Métodos de resolución de redes

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 INACAP ELECTRICIDAD – 2 GUIA DE APRENDIZAJE UNIDAD-3 TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL DIVISOR DE TENSION El divisor de tensión se aplica a un circuito serie de impedancias, y permite calcular el voltaje en la impedancia sin conocer la corriente que circula por ella. Sea el siguiente circuito: Las ecuaciones del divisor son: Donde: Zt = Z1 + Z2 y representa la impedancia total del circuito serie. Para un circuito de "n" impedancias conectadas en serie, el voltaje en la impedancia enésima será: Vt  Zt  Z Vt  Z  Z  Z V × = × + = 1 2 1 1 1 Vt  Zt  Z Vt  Z  Z  Z V × = × + = 2 2 1 2 2 Vt  Zt  Zn Vn × = Z 1 Z 2 V T + V 1 V 2 + +

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INACAP

ELECTRICIDAD – 2

GUIA DE APRENDIZAJE UNIDAD-3

TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO

SINUSOIDAL

TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL

DIVISOR DE TENSION

El divisor de tensión se aplica a un circuito serie de impedancias, y permite calcular el voltaje en la impedancia

conocer la corriente que circula por ella.

Sea el siguiente circuito:

Las ecuaciones del divisor son:

Donde: Zt = Z1 + Z2 y representa la impedancia total del circuito serie.

Para un circuito de "n" impedancias conectadas en serie, el voltaje en la impedancia enésima será:

Vt Zt

Z Vt

Z Z

Z V ×=×

+=

1

21

11 Vt

Zt

Z Vt

Z Z

Z V ×=×

+=

2

21

22

Vt Zt

ZnVn ×=

Z 1

Z 2V T

+ V 1

V 2

+

+

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 2 DE 17

DIVISOR DE CORRIENTE

El divisor de corriente se aplica a un circuito paralelo de admitancias y permite calcular la corriente po

admitancia sin conocer el voltaje que hay en ella.

Sea el siguiente circuito:

Las ecuaciones del divisor son:

Donde: Yt = Y1 + Y2 y representa la admitancia total del circuito serie.

Para un circuito de "n" admitancias conectadas en paralelo, la corriente en la admitancia enésima será:

It Yt

YnYn ×=

It

Yt

Y It

Y Y

Y I ×=×

+

=1

21

11 Yt

Yt

Y It

Y Y

Y I ×=×

+

=2

21

22

Y 1 Y 2

I 1 I 2

I T

I T

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 3 DE 17

Ejemplo:En el siguiente circuito calcular la corriente I4.

VT = 50∠ 30°V

Z1 = 2∠ -10° Ω

Z2 = 10∠ 80° ΩZ3 = 5∠ -90° Ω

Z4 = 2∠ 0° Ω

Solución:a) Usando el divisor de tensión:

Mediante un divisor de tensión, se calculará la tensión en la impedancia Z4. Para ello es necesario sacar u

impedancia equivalente entre Z2 y Z4.

Ω°∠=

°∠+°∠

°∠×°∠=

+

×= 78,1089,1

028010

028010

42

4224

Z Z

Z Z Z

Ahora se aplica el divisor para calcular el voltaje V24en la impedancia equivalente Z24.

V V Z

Z V T

T

°∠=°∠×°−∠+°∠+−∠

°∠=×= 3,9302,153050

90578,1089,1102

78,1089,124

24

Por ser una conexión paralelo: V24=V2=V4

La corriente I4 se obtiene aplicando Ley de Ohm:

A Z

V I °∠=

°∠

∠== 3,935,7

02

3,9302,15

4

44

b) Usando el divisor de corriente:

Se calcula primero la corriente total IT:

A Z

V I

T

T T °∠=

°−∠+°∠+−∠

°∠== 5,8295,7

90578,1089,1102

3050

Ahora se aplica el divisor:

Z 1

Z 2

Z 3

Z 4V T

+

I 4

I T

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 4 DE 17

A I Y Y

Y I T °∠=°∠×

°∠+°−∠

°∠=×

+= 3,935,75,8295,7

05,0801,0

05,0

42

44

TRANSFORMACION DE FUENTES

Una fuente de voltaje en serie con una impedancia se puede transformar en una fuente de corriente

paralelo con la misma impedancia, sin alterar las características eléctricas del circuito al cual pertenec

Esto tiene relación con los equivalentes de Thevenin y de Norton que serán descritos mas adelante.

Por ahora considérense los siguientes esquemas circuitales:

Donde: I Z V ×= ó Z

V I =

Las dos fuentes son equivalentes, si sus impedancias son iguales y se cumplen las relaciones entre V

indicadas, que no son mas que la expresión de la Ley de Ohm.Una carga conectada entre terminales A y B, tendrá las mismas características de voltaje y corrien

independientemente, si está conectada a uno u otro esquema circuital, porque se trata de fuen

equivalentes.

V

A

B

A

B

Z

Z

+

I

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 5 DE 17

METODO DE LAS CORRIENTES DE MALLAS

El método de las corrientes de mallas se basa en la aplicación de la Ley de voltajes de Kirchhoff y perm

calcular las corrientes que circulan por las malla de un circuito. Para comprender mejor esto se definialgunos conceptos:

Lazo: Trayectoria cerrada de un circuito que no pasa dos veces por el mismo punto.

Malla: Lazo que no contiene otro lazo.Corriente de rama: Corriente que circula por una rama de circuito y que al llegar a un nodo se divide.

Corriente de malla: Corriente que solo circula por una malla. No se divide al pasar por un nodo.

En el siguiente circuito se identifican los conceptos anteriores:

El circuito tiene tres lazos, estos son: ABCDEFA, ABEFA y BCDEB

El circuito tiene dos mallas, estas son: ABEFA y BCDEBI1 es una corriente de rama, que al llegar al nodo B se divide en las corrientes de rama I2 e I3 .

Ia e Ib son corrientes de malla. Solo circulan por las mallas respectivas y no se dividen en un nodo, co

ocurre con la corriente de rama I1.Observar que se pueden escribir las siguientes relaciones entre las corrientes de rama y las corrientes

malla del circuito:

I 1 = Ia

I 2 = Ib I 3 = Ia − Ib ( se toma positiva la corriente de malla que coincide en sentido con la corriente de rama).

Ecuaciones de Mallas

A B C

DEF

I 1 I 2

I 3

I aI bV f

+

A B C

DZ 5F

I 1

I 2

I 3

I a I b

Z 1 Z 2

Z 3 Z 4

Z 6 E

V f

+

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 6 DE 17

A continuación se aplicará la Ley de voltajes de Kirchhoff en cada una de las mallas del circuito anterior.

Malla-A:

f V Z I Z I Z I =×+×+× 613311

Se reemplazan las corrientes de rama por sus equivalentes en corrientes de malla:

( ) f abaa V Z I Z I I Z I =×+×−+× 631

Resolviendo el paréntesis y ordenando términos se obtiene:

( ) f ba V I Z I Z Z Z =−++ 3631 Ecuación Malla-A

Malla-B:

( ) ( ) ( ) ( ) 033252422 =×−×+×+× I Z I Z I Z I Z

Se reemplazan las corrientes de rama por sus equivalentes en corrientes de malla:

( ) ( ) ( ) [ ]( ) 03542 =−×−×+×+× babbb I I Z I Z I Z I Z

Resolviendo los paréntesis y agrupando términos comunes se obtiene:

( ) 065423 =×++++− bb I Z Z Z Z I Z Ecuación Malla-B

Las ecuaciones de malla anteriores se pueden obtener aplicando un método que utiliza una forestructurada de ecuación de malla, cuyo único requisito para generarla es que las corrientes de malla teng

todas sentido de giro horario.

Forma General de las Ecuaciones de Malla:

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 7 DE 17

Ecuación Malla-1: 1313212111 V I Z I Z I Z =−−+

Ecuación Malla-2: 2323222121 V I Z I Z I Z =−+−

Ecuación Malla-3: 3333232131 V I Z I Z I Z =+−−

Donde:Z11 , Z22 , Z33 Impedancias propias de las mallas 1, 2 y 3 respectivamente. Una impedancia propia se

genera sumando todas las impedancias que pertenecen a la malla. Un término propio

siempre es positivo en la ecuación de malla.

Impedancias compartidas entre dos mallas. Por ejemplo Z32 es la impedancia compartida

Entre las mallas 3 y 2. Una impedancia compartida es aquella que pertenece

simultáneamente a dos mallas. Un término compartido siempre es negativo en la ecuaciónde malla.

V1 ,V2 ,V3 Fuentes de voltaje pertenecientes a las mallas 1, 2 y 3 respectivamente. Por ejemplo el

término V1 se genera sumando algebraicamente todas las fuentes de voltaje que pertenezcaa la malla-1. Si la corriente de malla entra por el terminal positivo de la fuente, el valor d

esta se coloca con signo (−) en la ecuación y si la corriente de malla entra por el terminal

negativo de la fuente el valor de esta se coloca con signo (+) en la ecuación.

Ejemplo:En el siguiente circuito calcular el voltaje en L2, usando el método de mallas.

C= 20µFL1 = 0,5 H

L2 = 0,4 H

R1 = 150 Ω

R2 = 50 Ω

ω = 500 rad/seg

Vf = 80∠ 10°V

If = 2∠ 40°ASolución:

Se calculan las impedancias asociadas a cada elemento y se definen las corrientes de malla I1 e I2.Se plan

solo la ecuación de la malla 2 ya que la corriente de la malla 1(I1), queda definida por la fuente de corrieIf. Es decir:

I1 = If = 2 ∠ 40°A

Z 1 2= Z2 1

Z 1 3 = Z3 1

Z 2 3 = Z3 2

C L 1

L 2

R 2

R 1V f

I f

+

+

Z C Z L 1

Z L 2

Z R 2

Z R 1V f

I f

+

+

I 1 I 2

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 8 DE 17

ZR1 = 150∠ 0° Ω

ZR2 = 50∠ 0° Ω

°−∠=−

=−

= 9010001,0

j

C

j ZC

ω Ω

9025011 ∠== L j ZL ω Ω

9020022 ∠== L j ZL ω Ω

Ecuación de malla 2:Vf I ZL I ZR ZL ZL −=×−×++ 122)221(

Despejando I2:

A ZR ZL ZL

I ZLVf I °∠=

°∠+°∠+°∠

°∠×°∠+°∠−=

++

×+−= 3,5598,0

0509020090250

)40290200(1080

221

)12(2

El voltaje en L2, viene dado por la expresión:V ZL I I VL °∠=°∠×°∠−°∠=×−= 2,11619,21790200)3,5598,0402(2)21(2

METODO DE LAS TENSIONES DE NUDOS

El método de las tensiones de nudos se basa en la aplicación de la Ley de corrientes de Kirchhoff y perm

calcular las tensiones de los nudos de un circuito con respecto a un nudo de referencia previameestablecido. Las tensiones de los nudos se consideran positivas con respecto al nudo elegido co

referencia.

Ecuaciones de Nudos

I A I C

R e f e r e n c i a

V A V BV C

Y A Y B

Y C

I 1 a I 1 b I 2 b I 2 c

I 3

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 9 DE 17

A continuación se aplicará la Ley de corrientes de Kirchhoff en cada uno de los nudos del circuito anter

en los que se ha asignado una tensión de nudo (VA, VB y VC).

Nudo A: La tensión del nudo A se considera positiva con respecto al nudo B, por lo tanto la corriente I1a s

del nudo A.

01 =+ Aa I I

Pero:

)(1 B A Aa V V Y I −=

Reemplazando y agrupando términos:

A B A A A I V Y V Y −=− Ecuación del Nudo A

Nudo B: La tensión del nudo B se considera positiva con respecto a las tensiones de los nudos A y C, portanto las corriente I1b e I2b salen del nudo B.

0321 =++ I I I bb

Pero:

)(1 A B Ab V V Y I −=

)(2 c B Bb V V Y I −=

BC V Y I =3

Reemplazando y reagrupando términos:

0)( =−−++ C B A A BC B A V Y V Y V Y Y Y Ecuación del Nudo B

Nudo C: La tensión del nudo C se considera positiva con respecto al nudo B, por lo tanto la corriente I2C s

del nudo C.

02 =− C C I I

Pero:

)(2 BC BC V V Y I −=

Reemplazando:

C B BC B I V Y V Y =−Ecuación del Nudo C

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 10 DE 1

Las ecuaciones de nudos anteriores se pueden obtener aplicando un método que utiliza una for

estructurada de ecuación de nudo.

Forma General de las Ecuaciones de Nudos:

Ecuación Nudo-1: 1313212111 I V Y V Y V Y =−−+

Ecuación Nudo-2: 2323222121 I V Y V Y V Y =−+−

Ecuación Nudo-3: 3333232131 I V Y V Y V Y =+−−

Donde:

Y11 , Y22 , Y33 Admitancias propias de los nudos 1, 2 y 3 respectivamente. Una admitancia propia segenera sumando todas las admitancias conectadas a un nudo.Un término propio siempre

es positivo en la ecuación de nudo.

Admitancias compartidas entre dos nudos. Por ejemplo Y32 es la admitancia compartida

Entre los nudos 3 y 2. Una admitancia compartida es aquella que está conectadaentre dos nudos. Un término compartido siempre es negativo en la ecuación de nudo.

I1 ,I2 ,I3 Fuentes de corriente conectadas a los nudos 1, 2 y 3 respectivamente. Por ejemplo eltérmino I1 se genera sumando algebraicamente todas las fuentes de corriente que están

conectadas al nudo 1. Si la corriente de la fuente entra al nudo esta se coloca con signo(+) en la ecuación y si la corriente de la fuente sale del nudo esta se coloca con signo (-) enla ecuación.

Ejemplo:

En el siguiente circuito calcular el voltaje Vx, usando el método de nudos.

Za = 4∠ 70° Ω

Yb = 1∠ 50°mhos

Yc = 0,5∠ -30°mhos

Vf = 12∠ 0°V

If = 2∠ 15°ASolución:

Los nudos de interés son los nudos identificados como V1 y V2. Se realiza una transformación de la fuede voltaje Vf en serie con la impedancia Za, a una fuente de corriente (I1) en paralelo con la impedanc

como se muestra a continuación:

Y 1 2= Y2 1

Y 1 3 = Y3 1

Y 2 3 = Y3 2

V f I f

Z a Y b

Y c

V x

+

I 1 I f Z a

Y b

Y c

+

R e f e r e n c i a

+

V 1 V 2

I b

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 11 DE 1

A Za

Vf I °−∠=

°∠

°∠== 703

704

0121

La tensión Vx, corresponde a la tensión del nudo 2, es decir: Vx = V2

Ecuación del nudo-1:121)( I YbV V YcYbYa =−++

mhos Za

Ya °−∠=°∠

== 7025,0704

11

Reemplazando:°−∠=°∠−°−∠+°∠+°−∠ 70325011)305,05017025,0( V V

70325011)61,13195,1( −∠=°∠−°∠ V V

Ecuación del nudo 2: If YbV YbV =+− 21

Reemplazando:

°∠=°∠+°∠− 15225011501 V V

Se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtienen los valores de V1 y V2:

V1 =5,279∠ 5,19°V

V2 =6,928∠ -5,55°VPor lo tanto el valor de Vx es:

Vx = 6,928∠ -5,55°V

TEOREMA DE THEVENIN

El teorema de Thevenin establece que un circuito o parte de este puede ser reemplazado por uno equivalen

(llamado circuito equivalente de Thevenin) constituido por una fuente de voltaje (Vth) en serie con una

impedancia (Zth).

A

B

Z t h

V t h

+

A

B

C i r c u i t o a s e r

t r a n s f o r m a d o

C i r c u i t o e q u i v a l e n t e

d e T h e v e n i n

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 12 DE 1

Para obtener el circuito equivalente de Thevenin se debe seguir el siguiente procedimiento:

1) Identificar los terminales A y B en el circuito.

2) Abrir entre los terminales A y B. Esto significa retirar la (s) impedancia (s) de carga conectadaentre los terminales.

3) Calcular el voltaje a circuito abierto entre los terminales A y B. Este será el voltaje de la fuente

Thevenin, Vth.4) Calcular la impedancia equivalente entre los terminales A y B. Para esto se deben abrir las fuentes

corriente y cortocircuitar las fuentes de voltaje. El circuito así formado recibe el nombre de circuit

red pasiva. La impedancia calculada será la impedancia de Thevenin, Zth.5) Armar el circuito equivalente de Thevenin, conectando en serie la fuente Vth con la impedancia Z

TEOREMA DE NORTON

El teorema de Norton establece que un circuito o parte de este puede ser reemplazado por uno equivale

(llamado circuito equivalente de Norton) constituido por una fuente de corriente (In) en paralelo con u

impedancia (Zn).

Para obtener el circuito equivalente de Norton se debe seguir el siguiente procedimiento:6) Identificar los terminales A y B en el circuito.

7) Cortocircuitar los terminales A y B. Esto significa retirar la (s) impedancia (s) de carga conectada

entre los terminales y realizar un cortocircuito entre ellos.8) Calcular la corriente que circula por el cortocircuito entre los terminales A y B. Esta será la corrie

de la fuente de Norton In.

9) Calcular la impedancia equivalente entre los terminales A y B abiertos. Para esto se deben abrirfuentes de corriente y cortocircuitar las fuentes de voltaje. El circuito así formado recibe el nom

de circuito o red pasiva. La impedancia calculada será la impedancia de Norton, Zn.

10) Armar el circuito equivalente de Norton, conectando en paralelo la fuente In con la impedancia Zn

A

B

A

B

C i r c u i t o a s e r

t r a n s f o r m a d o

C i r c u i t o e q u i v a l e n t e

d e N o r t o n

I n

Z n

+

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 13 DE 1

RELACION ENTRE LOS CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THEVENIN Y DE NORTON

El circuito equivalente de Thevenin se puede obtener también por transformación de fuente del circu

equivalente de Norton y viceversa.

De acuerdo a la transformación se cumple que:

TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Para transferir la máxima potencia desde un circuito a una carga se debe cumplir que la impedancia de ca

sea igual al conjugado de la impedancia de Thevenin del circuito.

Zn Zth = Zth InVth ×= Zth

Vth In =

A

B

Z t h

V t h

+I n Z n

A

B

+

Z c

Z t h

V t h

E q u i v a l e n t e T h e v e n i n

d e u n c i r c u i t o

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 14 DE 1

Para que el circuito, representado por su circuito equivalente de Thevenin, transfiera la máxima potencia a

carga conectada Zc, se debe cumplir que:

∗= Zth Zc

Si Zth = a + jb entonces Zth* = a – jb

Ejemplo:

En el siguiente circuito, obtener los circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton, entre terminales A y

aplicando los teoremas respectivos. Calcular el valor que debe tener Zc para que se transfiera la máxi potencia.

Z1 = 20 Ω

Z2 = j10 Ω

If = 2∠ 5°A

Vf = 40∠ 0°V

Solución:

Cálculo de Vth:Para calcular Vth, se debe abrir entre A y B y calcular el voltaje a circuito abierto entre A y B.

2 Z V Vf Vth +=

Pero:

V Z If V Z °∠=°∠×°∠=×= 952090105222

Entonces:V Vth °∠=°∠+°∠= 5,27134,439520040

A

B

+

_

Z c

Z 1

Z 2I f

V f

+

+

A

B

+

_

Z 1

Z 2I f

V f

+

+

V t hV Z 2

+

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 15 DE 1

Cálculo de Zth ( Zth = Zn ):

Para calcular Zth se debe cortocircuitar la fuente de voltaje y abrir la fuente de corriente para obtener la

pasiva y calcular la impedancia equivalente entre A y B.

Del circuito se obtiene que Zth = Z2 = 10∠ 90° Ω

Cálculo de In:

Para calcular In se debe realizar un cortocircuito entre A y B y calcular la corriente de cortocircuito.

Para calcular In, se aplica el método de mallas.

La corriente de malla 1 es igual a la coriente de la fuente If, por lo tanto:

I1 = 2∠ 5°AEcuación de la malla-2:

Vf I Z I Z =− 12 22

Despejando I2:

A Z

I Z Vf I °−∠=

°∠

°∠×°∠+°∠=

+= 5,62313,4

9010

)529010(040

2

12 2

La corriente de Norton es igual a la corriente e la malla 2, por lo tanto:

In = 4,313∠ -62,5°A

Los circuitos equivalentes son:

B

Z 1

Z 2

A

A

B

Z 1

Z 2I f

V f

+

+I n

A

B

Z t h

V t h

+I n Z n

A

B

+

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 16 DE 1

Vth = 43,134∠ 27,5°V In = 4,313∠ -62,5 A

Zth = 10∠ 90° Ω Zn = Zth = 10∠ 90° Ω

Para máxima transferencia de potencia la impedancia de carga debe tener un valor:

Zc = Zth* = 10∠ -90° Ω

TEOREMA DE SUPERPOSICION

El teorema de superposición establece que en un circuito lineal de n fuentes independientes, el voltaje o

corriente en cualquier elemento del circuito se puede obtener por la suma algebraica de los aportes de c

fuente actuando en forma individual. Esto implica que se debe analizar un número de circuitos iguanúmero de fuentes. Cada uno de estos circuitos individuales contendrá una sola fuente independiente, y

demás deben ser anuladas, cortocircuitándola si se trata de una fuente de voltaje o abriéndola si se trata

una fuente de corriente.

Ejemplo:

En el siguiente circuito calcular Vx aplicando el Teorema de Superposición.

V1 = 30∠ 25° [v]

I1 = 2∠ 10° [A]Z1 = 8∠ 0° Ω

Z2 = 6∠ 40° Ω

Z3 = 12∠ -5° Ω

Solución:

Primero se calcula el voltaje Vx1 debido al aporte de la fuente de voltaje V1, actuando individualmente. P

ello se debe abrir la fuente de corriente. El circuito que queda es:

V 1

I 1Z 1 Z 2

Z 3

V x+ +

+

Z 1Z 2

Z 3V 1

+

+

V x1

5/17/2018 Métodos de resolución de redes - slidepdf.com

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INACAP TEOREMAS DE CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SINUSOIDAL PAGINA 17 DE 1

Aplicando un divisor de voltaje se puede calcular Vx1.

V V Z Z

Z V x 02,132664,13)2530(08406

406)1(12

21 −∠=°∠−°∠+°∠

°∠=−+=

Ahora se calcula el voltaje Vx2 debido al aporte de la fuente de corriente I1 actuando individualmente. Pa

ello se debe cortocircuitar la fuente de voltaje. El circuito que queda es:

Aplicando un divisor de corriente se puede calcular Ix2:

A I Z Z

Z I x °−∠=°∠

°∠+°∠

°∠=

+= 02,7215,1)102(

40608

08)1(

21

12

V Z I V x x °∠=°∠×°−∠=×= 98,3229,740602,7215,1222

El voltaje Vx, es la suma de los voltajes aportados por cada fuente :

V V V Vx x x °−∠=°∠+°−∠=+= 12,116886,698,3229,702,132664,1321

Z 1Z 2

Z 3

+

V x2I 1

+I x2