pkklFACULTAD DE INGENIEIACARRERA PROFESIONAL INGENIERIA CIVIL

RELACIONES ENTRE RELACIONESDEMOSTRACIONFECHA DE ENTREGA:23-JUNIO-2014mljlnbmbMECANICA DE SUELOS I

INDICE

INTRODUCCIN 3CAPTULO 1: ERROR1.1. Definicin 41.2. Clasificacin1.2.1. Error por truncamiento 51.2.2. Error por redondeo 51.3. Precisin y exactitud 7CAPTULO 2: SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES (METODOS NO CERRADOS)2.1.Metodo de la biseccion 82.2.Metodo de la falsa posicion 102.3.Metodo del punto fijo 12CONCLUSION 14BIBLIOGRAFIA 15WEBGRAFIA 15

INTRODUCCION

Este trabajo de investigacin tiene el propsito de presentar algunos temas desarrollados en la Asignatura de Mtodos Numricos, los cuales son indispensables para su estudio y continuo aprendizaje.

El objetivo central de dicha investigacin es facilitar la comprensin a base de ejemplos y ejercicios propuestos.Por otro lado, una de las caractersticas ms sobresalientes de los Mtodos Numricos es el uso de los nmeros reales en clculos extensos, es ah donde aparecen los diferentes tipos de errores que en cuanto se vaya analizando este trabajo se podrn ir despejando dudas.

El conocimiento de todo esto nos ayudar a evitar cierto tipo de errores, a evitar su propagacin e incluso interpretar mejor los resultados dados por una mquina, en este caso dado por una calculadora o por un computador.

Nuestro propsito con este trabajo es tambin dar a conocer sobre diversos mtodos de ecuaciones no lineales dados en una incgnita, aprovechando los conceptos bsicos del clculo y las posibilidades grficas y de cmputo de la tecnologa moderna. A lo largo del texto recurriremos sistemticamente a la interpretacin grafica de los mtodos, a fin de mostrar visualmente su funcionamiento y de enriquecer las imgenes asociadas con ellos.

Por ltimo, es importante sealar lo difcil que resulta pensar en un tpico de matemticas o ingeniera que no involucre este tipo de ecuaciones.

CAPITULO 1: ERROR

1.1. DEFINICION:

Es un clculo de una magnitud con respecto al valor real o terico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximacin es suestabilidad numrica.El concepto de error es semejante o igual con el clculo numrico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximacin de la solucin que se obtiene.Es usado para representar a la inexactitud y a la imprecisin de las predicciones.La inexactitud se define como un alejamiento sistemtico de la verdad. La imprecisin, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.Los errores numricos se generan con el uso de aproximaciones para representar lasoperacionesy cantidadesmatemticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente unprocedimientomatemtico exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente nmeros exactos. Para los dos tipos de errores, la relacin entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado est dada por:

Valor verdadero = Valor aproximado + Error

Error numrico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Eu = Valor verdadero Valor aproximado

1.2. CLASIFICACION

1.2.1 ERROR POR TRUNCAMIENTO

Existen muchos procesos que requieren la ejecucin de un nmero infinito de instrucciones para hallar la solucin exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solucin exacta que se pretenda encontrar, sino una aproximacin a la misma. Al error producido por la finalizacin prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor. Este es independiente de la manera de realizar los clculos. Solo depende del mtodo numrico empleado.

1.2.2. ERROR POR REDONDEO

Se originan al realizar los clculos que todo mtodo numrico o analtico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritmticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operacin el nmero de cifras que permita el instrumento de clculo que se est utilizando.

Existen dos tipos de errores de redondeo:

* Error de redondeo inferior: se desprecian los dgitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas segn el signo del nmero en particular:Para nmeros positivos, el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de memoria incrementa en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5.

Para nmeros negativos, el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de la memoria se reduce en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5.

Ejemplo 1:El nmerotiene un desarrollo decimal infinito de la formaescrito en forma decimal normalizada, tenemos:

Puesto que la sexta cifra del desarrollo decimal dees 9, la forma de punto flotante decon un redondeo a cinco cifras es:

El error que resulta al sustituir un nmero por su forma de punto flotante es error de redondeo.

1.3. PRESICION Y EXACTITUD

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisin y exactitud. La precisin se refiere a 1) el nmero de cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensin en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad fsica. La exactitud se refiere a la aproximacin de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. La inexactitud (conocida tambin como sesgo) se define tambin como un alejamiento sistemtico de la verdad. la precisin por otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento. Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniera. Tambin debe ser lo suficientemente preciso para el diseo en la ingeniera. Usaremos el termino de error para representar la inexactitud y la precisin de las predicciones.

CAPITULO 2: SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

2.1. METODO DE LA BISECCIONCuando se usa este mtodo las iteraciones tienen que comenzar desde dos puntos iniciales x0 y x1 de tal manera que f(x0) y f(x1) tengan signos opuestos ( f ( x0 ).f ( x1 ) < 0 ). Se toma entonces el punto medio del intervalo [xi-1, xi]. La funcin de iteracin de este mtodo es:

METODOS NUMERICOSPgina 16

METODOS NUMERICOSPgina 2xi +1 =(xi + xi 1 )/ 2

(ENL.15)

Entre tres valores sucesivos de x: xi-1, xi, xi+1 debemos guardar para la siguiente iteracin solamente dos de ellos. El valor de xi+1 nos lo guardamos siempre, de los otros dos nos quedaremos con aquel que cuyo valor defuncin sea de diferente signo que el valor de la funcin para xi+1. De esta forma la raz de la ecuacin se encontrar siempre acotada por xi+1 y xi. Dado que el intervalo se hace cada vez ms pequeo la longitud del intervalo se puede usar como una estimacin para calcular el error. Es fcil mostrar que despus de "i" iteraciones el tamao del intervalo se habr reducido en un valor de:

Li = 2i L0 (ENL.16)donde L0 es el tamao del intervalo inicial.

El mtodo de la biseccin es muy simple, incluso en ocasiones demasiado simple y no puede ser usado para muchas aplicaciones de anlisis numrico. Algunas de sus propiedades lo hacen un mtodo excelente para usos en ingeniera. Admitiendo que la funcin cumple los requerimientos bsicos citados al principio del captulo, si somos capaces de encontrar dos valores para la funcin con signos opuestos, la convergencia est asegurada. La principal desventaja del mtodo de biseccin es su lenta convergencia. Para varios tipos de problemas nosotros podemos desear usar un mtodo iterativo de convergencia ms rpida, el uso de estos mtodos es esencial en casos tales como:

1. Se necesita una solucin con una alta precisin

2. La funcin es muy complicada y su clculo puede llevar bastante tiempo

3. La misma ecuacin no lineal ha de ser resulta muchas veces (cientos o incluso miles).

Ejemplo 1.1 Demuestra que la ecuacin cos x = xt iene solucin nica en (0, /2).

Ponemos la ecuacin en la forma cos(x) x =0.La funcin f (x) = cos(x) x Es continua en todo R, en particular, es continua en [0, /2]. En los extremos del intervalo, toma valoresf (0) = 1, f (/2) = /2,que son de signo opuesto, por lo tanto, existe un (0, /2) tal quef () = cos() = 0.

Veamos la unicidad. Calculamos la derivada

f 0(x) = sin(x) 1.

Como f 0(x) < 0 en todo el intervalo (0, /2), resulta que f (x) es decreciente y slo puede tomar el valor 0 una vez, por lo tanto, la solucin es nica.

2.2.METODO DE LA FALSA POSICION

Enclculo numrico, elmtodo de regula falsi(regla del falso) ofalsa posicines unmtodo iterativoderesolucin numrica de ecuaciones no lineales. El mtodo combina elmtodo de bisecciny elmtodo de la secante. Aun cuando la biseccin es una tcnica perfectamente vlida para determinar races, su mtodo de aproximacin por "fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posicin es una alternativa basada en una visualizacin grfica. Un inconveniente del mtodo de biseccin es que al dividir el intervalo dex1axuen mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes def(x1)yf(xu). Por ejemplo, sif(x1)est mucho ms cercana a cero quef(xu), es lgico que la raz se encuentre ms cerca dex1que dexu.Un mtodo alternativo que aprovecha esta visualizacin grfica consiste en unirf(x1)yf(xu)con una lnea recta. La interseccin de esta lnea con el eje de lasxrepresenta un mejor aproximacin de la raz. El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta de una "falsa posicin" de la raz; de aqu el nombre demtodo de la falsa posicin, o en latn,regula falsi. Tambin se le conoce comomtodo de interpolacin lineal.FrmulaUsando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea recta con el eje de las x se estima mediante:

Multiplicando en cruz la ecuacin anterior obtenemos:

Agrupando trminos y reordenando:

Dividiendo entre

Esta es una de las formas del mtodo de la falsa posicin. Esta puede ponerse en una forma alternativa al separa los trminos:

sumando y restando xu en el lado derecho:

Agrupando trminos se obtiene:

o:

Esta es la frmula de la falsa posicin. El valor de xr calculado con la ecuacin reemplazar, despus, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la funcin con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la verdadera raz. El proceso se repite hasta que la aproximacin a la raz sea adecuadaEjemplo 1: Calcula un nmero tal que ese nmero ms su mitad sea 15.

Para resolver el problema partimos de un nmero (posicin) cualquiera. Sea 2 (puesto que de ella es sencillo calcular su mitad). El nmero, 2, ms su mitad, 1, es 3, distinto de 15. Se trata de una falsa posicin. Para encontrar la posicin verda- dera procedemos por proporcionalidad:

PosicinSolucin

23

x15

Luego, x = 10.

2.3. METODO DEL PUNTO FIJO

Este mtodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuacin es, entonces puede despejarse bien sumaren ambos lados de la ecuacin para ponerla en la forma adecuada.Ejemplos:1) La ecuacinse puede transformar en.2) La ecuacinse puede transformar en.Dada la aproximacin, la siguiente iteracin se calcula con la frmula:

Supongamos que la raz verdadera es, es decir,

Restando las ltimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que sies contnua eny diferenciable enentonces existetal que.En nuestro caso, existeen el intervalo determinado porytal que:

De aqu tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el trminoes precisamente el error absoluto en lasima iteracin, mientras que el trminocorresponde al error absoluto en lasima iteracin.Por lo tanto, solamente si, entonces se disminuir el error en la siguiente iteracin. En caso contrario, el error ir en aumento.En resumen, el mtodo de iteracin del punto fijo converge a la raz siparaen un intervaloque contiene a la raz y dondees contnua y diferenciable, pero diverge sien dicho intervalo.

Ejemplo 1Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de, comenzando cony hasta que.SolucinComo ya aclaramos anteriormente, el mtodo s converge a la raz.Aplicando la frmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado deAplicando nuevamente la frmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de.Intuimos que el error aproximado se ir reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al.

Ejemplo 2Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de, comenzando cony hasta que.SolucinSi despejamos ladel trmino lineal, vemos que la ecuacin equivale a

De donde,En este caso, tenemos que. Un vistazo a la grfica,

nos convence que, para, lo que es suficiente para deducir que el mtodo s converge a la raz buscada.Aplicando la frmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.Aplicando nuevamente la frmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el mtodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

0

-0.2100%

-0.155746150628.41%

-0.16630390756.34%

-0.1638263721.51%

-0.1644100640.35%

De donde vemos que la aproximacin buscada es:

Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacin:

CONCLUSION

Cada da es ms frecuente encontrarse estudios sobre unidades didcticas referidas a los Sistemas de Ecuaciones No Lineales o a cualquier otro tema de lgebra Elemental Obligatoria en los que la metodologa propuesta hace especial hincapi en la resolucin de problemas elementales.La necesidad de introducir la tecnologa como herramienta para la construccin del conocimiento es cada vez ms fundamental y necesaria; es por ello, que a travs de este trabajo se pone en prctica toda una gama de estrategias que en el aula de clases no se poseen, de all que para desarrollar el tema referente a los Sistemas de Ecuaciones No Lineales se utiliza dicha tecnologa para ser ms interactivo el flujo de informacin y de esta manera obtener mejores resultados en el rendimiento acadmico.

BIBLIOGRAFIA

Mtodos Numricos, Antonio Nieves Mtodos Numricos para Ingenieros, C.Chapra, Steven Mtodos Numricos aplicados a la Ingeniera. Nieves Hurtado Mtodos Numricos, Rafael Iriarte V. Balderrama.

LINKOGRAFIA

http://www.monografias.com/trabajos10/menu/menu.shtml http://www.buenastareas.com/ensayos/Error-En-Metodos-Numericos/1500641.html http://www.ehu.es/~mepmufov/html/Parte1.pdf http://meto2numericos.blogspot.com/2008/02/tipos-de-errores.html (6 de 7)22/02/2010 01:58:27 a.m.Mtodos Numricos: TIPOS DE ERRORES http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/TeoriaTema7CalculoCA11-12.pdf http://noosfera.indivia.net/metodos/puntoFijo.html

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