Métodos Variacionales y Problemas de Contorno Elípticos Semilineales

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Métodos Variacionales y Problemas de Contorno Elípticos Semilineales

Oswaldo Dede Mejia

VII Encuentro de Matemáticas del Caribe

Colombiano.

Universidad del Atlántico

Barranquilla, Colombia

Noviembre de 2011

1



Métodos Variacionales y Problemas de Contorno Elípticos Semilineales

Oswaldo Dede Mejia

Resumen

El presente trabajo pretende introducir algunos métodos variacionales para

estudiar la existencia de soluciones a problemas de contorno formulados por

ecuaciones diferenciales elípticas semilineales con condiciones de Dirichlet.

1. INTRODUCCIÓN

Muchos fenómenos del mundo físico, de las finanzas, de la ingeniería y de la

fisiología, se modelan mediante ecuaciones diferenciales acompañadas de

condiciones accesorias. Para que tales modelos tengan sentido, las respectivas

ecuaciones restringidas por las condiciones sobre el contorno del recinto,

deben poseer soluciones que permitan validar la eficacia de aquellos, ya que

un modelo sin soluciones es intrascendente.

En algunos casos, los problemas pueden estudiarse buscando soluciones que

sean puntos críticos de una cierta funcional definida de un espacio defunciones sobre un dominio nΩ ⊂ ¡ el cual debe cumplir ciertas condiciones

de suavidad.

En nuestro caso nos limitaremos a problemas del tipo:

( ) 0 enuu f = Ω∆ +(1)

0 enu δ = Ω ,

donde Ω es un dominio acotado en n¡ con frontera suave,2

2 2

1

n

i i x=

∂∂

∆ = ∑ es el

operador de Laplace y : f →¡ ¡ es una función no lineal con algún tipo de

suavidad.

2



Otros problemas a considerar y un tanto más generales son:

( ) , enuu u f Ω− ∆ + = .

(2)

enu g δ = Ω ,

( ) 0, enuu f λ = Ω−∆ + :

(3)

0 enu δ = Ω .

La existencia de soluciones y el número de las mismas dependen de la

geometría del dominio Ω .

Los métodos variacionales tratan de encontrar una funcional J relacionada

con el problema en cuestión y obtener puntos críticos de la misma que serían

soluciones del problema.

2. PRELIMINARES

2.1 Funciones diferenciables en un espacio de Banach.

Definición 2.1.1. Sea : f Ω → ¡ donde Ω es un conjunto abierto en un

espacio real de Banach X, la funcional f tiene una derivada de Gateaux' en u X φ ∈ ∈Ω si para todo h X ∈ se tiene que

. ( ) ( )1

lim , 00

f u th f u tht t

φ + − − =

→,

donde ' X es el dual topológico de X, es decir, φ es una transformación lineal

continua de X → ¡

3



La derivada de Gateaux en u se nota por ( )' u f y se expresa por

( ) ( ) ( )'

0, : lim

t f u h f u th f u

→= + −

Si X es un espacio de Hilbert y f tiene una derivada de Gateaux en u∈Ω , elgradiente de f en u se define por

( ) ( )', : , f u h f u h∇ =

Definición 2.1.2. La funcional f es diferenciable Gateaux en Ω si en cadau∈Ω existe derivada de Gateaux. En este caso se define la aplicación

derivada de Gateaux ( )' : L X, f Ω → ¡ que asocia cada u∈ Ω con la

derivada de Gateaux ( )' f u en u.

Definición 2.1.3. Una funcional : f Ω → ¡ , donde Ω es un subconjunto

abierto de un espacio real de Banach, tiene una derivada de Fréchet' X φ ∈ en

u∈Ω si

( ) ( )1

lim . 00

f u h f u hhh

φ + − − =

→ .

Nota 2.1.1. Cualquier derivada de Fréchet es una derivada de Gateaux.

Definición 2.1.4. Sea : f Ω → ¡ , decimos que f es diferenciable Fréchet en

Ω si f tiene una derivada de Fréchet en cada u∈Ω . En este caso podemos

definir una función ( )' : L X, f Ω → ¡ que asocia a cada u∈ Ω la derivada

( )' f u . La función ' f se denomina la derivada de Fréchet en Ω .

Nota 2.1.2. El espacio ( ), L X ¡

de las transformaciones lineales continuas deX en los reales se dota de una norma dada por

supT = :Tx x ε X

Definición 2.1.5. Sea : f Ω → ¡ La funcional f pertenece a ( )1C Ω si la

derivada de Fréchet de f existe y es continua en Ω .

4



La siguiente proposición aparece en la literatura:

Proposición 2.1.1. Si f tiene una derivada continua de Gateaux en

Ω

entonces ( )1 f C Ω∈

Definición 2.1.6. Sea ( )1 f C Ω∈ . La funcional f tiene una segunda derivada

de Gateaux ( )', X X Lϕ ∈ en u∈Ω si para todo par h, v en X

( ) ( ) ( )1 ' 'lim , 0

0 f u th f u th v

t t ϕ + − − =

→.

La segunda derivada de Gateaux se expresa por

( ) ( ) ( )'' ' '

0

1, : lim ,

t f u h v f u th f u v

t →= + − .

Si en cada u∈Ω existe derivada segunda de Gateaux, podemos definir la

función segunda derivada como ( )'' : .n f LΩ → ¡ ¡ donde ( ).n L ¡ ¡ es el

conjunto de todas las transformaciones lineales de Ω en el conjunto de las

transformaciones lineales de n¡ en ¡ . Tal función asocia a cada u∈Ω lasegunda derivada de Gateaux en u.

Definición 2.1.7. La funcional f tiene una segunda derivada de Fréchet ϕ enu∈Ω si ϕ es una transformación lineal de X en el dual topológico de X tal

que

( ) ( )1 ' 'lim 0

0 f u h f u h

hhϕ

+ − − =

→ .

Análogamente al caso de la derivada de Gateaux, podemos definir la función

segunda derivada de Fréchet en Ω .

Definición 2.1.8. La funcional f es de la clase ( )2C Ω si la derivada segunda

de Fréchet de f existe y es continua en Ω .

5



Nota 2.1.3. Cualquier segunda derivada de Fréchet es una segunda derivada

de Gateaux.

Proposición 2.1.2. Si f tiene segunda derivada continua de Gateaux en Ω

entonces ( )2

f C ∈ Ω .

Existe un isomorfismo natural entre ( )( ) ( )2, , y , L L LΩ Ω Ω×Ω¡ ¡ que asocia a

cada transformación lineal ( ): ,T LΩ → Ω ¡ una transformación bilineal

:T Ω×Ω→% ¡ tal que ( ) ( ),T u v T u v=% . Esto nos permite considerar la

segunda derivada como una transformación bilineal. ( ) ( ),T u v T u v=% .

2.2. Derivadas de orden superior y los espacios ( )k C Ω .

Podemos definir inductivamente las derivadas de orden superior.

Definición 2.2.1. Si : f Ω → ¡ es ( )1k − veces diferenciable, entonces su

( )1k − -ésima derivada es una aplicación ( )1

: ,1

k n f Lk

−Ω → − ¡ ¡ de Ω en

el espacio de aplicaciones lineales de enn¡ ¡ . Si 1k f − es diferenciable en

un punto u∈Ω diremos que f es k veces diferenciable en u. Mediante el

isomorfismo canónico ( )( ) ( )1, , ,n n n

k k L L L−

≈¡ ¡ ¡ ¡ ¡ , identificamos

( )k

f u , la derivada de f en u, como una aplicación k- lineal de enn¡ ¡

que denominaremos la k-ésima derivada de f en el punto u. Cuando ( )uk

f

existe en cada u∈Ω , diremos que f es k veces diferenciable en Ω . En este

caso se define una aplicación( ) ( ): ,

k n f LΩ → ¡ ¡ . Diremos que f es k veces

continuamente diferenciable en Ω o de clase ( )k C Ω si k f

es continua, en

cuyo caso escribimos ( )k f C ∈ Ω .

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Definición 2.2.2. La clase de las funciones infinitamente diferenciables en Ω. ( )C ∞ Ω , es la intersección de todas las clases ( )k C Ω , es decir ( )C ∞ Ω :=

( )0k C ∞ ΩI donde ( )0C Ω es el conjunto de las funciones continuas de Ω en

¡ .

Definimos además

( ) ( ) ( ): : : tiene una extensión continua a

k k k C f f C f Ω = Ω → ∈ Ω ∧ Ω¡ .

Definición 2.2.3. El soporte de una función : f Ω → ¡ es la clausura del

conjunto ( ): 0 x f x∈Ω ≠ . Denotamos el soporte de f por ( ) sop f y

( ) ( ) ( ): : es compactok k

cC f C sop f Ω = ∈ Ω .

El conjunto ( ) ( ):cC ∞ Ω = ΩD se denomina conjunto de funciones de

prueba.

Nota 2.2.1. Los conjuntos ( ) , 0k C k Ω ≤ ≤ ∞ son espacios vectoriales de

dimensión infinita sobre ¡ .

Las siguientes proposiciones de vital importancia se hallan demostradas en

muchas obras.

Proposición 2.2.1. (a) Si ( )1

cC φ ∈ Ω entonces 0 para 1, 2, ...,i

i n x

φ

Ω

∂= =

∂∫ .

(b) [ ]Integración por partes . Si ( )1

cC φ ∈ Ω y ( )1 f C ∈ Ω entonces

( ) ( ) ( ) ( )' '0 f x x dx f x x dxφ φ

Ω Ω

+ =∫ ∫ .

(c) [ ]Fórmula de Green Si ( )2 f C ∈ Ω y ( )1

cC φ ∈ Ω entonces

( ) ( ) ( )+ . 0 f f φ φ Ω Ω

∆ ∇ ∇ =∫ ∫ .

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2.3. Los espacios p L

Consideraremos las medida de Lebesgue en n

¡ con la relación dada por f g f g ≡ ⇔ = casi en todas partes.

Definición 2.3.1. Si f es una función medible sobre Ω y ( )0, p ∈ ∞

definimos1

p p

p f f

Ω

=

∫

Definición 2.3.2. Sean ( )0, p∈ ∞ y nΩ ⊆ ¡ definimos

( ) : : : es medible y p

p L f f f Ω = Ω → ∞¡ < .

Este es un espacio vectorial que con la norma mencionada resulta ser

completo y, por tanto un espacio de Banach.

Proposición 2.3.1. [ ] Holder Si 1 p ∞< < y1 1

1 p q

+ = satisfacen

( ) ( )y p q f L g L∈ Ω ∈ Ω entonces ( )1 fg L∈ Ω y 1 p q fg f g ≤ .

Proposición 2.3.2. Si Ω es acotado y 1 p r ∞< < < , entonces

( ) ( )r p L LΩ ⊂ Ω y para toda ( )r f L∈ Ω ,r p

rp p r

f f −

≤ Ω donde 1Ω

Ω = ∫ es la

medida de Lebesgue de Ω en n¡ .

En particular nos interesa el espacio ( )2 L Ω el cual es un espacio de Hilbert

con el producto interno , : f g fg Ω

= ∫ el cual genera la norma 2 f

Para un espacio de Hilbert H con producto interno . , se define para un

elemento fijo 0u H ∈ la aplicación0:uT H → ¡ mediante ( )

0 0 ,uT v u v= para

todo v H ∈ . Constituye un sencillo ejercicio probar que0uT es lineal y

continua.

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Teorema 2.3.1. [ ] Teorema de representaciónde Riesz . Si H es un espacio de

Hilbert real y :T H → ¡ es lineal y continua, existe un elemento único

0u H ∈ tal que ( ) 0

,T v u v= .

Teorema 2.3.2. Sea H un espacio de Hilbert, :T H → ¡ , T lineal y continua,

0u H ∈ . ( ) 0

, ,T v u v v H = ∀ ∈ si y solamente si 0u es un mínimo del

funcional : J H → ¡ definido por ( ) ( )21

2 J v v T v= −

Demostración. Sea ( ) 0,T v u v= v H ∀ ∈ , entonces tenemos:

( ) ( )0 0 J v J u v u= + −

( )2

0 0 0 0

1

2u v u T u v u= + − − + −

( )2 2

0 0 0

1 1

2 2u T u v u= − + −

( )2

0 0

1

2 J u v u= + −

( )0 J u−

> , v H ∀ ∈ .

Recíprocamente, si 0u es un mínimo de ( ) ( )21

2 J v v T v= − , la función

( ) ( )0v J t J u tv= +

( )( ) ( )2 22

0 0, 0

1 1

2 2u t u v T v t v T u= + − + −

tiene derivada

( ) ( )2'

0,v J t u v T v t v= − + .

2

0 0, ,u v u v t v= − + .

2

t v= .

En consecuencia:

( )'0 0v J t t = ⇔ =

Es claro que ( )v J t tiene un mínimo si 0t = .

Ello que implica ( )0, 0u v T v− = ,

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es decir: ( ) 0 , .T v u v=

Definición 2.3.3. Sea H un espacio de Hilbert, se dice que una sucesión ( )k u

en H converge débilmente a u H ∈ si para cada v H ∈ se tiene que

, ,lim k k

u v u v→∞

= .

Las siguientes proposiciones se cumplen en un espacio de Hilbert H.

Proposición 2.3.3. Si ( )k u converge débilmente en H, entonces

liminf k

u k u→∞

≤ .

Además, si lim k k

u u→∞

= , entonces ( )k u converge fuertemente en H.

Proposición 2.3.4. Si ( )k u converge débilmente a u H ∈ , entonces es

acotada en H.

Teorema 2.3.3. Toda sucesión acotada en H tiene una subsucesióndébilmente convergente en H.

3. Problemas de Dirichlet.

El siguiente problema presentó una dificultad, como veremos a continuación,

y motivó a la construcción de ciertos tipos de espacios denominados de

Sobolev.

Dada una función continua en Ω ¿existe alguna función ( )2u C ∈ Ω tal que

enu f −∆ = Ω(4)

0 enu = ∂Ω

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En la búsqueda de soluciones realizamos el siguiente proceso:

Multiplicamos por una función ( )cC φ ∞∈ Ω e integramos

( )u f φ φ Ω Ω

− ∆ =∫ ∫ .

Por la fórmula de Green aplicada a la primera integral

.u f φ φ Ω Ω

∇ ∇ =∫ ∫ , ( )cC φ ∞∀ ∈ Ω .

El miembro a la izquierda en esta última igualdad es 1,u φ , en tanto que el

miembro a derecha es una función lineal en φ dada por T f φ φ Ω

= ∫ .

Por la desigualdad de Holder para 2 p q= = se tiene

2 2 2 2T f f φ φ φ ≤ ≤

lo que prueba que ( ): CcT ∞ Ω → ¡ es continua. De esta forma, si ( )Cc

∞ Ω con

su producto interno fuera un espacio de Hilbert con su producto interno, el

teorema 2.3.2 nos garantizaría la existencia de una función u que satisfaría el

problema. Pero, desafortunadamente no lo es, lo amerita otro camino para

determinar la existencia de al menos una solución.

La idea fue construir un espacio de Hilbert D tal que ( )Cc D∞ Ω ⊂ con la

propiedad de que ( )Cc

∞ Ω fuese denso en D.

3.1. Derivadas débiles.

Estableceremos el conjunto de las funciones localmente integrables en Ω como:

( )1 : : : abierto y acotado conloc

W

L u u W W Ω = Ω → ∞ ∀ ⊂ Ω∫ ¡ < .

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La siguiente propiedad se ha establecido por diversos autores:

( ) ( )1 P

loc L LΩ ⊂ Ω .

Definición 3.1.1. Sea ( )1

locu L∈ Ω , decimos que u es débilmente diferenciable

en Ω si para cada 1,2,...,i n= existe ( )1

i locv L∈ Ω tal que

( )0, Ci c

i

u v x

φ φ φ ∞∂

+ = ∀ ∈ Ω∂∫ ∫ .

Se prueba que iv es única y se le denomina “la i-ésima derivada débil de u

en Ω ”, notándose por i i D u v= .

El gradiente débil se define como la función :n

∇ Ω → ¡ dada por

( )1 2, ,..., nu D u D u D u∇ = .

Es fácil probar que la derivada débil es lineal y que si ( )1u C ∈ Ω , es

débilmente diferenciable y , 1,2,..., .i

i

u D u i n

x

∂= ∀ =

∂Nota 3.1.1. Existen funciones débilmente diferenciables que no son

diferenciables, como es el caso de la función ( )u x x= en ( )1,1− que esdébilmente diferenciable en este intervalo pero no es diferenciable.

3.2. Los espacios de Sobolev ( ) ( )1 1

0y H H Ω Ω .

Definición 3.2.1.( ) ( ) ( )1 2 2

: i H u L u es débilmentediferenciable y D u LΩ = ∈ Ω ∈ Ω .

Este es un espacio vectorial de Hilbert con el producto interno definido por

1, .u v u v

Ω

= ∇ ∇∫ que genera la norma

12

2

1u u

= ∇

∫ .

El espacio( ) ( )1

cC H ∞ Ω ⊂ Ω y este último es un espacio de Hilbert.

Definición 3.2.2. ( )1

0 H Ω es la clausura de ( )0C ∞ Ω .

12



Es claro que ( )1

0 H Ω es cerrado y por tanto completo, al ser sub-espacio de un

espacio completo, es decir es un espacio de Hilbert. Este es nuestro D,

3.2 Retomando el problema (4).

Definición 3.2.1. Una función ( )1

0u H ∈ Ω que satisfaga:

( ). , Ccu uφ φ φ ∞

Ω Ω

∇ ∇ = ∀ ∈ Ω∫ ∫ ,

se denomina solución débil del problema (4).

Obsérvese que la anterior condición puede expresarse como

1,u f T φ φ φ Ω

= =∫ .

Teorema 3.2.1. Para cada ( )2 f L∈ Ω existe una solución única de (4) que es

el único mínimo de la funcional definida por

( )2

1

1

2 J v v fv

Ω

= − ∫ .

Demostración. Fijemos ( )

2 f L

∈ Ω y consideremos la funcional

( ) ( )1

0: definida por :T H T v fv

Ω

Ω → = ∫ ¡ .

Esta funcional es lineal y cumple 2 1v v≤ . Por la desigualdad de Holder,

2 2Tv f v≤

lo que implica que T es continua en ( )1

0 H Ω . Por el teorema de representación

de Riesz, existe ( )

1

0u H ∈ Ω tal que ( )1,u v T v

= y u es única. Esto es

( )1

0. ,u v fv v H

Ω Ω

∇ ∇ = ∀ ∈ Ω∫ ∫ ,

lo que significa que u es solución débil de (4) y, debido al teorema 2.3.2, u es

el único mínimo de J.

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Definición 3.2.2. Un dominio Ω es de clase k C si para cada 0 x ∈∂Ω existen

un conjunto abierto nU ⊂ ¡ tal que 0 x U ∈ y un difeomorfismo

( )1: 1,1

n F B U − × − →

de clase k C tal que ( ) 00,0 F x= siendo 1n B − la bola unitaria en 1n−¡ -

Proposición 3.2.1. [ ]Regularidad Si Ω es de clase 1C , ( ) ( )2 0 f L L∈ Ω ΩI y

la solución débil ( )1

0u H ∈ Ω de (4) cumple ( )2u C ∈ Ω , entonces u es solución

clásica de (4).

Para demostrar esta proposición se utiliza la hipótesis y se aplica la fórmula

de Green.

El problema de la regularidad de una solución débil, es decir, asegurar la

existencia de una solución clásica, se reduce, según la proposición anterior a

verificar que la solución débil es de clase ( )2C Ω , pero existe un problema:

no conocemos la solución débil, sólo sabemos que existe

El siguiente teorema [ ] Evans , nos da condiciones suficientes de regularidad,

advirtiendo que hay otros criterios.

Teorema 3.2.2 Si Ω es acotado y de clase C ∞ , ( ) ( )1

0y f C u H ∞∈ Ω ∈ Ω ,

entonces ( )u C ∞∈ Ω .

Teorema 3.2.3. Si Ω es acotado y de clase C ∞ , y, ( ) f C ∞∈ Ω , entonces el

problema (4) tiene solución única ( )u C ∞∈ Ω .

4. Un problema semilineal.

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Consideremos el problema

. ( ) 0 enuu f = Ω∆ +(1)

0 enu δ = Ω ,

Inspirándose en lo estudiado para el problema (4) se define:

Definición 4.1.1. Una solución débil de (1) es una función ( )1

0u H ∈ Ω que

satisface

( )1

0. ( ) ,u v f u v v H

Ω

∇ ∇ = ∀ ∈ Ω∫ ∫ .

Observemos que el integrando del miembro a derecha depende de u y de v, lo

que no ocurre en el caso estudiado anteriormente.

Sin embargo, definimos la funcional ( )1

0: J H Ω → ¡ mediante

( ) ( )21

:2

J u u F u dxΩ

= − ∫ .

donde ( ) ( )0

u

F u f s ds= ∫ .

Así, encontrar soluciones débiles de (1) supone encontrar puntos críticos de

la funcional J,

Para ello determinamos la derivada mediante cálculos un tanto dispendiosos y

llegamos a lo siguiente:

( ) ( )( ) ( )' 1

0. , , J u v u v f u v dx u v H = ∇ ∇ − ∀ ∈ Ω∫ .

Análogamente se obtiene

( ) ( ) ( )( )'' '. . J u v w v w f u vw= ∇ ∇ −∫ .

La consecución de puntos críticos de la funcional J puede hacerse vía

minimización en el caso en que el funcional sea acotado, En los casos en que

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los puntos críticos no se puedan obtener por minimización o que existan

puntos críticos que no son de mínimo estos pueden determinarse por métodos

de Mínimas una de cuyas fuertes herramientas la constituyen el Teorema del

Paso de Montaña y el Teoremas de Punto de Silla: o los métodos de reducción

[ ]Cossio .

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