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Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 1/12
Última actualización: 24/09/2013
Aproximación funcional e Interpolación
Representación mediante funciones analíticas sencillas de:
• Información discreta. (Resultante de muestreos).
• Funciones complicadas.
Siendo yk = f(xk) una cierta función de la que no se conoce una fórmula explícita, o bien es muy complicada para evaluarla, derivarla, integrarla, hallarle ceros, etc.
Si la información se representa mediante un polinomio pn(x) en un intervalo dado, nos referimos a:
Aproximación polinomial o
Interpolación polinomial
Aproximación de una función por polinomios de Taylor
• La precisión aumenta cuando aumentan la cantidad de términos (n),
• Necesidad de conocer f y las n derivadas de f en x0.
• La aproximación es mejor en valores cercanos a x0.
• Necesidad de restringir el valor |x-x0|.
f x p xf x
kx xn
k
k
nk( ) ( )
( )
!( )
( )
≈ = −=
∑ 0
00
Interpolación
Dados n +1 puntos en R2: (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn), con yi = f(xi)
(siendo f(x) no necesariamente conocida) en los cuales xo,x1,...,xn
son números distintos que se distribuyen en el intervalo [xo,xn].se quiere encontrar un polinomio pn(x) de grado ≤ n tal que:
pn(xk)=yk, k=0,1,...,n
Si para estimar un valor y, se emplea el polinomio pn(x) de grado ≤ nque pasa por los puntos dados, la aproximación se denomina interpolación polinomial (lineal, cuando sólo se emplean dos puntos) y a pn (x) se lo denomina polinomio de interpolación ópolinomio interpolante.
Para un valor x ≠ de los dados Si x0< x < xn⇒ y será un valor interpolado, Si x < x0 ó x > xn ⇒ y será un valor extrapolado.
Polinomio interpolante
Dados n +1 puntos (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn), con valores x0,x1,...,xn distintos, existe un único polinomio de grado menor o igual que n que pasa por esos puntos
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 2/12
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Existencia del polinomio único
Si en los n +1 puntos (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn), los valores xo,x1,...,xn
son números distintos, existe un único polinomio
de grado menor o igual que n tal que pn(xk) = yk, con k = 0,1,2,...,n ⇒ existen números reales únicos a0 ,a1 ,a2,...,an tales que:
p x a a x a x a xn nn( ) = + + + +0 1 2
2 L
a a x a x a x y
a a x a x a x y
a a x a x a x y
a a x a x a x y
n
n
n
n
n
n
n n n n
n
n
0 1 0 2 0
2
0 0
0 1 1 2 1
2
1 1
0 1 2 2 2
2
2 2
0 1 2
2
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
L
L
L
M
L
El sistema anterior, de n +1 ecuaciones lineales en las n +1incógnitas a0, a1 ,a2,...,an , escrito en forma matricial es
Si det(A) ≠ 0 el sistema tiene solución única.
{ {
1
1
1
0 0
2
0
1 1
2
1
2
0
1
0
1
x x x
x x x
x x x
a
a
a
y
y
y
n
n
n n nn
A
n
X
n
b
L
L
M M M M
L1 2444 3444
M M
=
Polinomio único
Determinante de la matriz
)xx)(xx)(xx()Adet(
xx00
xx10
xx1
)xx)(xx(
xx10
xx10
xx1
)xx)(xx(
xxxx0
xxxx0
xx1
xx1
xx1
xx1
A
120201
12
01
2
00
0201
02
01
200
0201
2
0
2
202
2
0
2
101
200
2
22
2
11
200
−−−=⇒
−
+−−=
=
+
+−−=
−−
−−=
=
( )det( )A x xi ji j n
= −≤ < ≤
∏1
En general Determinante de Vandermonde
Si xi ≠ xj entonces det(A) ≠ 0 , y por tanto el sistema en consideración tiene solución única.
Por lo general, la matriz de coeficientes de este sistema resulta mal condicionada si dos abscisas están relativamente cerca.
Forma de Lagrange del polinomio interpolante
01
0010
xx
xx)yy(y)x(p
−
−−+=
( ) )x(pyxxxx
yyy =+−
−
−= 00
01
01
En interpolación lineal, la recta que pasa por los puntos (x0,y0), (x1,y1),
posee una pendiente m=(y1-y0)/(x1-x0) , siendo la ecuación de la recta
y=m(x-x0)+y0
Es decir:
Reordenando los términos:
Evaluando p(x) en los puntos dados x0 y x1:
)x(p*)yy(yy
)x(p*)yy(yy
10101
00100
1
0
=−+=
=−+=
Coeficientes L1,0(x0)=1, L1,0(x1)=0 de Lagrange L1,1(x0)=0, L1,1(x1)=1
L1,0 L1,1
Lagrange propone un polinomio equivalente:
)x(pxx
xxy
xx
xxyy 1
01
0
1
10
1
0=
−
−+
−
−=
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 3/12
Última actualización: 24/09/2013
El polinomio se denomina
Polinomio de interpolación de Lagrange o Forma de Lagrange del polinomio interpolante para los datos dados.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )1202
102
2101
201
2010
2102
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy)x(p
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−=
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )1202
102
2101
201
2010
210
)(
)(
)(
xxxx
xxxxxL
xxxx
xxxxxL
xxxx
xxxxxL
−−
−−=
−−
−−=
−−
−−=
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp ++=
Los polinomios L0, L1, L2, se denominan Polinomios
fundamentales de Lagrange
Para tres puntos: x0, x1, x2 En general
∑=
=+++=n
i
iinnn )x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(p0
1100 L
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
n1,..., 0,i con ,01110
1110 =−
−=
−−−−−
−−−−−= ∏
≠=+−
+−n
ikk ki
k
niiiiiii
niii
xx
xx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx)x(L
LL
LL
( ) cada para 1 si 0
si 1
0
∑=
=
≠
==
n
i
kiki x)x(Lik
ikxL
( )( ) ( )( )
( ) ( ) [ ]n
nnn
x,xxxx
xf!n
)xx()xx)(xx()x(p)x(f)x(E
0
110
y , de depende que número un es donde
1
∈
+
−−−≈−= +
ξξ
ξL
Para n +1 puntos, los polinomios fundamentales de Lagrange (Li) son de grado n.
Cota de error
Ejemplo 1
)x(L*)x(L*)x(L*)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(p 2102211002 010 ++=++=
( ) 02
1002
221100 =
======
−==
ππcosy)x(f,cosy)x(f,cosy)x(f
Aproximar la función f(x) = cos(x) en el intervalo [-ππππ/2, ππππ/2]mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de grado dos.
⇒ x0 = -π/2, x1= 0, x2 = π/2
( )( )( )( )
2
22
22
2101
201
41
4
4
22
22x
xxx
xxxx
xxxx)x(L
ππ
π
ππ
ππ
−=
−
−=
−
−
+
=−−
−−=
2
22
41)( xxp
π−=
Resultados
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.5
0
0.5
1
x
(π / 2 , 0) (−π / 2 , 0)
π/4
cos(x)
1-(4/pi2)*x2
(0,1)
.
.
. 7071
2
1
44.cosf ==
=
ππ
754
3
4
11
4
41
4
2
22 .p ==−=
−=
π
π
π
0429075070710444
2 ...pfE =−=
−
=
πππ
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 4/12
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Cota de Error
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
0.0429 real Error
24212816
3
2441646
1
44
22 xtodo para
46
1
22 toda para 1
6
20
2
3
3222
22
210
=
==
=
−≤
=
−∈
−≤
−∈≤=
=−=−==
−−
+
=−−−
=
.E,xpara
,xx)x(E
,xxsenx'''f
)x(sen)x('''f),xcos()x(''f),x(sen)x('f),xcos()x(f
xf
xxx
xf!
)xx)(xx)(xx()x(E ''''''
ππππππππ
πππ
ππξξξ
ξ
ππ
ξ
Ejercicio 2
Use los polinomios interpolantes de Lagrange de grados uno, dos y tres, más apropiados, para aproximar f(2.5).
Si f(2.0) = .5103757, f(2.2) = .5207843, f(2.4) = .5104147,
f(2.6) = .4813306 y f(2.8) = .4359160.
El polinomio de interpolación de Lagrange de grado uno, más apropiado, es el que se obtiene tomando los nodos x0 = 2.4 y x1 = 2.6
Para p2(x), hay dos polinomios apropiados, el que pasa por los nodos x0=2.2, x1=2.4, x2=2.6 y el que pasa por los nodos x0=2.4, x1=2.6, x2=2.8
).(f.).(p
xx
xx)x(f
xx
xx)x(f)x(Ly)x(Ly)x(p
5249587270521
01
01
10
1011001
≈=
−
−+
−
−=+=
Ej. Polinomio interpolante de Lagrange
0 (2.0 , 0.5103757)
1 (2.2 , 0.5207843)
2 (2.4 , 0.5104147)
3 (2.6 , 0.4813306)
4 (2.8 , 0.4359160)
( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
− − − − − − − −= + +
− − − − − − − −
− − − − − − − −+ + +
− − − − − − − −
− − − −+
1 2 3 4 0 2 3 4
4 0 1
0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 2 1 3 1 4
0 1 3 4 0 1 2 4
2 3
2 0 2 1 2 3 2 4 3 0 3 1 3 2 3 4
0 1 2 3
4
( )
x x x x x x x x x x x x x x x xp x y y
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x xy y
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x xy
( )( ) ( )( )− − − −4 0 4 1 4 2 4 3x x x x x x x x
− −= + = +
− −
− −+ =
− −
3 21 2 2 3 3 2 3
2 3 3 2
( ) ( ) ( )
2.6 2.4= 0.5104147 0.4813306
2.4 2.6 2.6 2.4
= 0.859421 - 0.1454 0·x 2
x x x xp x y L x y L x y y
x x x x
x x
Polinomio interpolante de Newton
El polinomio pn(x) de grado menor o igual que n que interpola a f en los datos dados, puede expresarse en la forma
02
01
01
12
12
1202
02
01
0102
2
21202202102
01
011101101
00000
10
110102010
)()()()(
))((
)()()(
)()(
)())(()()(
)()( )()()(
)(b )()(
,,1,0),()( Si
escoeficient los determinar Para
)())(())(()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
xxxx
xxxx
xfxfxfxf
b
xfxxxxbxxbbxp
xx
xfxfbxfxxbbxp
xfxfbxp
nkxfyxp
,..., b, bb
xxxxxxbxxxxbxxbbxp
n
n
n
kkkn
n
nnn
−
−
−−
−
−
=−−
−−
−−−
=⇒
⇒=−−+−+=
−
−=⇒=−+=
=⇒==
===
−−−++−−+−+= −
L
LL
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 5/12
Última actualización: 24/09/2013
Diferencia dividida hacia adelante(progresiva) de Newton.
a) La diferencia dividida cero de f con respecto a xk es
b) La diferencia dividida uno de f con respecto a xk y xk+1 es
c) La diferencia dividida dos de f con respecto a xk, xk+1 y xk+2 es
[ ] ( ) n,,1,0k,xfxf kk L==
[ ] [ ] [ ]1n,,1,0k,
xx
xfxfx,xf
k1k
k1k1kk −=
−
−=
+
++ L
[ ] [ ] [ ]2n,,1,0k,
xx
x,xfx,xfx,x,xf
k2k
1kk2k1k2k1kk −=
−
−=
+
+++++ L
d) En general, se definen las n-i+1 diferencias divididas i (progresivas) de f con respecto a xk, xk+1,..., xk+i como:
Fórmula de diferencia dividida (regresiva) El polinomio interpolante de Newton es de la forma:
[ ] [ ]( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) ( )1n10n10
102100100n
xxxxxxx,,x,xf
xxxxx,x,xfxxx,xfxf)x(p
−−−−+
+−−+−+=
LL
L
[ ] [ ]( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) ( )11nnn10
1nnn1n2nnn1nnn
xxxxxxx,,x,xf
xxxxx,x,xfxxx,xfxf)x(p
−−−+
+−−+−+=
−
−−−−
LL
L
[ ] [ ] [ ]in,,1,0k,
xx
x,,x,xfx,,x,xfx,,x,xf
kik
1ik1kkik2k1kik1kk −=
−
−=
+
−+++++++ L
LLL
y el polinomio interpolante (progresivo) es de la forma:
k xk
Dif. div. 0
f[xk]=f(xk)=yk
Dif. div. 1
f[xk,xk+1]
Dif. div. 2
f[xk,xk+1,xk+2] ...
Dif. div. n
f[x0,...,xn]
0 x0 f[x0] = b0
f[x0,x1] = b1
1 x1 f[x1] f[x0,x1,x2] = b2
f[x1,x2] ...
2 x2 f[x2] f[x1,x2,x3]
f[x2,x3] f[x0,...,xn] = bn
3 X3 f[x3] ...
... ... ... ... ...
n-1 Xn-1 f[xn-1] f[xn-2,xn-1,xn] = b2
f[xn-1,xn] = b1
n xn f[xn] =b0
Esquema de cálculo Estimación del error para el polinomio interpolante de Newton
( )( ) ( )( )
( ) ( ) [ ]n0
1nn10n
x,xxξxxξ
xξf!1n
)xx()xx)(xx()x(p)x(f)x(E
∈
+
−−−≈−= +
y , de depende que número un es donde
L
[ ]!n
)ξ(fx,,x,xf
)n(
n10 =L
)())(](,,...,[)()()( 1010 nnn xxxxxxxxxxfxpxfxE −−−≈−= L
Se puede demostrar que si existe una función f definida sobre el intervalo [x0, xn], n veces diferenciable, entonces existe ξ ∈ [x0, xn] tal que:
Considerando la fórmula del error de Lagrange
usando la forma de Newton del polinomio interpolante de grado menor o igual que n + 1 para f en los nodos x0,x1,...,xn, x , tenemos que
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 6/12
Última actualización: 24/09/2013
xk f(x)=f[xk] Dif. Div. 1 Dif. Div. 2 Dif. Div. 3 Dif. Div. 4
2.0 0.5103757
.052043
2.2 0.5207843 -.2597275
-.051848 .04299367
2.4 0.5104147 -.2339313 .008341125
-.1454205 .04966667
2.6 0.4813306 -.2041313
-.227073
2.8 0.4359160
Aproximaciones progresivas
p1(x) = f[x0]+f[x0,x1](x-x0) = 0.5103757+.052043(x-2.0) ⇒ f(2.1) = .51558
p2(x) = p1(x)+ f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) = p1(x) -.2597275 (x-2.0)(x-2.2)
p3(x) = p2(x)+ f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) =
= p2(x)+ .04299367 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4)
p4(x) = p3(x)+ .008341125 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4)(x-2.6)
Aproximaciones regresivas
p1’(x) = f[xn]+f[xn,xn-1](x-xn) = 0.4359160 -.227073 (x-2.8)
p2’(x) = p1(x)+ f[xn,xn-1,xn-2](x-x0)(x-xn-1) = p1(x) -.2041313(x-2.8)(x-2.6)
p3’(x) = p2(x)+ f[x0,xn-1,xn-2,xn-3](x-x0)(x-xn-1)(x-xn-2) =
= p2(x)+ .04966667(x-2.8)(x-2.6)(x-2.4)
p4’(x) = p3(x)+ .008341125 (x-2.8)(x-2.6)(x-2.4)(x-2.2)
2 2.2 2.4 2.6 2.80.42
0.44
0.46
0.48
0.5
0.52
0.54 P1(x)
P2(x)
P3(x)
P1'(x) P2'(x)
P3'(x)
Ej. Polinomios interpolantes de Newton
Aproximaciones progresivas expresadas en forma estandar
p1(x) = 0.5103757+0.052043(x-2.0) = 0.0520429·x + 0.406289
p2(x) = p1(x) -0.2597275 (x-2.0)(x-2.2)
= 0.5103757+0.052043(x-2.0) -0.2597275 (x-2.0)(x-2.2) =
= 0.0520429·x + 0.406289 - 0.259727·x2 + 1.09085·x - 1.14279 =
= - 0.259727·x2 + 1.14289·x - 0.736500
p3(x) = p2(x)+ .04299367 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4) =
= 0.5103757+.052043(x-2.0) -0.2597275 (x-2.0)(x-2.2) +
+ 0.04299367 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4) =
= 0.0429935·x3 - 0.543484·x2 + 1.76544·x - 1.19052
p4(x) = p3(x)+ 0.008341125 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4)(x-2.6) =
= 0.5103757+0.052043(x-2.0) -.2597275 (x-2.0)(x-2.2) +
+ 0.04299367 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4) +
+ 0.008341125 (x-2.0)(x-2.2)(x-2.4)(x-2.6) =
= 0.00834111·x4 - 0.0337447·x3 - 0.279571·x2 + 1.36333·x - 0.961508
Desventajas de los polinomios interpolantes
• A medida que aumentan la cantidad de puntos aumenta el grado del polinomio
• Un polinomio de grado muy alto puede tener oscilaciones muy marcadas, por lo que puede no ser apto para interpolar o representar una función
Esto sugiere que se intente la interpolación localmente, es decir,
por sub-intervalos.
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 7/12
Última actualización: 24/09/2013
Interpolación por segmentos
El proceso de aproximación sobre sub-intervalos se conoce como interpolación segmentaria o por segmentos.
• La interpolación segmentaria linealinterpola entre dos puntos consecutivos con un
polinomio lineal
• La interpolación segmentaria cuadráticainterpola entre dos puntos consecutivos con un
polinomio cuadrático
• La interpolación segmentaria cúbica interpola entre dos puntos consecutivos con un polinomio cúbico
El conjunto de los distintos polinomios constituye un Trazador
Trazador cúbico
Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debe emplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1.
En la práctica se usan con más frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran primera y segunda derivadas continuas.
Son n polinomios de grado menor o igual que tres y cada uno con cuatro coeficientes incógnitas, así que tenemos un total de 4n incógnitas por determinar (ak,bk,ck,dk).
10,1,...,n-k
)xx(d)xx(c)xx(ba)x(p)x(p kkkkkkkk
)k(
=
−+−+−+=≡
con
323
Interpolación segmentaria cúbica(spline cúbico )
Las condiciones que deben satisfacer tales polinomios son:
Condiciones de interpolación. (n +1 ecuaciones)
Condiciones de continuidad en los nodos interiores. (n -1 ecuaciones)
Condiciones de derivabilidad en los nodos interiores. (n -1 ecuaciones)
Condiciones de continuidad de la primera derivada en los nodos interiores: se conserva la concavidad en la vecindad del nodo interior, a no ser que la segunda derivada sea cero en el nodo interior. (n -1 ecuaciones).
- Hasta aquí tenemos n + 1 + 3(n-1) = 4n-2 condiciones.Se satisface uno de los siguientes pares de condiciones de frontera:
−
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
= = −
=
= = −
= = −
= = −
= = =
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 1 1 0 0
( ) ( ), 0,1,..., 1)
( ) ( )
) ( ) ( ), 0,1,..., 2
) ' ( ) ' ( ), 0,1,..., 2
) '' ( ) '' ( ), 0,1,..., 2
) ) '' ( ) 0 '' ( ) 0 ) ' ( )
k k k
n n n
k k k k
k k k k
k k k k
k k
p x f x k ni
p x f x
ii p x p x k n
iii p x p x k n
iv p x p x k n
v a p x y p x b p x f − =0 1'( ) ' ( ) '( )n n nx y p x f x
Trazador cúbico
Dados n puntos [x0,xn], un trazador cúbico es un conjunto de n polinomios cúbicos pk(x), cada uno definido en el intervalo [xk,xk+1] .
T(x) = pk(x) para x∈[xk,xk+1] y pk(x), k = 0,1,...,n-1 cumple las condiciones i) a v). Si el Trazador cúbico satisface las condiciones v),a), se llama natural, y si satisface las condiciones v), b) se llama de frontera sujeta.
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 8/12
Última actualización: 24/09/2013
1-0,1,..., Si 32
3 nk,)xx(d)xx(c)xx(ba)x(p)x(p kkkkkkkk
)k( =−+−+−+=≡
)x(f)x(pn,...,,k,a)x(f)x(p)i nnnkkkk =−=== −1 y 110 Por
si
Por
1
32
k1k
13
12
11
111
++
++++
+++
=+++⇒−=
=−+−+−+
⇒=
kkkkkkkkk
kkkkkkkkkkk
kkkk
ahdhchbaxxh
a)xx(d)xx(c)xx(ba
)x(p)x(p)ii
12
111 32 Por ++++ =++⇒= kkkkkkkkkk bhdhcb)x('p)x('p)iii
k
k1kkkkk1k
1kkkk1k1k1kk
h3
ccdhd3cc
c2hd6c2)x(''p)x(''p)iv Por
−=⇒+=⇒
=+==
++
++++
(1)
(2)
(3)
(4)
Remplazando en cada punto se determina un sistema de ecuacionesAX=B, con:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
10 0 1 1
n 1n 2 n 2 n 1 n 1
n
2 1 1 0
1 0
n n 1 n 1 n 2
n 1 n 2
c1 0 0 0 0
ch 2 h h h 0 0
A X0
ch 2 h h h
c0 0 0 1
0
3 3a a a a
h h
B
3 3a a a a
h h
0
−− − − −
− − −
− −
+ = =
+
− − −
=
− − −
L
MO M
M
L L
M
Por (6)
Ejemplo
k xk f(Xk)=3xex-2ex hk=xk+1- xk
0 1.00 2.718282 0.05
1 1.05 3.286299 0.02
2 1.07 3.527609 0.03
3 1.10 3.905416
Adoptando p0’’(x0)=0 y p2’’(x3)=0 (condición de frontera) entonces c0=0 y c3=0 , así que debemos resolver el siguiente sistema:
=
=++
=++
=
0
3.286299)-527609 (3.02
3-3.527609)-(3.905416
.03
3.03 .05) 2(.02
2.718282)-3.286299 (.05
3-3.286299)-3.527609 (
.02
3 .022(.07).05
0
3
321
210
0
c
ccc
ccc
c
La solución de este sistema es:
c0 = 0, c1=13.22529, c2= 13.19694, c3= 0
b0 =11.13992, b1 =11.80118, b2 = 12.32963
d0 =88.16863 , d1 = −.4725490, d2 = −146.6327
T(x)→ pk (x) =ak +bk (x - xk )+ck (x -xk )2 +dk (x - xk )3
p0(x) = 2.718282 + 11.13992(x -1.00) + 0(x -1.00)2 +88.16863(x-1.00)3
p1(x) = 3.286299 + 11.80118 (x -1.05) + 13.22529(x-1.05)2 -.4725490(x-1.05)3
p2(x) = 3.527609 + 12.32963(x -1.07) + 13.19694(x-1.07)2 -146.6327(x-1.07 )3
f(1.03)≈ T(1.03) = p0(1.03)=
= 2.718282+11.13992103 (1.03-1.00)+88.16863(1.03 –1.00)3
= 3.054860
)cc2(3
h
h
aab 1kk
k
k
k1kk +
+ +−−
=
k
k1kk
h3
ccd
−= +
(5)
(4)
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 9/12
Última actualización: 24/09/2013
P0 (x)= 88.16863x3 -264.50589x2 + 275.64581x -96.590268
P1 (x)= - 0.472549x3 + 14.7138193500x2 - 17.5348848174x + 6.02297676112
P2 (x)= - 146.6327·x3 + 483.887907000·x2 - 519.551156290·x + 185.075444212
p0
p1
p20.95 1 1.05 1.1
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Ventajas y desventajas del trazador cúbico
• El algoritmo consiste en resolver un sistema de ecuaciones• El sistema de ecuaciones es tridiagonal, con lo cual se puede
simplificar la resolución• Se pueden obtener soluciones con menos oscilaciones cuando
hay muchos puntos• Es adecuado para describir formas eligiendo los puntos
adecuados
• Para realizar una interpolación es necesario identificar el polinomio correspondiente
• Cualquier cálculo aplicado al trazador tiene que repetirse para cada polinomio, lo cual puede ser complicado cuando hay muchos puntos
Ajuste de un polinomio por mínimos cuadrados (regresión polinomial)
Encontrar el polinomio que "mejor se ajuste" a los datos en el sentido de que la distancia entre los puntos dados y los obtenidos mediante un polinomio sea mínima.
Este criterio se conoce como mínimos cuadrados, y el método para obtener los polinomios que mejor se ajustan según mínimos cuadrados se llama Regresión polinomial.
Encontrar
sea mínima
( )( ) ( )( )∑∑==
−
−
n
0k
2kkm
2
1n
0k
2kkm yxp o yxp
( )∑=
−+++=
<+++=n
kk
m
kmkkm
mmm
yxaxaxaa)a,a,a
,xaxaxaa)x(p
0
22
21010
2210
s( que tal
nm con
LL
L
Una condición necesaria para la existencia de un mínimo relativo de
la función S es que las derivadas parciales con respecto a aj , con j=0,1,...,m, sean cero, ⇒
Si anulamos el 2 y
02
02
02
02
02
2
210
0
2
210
0
22
210
02
2
210
01
2
210
00
=−+++=∂
∂
=−+++=∂
∂
=−+++=∂
∂
=−+++=∂
∂
=−+++=∂
∂
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
)x)(yxaxaxaa(a
S
)x)(yxaxaxaa(a
S
)x)(yxaxaxaa(a
S
)x)(yxaxaxaa(a
S
)yxaxaxaa(a
S
m
kk
m
kmkk
n
km
j
k
m
kmkk
n
kj
kk
m
kmkk
n
k
kk
m
kmkk
n
k
k
m
kmkk
n
k
k
L
M
L
M
L
L
L
( ) 0
n
0k
0 a1na +=∑=
( )∑=
−+++=n
k
k
m
kmkkm yxaxaxaaaaa0
22
21010 ),,s( LL
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 10/12
Última actualización: 24/09/2013
Obtenemos un sistema de m+1 ecuaciones lineales con m+1
incógnitas a0, a1,...,am denominado Sistema de ecuaciones
normales.
m,...,,jcon
yx)xa(n
k
kjk
n
k
jik
m
i
i
10
general En
000
=
= ∑∑∑==
+
=
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
++
++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
===
+
=
==
+
=
+
=
==
+
==
===
n
0k
kmkm
n
0k
2m1
n
0k
m10
n
0k
m
n
0k
kjkm
n
0k
jm1
n
0k
j10
n
0k
j
n
0k
kkm
n
0k
1m1
n
0k
20
n
0k
k
n
0k
km
n
0k
m1
n
0k
k0
yxaxaxax
yxaxaxax
yxaxaxax
yaxax1)a(n
kkk
kkk
kk
k
L
M
L
M
L
L
En el caso particular en que m = 1, p(x) = a 0 + a1 x1 es la recta de mínimos cuadrados donde a0 y a1
se obtienen resolviendo el sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
=
+
=
+
∑∑∑
∑∑∑
===
==
+
=
n
0k
kk1
n
0k
2
k0
n
0k
1
k
n
0k
k1
n
0k
1
k0
1n
n
0k
0
k
yxaxax
yaxax
43421
Medir el error es estimar la bondad del ajuste según mínimos cuadrados. Para N=cantidad de puntos (n+1):
( )( )
( )( )
( )( )
1 Varianzaiii)
o E Cuadrático Medio Error ii)
o E Error
2
02
2
0RMS
2
0
−−
−
=
−
=
−=
∑
∑
∑
=
=
=
mN
yxp
N
yxp
yxp)i
n
k
kkm
n
k
kkm
n
k
kkm
σ
Ejemplo
a) p1(x) = a0 + a1x
b) P2(x) = b0 + b1x + b2x2
a) p1(x) = a0 + a1x
La solución al sistema es:a0 = -17/26 ≈ 0.654a1 = 6/13 ≈ 0.461
b) P2(x) = b0 + b1x + b2x2
La solución al sistema es:b0 = -15/13 b1 = 101/78b2 = -1/6
=
+
=
+
∑∑∑
∑∑∑
===
===
3
0k
kk1
3
0k
2k0
3
0k
1k
3
0k
k1
3
0k
1k0
3
0k
0k
yxaxax
yaxax
=
+
+
=
+
+
=
+
+
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
====
3
0k
k
2
k2
3
0k
4
k1
3
0k
3
k0
3
0k
2
k
3
0k
kk2
3
0k
3k1
3
0k
2k0
3
0k
1k
3
0k
k2
3
0k
2k1
3
0k
1k0
3
0k
0k
yxbxbxbx
yxbxbxbx
ybxbxbx
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 11/12
Última actualización: 24/09/2013
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
231 , 5554
y 231 b)
11512
232 ,747
4
232
4
23265271269346 a)
2
23
0
223
0
2
2
23
0
1
222223
0
1
..
yxp
E.yxpE
..
..
yxp
E
.....yxpE
k
kk
RMS
k
kk
k
kk
RMS
k
kk
==
−
==−=
====
−
=
=−++−+−=−=
∑∑
∑
∑
=
=
=
=
σ
σ
Graficamente
-1 0 1 2 3 4 5 6-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
p1(x)=0.4615*x-0.6538
p2(x)=-0.1667*x2+ 1.2949*x -1.1538
p3(x)=-0.2667*x3+1.8333*x
2-2.1*x-1.00008
La función potencial y=c·xa se puede trasformar en log y=a*log x + log cUsando nuevas variables x’ =log x e y’ =log yobtenemos la relación lineal y’ =ax’+b, donde b=log c ⇒ c=10^b
Ejemplo:
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 1.06 1.33 1.52 1.68 1.81 1.91 2.01 2.11
Variantes de la regresión lineal
X=log x 1.0 1.30 1.477 1.60 1.699 1.778 1.845 1.903
Y=log y 0.025 0.124 0.182 0.225 0.258 0.281 0.303 0.324
10 20 30 40 50 60 70 801
1.5
2
xx=log10(x)yy=log10(y)p=polyfit(xx,yy,1)hold onplot(x,10^p(2)*x.^p(1))
La función exponencialy=c·eax , se puede transformar en ln y=ax+ln cUsando nuevas variables x’ = x e y’ =ln yobtenemos la relación lineal y’ =ax’+b, donde b=ln c
Ejemplo:
Variantes de la regresión lineal
X= x 12 41 93 147 204 264 373 509 773
Y=ln y 6.835 6.703 6.449 6.188 5.913 5.580 4.990 4.330 2.833
x 12 41 93 147 204 264 373 509 773
y 930 815 632 487 370 265 147 76 17
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
yy=log(y)p=polyfit(x,yy,1)hold onplot(x,exp(p(2))*exp(p(1)*x))
Métodos Numéricos – Cap 5: Interpolación y Aproximación polinomial 12/12
Última actualización: 24/09/2013
Instrucciones Matlab
YI = Interp1(X,Y,XI,metodo) Interpola entre puntos X,Y; X vector de valores x, Y vector de valores y, XI valor a interpolar,YI resultado de la interpolación en XI, método:
'nearest' - redondeo al valor más cercano'linear' - interpolación lineal'spline' - interpolación segmentaria cubica Spline'cubic' - aproxima a un polinomio cúbico
YI = spline(X,Y,XI) Evalúa XIP = spline(X,Y) Devuelve los coeficientes de los polinomios en formato “pp”[X,coef,npol,nterm,dim] = unmkpp(P) Recupera información de los
polinomiosYI = ppval(P,XI) Evalúa polinomios ”pp” en un punto
[coef,P] = polyfit(X,Y,N) Ajusta X,Y con un polinomio de grado N, ( por mínimos cuadrados), coef son los coeficientes del polinomio y P es el polinomio “pp” para ser evaluado con ppval