Métodos de Métodos de resolución de resolución de sistemas de sistemas de ecuaciones ecuaciones

linealeslinealesTrabajo realizado por: Carmen Escalona 4ºESO B

Existen dos tipos de sistemas de ecuaciones:

1) Sistemas de ecuaciones lineales: son un conjunto de ecuaciones

que pueden escribirse de la forma ax+by=c y que hay que

resolver simultáneamente. La solución del sistema es el valor o

los valores que han de tomar las incógnitas para que se cumplan

todas las igualdades del sistema. Ejemplo: 2x+y=7

x+y=4

2)Sistemas de ecuaciones no lineales: en ocasiones algunas de las

ecuaciones del sistema no pueden escribirse de la forma

ax+by=c. Esto ocurre cuando hay productos o cocientes entre las

incógnitas o cuando aparecen incógnitas elevadas a un número

distinto de 1. Ejemplo: 2x·y=6

x2-y=8

En este trabajo hablaremos solo de los sistemas lineales de ecuaciones

y sus métodos de resolución.

Los sistemas lineales de ecuaciones se clasifican según su número de

soluciones en :

• SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: el sistema cuenta con una

única solución, hay tan solo un valor de x y otro de y que cumplen

todas las igualdades del sistema.

• SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: el sistema tiene infinitas

soluciones. Ocurre cuando al simplificar una de las ecuaciones del

sistema esta resulta ser igual a la otra ecuación, es decir, el sistema

es, en realidad, una sola ecuación con dos incógnitas.

• SISTEMA INCOMPATIBLE: el sistema no tiene solución porque las

distintas igualdades que lo forman aportan información contradictoria

Métodos de resolución de sistemas Métodos de resolución de sistemas

lineales de ecuacioneslineales de ecuaciones

Método de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuaciones

una incógnita (la que resulta más sencilla), después sustituir su

expresión en la otra ecuación del sistema y resolver la igualdad

resultante. Haz clic una vez para ver un ejemplo.

x-y=3

x+2y=9

x=3+y

x+2y=9x+2y=9 (3+y)+2y=9

3+y+2y=9

3y=6

y=2

SOLUCIÓN:

x=5

y=2x-y=3 x-2=3 x=5

Clic para continuar

Método de igualación: consiste en despejar la misma incógnita en todas

las ecuaciones, igualar las expresiones obtenidas y resolver la ecuación

resultante. Haz clic una vez para ver un ejemplo.

x+y=8

x+3y=12

x=8-y

x=12-3y 8-y=12-3y 2y=4 y=2

x+3y=12 x+3·(2)=12 x+6=12 x=6

SOLUCIÓN:

x=6

y=2

Clic para continuar

Método de reducción: consiste en igualar mediante multiplicaciones

los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

Después se suman o restan las dos ecuaciones de modo que

desaparezca una de las incógnitas y se resuelve la ecuación con una

incógnita resultante. Por último se calcula el valor de la otra

incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema. Haz clic

una vez para ver un ejemplo.

2x-7y=-2

x+3y=12(·2)

2x-7y=-2

2x+6y=24

2x-7y=-2

2x+6y=24

2x-7y=-2

2x+6y=24

-13y=-26

y=22x+6·(2)=24

2x+12=24 2x=12

x=6

SOLUCIÓN:

x=6

y=2Clic para continuar

Método gráfico: consiste en despejar y en todas las ecuaciones. Después

elaborar una tabla de valores en la que se da valores a x para obtener

así valores de y. Seguidamente representar los puntos obtenidos en un

sistema de ejes, el resultado serán dos rectas (o más dependiendo del

número de ecuaciones del sistema) que representan todas las soluciones

de cada ecuación. Al dibujar las dos rectas puede ocurrir que:

-sean paralelas: entonces el sistema es incompatible y no tiene solución.

-coincidan (sean las dos rectas la misma recta): el sistema es compatible

indeterminado, tiene infinitas soluciones.

-se corten en un punto: entonces el sistema es compatible determinado.

El punto en el que se cortan es la solución del sistema, si por ejemplo las

rectas se cortan en el punto (4,8) la solución del sistema es x=4; y=8.

Haz clic una vez para ver un ejemplo.

x+y=6

x-y=2Despejar y

y=6-x

y=x-2Tabla de valores

x 0 2

y 6 4

x 0 3

y -2 1

y=6-x

y=x-2

Representar puntos

El punto en que se cortan las dos rectas es la solución del sistema por tanto:

SOLUCIÓN:

x=4

y=2

Clic para continuar

Cada método de resolución es más o menos conveniente según el sistema

ante el que nos encontremos.

-Si en el sistema hay una incógnita despejada o es fácil despejarla

emplearemos SUSTITUCIÓN.

-Si la misma incógnita está despejada o es fácil de despejar en ambas

ecuaciones emplearemos IGUALACIÓN.

-Se aplica REDUCCIÓN cuando no es fácil utilizar los dos métodos

anteriores.

-El MÉTODO GRÁFICO resulta más largo y complicado que los otros

métodos, sin embargo es el único que representa la solución

gráficamente, en un sistema de ejes.

A continuación veremos cómo resolver problemas siguiendo los diferentes

métodos mencionados.

RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN

RESOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO

RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos

puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es

obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener

al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar

correctamente como mínimo para aprobar?

Pincha en los recuadros para ver los distintos métodos de resolución para el problema

Sea cual sea el método que empleemos lo primero que hemos de hacer al resolver un problema es identificar las incógnitas y plantear el sistema de ecuaciones:

x= nº preguntas correctas

y= nº preguntas falladas

x+y=20

2x-0,5y=20

Puesto que es obligatorio responder todas las preguntas las preguntas falladas y las acertadas han de sumar 20.

El nº de preguntas acertadas multiplicado por 2 ptos que vale cada pregunta menos el nº de preguntas falladas multiplicado por 0,5 que vale cada una han de sumar al menos 20 para aprobar.

Pincha aquí para ver otros

problemas

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PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan

dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error.

Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y

obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay

que contestar correctamente como mínimo para aprobar?

x+y=20

2x-0,5y=20

x=20-y

2x-0,5y=20 2x-0,5y=20 2·(20-y)-0,5y=20

40-2y-0,5y=20

-2,5y=-20

y=8

x+8=20 x=12

SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar

•SUSTITUCIÓN

PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos

puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es

obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al

menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar

correctamente como mínimo para aprobar?

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x+y=20

2x-0,5y=20

x=20-y

2x=20+0,5y

x=20-y

x=20+0,5y

2

20-y=20+0,5y 2

40-2y=20+0,5y

-2,5y=-20 SOLUCIÓN: como mínimo hay que

contestar 12 preguntas bien para aprobar y=8

x+8=20 x=12

•IGUALACIÓN

PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos

puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es

obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al

menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar

correctamente como mínimo para aprobar?

x+y=20

2x-0,5y=20

2x+2y=40

2x-0,5y=20

·(2) 2x+2y=40

2x-0,5y=20-

2,5y=20

y=8x+8=20 x=12

SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar

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•REDUCCIÓN

•M.GRÁFICO

PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos

puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es

obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al

menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar

correctamente como mínimo para aprobar?x+y=20

2x-0,5y=20

y=20-x

y=20-2x

-0,5

y=20-x

y=20-2x -0,5

x 10 8

y 10 12

x 6 8

y -16 -8

SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar

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A continuación aparecen varios problemas, intenta solucionarlos

empleando los distintos métodos ( si los resuelves bien la solución

debe ser siempre la misma independientemente del método

utilizado). Para comprobar al solución pincha en el recuadro

“SOLUCIÓN”.

PROBLEMA: Un grupo de amigos alquila un local para una fiesta por

700€. Si fueran dos amigos más cada uno pagaría 40€. ¿Cuántos

amigos son y cuánto dinero tienen que aportar?

SOLUCIÓN

PROBLEMA: Un carpintero recibe el encargo de hacer el marco de un

cuadro utilizando un listón de 2m sin que sobre ni falte madera. Si

el cuadro es rectangular y su superficie es de 24dm2 ¿de qué

longitud han de ser los trozos que corte del listón?

SOLUCIÓN

Clic para ver más problemas

PROBLEMA: Los billetes de 50€ y 20€ que lleva Luis en el bolsillo

suman 380€. Si cambiamos los billetes de 20€ por los de 50€ y al

revés suman 320€. ¿Cuántos billetes lleva de cada tipo?

SOLUCIÓN

PROBLEMA: A un congreso acuden 60 personas. Si se van tres

hombres y vienen tres mujeres el número de mujeres sería un tercio

del de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

PROBLEMA: Un grupo de amigos alquila un local para una fiesta por

700€. Si fueran dos amigos más cada uno pagaría 40€. ¿Cuántos

amigos son y cuánto dinero tienen que aportar?

El sistema que habría que plantear para resolver el problema es :

x= nº estudiantes xy=700y=€ que aporta cada uno y=700

x+2

Solución: cada uno aporta 140€ y son 5 amigos

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SOLUCIÓN

PROBLEMA: Un carpintero recibe el encargo de hacer el marco de un

cuadro utilizando un listón de 2m sin que sobre ni falte madera. Si el

cuadro es rectangular y su superficie es de 24dm2 ¿de qué longitud han

de ser los trozos que corte del listón?

Es importante acordarse de pasar todos los datos a las mismas

unidades. El sistema que habría que plantear para resolver el problema

es :

xy=2400

2x+2y=200

y

x

Solución: dos trozos miden 60cm y dos trozos miden 40 cm

VOLVER

SOLUCIÓN

PROBLEMA:Los billetes de 50€ y 20€ que lleva Luis en el bolsillo

suman 380€. Si cambiamos los billetes de 20€ por los de 50€ y al

revés suman 320€. ¿Cuántos billetes lleva de cada tipo?

El sistema que habría que plantear para resolver el problema es :

x= nº billetes de 20€

y= nº billetes de 50€

Solución: lleva 4 billetes de 20€ y 6 de 50€

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20x+50y=380

50x+20y=320

SOLUCIÓN

PROBLEMA: A un congreso acuden 60 personas. Si se van 3 hombres

y vienen tres mujeres el número de mujeres sería un tercio del de

hombres. ¿Cuántos hombre y mujeres hay?

El sistema que habría que plantear para resolver el problema es :

x= nº mujeres x+y=60y=nº hombres x+3=y-3

3

Solución: hay 48 hombres y 12 mujeres en el congreso

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