Mtodos numricos selectosMtodos numricosselectos

IMSpropeduticocomputacinEneroJunio 2014Enero Junio2014

Abril1y3

EcuacionesdiferencialesdeprimerordenMuycomndeencontrarenmodeloparaprediccionesdefenmenosnaturales

Representanvariablesquecambianentiempooenespacio

Elsistemaserepresentaconecuacionesdiferenciales

Describenelfenmenoquesequiereestudiarlomejorposible

EJEMPLOS:Crecimiento de bacterias en tiempo

q q j p

CrecimientodebacteriasentiempoBalancedeaguaenunacuenca

Cambiodeconcentracindealgncontaminantedisueltoenagua

Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuacionesdiferencialesdeprimerorden

Muypocasecuacionesdiferencialespuedenserresueltasanalticamente

Mtodosnumricossonunrequisito

El mtodo ms simple es el Mtodo de EulerElmtodomssimpleeselMtododeEuler

SequiereresolverunaecuacindiferencialordinariaMtododeEulerq

Dondeesconocido

El mtodo de Euler consiste en reemplazar la diferencial por elElmtododeEuler consisteenreemplazarladiferencialporelcocientedeNewtonquedando:

El valor de y en el siguienteElvalordeyenelsiguienteintervalodetiempoo

espacio

Sequiereintegrarparaunintervalodesdex=ahastax=bMtododeEuler

Elintervaloseparteenunnmerodeterminado(m)depasosdelongitudh yqueda:

El mtodo de Euler queda:ElmtododeEuler queda:

Donde:

MtododeEuler

Estaecuacinsepuederesolversiseconocelacondicininicial:

Porejemplolasolucinacadapasohquedara

1112 , yxhfyy j p p q

2223 , yxhfyy 3334 , yxhfyy

Yassucesivamente

Ejemplodecrecimientodebacterias

ProgramaelmtododeEuler conh=0.5ycalculalasolucinanalticaparacompararresultados

Mtododepredecircorregir(predictorcorrector)corrector)

l d d l d l d dSeusaelmtododeEuler parapredecirunvalorintermediodey

SeusaelmtododeEuler denuevoconelprimervalorparacorregiryseobtieneelvalorfinaldey

ModificaelprogramaanteriordelmtododeEuler paraintegrarnumricamente usandoelmtododepredecircorregir.IncluyelosresultadosconelMtododeEuler ylasolucinanaltica para comparar resultadosanalticaparacompararresultados

MtodoRunge Kutta deorden4

),(1 iiy yxhfK yii Kyy 11 2

1* y

2*)*,( 112 iiy yxhfK

1yii Kyy 21 2

1** *)**,*( 113 iiy yxhfK

ii Kyy 31 *** yii Kyy 31 **)***,*( 114 iiy yxhfK

43211 yyyyii

KKKKyy

61 ii yy

Paraelejemplodecrecimientodebacterias.ProgramaelmtododeRunge Kutta paraintegrarnumricamente.Incluyelosresultadosdelosmtodospredecircorregir,Euler ylasolucinanaltica para comparar resultadosanalticaparacompararresultados