre se cumple en

las aplicaciones prcticas.

Tomamos los datos de progesterona, introducidos en la Seccin 1.1.1 del

Captulo 1, como un ejemplo. La Figura 3.1 muestra la grfica de los datos con puntos

(crculos) individuales de progesterona de un sujeto seleccionado (hemos seleccionado

el sujeto nmero 2 del ciclo 5 del grupo no conceptivo). Se presentan ejemplos de algn

polinomio de menor grado ajustado (curvas continuas de color negro) a los datos. El

panel (a) representa un ajuste del modelo lineal, que no se ajusta adecuadamente a los

datos. Esta dificultad puede ser superada por el aumento del grado de los polinomios,

por ejemplo de lineal a cuadrtico, cbico o cuartico como se muestran en los paneles

(b), (c) y (d), respectivamente. Se ve que cuanto mayor sea el grado del polinomio, ms

adecuadamente se ajustan los datos. Se ve que tanto los modelos polinomiales cbico y

cuartico son generalmente bien ajustados a los datos, pero los ajustes siguen siendo

pobres antes del Da 0.


25

Se obtuvieron resultados similares cuando reemplazamos el sujeto seleccionado

por algunos otros sujetos elegidos. Por lo tanto, un modelo polinomial de menor grado

puede no ajustarse bien a los datos de progesterona. Estos datos son slo un ejemplo de

conjuntos de datos prcticos que no pueden ser bien ajustados por polinomios de grado

menor. Hrdle (1990), Fan y Gijbels (1996), Green y Silverman (1994), y Ramsay y

Silverman (1997, 2002), entre otros, proporcionaron ejemplos de datos donde no es

posible ajustar adecuadamente los datos mediante polinomios de cualquier grado o

cualquiera de los modelos paramtricos. En estos casos, las tcnicas no paramtricas de

modelado son necesarias.

Los datos de progesterona para el sujeto seleccionado, presentados como

crculos en la Figura 3.1, se pueden denotar como

-5 0 5 10 15

-10

12

3

Figura 3.1 (a) Lineal

dias

log

(p

rog

)

-5 0 5 10 15

-10

12

3

Figura 3.1 (b) Cuadrtico

dias

log

(p

rog

)

-5 0 5 10 15

-10

12

3

Figura 3.1 (c) Cbico

dias

log

(p

rog

)

-5 0 5 10 15

-10

12

3Figura 3.1 (d) Cuartico

dias

log

(p

rog

)


26

donde son conocidos como puntos en tiempo de diseo, y

son las respuestas a los puntos en tiempo de diseo. Los puntos en tiempo de

diseo pueden ser igualmente espaciados en un intervalo de inters, o ser considerado

como una muestra aleatoria de una densidad de diseo continua, concretamente, .

Para simplificar, vamos a denotar el intervalo de inters, o el soporte de como ,

que puede ser un intervalo finito, por ejemplo, o toda la recta real . Las

respuestas se observan a menudo con errores.

Para un conjunto de datos como el anterior, un modelo de regresin no

paramtrica simple se suele escribir como

donde modela la funcin de regresin subyacente que queremos estimar, pero no

puede ser aproximada utilizando un modelo paramtrico adecuado, y

denota los errores de medicin que no pueden ser explicados por la funcin de regresin

. Matemticamente, es la esperanza condicionada de , dado , es decir,

Para los datos longitudinales, el conjunto de datos (3.1) describe la estructura de

datos para un sujeto individual donde es la funcin de los individuos, y

son los puntos en tiempo de diseo de los individuos con mediciones.

Hay muchos suavizadores existentes que pueden ser utilizados para estimar la

en (3.2). Diferentes suavizadores tienen diferentes puntos fuertes en uno u otro

aspecto. Por ejemplo, la suavizacin splines puede ser buena para el manejo de la

escasez de datos, mientras que los suavizadores polinomial local pueden ser

computacionalmente ventajosos para el manejo de diseos densos. En este captulo,

revisaremos los suavizadores polinomial local (Wand y Jones 1995, Fan y Gijbels 1996)

en la Seccin 3.2. En captulos posteriores, se desarrollan la media de la poblacin no

paramtrica y modelos de efectos mixtos para datos longitudinales basados en estos

suavizadores.


27

3.2. Suavizador del ncleo polinomial local

3.2.1. Grado general del suavizador LPK

La idea principal del suavizado del ncleo polinomial local (local polynomial

kernel (LPK)) es aproximar localmente la en (3.2) por un polinomio de menor grado.

Su fundamento es la expansin de Taylor, que establece que cualquier funcin suave

puede ser localmente aproximada por un polinomio de menor grado.

En concreto, sea un punto arbitrario en un tiempo fijo donde la funcin en

(3.2) ser estimada. Supongamos que tiene -primera derivada continua para

algn entero en . Por la expansin de Taylor, puede ser localmente

aproximada por un polinomio de grado . Es decir,

en una zona de que permita la expansin anterior donde denota la derivada

-sima de en .

Fijamos , . Sea los

minimizadores del siguiente criterio de mnimos cuadrados ponderados (weighted least

squares (WLS)):

donde , que se obtiene a travs de re-escalar una funcin del ncleo

con una constante , llamado el ancho de banda o parmetro de suavizado. El

ancho de banda se utiliza principalmente para especificar el tamao de la zona local,

concretamente,

donde el ajuste local se lleva a cabo. La funcin del ncleo, , determina cmo las

observaciones dentro de contribuyen al ajuste en . Discutiremos las funciones

del ncleo en la Seccin 3.2.3. Denotemos la estimacin de la derivada -sima

como . Entonces


28

En particular, el resultado del -simo grado del estimador LPK de es

.

Una expresin explcita para es til y puede hacerse a travs de la

notacin de matrices. Sea

y

la matriz de diseo y la matriz de pesos para el ajuste LPK alrededor de . Entonces el

criterio WLS (3.3) se puede reescribir como

donde y

. Resulta que

donde denota un vector unitario -dimensional cuya -primera

entrada es 1 y las otras entradas son 0, y

Cuando se ejecuta sobre todo el soporte de los puntos en tiempo de diseo,

una estimacin de todo el rango de se obtiene. El estimador derivado

se suele llamar suavizador LPK de la funcin derivada subyacente

. El suavizador derivado se suele calcular en una cuadrcula de s en .

En este captulo, slo nos centramos en la curva ms suave

a menos que discutamos la estimacin derivada. Fijamos para ser el valor

ajustado de . Por (3.6), se observa que


29

donde es

despus de sustituir con . Sea que

denota el valor ajustado en todos los puntos en tiempo de diseo. Entonces se puede

expresar como

donde

se conoce como la matriz suavizadora del suavizador LPK. Puesto que no depende

del vector de respuesta , el suavizador LPK se conoce como suavizador lineal.

3.2.2. Suavizadores lineal y constante local

Los suavizadores lineal y constante local son los dos ms simples y ms tiles

suavizadores LPK. El suavizador constante local se conoce como el estimador

Nadaraya-Watson (Nadaraya 1964, Watson 1964). Este suavizador resulta del

suavizador LPK (3.6) simplemente tomando :

Dentro de una zona local , se ajusta a los datos con una

constante. Es decir, es el minimizador del siguiente criterio WLS:

El estimador Nadaraya-Watson es fcil de entender y fcil de calcular. Sea

que denota la funcin indicadora de un conjunto . Cuando la funcin del ncleo es

el ncleo Uniforme

el estimador Nadaraya-Watson (3.9) es exactamente la media local de s que estn

dentro de la zona local (3.4):


30

donde denota el nmero de observaciones que caen dentro de la zona local

. Sin embargo, cuando est en la frontera de , menos puntos de diseo estn

dentro de la zona de modo que tiene una tasa de convergencia ms lenta

que el caso cuando est en el interior de . Para una explicacin detallada de este

efecto frontera, se remite al lector a Fan y Gijbels (1996) y Cheng, Fan y Marron

(1997).

El suavizador lineal local (Stone 1984, Fan 1992, 1993) se obtiene a travs de

ajustar un conjunto de datos a nivel local con una funcin lineal. Sea que

minimiza el siguiente criterio WLS:

Entonces el suavizador lineal local es . Se puede obtener fcilmente

del suavizador LPK (3.6) simplemente tomando . Se le conoce como un

suavizador con un efecto de frontera libre (Cheng, Fan y Marron 1997). Es decir, tiene

la misma tasa de convergencia en cualquier punto de . Tambin exhibe muchas buenas

propiedades que los otros suavizadores lineales pueden carecer. Buenas discusiones

sobre estas propiedades se pueden encontrar en Fan (1992, 1993), Hastie y Loader

(1993), y Fan y Gijbels (1996, Captulo 2), entre otros. Un suavizador lineal local puede

ser simplemente expresado como

donde

Por lo general, la eleccin del grado de ajuste LPK, , no es tan importante

como la eleccin del ancho de banda, . Un suavizador constante local o lineal


31

local a menudo es lo suficientemente bueno para la mayora de los problemas

de aplicacin si la funcin del ncleo y el ancho de banda son adecuadamente

determinados. Fan y Gijbels (1996, Captulo 3) seal que para la estimacin de la

curva (no vlido para la estimacin derivada) un impar es preferible. Esto es as

porque un ajuste LPK con , introduce un parmetro adicional en

comparacin con un ajuste LPK con , pero no aumenta la varianza del estimador

asociado LPK. Sin embargo, el sesgo asociado puede ser reducido significativamente,

especialmente en las regiones de frontera (Fan 1992, 1993, Hastie y Loader 1993, Fan y

Gijbels 1996, Cheng, Fan y Marron 1997). Por lo tanto, el suavizador lineal local es

altamente recomendable para la mayora de los problemas en la prctica.

3.2.3. Funcin del ncleo

La funcin del ncleo utilizada en el suavizador LPK (3.6) es generalmente

una funcin de densidad de probabilidad simtrica. Mientras que el ancho de banda

especifica el tamao de la zona local , el ncleo especifica cmo las

observaciones contribuyen al ajuste LPK en .

Hemos visto anteriormente el ncleo Uniforme (3.10) y ahora vemos el ncleo

Gaussiano (funcin de densidad de probabilidad normal estndar)

Cuando el ncleo Uniforme se utiliza, todos los s dentro de la zona local

contribuyen igualmente (los pesos son los mismos) en el ajuste LPK en ,

mientras que todos los s fuera de la zona no contribuyen en nada. Cuando el ncleo

Gaussiano se utiliza, sin embargo, la contribucin de los s se determina por la

distancia de a , es decir, cuanto menor es la distancia , mayor es la

contribucin. Esto es porque el ncleo Gaussiano es con forma de campana y alcanza su

punto mximo en el origen. El ncleo Uniforme tiene un soporte limitado que permite al

ajuste LPK utilizar los datos slo en la zona . Esto hace una implementacin

rpida del posible ajuste LPK, lo cual es ventajoso sobre todo para grandes conjuntos de

datos. El uso del ncleo Gaussiano a menudo resulta en buenos efectos visuales de los

suavizadores LPK, pero paga un precio de requerir ms esfuerzo computacional.

Los ncleos Uniforme y Gaussiano son dos miembros especiales de la siguiente

bien conocida familia Beta simtrica (Marron y Nolan 1989):


32

donde y denota una funcin beta con parmetros y .

La eleccin de conducen a las funciones ncleo Uniforme,

Epanechnikov, Biweight y Triweight, respectivamente. El ncleo Gaussiano es el lmite

de la familia (3.13) cuando . El ncleo Epanechnikov se conoce como el ncleo

ptimo (Fan y Gijbels 1996) para la suavizacin LPK.

La eleccin de un ncleo no suele ser tan importante, ya que no determina la tasa

de convergencia del suavizador LPK (3.6) a la curva subyacente. Sin embargo,

determina la eficiencia relativa del suavizador LPK. Para ms discusin sobre la

eleccin del ncleo, consulte Gasser, Mller y Mammitzsch (1985), Fan y Gijbels

(1996), Zhang y Fan (2000) y sus referencias.

3.2.4. Seleccin del ancho de banda

Un suavizador se considera que es bueno si produce un pequeo error de

prediccin, por lo general medido por el Error Cuadrtico Medio (Mean Squared Error

(MSE)) o el Error Cuadrtico Medio Integrado (Mean Integrated Squared Error

(MISE)) del suavizador. Para el suavizador LPK , sus MSE y MISE se definen

como

donde

se conocen como el sesgo y la varianza de , y es una funcin de peso, a

menudo utilizada para especificar un rango concreto de inters.

Bajo ciertas condiciones de regularidad como que es un punto interior,

podemos demostrar que como ,


33

donde significa est acotada en la probabilidad. Vase, por ejemplo,

Fan y Gijbels (1996, Captulo 3) para ms detalles. De esto, podemos ver que el ancho

de banda controla el equilibrio entre el sesgo al cuadrado y la varianza del suavizador

LPK . Cuando es pequeo, el sesgo al cuadrado es pequeo pero la varianza es

grande. Por otro lado, cuando es grande, el sesgo al cuadrado es grande mientras que

la varianza es pequea. Una buena eleccin de por lo general compensar estos dos

trminos para que el MSE o MISE asociado se reduzca al mnimo.

El papel desempeado por el ancho de banda tambin se puede ver

intuitivamente. Como se mencion anteriormente, el ancho de banda especifica el

tamao de la zona local . Cuando es pequeo,

contiene slo unas pocas observaciones de modo que puede estar bien ajustado

en base al criterio WLS (3.3) para aproximarse cerca de . Esto implica un pequeo

sesgo de . Sin embargo, ya que slo unas pocas observaciones estn involucradas

en el ajuste LPK, la varianza del estimador es muy grande. Con un razonamiento

similar, cuando es grande, contiene muchas observaciones de modo que

tiene un sesgo grande pero una varianza pequea.

Es entonces natural seleccionar un ancho de banda global para que el MISE

(MSE para un ancho de banda local) de se reduzca al mnimo.

Desafortunadamente, el MISE (3.14) no es calculable ya que es, despus de todo,

desconocido y es el objetivo que se estima. Este problema se puede superar mediante la

seleccin de para minimizar algn estimador del MISE. Un estimador del MISE se

puede obtener a travs de la estimacin de las cantidades desconocidas en la expresin

asinttica MISE usando algn grado superior del ajuste LPK, dando como resultado el

llamado complemento de los selectores de ancho de banda (Fan y Gijbels 1992,

Ruppert, Sheather y Wand 1995). El MISE tambin se puede estimar mediante

validacin cruzada o sus versiones modificadas: validacin cruzada generalizada

(Wahba 1985), criterio de informacin Akaike (Akaike 1973) y criterio de informacin

Bayesiano (Schwarz 1978), entre otros.


34

3.2.5. Un ejemplo ilustrativo

Para una rpida implementacin del suavizador LPK, referimos a los lectores a

Fan y Marron (1994) donde una tcnica de agrupacin se propone para el manejo de

grandes conjuntos de datos. Ahora aplicamos el suavizador LPK (3.6) a los datos

presentados en la Figura 3.1. Como ejemplo ilustrativo, se emple el ajuste lineal local

con tres diferentes anchos de banda. En la Figura 3.2, los tres ajustes lineales

locales se presentan. La curva continua de color rojo casi interpola los datos ya que

utiliza un ancho de banda , que es demasiado

pequeo. Este es el caso de infra-suavizado. La curva continua de color azul no se ajusta

bien a los datos ya que utiliza un ancho de banda ,

que es demasiado grande. Este es el caso de sobre-suavizado. La curva continua de

color negro produce un buen ajuste a los datos ya que utiliza un ancho de banda

seleccionado por GCV, que no es demasiado

pequeo o demasiado grande.

-5 0 5 10 15

-10

12

3

Figura 3.2 Ajustes lineales locales

dias

log

(pro

g)


35

Captulo 4: Mtodos localmente polinomiales

4.1. Introduccin

Las tcnicas de suavizado localmente polinomiales han sido bien desarrolladas

para datos i.i.d. o transversales (Wand y Jones 1995, Fan y Gijbels 1996). Con el fin de

aplicar estas tcnicas al anlisis de datos longitudinales, los esfuerzos se han hecho

considerables para incorporar las caractersticas de los datos longitudinales en los

mtodos de suavizado del ncleo (Hoover, Rice, Wu y Yang 1998, Wu, Chiang y

Hoover 1998, Fan y Zhang 2000, Lin y Carroll 2000, Wu y Chiang 2000, Wu y Zhang

2002a, Welsh, Lin y Carroll 2002, Wang 2003, Park y Wu 2005). En los estudios

longitudinales, los datos recogidos del mismo sujeto en el tiempo tienden a estar

correlacionados, aunque los datos de diferentes sujetos se supone que son

independientes. Las variaciones intra-sujeto y entre-sujeto son diferentes y necesitan ser

modeladas apropiadamente.

Hoover, Rice, Wu y Yang (1998), Wu, Chiang y Hoover (1998) y Wu y Chiang

(2000) propusieron por primera vez el mtodo de estimacin del ncleo para modelos

con coeficientes variando en el tiempo con datos longitudinales. Sin embargo, las

caractersticas de los datos longitudinales no se incorporan directamente en sus

mtodos, aunque el criterio de validacin-cruzada dejar-un-sujeto-fuera se propone

para la seleccin del parmetro de suavizado en el que los datos de sujeto-basados en

clusters son reconocidos. Para los datos correlacionados del modelo no paramtrico,

tales como datos longitudinales, Diggle y Hutchinson (1989), Altman (1991), Hart

(1991), Rice y Silverman (1991) y otros han propuesto modificaciones para el criterio

de seleccin del parmetro de suavizado tales como la validacin-cruzada (cross-

validation (CV)) o la validacin-cruzada generalizada (generalized cross-validation

(GCV)) o el uso de CV o GCV dejar-un-sujeto-fuera de forma indirecta en cuenta de

las correlaciones entre los datos. Lin y Carroll (2000) propusieron un mtodo de

ecuacin de estimacin generalizada del ncleo polinomial local (local polynomial

kernel generalized estimating equation (LPK-GEE)) para clustered (agrupados) o datos

longitudinales. Ellos mostraron que la mejor estrategia es ignorar la estructura de

correlacin de los datos longitudinales (fingir como si los datos dentro de un grupo o

sujeto son independientes) en el estimador LPK-GEE. Sin embargo, sus conclusiones se

basan en los resultados asintticos a condicin de que el nmero de sujetos o grupos

tiende a infinito y el nmero de mediciones de cada sujeto es finito. El estimador


36

working-independence de Lin y Carroll no puede ser el mejor para los casos de muestra

finita. De hecho, algunos nuevos resultados han demostrado que es necesaria la

incorporacin de las correlaciones de datos longitudinales en el estimador con el fin de

lograr una mayor eficacia en situaciones de muestras finitas (Wu y Zhang 2002a,

Welsh, Lin y Carroll 2002, Wang 2003). Fan y Zhang (2000) sugiere un enfoque en dos

etapas (primero con un promedio local o de regresin, luego suavizado) de forma

indirecta en cuenta de la correlacin de datos. Un enfoque de modelado de efectos

mixtos localmente polinomial, el cual ms apropiadamente modela las correlaciones

intra-sujeto, fue propuesto por Wu y Zhang (2002a). Este mtodo ser uno de los temas

centrales de este captulo.

Se amplan los modelos lineales de efectos mixtos (Captulo 2) a una

configuracin de modelo no paramtrico ms general en este captulo. El resto de este

captulo est organizado de la siguiente manera. En primer lugar se revisan los mtodos

para la estimacin de la funcin de media poblacional para datos longitudinales en la

Seccin 4.2. Un mtodo polinomial local simple y un mtodo LPK-GEE se describen

brevemente. La Seccin 4.3 introduce un modelo no paramtrico de efectos mixtos

(nonparametric mixed-effects (NPME)) y la Seccin 4.4 presenta la tcnica de

modelado de efectos mixtos localmente polinomial. Se discuten diferentes estrategias de

seleccin del ancho de banda en la Seccin 4.5. Para ilustrar las metodologas, una

aplicacin a los datos de progesterona se presenta en la Seccin 4.6. La mayora de los

materiales de las Secciones 4.3~4.6 provienen de dos artculos de Wu y Zhang (2002a)

y Park y Wu (2005).

4.2. Modelo no paramtrico para la media poblacional

Un conjunto de datos longitudinales, por ejemplo, los datos de progesterona

introducidos en la Seccin 1.1.1 del Captulo 1, son normalmente coleccionados

mediante mediciones repetidas de una serie de sujetos durante un perodo de tiempo.

Los puntos en tiempo de diseo pueden ser diferentes para sujetos diferentes y tambin

lo son el nmero de mediciones. Sea el nmero de sujetos, y sea el -simo

punto en tiempo de diseo del -simo sujeto y la respuesta asociada donde

con denotando el nmero de mediciones del -simo sujeto. Tal conjunto

de datos longitudinales puede ser simblicamente expresado como


37

Si un modelo paramtrico no est disponible para el modelado de la funcin de

media poblacional de los anteriores datos longitudinales, es natural modelar en no

paramtrica. Es decir, asumimos justamente que la funcin de media poblacional es

suave. Tal modelo no paramtrico de media poblacional (nonparametric population

mean (NPM)) se puede escribir como

donde es la funcin suave de media poblacional, y son las salidas de las

mediciones longitudinales de la funcin de media poblacional. Este modelo es

comparable con el modelo de regresin no paramtrica estndar (3.2) del Captulo 3,

pero difiere en que los errores en el modelo NPM (4.2) son por lo general no

independientes.

Dado que no est disponible la forma paramtrica para el modelado de , las

tcnicas de suavizado no paramtricas son necesarias para ser utilizadas. De hecho,

varias tcnicas no paramtricas se han propuesto para los modelos de coeficientes

variando en el tiempo que incluyen el modelo NPM (4.2) como un caso especial. En

esta seccin, se revisan dos tcnicas: un mtodo del ncleo polinomial local (local

polynomial kernel (LPK)) (Hoover, Rice, Wu y Yang 1998); y un mtodo LPK-GEE

(Lin y Carroll 2000).

4.2.1. Mtodo del ncleo polinomial local

El mtodo LPK para los modelos de coeficientes variando en el tiempo para

datos longitudinales fue propuesto y estudiado por primera vez por Hoover, Rice, Wu y

Yang (1998). Como fue el caso del suavizado LPK de datos independientes revisado en

la Seccin 3.2 del Captulo 3, la idea principal de este mtodo LPK es ajustar un

polinomio de cierto grado a localmente.

Sea un punto arbitrario en tiempo fijo. Supongamos que tiene un mximo

de -primeras derivadas continuas para algn entero en . Entonces por la

expansin de Taylor, se puede aproximar localmente por un polinomio de grado

. Es decir,


38

donde y

con

,

. Sea el estimador de obtenido al minimizar el

siguiente criterio de mnimos cuadrados ponderados (weighted least squared (WLS)):

donde con una funcin del ncleo y un ancho de banda. Al igual

que con el suavizado de datos independientes descrito en la Seccin 3.2, el ancho de

banda se utiliza para especificar el tamao de la zonal local y el ncleo

se utiliza para especificar el efecto de los puntos de datos de acuerdo a la distancia

entre y . Por lo general, mientras ms cerca la distancia est, ms grande el efecto

es.

Para dar una expresin explcita para en la notacin de matrices, sea

la matriz de diseo y la matriz de peso para el -simo sujeto, respectivamente. Adems,

se denota

y . Entonces el criterio WLS (4.4)

se puede reescribir como

donde

con siendo el vector respuesta del -simo

sujeto. Se deduce de minimizar (4.5) con respecto a que

Sea un vector unitario -dimensional cuya -sima entrada es 1 y las

dems son 0. Entonces es fcil ver que a partir de las definiciones de

que los estimadores de las derivadas son

En particular, el estimador LPK para la funcin de media poblacional es

.


39

Al igual que con suavizado en datos i.i.d. que se describe en la Seccin 3.2,

puede ser tomado como 0 y 1 por simplicidad. Por ejemplo, cuando , tenemos

, un vector de -dimensiones de s y el estimador LPK resultante es

generalmente conocido como el denominado estimador del ncleo constante local de

donde es el nmero de mediciones totales para todos los sujetos. A

partir de (4.6), el estimador del ncleo constante local de tiene la siguiente

expresin sencilla:

Cuando , es decir, hay solo una medicin por sujeto, el estimador (4.8) se

reduce al estimador de datos i.i.d. en (3.9). El estimador (4.8) se llama un estimador del

ncleo constante local ya que es igual al minimizador, , del siguiente criterio WLS:

En otras palabras, es la mejor constante que se aproxima a en la zona local

en lo que respecta a la minimizacin (4.9).

Cuando , el estimador LPK asociado es generalmente conocido como

el estimador del ncleo lineal local de . A partir de (4.6), el estimador del ncleo

lineal local puede ser expresado como

donde

Del mismo modo, el estimador (4.10) se llama un estimador del ncleo lineal

local ya que se obtiene mediante aproximacin de en una zona local utilizando una

funcin lineal , es decir, minimizando el siguiente criterio WLS:


40

Basado en los resultados de Hoover, Rice, Wu y Yang (1998), es fcil demostrar

que cuando , bajo ciertas condiciones de regularidad, tenemos

donde el trmino de primer orden en la expresin de se

relaciona con la variacin intra-sujeto solamente, mientras que el trmino de segundo

orden se asocia con la variacin entre-sujeto. De ello se desprende que

las propiedades asintticas de son diferentes cuando es limitada, en

comparacin a cuando no es acotado (limitado). De hecho, cuando todos los son

limitados, la en (4.12) est dominada por el trmino de primer orden para que

; cuando todos los tienden a infinito, la est

dominada por el trmino de segundo orden para que

. En particular, supongamos entonces como

, tenemos . En este caso, es -consistente.

A partir de (4.12), el ancho de banda ptimo terico que minimiza

es del orden de cuando es limitada. Rice y

Silverman (1991) propusieron un mtodo de validacin cruzada dejar-un-sujeto-fuera

para la seleccin de un ancho de banda adecuado para datos longitudinales. Esta

estrategia de seleccin de ancho de banda fue empleada por Hoover, Rice, Wu y Yang

(1998).

4.2.2. Mtodo del ncleo polinomial local GEE

El mtodo LPK-GEE fue propuesto y estudiado por Lin y Carroll (2000). Para el

modelo NPM (4.2), basado en la notacin como , , y definido en el apartado

anterior, el asociado LPK-GEE es

donde con y siendo una matriz de correlacin de

trabajo especificado por el usuario. Cuando , el LPK-GEE (4.13) se puede


41

obtener a travs de diferenciar el criterio WLS (4.5) con respecto a y se establece

igual a 0. La solucin del anterior LPK-GEE con respecto a lleva al llamado

estimador LPK-GEE

Los estimadores para y sus derivadas se pueden obtener fcilmente

utilizando (4.7).

La matriz de correlacin de trabajo en la formulacin LPK-GEE (4.13) se

utiliza para tener en cuenta parcialmente la estructura de correlacin subyacente de .

En particular, cuando tomamos , tenemos de manera

que la estructura de correlacin verdadera se tiene en cuenta aunque esto es casi

imposible en aplicaciones reales.

El resultado contrario a la intuicin de Lin y Carroll (2000) es que el ms

eficiente estimador LPK-GEE se obtiene haciendo caso omiso de la correlacin intra-

sujeto en lugar de especificar correctamente la correlacin intra-sujeto, es decir,

suponiendo . Argumentaron que, asintticamente, no hay necesidad de tomar en

cuenta la correlacin porque cuando el ancho de banda es reducido a 0 como el tamao

de la muestra , la posibilidad de que ms de dos observaciones sean del mismo

sujeto es pequea y por lo tanto los datos utilizados en la estimacin local son de sujetos

diferentes que se supone que son independientes. Esto implica que la matriz de

covarianza verdadera para los datos que contribuyen a la estimacin local es

asintticamente diagonal. Por lo tanto, el estimador LPK-GEE working independence

es asintticamente ptimo (Lin y Carroll 2000). Esto est en contraste con la

paramtrica habitual GEE (Liang y Zeger 1986) en que la mejor estrategia es utilizar la

verdadera correlacin de los datos. Como se mencion en Hoover, Rice, Wu y Yang

(1998), debemos interpretar los resultados asintticos con precaucin ya que en

aplicaciones de datos reales, el ancho de banda adecuado seleccionado por un selector

de ancho de banda no suele ser tan pequeo y los resultados asintticos pueden no ser

aplicables. En otras palabras, tomando adecuadamente en cuenta la correlacin puede

ser necesaria para anlisis de datos de muestras finitas.

Se puede observar que el mtodo LPK-GEE utiliza el peso del ncleo para

controlar los sesgos. Con el fin de reducir los sesgos, todos los datos localizados lejos


42

del punto de estimacin se ponderan hacia abajo aunque estos datos pueden contener

informacin til debido a la correlacin con los datos cerca del punto de estimacin del

mismo sujeto. Por lo tanto, la eficiencia de la estimacin se puede perder ya que es

difcil controlar los sesgos y reducir la varianza de forma simultnea. Para hacer frente a

este problema, Wang (2003) propuso un procedimiento de dos pasos. La idea bsica es

la siguiente: Para utilizar de manera eficiente toda la informacin relacionada a un

sujeto, una vez que un punto de datos de un sujeto o grupo se encuentra cerca del punto

de estimacin (por ejemplo, a ) y contribuye significativamente a la estimacin local,

todos los puntos de datos de este sujeto o grupo se utilizarn. Para evitar sesgos, las

contribuciones de todos estos puntos de datos excepto el punto de datos cerca del punto

de estimacin local son a travs de sus residuos. Se define como una matriz

con la -sima fila

y 0 en otro caso. El

procedimiento de dos pasos para el modelo NPM (4.2) puede ser descrito de la siguiente

manera (Wang 2003):

Paso 1. Obtener un estimador inicial consistente de , por ejemplo . Por

ejemplo, el estimador working independence puede ser tomado como .

Paso 2. Obtener la estimacin final de , por ejemplo , resolviendo la

ecuacin estimada del ncleo ponderado

donde el -simo elemento de es

cuando con estando a un margen

del punto de tiempo ; y el -simo elemento de es cuando .

La estructura de est diseada de manera que, para un cuyo tiempo de

medicin no est a un margen de , el residuo , en lugar de ,

contribuye a la estimacin local . Esto garantizar el estimador propuesto

para ser asintticamente insesgado en el peor caso.

Para el modelo NPM (4.2), podemos expresar el estimador de dos pasos como


43

donde

denota la -sima entrada de con siendo la matriz de covarianza

de trabajo para el -simo sujeto. Comparando (4.16) al estimador working

independence , es decir,

vemos que los datos correlacionados pero no en un margen de se incorporan en el

estimador de dos pasos mediante la adicin de sus residuos ponderados obtenidos a

partir del primer paso, y el peso es su correlacin (covarianza) hasta el -simo punto de

datos que est en un margen de . La ventaja del estimador en dos pasos es una

reduccin de la varianza sin la ampliacin de los sesgos al menos asintticamente. El

anterior mtodo de dos pasos puede ser mejorado mediante la iteracin de los dos pasos.

Sin embargo, las investigaciones tericas muestran, a la primera orden, que el estimador

de dos pasos alcanza las mismas propiedades asintticas que el estimador totalmente

reiterado. Wang (2003) muestra que el estimador de dos pasos supera de manera

uniforme el estimador working independence (Lin y Carroll 2000) en trminos de la

varianza asinttica si la covarianza verdadera se ha especificado correctamente.

El mtodo de dos pasos de Wang proporciona una forma inteligente de

incorporar correlaciones intra-sujeto de datos longitudinales con el fin de utilizar

eficientemente los datos disponibles para mejorar el estimador working independence.

Sin embargo, el uso de un margen de de para determinar si los datos o sus

residuos deben ser utilizados para estimar es totalmente arbitrario. No sabemos

cmo esto afecta a la seleccin del ancho de banda. Con el fin de implementar el

mtodo de Wang, la covarianza de trabajo tiene que ser estimada separadamente. En la

Seccin 4.4, presentaremos el enfoque de modelado de efecto mixto para incorporar las

correlaciones intra-sujeto de una manera ms natural.

Chen y Jin (2005) recientemente propusieron utilizar simplemente el mtodo

local de mnimos cuadrados generalizado (generalized least squares (GLS)) para

explicar las correlaciones de datos longitudinales. Su mtodo no es nada nuevo y se

puede considerar como un caso especial del modelo de efectos mixtos localmente

polinomial descrito en la Seccin 4.4. Adems, su mtodo tambin requiere determinar


44

o estimar la matriz de covarianza separadamente, y una estimacin precisa de la matriz

de covarianza es generalmente difcil de obtener.

4.3. Modelo no paramtrico de efectos mixtos

En la seccin anterior, se revisaron dos populares tcnicas no paramtricas para

el ajuste del modelo NPM (4.2) para datos longitudinales. Un problema crtico de las

tcnicas anteriores es que las caractersticas de los datos longitudinales no se incorporan

directamente en los estimadores y estimaciones de las funciones individuales no son

consideradas. En muchos estudios longitudinales, estimacin e inferencia de las

funciones individuales son tan importantes como la funcin de media poblacional. En

esta seccin, extendemos el modelo NPM (4.2) a un modelo que incorpora la funcin de

media poblacional y las funciones individuales de los datos longitudinales de forma

simultnea. El nuevo modelo se puede expresar como

donde como en el modelo NPM (4.2), modela la funcin de media poblacional

suave de los datos longitudinales, tambin llamada funcin de efecto fijo; modela

la salida de la -sima funcin individual de la funcin de media poblacional ,

llamada la -sima funcin de efectos individual (sujeto-especificado) o funcin de

efecto aleatorio; y la funcin de error de medicin que no se puede explicar ni por

las funciones de efecto fijo o de efecto aleatorio. Es fcil ver que el trmino de error,

, del modelo (4.2), ahora se convierte en dos trminos, y , del nuevo

modelo (4.18). El modelo (4.18) se le llama modelo no paramtrico de efectos mixtos

(nonparametric mixed-effects (NPME)) ya que tanto las funciones de efecto fijo y efecto

aleatorio son no paramtricas.

Por conveniencia, a menudo asumimos que las funciones de efecto aleatorio no

observables son copias i.i.d. de un proceso suave (smooth process

(SP)) subyacente con funcin media 0 y funcin covarianza , y que los

procesos de error de medicin no observables son copias i.i.d. de un proceso de

ruido blanco incorrelado con funcin media 0 y funcin covarianza

. Esto es, y . En este trabajo, cuando se trata


45

con inferencias bayesianas o basadas en la probabilidad, por lo general asumimos que

los procesos asociados son Gausianos, es decir,

Ntese que , y caracterizan los rasgos generales de una

poblacin longitudinal de modo que son caractersticas de la poblacin, mientras que

las funciones de efecto aleatorio y las funciones individuales

son especificas de sujeto de modo que son caractersticas de los

individuos. El objetivo principal del modelado NPME es estimar el efecto de la

poblacin y predecir los efectos individuales para un estudio longitudinal. Para

simplificar, la funcin de media poblacional y las funciones individuales

tambin se les conoce como curvas de la poblacin e individual. Debido a que las

cantidades objetivo , y son todas no paramtricas, el modelado NPME

requiere una combinacin de una tcnica de suavizado y un enfoque de modelado de

efectos mixtos.

4.4. Modelado de efectos mixtos polinomial local

En el resto de este captulo, se aplican tcnicas de suavizado del ncleo

polinomial local (local polynomial kernel (LPK)) al modelo NPME (4.18) para analizar

datos longitudinales. Los principios de probabilidad local (Tibshirani y Hastie 1987) se

utilizan para guiar el desarrollo de las metodologas.

4.4.1. Aproximacin polinomial local

Las cantidades objetivo , y se pueden estimar a travs de la

aproximacin a nivel local en el modelo NPME (4.18) por un polinomio basado en el

modelo LME. Esto se puede lograr a travs de la expansin de Taylor de y

en torno a una zona de inters.

Supongamos que y en el modelo NPME (4.18) es suave, por ejemplo,

tienen un mximo de -veces derivadas continuas en cada punto dentro de algn

intervalo de inters, llamado , donde es un entero no negativo. Por la expansin de

Taylor, para cualquier fijo, y en se puede aproximar por un

polinomio de grado -simo dentro de una zona de :


46

donde y

De ello se sigue que, dentro de una zona de , el modelo NPME (4.18) puede ser

razonablemente aproximado por un modelo LME:

donde denota las medicin y errores en el modelo de aproximacin, y denota los

efectos aleatorios. Bajo el supuesto Gausiano (4.19),

Basado en el modelo NPME (4.18), los componentes de varianza

y . Ntese que como el

vector de efectos fijos y la matriz de covarianza son las funciones de la ubicacin

local , por conveniencia, las llamamos la versin localizada del vector de efectos fijos

y la versin localizada de la matriz de covarianza, respectivamente, o en general los

parmetros localizados.

4.4.2. Estimacin por mxima verosimilitud local

Tibshirani y Hastie (1987) propusieron por primera vez el mtodo de mxima

verosimilitud local. Staniswalis (1989) y Fan, Farmen y Gijbels (1998) estudiaron ms a

fondo las propiedades de los estimadores de mxima verosimilitud local del ncleo

ponderado. En esta subseccin, aplicamos el mtodo de mxima verosimilitud local a


47

datos longitudinales en los que las correlaciones entre-sujeto normalmente existen (Park

y Wu 2005).

Supongamos que es un vector de observaciones

obtenido

Métodos de regresión no paramétricos para el análisis de datos longitudinales

Documents

Transcript of Métodos de regresión no paramétricos para el análisis de datos longitudinales