Introduccin En el siguiente informe o lectura vamos dar a entender varios procedimientos iterativos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, se vern los mtodos ms usados para resolver estos tipos de sistemas de ecuacin la cuales son: el primero el mtodo de Jacobi basado en la idea de un punto fijo y el segundo mtodo o procedimiento conocido como el mtodo de Gauss-Seidel el cual no es ms que una modificacin del mtodo anterior de Jacobi. Tambin algunos conceptos bsicos de lo que es un mtodo iterativo y algunos ejercicios de los dos mtodos resueltos para as obtener una mejor idea de cmo se resuelven estos tipos de sistemas de ecuaciones lineales para los alumnos que estudian la carrera de ingeniera de sistemas seria de mucho provecho conocerlas a travs de una asignatura conocida como Optimizacin de sistemas y funciones.

Mtodos iterativos para la solucin de sistemas linealesUn mtodo iterativo es un mtodo que progresivamente va calculando aproximaciones a la solucin de un problema. En Matemticas, en un mtodo iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solucin aproximada: se espera que lo obtenido sea una solucin ms aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solucin hasta que el resultado ms reciente satisfaga ciertos requisitos. A diferencia de los mtodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los mtodos iterativos se puede suspender el proceso al trmino de una iteracin y se obtiene una aproximacin a la solucin.Mtodo Iterativo: Un ejemploConsidere el problema de encontrar una raz a una ecuacin cuadrtica, por ejemplo:

Un mtodo directo para resolverlo es aplicar la formula general

Un mtodo iterativo es el mtodo de Newton que consiste en usar la frmula de mejora:

Si tomamos como primera aproximacin x0 = 3 (para i = 0), tendremos:

Si ahora tomamos como aproximacin x1 = 2.2 y aplicamos de nuevo la frmula tendremos:

Si ahora tomamos como aproximacin x2 = 2.011 y aplicamos de nuevo la frmula tendremos:

Ventajas y DesventajasUn elemento en contra que tienen los mtodos iterativos sobre los mtodos directos es que calculan (aproximaciones a la solucin). Los mtodos iterativos se usan cuando no se conoce el mtodo para obtener la solucin en forma exacta. Tambin se utilizan cuando el mtodo para determinar la solucin exacta requiere mucho tiempo de clculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el nmero de iteraciones es relativamente reducido.

Mtodo iterativo General.Un mtodo Iterativo consta de los siguientes pasos.Inicia con una solucin aproximada (Semilla)

Ejecuta una serie de clculos para obtener o construir una mejor aproximacin partiendo de la aproximacin Semilla. La frmula que permite construir una aproximacin partiendo de otra se conoce como la ecuacin de recurrencia.

Se repite el paso anterior pero usando como semilla la aproximacin obtenida.

Mtodo de Jacobi.Concepto:El mtodo de jacobi es el mtodo iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales ms simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incgnitas como ecuaciones. El algoritmo toma su nombre del matemtico alemn Carl Gustav Jakob Jacobi.

Teorema:Primero se determina la ecuacin de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incgnitas. De la ecuacin i se despeja la incgnita i . En notaciuon matricial se describe como:

Donde x es el vector de incgnitas.Se toma una aproximacin para las soluciones y a esta se le designa por Xo

Se itera en el ciclo que cambia la aproximacin

Ejemplo Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del mtodo de Jacobi para resolver el sistema:

SolucinDebemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente.

Aplicamos la primera iteracin partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:

Aplicamos la segunda iteracin partiendo de x1 = 0.60 y y1 = 0.25:

Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x2 = 0.10 y y1 = 0.15:

Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x3 = 0.26 y y3 = 0.025:

Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x4 = 0.190 y y4 = 0.065:

Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:

Si uno dispone de una hoja de clculo como EXCEL es fcil realizar los clculos anteriores:

Donde:

Este Di es utilizado como criterio de paro en las iteraciones: Cuando Di es menos que cierto valor dado (digamos 0.001) uno ya no realiza la siguiente iteracin. Si se grafica las aproximaciones obtenidas en el plano x y se obtendr algo como:

Convergencia y convergencia en JacobiUno de los principales problemas de los mtodos iterativos es la garanta de que el mtodo va a converger, es decir, va a producir una sucesin de aproximaciones cada vez efectivamente ms prximas a la solucin. En el caso del mtodo de Jacobi no existe una condicin exacta para la convergencia. Lo mejor es una condicin que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente:

Si la matriz de coecientes original del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el mtodo de Jacobi seguro converge.

Matriz Diagonalmente DominanteUna matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo rengln. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incgnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coecientes diagonalmente dominante.Ejemplo: Son matrices diagonalmente dominantes:

Ejemplo:No son matrices diagonalmente dominantes:

Orden conveniente para Jacobi.En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente dominante y por lo tanto no existir garanta de convergencia. Sin embargo, en algunos casos ser posible reordenar las incgnitas en otra manera de forma que la nueva matriz de coecientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando todos los posibles ordenamientos de las incgnitas y ver cmo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un bueno nmero de pruebas pues el nmero posible de ordenamientos en n variables es (n 1)! pero cuando n es reducido es sencillo. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo:Indique cual es el orden conveniente para aplicar Jacobi al sistema:

SolucinCon el orden y x z el sistema y su matriz de coecientes quedan:

La matriz de coecientes es diagonalmente dominante.

El Mtodo de Gauss-Seidel:Concepto:El mtodo de Gauss-Seidel es muy semejante al mtodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incgnitas para determinar una nueva aproximacin, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incgnitas recin calculados en la misma iteracin, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el mtodo de Jacobi se obtiene en el primer clculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteracin. En el mtodo de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recin calculadas. El mtodo se llama as en honor a los matemticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al mtodo de Jacobi.Teorema:El teorema parte de los siguientes ejemplos del Mtodo de Gauss-Seidel:Ejemplo:Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del mtodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

SolucinDebemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente.

Aplicamos la primera iteracin partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:

Aplicamos la segunda iteracin partiendo de x1 = 0.600 y y1 = 0.15:

Aplicamos la tercera iteracin partiendo de x2 = 0.26 y y2 = 0.065:

Ejemplo Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del mtodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

SolucinDebemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente.

Aplicamos la primera iteracin partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00:

Aplicamos la segunda iteracin partiendo de x1 = 0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16:

Aplicamos la tercera iteracin partiendo de x1 = 0.084 y y1 = 0.748 y z1 = 0.134:

Costo computacionalEs difcil estimar el costo computacional de un mtodo iterativo, pues de antemano se desconoce cuntas iteraciones requerir para obtener unas respuestas que satisfaga al usuario. Generalmente se procede a calcular el costo computacional por iteracin. En el caso del mtodo de Jacobi la relacin de recurrencia utilizada es:

No es difcil estimar el costo computacional que involucra: el producto de la matriz B, n n por el vector xi toma n (2n 1) FLOPs, y la suma de dos vectores en n toma n FLOPs lo cual da un total de 2n elevado a la 2 FLOPs en cada iteracin del mtodo de Jacobi. Utilizando esta informacin podemos concluir que si el algoritmo toma m iteraciones entonces el total de FLOPs ser de:

Por ello es que el mtodo de Jacobi se preere en problemas donde n es grande, cuando se puede garantizarla convergencia y cuando el nmero de iteraciones esperado es bajo.Ejercicios de mtodo de JacobiEjercicio 1Con el mtodo de Jacobi aproxima la solucin del siguiente sistema de ecuaciones lineales, con 5 iteraciones y determina la cantidad de cifras significativas exactas de la quinta iteracin. Utiliza como iteracin inicialhttp://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1093.gif.http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1094.gifNota: Para los clculos utiliza hasta 4 cifras despus del punto decimal.SolucinPrimeramente notamos que la matriz de coeficientes del sistemas es diagonalmente dominante. Por lo tanto, podemos emplear la frmula recursiva del mtodo de Jacobi, obteniendo:http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1095.gif

Para la primera iteracin consideraremos http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1093.gif, de donde:http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1096.gifPara la segunda iteracin utilizamos los valores de la primera iteracin:http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1097.gifSimilarmente para las otras tres iteraciones resulta la tabla de aproximaciones:

Iteracinhttp://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1098.gifhttp://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1099.gifhttp://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1100.gif

00.00000.00000.0000

12.00000.60002.0000

21.42501.00002.2800

31.30500.97052.0850

41.35740.93902.0669

51.36590.94242.0837

Los errores relativos para cada variable son:http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1101.gif,http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1102.gif,http://www.eva.com.mx/sia/ingenieria/ejercis/metodos/Image1103.gifDe esta forma se puede asegurar que la aproximacin para, y en la quinta iteracin slo tienen dos cifras significativas exactas.