CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Solución del sistema dado por los cinco métodos.

2x + y = 54x – y = 1

Método Gráfico Métodos analíticosSuma o resta Sustitución Igualación Determinantes

Una de las formas más rápidas para graficar una recta es definir dos puntos por los que pasa.

1.- Para la ecuación 2x + y = 5,

si x=0, 2(0) + y = 5, el primer producto es cero, y y = 5, entonces, el punto es (0, 5)

si x=2, 2(2) + y = 5 4 + y = 5 y = 5 – 4 y = 1, de donde el otro punto es (2, 1)

En este método lo que se busca es eliminar una variable, cuando tiene los mismos coeficientes y de signo contrario.

En el caso de las ecuaciones ejemplo, lo más sencillo es eliminar las y´s directamente haciendo la suma, puesto que tienen coeficiente 1 y -1, respectivamente.

Pero vamos a eliminar la x, para ver como se hacecuando no son iguales.

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

Luego de encontrar el valor de esa incógnita, éste se sustituye en la ecuación despejada y se obtiene el valor de la segunda incógnita.

1.- De la ecuación 1, se despeja y, entonces:

y = 5 – 2x (3)

Es un método similar al de sustitución, sólo que en lugar de despejar una de las ecuaciones, se despejan las dos.

1.- Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones.Ej. Despejar x.

De la primera ecuación:

x=5− y2

(3)

Dela segunda ecuación:

x=1+ y4

(4)

Consiste en usar sólo los coeficientes de las ecuaciones.La única condición es que las ecuaciones estén ordenadas tal y como está el sistema – ejemplo, los términos de x, los de y, y los independientes en el lado derecho.

Se deben encontrar primero los coeficientes ∆ ,∆x y ∆y .

2.- Para la ecuación 4x – y = 1,

si x = 0, 4(0) – y = 1 -y = 1 y = -1 habiendo multiplicado por -1 toda la

1.- Como el 4 es divisible entre 2, si multiplicamos la primera ecuación por -2, en x nos quedaría un coeficiente -4 que al sumar con el coeficiente para x en

Le llamamos ecuación 3.

2.- Ahora, se sustituye en la ecuación 2.

4x - (5 – 2x) = 1

2.- Ahora, como vemos que x tiene un valor en cada despeje, entonces podemos igualar los lados derechos de las ecuaciones (3) y (4).

Obtención de los coeficientes.

1.- Para el coeficiente ∆ ,

se toman los coeficientes de x y los de y.

expresión. Por tanto, el punto es (0, -1)

Si x = 2, 4(2) – y = 1 8 – y = 1 -y = 1 – 8 -y = -7 y = 7, habiendo multiplicado por -1.Entonces, el punto es (2, 7)

3.- Trazando los puntos y las rectas, la intersección de ellas es el punto solución del sistema.

Gráfica.

la segunda ecuación, se eliminan.

Entonces, multiplicando por-2 la primera ecuación, queda:

-2(2x + y = 5)-4x - 2y = -10

2.- Ahora se suma con la segunda ecuación.

-4x - 2y = -10 4x – y = 1----------------- -3y = -9

y = -9/-3

y = 3

3.- Finalmente, el valor de y se sustituye en una de las dos ecuaciones originales.Sustituyendo en la primera ecuación:

2x + (3) = 52x + 3 = 5 2x = 5 – 3 2x = 2 x = 2/2 x = 1

Es decir, en lugar de y, pusimos el valor que le asocia a y, la ecuación 3.

3.- Despejamos x.

4x -5 + 2x = 16x – 5 = 16x = 1 + 56x = 6

x = 6/6

x = 1

4.- A continuación, este valor se sustituye en la ecuación 3.

y = 5 – 2(1)

y = 5 – 2

y = 3

5.- Por tanto, la solución es:(1, 3)

5− y2

=1+ y4

3.- Se resuelve para y.

4(5-y) = 2(1+y)20 - 4y = 2 + 2y20 – 2 = 4y + 2y 18 = 6y 18/6=y

y = 3

4.- Finalmente, el valor de y se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para x.

Sustituyendo y=3 en la ecuación (3),

x=5−(3)2

x=5−32

x=22

x = 1

5.- La solución del sistema

(Compare con las ecuaciones)

∆=|2 14 −1|

Solución.

∆=(2 ) (−1 )−(4)(1)

∆=−2−4

∆=−6

2.- Coeficiente ∆x ,Se toman los coeficientes independientes (sustituyen a los de x) y los de y.

∆x=|5 11 −1|

∆x=(5 ) (−1 )−(1)(1)

∆x=−5−1

∆x=−6

3.- Coeficiente ∆ y,Se toman los coeficientes de x, y los independientes (sustituyen a los de y).

4.- Así que la solución es:

(1, 3)

es (1, 3)∆ y=|2 5

4 1|∆ y=(2 ) (1 )−(4)(5)

∆ y=2−20

∆ y=−18

4.- Último paso.

Con los tres coeficientes obtenidos, finalmente, se calculan x y y.

x=∆x∆

y

y=∆ y∆

,

5.- Por lo tanto, sustituyendo los valores obtenidos:

x=−6−6 , x = 1

y=−18−6 , y = 3

La solución es: (1, 3)