Antecedentes de teoria adaptativa Aprendizaje y Conducta Adaptativa I
Mgrandeejemplos
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Universidad Nacional Experimental de Guayana
Coordinación de Pregrado
Facultad de Ingeniería En Informática
Programación Dinámica Lineal y Entera
Ejercicios Resueltos de M Grande
PASOS:
1. Pasar a la forma estándar el Modelo Matemático
2. Agregar variable artificial donde no hay variable de holgura
3.Penalizar las variables artificiales en la función objetivo asignando coeficiente positivo
muy grande "M" (minimizar = +M, maximizar= -M)
4.Quitar las "m" de la columna artificial, ya teniendo solución inicial
5.Se aplica el Método Simplex
1. EJERCICIOS:
Maximizar z= 3x1 + 5x2
x1 ≤ 4
2x2 ≤ 12
3x1+2x2=18
x1, x2 ≥ 0
*La función objetivo se debe penalizar con -M, por ser maximización y para hacer z=0 por lo tanto:
z= 3x1 + 5x2 -M, entonces: z-3x1-5x2+M= 0
x1 + H1 = 4
2x2 +H2 = 12
3x1 + 2x2 + A1 = 18
(-MR4+R1)
-3R2+R4; (3M+3)R2+R1
R4(-2)+R3 ; R4 (2M+5)+R1
R3(-1)+R2 ; R3 (9/2)+R1 ; R3(3/2)+R4
Solucion:
x= 2
x2=6
H1=2
x1 + H1 = 4
2x2 + H2 = 12
3x1+2x2 +A1 = 18
Entonces:
2+2 = 4
2(6) + 0 = 12
3(2) + 2(6) +0 =18
2. EJERCICIO:
Minimice Z= 4X1 + X2
La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una
holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos
Minimice Z= 4X1 +X2
La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por
consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la
función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como
Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2
En el modelo modificado, ahora podemos
utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla
simplex
Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea
consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la
solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se
muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2
tienen coeficientes no cero (-M, -M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan
sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción.
En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2.
Multiplicando cada uno de los renglones –R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la suma al
renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este
paso como
Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón R2) Esto se aplica como
3. EJERCICIO:
Maximizar: Z3x1+5x2
X1≤4 *con signos mayor que o menor que agrego holgura
2x2≤12
3x1+2x2=18 *con signo = agrego artificial
X1 X2 ≥0
La función objetivo se debe panalizar con -MA1, por ser maximización y para hacer a z=0 por lo
tanto, Z-3X1-5X2+MA1=0
Entonces las restricciones quedarían:
X1+H1=4
2X2+H2=12
3X1+2X2+A1=18
4. EJERCICIO:
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución
Z 1 -3 -2 -4 0 0 -M 0
R1 0 2 2 3 -1 0 1 15
S2 0 2 3 1 0 1 0 12
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución
Z 1 -3+2M -2+2M -4+3M -M 0 0 15M
R1 0 2 2 3 -1 0 1 15
S2 0 2 3 1 0 1 0 12
Criterio para seleccionar la variable entrante:
Maximización : El valor mayor negativo del renglón Z.
Minimización : El valor mayor positivo del renglón Z.
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución
Z 1 -1/3 2/3 0 -4/3 0 4/3-M 20
X3 0 2/3 2/3 1 -1/3 0 1/3 5
S2 0 4/3 7/3 0 1/3 1 -1/3 7
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución
Z 1 -5/7 0 0 -10/7 -2/7 10/7-M 18
X3 0 2/7 0 1 -3/7 -2/7 3/7 3
X2 0 4/7 1 0 1/7 3/7 -1/7 3
5. EJERCICIOS:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución
Z 1 -4 -1 0 0 M M 0
R1 0 3 1 0 0 0 0 3
R2 0 4 3 -1 0 1 1 6
S2 0 1 2 0 1 0 0 3
V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución
Z 1 -4-7M -1-4M M 0 0 0 -9M
R1 0 3 1 0 0 0 0 3
R2 0 4 3 -1 0 1 1 6
S2 0 1 2 0 1 0 0 3
V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución
Z 1 0 1/3-
5/3M
M 0 4/3+7/3M 0 4-2M
X1 0 1 1/3 0 0 1/3 0 1
R2 0 0 5/3 -1 0 -4/3 0 2
S2 0 0 5/3 0 1 -1/3 1 2
V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución
Z 1 0 0 1/5 0 8/5+M -1/5+M 18/5
X1 0 1 0 1/5 0 3/5 3/5
R2 0 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5
S2 0 0 0 1 1 1 -1 1
6. EJERCICIO
7. EJERCICIO
Resuelva el siguiente modelo de programación lineal aplicando la
Técnica de la Gran M.
Max. Z= 2X1 + X2 s.a. X1 + X2 = 4 -X1 + 2 X2 = 2
X1, X2 0 Penalización. Max. Z= 2X1 + X2 –MW1 – MW2 s.a. X1 + X2 + W1 = 4 -X1 + 2 X2 + W2 = 2
X1, X2, W1, W2 0 Igualamos a 0 la función objetivo. Z = 2X1 + X2 –MW1 – MW2
Z -2X1 - X2 +MW1 + MW2 = 0