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Universidad de Oviedo MÉTODOS NUMÉRICOS Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O) Alberto Suárez López Página 1 Capítulo 1: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO. Capítulo 1.1. EL OBJETIVO DEL CÁLCULO NUMÉRICO. Dado un problema matemático, el objetivo del Cálculo Numérico es obtener el valor numérico de la solución. Este objetivo tiene dos aspectos fundamentales: a) Encontrar un método factible para determinar la solución numérica (métodos numéricos). b) Analizar tanto el método como la solución calculada (análisis numérico). Capítulo 1.1.1. MÉTODOS NUMÉRICOS: El Cálculo Numérico, que es esencialmente una rama de las Matemáticas, difiere de las Matemáticas tradicionales en poner su énfasis central en las necesidades del Cálculo Numérico. En particular, un método numérico factible debe tener las siguientes propiedades: Debe ser eficiente Debe contener un número finito de operaciones En las matemáticas tradicionales es típico que los métodos se describan por argumentos académicos o conceptuales que suelen ser poco eficientes desde el punto de vista de la implementación. Un ejemplo puede ser la regla de Cramer para calcular un sistema de ecuaciones lineales basada en el cálculo recursivo de determinantes: Un sistema de Cramer es un sistema B X A = · de n ecuaciones con n incógnitas y rango n , es decir, tal que 0 A con la forma: = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + n n nn n n n n n n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a · ... · · · ... · ... · · · · ... · · · · ... · · · 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11

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Capítulo 1: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO. Capítulo 1.1. EL OBJETIVO DEL CÁLCULO NUMÉRICO. Dado un problema matemático, el objetivo del Cálculo Numérico es obtener el valor

numérico de la solución. Este objetivo tiene dos aspectos fundamentales: a) Encontrar un método factible para determinar la solución numérica (métodos

numéricos). b) Analizar tanto el método como la solución calculada (análisis numérico). Capítulo 1.1.1. MÉTODOS NUMÉRICOS: El Cálculo Numérico, que es esencialmente una rama de las Matemáticas, difiere de las

Matemáticas tradicionales en poner su énfasis central en las necesidades del Cálculo Numérico.

En particular, un método numérico factible debe tener las siguientes propiedades: • Debe ser eficiente • Debe contener un número finito de operaciones En las matemáticas tradicionales es típico que los métodos se describan por argumentos

académicos o conceptuales que suelen ser poco eficientes desde el punto de vista de la implementación.

Un ejemplo puede ser la regla de Cramer para calcular un sistema de ecuaciones

lineales basada en el cálculo recursivo de determinantes: Un sistema de Cramer es un sistema BXA =· de n ecuaciones con n incógnitas y

rango n , es decir, tal que 0≠A con la forma:

���

���

=++++

=++++=++++=++++

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

·...···...

·...····...····...···

332211

33333232131

22323222121

11313212111

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En el cual la solución del sistema, es decir, los valores de 1x , 2x , 3x ,…, nx , vienen dados por la expresión:

A

baaa

baaa

baaa

baaa

AbAbAbAbA

x

A

abaa

abaa

abaa

abaa

AbAbAbAbA

x

A

aaba

aaba

aaba

aaba

AbAbAbAbA

x

A

aaab

aaab

aaab

aaab

AbAbAbAbA

x

nnnnnnnnnnn

nnnnn

n

n

n

nn

nnnnn

n

n

n

nn

nnnnn

n

n

n

nn

......

...

...

...

·...···

...

......

...

...

...

·...···

......

...

...

...

·...···

......

...

...

...

·...···

321

3333231

2232221

1131211

332211

21

333231

222221

111211

33332231133

31

333331

223221

113111

33322221122

32

333323

223222

113121

13312211111

=++++=

=++++=

=++++=

=++++=

Para un sistema de n ecuaciones hay que resolver 1+n determinantes. Cada uno de

esos determinantes se calcularía por adjuntos de una línea, lo cual conllevaría a realizar, por cada uno de esos determinantes, n determinantes de dimensión 1−n , así sucesivamente hasta llegar a determinantes de dimensión la unidad, con lo cual se habrán realizado ( )!1+n determinantes.

Para ilustrar el ejemplo, el caso de un sistema de10 ecuaciones con10 incógnitas

supondría realizar un total de 800.916.39!11 = determinantes. Así decimos que un método es eficiente en relación con otro cuando su implementación

supone un número considerablemente menor de operaciones con respecto al otro método.

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En algunos de los métodos que estudiaremos (resolución de ecuaciones no lineales), la solución del problema se obtendrá como límite de una sucesión de números reales, es decir, mediante un proceso infinito; pero en la práctica, al implementar tales métodos debemos reemplazar el proceso infinito por uno finito, es decir, con un número finito de operaciones. De esta manera tendremos una solución aproximada.

Capítulo 1.1.1.1. ANÁLISIS NUMÉRICO: Es probable que una de las partes más importantes en el análisis numérico sea el

estudio del error entre la solución calculada aproximada y la verdadera solución. Capítulo 1.1.1.2. ERROR ABSOLUTO:

Viene dado por la expresión *xxea −= , siendo x la solución exacta y *x la solución

calculada. Capítulo 1.1.1.3. ERROR RELATIVO:

Viene dado por la expresiónx

ee a

r = .

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Capítulo 1.2. FUENTES DE ERROR. ERRORES EN LOS DATOS, ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y ERRORES DE REDONDEO.

La fuente de error principal es, de hecho, el error humano. Esto puede ser como

consecuencia, por ejemplo, de errores de lectura o interpretación, utilizar métodos incorrectos o de una codificación incorrecta en la implementación del método.

Las otras fuentes de error son: • Errores en los datos • Errores de truncamiento • Errores de redondeo Y están relacionados con tres conceptos claves en el análisis numérico que son,

respectivamente: • Condicionamiento • Convergencia • Estabilidad Capítulo 1.2.1. ERRORES EN LOS DATOS: Un problema no está definido exactamente, los datos están aproximados. Tales errores

afectan, obviamente, a la solución. Se dice que un problema está bien condicionado si ligeras modificaciones en los datos

originan cambios pequeños en la solución; en caso de que se origen o se pueden originar grandes cambios en la solución se dice que está mal condicionado.

Es frecuente que los sistemas de ecuaciones estén mal condicionados. El condicionamiento es algo intrínseco al problema y no lo podremos erradicar

cambiando de método, salvo replanteando el problema. Capítulo 1.2.2. ERRORES DE TRUNCAMIENTO: Son debidos, fundamentalmente, al método utilizado que al propio problema y se refieren

más a sus propiedades matemáticas. Se cometen al sustituir un proceso infinito por otro finito con n iteraciones. Diremos que el método es convergente cuando el error cometido tiende a cero si el

número de iteraciones tiende a infinito. Capítulo 1.2.3. ERRORES DE REDONDEO: Se originan cuando el método se implementa en el ordenador y son debidos a la

representación interna de los números.

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Capítulo 2: INTERPOLACIÓN. Capítulo 2.1. INTRODUCCIÓN. Supongamos que partimos de una tabla de valores de la función seno. Por ejemplo:

x ( )º ( )xsen … … 60 866025,0

65 906308,0

70 939693,0

75 965926,0

80 984808,0 … …

¿Cómo podríamos calcular, por ejemplo, el valor de ( )66sen ? Para determinar dicho valor, de una manera aproximada, podríamos construir un

polinomio ( )xP tal que el polinomio coincida con la función ( ) ( )xsenxf = en los valores de la tabla suministrada, tal que:

( )( )

( ) ( )ii xsenxP

P

P

=

==

...906308,065866025,060

Así, ( ) ( )6666 Psen ≅ Pero, ¿qué tipo de polinomio verificaría está condición? Veamos unos ejemplos más sencillos. En primer lugar, suministramos una tabla con dos valores:

0x ( ) 00 yxf =

1x ( ) 11 yxf = Representando gráficamente los puntos ( )00 , yx y ( )11 , yx vemos como definen una

recta. En este caso el polinomio que buscamos sería de la forma ( ) xccxP ·10 += , esto es, un polinomio de grado menor o igual a uno.

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Ahora, suministraremos una tabla con tres valores:

0x ( ) 00 yxf =

1x ( ) 11 yxf =

2x ( ) 22 yxf = Representando gráficamente los puntos ( )00 , yx , ( )11 , yx y ( )22 , yx vemos como definen

una parábola. En este caso el polinomio que buscamos sería de la forma ( ) 2

210 ·· xcxccxP ++= , esto es, un polinomio de grado menor o igual a dos.

x

y

y0

x2 x0

y2

(x0 ,y0)

(x2 ,y2)

x1

y1

(x1 ,y1)

x

y

y0

x1 x0

y1

(x0 ,y0)

(x1 ,y1)

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Observamos, pues, que para una muestra de 1+n términos es necesario un polinomio de grado menor o igual a n .

Capítulo 2.1.1. EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN: Sean nxxxx ,...,,, 210 , 1+n distintos pertenecientes a R y sea f una función real

definida en el intervalo [ ]baI ,= , con Ixxxx n ∈,...,,, 210 . Queremos construir un

polinomio ( )xP de grado menor o igual a n que interpola a f en los puntos nxxxx ,...,,, 210 , es

decir, que ( ) ( )00 xfxP = , ( ) ( )11 xfxP = , ( ) ( )22 xfxP = , …, ( ) ( )nn xfxP =

( 1+n condiciones). Demostraremos que tal polinomio existe y es único, y lo denominaremos polinomio

interpolante. En primer lugar demostraremos la unicidad y a continuación la existencia,

construyéndolo. Capítulo 2.1.2. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD: Vamos a verificar en primer lugar que existe, a lo sumo, un polinomio de grado menor o

igual a n que interpola a f en los 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 : Suponemos la existencia de dos polinomios ( )xP y ( )xQ de grado menor o igual a n que

interpolan a f en los 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 , es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]nixfxQxfxP iiii ,0 ,y ∈∀== . Definimos ahora un polinomio ( ) ( ) ( )xQxPxR −= de grado menor o igual a n . De este

modo tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0...

0

0

0

22222

11111

00000

=−=−=

=−=−==−=−=

=−=−=

nnnnn xfxfxQxPxR

xfxfxQxPxR

xfxfxQxPxR

xfxfxQxPxR

Es decir, el polinomio ( )xR es nulo en los 1+n puntos nxxxx ,...,,, 210 , o lo que es igual,

tiene 1+n raíces. Sin embargo, de acuerdo con el teorema fundamental del Álgebra, sabemos que todo polinomio de grado menor o igual a n tiene n raíces (reales o imaginarias, iguales o repetidas). ¿Cómo podemos justificar esta aparente contradicción? La única posible solución es que ( )xR sea el polinomio nulo, ( ) 0=xR . En tal caso, tenemos ( ) ( ) ( ) 0=−= xQxPxR y

por tanto, ( ) ( )xQxP = y queda demostrada la unicidad del polinomio interpolante. Probaremos ahora la existencia de dicho polinomio mediante su construcción. Para

llevarla a cabo vamos a aplicar dos métodos: la Fórmula de Lagrange y la Fórmula de Newton.

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Capítulo 2.2. POLINOMIO INTERPOLANTE. FÓRMULAS DE LAGRANGE Y NEWTON

Capítulo 2.2.1. FÓRMULA DE LAGRANGE: Si nxxxx ,...,,, 210 son 1+n puntos distintos, el polinomio ( )xPn , de grado menor o igual

a n , que verifica ( ) ( ) [ ]nixfxP iin ,0 , ∈∀= (polinomio de interpolación) viene dado en la fórmula de Lagrange por la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�=

=++++=n

iiinnn xlxfxlxfxlxfxlxfxlxfxP

0...22.11.00 ··...··· ,

siendo ( ) ( ) ( ) ( )xlxlxlxl n,...,,, 210 un polinomio de grado n que se anula en todos los

puntos ( )[ ]xfx, excepto en uno en que su valor es la unidad.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )���

���

=

===

−−−−−−−−

=

���

���

=

===

−−−−−−−−

=

���

���

=

===

−−−−−−−−

=

���

���

=

===

−−−−−−−−

=

0...

1

0

0

·...····...···

...

0...

1

0

0

·...····...···

0...

0

1

0

·...····...···

0...

0

0

1

·...····...···

2

22

12

02

1210

1210

2

22

12

02

2321202

3102

1

21

11

01

1312101

3201

1

20

10

00

0302010

3210

n

nnnnn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

xl

xl

xl

xl

xxxxxxxxxxxxxxxx

xl

xl

xl

xl

xl

xxxxxxxxxxxxxxxx

xl

xl

xl

xl

xl

xxxxxxxxxxxxxxxx

xl

xl

xl

xl

xl

xxxxxxxxxxxxxxxx

xl

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏

≠=+−

+−

−−

=−−−−−−

−−−−−−=

n

ikk ki

k

niiiiiiii

niii xx

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxl

011210

11210

·...···...····...···...···

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Vamos a verificar que ( )xPn es el polinomio de interpolación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0

210

..22.11.000

0·...0·0·1·

·...···

xf

xfxfxfxf

xlxfxlxfxlxfxlxfxP

n

nnn

==++++=

=++++=

La identidad se verifica sucesivamente para los distintos valores nxxxx ,...,,, 210 . Ejercicio: Se dispone de la siguiente tabla de valores:

… …

2− 23− 1− 7−

0 1− 1 1 3 17 … …

Calcular el polinomio de interpolación aplicando la fórmula de Lagrange.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )120

1·2·1··17

123·1·2·

·1

63·1·1·2

·110

3·1·2··7

303·1·1·

·23

·3·1·0·1·2 .4.3.2.1.04

−+++−

−+++

+−−++−−

−−+−−−+−=

=+++−+−=

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xlfxlfxlfxlfxlfxP

Un problema que tiene la fórmula de Lagrange es que si queremos añadir un nuevo

punto, 1+nx , el polinomio se tiene que volver a escribir desde cero ya que los

polinomios ( ) ( ) ( ) ( )xlxlxlxl n,...,,, 210 y ahora, ( )xln 1+ se tienen que volver a calcular. Este problema se solventa con la fórmula de Newton.

Capítulo 2.2.2. FÓRMULA DE NEWTON: La idea básica es construir el polinomio en pasos sucesivos: primero construiremos el

polinomio ( )xP0 , de grado menor o igual a cero, que coincide con la función en el punto 0x ;

luego construiremos el polinomio ( )xP1 , de grado menor o igual a uno, que coincide con la

función en los puntos 10 , xx , así hasta llegar al polinomio ( )xPn , de grado menor o igual

a n que coincide con la función en los puntos nxxxx ,...,,, 210 . De este modo, cada polinomio viene definido a partir del anterior, es decir, viene dado por una relación de recurrencia.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnn xfxPxfxPxfxPxfxPxP

xfxPxfxPxfxPxP

xfxPxfxPxP

xfxPxP

====

=====

=

,...,,,...

,,

,

221100

2221120022

1110011

0000

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Vamos a calcular estos polinomios: ( ) ( ) 000 cxfxP ==

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )0101

01

011

111

01011011

0110101

01001

101

·

·

·0

xxccxP

xxxfxf

cxfxP

xxcxfxQxfxP

xxcxQxQxfxP

xQxfxP

xQxPxP

−+=−−

=���

=−+=+=

−==���

=+=

+=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1020102

1202

021022

222

120220210222222

1022

12112

121121112

02002

020020102

212

···

··

···

··

0

0

xxxxcxxccxP

xxxxxxccxf

c

xfxP

xxxxcxxccxQxPxP

xxxxcxQ

xQxfxP

xQxfxQxPxP

xQxfxP

xQxfxQxPxP

xQxPxP

−−+−+=−−

−−−=

���

=−−+−+=+=

−−=

��

��

=���

=+=+=

=���

=+=+=

+=

Así tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1210102010 ·...····...··· −−−−−++−−+−+= nnn xxxxxxxxcxxxxcxxccxP

De este modo solventamos el inconveniente que teníamos al añadir más puntos. Por ejemplo, si añadimos un punto 1+nx :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn xxxxxxxxcxxxxcxxccxP −−−−++−−+−+= ++ ·...····...··· 21011020101

Pero, ¿cómo calculamos los coeficientes ncccc ,...,,, 210 ? Capítulo 2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE UNA FUNCIÓN: Dados 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 y una función f definida en tales puntos, se

llama diferencia dividida de la función f en los puntos nxxxx ,...,,, 210 y se

representa [ ]nxxxxf ,...,,, 210 , al coeficiente de nx en el desarrollo del correspondiente polinomio interpolador.

Así, [ ] [ ] [ ] [ ] nn cxfcxfcxfcxf ==== ,...,,, 221100 , siendo n el orden de la diferencia

dividida.

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El valor de una diferencia dividida es independiente del orden en que se escriban sus argumentos.

El polinomio de Newton, usando diferencias divididas, vendrá dado por:

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )1210

102010

·...····

...···

−−−−−+++−−+−+=

nn

n

xxxxxxxxxf

xxxxxfxxxfxfxP

Verificándose que [ ] [ ] [ ]0

1210321210

,...,,,,...,,,,...,,,

xxxxxxfxxxxf

xxxxfn

nnn −

−= −

De esta manera, las diferencias divididas de cualquier orden se definen a partir de las de

órdenes precedentes y su cálculo se sintetiza en forma de tabla triangular:

0x [ ]0xf

[ ] [ ] [ ]

01

0110 ,

xxxfxf

xxf−−

=

1x [ ]1xf

[ ] [ ] [ ]

12

1221 ,

xxxfxf

xxf−−

=

2x [ ]2xf

[ ] [ ] [ ]

23

2332 ,

xxxfxf

xxf−−

=

3x [ ]3xf

… …

[ ] [ ] [ ]02

1021210

,,,,

xxxxfxxf

xxxf−−

=

[ ] [ ] [ ]

03

2103213210

,,,,,,,

xxxxxfxxxf

xxxxf−−

=

[ ] [ ] [ ]

13

2132321

,,,,

xxxxfxxf

xxxf−−

=

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Ejercicio: Se dispone de la siguiente tabla de valores:

… …

2− 23− 1− 7−

0 1− 1 1 3 17 … …

Calcular el polinomio de interpolación aplicando la fórmula de Newton, empleando

diferencias divididas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )32104

21031020104

····

······

xxxxxxxxc

xxxxxxcxxxxcxxccxP

−−−−++−−−+−−+−+=

2−

23−

[ ] 16, 10 =xxf

1− 7− [ ] 5,, 210 −=xxxf

[ ] 6, 21 =xxf [ ] 1,,, 3210 =xxxxf

0 1− [ ] 2,, 321 −=xxxf

[ ] 0,,,, 43210 =xxxxxf

[ ] 2, 32 =xxf

[ ] 1,,, 4321 =xxxxf

1 1 [ ] 2,, 432 =xxxf

[ ] 8, 43 =xxf

3 17

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )132

1··1·2·0·1·2·1·2·52·1623

····

······

23

32104

21031020104

−+−−==−++++++++−++−=

=−−−−++−−−+−−+−+=

xxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxc

xxxxxxcxxxxcxxccxP

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Capítulo 2.3. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN. Sea la función [ ] Rbaf →,: , 1+n veces derivable en ( )ba, y sea ( )xPn el

polinomio de grado menor o igual a n que interpola a la función en los 1+n puntos distintos,

[ ]baxxxx n ,,...,,, 210 ∈ tales que bxxxxa n =<<<<= ...210 . Si [ ]bax ,∈ , se verifica que

existe un puntox

c tal que el error en x viene dado por la expresión:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )∏

=

+

+

−+

=

=−−−−+

=−=

n

ii

n

nn

nn

xxcfn

xxxxxxxxcfn

xPxfxe

0

1

2101

··!1

1

·...·····!1

1

Si ( ) ( ) ( )baxMxfM n ,,1 ∈∀≤∃ + , entonces ( ) ( ) ( )∏=

−+

≤n

iin xx

nM

xe0

·!1

.

En este caso tomaremos( )

( ) ( )xfM n

bax

1

,sup +

∈= .

f(x) P(x)

x0 x

y

x1 x

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Ejercicio: Se dispone de los siguientes valores de la función logaritmo neperiano:

x xln … … 9 1972.2

5.9 2513.2 11 3979.2 … …

a) Aproximar el valor de 2.9ln utilizando interpolación lineal. Dar una cota del error

cometido. Vamos a construir el polinomio de interpolación lineal aplicando la fórmula de Newton empleando diferencias divididas.

( ) ( )0101 · xxccxP −+= La tabla de diferencias divididas será:

9 1972.2

[ ] 1082.0, 10 =xxf

5.9 2513.2 [ ] 0052.0,, 210 −=xxxf [ ] 0977.0, 21 =xxf

11 3979.2 Así, el polinomio de interpolación vendrá dado por:

( ) ( ) ( )9·1082.01972.2· 0101 −+=−+= xxxccxP

Evaluando el valor de dicho polinomio en 2.9=x obtendremos el valor aproximado de 2.9ln

( ) ( ) 2.9ln2188.292.9·1082.01972.22.91 ≈=−+=P A continuación vamos a evaluar el error cometido en la aproximación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )8103.0

903.0

5.911

91

5.911

91

95.95.9,9

03.01·03.0·03.0·

206.0

5.92.9·92.9··21

2.9··!2

1

2

222

22''''

''

0

''

=≤

<<<<<<∈

=−===

=−−=−= ∏=

xe

cccc

cccfcf

cfxcfxe

n

n

iin

b) Aproximar el valor de 2.9ln utilizando interpolación cuadrática. Dar una cota del error cometido.

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Capítulo 2.3.1. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN LINEAL: Sea una función f , dos veces derivable en ( )10 , xx , y sea ( )xP1 el polinomio que

interpola a f en esos dos puntos. Sabemos que si [ ]10 , xxx ∈ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10''

110 ···!2

1, xxxxcfxPxfxexxc n −−=−=∈∃ .

Vamos a hallar, a partir de esta expresión, una cota para el error (en valor absoluto) en la

interpolación lineal, válida para cualquier punto [ ]10 , xxx ∈ .

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 20

200000110

·1·1,0

····

htth

xxt

hh

hxxh

xxhxxxxxxhxxxx

−=∈−

==

=−−−

=−−−=−==−−

( ) ( ) ( )cfhttxe ''21 ··1··

21 −=

( ) ( ) ( )( )( )

41

21

(máximo) 21

0·210

·21

1·1·

'

'

2

=�

� �

==−��

���

=−=

−=−=−=

g

tttg

ttg

tttttttg

( ) ( )cfhxe ''21 ··

41

·21≤

( ) ( ) [ ]10''

2

1 ,,·8

xxxcfh

xe ∈∀≤

x0 x1

h

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Capítulo 2.3.2. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA: Sea una función f , tres veces derivable en ( )20 , xx , y sea ( )xP2 el polinomio que

interpola a f en los puntos 210 ,, xxx , tal que 210 xxx << . Sabemos que si [ ]20 , xxx ∈ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )210'''

120 ····!3

1, xxxxxxcfxPxfxexxc n −−−=−=∈∃ .

Vamos a hallar, a partir de esta expresión, una cota para el error (en valor absoluto) en la

interpolación cuadrática, válida para cualquier punto [ ]10 , xxx ∈ y supuesto, además, que las abscisas de los nodos son equidistantes.

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 303000

00001210

·2·1·2,0·2

··

2····

httth

xxth

hhxx

hhxx

hxx

hxxhxxxxxxhxxxxxx

−−=∈−

==−−−−−

=

=−−−−−=−==−−−

( ) ( ) ( ) ( )cfhtttxe '''32 ··2·1··

!31 −−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ]

[ ]( ]

( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

932

2·1·max

932

33

·32

33

·31

1

33

1·33

·33

1233

1·133

1·33

133

1

(máximo) 33

10263

0

2,12331,0263

2,1231,023

2,12·1·1,02·1·

2·1·

2,0

2

'

2

2'

23

23

=−−

==�

� �

� −=

=�

� �

�−

� �

�+=

� �

�−+

� �

�−+

� �

�+=

� �

�+

±==+−��

��

=���

∈−+−∈+−

=

���

∈−+−∈+−

=���

∈−−∈−−

=−−=

∈ttt

g

ttt

tg

tsitt

tsitttg

tsittt

tsittttsittt

tsitttttttg

t

x0 x1

h

x2

2h

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Así, ( ) ( ) ( ) ( )cfhtttxe '''32 ··2·1··

!31 −−=

( ) ( ) [ ]20'''

3

2 ,,·39

xxxcfh

xe ∈∀≤

Ejercicio: Acotar el error de interpolación para la función ( ) xexf = en el intervalo [ ]1,0 , cuando se

interpola por un polinomio de grado 2 en los nodos 1,21

,0 .

( ) ( )

( )( )

372

1101,0

·21

·39

39

2

10

3'''

3

2

exe

eeeeecc

ecfh

xe

cc

c

<<<<<<∈

=≤

Capítulo 2.3.3. OBSERVACIONES AL RESULTADO REFERENTE AL ERROR EN LA

INTERPOLACIÓN:

Si se interpola, por ejemplo, la función seno, tenemos que ( ) ( ) Rxxf n ∈∀≤+ ,11 .

Así, el error vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏∏

==

+ −+

≤−+

=−=n

ii

n

ii

nnn xx

nxxcf

nxPxfxe

00

1 ·!1

1··

!11

Por otra parte:

( ) ( ) ( ) ( )ababababxxxxxxxx n −−−−≤−−−− ·...····...··· 210

Así, se verifica que:

( ) ( )( )!1

1

+−≤

+

nab

xen

n

x0=a x1 x2 x xn=b

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¿Qué ocurre cuando aumentamos los nodos?

( )( ) 0

!1lim

1

=+

− +

∞→ nab n

n

Vemos, pues, que a medida que incrementamos el número de nodos el error cometido

en la interpolación tiende a cero. Pero en general, no se consigue disminuir el error incrementando el número de nodos y

por lo tanto, el grado del polinomio. Para algunas funciones, la cota del error aumenta a medida que aumenta n . Un elevado

número de puntos puede dar lugar a polinomios con muchas oscilaciones que aproximan mal a la función que se interpola, especialmente en los extremos del intervalo.

Por ejemplo:

La función ( )21

1x

xf+

= en [ ]5,5−

( )xP4 en 5,3,0,3,5 −−

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( )xP10 en 5,4,...,0,...,4,5 −−

( )xP20 en 5,5.4,...,0,...,5.4,5 −−

Para solucionar estos problemas introduciremos el concepto de la interpolación a trozos.

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Capítulo 2.4. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA A TROZOS. Una buena forma de obtener, por interpolación, una función es la interpolación a trozos o

interpolación segmentaria que consiste en dividir el intervalo [ ]ba, en subintervalos lo suficientemente pequeños y aproximar la función en esos subintervalos mediante polinomios de grado pequeño.

Capítulo 2.4.1. INTERPOLACIÓN LINEAL A TROZOS: Sea f dos veces derivable en ( )ba, y dados 1+n puntos bxxxxa n =<<<<= ...210 ,

se aproxima la función f en cada intervalo de la forma [ ] 1,...,0,, 1 −=+ nixx ii mediante la recta

que une los puntos ( )( )ii xfx , y ( )( )11 , ++ ii xfx .

x0 x

y

x1 x2 x3

f(x0)

f(x2)

f(x1)

f(x3)

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Capítulo 2.4.1.1. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN LINEAL A TROZOS: Queremos calcular una cota para el error en la interpolación lineal a trozos independiente

del punto escogido.

Si [ ]10 , xxx ∈ , ( ) ( ) ( ) ( )1011''2

011 ,,··81

xxccfxxxe ∈−≤

Si [ ]21 , xxx ∈ , ( ) ( ) ( ) ( )2112''2

121 ,,··81

xxccfxxxe ∈−≤

Si [ ]nn xxx ,1−∈ , ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn xxccfxxxe ,,··81

11''2

11 −− ∈−≤

Así, si [ ]nxxx ,0∈ , ( ) ( ) ( ) { }[ ] MxxxPxfxe iini

·,max·81 2

11011 +−≤≤≤−= ,

siendo ( ) ( ) ( )baxMxf n ,,1 ∈∀≤+ .

Si las abscisas de los nodos son equidistantes, entonces, el error cometido en la

interpolación lineal a trozos vendrá dado por:

( ) Mhxe ··81 2

1 ≤

Ejercicio: Sea la función ( ) 3xxf = en el intervalo [ ]1,1− .

a) Se desea generar una tabla de valores de f con abscisas equiespaciadas de forma que la interpolación lineal a trozos entre dos puntos consecutivos tenga un error menor que 410·3 − . Determinar el número mínimo de puntos. x ( )xf

1− … h+−1 …

h21 +− … ... …

hn·1 +− … El error cometido viene dado por:

( ) Mhxe ··81 2

1 ≤

Calculamos el valor de M :

( )( ) ( ) ( )

( ) [ ]1,1,6

·6·3''

''2'3

''

−∈∀≤

===

ccf

xxfxxfxxf

Mcf

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Así:

( )( )

( )( )2

max

2242

424242

41

221

10·2

010·2·10·2010·4

10·410·41

10·3·43

10·3

·43

6··81

−−−

−−−

=

≤−+≤−

≤≤≤��

��

=≤

h

hhh

hhhxe

hhxe

Por otra parte sabemos que: ( )

nnnab

h211 =−−=−=

Y por tanto:

1001

102

10·2210·2

22

2

===��

��

=

=−−

nnn

nh

h

El mínimo número de puntos es 1011 =+n puntos.

b) Se desea utilizar un único polinomio interpolante (con nodos equidistantes) en todo el intervalo, manteniendo la cota del error 410·3 − . Determinar el número mínimo de puntos y el polinomio de interpolación. Anteriormente hemos probado que con interpolación lineal es necesario emplear101puntos para que el error cometido sea menor que 410·3 − . Vamos a probar ahora con la interpolación cuadrática. x ( )xf

1− … 0 …

1 … El error cometido viene dado por:

( ) Mhxe ··39

1 32 ≤

Calculamos el valor de M :

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]1,1,6

6·6·3'''

'''''2'3

'''

−∈∀=

====

ccf

xfxxfxxfxxf

Mcf

Así:

( )( )

?10·333

2¿

10·3

6·39

39

14

41

1−

≤��

��

=≤

xe

Mxe

Con tres nodos equidistantes no se puede asegurar que el error sea menor que 410·3 − .

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Vamos a probar ahora la interpolación cúbica. x ( )xf

1− …

31− …

31 …

1 … Tenemos que calcular un polinomio de grado menor o igual a 3 y en el que se verifique el valor de la función en los nodos anteriores. Deducimos, pues, que el polinomio de interpolación coincide con la propia función, luego el error es cero. Así, el mínimo número de puntos necesarios es cuatro y el polinomio de interpolación es ( ) ( )xfxxP == 3

3 .

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Capítulo 3: AJUSTE DE DATOS Y APROXIMACIÓN DE FUNCIONES. Capítulo 3.1. INTRODUCCIÓN. El estudio de la teoría de aproximación se puede plantear desde dos puntos de vista. En

un caso, conocida explícitamente una función o bien conocidos los valores que alcanza la función en determinados puntos, tratamos de buscar una función “simple”, un polinomio, que coincida con ella en dichos valores y que nos sirva de punto de partida para aproximar la función en otros puntos. Este caso ya ha sido tratado en el tema anterior (Capítulo 2: Interpolación).

Otra opción es la búsqueda de un tipo específico de funciones, no necesariamente

polinomios, que optimicen la aproximación a los datos que tenemos de nuestra función. Desde este punto de vista trataremos el tema de la aproximación de funciones.

Trataremos, en primer lugar, un caso particular de función que se utiliza en gran cantidad

de problemas como es la búsqueda de la recta de regresión, es decir, la recta que mejor aproxime a la función en ciertos puntos.

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Capítulo 3.2. AJUSTE Y APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS. Supongamos que tenemos una tabla de puntos de la función, que serían dados

obtenidos experimentalmente o valores generados por una cierta función, y buscamos la recta ( ) bxaxF += que mejor aproxime dichos puntos. Pero, ¿en qué sentido se habla de aproximación?

Vamos a llamar:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( )�=

−−=

=−−++−−+−−+−−=

=−++−+−+−=

n

iii

nn

nn

bxay

bxaybxaybxaybxay

xFyxFyxFyxFyd

1

2

2233

222

211

2233

222

211

...

...

Deseamos minimizar esta distancia d . (aproximación o ajuste mínimo cuadrático).

Podemos considerar d como una función de a yb : ( )badd ,= .

x1 x

y

x2 x3 x4

f(x1)

f(x3)

f(x2)

f(x4)

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Tenemos, pues, que calcular los valores de a y b que hagan mínima la distancia d . Por la teoría de funciones de varias variables, sabemos que d alcanza un mínimo en el

punto ( )** ,baP si:

( ) ( )**** ,0, babd

baad

∂∂==

∂∂

Así:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0·2

...·2·2·2,

0·2

...·2·2·2,

**

3**

332**

221**

11**

**

3**

32**

21**

1**

=−−−

−−−−−−−−−−−=∂∂

=−−−

−−−−−−−−−−−=∂∂

nnn

nn

xbayx

xbayxxbayxxbayxbabd

xbay

xbayxbayxbaybaad

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )��

���

+++++++++=++++

+++++=++++

��

���

=−−++−−+−−+−−

=−−++−−+−−+−−

��

��

=−−−

−−−−−−−−−−−

=−−−

−−−−−−−−−−−

223

22

21

*321

*332211

321**

321

**3

**332

**221

**11

**3

**32

**21

**1

**

3**

332**

221**

11

**

3**

32**

21**

1

...·...··...···

...··...

0·...···

0...

0·2

...·2·2·2

0·2

...·2·2·2

nnnn

nn

nnn

nn

nnn

nn

xxxxbxxxxayxyxyxyx

xxxxbnayyyy

xbayxxbayxxbayxxbayx

xbayxbayxbayxbay

xbayx

xbayxxbayxxbayx

xbay

xbayxbayxbay

����

����

=��

���

����

����

��

��

+=

+=

��

���

��

=

=

==

=

===

==n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

b

a

xx

xn

xbxayx

xbnay

11

1*

*

1

2

1

1

1

2*

1

*

11

1

**

1

··

···

··

Se puede demostrar que este sistema de ecuaciones siempre será compatible y el único

caso en que tenga infinitas soluciones es cuando los puntos ( )yx, sean todos iguales.

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Ejercicio: Dados los valores ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1,5,3,3,1,1,0 − . Determinar la recta que mejor aproxime

dichos valores. x ( )xf

0 1 1 3 3 5

1− 0

( ) ( )xxFbab

a+===⇔�

���

�=�

���

���

���

�1·

79

79

189

·10334

y = 1,2857x + 1,2857

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4

Hemos visto como podemos aproximar una función mediante una recta.

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Vamos ahora a buscar la parábola que mejor aproxime los puntos dados. La expresión general de dicha parábola es: ( ) 2cxbxaxF ++= .

En este caso tenemos:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )( )

( )�=

−−−=

=−−−+

++−−−+−−−+−−−=

=−++−+−+−==

n

iiii

nnn

nn

cxbxay

cxbxay

cxbxaycxbxaycxbxay

xFyxFyxFyxFycbadd

1

22

22

22333

22222

22111

2233

222

211

...

...,,

Vamos a minimizar esta distancia (ajuste mínimo cuadrático). Sabemos que d alcanzará un mínimo en el punto ( )*** ,, cbaP si:

( ) ( ) ( )********* ,,,,0,, cbacd

cbabd

cbaad

∂∂=

∂∂==

∂∂

Así:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0·2...·2

·2·2,,

0·2...·2

·2·2,,

0·2...·2

·2·2,,

2***223

*3

**3

23

22

*2

**2

22

21

*1

**1

21

***

2***23

*3

**33

22

*2

**22

21

*1

**11

***

2***23

*3

**3

22

*2

**2

21

*1

**1

***

=−−−−−−−−−

−−−−−−−−−=∂∂

=−−−−−−−−−

−−−−−−−−−=∂∂

=−−−−−−−−−

−−−−−−−−−=∂∂

nnnn

nnnn

nnn

xcxbayxxcxbayx

xcxbayxxcxbayxcbacd

xcxbayxxcxbayx

xcxbayxxcxbayxcbabd

xcxbayxcxbay

xcxbayxcxbaycbaad

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Alberto Suárez López Página 29

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) �

��

���

+++++

++++++++++=++++

+++++

++++++++++=++++

++++++++++=++++

����

����

=−−−+

++−−−+−−−+−−−

=−−−+

++−−−+−−−+−−−

=−−−+

++−−−+−−−+−−−

����

����

=−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

=−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

=−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

443

42

41

*

333

32

31

*223

22

21

*23

232

221

21

333

32

31

*

223

22

21

*321

*332211

223

22

21

*321

**321

2***2

23

*3

**3

23

22

*2

**2

22

21

*1

**1

21

2***

23

*3

**33

22

*2

**22

21

*1

**11

2***

23

*3

**3

22

*2

**2

21

*1

**1

2***223

*3

**3

23

22

*2

**2

22

21

*1

**1

21

2***23

*3

**33

22

*2

**22

21

*1

**11

2***23

*3

**3

22

*2

**2

21

*1

**1

...·

...·...··...···

...·

...·...··...···

...·...··...

...···

...···

0

...

0·2...·2

·2·2

0·2...·2

·2·2

0·2...·2

·2·2

n

nnnn

n

nnnn

nnn

nnnn

nnnn

nnn

nnnn

nnnn

nnn

xxxxc

xxxxbxxxxayxyxyxyx

xxxxc

xxxxbxxxxayxyxyxyx

xxxxcxxxxbnayyyy

xcxbayx

xcxbayxxcxbayxxcxbayx

xcxbayx

xcxbayxxcxbayxxcxbayx

xcxbay

xcxbayxcxbayxcxbay

xcxbayxxcxbayx

xcxbayxxcxbayx

xcxbayxxcxbayx

xcxbayxxcxbayx

xcxbayxcxbay

xcxbayxcxbay

�������

�������

=���

���

�������

�������

���

���

++=

++=

++=

���

���

��

����

����

���

=

=

=

===

===

==

====

====

===

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

y

c

b

a

xxx

xxx

xxn

xcxbxayx

xcxbxayx

xcxbnay

1

2

1

1

*

*

*

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

1

4*

1

3*

1

2*

1

2

1

3*

1

2*

1

*

1

1

2*

1

**

1

·

··

····

····

···

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Alberto Suárez López Página 30

Ejercicio: Calcular la parábola que mejor aproxima, en el sentido de los mínimos cuadrados, a la

función ( ) 3 xxf = en los puntos 1− , 0 y8 . x ( )xf

1− 1− 0 0 8 2

���

���

≈=

���

���

⇔���

���

=���

���

���

���

833.09167.0

0

127171

·4097511655116576573

c

b

a

c

b

a

( ) 22 833.09167.0 xxcxbxaxF −=++=

y = -0,0833x2 + 0,9167x - 3E-14

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-2 0 2 4 6 8 10

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Alberto Suárez López Página 31

Vamos a extender el problema del ajuste mínimo cuadrático al caso más general de considerar que la función aproximadamente sea de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcxcxcxcxF kk ϕϕϕϕ ·...··· 332211 ++++= Es decir, la función aproximadamente es una combinación lineal de las funciones ( )xiϕ ,

elegidas por quien construye la función. Por ejemplo:

Para 2=k :( ) ( )

( ) recta·

1

21

21

���

���

+===

xccxF

xxxi ϕϕ

Para 3=k :( ) ( ) ( )

( )parábola

··

12

321

2321

��

���

��

���

++=

===

xcxccxF

xxxxx ii ϕϕϕ

Así, la función a aproximar vendrá dada por la expresión:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )� �= =

��

���

�−=

=−−−−−+

+++−−−−−+

+−−−−−+

+−−−−−=

=−++−+−+−=

n

i

k

jijji

nkknnnn

kk

kk

kk

nnk

xcy

xcxcxcxcy

xcxcxcxcy

xcxcxcxcy

xcxcxcxcy

xFyxFyxFyxFyccccd

1

2

1

2332211

233333223113

222332222112

211331221111

2233

222

211321

·

·...···

...

·...···

·...···

·...···

...,...,,,

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

d alcanzará un mínimo en el punto ( )**

3*2

*1 ,...,,, kccccP si y sólo si se verifica:

( ) ( ) ( )

( )**3

*2

*1

**3

*2

*1

3

**3

*2

*1

2

**3

*2

*1

1

,...,,,

...,...,,,,...,,,0,...,,,

kk

kkk

cccccd

cccccd

cccccd

cccccd

∂∂=

==∂∂=

∂∂==

∂∂

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Alberto Suárez López Página 32

Así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...····2...

··...···2

··...···2

··...····2,...,,,

1332211

3133333223113

2122332222112

1111331221111**

3*2

*1

1

=−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−=∂∂

nnkknnnn

kk

kk

kkk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcycccccd

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...····2...

··...···2

··...···2

··...····2,...,,,

2332211

3233333223113

2222332222112

1211331221111**

3*2

*1

2

=−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−=∂∂

nnkknnnn

kk

kk

kkk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcycccccd

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )...

0··...····2...

··...···2

··...···2

··...····2,...,,,

3332211

3333333223113

2322332222112

1311331221111**

3*2

*1

3

=−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−=∂∂

nnkknnnn

kk

kk

kkk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcycccccd

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...····2...

··...···2

··...···2

··...····2,...,,,

332211

333333223113

222332222112

111331221111**

3*2

*1

=−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−=∂∂

nknkknnnn

kkk

kkk

kkkkk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcycccccd

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

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( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...

··...···

··...···

··...···

1332211

3133333223113

2122332222112

1111331221111

=−−−−−+++

+−−−−−+−−−−−+

+++−−−

nnkknnnn

kk

kk

kk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...

··...···

··...···

··...···

2332211

3233333223113

2222332222112

1211331221111

=−−−−−+++

+−−−−−++−−−−−+

+−−−−−

nnkknnnn

kk

kk

kk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...

··...···

··...···

··...···

3332211

3333333223113

2322332222112

1311331221111

=−−−−−+++

+−−−−−++−−−−−+

+−−−−−

nnkknnnn

kk

kk

kk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...

··...···

··...···

··...···

332211

333333223113

222332222112

111331221111

=−−−−−+++

+−−−−−++−−−−−+

+−−−−−

nknkknnnn

kkk

kkk

kkk

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

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Alberto Suárez López Página 34

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )������

������

=++−−−

=++−−−

=++−−−

=++−−−

=

=

=

=

0··...···

...

0··...···

0··...···

0··...···

332211

3332211

2332211

1332211

n

iiikikkiiii

n

iiiikkiiii

n

iiiikkiiii

n

iiiikkiiii

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

xxcxcxcxcy

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )������

������

++++=

++++=

++++=

++++=

��

��

��

��

==

==

==

==

n

iikkiikiikiik

n

iiki

n

iikikiiiii

n

iii

n

iikikiiiii

n

iii

n

iikikiiiii

n

iii

xcxxcxxcxxcxy

xxcxcxxcxxcxy

xxcxxcxcxxcxy

xxcxxcxxcxcxy

1

2332211

1

13

233232131

13

12323

222121

12

11313212

211

11

·...·······

...

··...······

··...······

··...·······

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������

������

++++=

++++=

++++=

++++=

�����

�����

�����

�����

=====

=====

=====

=====

n

iikk

n

iiik

n

iiik

n

iiik

n

iiki

n

iikik

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iikik

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iikik

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

xcxxcxxcxxcxy

xxcxcxxcxxcxy

xxcxxcxcxxcxy

xxcxxcxxcxcxy

1

2

133

122

111

1

13

1

233

1232

1131

13

12

1323

1

222

1121

12

11

1313

1212

1

211

11

·...·······

...

··...······

··...······

··...······

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

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Alberto Suárez López Página 35

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������

������

����������

����������

=

����������

����������

����

����

����

����

====

====

====

====

=

=

=

=

k

A

n

iik

n

iiik

n

iiik

n

iiik

n

iiki

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiki

n

iii

n

ii

n

iii

n

iiki

n

iii

n

iii

n

ii

b

n

iiki

n

iii

n

iii

n

iii

c

c

c

c

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xy

xy

xy

xy

...·

...···

...

·...··

·...··

·...··

·

...

·

·

·

3

2

1

1

2

13

12

11

13

1

23

123

113

12

132

1

22

112

11

131

121

1

21

1

13

12

11

��������������� ���������������� ���� ��� ��

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Para simplificar esta ecuación matricial podemos definir una matriz B tal que su

expresión venga dada por: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )������

������

=

nkkkk

n

n

n

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

B

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

321

3332313

2322212

1312111

............

De este modo se cumple que BBA t ·= y

������

������

=

ny

y

y

y

Bb

...· 3

2

1

Y la ecuación matricial anterior vendrá dada por:

������

������

=

������

������

k

t

n c

c

c

c

BB

y

y

y

y

B

...

··

...

· 3

2

1

3

2

1

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Alberto Suárez López Página 36

Ejercicio: Plantear y resolver el problema de ajuste mínimo cuadrático de una colección de puntos

del plano ( ) ( ) ( ) ( ){ }nn yxyxyxyx ,,...,,,,,, 332211 mediante una función del

tipo ( ) 2·xbaxF += .

( )( ) �

��

���

=

==

22

1 1:2

xx

xk

ϕϕ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

����

����

=��

���

����

����

����

����

=��

���

����

����

��

��

��

=

=

==

=

=

=

==

==

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

ii

xy

y

b

a

xx

xn

xy

xy

b

a

xxx

xxx

1

2

1

1

4

1

2

1

2

12

11

1

22

112

121

1

21

··

·

··

·

·

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

Aplicar el apartado anterior para determinar la función ( ) 2·xbaxF += de ajuste mínimo

cuadrático de la colección de puntos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,3,3,2,5,1,4,0,1,1− . x ( )xf

1− 1 0 4 1 5 2 3 3 0

Se trata de calcular los valores de a yb tales que ( ) ( )�=

−−=5

1

22·,i

ii xbaybad sea

mínima.

���

−≈≈

⇔��

���

�=�

���

���

���

38.076.3

1813

·9915155

b

a

b

a

Así, ( ) 2·38.076.3 xxF −=

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Alberto Suárez López Página 37

Capítulo 3.2.1. AJUSTE DE MÍNIMOS CUADRADOS CON LINEALIZACIÓN DE LOS DATOS: Ejercicio: Aproximar una función que pasa por los puntos ( )5.0,1 , ( )7.1,2 , ( )4.3,3 , ( )7.5,4 y

( )4.8,5 mediante una función del tipo ( ) bxaxF ·= , utilizando el método de ajuste de mínimos cuadrados con linealización de los datos.

x y

1 5.0 2 7.1 3 4.3 4 7.5 5 4.8

( )

� � � �

( ) tccxzz

xbay

xay

xay

xay

tccz

b

b

b

·

ln·lnlnlnlnln

·lnln

·

21

21

+==

+=+=

==

xt ln= yz ln=

0 6931.0− 6931.0 5306.0 0986.1 2238.1 3863.1 7405.1 6094.1 1282.2

����

����

=��

���

����

����

��

=

=

==

=n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

tz

z

c

c

tt

tn

1

1

2

1

1

2

1

1

··

���

====−=

⇔��

���

�=�

���

���

���

� −

bc

eacc

c

7517.1

5010.06912.05502.79300.4

·1993.67874.47874.45

2

6912.01

2

1

( ) 7517.1·5010.0 xxFy ==

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Alberto Suárez López Página 38

Capítulo 4: INTEGRACIÓN NUMÉRICA. MÉTODOS DE COTES Y MÉTODOS DE GAUSS.

Capítulo 4.1. INTRODUCCIÓN. El problema a resolver sería calcular, de manera aproximada, integrales definidas de la

forma ( )�=b

adxxfI , suponiendo ( )xf continua en todo el intervalo [ ]ba, .

Si conocemos una función ( )xF , continua en [ ]ba, , que sea primitiva de f ,

( ) ( )xfxF =' , el problema estaría resuelto, aplicando la regla de Barrow:

( ) ( ) ( )aFbFdxxfIb

a−== � .

Sin embargo, existen funciones, como por ejemplo ( ) 2xexf = , que carecen de función primitiva (definida con funciones elementales), y por tanto, la regla de Barrow no puede aplicarse.

En conclusión, el problema de evaluar numéricamente una integral definida se nos

presenta cuando no podemos aplicar directamente la regla de Barrow o cuando sólo conocemos un conjunto de puntos de f , pero no la expresión analítica de la función.

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Alberto Suárez López Página 39

Capítulo 4.2. FÓRMULAS DE TIPO INTERPOLATORIO. Las fórmulas de integración numérica, también llamadas de cuadratura, son del tipo

siguiente: [1]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��=

=++++≈n

kkknn

b

axfAxfAxfAxfAxfAdxxf

0221100 ··...··· ,

con [ ]baxxxx n ,,...,,, 210 ∈ , 1+n puntos y IRAAAA n ∈,...,,, 210 coeficientes denominados pesos.

Una fórmula de cuadratura [1] se dice que es de tipo interpolatorio si y solamente si, por

definición, dicha fórmula se ha obtenido mediante la integral del polinomio ( )xPn que interpola a

los 1+n puntos [ ]baxxxx n ,,...,,, 210 ∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )����

���++++=

=++++=≈b

a nn

b

a

b

a

b

a

b

a nn

b

a n

b

a

dxxlxfdxxlxfdxxlxfdxxlxf

dxxlxfxlxfxlxfxlxfdxxPdxxf

·...···

·...···

221100

221100

Una fórmula [1] es de tipo interpolatorio si y sólo si ( ) nkdxxlAb

a kk ...0, == � .

Tomando por nodos los extremos del intervalo [ ]ba, , supongamos que deseamos

calcular vamos a calcular la integral ( )�b

adxxf mediante la fórmula de

cuadratura ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bfabafabdxxfb

a·· −+−≈� . Pero… ¿está fórmula es de tipo

interpolatorio? En principio no podemos afirmar esta hipótesis. Entontes, ¿cómo podemos tomar los pesos para que la fórmula sea de tipo interpolatorio?

Vamos a ver cómo calculando el polinomio que interpola a f en ax = y bx = e

integrando dicho polinomio llegaremos a la expresión:

( ) ( ) ( )bfab

afab

dxxfb

2−+−≈� .

Demostración: a) Calculamos el polinomio de interpolación, ( )xPn .

De acuerdo con la fórmula de Lagrange, el polinomio que interpola a f en

los 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 viene dado por la expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�=

=++++=n

iiinnn xlxfxlxfxlxfxlxfxlxfxP

0...22.11.00 ··...···

Siendo ( ) ( ) ( ) ( )xlxlxlxl n,...,,, 210 un polinomio de grado n que se anula en todos los

puntos ( )[ ]xfx, excepto en uno en que su valor es la unidad,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏

≠=+−

+−

−−

=−−−−−−

−−−−−−=

n

ikk ki

k

niiiiiiii

niii xx

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxl

011210

11210

·...···...····...···...···

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Alberto Suárez López Página 40

Así, obtenemos:

( )babx

xl−−=0 y ( )

abax

xl−−=1

Y el polinomio de interpolación vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abax

bfbabx

afxlbfxlafxP−−+

−−=+= ···· .1.02

b) Integramos ( ) ( )�� ≈b

a n

b

adxxPdxxf

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) =��

���

��

� �

�−−−

−+�

���

��

� �

�−−−

=��

���

�−

−+�

���

�−

−=

=−−

+−−

=−−+

−−=

=��

���

−−+

−−=≈

����

���

2222

22

22

22·

22·

·2

··2

·

····

··

aa

abb

abbf

aba

bb

baaf

xax

abbf

xbx

baaf

dxaxab

bfdxbx

baaf

dxabax

bfdxbabx

af

dxabax

bfbabx

afdxxPdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a n

b

a

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Alberto Suárez López Página 41

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )bfab

afabab

bfaf

babfaf

baba

bfafbababa

bfaf

baabba

bfafbaab

babfaf

baab

abbaabbfabafba

ababba

babfabaf

baab

abbf

baafba

abab

bfba

af

baab

abbf

baafba

abbf

baaf

abab

bfba

af

abab

bfbaab

bfbaba

afab

baaf

abba

abbfba

abba

af

aab

bab

bfab

abba

af

aa

abb

abbf

aba

bb

baaf

aa

abb

abbf

aba

bb

baaf

·2

·22

·

1·2

·1·2

·1·2

22

·2

·

··2

···

2··

·2

·2

··

22·

22·

22·

22·

22·

22·

222

2222

2222

2222

2222

2222

2222

2222

2222

22

2222

22

−+−=−+=

=−−+=−−−+=−+−

−+=

=−−−−=�

���

� +−−+=

=��

���

� +−−−

−+−=��

���

� +−−−

−−−=

=��

���

� +−��

���

−−

−=�

���

� +−��

���

−−

−=

=��

���

� +−��

���

−−

−==+

��

���

−−

−−�

���

−−

−=

=−

−+−

++−

−−

=

=��

���

�−+

−+�

���

� +−−

=

=��

���

�+−

−+�

���

�+−−

−=

=��

���

�+−−

−+�

���

�+−−

−=

=��

���

��

� �

�−−−

−+�

���

��

� �

�−−−

−=

Sin embargo, el probar si una fórmula es o no de tipo interpolatorio se hace más fácil

introduciendo el concepto de grado de precisión. Capítulo 4.2.1. GRADO DE PRECISIÓN: Una fórmula de cuadratura tiene grado de precisión al menos n si y sólo si es exacta

para ( ) 1=xf , ( ) xxf = , ( ) 2xxf = , …, ( ) nxxf = , y por tanto, para todo polinomio de grado menor o igual a n .

Definición: Una fórmula de cuadratura tiene grado de precisión exactamente n si y sólo si es exacta

para ( ) 1=xf , ( ) xxf = , ( ) 2xxf = , …, ( ) nxxf = , pero no lo es para ( ) 1+= nxxf .

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Teorema: Se verifica que una fórmula de cuadratura, con 1+n nodos, es de tipo interpolatorio si y

solamente si dicha fórmula es exacta para todo polinomio de grado menor o igual a n tiene grado de precisión al menos n .

Por tanto, demostrar que ( ) ( ) ( )bfab

afab

dxxfb

2−+−≈� equivale a demostrar que

tiene grado de precisión al menos1. Demostración:

para ( ) 1=xf :( ) [ ]

( ) ( ) ( )��

��

−=−+−=−+−=

−===

� �

ababab

bfab

afab

dxxf

abxdxdxxf

b

a

b

a

ba

b

a

22·

2

para ( ) xxf = :

( )

( ) ( ) ( )

( )( )����

����

−=+−=

=−+−=−+−=

−=��

���

�==

� �

22

·2

·2

·2

·2

22

22

222

abbaab

bab

aab

bfab

afab

dxxf

abxdxdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a

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Alberto Suárez López Página 43

Capítulo 4.3. FÓRMULAS DE CUADRATURA DE NEWTON – COTES. CERRADAS Y ABIERTAS.

Son fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio, eligiendo a los puntos de interpolación

equidistantes en el intervalo de integración. Pueden ser de dos tipos: cerradas y abiertas. En las cerradas, los límites de integración han de ser puntos de interpolación.

En las abiertas, los extremos no deben ser puntos de interpolación.

Capítulo 4.3.1. FÓRMULAS DE NEWTON – COTES CERRADAS: Veremos los dos casos más sencillos: la fórmula de los trapecios (con dos nodos) y la

fórmula de Simpson (con tres nodos). Capítulo 4.3.1.1. FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS: La fórmula de los trapecios viene dada por la expresión:

( ) ( ) ( )bfAafAdxxfb

a·· 10 +≈�

x

y

f(a)

b a

f(b)

f(x)

P1(x)

x0 x1 x2 b a … x3

x1 x2 x3 b=xn a=x0 …

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Tenemos que calcular los pesos 0A y 1A . Para hacer esto podemos escoger entre dos procedimientos:

a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.

a ( )af

[ ] ( ) ( )ab

afbfbaf

−−=,

b ( )bf

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bfafab

afbfafab

abafbfabaf

abab

afbfabaf

aabbab

afbfabaf

aab

bab

afbfabaf

aa

abb

abafbf

abaf

axx

abafbf

abafdxaxab

afbfdxaf

dxaxab

afbfdxafdxax

abafbf

afdxxP

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

+−=−+−=

=−−+−=−−−+−=

=��

���

� +−−−+−=�

���

�+−

−−+−=

=��

���

��

� �

�−−−

−−+−=

=��

���

�−

−−+−=−

−−+=

=−−−+=�

���

� −−−+=

��

����

·2

·2·2

2··

2··

22

··22

··

22··

2····

··

2

2222

222

2

1

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Alberto Suárez López Página 45

b) Aplicar la definición de grado de precisión. A este método para calcular los pesos también se le denomina método de los coeficientes indeterminados. Precisión, al menos, 1. La fórmula es exacta para ( ) 1=xf y ( ) xxf = . Veamos:

para ( ) ( ) 101 AAabdxxfb

a+=−== �

para ( ) bAaAab

xdxxxfb

a··

2 10

22

+=−== �

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 0A y 1A .

��

��

−=+

−=+

2··

22

10

10

abAbAa

abAA

Resolviendo el sistema se obtiene que 10 2A

abA =−= .

Así, la expresión de la fórmula de los trapecios vendrá dada por:

( ) ( ) ( )bfab

afab

dxxfb

2−+−≈�

( ) ( ) ( )[ ]bfafab

dxxfb

a+−≈� ·

2

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Alberto Suárez López Página 46

Capítulo 4.3.1.2. FÓRMULA DE SIMPSON: La fórmula de Simpson viene dada por la expresión:

( ) ( ) ( )bfAba

fAafAdxxfb

2·· 210 +

� �

� ++≈�

Al igual que en la fórmula de los trapecios, podemos calcular los pesos de dos formas

distintas: a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−+−−−−−=

=−−−−

+

+−−−−

+−−−−

=

=−−

−−+

+−−

−−+

−−−−

=

=��

���

−−−−

+−−

−−+

−−−−

���

��

��

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

··2

······2

···

····

····

···

···

···

···

···

···

1022

2021

2120

101202

2

202101

121

2010

0

21202

10

12101

200

2010

21

21202

101

2101

200

2010

21

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

dxxxxxh

xfdxxxxx

h

xfdxxxxx

h

xf

dxxxxxxxxx

xf

dxxxxxxxxx

xfdxxxxx

xxxxxf

dxxfxxxx

xxxx

dxxfxxxx

xxxxdxxf

xxxxxxxx

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxx

dxxf

x

y

f(a)

b a

f(b)

(a+b)/2

f((a+b)/2)

P2(x)

f(x)

2h

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Alberto Suárez López Página 47

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )��

���

� +�

� �

� ++−=++=

=++=++=

=��

���

�++�

���

�−−�

���

�−=

=

=++−−−=

=++−+−−=

���

==−

=−−+−−−−−=

−−−

−−−

−−−

���

���

���

bfba

fafab

xfxfxfh

hxfhxfhxfhh

xfh

h

xfh

h

xf

tth

h

xfth

th

xfth

th

xf

dtthth

xfdtht

h

xfdthtt

h

xf

dttthh

xfdthtth

h

xfdthtt

h

xf

dtdx

txx

dxxxxxh

xfdxxxxx

h

xfdxxxxx

h

xf

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

x

x

x

x

x

x

2·4·

6·4·

3

·31

··34

··31

··32

·2

·34

·32

·2

32··

23·

2

·2

····2

··2

······2

: variablede Cambio

··2

······2

210

23

103

223

213

20

32

222

3

21

23

20

22222

212

20

22

21

20

1

1022

2021

2120 2

0

2

0

2

0

b) Aplicar la definición de grado de precisión.

Precisión, al menos, 2. La fórmula es exacta para ( ) 1=xf , ( ) xxf = y ( ) 2xxf = . Veamos:

para ( ) ( ) 2101 AAAabdxxfb

a++=−== �

para ( ) bAba

AaAab

xdxxxfb

2··

2 210

22

+++=−== �

para ( ) 22

2

12

0

332 ·

2··

2bA

baAaA

abxdxxxf

b

a+

� �

� ++=−== �

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 0A , 1A y 2A .

���

���

−=+�

� �

� ++

−=+++

−=++

2··

2··

33

22

1

2

02

22

210

210

abAbA

baAa

abAbA

baAa

abAAA

Resolviendo el sistema se obtiene que60

abA

−= , ( )abA −= ·32

1 y 62

abA

−= .

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Alberto Suárez López Página 48

Así, la expresión de la fórmula de Simpson vendrá dada por:

( ) ( ) ( ) ( )bfabba

fabafab

dxxfb

62··

32

·6

−+�

� �

� +−+−≈�

( ) ( ) ( )��

���

� +�

� �

� ++−≈� bfba

fafab

dxxfb

a 2·4·

6

Sabemos que, en la fórmula de los trapecios, el grado de precisión es al menos 1 y en la

fórmula de Simpson, al menos 2. ¿Cómo podemos saber si dichos grados de precisión son exactamente esos?

Para la fórmula de los trapecios, ¿es exacta para ( ) 2xxf = ?

( ) ( )[ ] [ ][ ]33

33

33

3332

·23

·2

·2

33 baabab

baab

bfafab

abxdxx

b

a

b

a+−≠−

��

��

+−=+−

−=��

���

�=�

No se cumple la igualdad, luego la fórmula no es exacta para ( ) 2xxf = , y por tanto, el

grado de precisión es exactamente 1.

x

y

f(a)

b a

f(b)

f(x)

P1(x)

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Alberto Suárez López Página 49

Para la fórmula de los trapecios, ¿es exacta para ( ) 3xxf = ?

( ) ( )

���

���

�+

� �

� ++−=−

��

��

���

���

�+

� �

� ++−=��

���

� +�

� �

� ++−

−=��

���

�=�

44

444

44

4

4443

24·

24

24·

224·

6

44

bba

aabab

bba

aab

bfba

fafab

abxdxx

b

a

b

a

Sí. Ambas expresiones son exactamente iguales y por tanto podemos afirmar que el

grado de precisión es, al menos, 3. ¿Es exacta para ( ) 4xxf = ?

( ) ( )

���

���

�+

� �

� ++−≠−

��

��

���

���

�+

� �

� ++−=��

���

� +�

� �

� ++−

−=��

���

�=�

55

555

55

5

5554

24·

25

24·

224·

6

55

bba

aabab

bba

aab

bfba

fafab

abxdxx

b

a

b

a

No se cumple la igualdad, luego la fórmula no es exacta para ( ) 2xxf = , y por tanto, el

grado de precisión es exactamente 1.

x

y

f(a)

b a

f(b)

(a+b)/2

f((a+b)/2)

P2(x)

f(x)

2h

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Alberto Suárez López Página 50

Gráficamente:

( )[ ] �

��

��

��

==++

=++=��

���

�++

=++�1030·

301

134·4162

102442

2412

2

0

24

2

0

3x

xx

dxxx

Capítulo 4.3.1.3. ERROR EN LA FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS: Dada la fórmula de los trapecios:

( ) ( ) ( )[ ] Tbfafab

dxxfb

a=+−≈� ·

2

El error cometido vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��

����

−−=−−=

==−=−=

b

a x

b

a x

b

a

b

a

b

a

b

a

T

dxbxaxcfdxbxaxcf

dxxedxxPxfdxxPdxxfE

····!2

1····

!21

·

''''

111

x

y

f(a)

b a

f(b)

(a+b)/2

f((a+b)/2)

f(x)

2h

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Alberto Suárez López Página 51

Definición: Segundo teorema del valor medio del cálculo integral: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y sea g una función integrable,

tal que g no cambia de signo en [ ]ba, . Si f y g verifican estas hipótesis, entonces existe un

punto ( )bac ,∈ tal que ( ) ( ) ( ) ( )�� =b

a

b

adxxgcfdxxgxf ···· .

Hipótesis: • f continua en [ ]ba,

• g integrable en [ ]ba,

• signo de g constante en [ ]ba, Tesis:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )�� =∈∃b

a

b

adxxgcfdxxgxfbac ····,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )3''3

''33

''

0

23''

0

2''

0

''

''''

··121

6··

!21

23··

!21

3··

!21

···!2

1····

!21

: variablede Cambio

····!2

1····

!21

abcfh

cfhh

cf

th

tcfdthttcfdthttcf

dtdx

tax

dxbxaxcfdxbxaxcfE

hhh

b

a

b

a xT

−−=−=��

���

�−=

=��

���

�+=+=−=

���

==−

=−−=−−=

��

��

( ) ( )3'' ··121

abcfE T −−=

Consideración: El error será cero si y sólo si ( ) 0'' =cf , esto implica que ( )xf sea un polinomio de grado

menor o igual a uno. Es decir, la fórmula tiene un grado de precisión exactamente uno, tal como ya había sido demostrado anteriormente.

Capítulo 4.3.1.4. ERROR EN LA FÓRMULA DE SIMPSON: Dada la fórmula de Simpson:

( ) ( ) ( ) Sbfba

fafab

dxxfb

a=�

���

� +�

� �

� ++−≈� 2·4·

6

Se demuestra que si f tiene derivada cuarta y es continua en [ ]ba, , entonces existe un

punto ( )bac ,∈ tal que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )542 ··

32·901

abcfdxxPdxxfEb

a

b

a

S −=−= ��

( ) ( ) ( )54 ··32·90

1abcfE S −=

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Alberto Suárez López Página 52

Capítulo 4.3.2. FÓRMULAS DE NEWTON – COTES ABIERTAS: Estudiaremos las fórmulas de Newton – Cotes abiertas con un solo nodo (fórmula del

punto medio) y con dos nodos. Capítulo 4.3.2.1. FÓRMULA DE NEWTON – COTES ABIERTA CON UN SOLO NODO O FÓRMULA

DEL PUNTO MEDIO: Con un único nodo, la fórmula vendrá dada por la expresión:

( ) ( ) �

� �

� +=≈� 2·· 000

bafAxfAdxxf

b

a

Tenemos que calcular el pesos 0A . Para hacer esto podemos escoger entre dos

procedimientos: a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.

( )20

baxP

+=

( ) [ ] ( )abba

xba

dxba

dxba

dxxP ba

b

a

b

a

b

a−+=+=+=��

���

� += ��� ·2

·2220

b) Aplicar la definición de grado de precisión. La fórmula, al ser de tipo interpolatorio, tiene un grado de precisión al menos 0 , es decir, es exacta para ( ) 1=xf :

( ) [ ] ( )

( )abA

baA

bafAdxxf

baabx

badx

badxxf

b

a

ba

b

a

b

a

−=

��

��

+=�

� �

� +≈

� �

� +−=�

� �

� +=�

� �

� +=

��0

00 2·

22

x

y

f(a)

b a

f(b)

f(x)

P0(x)

x0

a b

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Alberto Suárez López Página 53

Así, obtenemos:

( ) ( ) �

� �

� +−≈� 2·

bafabdxxf

b

a

Vamos ahora a calcular cual es el orden de precisión de dicha fórmula. Sabemos que

tiene un grado de precisión al menos 0 , esto es, es exacta para ( ) 1=xf , pero, ¿es exacta

para ( ) xxf = ?

( )

( ) ( ) ( )( )

22·

22· 22

222

abbaab

baab

bafabdxxf

abxdxxdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a −=+−

��

��

+−=�

� �

� +−≈

−=��

���

�==

��

Sí, la fórmula también es exacta para ( ) xxf = , luego su grado de precisión es, al

menos, 2 . Y ahora, ¿es exacta para ( ) 2xxf = ?

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

34·

33·

332

2

3332

abbaab

baab

bafabdxxf

abxdxxdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a −≠+−

��

��

+−=�

� �

� +−≈

−=��

���

�==

��

No, luego el grado de precisión de la fórmula es exactamente, 2 .

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Alberto Suárez López Página 54

Capítulo 4.3.2.2. FÓRMULA DE NEWTON – COTES ABIERTA CON DOS NODOS: Ejercicio: Deducir la fórmula de Newton – Cotes abierta con dos nodos en el intervalo [ ]ba, . ¿Cuál

es el orden de precisión de dicha fórmula?

Aplicarla al cálculo aproximado de la integral ( )�=1

0cos dxxI π y calcular, exactamente, el

error cometido. Con dos nodos, la fórmula buscada vendrá dada por la expresión:

( ) ( ) ( )1100 ·· xfAxfAdxxfb

a+≈�

3ab

h−=

32

3223

32·2

32

33

3

1

0

ababaabahax

baabaabahax

+=−+=−+=+=

+=−+=−+=+=

x0 a b x0

h

x

y

f(a)

b a

f(b)

f(x)

P1(x)

x0 x1

f(x0)

f(x1)

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Alberto Suárez López Página 55

Tenemos que calcular los pesos 0A y 1A . Para hacer esto podemos escoger entre dos procedimientos:

a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )001

0101 · xx

xxxfxf

xfxP −−−

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ��

���

��

� �

� ++�

� �

� +−=+=+=

=−+=−+=

=��

���

�−

−+=

���

���

� −−+=

=−−−

+=−−−

+=

=−−−

+=��

���

�−

−−

+=

���

����

32

32

·2

·2

23

·2

3

·2

23

·32

3·3·

224

·3·2

·3·

·3···

··

1010

010010

2201

0

2001

0

001

0100

01

010

001

0100

01

0101

abf

baf

abxfxf

hxf

hxf

h

xfh

xfh

xfhh

xfxfhxf

hhh

xfxfhxf

xxh

xfxfhxf

dxxxxx

xfxfhxfdxxx

xxxfxf

dxxf

dxxxxx

xfxfdxxfdxxx

xxxfxf

xfdxxP

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b) Aplicar la definición de grado de precisión.

La fórmula, al ser de tipo interpolatorio, tiene un grado de precisión al menos1, es decir, es exacta para ( ) 1=xf y ( ) xxf = :

Para ( ) 1=xf :

( ) [ ] ( )

( )abAA

AAab

fAba

fAdxxf

abxdxdxxf

b

a

ba

b

a

b

a−=+

���

���

+=�

� �

� ++�

� �

� +≈

−===

��10

1010 22

·2

Para ( ) xxf = :

( )

( )

222

·2

22

·2

22

·2

22

22

10

1010

222

ababA

baA

abA

baA

abfA

bafAdxxf

abxxdxdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a

−=+++

��

��

+++=�

� �

� ++�

� �

� +≈

−=��

���

�==

��

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 0A y 1A .

��

��

−=+++

−=+

222

·2

22

10

10

ababA

baA

abAA

Resolviendo el sistema se obtiene que 10 2A

abA =−=

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Alberto Suárez López Página 56

Así, obtenemos:

( ) ��

���

��

� �

� ++�

� �

� +−≈� 32

32

·2

abf

baf

abdxxf

b

a

Vamos ahora a calcular cual es el orden de precisión de dicha fórmula. Sabemos que

tiene un grado de precisión al menos1, esto es, es exacta para ( ) 1=xf y ( ) xxf = , pero, ¿es

exacta para ( ) 2xxf = ?

( )

( ) ( ) ( )( )

22·

33· 22

3332

abbaab

baab

bafabdxxf

abxdxxdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a −=+−

��

��

+−=�

� �

� +−≈

−=��

���

�==

��

Sí, la fórmula también es exacta para ( ) xxf = , luego su grado de precisión es, al

menos, 2 . Y ahora, ¿es exacta para ( ) 2xxf = ?

( )

( )

332

32

·2

32

32

·23

23

2

33·

3322

22

3332

ababbaab

abbaababf

baf

abdxxf

abxdxxdxxf

b

a

b

a

b

a

b

a

−≠���

���

��

� �

� ++�

� �

� +−

��

��

���

���

��

� �

� ++�

� �

� +−=��

���

��

� �

� ++�

� �

� +−≈

−=��

���

�==

��

No, luego el grado de precisión de la fórmula es exactamente, 1. Así, aplicamos el resultado anterior para calcular el valor aproximado de la integral

( )�=1

0cos dxxI π :

( ) 021

21

·21

32

cos3

cos·2

01cos

1

0=��

���

� −=��

���

��

� �

�−�

� �

�−≈= �πππ dxxI

Calculamos el error cometido:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 00·1

0·1

·1

·1

cos 10

1

0

1

0==−==��

���

�≈= � ππ

ππ

ππ

ππ sensenxsenxsendxxI

Luego, 0error = .

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Teorema: El orden de precisión de una fórmula de Newton – Cotes (cerrada o abierta) simple

con 1+n nodos es igual a:

���

par es siimpar es si

nn

nn

Por ejemplo: Fórmula de los trapecios 1precisión =

Fórmula de Simpson 3precisión =

Regla del punto medio 1precisión =

Abierta con dos nodos 1precisión =

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Capítulo 4.4. FÓRMULAS DE CUADRATURA COMPUESTAS. REGLA DE LOS TRAPECIOS Y REGLA DE SIMPSON.

Se obtienen dividiendo el intervalo [ ]ba, en n subintervalos y aplicando a cada uno de

ellos una fórmula de cuadratura sencilla. Capítulo 4.4.1. FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS COMPUESTA:

Dado el intervalo [ ]ba, y 1≥n , sean

abh

−= y definimos niin

abaxi ...0,· =−+= .

En el intervalo [ ]1, +ii xx se reemplaza la función integrando f .

Así, el valor de la integral en dicho subintervalo vendrá dado por:

( ) ( ) ( )[ ]1·2

1

++≈�+

ii

x

xxfxf

hdxxf

i

i

x0 x

y

x1 x2 x3

f(x0)

f(x2)

f(x1)

f(x3)

f(x)

x1 x2 x3 b=xn a=x0 …

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Alberto Suárez López Página 59

Extendiendo este resultado a todos los subintervalos en los que hemos dividido el intervalo inicial [ ]ba, , obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )��

���

� ++−=

=+++++++=

=+≈=

����

=

=+

=

+

bfxfafnab

xfxfxfxfxfxfxfh

dxxfxfh

dxxfdxxf

n

ii

nn

n

iii

n

i

x

x

b

a

i

i

1

1

122110

1

01

1

0

·2·2

...·2

·2

1

( ) ( ) ( ) ( )��

���

� ++−≈ ��−

=

bfxfafnab

dxxfn

ii

b

a

1

1

·2·2

Capítulo 4.4.1.1. ERROR EN LA FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS COMPUESTA:

El error en la fórmula simple para un intervalo [ ]ba, venía dado por la expresión:

( ) ( )3'' ··121

abcfE T −−=

El error cometido en la fórmula simple es la suma de los errores cometidos en cada uno

de los intervalos [ ]1, +ii xx en los que se ha dividido el intervalo inicial [ ]ba, . Así:

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) =−−

−−−−−−−=

−∈

∈∈∈

31

,

''

323

,3

''312

,2

''301

,1

''

··121

...··121

··121

··121

1

323212101

nnxxc

n

xxcxxcxxc

Tn

xxcf

xxcfxxcfxxcfE

nnn

x

y

f(x0)

x2 x0

f(x2)

x1

f(x1)

f(x)

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Alberto Suárez López Página 60

( ) ( )( )

( )( )1111 ,

1''

31

0,1

''31

01 ··

121

··121

++++ ∈+

=∈+

=+ �� −=−−=

iiiiii xxci

n

ixxci

n

iii cfhcfxx

Tenemos que acotar ''f en el intervalo [ ]ba, . Es decir, tenemos que

calcular[ ]

( ){ }xfMbax

''

,max∈

= y[ ]

( ){ }xfmbax

''

,min∈

= , suponiendo ''f continua en [ ]ba, .

De este modo se verifica:

( ) Mncfmnn

ii ··

1

01

'' ≤≤�−

=+

Dividiendo entre n :

( )M

n

cfm

n

ii

≤≤�

=+

1

01

''

Aplicando el teorema del valor medio: Si )(xf es continua en [ ]ba, , la función alcanza en ese intervalo todos los valores

comprendidos entre )(af y )(bf .

[ ]Kcf

bac

bfKaf

=∈∃

<<

)(,

)()(

Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,

• ( ) ( )( )bfafK ,∈ Tesis:

( ) ( ) Kcfbac =∈∃ , Así:

[ ] ( )( )

n

cfcfbac

n

ii�

=+

=∈∃

1

01

''

'',

x

y

a b c’ c’’ c’’’

f(b)

f(a)

K

Page 61: metodos-numericos

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Alberto Suárez López Página 61

Y por tanto:

( )( )

( )( )

( )( )bacbacxxc

i

n

i

Tn cfn

nab

cfnhcfhEiii ,

''3

,

''3

,1

''31

0

···121

···121

··121

11 ∈∈∈+

=�

� �

� −−=−=−=++

( ) ( )( )bac

Tn cfab

nE

,

''32 ··

·121

∈−−=

Capítulo 4.4.2. FÓRMULA DE SIMPSON COMPUESTA:

Dado el intervalo [ ]ba, y 1≥n , seanab

h2−= y definimos: ( )�

��

=−+==+=

nihiaz

nihiax

i

i

...1,12...0,2

.

El procedimiento a seguir sería análogo al visto en la fórmula compuesta de los

trapecios: En el intervalo [ ]1, +ii xx se reemplaza la función integrando f .

La fórmula simple de Simpson venía dada por la expresión:

( ) ( ) ( )��

���

� +�

� �

� ++−≈� bfba

fafab

dxxfb

a 2·4·

6

x1 x2 x3 b=xn a=x0 …

x0 x

y

x1 x2 x3

f(x0)

f(x2)

f(x1)

f(x3)

f(x)

z1 z2 z3

P(x)

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Alberto Suárez López Página 62

Así, el valor de la integral en el subintervalo [ ]1, +ii xx vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]111 ·4·3

1

++ ++≈�+

ii

x

xxfzfxf

hdxxf

i

i

Extendiendo este resultado a todos los subintervalos en los que hemos dividido el

intervalo inicial [ ]ba, , obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )��

���

� +++−=

=��

���

� +++=

=+++++++++=

=++≈=

��

��

����

=

=

=

=

=++

=

+

n

n

ii

n

ii

n

n

ii

n

ii

nnn

n

iiii

n

i

x

x

b

a

xfzfxfxfnab

xfzfxfxfnh

xfzfxfxfzfxfxfzfxfnh

xfzfxfh

dxxfdxxfi

i

1

1

10

1

1

10

1221110

1

011

1

0

·26

·4·2··3

·4...·4·4·3

·4·3

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )��

���

� +++−≈ ���=

=n

n

ii

n

ii

b

axfzfxfxf

nab

dxxf1

1

10 ·2

6

Capítulo 4.4.2.1. ERROR EN LA FÓRMULA DE SIMPSON COMPUESTA: El error en la fórmula simple para un intervalo [ ]ba, venía dado por la expresión:

( ) ( ) ( )54 ··32·90

1abcfE S −=

El error cometido en la fórmula simple es la suma de los errores cometidos en cada uno

de los intervalos [ ]1, +ii xx en los que se ha dividido el intervalo inicial [ ]ba, . Así:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

5

,1

41

0

5

,1

41

0

51

,1

41

0

51

,3

4

523

,3

4512

,2

4501

,1

4

··901

2··32·90

1··

32·901

··32·90

1

...··32·90

1··

32·901

··32·90

1

11

11111

323212101

hcf

hcfxxcfxxcf

xxcfxxcfxxcfE

iii

iiiiiinnn

xxci

n

i

xxci

n

iii

xxci

n

inn

xxc

xxcxxcxxc

Sn

++

++++−

∈+

=

∈+

=+

∈+

=−

∈∈∈

��

=

==−=−+

++−+−+−=

Tenemos que acotar ( )4f en el intervalo [ ]ba, . Es decir, tenemos que

calcular[ ]

( ) ( ){ }xfMbax

4

,max∈

= y[ ]

( ) ( ){ }xfmbax

4

,min∈

= , suponiendo ( )4f continua en [ ]ba, .

De este modo se verifica:

( ) ( ) Mncfmnn

ii ··

1

01

4 ≤≤�−

=+

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Alberto Suárez López Página 63

Dividiendo entre n :

( ) ( )M

n

cfm

n

ii

≤≤�

=+

1

01

4

Aplicando el teorema del valor medio:

[ ] ( ) ( )( ) ( )

n

cfcfbac

n

ii�

=+

=∈∃

1

01

4

4,

Así:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )5

,

41

045

5

,

41

0

5

,

41

0

5

,

41

0

5

,1

41

0

···32·90

1·32

···901

2···

901

···901

··901

11

abcfnn

abcfn

nab

cfnhcfnhcfE

bac

n

ibac

n

i

bac

n

ibac

n

ixxci

n

i

Sn

iii

−=−=

=�

� �

� −===

=∈

=

=∈

=∈+

=

��

���++

( ) ( )( )

( )5

,

41

04

···32·90

1abcf

nE

bac

n

i

Sn −=

=�

Page 64: metodos-numericos

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Capítulo 5: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO – LINEALES.

Capítulo 5.1. INTRODUCCIÓN. El objetivo buscado es calcular los valores de x que satisfacen la identidad ( ) 0=xF .

Gráficamente, se trata de calcular las raíces de una función:

Diremos que α=x es una raíz de F si ( ) 0=αF .

Si F es un polinomio:

• de primer grado:ab

xbax −=⇔=+ 0

• de segundo grado:a

acbbxcbxax

24

02

2 −±−=⇔=++

Existen métodos directos para polinomios de grado tres o cuatro, pero a partir de grado

cinco no existen métodos directos generales, aunque puede darse algún caso particular. Por otra parte, si F no es polinómica, por ejemplo: ( ) ( )xsenexF x −= − , debemos

recurrir a métodos iterativos; esto es, calcular una sucesión numérica que sea convergente hacia una de las raíces de la función:

{ } { } ( ) 0, =→ αα Fxx nn Capítulo 5.1.1. MÉTODOS DE SEPARACIÓN DE RAÍCES. GRÁFICOS Y TEÓRICOS: Diremos que una raíz de la ecuación ( ) 0=xF está separada en el intervalo I si es la

única solución que existe en dicho intervalo.

x

y

x=�

f(x)

Page 65: metodos-numericos

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Alberto Suárez López Página 65

Capítulo 5.1.1.1. MÉTODOS GRÁFICOS: Mediante la gráfica de la función F podemos, en ocasiones, solucionar el problema de la

separación de raíces. En ocasiones es útil representar 21 ggF +=

Así, la abscisa correspondiente al punto de intersección corresponde a una raíz de F . Por ejemplo:

( ) ( )xsenexF x −= −

x

y

x=�

g1(x)

g2(x)

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Alberto Suárez López Página 66

Capítulo 5.1.1.2. MÉTODOS TEÓRICOS: Se basan en la aplicación de los teoremas de Bolzano y Rolle. Capítulo 5.1.1.2.1. TEOREMA DE BOLZANO: Si una función es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, y toma valores de distinto signo

en a y en b, existe al menos un punto 0x interior al intervalo en el cual 0)( 0 =xf .

Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,

• ( ) ( ) 0· <bfaf Tesis:

( ) ( ) 0, =∈∃ cfbac

x

y

a b c’ c’’ c’’’

f(b)

f(a)

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Capítulo 5.1.1.2.2. TEOREMA DE ROLLE: Si una función )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y derivable en el intervalo

abierto ( )ba, , verificando además que )()( bfaf = , entonces existe al menos un

punto [ ]bac ,∈ en el que se verifica que 0)(' =cf

• )(xf es constante

o 0)(')( == xfKxf o se verifica en todos los puntos del intervalo

• )(xf no es constante

y

x a b

f(a) f(b)

c

y

x a b

f(a) f(b)

c

y

x a b

f(a) f(b)

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Teorema: Un primer resultado afirma que entre dos raíces consecutivas de 'F existe, a lo sumo,

una raíz de F .

Otro método consiste en aplicar conjuntamente los teoremas de Bolzano y Rolle para

demostrar la unicidad de una raíz en un intervalo [ ]ba, . Hipótesis: • F continua en [ ]ba,

• F derivable en ( )ba,

• ( ) ( ) 0· <bFaF

• ( ) ( )baxxF ,,0' ∈∀≠ Tesis:

( ) ( ) 0,! =∈∃ αα Fba

x

y

x=� x=�

x

y

x=�

x=�

x=c

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Capítulo 5.2. MÉTODOS ITERATIVOS DE OBTENCIÓN DE SOLUCIONES. Una de las técnicas que puede usarse en la resolución aproximada de la

ecuación ( ) 0=xF consiste en localizar en un intervalo [ ] [ ]00 ,, baba = la raíz que se desea aproximar y a continuación iríamos formando sistemáticamente intervalos contenidos cada uno en el anterior: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nn bababababa ,...,,,, 33221100 ⊃⊃⊃⊃⊃ , y conteniendo a su vez a la raíz, de forma que la longitud de estos intervalos tienda a cero.

Capítulo 5.2.1. MÉTODO DE BISECCIÓN: Supongamos que la función F es continua en [ ]00 ,ba , tal que ( ) ( ) 0· 00 <bFaF ; en estas

condiciones podemos afirmar que la ecuación ( ) 0=xF tiene al menos una raíz en ( )00 ,ba . Se

calcula ( )MF , siendo M el punto medio del intervalo, es decir, 2

00 baM

+= . Si ( ) 0=MF ,

paramos; en caso contrario, ( )MF tiene o bien el signo de ( )0aF o bien el signo de ( )0bF , y

uno de los dos intervalos [ ]Ma ,0 o [ ]0,bM tiene la propiedad de que en sus extremos la

función F tiene valores de signos opuestos. Llamemos [ ]11 ,ba a este intervalo, que tiene de longitud la mitad del anterior. Repetimos el proceso.

Por ejemplo:

a=a0

b=b0=b1

x1=a1=a2

y

x

y=F(x)

x2=b2

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[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] ��

���

� +==

��

���

� +==

=

2,,,

,2

,,

,,

1112122

000

0111

00

baaxaba

bba

bxba

baba

La longitud de los intervalos:

nnn

abab

abab

abab

abab

2

...2

2

2

333

222

11

−=−

−=−

−=−

−=−

Entonces:

nn

nn

abb

aba

2

2−<−

−<−

α

α

Si denotamos por{ }nx a la sucesión de puntos medios, empezando por 1x , se verifica

que{ }nx converge a una raíz de la ecuación. Sabemos que nn ax = o nn bx = . Así tenemos la siguiente cota del error:

nn

abx

2−<−α

Dicho esto, si se pretende calcular la raíz con un error menor queε , ¿cuántas

iteraciones debemos realizar?

n

n

ab

ab

2·2

ε

ε

<−

<−

Como la función logaritmo es estrictamente creciente, podemos tomar logaritmos a

ambos lados de la inecuación y esta no se verá afectada. ( ) ( )nab 2·loglog ε<−

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Aplicando propiedades de logaritmos: ( )( )( )

� �

� −>

<�

� �

� −<−−+<−+<−

ε

ε

εεε

ε

abn

nab

nab

ab

ab n

log2·log

2·loglog

2·loglogloglogloglog

2logloglog

2log

log �

� �

� −

> εab

n

Aún así, la convergencia con este método suele ser muy lenta, aunque siempre

convergerá a una raíz real. Pero si la función no es continua corremos el riesgo de construir una sucesión no

convergente.

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Capítulo 5.3. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO: ESTUDIO DEL ERROR.

Este método permite adquirir una raíz de la ecuación ( ) 0=xF . En este método se

deduce la ecuación ( )xfx = , de manera que cualquier solución de esta ecuación, es decir,

cualquier punto fijo de f , es una raíz de la ecuación de partida ( ) 0=xF . Es decir:

Si ( )ααα f=∃ entonces ( ) 0=αF . Por ejemplo:

( )( )( )( )

( ) 0,1

1

1

1

01

2

4

3

2

21

2

≠∀−−−=

+=

+=

−==−−=

mm

xxxxf

xx

xf

xxf

xxf

xxxF

A cada una de estas funciones if se le llama función de iteración asociada a F . Gráficamente:

Así, α=x y β=x son puntos fijos de la función f , y por tanto, raíces de F .

y

x

y=f(x) y=x

x=�

x=�

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Capítulo 5.3.1. ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO: La iteración del punto fijo consiste en elegir un punto domfx ∈0 y construir la

sucesión{ }nx definida recursivamente por la ecuación siguiente:

{ } ( )0

1

≥∀=+

n

xfxx nn

n

Así, los puntos que componen la sucesión serán:

( )( )( )

( )1

23

12

01

0

...

−=

===

nn xfx

xfx

xfx

xfx

x

Para que este algoritmo resuelva el problema planteado hemos de comprobar que se

verifiquen las siguientes condiciones: • Los puntos de la sucesión{ }nx deberán pertenecer al dominio de la función f .

0, ≥∀∈ ndomfxn

• La sucesión deberá converger hacia un valor real. { } IRxn ∈→ α

• El límite de dicha sucesión será un punto fijo de la función f .

( )αα f= Por ejemplo:

Supongamos que la función elegida sea ( ) 1−= xxf :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) domfifxfx

domffxfx

domffxfx

domfx

∉=−=−===

∈==−===

∈==−===

∈=

1100

00111

11122

2

23

12

01

0

Vemos como, a partir del punto 3x , no se verifica la primera condición. Para garantizar esta primera condición supongamos que ( )xf está encerrada en un

intervalo [ ]baI ,= y que la imagen que cada uno de los puntos del intervalo I a través de la

función f está a su vez contenido en [ ]baI ,= . Es decir:

[ ] [ ][ ] ( ) [ ]baxfbax

babaf

,,,,,:∈∈∀

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Gráficamente:

[ ] [ ] ( ) [ ][ ]��

���

∈∈

=×bay

baxyxbaba

,,

,,,

Demostración: Por inducción se demuestra que [ ] nbaxn ∀∈ ,, .

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ]baxfx

baxfxbaxfxbaxfxbax

nn ,

...,,,,

1

2312010

∈=

∈=∈=∈=∈

Capítulo 5.3.2. TEOREMA DE EXISTENCIA DEL PUNTO FIJO: Sea [ ] [ ]babaf ,,: → continua en [ ]ba, , entonces [ ] ( ) ααα =∈∃ fba, . Es decir:

[ ] [ ] [ ] ( ) ααα =∈∃→ fbababaf ,,,: Demostración: Aplicamos el Teorema de Bolzano a la función ( ) ( )xfxxg −= en [ ]ba, : Hipótesis: • g continua en [ ]ba,

Al ser diferencia de funciones continuas. • ( ) ( ) 0· <bgag

( ) ( )( ) ( ) 0

0≥−=≤−=

afbbg

afaag

Tesis:

[ ] ( ) 0, =∈∃ αα gba

y

x

y=f(x)

y=x

x=a x=b x=�

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Así: ( ) ( )ααα fg =⇔= 0

Sin embargo las hipótesis anteriores no garantizan la unicidad del punto fijo. Por ejemplo:

Existen puntos [ ] ( ) ( ) 212121 ,, xxxfxfbaxx −>−∈ , es decir,

( ) ( )( ) ( )2121 ,, xxdxfxfd > . Para evitar que suceda esto incorporamos la definición de función contractiva. Capítulo 5.3.3. FUNCIÓN CONTRACTIVA: Se dice que f es contractiva en [ ]ba, si y sólo si, por definición:

[ ) ( ) ( ) [ ]baxxxxLxfxfL ,,,·1,0 212121 ∈∀−≤−∈∃ .

Se verifica también que la contractividad implica la continuidad de la función. Para estudiar si una función es contractiva utilizaremos el siguiente resultado:

x

y=f(x)

y=x

x=a x=b x=x1 x=x2 x=x3 x=x4

y

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Sea f continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, , entonces son equivalentes las dos condiciones siguientes:

• f es contractiva en [ ]ba, con constante de contractividad L .

• ( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤ , es decir, 'f es una función acotada en ( )ba, .

Si [ ] [ ]babaf ,,: → y es contractiva, entonces existe un único punto fijo en [ ]ba, , es

decir, [ ] ( ) ααα =∈∃ fba,! . La existencia ya esta probada. Probemos ahora la unicidad del punto fijo: Capítulo 5.3.4. TEOREMA DE UNICIDAD DEL PUNTO FIJO: Demostraremos la unicidad del punto fijo por reducción al absurdo: supondremos la

existencia de un segundo punto fijo y llegaremos a una contradicción:

Sean [ ] ( )( ) ββ

ααβαβα

==

≠∈f

fba y ,, , entonces:

( ) ( )βαβα

βαβαβαβα−<−

−<−≤−=− ·Lff

Ejemplo: Sea ( ) xexf −= en [ ] [ ]1,0, =ba . ¿Es f una función de iteración? Para que f sea una función de iteración debe verificarse que:

• [ ] [ ]1,01,0: →f Primero comprobamos que las imágenes de los extremos de los intervalos a través de f pertenecen al intervalo.

( ) [ ]( ) [ ]1,0

11

1,010

1

0

∈==

∈==

eef

ef

A continuación comprobamos que el resto de puntos del intervalo verifica la hipótesis, para lo cual, estudiaremos la monotonía de la función.

( )( ) domfxxf

exf x

∈∀<−= −

,0'

'

'f es decreciente en [ ]1,0

[ ]( ){ }

[ ]( ){ }

[ ] [ ]1,01,1

1,0:1min

1max

1,0

1,0

⊂���

��

�→⇔��

��

=

=

ef

exf

xf

x

x

• f es contractiva en [ ]1,0

[ ) ( ) ( )1,0,1,0 ' ∈∀≤∈∃ xLxfL

( ) xxx eeexf −−− ==−='

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[ ) ( )1,0,1,01lim0

∈∀≤∈∃/= −−

→xLeLe xx

x

En [ ]1,0 no hemos encontrado la constante de contractividad. Probemos en [ ]1,1.0 :

( ) � ( )1,1.0,11.0' ∈∀<<= −− xeexfL

x

Luego, f es contractiva en [ ]1,1.0 con constante de contractividad 1.0−= eL . Capítulo 5.3.5. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO. ESTUDIO DEL

ERROR: Distinguiremos entre convergencia global y convergencia local. En la convergencia global se darán condiciones para f en [ ]ba, , bajo las cuales el

algoritmo del punto fijo converge para [ ]bax ,0 ∈∀ . En la convergencia local se darán condiciones más débiles bajo las cuales el algoritmo

converge siempre que el punto inicial esté suficientemente cerca de la solución. Capítulo 5.3.5.1. TEOREMA DE CONVERGENCIA GLOBAL Y ESTIMACIÓN DEL ERROR: Sea [ ] [ ]babaf ,,: → , contractiva con constante de contractividad L y sea [ ]bax ,0 ∈ ;

entonces se verifica que la sucesión{ }nx definida por ( ) 0,1 ≥=+ nxfx nn es convergente y

converge al único punto fijo α=x de f en [ ]ba, . Hipótesis: • [ ] [ ]babaf ,,: →

• ( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤

Tesis:

[ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,! Además, se tiene la siguiente estimación para el error:

abL

Lxx

LL

xnn

n −−

≤−−

≤− ·1

·1 01α

Vemos como, cuando L es próxima a cero el error se aproxima a cero y cuando L es

próxima a uno, el error tiende a infinito.

∞==−

=−

==−

=−

0111lim

111

011lim

1

1

0

0

LLL

L

LL

L

n

L

n

L

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Capítulo 5.3.5.2. TEOREMA DE CONVERGENCIA GLOBAL: Sea [ ] IRbaf →,: , derivable con 'f continua en ( )ba, y supongamos

que ( ) ( ) ααα =∈∃ fba, y además ( ) 1' <αf . Entonces, [ ]δαδαδ +−∈∀>∃ ,0 0x la

sucesión{ }nx definida por ( )nn xfx =+1 converge a α=x . Hipótesis: • [ ] IRbaf →,:

• 'f continua en ( )ba,

• ( ) ( ) ααα =∈∃ fba,

• ( ) 1' <αf

Tesis:

[ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,! Gráficamente: con ( ) 01 ' <<− xf :

Vemos como se forma una “tela de araña” en la que los puntos nx convergen haciaα .

x

y=f(x)

y=x

x=a x=b x=x0 x=� x=x1 x=x2

y

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con ( ) 10 ' << xf :

Vemos como se forma una “escalera” en la que los puntos nx convergen haciaα .

Para ( ) α≠∀> 0' ,1 xxf la sucesión no es convergente.

x

y=f(x)

y=x

x=a x=b x=x0 x=� x=x1 x=x2

y

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Capítulo 5.4. ORDEN DE CONVERGENCIA. Sea{ }nx una sucesión de números reales que converge a un cierto valorα , es decir,

{ } α→nx ó { } α=∞→

nn

xlim , y sea 0, ≥∀−= nxe nn α . Si existen constantes

reales 0>p y 0≠q tal que qee

pn

n

n=+

∞→

1lim , se dice que la sucesión{ }nx converge aα con

orden de convergencia p , siendo q la constante asintótica del error.

Es decir, para n suficientemente grande, pnnp

n

n eqeqee

·11 =⇔≈ +

+

Se mide la disminución del error entre una iteración y la iteración siguiente. • Si 1=p , se dice que la convergencia es lineal.

• Si 2=p , se dice que la convergencia es cuadrática. Capítulo 5.4.1. CONVERGENCIA LINEAL: En el método de iteración del punto fijo, la convergencia es, al menos, lineal; es decir, al

menos de orden1. Demostración:

( ) ( )αα fxfxe nnn −=−= ++ 11 Aplicando el teorema del valor medio:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnn cfexcffxfe ''1 ·· =−=−=+ αα

Despejando ( )ncf ' :

( )

( )n

nn

nnn

ee

cf

cfee

1'

'1 ·

+

+

=

=

Tomando límites a ambos lados de la expresión:

( ) ( ) ( )1,1limlimlim '''1 −∈=��

��==

∞→∞→

+

∞→αfcfcf

ee

nn

nnn

n

n

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Capítulo 5.5. CONVERGENCIA CUADRÁTICA Y MÉTODO DE NEWTON. En el caso particular de que ( ) 0' =ncf se demuestra que el orden de convergencia es,

al menos, cuadrática (al menos de orden 2 ). Demostración:

( ) ( )αα fxfxe nnn −=−= ++ 11 Aplicando la fórmula de Taylor en un entorno deα :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2''

2''

1 ·2

·2 n

nn

nnn e

cfx

cffxfe =−=−=+ αα

Despejando( )2

''ncf

:

( )

( )21

''

2''

1

2

·2

n

nn

nn

n

e

ecf

ecf

e

+

+

=

=

Tomando límites a ambos lados de la expresión:

( ) ( ) ( )α''''''''

21 ·

21

lim·21

lim·21

2limlim fcfcf

cf

e

en

nn

n

n

nn

n

n=

��

��===

∞→∞→∞→

+

∞→

Corolario: El orden de convergencia nos lo indica el orden de la primera derivada que no se anula

en el punto fijo. ( )( )

( )( )( )

cuadrática iaConvergenc

0

0

lineal iaConvergenc0

''

'

'

��

��

=

=

���

=

αα

ααα

αα

f

f

f

f

f

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Capítulo 5.5.1. MÉTODO DE NEWTON:

Vamos a construir una sucesión{ }nx tal que{ } α→nx .

• Elegimos un punto inicial 0x .

• Cada punto nixi ...1,1 =∀+ se obtiene como la intersección de la recta tangente a la

función F en el punto ix con el eje OX. Calculamos la recta tangente a la función F en ix :

( )

( ) ( ) ( )iii xxxFxFy

xxmyy

−=−

−=−

·

·'

00

x

y=F(x)

x=x0

x=�

x=x1

y

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Y hallamos la intersección de dicha recta con el eje OX:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )( )i

ii

i

i

i

ii

i

iii

iiii

iiii

iii

iii

xFxF

xx

xFxF

xFxFx

x

xFxFxFx

x

xFxxFxFx

xFxxFxxF

xxxFxF

y

xxxFxFy

'

''

'

'

'

''

''

'

'

·

·

··

··

·

0

·

−=

−=

−=

=−

−=−

−=−

���

=−=−

Así, la función de iteración para el método de Newton vendrá dada por:

( ) ( )( )xFxF

xxf '−=

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Apéndice A: FÓRMULAS Y MÉTODOS. Apéndice A.1. INTERPOLACIÓN. Fórmula de Lagrange:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�=

=++++=n

iiinnn xlxfxlxfxlxfxlxfxlxfxP

0...22.11.00 ··...··· ,

con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏

≠=+−

+−

−−

=−−−−−−

−−−−−−=

n

ikk ki

k

niiiiiiii

niii xx

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxl

011210

11210

·...···...····...···...···

Fórmula de Newton:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1210102010 ·...····...··· −−−−−++−−+−+= nnn xxxxxxxxcxxxxcxxccxP

[ ] [ ] [ ]0

1210321210

,...,,,,...,,,,...,,,

xxxxxxfxxxxf

xxxxfn

nnn −

−= −

Error en la interpolación:

( ) ( ) ( )∏=

−+

≤n

iin xx

nM

xe0

·!1

con( )

( ) ( )xfM n

bax

1

,sup +

∈=

Error en la interpolación lineal:

( ) ( ) [ ]10''

2

1 ,,·8

xxxcfh

xe ∈∀≤

Error en la interpolación cuadrática:

( ) ( ) [ ]20'''

3

2 ,,·39

xxxcfh

xe ∈∀≤

Error en la interpolación lineal a trozos:

( ) Mhxe ··81 2

1 ≤

Errror en la interpolación cúbica a trozos:

( ) Mhxe ··39

1 32 ≤

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Apéndice A.2. AJUSTE DE DATOS Y APROXIMACIÓN DE FUNCIONES. Recta de regresión:

����

����

=��

���

����

����

��

��

+=

+=

��

���

��

=

=

==

=

===

==n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

b

a

xx

xn

xbxayx

xbnay

11

1*

*

1

2

1

1

1

2*

1

*

11

1

**

1

··

···

··

Polinomio de ajuste de grado menor o igual a dos:

�������

�������

=���

���

�������

�������

���

���

++=

++=

++=

���

���

��

����

����

���

=

=

=

===

===

==

====

====

===

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

y

c

b

a

xxx

xxx

xxn

xcxbxayx

xcxbxayx

xcxbnay

1

2

1

1

*

*

*

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

1

4*

1

3*

1

2*

1

2

1

3*

1

2*

1

*

1

1

2*

1

**

1

·

··

····

····

···

Función de ajuste. Expresión general:

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������

������

����������

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iii

n

iii

n

iii

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c

c

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xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xy

xy

xy

xy

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1

2

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13

1

23

123

113

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132

1

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121

1

21

1

13

12

11

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( ) ( ) ( ) ( )������

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n

n

n

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xxxx

xxxx

xxxx

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y

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y

y

y

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1

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2

1

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Apéndice A.3. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. MÉTODOS DE COTES Y MÉTODOS DE GAUSS.

Fórmula de los trapecios:

( ) ( ) ( )[ ]bfafab

dxxfb

a+−≈� ·

2

Fórmula de Simpson:

( ) ( ) ( )��

���

� +�

� �

� ++−≈� bfba

fafab

dxxfb

a 2·4·

6

Error en la fórmula de los trapecios:

( ) ( )3'' ··121

abcfE T −−=

Error en la fórmula de Simpson:

( ) ( ) ( )54 ··32·90

1abcfE S −=

Formula de Newton – Cotes abierta con un solo nodo o fórmula del punto medio:

( ) ( ) �

� �

� +−≈� 2·

bafabdxxf

b

a

Fórmula de Newton – Cotes abierta con dos nodos:

( ) ��

���

��

� �

� ++�

� �

� +−≈� 32

32

·2

abf

baf

abdxxf

b

a

Fórmula de los trapecios compuesta:

( ) ( ) ( ) ( )��

���

� ++−≈ ��−

=

bfxfafnab

dxxfn

ii

b

a

1

1

·2·2

Error en la fórmula de los trapecios:

( ) ( )( )bac

Tn cfab

nE

,

''32 ··

·121

∈−−=

Fórmula de Simpson compuesta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )��

���

� +++−≈ ���=

=n

n

ii

n

ii

b

axfzfxfxf

nab

dxxf1

1

10 ·2

6

Error en la fórmula de Simpson:

( ) ( )( )

( )5

,

41

04

···32·90

1abcf

nE

bac

n

i

Sn −=

=�

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Apéndice A.4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO – LINEALES. Teorema de Bolzano: Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,

• ( ) ( ) 0· <bfaf Tesis:

( ) ( ) 0, =∈∃ cfbac Teorema de Rolle: Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,

• f es derivable en ( )ba,

• )()( bfaf = Tesis:

( ) ( ) 0, ' =∈∃ cfbac Error en el método de bisección:

nn

abx

2−<−α

Cálculo del número de iteraciones necesarias en el método de bisección para cometer

un error εα <−nx :

2log

log �

� �

� −

> εab

n

Iteración del punto fijo:

{ } ( )0

1

≥∀=+

n

xfxx nn

n

• 0, ≥∀∈ ndomfxn

• { } IRxn ∈→ α

• ( )αα f= Teorema de existencia del punto fijo:

[ ] [ ] [ ] ( ) ααα =∈∃→ fbababaf ,,,: Función contractiva:

( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤

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Teorema de convergencia global: Hipótesis: • [ ] [ ]babaf ,,: →

• ( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤

Tesis: [ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,!

Teorema de convergencia local: Hipótesis: • [ ] IRbaf →,:

• 'f continua en ( )ba,

• ( ) ( ) ααα =∈∃ fba,

• ( ) 1' <αf

Tesis: [ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,!

Error en el método de iteración del punto fijo:

abL

Lxx

LL

xnn

n −−

≤−−

≤− ·1

·1 01α

Método de Newton:

{ } ( )0

1

≥∀=+

n

xfxx nn

n con ( ) ( )( )xFxF

xxf'

−=

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Apéndice B: PRÁCTICAS. Apéndice B.1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN CON MATLAB. pr001.m: ���������������������� ������������� �������������������������������������� ������������� �������������������������������������������� pr002.m: �������������������������� ������� ��������������������� ������� ������������������������������ �����������������!"�#�$�%&�� �����"�%����'��������(#��� ���'� pr003.m: ������������� ������������ � ������ ������������������������������ ��� ���)����������������������������� �������'*������������)��������������������������� �� ������ �������� � +���� ����������� ���"��'*���� ,"���� ��� ��- ����� � ."��� ��������� ����������� ������������ ���� pr004.m: ��/����� ���������� ������ ���� ������� ����� �� ��������������������� ��� ���� ���� �� ���������� ������������������������ �� ������������� � 0�"1��������� �2���������� � 0�"3���������������� ����������� � 0�#4���������5��� ��������������������������� �

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Alberto Suárez López Página 90

pr005.m: �������������������������� ������� ������6������������ ����������� ���� �������������������������������� �����������������!"�#�."�$�4�1&�� �����"�#���� ���5�"�$�����������5������5�(#����� �� � f001.m: � ���� ��� 11"�7����8������ � ��9 �:���*�)����"�7.7�(#;%�

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Apéndice B.2. INTERPOLACIÓN. lagrange.m: � ���� �!��<&���)�� )��=�>������������������� ����:���� �������������� �"��� ������?�71��1���7"��"���7#��#��������7 �� �@������� ����� ��������<�)�� )�����8����5���������1�����1����1�"�1�����"�#�����"�#����"�#�1�$A#A43���������������7."�#���������������7.1�1���8"�7��"�1B........���1�$C#A43B.......���.1�4$"$A3-7���"�1�������������1�1."�#�������������"�#.1�1���������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )���=��������������:����� ��� ����������������������������>��������������:����� ��� �������������������� ���������������������:����� ��� ��������� ���� ����������� ����� ��������������<�)�� )����<�����������6�:����� ��� ��������� ���� �������������� �������� ���� ��������<�)�� )������/�� ��9 �����������=�������������� +���������� � ��������*������������'����� )�*�=��� ���'."������������ ������6�������� ������������������ � ������������������ ��9 �'��<���6�����'�'���� ���D���"� �"����E���"����� ���5���"� �"�������� �D�F��5������������������������� ������������������ � ������ �������� ���� ������������������ ����� �������:������������ ��� �������G����������������8����5�����������������,,�8������#�������������"�.#������������������� �����������G6����#����7.#�������������,,�H������$�������������"�.$������������������������� ��8�H�������������������� �����8���H�������������,,��� ��8�H�������������"�.4�A������������7(#.4-7�A������������

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Alberto Suárez López Página 92

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Alberto Suárez López Página 93

newton.m: � ���� ��� �'�� �=�>������������������� ����:���� �������������� �"��� �������?�71��1���7"��"���7#��#��������7 �� �@������� ����� ��������I�'�� ����8����5���������1�����1����1�"�1�����"�#�����"�#����"�#�1�$A#A43����8"�7��.1�4$"$A3-7���"�1���������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )���=��������������:����� ��� ����������������������������>��������������:����� ��� �������������������� ���������������������:����� ��� ��������� ���� ����������� ����� ��������������I�'�� �������� ������� ����� ��� )�*�=����E����������������������6���� ��� �������������/�6����� � ����8��������������������)� ��������� ����� ��������������� ��� �����"� �����/���"��>����� ���J��� �� ����� ���������������)������������������������� ��� ��������������� ���5�#� ����� �����"� .�5."���������������������������������� ��� ��� ������������� �������������7�����9 ��������������������������������������������� !7"�7#�����7 &�.� !71�71�����7 ."&������������ !71�7"�����7 &�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�������������������������������������������������������������7 �.�71�������������������/���5���/���"�5."�./���5."��;�=����5."��.=����������� �� ���>���� ��������� ��� �������������������������������� ������� ���������� ��������)����� ������)����:��� ����� ����������������7������ ����8 �7�����1����"B�7.71�����#B�7.71�B�7.7"�����$B�7.71�B�7.7"�B�7.7#������������� B�7.71�B�7.7"�B�7.7#�B���B�7.7 ."������/�������������������������������7������7���L ������6�������������������� ��������������1������������������ ������� ���������� �� ���5�"� �����H�"������ ���D�"�5."������������������������� ������������������ � ������ �������� ���� ������������������� ����� �������:������������ ��� �������G�����

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Alberto Suárez López Página 94

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Apéndice B.3. APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS. ajuste.m: � ���� ����5�����=�>�N��������������� � ��� ����� �����M�7�����"����#-7����$-7($���������� -7( ���:����5����5����������� ��� ����?�7"��"����7#��#����7$��$�������7 �� �@�������� ����������������� ���������������8����5��������,,��5�����!."�1�3&�!."�1�#&�#����� �����������.1�13$$$$$$$$$$$$������1�C"AAAAAAAAAAA4�����.1�1111111111111"��������������� � ��� ����� ��������5�����������M�7����.1�3$$$-7(#���1�C"AA-7���������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )���=��������������:����� ��� ����������������������������>��������������:����� ��� �������������������� ������N�������)����������� ����������������������������:����� ��� ��������� ���� ���������� � ��� ����� ����������5����������/�� ��� �����������=�������������� ����������� � ��������*������������������� ������� ��������� ������������� �����5������ ��� )�*�=�����O� ����N�"� � ��� ������������������ �������������� �������5��������/��*������ �������������������� ���� ��� ����������N�"� � ��� ������)"�7����"��)#�7����7(#��)$�7����7($�������)�7����7(����J����������� �������5������� �������������M�7�����"�-�)"�7�����#�-�)#�7�����$�-�)$�7������������-�)�7��������� �������� �����7����������������������������� � �����������9 �������������

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Alberto Suárez López Página 96

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Apéndice B.4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. trapecio.m: � ���� ������������ �����N������������������� ����� ����������������������������������������7������������� ��)����� � �������� � ��� � �� ����� ��������!���&����8����5��������,,�������1A�� ��"�A�"1����� ���������3�"C$34%4A4"U#4$������������� ��� ��"�A�����3�"C$34%��������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )��� �������� ��)�� ��������������� � ��9 �:������� ��)�������������� ������G�������� ��)����9 ����������������7������� ����������������������� ����������� ��)����� ����N������� +���������� ������������������������7����9 ����� ���������*��������������:����� �������� ������������ ���������� �����:����������������� ����������� ��)����� ��������0.....*.....,���....V...........V....������71������������7"�*���.��;N����8����� ����� �!���&��� ����N�"� �����:��������������N����� ������������.....V.....V.....V.....V..............V......���������71��7"����7#����7$���������������7 ���!71�7"&��!7"�7#&��!7#��7$&�������!7 ."�7 &���/����������� ��������!���&�� �N����� �������������� ����!7��7��"&��������:���7���������B*���� ���1��� ."������������������������������������������)� ���������7������������������ � ��� � ��������������������� �7����"� ."�����1�������������������������������� ���D�"��N."�����7���*-D��������� ����� �7���� ������������������ ��)��������������� ���� ������������������������������������ �������������*-� ����� ���� ����� ����;#�*-���

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