Mtodos Numricos para la Resolucin

de Ecuaciones Ingeniera de Reacciones

Complementaria 2

Daniela Barros Vega

Por qu usar mtodos numricos?

Mtodos Grficos

>>x=(-2:0.1:2),

X=x*0,

Y=exp(x )+x-4,

plot(x,Y,x,X),

grid on ,

title ('Y=f(x)=e^x

+x-4')

>>x=[ -2:0.05:2],

F1=x,

F2=4-exp(x),

plot(x,F2,x,F1), legend ('F1=x',

'F2=g(x)=4-e^x'),

grid on ,

title ('f(x) de la forma x=g(x)')

Mtodos Grficos

Tolerancia o Error

Se hace uso de un valor para la tolerancia (cercano a cero) para decidir en qu momento detener la iteracin. Cuanto ms cercano a 0 sea el valor de la tolerancia mayor ser la cantidad de iteraciones necesarias.

Cmo definir una tolerancia?

Sustitucin Sucesiva / Iteracin Directa / Punto Fijo

Expresin:

Mtodo: hasta que tal que

Criterio para parar:

Ventajas: til para ecuaciones con exponentes fraccionarios

Desventajas: Puede no converger. Se debe elegir una sustitucin adecuada.

Convergencia: Lineal

Cuadrtica

Sustitucin Sucesiva / Iteracin Directa / Punto Fijo

Divergencia:

Sustitucin Sucesiva / Iteracin Directa / Punto Fijo

Mtodo de Wegstein Acelera la convergencia del mtodo de sustitucin sucesiva mediante la aproximacin de g(x) con una funcin lineal cuya pendiente se calcula usando 2 puntos.

Expresin:

Mtodo :

S Criterio para parar: |

Ecuacin General:

Mtodo de Wegstein

Ejercicio 1 Teniendo en cuenta que la presin de vapor para el n-butano a 350K es 9.4573bar, encuentre el volumen molar de vapor saturado, mediante la ecuacin de Redlich -Kwong , por los mtodos de Punto Fijo y Wegstein

Mtodo de la Biseccin o de la Bsqueda Binaria

Expresin: continua y definida en

Mtodo: Hallar

Si Si

Si

Y se repite el procedimiento .

Criterio para parar:

Mtodo de la Biseccin o de la Bsqueda Binaria

Ventajas: Siempre converge. No importan los picos de la fn. Es til para

funciones con mltiples races.

Este mtodo permite saber con anticipacin el # de iteraciones

necesarias para obtener un tamao deseado.

Desventajas: Converge lentamente. Es necesario conocer el rango.

Ejemplo

Biseccion.m:

En MatLab - fzero fzero(F,x): Busca un valor de x tal que F(x)=0, siempre. Donde F=Funcin x=inicializacin de la incgnita. o La funcin F debe tener cambio de signo.

o La inicializacin de x puede ser un valor o un rango.

o

parmetros de fsolve.

o La funcin debe

Este comando trabaja con el algoritmo de solucin diseado por T. Dekker que es una combinacin de los mtodos de biseccin, secante e interpolacin cuadrtica inversa

o Ejercicio 2: Resolver el ejercicio de la diapositiva 11.

Para a)vapor saturado y b)lquido saturado

Uno de los mtodos numricos ms conocidos y tiles

para la resolucin de un problema de bsqueda de

races.

Dado un valor inicial se construye la recta

tangente en el punto tal que ser en

donde dicha secante corta al eje x.

As sucesivamente hasta que el valor de la funcin en

ese punto se lo ms prxima posible a 0.

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodo de Newton-Raphson

Expresin:

Mtodo:

Ecuacin general:

Criterio para parar:

Mtodo de Newton-Raphson

Ventajas: Sencillo de implementar. Suele converger.

Converge rpidamente. Muy til para funciones con

un solo corte. Si se tienen una funcin con ms de

una raz se debe elegir un buen valor inicial

cuidadosamente.

Desventajas: Presenta problemas cuando la primera

derivada tiende a 0. Requiere una evaluacin de la

derivada en cada iteracin. No es til para funcione

peridicas.

Mtodo de Newton-Raphson

En MatLab - fsolve

fsolve(F,x): Resuelve problemas del estilo F(x) = 0 con ecuaciones que son no -lineales y x puede ser un vector o una matriz solucin.

Tiene 3 opciones para el algoritmo de solucin que son

-

complejidad el mtodo predeterminado podra ser cambiado teniendo en cuenta algunas caractersticas adicionales.

En cuanto a la sintaxis aplican las mismas reglas que para fzero.

Ejercicios

3.Encuentre el volumen molar del gas de amonio a 56atm y 450K usando la ecuacin de estado de Redlich -Kwong , teniendo en cuenta que:

Resuelva la ecuacin

por el mtodo de Newton -Raphson . Utilice una tolerancia de 1e -6

4. Teniendo en cuenta que la presin de vapor para el n -butano a 350K es 9.4573bar, encuentre el volumen molar de vapor saturado, mediante la ecuacin de Peng -Robinson, utilizando las herramientas matemticas de MatLab.

Ejercicio 5 Realizar un programa en MatLab y utilizar las herramientas de matrices en Excel para resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el mtodo de solucin de Newton Raphson . Utilice una tolerancia de 1e -6 y 1e-3, respectivamente.

Inicializacin: , ,

Ejercicio 6 Un fabricante mezcla tres aleaciones para obtener 10000 lb/h de una aleacin requerida.

En el siguiente diagrama se presenta la informacin con las composiciones de las aleaciones (% en masa ).

Si se requiere que la aleacin final tenga 40% de A y cantidades iguales de B y C.

a)En qu proporciones deberan mezclarse las 4 aleaciones para satisfacer estas condiciones?

b)Cul sera la composicin de la aleacin final ?

Resuelva el ejercicio con el mtodo de Newton -Raphson en MatLab y compare sus resultados utilizando fsolve

1.

A=60%

B=20%

C

2.

A=20%

B=60%

D

3.

A=20%

C=60%

D

4.

A=40%

B

C

D

Relacin

=

Diagrama Ejercicio 6

Ejercicio 7 El producto P se forma a partir del reactivo R, de acuerdo con la reaccin:

Con las reaccin paralela:

Cuando se utiliza una alimentacin fresca que contiene un mol de inertes (I) por cada 11 moles de R, se logra nicamente una conversin de R del 50% en el reactor. El R que no reaccion y los inertes se purgan para limitar a 12% (mol) el nivel de inertes en la alimentacin combinada al reactor. Para obtener un flujo de 1000lbmol/h con una concentracin de P de 38% (molar ).

Calcule:

a) Realice un anlisis de grados de libertad.

b) Plantee el sistema de ecuaciones necesario para resolver el sistema. c) Resuelva el sistema utilizando las herramientas matemticas de MatLab.

Diagrama Ejercicio 7

Bibliografa Mtodos numricos para ingenieros con programas de aplicacin. Chapra.

Numerical methods for chemical engineers with MatLab applications. Constantinides.

Introduction to chemical engineering computing. Finlayson.

Introduccin a c y a mtodos numricos. Mora, H.

Aprenda MatLab como si estuviera en primero. Garca de Jaln, J.

Notas de Clase Complementaria Ingeniera de Reacciones Qumicas. Vargas, W.;

Presentaciones de clase. Reyes,J.; Galvis, A.; Vargas, R.; Calle, L.