5.3 Sistemas de ecuaciones no lineales5.3 Sistemas de ecuaciones no lineales

Un problema relacionado con obtener raíces de una sola ecuación nolineal consiste en obtener las raíces de un conjunto de ecuacionessimultáneas,

f1(x1,x2,…,xn)=0f2(x1,x2,…,xn)=0

. .

. .

. .fn(x1,x2,…,xn)=0

La solución de éste sistema consta de un conjunto de valores xi quesimultáneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales acero.

5.3.1 Iteración de punto fijo para sistemas no linealesEjemplo Iteración de punto fijo para un sistema no lineal

Planteamiento del problema. Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces del sistema de ecuacionesu(x,y)=x2+xy-10=0 (a)v(x,y)=y+3xy2-57=0 (b)Solución.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

⌧ ⌧

⌧

u(x,y)=x2+xy-10=0

v(x,y)=y+3xy2-57=0

Para el método de iteración de punto fijo deberá cumplirse

Un posible conjunto de fórmulas recursivas es

Se selecciona como puntos de partida x=1.5, y=3.5

1

1

<∂∂

+∂∂

<∂∂

+∂∂

yv

yu

xv

xu

i

ii

iii

xy

y

yxx

357

10

1

1

−=

−=

+

+

5.3.2 M5.3.2 Méétodo de Newtontodo de Newton--RaphsonRaphsonConsidConsidéérese el sistema no linealrese el sistema no linealu(x,yu(x,y)=0)=0v(x,yv(x,y)=0)=0Utilizando la expansiUtilizando la expansióón en series de Taylorn en series de Taylor

La raLa raííz aproximada corresponde a los valores de z aproximada corresponde a los valores de xx y y yy, donde , donde uuii+1+1 y y vvii+1+1

son iguales a ceroson iguales a cero

yv

yyxv

xxvv

yu

yyxu

xxuu

iii

iiiii

iii

iiiii

∂∂

−+∂∂

−+=

∂∂

−+∂∂

−+=

+++

+++

)()(

)()(

111

111

yv

yxv

xvyyv

xxv

yu

yxu

xuyyu

xxu

ii

iiii

ii

i

ii

iiii

ii

i

∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

++

++

11

11

Debido a que se conocen todos los términos con subíndice i, las únicas incognitas son xi+1 y yi+1. Entonces se obtendrá un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas

xv

yu

yv

xu

xv

uxu

vyy

xv

yu

yv

xu

yuv

yvu

xx

iiii

ii

ii

i1i

iiii

ii

ii

i1i

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

−=

+

+

Ejemplo Newton-Raphson para un sistema no linealPlanteamiento del problema. Con el método de Newton Raphson para múltiples ecuaciones determine las raíces del sistema de ecuacionesu(x,y)=x2+xy-10=0 (a)v(x,y)=y+3xy2-57=0 (b)SoluciónAproximación inicial: x=1.5 y=3,5

32.5)6(1.5)(3.516xy1 yv

36.753(3.5)3yxv

5.1u

6.53.52(1.5)y2xx

u

0

22o

0

o

=+=+=∂∂

===∂∂

==∂∂

=+=−=∂∂

xy

uo=-2.5vo=1.625Los nuevos valores de (x,y) son

x=2.03603 y=2.84388

xv

yu

yv

xu

yv

uyu

vyy

xv

yu

yv

xu

yu

vyv

uxx

iiii

ii

ii

ii

iiii

ii

ii

ii

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

−=

+

+

1

1

Ejercicios

Ejercicio 1. Calcule las raíces de las siguientes ecuacionessimultáneas no lineales usando a. El método de iteración de punto fijo. b. El método de Newton Raphson

x=y+x2-0.5y=x2-5xy

Emplee los valores iniciales de x=y=1.

Ejercicio 2. Una reacción elemental A+B→C es llevada a cabo en unreactor de tanque agitado. El componente A ingresa a una tasa deflujo de 12 mol/s y a una temperatura de 25 ºC. La reacción esexotérmica y se utiliza agua de enfriamiento a 50ºC para absorber elcalor generado. El balance de energía considerando capacidadcalorífica constante, puede ser escrito como

donde FA0 = tasa de flujo molar (mol/s)X = conversión∆Hr = calor de reacción (J/mol A)CA = capacidad calorífica de A (J/mol K)

T = Temperatura del reactor (ºC)To = Temperatura de referencia (25 ºC)Ta = Temperatura del agua de enfriamiento (20 ºC)U = Coeficiente global de transferencia de calor (W / m2 K)A = Área de transferencia de calor (m2)

Para una reacción de primer orden, la conversión puede ser calculadade

Donde t es el tiempo de residencia del reactor en segundos y k es latasa de reacción específica en s-1 definida por la ecuación de Arrhenius

Resuelva la ecuación de balance de energía para la temperatura ybusque las temperaturas de operación en estado estacionario delreactor y las conversiones correspondientes a éstas temperaturas. Datos adicionales

Ejercicio 3. Un reactor tubular a fuego directo es usado en el craqueotérmico de hidrocarburos livianos o naftas para la producción deolefinas, tales como etileno. Los reactantes son precalentados en lasección convectiva del quemador, mezclado con vapor y luegosometido a altas temperaturas en la sección radiante del quemador. La transferencia de calor en la sección radiante del quemador tomalugar a través de tres mecanismos: radiación, conducción yconvección. El calor es transferido por radiación desde las paredes delquemador a la superficie de los tubos, y éste es transferido a través delos tubos por conducción y finalmente al fluido dentro de los tubos porconvección.

Los tres mecanismos de transferencia de calor son cuantificados de lasiguiente forma:

1. Radiación: La ley de Stefan-Boltzman de radiación puede serescrita como