MTODOS Y MODELOS MATEMTICOSDE LA DEMOGRAFA

lvarez Vzquez, Nelson, Prez Pascual, Pedro A. y Rodrguez Ruiz, Julin.Departamento de

Economa Aplicada Cuantitativa. UNED (Mlaga, 10 y 11 de Octubre de 1997)

MTODOS Y MODELOS MATEMTICOS DE LA DEMOGRAFA

1.- PRESENTACIN.

Una de las lneas de trabajo de investigacin que se est realizando dentro del Programa

de Doctorado del Departamento de Economa Aplicada Cuantitativa de la Facultad de CC

Econmicas y Empresariales de la UNED, se dedica a los mtodos y modelos matemticos de la

Demografa.

En esta comunicacin tratamos de presentar, y de alguna manera resumir, las cuestiones

de mayor relevancia dentro de lo que se conoce como Matemticas de las Poblaciones, es decir

la formulacin de modelos matemticos que expliquen los diversos fenmenos demogrficos y su

evolucin en el tiempo.

Estos modelos nos permiten pasar de magnitudes discretas a magnitudes contnuas, ya

que, al aplicar los conceptos del Anlisis Matemtico al anlisis de las poblaciones, se abren

grandes expectativas en el mundo demogrfico.

El mbito de aplicacin de los mtodos y modelos se puede asociar a la Mortalidad

(tablas y funciones), a una Poblacin (funciones y modelos), a la Reproduccin, Poblacin por

edad y sexo (desagregacin, efecto atraccin, dgitos finales y suavizado de las serie de stocks

poblacionales), y a la Estimacin de Poblaciones futuras (modelo curva logsitica, el mtodo de

las componentes y las migraciones).

Por razones de espacio presentamos el estudio sobre los mtodos y modelos de las Tablas

de Mortalidad.

2.- TABLAS DE MORTALIDAD

2.1.- INTRODUCCIN

Las tasas brutas de mortalidad, como ndice sinttico para medir el fenmeno, tienen el

inconveniente de no tener en cuenta la estructura de la poblacin y, por consiguiente, no son

adecuadas para comparar mortalidades de poblaciones con distinta composicin por edades.

Se han desarrollado diversos mtodos para conseguir este objetivo; dos muy clsicos son

el de la poblacin tipo y el de las tasas tipo1. Otra alternativa es considerar tasas especficas por

edad2. Los procedimientos anteriores son ampliamente superados por las tablas de mortalidad o

tablas de vida.

En general una tabla demogrfica, presenta la forma en que un fenmeno afecta a una

generacin. En particular, una tabla de mortalidad de cohorte o de generacin (tambin llamada

longitudinal), recoge la forma en que el fenmeno va afectando a la cohorte, desde su nacimiento

hasta su total desaparicin. Para construir una tabla de mortalidad longitudinal, es necesario, por

lo tanto, que todos los miembros de la generacin hayan fallecido.

La circunstancia anterior, junto con la dificultad para conseguir los datos ao a ao, de

los miembros de una generacin, aconsejan elaborar tablas del momento o transversales (cross-

section). El anlisis transversal consiste en adscribir comportamientos de un gran nmero de

cohortes a una coorte ficticia que se comportara a cada edad o duracin, como lo hiciera la

correspondiente cohorte real a esa edad o duracin3.

Las tablas de mortalidad se elaboran habitualmente para el total de la poblacin y para

cada sexo; tambin se pueden obtener para subconjuntos poblacionales (grupos profesionales,

tnicos, etc.)

Las tablas transversales, proporcionan una descripcin de la mortalidad en el momento

considerado. Si como es habitual, sta vara de forma lenta en el tiempo, los resultados son

vlidos para los aos prximos y, por lo tanto, son aplicables a las proyecciones de poblacin en

el futuro inmediato.

La comparacin de tablas longitudinales de generaciones sucesivas, permite analizar la

evolucin de la mortalidad y son tiles para hacer conjeturas sobre su comportamiento en el

futuro.

Como se observa, las posibilidades de las tablas de mortalidad son numerosas. Dejando

aparte los usos actuariales, se han sealado hasta ahora dos tipos de aplicaciones:

1 JOAQUN LEGUINAFundamentos de Demografa Ed. Siglo Veintiuno. Madrid 1981. Pgs. 49 a 612 Fallecidos con edades comprendidas entre x y x+a, a lo largo de un periodo t (generalmenteun ao), dividido por el nmero de aos-persona vividos por la poblacin en el periodo. Se suelesimplificar, tomando como denominador la poblacin comprendida entre x y x+a , en el puntomedio del periodo, por la amplitud del mismo.3 JOAQUN LEGUINA Fundamentos de Demografa Siglo Veintiuno. Madrid 1981. Pg. 91

Al ser independiente la estructura por edad, permite comparar la mortalidad de poblaciones

diferentes, o de una misma poblacin en distintos instantes.

Constituyen un elemento esencial para realizar proyecciones de poblacin, consiguiendo

previsiones sobre el crecimiento y composicin de la poblacin, evolucin de la mortalidad,

jubilaciones, etc. y, en consecuencia, para estimar la demanda futura de bienes y servicios, as

como la oferta de mano de obra.

Cabe destacar tambin, el clculo de la esperanza de vida, que constituye uno de los

mejores indicadores sintticos del nivel de bienestar de una comunidad.

En una tabla de mortalidad, se incluyen habitualmente las tres series siguientes:

lx = supervivientes de la generacin a la edad exacta x (para valores enteros de x)

d(x, x+a) = defunciones de miembros de la generacin entre las edades exactas x y x+a

aqx = cociente de mortalidad o probabilidad de que una persona que ha alcanzado la edad

exacta x , fallezca antes de cumplir la edad exacta x+a.

Para posibilitar la comparacin entre poblaciones, se transforman los datos de lx y

d(x,x+a), de forma proporcional, para que el efectivo inicial de la cohorte (raz de la tabla) l0, sea

un nmero prefijado, generalmente una potencia de 10. Esta transformacin no afecta a los

valores de aqx .

De las definiciones, y tomando como raz 100.000, resultan las siguientes relaciones:

l0 = 100.000

l(x+a) = lx - d(x, x+a)

aqx = d(x,x+a)/lx

estas igualdades permiten obtener las otras dos series, partiendo de una cualquiera de ellas. As

pues, la tabla de mortalidad est determinada por una cualquiera de las series anteriores. Algunas

publicaciones se limitan a incluir la serie lx. En este caso, se puede decir que la tabla de vida

recoge los supervivientes de una determinada generacin para diferentes edades exactas.

Si la tabla contiene los datos ao a ao (a = 1, x = 0, 1, 2, ...), la tabla se llama completa.

Si se reduce a grupos de edad (generalmente a = 5), recibe el nombre de abreviada. Para muchas

aplicaciones es suficiente, e incluso conveniente, usar tablas abreviadas con a = 5, dividiendo el

primer grupo de edad en dos ( de 0 aos y de 1 a 4 aos), con lo que resulta x = 0, 1, 5, 10, 15,

20, ...

Las primeras tablas de mortalidad , construidas de forma lgica fueron las de Halley,

publicadas en 1693, y las primeras con valor cientfico las de Milne (1815)4. En el caso espaol,

hay que destacar como pioneros los trabajos de Fuentes Martiaez5 y Ros Gimeno6. Le siguen en

el tiempo el INE, Tablas de mortalidad de la poblacin espaola. Aos 1900 a 1940. Madrid,

1952. Asi como INE Tablas de mortalidad de la poblacin espaola. Ao 19507.

Como trabajos ms recientes, hay que hacer mencin, en el mbito internacional, al

Anuario Demogrfico de Naciones Unidas del ao 1966, que contiene tablas de mortalidad de un

gran nmero de pases, e informacin sobre la esperanza de vida para ciento quince naciones.

Destacan tambin las compilaciones de Nathan Keyfitz y William Flieger, para numerosos pases

de Amrica del Norte, Europa, Asia y frica; as como el trabajo de Arriaga sobre Amrica

Latina.

En Espaa sobresale sobre todo la labor del Instituto Nacional de Estadstica. Adems de

los trabajos ya mencionados, ha publicado Tablas de mortalidad de la poblacin espaola. Aos

1975-1976, Tablas de mortalidad de la poblacin espaola. Aos 1980-1981 Madrid, 1988, y

Tablas de mortalidad de la poblacin espaola. Aos 1985- 1986 Madrid, 1991. En cuanto a

tablas abreviadas el INE ha publicado las correspondientes a 1950, 1960 y 19708; as como las

provinciales del ao 19709. La relacin anterior no es exhaustiva10.

4 The methods and materials of demography. Bureau of Census. Estados Unidos.5 FUENTES MARTIAEZ, M. Tablas de mortalidad, supervivencia, vida media y vida probable.Madrid, 1927. Calculadas tomando como base la estadstica de defunciones del periodo 1908 - 23 y losCensos de 19010 y 1920.6 Correspondel al ao 1930-31.7 Elaboradas por el mtodo de Saura y debidas a Saura y Pedro Vlchez.8 Tablas abreviadas de mortalidad de la poblacin espaola. Ao 1950 Madrid, 1958. Tablasabreviadas de mortalidad de la poblacin espaola. Ao 1960 Madrid 19 y Tablas abreviadas demortalidad de la poblacin espaola Madrid, 1977. En los tres casos realizadas mediante el mtodoWiesler.9 Tablas de mortalidad provinciales. Ao 1970. Madrid, 1978. Realizadas mediante el mtodo de N.Keyfitz.10 Otros trabajos de inters sobre estos temas, realizados por el INE son: Esquemas de supervivencia dela poblacin espaola. Periodo 1929 a 1957 Madrid, 1960. Esquemas de supervivencia de la poblacinespaola. Periodo 1957 a 1960 Madrid 1964 y Evolucin de las tasas especficas de mortalidad de lapoblacin espaola. Periodo 1940 a 1950. Madrid, 1959.

2.2 ALGUNOS MTODOS PARA LA OBTENCIN DE TABLAS DE MORTALIDAD11.

Si se dispusiera de informacin sobre el instante de defuncin de cada uno de los

miembros de una cohorte, se podra construir la tabla de mortalidad aplicando directamente la

definicin de lx, d(x, x+a) o aqx . La construccin de una tabala transversal, exigira conocer la

misma informacin de todas las cohortes que conviven en el instante considerado (alrededor de

100). Es obvio que dicha informacin no existe, pero an cuando estuviera disponible, la

laboriosidad de los clculos haran inviable este procedimiento.

En la prctica se conocen, generalmente, los stocks poblacionales, edad por edad, para

cada una de las fechas de referencia de los Censos y Padrones, as como las defunciones por ao,

edad y sexo (suministradas por la estadstica de MNP)12. En el grfico, corresponden a los stocks

de lneas de vida que atraviesan los segmentos como BC y las defunciones en los cuadrados,

como ABCD, BEFC, etc.

Los valores anteriores no permiten calcular exactamente ninguna de las tres series, por lo

que se precisan hiptesis complementarias que dan lugar a diferentes mtodos.

A continuacin se exponen diversos procedimientos para obtener tablas de mortalidad.

No se han includo aquellos que, a nuestro entender, tienen nicamente un inters meramente

histrico.13

D C F

x+t

x A B E

O t t

A. OBTENCIN DE aq x 14

.

11 Se presentan en primer lugar, las tcnicas que no recurren a los mtodos propios del AnlisisMatemtico, caracterizados por el uso de magnitudes contnuas.12 En los ltimos aos, la estadstica MNP espaola, suministra las defunciones por ao, edad ygeneracin, lo que supone una importante ventaja para la construccin de tablas de mortalidad.

Si se admite que las defunciones se distribuyen de forma uniforme dentro de cada

cuadrado (respecto del tiempo calendario y respecto de la edad), se podrn estimar las funciones

acaecidas dentro del tringulo ABC, como la mitad de las ocurridas en el cuadrado ABCD, y

anlogamente las del tringulo BFC, como la mitad de las del cuadrado BEFC.

Si no consideramos los efectos de los movimientos migratorios, el nmero de lneas de

vida que atraviesan AB, ser el nmero de lneas que atraviesan BC ms las defunciones en el

tringulo ABC.

Los cocientes de mortalidad son obviamente, las defunciones en el paralelogramo ABFC

dividido por el nmero de lneas de vida que atraviesan AB.

Resulta pues la siguiente frmula (para la tabla completa):

1

1 1

1

1 21 2

qD D

P Dxxt

xt

xt

xt=

++

- +

-

( / )( )( / )

(1)

siendo:

pxt = poblacin en el instante t con edad cumplida x (edad exacta entre x

y x+1)

Dxt-1 = Defunciones en el ao inmediatamente anterior a t de personas con

edad cumplida x

Dxt+1 = Defunciones en el ao inmediatamente posterior a t, de personas con

edad cumplida x

La aproximmacin anterior es admisible para todas las edades cumplidas superiores a 0.

En el caso x = 0 las defunciones en los primeros das y semanas, son muy superiores a

las defunciones a los diez u once meses, por lo que es necesario estimar las defunciones en ABC,

con una cantidad superior a la mitad de las defunciones en ABCD, este caso se pueden tomar:

Defunciones en ABC = k (Defunciones en ABCD)

Defunciones en BCF = ( - k) (Defunciones en BEFC)

13 Por ejemplo el basado en la ley de supervivencia Gompertz-Makeham (Ver FUENTES MARTIAEZ,M. Tablas de mortalidad... Obra citada, pgs. 51 a 119. El mtodo Saura (Ver INE Tablas demortalidad...Aos 1900 a 1940 Obra citada, pgs. 69 a 89), etc. 14 Mtodo utilizado por el INE en la ltima tabla publicada, correspondiente a los aos 1985-86

Se toma k como la proporcin de nacidos en un ao y fallecidos en el mismo ao,

respecto de los fallecidos con menos de un ao de edad, en el ao considerado15

El cociente de mortalidad sera:

1 00

10

1

0 01

1q

kD k DP kD

t t

t t=+ -+

- +

-

( )(2)

Si se realiza una tabla completa hasta edades muy elevadas, los datos de defunciones

para edades superiores a los noventa aos, estn notablemente afectadas por errores en la

declaracin de la edad, por lo que despus de aplicar la frmula 1, es conveniente suavizar los

cocientes 1qx (x>90)

En la prctica resulta conveniente promediar para cada edad, las defunciones de cuatro

aos (los dos anteriores y los dos posteriores al instante t), en sustitucin de los dos utilizados

en el numerador de la frmula anterior16.

Tambin es necesrio con frecuencia, suavizar la serie de poblacin por edad17.

B. DEDUCCIN DE LOS COCIENTES A TRAVS DE LAS TASAS ESPECFICAS DE

MORTALIDAD.

Con este procedimiento se pretende obtener tambin la serie de cocientes de mortalidad y

a partir de ella, las otras dos series.

El mtodo es esquemticamente el siguiente:

a) Con los datos estadsticos disponibles, se estiman las tasas de mortalidad especficas: M(x, a)

= (Fallecidos con edades comprendidas entre x y x+a)/(poblacin con edades exactas entre

x y x+a, en el punto medio del intervalo, por amplitud del mismo).

15 En la tabla de 1985-86, el INE aplica tambin una correccin anloga para el segundo ao de edad.Ver publicacin citada.16 Se pone (Dx

t-2+Dxt-1+Dx

t+1+Dxt+2)/4, en el numerador de la frmula 1.

17 Ver epgrafe

Si la poblacin se refiere al instante t, las defunciones corresponderan al intervalo (t-

a/2, t+a/2), pero resulta ms conveniente promediar edad por edad, las defunciones de cuatro

aos, centrados en el instante t.

b) Clculo de los coeficientes a travs de la tablas de Reed y Merrel18, que relacionan tasas y

cocientes. Tambin se puede pasar de tasas a cocientes por medio de alguna frmula apropiada,

como19:

a xqamx aamx t

=+

22

( , )( , )

que se deduce de forma inmediata si se admite la hiptesis de distribucin uniforme de las

defunciones respecto del tiempo edad y calendario.

C. MTODO WIESLER20

Loas valores 1px = 1 - 1qx se llaman posibilidades de supervivencia. Llamando p(x) =

1px ; l(x) = lx ; q(x) = 1 - p(x), para una cohorte ficticia de 100.000 nacidos, se tendr:

l(0) = 100.000

l(1) = l(0) - d(0,1) = l(0)-q(0)l(0)= l(0)p(0)

l(2) = l(1)p(1) = l(0)p(0)p(1)

l(3) = l(2)p(2) = l(0)p(0)p(1)p(2)

.................................................................

Si se pretende poner una tabla abreviada, pongamos:

18 Publicadas en 1939, en el volumen 30, nm. 2 de The American Journal of Hygiene y en Themethods and materials of Demography, vol II. Bureau of Census.19 ROLAND PRESSAT, Anlisis Demogrfico Obr. Cit. Pg 127. Se puede ver tambin en el captuloXI.

l(0) = 100.000

l(1) = l(0)p(0)

l(5) = l(1)p(1)p(2)p(3)p(4) = l(1)(p14)t(1,4)

.................................................................. (3)

l(x+5) = l(x)p(x)p(x+1)p(x+2)p(x+3)p(x+4) =

= l(x)(pxx+4)t(x,x+4)

......................................................................

donde por definicin:

pxx+4 = l x l x l xl x l x l x( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )

+ + + + + ++ + + + +1 2 5

1 4(4)

anlogamente:

p14 = l l l ll l l l( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 51 2 3 4

+ + ++ + +

(5)

y por tanto, despejando t(x, x+4), tras tomar logaritmos:

t(x, x+4) = [ ] [ ]log ( ) log ( )

log( )

l x l x

px x

+ -

+

5

4

(6)

t(1,4) = log ( ) log ( )

logl l

p5 1

1 4

-

(7)

con excepcin de las edades ms elevadas, se puede poner:

p p x p x p x p x p xx x + = + + + +4 5 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8)

20 Presentado en el Congreso Mundial de la Poblacin, celebrado en Roma en 1954, por Hans Wiesler.Ha sido utilizado por el INE para elaborar las tablas abreviadas de mortalidad de la poblacin espaolade los aos 1950, 1960 y 1970.

p p p p p1 4 4 1 2 3 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) (9)

Al calcular los valores de t(x, x+4) con el auxilio de las tablas de mortalidad, de muy

diferentes pases, se constata empricamente, que los valores de t son prcticamente idnticos en

todos los casos.

Tomados los valores de t, en las tablas propuestas por Hans Wiesler21, se pueden obtener

los valores de l(x), mediante las siguientes frmulas de recurrencia, deducidas tomando

logaritmos en las frmulas 3:

log (l(0)) = log (100.000)

log (l(1)) = log (l(0))+log(p(0))

log (l(5)) = log(l(1))+t(1,4)log(p14) (10)

log l(10) = log (l(5))+t(5,9)log(p59)

........................................................

para aplicarlas, hay que obtener previamente los valores de p

Llamemos grupo u al grupo genrico x, x+4; para simplificar las expresiones

pondremos:

pxx+4 = pu, qu = 1- pu

de la definicin dada por (4) resulta:

q pl x l x

l x

d x

l xdlu u

u

u

= - =- +

= =

15( ) ( )

( )

( )

( )(11)

los valores de du, lu (fallecidos y supervivientes tericos del grupo u en la generacin ficticia

de 100.000 personas), son desconocidos; su cociente se estima mediante:

21 Aparecen por ejemplo en la tabla 3 de la publicacin del INE Tablas abreviadas de mortalidad de lapoblacin espaola, ao 1970. Obra citada.

qdl

FLu

u

u

u

u

= (12)

siendo Fu, Lu fallecidos y vivientes del grupo u dados por las estadsticas.

Las frmulas (6) y (7) permiten poner:

Ld lF

l x l x lFu

u u

u

u

u

=- +( ( ) ( ))5

Los resultados son anlogos para el grupo 1 a 4 aos de edad.

Calculados qu, y por tanto pu , las frmulas de recurrencia 5, permiten obtener la sere de

supervivientes.

2.3 LA ESPERANZA DE VIDA.

Una de las aplicaciones ms interesantes de las tablas de mortalidad, es la obtencin de la

esperanza de vida para diferentes edades.

Para los tres primeros procedimientos que se han descrito, es habitual formular la

hiptesis de que, por trmino medio, los fallecidos entre x y x+a, viven dentro del intervalo

a/2 aos (salvo para los primeros y ltimo intervalo de edad)22.

Si se representa por:

V(x, x+a): Nmero medio de aos vividos dentro del intervalo, por los miembros de la

generacin que fallecen dentro del mismo.

A(x, x+a): Aos vividos por los miembros de la generacin, dentro del intervalo x, x+a.

22 La aproximacin es aceptable salvo en los primeros intervalos (en general los fallecidos dentro delprimer ao de vida, viven por trmino medio, menos de 0,5 aos, y los fallecidos con 1 a 4 aos, menosde dos). Una estimacin de los aos vividos por la generacin en estos intervalos, se presenta msadelante. Por otra parte, para el ltimo intervalo, al quedar abierto, se estiman los aos vividos dentrodel mismo por algn procedimiento indirecto, por ejemplo, tomados de otra tabla correspondiente a una

A(x, x+a) se compone de dos sumando, los aos vividos por los que fallecen dentro del

intervalo que es igual a: [d(x, x+a)+V(x, x+a)]; y por otra parte los aos vividos por los que

sobreviven al final del intervalo, que sern: a*lx+a

De donde: A(x, x+a) = d(x, x+a)*v(x, x+a)+ a*lx

T(x): Aos totales vividos por los miembros de la generacin a partir de la edad exacta

x

De donde T(x) = A k k ak x

( , )+

e(x): esperanza de vida a la edad exacta x

Se tiene: &( )( )

e xT xlx

=

BIBLIOGRAFA

ASSAF, Razin y EFRAIM, Sadka. Populations Economics. Cambridge. Massachustts, 1995

BROWN, Robert L. Introduction to the Mathematics of Demography. Ed. Actex. Conneticut,

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LEGUINA, Joaqun. Fundamentos de Demografa. Ad. Siglo XIX. Madrid 1981

INE. Tablas abreviadas de mortalidad de la poblacin espaola. Diversos aos.

MOUCHEZ, Philippe. Demografa. Ariel. Barcelona, 1966

PRESSAT, Roland. Anlisis Demogrfico

poblacin anloga, o bien estimarlos, (al igual que para los menores de un ao) a partir de informacinestadstica ms desagregada. Un mtodo alternativo se expone tambin en este captulo.