Mezcla ternaria Ciclohexano, etanol y agua,

1 º

ENVOLVENTE LIQUIDO-LIQUIDO DE MEZCLA TERNARIA DE CICLOHEXANO, ETANOL Y AGUA.

INTEGRANTE: David Esteban Soler Cod: 6101433

Presentado a:

M.Sc. Cesar Augusto Sánchez

Fundación Universidad América Facultad de Ingeniería Química

Equilibrio de Fases Bogotá, Colombia

2013

Mezcla ternaria, equilibrio L-L

2 º

"El equilibrio L-L es el fundamento para el estudio de los procesos de extracción en fase liquida: el

modelo de etapas de equilibrio postula la condición de equilibrios de fases para los efluentes de

las etapas; y los modelos de difusividad efectiva y semejantes, postula la condición de equilibrio de

fases en la interface.

El conocimiento del equilibrio L-L permite determinar la máxima separación que puede lograrse en

un proceso de extracción y también determina criterios para la elección del solvente."1

Ejercicio Calcule el equilibrio L-L para el sistema ternario ciclohexano, etanol, agua, el modelo de actividad

estará constituido por UNIQUAC (término obtenido a partir de su denominación en ingles

universal quasi-chemical)3 y el algoritmo de Rachford y Rice. Represente los resultados

gráficamente. Utilice las ecuaciones y parámetros reportados en Aspen Properties.

Respuesta:

Este sistema de separación liquido-liquido se hace por medio de un flash isotérmico, en donde se

conocen la temperatura y una misma presión, además de esto se sabe la composición del flujo de

entrada al flash, por lo que se busca obtener es:

La cantidad de cada fase a la salida del flash, o más conocido como ψ (psi), la fracción del

líquido más ligero en el total de la mezcla de los tres fluidos no miscibles, pues si se

obtiene este se puede saber cuál es la fracción del líquido más pesado en el total de la

mezcla.

La fracción molar de la composición tanto de la fase α como de la fase β.

El siguiente grafico representa la situación a estudiar:

Figura. 1 Diagrama de un Flash isotermico

Para calcular los flujos de salida y las composiciones de cada una de las fases es necesario un

modelo matemático, que se compone de 3 partes:

3 º

1. Balance de materia. (Global y por componente)

2. Tener en cuenta que los efluentes cumplen con el equilibrio Liquido-Liquido.

3. Saber que las fracciones molares de los efluentes suman 1.

Balance de masa global :

Se sabe que:

Sin producción y suponiendo un estado estacionario:

Por lo tanto:

(Ec. 1)

Donde

F es la cantidad a la entrada del flash

es la cantidad total de la fase alfa

es la cantidad total de la fase beta

ψ (psi) es la fracción de la fase α (fase más ligera) en la mezcla total, entonces:

ψ= ( Ec.1.a)

y teniendo en cuenta la ecuación 1, se reemplaza F

ψ= (Ec. 1.b)

Ahora, se divide la ecuación del balance genera,l es decir la ecuación( 1) entre F

(Ec.2)

Y se obtiene:

(Ec. 3)

Balance de masa por componente:

Teniendo en cuenta la de Ley de "la conservación de la masa” que dice que la masa

no puede crearse ni destruirse. Por consiguiente, la masa o el peso de todos los

4 º

materiales que entran a un proceso debe ser igual a la masa total de todos los materiales

que salen del mismo, por lo tanto, de la fracción molar de cada componente, multiplicado a la

salida por el flujo de salida, se obtiene.

(Ec. 4)

(Ec. 5)

Relaciones de equilibrio L-L:

Para todo i, (donde i es cualquiera de los componentes), dentro de una mezcla en equilibrio se

cumple que

(Ec.6)

Donde Ki, es el coeficiente de distribución y se puede obtener según la formulación del equilibrio.

En este caso el coeficiente de distribución se calculo con un modelo de actividad; el equilibrio es

de formulación Gamma-Gamma, por lo tanto, Ki es:

(Ec. 7)

Para calcular no siempre es necesario usarse un modelo de actividad, también se usan

ecuaciones de estado, donde el equilibrio es de formulación phi-phi.

Restricciones sobre los balances:

Hay restricciones, que estipulan que las sumas de las fracciones molares deben ser uno, por lo

tanto:

(Ec. 8 y 9)

"Los métodos para abordar el problema del E-L-L son muy variados, sin embargo, parecen

poderse agrupar en tres grupos principales: métodos de manipulación secuencial (Rachford y Rice

y sus variantes); métodos de manipulación simultánea (Newton - Raphson y sus variantes); y

métodos que transforman el problema en ecuaciones diferenciales (Continuación por homotopía,

relajación, etc.).

Frente a los otros, el algoritmo de Rachford y Rice es el más sencillo de implementar y el más

eficiente desde el puntos de vista computacional (aunque no siempre converge)"1

5 º

Algoritmo de Rachford-Rice:

Con este modelo matemático, Rachford y Rice propusieron el siguiente algoritmo:

Las dos ecuaciones que aparecen indicadas para ser deducidas se demuestran enseguida:

Para la primera se remplaza el de la ecuación 5, por el de la ecuación 6:

(Ec. 10)

6 º

Se factoriza quedando:

(Ec. 11)

Se factoriza, ahora Psi, y se despeja , quedando así:

(Ec. 12)

Para la segunda ecuación se toma que la función objetivo es:

(Ec. 13)

Si se remplaza la ecuación 6, en la ecuación 13 se obtiene:

(Ec. 14)

Factorizando queda:

(Ec. 15)

Remplazando la ecuación 12, en la ecuación 15:

(Ec. 16)

La derivada de la ecuación 16 con respecto a psi, da como resultado la siguiente ecuación:

7 º

(Ec. 17)

Para estimar el siguiente Psi, se calcula mediante Newton-Raphson de la siguiente manera:

(Ec. 18)

Para hallar los coeficientes de distribución “Ki”, es necesario conocer los coeficientes de actividad

de la fase α y de la fase β, el problema plantea que se haga esto por medio del modelo de

UNIQUAC, este modelo de actividad plantea lo siguiente para “n” componentes, según el

simulador comercial Aspen Properties.

(Ec. 19)

Donde:

(Ec 20)

(Ec 21)

(Ec. 22)

(Ec. 22a)

(Ec. 23)

(Ec. 23a)

(Ec 24)

Z = 10 (Ec.24)

(Ec. 25)

(Ec. 26)

8 º

Las parámetros , y , de las ecuaciones 21, 22a y 23a respectivamente, "son, a su vez,

parámetros de área superficial y de volumen de los grupos funcionales (k), que se identifiquen

en la molécula del componente i y es el número (entero) de grupos k de la molécula i"2.

Para complementar la idea sobre los parámetros , y , de las ecuaciones 21, 22a y 23a

respectivamente, "son constantes relativas a la estructura molecular de los componentes

puros y dependen del tamaño molecular y del área superficial externa (como se menciono

anteriormente). En la formulación original q= , con objeto de obtener mejores resultados

para los sistemas que contienen agua o alcoholes de bajo peso molecular. Para los alcoholes,

la superficie de interacción, , es menor que la superficie geométrica externa, q"3 .

Valores tomados del simulador comercial Aspen Plus

Resolviendo la sumatoria, se obtienen las ecuaciones de los coeficientes de actividad para cada

uno de los componentes:

Al simplificar las ecuaciones 27, 28 y 29, da como resultado:

9 º

Ecuaciones 30, 31 y 32, respectivamente, modelo de actividad simplificado

Ahora, se procede a resolver las sumatorias de cada una de las variables que integran la

ecuación del modelo de actividad.

Para la ecuación 21, quedaría de la siguiente forma.

(Ec. 21)

(Ec 33)

Reemplazando la (Ec. 33) en la (Ec. 20), y resolviendo esta para cada componente, da como

resultado:

(Ec. 34)

(Ec. 35)

(Ec 36)

Para la ecuación 22a quedaría de la siguiente forma

(Ec. 22a)

(Ec 37)


resultado:

(Ec. 38)

(Ec. 39)

(Ec.40)

Para la ecuación 23a quedaría de la siguiente forma

10 º

(Ec. 23a)

(Ec 41)


resultado:

(Ec. 42)

(Ec. 43)

(Ec. 44)

La resolución de la sumatoria de la ecuación 25 y aplicándose para cada componente, queda

de la siguiente forma.

(Ec. 25)

(Ec. 45)

(Ec. 46)

(Ec. 47)

Al simplificar las ecuaciones 45, 46 y 47, da como resultado:

(Ec. 45a)

(Ec. 46a)

(Ec. 47a)

Enseguida se revuelve la ecuación 24 y se aplica para cada componente, obteniendo las

ecuaciones siguientes

(Ec 24)

Z = 10

(Ec. 48)

11 º

(Ec. 49)

(Ec. 50)

Se observa que en la Tabla 1 (ubicada en la página siguiente), hay parámetros de la ecuación

26 que toman valores de cero, lo que permite simplificar la ecuación, dando como resultado

que la variable , se calcula de la siguiente forma.

(Ec. 51)

Seguidamente se resuelve la ecuación 51, Calculo de , los parámetros se toman de Tabla 1.

Se deben calcular 6 , para los componentes que se encuentran mezclados. Los parámetros

y , "son medidas de la energía de interacción entre las parejas de moléculas descritas por

los subíndices. Según esto = 1, cuando i = j"2. Es decir, que y toman un valor de

1.

Ecuaciones 52, 53, 54, 55, 56, 57 respectivamente. para los componentes en mezcla.

Parámetros para el modelo de actividad: Para calcular el modelo de actividad son necesarios ciertos parámetros, que son utilizados en

las ecuaciones de la 20 a la 26. Estos son parámetros de interacción ternarios que solo

funcionan para el modelo de actividad que se está utilizando y en un rango determinado de

temperaturas, los parámetros se muestran en la siguiente tabla:

12 º

Tabla 1. Parámetros de interacción binaria tomados de un simulador comercial

Aplicación del algoritmo de Rachford-Rice: Para este sistema definiremos al ciclohexano como el componente (1), el etanol como el

componente (2) y al agua como el componente (3).

Como se observa en el algoritmo, figura 2, se tiene especificados, a la entrada, la temperatura,

presión y composiciones Z, a partir de estos 3 valores se procede a hacer el cálculo de Psi y las

fracciones molares en la fase alfa y en la fase beta .

Donde y , son valores tomados al inicio del algoritmo cercanos a los que deberían dar

según el diagrama obtenido en aspen, para que las iteraciones sean menos.

Se usan los coeficientes de actividad, ya mencionados, con el modelo de actividad UNIQUAC.

Para el componente (1) la ecuación es:

13 º

(Ec. 30)


(Ec. 31)


(Ec. 32)

Para calcular el coeficiente de distribución, se utiliza la ecuación 7, el coeficiente se calcula

para cada componente.

(Ec. 7).

El valor inicial de Psi se calcula mediante la ecuación 1.b, pero teniendo en cuenta que para

calcularlo, se necesitarían varias suposiciones y que este debe tomar valores de 0 a 1, se tomo

psi inicial como 0,5.

Luego, se procede a calcular el valor real aproximado de , con la siguiente ecuación:

(Ec. 58)

Es necesario normalizar este valor, para así, con este calcular

Donde, es la normalización o estandarización de .

(Ec. 59)

Ahora se calcula el valor real aproximado de , con la siguiente ecuación:

Ec. 60)

Es necesario normalizar este valor

14 º

(Ec. 61)

Luego de estandarizar estos valores, se calcula un error que debe dar por el orden de , si

el error da por ese orden de valores, se asume que las fracciones tomadas para alfa y beta son

iguales a las fracciones de alfa y beta estandarizadas, en caso de que no se cumpla, se debe

tomar los valores de las fracciones normalizadas, hasta que se obtenga el valor del error, es

este proceso se lleva a cabo el ciclo interno del algoritmo.

El error se calcula, primero con la normal de las fracciones en cada fase, las tomadas

inicialmente y estandarizadas, de la siguiente manera.

Ecuaciones 62,63, 64 y 65, respectivamente.

Luego de obtener la normal de cada fracción, se plantea la ecuación para calcular el error

(Ec. 66)

El error en la fase alfa es igual a el valor absoluto, de la resta entre la normal de la fracción en

la fase alfa estandarizada, menos la normal de la fracción en la fase alfa sin estandarizar. El

error se calcula de la misma forma para la fase beta.

(Ec. 67)

Ahora el error total, se calcula con la siguiente ecuación.

(Ec. 68)

Al cumplirse la siguiente condición,

15 º

Se continua, evaluando la función objetivo de Rachford y Rice. (Ec. 16)

Para esta función objetivo, también se debe calcular un error, si este da por el orden de ,

la aplicación del algoritmo ha terminado, pero esto es bastante soñado, puesto que son muy

pocas las veces, por no decir ninguna, en las que este algoritmo a arrojado los valores

deseados la primera vez de ser aplicado.

El error se calcula, como el valor absoluto de la función objetivo.

(Ec 69)

Si por el contrario, el error requerido no fue obtenido, se prosigue a calcular un nuevo psi

hasta que se obtenga el valor del error, en este proceso se lleva a cabo el ciclo externo del

algoritmo, para este nuevo Psi se necesita derivar la función objetivo.


(Ec. 17)

Para estimar el siguiente Psi, se calcula mediante Newton-Raphson de la siguiente manera:

(Ec. 18)

Muestra de cálculo Para el algoritmo se usaron 18 composiciones diferentes a la misma presión y temperatura, las

composiciones iníciales se tomaron observando la gráfica realizada en el aspen properties,

tomando valores que se encuentra dentro de la envolvente.

La muestra de cálculo se hace con una composición Z para el componente ( 1) de 0,49965,

para el componente (2) de 0,0007 y para el componente (3) de 0,49965 a una temperatura.

Estimar la solución.

Especificar Presión, Temperatura y Z:

P T Z para el

componente ( 1) Z para el

componente (2) Z para el

componente (3)

1 atm 25°C; 298,15 K 0,49965 0,0007 0,49965

Tabla 2. Especificar P y T y Z

16 º

Calculo del coeficiente de distribución

Los valores de

= 0,01

=0,35

= 0,64

= 0,94

= 0,04

= 0,02

Son valores tomados arbitrariamente, siempre y cuando todas las fracciones en una fase

sumen uno, estos son los valores que en el desarrollo del algoritmo, varían en el ciclo interno.

Calculo de , se toman las ecuaciones 52, 53, 54, 55, 56, 57 respectivamente, los parámetros

se toman de la tabla 1.

La siguiente tabla muestra los valores de los parámetros aij y bij, para cada mezcla.

Aij 1 2 3 bij 1 2 3

1 (11) 0

(12) -2,8027

(13) 0

1 (11) 0

(12) 370,326

(13) -1247,3

2 (21) 0,8772

(22) 0

(23) 2,0046

2 (21) -215,96

(22) 0

(23) -

728,9705 3 (31)

0 (32)

-2,4936 (33)

0 3 (31)

-540,36 (32)

756,9477 (33)

0 Tabla 3. Valores de los parámetros aij y bij, tomados del simulador comercial aspen plus.

17 º

1 2 3

1 (11) 1

(12) 0,21000572

(13) 0,015245595

2 (21) 1,16516955

(22) 1

(23) 0,643792353

3 (31) 0,1632657

(32) 1,04625281

(33) 1

Tabla 3a. Valores de

En la siguiente tabla, se muestran los valores de los parámetros de área superficial y de

volumen de los grupos funcionales (k), tomados del simulador comercial aspen plus

Componentes r

1 3,24 3,24 4,047460 2 1,972 1,972 2,10547 3 1,4 1,4 0,92

Tabla 4. Valores de los parámetros de área superficial y de volumen de los grupos funcionales (k)

Para obtener el coeficiente de actividad, también se debe calcular.

Calculo de en la fase alfa, se toman las ecuaciones 38, 39 y 40 respectivamente

Calculo de en la fase beta, se toman las ecuaciones 38, 39 y 40 respectivamente

Para el cálculo de , se toman las ecuaciones 42, 43 y 44, respectivamente. Al ser

= , va a tomar los mismos valores de

18 º

/Fase α β /fase α β

0,020017299 0,966096534 0,020017299 0,966096534 0,426417892 0,02502157 0,426417892 0,02502157 0,553564809 0,008881896 0,553564809 0,008881896

Tabla 5. Valores de y en las diferentes fases



Calculo de en la fase alfa, se toman las ecuaciones 45 ,46 y 47 respectivamente

Calculo de en la fase beta, se toman las ecuaciones 45 ,46 y 47 respectivamente

0,99670101

0,23720008

0,03971931

19 º


0,02962591 0,97373618 0,60724459 0,99670101

0,53939422 0,0215546 1,00979037 0,23720008

0,43097987 0,00470922 0,82839456 0,03971931


Calculo de , se toman las ecuaciones 48,49 y 50 respectivamente; Z = 10. Valor tomado del

simulador comercial Aspen Properties

Componentes 1 0,98984 2 -0,43812 3 -2,32

Tabla 7. Valores de l para los 3 componentes

Calculo de en la fase alfa para el componente (1), se toma la ecuación (30):

4,97751984


0,38229231

1,46564045


20 º

0,23524691

1,26522112

Ahora, se va a calcular los coeficientes de actividad para la fase beta.

Calculo de en la fase beta para el componente (1), se toma la ecuación (30):

0,00066611

= 1,00066633


2,5424428

= 12,7106827


7,18362164

= 1317,67176

A continuación, en la tabla se resume los valores del coeficiente de actividad para los tres

componentes en las fases alfa y beta

21 º

Componentes

Ciclohexano (1) 40884,4317 1,00066633 Etanol (2) 3,60779185 12,7106827 Agua (3) 1,00260525 1317,67176

Tabla 18. Coeficientes de actividad para los tres componentes en las fases alfa y beta.

Al tener los coeficientes de actividad, se puede proceder a calcular el coeficiente de

distribución para el componente 1, el componente 2 y el componente 3, se usa la ecuación 7.

En la siguiente tabla se resume los valores del coeficiente de distribución para cada

componente

Componentes

Ciclohexano (1) 2,4475E-05 Etanol (2) 3,52311975 Agua (3) 1314,24782

Tabla 19. Coeficientes de distribución

Ahora, se procede a calcular el valor real de , con la ecuación 58:


Donde, es la normalización o estandarización de , ecuación 59.

22 º

Ahora se calcula el valor real de , con la ecuación 60:

Es necesario normalizar este valor, ecuación 61.

Componentes

Ciclohexano (1) 0,99927554 0,99893107 2,44493E-05 2,44662E-05

Etanol (2) 0,00030952 0,00030941 0,001090103 0,001090855

Agua (3) 0,00075978 0,00075952 0,998195997 0,998884679

Tabla 20. Valores de las fracciones normales y estandarizadas

Calculo del error


inicialmente y estandarizadas, de la siguiente manera. Ecuaciones 62, 63, 64 y 65,

respectivamente.

Luego de obtener la normal de cada fracción, se plantea la ecuación para calcular el error en la

fase alfa, ecuación 66.

0,007035224

23 º

Ecuación para calcular el error en la fase alfa, ecuación 67.

0,00338101

Ahora el error total, se calcula con la ecuación 37.

0,007035224 0,010416238

Error total

0,99185005

0,998885274

0,99555039

0,998931404

0,007035224

0,00338101

0,010416238

Tabla 21. Valores finales del cálculo del error

El error obtenido no fue el deseado, se continua con el ciclo interno del algoritmo, se realiza el

mismo procedimiento anterior, donde las variables se calculan de la misma forma, cabe

resaltar que hay que tener en cuenta el cambio de fracciones iníciales en el nuevo ciclo, por las

estandarizadas en el ciclo anterior para seguir el proceso. Hay algunos valores constantes para

todos los ciclos.

Se recuerda que el ciclo interno se puede detener cuando se obtenga el error total deseado,

para este ejercicio se hicieron 14 iteraciones por cada ciclo externo, para obtener mayor

exactitud.

En la siguiente tabla se muestra los valores de algunos ciclos internos para el ciclo externo 1

Componentes

Ciclohexano (1)

Etanol (2)

Agua (3)

Ciclos 0 1 2 3 4 5 6

0,01 0,007003767 2,44662E-05 1,24765E-05 1,24474E-05 1,2448E-05 1,24481E-05

0,35 0,001171604 0,001090855 0,001061345 0,001062724 0,001062793 0,001062797

0,64 0,99182463 0,998884679 0,998926178 0,998924829 0,998924759 0,998924755

0,94 0,995541364 0,998931067 0,9990676 0,999075777 0,999076181 0,999076201

0,04 0,00022529 0,000309414 0,000338814 0,00033743 0,00033736 0,000337357

0,02 0,004233346 0,000759519 0,000593586 0,000586793 0,000586459 0,000586442

145,114029 40884,4317 80113,4368 80299,3669 80295,5083 80295,2967 80295,2862

1,46564045 3,60779185 4,57463408 4,57735339 4,57732602 4,57732429 4,57732421

1,26522112 1,00260525 1,00000407 1,00000339 1,0000034 1,0000034 1,0000034

1,02762138 1,00066633 1,0000315 1,00002175 1,00002133 1,0000213 1,0000213

7,67216024 12,7106827 14,3238784 14,410103 14,4139545 14,4141444 14,4141538

298,379441 1317,67176 1682,13291 1701,62922 1702,60084 1702,64881 1702,65117

24 º

K1 0,00708148 2,4475E-05 1,2483E-05 1,2454E-05 1,2454E-05 1,2454E-05 1,2454E-05

K2 5,23468101 3,52311975 3,13115282 3,14812989 3,14899015 3,14903282 3,14903493

K3 235,831853 1314,24782 1682,12606 1701,62346 1702,59506 1702,64302 1702,64539

0,99227324 0,99927554 0,99928753 0,99928756 0,99928755 0,99928755 0,99928755

0,00022455 0,00030952 0,00033889 0,0003375 0,00033743 0,00033743 0,00033743

0,00421945 0,00075978 0,00059372 0,00058692 0,00058658 0,00058657 0,00058657

0,99554136 0,99893107 0,9990676 0,99907578 0,99907618 0,9990762 0,9990762

0,00022529 0,00030941 0,00033881 0,00033743 0,00033736 0,00033736 0,00033736

0,00423335 0,00075952 0,00059359 0,00058679 0,00058646 0,00058644 0,00058644

0,007049901 2,44493E-05 1,24711E-05 1,24422E-05 1,24428E-05 1,24428E-05 1,24428E-05

0,001179321 0,001090103 0,001060878 0,001062273 0,001062344 0,001062347 0,001062347

0,998357919 0,998195997 0,998486485 0,998501425 0,998502165 0,998502201 0,998502203

0,007003767 2,44662E-05 1,24765E-05 1,24474E-05 1,2448E-05 1,24481E-05 1,24481E-05

0,001171604 0,001090855 0,001061345 0,001062724 0,001062793 0,001062797 0,001062797

0,99182463 0,998884679 0,998926178 0,998924829 0,998924759 0,998924755 0,998924755

Error

0,72952039

0,99185005 0,998885274

0,998926742

0,998925394

0,998925324

0,998925321

0,99185005

0,998885274

0,997698003

0,998925394

0,998925324

0,998925321

0,99892532

0,94106323

0,99555039

0,9989314

0,99906783

0,99907601

0,99907641

0,99907643

0,99555039

0,998931404

0,999067834

0,999076006

0,99907641

0,99907643

0,999076431

0,26232966

0,007035224

4,14677E-05

1,34803E-06

8,0364E-05

3,47859E-09

1,71733E-10

0,05448716 0,00338101

0,00013643

8,172E-06 4,0403E-07

1,9952E-08

9,849E-10

Error total

0,316816821

0,010416238

0,000177898

9,52005E-06

4,74108E-07

2,34308E-08

1,15663E-09

Tabla 22. Valores de las variables de algunos ciclos internos

CICLO INTERNO 14

El error deseado ya se obtuvo, lo cual nos permite continuar con el algoritmo. A continuación,

se mostrara el valor obtenido en este ciclo.

Componentes

Ciclohexano (1) 1,24481E-05 0,999076202 Etanol (2) 0,001062797 0,000337356

Agua (3) 0,998924755 0,000586442

25 º

Tabla 23. Nuevos valores de las fracciones de los componentes en las diferentes fases.

Los valores de aij, bij, , , , r y , son constantes para todos los ciclos, por lo cual no se

van a mostrar en el esta ciclo.

Ahora, se repite el procedimiento mostrado anteriormente:






= 0,999541057




2,87954E-05 0,999541057 2,87954E-05 0,999541057 0,001496351 0,000205425 0,001496351 0,000205425 0,998474853 0,000253519 0,998474853 0,000253519



26 º




0,9998218

27 º

0,21038001

0,01562437


5,46869E-05 0,99969102 0,164789 0,9998218

0,00242884 0,0001756 1,04615952 0,21038001

0,997516473 0,00013338 0,99943863 0,01562437


Calculo de , se toman las ecuaciones 48, 49 y 50 respectivamente; Z = 10. Valor tomado del

simulador comercial Aspen Properties


11,2934662

=80295,2857


1,52111459

= 4,5773242


3,3963E-06

= 1,0000034



28 º

2,1303E-05

= 1,0000213


2,66821066

= 14,4141543


7,4399419

= 1702,6513

A continuación, en la tabla se resume los valores del coeficiente de actividad para los tres

componentes en las fases alfa y beta

Componentes



Al tener los coeficientes de actividad, se puede proceder a calcular el coeficiente de

distribución para el componente 1, el componente 2 y el componente 3, se usa la ecuación 7.

= 1,2454E-05

29 º

3,14903504

1702,64551


componente

Componentes








30 º

Componentes

Ciclohexano (1) 0,99928755 0,9990762 1,24428E-05 1,24481E-05

Etanol (2) 0,00033743 0,00033736 0,001062347 0,001062797

Agua (3) 0,00058657 0,00058644 0,998502203 0,998924755


Calculo del error


inicialmente y estandarizadas, de la siguiente manera. Ecuaciones 62, 63, 64 y 65,

respectivamente.

0,99892532

0,99892532

0,99907643

0,99907643

Luego de obtener la normal de cada fracción, se plantea la ecuación para calcular el error en la

fase alfa, ecuación 66.

0


0


0 + 0 0

31 º

Error total

0,99892532

0,99892532

0,99907643

0,999076431

0

0

0

Tabla 29. Valor del error

Al tener el error correspondiente del ciclo interno, se va a calcular el ciclo externo para ello se

siguen los siguientes pasos:

3. Evaluar función objetivo

Se continúa, evaluando la función objetivo. (Ec. 16)

-0,99927511

0,000725144

0,998126869

-0,0004231

Error = 0,0004231

Calculo del un nuevo psi hasta que se obtenga el valor del error, en este proceso se lleva a

cabo el ciclo externo del algoritmo, para este nuevo Psi se necesita derivar la función objetivo.


= 1,99850044

0,00075119

1,99391023

= 1,99850044 +0,00075119 + 1,99391023 = -3,99316186

Para estimar el siguiente Psi, se calcula mediante Newton-Raphson, con la ec 18:

= 0,49989404

Este es el valor de Psi que se usara en el siguiente ciclo externo, es importante recordar de

El error obtenido no fue el deseado, se continua con el ciclo externo del algoritmo, se realiza el


resaltar que hay que tener en cuenta el cambio de fracciones iníciales en los ciclos internos, y

en cambio de Psi en los ciclos externos.

32 º

CICLO EXTERNO 1

Para este nuevo ciclo se va a reemplazar el valor de psi calculado en el último ciclo interno, del

ciclo externo anterior.

Para mostrar, con qué valor de psi empezaría el ciclo externo 2, se tomo el último ciclo interno,

del ciclo externo 1.

CICLO INTERNO 14

El error deseado ya se obtuvo, lo cual nos permite continuar con el algoritmo. A continuación,

se mostrara el valor obtenido en este ciclo.

Componentes

Ciclohexano (1) 1,24427E-05 0,999075828 Etanol (2) 0,001062686 0,000337468 Agua (3) 0,998924871 0,000586704

Tabla 30. Nuevos valores de las fracciones de los componentes en las diferentes fases.

Los valores de aij, bij, , , , r y , son constantes para todos los ciclos, por lo cual no se

van a mostrar en el esta ciclo.

Ahora, se repite el procedimiento mostrado anteriormente:






= 0,999540875

33 º




2,87831E-05 0,999540875 2,87831E-05 0,999540875

0,001496195 0,000205493 0,001496195 0,000205493

0,998475022 0,000253632 0,998475022 0,000253632




34 º



0,99982172

0,21038016

0,01562452


5,46635E-05 0,9996909 0,16478883 0,99982172 0,002428586 0,00017566 1,04615953 0,21038016 0,99751675 0,00013344 0,9994387 0,01562452


Para el cálculo de , se toman las ecuaciones 48, 49 y 50 respectivamente; Z = 10. Valor

tomado del simulador comercial Aspen Plus


11,2934708

= 80295,6597


35 º

1,52111536

= 4,57732771


3,3954E-06

= 1,0000034



2,1321E-05

= 1,00002132


2,66819987

= 14,4139988


36 º

7,43991766

= 1702,61002

En la tabla se resume los valores del coeficiente de actividad para los tres componentes en las

fases alfa y beta

Componentes



Calculo del coeficiente de distribución para el componente 1, el componente 2 y el

componente 3, se usa la ecuación 7.


componente

Componentes




37 º

Estandarización de




Componentes

Ciclohexano (1) 0,99907585 0,99907583 1,24427E-05 1,24427E-05

Etanol (2) 0,00033747 0,00033747 0,001062686 0,001062686

Agua (3) 0,0005867 0,0005867 0,998924837 0,998924871


Calculo del error

Para calcular el error se toman las ecuaciones 62, 63, 64 y 65, respectivamente.

0,998925437

0,998925437

0,99907606

38 º

0,999076057


0

Ecuación para calcular el error en la fase beta, ecuación 67.

0


0 + 0 0

Error total

0,998925437

0,998925437

0,99907606

0,999076057

0

0

0

Tabla 36. Valor del error

Al tener el error correspondiente del ciclo interno, se va a calcular el ciclo externo para ello se

hacen los siguientes pasos:

Evaluar función objetivo

Se continúa, evaluando la función objetivo. (Ec. 16)

Error =

Calculo del un nuevo psi hasta que se obtenga el valor del error, para este nuevo Psi se

necesita derivar la función objetivo.


39 º

= 1,99765372+0,00075134 + 1,99475445= -3,99315952

Estimación del siguiente psi, ecuación 18:

Este es el valor de Psi que se usara en el siguiente ciclo externo, es importante recordar de

El error obtenido no fue el deseado, se continua con el ciclo externo del algoritmo, se realiza el


resaltar que hay que tener en cuenta el cambio de fracciones iníciales en los ciclos internos, y

en cambio de Psi en los ciclos externos.

Se recuerda que el ciclo externo se puede detener cuando se obtenga el error total deseado,

para este ejercicio se hicieron 21 ciclos externos, de los cuales se mostraran algunos, esto se

hizo para obtener mayor exactitud.

En la siguiente tabla se muestra los valores de algunos Psi en los ciclos externos, en la

composición 1.

Ciclo Psi Error l f(ψ)l

0 0,5 -0,0004231

-3,993161859

0,000423096

1 0,49989404

-3,4599E-08

-3,993159519

3,4599E-08

2 0,49989404

-2,8193E-12

-3,993159519

2,8193E-12

3 0,49989404 0 -3,993159519

0

4 0,49989404

0 -3,993159519

0

5 0,49989404

0 -3,993159519

0

6 0,49989404

0 -3,993159519

0

7 0,49989404

0 -3,993159519

0

8 0,49989404

0 -3,993159519

0

9 0,49989404

0 -3,993159519

0

10 0,49989404

0 -3,993159519

0

Tabla 37. Valores de psi, de los ciclos externos del algoritmo.

El algoritmo se realizo a diferentes composiciones, donde los resultados se muestran en la tabla 38.

Siendo N el número de composiciones

40 º

Tabla 38. Resultados de las diferentes composiciones usadas en el algoritmo.

"En el algoritmo de Rachford y Rice, las anteriores ecuaciones se manipularon secuencialmente, primero en un ciclo interno y después un ciclo externo. La

estructura del algoritmo puede apreciarse en la Grafica 1."1

N Z ψ

Z1 Z2 Z3

1 0,49965 0,0007 0,49965 1,2443E-05 0,00106269 0,99892487 0,99907583 0,00033747 0,0005867 0,49989404

2 0,465 0,07 0,465 0,00022237 0,10927902 0,89049861 0,97157069 0,02718899 0,00124032 0,52151291

3 0,43 0,14 0,43 0,00132916 0,21853942 0,78013142 0,95436651 0,04392759 0,0017059 0,55020562

4 0,395 0,21 0,395 0,00447874 0,32060628 0,67491499 0,94328256 0,05471142 0,00200602 0,5840225

5 0,36 0,28 0,36 0,01081449 0,41200313 0,57718238 0,9352577 0,06253446 0,00220785 0,62227479

6 0,325 0,35 0,325 0,02120796 0,49141784 0,4873742 0,92865277 0,06899438 0,00235285 0,66522257

7 0,29 0,42 0,29 0,03620992 0,55842933 0,40536074 0,9225778 0,0749616 0,0024606 0,71367411

8 0,255 0,49 0,255 0,05607525 0,61300424 0,33092051 0,91649682 0,08096638 0,0025368 0,76880548

9 0,22 0,56 0,22 0,08080862 0,65533414 0,26385724 0,91004274 0,08737997 0,00257728 0,83214466

10 0,2 0,6 0,2 0,90607469 0,0913456 0,00257971 0,09706268 0,67415578 0,22878154 0,8727617

11 0,19 0,62 0,19 0,90399275 0,09343333 0,00257391 0,1057467 0,68213646 0,21211684 0,89445265

12 0,7 0,25 0,05 0,12007611 0,69275064 0,18717325 0,90058859 0,09685796 0,00255345 0,256996

13 0,77 0,22 0,03 0,1485079 0,70636209 0,14513001 0,89381799 0,10370983 0,00247218 0,19296397

41 º

Construcción del diagrama de fases Un diagrama ternario, es un diagrama en tres variables que suman una constante. Representa

gráficamente los valores de tres variables como las posiciones en un triángulo equilátero, y se

utiliza en química para mostrar la composición de sistemas o soluciones compuestas de tres

especies.

En un diagrama ternario, la suma de las proporciones de las variables a, b y c es igual a una

constante K, que se suele representar como 1,0 o 100%. Como aunque hay tres variables hay

una que depende de las otras (por ejemplo, se puede representar c como K-a-b), sólo se

requiere de dos coordenadas para encontrar el punto correspondiente a una muestra, es decir,

se pueden representar las tres variables en un gráfico bidimensional.

Ya teniendo los datos obtenidos por el algoritmo de Rachford y Rice, se procede con los datos

obtenidos en Excel a ubicarlos en un diagrama ternario, para esto se requieren varios pasos:

1. Construcción del marco exterior.

2. Construcción de la cuadricula interna.

3. Construcción de las líneas de atadura.

4. Construcción de la envolvente.

El marco es la parte exterior del diagrama ternario, un ejemplo de un marco se puede observar

en la siguiente imagen:

Figura. 4 Parte externa de un diagrama ternario

42 º

La cuadricula es la parte del diagrama que nos ayudará a ubicar con mayor facilidad cada uno

de los puntos, que demarcan un composición propia.

Figura. 5 Cuadricula del diagrama ternario

En la siguiente imagen se explica cómo se lee el diagrama ternario de fases, para el

componente que se encuentra en composición igual a 0 o 0% en la base y a composición igual

1 o 100% en fracción molar o másica o volumétrica en la punta.

.

Figura. 6 Ejemplo de lectura del diagrama de fases.

43 º

Se sabe que si se leen dos coordenadas la otra queda especificada, entonces para el

componente que se encuentra en la base del triangulo se explica cómo es la lectura del

diagrama.


Por último para leer a cabalidad el diagrama, se necesita la composición de la sustancia que se

encuentra sobre la diagonal izquierda:


Ejemplo:

Se requiere ubicar la composición del ejemplo anterior de Arcilla 80%, materia organica 10% y

arena 10%.

44 º

Figura. 9 Ejemplo de colocación de un punto en el diagrama ternario.

Las líneas de atadura se dan como origen de dos puntos de composición en la fase alfa y en la

fase beta. Por ejemplo para el sistema ternario de Tolueno, Acido Acético, Agua, modelado con

UNIFAC, en Aspen Plus, cada una de las líneas de atadura, salen como resultado de unir el

punto de composición en el liquido 1 (fase alfa), con el punto de composición del liquido 2

(Fase beta).

En la siguiente tabla se muestran los valores de composición en la fase alfa y beta para el

sistema anteriormente nombrado.

Numero de línea de atadura

Fracción molar

Fase alfa Fase alfa Fase alfa Fase beta Fase beta Fase beta

Tolueno Acido acético Agua Tolueno Acido acético Agua

1 8,31E-05 0 0,9999169 0,9983478 0 0,00165218

2 0,00017961 0,0372623 0,9625581 0,9795913 0,0179475 0,0024611

3 0,00036841 0,0764056 0,923226 0,9621525 0,0345091 0,00333828

4 0,00071786 0,1171976 0,8820846 0,945789 0,0499443 0,00426668

5 0,0013301 0,1592843 0,8393856 0,9301452 0,0646093 0,00524551

6 0,00234867 0,2022547 0,7953967 0,9148052 0,0789063 0,0062885

7 0,00396684 0,2456945 0,7503387 0,8993403 0,0932389 0,00742074

8 0,00643891 0,2892132 0,7043479 0,8833364 0,1079874 0,00867623

9 0,0100979 0,33244 0,6574621 0,8663984 0,1235041 0,0100975

10 0,8481376 0,1401249 0,0117374 0,0153843 0,3749978 0,6096178

45 º

11 0,8281455 0,1581906 0,0136639 0,0228929 0,4164587 0,5606483

12 0,8059519 0,1780797 0,0159683 0,0334517 0,456274 0,5102743

13 0,7809524 0,2002654 0,0187822 0,0482578 0,4936613 0,4580808

14 0,7522638 0,2254244 0,0223117 0,0691321 0,5273963 0,4034715

15 0,718384 0,2546937 0,0269222 0,0990355 0,5553875 0,3455769

16 0,6762302 0,2903805 0,0333893 0,143312 0,5736667 0,2830213

17 0,6173967 0,3386472 0,0439561 0,2138145 0,573208 0,2129775

18 0,4866185 0,437579 0,0758025 0,3708743 0,511114 0,1180117

Tabla No 39 Valores del equilibrio L-L obtenidos por el simulador comercial Aspen Plus.

Los puntos que se unen, son el punto de composición en la fase alfa y el punto de composición

en la fase beta. Por ejemplo para la línea de atadura numero 18, la composición en la fase alfa

está marcada en rojo en la tabla anterior, y está encerrada en un círculo rojo en el siguiente

diagrama de fases; Para la composición en la fase beta, está marcada con vinotinto en la tabla

anterior y está encerrada en naranja en el diagrama de fases, al unir estos dos puntos se

obtiene la línea de atadura numero 18.

Figura. 10 Diagrama de fases de tolueno, acido acético y agua, obtenido en Aspen Plus.

Cada una de las composiciones en la fase alfa y la fase beta, dan como resultado una línea de

atadura.

46 º

La binodal, o también conocida como la curva de coexistencia, denota la condición en que

distintas fases coexisten, en el caso del diagrama L-L para Tolueno, acido acético agua de bajo

de la binodal coexisten dos fases, por encima de esta, coexiste una sola fase, esta se construye

uniendo todos los puntos de las líneas de atadura. Como se puede ver en la figura .. .

Construcción del marco exterior:

Para el triangulo exterior que contiene el diagrama de fases es necesario saber que la altura es

1, entonces si cada uno de los lados mide una longitud L como se muestra en el siguiente

grafico, la longitud de L se puede saber por el teorema de Pitágoras.

Figura. 11 Diagrama de fases exterior.

Planteando el teorema de Pitágoras:

Ec. 60 Teorema de Pitágoras.

Resolviendo para L, da:

Ec. 61 Resultado de haber aplicado el teorema de Pitágoras

47 º

Con esto ya se saben las coordenadas rectangulares para el triangulo exterior del diagrama de

fases.

Construir diagrama ternario

Para el triangulo

X Y

Origen 0 0

Extremo derecho 1,15470054 0

Punta 0,57735027 1 Tabla 40. Coordenadas para el triangulo exterior del diagrama ternario.

Con estas coordenadas se crea el triangulo exterior del diagrama de fases en Excel.

Construcción de la cuadricula interna.

Para la construcción de la cuadricula interna es necesario entender un poco de cómo

transformar las coordenadas triangulares en coordenadas rectangulares, que son con las que

trabaja Excel.

Se sabe que la composición en C, aumenta de manera vertical y no diagonal por lo cual, la

composición en C, o “XC”, va a ser nuestra misma coordenada en Y.

Ec. 62 Transformación de coordenada en el eje Y.

En el otro caso y para el eje X, las cosas son diferentes ya que ninguna coordenada rectangular

avanza de manera horizontal, más bien avanzan de manera diagonal, por lo cual es necesario

trazar una paralela al lado izquierdo del triangulo, por el punto al cual deseamos transformar

para que nos dé una coordenada en X.

Figura. 12 Diagrama para transformar coordenadas

48 º

Como se puede observar se forman 2 triángulos los cuales tienen, el primero una hipotenusa

igual a X1, y el segundo un cateto igual a X2, por lo que se puede inferir que el punto en X, será

igual a X1 + X2.

Sabiendo que como son rectas paralelas el Angulo θ, es el mismo entonces se construyen las

propiedades trigonométricas de estos triángulos para hallar X1 y X2, y por ende X total.

Para X1:

Entonces:

Ec. 63 y 64 Para obtener X1, por propiedades trigonométricas.

Para X2:

Entonces:

Ec. 65 y 66 Para obtener X2, por propiedades trigonométricas.

Ya sabiendo esto podemos concluir que X total es:

Ec. 67 Para obtener X total a partir de coordenadas triangulares.

Ya sabiendo esto podemos explicar cómo se hicieron las cuadriculas internas.

Las cuadriculas internas se hacen uniendo concentraciones en diferentes puntos, es

necesario hacer 3 clases de cuadriculas para que la interpretación del diagrama sea lo

más exacta posible, como primera medida se tienen que hacer las horizontales

uniendo puntos de concentraciones diferentes, entonces por ejemplo se necesita unir

el punto Xa=0.05, Xb=0, Xc=0.95, con el punto Xa=0, Xb=0.05, Xc=0.95, de este modo

se crea la primera línea o cuadricula, pero para esto es necesario transformar las

coordenadas, las cuales se transforman de la siguiente manera.

49 º

Para el primer punto, Xc=Y, entonces la altura es 0.95, es la coordenada en el ejer Y y

para el eje X, se transforman como sigue:

Ya teniendo esta coordenada se requiere hallar la otra coordenada a composición de

Xa=0, Xb=0.05, Xc=0.95, para lo cual Y, sigue siendo 0.95, ya que solo depende de Xc, y

X es igual a:

Uniendo estos dos puntos en Excel se obtiene la primera línea de cuadricula, y se

puede ver en la siguiente imagen.

Figura 13. Primera línea horizontal de división para poder optimizar lectura del diagrama de

fases.

Se crea una tabla con cada uno de los puntos en Excel y se opera para obtener las

transformaciones adecuadas para hacer cada uno de las 19 líneas de la cuadricula horizontal y

se obtiene lo siguiente:

50 º

Tabla para cuadricula 1

Xa Xb Xc x y Xa Xb Xc x y

0,05 0 0,95 0,54848276 0,95 0 0,05 0,95 0,60621778 0,95

0,1 0 0,9 0,51961524 0,9 0 0,1 0,9 0,6350853 0,9

0,15 0 0,85 0,49074773 0,85 0 0,15 0,85 0,66395281 0,85

0,2 0 0,8 0,46188022 0,8 0 0,2 0,8 0,69282032 0,8

0,25 0 0,75 0,4330127 0,75 0 0,25 0,75 0,72168784 0,75

0,3 0 0,7 0,40414519 0,7 0 0,3 0,7 0,75055535 0,7

0,35 0 0,65 0,37527767 0,65 0 0,35 0,65 0,77942286 0,65

0,4 0 0,6 0,34641016 0,6 0 0,4 0,6 0,80829038 0,6

0,45 0 0,55 0,31754265 0,55 0 0,45 0,55 0,83715789 0,55

0,5 0 0,5 0,28867513 0,5 0 0,5 0,5 0,8660254 0,5

0,55 0 0,45 0,25980762 0,45 0 0,55 0,45 0,89489292 0,45

0,6 0 0,4 0,23094011 0,4 0 0,6 0,4 0,92376043 0,4

0,65 0 0,35 0,20207259 0,35 0 0,65 0,35 0,95262794 0,35

0,7 0 0,3 0,17320508 0,3 0 0,7 0,3 0,98149546 0,3

0,75 0 0,25 0,14433757 0,25 0 0,75 0,25 1,01036297 0,25

0,8 0 0,2 0,11547005 0,2 0 0,8 0,2 1,03923048 0,2

0,85 0 0,15 0,08660254 0,15 0 0,85 0,15 1,068098 0,15

0,9 0 0,1 0,05773503 0,1 0 0,9 0,1 1,09696551 0,1

0,95 0 0,05 0,02886751 0,05 0 0,95 0,05 1,12583302 0,05

Tabla. 41 Tabla que muestra las transformaciones de coordenadas para la cuadricula 1.

Para cada cuadricula se crean coordenadas de la mismo forma y se transforman las

coordenadas del modo que muestran en las tablas siguientes.


xa xb xc x y xa xb xc x y

0 0,05 0,95 0,60621778 0,95 0,95 0,1 0 0,05773503 0

0 0,1 0,9 0,6350853 0,9 0,9 0,1 0 0,11547005 0

0 0,15 0,85 0,66395281 0,85 0,85 0,2 0 0,17320508 0

0 0,2 0,8 0,69282032 0,8 0,8 0,2 0 0,23094011 0

0 0,25 0,75 0,72168784 0,75 0,75 0,3 0 0,28867513 0

0 0,3 0,7 0,75055535 0,7 0,7 0,3 0 0,34641016 0

0 0,35 0,65 0,77942286 0,65 0,65 0,4 0 0,40414519 0

0 0,4 0,6 0,80829038 0,6 0,6 0,4 0 0,46188022 0

0 0,45 0,55 0,83715789 0,55 0,55 0,5 0 0,51961524 0

0 0,5 0,5 0,8660254 0,5 0,5 0,5 0 0,57735027 0

0 0,55 0,45 0,89489292 0,45 0,45 0,6 0 0,6350853 0

0 0,6 0,4 0,92376043 0,4 0,4 0,6 0 0,69282032 0

0 0,65 0,35 0,95262794 0,35 0,35 0,7 0 0,75055535 0

0 0,7 0,3 0,98149546 0,3 0,3 0,7 0 0,80829038 0

0 0,75 0,25 1,01036297 0,25 0,25 0,8 0 0,8660254 0

0 0,8 0,2 1,03923048 0,2 0,2 0,8 0 0,92376043 0

0 0,85 0,15 1,068098 0,15 0,15 0,9 0 0,98149546 0

51 º

0 0,9 0,1 1,09696551 0,1 0,1 0,9 0 1,03923048 0

0 0,95 0,05 1,12583302 0,05 0,05 1 0 1,09696551 0



xa xb xc x y xa xb xc x y

0 0 0,95 0,54848276 0,95 0,05 1 0 1,09696551 0

0 0 0,9 0,51961524 0,9 0,1 0,9 0 1,03923048 0

0 0 0,85 0,49074773 0,85 0,15 0,9 0 0,98149546 0

0 0 0,8 0,46188022 0,8 0,2 0,8 0 0,92376043 0

0 0 0,75 0,4330127 0,75 0,25 0,8 0 0,8660254 0

0 0 0,7 0,40414519 0,7 0,3 0,7 0 0,80829038 0

0 0 0,65 0,37527767 0,65 0,35 0,7 0 0,75055535 0

0 0 0,6 0,34641016 0,6 0,4 0,6 0 0,69282032 0

0 0 0,55 0,31754265 0,55 0,45 0,6 0 0,6350853 0

1 0 0,5 0,28867513 0,5 0,5 0,5 0 0,57735027 0

1 0 0,45 0,25980762 0,45 0,55 0,5 0 0,51961524 0

1 0 0,4 0,23094011 0,4 0,6 0,4 0 0,46188022 0

1 0 0,35 0,20207259 0,35 0,65 0,4 0 0,40414519 0

1 0 0,3 0,17320508 0,3 0,7 0,3 0 0,34641016 0

1 0 0,25 0,14433757 0,25 0,75 0,3 0 0,28867513 0

1 0 0,2 0,11547005 0,2 0,8 0,2 0 0,23094011 0

1 0 0,15 0,08660254 0,15 0,85 0,2 0 0,17320508 0

1 0 0,1 0,05773503 0,1 0,9 0,1 0 0,11547005 0

1 0 0,05 0,02886751 0,05 0,95 0,1 0 0,05773503 0


Teniendo esto se traza la cuadricula en cada uno de los puntos y queda como se observa en la

figura 9 Que muestra la cuadricula de un diagrama ternario.

Construcción de las líneas de atadura.

Como ya se había explicado antes cada línea de atadura se da como resultado de unir a

diferentes composiciones iníciales, las composiciones de dos fases que dan como resultado

una línea recta. En la siguientes 2 hojas se muéstrala tabla que contiene cada una de las 18

líneas de atadura que se hicieron para obtener el diagrama de fases de nuestro equilibrio

líquido-líquido, esta tabla contiene el numero de la línea de atadura, la composición de

entrada al Flash (Z), las transformaciones de coordenadas triangulares a rectangulares de las

composiciones de Z, las composiciones de salida de la fase alfa y beta, las transformaciones de

coordenadas triangulares a rectangulares de las composiciones de la fase alfa y beta, y la

fracción de la fase alfa en el total de la mezcla ψ.

52 º


Z Grafica Xα Grafica

Z1 Z2 Z3 x y Xα1 Xα2 Xα3 x y

1 0,49965 0,0007 0,49965 0,57735027 0,0007 1,2443E-05 0,00106269 0,99892487 0,00062791 0,00106269

2 0,465 0,07 0,465 0,57735027 0,07 0,00022237 0,10927902 0,89049861 0,06334904 0,10927902

3 0,43 0,14 0,43 0,57735027 0,14 0,00132916 0,21853942 0,78013142 0,12770858 0,21853942

4 0,395 0,21 0,395 0,57735027 0,21 0,00447874 0,32060628 0,67491499 0,19027372 0,32060628

5 0,36 0,28 0,36 0,57735027 0,28 0,01081449 0,41200313 0,57718238 0,25035762 0,41200313

6 0,325 0,35 0,325 0,57735027 0,35 0,02120796 0,49141784 0,4873742 0,30820906 0,49141784

7 0,29 0,42 0,29 0,57735027 0,42 0,03620992 0,55842933 0,40536074 0,36422094 0,55842933

8 0,255 0,49 0,255 0,57735027 0,49 0,05607525 0,61300424 0,33092051 0,41866828 0,61300424

9 0,22 0,56 0,22 0,57735027 0,56 0,08080862 0,65533414 0,26385724 0,4716671 0,65533414

10 0,2 0,6 0,2 0,57735027 0,6 0,90607469 0,0913456 0,00257971 1,09898334 0,0913456

11 0,19 0,62 0,19 0,57735027 0,62 0,90399275 0,09343333 0,00257391 1,09778468 0,09343333

12 0,7 0,25 0,05 0,95262794 0,25 0,12007611 0,69275064 0,18717325 0,53861172 0,69275064

13 0,77 0,22 0,03 1,01613647 0,22 0,1485079 0,70636209 0,14513001 0,57930049 0,70636209

14 0,75 0,23 0,02 0,99881597 0,23 0,19228397 0,71322333 0,09449269 0,63381009 0,71322333

15 0,75 0,24 0,01 1,00458947 0,24 0,25029389 0,70413962 0,04556649 0,69554968 0,70413962

16 0,75 0,245 0,005 1,00747622 0,245 0,28751648 0,69029499 0,02218853 0,73053743 0,69029499

17 0,75 0,2475 0,0025 1,0089196 0,2475 0,30921204 0,67987869 0,01090928 0,74957545 0,67987869

18 0,75 0,24875 0,00125 1,00964128 0,24875 0,32106708 0,67353088 0,00540204 0,75959957 0,67353088

53 º


Xβ Grafica ψ

Xβ1 Xβ2 Xβ3 x y

1 0,99907583 0,00033747 0,0005867 1,15382823 0,00033747 0,49989404

2 0,97157069 0,02718899 0,00124032 1,13757077 0,02718899 0,52151291

3 0,95436651 0,04392759 0,0017059 1,12736912 0,04392759 0,55020562

4 0,94328256 0,05471142 0,00200602 1,12079653 0,05471142 0,5840225

5 0,9352577 0,06253446 0,00220785 1,11604685 0,06253446 0,62227479

6 0,92865277 0,06899438 0,00235285 1,11214977 0,06899438 0,66522257

7 0,9225778 0,0749616 0,0024606 1,10858019 0,0749616 0,71367411

8 0,91649682 0,08096638 0,0025368 1,10502533 0,08096638 0,76880548

9 0,91004274 0,08737997 0,00257728 1,1012757 0,08737997 0,83214466

10 0,09706268 0,67415578 0,22878154 0,50130235 0,67415578 0,8727617

11 0,1057467 0,68213646 0,21211684 0,51593744 0,68213646 0,89445265

12 0,90058859 0,09685796 0,00255345 1,0958311 0,09685796 0,256996

13 0,89381799 0,10370983 0,00247218 1,09196901 0,10370983 0,19296397

14 0,88304842 0,11472252 0,00222907 1,08589156 0,11472252 0,1926104

15 0,86756005 0,13080727 0,00163268 1,07729367 0,13080727 0,19045277

16 0,856606 0,14235609 0,00103791 1,07131274 0,14235609 0,18732726

17 0,84977343 0,14963003 0,00059654 1,06762278 0,14963003 0,18457366

18 0,84588449 0,15379366 0,00032185 1,06553609 0,15379366 0,18270059

Tabla. 44 Tabla de transformación de coordenadas.

54 º

Graficando la tabla anterior se obtiene cada una de las 18 líneas de atadura y se muestran en

el siguiente grafico.

Figura 14. Líneas de atadura del diagrama L-L para sistema Ciclohexano, Etanol, Agua.

Este grafico muestra cada una de las líneas de atadura obtenidas, como la composición inicial

tiene que estar contenida en cada una de las líneas de atadura, esta se muestra con una línea

vertical en rojo, no están en todo el diagrama de fases ya que para que las últimas líneas de

atadura convergieran fue necesario desplazar los Z a la derecha del grafico y dejarlos todos

muy unidos, por lo cual casi no se alcanza a ver la composición de todos los Z en las últimas

líneas de atadura.

Construcción de la binodal o envolvente:

Para la construcción de la binodal, fue necesario unir todos los extremos de las líneas de

atadura, aunque en el caso de esta grafica curva queda muy pegada sobre las composiciones

de línea de composiciones de etanol. Sin embargo da la siguiente grafica ya terminada:

0 11

0.9

0

0.95

0.85

0.8

0.75

0.7

0.7

0.65

0.65

0.6

0.6

0.55

0.55

0.5 0.50.45

0.45

0.4

0.4

0.35

0.35

0.3

0.3

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

Fracción molar Ciclohexano

0.75

10.950.9

0.850.8

0.70.650.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.10.050 10.950.90.850.80.75

55 º

Figura 15 Diagrama L-L para el sistema Ciclohexano, Etanol, Agua.

56 º

Habiendo terminado de construir el diagrama de fases, queda explicarlo, y es muy simple la

explicación, debajo de la binodal hay dos fases en equilibrio con diferentes composiciones, por

arriba de la binodal hay una sola fase que no se divide en dos. Para saber la composición de ambas

fases a determinada composición es necesario hacer todo el algoritmo de Rachford y rice, para

que este entregue a uno las composiciones y la fracción de fase alfa en el total de la mezcla.

El diagrama hecho en Aspen plus, a las mismas condiciones de temperatura, presión, y usando el

mismo modelo de actividad es el siguiente:

Figura 16. Diagrama L-L obtenido por el simulador comercial Aspen Plus.

Este diagrama es muy parecido, por no decir el mismo, que el obtenido por Excel con el algoritmo

de Rachford y Rice, se concluye que se obtuvieron buenos resultados y aproximaciones.

57 º

BIBLIOGRAFÍA 1. Algoritmo de Rachford y Rice para calcular el equilibrio líquido - líquido

Cesar Augusto Sánchez Correa

Departamento de Ingeniería Química

Fundación Universidad de América

2. Introducción al equilibrio termodinámico de fases

Iván García Quiroga

Facultad de ingeniería

Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá

3. Termodinámica molecular de los equilibrios de Fases.

Autor: John M. Prausnitz

Editorial: Prentice Hall

Mezcla ternaria Ciclohexano, etanol y agua,

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