Metodos Numericos ICC-1027

7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027

1/47

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR

DE ACAYUCAN

MANUAL DE PRCTICAS DEMETODOS NUMERICOS

CLAVE: ICC 1027

Nombre del alumno: ______________________________________________________________

Grupo: _____408A________

DOCENTE: MTI. ULISES GIRON JIMENEZ

ACAYUCAN, VER. A FEBRERO 2016


2/47

INGENIERA

CIVIL

MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS

ICC - 1027

Cdigo:Revisin: 0Pgina 2

MANUAL DE PRCTICAS DEMETODOS NUMERICOS

CLAVE: ICC 1027


3/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Contenido

Objetivo .......................................................................................................................................................................... 4

Introduccin ................................................................................................................................................................. 4

Competencia a desarrollar ...................................................................................................................................... 7

Prctica 1: Tipos de errores .................................................................................................................................... 8

Prctica 2: Software de cmputo numrico .................................................................................................. 10

Prctica 3: Mtodo de biseccin y regla falsa ............................................................................................... 12

Prctica 4: Mtodo de Newton Raphson y secante ..................................................................................... 15

Prctica 5: Aplicacin de la solucin de ecuaciones no lineales ............................................................ 17

Prctica 6: Interpolacin lineal .......................................................................................................................... 19

Prctica 7: Interpolacin de Lagrange ............................................................................................................. 22

Prctica 8: Aplicaciones de interpolacin ...................................................................................................... 25

Prctica 9: Integracin numrica ...................................................................................................................... 27

Prctica 10: Aplicacin de la integracin numrica ................................................................................... 30

Prctica 11: Mtodo de Gauss Jordn .............................................................................................................. 33

Prctica 12: Mtodo de Gauss Seidel ................................................................................................................ 36

Prctica 13: Mtodos de Jacobi........................................................................................................................... 38

Prctica 14: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales ........................................................ 40

Prctica 15: Mtodo de Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales ........... .......... 42

Prctica 16: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales .................................................. 45


4/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Objetivo

Seleccionar y aplicar mtodos (algoritmos) numricos para resolver

problemas matemticos referentes a diferentes reas de a ingeniera,

probabilidad, anlisis estadstico, entre otras, de acuerdo al tipo de

problema en particular.

Evaluar los temas vistos en cursos tradicionales de clculo, lgebra

lineal, ecuaciones diferenciales, etc. desde el punto de vista numrico,

concretando en el anlisis de una serie de mtodos o algoritmos, y su

aplicacin mediante el uso de computadoras y el software apropiado.

Introduccin

Caracterizacinde laasignatura

Esta asignatura aporta al perfil del Ingeniero en nuevas

estrategias para resolver problemas de aplicacin matemtica a la

ingeniera civil adecuadamente.

Para integrarla se ha hecho un anlisis referente a las

matemticas aplicadas, identificando los temas ms importantes de

mayor aplicacin en el quehacer profesional del ingeniero.

Puesto que esta materia dar soporte a otras, ms directamente

vinculadas con desempeos profesionales; se inserta al inicio escolar;

antes de cursar aqullas a las que da soporte. De manera particular, lo

trabajado en esta asignatura se aplica en el estudio de los temas.

Deber aplicar los conocimientos de las ciencias bsicas y ciencias de

la Ingeniera, para planear, proyectar, disear, construir y conservar


5/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


obras hidrulicas y sanitarias, sistemas estructurales, vas terrestres,

edificacin y obras de infraestructura urbana e industrial. De igual

forma esta herramienta es muy importante en el mbito laboral para

ser competitivo, y saber manejar software de dibujo asistido por

computadora.

Intencindidctica

Comprender y aplicar los algoritmos numricos en la solucin de

problemas de Ingeniera civil, mediante el uso de computadoras y el

software apropiado.

Se organiza el temario con 6 unidades y la primera con un software de

aplicacin.

La idea es abordar reiteradamente los conceptos fundamentales hasta

conseguir su comprensin. Se propone abordar los procesos de un

software desde un punto de vista conceptual, partiendo de la

identificacin de cada uno de dichos procesos en el entorno cotidiano

o el de desempeo profesional.

El enfoque sugerido para la materia requiere que las actividades

prcticas promuevan el desarrollo de habilidades y estrategias para su

entorno laboral, tales como: identificacin del software en la resolucin

de los problemas y saber utilizar las aplicaciones adecuado con lo que

se requiere, en las actividades prcticas sugeridas, es conveniente queel profesor guie a sus alumnos para que ellos realicen las actividades y

aprendan a identificar cada uno de los elementos.

La lista de actividades de aprendizaje no es exhaustiva, se sugieren


6/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


sobre todo las Necesarias para hacer ms significativo y efectivo el

aprendizaje. Algunas de las actividades sugeridas pueden hacerse como

actividad extra clase y comenzar el tratamiento en clase a partir de la

discusin de los resultados de las observaciones. Se busca partir

de experiencias concretas, cotidianas, para que el estudiante se

acostumbre al mbito ingenieril. Es importante ofrecer escenarios

distintos, ya sean construidos, artificiales, virtuales o naturales.

En las actividades de aprendizaje sugeridas, generalmente se propone

la formalizacin de los conceptos a partir de experiencias concretas; se

busca que el alumno tenga el primer contacto con el concepto en forma

concreta. Pero se sugiere que se diseen nuevas estrategias para que el

alumno sepa tomar decisiones en el momento de resolver un problema

real.

En el transcurso de las actividades programadas es muy importante

que el estudiante aprenda a valorar las actividades que lleva a cabo y

entienda que est construyendo su futuro y en consecuencia acte de

una manera profesional; de igual manera, valore la importancia del

conocimiento y los hbitos de trabajo; desarrolle la precisin, la

puntualidad, el entusiasmo, el inters, la tenacidad, la flexibilidad y el

trabajo colectivo. Es necesario que el profesor preste atencin y

cuidado en el desarrollo de las actividades de aprendizaje de esta

asignatura.


7/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Competencia a desarrollar

Competencias especficas:

Resolver problemas relacionados con la ingeniera de procesos mediante

la aplicacin de algoritmos numricos y el uso de computadoras digitales.

Competencias genricas

Competencias

instrumentales

Capacidad de anlisis y sntesis

Capacidad de organizar y planificar

Conocimientos bsicos de la carrera

Comunicacin oral y escrita

Habilidades bsicas de manejo de la Computadora

Habilidad para buscar y analizar informacin proveniente de fuentes

diversas

Solucin de problemas

Toma de decisiones.

Competencias

interpersonales

Capacidad crtica y autocrtica

Trabajo en equipo

Habilidades interpersonales

Competencias

sistmicas

Capacidad de aplicar los conocimientos en la prctica

Habilidades de investigacin

Capacidad de aprender

Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad)

Habilidad para trabajar en forma autnoma


8/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 1: Tipos de errores

Objetivo Realizar clculos de errores numricos, usando el error por redondeo o truncamiento.

Unidad 1 Introduccin a los mtodos numricos

Subtemas 1.4 Errores inherentes de redondeo y por truncamiento.

Introduccin Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida.

Si *p es una aproximacin a p , el error se define como

*ppE

Error por redondeo. Este error es el resultado de representar aproximadamente

nmeros exactos. Es decir, se debe a la omisin de algunas de las cifras significativas de

algn valor especfico. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo

guardan un nmero finito de cifras significativas durante un clculo. Las computadoras

realizan esta funcin de maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras

significativas, la computadora puede almacenar y usar como = 3.141592, omitiendo

los trminos restantes y generando un error de redondeo.

Errores de truncamiento. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar

una sucesin finita o infinita de pasos en el cual se realizan clculos para producir un

resultado exacto, se trunca prematuramente despus de un cierto nmero de pasos.

Truncar la siguiente cifra hasta centsimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:

645751311.27 2.647

Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de

una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el

nmero, por lo que tambin cae en un error.

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar

de un procedimiento matemtico exacto. Estos errores se regresan a la formulacinmatemtica usada ampliamente en los mtodos numricos para expresar funciones en

forma polinomial.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas, calculadora.


9/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Desarrollo de la practica

Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios usando las reglas de redondeo.

Problema 1 Aplique el mtodo de redondeo para las siguientes cantidades segn se indique el nmero

de cifras significativas y a la vez escriba el nmero de digito que tenga el nmero inicial.

Numero Cifras significativas Redondeo Dgitos significativos

5.6723 3

10.406 4

7.3500 2

88.21650 5

1.25001 2

Conclusin

Referencia

bibliogrfica

Chapra , S., & Canale, R. . Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico: Mc Graw

Hill.


10/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 2: Software de cmputo numrico

Objetivo Realizar una lista del software de cmputo numrico tanto comercial como libres.

Unidad 1 Introduccin a los mtodos numricos

Subtemas 1.6 Uso de herramientas computacionales

Introduccin Para que un computador (hardware) funcione es necesario utilizar programas (software),

los cuales le indican cul es la tarea que se tiene que hacer. Un lenguaje de programacin

es el que se utiliza para escribir dichos programas. Posteriormente estos se introducirn

en la memoria del computador y ste ltimo ejecutar todas las operaciones que se

incluyen.

Como ya sabemos, las computadoras fueron diseadas o ideadas como una herramienta

mediante la cual podemos realizar operaciones de clculo complicadas en un lapso de

mnimo tiempo. Pero la mayora de las aplicaciones de este fantstico invento del hombre,

son las de almacenamiento y acceso de grandes cantidades de informacin.

La informacin que se procesa en la computadora es un conjunto de datos, que pueden ser

simples o estructurados. Los datos simples son aquellos que ocupan slo una localidad de

memoria, mientras que los estructurados son un conjunto de casillas de memoria a las

cuales hacemos referencia mediante un identificador nico.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas


Instruccin I Investigue acerca de los software de computo numrico

Problema 1 Realice una lista de los software de computo numrico comercial y libres

Respuesta:


11/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Instruccin II Elabore una lnea de Tiempo

Actividad 1 Realice una investigacin acerca de los lenguajes de programacin y con esa informacin

elabore una lnea de tiempo.

Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


12/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 3: Mtodo de biseccin y regla falsa

Objetivo Realizar clculos de races de ecuaciones usando el mtodo de Biseccin, Regla falsa,

Secante y Newton Raphson

Unidad 2 Solucin de ecuaciones no lineales de una variable

Subtemas 2.2 Mtodos cerrados y sus interpretaciones geomtricas (biseccin y regla falsa)

Introduccin El mtodo de biseccin

El mtodo de biseccin conocido tambin como de corte binario, de particin en dos

intervalos iguales o mtodo Bolzano, es un mtodo de bsqueda incremental en el que el

intervalo se divide siempre en dos. La posicin de la raz se determina situndola en el

punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se

repite hasta obtener una mejor aproximacin.

2

1 ur

xxx

Mtodo de falsa posicin

Aunque el mtodo de biseccin es una tcnica perfectamente vlida para determinar

races, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del

mtodo de la regla falsa (falsa posicin) est basada en una idea para aproximarse en

forma ms eficiente a la raz. Un defecto del mtodo de biseccin es que al dividir el

intervalo x1 a xuen mitades iguales, no se toma en consideracin la magnitud de)( 1xf y

de)( uxf .

u

uuur

xfxf

xxxfxx

1

1

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas, calculadora


Instruccin I Resolver el siguiente ejercicio utilizando el mtodo indicado, apyese con Excel

para encontrar la solucin.


13/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Problema 1 La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real es:

RTbVVa

P

2

Dnde:

P Presin en atm; T temperatura en K; R constante universal de los gases en

atm L / (gmol K) = 0.08205; V volumen molar del gas en L / gmol; ba, constantes

particulares para cada gas

Calcule V a 80 C (353.2 K) para una presin de 10 atm

Gas A b

He 0.03412 0.02370

Realice los clculos necesarios para resolver esta ecuacin usando los mtodos indicados:

a) Mtodo de biseccin con vV 8.01 , vVu 2.1 ,

b)

Mtodo de falsa posicin con vV 8.01 , vVu 2.1

Respuesta (a)


14/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta (b)

Conclusin

Referencia

bibliogrfica

Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:

Mc Graw Hill.


15/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 4: Mtodo de Newton Raphson y secante

Objetivo Realizar clculos de races de ecuaciones usando los mtodos abiertos

Unidad 2 Solucin de ecuaciones no lineales de una variable

Subtemas 2.3 Mtodos abiertos y sus interpretaciones geomtricas asi como criterios de

convergencia (Newton Raphson y Mtodo de la Secante)

Introduccin Mtodo de Newton Raphson

Es una de las frmulas ms ampliamente usadas para localizar races, si el valor inicial de

la raz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto

donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximacin mejorada de la raz. El

mtodo de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretacin

geomtrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente

i

iii

xf

xfxx

1

La cual es conocida como frmula de Newton - Raphson.

Mtodo de la Secante

Un problema fuerte en la implementacin del mtodo de newton Raphson es la evaluacin

de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas

otras funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difciles deevaluar.

Por lo tanto el mtodo de la secante

1

11

ii

iiiii

xfxf

xfxxxx ii xx 1

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas, software (Excel)


Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios de acuerdo al mtodo indicado.

Problema 1 Aplicando el Mtodo de Newton Raphson, encontrar una raz prxima a 0 0x para

la ecuacin ( ) 3 ( ) 0xf x x sen x e . Redondear los clculos de las aproximaciones

a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla 1 0.001i ix x


16/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta

Problema 2Use el mtodo de la secante para aproximar la raz de

2( ) 1 tan( )f x x x .

Comenzando en el intervalo [0.5,1] y hasta que 1%EA

Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill.


17/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 5: Aplicacin de la solucin de ecuaciones no lineales

Objetivo Calcular races de ecuaciones para problemas reales

Unidad 2 Solucin de ecuaciones no lineales

Subtemas 2.4 aplicaciones de la solucin de ecuaciones no lineales

Introduccin Para hacer uso del clculo de races de ecuaciones no lineales se puede hacer uso de los

mtodos de biseccin, falsa posicin o regla falsa, Newton Raphson y mtodo de la

Secante.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, calculadora, software, hojas blancas.


Instruccin I Resolver el siguiente ejercicio utilizando el mtodo de biseccin, falsa posicin, y

secante para comparar la solucin.

Problema 1 Para obtener la temperatura de burbuja de una mezcla de CCl4y CF4en equilibrio con su

vapor, se lleg a la ecuacin:

1221.8 376.716.898 6.195

227.4 241.2( ) 0.75 10 0.25 10 760T Tf T

Encuentre la temperatura de burbuja con una aproximacin de 10-2 aplicado a f(T).

105, 100

Respuesta


18/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Conclusin

Referencia

bibliogrfica

Chapra , S., & Canale, R. . Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico: Mc Graw

Hill.


19/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 6: Interpolacin lineal

Objetivo Encontrar el polinomio de interpolacin por diferencias divididas de Newton

Unidad 3 Interpolacin

Subtemas 3.1 Interpolacin lineal

Introduccin Diferencias divididas de Newton

El polinomio de interpolacin con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma

ms popular adems de las ms til. Antes de presentar la ecuacin general, se examinan

las versiones de primero y segundo orden debido a su fcil interpretacin visual.

Interpolacin lineal.La forma ms simple de interpolar es la de conectar dos puntos con

una lnea recta. Este mtodo, llamado interpolacin lineal, se muestra en la figura

Usando tringulos semejantes, se tiene:

01

01

0

0 )()()()(1

xx

xfxf

xx

xfxf


20/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


que se puede reordenar como :

)(

)()(

)()(1 001

01

0 xxxx

xfxf

xfxf

)(,)()(1 0100 xxxxfxfxf

La cual es una frmula de interpolacin lineal. La notacin f 1(x) indica que se trata de un

polinomio de interpolacin de primer orden. Ntese que adems de representar la

pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino

01

01 )()(

xx

xfxf

Es una aproximacin de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general,

entre ms pequeo sea el intervalo entre dos puntos, ms exacta ser la aproximacin.

Interpolacin cuadrtica.Una estrategia que mejora la aproximacin es la introducir

cierta curvatura en la lnea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior

se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambin polinomio

cuadrtico o parbola). Una manera conveniente para este caso es:

))((,,)(,)()(2 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf

Herramienta de

apoyo

Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)


Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios con el mtodo indicado.

Problema 1 Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolacin cuadrtica de Lagrange

y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192 (4D)

Respuesta


21/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


El calor especfico )/( kgmolcalCp del 43OMn vara con la temperatura de acuerdo a

la siguiente tabla:

Punto 1 2 3 4 5 6

T (K) 280 650 1000 1200 1500 1

Cp 32.7 45.4 52.15 53.7 52.9 5

Aproxime esta informacin usando la interpolacin cuadrtica de diferencias divididas de

Newton, con una estimacin de la Temperatura de 700K

Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill


22/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 7: Interpolacin de Lagrange

Objetivo Encontrar el polinomio de interpolacin de Lagrange.


Subtemas 3.2 Frmula de interpolacin de Lagrange

Introduccin Polinomio de interpolacin de Lagrange.

El polinomio de interpolacin de Lagrange, simplemente es una reformulacin del mtodo

de interpolacin de diferencias divididas de Newton que evita los clculos de las

diferencias divididas. Este se puede representar como:

Polinomio lineal

101

10

10

11 )( xf

xx

xxxf

xx

xxxf

Polinomio de segundo orden es :

21202

10

1

2101

20

0

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

Herramienta de

apoyo



Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios con el mtodo indicado.

Problema 1 Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolacin cuadrtica de Lagrange

y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192

Respuesta

Problema 2 Use la interpolacin de Lagrange, para las densidades de las soluciones acuosas del cido

sulfrico varan con la temperatura y la concentracin de acuerdo con la tabla :


23/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


C (%)

T ( C)

10 30 60 100

5

20

40

70

1.0344

1.1453

1.3103

1.6923

1.0281

1.1335

1.2953

1.6014

1.0140

1.1153

1.2732

1.5753

0.9888

1.0885

1.2446

1.5417

a) Calcule la densidad a una concentracin de 40% y una temperatura de 15 C.

b) Calcule la densidad a 30 C y concentracin de 50%

c) Calcule la densidad a 50 C y 60% de concentracin

Respuesta (a)


24/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta (b)

Respuesta (c)

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill


25/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 8: Aplicaciones de interpolacin

Objetivo Calcular la interpolacin de Newton para casos reales


Subtemas 3.4 Aplicaciones de la interpolacin

Introduccin Se denomina interpolacina la obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento

de un conjunto discreto de puntos la interpolacin es laaproximacin de una funcin

complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso,

podemos partir de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos

construyendo una funcin ms simple. En general, por supuesto, no obtendremos los

mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evaluamos la funcin original, si bien

dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin usado la

ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)


Instruccin I Determine la interpolacin polinomial de Newton.

Problema 1

Respuesta
https://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n


26/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Problema 2

Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica

Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros(Tercera ed.). Mxico:

Mc Graw Hill.


27/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 9: Integracin numrica

Objetivo Calcular la integracin numrica usando el mtodo del trapecio para los problemas reales

Unidad 4 Integracin numrica

Subtemas 4.2 Regla trapecial

Introduccin Mtodo del Trapecio.

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las frmulas de integracin

cerrada de Newton-Cotes.

b

a

b

adxxfdxxf )()(/ 1

El resultado de la integracin es :

2

)()( bfafabI

La cual se denomina regla trapezoidal simple

La regla del trapecio utilizando segmentos mltiples

Una mejor manera de mejorar la actitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo

de integracin de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el mtodo a cada uno de

los segmentos.

Figura: ilustracin de la regla trapezoidal mltiple a) dos segmentos, b) tres segmentos;

c) cuatro segmentos; d) cinco segmentos


28/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


o mediante agrupacin de trminos :

1

10 22

n

ini xfxfxf

h

I

en formato general es:

n

xfxfxf

abIn

n

i

i

2

)()(2)(

)(

1

1

0

Herramienta de

apoyo



Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios usando el mtodo del trapecio. Utilice Excel para

resolverlos.

Problema 1 Calculo de una longitud de arco.

Un crculo de radio 1 rueda alrededor de otro mayor, de radio 4. La epicicloide descrita

por un punto de la circunferencia del crculo ms pequeo viene dada por:

2 2

5 ( ) (5 )

5 ( ) (5 )

:b

a

x Cos t Cos t

y Sen t Sen t

dy dxusando s dt

dt dt

Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor de crculo

mayor. Use el mtodo de trapecio de segmento mltiple con n = 10

Respuesta


29/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill.

Larson , R., & Hostetler, R. (2000). Calculo(Sexta ed., Vol. 2). Madrid: Mc Graw Hill.


Mc Graw Hill.


30/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 10: Aplicacin de la integracin numrica

Objetivo Calcular la integracin numrica para problemas de aplicacin usando los mtodos vistos

Unidad 4 Integracin numrica

Subtemas 4.3 aplicacin de la integracin numrica

Introduccin Cualquiera de las tcnicas de integracin vistas en esta unidad es modificable, de modo

que se puede aplicar en la aproximacin de integrales simples, dobles o triples. Para

cualquier problema de aplicacin o casos prcticos.

Herramienta de

apoyo



Instruccin I Resuelva el siguiente ejercicio usando el mtodo de trapecio mltiple, use Excel

para solucionarlo.

Problema 1 En ingeniera qumica y en bioingeniera se emplean clculos de la cantidad de calor en

forma rutinaria, as como en muchos otros campos de la ingeniera.

La determinacin de la cantidad requerido para elevar la temperatura de un material es

un problema con que a menudo nos enfrentamos. La caracterstica necesaria para llevar a

cabo este clculo es la capacidad calorfica c. Este parmetro representa la cantidad

requerido para elevar una unidad de temperatura en una unidad de masa. Si c es una

constante en el intervalo de temperaturas que se examinan, el calor requerido H (en

caloras) se calcula mediante

H mc T

Donde c esta en cal/gC, masa (g) y T es pequeo. La capacidad calorfica de un material

podra aumentar podra aumentar con la temperatura de acuerdos con una relacin tal y

como:

4 7 2( ) 0.132 1.56 10 2.64 10c T x T x T

En este caso se pide por ejemplo el calcular el calor necesario para elevar la temperatura

de 1000 gramos de este material desde -100 hasta 200 C

2

1

2 1

( )( )

T

Tc T dT

c TT T


31/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Que se sustituye en la ecuacin:

2

21

12 1

( )( )

T

TT

T

c T dTH mc T m T m c T dT

T T

Utilice el mtodo con n = 10 intervalos.

Respuesta

Encuentre el centro de masa de una lmina cuya forma se encuentra en la figura adjunta,

suponiendo que la densidad en un punto p(x,y) de la lmina est dada por:

( , ) ( )p x y xsen y


32/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill.


33/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 11: Mtodo de Gauss Jordn

Objetivo Calcular la solucin de los sistemas de ecuaciones lineales usando el mtodo de Gauss

Jordn

Unidad 5 Solucin de sistemas de ecuaciones lineales

Subtemas 5.2 Mtodo de Gauss Jordn

Introduccin El Mtodo de Gauss Jordn o tambin llamado eliminacin de Gauss Jordn, es un

mtodo por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nmeros

de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la

primera aplicacin mencionada.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas, calculadora, Mathcad


Instruccin I Use el mtodo de Gauss Jordn para encontrar la solucin de los siguientes

problemas.

Problema 1 Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solucina partir de los siguientes datos espectrofotomtricos

Asmase que la longitud de la trayectoria ptica es unitaria y que el solvente no absorbe

a estas longitudes de onda.

Respuesta


34/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Problema 2 En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente

de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considrese que el benceno

transferido no altera sustancialmente el nmero de moles de V y L, fluyendo a

contracorriente, que la relacin de equilibrio est dada por la ley de henry (y = mx) y que

la columna opera a rgimen permanente. Calcule la composicin del benceno en cada

plato, usando el mtodo de Gauss Jordn

Datos:

V = 100 moles / min; L = 500 moles / min. 09.00 y Fraccin molar de benceno en V.

0.00 x Fraccin molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).

m= 0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con

E = 0.0001

Respuesta


35/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Problema 3 Un ingeniero industrial supervisa la produccin de cuatro tipos de computadoras. Se

requiere cuatro clases de recursos horas-hombre, metales, plsticos y componentes

electrnicos en la produccin. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades

necesarias para cada uno de estos recursos en la produccin de cada tipo de computadora.

Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg. de metal, 970 Kg. de plstico y

601 componentes electrnicos, Cuntas computadoras de cada tipo se puede construir

por da?. Use el mtodo de Gauss Jordn

computadoras Horas

hombre, kg /

computadora

Metales kg /

computadora

Plsticos kg /

computadora

Componentes,

unidades /

computadora

12

34

3

4

720

20

25

4050

10

15

2022

10

8

1015

Totales 504 1970 970 601

Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill.


36/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 12: Mtodo de Gauss Seidel

Objetivo Resolver problemas donde se encuentren sistemas de ecuaciones lineales.


Subtemas 5.3 Mtodo de Gauss Seidel

Introduccin Mtodo de Gauss Seidel

Los mtodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los mtodos de

eliminacin. El mtodo de Gauss-Seidel es el mtodo iterativo ms comnmente usado.

Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:

A x B

sk

i

k

i

k

iia

x

xx

100*1

,

Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.

Como cada nuevo valor de x se calcula con el mtodo de Gauss-Seidel, este se usa

inmediatamente en la siguiente ecuacin para determinar otro valor de x. De esta manera,

si la solucin es convergente, se empleara la mejor estimacin posible.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas, calculadora, Excel


Instruccin I Use el mtodo de Gauss Seidel para encontrar las soluciones al sistema de

ecuaciones lineales, apyese de Excel para resolver.

Problema 1 En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente

de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considrese que el benceno

transferido no altera sustancialmente el nmero de moles de V y L, fluyendo a

contracorriente, que la relacin de equilibrio est dada por la ley de henry (y = mx) y que

la columna opera a rgimen permanente. Calcule la composicin del benceno en cada

plato.

Datos:


0.00 x Fraccin molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno). m

= 0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001


37/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill.


38/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 13: Mtodos de Jacobi

Objetivo Resolver problemas donde se encuentren sistemas de ecuaciones lineales.


Subtemas Mtodo de Jacobi

Introduccin Mtodo de Jacobi

El mtodo de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solucin de

races de una ecuacin. La iteracin de punto fijo tiene dos problemas fundamentales:

Algunas veces no converge

Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.

El mtodo Jacobi tambin puede tener esas fallas.

Esquema grafico que muestra el mtodo de iteracin de Jacobi, en la solucin de

ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.

sk

i

k

i

k

iia

x

xx

100*1

,

Herramienta de

apoyo

Apuntes, hojas blancas, calculadora, Excel


Instruccin I Use el mtodo de Jacobi para encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones lineales,

apyese de Excel para resolver.

Actividad 1 En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de

gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considrese que el benceno

transferido no altera sustancialmente el nmero de moles de V y L, fluyendo a contracorriente,

que la relacin de equilibrio est dada por la ley de henry (y = mx) y que la columna opera a

rgimen permanente. Calcule la composicin del benceno en cada plato.

Datos:


0.00 x Fraccin molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno). m=

0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001


39/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta

Conclusin

Bibliografa Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico: Mc

Graw Hill.


40/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 14: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Objetivo Calcular la solucin a los sistemas de ecuaciones lineales a problemas reales.


Subtemas 5.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Introduccin Para resolver los sistemas de ecuaciones lineales se pueden lograr usando el mtodo de

Gauss Jordn, o usar el mtodo de Gauss Seidel.

Herramienta de

apoyo

Apuntes, computadora, proyector, software Mathcad


Instruccin I Resuelva el siguiente ejercicio usando el mtodo de Gauss Jordn puede utilizar el

software de mathcad.

Problema Un empresario tiene tres mquinas que son empleadas en la fabricacin de cuatro

productos diferentes. Para utilizar plenamente las maquinas estas estarn en operacin 8

horas diarias. El nmero de horas que cada mquina es usada en la produccin de cada

uno de los cuatros productos est dado por:

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Maquina 1 1 2 1 2

Maquina 2 2 0 1 1

Maquina 3 1 2 3 0

Por ejemplo, en la produccin de una unidad del producto la mquina 1 se usa 1 hora, la

maquina 2 se usa 2 horas y la maquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el nmero de unidades

que se deben producir de cada uno de los 4 productos un da de 8 horas completas.

Respuesta


41/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Conclusin

Referencia

bibliogrfica


Mc Graw Hill.


42/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 15: Mtodo de Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no

linealesObjetivo Resolver ejercicios donde use sistemas de ecuaciones no lineales.

Unidad 6 Solucin de sistemas de ecuaciones no lineales

Subtemas 6.3 Mtodo de Newton Raphson

Introduccin Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incgnitas, se destacarn

algunas de las dificultades que se presentan al aplicar mtodos.

Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las

ecuaciones de los sistemas para n > 2

No es fcil encontrar buenos valores iniciales.

Interpretacin geomtrica del mtodo de Newton Raphson.

Desarrollemos en etapas esta interpretacin para un sistema de dos ecuaciones. Sea el

sistema

1),(

1),(

22

2

22

1

yxyxf

yxyxf

La grafica de 1),( 221 yxyxf se muestra en la figura

Herramienta de

apoyo

Apuntes, computadora, proyector, software (matemticas de Microsoft)


Instruccin I Encontrar una solucin del sistema de ecuacin no lineal , use matemticas de

Microsoft para graficar

Problema 1 2 2

2

( , ) 4

( , )

f x y x y

f x y y x


43/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Respuesta

Problema 2 2( , ) 10( )

( , ) 1

f x y y x

f x y x

Respuesta


44/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Problema 3 ( , ) sin( )

( , ) cos( )

f x y y

f x y x

Respuesta

Conclusin

Referencia

bibliogrfica

Nieves, A., & Federico, C. (2010). Mtodos Numricos para ingenieros (Tercera ed.).

Mxico: Mc Graw Hill.


45/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Prctica 16: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales

Objetivo Resolver ejercicios donde use sistemas de ecuaciones no lineales.

Unidad 6 Solucin de sistemas de ecuaciones no lineales

Subtemas 6.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales.

Introduccin Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incgnitas, se destaran

algunas dificultades que se presentan al aplicar estos mtodos.

Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las

ecuaciones de los sistemas para n > 2.

No es fcil encontrar buenosvalores iniciales.

Herramienta de

apoyo



Instruccin I Resolver el siguiente ejercicio usando el mtodo de Newton Raphson.

Problema 1

Respuesta


46/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Conclusin

Referencia

bibliogrfica

Nieves, A., & Federico, C. (2010). Mtodos Numricos para ingenieros (Tercera ed.).

Mxico: Mc Graw Hill.


47/47

INGENIERA

CIVIL


ICC - 1027


Metodos Numericos ICC-1027

Documents

Transcript of Metodos Numericos ICC-1027