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MATEMATICAS AVANZADAS II

METODOS NUMÉRICOS

PRESENTAN:

YESICA ALTAMIRANO MORALES

DIANA LAURA OCHOA GALLEGOS

PROFESOR:

LIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ

TORREÓN COAH. Marzo 2015

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MÉTODO DE BISECCIÓN

Teorema del Valor Intermedio

Sea continua en un intervalo y supongamos que .

Entonces para cada tal que , existe un tal

que . La misma conclusión se obtiene para el caso que .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua

en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del

intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor

intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio

nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por

lo menos una raíz de en el intervalo .

Ventajas:

Siempre converge.

Útil como aproximación inicial de otros métodos.

Desventajas:

No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas xn, solo tiene en cuenta el signo de f(x), lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida.

Convergencia lenta.

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MÉTODO SECANTE

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder

calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores

anteriores y .

Obsérvese también, el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método de la regla falsa va a la segura.

Ventajas:

Se puede aplicar cuando la función f(x) es demasiado compleja como para obtener su derivada (que se usaría en el método de Newton-Raphson). Es decir: si f(x) es tan compleja que es dispendioso obtener f '(x), mejor use el método de la secante. Esto es válido principalmente en computación, donde los algoritmos de obtención de derivadas suelen ser básicamente de carácter numérico en vez de algebraico.

Desventajas:

Su velocidad de convergencia es menor que la de otros métodos como Newton-Raphson, y además dicha convergencia no se asegura si la primera aproximación a la raíz no es lo suficientemente cercana a ella, ni tampoco se asegura cuando la raíz es múltiple. Esto no quiere decir que no se pueda usar el método en esos casos, significa que al usarlo entramos en un riesgo de que este no converja y no podamos hallar la raíz.

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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al

eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la

raíz .

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna

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garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto,

a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz

de

Ventajas:

Método de Newton-Raphson es el más conocido y eficiente para la resolución del problema de búsqueda de raíces.

El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados. El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.

Desventajas:

Lenta convergencia debida a la naturaleza de una función en particular.

Cuando un punto de inflexión, f’’(x) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz.

No existe un criterio general de convergencia.

Tener un valor suficientemente cercano a la raíz.

Apoyarse de herramientas gráficas.

Conocimiento del problema físico.

Evaluación de la derivada.