Ajuste de curvasAjuste de curvas

Funciones de MATLABFunciones de MATLAB

FunciFuncióónn DescripciDescripcióónnpolyfitpolyfit Ajusta polinomios a datosAjusta polinomios a datosinterp1interp1 InterpolaciInterpolacióón 1n 1--DDinterp2interp2 InterpolaciInterpolacióón 2n 2--DDsplinespline InterpolaciInterpolacióón de datos con n de datos con

segmentaria csegmentaria cúúbicabicafftfft Transformada discreta de Transformada discreta de

FourierFourier

EjerciciosEjercicios

1. Explore c1. Explore cóómo se utiliza MATLAB para ajustar curvas a mo se utiliza MATLAB para ajustar curvas a datos. Para ello, use la funcidatos. Para ello, use la funcióón seno para generar n seno para generar valores regularmente espaciados f(x) de 0 a 10. Utilice valores regularmente espaciados f(x) de 0 a 10. Utilice un tamaun tamañño de paso de 1, de tal forma que la o de paso de 1, de tal forma que la caracterizacicaracterizacióón resultante de la onda sea dispersa. n resultante de la onda sea dispersa. DespuDespuéés ajs ajúústela con a) Interpolacistela con a) Interpolacióón lineal, b) n lineal, b) Polinomial de quinto grado y c) Segmentaria cPolinomial de quinto grado y c) Segmentaria cúúbicabica

a. Interpolacia. Interpolacióón linealn lineal

»» x=0:1:10;x=0:1:10;»» y=sin(x);y=sin(x);»» xi=0:0.25:10;xi=0:0.25:10;»» yi=interp1(x,y,xi);yi=interp1(x,y,xi);»» plot(x,y,'o',xi,yi)plot(x,y,'o',xi,yi)

b. Polinomial de quinto gradob. Polinomial de quinto grado»» p=polyfit(x,y,5)p=polyfit(x,y,5)p =p =0.0008 0.0008 --0.0290 0.3542 0.0290 0.3542 --1.6854 2.5860 1.6854 2.5860 --0.09150.0915»» yi=polyval(p,xi);yi=polyval(p,xi);»» plot(x,y,'o',xi,yi)plot(x,y,'o',xi,yi)

c. Splinec. Spline»» yi=spline(x,y,xi);yi=spline(x,y,xi);»» plot(x,y,'o',xi,yi)plot(x,y,'o',xi,yi)

2.2. Los modelos de crecimiento poblacional son importantes en Los modelos de crecimiento poblacional son importantes en muchos campos de la ingeniermuchos campos de la ingenieríía. En muchos de los modelos es a. En muchos de los modelos es fundamental la hipfundamental la hipóótesis de que la raztesis de que la razóón de cambio de la n de cambio de la poblacipoblacióón (n (dpdp//dtdt) es proporcional a la poblaci) es proporcional a la poblacióón existente (p) en n existente (p) en cualquier tiempo (t), o en forma de ecuacicualquier tiempo (t), o en forma de ecuacióón,n,

donde k=factor de proporcionalidad conocido como donde k=factor de proporcionalidad conocido como velociddavelocidda de de crecimiento especcrecimiento especíífico y tiene unidades de tiempofico y tiene unidades de tiempo--11. Si k es una . Si k es una constante, entonces la soluciconstante, entonces la solucióón de la ecuacin de la ecuacióón se obtiene de la n se obtiene de la teorteoríía de ecuaciones diferenciales:a de ecuaciones diferenciales:

donde donde ppoo =poblaci=poblacióón cuando t=0. En la ecuacin cuando t=0. En la ecuacióón se observa que n se observa que p(tp(t) se aproxima al infinito cuando t crece. Tal comportamiento ) se aproxima al infinito cuando t crece. Tal comportamiento es claramente imposible en la realidad. Por lo tanto el modelo es claramente imposible en la realidad. Por lo tanto el modelo debe corregirse para hacerlo mdebe corregirse para hacerlo máás realista.s realista.

kpdtdp

=

ktoeptp =)(

Se debe reconocer que la velocidad de crecimiento especSe debe reconocer que la velocidad de crecimiento especíífico no esfico no esconstante conforme la poblaciconstante conforme la poblacióón crece por lo que la velocidad den crece por lo que la velocidad decrecimiento especcrecimiento especíífico tiene la formafico tiene la forma

Donde Donde kkmaxmax = velocidad de crecimiento m= velocidad de crecimiento mááximo obtenible para valoresximo obtenible para valoresgrandes de alimento (f) y K=constante de saturacigrandes de alimento (f) y K=constante de saturacióón media. Lasn media. Lasconstantes k y constantes k y KKmaxmax son valores empson valores empííricos obtenidos de medicionesricos obtenidos de medicionesexperimentales de k para diferentes valores de f. experimentales de k para diferentes valores de f. Para la producciPara la produccióón comercial de cerveza, p representa la levaduran comercial de cerveza, p representa la levaduraempleada, f es la concentraciempleada, f es la concentracióón de la fuente de carbono que sern de la fuente de carbono que serááfermentada. Las mediciones de k contra f se muestran en el cuadfermentada. Las mediciones de k contra f se muestran en el cuadro: ro:

fKfkk+

= max

f, f, mgmg/L/L K, dK, dííaa--11 1/ f, L/1/ f, L/mgmg77 0,290,29 0,142860,1428699 0,370,37 0,111110,111111515 0,480,48 0,066660,066662525 0,650,65 0,040000,040004040 0,800,80 0,025000,025007575 0,970,97 0,013330,01333

100100 0,990,99 0,010000,01000150150 1,071,07 0,006660,00666

Calcular Kmax y k a partir de estos datos empíricos

3.3. Usted realiza experimentos y determina los siguientes valores deUsted realiza experimentos y determina los siguientes valores decapacidad calorcapacidad caloríífica c para varias temperaturas T de un gas:fica c para varias temperaturas T de un gas:

Use regresiUse regresióón y determine un modelo para predecir c como una n y determine un modelo para predecir c como una funcifuncióón de Tn de T

TT --4040 --2020 1010 7070 100100 120120cc 12501250 12801280 13501350 14801480 15801580 17001700

4. Utilizando regresi4. Utilizando regresióón lineal mn lineal múúltiple obtenga una ecuaciltiple obtenga una ecuacióón n predictivapredictivapara la concentracipara la concentracióón de oxn de oxíígeno disuelto como funcigeno disuelto como funcióón de la n de la temperatura y del cloro, con los datos de la tabla. Use la ecuatemperatura y del cloro, con los datos de la tabla. Use la ecuacicióón n para estimar la concentracipara estimar la concentracióón de oxn de oxíígeno disuelto para una geno disuelto para una concentraciconcentracióón de cloro de 15000 n de cloro de 15000 mgmg/L, a T=12 /L, a T=12 ººCC

Temperatura, Temperatura, ººCC

Cloro=0 Cloro=0 mgmg/L/L Cloro=10000 Cloro=10000 mgmg/L/L

Cloro=20000 Cloro=20000 mgmg/L/L

55 12,812,8 11,611,6 10,510,51010 11,311,3 10,310,3 9,29,21515 1010 9,19,1 8,28,22020 99 8,28,2 7,47,42525 8,28,2 7,47,4 6,76,73030 7,47,4 6,86,8 6,16,1

5.5. Un modelo algo mUn modelo algo máás sofisticado que toma en cuenta el efecto de s sofisticado que toma en cuenta el efecto de la temperatura y del cloro en la saturacila temperatura y del cloro en la saturacióón de oxn de oxíígeno disuelto geno disuelto podrpodríía suponerse que es de la formaa suponerse que es de la formaooss=f=f33(t)+f(t)+f11(c)(c)Es decir, se supone que un polinomio de tercer grado parEs decir, se supone que un polinomio de tercer grado para la a la temperatura y una relacitemperatura y una relacióón lineal para el cloro podrn lineal para el cloro podríían dar an dar mejores resultados. Emplee el mmejores resultados. Emplee el méétodo de mtodo de míínimos cuadrados nimos cuadrados para ajustar para ajustar ééste modelo a los datos del problema anterior. Con ste modelo a los datos del problema anterior. Con la ecuacila ecuacióón resultante estime la concentracin resultante estime la concentracióón de oxn de oxíígeno geno disuelto para una concentracidisuelto para una concentracióón de 20000 n de 20000 mgmg/L de cloro a /L de cloro a T=30T=30ººCC

6.6. Se reunieron los siguientes datos para determinar la relaciSe reunieron los siguientes datos para determinar la relacióón entre n entre presipresióón y temperatura de un volumen fijo de 1 n y temperatura de un volumen fijo de 1 kgkg de nitrde nitróógeno. El geno. El volumen es de 10 mvolumen es de 10 m33..

Emplee la ley de los gases ideales pV=Emplee la ley de los gases ideales pV=nRTnRT para determinar R, para determinar R, basbasáándose en estos datos. Observe que en esta ley, T se debe ndose en estos datos. Observe que en esta ley, T se debe expresar en grados Kelvin.expresar en grados Kelvin.

T, T, ººCC --2020 00 2020 4040 5050 7070 100100 120120

P, N/mP, N/m33 75007500 81048104 87008700 93009300 96209620 1020010200 1120011200 1170011700