METODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
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METODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
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METODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Competencia
Utiliza adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.
Objetivos: Resuelve ecuaciones y sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos desarrollados.Plantea la o las expresiones algebraicas que representan la situación.
Resuelve la situación a partir de la o las expresiones algebraicas que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y/o métodos desarrollados.
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?Una ecuación de segundo gradoO ecuación cuadrática es una
ecuaciónpolinómica donde el mayor
exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita.
LA ECUACIÓN CUADRÁTICA SE EXPRESA DE LA MANERA SIGUIENTE:
DONDE A ES EL COEFICIENTE CUADRÁTICO O DE SEGUNDO GRADO Y ES SIEMPRE DISTINTO DE 0, B EL COEFICIENTE LINEAL O DE PRIMER GRADO Y C ES EL TÉRMINO INDEPENDIENTE.
HISTORIA
La ecuación de segundo grado y su solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
CLASIFICACIÓN: LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
SE CLASIFICA DE LA SIGUIENTE MANERA:
Incompleta mixta
Completa
INCOMPLETA PURA
INCOMPLETA PURAPARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA PURA, BASTA CON DESPEJAR LA VARIABLE Y SUS RAÍCES SERÁN IGUALES Y DE SIGNO CONTRARIO.
AX² + C = 0 DESPEJANDO TENEMOS AX² = -C
POR LO TANTO : X² = - C
A
X = √ -C
A
EJEMPLO ECUACIÓN CUADRÁTICA PURA
FORMA: AX² + C = 0 SUSTITUCIÓN
CON VALORES: 3X² - 9 = 0 3X² - 9 = 0
DESPEJANDO :3X² = 9 3(1.732…) ² -9= 0
X² = 9/3 3(3) -9 = 0
X² = 3 9 – 9 = 0
X = ± √ 3 0 = 0
RESULTADO: X1 = + 1.73205…
X2 = - 1.73205 …
INCOMPLETA MIXTALAS ECUACIONES CUADRÁTICAS MIXTAS SE RESUELVEN POR FACTORIZACION SIMPLE. UNA DE SUS RAÍCES ES IGUAL A CERO Y LA OTRA TENDRÁ UN VALOR REAL.
AX² + BX = 0
FACTORIZAMOS: X (AX + B) = 0
LA PRIMERA RAÍZ ES: X1= 0
DEL PARÉNTESIS : AX + B = 0
DESPEJANDO: AX = - B
LUEGO LA SEGUNDA RAÍZ ES : X2 = -B
A
EJEMPLO ECUACIÓN CUADRÁTICA MIXTA
FORMA: AX² + BX = 0
CON VALORES: 2X² - 6X = 0
FACTORIZANDO: 2X( X – 3) = 0
LA PRIMERA RAIZ ES: 2X = 0
POR LO TANTO: X1 = 0
IGUALANDO A CERO: X – 3= 0
LA SEGUNDA RAIZ ES: X2= 3
ECUACIÓN CUADRÁTICA MIXTA
SUSTITUYENDO : 2X² - 6X = 0
X1 = 0 X2= 3
2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 0
2(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =0
0 – 0 = 0 18 – 18 = 0
0 = 0 0 = 0
La ecuación La ecuación 3x3x22 + 9x = 0 + 9x = 0 se se resuelve de la siguiente manera:resuelve de la siguiente manera:Se saca Se saca xx como factor común: como factor común: x (3x + 9) = 0 x (3x + 9) = 0X = 0; 3x = - 9X = 0; 3x = - 9 x = -9/3x = -9/3 x = -3x = -3
ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA
LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS DE LA FORMA COMPLETA PUEDEN RESOLVERSE POR DISTINTOS MÉTODOS COMO SON POR FACTORIZACION, POR FORMULA GENERAL O COMPLETANDO EL TRINOMIO DEL CUADRADO PERFECTO.
SU FORMA ES:
METODO DE FACTORIZACIÓN
SOLUCIÓN POR FACTORIZACION
Este metodo consiste en:
Factorizar el trinomio en el producto de dos binomios
Para que este producto se anule es necesario que se anule uno de los factores, es decir, se iguala a cero el producto
Se despeja la variable (por lo general “x”)
EJEMPLO POR FACTORIZACION
FORMA : AX² + BX + C = 0
CON VALORES: X² + 5X + 6 = 0
FACTORIZAMOS EL TRINOMIO: (X + 2) (X + 3) = 0
IGUALAMOS A CERO CADA FACTOR: SI X + 2 =0
SE OBTIENE: X = -2
SI X + 3= 0
SE OBTIENE: X = -3
LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN SON: X1= -2 X2= -3
ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA
SUSTITUYENDO X² + 5X + 6 = 0
X1= -2 X2=-3
(-2) ² + 5 (-2) + 6 = 0 (-3) ² + 5 (-3) + 6 =0
4 + -10 + 6 = 0 9 -15 + 6 = 0
10 – 10 = 0 15 – 15 = 0
0 = 0 0 = 0
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN
Es posible resolver ecuaciones de segundo grado por factorización cuando trasladando todos los términos a un solo miembro de la ecuación igualada a cero, el polinomio resultante es factorizable.
Ejemplo 5:
Resolver para x por medio de factorización:
Solución: Factorizamos por el método de inspección así:
, dos números que multiplicados den 12 y que restados den uno.
, donde uno de estos factores o los dos son cero.
Si
Si
2x + x -12
2x + x - 12 = 0
x + x - = 0
0x +4 x - 3
1x - 3 = 0 x = 3
4 4 2x + = 0 x =
Ejemplo 7:
Resolver para a por factorización:
Solución: Multiplicamos y dividimos por 6 que es el coeficiente de
, ahora hacemos la inspección
, saquemos factor común en ambos paréntesis
, simplifiquemos , donde uno de estos factores o los dos son cero.
Si
Si
26a -11a +10=0
2
26 6a -11a +10
6a -11a +10 = =06
0
236a -11a 6 + 60=
6
0
6a +15 6a - 4=
6
0
3 2a + 5 2 3a - 2=
6
0= 2a + 5 3a - 2
2a
12a +5 = 0 a =- 5
2
23a -2 = 0 a =
3
*-.ECUACIONES.-*
Este método consiste en factorizar la ecuación de segundo grado
1). x²+4x+4=0
(x+2) (x+2) =0
x+2 = 0 x+2=0
x1= -2 x2=-2
METODO POR COMPLETACION
Se despeja el término independiente
x²+6x=7 Se completa el trinomio
cuadrado perfecto x²+6x+(3)²=7+(3)² x²+6x+9=16Se factoriza (x+3)²=16Se saca la raíz cuadrada de la
ecuación X+3=± 16
METODO DE COMPLETACION
Se despeja la incógnita
x¹=-3+4
x¹=1
x²=-3-4
x²=-7
METODO DE FORMULA
SOLUCIÓN POR FORMULA GENERAL
La formula general se aplica empleando los coeficientes de la ecuación cuadrática completa:
Ax² + Bx + C = 0
La formula general es: x= -B ± √ B² - 4 AC
2A
EJEMPLO POR FORMULA GENERAL
LOS COEFICIENTES SON : A = 3, B = 4, C = -4LA ECUACIÓN: 3X² + 4 X – 4 = 0
LOS SUSTITUIMOS: X =-4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4) 2(3)MULTIPLICANDO DENTRO DEL = -4 ± √ 16 + 48 RADICAL. 6SUMANDO: -4 ± √ 64 6 LA PRIMERA SOLUCIÓN ES: X = -4 + 8 = 4 = 2 6 6 3LA SEGUNDA SOLUCIÓ ES = -4 – 8 = -12 = -2 6 6
ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA
3X² + 4 X – 4 = 0
X1= 2/3 X2= -2
3(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0
3(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 0
4/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 0
12/3 -4 = 0 12 -12 =0
4 -4 = 0 0 = 0
METODO GRAFICO
29
S o l u c i o n e s
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO METODO GRAFICO
Y = X2 -2X - 1
x y
-2
-1
0
1
2
3
7
2
-1
-2
-1
2
30
S o l u c i o n e s
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO METODO GRAFICO
Y = X2 -3X - 5
x y
-2
-1
0
1
2
3
5
-1
-5
-7
-7
-5
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
1. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletasa) b) c) d) e)
x x2 0 2 02x x 2 9 0
1 4 82 x x x 5 1 5 0
2. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:a) b) c) d) e)
4 12 9 02x x x x2 8 25 0
11 21 2 2x x 3 1 2 3 6x x x
2 1 12 2x x x 3. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de
las siguientes ecuaciones:a) b) c)
x x2 7 3 0
3 6 12 02x x x x2 7 3 0
Problemas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas. Los siguientes problemas (enunciados) atañen a situaciones que requieren planteamientos que implican una ecuación de segundo grado.
Consejo:
Primero se insinúa que el estudiante establezca la incógnita o incógnitas designado por X a una de las variables que incluya el problema. Denomine la magnitud desconocida, con unidades de medida, por X; luego deben transformarse las frases en ecuaciones de acuerdo con las relaciones establecidas entre la variable, de acuerdo al planteamiento y por último, se resuelve la ecuación.
No existe un procedimiento o regla general para operar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la práctica va dando la habilidad y destreza necesarias para esbozarlos y resolverlos.
Ejemplo 1 tipo problema:
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números Primero se designa la variable X a una de las incógnitas del problema. Hay dos magnitudes desconocidas que son los dos números, pero como el problema no hace diferencia entre uno y otro, puede asignarse X a cualquiera de los dos, por ejemplo: X : Sea X el primer número
Puesto que la suma de ambos es 10, entonces obligatoriamente el otro será 10 – x, entonces 10 – x es el segundo número.
La condición del problema es que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces la ecuación a resolver es: x2 + (10 - x )2 = 58.
Para resolverla, hay que usar algunas técnicas de Álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolución.
La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de quitar) que escriben:
( a - b )2 = a2 - b2 , lo cual es erróneo, pues lo correcto es:
( a - b )2 = a2 - 2.a.b + b2
Desarrollando la ecuación x2 + (10 - x )2 = 58 se tiene:
x2 + 102 – 2x + x2 = 58 , Por lo tanto: x 2 + 100 - 20.x + x 2 = 58
Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x + 42 = 0 ;
Al dividir entre 2 toda la ecuación:
x2 - 10x+ 21 = 0
Usando la fórmula general o la factorización resulta:
x1 = 3 y x2 = 7 (realizar la actividad)
El problema genera (supuestamente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades.
Supóngase que se toma la primera (x = 3).
Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7. Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3.
En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es:
Los números buscados son 3 y 7.
Entonces se tiene que:
x (x + 3 ) = área de la sala. datos iniciales
Las condiciones del problema dicen que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, por lo que, en seguida del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la salax + 5 = nuevo largo de la sala
Por lo tanto: (x + 3 )(x + 5) = nueva área de la sala
La nueva área es el doble de la primera (dos veces) , así que planteamos la ecuación:
(x + 3 )(x + 5) = 2 x (x + 3 )
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0
Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0
Se aplica la fórmula general y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo.
Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros.
Mirando las condiciones iniciales, se deduce que:
El largo es: x + 3 = 8 metros.
Así que el área original era 8m . 5m = 40 m2.
Ejemplo 2 tipo problema:
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que su ancho. Si aumentamos en 3 m el ancho y el largo en 2 m, el área se duplica. Hallar el área original de la sala. En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable X.
Este problema permite fácilmente que la X sea cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Por lo tanto si:
X = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, luego:
x + 3 = largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambas expresiones.
Ejemplo 3 tipo problema:
¿ Cuál es el área y el perímetro del triángulo rectángulo que se indica en la figura, sabiendo que las dimensiones señaladas están dadas en metros?
Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras.
La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:
(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, reagrupando, reduciendo términos semejantes, se obtiene:
-2 x2 + 18x = 0
Las raíces o soluciones son x1 = 0 y x2 = 9.
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible.
La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo rectángulo corresponde al semiproducto de los catetos, resultando ½ (12 · 5) = 30 , por lo tanto el área es 30 m2.
El perímetro es la suma de los lados, es decir:
P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m. El área resulta 30 m 2 y su perímetro 30 metros.
Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado 1.Una persona tiene 52 años de edad y su nieto 2. ¿después de cuántos años la razón entre la edad del abuelo y del nieto será igual a los tres cuartosdel tiempo transcurrido para que eso suceda? (8)
2. De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen de ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los cinco octavos de la hoja dada. ¿qué ancho debe tener ese margen? (6)
3. Halle un número de dos cifras si la suma de ellas es 10 y si al producto de las mismas se le suma 16 se obtiene el primer número con las cifras invertidas. (73)
4. Los catetos de un triángulo rectángulo tienen 10 cm y 24 cm de longitud. Si se aumentan los dos en la misma cantidad ,¿ en cuánto habrá que aumentarlos para que su hipotenusa aumente 8 cm?(6)
5. Un conjunto de personas alquiló un vehículo en $1200. Como 3 personas no fueron, las demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿cuántas viajaban originalmente? (15)
