MatemáticaHacer

en

AUTORAS: Irma Saiz y Cecilia ParraEDICIÓN: Edith Ribke

JEFE DEL ÁREA DE MATEMÁTICA: Gabriel H. LagoaJEFE DEL DEPARTAMENTO DE ARTE Y DISEÑO: Lucas Frontera Schällibaum

Guía docenteGuía docente

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Hacer Matemática en 4° es un proyecto para Primer Ciclo de la Enseñanza Primaria,

ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S.A. bajo la dirección editorial de Graciela Valle.

Gerencia editorial: Judith Rasnosky

Corrección: Laura Susín

Coordinadora de Diseño: Natalia Udrisard

Coordinadora de Gestión de Diseño: Paola Burniego

Diseño de tapa e interior, realización gráfica: S + L estudio

Ilustraciones: Marcelo Elizalde

Coordinadora de imágenes y archivo: Samanta Méndez Galfaso

Tratamiento de imágenes: Pamela Donnadio, Máximo Giménez y Tania Meyer

Coordinación de marcas y derechos: Amorina Scalercio

Gerente de Diseño y Producción Editorial: Carlos Rodríguez

© Editorial Estrada S.A., 2012.Editorial Estrada S.A. forma parte del Grupo Macmillan.Avda. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.Internet: www.editorialestrada.com.arQueda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en la Argentina.Printed in Argentina.ISBN 978-950-01-1402-8

La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el "Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo" (INADI) con los editores de textos.

No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.

Primera edición.Este obra se terminó de imprimir en enero de 2012, en los talleres de Servicio Industrial Gráfico S.R.L., Cóndor 2877, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Parra, María Cecilia Hacer atemática en 4° - Guía Docente / María Cecilia Parra y Irma Saiz. - 1a ed. - San Isidro: Estrada, 2012.

112 p.; 28 x 20 cm

ISBN 978-950-01-1402-8

1. Matemática. 2. Enseñanza Primaria. 3. Libro del Docente. I. Saiz, Irma. II. Título. CDD 371.1

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A más de 10 años..............................................................................................La colección Hacer Matemática en 1º-, 2º-, 3º-, 4º-, 5º- y 6º-................................................

Enseñar y aprender Matemática en la escuela primaria................................................La evolución de los conocimientos........................................................................................................

¿De qué manera la colección Hacer matemática busca apoyar estas formas de enseñar y

aprender matemática en 4º-, 5º- y 6º- grado............................................................................................

Modalidades de trabajo sobre cálculo...................................................................................................

El Cuadernillo para practicar, con evaluaciones...................................................................................

El período de afianzamiento y revisión..................................................................................................

Organización del libro del alumno por ejes de contenido....................................................................

Número y operaciones......................................................................................

1. Numeración.........................................................................................................................................

Numeración oral y numeración escrita..........................................................................................

Designaciones orales y escritas de los números...........................................................................

Organización del sistema decimal: agrupamientos y valor posicional.........................................

2. Suma y resta........................................................................................................................................

Suma y resta en Hacer Matemática en 4º-....................................................................................

3. Multiplicación.....................................................................................................................................

La multiplicación en Hacer Matemática en 4º-..............................................................................

Situaciones multiplicativas..............................................................................................................

Recursos de cálculo.........................................................................................................................

Prioridad de las operaciones y uso de paréntesis.........................................................................

4. División...............................................................................................................................................

5. Fracciones y decimales......................................................................................................................

Fracciones........................................................................................................................................

Decimales..........................................................................................................................................

Geometría y medida..........................................................................................

1. Geometría...........................................................................................................................................

Ángulos rectos, paralelismo y perpendicularidad.........................................................................

Figuras geométricas planas.............................................................................................................

Instrumentos y técnicas...................................................................................................................

2. Medida................................................................................................................................................

Longitud............................................................................................................................................

Tiempo...............................................................................................................................................

Peso.................................................................................................................................................

Capacidad.........................................................................................................................................

Área..................................................................................................................................................

Tratamiento de la información........................................................................

1. Extracción de información presente en diversos portadores..........................................................

2. Resolución de problemas...................................................................................................................

3. Relaciones entre magnitudes.............................................................................................................

Bibliografía..............................................................................................................................................

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A más de diez años…

Han pasado ya diez años desde que hicimos la primera versión de estos libros. Durante

este tiempo hemos tenido la alegría de saber que muchos maestros los han usado y que han

resultado productivos para la actividad matemática de sus alumnos. Hemos tenido también la

enorme satisfacción de enterarnos de que a los chicos les gustan estos libros: que se alegran

cuando el maestro pide que los “saquen”, que reclaman si pasan muchos días sin usarlos, que

se los quieren llevar a la casa de la abuela o para leer durante un viaje largo.

Hemos tenido ocasión de reunirnos con niños que nos han entrevistado para saber cómo

hicimos los libros. Les hemos explicado que son el producto del trabajo de mucha gente y que

además “viven” en sus aulas gracias al trabajo de sus maestros. Les hemos dicho que ellos

aprenden cuando trabajan con las situaciones que los maestros les proponen, cuando discuten,

cuando se ponen de acuerdo. Les hemos dicho que se aprende Matemática trabajando y que

todos pueden hacerlo. No sabemos si los niños nos habrán entendido o no, quizás todavía

mucha de la producción humana les parezca mágica o ajena, pero estamos seguros de que

muchos de ellos han tenido oportunidades de producir y han sentido como propias algunas

“piezas” del conocimiento matemático.

Esos encuentros y los que tenemos continuamente con maestros en ejercicio y en

formación, así como con colegas que comparten el camino, nos renuevan y nos han dado

fuerzas para volver a enfrentar el desafío de recuperar lo bueno que estos libros han tenido y, a

la vez, saber cambiar lo que debe ser cambiado.

Hemos asumido esta vez un nuevo desafío: completar la colección, producir los libros para

cuarto, quinto y sexto grado. Nos ha resultado difícil, quizás porque más años de experiencia

también suelen traer mayor conciencia de la complejidad de la tarea. Escribir libros que ayuden

a los maestros a enseñar y a los alumnos a aprender es muy complejo, porque así es enseñar

y aprender.

Pero están aquí, los libros para los chicos y los libros para los docentes. Deseamos que sean

motivo de buenos encuentros entre quienes enseñan y quienes aprenden Matemática.

Agradecimientos

Para elaborar la Guía Docente de Hacer Matemática en 4º- hemos contado con la inestimable

colaboración de Cecilia Castillo y Gabriela Heredia.

Queremos agradecer al Colegio Saint Patrick de la Ciudad de Corrientes el habernos permitido

llevar a las aulas nuestras propuestas de actividades.

Irma Saiz y Cecilia Parra

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Hace ya doce años concebimos y pusimos a disposición de los maestros Hacer Matemática

para el Primer Ciclo. Ahora tenemos la alegría de haber completado la colección y estar

ofreciendo una respuesta de conjunto para la escuela primaria, de 1º- a 6º-.

La colección que presentamos se sustenta en la convicción de que los alumnos –todos ellos,

grandes y pequeños– aprenden Matemática haciendo Matemática, que necesitan siempre

oportunidades de exploración, de construcción, de estructuración y de reutilización; que todos

ellos son capaces de reflexionar, que todos necesitan oportunidades de práctica para alcanzar

seguridad y dominio, que a todos los beneficia que haya momentos de evaluar lo que se ha

aprendido, para poder identificar lo que se sabe y también lo que todavía requiere de esfuerzo

y ayuda para ser aprendido.

Tanto en el ciclo anterior como en este, sostenemos la convicción de que el sentido de

los conocimientos matemáticos proviene de los problemas que permiten resolver. Tejer las

relaciones entre diversas formas de resolución y la identificación de conceptos y técnicas

es una responsabilidad de la enseñanza durante toda la escolaridad. En todos los niveles

corresponde desplegar procesos que vayan de la exploración al dominio de los conocimientos.

En la búsqueda de equilibrio y de continuidad del proceso formativo se puede decir, un poco

esquemáticamente, que la enseñanza en el Primer ciclo también tiene que asegurar un mayor

dominio de los conocimientos y, en el Segundo ciclo, tiene que sostener la preocupación

por el problema del sentido de los conocimientos y la convicción de que es debido al trabajo

matemático desplegado ante determinadas situaciones que se llegan a conocer los conceptos,

las técnicas y las diversas formas de representación.

Hemos querido elaborar una obra que favorezca la continuidad de la experiencia formativa

durante la escolaridad. Sabemos que los aprendizajes importantes en Matemática necesitan

muchos años y requieren de una enseñanza que promueva el establecimiento de relaciones

entre los conocimientos y que favorezca su estructuración en distintas escalas de tiempo. Las

articulaciones se juegan en, por lo menos, dos sentidos: por un lado, en la simultaneidad del

trabajo sobre variados aspectos; por otro, en la complejización progresiva de los contenidos con

los que se trabaja.

Concebir una obra que favorezca este tipo de experiencia formativa nos condujo a optar por

una organización de Hacer matemática 4º-, 5º- y 6º- en fichas de trabajo estructuradas a partir

de una situación. En cada ficha se identifica un tema matemático, pero el trabajo a partir de

los problemas conduce al tratamiento simultáneo y relacional de aspectos variados. Además,

y no respondiendo a costumbres habitualmente presentes en las aulas, los grandes ejes de

contenido: Numeración y operaciones, Geometría y Espacio, están presentes en cada uno de

los seis períodos en los que hemos dividido el trabajo anual.

Como lo expresamos, el conjunto de la colección se ordena en un mismo enfoque, a la

vez que busca asumir la especificidad de las propuestas para cada año. Que sea un enfoque

ampliamente difundido no nos dispensa de presentar, una vez más, algunos aspectos centrales

de la enseñanza de Matemática en la escuela primaria a la que esta obra busca apoyar. Lo

haremos sintéticamente, porque esperamos mostrar luego, con más detalle, las opciones

específicas realizadas para cada grado en el marco del proyecto de conjunto.

La colección Hacer Matemática en 1º-, 2º-, 3º-, 4º-, 5º- y 6º-

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Enseñar y aprender Matemática en la escuela primaria

Hacer matemática es un trabajo del pensamiento que construye los conceptos para

resolver problemas, que plantea problemas a partir de conceptos así construidos, que

rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco

los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se

desestructuran y se reestructuran sin cesar.1

Charlot, Bernard: "La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza

de las matemáticas"

En la escuela, los alumnos tienen que aprender a realizar actividad matemática; tienen que

tener oportunidades, distintas de las que ofrece la vida cotidiana, de apropiarse de los modos

de pensar, de las prácticas propias de la cultura matemática. En ese marco tienen que adquirir

conocimientos específicos.

Los alumnos aprenden Matemática a partir de lo que tienen oportunidad de hacer en

relación con el conocimiento. Aprenden Matemática trabajando con las situaciones que el

maestro y les plantea. Aprenden actuando. Aprenden pensando sobre lo que hacen y sobre

lo que imaginan. Aprenden por las acciones que despliegan como respuesta a las preguntas,

a las consignas, a los desafíos de los que han podido apropiarse. Aprenden al volver sobre

la producción propia y de otros. Aprenden cuando expresan sus ideas y, también, cuando

comienzan a dar sentido a signos y palabras muy usados en la cultura. Aprenden cuando su

propia producción es reconocida y vinculada con los conocimientos disponibles en la sociedad.

Estas prácticas, estas experiencias, son posibles en el marco del proyecto de enseñanza del

maestro, en el marco del proyecto formativo de la escuela.

Son los maestros:

- quienes proponen una serie de situaciones, organizan el trabajo y la comunicación en la

clase, plantean tareas, identifican el conocimiento que se ha producido, lo vinculan con el

saber que existe más allá del aula;

- quienes tienen que articular los objetivos y el trabajo en cada situación con los propósitos de

largo alcance (los del año, los del ciclo, los de la escuela);

- quienes pueden reconocer qué han aprendido los niños y pueden ayudarlos a tomar

conciencia de lo que saben y de lo que falta aprender;

- quienes proveen variadas oportunidades y modalidades de trabajo para que los distintos

alumnos, con ritmos diferentes, alcancen los logros buscados.

Para tan compleja tarea los docentes necesitan acompañamiento y recursos: hay que

lograr que los chicos aprendan muchas cosas en no mucho tiempo. Se desea, se busca que

lo que se les enseña cobre sentido a partir de los problemas que les permite resolver, de las

relaciones que pueden establecer, de las nuevas situaciones que pueden abordar utilizando

esos conocimientos.

Desde hace muchos años se ha difundido la idea de que si no hay problemas, no hay

Matemática. Pero ha resultado más difícil asumir en la enseñanza que si solo hay problemas,

no está toda la Matemática. En palabras de Patricia Sadovsky2: "la actividad matemática que

potencialmente un problema permitiría desplegar no está contenida en el enunciado del

1 CHARLOT, Bernard (1986): "La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas". Conferencia

publicada en BKOUCHE,B./ CHARLOT, B. / ROUCHE, N. (1991): Faire des mathématiques: le plaisir du sens, Ed. Armand

Colin. Disponible en http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/cepa/epistemologia_charlot.pdf

2 SADOVSKY, P. (2005): Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos, Libros del Zorzal, Argentina.

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problema sino que depende sustancialmente de las interacciones que a propósito del problema

se pueden generar". (2005, pág 46)

¿Cuáles son esas interacciones a propósito del problema que resultan constitutivas de la

actividad matemática y que modifican el sentido de los conocimientos?

La situación planteada a los niños puede exigirles o no la explicitación (oral o escrita) de las

relaciones que ellos establecieron para resolverla. Los niños pueden estar o no sometidos a la

exigencia de proponer argumentos que muestren la validez de sus resultados, pueden o no ser

invitados a participar de un debate en el que se confrontan diferentes perspectivas para una

misma problemática, pueden o no destinar tiempo a revisar lo que se ha hecho hace unos días

y relacionarlo con lo que se está haciendo en ese momento. Cada instancia mencionada ofrece

una oportunidad para poner en juego el conocimiento de una manera diferente.

Las exigencias de explicitación, de argumentación, de revisión y de validación brindan

oportunidades para transformar el conocimiento y hacerlo más reconocible; son, por esto,

elementos esenciales en la constitución del sentido de los conocimientos. Estas prácticas

permitirán que los alumnos aprendan "otra cosa" respecto del mismo objeto matemático y se

apropien al mismo tiempo de los modos de producción característicos de la matemática.

Cuando los niños resuelven problemas trabajan con cálculos, analizan figuras, utilizan

procedimientos, ponen en juego propiedades, etcétera. Estos conocimientos pueden

permanecer implícitos o ser explícitos, reconocidos, formulados. Las prácticas de formulación

dan existencia a los objetos matemáticos. Es más, citando nuevamente a Patricia Sadovsky,

"los objetos matemáticos sólo existen a través de las herramientas que se inventan para

expresarlos"3. Al usar las diversas formas de representación (dibujos, lenguaje natural, signos,

símbolos) aparece algo que no solo permite comunicarse sino que permite pensar. Al mismo

tiempo, el esfuerzo de interpretar representaciones producidas por otro, en el marco de la clase

o desarrolladas y estabilizadas en la cultura, produce conocimientos. Resolver problemas de

representación puede ser una ocasión para la conceptualización. Los niños se apoyan en lo

que saben para poder representar, pero al representar y comunicar, aprenden sobre los objetos

matemáticos con los que están trabajando. Un pequeño ejemplo: Ubicar números fraccionarios

en la recta numérica es un problema de representación en el que se usa conocimiento sobre

las fracciones pero, al tener que ubicarlas, también se aprende mucho sobre las propiedades

de ellas.

A falta de una expresión mejor diremos que es necesario promover la reflexión sobre el

conocimiento y con ello aludimos a las prácticas de volver sobre lo hecho, de mirarlo, de

juzgarlo como fácil o difícil, como seguro o no tanto, como verdadero o falso. Estaríamos

sugiriendo una idea reductora de la actividad matemática si no incluyéramos la práctica de dar

prueba de lo que se está afirmando, de encontrarle fundamento, de tratar de explicar por qué

funciona o no funciona, o en qué casos funciona y en cuáles no.

Para identificar la importancia de este componente de la actividad matemática es necesario

considerar las ideas sobre la matemática misma. Alain Mercier plantea: "los saberes y

conocimientos matemáticos pueden constituir un medio de dominar los fenómenos en la

realidad: dan el poder de pensar el mundo y de actuar"4

Pero ese poder que confiere el conocimiento matemático solo es tal si se asume la

responsabilidad de validar los resultados, si se realiza el trabajo necesario para estar seguro de

que el proceso realizado es correcto y las afirmaciones producidas son ciertas. Llegar a estar

3 Op.cit.

4 MERCIER, A. "Questions d'épistémologie des situations". Conferencia en Bordeaux, 2008.

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"seguro" matemáticamente y poder fundamentarlo tiene importancia porque, en el sentido

planteado por Mercier, con apoyo en el conocimiento se toman decisiones, se actúa en el

mundo. Pero también es importante porque representa un aspecto sustantivo del quehacer

matemático, porque constituye una práctica esencial de la cultura matemática con la que la

escuela ha de poner en contacto al niño.

Es este conjunto de prácticas –que la enseñanza tiene que promover– las que permitirán a,

a cada niño adueñarse del conocimiento matemático, hacerlo propio.

Hay otro aspecto en el que es necesario detenerse. Compartimos la perspectiva según

la cual la Matemática es un producto histórico, cultural y social. Este último rasgo es

justificado del siguiente modo por Patricia Sadovsky: "La matemática es también un producto

social, porque es resultado de la interacción entre las personas que se reconocen como

pertenecientes a una misma comunidad. Las respuestas que plantean unos, dan lugar a

nuevos problemas que visualizan otros, las demostraciones que se producen se validan

según las reglas que se aceptan en cierto momento en la comunidad matemática."5 ¿Por qué

considerar esta referencia al funcionamiento de la comunidad matemática? Porque creemos

que también entre los niños las respuestas que proveen unos dan lugar a nuevos problemas,

porque tener que interactuar con otros en torno a un problema o por la reflexión sobre lo hecho

constituye un motor, un motivo para la explicitación; porque tener que defender el propio punto

de vista compromete al alumno en la producción de argumentos que no se elaborarían si solo

tuviera que convencerse a sí mismo o si no se solicitara tal convencimiento sobre la validez de

los resultados. Es precisamente en la organización de las interacciones de los alumnos entre sí

en torno a las situaciones y en torno a lo producido que encuentra el docente una herramienta

fundamental para que se desplieguen y cobren sentido las prácticas aludidas.

Conocemos la complejidad de organizar interacciones entre los alumnos, se tiene menos

"control" sobre lo que está pasando, los procesos llevan mucho tiempo, la diversidad de

resoluciones se acrecienta, las puestas en común son difíciles de conducir… Pero hay

momentos en la enseñanza y cuestiones a aprender que son de tal importancia y complejidad

que justifican, desde nuestro punto de vista, toda la "inversión" que representa organizar los

intercambios entre los alumnos. Es decir, no todos los asuntos merecen esta dedicación, no

todo requiere trabajo en interacción y "puesta en común", pero el logro de los propósitos de

largo alcance –la entrada en la cultura matemática, la apropiación de los conocimientos, el

sentirlos propios y el convertirlos en herramientas para pensar el mundo y para actuar en él–

sí requieren un proyecto de enseñanza que valore, contemple y organice la interacción entre los

alumnos como medio esencial de actividad matemática.

Una y otra vez hemos visto a los alumnos responder positivamente a una sistematización de

la organización de la clase con estas características, y día a día asumir la responsabilidad de

presentar sus producciones, analizar las de sus compañeros, discutir las conclusiones, escribir

los acuerdos en el libro o en el cuaderno; en suma, reflexionar sobre el conocimiento y convertir

en habitual y cotidiano lo que en un principio era excepcional y demandaba una gran inversión

en tiempo y energía del docente.

5 SADOSKY, Oo. cit.

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La evolución de los conocimientos

Un abordaje centrado en la resolución de problemas, que valora los aportes de cada uno

y la interacción entre los alumnos, no excluye la importancia de la eficacia y el dominio de

los conocimientos. Al contrario, profundizar el sentido de los mismos, poder abordar nuevos

problemas, requiere que los conocimientos adquiridos se conviertan en sólidos puntos de

apoyo para aprendizajes posteriores.

Buscando retener el sentido de lo propuesto, afirmamos que es necesario asumir un trabajo

en la enseñanza que, en el marco de la resolución de problemas, favorezca la evolución de

los procedimientos y de los medios de representación y comunicación con que se tratan las

situaciones.

Cada uno de estos aspectos (problemas, procedimientos, técnicas, trazos, escrituras) tiene

especificidad: es constitutivo del conocimiento matemático, interviene en la conceptualización

y es fuente de sentido. Esto quiere decir que los logros en un aspecto no aseguran

necesariamente avances en otro. Un alumno puede disponer de un procedimiento para

resolver un problema, pero expresarlo con un cálculo o interpretar escrituras producidas por

otro resulta un desafío y es necesario aprenderlo. Un alumno puede ser capaz de reproducir

una figura, pero elaborar un mensaje para que otro la realice constituye un nuevo problema

que, en su resolución, involucra aprendizajes específicos. Por lo tanto, se requieren propuestas

de enseñanza y tiempos de trabajo orientados a provocar avances en cada uno de ellos.

Resulta necesaria una enseñanza que asuma y sostenga la complejidad de trabajar

múltiples aspectos en simultáneo a durante prolongados períodos, sabiendo, además, que los

procesos no se cumplen del mismo modo y al mismo tiempo en todos los alumnos.

Concretamente, no se propone lo mismo el primer día de trabajo con un problema que en

las siguientes clases en torno al mismo asunto. Los alumnos tienen que ser progresivamente

capaces de hacer y pensar distintas cosas. No solo distintas, sino mejores, más eficaces, más

poderosas. También es necesario, cuando algo se ha trabajado suficientemente, empezar

a exigirlo. Por ejemplo, a cierta altura de tercer grado, los niños tienen que poder decir

rápidamente varios productos de dígitos y los otros poder averiguarlos estableciendo relaciones

con los conocidos, sin necesidad de recurrir a la suma. A mediados y fines de cuarto grado,

esta memorización debería involucrar la mayoría de los productos de dígitos.

Ante las situaciones, los alumnos utilizan recursos, el conocimiento funciona como una

herramienta. Pero la enseñanza no puede detenerse allí: los conocimientos tienen que ser

reconocidos, identificados y estar disponibles para ser utilizados en nuevas situaciones.

Como hemos dicho, la enseñanza tiene que favorecer que los alumnos establezcan relaciones

entre los aspectos que trabajan. Se requieren oportunidades de práctica, de reflexión individual

sobre algunos aspectos, de mirada sobre la producción propia y de otros para dar sentido a

signos y palabras muy utilizadas en la cultura. Son necesarias oportunidades para pensar, para

hablar, para escribir, para comparar maneras de pensar y establecer relaciones.

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¿De qué manera la colección Hacer Matemática busca apoyar estasformas de enseñar y aprender Matemática en 4º-, 5º- y 6º- grado?

Como en todo proyecto de enseñanza, se han considerado las adquisiciones que se buscan

favorecer en los alumnos y se ha buscado poner en relación tipos de tareas y escalas de

tiempo. El proyecto tiene que contemplar tiempos largos y cortos, y plantear evoluciones en

distintas escalas.

Para cada grado se ofrece un libro y un cuadernillo para practicar, con evaluaciones por

período.

La propuesta se organiza en seis períodos en el año. En cada período se trabajan, con pesos

variables, los distintos ejes de la planificación correspondiente. Es decir, en todos los períodos

se incluyen situaciones para trabajar:

· Número y operaciones

· Medida

· Geometría

Esta organización permite:

- alcanzar un mayor equilibrio en la enseñanza, restituyendo la importancia y la presencia del

trabajo en Medida y Geometría;

- ampliar las experiencias y "puertas de entrada" para que alumnos con más facilidad o gusto

en un terreno que en otro tengan diversas oportunidades;

- retomar los asuntos en varios momentos durante el año, favoreciendo su estructuración

progresiva, dando nuevas oportunidades a quienes lo necesitan y favoreciendo la puesta en

relación con otros conocimientos que se están adquiriendo.

Hemos trabajado con una imagen de los objetivos a lograr en el año y los hemos organizado

en los seis períodos. En cada período nos hemos planteado cuestiones que se abren, otras que

se consolidan, etcétera. Para ello, tomando en cuenta las adquisiciones consideradas relevantes

para cada eje de contenido, proponemos una sucesión de situaciones pensadas a partir del

análisis de lo que cada una requiere como conocimientos en los cuáles apoyarse, lo que pone

en juego o lo que busca convertir en disponible.

En el índice temático puede leerse horizontalmente el conjunto de objetivos planteados, las

diversas prácticas que se promueven en torno a un objeto matemático, como el sistema de

numeración o la proporcionalidad.

En cada período se incluye un conjunto de fichas, cada una de las cuales se ordena a uno o

más objetivos y en las que se identifica un tema matemático.

Al final del libro se incluye una selección de actividades para poder desarrollar un Período

de afianzamiento y revisión.

Básicamente, cada ficha de trabajo se estructura a partir de un problema y se proponen

tareas de distinta naturaleza. Se presentan contextos más o menos complejos, más o menos

cercanos a los alumnos, ante los cuales se intenta favorecer la disposición a trabajar con la

información para responder a las preguntas ya planteadas y también a plantearse preguntas

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y producir nueva información. En muchas fichas los problemas se plantean a partir de un

juego, de un conjunto de cálculos o de una tarea de construcción, de medición, etcétera.

La idea es que los chicos puedan trabajar por sí mismos cuando se ha asegurado que todo

el grupo entendió el planteo, de qué se trata la situación. Con frecuencia se plantean preguntas

que ayudan a pensar o que orientan cómo seguir trabajando en torno al problema.

Se promueve que los alumnos expliciten y comparen las ideas que han tenido, las

respuestas que han producido. Muchas veces se pide que discutan hasta llegar a acuerdos y

que los formulen. En varios casos se explicitan procedimientos o técnicas que pueden haber

estado presentes en la clase o no, a las que las primeras aproximaciones de los chicos pueden

conferir sentido y que se consideran importantes para ser trabajados por todos.

Con frecuencia se solicita que los alumnos formulen las regularidades que observan, den

explicaciones y razones de sus respuestas. Es decir, se asume que en la clase van a existir

diversas formulaciones producidas por los alumnos que el libro no puede atrapar. A la vez,

el libro ha de resultar portador de saberes identificados en la cultura matemática a la que se

quiere acercar a los alumnos.

En algunas fichas se incluyen textos matemáticos más o menos descontextualizados con

el fin de legitimar o dar existencia a procedimientos y formulaciones. Son formulaciones

elaboradas por miembros adultos poseedores de los conocimientos. Comunican formas de

trabajo matemático, analizan relaciones entre el modelo matemático y las situaciones, vinculan

conceptos y técnicas, etcétera. Por momentos están más cercanas a las conclusiones que

los alumnos mismos pueden producir, por momentos les acercan palabras y modos de decir

propios del conocimiento tal como está formulado en la cultura.

Las formulaciones que hemos incluido son textos de Matemática. Consideramos que leer

textos matemáticos forma parte de la actividad matemática, integra las prácticas formativas

a propiciar.

La presencia de estas plaquetas informativas crece a lo largo de la obra, se acrecienta de

grado a grado. Esto se debe, por un lado, a que los conocimientos matemáticos se amplían y se

acercan (por sus denominaciones, por el nivel de conceptualización, por el dominio creciente

de técnicas, etcétera) a los modos en que se identifican tales saberes en la cultura matemática;

por otro lado, el aumento también se debe a que los alumnos van acrecentando su capacidad

de leer por sí mismos textos matemáticos y se espera que la lectura forme parte de sus

prácticas de estudio.

Modalidades de trabajo sobre cálculo

El trabajo en el terreno del cálculo se ordena en múltiples propósitos: se busca que

los alumnos dispongan de variados recursos de cálculo y que, en cada caso, aprendan a

seleccionar tanto la modalidad de resolución que les parezca más adecuada (cálculo mental,

algoritmos, calculadora), como los medios de control sobre los recursos utilizados. El trabajo

sobre el cálculo puede constituir una ocasión de realizar genuina actividad matemática:

los alumnos pueden realizar análisis, tomar decisiones, discutir acerca de la validez de sus

razonamientos, encontrar fundamentos para su hacer con el mismo espíritu con el que se

promueve la resolución de problemas.

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En Hacer Matemática, hemos incluido gran cantidad de fichas de trabajo que apuntan a que

los alumnos mejoren los recursos con los que cuentan para resolver cálculos por medio de:

- la elaboración y apropiación de procedimientos y estrategias de cálculo;

- el acrecentamiento y organización del conjunto de resultados disponibles.

Pero, dado que la constitución de un repertorio –ya sea aditivo o multiplicativo– requiere

de múltiples oportunidades de práctica para estabilizarse, para estar realmente disponible,

hemos incluido en el libro, además de las propuestas de las fichas, una serie de plaquetas de

Cálculos. La idea es realizar una pequeña sesión de cálculos –dedicarles unos minutos para la

resolverlos y para chequear las respuestas– una vez por semana o cada dos semanas.

Los cálculos han sido seleccionados y distribuidos en el año pensando que el trabajo previo

tiene que permitir que los alumnos los resuelvan rápidamente.

Del mismo modo que con otros objetos matemáticos, hay conjuntos de cálculos que a cierta

altura del aprendizaje son trabajados detenidamente, son objeto de intercambios y reflexiones,

pero que luego se sistematizan y se integran en el repertorio en constitución. Cuando se

plantean en las plaquetas de Cálculos, se espera que los alumnos puedan responder ya sea

porque han memorizado los resultados, ya sea porque disponen de un conocimiento de los

números que lo facilita (por ejemplo, 520 – 20) o de un procedimiento que lo convierte en

accesible (por ejemplo, para 710 + 190, reunir 10 y 90 que forman 100, luego sumarlo a 700

y a 100). La finalidad es que tomen conciencia de que disponen de resultados o que son

capaces de producirlos rápidamente.

El trabajo con estos cálculos ha de permitir que los alumnos tomen conciencia de lo que

saben y, también, de lo que tienen que practicar. En este sentido, es altamente conveniente

organizar un momento para trabajar con los cálculos y otro momento –por ejemplo, la semana

siguiente– para retomar actividades y tareas especialmente dirigidas a los niños a los que más

les cuesta alcanzar el dominio esperado.

Muchos de ellos, por muchas razones sobre las que no volveremos aquí, piensan que un

conocimiento se tiene o no se tiene ("lo sé" o "no sé nada") y resulta necesario trabajar para

puedan establecer otra relación con el conocimiento.

Aún en un terreno "pequeño", como es el del dominio de los repertorios, es importante dar

oportunidades a los alumnos para que puedan realizar una práctica frecuente de identificar

lo que saben, lo que saben más o menos… y, sobre todo, darles oportunidades para trabajar

sobre lo que no dominan. Para que los chicos estén dispuestos a identificar lo que no saben, es

necesario confirmarles que tendrán oportunidades de trabajar sobre ello.

A continuación señalamos una breve descripción de los cálculos seleccionados y ejemplos

de los mismos en cada período, lo que permite analizar la evolución en cada operación durante

el año.

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Primer período

Ficha 2: Suma de números de tres cifras más decenas menores que la centena siguiente.

120 + 60 = 250 + 40 = 430 + 40 =

550 + 50 = 720 + 80 = 370 + 30 =

Ficha 3: Resta de números de tres cifras menos decenas.

520 – 20 = 760 – 30 = 350 – 40 =

280 – 30 = 390 – 50 = 870 – 60 =

Ficha 4: Sumas de números de tres cifras.

230 + 420 = 350 + 450 = 540 + 305 =

710 + 190 = 830 + 200 = 625 + 400 =

Ficha 7: Suma de números de cuatro cifras.

2.000 + 3.700 = 8.300 + 1.100 = 4.900 + 3.100 =

1.800 + 2.100 = 5.400 + 2.600 = 6.300 + 1.700 =

Ficha 14: Productos de dígitos.

5 × 8 = 40 5 × 7 = 6 × 8 =

5 × 9 = 4 × 8 = 6 × 9 =

Segundo período

Ficha 16: Dobles.

El doble de 15 es… El doble de 19 es… El doble de 47 es…

El doble de 123 es… El doble de 317 es… El doble de 609 es…

Ficha 23: Determinar el factor.

3 × … = 21 … × 4 = 36 7 × … = 35

… × 8 = 48 9 × … = 72 4 × ... = 44

Ficha 25: Continuar restando 5 (1º- línea), 10 (2º- línea) y 20 (3º- línea).

2.750 2.745

893 883

680 660

Ficha 26: Divisiones.

8 : 4 = 27 : 3 = 45 : 5 =

72 : 8 = 49 : 7 = 54 : 6 =

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Tercer período

Ficha 29: Productos por decenas.

15 × 10 = 13 × 20 = 18 × 30 =

10 × ... = 370 20 × ... = 400 30 × ... = 330

Ficha 31: Sumas de números terminados en 0 y en 5, completamiento a centena y al próximo

número terminado en 5.

705 + 85 = 665 + 40 = 815 + 90 =

695 + 105 = 375 + 225 = 250 + 55 =

Ficha 33: Designaciones en palabras y en cifras.

Trescientos sesenta y siete = 367 Seiscientos setenta y uno = …

Quinientos cuatro = … Doscientos treinta y seis = …

725 = ………………………….. 189 = ……………………………….

Ficha 34: Completamiento a 1.000.

790 + … = 1.000 910 + … = 1.000 805 + … = 1.000

308 + … = 1.000 535 + … = 1.000 490 + …= 1.000

Ficha 38: Restas descomponiendo.

890 – 300 = 380 – 110 = 470 – 320 =

640 – 50 = 350 – 70 = 730 – 80 =

Cuarto período

Ficha 41: Descomposiciones diferentes para sumar y restar.

1.300 + 800 = 1.300 – 800 = 2.800 + 400 = 2.800 – 400 =

3.500 + 700 = 3.500 – 700 = 5.400 + 900= 5.400 – 900 =

Ficha 42: Sumas y restas de dos números especiales 9 y 11.

79 + 9 = 131 – 9 = 728 + 110 = 1.100 – 110 =

439 + 11 = 570 – 11 = 2.264 – 1.100 = 9.900 + 1.100 =

Ficha 44: Productos por decenas más bidígitos.

9 × 10 + 12 = 6 × 20 + 15 = 30 × 10 + 90 =

8 × 10 + … = 91 12 × 20 + … = 250 28 × 10 + … = 500

Ficha 47: Divisiones de números más grandes por un dígito.

260 : 2 = 600 : 4 = 1.500 : 3 =

900 : 2 = 450 : 5 = 1.800 : 6 =

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Quinto período

Ficha 53: Restas ligadas al sistema de numeración.

5.762 – 1.111 = … 4.870 – … = 3.770 8.392 – … = 1.112

8.630 – 7.520 = … 6.040 – … = 2.010 7.965 – … = 7.855

Ficha 57: Transformaciones aritméticas de un número.

Ficha 60: Productos × 2 y × 4, búsqueda de factor.

587 × 2 = 670 × 2 = 225 × 4 =

… × 2 = 520 … × 4 = 900 … × 2 = 860

Ficha 62: Productos y divisiones × 50.

12 × 50 = 50 × 50 = 41 × 50 =

250 : 50 = 1.000 : 50 = 3.000 : 50 =

Ficha 63: Uso de paréntesis.

10 – 4 × 2 = (10 – 4) × 2 = (9 × 3) × (10 – 2) =

20 × (6 + 4) = 20 × 6 + 4 = (48 – 3) × (24 – 20) =

Sexto período

Ficha 64: Producto y división por 25.

12 × 25 = 30 × 25 = 41 × 25 =

100 : 25 = 75 : 25 = 500 : 25 =

Ficha 65: Cálculos combinados.

600 : 2 + 150 = 1.000 : 4 – 50 = 700 : 2 + 1.000 =

12.000 : 2 + 12.000 : 3 = 20.000 : 4 + 20.000 : 5 =

Ficha 65: Productos de números terminados en 0 × dígito.

700 × 4 = 500 × 7 = 6 × 800 =

320 × 5 = 120 × 7 = 190 × 3 =

Ficha 68: Aproximación por producto.

37 × … = 3.700 51 × … < 510 128 × … > 1.200

19 × … < 800 105 × … = 10.500 80 × … > 1.500

Ficha 69: Divisiones.

900 : 3 = 900 : 30 = 1.600 : 4 = 1.600 : 40 =

15.000 : 5 = 1.500 : 5 = 1.500 : 50 =

15.637 15.737 15.747 16.747 26.747 26.757

+ .......+ .......+ .......+ .......+ .......

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El Cuadernillo para practicar, con evaluaciones

En muchas fichas se incluyen otros problemas y ejercicios para realizar en forma individual,

como oportunidades de práctica.

Se incluyen evaluaciones al término de cada período, que pueden ser propuestas a los

alumnos de acuerdo con las actividades de enseñanza efectivamente realizadas. Han sido

elaboradas considerando los objetivos del período, lo que se puede esperar que todos los

alumnos hayan aprendido. En el período de referencia muchas veces se proponen situaciones

de mayor complejidad; su propósito es habilitar un tipo de trabajo, promover un conjunto de

reflexiones que el grupo puede hacer, pero que no son exigibles para el trabajo individual

escrito que se plantea en la evaluación.

Como hemos dicho antes, un libro de texto no tiene capacidad de contener la singularidad

de los procesos reales de un aula. El maestro que decida utilizar las evaluaciones definirá

la valoración de los ítems según los pesos que le haya otorgado en la enseñanza o las

características que dicho proceso haya tenido. Como todo el libro, en realidad, son

herramientas al servicio del proyecto que monitorea el docente.

El período de afianzamiento y revisión

Es muy frecuente que cerca de fin de año se retomen temas que se han trabajado para

prepararse para una evaluación final. Para apoyar tal práctica, al final del libro se incluye

una selección de actividades correspondientes a los ejes Número, Operaciones, Geometría y

Medida.

Organización del libro del alumno por ejes de contenido

Ficha Título Objetivos Pág. del libro

Pág. de la Guía docente

Primer período

Número y operaciones

1 Los dedos de la escuela

Realizar estimaciones de una cantidad y argumentar para llegar a acuerdos. Organizar los pasos de una tarea compleja: buscar información y procesarla.

8 97

2 En el comedor Analizar la posibilidad de obtener nueva información a partir de los datos de un problema.

9 101

4 Un partido de Metrópolis

Componer y comparar cantidades expresadas en grupos de 10 y 100. Interpretar transformaciones aritméticas. Reconstruir el estado inicial.

14-15 30, 33

5 Rojo y azul Armar números según condiciones dadas. Ubicar números en la recta numérica organizada en intervalos de 50.

16-17 26

6 Pistas numéricas Determinar números a partir de sus relaciones con otros números y de informaciones sobre sus cifras.

18 26

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Ficha Título Objetivos Pág. del libro

Pág. de la Guía docente

7 La rifa de los bomberos

Organizar una parte de la serie numérica en intervalos de a 200 números. Leer y escribir números de 4 cifras.

19-21 27

8 Cartas y monedas Ejercitar productos por 2 y por 5. Identificar los números pares por el factor 2.

22-23 41

10 ¿Qué número pensé?

Interpretar transformaciones aritméticas. Reconstruir el estado inicial. Establecer relaciones entre suma y resta.

26-27 35

11 Compras al por mayor

Resolver situaciones relativas a colecciones agrupadas de diversos modos y determinar nuevos valores utilizando propiedades aditivas y multiplicativas de la relación multiplicativa.

28-29 42, 48

12 ¿Cómo resolverlos? Tomar decisiones sobre el recurso de cálculo a usar. Desarrollar la estimación y los procedimientos de control de resultados.

30-31 36

13 Cálculo de productos

Establecer relaciones aditivas y multiplicativas entre los factores para facilitar el cálculo de productos. Desarrollar recursos para resolver multiplicaciones por la unidad seguida de ceros.

32-35 49

Geometría y medida

3 Trazar y medir con regla

Usar la regla para reproducir figuras y para realizar mediciones en cm y mm.

10-13 82, 88

9 Tiempos para nacer, tiempos para crecer

Expresar duraciones variando la unidad: días, meses, años. Ubicar información en una línea de tiempo.

24-25 89, 93

14 El cuadrado de Pitágoras

Reproducir figuras a mano alzada o por medio de plegados. Ensamblar figuras para obtener otras.

36-38 73, 84

Segundo período

Número y operaciones

15 Las colecciones Determinar cociente y resto en divisiones exactas o no. Relacionar productos con las divisiones que permiten resolver.

40-41 55

16 La fábrica de ropa deportiva

Tratar datos en una tabla y formular el significado de la información que se produce.

42-45 30, 37

18 Elegir bien Ejercitar la resolución de divisiones exactas, apoyándose en el repertorio multiplicativo. Definir números pares y múltiplos de un número.

48-49 55

19 Doña Martina Operar con cantidades fraccionarias de 1 kg. Analizar las relaciones entre peso de un paquete y cantidad de paquetes que se necesitan para componer una cierta cantidad.

50-51 60, 90, 107

20 Ganar el tesoro Operar con equivalencias no regulares entre distintas cantidades usando productos y divisiones.

52-53 42

22 "Yo lo sé" Resolver problemas que exijan componer y descomponer números en forma aditiva y multiplicativa, analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicación por la unidad seguida de ceros.

56-57 31, 50

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Ficha Título Objetivos Pág. del libro

Pág. de la Guía docente

24 Cuadrículas y productos

Utilizar la relación entre colecciones organizadas en forma rectangular y la multiplicación para el cálculo de multiplicaciones con números de 2 cifras.

62-65 43, 50

25 Envío de libros Desarrollar procedimiento de cálculo de productos de dos cifras y conocer y ejercitar el algoritmo.

66-67 44, 51

26 El peso de los chicos

Determinar relaciones entre los datos para obtener nuevas informaciones.

68 102

Geometría y medida

17 Ríos y montañas Interpretar información en tablas y gráficos relativa a longitudes. Relacionar unidades de medidas de longitud con el objeto a medir.

46-47 88, 94

21 Rompecabezas con rectas y curvas

Componer y descomponer figuras complejas a partir de otras figuras. Clasificar figuras en polígonos y curvas.

54-55 74

23 Cuadrados y rectángulos

Reconocer cuadrados y rectángulos por sus propiedades. Reconocer ángulos rectos.

58-61 71, 85

Tercer período

Número y operaciones

27 Cambios en el juego "Yo lo sé"

Interpretar y producir expresiones equivalentes de un número.

70-71 31, 51

29 Pista con trampas Identificar si un número es múltiplo de otro. 76-79 47

30 Socios y ganancias Realizar descomposiciones de cantidades en función del divisor indicado.

80-81 56

32 La torre de latas Determinar la cantidad de elementos de un conjunto formado iterativamente.

85 103

33 Facilitar los cálculos

Producir descomposiciones de los números en función del cálculo a resolver.

86-87 38

35 Juego de a tres Estimar orden de resultados de divisiones. Producir diferentes escrituras de un número.

90-91 56

37 A dividir Conocer y ejercitar el algoritmo convencional de la división.

94-95 57

Geometría y medida

28 ¿Qué hora es? Relacionar, establecer equivalencias y producir distintas expresiones relativas a horas y minutos. Diferenciar entre hora y duración.

72-75 62, 90

31 ¿Se cortan o no? Identificar y trazar ángulos rectos, rectas paralelas y perpendiculares.

82-84 72, 85

34 Construir segmentos

Utilizar fracciones de la unidad para medir y expresar longitudes de segmentos.

88-89 62, 88

36 Parque "La laguna" Interpretar y relacionar diversas representaciones de recorridos. Producir nuevas medidas de longitud a partir de la adición de medidas dadas.

92-93 88

38 ¡Qué figura! Analizar relaciones entre los elementos de una figura o entre figuras que la componen como recurso para lograr copiarla.

96-98 75

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Ficha Título Objetivos Pág. del libro

Pág. de la Guía docente

Cuarto período

Número y operaciones

39 Palabras y cifras Relacionar la numeración oral con las expresiones numéricas que le corresponden.

100-101 28

41 La recta numérica Conocer y utilizar las condiciones que ordenan la representación de números en la recta.

104-105 29

42 Productos a partir de otros

Utilizar propiedades del sistema de numeración y de las operaciones para obtener nuevos resultados a partir de otros ya conocidos.

106-107 52

43 Cuentas para ganar

Conocer la convención de prioridad de la multiplicación sobre la suma.

108-109 52

45 Exacto o aproximado

Elegir la modalidad de cálculo pertinente para la situación. Desarrollar estrategias de control al utilizar la calculadora.

112-113 38

46 Piñas en cajas Encuadrar el cociente de una división entre potencias de 10 y determinar su cantidad de cifras. Aproximar el cociente de una división.

114-116 57

47 Armar problemas Elaborar preguntas que permiten obtener nueva información estableciendo relaciones entre los datos.

117 94

49 Las dos iguales Elaborar procedimientos generales de resolución de un tipo de problemas.

120-121 105

50 Compras para el cumpleaños

Anticipar el orden de distintos envases según su capacidad, coordinando variadas informaciones. Utilizar fracciones en el contexto de medidas de capacidad.

122-125 66, 91

51 Vencer a la calculadora

Analizar los cálculos en función de los recursos (cálculo mental o calculadora) que permiten resolverlos.

126-128 39

Geometría y medida

40 Viajes y recorridos Interpretar y relacionar diversas representaciones de ubicaciones y distancias. Detallar procedimientos para determinar distancias.

102-103 89, 94

44 Pisos decorados Reconocer figuras que permitan cubrir el plano. 110-111 75

48 Figuras circulares Utilizar y manipular correctamente un compás para el trazado de circunferencias.

118-119 76, 85

Quinto período

Número y operaciones

52 La producción de té

Explorar la recursividad de los agrupamientos de las potencias de la base 10.

130-131 31, 94

53 Muchas monedas Aprender a operar con monedas de distinta denominación, menores o iguales a la unidad de medida del dinero: peso.

132-133 69, 108

55 Volver a mirar Identificar características de los problemas que permitan determinar si se trata de situaciones de división.Desarrollar procedimientos más económicos para encontrar el cociente.

136-139 58

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Ficha Título Objetivos Pág. del libro

Pág. de la Guía docente

56 Llegar al millón Relacionar la posición de una cifra en el número con el valor que asume.

140-142 32

57 Los peluches Organizar la resolución de un problema de varios pasos identificando la nueva información que se obtiene.

143 106

58 Cálculos con condiciones

Comprender la necesidad de usar paréntesis. Efectuar cálculos con paréntesis.

144-145 52

59 ¿Sobran o no? Repartir un objeto en partes iguales y cuantificar el tamaño de las partes mediante fracciones.

146-147 66

60 Población de la Argentina

Leer y comparar números del orden de millones. Interpretar y relacionar informaciones complejas presentadas en tablas y gráficos.

148-151 29, 94

61 El negocio de don Lucas

Determinar nuevos valores en tablas de proporción directa usando propiedades aditivas, multiplicativas y encontrando el valor de la unidad.

152-154 108

62 Concurso de preguntas

Explorar la información dada a fin de plantear preguntas que provean información nueva.

155 95

Geometría y medida

54 Adivinar la figura Identificar un cuadrilátero a partir de sus propiedades.

134-135 76

63 Más figuras circulares

Establecer la información necesaria para la construcción de una circunferencia. Elaborar e interpretar instrucciones para la construcción de figuras.

156-158 80

Sexto período

Número y operaciones

64 El arte de repartir Realizar repartos equivalentes mediante plegados.

160-161 66

66 ¿Cuál es más barato?

Utilizar las propiedades de la proporcionalidad directa para tomar decisiones en situaciones no proporcionales.

165 109

67 Más divisiones Conocer y ejercitar el algoritmo convencional de la división.

166-168 58

68 Colección de estampillas

Organizar la resolución de un problema de varios pasos identificando la nueva información que se obtiene.

169 95, 106

69 ¿Es lo mismo? Relacionar distintas cantidades, formulaciones y escrituras numéricas de fracciones.

170-173 67

70 Todo por $ 1, $ 2, o más...

Desarrollar recursos de cálculo mental para componer cantidades en el contexto del dinero. Representar numéricamente utilizando la unidad peso.

174-175 70

71 Ogros y princesas Resolver problemas simples que exijan una búsqueda exhaustiva de posibilidades (problemas de conteo).

176-177 96

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22

Números y operaciones

Numeración

El aprendizaje de la escritura de los números, de las reglas del sistema de numeración y del

valor de las cifras de un número, así como la idea de agrupamiento y de intercambio, se realiza

durante un largo tiempo que se mide en grados y no se reduce al primer ciclo. Históricamente,

demandó un largo proceso de construcción. Incluimos aquí un breve recorrido por los

principales hitos del desarrollo de los sistemas de numeración hasta establecer nuestro actual

sistema de numeración, el decimal6.

Este sistema está basado en la idea de agrupamientos regulares y sucesivos de a 10, es decir,

que al tener 10 grupos de a 10 vuelve a realizarse un nuevo agrupamiento y lo mismo para 10

grupos de ese tipo. Estos diferentes órdenes de agrupamiento corresponden a las unidades,

decenas, centenas, etcétera, que son representadas por la posición de las cifras en la escritura

del número.

Un primer salto importante, desde las primeras inscripciones realizadas en madera, piedras,

etcétera, de una marca por cada uno de los animales o personas consideradas fue representar

un conjunto de elementos por un único símbolo. La presencia de diez dedos de las manos y

pies, seguramente decidió la elección de 10 como cantidad de elementos de un agrupamiento.

Pronto aparecieron otros símbolos para representar 1, 100, 1.000 elementos.

El sistema egipcio de numeración, del cual se cuentan abundantes inscripciones en vasijas,

estelas, monumentos, utilizaba únicamente símbolos para cada potencia de 10. ¿Cómo escribir

en egipcio un número como 235? Repitiendo el número de veces necesario cada símbolo:

2 veces el símbolo de 100 para indicar 200, 3 veces para 30, etcétera.

Queda claro que un número como 999, necesitaría 27 símbolos en su escritura y un número

como 1.000 uno solo. Por lo tanto, la cantidad de símbolos necesarios para escribir un número

no podía ser considerada como criterio para determinar cuál número es mayor, criterio que sí

es posible de usar para comparar números en nuestro sistema decimal

Otro paso que permitió un gran avance en el desarrollo de los sistemas de numeración fue

incorporar nuevos símbolos –además de los asignados a las potencias de 10– para indicar

el número de repeticiones del símbolo de cada agrupamiento. Dado que cada uno podía ser

repetido de 1 a 9 veces, se inventaron símbolos para esas cantidades.

6 Parra, C. y Saiz, I. "Un poco de historia" , en (Enseñar aritmética a los más chicos, de la exploración al dominio), Rosario,

Homo Sapiens, 2007. En varias oportunidades retomamos esa obra sin citarla cada vez.

1

Ficha Título Objetivos Pág. del libro

Pág. de la Guía docente

Geometría y medida

65 Triángulos Clasificar los triángulos según la igualdad de sus lados y la presencia de un ángulo recto.

162-164 80

72 Campos cultivados Comparar figuras por su área. Aproximar su valor utilizando un cuadradito como unidad de medida. Comparar el perímetro de figuras rectilíneas por diferentes procedimientos.

178-180 91

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Uno de los sistemas chinos-japoneses, correspondía a esta forma de representar los

números. Por ejemplo, el 235 se indicaba –con sus propios símbolos y en forma vertical– de la

siguiente manera:

Escritura que en nuestro sistema correspondería a la descomposición:

2 × 100 + 3 × 10 + 5.

El siguiente paso que podemos señalar en este rápido desarrollo histórico

de los sistemas de numeración que presentamos fue eliminar las potencias de

10 en la escritura de un número, es decir, eliminar 1, 10, 100, 1.000,… que

indicaban el valor de cada agrupamiento sustituyéndolas por la posición en la

escritura del número y dejar únicamente los símbolos que indican el número

de agrupamientos como en nuestro sistema.

Así, las convenciones del sistema decimal establecen que en la escritura 838 el primer 8

indica el número de agrupamientos de a 100, el 3 el de los agrupamientos de 10 y el 8 de la

derecha de las unidades. Los diez símbolos de nuestro sistema se denominan cifras y permiten

escribir todos los números sin límites de tamaño.

La decisión de tomar en cuenta la posición de cada cifra en el número para determinar su

valor provocó la necesidad de la escritura de un símbolo que indicara si en un cierto nivel no

existía ningún agrupamiento. Si se escribiera un 3 y un 5, podría corresponder al número 35, al

305, 3.005, etcétera. El 0 es el símbolo que solucionó esa cuestión muchos siglos después de

los primeros intentos de representación de los números.

La historia de los sistemas de numeración es y de gran riqueza para comprender la

complejidad de la construcción de un sistema de numeración como el nuestro y da cuenta de

variados intentos en diferentes lugares y sociedades. En algunos casos, los agrupamientos no

eran regulares o se elegía como base del sistema un número distinto de 10.

En los libros de 5º- y 6º- se incluyó el estudio de algunos sistemas de numeración no

decimales y la comparación entre sistemas no decimales y con nuestro sistema.

El sistema decimal es sin duda un sistema bastante hermético, de difícil comprensión, en

particular para los alumnos de los primeros grados de la escuela primaria. Durante ese período

tienen que aprender a extraer la información que contienen las diferentes designaciones de

los números: escrituras con cifras, nombres, representaciones aditivas y multiplicativas. Esto

significa distinguir las cifras de un número y darles un nombre (unidades, decenas,…) pero

especialmente comprender la organización subyacente a tal escritura: 3.284 representa una

colección de 3.284 elementos que pueden ser agrupados en grupos de a 10 (decenas) y

obtener 328 grupos. De esa manera, los elementos de la colección quedan agrupados en esos

328 grupos de a 10 elementos y 4 "sueltos", que no alcanzan para formar un grupo más. Serán

las 4 unidades, número que se escribirá como la cifra de la derecha del número.

A su vez, los 328 grupos podrán ser agrupados de a 10; entonces se formarán 32 grandes

grupos –que podemos imaginar de a 100 (10 de a 10), de ahí el nombre de centenas– y 8 de

los grupos, es decir, 8 decenas no alcanzarán para formar otro de cien. Ese 8 será la cifra de

decenas, la que se escribirá a la izquierda de la cifra de las unidades (el 4). Nuevamente, con

los 32 grandes grupos se podrán formar tres grupos de a 10, llamados unidades de mil (ya que

cada uno cuenta con 1.000 elementos de la colección inicial) y las 2 centenas que no pueden

formar otro grupo, serán escritas a la izquierda del 8. Hasta este momento el número está

formado por 2 centenas, 8 decenas y 4 unidades.

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Los tres grandes grupos no pueden agruparse para formar uno de orden superior, se

necesitarían 10 y por lo tanto se escribirá el 3 a la izquierda del 2 anterior. Esa es la información

que los niños deberían poder interpretar frente a la escritura 3.284 después de un largo trabajo

con las colecciones, los números, las descomposiciones, etcétera.

En 4º- grado, es necesario aún seguir trabajando aspectos del sistema de numeración, como

aprender a extraer la información que contienen las diferentes designaciones de los números,

en particular de números grandes expresados con cifras, con nombres, o en representaciones

aditivas y multiplicativas. Se trata de seguir profundizando el estudio de la organización

subyacente a la escritura de los números.

Numeración oral y numeración escrita7

A los números escritos con cifras les corresponden designaciones orales que tienen sus

propias reglas. Si escribimos 648, no leemos "seis, cuatro, ocho" sino "seiscientos cuarenta y

ocho". Con frecuencia, al leer un número, los adultos podemos tener la sensación de que se lee

"lo mismo" que está escrito. Esto se debe a la gran familiaridad que tenemos con los nombres

de los números. Sin embargo, si lo analizamos con cuidado, veremos que al leer un número se

da más información que cuando se escribe.

Tomemos el número 648:

- escribimos un 6 y leemos seiscientos (no seis), que indica que el seis ocupa el lugar de las

centenas y, por lo tanto, si se pretende encontrar el número de unidades, se puede multiplicar

por 100;

- escribimos un 4 y leemos cuarenta (no cuatro), que indica que el 4 está en el lugar de las

decenas y, finalmente,

- escribimos el 8 del cual se lee su nombre.

Una diferencia que puede observarse sobre la distinta información que proveen ambas

designaciones es que al escribir el 6 no puede conocerse la magnitud del número, no se

distingue aún, si se tratará del número 6 o de algún número de dos, tres o más cifras que

empiece con 6, mientras que al decir "seiscientos", ya podemos afirmar que el número tendrá

3 cifras, aunque también podría tener 6 cifras si se trata de un número cuyo nombre se inicia

con seiscientos e incluye la palabra mil (como 648.000), o bien 9 cifras si empieza con

seiscientos e incluye la palabra millones (como 648.478.324) pero no podría tener ni 4,

ni 1 cifras…

Un análisis similar podrá hacerse con el 4; habiendo escrito el 6 y el 4, aún no se conoce

el tamaño del número, en cambio al leer: cuarenta, queda determinado que sólo falta una cifra

para completar el número –salvo los casos que hemos mencionado más arriba.

Y finalmente el 8, del cuál se lee realmente lo que se escribe, pero se le agrega una "y"

ausente en la designación escrita.

En números con varias cifras las diferencias pueden ser percibidas aún más claramente:

¿Cómo se escribe el número "trescientos cinco mil"?

Es bastante evidente a partir del nombre, que el número que se pretende escribir con cifras

tendrá un 3 y un 5, pero ¿en qué lugares se ubicarán?, ¿cuántos lugares habrá en total y cómo

se completarán?

Si se escribiera "lo que se escucha", podrían aparecer escrituras como las siguientes:

7 En Parra, C. y Saiz, I., op. cit. págs. 117 a 119.

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- 3005000 a partir de interpretar el nombre del número como "trescientos" (300), "cinco mil"

(5000) que no corresponde al número inicial. Omitimos escribir el punto de separación cada

tres cifras para indicar su relación con el nombre.

O bien,

- 30051000, es decir, "trescientos" (300); "cinco" (5) y "mil" (1000), que no corresponde al

número dictado.

También podemos observar que en el nombre de los números no es posible detectar

fácilmente el o los ceros que puede incluir un número. Por ejemplo, en un número como "tres

mil cincuenta y tres", no hay presencia del cero intermedio que sí deberá colocarse al escribirlo:

3.053.

La numeración oral, en algunos casos, explicita la descomposición aditiva de un número.

Por ejemplo:

Ciento veinte y cinco8 100 + 20 + 5

Sesenta y cuatro 60 + 4

Mil seiscientos 1.000 + 600

Esto ocurre, en general, en los números que empiezan con un uno como "Ciento…", "Mil…",

"Un millón…" y en los nombres de las decenas.

Por otra parte, se puede observar que a veces la suma es representada por un "y" en su

nombre (como sesenta y cuatro) y en otras solo con la yuxtaposición de los nombres de los

números (como en mil seiscientos).

La numeración oral también puede explicitar a veces la descomposición multiplicativa,

como en el caso de "cuatro mil" que corresponde a 4 × 1.000.

Puede notarse la diferencia entre los nombres de los números que acabamos de citar, 1.600

y 4.000, y las operaciones aritméticas involucradas. En ambos casos aparece la yuxtaposición

de dos palabras: mil y seiscientos, y cuatro y mil, pero en el primer caso la yuxtaposición

corresponde a una suma (1.000 + 600) y en el segundo a una multiplicación (4 × 1.000).

Más adelante, en 5º- o 6º-, al trabajar la descomposición polinómica de los números, los alumnos

podrán interpretar el 4 (en el último número) como coeficiente de la potencia de 10, que es lo

que determina una descomposición multiplicativa y no aditiva.

También sucede con algunos nombres que el cambio de palabras provoca un cambio de la

operación aritmética involucrada, por ejemplo, 800 (ocho-cientos: 8 × 100) y 108 (ciento ocho:

100 + 8). Sin embargo, en general, la descomposición a la que alude la numeración oral es

mixta, es decir, multiplicativa y aditiva a la vez. Por ejemplo, "cuatro mil setenta y tres" cuya

descomposición en cifras corresponde a 4 × 1.000 + 70 + 3. O bien, "cuatro mil dos cientos9

setenta y tres" que se descompone de la siguiente manera:

4 × 1.000 + 2 × 100 + 70 + 3

La información adicional que provee el nombre de los números corresponde a las potencias

de 10 que no se encuentran presentes en la escritura con cifras, ya que la numeración oral

no es posicional como la escrita. Como decíamos anteriormente, se dice seiscientos, que

corresponde a 6 × 102 pero solo se escribe el 6. Además, no se lee la potencia de 10, como

"10 al cuadrado" que sería su lectura matemática, sino como el número de unidades que

representa, es decir, "cien" o "cientos".

Estas diferencias entre la numeración oral y la escrita: la mayor información, la "casi"

8 Si bien su nombre correcto es veinticinco, lo escribimos como veinte – y – cinco (que solo agrega una letra e) para mostrar

su formación.

9 En este texto, se usa la escritura dos cientos, aunque las reglas indiquen la escritura doscientos, para poner en evidencia

la formación de los nombres de los números.

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indicación de operaciones a realizar entre los números, les facilita el aprendizaje a los alumnos.

La numeración escrita es más económica pero a la vez más hermética que la numeración oral.

En la numeración escrita con cifras no se representan las potencias de 10 ni tampoco quedan

rastros de las operaciones aritméticas involucradas.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas que se analizan en cada apartado:

Numeración Fichas en que se trabaja

Designaciones orales y escritas de los números 5, 6, 7, 39, 41, 60

Organización del sistema decimal, agrupamiento y valor posicional 4, 16, 22, 27, 52, 56

Designaciones orales y escritas de los númerosFichas 5, 6, 7, 39, 41, 60

El trabajo se orienta a que los alumnos sean capaces de leer y escribir números utilizando

como referente unitario los miles, los millones y los miles de millones. Se busca que

comprendan las designaciones orales y escritas de los números y que sean capaces de obtener

la información presente en cada una de ellas. Con apoyo en esta información, los alumnos van

a resolver tareas de armar, ordenar y comparar números.

Ficha 5: Rojo y azul

Es un juego en el que los alumnos tienen que armar números a partir de las cifras,

atentos a dos condiciones: que sean menores que 500 y que, si resulta posible, pertenezcan

a determinados intervalos. El soporte de la actividad está dado por una recta numérica

organizada en intervalos de 50, y uno de de los propósitos es que los alumnos practiquen la

ubicación de números en dichos intervalos.

La ficha incluye situaciones de juego simulado: se pregunta si con ciertas cartas es

posible o no armar un número menor que 500. Se busca después que los alumnos puedan

formular las condiciones de las cifras que sí permiten armarlo, promoviendo una pequeña

descontextualización: para que un número de tres cifras sea menor que 500, la primera cifra

tiene que ser menor que 5, entonces es necesario, en el contexto del juego, tener una carta

que sea 0, 1, 2, 3 o 4. De esta manera, se establece una relación entre las cifras que ocupan

una posición con una relación de orden establecida.

Ficha 6: Pistas numéricas

La diversa información sobre las cifras, su posición en el número y variadas relaciones de

orden, constituyen las pistas numéricas con las que trabajan los alumnos en esta ficha para

determinar números. En todos los casos, se propone pensar la serie numérica organizada

en intervalos o pensar los conjuntos de números naturales de una cierta cantidad de

cifras, teniendo que identificar un número en el intervalo o en el conjunto a partir de otras

informaciones.

En particular, podemos analizar el ejercicio 3 donde se trata de escribir el número más

cercano a uno dado, terminado en dos ceros. Si bien se aclara que el número más cercano

puede ser menor, con frecuencia los alumnos se niegan a aceptar por ejemplo que 3.700 es el

número más cercano a 3.712 que termina en dos ceros. Es la idea de distancia entre números

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la que pone en juego esta actividad. La distancia entre dos números es independiente del

orden que mantienen los números entre ellos. Así, la distancia entre 230 y 237 es la misma que

entre 237 y 230, en ambos casos la distancia es 7.

Ficha 7: La rifa de los bomberos

Esta ficha propone una actividad de lectura y escritura de números de cuatro cifras en el

contexto de una organización de la serie numérica en intervalos de a 200 números.

El contexto seleccionado permite referirse a los números del 1 al 2.999 por medio de

su escritura con cifras, de sus nombres y de los talonarios de 200 números en los que se

encuentran. También, justifica que uno de los bomberos registre en una tabla los números que

va vendiendo. En la ficha se presenta una tabla para completar desde el 2.040 hasta el 2.149.

Varias actividades remiten a encontrar las regularidades de los números que están en

los talonarios; por ejemplo, al preguntar si sabiendo que todos los números de un talonario

empiezan con 2 (o en otro caso con 24, se puede saber a qué talonario pertenece.

Incluimos aquí el relato de una maestra10 sobre el inicio de la clase.

La rifa de los bomberos

La clase comienza con el saludo habitual. Comentan naturalmente las novedades y las

inquietudes que traen de la casa o de deberes anteriores. Pero en el día de hoy decidí cambiar

un poco de estrategia en el inicio de la actividad, para evitar la rutina a la que por lo general

conduce el comienzo de la jornada, llámese "saquen el libro" o "lean y resuelvan tal o cual

ficha".

Cuarto es un grado que tiene características propias, es el comienzo de un ciclo más

exigente que los años anteriores. Es preciso que comiencen a independizarse, a afinar su

autonomía, no solamente en lo que se refiere a la Matemática sino en su desempeño general.

Preguntas del tipo: "¿Dónde escribo? ¿Qué materia es? ¿Subrayo con color?" ya deben ser

superadas; sé que lleva trabajo formar a los chicos en este sentido, que esto también es

competencia del docente y que es mejor aún comenzar a trabajar a principios de año.

Entonces, sin mediar palabras, escribo en el pizarrón la fecha, el número de deber y algún

título, en este caso, "Sistema de numeración". En el acto comienzan las preguntas, "¿Dónde es?

¿En qué carpeta? ¿Copiamos?" y entonces con cara seria pregunto: "¿Qué opinás, Juan? ¿Habrá

que copiar o no?..." Enseguida algunos responden: "Obvio" "Para qué va a escribir eso la seño",

"Y sí, todos los días ponemos eso en la carpeta", "¿En qué carpeta va a ser si dice sistema de

numeración?". Las discusiones y comentarios siguen un ratito más y después de escucharlos les

digo que a partir de 4º- hay cosas que ya deben ser realizadas naturalmente, que no va a valer

más hacer preguntas sin sentido. De esta manera, lo que busco es enriquecer la formación

integral de mis alumnos de una forma práctica y esto es productivo.

Al empezar con la actividad, la primera dificultad que se les presenta es que no muchos

saben qué es una rifa. Y, aunque hayan oído hablar de ella, no tienen idea clara de en qué

consiste. La comparan con la quiniela. Hablan de sorteo, de premio, de plata. Pero cuando

les pido que me expliquen cómo es el mecanismo, en qué consiste, son pocos los que

pueden explicarlo. Anoto en el pizarrón cuestiones de la ficha que considero que deben ser

conversadas: boletos ("son los papeles que tienen los números para que te controlen" escucho

en un equipo); talonarios ("son como grupos de boletos" escucho en otro). Me digo que para la

próxima traeré un talonario real para que todos lo conozcan. Pido que quienes saben más del

10 CASTILLO, Cecilia. Colegio Saint Patrick.

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tema lo comenten a todos y uno de los chicos se ofrece a dibujar un talonario en el pizarrón.

Pasa y lo hace, explicándoles qué es cada cosa. Cuando creo que todos han tenido al menos

una noción de lo que es una rifa, les pido que continúen con la ficha.

Se ponen a completar el cuadro. Una de las cuestiones que surge es la de los 200 boletos,

ya que por lo general relacionan sumar 200 con llegar a otro número entero y en este caso

no es así, ya que para tener los 200 boletos por bombero lo que tienen que hacer es sumar

199 al primer número. Algunos hacen 200 + 200 = 400 y se encuentran con el 400 también

abajo, pero continúan sin aparentemente entender muy bien lo que sucede. Sigo recorriendo el

salón y noto que otra cuestión es que algunos calculan, por ejemplo, 600 + 199 = 899, porque

piensan en los 200 más , saben que 600 más 200 es 800, y como esto es "medio raro" les da

el 899; otros solamente suman 99. Considero que tal vez se debe a distracciones o que al ir

automatizando la forma de completar, cometen estos errores. También está el tema del cambio

de centenas. Cuando tienen que pasar del 1.999 al 2.199, algunos todavía manifiestan dudas

con el número que viene después del 1.999 y a otros les resulta muy distante 1.999 de una fila

a 2.199 en la siguiente. Hay intercambios permanentes y me consultan constantemente. Les

propongo que, cuando terminen, comparen para ver si todos llegaron a los mismos números

y en caso de haber diferencias, que trabajen sobre ellas para llegar a acuerdos. Se los nota

entusiasmados. Las discusiones siguen y en dos grupos no hay acuerdos, en los demás sí.

Luego de algunos minutos les digo que sigan resolviendo los ejercicios de la ficha,

aunque no hayan llegado a acuerdos generales. Sé que en la puesta en común, al defender

sus razonamientos y al escuchar los ajenos, notarán sus problemas y ayudarán a que los

compañeros los noten también.

Me acerco a uno de los equipos que había mostrado más inconvenientes y los acompaño

un ratito. Esto significa sentarme en el equipo, primero a escuchar y guiarlos si lo necesitan.

Estaban en silencio. Una nena pregunta si el 500 de Aurora Rombolá estaba solo, porque en

realidad hay muchos 500, pero con otros números. Otra niña que estaba con ella la mira sin

entender y le pregunta "¿qué?", "si la bombera dice que quiere el 500 pero en el 1.599 hay un

500 y el 2.599, también" "pero si te dice el número 500 no es otro número cooon el 500, es el

500", le responde un niño de otro equipo que estaba escuchando lo que decía la niña. Siguen

trabajando. Me paro y voy hacia otro equipo. Estaban más avanzados y uno de ellos estaba

completando la tabla de números del ejercicio 3. Lo hacía, para mi satisfacción, teniendo en

cuenta las columnas, o sea, bajando de a 10. La mayoría completó de a uno. Les digo que hasta

la tabla es la actividad de hoy, que continuaremos con la ficha en la clase siguiente, ya que

faltaba poco para la campana.

En la clase siguiente, el trabajo inicial es la puesta en común de lo realizado en la clase

anterior, luego siguen completando la ficha.

Ficha 39: Palabras y cifras

Los trabajos que se propusieron, en cuanto a la designación de los números y los que se

analizan en el apartado relativo a la organización del sistema decimal, generan condiciones

para que los alumnos puedan comenzar a analizar (y diferenciar) cómo funciona la numeración

oral y la numeración escrita. Se propone una actividad en la que los alumnos arman números

a partir de palabras y comienzan a identificar lo propio del funcionamiento de una y otra forma

de designación de cantidades. A la vez, comienzan a identificar las operaciones de suma y

multiplicación involucradas en la composición de los números.

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En la vida escolar, los alumnos usan frecuentemente la numeración oral y la escrita; en esta

ficha se propone tomarlas como objeto de análisis sobre la base de la composición de números

y de la puesta en relación de ambos tipos de designación.

En algunas actividades se juega con un cambio de orden entre las palabras-números, por

ejemplo, nueve y mil, las cuales en cualquiera de los dos órdenes corresponde a un número:

9.000 o 1.009. En cambio, no es posible invertir otras si se pretende armar un número, por

ejemplo, setenta y cuatro.

Los nombres de las decenas: veinte, treinta,… noventa, constituyen irregularidades de las

denominaciones de los números. Si se denominaran de forma similar a la de las centenas:

trescientos; seiscientos, deberían llamarse dos dieces, seis dieces,… Estas denominaciones

provocarían muchas menos dificultades a los alumnos en los primeros años del aprendizaje de

la serie.

Ficha 41: La recta numérica

La recta constituye también una forma de representación de números y, a lo largo del libro,

se ha utilizado en distintos contextos: en el juego de la ficha 5, para la representación del

tiempo en la ficha 9 y de longitudes en las fichas 36 y 40. La ficha 41 tiene como propósito que

los alumnos conozcan las condiciones que ordenan la representación de números en la recta.

Se presentan diversas rectas que han sido graduadas con distintas unidades, puede

tomarse el segmento [0,1] como unidad o bien un segmento correspondiente a la distancia

entre 0 y 10, pero una vez asignada una unidad es necesario mantenerla.

A lo largo de la ficha se busca que los alumnos usen relaciones entre los números y las

distancias, por ejemplo, si ya están ubicados los números 0 y 120, el número 60 deberá

ubicarse en el punto medio del segmento [0,120], ya que 60 es la mitad de 120.

De forma similar, tomando el punto medio de segmentos ya marcados, podrán ubicarse los

números 30, 15, 90, 105, 15 ... y, trasladando distancia por medio de marcas en un papelito,

se podrá también ubicar números como 240 (como el doble de 120) o 135, trasladando la

longitud del segmento [0,15] a la derecha de 120.

Ficha 60: Población de la Argentina

Se retoman las actividades de lectura y escritura de números, pero en este caso para

cantidades del orden de los millones. Precisamente, el hecho de que se trate de grandes

cantidades se considera el contexto adecuado para que los alumnos encuentren el interés de

producir expresiones aproximadas por redondeo y representaciones gráficas que facilitan la

interpretación de la información.

No se solicita la elaboración de gráficos, sino su interpretación, teniendo en cuenta la

información presente en una tabla, el orden y magnitud de las cantidades de habitantes; esto

debería permitir a los alumnos identificar a qué zona del gráfico corresponde y extraer nueva

información de una u otra representación.

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Organización del sistema decimal: agrupamiento y valor posicionalFichas 4, 16, 22, 27, 52, 56

Como mencionamos anteriormente, nuestro sistema de numeración está organizado según

una estructura de agrupamientos recursivos (10 unidades de un orden forman 1 del orden

siguiente y así sucesivamente). En la estructura de un número cada posición confiere un valor

que es relativo al nivel de agrupamiento. El 7 en el número 71 no tiene el mismo valor que el

7 en 107. Justamente, la organización posicional es la que instala un aspecto algorítmico en la

escritura de los números: en cada posición, las cifras varían sucesivamente de 0 a 9 al llegar a

10 vuelve a 0 y aumenta en 1 la cifra del orden siguiente. Se trata de aspectos esenciales del

sistema de numeración: agrupamientos sucesivos de a 10, lo que produce que una decena

tenga un valor de 10 unidades, 1 centena de 100, una unidad de mil, 1.000 unidades, etcétera,

cifras de 0 a 9 como cantidad máxima de elementos "sueltos" disponibles en cada nivel, y

posicionalidad, cada lugar en el número indica a qué nivel de agrupamiento corresponde.

El contexto del dinero ofrece un soporte especialmente propicio para trabajar con

agrupamientos y cambios de a 10.

Ficha 4: Un partido de Metrópolis

Algunos de los problemas propuestos en esta ficha tienen como propósito actualizar el

trabajo, posiblemente realizado en Tercero, de composición de cantidades con 10 y 100 en el

contexto del dinero.

Se plantea comparar cantidades expresadas como "tantos billetes de tanto". Además de

retomar la relación entre cantidades de agrupamientos (billetes de 10, de 100) se plantea la

distinción entre cantidad de dinero y cantidad de billetes. Es decir, se retoma el trabajo en torno

a la idea de que el número de billetes es independiente del total de dinero: se puede tener una

misma cantidad de dinero con distinta cantidad de billetes, y se puede tener la misma cantidad

de billetes y distinto monto total.

El trabajo con esta ficha le puede permitir al docente evaluar si estas relaciones y estas

distinciones están disponibles en sus alumnos o si necesitan oportunidades para afianzar sus

conocimientos.

Ficha 16: La fábrica de ropa deportiva

Tanto en la ficha 4 como en esta, se trabajan integradamente problemas de suma y resta

variados –que serán también analizados en el apartado correspondiente a esas operaciones– y

la interpretación de la información contenida en los números en términos de agrupamientos de

10, 100. En esta ficha, el contexto es el envío de mercadería: 10 remeras en una bolsa,

10 bolsas en una caja.

Hay una representación de dos envíos y se pide que escriban la cantidad de remeras que

se envía en cada uno. Es posible que algunos alumnos realicen conteo de a 100 y de a 10

para componer las cantidades. Para promover un abordaje multiplicativo, se pide completar las

cantidades de remeras correspondientes a 4, 10 y 15 cajas.

Luego se plantean varias situaciones en las que los alumnos tienen que realizar distintas

tareas:

- analizar si un pedido está bien preparado, es decir, si para una determinada cantidad de

remeras corresponde una determinada cantidad de cajas y bolsas;

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- preparar un pedido, es decir, determinar la cantidad de cajas y bolsas que se necesitan para

una cierta cantidad de remeras;

- determinar el total de remeras a partir del número de cajas y de bolsas.

En este tipo de actividad se trata de utilizar la información que provee cada cifra de un

número. Se trata de aprender a "ver" detrás de cada 100 que forme parte de un número, una

caja de remeras y detrás de cada 10, una bolsa de remeras.

Para favorecer la explicitación de este conocimiento se plantea una actividad para hacer en

equipo: Expliquen cómo puede ayudar el número total de remeras para saber cuántas cajas y

bolsas corresponde.

En la siguiente actividad se plantea el problema inverso: ¿Cuál es la operación que sabiendo

la cantidad de cajas permite obtener la cantidad de remeras?

Una de las actividades de reflexión, que incluimos frecuentemente en las fichas, corresponde

a un trabajo de equipo, en el que deben explicar por qué los números de cantidades de remeras

terminan en 00. Se promueve la identificación de la operación para acercarse al aspecto

multiplicativo del sistema, que será trabajado en otras fichas en períodos siguientes.

Fichas 22 y 27: "Yo lo sé" y Cambios en el juego "Yo lo sé"

Se toma como contexto un juego de preguntas y respuestas en el que los participantes y

tienen que alcanzar una cierta cantidad.

En la ficha 22 se busca movilizar la práctica de sumas y restas de números de cinco y seis

cifras, es decir que, para operar con los "miles", los alumnos actualicen los conocimientos

disponibles para los números de tres cifras. Se proponen también problemas de multiplicación

por la unidad seguida de ceros en términos de transformaciones de un número y de cambio de

posición de las cifras.

La ficha 27 retoma el contexto del juego y promueve la composición y descomposición

multiplicativa de los números.

Aunque en el primer ciclo se ha promovido la idea de que un número se puede expresar de

muchas maneras, se presenta la idea de expresiones equivalentes o de escrituras equivalentes

de un mismo número. Se considera necesario colocar como asunto de trabajo que existen

múltiples designaciones de un número, que se pueden generar unas a partir de otras y –algo

que se retomará ampliamente– que puede resultar más conveniente trabajar con una u otra

expresión de un número, dependiendo de la tarea.

Estas últimas fichas, así como la ficha 30, serán analizadas en el apartado de suma y resta.

Ficha 52: La producción de té

En el contexto citado se retoma el trabajo con los niveles de agrupamiento y los tipos

de tarea analizados en la ficha 16, y avanza en la formulación respecto de la información

contenida en las cifras de un número. Se informa que las cifras de un número dan información

sobre la cantidad de grupos de 1.000, 100, 10 y 1 que se pueden formar con esa cantidad. En

el número 3.197, el 3 indica que se pudieron llenar 3 bolsones de 1.000 saquitos cada uno,

1 paquete de 100, 9 cajas de 10 y quedaron 7 saquitos sin envasar.

Seguramente en un primer momento, los alumnos realizarán las cuentas para determinar

el número de bolsones, paquetes, etcétera, que se pueden forman con una cierta cantidad de

saquitos de té, pero debería observarse un avance con respecto a los conocimientos que los

alumnos pusieron en juego en la ficha 16, que analiza estas mismas cuestiones.

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Ficha 56: Llegar al millón

Se vuelve al contexto del dinero, pero propone trabajar con una condición: componer las

cantidades solo considerando billetes de $ 10 y $ 100 e imaginar la existencia de billetes de

$ 1.000 y $ 10.000 y $ 100.000.

Los alumnos explorarán distintas composiciones de las cantidades. Cuando se agrega la

condición de usar el menor número de billetes posible, la descomposición corresponde a la

expresión canónica del número. Esta definición se plantea en el texto de la siguiente manera:

cuando la descomposición de un número es una suma de productos de dígitos (es decir,

números de una cifra) por 1, 10, 100, 1.000, etcétera, se llama descomposición canónica.

También se llama expresión canónica. Cada dígito de esta descomposición es una de las cifras

del número.

Particularmente, en esta ficha se identifican los nombres de las distintas posiciones de las

cifras. Se espera que el trabajo propuesto a lo largo del libro haya permitido que los alumnos

tengan representaciones de los niveles de agrupamiento que corresponden a cada posición

y de las operaciones aritméticas que estructuran el sistema y que permiten realizar las

composiciones y sus transformaciones.

Se plantean actividades que ponen en juego los distintos niveles de agrupamientos que es

necesario explicitar; por ejemplo, preguntando cómo se notará en sus expresiones canónicas

la diferencia entre los números 92.036 y 9.236. En otras palabras, ¿cómo se "traduce" en su

expresión canónica la presencia de un 0 en su escritura con cifras?

En la última parte de la ficha se incluyen actividades con la calculadora a fin de trabajar con

números grandes y con relaciones entre ellos.

Suma y resta

Desde primer grado, los alumnos han estado en contacto con actividades destinadas al

aprendizaje de estas operaciones, se han analizado distintos significados, se han puesto en

relación, discutido recursos de cálculo mental, etcétera.

En 4º-, estas operaciones ya no ocupan el lugar central que ocuparon en esos primeros

grados; aun así se incluyeron fichas destinadas al trabajo de ciertas cuestiones específicas. En

particular, aquellas que exigen más tiempo para ser aprehendidas, por ejemplo, la utilización de

la resta como recurso para resolver sumas de "complemento". También se siguen desarrollando

recursos de cálculos mentales, así como el dominio de los algoritmos; las técnicas de cálculo son

retomadas con el fin de permitir que los alumnos las comprendan mejor, las dominen y puedan

elegir aquella que resulte más apropiada para el problema en el cual interviene la operación.

También se continúan estableciendo relaciones con el sistema de numeración cuando se

trabaja con dinero y se habla de un cierto número de billetes de "tanto", o en contextos donde

las colecciones están armadas en grupos de 10.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas de suma y resta que se analizan.

Suma y resta Fichas en que se trabaja

Distintos significados y recursos de cálculo 4, 10, 12, 16, 33, 45

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Suma y resta en Hacer Matemática en 4º-Fichas 4, 10, 12, 16, 33, 45

Ficha 4: Un partido de Metrópolis

Esta ficha incluye situaciones aditivas que remiten a partidos del juego Metrópolis, en

particular a las indicaciones de las casillas: en unas comprar o vender negocios o medios de

transporte, en otras ganar o perder dinero.

Dado que en general los números involucrados son "redondos", es decir, terminados en uno

o más ceros, los alumnos pueden recurrir al cálculo mental.

En la primera página se plantean situaciones que pueden ser resueltas con sumas,

restas o multiplicaciones. Algunas de estas situaciones permiten retomar la composición

y descomposición de cantidades expresadas en grupos de 10 y de 100, y, en particular,

relacionar expresiones del tipo "8 de 10" con el número 80 o "20 de 100" con 2.000;

relaciones que se seguirán trabajando durante todo el año.

En la segunda página, con los seis problemas incluidos, se pretende explorar la relación

entre la suma y la resta, para plantear posteriormente una reflexión sobre tal relación. Se sabe

que ante un problema de complemento, por ejemplo: "Cuando empezó el partido Leandro tenía

$ 2.500, al terminar tenía $ 5.700, ¿cuánto dinero ganó?", los alumnos recurren, en general,

a completar la cantidad inicial hasta llegar a la final. Este es un procedimiento válido y muy

utilizado en muchas situaciones. En particular cuando, como en este caso, se trata de números

redondos: se puede agregar 500 al 2.500 y se llega a 3.000; 2.000 para llegar a 5.000 y aún

700 más; por lo tanto, es necesario agregar, es decir, sumar: 3.200. Otra forma sería agregar

3.000 para llegar a 5.500 y 200 más para llegar a 5.700, procedimiento claramente más corto

que el anterior. Sin embargo, frente a otros números, el cálculo con procedimientos de ese tipo

se vuelve complicado y, por otra parte, se pretende que los alumnos identifiquen situaciones

específicas de resta.

Más allá del procedimiento o de los cálculos que realicen los alumnos, se propone una

reflexión posterior sobre la relación entre uno de los problemas, el 7 ya mencionado, y

diferentes escrituras que representen el problema: dos aditivas y una resta.

Justamente la suma 2.500 + … = 5.700 es una forma de representar la situación. Sin

embargo, no puede efectuarse la suma, ya que no se conoce uno de los sumandos. Es

necesario probar con diferentes números hasta llegar a la respuesta o recurrir a procedimientos

como los mencionados anteriormente donde la cantidad inicial se va completando. En cambio

realizar la resta 5.700 – 2.500 = … provee el resultado buscado.

De esta manera se pretende que comprendan que puede haber diversos cálculos

adecuados a un problema y, además, que cualquier cálculo que incluya los datos propuestos

no corresponde necesariamente al problema (por ejemplo, 2.500 + 5.700, ya que esta suma

no tiene sentido en el problema).

Además, los alumnos tendrán que determinar en cuáles de los seis problemas anteriores

se puede usar una resta, aunque lo hayan resuelto sumando. Esto contribuye a identificar las

situaciones específicas de resta como aquellas donde son posibles escrituras de resta, aunque

también de suma, sabiendo que no es posible representar las situaciones de suma con una

escritura de resta.

Incluimos el relato de Cecilia Castillo, una maestra de 4º- grado, acerca del trabajo con esta

ficha en el aula.

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Un partido de Metrópolis11

La clase comienza con la consigna de que deben leer la propuesta, despejar dudas solo

con su compañero de banco, y una vez que resuelven los problemas, comparar los resultados,

tratando de identificar, en caso de haber diferencias, dónde está, si es que la hubo, la dificultad,

siendo preciso que ambos miembros de la pareja puedan acordar cuál es el resultado

correcto. Con esto me propongo que la consulta al docente quede como última instancia, que

puedan volver al texto e intercambiar opiniones considerando que su par es el encargado de

acompañarlos, tanto en la comprensión como en la posterior resolución de los problemas.

El momento de lectura silenciosa no suele ser tan silencioso, los comentarios surgen

constantemente; esta situación, en muchos casos, no permite una primera lectura ni una

comprensión eficaz. Luego de un tiempo prudencial, el diálogo se abre espontáneamente y

comienzan los intercambios. Es común escuchar expresiones como: "… es imposible hacer

el primero… si no se sabe cuánto tenía cómo puedo saber cuánto perdí…" a lo que puedo

contestar: "Tal vez, si releés la consigna, se puedan aclarar tus dudas" en caso de que alguno de

los demás chicos no lo haya dicho antes.

Para resolver los problemas utilizan procedimientos como estos:

* 1.200 tengo, ¿cuánto perdí?

1.200 + ¿? =2.500

Completo desde 1.200 a 2.500 de 100 en 100 y después calculo cuánto suman los cienes.

* Algunos agregan directamente un 1.000, con lo cual "acortan el camino"(como dicen con

frecuencia) y tienen:

1.200 + 1.000 = 2.200; 2.200 a 2.500 son 300; el resultado es 1.300.

* Otros completan 1.200 a 2.000 primero porque saben que 1.200 + 800 es 2.000 y después,

agregando 500, llegan a 2.500.

* Los que identificaron que se puede resolver con resta lo pensaron como:

2.500 – 1.200 = ¿? Y para resolver la resta hicieron:

2.500 – 1.000 = 1.500

1.500 – 200 = 1.300

* Otros: 2.500 – 500 = 2.000

2.000 – 500 = 1.500

1.500 – 300 = 1.200

* 2.500 – 500 = 2.000

2.000 – 800 = 1.200

Por lo general algunos recurren directamente a las cuentas paradas, resolviendo la operación

con el algoritmo tradicional, cosa que también puede traer aparejadas dificultades propias del

algoritmo.

En el caso de los procedimientos de cálculo mental, siempre aprovecho para preguntar

–en el momento de la confrontación– por qué eligieron algún número en particular o no. Por

ejemplo pregunto: "¿Por qué será que algunos a 1.200 le sumaron 1.000 y, en cambio, otros

sumaron 800, se puede agregar cualquier número? ¿O hay algunos que convienen más que

otros?" Y propicio que den argumentos a favor de unos y otros, a veces pregunta: "¿Y no se

podría haber sumado 230? ¿U otro número?". Este tipo de reflexión ayuda a los alumnos que

tienen aún ciertas dificultades para utilizar estos procedimientos, porque la selección de los

11 CASTILLO Cecilia.

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números con los cuáles se va completando el número inicial es fundamental.

Y todo esto para el primer problema, es mucho para manejarlo en una clase, no contamos

con un tiempo escolar real para discutir cada uno de los procedimientos, obviamente. Entonces,

registro por escrito todas las cuestiones que puedo, tratando de tener presente en todo

momento cuál es el objetivo de esta ficha. No desmerezco ningún procedimiento o idea, paso

por los bancos y les digo que estoy anotando lo que pensaron y los aliento diciendo "¡Qué bien lo

pensaste!" o preguntando sobre otros que no comprendo a simple vista, instándolos a que logren

que lo que escriban sea claro. Con esto, intento que sientan que tuvieron mi atención y si lo que

luego ponemos en común no necesariamente es lo de cada uno, sino aquello que merece ser

discutido según lo que se precisa para esta clase, y no lo vivan como olvido o frustración.

Por ejemplo, de las cuestiones descriptas, preciso centrar la confrontación en que puedan

identificar como de resta, a aquellas donde se busca el complemento, es decir, un sumando.

Continúan resolviendo los problemas. La consigna es que todos deben intentar acordar

con su compañero las respuestas y, en caso de persistir las dudas, me acerco a la pareja para

ayudarlos a identificar la dificultad.

Es muy probable que la resolución de todos los problemas tome todo el módulo (80 minutos),

así que continuarán trabajando en una clase posterior. Es principio de año, y los niños tienen

que tomar un ritmo de trabajo más ágil, que lograrán durante los siguientes meses.

Después de resolver los problemas se discuten en el pizarrón. Algo necesario de instalar

en el aula es que ellos mismos deben ocuparse de determinar cuáles problemas están bien

resueltos y cuáles no, que no me pueden preguntar "¿Está bien seño?". Algo importante es

discutir con ellos sobre ¿qué hay que hacer para saber si está bien o no?, y la respuesta a esta

pregunta depende por supuesto del problema.

La validación ocupa un lugar muy importante. A veces retomo algunos procedimientos

erróneos, justamente para que puedan determinar por sí solos que lo es, y argumentar por qué

es erróneo y por qué alguien pueda haber dado ese resultado.

Por ejemplo, si en 1.200 + … = 2.500 algunos pueden pensar que hay que sumar 300

porque 200 + 300 = 500, pero luego sumar 2.000 para obtener 2.500 sin contar los 1.000 de

los 1.200 iniciales. También se discute si hay procedimientos más comprensibles, más ágiles o

más económicos, teniendo cuidado porque esta decisión depende mucho de los conocimientos

de los alumnos, y para alguno que todavía no terminó de comprender un cierto razonamiento,

no resultará más económico o más ágil que el que domina.

Para que todos puedan avanzar en sus procedimientos, si en la puesta en común aparece

un procedimiento muy efectivo o es el que se pretende que aprendan, escribo aparte un

ejercicio similar que todos deben resolver utilizándolo.

Ficha 10: ¿Qué número pensé?

Continuando con la relación entre las operaciones de suma y resta, se plantea en esta ficha

la resolución de un tipo de problema: ¿Qué número pensé?

Se presentan distintos problemas de ese tipo, haciendo variar los números de manera de

dificultar su resolución y favorecer la aparición de diferentes clases de procedimientos.

Sabemos que frente a problemas como: "Pensé un número, le resté 110 y me dio 236, ¿qué

número pensé?", los alumnos seguramente recurrirán a una resta para resolverlos o a una suma

si en el problema se incluye: "le sumé tanto…" Por lo tanto hacer reflexionar sobre la utilización

de resta para resolver sumas será una tarea permanente del docente, aún en 4º- grado.

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En la primera parte de esta ficha, se plantea que la tía de Federico le propone adivinanzas

de ese tipo durante los paseos. Se trata de una situación que con frecuencia está presente en

los viajes con niños. Más adelante se plantea que las adivinanzas están escritas en un papel y

esto permite que los alumnos empiecen a relacionar situaciones con escrituras.

En el punto 3, las adivinanzas se vuelven más difíciles al combinar las dos operaciones:

"Pensé un número, le sumé 23, le resté 5 y me dio 78, ¿qué número pensé?" Para esta

situación más compleja no se presenta por el momento una escritura posible.Algunos

procedimientos –observados en el trabajo con los alumnos– muestran cálculos intermedios

como 23 – 5 = 18 y entonces transforman la adivinanza en una de la formas de las anteriores:

… + 18 = 78.

Otros, sin embargo, resuelven en primer término la adivinanza … – 5 = 78, obtienen 83,

pero luego se les presenta una cierta dificultad para continuar, ya que dejarían de tratar de

llegar al 78 y deberían cambiarlo por 83, cambio que consideran provocaría la aparición de otro

ejercicio y no el dado en la consigna.

La discusión de los procedimientos y de las dificultades que pueden aparecer deberán ser

discutidas con el docente, sabiendo que se trata de situaciones un poco más complejas que las

anteriores. Resulta de gran utilidad contar con recursos para saber si la respuesta es correcta

o no, ya que una vez encontrado el número puede verificarse si, realizando las operaciones

pedidas, se obtiene el número dado en la adivinanza.

Ficha 12: ¿Cómo resolverlos?

El dominio de recursos de cálculo mental carece de sentido si no se reconoce en qué

ocasiones usarlos.

El esquema de esta ficha es el que presentamos habitualmente cuando se plantea un cierto

trabajo con cálculo mental: se parte de solicitar a los alumnos que decidan en cuáles de los

cálculos presentados pueden recurrir al cálculo mental y en cuáles plantean la cuenta.

A partir de esta exploración, se discutirá en el equipo si todos resolvieron mentalmente o con

cuenta los mismos ejercicios y los procedimientos usados. Es decir, se comparten procedimientos

entre los compañeros que luego serán discutidos entre todo el grupo y el docente.

También se plantea la tarea de corregir cuentas de resta, que sabemos generan mayor

dificultad que las de suma. Finalmente, tareas de estimación de resultados, en principio

eligiendo cuál es una estimación adecuada entre tres dados y luego produciendo cálculos con

un resultado que se encuentre entre ciertos números.

Puede observarse que en torno a las operaciones de suma y resta se plantean distintas

tareas: sumar o restar dos números, analizar si les es posible realizarlas mentalmente, corregir

cuentas mal hechas o identificar resultados erróneos; elegir una buena estimación e inventar

cuentas que tengan un resultado que se pueda incluir en intervalos de números.

Ya lo hemos mencionado en otras guías, pero insistimos en que, resolver mentalmente un

cálculo no es reañizar el algoritmo "en la cabeza" (sin lápiz y papel) sino que se trata de buscar

un porcedimiento adecuado para ese cálculo. Por ejemplo, descomponiendo los números en

función de lo que se quiere lograr o bien recurrir a las sumas o restas ya memorizadas. Para

3.700 – 1.500 se puede recurrir a pensar que 3.700 = 3.500 + 200 y que de esta manera

se puede restar con facilidad 3.500 – 1.500 obtener 2.000, número al cual habrá que sumar

los 200 iniciales. Claramente este cálculo permite ahorrar tiempo en relación con escribir la

cuenta, innecesaria en este caso.

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Los procedimientos de cálculo mental deben ser presentados y puestos a discusión; en el

caso anterior, si bien es una resta, hay que sumar 200, lo que puede parecerles a los alumnos

una contradicción.

Ficha 16: La fábrica de ropa deportiva

En esta ficha se continúa el tratamiento de las operaciones aditivas relacionándolas con los

ejes "Sistema de numeración" y "Tratamiento de la información".

Se plantea trabajar con distintos registros realizados en una empresa dedicada a la

fabricación de camperas. La primera es una tabla de doble entrada donde se volcó la

información de la cantidad de camperas disponibles según su talle y color. La cantidad

indicada en cada celda queda determinada por su pertenencia a una fila y una columna en

particular. En las tablas ya se encuentran ubicados algunos datos y otras celdas se encuentran

vacías. En el apartado correspondiente a "Tratamiento de la información" se analizarán tareas

propias a dicho eje presentes en esta ficha, como extraer datos de una tabla, tratarlos o por el

contrario organizar algunos datos en una tabla.

Aquí se plantean preguntas que ponen en relación distintas columnas o filas: si se conoce

el total de camperas rojas de tamaño chico y grande, se puede determinar cuál es el total

de camperas rojas. O si en total hay 2.700 camperas talle chico y de ellas 1.400 son rojas,

la cantidad de camperas azules se podrá determinar restando dichas cantidades. Y una vez

completada la tabla, se solicita extraer información sobre la cantidad presente en distintas celdas.

En el trabajo con esta ficha resulta particularmente delicado distinguir la identificación de

lo que se sabe –interpretar el significado de los datos– respecto de lo que se puede establecer

a partir de los mismos. Se puede notar así la precisión con la que es necesario realizar las

formulaciones. Es posible imaginar un diálogo entre los chicos o con el docente: "¿Qué son los

1.800?", "Camperas", "Sí, pero ¿cuáles?", "Las de talle grande" y otro que aclara "No, las de talle

grande son 2.750", "Ah, entonces son las camperas negras de talle grande".

Puede resultar de cierta dificultad la consideración –no realizada espontáneamente por

los alumnos– de que el número que aparece en la fila y columna de Totales, puede obtenerse

tanto sumando los valores de la fila como los de la columna. Se puede formular diciendo que

se puede obtener el total de camperas sumando los distintos talles sin considerar los colores o

bien obtenerlo sumando las cantidades correspondientes a cada color sin tener en cuenta el

talle. Seguramente necesitarán cierto tiempo de trabajo con tablas para comprenderlo y llegar

incluso a utilizar esa igualdad para obtener nueva información.

Por otra parte, presentamos cálculos relacionados con la información de la tabla, de

los cuáles se pide explicar qué es lo que permiten averiguar. Esta explicitación promueve

la identificación de cada dato en el contexto. Por ejemplo, en el cálculo 3.100 – 1.800, es

necesario primero preguntarse: ¿Qué representan esos números en la situación planteada?

La respuesta sería: "3.100 es la cantidad total de camperas negras y 1.800 es la cantidad

de camperas negras de talle grande", por lo tanto, su diferencia tiene que corresponder a

las camperas negras de talle chico. Es la primera vez que esta tarea de explicitación de la

nueva información que se obtiene con un cálculo se incluye en 4º- grado, aunque estuvo

frecuentemente presente en los grados anteriores.

Esta tarea ayuda a los alumnos a establecer claros vínculos entre los números y operaciones

y el contexto, relaciones indispensables si se quiere mantener bajo la responsabilidad de

los que resuelven los problemas, tanto los distintos pasos del mismo como los resultados

intermedios y finales obtenidos.

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Ficha 33: Facilitar los cálculos

En esta ficha se vuelve a plantear un trabajo sobre los recursos de cálculo, en particular,

trabajar con expresiones equivalentes de los números de acuerdo con la tarea que se quiere

resolver.

Así descomposiciones diferentes del número 900 podrán ser utilizadas para resolver

distintos cálculos. Por ejemplo, para resolver mentalmente 3.600 + 900, se podrá recurrir a

400 + 500 y, en cambio, recurrir a 600 + 300 para resolver mentalmente 3.600 – 900. Esta

tarea no tendría sentido si no se discutiera en la clase por qué seleccionar una u otra, o por

qué pensar en 400 + "algo" en el primer cálculo y en cambio 600 + "algo" en el segundo.

Utilizando un procedimiento de completar el número, en el primer caso con 400 se podrá

redondear a 4.000 y como quedan aún 500, el resultado es 4.500. En cambio en el segundo

hay que restar 900, que puede ser pensado como restar primero 600 (debido a que el

número inicial es 3.600) y luego los 300 restantes, obteniendo así: 2.700. Es preciso señalar

que restar un número de otro, realizando dos restas sucesivas, no tiene mucha presencia en

las aulas. No deja de presentar la dificultad de que para restar se puede pensar al sustraendo

como suma de otros dos, por ejemplo 900 = 600 + 300. Sin embargo, formularlo en términos

de: tengo que restar 900, primero resto 600 y luego 300, les permitirá a los alumnos

comprender esta situación.

Siguiendo con las descomposiciones, se plantean distintos cálculos en los cuáles se pide

buscar una que lo facilite.

Se trata de lograr que los alumnos no solo resuelvan los cálculos, sino que además puedan

explicitar por qué elegir una u otra descomposición. Para esto, será útil discutir cálculos que

involucren un mismo número como los anteriormente citados. Los cálculos y las actividades

planteadas deberían permitir a los niños tomar cabal conciencia de la necesidad de tener

en cuenta la tarea para realizar la descomposición, no cualquier descomposición facilita

cualquier cálculo.

En algunos casos conviene restar un número mayor, por ejemplo, en 5.400 – 900 conviene

restar 1.000 por la facilidad de realizar los cálculos y luego sumar 100, ya que se había quitado

más de lo necesario. La comprensión de que este procedimiento es correcto puede ser de

mayor dificultad para los niños, debido a que se termina sumando una cierta cantidad cuando

en realizad se quería restar.

Ficha 45: Exacto o aproximado

En este caso no se trata de elegir una descomposición o expresión equivalente según el

cálculo a realizar como en la ficha anterior, sino de seleccionar el tipo de cálculo (mental,

cuenta o calculadora) según el problema a resolver. Tanto en esta ficha como en las siguientes,

las actividades no incluyen únicamente sumas y restas, sino también multiplicaciones o

divisiones. Decidimos analizarlas en este apartado aunque las citaremos también en el apartado

de multiplicación y división.

Frente a la pregunta: "¿La máquina produce más de 10.000 tuercas en un día?", está

claro que se puede recurrir a una estimación de la producción total. En cambio, si se trata de

devolver dinero o reclamar un pago mal realizado, será necesario un cálculo exacto.

Se destinan entonces algunas preguntas a realizar estimaciones o analizar si las

estimaciones dadas son adecuadas o no a la situación que se plantea. Si bien no se pretende

que los alumnos lleguen a expresar la regla de redondeo, estará en juego al determinar cuál es

entre varias una estimación adecuada.

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Por su parte, si un cálculo se hace con la calculadora, aún será necesario poder controlar

el resultado, la calculadora da el valor exacto, siempre y cuando no se haya apretado una

tecla por otra o se haya olvidado colocar la coma. Por lo tanto, es de gran importancia que los

alumnos aprendan a estimar un resultado.

La discusión de cuál estimación es más adecuada que otra es en general muy rica en el

aula, por los argumentos que esgrimen los alumnos para fundamentar su elección.

Otra de las actividades que se plantean es elegir cuál de tres es el resultado correcto de un

cálculo. Por ejemplo, para 4.856 × 4 = se dan los números 1.949, 19. 424 o 194.264.

Para determinarlo se puede estimar el orden de magnitud del resultado. Si se redondea el

número a 4.000, al multiplicarlo por 4 debería ser aproximadamente 16.000; como se estimó

un valor menor, el resultado será mayor que 16.000; pero, a la vez, si se redondea el número

a 5.000, daría 20.000 como resultado. Por lo tanto, el resultado debería estar entre 16.000 y

20.000, o sea, debe ser 19.424. Otro argumento que se puede usar es la cifra de las unidades

que debería tener el resultado, ya que esa cifra será también la del producto de las unidades.

Por ejemplo, en 5.173 × 6 el resultado deberá terminar en 8.

Ficha 51: Vencer a la calculadora

Nuevamente se plantea la decisión de qué tipo de cálculo utilizar, debido a los números

involucrados en el cálculo. Para ello, se plantea una competencia entre un calculador que

resuelve mentalmente y otro que usa la calculadora para determinar el doble o la mitad de

distintos números de cuatro cifras. Con frecuencia, se debe enfatizar que el que resuelve con la

calculadora no puede dar el resultado aunque lo sepa antes de hacerlo.

Además de este juego donde los alumnos recurren a sus conocimientos y procedimientos

personales, se plantea el análisis de los números con los cuales ganó la calculadora y con

cuáles ganó el que lo realiza mentalmente o con la cuenta.

Pretender ganar a una calculadora haciendo cálculos parece imposible para los niños, por

lo tanto, cuando logran hacerlo, lo consideran un éxito enorme, que podemos atribuir a las

ventajas del cálculo mental para los cálculos de ciertos números.

Uno de los recursos que se presentan y discuten para mejorar el cálculo de mitades y

dobles es el de descomponer el número en sumandos de fácil cálculo. Por ejemplo,

4.740 = 4.000 + 640 + 100; ya que, para los tres sumandos, es bastante fácil encontrar la

mitad: 2.000 + 320 + 50 = 2.370.

En la última página, volviendo a la calculadora, se trata de llegar a describir qué produce el

uso repetido del signo igual luego del signo de una operación, por ejemplo, 20 + = = = = = =.

Antes de realizarlo, se pide a los alumnos que anticipen cuáles serán los próximos números

que aparecerán.

Otras actividades apuntan a profundizar este funcionamiento de la calculadora, preguntando

si presionando tal o cual número se llegará a tal otro, o tratando de determinar cuántas veces

habría que apretar el signo igual para obtener tal número si se partió de tal otro.

Por ejemplo, si se parte de 25 y se aprieta + y luego varias veces = ¿se llegará a 305?

Puede ser resuelto matemáticamente por medio de una división 305 : 25, pero dado que no

se obtiene un número entero como resultado, sumando varias veces 25 no se llegará nunca a

305. Si bien los alumnos difícilmente recurran a este cálculo, pueden por supuesto realizar las

sumas y constatar si se llega o no a 305, pero el docente debería insistir en que busquen otras

formas, ya que, si se tratara de realizar las sumas, lo puede hacer la calculadora.

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Los resultados de sumar varias veces 25 siguen una regularidad fácilmente detectable por

los alumnos: los primeros son 25, 50, 75, 100,… todos terminarán en 5 o en 0, pero además

seguramente se llegará a las centenas: 100, 200, 300… Por lo tanto no se podrá llegar a 305

aunque sea un número terminado en 5.

Multiplicación

La multiplicación es una de las operaciones que comienza a aprerenderse en el segundo

año de Primer ciclo, no es identificada, en general, como de difícil enseñanza y aprendizaje.

Sin embargo, si su aprendizaje se organiza solamente sobre la base del estudio de las tablas

y algoritmos y en su aplicación en la resolución de problemas, se ocultará la necesaria

construcción y ampliación del sentido de las operaciones, los distintos significados, las

complejas relaciones que se establecen entre procedimientos y recursos de cálculo, etcétera.

Tareas como estimar un resultado, comparar dos productos sin necesidad de encontrar el

resultado, usar sus propiedades, relacionar con las demás operaciones, no sólo con la suma

y la resta sino también con la división, identificar las diferencias, buscar procedimientos no

necesariamente algorítmicos para resolver un problema o un cálculo, son recursos que ponen

en juego el sentido de las operaciones a la vez que constituyen herramientas imprescindibles

para abordar nuevos problemas.

Brevemente, podríamos decir que aprender la multiplicación significa construir el sentido, es

decir, saber reconocer cuáles son los problemas que se pueden resolver con esta operación,

disponer de recursos para calcular productos, poder relacionar distintos significados, conocer

y poder utilizar las propiedades que la caracterizan y diferencian de las de la suma12, por

ejemplo, saber elegir las estrategias más económicas según la situación y, también, conocer

los límites de esta operación, es decir, poder reconocer cuándo una situación no puede ser

resuelta con una multiplicación.

Muchas de estas cuestiones han estado presentes en el aprendizaje de la multiplicación en

3º- grado, se continuarán desarrollando en 4º- y en particular se destinará una buena parte de

las fichas a la búsqueda de mejores y más eficientes recursos de cálculos, a fin de lograr la

memorización de los productos, indispensable para poder avanzar en los aprendizajes.

Seguramente la relación entre las operaciones de multiplicación y suma ha sido objeto de

trabajo en 2º- y 3º- grado, no obstante se presentarán situaciones en 4º- en las que puede ser

necesario recurrir a ella para construir o justificar nuevas técnicas o propiedades.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas que se trabaja la multiplicación. Su análisis se

presenta en tres apartados:

Multiplicación Fichas en que se trabaja

La multiplicación en Hacer Matemática en 4º- 8, 11, 13, 20, 22, 24, 25, 27, 29, 42, 51

Situaciones multiplicativas 8, 11, 20, 24, 25, 29

Recursos de cálculos 11, 13, 22, 24, 25, 27, 42, 51

Prioridad de las operaciones y uso de

paréntesis

43, 58

12 Por ejemplo, si en una suma se duplica cada uno de los sumandos, su suma resultará el doble de la suma original. En el

caso de la multiplicación, si se duplica cada uno de los factores, el producto resultará cuadriplicado.

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La multiplicación en Hacer Matemática en 4º-

El aprendizaje de la multiplicación se inició desde 2º-, a partir de enfrentar a los niños a la

tarea de buscar procedimientos personales de resolución de diversos problemas que podrían

ser reconocidos por los docentes como de multiplicación.

El trabajo en tercer grado se centró en establecer relaciones entre productos a fin de

contribuir a la obtención de un nuevo producto, en particular a partir de los ya conocidos.

En cuarto grado, si bien se inicia retomando relaciones de ese tipo y se pretende ampliar

los recursos para obtener más o menos rápidamente un producto, se avanzará hacia la

memorización.

En cuanto a los algoritmos, el de la multiplicación por un número de una cifra ha sido

introducido en 3º- grado y en cuarto se introducirá el correspondiente a números de dos cifras.

Situaciones multiplicativasFichas 8, 11, 20, 24, 25, 29

Tanto en segundo como en tercero se planteó un estudio de situaciones de multiplicación

correspondientes a distintos significados de esta operación. Se habló así del isomorfismo

de medidas, situaciones donde se ponen en relación dos conjuntos, por ejemplo, cantidad

de cuadernos y precios pagados por cada cantidad. Nos referimos a casos particulares de

problemas de proporcionalidad, donde uno de los valores es 1.

Por otra parte hablamos de problemas de organización rectangular y de producto de

medidas. También analizamos el uso de tablas en la multiplicación.

En esta Guía no nos referiremos a estos significados en particular; si bien estarán presentes

en las distintas fichas, hablaremos más en general de situaciones de multiplicación.

Ficha 8: Cartas y monedas

Se trata de una ficha de inicios de un año escolar que tiene el objetivo de retomar

conocimientos previos en contextos que ponen en juego relaciones que no estuvieron

necesariamente presentes en las actividades de los años anteriores.

En cuanto a la multiplicación, solo aparecen en este juego productos por 2 y por 5, pero se

analizan cuáles son los resultados posibles de multiplicar números del 0 al 9 por 2 y por 5, se

indaga la posibilidad de resultados iguales, se definen números pares, se presentan escrituras

mixtas (aditivas y multiplicativas) como: (3 × 5) + (8 × 2) + (1 × 2)13, etcétera.

Cantidad de estuches Cantidad de biromes

1 4

10 40

20 80

30 120

60 240

13 Si bien no es necesario utilizar paréntesis para indicar en qué orden es necesario realizar las operaciones, los alumnos aún

no conocen la prioridad de las operaciones y los paréntesis ayudan a identificar cada producto con el puntaje en cada vuelta

del juego.

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En cuanto a los números pares, queremos mencionar que durante el año se plantean

actividades que ayudan a los alumnos a hacer evolucionar el significado de número par.

Seguramente aprendieron en los primeros grados que un número es par cuando es la suma

de dos números iguales. Por ejemplo, 6 es par porque es igual a 3 + 3, es decir, se define

en función de la suma. Se pretende que esa primera idea aditiva –difícilmente utilizable con

ciertos números como 974– pueda evolucionar a una definición multiplicativa consistente en

buscar si es posible escribirlo como producto de un número por 2. Más adelante, en el trabajo

específico con la división se ampliará el significado de número par como aquellos que al

dividirlos por 2 el resto es 0. La pregunta presente en las fichas sobre si distintos números son

pares o no y la reflexión que se plantea pretenden que los alumnos puedan contar con distintos

procedimientos para determinar si un número es par o no, y puedan seleccionar el más

adecuado en cada situación. Más adelante también se hablará más en general de múltiplos de

un número y no solo de números pares.

Es interesante analizar durante el trabajo con estos temas, algunas de las regularidades que

"ocasionalmente" los alumnos formulan, aunque no sean correctas; por ejemplo, como 7 es

impar, suelen pensar 70 también lo será, asociado además a que les resulta difícil imaginar

un número que sumado consigo mismo dé 70. La búsqueda de regularidades es una de las

características fundamentales de hacer Matemática, y como tal, resulta muy importante de

desarrollar con los alumnos, sin olvidar que otra de las tareas fundamentales en Matemática es

determinar justamente si tales regularidades son válidas o no.

Ficha 11: Compras al por mayor

Esta ficha presenta contextos de colecciones organizadas de varios modos, por ejemplo,

paquetes de 100 hojas de dos tamaños diferentes de los cuales se compran distintas

cantidades. Las situaciones remiten a comparaciones, divisiones, restas y sumas.

Las divisiones pueden ser resueltas por medio de multiplicaciones; por ejemplo, en el

ejercicio 2, se quieren comprar 200 biromes que vienen en estuches plásticos de 4 biromes.

Los alumnos podrán buscar un número que multiplicado por 4 dé por resultado 200, es

decir, 50; pero también pueden organizar una tabla como la que se encuentra a la derecha, en

la cual se podrían incorporar otros números según las posibilidades de cálculos de cada alumno.

En este caso, el docente podrá plantear una reflexión sobre por qué se eligieron esos

números y no otros y cómo determinaron el número de biromes en cada caso.

Si bien toda cantidad de biromes puede ser encontrada multiplicando la cantidad de

estuches por 4, también se puede encontrar que 80 es la cantidad correspondiente a 20, ya

que a 10 le corresponde 40.

En cuanto a qué números elegir en las distintas casillas de la tabla, el fin es lograr

200 biromes, y en la otra columna el número de estuches a partir de otros datos que se van

obteniendo.

La segunda parte de esta ficha está destinada a determinar nuevos valores utilizando

propiedades aditivas y multiplicativas como las citadas, y será analizada en el apartado de

"Recursos de cálculos".

Ficha 20: Ganar el tesoro

En el juego de video que plantea esta ficha, se encuentra una relación entre monedas de

distinto valor con reglas de cambio no regulares: 1 de oro por 3 de plata, mientras que cada

moneda de plata puede ser cambiada por 12 de bronce.

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Las situaciones que se plantean demandan operar con cantidades según las condiciones

impuestas por las reglas.

Como en casi todas las fichas de nuestros libros planteamos, en lo posible, la búsqueda

de resultados más generales y la caracterización de los elementos –números o figuras– que

verifiquen una cierta propiedad. En este caso, proponemos a los alumnos organizados en

equipo que averigüen si se podrá cambiar cualquier cantidad de monedas de plata por

monedas de oro, sin que sobre ninguna de plata. El docente sabe que solo será posible si la

cantidad de monedas de plata es un múltiplo de 3. Aunque los alumnos no lo identifiquen de

esa manera, podrán decir que las cantidades tienen que ser 3, 6, 9, 12, 15, 18,… e indicar

que podrían seguir sumando 3 y obtener muchos más. Podría eventualmente aparecer que una

cierta cantidad de monedas de plata se va a poder cambiar por monedas de oro si al dividirlo

por 3 el resto es 0.

Toda la página 53 de la ficha está destinada a esta búsqueda de cantidades con las cuales

se puedan realizar algunos canjes y otras que no.

Ficha 24: Cuadrículas y productos

En esta ficha se retoma la obtención del total de elementos de una colección dispuesta

según configuraciones rectangulares, uno de los significados de la multiplicación trabajada

desde segundo y tercer grado. Desde los grados inferiores se plantea resolver con productos el

cálculo del total de elementos de colecciones organizadas –que pueden ser representadas en

una cuadrícula– sin necesidad de contar uno a uno todos sus elementos.

Una de las dificultades ya mencionadas en las guías anteriores y que, sin embargo, puede

manifestarse aún, es la referida a no querer contar dos veces "el cuadradito de la esquina". La

idea sumamente instalada a partir del aprendizaje de la suma de que no es posible contar un

mismo elemento dos veces lleva a los alumnos a contar uno menos en una de las dimensiones

de la cuadrícula. Por ejemplo, en una como ésta:

los alumnos pueden contar los 5 cuadraditos

del ancho del rectángulo y considerar que en el

largo sólo deben contarse 2 y, por lo tanto, hacer

corresponder la cuadrícula al producto 2 × 5 en

lugar de 3 × 5.

Si se recurre a la suma de cuadraditos de cada fila: 5 + 5 + 5 = 15, claramente cada

cuadradito será contado una única vez. En la multiplicación, sin embargo, los números cambian

de significado, 3 puede ser considerado como el número de filas y 5 como el de columnas, por

lo tanto el cuadradito de la esquina será contado correctamente una vez como columna y otra

como fila. Esto es lo que algunos alumnos pueden tardar un poco más en comprender.

El docente deberá discutir con ellos este aspecto que pone en evidencia la distinción entre

suma y multiplicación.

En la ficha se solicita calcular el total de cuadraditos de varios rectángulos y escribir sobre

cada uno el producto que permite averiguarlo. En esas actividades iniciales es donde puede

aparecer el fenómeno del "cuadradito de la esquina". En particular, la cuadrícula de

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10 cuadraditos de largo y 1 de ancho, puede constituir una de las mayores dificultades para los

alumnos, ya que dicho rectángulo no se percibe como un rectángulo de 1 cuadradito de ancho

y 10 de largo, por lo tanto, difícilmente escriban 1 × 10.

En todas las actividades se trata de interrelacionar las cuadrículas con los productos,

considerando a las cuadrículas como piezas de un rompecabezas o inventando rompecabezas

para armar de distintas maneras un cierto rectángulo de medidas dadas. El trabajo está

destinado a que los alumnos puedan desarrollar procedimientos de cálculo de números de dos

cifras. Este aspecto es analizado en el apartado "Recursos de cálculo".

Ficha 25: Envío de libros

Asignamos a esta ficha el mismo nombre que la correspondiente al inicio de la

multiplicación en 2º- grado, ya que se trata de actividades similares a las propuestas en esa

ficha, pero para multiplicación con factores de dos o más cifras. Más adelante, incluimos un

registro de clase.

La primera consigna demanda el número de libros que se envían en 15 cajas con

12 ejemplares en cada una. Podemos suponer que algunos alumnos recurrirán aún a sumar

12 veces 15 o 15 veces 12, pero incluso en estos casos debería suceder –y si no la maestra

lo podrá retomar para analizarlo, discutirlo y hacerlo evolucionar– que acorten el número de

sumas. Por ejemplo, sumar 15 + 15 = 30 y entonces considerar que si en 2 cajas hay 30 libros,

en 4 deberá haber 60 y en 12 (multiplicando 4 × 3) debería haber 180 libros; se trata de un

procedimiento a "mitad de camino" entre suma y multiplicación, Si se trata de disminuir la

cantidad de pasos, se podría pensar: si en una caja entran 12 libros, en 10 cajas entrarán 120

y en la mitad de cajas o sea 5, la mitad de 120 libros o sea 60 libros. Por lo tanto, en 15 cajas

entrarán 120 + 60 = 180.

Esta forma de acortar los pasos les permitirá a los alumnos relacionar este procedimiento

con las descomposiciones que han empezado a utilizar en las actividades de fichas anteriores.

Las preguntas posteriores permitirán poner en discusión si los resultados previamente

obtenidos pueden servir para obtener otros. Por ejemplo, si el martes envían 2 cajas más, para

saber el total enviado en los dos días no es necesario calcular la cantidad de libros que hay en

17 cajas, ya que es suficiente agregar al total anterior los 24 libros en las dos cajas enviadas.

Para determinar cuántas cajas hay que enviar aún para completar 300 libros, nuevamente

se puede retomar el conocimiento ya adquirido de que en 17 cajas entran 252 libros y, por lo

tanto, para completar 300 libros, serán necesario 48 libros más, es decir, 4 cajas más.

Si estos razonamientos no aparecen, el docente podrá plantear las preguntas: "¿Es necesario

volver a calcular todo? ¿No se podrán usar los resultados anteriores?"

La información sobre más envíos realizados por la editorial permite plantear otros productos

para los cuales los alumnos deberán buscar procedimientos adecuados. A continuación se

plantea el algoritmo de la multiplicación por dos cifras, que será analizado en el apartado

siguiente de "Recursos de cálculos".

Incluimos aquí un registro de clase.

Envío de libros

Propuse, para desarrollar esta ficha, que cada uno resuelva las preguntas del problema 1 en

forma individual, a pesar de estar dispuestos en equipo. Dije que contarían aproximadamente con

veinte minutos y que ante cualquier duda podían consultar a sus compañeros de banco o a mí.

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Transcurrido el tiempo indicado, y luego de recorrer los equipos para verificar que

todos hayan estado trabajando en los problemas, les sugerí que pusieran en común los

procedimientos usados y las respuestas, para luego acordar qué procedimiento pasarían a un

afiche en el momento de la puesta en común. Pero lo debieron hacer del siguiente modo, para

aprovechar mejor el tiempo disponible: el grupo total estaba dividido en 7 grupos de 4 alumnos.

Los equipos 1) y 5) elaboraron el afiche para la primera pregunta; el 2) y el 6), trabajaron con la

segunda, el 3) y el 7), con la tercera y el 4) con la última pregunta. Asigné 15 minutos para la

escritura del afiche.

Luego de discutir bastante sobre el problema. debido a que surgieron algunas diferencias,

cada equipo produjo su afiche. Mi intervención, en caso de que no lleguen a acuerdos, radica

en escuchar cuál es la cuestión sobre la que están discutiendo, encaminar la discusión hacia

un lugar común, instar a que lleguen a algún arreglo y, en caso de que los problemas persistan,

les permito que se expongan dos procedimientos distintos, pero con la condición de que

deberán explicar a sus compañeros cuáles fueron las dificultades con las que se encontraron.

Para la pregunta 1:

* El equipo 1) escribió lo siguiente:

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12

10 × 12 =120

5 × 12 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 60

120 + 60 = 180

R: Mandaron 180 libros.

* El equipo 5) escribió:

12 × 15 = 6 × 15 + 6 × 15

6 × 15 = 3 × 15 + 3 × 15 = 45 + 45 = 90

90 + 90 = 180

R: Son 180 libros.

Pego ambos afiches en el pizarrón para analizar. Podrán comentar todos los equipos excepto

el 1) y el 5). La idea es que el afiche se defienda "solo", que sea lo suficientemente claro como

para que los demás lo entiendan sin que nadie del equipo les explique. Pregunto, como primer

paso, qué opinan de las respuestas. Si bien ambos equipos llegaron al mismo resultado, las

"palabras" que usaron no fueron las mismas.

—¿Hay alguna respuesta que sea más acorde a la pregunta o ambas son igualmente válidas?

—Dicen lo mismo –dice Nicole–. Los dos son 180.

—¡No dicen lo mismo!…la que dice "mandaron" contesta exacto, porque la otra dice "son" y no

pregunta cuántos son, sino cuántos libros MANDARON –contesta efusivo Leandro.

—¿Y entonces? ¿Valen ambas?

—Sí, seño... pero la que dice mandaron es exacta –repite.

—¿Siempre tiene que ser exacta la respuesta?

—El número sí seño –dice Tiziana–, pero las palabras pueden ser distintas… aunque no muy

distintas…

—De acuerdo. Ahora miremos los procedimientos que usaron…antes… ¿podrías leer el

problema, Tiziana, para recordárnoslo?

Tiziana lee a todos el problema. Comienza la puesta en común. Pregunto a todos qué tipo de

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operaciones usaron en cada caso.

—En el primer afiche usaron sumas y multiplicaciones –dice Catalina–. En el segundo, solo

multiplicaciones… ahh… también sumas, pero no la misma suma…

—A ver... ¿qué dice Catalina? En ambos afiches usaron sumas y multiplicaciones, ¿están de

acuerdo? Pero ¿qué multiplicación están resolviendo en cada caso? ¿Es la misma?

—En el primero hacen una suma de doces… –dice Leandro.

—¿Cuántos doces sumaron?

—Son 15 doces –contesta Leandro.

—¿Y en el segundo afiche? ¿Cuáles números sumaron?

—Primero multiplicaron 12 × 15, pero pensaron el 12 × 15 separando el 12 –afirma Tomás.

—Sí, ellos desarmaron el 12 como 6 + 6 y después como 3 + 3 –agrega Josué.

—¿Cómo es eso?

—Es que ellos no sabían hacer 12 × 15, entonces, pensaron multiplicaciones más chicas que sí

podían y "daban" lo mismo –dice Josué.

—¿"Daban" lo mismo? ¿Qué multiplicaciones "daban" lo mismo?

—Es que 12 es 6 + 6 y 6 es 3 + 3, ¿no? –sigue explicando Josué–. Entonces 12 veces 15 es lo

mismo que hacer 6 veces más 6 veces o hacer 3 veces, 4 veces.

—A ver, a ver, me confundo Josué, ¿podrías mostrarnos en el afiche lo que estás diciendo?

Pasa al pizarrón y vuelve a comentar, pero indicando con un dedo en el afiche, que:

12 × 15 = 6 × 15 + 6 × 15 = 3 × 15 + 3 × 15 + 3 × 15 + 3 × 15

—¿Y por qué creen que "desarmaron" el 12? Los del primer equipo, ¿también desarmaron algún

número?

—Ellos desarmaron el 15 en 10 y en 5 –dice Esteban.

—¿Para qué lo hicieron? ¿Qué opinan?

—Lo que pasa es que 10 × 12 es fácil… sólo le agregás un 0… y 2 × 12 sabés de memoria que

es 24… después sumás y listo –aclara Esteban.

—Llegan al mismo resultado, pero pensando cosas que aparentemente son distintas, ¿no? ¿O es

lo mismo?

—¡¡¡Es lo mismo!!! –contestan varios.

—Es lo mismo, entonces, desarmar el 12 que desarmar el 15.

—¡¡¡Síííí!!!... da lo mismo –contestan.

—A ver –digo mientras escribo en el pizarrón 12 × 15 = 15 × 12–. Ustedes dicen que 12 × 15

es igual a 15 × 12, o sea, el resultado de ambas multiplicaciones es el mismo, es 180, pero si

miramos en los afiches, los doces que se suman en el primero ¿qué serían?

—Son los 12 libros en cada caja –responde Nicole.

—¿Y las 15 cajas están? ¿Dónde?

—Las cajas están en los 12… en las veces que se suma el 12… se suma 15 veces –dice Tomás

levantándose para contarlos.

—De acuerdo… y en el segundo equipo, ¿qué significarán el 12, los dos 6, los cuatro 3?...

porque el 15 no se desarmó parece…

Quedan en silencio por un momento, dudando de la respuesta que deberían dar. Como noto

que siguen confundidos, hago un gráfico en el pizarrón.

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—Imaginemos que ésta es una caja de las 15 que debían enviar. Sabemos que en cada caja

caben 12 libros. Pero el segundo equipo "desarmó" el 12 primero en 6 + 6 y luego en

3 + 3 + 3 + 3. Para hacer más fáciles las cuentas, la pregunta que hice era qué significarán en

este problema esos 6 o esos 3… el 12…

Los chicos que hicieron el afiche levantaban la mano insistentemente para explicar. Les pedí

que esperen un momento y luego le di la palabra a Tiziana.

—Es como si tenés las 15 cajas y vas metiendo los libros de a menos…

—¿Qué quiere decir eso?

—Metés primero 3 y después otros 3… otros 3 y otros 3. Es lo mismo que meter 12 pero "de a

menos" –explica.

—Ahhh –dice Tomás–, claro…

—¿Y en el primer problema? ¿Qué son el 10 y el 2?

—Ese es más fácil porque es como si contás primero cuántos libros hay en 10 cajas y después

en 2 cajas –esponde Tiziana.

—Entonces, van a escribir en la carpeta las conclusiones a las que fuimos llegando. Controlen si

falta algo de lo que estuvimos afirmando.

Ficha 29: Pista con trampas

Se plantea un juego de pista en parejas. Uno de los jugadores selecciona un número entre

2 y 7 que será el número de casilleros que va a saltar por vez. Es decir, si elige el 3, significa

que saltará de 3 en 3 partiendo de 0. El otro jugador coloca dos trampas casi al final de la pista

y el objetivo del juego es anticipar dónde poner las trampas para que el otro jugador caiga en

ellas. Si un jugador salta de 3 en 3, los números en los que caerá serán los múltiplos de 3,

concepto que será definido en las últimas páginas de esta ficha.

La pista que se encuentra en "Recortables" puede ser un poco reducida para jugar entre

dos y podría ser reproducida en mayor tamaño por los mismos niños.

Los alumnos pueden suponer en un inicio que no se puede prever sin hacer los saltos si

caerá o no en las trampas puestas, por eso se pide que en el equipo discutan si se podrán

poner para que caiga seguro o es cuestión de suerte. A veces necesitan realizar el recorrido

para convencerse.

La anticipación adquiere aún más importancia cuando se agranda la pista hasta 90 y ya no se

dispone de ella para realizar el recorrido. Si el salto es de a 5 casilleros, resulta más fácil que con

otros números anticipar cuáles serán los números sobre los que caerá el jugador en su recorrido.

Se pretende que, en general, los alumnos evolucionen en sus procedimientos desde realizar

el recorrido, luego sumar varias veces el salto hasta llegar y finalmente que busquen si hay

algún número que multiplicado por el salto cae en esa trampa.

12 × 15 = 15 × 12

12 × 15 = 6 × 15 + 6 × 15 = 3 × 15 + 3 × 15 + 3 × 15 + 3 × 15

Se puede “desarmar” el 12, lo que sería como ir colocando los 12 libros de a grupos más

pequeños en las cajas.

15 × 12 = 10 × 12 + 2 × 12

Se puede “desarmar” el 15, lo que sería como contar primero cuántos libros hay en 10 cajas

y luego cuántos hay en 2 cajas.

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Si se salta de 9 en 9 ¿caerá en 102? Se puede partir de considerar que con 10 saltos de 9,

llegará a 90 y a partir de ese número sumar sucesivamente varios 9: 99 –; 108, es decir que

no caerá en 102 porque queda entre dos de los números en los cuáles sí cae.

Si salta de 2 en 2, sí caerá en 204, ya que puede hacer 102 saltos de 2 casilleros y llega a

204. El número 102 indica la cantidad de saltos que tiene que realizar el jugador para caer en

el número 204. Se define a los múltiplos de un número como aquéllos que se pueden escribir

como producto de un número por el salto. Por ejemplo, 204 es múltiplo de 2 porque se puede

escribir como 102 × 2. En cambio, para 205 o 201 no se puede encontrar ningún número que

multiplicado por 2 de alguno de esos nombres.

También se trabaja con una tabla de Pitágoras extendida de la cual solo se incluyen algunas

columnas y unas pocas filas. Se pide completar los casilleros vacíos, pero también anticipar

si ciertos números estarán o no en la fila de tal número, estableciendo así relaciones entre la

escala de un número, la tabla de Pitágoras y los múltiplos, ya que la escala de un número, por

ejemplo el 4, está formada por los números que se obtienen "saltando de 4 en 4" que son a su

vez los múltiplos y que también son los números que figuran en la fila o en la columna del 4.

Recursos de cálculoFichas 11, 13, 22, 24, 25, 27, 42

La gran cantidad de fichas destinadas a la elaboración de nuevos recursos de obtención

de productos y de evolución de otros pone en evidencia nuestro interés en profundizar las

relaciones que establezcan los alumnos entre los productos y las propiedades de números

y operaciones, y de ese modo avanzar en la memorización de los productos, en ampliar

considerablemente lo que llamamos el repertorio multiplicativo.

Las primeras actividades de 4º- grado están destinadas a recuperar los conocimientos

adquiridos en los dos años anteriores y a seguir desarrollando recursos de cálculo de

productos. Es posible que algunos alumnos recurran aún a procedimientos aditivos y sea

necesaria la atención especial del docente para hacerlos avanzar en un primer momento a

procedimientos multiplicativos y posteriormente a su memorización.

Lograr la memorización de los productos –sin que eso signifique recitar las tablas– responde

al interés de que los alumnos dispongan de ellos para diversas tareas que se irán presentando

y que no siempre pueden ser resueltas con una calculadora. Por ejemplo, para la utilización

del cálculo mental, que permite realizar anticipaciones o encontrar resultados aproximados

así como controlar los resultados obtenidos en una calculadora; la búsqueda de divisores o

múltiplos, las relaciones entre fracciones, etcétera, por no citar la importancia de disponer de

tales productos para el aprendizaje de la división.

Ficha 11: Compras al por mayor

Esta ficha es la primera que analizaremos en relación con la obtención de productos y

su memorización. En ella se incluye, en la segunda parte, contextos que ponen en relación

cantidades de paquetes con cantidades de cuadernos o cantidad de estuches y de biromes,

de las que se conoce el valor de la unidad, por ejemplo, la cantidad de cuadernos de un

paquete o la cantidad de biromes en cada estuche. A partir de esos valores es posible obtener

las cantidades correspondientes para distintas cantidades de paquetes, estuches, bolsas y

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completar de ese modo las casillas de las tablas presentadas. Por otra parte, en cada caso

se demandan otros valores correspondientes a cantidades no presentes en la tabla, a fin de

favorecer la búsqueda de relaciones entre los datos ya establecidos para obtener nuevos. Por

ejemplo, para determinar la cantidad de cuadernos correspondientes a 6 paquetes se pueden

sumar las cantidades correspondientes a 5 y a 1 (respectivamente 30 y 6) y obtener 36 como

la cantidad de cuadernos en 6 paquetes. Para 12, se podrá duplicar la cantidad de cuadernos

correspondientes a 6 cuadernos, así como duplicar la cantidad para 5 si se pretende calcular

para 10 paquetes.

Si bien no se habla en estas primeras fichas de situaciones de proporcionalidad, sus

propiedades características están presentes, ya que son también características de la

multiplicación.

Ficha 13: Cálculo de productos

Esta ficha está destinada a establecer relaciones aditivas y multiplicativas entre los factores

para facilitar el cálculo de productos. Como primera consigna, se presenta encontrar el

resultado de un producto difícil: "7 × 8". A partir de que los alumnos obtienen su resultado, se

pregunta si utilizaron alguna de estas tres resoluciones posibles:

- multiplicar 7 × 4 y luego duplicar el resultado,

- resolver 8 × 8 y luego restar 8, o bien,

- calcular 7 × 7 y luego sumar una vez 7.

De esta forma se pretende recuperar procedimientos que ponen en juego relaciones entre

productos conocidos para obtener otros más complejos o que no se han memorizado aún.

En un mensaje lateral se informa a los alumnos que en 4º- será necesario disponer de

los productos de dígitos memorizados y se pide que escriban en una tabla los productos ya

memorizados –en ese momento del año– en una de las columnas y en otra, los que todavía

no han memorizado. Este mensaje será retomado en la ficha 25, a fin de constatar si han

avanzado o no en la concreción de ese objetivo.

También se plantean algunas cuentas de multiplicar para retomar la utilización del algoritmo

presentado en 3º- grado. En la realización de las cuentas pueden notar la necesidad de

disponer de los productos memorizados.

Como en muchas de las fichas destinadas a desarrollar nuevos procedimientos o hacer

evolucionar viejas técnicas, se presentan cálculos de los cuáles hay que indicar si pueden o

no resolver mentalmente o si les conviene escribir la cuenta. Disponer de variados recursos de

cálculo mental no sería de gran importancia si no se puede determinar cuál es un dominio de

aplicación. Los alumnos deberían poder caracterizar cuáles son aquellos cálculos que pueden

efectuarse mentalmente y para cuáles es mejor realizar el algoritmo.

En la misma ficha se retoman los productos × 10 –ya trabajados en 3º- grado– con la finalidad,

en este caso, de ser utilizados para facilitar la obtención de nuevos productos. Por ejemplo,

para determinar el producto 8 × 9, podrán recurrir a 8 × 10 y restar 8. Una de las dificultades

de este tipo de procedimientos está dada por la elección de cuál número restar o sumar.

Si para obtener el resultado de 8 × 9 se calcula 8 × 10, ¿será necesario restar 1? ¿O 9? ¿O,

tal vez, 8? ¿Cómo pueden los alumnos determinar cuál es el número que es necesario restar?

La relación del producto con la suma les puede permitir pensar a 8 × 9 como sumar 9 veces 8;

si se suma 10 veces 8 (al efectuar 8 × 10) para obtener el producto buscado, habrá que restar

una vez 8.

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También se presentan situaciones donde las colecciones están organizadas de a 10, por

ejemplo, los paquetes de sobres a fin de recuperar el resultado ya conocido de que para

multiplicar por 10 es suficiente agregar un cero.

Otras actividades plantean relaciones más complejas, ya que sin encontrar el resultado

deben determinar cuáles de nueve cálculos tienen el mismo resultado que el cálculo:

3 × 7 × 20. Los incluidos han sido obtenidos al realizar algunos productos parciales como

21 × 20, que surge de realizar 3 × 7, o de descomposiciones y productos en otros como

6 × 7 × 10, que surge de pensar a 20 como 10 × 2 y efectuar 3 × 2 para obtener 6. Algunos

cálculos no son equivalentes al dado, por ejemplo, 60 × 70 al cuál se lo puede relacionar con

3 × 20 multiplicado por 70 cuando faltaría multiplicar por 7, no por 70. Como puede notarse

se pretende que los alumnos puedan "ver", en las escrituras de los cálculos, relaciones entre

distintos números, aún si ninguno de ellos es uno de los tres presentes en el cálculo

3 × 7 × 20, como en el caso de 21 × 2 × 10.

En el Cuadernillo se retoma la Tabla de Pitágoras para seguir trabajando en los productos o

bien para que los alumnos que no la conozcan puedan hacerlo. Para todos se incluye dibujar

una tabla ampliada hasta 16 columnas (del 1 al 15) y 5 filas (del 6 al 10) así como completar

los productos correspondientes.

Ficha 22: "Yo lo sé"

En la segunda parte de esta ficha se plantean algunas preguntas, con respuestas que

pueden ser obtenidas multiplicando por 10, 100, etcétera, y de las cuales se incluyen tres

respuestas. Por ejemplo: si un elefante pesa 5.000 kg, ¿cuánto pesan 10 elefantes? Las

respuestas posibles son 50.000 kg; 500.000 kg y 5.000.000 kg. Esta actividad permite seguir

discutiendo los productos por la unidad seguida de ceros trabajando con números bastante

grandes.

El juego "Yo lo sé" es retomado en la ficha 27 con actividades en las que se involucran

mayormente multiplicaciones y divisiones.

Ficha 24: Cuadrículas y productos

Esta ficha ya ha sido analizada en el apartado anterior, pero queremos retomar aquí

la potencia de descomponer uno o ambos factores de un producto para obtener nuevos

resultados, especialmente en el caso de números de dos o más cifras. Primero se plantea

relacionar el armado de rectángulos (de los cuales se conocen sus medidas) con cuadrículas

recortadas, pero pronto se separa de la construcción manual para analizar las relaciones entre

los productos mismos. El contexto de los rectángulos dibujados en papel cuadriculado debería

permitir a los alumnos resolver algunas situaciones si no pueden a nivel de los números y

productos. Se plantea tanto descomponer uno de los factores para obtener dos rectángulos

que formen el original como partir de distintos rectángulos y anticipar si será posible formar un

único rectángulo. Esta tarea debería permitirles a los alumnos concluir que será necesario que

los rectángulos posean un lado en común a partir de preguntas como: Con los rectángulos

12 × 3 y 13 × 9, ¿se puede armar un rectángulo más grande? O ¿cuáles serán las medidas del

rectángulo que se puede armar con tres rectángulos de 15 × 6?

Podemos señalar que la finalidad última de estas actividades es la de proveer recursos de

cálculo para obtener productos de números de dos cifras. Por ejemplo, para calcular 38 × 24, se

podrá recurrir a distintas descomposiciones como (38 × 12) + (38 × 12); (38 × 17) + (38 × 7);

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(38 × 20) + (38 × 4); o bien, descomposiciones del primer factor como: (30 × 24) + (8 × 24),

contando en el caso en que sea necesario con el apoyo geométrico de las cuadrículas. Para las

descomposiciones dadas o para las que inventen los alumnos, se les pide analizar cuál o cuáles

les permiten calcular con mayor facilidad el producto 38 × 24. En la siguiente ficha se presenta

el algoritmo de la multiplicación por dos cifras que está asociado a la descomposición del que

se tomó como segundo factor.

Ficha 25: Envío de libros

En situaciones que ya han sido analizadas previamente se solicita el cálculo de varios

productos para los cuales los alumnos pueden realizar descomposiciones de los factores

como en la ficha anterior. Por otra parte, se presenta el algoritmo habitual de la multiplicación

por números de dos cifras, al que se le ha introducido solamente una pequeña modificación:

agregar el cero que habitualmente se omite al escribir el producto parcial en la segunda, tercera

fila, … cuando se multiplica por el número de decenas, centenas, etcétera. No ponerlos remite

únicamente a una cuestión de economía y rapidez, finalidades que han ido perdiendo parte de

su importancia ante la existencia de las calculadoras. Por el contrario, escribir el cero permite

tener más conciencia de que el producto que se escribe corresponde a multiplicar por 20 o 50,

etcétera, y no por 2, 5,… Se pretende además que los alumnos puedan relacionar los números

intermedios que aparecen en una multiplicación con alguna de las descomposiciones posibles.

En el caso del ejemplo de la ficha, en la cuenta para obtener el resultado de 45 × 38, los

productos intermedios corresponden a 45 × 8 y 45 × 30, es decir, a la descomposición de 38

en 30 + 8.

Nuevamente se plantea la importancia de seguir memorizando los productos y se pide

revisar la tabla que escribieron en la ficha 13 para constatar que han aprendido muchos más

productos que los que sabían en ese momento. Si no es el caso, el docente deberá intensificar

algunas actividades destinadas a ese fin.14

Ficha 27: Cambios en el juego "Yo lo sé"

Las modificaciones a las que alude el nombre de la ficha se refieren a tener que realizar

productos entre los números que aparecen en botones de diferente color: en uno puede salir

un número de hasta tres cifras, en el otro la unidad seguida de uno o más ceros (hasta cuatro);

por lo tanto, las actividades están centradas en realizar productos por la unidad seguida de

ceros, pero planteado desde distintos ángulos:

- dados los dos números que aparecieron, calcular el producto. Por ejemplo, 35 × 1.000;

- dado el total, averiguar los números que aparecieron en los botones, analizando si pueden

existir o no distintas posibilidades, por ejemplo, si uno de los participantes ganó 25.000 puntos.

Esta pregunta lleva a encontrar equivalencias entre escrituras como 25 × 1.000 con 250 × 100,

2.500 × 10 y con 25.000 × 1 si bien estas dos últimas escapan al contexto del juego;

- dado el número que apareció en uno de los botones y el total de puntos, determinar el

número que apareció en el otro botón.

Este contexto es especialmente propicio para definir lo que llamamos expresiones

equivalentes, es decir, cálculos que tienen el mismo resultado. Si bien en esta ficha se definen

de acuerdo con el resultado, en otras fichas se avanzará hacia considerarlas como distintas

expresiones de un mismo número y se pretende que los alumnos puedan trabajar con ellas sin

necesidad de determinar dicho número, como se planteó en el último ejercicio de la ficha 24.

14 PARRA, SAIZ, op. cit., cap 4

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Ficha 42: Productos a partir de otros

En esta ficha se continúa trabajando con productos de números de dos o más cifras, en

particular en los que se pueden determinar a partir de uno ya conocido, multiplicando por 10,

duplicando, triplicando, dividiendo por 2, 3, etcétera.

Se trata en general de números con una cierta cantidad de ceros, cuya dificultad radica

principalmente en el control de la magnitud del resultado.

Algunos de estos cálculos son más difíciles que otros; por ejemplo, si se sabe que

40 × 15 = 600, entonces 40 × 15 × 10 será claramente 6.000 porque el nuevo resultado será

10 veces más que el primero. Pero en el caso de 40 × 15 × 15 se sabe que será 600 × 15,

pero este nuevo producto no es inmediato. Podría considerarse que 600 × 10 es 6.000,

mientras que 600 × 5 es la mitad del anterior, es decir, 3.000 y, por lo tanto, 600 × 15 tendrá

como resultado 9.000.

Prioridad de las operaciones y uso de paréntesisFichas 43 y 58

En estas fichas se plantean cuestiones convencionales de la realización de cálculos que

indican la prioridad de las operaciones, la cual a su vez puede ser transformada por medio

de paréntesis.

Ficha 43: Cuentas para ganar

En la primera parte se plantea obtener ciertos resultados a partir de buscar qué operaciones

realizar con cinco o seis números, mientras que en la segunda parte de la ficha se plantea la

diferencia entre los resultados dados por las calculadoras a un tipo de cálculo, como 3 + 2 × 5.

Según la calculadora o el celular utilizado, al introducir dichos cálculos se puede obtener

como resultado 25 o 13; si el cálculo se realiza haciendo 3 + 2 = 5 y luego 5 × , el resultado es

25; en cambio, si se realiza primero 2 × 5 y luego se suma 3, el resultado es 13.

La diferencia que puede aparecer guarda relación con el uso o no de una memoria para el

cálculo. Esta ambigüedad justifica establecer una prioridad en el uso de las operaciones y la

Matemática ha establecido que primero se resuelva el producto y luego la suma, es decir que el

resultado correcto de 3 + 2 × 5 sea 13.

Ficha 58: Cálculos con condiciones

Si bien la Matemática ha establecido una prioridad de las operaciones, en algunas

situaciones puede necesitarse que primero se realice una suma o una resta antes de realizar el

producto. Para romper con la prioridad de las operaciones establecida, es necesario utilizar los

paréntesis. Cuando en un cálculo se incluyen paréntesis, su presencia indica que ese cálculo

debe realizarse primero.

Por ejemplo, el resultado del cálculo 8 × 4 – 4 + 6 × 3 es 32 – 4 + 18 = 46, de acuerdo

con la prioridad de las operaciones establecida en la ficha 43. Sin embargo, si se colocan

paréntesis como en este caso: 8 × (4 – 4) + 6 × 3 el resultado es 18 ya que el cálculo 4 – 4

debe realizarse primero y 8 × 0 = 0. Si los paréntesis se colocan así:

8 × 4 – (4 + 6) × 3 = 32 – 10 × 3 = 32 – 30 = 2.

Por lo tanto, los paréntesis permiten obtener distintos resultados.

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División

Si bien en esta Guía se dedica un capítulo específico al tratamiento de la división, resulta casi

imposible hablar de esta operación sin referirnos a la multiplicación, como fue casi imposible

hablar de restas sin ocuparnos de las sumas, ya que tanto la resta como la división pueden ser

definidas como las operaciones inversas de la suma y la multiplicación, respectivamente.

Las operaciones de división y de multiplicación están íntimamente relacionadas; forman

parte de lo que Gerard Vergnaud15 define como el campo de las "estructuras multiplicativas",

para referirse al conjunto de situaciones que implican una multiplicación, una división o una

serie de multiplicaciones o divisiones en su tratamiento.

Por su parte, el aprendizaje de la división se apoya fuertemente sobre los conocimientos de

los niños sobre la multiplicación y a la vez queda muy determinado por esos conocimientos.

Cuánto más sepan sobre multiplicación, más y mejor aprenderán sobre la división y, a la vez,

aprender sobre la división acrecentará los conocimientos sobre la multiplicación.

Como mencionamos en capítulos anteriores, aprender una operación no se reduce a

aprender el algoritmo ni puede considerarse que el algoritmo sea el conocimiento central de

este aprendizaje. Aprender a dividir incluye, sin duda, elaborar y dominar recursos de obtención

de resultados, entre ellos, el algoritmo; pero especialmente, los alumnos deben aprender a

reconocer cuáles son los problemas en los que se puede utilizar la división para resolverlos y

en cuáles no, qué relaciones se pueden establecer entre la división y las demás operaciones

aritméticas: suma, resta y multiplicación, qué propiedades verifica, cuáles son comunes a

otras operaciones y cuáles no, cómo se pueden validar los resultados obtenidos, qué tipo

de representaciones se utilizan, etcétera. Las relaciones con otras operaciones empezarán a

establecerse desde el inicio del aprendizaje cuando, a partir de los conocimientos que posean,

los alumnos se enfrenten a problemas de división.

Una de las características específicas de la división que la distinguen, de las demás

operaciones es que puede considerarse que el resultado está compuesto por dos números,

y no uno solo como en las operaciones anteriormente aprendidas: el cociente y el resto, que,

junto con el dividendo y el divisor, constituyen los cuatro valores involucrados en una división

de números naturales. Una mejor comprensión de estos elementos y de las relaciones que se

establecen entre ellos permitirá un mayor dominio por parte de los alumnos y control de sus

propias producciones.

Como hemos señalado con frecuencia en este libro, apostamos a la construcción de los

conocimientos por parte de los alumnos y consideramos que el aprendizaje sistemático de la

división de números naturales puede iniciarse a fines de 2º- grado, desarrollarse a lo largo de

3º-, y seguir aún siendo objeto de estudio en 4º- y en 5º- grado, y que este largo tiempo destinado

a su aprendizaje tiene que conllevar la evolución de los conceptos y de los procedimientos

utilizados, así como el dominio de los mismos.

La división –cualquiera de las operaciones aritméticas– puede ser caracterizada por las

situaciones que permite resolver. Podemos pensar en esas situaciones como aquellas en las

que está implicada una colección de la cual se conoce su cardinal (número de elementos) y

que está dividida o se quiere dividir en partes que poseen, un mismo número de elementos.

Esta descripción tiene que ser afinada, ya que al menos aparecen dos situaciones particulares

dentro de esta caracterización general:

- Se puede conocer el número de elementos de la colección y el número de partes de

15 VERGNAUD, Gerard (1995) Aprendizajes y didácticas: ¿Qué hay de nuevo? Edicial. Argentina.

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igual cardinal en las cuáles esta subdividida la colección, y se quiere averiguar el número de

elementos de esas partes, o

- se conoce el número de elementos de la colección y el cardinal (número de elementos) de

cada parte, y se quiere averiguar el número de partes en las que está subdividida la colección.

El primer tipo de problemas se conoce habitualmente con el nombre de problemas de

reparto y son ejemplos de este tipo los que aparecen en la primera parte de la ficha 15:

"Patricio quiere repartir la mayor cantidad posible de sus 36 peluches de colección entre

3 primos, con la condición de que todos reciban la misma cantidad. ¿Cuántos peluches le

tocarán a cada uno de sus primos?"

En este caso, la colección está formada por los peluches, y se conoce el cardinal (número

de elementos), es 36. Se sabe además que se quieren repartir entre tres de sus primos, es

decir, el número de partes en las que se deberá subdividir la colección es 3 y se conoce

además que todos deben recibir la misma cantidad de peluches.

El segundo tipo de problemas de división recibe habitualmente el nombre de problemas de

medición y un ejemplo son los problemas del punto 1 de la ficha 46:

"El lunes se cosecharon 1.865 ananás que colocan en cajas donde caben 25 frutas.

¿Cuántas cajas se pueden llenar?"

Podemos considerar los 1.865 ananás como la colección que se quiere subdividir en partes

iguales aunque no se sabe cuántas serán dichas partes; cada una tendrá 25 frutas (25 es el

cardinal de cada parte) y se quiere averiguar cuántas de esas partes se pueden armar con toda

la colección, es decir, cuántas cajas se podrán llenar.

Si imaginamos las acciones concretas que se podrían realizar para resolver cada problema,

veremos que se trata de acciones diferentes: en el primer caso, Patricio podrá ir repartiendo un

peluche a cada uno de sus primos, mientras no se le acaben los peluches o le queden menos

de 3 y no pueda seguir repartiendo. En el segundo caso, se podrán ir llenando las cajas con

25 ananás hasta terminar con las frutas cosechadas o cuando ya no alcance para llenar otra caja.

Para responder a la pregunta planteada, en el primer caso se contarán cuántos peluches

recibió cada primo, es decir, el cardinal de cada parte. En cambio, en el segundo se contará el

número de cajas llenas, es decir, el número de subcolecciones de 25 elementos.

Se realizan acciones diferentes y se cuentan objetos diferentes. Sin embargo, se pueden

resolver con una misma operación: la división. Desde primer grado se han planteado

actividades para promover que los alumnos, a partir de las acciones simuladas con materiales

o gráficos, puedan avanzar hacia el uso de números y operaciones. En cuarto grado se busca

que se apropien de nuevos recursos para resolver divisiones, incluyendo el algoritmo.

Además de los dos tipos de problemas mencionados anteriormente, también se podrá

trabajar con otros significados, como desplazamientos en la recta, la búsqueda de un factor,

etcétera.16

Una de las dificultades importantes que se detectan en el aprendizaje de la Matemática,

en el transcurso de la escolaridad obligatoria, es que muchos alumnos no modifican los

significados iniciales que atribuyen a los conceptos, en particular, a las operaciones aritméticas.

Por ejemplo, alumnos de distintos niveles escolares, incluso de finales de secundaria,

identifican la división como un reparto y no pueden reconocer que esa operación puede

resultarles útil para resolver otras situaciones, o bien no pueden comprender la división en

otros conjuntos numéricos como las fracciones o los decimales cuando no pueden ya referirse

16 Para ampliar el conocimiento sobre distintos significados de la división y de otros aspectos involucrados se puede consultar

Saiz, Irma: "Dividir con dificultad o la dificultad de dividir", en Didáctica de la Matemática, Paidós. 1994.

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a un reparto. Estos temas serán tratados en los grados superiores y en el secundario. Lo

anterior muestra la importancia de tratar situaciones relativas a diferentes significados de cada

operación desde el principio de su aprendizaje.

Los comentarios realizados en los párrafos anteriores nos permiten afirmar entonces que las

situaciones de división pueden caracterizarse por la presencia de:

- una colección formada por un cierto número conocido de elementos,

- subdividida o por subdividirse lo más posible,

- en partes que tienen igual número de elementos, y que

- si quedan elementos no incluidos en esas subdivisiones, su número será menor que el

número de elementos de cada parte.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas que se analizarán en el apartado.

División Fichas en que se trabaja

Situaciones de división y recursos de cálculo. 15, 18, 30, 35, 37, 46, 55, 67

No se presenta una clasificación de las fichas de división entre las destinadas a trabajar con

distintos significados de la división y las destinadas a provocar la evolución de los recursos de

cálculo, porque en general las fichas la exploración por medio de un problema o de un juego,

con las reflexiones y actividades propias del desarrollo de recursos de cálculo.

Ficha 15: Las colecciones

Buscar el número de juguetes que le toca a cada primo, averiguando los que no se

pueden repartir, es el objetivo de las actividades iniciales. Primero se pide que anticipen en

cuál o cuáles colecciones podrán repartir todos los juguetes sin que sobre ninguno. Con esta

consigna se pretende que empiecen a relacionar algunos pares de cantidades por medio de

la multiplicación, por ejemplo, en 72 muñequitos entre 9 primos es seguro que no sobrará

ninguno, porque se le puede dar 8 a cada uno, ya que 8 × 9 = 72.

Una consigna de anticipación como ésta no debería habilitar cualquier respuesta. Aún

sin conocer el resultado ni hacer cálculos se debería poder dar argumentos que apoyen las

anticipaciones realizadas. Posteriormente, es necesario calcular el resultado y analizar si se

habían identificado correctamente los casos en los que no sobra nada.

Por otra parte, para hallar la respuesta, se propone probar con un número como cantidad

a entregar a cada primo. Por ejemplo, para averiguar cuántos llaveros le tocan a cada uno de

sus 6 primos, se puede considerar si se le podrán entregar 10 a cada uno. Dado que se puede,

se verifica si se puede seguir repartiendo para averiguar cuántos llaveros más se le pueden dar

a cada primo. De esta manera se pretende que los alumnos establezcan relaciones entre las

divisiones y las multiplicaciones que permiten resolver las primeras. En particular se relaciona

el producto 8 × 9 = 72 con las dos divisiones que permite resolver: 72 : 9 y 72 : 8.

Ficha 18: Elegir bien

El juego tiene la finalidad de reconocer cuáles de las cartas que están sobre la mesa, al

dividirlas por el número que tiene un jugador –que será el divisor de la división, tendrá resto

cero. Es decir que deben reconocer si alguno de los números de la mesa es múltiplo del

número-divisor de su carta, o bien si ese es un divisor de alguno de los números de la mesa.

No está planteado en esos términos, no se definen en esta ficha los términos de múltiplo

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o divisor, pero en el caso particular de 2, se define números pares como aquellos números

que al dividirlos por 2, el resto es 0. Ya mencionamos que en cuarto grado se trata de hacer

evolucionar la idea de número par, desde la suma de dos números iguales, primer significado

de número par, típico de los primeros grados, pasando por caracterizarlo como aquel número

que es el resultado de multiplicar algún número por 2, para llegar al que se presenta en

esta ficha definido respecto de la división y de obtener resto cero. Esto permite enriquecer

el concepto de número par, ya que quedará relacionado con las operaciones de suma,

multiplicación y división, y los alumnos deberían poder usar uno u otro según la tarea que se

quiera realizar.

Ficha 30: Socios y ganancias

Siguiendo con la búsqueda de nuevos recursos para resolver divisiones, se presenta

una situación de reparto de ganancias entre los socios, donde se plantea la posibilidad de

descomponer el dividendo, respecto del divisor, para facilitar su obtención. Se presenta, por

ejemplo, una misma cantidad: $ 840 para repartir entre 3 personas por un lado y por 4 por

el otro, de manera de poner en evidencia que no necesariamente se recurrirá a la misma

descomposición para dividirlo por dos números diferentes. Como regla, podríamos decir que la

más conveniente es una descomposición en términos de múltiplos del divisor, conclusión a la

que deberían llegar los alumnos basados en los juegos y actividades que se plantean, pero a la

vez con las reflexiones sobre por qué elegir una u otra descomposición en los distintos casos,

suscitadas por el docente.

Ficha 35: Juego de a tres

A partir de un juego se trata de desarrollar las posibilidades de los alumnos de estimar el

orden de magnitud de los cocientes: "¿Estará comprendido entre 1 y 20 o será mayor que

20 y menor que 40?" Por ejemplo, para determinar en cuál de las columnas ubicar la tarjeta

88 : 4, los alumnos podrán estimar que será un poco más que 80 : 4, que es 20; entonces,

seguramente será mayor que 20, ya que 88 : 4 será mayor que 80 : 4 y los "8" que se dejaron

de lado para estimar solo aportarán 2 más, sin que pueda llegar a superar 40.

Es posible que algunos alumnos –aunque no todos podrán hacerlo solos– recurran a

considerar los extremos de los intervalos; por ejemplo, en 72 : 6 podrán pensar que para que

el cociente esté comprendido entre 1 y 20, el dividendo tiene que ser menor que 120 (20 × 6)

y efectivamente lo es. En cambio en 350 : 7, para que el cociente esté en la primera columna,

entre 1 y 20, el dividendo debería ser menor que 140 (7 × 20) y es mayor, por lo tanto, podría

estar en la segunda columna, entre 20 y 40, pero entonces el dividendo debería ser menor que

280 (40 × 7) y no es así. Por lo tanto, estará en la tercera columna: entre 40 y 60.

Si no aparece como procedimiento espontáneo, el docente puede plantearlo en la

confrontación. Se trata de un análisis complejo –que podrá llevar bastante tiempo para que los

alumnos puedan incorporarlo– ya que el cociente queda determinado tanto por el dividendo

como por el divisor, y el tamaño de los números no influyen en la decisión de en cuál columna

ubicarlo. Por ejemplo, la división 75 : 5 tiene tanto el dividendo como el divisor mayores que los

de la división 56 : 4; sin embargo, esta última división se debe colocar en la segunda columna

y la anterior –con números más grandes– en la primera.

Este aspecto puede también entrar en juego en la actividad que pide ordenar todas las

tarjetas de división presentes en el juego, tarea en la cual encontrarán que distintas divisiones

tienen un mismo cociente.

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Ficha 37: A dividir

Además de plantear la obtención de cocientes y a la vez reflexionar sobre los recursos para

determinarlos, se presenta el algoritmo de la división.

Este algoritmo se presenta ya resuelto para 325 : 6. Podríamos afirmar que los niños ya

saben determinar el cociente de 325 : 6 descomponiendo, por ejemplo, 325 como 300 + 25.

Por lo tanto, al dividir 300 : 6, se puede obtener 50 y aún será necesario dividir 25 por 6, que

tendrá 4 y como cociente un resto de 1. Por lo tanto, el cociente será 54 y el resto 1. Entonces,

el algoritmo no se presenta como un recurso para obtener los cocientes y restos, sino como

una forma más de obtenerlo, que utiliza generalmente la "gente" fuera de la escuela.

Tanto en los cálculos mentales que han venido utilizando los alumnos como en el algoritmo,

consideramos muy importante conservar el dividendo como un único numero: 325, ya que eso

facilita el control del proceso, por ejemplo, permite anticipar que el cociente será mayor que

10, ya que 10 × 6 es 60, pero no podría llegar a tener 3 cifras, porque 100 × 6 es 600 que

supera ampliamente el dividendo de la división planteada. Cuando se "desarma" el dividendo

en 3 cifras sin conexión entre ellas, a los alumnos les resulta más difícil controlar los cálculos y

resultados intermedios que van obteniendo.

Entonces, si bien se utiliza disposición gráfica tradicional de la división, se espera que

puedan pensar 325 como 300 + 25 y al dividir 300 por 6 se obtiene 50, no 5. En el cociente

será necesario sumar las cantidades que se fueron obteniendo. Cuando se logra cierto dominio

del algoritmo, se puede sustituir esas sumas por escribir solamente las cifras que componen

el cociente.

Consideramos que se trata de un algoritmo mucho más comprensible para los alumnos

y más cercano a los procedimientos que ellos pueden poner en juego. Con esta ficha, se

espera que logren realizar divisiones no necesariamente muy complejas, pero no que pierdan

el recurso del cálculo mental por medio de descomposiciones o de aproximación del cociente

cada vez que lo puedan utilizar.

Ficha 46: Piñas en cajas

Las situaciones de división presentes en esta ficha corresponden al segundo tipo de

problemas de esta operación: los de medición. Como decíamos se trata de colocar ananás en

cajas de a 25 cada una. Además de proseguir el estudio de la división desde distintos aspectos

involucrados en ella y desde distintos datos de la situación, hay que mencionar que la finalidad

central es encuadrar el cociente –en este caso números de cajas que se pueden llenar– entre

potencias de 10. Esto permitirá anticipar el número de cifras del cociente de una división, ya

que si se encuentra entre 10 y 100, tendrá dos cifras; en cambio, si es menor que 10, tendrá

una sola. Conocer la cantidad de cifras del cociente permitirá también realizar algún tipo de

control sobre un resultado obtenido.

Al contexto, también se incorporan los viajes necesarios para distribuir los ananás en

camiones que pueden llevar 20 cajas; por lo tanto, para encontrar el número de viajes para

llevar una cierta cantidad de ananás, ya colocadas en cajas, será necesario dividir por 25

y luego por 20, mientras que si se conoce el número de cajas llenas, se podrá averiguar el

número de ananás multiplicando y el número de viajes dividiendo.

En la última parte de esta ficha se retoma la idea de estimar el cociente de una división.

En la situación planteada aparecen preguntas del tipo: ¿Ya habrán llenado más de 100 cajas?

La estimación de los cocientes permite también –como ya lo mencionamos– controlar si el

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número encontrado puede ser o no el cociente de la división. También se retoma la posibilidad

de determinar cuántas cifras tendrá el cociente a partir de encuadrarlo entre potencias de 10.

Ficha 55: Volver a mirar

Retomando distintos problemas ya resueltos en otras fichas durante el año, se discute sobre

las características de las situaciones que se pueden resolver con una división. El aporte de las

plaquetas de teoría se refiere a la existencia de una colección, cuyos elementos se repartirán

equitativamente en un cierto número de partes, en cambio, en otros se formarán grupos con

igual número de elementos. Es decir, en el primer caso se conoce el número de partes en las

que se subdividirá la colección y en el segundo se conoce cuántos elementos tendrá cada una

de las partes. Por supuesto, la pregunta en cada caso no será la misma.

Se pide así en la ficha, no solo reconocer los problemas que puedan resolverse con una

división, sino que dentro de ellos se pide distinguir esos dos tipos de problemas.

Por ejemplo, en E es necesario armar 6 grupos de igual cantidad de dinero y, para

responder, se contará la cantidad de dinero en cada parte, es decir, el dinero que recibirá para

cada socia.

En cambio, en C, con la colección de 48 monedas de cobre se pueden formar grupos

de 12, ya que 12 es el valor de cambio entre las monedas de plata y cobre. La respuesta se

encuentra contando cuántas veces entra 12 en 48, es decir, cuántos grupos de 12 monedas de

cobre se pueden armar con 48. La respuesta es 4, que corresponde al número de monedas de

plata por las cuales se pueden cambiar las 48 de cobre.

En la página "Menos cálculos" se busca mejorar los procedimientos de división, por ejemplo,

el obtenido considerando 243 como suma de 49 varias veces, ya que se trata de dividir por

4. La consigna plantea tratar de disminuir la cantidad de cálculos en vías de establecer el

interés de encontrar el mayor número que, multiplicado por el divisor, se acerque al dividendo.

Esta actividad responde a la necesidad de no dejar de lado a alumnos para quienes aún son

necesarios los procedimientos en parte aditivos.

También forma parte de esta ficha una nueva versión del juego Elegir bien, esta vez con

números más grandes, lo que provoca la necesidad de mejorar los recursos para encontrar

cocientes.

También se definen múltiplos, que es un concepto pertinente de introducir en el juego,

porque, tal como habíamos analizado en la primera versión del juego, se podrá recoger de la

mesa cualquier número que sea múltiplo del que figura en la carta-divisor del jugador.

Como planteamos habitualmente, después de un juego se presentan actividades

relacionadas con él, pero que apuntan a mejorar los recursos, a lograr un mayor dominio de

algunas técnicas o plantear reflexiones sobre alguna cuestión que el ritmo del juego impide que

se le dedique el tiempo necesario. En este caso, se pide que al lado de cada tarjeta de división

se escriban todos los números que se pueden recoger con esa carta, es decir sus múltiplos.

Ficha 67: Más divisiones

La última ficha relacionada con la división está destinada a recuperar, identificar y mejorar

los recursos de cálculo que se construyeron durante el año. Por ejemplo, encuadrar el cociente

entre potencias de 10, lo que permite determinar el número de cifras del mismo. A partir de

eso, avanzar en la construcción del cociente, por ejemplo, determinando cuál es la primera

cifra del mismo.

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Por ejemplo, en 5.611 : 24, dado que 24 × 100 = 2.400, entonces 24 × 200 = 4.800

(calculando el doble del anterior) y 24 × 300 = 7.200, que es mayor que el dividendo. Por lo

tanto, el cociente tendrá tres cifras y se iniciará con la cifra 2, ya que será "doscientos y pico".

Finalmente se incluye el algoritmo de la división por un número de dos cifras, manteniendo

las ideas del algoritmo de una cifra y escribiendo el cociente como suma de los números que

se obtienen en los pasos del algoritmo, manteniendo en todos los pasos el dividendo como un

número, sin considerar sus cifras aisladamente.

Fracciones y decimales

Los números fraccionarios o decimales aparecen para resolver problemas que con los

naturales no se pueden resolver. Además de identificar cuáles son tales problemas, será

necesario conocer y analizar las propiedades que cumplen, cómo se definen las operaciones,

las rupturas que provocan con los conocimientos sobre los naturales, etcétera.

El estudio de los "nuevos" números iniciado en tercer grado se extenderá hasta sexto grado

en primaria, pero es necesario seguir su tratamiento también en el secundario.

En cuarto grado se trabajará esencialmente con contextos de medición relacionados con

magnitudes, como longitud, peso, tiempo, capacidad y dinero. Los alumnos conocen algunos

productos que se venden de esa manera y ciertas fracciones forman parte de su vida cotidiana

y este conocimiento les permitirá iniciar el trabajo. La finalidad de las fichas destinadas a estos

temas es completarlos, modificarlos y profundizarlos.

En un principio, tanto las fracciones como los decimales aparecerán en oposición a los

números enteros, aunque en este nivel la denominación enteros se refiere a los números

naturales, para reforzar la idea de oposición: entero o partes de enteros.

Se le presentan a los alumnos situaciones que les permitan establecer relaciones entre

diferentes cantidades y analizar la información contenida en las escrituras decimales.

Si bien el trabajo se inicia en un universo restringido a medios, cuartos y octavos, la cuestión

esencial de esta propuesta es que con pocas fracciones se realiza un amplio trabajo con

actividades como sumas y restas, tanto de números enteros y fracciones como entre fracciones

de distintos denominadores, comparaciones, representación gráfica, expresiones equivalentes,

etc. Los algoritmos de las operaciones se aprenderán en los grados superiores.

En relación con los números decimales, proponemos iniciar el abordaje didáctico basado en

un contexto familiar como el dinero. En los grados siguientes y aún en el nivel secundario, tal

como sucede con otros conceptos matemáticos, será necesario descontextualizar las primeras

nociones de los números decimales para avanzar en el análisis de las propiedades específicas

de este conjunto numérico. El aprendizaje matemático difícilmente puede restringirse a un

capítulo o una unidad de un año escolar determinado.

También se tratará de reconstruir cantidades de dinero usando monedas de determinada

denominación e iniciar el análisis de la información contenida en la notación decimal.

Socialmente los alumnos están en contacto con precios, que se escriben con coma aunque no

entiendan muy bien cómo funcionan.

Una de las cuestiones difíciles es pasar de las denominaciones "enteras" de las monedas en

términos de 25, 10, 50,… centavos a la escritura en la unidad pesos: $ 0,25. En un principio los

alumnos pueden operar con las monedas como si fueran enteros: 2 monedas de 25 centavos es

lo mismo que una de 50 centavos, con algunas reglas "raras": dos de 50 son 100 centavos pero

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también $ 1. Es posible observar a niños muy chicos utilizar las monedas de esta forma.

Sabemos que se trata de un conocimiento difícil, que exigen varios años de aprendizaje.

Algunos razonamientos interesantes son:

- ¿Cuánto dinero es 15 monedas de 10 centavos? Con 10 armo $ 1 y luego quedan 5,

o sea $ 1,50.

- ¿Cuánto dinero es 7 monedas de 25 centavos? Con 4 monedas armo $ 1 y me quedan 3

más, o sea $ 1 y 75 centavos.

- ¿Cuánto dinero es 13 monedas de 50 centavos? Puedo pensar en 10 o en 15 monedas. Con

10 monedas tengo $ 5, y luego quedan 3, con 2 monedas tengo $ 1 más. En total tengo $ 6,50.

El objetivo es que dominen que con 4 monedas de 25 centavos se arma $ 1, y si hay

muchas de 25, se debe buscar "de a 4", las de 50 van "de a 2", ectétera.

Si bien en los grados superiores la introducción de las fracciones decimales permitirán la

escritura decimal de los números racionales, en 4º- grado, los números decimales aparecerán

solamente en el contexto del dinero, donde tal escritura es la habitual y forma parte del entorno

de los alumnos.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas que se analizarán en cada apartado.

Fracciones y decimales Fichas

Fracciones 19, 28, 34, 50, 59, 64, 69

Decimales 53, 70

FraccionesFichas 19, 28, 34, 50, 59, 64, 69

Ficha 19: Doña Martina

Esta ficha plantea una situación de la vida cotidiana de trabajo con paquetes de chocolate

en polvo, en este caso de 12

y 14

kilogramo.

El trabajo que se les demanda a los alumnos se basa en el conocimiento social que puedan

tener acerca de medidas como las citadas y las relaciones con el entero, que de todos modos

son explicitadas y nombradas en la ficha: una parte de 1 kg se llama "medio kilogramo" y se

escribe 12

kg si con dos de esas partes se obtiene un kilogramo. Del mismo modo se define 14

y, por su parte, 34

kg como una forma de representar 3 paquetes de 14

kg. Dicho de otra

manera, se necesitan dos medios o cuatro cuartos para obtener un entero.

A partir de esas definiciones podrán ir estableciendo relaciones entre las distintas medidas.

Por ejemplo, con 12

kg y 14

kg se tiene 34

kg ya que un paquete de 12

kg pesa lo mismo que

dos de 14

kg; o bien, que si se tiene 34

kg le faltará 14

kg para tener un kilogramo, relaciones

que debería retomar el docente para compartirlas y analizarlas en la clase. Esta descripción

verbal pone en evidencia que es posible razonar y extraer conclusiones en una situación con

fracciones sin necesidad de representar las operaciones involucradas.

Las preguntas plantean situaciones que ponen en juego diferentes relaciones: ¿Alcanza lo

que dispone para tener 2 kg de chocolate? ¿Cuánto le falta o cuánto le sobra si tiene "tanto"?

¿Se puede tener 2 kg con paquetes de 14

kg? La pregunta relativa a determinar si con paquetes

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de 34

kg se puede tener justo 2 kg empieza a poner límites a estas relaciones, ya que hay

cantidades que pueden ser formadas con paquetes de cierto tipo y otras no.

Tanto estas actividades como las siguientes –donde se plantea la relación con 1 kg– deberían

permitir a los alumnos seguir estableciendo nuevas relaciones; por ejemplo, para calcular 34

+ 12

:

como en 12

hay dos de 14

, entonces, con uno de ellos y con 34

se puede tener 1 kg y el

resultado sería 1 kg y 14

.

Tanto en los enunciados como en las tablas se incluyen escrituras numéricas, que los alumnos

deberán ir apropiándose sin perder la posibilidad de recurrir al contexto cuando lo necesiten.

Una actividad demanda componer 3 kg con paquetes de 14

, 12

, 34

, 1 kg y 1 12

kg y en la

siguiente actividad se plantea analizar si es posible extraer información de la tabla anterior para

averiguar los datos cuando se duplica el número de kilogramos necesario. Sin necesidad de

explicitar el concepto de proporcionalidad, de esta manera se inicia un trabajo estableciendo

una relación entre "la cantidad de kilogramos que se pretende formar" con "la cantidad de

paquetes de un cierto peso necesarios para armarlo" con la expectativa de concluir que, si

se duplica la cantidad de kilogramos, deberá duplicarse el número de paquetes y que, si la

cantidad de kilogramos se obtiene sumando otras dos cantidades, el número de paquetes

correspondientes se podrá obtener también sumando las dos cantidades que le corresponden

a los sumandos. No se usarán explícitamente estas propiedades, pero se plantea la reflexión

acerca de si es posible o no establecer nueva información a partir de la ya obtenida.

La propiedad de la proporcionalidad que se pone en juego es entre 3 kg y 6 kg (doble de 3) y

luego entre 3 y 6 con 9 kg (suma de 3 y 6 kg).

La última actividad de la ficha corresponde a una comparación entre 6 paquetes de 14

kg

que compró Sebastián y 2 paquetes de 12

kg y uno de 1 kg que compró Vanesa.

Las escrituras aritméticas en paralelo pueden permitirles a los alumnos relacionar algunas

medidas comunes: 14

+ 14

+ 14

+ 14

+ 14

+ 14

y 12

+ 12

+ 1

De esta manera se puede poner en evidencia que, una vez consideradas las cantidades

iguales en ambos pesos, queda 12

kg a la izquierda y 1 kg en la derecha, por lo tanto, Vanesa

compró más cantidad de café a pesar de que lleva menos cantidad de paquetes, pregunta

que también se plantea en este ejercicio para empezar a desligar el peso de un conjunto de

paquetes del total de paquetes que lo forman.

Desde las primeras actividades aparecen escrituras mixtas como 3 12

kg las cuales serán

leídas por el docente como "3 kilos y medio" o también: es "más de 3 kilogramos" o "es medio

kilo más que 3 kg".

El docente podrá hacer notar que si bien la unidad se escribe al final se puede leer "tres kilos

y medio", porque es más fácil de comprender. En las subsecuentes fichas destinadas a trabajar

este tema, seguirán presentándose estas fracciones, que no requerirán algoritmos específicos ni

el nombre de fracciones ni números mixtos, ya que se trata de una suma de un número entero y

de una fracción menor que la unidad.

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Ficha 28: ¿Qué hora es?

Las actividades de la primera parte de esta ficha están destinadas a relacionar, establecer

equivalencias y producir distintas expresiones relativas a horas y minutos, diferenciando hora

de duración y analizando la lectura de distintos relojes. Esta parte de la ficha será analizada en

el apartado destinado a medición, mientras que aquí mencionaremos las últimas actividades

donde se introducen denominaciones fraccionarias habituales en la medida de tiempo, como

un cuarto de hora y media hora.

En este caso se establece una relación entre dos designaciones diferentes: "un cuarto de

hora", que a su vez establece una relación entre una parte (la cuarta) y el todo (una hora) y

"15 minutos", que es la duración en minutos de esa fracción de hora. También se establece la

relación entre media hora y 30 minutos.

En la medición de tiempo, se usan indistintamente ambas designaciones, pero en el

trabajo con fracciones no será siempre necesario recurrir a una medida equivalente dada con

unidades, cuando se trabaje con partes de una hoja, por ejemplo, y se pueda hablar de la

tercera parte de una hoja.

Ficha 34: Construir segmentos

En esta ficha se propone una situación que permite reforzar la toma de conciencia de

la insuficiencia de los números enteros en ciertas condiciones, en este caso, la medida de

segmentos con una cierta unidad. Se introducen las codificaciones fraccionarias a partir de la

partición de una unidad de longitud por plegado. Esas codificaciones fraccionarias se utilizan

tanto para describir la longitud de un segmento como para compararlos o para construir un

segmento de una longitud dada.

Se trata de un juego de mensajes que tienen como objetivo adivinar cuál segmento ha sido

elegido a partir de conocer su medida.

Un equipo elige uno de los segmentos, lo mide con la unidad dada y envía dicha medida

para que el equipo receptor del mensaje pueda determinar cuál fue el segmento elegido.

Las longitudes de los segmentos medidos con la unidad u corresponden a 3 12

, 4, 2 12

, 2 34

,

y 3 14

, es decir que salvo en un caso que mide un número entero de unidades, es necesario

recurrir a partes de la unidad para dar la medida de los segmentos. Las fracciones de la unidad

podrán ser obtenidas por plegados de la unidad.

Para medir uno de los segmentos, se puede iterar la unidad una o más veces, pero si

para medir el segmento ya no es posible colocar una nueva vez la unidad, se podrá recurrir a

plegarla en dos (o cuatro) partes iguales y entonces cubrir el segmento, por ejemplo, con

2 unidades y media: 2 12

o con 2 unidades y 34

.

En el registro de clase que se incluye más adelante, se puede observar la dificultad de

algunos alumnos para determinar 34

u diferenciándolo de 12

u.

En la actividad 7, se indica 2 – 14

como medida de un segmento, lo que constituye una

manera "rara" de indicarla, sin embargo, puede ser interpretada como que le falta 14

para medir

2 unidades. El docente podrá solicitar que escriban dicha medida de otras formas como: 1 34

.

En esta puesta en aula puede verse cómo la maestra va registrando en el pizarrón distintas

equivalencias entre las medidas. Los alumnos recuperan información dada en el libro e incluso

referencias a la ficha anterior de fracciones.

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La actividad 8 plantea una situación especial, ya que se muestra un segmento cuya longitud

es 32

unidad, es decir que es mayor que la unidad, porque 32

= 1 + 12

. No se solicita dibujar la

unidad, pero seguramente podrá discutirse que la unidad tiene que ser menor que el segmento

HI, y que para obtenerla será necesario dividir ese segmento en 3 partes iguales, para

encontrar 12

y luego con dos de ellos, la unidad.

Construir segmentos 17

La actividad 1 presenta como primera dificultad la idea de "unidad" y el uso de la banda

unidad para medir. La clase comienza con la lectura individual de la consigna y no demoran

en aparecer las preguntas sobre estas cuestiones. Fue preciso dejar en claro, en principio, qué

estarían haciendo con la banda y cómo debían usarla en todo el grupo.

Se pusieron a trabajar mientras yo recorría los bancos acompañando cualquier cuestión

que pudiera aparecer. Por ejemplo, en un equipo discutían sobre cómo indicar la medida del

segmento AB.

Josué decía que medía "casi 4 unidades" y que con eso iba a ser suficiente para identificarlo.

Nicole, sentada a su lado, le decía que no podía ser así porque era "geometría" y debía ser

"justa la medida". ¿Intervine preguntándoles: están seguros que los que recibirán el mensaje se

darán cuenta cuál es el segmento elegido? ¿No se podrían confundir con otro? Enseguida se

pusieron a mirar los demás segmentos y continuaron la discusión.

Otro de los equipos se quejaba porque ya había terminado "hace rato". Al acercarme les pido

que me digan, en voz baja, cuál segmento habían elegido y me dicen que fue el CD .

—¿Y cuánto mide? —les pregunté.

—Mide 4 unidades justo —contestaron— Era el más fácil de medir.

—¿Y a los otros también los midieron? —pregunté.

—Sí, pero era más difícil porque no eran justo —contestó Esteban.

—Y si el otro equipo elige uno de esos que no miden justo, ¿cómo se imaginan que darían su

medida?

Anticipar el trabajo que deberían hacer probablemente al recibir el mensaje los impulsó a

ponerse a medir y escribir las medidas de los demás segmentos.

Pasados unos quince minutos, todos los equipos ya estaban en condiciones de enviar su

mensaje. Intercambiaron papelitos y los leyeron en el medio de la mesa. Propuse que cuando

todos estuvieran en condiciones comenzaríamos a intercambiar las ideas.

El equipo 1 escribió este mensaje: "Mide 4 unidades". Rápidamente el equipo 5 pudo

determinar cuál segmento era: el CD. Pregunté si los demás equipos estaban de acuerdo y me

dijeron que sí, que no había dudas.

El equipo 4 envió: "Mide 2 bandas y media". El equipo 2 era el encargado de adivinar y

dijeron que se trataba del EF . Rápidamente los miembros del equipo 4 les dijeron que no era

ese, que se habían equivocado. Catalina tomó la voz cantante y dijo que ellos habían medido

y que era el GHel que medía 2 y medio. Propongo que vuelvan a medir y me llaman para

"mostrarme" cómo lo hicieron. Catalina me dice:

—Mirá seño, en este (el EF) entra la banda dos veces y no alcanza para una tercera vez.

—Eso no quiere decir que sea medio más —responde enseguida Leandro, enojado.

—¿Qué opinan los demás? ¿Cuánto mide el segmento EF ?

—En realidad los dos tienen razón —dice Patricio—. Mide más de dos y menos de tres pero no

es dos y medio… Catalina, si marcás la mitad de la banda te sobra en ese, fijate.

17 Registro de Cecilia Castillo

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—A ver, todos indiquen la mitad del segmento unidad con una marquita. ¿Lo hicieron? Bueno,

ahora midan el segmento EF . ¿Cuánto mide? ¿Mide dos y medio como dice el equipo 4?

—¡¡¡No!!! El que mide eso es el GH—responde Esteban—. El EFmide más.

—¿Más que qué? ¿Más que cuál?

—Mide más que el GH—responde Esteban.

—¿Cuánto más? ¿Se puede saber?

—Si doblás de nuevo el papelito por la mitad, te queda marcado en 4, que son la mitad de la

mitad. En el EF entra una partecita de esas 4 más —responde Patricio.

—¿Podrías repetir eso que dijiste Patricio? Escuchen un momentito por favor…

—Digo que el EFmide 2 bandas enteras y media banda más pero también mide la mitad de la

mitad más —dice.

—¿Están de acuerdo con lo que dice Patricio? ¿Lo pueden probar? ¿Catalina?

—Sí, seño, es así —dicen varios.

—Entonces, voy a tratar de escribir la medida del EFen el pizarrón. ¿Me ayudan?

Escribo: EF= 2 unidades

—¿Y qué más?

—Y medio más —me dice Esteban.

—¿Cómo lo escribo?

Pasa Esteban y agrega: EF = 2 unidades y media

—¿Ya está? ¿Qué falta?

—Falta la mitad de medio —contesta Patricio.

—¿Y cómo lo escribo?

Pasa Patricio y vuelve a agregar:

EF = 2 unidades y media y la mitad de media

—Pero ese "media" se puede escribir como medio kilo —dice Josué.

—A ver mostramos cómo quedaría entonces.

EF = 2 unidades 12

y la mitad de 12

—Y la mitad de medio es un cuarto, seño.

—¿Por qué? ¿Por qué se llama así?

—En el libro dice, seño, en el recuadro —responde Josué indicando el libro.

—¿Todos lo leyeron? Bien, pero creo que varios ya sabrán que la mitad de algo se puede

escribir como 12

y el cuarto de algo como 14

. Ahora bien, ¿cómo quedaría la escritura de la

medida del segmento EF ? ¿Podés escribirlo Josué?

Pasa Josué y escribe: EF = 2 unidades 12

y 14

unidades

—¿Qué quiere decir entonces ese 12

y ese 14

? ¿Qué significan?Para que quede claro, ¿cómo

podrían explicarlo en la carpeta?

—Una banda mide 1 —explica muy seguro Esteban—. La mitad de esa banda mide 12

banda.

—¿Y con cuántas medias bandas se forma una unidad?

—Con dos medias bandas —responde.

—¿Y los cuartos?

—La mitad de la mitad de una banda es un cuarto de banda. O sea 4 "cuarto de banda" es una

banda —continua explicando Esteban.

—¿Entonces se puede escribir esto? —digo, mientras escribo en el pizarrón—. Voy a usar la

letra u porque la banda es la unidad de medida

1 u= 12

u + 12

u = 14

u + 14

u + 14

u + 14

u

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—Síííí —contestan varios.

—Veo que en el ejercicio 3 en la próxima página se comenta algo sobre un segmento en

particular. ¿Pueden leerlo por favor? Leé Giulia, por favor… para todos.

Giulia lee y enseguida Esteban levanta la mano para comentar.

—¡¡¡Yo sé, seño, cuál es!!!

—¿Cuál es Esteban según vos?

—Es el mismo… es el EF

—¿Cómo? ¿Por qué? ¿ Alguien está de acuerdo con lo que dice Esteban? Repetí lo que dijiste

Esteban.

—Yo dije que ese segmento del 3 es el EF —responde.

—¿Por qué decís eso? A ver… hasta acá habíamos dicho que el EF mide 2 unidades y 12

y 14

más. Aquí Giulia nos leyó que un segmento aparentemente mide 2 + 34

y vos decís que es el

EF ¿Por qué?

—Sí, seño, es así —agrega Josué.

—¿Puedo escribirlo en el pizarrón? A ver….

—Habían dicho que

EF = 2 unidades 12

y 14

u

—Y ahora Esteban y Josué agregan que:

EF=2 + 34

—De esto se podría escribir que:

EF = 2 unidades 12

y 14

= 2 + 34

—Y se podrían agregar los signos "+", entonces quedaría:

EF = 2 u+ 12

u + 14

u =2 u + 34

u

—¿Qué opinan? ¿Están de acuerdo?

—No entiendo —dice Nicole tímidamente.

—¿Quién podría explicarle a Nicole, por ejemplo, por qué escribí esto?

—Porque lo primero es lo que ya dijimos y eso es lo mismo que lo segundo —dice Esteban.

—Yo miro y veo cosas iguales y cosas no tan iguales… por ejemplo, están las 2 unidades, pero

algo cambia…

—¡¡Sí!! Es que 12

+ 14

es lo mismo que 34

, seño —dice eufórico Josué.

—¿Por qué? ¿Alguien me podría explicar por qué Josué dice esto?

—Porque ya sabemos que 14

+ 14

es 12

, seño, y si le agregás otra vez 14

son 3 veces 14

y se

puede escribir así —explica Esteban.

—Entonces, Esteban dice que él sabe que 14

+ 14

es 12

. Y si a esos 2 "cuartos" le agregan otro 14

¿cuántos 14

tendrían?

—¡¡¡Tres!!!

—Sería —digo mientras escribo en el pizarrón:14

+ 14

= 12

14

+ 14

+ 14

= 3 veces 14

y se puede escribir 34

—¿Entonces?

—Entonces 12

+ 14

es lo mismo que 14

+ 14

+ 14

, o sea, que 34

.

—Bien. Ahora lo escribirán en las carpetas y luego continuarán con las siguientes actividades.

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Ficha 50: Compras para el cumpleaños

En esta ficha sobre fracciones, esta vez en relación con la medición de capacidad, se

discute que el contenido de un recipiente no depende de su forma, ya que recipientes

diferentes pueden contener la misma cantidad de líquido, es decir, poseer la misma capacidad.

También se introducen formas simples de representar gráficamente un entero y partes del

mismo de manera de "atrapar" las relaciones que mantienen entre ellas, por ejemplo, un gráfico

para representar un entero debería "verse" como aproximadamente del doble del tamaño del

gráfico de 12

.

En las últimas dos páginas asignadas a medidas de capacidad utilizando fracciones, se

introduce la fracción 18

como la parte del entero de la cual se necesitan 8 para obtenerlo y

se plantean otras actividades de componer una cierta cantidad de líquido con recipientes de

distinta capacidad.

El contexto de botellones de agua permite trabajar con situaciones de mayor cantidad de

agua; esto debería llevar a los alumnos a buscar procedimientos más económicos o utilizar el

cálculo mental. Por ejemplo, al preguntar qué cantidad de agua se compra si se van a comprar

8 sifones de 1 14

litros, los alumnos pueden recurrir a sumar 8 veces 1 14

o bien pensar que

con 8 veces 1 se tienen 8 litros, y con 8 veces 14

litro se tienen 2 litros, por lo tanto, se tendrá

10 litros.

Ficha 59: ¿Sobran o no?

Un nuevo significado de las fracciones se presenta en esta ficha: la fracción como reparto.

En primer término, se plantean varias situaciones de reparto de cartas, de manera que todos

reciban la misma cantidad; en algunas, el reparto puede ser realizado sin que sobren cartas,

en otras si todos tienen que tener la misma cantidad, sobrarán algunas.

Al cambiar el contexto de reparto de cartas a alfajores y chocolates, aparece la posibilidad

de repartir el resto una vez que se ha entregado a cada uno una cantidad entera de alfajores.

La cantidad que le toca a cada uno en los distintos repartos se puede cuantificar por medio

de fracciones. Por ejemplo, si se reparten 9 alfajores iguales entre 4 niños, a cada uno se le

podrán entregar 2 alfajores y el restante podrá ser dividido en cuatro partes iguales y entregar

una de ellas a cada niño. Es decir que finalmente cada uno recibirá 2 14

de alfajor.

Esta forma de repartir no es la única, ya que se podría también partir cada alfajor en

4 partes iguales y entregar 9 de esas partes a cada uno, lo que sería representado con 94

.

Otro reparto posible estaría dado por repartir mitades de alfajores y luego un cuarto. En este

caso la expresión sería 42

+ 14

.

Nuevamente se ve la búsqueda de expresiones equivalentes que podrán ser utilizadas en

distintas situaciones o tareas.

En esta ficha se introduce también la tercera parte de un entero: 13

, como la parte de la

cual se necesitan 3 para armar el entero. En relación con los tercios se presentan situaciones

de reparto, y se pide su representación gráfica así como reconocer escrituras equivalentes que

los incluyen.

Ficha 64: El arte de repartir

En esta ficha se realizan particiones en partes iguales de una hoja por medio de plegados. En

particular, se enseña a plegar en tres partes iguales, de manera de conjugar representaciones

en diferentes marcos: geométrico (plegando una hoja), gráfico (representando e interpretando

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los plegados en un dibujo) y numérico (con la representación fraccionaria). Con los plegados se

busca además el desarrollo de capacidades manuales, de precisión, prolijidad, etcétera.

Se discuten distintas maneras de plegar una hoja en cuatro partes iguales partiendo de

los gráficos. Uno de los objetivos que se persigue con esta ficha es que los alumnos puedan

observar las diferencias entre distintos gráficos y poder elegir los más adecuados a la tarea

o los más pertinentes para extraer información. Por ejemplo, si se pretende representar

gráficamente 112

se podría trazar un rectángulo y dividirlo en 12 partes iguales, trazando líneas

paralelas a igual distancia entre ellas, lo cual entraña una gran dificultad la de mantener la

misma distancia y lograr que finalmente quede el rectángulo (o figura realizada) subdividido en

12 partes iguales. Sin embargo, el gráfico puede mejorarse si se toma primero la mitad, luego,

cada mitad se divide en tres partes iguales y finalmente cada uno de los 6 rectángulos se

deberá volver a dividir en dos partes para obtener las 12 partes iguales.

Ir dividiendo por la mitad o por la tercera parte cada parte ya dividida permite asegurar un

poco más que todas las partes puedan entrar en el entero y sean aproximadamente iguales.

También es posible realizar un gráfico en el que el entero se divida verticalmente en 4 partes

iguales, dividiendo primero por la mitad y luego cada mitad nuevamente en 2 partes y en forma

horizontal en 3 partes iguales:

En la ficha se plantea la búsqueda de un gráfico de 10 o 15 partes iguales, a partir de

disponer de uno ya dividido en 5 partes iguales, y con los papeles glasé plegar uno en 8 partes

iguales y posteriormente obtener 12 partes iguales con nuevos plegados.

Permite además establecer relaciones entre los números, ya que se puede asociar los

doceavos con los cuartos (representados en una dirección) y los tercios (en la otra); los

quinceavos con los tercios y quintos, décimos a partir de quintos y medios, mientras que los

dieciseisavos se obtendrían a partir de cuartos en ambas direcciones.

Ficha 69: ¿Es lo mismo?

Si bien en fichas anteriores ya se planteó el trabajo con expresiones equivalentes y el

análisis acerca de si dos o más expresiones representan o no la misma cantidad, en esta

ficha se convierte en el tema central relacionando distintas cantidades con formulaciones

verbales y escrituras numéricas de las fracciones. Además se retoman y analizan los gráficos

para mejorar su realización, ya que se pretende que estos puedan servir de apoyo a los

razonamientos de los alumnos.

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En particular, merecerá una discusión más amplia dividir un círculo en tercios o sextos ya que

no podrán usarse los diámetros del círculo como en el caso de los medios, cuartos y octavos.

Nuevamente quedan más explícitas las relaciones posibles entre los números de acuerdo

con las tareas que se pretende: si se trata de subdividir un círculo, en medios, cuartos, octavos

y dieciseisavos se podrán trazar diámetros, subdividiendo cada parte anterior por la mitad, que

permiten un mejor control sobre la igualdad de las partes al menos aproximadamente. Para

otros números como tercios, quintos, séptimos, etcétera, la partición en un círculo es más

compleja y se deberá recurrir a los radios.

Sin embargo, la partición en sextos no presenta totalmente la misma dificultad a partir de

su relación con medios y tercios. Una vez dividido por la mitad, cada una de las dos partes

obtenidas se puede dividir en tres partes iguales utilizando diámetros.

En las dos últimas páginas se plantea la cuestión en cierto modo inversa a las preguntas

habituales en las que se da un entero y se pide determinar una parte. Ahora se da una parte de

la cual se conoce qué fracción del entero representa y se pide determinar la unidad.

Por ejemplo, se presenta un cuadrado que representa la parte que le tocó a un niño cuando

dividieron en partes iguales un chocolate entre 3 niños. ¿Cómo sería el chocolate entero?

Estará formado por tres cuadrados como ese, en una disposición que claramente no es

única. Se plantea también un triángulo que representa la cuarta parte del entero y luego una

situación más compleja, ya que la figura dada corresponde a 23

del entero del que se aclara

es un rectángulo. Para dibujar el rectángulo, será necesario considerar que estará formado

por tres tercios. ¿Cómo obtener 33

a partir de 23

? Si se tuviera 13

, la tarea sería fácil; por lo

tanto, si se divide la figura dada por la mitad, se tendrá 13

que reiterado tres veces permitirá

obtener el entero. Es decir que al rectángulo inicial será necesario agregarle la mitad del mismo

para obtener el entero. Dividir la figura dada en dos partes iguales (numerador de la fracción)

pareciera contradecir la idea tan generalizada de los alumnos de que se divide el entero en

tantas partes iguales como lo indica su denominador. Consideramos que estas dificultades solo

pueden ser superadas si se comprende qué es lo que se está haciendo, y no se pretende una

aplicación ciega de ciertas reglas aprendidas casi memorísticamente: Se divide por lo que dice

el denominador y se toma lo que dice el numerador casi como definición de fracción.

El resto de la ficha está destinada a realizar cálculos aditivos sin pretender que los alumnos

apliquen un algoritmo, sino estableciendo relaciones entre las fracciones. Por ejemplo, en

3 + 54

– 34

se puede considerar que 54

– 34

es 24

, es decir, 12

, por lo tanto, el resultado será 3 12

.

Esta forma de razonar necesita que en la clase se priorice el análisis, la reflexión antes que la

aplicación directa de mecanismos; ya que, por ejemplo, involucra darse cuenta que es más fácil

partir de 54

y restarle 34

que empezar por 3. Sin embargo, también es posible sumar: 3 + 54

que

es igual a 4 14

(con 44

de los 54

se puede tener 1 que sumado a 3 da 4 y sobrará 14

), para restar 34

se puede restar primero 14

(el que está "indicado") y luego faltará restar 2 cuartos más de 4

enteros, dando por resultado 3 12

. La comparación entre dos procedimientos como estos les

permitirá a los alumnos tomar conciencia de la ventaja de pensar un momento al menos antes

de actuar y seleccionar las mejores opciones en cuanto a facilidad de los cálculos y posibilidad

de control del resultado.

En el Período de afianzamiento y revisión así como en el Cuadernillo para practicar, se

incluyeron variadas actividades relacionadas con las actividades con fracciones que se plantean

a lo largo de las fichas de 4º- grado.

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DecimalesFichas 53 y 70

Ficha 53: Muchas monedas

Como ya dijimos, el trabajo con los números decimales se iniciará a partir del uso social del

dinero. El sistema monetario posee muchas propiedades de los números decimales aunque

no todas y será necesario un largo camino hacia la comprensión de este conjunto de números.

Sin embargo, su presencia tan fuerte en la vida social permite que se inicie el estudio de estos

números que necesariamente habrá que despegar del uso cotidiano.

Se parte de presentar una situación que involucra monedas de distinta denominación con

el objetivo de permitir a los alumnos establecer relaciones entre ellas y realizar las primeras

escrituras. La presencia de la escritura decimal de los precios puede ayudarlos en un principio

–si no a producirlas– al menos a comprender tales escrituras y poder establecer equivalencias

con las monedas o billetes que permiten pagar tal cantidad.

La actividad 3 dirigida a establecer relaciones entre las distintas monedas y el peso debería

permitir a la vez iniciar el análisis de la relación entre el valor monetario de cada moneda y

la cantidad de ejemplares necesarios para armar $ 1. Si se necesitan 10 monedas de 10

centavos para armar $ 1; con las de 5 centavos se necesitará el doble, es decir, 20. No se

pretende establecer en este inicio que el producto del número de monedas por el valor de

cada una debe mantenerse constante: 10 × 10 = 20 × 5 = 5 × 20 = 100 × 1, propiedad de la

proporcionalidad inversa, sino empezar a trabajar con situaciones en las cuales no es posible

pensar que "al doble le corresponde el doble", ya que 20 es el doble de 10 pero para armar un

peso se necesita la mitad de monedas y no el doble.

Como se analiza en el apartado destinado a Proporcionalidad, los alumnos asumen

"naturalmente" que todas las situaciones donde se pone en juego alguna relación entre dos

magnitudes, que dicha propiedad puede ser utilizada en todas las situaciones. El docente

podría poner en evidencia esta discusión preguntando: "20 es el doble de 10, ¿no debería

necesitarse el doble de monedas para armar $ 1?"

Las actividades 4 y 5 permiten al docente retomar esta discusión, ya que plantean encontrar

la cantidad de monedas de 5 centavos necesaria para pagar ciertas cantidades conociendo la

cantidad necesaria de monedas de 10 centavos. En todos los casos, los niños tienen que seguir

contando con la posibilidad de apoyarse en el cálculo de la cantidad necesaria de monedas

para pagar un cierto monto, más allá de la relación citada, que para algunos alumnos puede

ser, en un primer momento, compleja de comprender.

La actividad 5 plantea una actividad que podría identificarse con un problema de

multiplicación, en el cual, el cálculo de 300 × 0,10 = 30 permite encontrar el resultado. Lo que

se pretende no es recurrir a ese cálculo sino ir determinando distintas cantidades hasta llegar al

total buscado. Armar una tabla como esta puede ayudar a los alumnos a ir registrando el paso

a paso del proceso, por ejemplo:

Cantidad de monedas de 10 centavos Monto (en $)

10 1

20 2

300

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70

Ficha 70: Todo por $ 1, $ 2, o más…

El juego que se incluye en esta ficha pretende presentar a los alumnos situaciones de cálculo

mental con cantidades de dinero. Por ejemplo, si se trata de armar una cantidad entera de pesos

a partir de 0,25, 1,75 y 0,50, puedan recurrir a la relación 25 centavos + 75 centavos = $ 1 y

formar así $ 2, y finalmente concluir que necesitarán 0,50 para armar $ 3.

En la confrontación posterior al juego, el docente debería plantear la discusión sobre las

distintas formas de realizar los cálculos mentales con cantidades como las que involucra el juego.

En la segunda parte de la ficha se inicia la discusión de una cuestión difícil: la

representación de una cierta cantidad de dinero utilizando la unidad "pesos". Los alumnos

distinguen fácilmente la diferencia entre contar con una moneda de $ 1 y otra de 5 centavos y

contar con una de $ 1 y otra de 50 centavos; sin embargo, tal diferencia no les es, en principio,

fácilmente distinguible en las escrituras: $ 1,05 y $ 1,50. También, se planteará más adelante la

comparación de $ 10,05 con $ 10,50.

El por qué $ 2 y 5 centavos se escribe $ 2,05 y no $ 2,5 se podrá comprender más

cabalmente cuando se trabaje con fracciones decimales en quinto y en sexto. Por el momento,

se insistirá en la diferencia entre contar con "$ 2 y 5 centavos" y con "2 y 50 centavos". Con

frecuencia, los alumnos aceptan que 2,50 es una cantidad diferente de 2,05, pero no que

2,5 sea igual a 2,50. Hasta pueden afirmar que 2,5 representa $ 2 y 5 centavos, y que no se

confundirá con $ 2 y 50 centavos, ya que en ese caso se escribiría $ 2,50.

La ficha también plantea actividades relacionadas con un procedimiento habitual en el uso

del dinero: determinar el vuelto a partir de completar el monto a pagar.

Si se paga $ 1,80 con $ 5, se puede partir de 1,80 e ir agregando 20 centavos para llegar

a $ 2 y luego $ 3 para llegar a $ 5. Lo que se tiene que dar de vuelto será $ 3,20. Tanto en

decimales como en los números naturales, "completar" será desarrollado a lo largo de distintas

fichas y se seguirá en los grados superiores, ya que no se espera lograrlo solamente con este

trabajo.

En el Cuadernillo para practicar se presentan otras situaciones relacionadas con las dos

fichas anteriores, que involucran componer cantidades de dinero a partir de un cierto número

de monedas de distintas denominaciones así como la situación inversa de determinar distintas

formas de pagar una cierta cantidad con monedas de distinta denominación.

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Geometría y medida

Geometría

En 4º- grado se inicia un trabajo específico sobre el paralelismo y la perpendicularidad

de rectas partiendo de la noción de ángulo recto, conocimientos no presentes en los años

anteriores. Se continúa analizando figuras a fin de descomponerlas o componer otras,

reproducirlas, construirlas o describirlas para establecer relaciones entre ellas. Se asigna una

parte importante de este bloque al trabajo con figuras curvas, en particular, la circunferencia y

el círculo.

En relación con distintos conceptos geométricos se introducen técnicas de análisis y de

construcción (plegados, a mano alzada, papel cuadriculado, etcétera) utilizando distintos

instrumentos: regla, escuadra, compás.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas que se analizarán en cada apartado.

Geometría Fichas en que se trabaja

Ángulos, paralelismo y perpendicularidad 23, 31

Figuras geométricas planas 14, 21, 23, 38, 44, 48, 54, 63, 65

Instrumentos y técnicas 3, 14, 23, 31, 48

Ángulos rectos, paralelismo y perpendicularidadFichas 23 y 31

Ficha 23: Cuadrados y rectángulos

Las actividades de esta ficha se organizaron en tres partes:

- En la primera (página 59) se pretende iniciar una caracterización de los cuadrados y

rectángulos en términos de lados iguales (de a dos o los cuatro) y ángulos rectos (los cuatro

en los dos casos) partiendo de un reconocimiento de los alumnos, seguramente perceptivo

(en el ejercicio 1), de estas figuras en un universo de cuadriláteros. Justificar por qué ciertos

cuadriláteros como B y E no son cuadrados llevará a los alumnos a empezar a precisar las

características de los mismos: en el caso B, porque sus lados no son iguales, y en el E, porque

sus ángulos no son rectos aunque sus lados sean iguales.

Podemos afirmar que, en general, justificar por qué un cierto objeto no es tal objeto

matemático –por ejemplo por qué un cierto cuadrilátero no es un cuadrado– puede ayudar más

a los alumnos a identificar cuáles son las características que deberían cumplir para serlo, que

si se les preguntara directamente cuáles son las características del objeto (que en este caso es

reconocido en general, perceptivamente).

En el inicio de esta actividad, difícilmente los alumnos formulen justificaciones con tanta

precisión y se necesitará la intervención docente para discutir distintas formulaciones e ir

constituyendo una mejor.

También se provee información sobre los ángulos rectos de cuadrados y rectángulos y

de algunas formas de identificar si son o no rectos con el uso de una escuadra o de una hoja

de papel.

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No se puede afirmar que los alumnos han aprendido la noción de ángulo en tercer grado

porque se dedicaron algunas actividades a este concepto, ya que se trata de una noción

compleja que se irá precisando no solo en 4º- grado, donde se introduce el ángulo recto,

sino también en los dos grados superiores, con el tratamiento de ángulos no rectos y con su

medición utilizando primero formas no convencionales de medida y posteriormente con el uso

del transportador. En particular, el ángulo recto puede haber sido percibido hasta ahora como

uno de los ángulos interiores de un cuadrado o de un rectángulo y con frecuencia ubicado en

una posición particular: sus lados son paralelos a los bordes de la hoja.

Por otra parte, durante un cierto tiempo un ángulo es seguramente caracterizado por los

alumnos por la longitud de sus lados. Esta reflexión se incluirá explícitamente en los grados

superiores.

- En la segunda parte (páginas 59 y 60) se plantea la construcción de cuadrados y rectángulos

de los cuales ya está dibujado uno o más de sus lados, en distintos soportes: papel liso, rayado

o cuadriculado y se concluye con la definición de cada tipo de figuras.

La variedad de soportes sobre los cuales se pide completar las figuras (papel liso, rayado o

cuadriculado) produce una complejidad diferente en la tarea de completar los lados faltantes

del cuadrado. Por ejemplo, en el papel cuadriculado, si el segmento es horizontal o vertical

coincidiendo con las líneas de la cuadrícula, no será necesario verificar que los ángulos

trazados sean rectos; a su vez, la misma longitud de los segmentos puede asegurarse contando

cuadritos. Sin embargo, si se modifica la posición del segmento inicial o si se cambia el tipo

de papel, la dificultad se acrecienta, ya que exige distintos procedimientos para construir o

asegurar que la figura construida es un cuadrado. La percepción que poseen muchos alumnos

sobre los cuadrados incluye la posición en la hoja, es decir que lo reconocen si los lados son

paralelos a los bordes de la hoja; por eso, en el desarrollo de esta ficha se podrá ver a algunos

niños girando el libro para dejar el cuadrado dibujado en esa posición.

En el último dibujo, en papel blanco, se incluyen un lado y dos segmentos que no

constituyen lados del cuadrado, ya que no tienen igual longitud y será necesario completarlos.

En la construcción de los rectángulos (página 60) aparecerán dificultades similares a las del

cuadrado, si bien atendiendo a que en este caso, los cuatro lados no serán iguales.

- En la tercera parte, se enseña a construir una escuadra de papel con la cual reconocer si un

ángulo es recto o no y se solicita usarla para reconocer los ángulos rectos de distintas figuras,

así como marcar un camino en el cuál solo se realizan giros de ángulos rectos.

En cuanto al vocabulario y caracterización de los términos geométricos que se introduce en

esta ficha, podemos señalar a los de ángulos rectos, identificados en principio como los ángulos

de cuadrados o rectángulos que pueden ser reconocidos con una escuadra o una hoja de

papel, y cuadrado y rectángulo a partir de sus ángulos rectos e igualdad de lados y se retoma la

definición de cuadriláteros ya dada en tercer grado.

En cuanto a los procedimientos e instrumentos, se incluye el uso de la escuadra o la esquina

de una hoja y posteriormente una escuadra de papel para identificar los ángulos rectos así

como la regla o la reproducción de un segmento en un papel a fin de comparar segmentos sin

recurrir a su medición.

Ficha 31: ¿Se cortan o no?

En el Segundo Ciclo se trata de consolidar la noción de rectas perpendiculares llevando a

los alumnos a usarla en descripciones o reproducciones de figuras. Las técnicas clásicas de

construcción varían según los materiales y los instrumentos.

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La noción de recta queda implícita: es una línea que se traza con una regla y que puede

ser prolongada tanto como sea necesario, aunque solo se puede dibujar una parte de ella en la

hoja de papel. Si bien no se define, sería bueno discutir que una línea no es lo mismo que una

recta, ya que una línea puede ser curva.

Dados dos segmentos, se informa sobre la conveniencia de trazar las rectas que lo

contienen a fin de comprobar si al cortarse forman o no ángulos rectos, lo que permite definir a

las rectas perpendiculares.

Se presenta por medio de una secuencia de esquemas una forma de trazar rectas

paralelas utilizando una escuadra y una regla. En cuanto a la noción de rectas paralelas, cuya

dificultad reside en la idea subyacente de infinito (a través de la prolongación de los trazados

que representan las rectas), debe ser consolidada en relación con los procedimientos de

construcción que necesitan el recurso a trazos auxiliares.

El último ejercicio de la página 84 demanda la reproducción de una figura. Tal como se

enfatiza en distintas fichas y comentarios, para reproducir con mayor precisión construcciones

geométricas, es importante identificar primero los extremos de las líneas que se quieren trazar

y luego trazarla por medio de un único trazo. Algunos de estos extremos se encuentran en

los puntos medios de los lados de los rectángulos o de partes de dichos segmentos. Para

determinarlos, no es necesario medir el segmento y determinar la mitad de la longitud, sino que

se puede marcar en un papel los extremos del segmento, plegarlo por la mitad y reproducirlo

en la figura.

Se trata de nociones difíciles cuyo aprendizaje seguramente demandará un largo tiempo, en

los grados siguientes o aún en secundaria.

Figuras geométricas planasFichas 14, 21, 38, 44, 48, 54, 63, 65

Ficha 14: El cuadrado de Pitágoras

Este rompecabezas es similar al Tangram si bien sus figuras son diferentes.

Si los alumnos ya han trabajado con el Tangram, el docente podrá preguntarles cuáles son

las semejanzas y diferencias con este nuevo rompecabezas. Entre las semejanzas, se puede

señalar que ambos están formados por siete figuras y que los vértices de todas las figuras,

al igual que en el Tangram, son vértices del cuadrado original o bien puntos medios de

algún segmento. Sin embargo, las figuras no son las mismas: hay cuatro triángulos en este

rompecabezas y cinco en el Tangram, mientras que hay dos cuadrados en lugar de uno. En

ambos rompecabezas, una de las figuras es un paralelogramo

La primera actividad es reproducir a mano alzada –es decir sin instrumentos– el

rompecabezas en el cuadrado de la derecha. Nuevamente se trata de identificar los puntos que

permiten trazar cada figura, de manera que quede lo más parecido posible, sin que a mano

alzada signifique de "cualquier manera". Esto permite empezar a tomar conciencia de cuáles

son las figuras que lo componen y de los puntos importantes para poder dibujarla con bastante

precisión.

Luego se plantea realizarlo con plegados, aprovechando justamente que los vértices de las

figuras son puntos medios de algún segmento. Previo a la realización se enseña a obtener una

hoja cuadrada a partir de una rectangular.

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Seguramente, los dobleces que queden marcados no formen parte en su totalidad del

cuadrado de Pitágoras, por eso se pide que remarquen con color los trazos que corresponden

a las figuras del cuadrado. En otros casos se pide que se realicen trazados con lápiz para poder

borrar aquellos que no sean necesarios para la tarea que se quiere lograr.

El resto de la ficha está destinada a componer algunas de las figuras del cuadrado con otras

de las siete. Por ejemplo, el cuadrado grande puede ser armado con dos triángulos grandes. El

armado no es único y se busca que los alumnos puedan también realizarlo con otras figuras.

Componer figuras va desarrollando en los alumnos una cierta anticipación de la

ubicación de cada una en la figura que se pretende armar, proceso que mejora los primeros

procedimientos de ensayo y error. Por ejemplo, los alumnos pueden pensar que seguramente

el cuadrado grande se podrá armar con el cuadrado chico y algunas figuras más, por

identificación de formas; sin embargo, esto no es posible. También permite establecer una

cierta relación entre los ángulos. Si se trata de armar el cuadrado con triángulos que son

rectángulos, se harán coincidir los ángulos rectos con los de los vértices del cuadrado.

Entre estas composiciones y descomposiciones, en el punto 4 se busca armar cada una de

las figuras del cuadrado con una única figura, por ejemplo, uno de los triángulos. Se amplían

las condiciones de la tarea, ya no se trata de un rompecabezas que se forma con las siete

piezas, sino que se busca componer el cuadrado con alguna de esas piezas en particular,

repetida la cantidad de veces que sea necesaria. Este cambio conlleva no disponer de todas

las piezas en cartón, solamente uno o dos ejemplares y será indispensable elaborar nuevos

procedimientos para realizar el cubrimiento, por ejemplo, hacer marcas en el cuadrado.

¿Cuáles son esas figuras con las que se puede armar el cuadrado con varios ejemplares de

una misma figura? Por ejemplo, el cuadrado podrá ser armado con 16 de los triángulos chicos

o con 8 de los triángulos más grandes. El docente podrá demandar si con las otras figuras no

se puede armar el cuadrado.

La experiencia de cubrir el cuadrado (u otras figuras en otras fichas) con varios ejemplares

de una misma figura constituirá una buena base para realizar más adelante consideraciones

de área tomando, por ejemplo, un triángulo chico como unidad de medida, y la posibilidad de

cubrirlo de distintas maneras facilitará aceptar que es posible considerar distintas unidades de

medida para medir el área de una misma figura.

También se podrá relacionar con las fracciones en su significado de parte a todo.

El último ejercicio plantea la misma tarea de averiguar si con varios ejemplares del triángulo

dado se puede armar cada una de ellas. En el lateral, se agrega la sugerencia de calcar el

triángulo si para algunos alumnos resulta aún indispensable.

Ficha 21: Rompecabezas con rectas y curvas

Con polígonos y figuras de lados rectos y curvos se trabaja en la composición y

descomposición de figuras. El intercambio entre los compañeros del equipo permite construir

diferentes figuras con las mismas piezas del rompecabezas.

En algunos casos se solicita armar una figura en particular, por ejemplo, un círculo. Se

provee la caracterización de los polígonos y de las figuras curvas, y entre los cuadriláteros, la de

trapecio. La idea de figuras curvas puede resultar difícil a los alumnos, para quienes una figura

debe ser una "conocida", como triángulo, cuadrado, etcétera.

En este nivel se asigna un nombre a una figura solamente a partir de su dibujo, durante 4º- y

en 5º- y 6º- grado se irán trabajando algunas propiedades de este cuadrilátero.

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Ficha 38: ¡Qué figura!

En esta ficha se incluye un nuevo recurso de análisis de las figuras, pues la configuración

dada puede ser pensada como una misma configuración repetida cuatro veces, no a partir de

su traslado lateral o vertical, sino de su rotación alrededor del punto central de la figura. Se trata

de un primer contacto de los alumnos con movimientos de figuras en el plano.

En el inicio, se solicita reproducir la figura en el cuadrado lateral, tarea que involucra

identificar vértices, segmentos y figuras en el modelo original.

Las preguntas siguientes van planteando el análisis de la cuarta parte que se repite y de los

movimientos necesarios para hacerla coincidir en el modelo original. Pintar cada cuarto de la

figura de la misma manera también ayuda a identificar el movimiento necesario.

La segunda parte de la ficha –ejercicio 3 en adelante– plantea la elaboración de un plan

de construcción o serie de instrucciones para poder reproducir una figura; posteriormente,

el análisis y modificación de un plan si no permite reproducir la figura dada y el análisis de

dos planes que permiten construir una misma figura recurriendo a figuras y procedimientos

diferentes.

En cada caso se plantean algunos aspectos en particular a partir de dificultades que

podemos anticipar que se les plantearán a los alumnos. Por ejemplo, qué instrucción dar

para que se puedan dibujar correctamente los cuadraditos del modelo original. Se pretende

que los alumnos puedan percibir que no es suficiente decir: "en las esquinas dibujá cuatro

cuadraditos" ya que estos podrían ser dibujados fuera de la figura. Se trata de buscar una

formulación precisa que no deje lugar a dudas o a interpretaciones diferentes del que realiza

la construcción a partir de las instrucciones dadas. También se deberán incluir medidas si se

pretende que coincida con la figura original.

Como la figura es la misma y las instrucciones son redactadas por cada alumno,

seguramente aparecerán diferentes maneras de ver la figura: se puede hablar de dos

rectángulos, o bien, de un cuadrado dividido por un segmento vertical por el punto medio de

lados opuestos, etcétera.

En el segundo caso, se incluye una única frase como instrucción que no indica en qué posición

es necesario dibujar los triángulos, además de no incluir medidas. Se demanda analizar el

mensaje y escribir las modificaciones que se considere pertinentes. Se propone además otra

instrucción que no incluye rectángulos, sino líneas, ya que es posible trazar cinco líneas y

quedará determinado el modelo original sin mencionar los triángulos.

En todos los casos, el docente utilizará el vocabulario correspondiente, por ejemplo, diagonal

(que une vértices opuestos) y pedirá –sin exigirlo al principio– que los alumnos hablen y escriban

correctamente dejando de lado expresiones como "Hacé una raya derecha o marcalo así…"

Para ampliar estas actividades, el docente podrá entregar una figura a la mitad de los

equipos de su clase y otra diferente a la otra mitad, a fin de que cada grupo elabore las

instrucciones necesarias para que el grupo que las reciba pueda, sin haber visto la figura

original, reproducirla y lograr que coincidan al superponerlas. La discusión sobre si se logró

o no la tarea permite cuestionar la forma de escritura, los términos usados, etcétera.

Ficha 44: Pisos decorados

La primera actividad plantea el reconocimiento de las regularidades de un piso armado con

distintos mosaicos, pues solicita pintarlos de tal manera que quede en evidencia cómo se va

formando el piso.

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La segunda plantea un avance considerable en las ideas que

puedan tener los alumnos sobre componer figuras, ya que se trata

de unir figuras curvas para obtener una figura poligonal. Contar

con las figuras en cartón puede disminuir en parte la dificultad

de la tarea. También se explicitan las condiciones de realización

de dicha tarea: no dejar espacios sin cubrir y no superponer las

formas. Seguramente, en las fichas anteriores vienen realizándolas

en las condiciones que ahora se explicitan.

El último ejercicio presenta el desafío de identificar cuál es la figura que se repite para armar

el piso. La figura está colocada en distintas posiciones y al pintarlas de distintos colores se

pone en evidencia.

Ficha 48: Figuras circulares

En la ficha 21, los alumnos tuvieron oportunidad de manipular figuras curvas e incluso

de componerlas o descomponerlas en otras. En esta ficha se presentan situaciones de

construcción de circunferencias usando el compás.

Se pretende realizar una pequeña reflexión sobre la selección de la forma circular para

objetos de la realidad, por ejemplo, en las ruedas de los autos o en los relojes como el dibujo de

la ficha. En un cuadrante circular es más fácil identificar y leer la hora que en uno rectangular

(esto es más evidente cuando el rectángulo es más alargado), porque todos los números

quedan a igual distancia del centro. También puede citarse el caso de los marcadores de un

auto: de velocidad, de aceite, etcétera.

Se pide reproducir un cuadro de Vasarely que incluye círculos a mano alzada, tratando de

ubicarlos en la misma posición en relación con el cuadrado en el que se incluyen y con un

trazo lo más circular posible. En relación con este cuadro, se pregunta sobre el uso de los

paralelogramos para poner en evidencia la profundidad de las figuras. Se pretende mostrar a

los alumnos, en distintas ocasiones, el uso de la matemática fuera de las actividades escolares.

Se enseña cómo trazar circunferencias con el compás y realizar muchas figuras –se incluyen

otras en el cuadernillo– a fin de obtener un cierto dominio del instrumento.

La figura de la última consigna está formada por partes de distintas circunferencias que es

necesario completar. Esta tarea puede ayudar a los alumnos a identificar dónde se encuentra el

centro de cada una, y cuál es el radio, conceptos incluidos en la misma ficha.

Ficha 54: Adivinar la figura

El juego de esta ficha ya ha sido planteado en los libros de segundo y tercer grado.

Se propone una actividad de adivinanza de figuras, que les solicita a los niños buscar las

características que les permitan identificar la figura seleccionada por uno de sus compañeros.

Las preguntas que se formulan solo admiten como respuesta SÍ o NO (no está permitida una

pregunta como: "¿Es ésta?" señalando la figura). Esto plantea una condición que obliga a los

alumnos a incluir las características en la pregunta. Como tantas otras actividades requiere un

cierto tiempo de trabajo para que los niños entiendan la condición y se mantengan dentro de ella.

En el curso de la actividad algunos niños se van dando cuenta que pueden formular

preguntas sobre propiedades comunes a varias figuras y de esa manera descartar algunas

y considerar un universo más restringido. Por ejemplo, la respuesta negativa a la pregunta

"¿Tiene cuatro lados iguales?" permite eliminar varias figuras del universo en cuestión.

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El docente retomará esta cuestión en la confrontación –que puede ser organizada a partir de

copiar las preguntas de algunos de los juegos en el pizarrón– cuando se analicen las preguntas

elaboradas, preguntando por ejemplo: Y si responden que "No, ¿cuántas o cuáles figuras ya se

pueden eliminar?" Progresivamente a lo largo del año o en años posteriores se podrá analizar la

pertinencia de una pregunta en términos de si deja menos figuras para seleccionar que otras.

Por el tipo de figuras incluidas resulta difícil que ya puedan ser identificadas por sus nombres;

sin embargo, será indispensable recurrir a un lenguaje preciso que involucre características

de cada figura que permiten diferenciarla de las demás. Precisamente, ese es el objetivo de la

actividad: Identificar un cuadrilátero a partir de sus propiedades.

Las primeras formulaciones se precisarán y se empezarán a usar denominaciones

convencionales en distintos momentos durante el trabajo propuesto en esta y otras fichas, sin

constituir un objetivo prioritario.

En la segunda página se discuten en particular algunas propiedades de los cuadriláteros,

como el paralelismo de sus lados, los ángulos rectos (por ejemplo la cantidad posible que

puede tener un cuadrilátero) y, por lo tanto, la perpendicularidad de dos lados y la igualdad o

no de los mismos.

Ya hemos mencionado (en el análisis de la ficha 31) que se pretendía que el paralelismo y

perpendicularidad empezara a constituir para los alumnos un recurso más de identificación o

de análisis de figuras.

Dos aspectos importantes a destacar en esta ficha: se pide que elaboren en equipo una

tabla para clasificar cuadriláteros según el número de ángulos rectos que posean. En general,

en fichas o en grados anteriores, se han presentado las tablas dejando bajo la responsabilidad

de los alumnos completarlas; en cambio, en esta se solicita su construcción. Es decir, deben

tomar decisiones en cuanto a cuántas columnas incluir, qué escribir en los encabezados,

etcétera. Seguramente, en esta primera vez, el docente deberá dedicar un tiempo suficiente

para discutir las distintas propuestas de tablas de los grupos pidiendo a los alumnos analizar en

cuál o cuáles se incluyó toda la información necesaria y en cuál se puede comprender mejor la

información volcada. Por otra parte, se incluye en la consigna el término "clasificar", el cual es

explicado en la plaqueta teórica.

En esta primera aparición, se solicita clasificar dando el criterio de clasificación: primero, por

la cantidad de ángulos rectos que posean (en el ejercicio 4) y luego según la cantidad de lados

iguales (en el punto 5).

En otras fichas –incluso con otros contenidos– o en los grados superiores se pedirá que

clasifiquen elementos de un universo, seleccionando también el criterio de clasificación.

Adivinar la figura 18

Las reglas de este juego son reconocidas de inmediato por los alumnos, ya que en grados

anteriores lo han jugado, aunque con distintas figuras. Las preguntas que tienen que ser

respondidas por "sí" o por "no" ya no son una complejidad como antes, cuando el solo hecho de

aprender a preguntar de este modo fue un aprendizaje en sí mismo.

Luego de que juegan un partido, comienzo a recorrer los equipos, trasladando una silla,

proponiéndoles jugar una vuelta conmigo. De este modo busco ser testigo partícipe de todo lo

que pueda suceder, a la vez que suelo incluir cuestiones que considero útiles para debatir, si

noto que no aparecen espontáneamente. No intervengo en los enunciados de las preguntas ni

en ninguna otra cuestión. Ante preguntas del tipo "¿Tiene forma de barquito?", que se pueden

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escuchar, suelo pedir que intenten usar lo que ya conocen de las figuras y que en lo posible

dejen de lado este tipo de comparaciones. Les recuerdo que en el punto 1 deben registrar dos

preguntas que hayan hecho para adivinar una figura y les pido que elijan preguntas que les

resultaron muy útiles para hacerlo.

Me llama la atención que varios niños preguntan: "¿Se puede armar con dos triángulos?",

pienso que esto será trabajado próximamente, en la ficha 65, y me alegra que sea una cuestión

que ya esté siendo discutida. En un momento, Patricio me pide dibujar algo en el pizarrón para

explicarle a Mateo que en la figura I sí entran dos triángulos. Dibuja la figura e indica cómo

"entran" dos triángulos en ella y aclara que también pueden "entrar" muchos más, mientras

vuelve a dividir cada uno de los dos triángulos en dos.

Otra cuestión que escucho varias veces es si la figura es o no paralelogramo. Me pregunto

si saben en verdad qué es un paralelogramo o cuál es la idea que se hacen al respecto. El

concepto de paralelismo es un concepto relativamente reciente para ellos y no me pareció que

lo tuvieran tan internalizado como para poder usarlo con tanta seguridad. Por eso, al planificar

esta clase, supuse que saldrían cuestiones que habían quedado pendientes sobre el tema y me

sorprende cómo se ponen en juego las ideas, tal vez intuitivas, que ellos tienen de esta figura.

También preguntan si es rombo, si tiene ángulos rectos, si es rectángulo, si es triángulo. Me

detengo un momento en un grupo donde alguien preguntó si tiene cuatro lados. Le contestan

enseguida que todas las figuras tienen cuatro lados y que esa pregunta no tiene sentido. En otro

equipo, Nicole pregunta si es triángulo y enseguida le responden que no hay ningún triángulo.

Le pregunto a cuál figura se refería como triángulo y me indica la K. ¿Por qué triángulo?, le

digo. Me responde que parece un triángulo por su punta. Leandro le responde enseguida que

triángulo son tres lados y que ese parece, pero tiene cuatro lados.

En la puesta en común retomo algunas de estas cuestiones y lo hago a partir de la

actividad 2. Les pido que me digan qué agrupamientos han hecho. Esteban dice que él agrupó

e, f y d. Les pido a los demás que me digan cuál creen fue el criterio que adoptó para agrupar

estas figuras. Gaizka dice que Esteban pensó que tienen dos lados cortos y otros dos largos.

Amplío el comentario a toda la clase y pregunto qué opinan, si piensan que ese es el criterio

adoptado por Esteban. ¿Son las únicas figuras que corresponderían a este grupo?, digo, ¿Habrá

otras que tengan dos lados cortos y dos lados largos?

—No, seño, son las únicas —dice Esteban.

—¿Ven alguna diferencia entre ellas? ¿O son todas parecidas?

—En realidad para mí la e no está bien —agrega Leandro.

—¿Por qué?

—Porque la f y la d son rectángulos y la e no es rectángulo.

—¿Rectángulo? ¿Cómo te diste cuenta de que es un rectángulo?

—Porque tiene lados rectos —contesta.

—¿Lados rectos? ¿Y cuál no tiene lados rectos?

—No, no es eso, tiene lados derechos… el e no tiene lados derechos, están inclinados-aclara.

—¿Cómo es eso? ¿Qué es lo derecho y qué es lo inclinado?

—Son los ángulos rectos, no los lados rectos… lados rectos tienen todos… —dice Tomás.

—Bien… por un lado me hablan de lados rectos… por otro de ángulos rectos… ¿el rectángulo

tiene lados o ángulos rectos?

—Lados y ángulos —dice Tomás.

—Pero si la característica fundamental para ser rectángulo es tener lados y ángulos rectos

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entonces al grupo de Esteban puede ingresar perfectamente la figura m, por ejemplo.

—Nooo —responde con énfasis Josué— ¡¡tienen que ser cuatro ángulos rectos!!

—Ah, eso es diferente, ¿qué opinan? Entonces rectángulo es una figura que tiene cuatro lados

rectos y cuatro ángulos rectos. ¿Es así? ¿Alguna otra condición?

—No —responden.

—Entonces ¿qué opinan de b? ¿Es rectángulo?

—Nooo, es un cuadrado.

—¿Y cuál condición debe cumplir una figura para ser cuadrado?

—Cuatro lados iguales-responden varios.

—¿La única condición? Entonces a es cuadrado…

—Nooo, tiene que tener cuatro ángulos rectos —responde Catalina.

—A ver…para ser cuadrado cuatro lados ¿rectos?

Siiii.

—E iguales…cuatro ángulos rectos…se podría decir entonces que un cuadrado también es un

rectángulo, ¿o no?

—Nooo, porque tiene cuatro lados iguales-dice Mateo.

—Pero el ser rectángulo me exige dos condiciones nada más… nunca me hablaron de la

medida de los lados ¿o sí?

—No.

—Entonces se puede decir que los cuadrados siempre son rectángulos, pero ¿los rectángulos

siempre son cuadrados?

—Noooo.

—Claro, por ejemplo d y f son rectángulos pero no son cuadrados y b es cuadrado y es

rectángulo. ¿Y e? ¿Es cuadrado o rectángulo?

—Ni uno ni otro —responde Nicole.

—¿Y entonces qué es? ¿Tendrá un nombre este tipo de figura? Escuché que la nombraban

mientras jugaban…

—Es un paralelogramo, seño —dice Esteban.

—¿Qué quiere decir? ¿Hay otros?

—Sí, el a y el g —afirma Josué.

—Josué dice que e, a y g son paralelogramos. ¿Qué hace que sean paralelogramos? ¿Qué

tienen de similar y de diferente a los rectángulos y los cuadrados?

—No tienen ángulos rectos —dice Giulia.

—¿Algo más?

—Los lados no son iguales, como los rectángulos —agrega Leandro.

—¿Y g? ¿Cómo son sus lados?

—Iguales —dice Nicole mientras mide apurada los lados.

—¿Entonces?

—En estos no importa la medida y no tienen ángulos rectos, ni uno —dice Leandro.

—No importa la medida de los lados… pueden ser todos distintos…

—No, no son todos distintos… son iguales dos y dos-responde Tomás.

—¿Entonces? Hay algo en el nombre que dice Josué que puede representar una característica

de estas figuras… paralelo…

—Tienen lados paralelos —dice Josué.

—¿Los paralelogramos?

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—Sííí.

—¿Solamente? Retomemos… Josué dijo que son paralelogramos porque tienen lados

paralelos… dos pares de lados paralelos… ¿Y b? ¿Tiene lados paralelos?

—Sí, seño, también… —dice Giulia.

—¿Cuántos lados paralelos?

—Dos y dos.

—Entonces se podría decir que b es paralelogramo ¿o no?

—Sííí.

—¿Cuadrado o paralelogramo? ¿Rectángulo o paralelogramo? ¿Qué sería b?

—Todo… es todo, seño —responde Esteban.

—Entonces, un cuadrado como b es rectángulo y es también paralelogramo. Pero, ¿cualquier

paralelogramo es rectángulo? ¿Y cuadrado? Por ejemplo e…

—a es paralelogramo pero no es rectángulo y tampoco cuadrado —dice Giulia.

—A ver si pueden escribir entre todos algunas conclusiones de estas que están comentando y

después volvemos a discutirlas.

Ficha 63: Más figuras circulares

En esta ficha se continúa con el trabajo con figuras circulares, precisando la información

necesaria para construir una circunferencia. Luego de realizar varias reproducciones de figuras

circulares, se plantea la construcción de circunferencias de mayor tamaño que la hoja de

papel para trazarlas en el piso del aula y en el patio. Al no disponer de un instrumento para su

trazado es necesario recurrir a otros, por ejemplo, un hilo suficientemente largo del cual uno de

los extremos se fija en un punto y en el otro extremo se coloca una tiza o un marcador con que

se va marcando los puntos de la circunferencia. Seguramente este trazado será más impreciso

que con el compás.

Es interesante que el docente plantee algunas reflexiones sobre estos dos recursos para

trazar una circunferencia: el compás y un hilo en las condiciones ya citadas. ¿Qué es lo que

permite que ambos tracen circunferencias? En el caso del compás, al mantener siempre la

misma abertura entre sus brazos, asegura que todos los puntos que se van marcando están a

la misma distancia del centro; en el caso del hilo, el radio es materializado justamente por la

longitud del hilo.

En la última parte de la ficha se plantea nuevamente, elaborar instrucciones para la

construcción de una figura y, por otra parte, una lista de instrucciones para trazar cierta figura.

Importa tanto elaborar la lista de instrucciones para construir una figura como poder

interpretar unas instrucciones dadas y realizar los trazados.

En ambas tareas se ponen en juego distintas cuestiones, en un caso frente a la figura es

necesario identificar qué partes la componen y analizar qué tipo de instrucciones se podrían

dar para que sean comprensibles por quien las recibe, así como elaborar un vocabulario

pertinente. En cambio, al recibir las instrucciones, ese análisis ya ha sido hecho y, se han

tomado las decisiones de cómo considerar la figura y elaborado el vocabulario; resta interpretar

las instrucciones para el trazado.

Ficha 65: Triángulos

En esta ficha podemos mostrar la línea que planteamos para la construcción de

conocimientos geométricos. En primer lugar, se parte de manipular figuras en cartón con las

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cuales se arman las figuras que decida su autor.

En la siguiente actividad, se incluye una condición, no se puede armar cualquier figura

sino las dadas en la ficha. Como se trata de cuadriláteros, empezarán a aparecer las figuras

armadas por dos triángulos. Una pregunta plantea reflexionar sobre esta cuestión: siempre que

se tomen dos triángulos diferentes, ¿se podrá armar un cuadrilátero?

Se puede ver cómo se ha ido evolucionando desde un trabajo de composición libre de

figuras a una afirmación que es necesario validar: ¿siempre es verdad? ¿Nunca? ¿A veces? No

es suficiente decir que a veces sí y a veces no, pues luego se pide bajo cuáles condiciones se

puede armar un cuadrilátero con dos triángulos diferentes.

Se puede así establecer –aunque en un universo restringido– que, para formar un

cuadrilátero a partir de dos triángulos diferentes, es necesario que posean un lado igual.

Avanzando un paso más, se estudiará la construcción de rectángulos y de cuadrados con

triángulos iguales, lo que llevará a los alumnos a determinar que tendrán que ser triángulos

rectángulos iguales en el primer caso y que, si se pretende formar cuadrados deberán –además

de ser triángulos rectángulos– tener su dos catetos iguales, es decir, ser isósceles.

Este proceso que organizamos les va permitiendo a los alumnos aprender nuevos

conocimientos y también vivir procesos de hacer matemática.

Se advierte acerca de la habitual confusión entre triángulo rectángulo, que es el triángulo

(tres lados) que tiene un ángulo recto y el cuadrilátero (cuatro lados) llamado rectángulo, que

tiene cuatro ángulos rectos.

Las preguntas de reflexión sobre los conceptos que están aprendiendo ponen en juego

afirmaciones que involucran cuantificadores como nunca, siempre, a veces, etcétera.

Por ejemplo, hay triángulos isósceles que son rectángulos y otros que no lo son. No puede

existir un triángulo que tenga dos ángulos rectos, etcétera.

Se provee además información del origen griego de las palabras isósceles: dos piernas

iguales, y equilátero: lados iguales, para mostrar que en su origen estos nombres proveían

mayor información que ahora. Difícilmente, los niños griegos se equivocaban en determinar si

un triángulo era isósceles o no ya que su nombre "piernas iguales" indicaba qué era necesario

verificar. Mientras que actualmente identificar isósceles con dos lados iguales es mucho más

complicado.

Al finalizar la ficha se introduce un tipo de tabla diferente de los habituales, debido a que

es de doble entrada. Es necesario ubicar, utilizando la letra correspondiente, cada triángulo

en la casilla que le corresponde, atendiendo a la vez al número de ángulos rectos y al de lados

iguales de cada uno. Esta tabla significa una evolución importante con respecto a las tablas

habituales, y seguramente será más dificultoso para los alumnos trabajar con ella, ya que

involucra atender a dos condiciones a la vez.

En el Cuadernillo, se incluyeron más actividades a realizar con los triángulos de Recortables

de armado de nuevas figuras dadas o no. También en la evaluación del período se incluye

una actividad con triángulos de los cuales es necesario determinar si pueden formar o no un

rectángulo o un cuadrado.

Como no se entregarán las figuras recortadas, se está evaluando si han logrado determinar

qué condición se debe cumplir para que dos triángulos puedan formar un rectángulo y, en

particular, un cuadrado.

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Instrumentos y técnicasFichas 3, 14, 23, 31, 48

Algunas de estas fichas han sido analizadas en otros apartados, pero nos referiremos aquí

a las técnicas que se ponen en juego en ellas y a los instrumentos que se pretende usar en

relación con ciertas propiedades de los objetos.

Ficha 3: Trazar y medir con regla

Esta ficha está centrada en el trabajo con la regla. Completar o reproducir las figuras

demanda del alumno establecer a partir de cuáles puntos o trazos de la figura original se puede

relacionar para completar la figura.

En general, las producciones pueden ser controladas visual y globalmente. Una vez

realizadas fácilmente se percibe si están o no bien trazadas, ya que se trata de una cuadrícula

con celdas cuadrangulares o triangulares, una guarda y una estrella, es decir, puede observarse

si se conservó el motivo del dibujo.

Las intervenciones del docente estarán dirigidas a discutir las formas usadas para completar

las figuras: qué puntos o trazos se pueden unir y buscar los extremos de los segmentos

para asegurar mayor precisión. El docente podrá tomar conocimiento de las dificultades de

manipulación de la regla y de trazados que presentan unos niños más que otros y prestar

especial atención a ayudarlos a superar estas dificultades. También será la ocasión de dar

pautas de cuidado y precisión en los trabajos así como de la importancia de realizarlos con

lápiz y, si es necesario, borrarlos y realizarlos nuevamente.

Las dos últimas páginas (12 y 13) de la ficha están destinadas a estimar longitudes y

posteriormente medir segmentos utilizando los centímetros y milímetros.

El ejercicio 4 pretende que los alumnos puedan imaginar el traslado de segmentos, o partes

de ellos, entre las figuras a fin de comparar sus longitudes usando, por ejemplo, expresiones

como estas: si coloco este pedazo acá y este allá, se nota que esta línea es más larga que

esta…, que ayudan a la comparación y aún utilizando la separación entre los dedos para

reportar segmentos de una a otra figura.

Las actividades (a partir del ejercicio 6) apuntan a comprender el funcionamiento de la regla

para medir; identificar qué representa cada tipo de rayitas (de tres longitudes diferentes) y los

números incluidos en ellas. También se pretende que los alumnos puedan comprender por

qué se inicia la medida en 0 y no en 1 o en el inicio de la regla y, a la vez, distinguir que en ese

caso –en que el segmento a medir se inicia en 0– la medida es en cierto modo indicada en la

regla, en el otro extremo del segmento; mientras que, si el segmento se inicia en otro punto de

la recta, es necesario contar o calcular el número de centímetros que mide hasta terminar.

Incluiremos un relato de la docente Cecilia Castillo, de la realización de esta ficha en su

clase de 4º- grado19

Trazar y medir con regla

Comienzan a trabajar en la página 10 con entusiasmo, ya que las fichas de geometría son

generalmente bien recibidas por todos. Les sugiero observar con atención la totalidad del diseño

y anticipar en lo posible sus tareas, prever qué trazos harán antes de hacerlos efectivamente,

ya que suelen ser apresurados y se frustran cuando los resultados que obtienen no son los

esperados, cosa muy evidente en este tipo de actividades.

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Comentan que las líneas que están dibujadas sirven para apoyar la regla y poder seguir la

dirección y que el recuadro es como el fin de cada línea. La mayoría comienza por las líneas

casi completas y deja para después las más incompletas y la mayor dificultad es "frenar" el trazo

a tiempo. Reitero la importancia de hacerlo, de aprender a manejar el trazo.

Para la guarda la mayor dificultad fue interpretar cuál es el modelo que se repite. Al no haber

colores y tener que tomar como referencia solamente puntos y direcciones, no resultó fácil de

reproducir. Fue interesante el manejo que hacían del elemento, ya que debían ubicar y reubicar

constantemente la regla o el libro para seguir la dirección correspondiente. Les sugerí que

cada tanto observen la totalidad de lo que estaban haciendo para controlarse a sí mismos e ir

realizando ajustes oportunos.

Para el tercer diseño, la mayor dificultad que se presentó fue que algunos intentaron

completar cada triángulo de la figura, de a uno, o bien, que no utilizaban la regla para continuar

las líneas incompletas sino para unir puntos extremos que consideraban correctos utilizar

para completar cada línea. Entonces surgió, para el primer caso, cierta disconformidad con

el diseño compuesto por muchas partecitas de líneas, lo sentían desprolijo. Para el segundo

caso, notaban rápidamente sus errores y buscaban nuevos puntos extremos que resultaran más

exactos para efectuar el trazado.

Con la estrella, la dificultad fue mayor. Aquí no tenían marco de referencia y debían decidir

qué puntos unir y si lo hacían mal, el error era muy evidente.

Para la actividad 4, enseguida surge la pregunta sobre qué es una línea abierta y una línea

cerrada. Dicen que una línea abierta no se une, no tiene punto de encuentro, como la b) o la c).

La a) es cerrada porque tiene puntos que se encuentran; además, es cerrada porque encierra

una parte de la hoja y las otras no encierran nada.

Otra cuestión que apareció es dónde termina una línea, si continúa o termina donde se

"quiebra", si se mide todo junto y comentaron cómo harían para medir la línea "quebrada":

algunos medirían de a trazos y después sumarían; otros irían agregando las cantidades una a una.

Para "Centímetros y milímetros", la propuesta fue de lectura y análisis en grupo total de la

actividad 6. En principio, el texto fue comprendido con facilidad, conversaron sobre qué indican

los números de una regla, los centímetros, y sobre el papel del "0", mencionando que indica

que allí no hay centímetros, que sirve para iniciar la medición. De lo que no todos estaban muy

seguros fue de qué son las rayitas. Leyeron el texto del recuadro y replanteé el análisis a través

de algunas preguntas, como: ¿Para qué sirve una regla según el texto? ¿Qué quiere decir que

los centímetros están numerados? ¿Cómo se puede explicar qué es un milímetro? ¿Cuántos

centímetros son, entonces, 30 milímetros? Luego les solicité que cuenten cuántas rayitas había

entre dos centímetros numerados. Dijeron que son 9 rayitas. Entonces les comenté que el texto

dice que en 1 cm hay 10 mm, ¿por qué habría 9 rayitas?, ¿por qué no 10 rayitas, una para cada

mm? Volvieron rápidamente a contar algunos y verificaron que son 9. Comentaron que se debía

contar desde la rayita larga donde estaba indicado el centímetro, que esa es la primera rayita y

así entonces sí son 10 rayitas.

Para la actividad 7, la dificultad que se planteó fue cómo sumar longitudes no exactas

y cómo escribirlas. Algunos intuitivamente, o por haber visto a otros hacerlo, utilizaron los

decimales en la escritura. Entonces registraron:

6 cm + 2,8 cm + 2,8 cm

Otros escribieron:

6 cm + 2 cm 8 mm + 2cm 8 mm

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En el primer caso, algunos optaron por hacer la cuenta mentalmente y determinaron que

el resultado era 10,16 cm. En el segundo caso, los que lo resolvieron agruparon centímetros y

milímetros, o sea, sumaron 6 + 2 + 2 = 10 cm; 8 + 8 = 16 mm; total 10 cm 16 mm. Escribí en

el pizarrón las medidas que tomaron para cada segmento y las operaciones que hicieron para

calcular el total, de este modo:

6 cm + 2,8 + 2,8 = 10,16 cm 6 + 2 + 2 = 10 cm 8 + 8 = 16 mm Total = 10 cm 16 mm

Pregunté: Según lo que escribieron, ¿llegaron a resultados iguales o diferentes? ¿Cuál es la

longitud total de la línea? ¿10,16 cm o 10 cm 16 mm? ¿Es lo mismo?

Me contestaron algunos que sí, otros que no, otros que era escribir diferente pero que es lo

mismo. En un momento, un alumno levanta la mano y comenta que los números son los

mismos, solo que en el segundo caso están escritos por separado los centímetros de los

milímetros y en el primero solamente los separa la coma.

Vuelvo a escribir en el pizarrón y pregunto:

6 cm + 2,8 cm + 2,8 cm = 10,16 cm = 10 cm 16 mm

¿Puedo afirmar entonces que lo que escribí ahora es verdad? Me contestan que sí, pero escrito

de dos maneras distintas.

Digo: Según lo que dice el texto recuadrado, 1 cm = 10 mm. Puedo ver que en el resultado

aparece 16 mm ¿qué significa esto? ¿16 mm es más o menos que 1 cm?, ¿cuál es el resultado

exacto de la medición, entonces?

Discuten un momento y enseguida levantan la mano para comentar que 16 mm = 1 cm y

6 mm. Lo escribo en el pizarrón:

16 mm = 1 cm 6 mm

—¿Y entonces? ¿Cuánto mide la línea? ¿Cambia algo pensar esto? ¿Qué cambia?

—Lo que cambia es que se puede sumar un centímetro más al total, o sea, en vez de decir

10 cm 16 mm podés decir 11 cm 6 mm y es más justa la medida" —me comenta una alumna.

—¿Es más justa la medida? —pregunto a todo el grupo.

—¡¡¡No!!! La medida es la misma pero se escribe diferente… todas las medidas son las mismas

y todo se escribe diferente —afirma otro niño.

Escriben en las carpetas, como conclusión:

1 cm = 10 mm

Los milímetros se pueden escribir usando números con coma o separados de los centímetros

2,8 cm ó 2 cm 8 mm

Podemos afirmar, a partir de lo que discutimos para realizar la actividad 7, que:

6 cm + 2,8 cm + 2,8 cm = 10,16 cm = 10 cm 16 mm

16 mm = 1 cm 6 mm

Entonces:

10,16 cm = 10 cm 16 mm = 11 cm 6 mm

Es un contenido que hay que seguir trabajando y afianzando, para lo cual las actividades del

cuadernillo resultarán útiles.

Ficha 14: El cuadrado de Pitágoras

En esta ficha se introducen algunas técnicas de plegado para dejar marcadas en el

cuadrado, las siete figuras. Para obtener el cuadrado necesario, se introduce una técnica para

construir un cuadrado a partir de una hoja rectangular. También se explica con esquemas el

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plegado por sus bases medias para que queden marcados algunos de los segmentos interiores

del cuadrado de Pitágoras.

Ficha 23: Cuadrados y rectángulos

Las técnicas incluidas se relacionan con el uso de la escuadra o del vértice de una hoja de

papel para verificar o trazar un ángulo recto, así como el uso de un papel en el que se marcan

los extremos de un segmento para verificar si los otros lados de una figura son o no iguales

al primero.

Se presenta también la construcción de una escuadra de papel para reconocer si un ángulo

es recto.

Ficha 31: ¿Se cortan o no?

El conjunto de técnicas presentadas en el libro se amplía con la de trazado de rectas

paralelas. Si bien no será adecuado tratarlo con los alumnos, esta técnica está basada en

la propiedad de que si dos rectas son perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.

Puede observarse en los dibujos que una vez trazada una recta, una paralela se obtiene al

desplazar la escuadra a lo largo de la regla. La escuadra asegura la perpendicularidad a la regla.

Ficha 48: Figuras circulares

Las instrucciones y el dibujo que las acompañan permiten comprender el funcionamiento

del compás para trazar un círculo. Esta técnica exige mantener el punto en el cual se pincha la

punta del compás mientras se lo hace girar. Su dominio necesitará abundantes trazados.

Medida

Como se ha planteado en repetidas ocasiones, la Matemática constituye una de las maneras

de comprender y describir el mundo y esta posibilidad se acrecienta en la medida en que los

niños se van construyendo representaciones de las magnitudes y de sus mediciones.

Sin embargo, los cambios sociales y los avances tecnológicos en metrología han desterrado

la mayoría de las prácticas sociales de medición, de manera que los conocimientos que antes

podían extraerse del ámbito privado ahora son muy escasos. En la sociedad, los metros láser

han desplazado a la cinta métrica, las balanzas digitales a los platillos, los objetos industriales

a los artesanales, y con ello se ha privado a los alumnos de las experiencias necesarias para

conceptualizar las nociones de medida, por lo cual la escuela debe replantearse de forma

urgente retomar a su cargo esos aprendizajes.

Un libro de texto tiene limitaciones para proponer actividades en el terreno del trabajo

con mediciones efectivas: con frecuencia se desarrollan fuera del aula, se necesitan ciertos

instrumentos, etcétera. No obstante, la realización de estimaciones y mediciones efectivas

de objetos, espacios, etcétera, del entorno cotidiano es importante e insustituible. No

desconocemos que realizar actividades de medición efectiva requiere al dodente un gran

esfuerzo de preparación didáctica y material, pero en este terreno, como en tantos otros,

las oportunidades que brinda o no brinda la escuela resultan determinantes en cuanto a la

elaboración y disponibilidad de los conocimientos promovidos. Resulta necesario que los

niños tengan experiencias que les permitan construirse representaciones de las magnitudes,

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interrogarse sobre cuáles son los atributos cuantificables y no cuantificables de los objetos

y apropiarse de las herramientas que la humanidad ha ido construyendo para resolver los

problemas de medición.

Por un lado, la medida es una herramienta para explorar y establecer relaciones a propósito

de las formas y, por otro, es generadora de la necesidad de producción de números que

expresen los resultados del acto de medir. En este sentido, la medida es un puente entre el

conocimiento del espacio y el conocimiento de lo numérico que desde tercer grado se ha ido

ampliando al uso de fracciones y decimales.

Medir es el proceso por el cual se averigua cuántas veces una cantidad –elegida como

patrón o unidad de medida, convencional o no convencional– está contenida en otra de la

misma magnitud. Por lo tanto, medir implica determinar por medio de algún procedimiento

cuántas veces "entra" la unidad elegida en el objeto que se desea medir.

¿Cuántos hay?, como pregunta referida a la cantidad de elementos de una colección discreta

es tempranamente interpretada por los niños y, para averiguarlo, recurren al conteo de los

objetos de los que se trata (caramelos, pinceles, etcétera). Las cantidades continuas, como el

agua, la harina, el aserrín, entre otros, no son contables pero son medibles, es decir, se puede

seleccionar una unidad de medida y ver cuántas veces contiene dicha cantidad la unidad de

medida elegida. Por ejemplo, esta jarra puede llenarse con dos litros de agua.

"El proceso de medir consiste en comparar una cantidad dada de longitud, masa, volumen,

etcétera, con la longitud, masa o volumen respectivo de un objeto dado al que llamamos

unidad". Se puede decir que "medir es contar en el continuo" ya que requiere construir

unidades y contarlas.

Sin embargo, existen múltiples situaciones en las cuales no es necesario tener precisión

en el acto de medir, sino que una estimación puede resolver la cuestión; es decir, a través

de aproximaciones (alrededor de) o encuadramiento (está entre tanto y tanto). También hay

situaciones que se pueden resolver con apoyo en la percepción, por medio de comparaciones

directas –levantar dos mochilas una con cada brazo y estimar cual es más pesada– o estimar si

un mueble va a pasar por la puerta cuando es visiblemente mucho más angosto o mucho más

ancho. En esta acción, claramente no se necesitan instrumentos de medida.

Las situaciones y los modos de resolverlas, que no involucran necesariamente medir con

instrumentos convencionales de medición, constituyen los primeros acercamientos de los

niños al trabajo con las diversas magnitudes. Sin embargo, se desea remarcar que el doble

hecho de ser los problemas y respuestas más antiguos enfrentados por los hombres y los más

tempranamente enfrentados por los niños, no debe ocultar que siguen vigentes en las prácticas

sociales actuales –estimar la distancia necesaria para el frenado de un auto o de un camión,

estimar las medidas de un terreno o la inclinación de una escalera,…– ni que es necesario un

largo proceso para la comprensión y aprendizaje de los conocimientos involucrados en

la medición.

Por otra parte, la suficiencia o insuficiencia de ciertos procedimientos, la necesidad de

usar instrumentos de medición, el grado de error aceptable dependen de la situación. La

enseñanza debe favorecer la adquisición de conocimientos que permitan dominar situaciones

de complejidad creciente, a la vez que solicitar siempre el análisis de la situación y la reflexión

sobre los medios adecuados para su tratamiento y para el control sobre la validez de la

información que se produce, de las afirmaciones que se realizan.

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Como hemos dicho, es importante tratar de sacar provecho de situaciones que se presentan

en el aula o en la escuela, así como planificar algunas que promuevan:

- el trabajo con mediciones efectivas;

- la comparación y ordenamiento de objetos a partir de sus medidas;

- la estimación de medidas;

- el conocimiento y uso de diferentes unidades de medidas y de las relaciones entre ellas;

- el conocimientos de los instrumentos (y medidas sociales) de medición;

- la medición de distintas magnitudes seleccionando la forma de medición, la unidad y los

instrumentos pertinentes;

- el cálculo entre medidas.

En las fichas incluidas sobre medición en Hacer Matemática en 4º-, se tratan distintos

aspectos de la medición que analizaremos al presentar cada una.

Las magnitudes con las que se plantea trabajar son la longitud, el tiempo, el peso, la

capacidad y el área. Su estudio –salvo en el caso del área– ya ha sido iniciado desde los

primeros años de la primaria, realizando mediciones con los instrumentos adaptados y

utilizando unidades de medida convencionales o no. En este grado, esos conocimientos se

profundizan en particular por la utilización de números fraccionarios y decimales.

Uno de los objetivos del segundo ciclo es la comprensión de que las diferentes unidades

de medida forman parte de un sistema coherente de carácter decimal, con múltiplos y

submúltiplos de la unidad cuyos prefijos ponen en videncia tal característica. Los distintos

aspectos de este sistema, en relación con las distintas magnitudes, se irán incluyendo desde

cuarto hasta sexto grado en actividades que pondrán en juego, por ejemplo, la relación entre

los prefijos que designan los múltiplos y submúltiplos de las unidades (kilo - hecto - deci - centi

- mile) y la cantidad de unidades que forman cada uno de ellos.

En la siguiente tabla se enumeran las fichas que se analizan en este apartado.

Medición Fichas en que se trabaja

Longitud 3, 17, 34, 36, 40

Tiempo 9, 28

Peso 19

Capacidad 50

Área 72

LongitudFichas 3, 17, 34, 36, 40

Las adquisiciones de los años precedentes se consolidan y completan en cuanto al uso de

diferentes instrumentos para efectuar mediciones, la construcción de un orden de magnitud

para algunas unidades de medida del sistema métrico de uso habitual y la equivalencia entre

esas unidades para resolver problemas de estimación comparación o de cálculo. En particular

se presentan contextos cuyo estudio pueda ubicarse en Ciencias Sociales o Naturales y en los

cuales se involucra una gran cantidad de medidas de longitud.

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Ficha 3: Trazar y medir con regla

La realización de mediciones efectivas ha estado presente en las propuestas de los

primeros grados. Sin embargo, consideramos que en el inicio de 4º- grado, se retomen

algunas situaciones de medición, realizando estimaciones visuales y mediciones efectivas

con la regla. Se plantean además, algunas cuestiones de análisis de ese instrumento de

medición de longitudes tan familiar a los alumnos y, sin embargo, a veces tan desconocido:

¿Qué indican los números que figuran en la regla? ¿Por qué está indicado el 0? ¿A partir de

dónde se empieza a medir? ¿Por qué son necesarios tres tipos diferentes de rayitas?

Ficha 17: Ríos y montañas

Esta ficha está destinada a un trabajo de interpretación y tratamiento de información

presente en distintos portadores. Desde el punto de vista de la medición de longitudes,

aparecen medidas expresadas en metros y kilómetros y se establece una relación entre esas

dos unidades de medida.

Una de las discusiones presentes en la ficha corresponde a analizar qué unidad de

medida resulta más conveniente usar según la longitud que se desea comunicar. No se

introducen todas las unidades del sistema métrico para la magnitud longitud sino las más

usuales: kilómetro, metro, centímetro y milímetro.

Ficha 34: Construir segmentos

La actividad de los alumnos en esta ficha se centrará en utilizar fracciones de una cierta

unidad para medir y expresar longitudes de segmentos. Los segmentos a medir con la

unidad dada pueden tener una longitud mayor o menor a dicha unidad, y por lo tanto, ser

expresado por medio de fracciones mayores o menores que 1.

Utilizando una unidad arbitraria, como un segmento, se pone más en evidencia el

proceso de medición con una cierta unidad. Como dijimos, medir implica determinar por

medio de algún procedimiento cuántas veces entra la unidad elegida en el objeto que se

desea medir. El significado de contar y de cuántas veces deberá ser ampliado para incluir

cantidades no enteras, porque podrá suceder que la unidad no entre ningún número entero

de veces, pero sí, que entre media vez; la medida de la longitud del segmento podrá ser

expresada entonces como 12

u. O bien que, en el segmento a medir, la unidad entre dos

veces y un cuarto más y su medida sea expresada 2 14

u.

La idea de iterar la unidad de medida y de la necesidad de fraccionar la unidad, realizar

una medición, queda bastante oculta, cuando se usan instrumentos específicos como la

regla (metro de madera, de carpintero, regla, centímetro de la modista, etcétera) donde

ya están presentes las distintas unidades: metros, decímetros, centímetros, y ya se han

realizado las particiones necesarias de la unidad y las graduaciones correspondientes a las

distintas unidades se superponen.

Ficha 36: Parque "La laguna"

En esta ficha como en la siguiente se trabaja con distintas representaciones de

recorridos. En este caso, un esquema en un plano del lugar que incluye el recorrido y la

vegetación, y las distintas atracciones del parque: juegos para chicos, laguna, etcétera.

El otro esquema es una línea recta donde solo es posible representar distintos lugares

respetando las distancias que se indican en el otro esquema. Las distintas actividades

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corresponden a extraer información de las representaciones, obtener nuevas informaciones que

no figuraban y a operar con medidas de longitud.

Ficha 40: Viajes y recorridos

Al igual que en la ficha 17, esta ficha está destinada a interpretar y relacionar diversas

representaciones de ubicaciones y distancias, presentes en esquema de recorridos por rutas

de nuestro país. Desde el punto de vista de la medición, los alumnos tienen oportunidad de

determinar la longitud de un recorrido y aprender a leer las distancias en los mapas. Se trata de

conocimientos muy presentes en la vida en sociedad.

TiempoFichas 9 y 28

Desde primer grado los alumnos se han ido enfrentando a situaciones que les ayuden a

comprender que en la medición del tiempo coexisten varias unidades que funcionan con reglas

específicas, se trata de un sistema poco regular, que muestra un contraste bastante grande

con el sistema métrico o de numeración, cuyo valor de equivalencia entre las distintas unidades

es siempre diez. Desde las horas a los minutos, pasando por semanas y días y hasta de años a

meses, la relación entre unidades diferentes va tomando distintos valores: × 60, × 7; × 4; × 12;

etcétera. Ya han comenzado a buscar equivalencias entre algunas de tales medidas y en cuarto

grado se continúa con este trabajo a la vez que se agregan medidas fraccionarias.

En los grados superiores se presentarán otras formas complejas de representación de

medidas del tiempo, como las que usan distintas unidades: horas, minutos y segundos.

Por otra parte, la medición del tiempo pone en juego relaciones entre números, distintas

de las habituales. Los números "redondos" útiles para realizar descomposiciones o cálculos

mentales ya no son los terminados en ceros; para determinar cuántos días estuvo trabajando

una máquina que lleva encendida 509 horas, una descomposición apropiada será

480 + 24 + 5 la que permite calcular mentalmente que lleva 21 días y 5 horas funcionando.

Si se trabaja con horas, minutos y segundos, serán los submúltiplos de 60 los que puedan

proveer relaciones apropiadas, como 10, 15, 20, 30, etcétera.

Ficha 9: Tiempos para nacer, tiempos para crecer

Si bien podemos identificar esta ficha como destinada a la lectura, interpretación y

tratamiento de información, la analizamos en este apartado debido a que se trata de la

duración del periodo de gestación de mamíferos así como de incubación de huevos en

animales ovíparos. Pone en juego relaciones entre medidas dadas en distintas unidades, días

con meses o semanas con días.

En una de las actividades se incluye la representación del primer año de vida de un bebé en

una línea de tiempo, en la cual será necesario representar nuevas informaciones. Constituye

un antecedente a la representación de números en la recta numérica que será incluido en

fichas posteriores.

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Ficha 28: ¿Qué hora es?

La finalidad de esta ficha es reforzar el dominio de la lectura del reloj tanto de agujas

como digital.

Se pretende que los alumnos puedan distinguir entre la hora (referencia a un instante) y una

duración (referencia a un lapso de tiempo). La información que brinda el número 8 en una frase

como "Hoy me levanté a las 8 horas" no es la misma que en "Hoy trabajaré 8 horas", duración

que puede incluso ocurrir en distintos momentos del día.

Las formas diferentes de indicar la hora antes y después del mediodía –ya que los relojes

indican 12 horas mientras que el día dura 24– pueden seguir provocando dificultades a

alumnos de cuarto grado. Por ejemplo, las equivalencias entre escrituras como 07:35 a.m. de

los relojes digitales o de la computadora y la escritura 19:35 o bien 07 h 35 min.

La lectura de la hora en el caso del reloj de agujas es de gran complejidad debido a la

presencia de dos agujas de distinta longitud y a las dos graduaciones superpuestas en el

cuadrante (para medir las horas y los minutos).

La segunda parte de la ficha está destinada a situaciones donde es necesario realizar

cálculos de duraciones incluyendo o no la referencia a la hora en la cual transcurren y en los

cuales se hace variar la hora de referencia y las duraciones propuestas, expresadas tanto en

horas y minutos, como en fracciones de hora.

PesoFicha 19

En cuarto grado se sigue familiarizando a los alumnos con medidas de peso recurriendo

a contextos de la realidad, donde su presencia es permanente, incluso con pesos

correspondientes a fracciones de 1 kg: 12

kg, 14

kg, 1 kg y 12

, etcétera.

Ficha 19: Doña Martina

Además de la composición y descomposición de cantidades –por ejemplo, armar 2 kg con

paquetes de 14

kg–, así como de comparación entre distintos pesos o con 1 kg, se plantea

relacionar el peso de los paquetes con la cantidad necesaria para armar una cierta cantidad

de peso. Se trata de una situación de proporcionalidad inversa ya que el producto de los dos

valores de un par es constante. Si los paquetes son de 34

kg, para tener 3 kg se necesitarán

4 paquetes que es la tercera parte de la cantidad de paquetes necesaria para armar 3 kg con

paquetes de 14

kg. Este aspecto será analizado en el apartado de relaciones entre magnitudes.

Desde el punto de vista de la medición de peso, permite analizar que, para tener un cierto

peso, si los paquetes tienen un peso menor será necesaria una mayor cantidad de paquetes.

CapacidadFicha 50

En capacidad, como ya mencionamos en la magnitud peso, se trabajará únicamente

con algunas unidades del sistema que se completará en los años posteriores y se incluyen

medidas fraccionarias.

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Ficha 50: Compras para el cumpleaños

Esta ficha ya fue analizada en el apartado correspondiente a fracciones. En relación

con el proceso de medición, las actividades están dirigidas a familiarizar a los alumnos

con las medidas de capacidad expresadas en litros y sus fracciones. Se discute también

la independencia de la forma de los recipientes en la capacidad de los mismos. Además

se plantean cálculos con medidas de capacidad y cuestiones de representación gráfica de

envases que preserven las relaciones de tamaño.

ÁreaFicha 72

Desde el inicio con el trabajo de perímetro y área, se tomó la decisión de trabajarlos

conjuntamente con el objetivo de relacionar y a la vez diferenciar ambas medidas. En los

grados superiores se seguirán relacionando pero se incluirán actividades específicas de una y

otra medida.

Ficha 72: Campos cultivados

En esta ficha se plantea el trabajo con perímetro y área en un contexto de comparación

de superficies cultivadas. Se define cuándo dos áreas serán iguales si se puede transformar

una en otra a partir de recortar y armar sin superposiciones. En la ficha, este proceso puede

realizarse cortando y rearmando un plano sobre el otro o bien simulando tal transformación

sobre la base de partir cada campo en figuras que puedan ser comparadas entre ellas. Los

campos elegidos en la actividad pueden ser comparados si se los piensa como formados por

cuatro cuadrados o, en uno de los casos, por tres cuadrados y dos triángulos que permiten

componer el otro cuadrado.

Podemos afirmar que, así como las descomposiciones de números constituye un recurso

valiosísimo para realizar diversas tareas aritméticas, en particular de cálculo mental, las

particiones de las figuras permiten resolver tareas de comparación, construcción, descripción,

etcétera, en el nivel geométrico y en el de medición.

Tanto en los terrenos de la actividad inicial de la ficha como en otros que se incluyen, se

demanda una anticipación sobre la longitud del perímetro de los campos y una posterior

argumentación de por qué se afirma que son iguales o distintos. No se pretende la medición

del perímetro sino solo determinar si serán o no iguales, lo cual puede ser determinado al

comparar distintas partes del borde de las dos figuras, atendiendo a que algunos son lados de

los cuadrados y otros diagonales de los mismos cuya longitud es mayor que la de un lado. Esta

distinción representa una gran dificultad para alumnos de distintas edades –incluso cuando se

empieza a poder calcular su longitud a través del Teorema de Pitágoras– especialmente cuando

se requiere su uso como recurso para realizar ciertas tareas.

La presentación de otras figuras en papel cuadriculado fue usada para hacer avanzar en la

conceptualización del área, al agregar la afirmación de que dos superficies tendrán igual área si

están formadas por el mismo número de cuadraditos.

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Tratamiento de la información

En la vida cotidiana, constantemente estamos en contacto con información presentada en

distintos portadores: tablas, cuadros, esquemas, etcétera; extraemos información, volcamos

otras y, en general, tratamos informaciones muy diversas y para ello usamos conocimientos y

habilidades que no son patrimonio exclusivo de la matemática.

Es conveniente que desde los primeros grados de la escuela primaria se planteen

actividades relacionadas con los distintos soportes informativos y con tareas de lectura e

interpretación de sus contenidos.

Si bien no se identifica en el libro del alumno, las fichas destinadas a "Tratamiento de la

Información" ponen en juego contenidos de los ejes Número y operaciones y, Geometría y

Medida. En esta guía para el docente analizamos fichas completas o partes de las mismas

e incluimos comentarios sobre las actividades relacionadas con esta temática para poner

en evidencia aspectos particulares de las tareas relacionadas como las que se mencionan

seguidamente.

Formular preguntas a partir de distintos contextos, distinguir cuáles pueden ser respondidas

usando herramientas matemáticas y cuáles no, identificar fuentes de información, leer un

gráfico, un anuncio, una tabla, organizar, recolectar, seleccionar y comunicar información,

son algunos de los aspectos de la actividad matemática que pueden ser objeto de propuestas

específicas de enseñanza.

Muchos de estos aspectos han sido desarrollados en los apartados anteriores al analizar las

fichas de trabajo. Sin embargo, proponemos retomarlos y ampliarlos en este apartado bajo el

propósito de acrecentar su visibilidad.

A la escuela le cabe una enorme responsabilidad de formar a los niños para vivir en esta

sociedad en la que, como decíamos, la información circula sin cesar y de muy diferentes maneras.

Las tablas están tan presentes en la cotidianeidad, incluyendo la de los niños, que

pareciera que "naturalmente" y solo por contacto con ellas, los alumnos aprenden a extraer

e interpretar la información incluso desde distintos puntos de vista. En la colección Hacer

Matemática, consideramos que es necesario llevar a cabo un trabajo específico con este

portador de información.

En este apartado, además incluimos el análisis de la cuestión de relaciones entre

magnitudes, como un inicio al tratamiento de la Proporcionalidad.

En este bloque, correspondiente a Tratamiento de la Información las propuestas se

organizan en las siguientes líneas de trabajo:

Tratamiento de la información Fichas en que se trabaja

Extracción y tratamiento de información

presente en distintos portadores

9, 17, 40, 47, 52, 60, 62,

68, 71

Resolución de problemas 1, 2, 26, 32, 49, 57, 68

Relaciones entre magnitudes 19, 53, 61, 66

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Extracción de información presente en diversos portadoresFichas 9, 17, 40, 47, 52, 60, 62, 71

Con frecuencia, las fichas del libro presentan en su inicio un contexto con el cual se plantean

las actividades. Si bien los datos y las cuestiones son elegidos de modo que estén al alcance de

los niños, se buscó en todos los casos preservar la coherencia con la que se presentan en la

realidad. La información que se provee, las preguntas, los motivos por los cuáles ocurren ciertas

cosas o las condiciones que se imponen, tienen sentido en dichos contextos. Por ejemplo, en

la ficha 22 los niños podrán imaginar con cierta facilidad el juego de "Yo lo sé", que es un juego

de preguntas y respuestas acerca de la habitual programación televisiva.

Las condiciones que se van incluyendo en la ficha y que permiten un trabajo matemático

rico e interesante quedan suficientemente justificadas por el contexto.

En las propuestas se trata de responder o elaborar preguntas con la información que

pueden extraer de los portadores. En muchos casos, la información necesaria no está presente

en forma directa, sino que es necesario elaborarla. Algunas de las fichas citadas ya han sido

analizadas en apartados anteriores; de todos modos las referimos aquí porque incluyen algún

tipo especial de trabajo con los portadores de información y otras se han organizado en torno a

objetivos específicos de tratamiento de la información.

A continuación se enumeran algunos portadores con los que se trabajan en distintas fichas:

- Tablas presentadas para extraer información así como otras que es necesario ampliar o

elaborar en su totalidad. Fichas: 7, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 28, 29, 30, 35, 46,

56, 61, 67.

- Reglas de juegos. Fichas 5, 8, 18, 29, 35, 51, 54, 55, 62, 70. En el índice docente se

identifica en una columna todas las fichas en las que se incluyen juegos.

- Textos informativos sobre una cierta temática. Fichas 9, 52, 47, 68.

- Esquemas variados (plegados, técnicas, lugares, recorridos). Fichas 14, 23, 24, 31, 36, 40,

48, 61, 64, 72.

- Gráficos estadísticos con información variada. Fichas 17, 60.

- Información de medidas (peso, capacidad, precio). Fichas 19, 28, 36, 50, 61, 70.

- Planos o esquemas para representar lugares. Fichas 36, 72.

- Modelos de figuras geométricas. Fichas 3, 14, 18, 21, 27, 31, 38, 44, 48, 54, 63, 65.

- Recetas de comidas. Ficha 50.

Analizaremos algunas fichas que se pueden identificar como específicas de esta temática.

Ficha 9: Tiempos para nacer, tiempos para crecer

En esta ficha se provee variada información relacionada con períodos gestacionales y de

incubación que es necesario interpretar, relacionar con medidas dadas en otras unidades e

incluso volcarla en una nueva forma de representación que es una línea del tiempo. En este

último caso, se trata del desarrollo de un bebé durante el primer año de vida. En los demás

casos se solicita expresar las medidas dadas en días utilizando la unidad semana, o bien, de

semanas a meses.

Como en otras fichas seleccionamos contextos no matemáticos que pueden ser tratados

desde esta disciplina, de manera de ampliar su dominio de utilización a ciencias como Sociales

o Naturales. Esta ficha será analizada también en el apartado destinado a Medición, ya que la

información con la que se trata está referida a medidas de tiempo.

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Ficha 17: Ríos y montañas

La información que se provee en este caso está volcada en tablas e incluye las alturas de las

montañas más altas y la longitud de los ríos más largos del mundo.

Se trata de relacionar dos formas de representación diferentes: tabla y gráficos de barras

que a su vez incluyen barras verticales u horizontales. Los gráficos están realizados, se

conocen las variables representadas y los valores que toman. Queda para los alumnos

completar la tabla con el nombre de cada montaña o de cada río, luego de leer la información a

acerca de la altura o la longitud.

Ficha 40: Viajes y recorridos

En relación con este tema existen variados esquemas y formas de representación de

recorridos y distancias en algunos de los cuales están incluidas indicaciones de ciudades,

provincias, números y tipo de ruta, y en otras, no.

Las preguntas que se plantean están dirigidas a la extracción e interpretación de información

del esquema dado, así como a la obtención de nueva información; en particular, una muy

habitual al recurrir a esquemas de este tipo es averiguar la distancia entre dos ciudades con la

información de distancias parciales. También se incluye la comparación entre dos esquemas

diferentes del mismo trayecto.

Ficha 47: Armar problemas

En relación con tres contextos diferentes, se provee a los alumnos gran información con la

cual deberán elaborar preguntas que a su vez permitan obtener nueva información. Para eso,

deberán seleccionar algunos datos, establecer relaciones entre ellos y con la nueva información

que se pretende averiguar.

Elaborar preguntas involucra saber responderlas, pero exige además una redacción clara y

comprensible por un lector diferente del escritor.

El contacto permanente de los alumnos con preguntas elaboradas por el docente o los libros

no es suficiente para estar en condiciones de formularlas. La presentación y análisis de las

preguntas debería centrarse en analizar si lo que se obtendrá respondiendo a una pregunta

será información nueva o ya contenida en la información provista.

Ficha 52: La producción de té

Sobre la base de un texto (información sobre el origen de la planta del té de plantaciones

en nuestro país) se presenta un proceso de envasado y distribución del té cuya organización

en saquitos, cajitas, paquetes y bolsones permite explorar la recursividad de agrupamientos en

potencias de 10.

El estudio de las regularidades del sistema de numeración es el objetivo central de la ficha,

pero la incluimos en este apartado de Tratamiento de la información debido justamente a la

presencia de información variada sobre el proceso de envasado y distribución.

Ficha 60: Población de Argentina

Nuevamente se plantea gran cantidad de información. En este caso, sobre la población de

la Argentina en distintos censos, agrupados en distintas zonas geográficas. La información está

organizada tanto en tablas como en gráficos circulares y de barras, y las actividades plantean

la relación entre ambos y sus ventajas relativas para obtener nuevas informaciones o identificar

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ciertos fenómenos. Por ejemplo, el diagrama circular incluido permite afirmar más claramente

que de la tabla la población de la Ciudad de Buenos Aires y de la provincia de Buenos Aires es

aproximadamente igual a la del resto de las provincias.

Básicamente por ese motivo, existen diferentes formas de representación de una misma

información. En unas es posible apreciar más claramente ciertas situaciones que en otras.

Ficha 62: Concurso de preguntas

Mediante una situación referida a un campamento que involucra abundante información, se

plantea un juego en el cual el equipo ganador es el que más preguntas formuló acerca de ese

contexto. Esta ficha continúa y profundiza –agregando ciertas restricciones– el trabajo iniciado

en la ficha 47. No todas las preguntas otorgan puntaje, solo aquellas que permiten obtener

nueva información no presente en el enunciado. Por otra parte, no todas aportan el mismo

puntaje: si se repiten con otros equipos ganan menos puntos que si fue el único equipo en

formularla. Así se premia el análisis de qué nueva información se puede averiguar con la dada

y, a la vez, la búsqueda de nuevas informaciones no evidentes.

La actividad involucra varias tareas. La primera es pensar cuál puede ser una cuestión

que se conteste con los datos presentes en el problema elegido y formularla. En general, los

problemas que se les presentan a los alumnos ya incluyen las preguntas. Por lo tanto, formular

una pregunta de manera que sea comprensible para sus compañeros y cuya respuesta pueda

ser obtenida con los datos disponibles representa la dificultad de una tarea no habitual. Por

otra parte, al recibir un problema con la pregunta elaborada por sus compañeros, se enfrentan

a una formulación que tampoco es necesariamente clara y precisa o que incluso puede llegar a

ser ambigua. El intercambio entre los equipos, permite un análisis y reflexión posterior sobre la

formulación de las preguntas a partir de las dificultades manifestadas por el equipo receptor.

Otro nivel de análisis posterior corresponde a analizar si es necesario o no incluir todos

los datos en cada pregunta, y la posibilidad de formular distintas preguntas para obtener una

misma información.

Estas actividades suponen una fuerte reflexión de los alumnos sobre lo que hacen y sobre

lo que obtienen, y su "trasfondo" no son los conceptos matemáticos en sí (la suma, la resta, los

números...) sino la actividad matemática misma: su sentido, su potencia. Sin duda se espera que

todas las situaciones de aprendizaje alimenten la apropiación de los alumnos del sentido de la

actividad matemática, pero al mismo tiempo se quieren ofrecer contextos y condiciones de las

actividades que favorezcan una "vuelta" de los alumnos sobre su producción. Estas reflexiones

son contextuadas, particulares, no cobran un carácter de saber (formuladas en términos

matemáticos) y, sin embargo, pueden incidir en la calidad de los procesos y de las adquisiciones.

Ficha 68: Colección de estampillas

La gestión de los diferentes pasos de un problema con información variada y la validación

del resultado necesitan de una organización cuidadosa y control sobre los cálculos realizados y

la interpretación de los resultados en el contexto.

Por lo tanto, se solicita resolver el problema y escribir al lado de cada cálculo cuál es la

información que permite obtener el mismo.

Se conoce la resistencia de los alumnos a escribir la respuesta obtenida, consideramos que

esta resistencia se debe básicamente a dos motivos: por un lado, piensan que no es necesario

escribirla porque el resultado de la última cuenta da la cantidad solicitada. Y, por otra parte,

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por el esfuerzo que significa determinar a qué objetos corresponde esa cantidad obtenida. ¿Son

páginas? ¿Son hojas? ¿Son estampillas? ¿Son las que repartió o serán las más valiosas?

El trabajo de explicitar la información obtenida les permitirá tomar conciencia de a cuál

objeto alude cada cantidad obtenida, y así controlar la producción y, a la vez, poder escribir la

respuesta con cierta facilidad.

Ficha 71: Ogros y princesas

Las situaciones que plantea esta ficha pueden ser reconocidas por el docente como de

Combinatoria, es decir, como situaciones donde es necesario determinar la cantidad de

elementos de una colección, que precisa una identificación previa de los objetos a contar y el

desarrollo de recursos de conteo y de control.

Las pruebas que se imponen al personaje para salvar a la princesa exigen la búsqueda

exhaustiva de posibilidades, por ejemplo, de cuántas torres se pueden construir con tres pisos,

armadas con cubos de dos colores que se pueden repetir.

La reflexión sobre la producción de los niños debería incluir cuestiones sobre su control:

¿cómo saben que consideraron todas las posibles? O bien, ¿cómo pueden hacer para controlar

que estén todas? Estas preguntas deberían provocar la búsqueda de un cierto orden que facilite

el control de si están todas y si no habrá alguna repetida. Si bien no se pregunta cuáles son todas

las torres posibles, construirlas puede ayudar en este nivel a controlar lo mencionado antes.

Resolución de problemasFichas 1, 2, 26, 32, 47, 49, 57, 62, 68

La resolución de problemas constituye un punto esencial en nuestro proyecto de enseñanza,

en contextos del inicio de los procesos de aprendizaje de los distintos conocimientos y los

planteados fuera de estos procesos, como es el caso de los problemas que se analizarán en

este apartado con objetivos que iremos señalando. Los problemas están presentes así, por lo

tanto, en una amplia mayoría de fichas.

Los que incluimos en este apartado corresponden en general a situaciones más complejas

que las presentadas en el primer momento de exploración del aprendizaje de un cierto

conocimiento, ya sea por la cantidad de datos (no necesariamente por la dificultad de los

cálculos) ya sea por las relaciones que es necesario establecer entre ellos.

Otra característica de su inclusión es que no se vinculan directamente con una operación.

El objetivo es justamente promover que los alumnos se interesen por la situación, trabajen

para comprenderla y organicen un proceso de resolución que puede involucrar distintos pasos

y que, por lo tanto, exige un mayor control del significado de cada cálculo realizado. Se trata

también de poder poner en juego conocimientos aprendidos o en vías de aprendizaje en

contextos diferentes a los que se presentaron para su aprendizaje.

Se plantean, en todos los casos, problemas que pueden ser abordados por los alumnos e

inician un proceso de resolución, pero poseen en general ciertos aspectos para los cuales es

necesario "ir más allá". La interacción con sus compañeros de equipo en torno al problema

y a su resolución, la comparación y el análisis de procedimientos de sus compañeros, la

reflexión que plantea el libro o el docente, la construcción colectiva –en algunos casos– de un

procedimiento más avanzado que recupera ideas planteadas por los alumnos, les permitirá

avanzar en la resolución y apropiarse paulatinamente de recursos cada vez más avanzados.

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Ficha 1: Los dedos de la escuela

Esta es la primera ficha de 4º- grado y su inclusión se debió al interés de enfrentar a los

alumnos, desde el inicio del año, con una situación que puede ser tratada matemáticamente,

de la que sin embargo no se dispone de toda la información y será necesario averiguarla,

organizarla y tratarla.

Al tratarse de una situación compleja (es decir que involucra distintas preguntas, donde es

necesario elaborar representaciones, formas de tratarla, etc.) se deberá organizar los distintos

pasos para resolverla.

También se incluye una estimación previa, en la que se trata de imaginar una respuesta a la

pregunta "¿Cuántos dedos hay en la escuela?" Respuesta argumentada, no reducida a dar un

número cualquiera.

Por otra parte, como involucra a toda la escuela, será necesario que los alumnos puedan

ubicarse en toda la escuela. Con frecuencia, los alumnos conocen muy bien dónde se

encuentran los salones donde cursaron los grados anteriores y algunas oficinas, pero no dónde

se encuentran los salones de secundaria o cuántos y cuáles hay.

Incluimos aquí el relato de la maestra Cecilia Castillo respecto a esta ficha 21.

Los dedos de la escuela

Marzo 2010

Desde el momento de presentar la consigna, formulada únicamente con una pregunta,

fue recibida con mucho entusiasmo... Que los 28 alumnos se quedaran callados o diciendo

Uyyyyyyy... no es poco. La tuvieron que copiar y mientras lo hacían iban comentando cosas

como "son millones... son muchos... son miles", pero todos acordaron que seguramente no eran

menos de 2.000, algunos entre 2.000 y 4.000 y otros más de 4.000, pero nadie la opción 1.

La idea de multiplicar × 10 apareció rápidamente así como la corrección subsiguiente: "no,

por 20". Algunos propusieron multiplicar la cantidad de alumnos del salón × 20, pero enseguida

otros preguntaron si era toda la primaria o secundaria también... Entonces, seguían diciendo

"Uyyyyyy es mucho"…

Un alumno dijo que si sabían la cantidad de alumnos del año pasado y le restaban los que

se fueron y le sumaban los que vinieron iban a tener el número, pero esta propuesta enseguida

fue rechazada.

Aclaradas las cuestiones (averiguarían en toda la escuela), comenzaron a organizar el

trabajo. Discutieron sobre cómo se dividirían las tareas primero en grupo total y les resultó

preciso determinar también cuántos grados había en el colegio. Sacaron las cuentas y me

fueron diciendo, yo iba anotando en el pizarrón: Un primero, dos segundos, un tercero y así

hasta secundaria. Allí dijeron que la cantidad de alumnos de cuarto no necesitarían averiguar.

Surgió de una nena la cuestión de los nombres de los años del último tramo de secundaria y

acordaron llamarlos "años" solamente y no especificar si eran de EGB3 o tenían otro nombre.

Entonces quedó escrito en el pizarrón un listado con los grupos de alumnos de cuarto grado a

los que numeré y puse el nombre de uno de ellos para identificarlos, y debajo otra fila con los

distintos grados.

Se asignaron algunos años a cada grupo y cada equipo completó:

A mi grupo le tocó ir a:.................... Preguntar:............... tal como lo pedía la ficha.

Dijeron que lo mejor era preguntar a los profesores que estén en cada salón y rápidamente

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acotaron que debían anotar para no olvidarse, en particular el grado/año y la cantidad.

Entonces se me ocurrió hacer un simulacro, tomando a uno de ellos y pidiéndole que

saliera del salón e hiciera una pequeña actuación de qué y cómo preguntaría. Fue muy bueno

porque después discutimos si era suficiente o no la información y sobre las reglas de cortesía

necesarias para que los "atiendan" bien, ya que molestarían un poquito en hora de clase y en el

recreo sería más difícil. Probaron otros niños y fueron afinando distintas cuestiones.

Después cada equipo debió acordar quién preguntaría, qué preguntaría, quién anotaría...

Esta organización fue una de las conflictivas, claro…

Hoy partieron... en grupos, muy entusiasmados, con sus papeles en la mano. Y aparecieron

las primeras dificultades: salones no señalizados, salones cerrados, porque los alumnos estaban

en otras actividades, se los veía buscando en los pasillos a algún alumno para que les diga...

Parece evidente que todos los alumnos conocen toda la escuela y la ubicación de todos los

salones, pero realmente solo conocen en el que se encuentran y los anteriores que han transitado.

Algunos no se animaban a entrar y hablar, pero todos volvieron con las informaciones, salvo los

grupos que no encontraban a los alumnos en sus aulas, a las que volverían más tarde o al día

siguientes, según dijeron.

Con la información que trajeron, fui armando una tabla de dos filas en el pizarrón y les pedí

que la copien todos: la primera fila con los grados y la de abajo con las cantidades que me

dictaban. Separé la información en primaria y secundaria, pero no pudieron hacer los cálculos

porque quedaron incompletos los datos de quinto año. Mirando los totales decían que seguro

no son menos de 2.000 y sacaban cuentas parciales, como cuántos dedos aproximadamente

habría en primaria. Propuse continuar en una clase próxima, ya que faltaban datos y además el

módulo estaba terminando.

Al día siguiente volví a copiar los datos en el pizarrón. Ya habían averiguado la cantidad de

alumnos de 4º- año. Ahora sí podían contar con todos los datos. Construí una tabla en el pizarrón

con el curso, la cantidad de alumnos y debajo dejé un espacio vacío para completar a medida

que averiguaran la cantidad de dedos. Los alumnos debían comenzar a hacer los cálculos para

averiguar la cantidad de dedos de los cursos a los que habían ido a averiguar, mientras tanto.

Primaria

1º- A 2º- A 2º- B 3º- 4º- 5º- 6º-

24 21 21 29 13 24 19Secundaria

1º- 2º- 3º- 4º- 5º- A 5º- B 6º- A 6º- B

18 17 26 18 18 17 9 9

El hecho de que los datos estuvieran expuestos en el pizarrón los ayudaba a que pudieran

revisarlos siempre que les resultara necesario. Pienso que para el año próximo tal vez pueda

probar con que sean ellos mismos quienes busquen alguna manera de contar con todos los

datos y no organizar yo la tabla. Igual estos chicos tendrán muchas oportunidades de ampliar

una tabla presentada o incluso elaborar una tabla nueva.

Los procedimientos que utilizaron fueron muy variados y aportaron muchas cuestiones para

debatir. Por ejemplo: para averiguar la cantidad de dedos, algunos sumaron todos los totales de

cantidad de alumnos por curso y luego lo multiplicaron por 20.

Primaria: 24 + 21 + 21 + 29 + 13 + 24 + 19 = 151

Secundaria: 18 + 17 + 26 + 18 + 18 + 17 + 9 + 9 = 132

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Luego 151 × 20 y 132 × 20.

Aquí se hizo necesario que decidan cómo resolver estas multiplicaciones y usaron distintos

recursos. Dentro del mismo equipo, se pudo observar que algunos hicieron:

Primaria

151 × 20=

151 + 151 + 151 + 151 + ...+ 151 =

100 + 100 + 100 +...+ 100 = 2.000

(20 veces 100)

50 + 50 + 50 + 50 +… + 50 = 1.000

(20 veces 50)

1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 = 20

(20 veces 1)

2.000 + 1.000 + 20 = 3.020

Secundaria

132 × 20 =

100 + 100 + 100 + ...+ 100 = 2.000

(20 veces 100)

30 + 30 + 30 + 30 +….+ 30 = 600

(20 veces 30)

2 + 2 + 2 + 2 +…. + 2 = 40

(20 veces 2)

2.000 + 600 + 40 = 2.640

3.020+

2.640

5.660

Primaria

151 × 20 = 151 × 10 + 151 × 10 =

1.510 + 1.510 = 3.020

Secundaria

132 × 20 = 132 × 10 + 132 × 10 =

1.320 + 1.320 = 2.640

3.020 + 2.640 = 5.660

Otro equipo decidió calcular el total de alumnos en primaria y secundaria, como en el primer

caso, pero sumaron ambos totales antes de averiguar la cantidad de dedos. Lo hicieron así:

Primaria:

24 + 21 + 21 + 29 + 13 + 24 + 19 = 151

Secundaria:

18 + 17 + 26 + 18 + 18 + 17 + 9 + 9 =132

151 + 132 = 283

283 × 20 = 283 × 10 + 283 × 10 = 2.830 + 2.830 =

5.660

Las dificultades estuvieron relacionadas, en el primer caso, con el control de las cuentas, al

ser tan "largas" y además con la escritura del número final, porque el resultado de sumar 20 a

2.000 les suele resultar complicado de escribir más que de componer.

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En el segundo caso, se usa el conocimiento de que multiplicar por 20 resulta igual que

multiplicar por 10 dos veces y sumar estos resultados. También usaron cómo resolver la

multiplicación de cualquier número por 10.

Si bien varios equipos averiguaron la cantidad de dedos de esta forma, el cálculo fue resuelto

de diferentes maneras: en algunos casos avanzaron sobre la idea de multiplicar sumando

sucesivamente, trabajada por el grupo 1.

Por ejemplo:

151 × 20 = 1 × 20 + 50 × 20 + 100 × 20 = 20 + 1.000 + 2.000 = 3.020

132 × 20 = 2 × 20 + 30 × 20 + 100 × 20 = 40 + 600 + 2.000 = 2.640

También:

151 × 20 = 50 × 20 + 50 × 20 + 50 × 20 + 1 × 20 = 1.000 + 1.000 + 1.000 + 20 = 3.020

132 × 20 = 50 × 20 + 50 × 20 + 30 × 20 + 2 × 20 = 1.000 + 1.000 + 600 + 40 = 2.640

En otro equipo, las estrategias elegidas fueron otras. Ellos decidieron calcular la cantidad

de dedos en cada curso y luego sumar los totales. Una vez que comenzaron a trabajar, uno

de los integrantes sugirió que en vez de que todos calculen todo, cada uno sería el encargado

de ciertos cursos y, luego, sumarían los totales. Enseguida comenzaron a discutir sobre qué

curso le "tocaría" a quién, cuántos y lo anotaron en la carpeta para no olvidarse. Josué sugirió

que para averiguar cuántos dedos había se podía calcular primero por 10 y luego sumar ese

resultado dos veces. Pregunté si se comprendía lo que él decía y los demás en el equipo dijeron

que sí. Les dije que no era necesario hacerlo así, pero si les facilitaba no había problemas en

que todos hagan las cuentas usando esa manera.

Una vez que todos averiguaron la cantidad parcial de dedos, volcaron esos datos en una sola

hoja, dictando cada uno sus resultados. La dificultad con que se encontraron fue que no tenían

forma de estar seguros de que los cálculos resueltos por el otro estaban bien y esto afectaría el

resultado total. Les propuse que antes de calcular el total definitivo realicen controles entre todos

para verificar o corregir si lo consideraban necesario.

En la hoja fueron resolviendo así:

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Primaria

24 × 20 + 21 × 20 + 21 × 20 + 29 × 20 + 13 × 20 + 24 × 20 + 19 × 20 =

24 × 20 = 24 × 10 + 24 × 10 = 240 + 240 = 480

21 × 20 = 21 × 10 + 21 × 10 = 210 + 210 = 420

29 × 20 = 29 × 10 + 29 × 10 = 290 + 290 = 580

13 × 20 = 13 × 10 + 13 × 10 = 130 + 130 = 260

19 × 20 = 19 × 10 + 19 × 10 = 190 + 190 = 380

Secundaria

18 × 20 + 17 × 20 + 26 × 20 + 18 × 20 + 18× 20 + 17 × 20 + 9 × 20 + 9 × 20

18 × 20 = 18 × 10 + 18 × 10 = 180 + 180 = 360

17 × 20 = 17 × 10 + 17 × 10 = 170 + 170 = 340

26 × 20 = 26 × 10 + 26 × 10 = 260 + 260 = 520

9 × 20 = 180

480 + 420 + 420 + 580 + 260 + 480 + 380 + 360 + 340 + 520 + 360 + 360 + 340 + 180

+ 180 =

4 × 400 + 2 × 500 + 1 × 200 + 6 × 300 + 2 × 100 =

1.600 + 1.000 + 200 + 1.800 + 200 = 4.800

6 × 80 + 3 × 20 + 4 × 60 + 2 × 40 + 1 × 30 =

480 + 60 + 240 + 80 = 860

4.800 + 860 = 5.660

Fue un trabajo arduo, por momentos polémico, ya que generó conflictos, discusiones, pero

todo el tiempo muy motivador. La puesta en común demandó otra clase, debido a que había

mucho para conversar, analizar, comparar. Como conclusiones generales quedaron entre otras

estas:

Cuando los números son grandes, conviene pensar formas para resolver las multiplicaciones

con otras multiplicaciones antes que hacerlas como sumas.

Es importante controlar paso a paso los cálculos para no tener que controlar todo junto al

final.

Sirve mucho pensar un número multiplicado por 20 como dos veces multiplicado por 10.

Es importante decidir qué hacer antes de comenzar porque se pueden encontrar caminos

más cortos para resolver lo mismo.

Ficha 2: En el comedor

La situación que se plantea incluye tres datos correspondientes al total de lugares en las

mesas (96), a los lugares en cada mesa (8) y a la cantidad de niños que están comiendo

hoy (72) y se presentan seis preguntas de las cuales hay que determinar si es posible o no

responderlas con la información de la que se dispone, y si se puede, determinar la respuesta.

La información provista es de distinta índole; se informa sobre las características del

comedor con datos que pueden considerarse permanentes durante al menos un cierto tiempo:

es lo que hay… Por otra parte, se provee información de un día en particular, la cual variará

seguramente en otros días. Esta cuestión entre lo estable y lo circunstancial será centro de la

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reflexión en algunas de las preguntas que se presentan. Las cinco preguntas que sí se pueden

responder apelan a operaciones diferentes: divisiones o restas.

Otra de las cuestiones importantes en esta tarea es que los alumnos distingan entre lo

posible y lo real. Por ejemplo, la pregunta: "¿Cuántas mesas están completas hoy?" no se

puede responder, ya que no hay suficiente información para hacerlo. Sin embargo, la pregunta:

"¿Cuántas mesas se pueden completar con los chicos que vinieron hoy a comer?" sí se

puede responder, porque la matemática provee herramientas para afirmar que el cociente

de la división entre el número de lugares en total por el número de lugares en cada mesa

indicará el número de mesas existentes en el comedor, aunque los alumnos recurran a otros

procedimientos para determinarlo, como restar o sumar.

Otro aspecto a señalar tiene que ver con demandar una misma información a partir de

preguntas formuladas de manera diferente. Las respuestas a las preguntas: "¿Cuántos lugares

quedaron vacíos hoy? y ¿Con cuántos niños más se completarían todas las mesas?" proveen la

misma información. De este modo, se pretende lograr que los alumnos puedan ubicarse en la

situación y responder a las cuestiones de acuerdo con dicho contexto y no según el formato de

la pregunta o de las palabras inductoras incluidas en ella: "¿Dice total? Tengo que sumar… dice

¿cuánto me queda? Entonces resto…"

Además, se debería discutir que la matemática permite determinar cuántos lugares vacíos

quedaron hoy, pero no cuáles son o dónde están ubicados. Pretendemos plantear así una

Matemática que analiza las posibilidades, pero que no toma decisiones ni informa sobre una

realidad circunstancial.

Ficha 26: El peso de los chicos

En este problema, se informa sobre los pesos de tres niños pesados de a dos: Luis y Manuel

80 kg; Manuel y José 85 kg, y Luis y José 81 kg.

La primera pregunta del problema no demanda averiguar el peso de cada uno, sino si

ciertos pesos pueden o no ser los pesos de los niños. Es decir, se plantea inicialmente una

cuestión de validación. Estos datos están elegidos como para que se verifiquen solamente dos

de las tres sumas presentes en el enunciado.

Con esta pregunta se pretende centrar la discusión en una de las cuestiones esenciales de

la Matemática, que es determinar la validez de las afirmaciones que se realizan.

Por ser esencial en la Matemática, se pretende determinar que, si una respuesta es o no

solución de un problema, sea una de las tareas de los alumnos –no de los docentes– tanto

como lo es la resolución de los mismos.

Después de esta validación se pregunta sobre el peso de cada uno. Para averiguarlos

se pueden realizar aproximaciones partiendo, por ejemplo, de considerar que los pesos de

cada uno deben rondar los 40 kg, ya que de a dos pesan aproximadamente 80 kg o un poco

más. Pero esa es la solución que se presentó para determinar si era válida. Y no lo es porque

entonces Luis y José juntos pesarían más de 81 kg.

Como la última suma debería dar menos de lo que se obtiene, los alumnos podrían pensar que

es necesario disminuir el primer peso propuesto para Luis.

Si Luis pesara 39 kg, Manuel debería pesar 41 kg y José 44 kg. Como se ve, la última suma

(peso de Luis más el de José) daría 83 kg que está más cerca de 81 kg, peso real de ambos.

Esta constatación puede apoyar que se siga probando de disminuir el peso de Luis. Si fuera

38 kg, Manuel pesaría 42 kg y José 43 kg, obteniendo así la solución del problema ya que

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estos tres pesos verifican las condiciones del problema. Los niños mismos deberían –a partir

de la discusión inicial– poder determinar si han llegado o no a la solución del problema.

Si bien se trata de tantear y probar con ciertos números, no significa que se prueba con

cualquier peso. El docente debería enfatizar en la confrontación esta forma razonada de actuar,

preguntando, por ejemplo, ¿por qué no empezaron probando con otros pesos de alguno de los

chicos, como 80 kg o 10 kg? ¿Por qué se les ocurrió que había que disminuir el peso de Luis y

no aumentarlo?

Se pretende así, poner en evidencia –planteando problemas de reflexión– que se puede

probar con algunos valores, pero que no vale la pena probar con cualquiera sin extraer

informaciones de ese tanteo.

Pensar qué se obtiene y por qué, permite reducir claramente el número de pruebas realizadas.

También es posible realizar un procedimiento aritmético, es decir, usando operaciones que

permitan obtener los valores –procedimiento que puede no aparecer entre los alumnos de

4ºgrado a principio de año– determinar el peso de cada uno a partir de sumar los tres pesos

que se conocen. Al sumar 80 + 85 + 81 se obtiene 246 kg que es sumar dos veces el peso de

cada niño: L + L + M + M + J + J = 246 (si se identifica el peso de cada niño con la primera

letra de su nombre). Entonces la suma de los pesos de los tres chicos será L + M + J = 123

que es la mitad de 246, y como M + J = 85, entonces Luis debe pesar 38 kg. Y a partir de este

peso calcular los otros dos.

En muchas situaciones en Matemática se puede recurrir a usar distintas letras o símbolos

para indicar objetos o personas o características de personas, sin necesidad de escribir toda

la palabra. Sin embargo, esta practicidad puede esconder confusiones, por ejemplo en este

caso, L + M + J no debería ser leído como la suma de Luis más Manuel más José, sino la

de sus pesos, es el peso de Luis más el de Manuel y el de José el que es igual a 123. El

docente deberá aclarar estas cuestiones y utilizar correctamente cada letra indicando lo que

efectivamente representa, así como pedir a los niños que hablen de esa manera.

Si uno o más alumnos tratan de establecer relaciones entre los pesos de los chicos, en el

sentido del razonamiento anterior, el docente puede ayudarlos en este intento tratando de que

todos puedan ir comprendiendo lo que están haciendo. Esto no significa que con esto serán

capaces de realizar un procedimiento similar en otro problema, pero han visto que existen otros

procedimientos más allá del tanteo. El tanteo, con las características que hemos mencionado,

constituye un procedimiento válido en algunas situaciones, y no en otras, ya que datos muy

diferentes o números muy grandes puede volverlo largo y tedioso.

Ficha 32: La torre de latas

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Las latas de conservas, e incluso frutas como las sandías (ficha 30 de Hacer Matemática en

3º-) que se colocan en una manera particular para ofrecerlas a su venta, proveen un contexto

interesante para trabajar con el conteo de una colección organizada de cierta manera. En este

caso, las latas se organizan en pisos de forma cuadrada disminuyendo la cantidad de latas en

cada piso.

En la torre de la ficha, la base es un piso de 16 latas (se incluye un esquema de las bases

de las latas, mostrando la organización en cada piso) que va disminuyendo desde 9, luego a 4

y finalmente a 1, ya que en cada piso las latas se colocan en el centro de otras 4. Se pretende

que tanto la cantidad de latas por piso como la forma de ubicarlas sean determinadas por los

mismos alumnos en la realización de las actividades planteadas.

En las preguntas se trata también de averiguar el total de latas de la pirámide.

Si bien seguramente los niños de cuarto están en condiciones de comprender la forma de

organización e interpretar el gráfico, no se les pedirá que ellos mismos realicen un dibujo

de otras torres, pero sí esquemas –como el incluido en la ficha– de cada piso o de los que

necesiten para responder. Por ejemplo, pueden hacer un esquema del piso formado por 25

latas para determinar la cantidad de latas que tendría el siguiente piso o el anterior.

El docente debería solicitar una forma de trabajo que se plantea tanto en esta ficha como en

otras, referida a utilizar –cuando sea posible– la información que se ha obtenido previamente

para obtener nuevos datos. Por ejemplo, si la torre de latas se inicia con 25 latas, al determinar

el piso siguiente y constatar que tiene 16 latas, deberían poder relacionar esa torre con la del

dibujo de la ficha que se inicia precisamente con 16 latas.

También se pregunta cuántas latas se necesitaría para armar un piso inicial mayor, es decir

a partir de un piso de 25 latas necesitará averiguar tanto la cantidad de latas del piso superior

(16) como de uno inferior (36).

Esto les exigirá a los alumnos construirse una cierta imagen mental –apoyada eventualmente

en algún esquema– de la posición de las latas en cada piso en relación con los contiguos.

A lo largo de las actividades propuestas podrán ir obteniendo las cantidades de latas de

cada piso: 1, 4, 9, 16, 25, 36… Si bien no será mencionado a los alumnos, el docente puede

reconocer que se trata de los números llamados cuadrados perfectos, ya que son los números

con los cuáles se pueden construir cuadrados.

Por otra parte, podrá ir obteniendo los totales de latas en cada torre que armen, que podrán

organizarse en una tabla:

Torres de … pisos 1 2 3 4 5

Cantidad de latas 1 5 14 30 55

La organización de los datos les puede permitir resolver con mayor facilidad el último

ejercicio, que se trata de determinar si con ciertas cantidades se puede o no construir torres

en las condiciones dadas: que los pisos sean cuadrados y que terminen en una lata. Con los

valores presentes en la tabla será posible y con los otros no.

Puede resultar muy interesante, desde el punto de vista matemático, retomar la ya citada

ficha 30 de Hacer Matemática en 3º- : Chicharras y sandías, a fin de comparar las dos formas

diferentes de construir una torre de latas o una montaña de sandías. Se trata en los dos

casos de una colección organizada en una cierta forma regular, pero esa forma cambia

considerablemente de una a otra. En el caso de las sandías, en cada piso se coloca una

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sandía menos que en el anterior. En cambio en el caso de las latas, en cada piso se forma un

cuadrado que tiene una lata menos de lado que el del piso superior, pero eso no significa una

lata menos.

En cierto modo ambas formas de organizar las pilas se basan en darle cierta estabilidad,

cada sandia se coloca entre dos de la pila inferior, en el caso de las latas, cada lata se apoya en

4 del piso inferior.

Ficha 49: Las dos iguales

La situación trata de armar dos cajas con igual cantidad de bombones a partir de dos cajas

que tienen distinta cantidad. De las dos preguntas posibles: "¿Cuántos bombones tendrá cada

caja? y ¿Cuántos bombones tendrá que pasar Mariana de la caja más grande a la más chica

para que ambas tengan la misma cantidad?" Se eligió esta última que les exige a los niños ir un

poco más allá de un primer cálculo.

El primer problema presenta una caja de 9 y una de 15 y podrán recurrir a distintos

procedimientos. Probablemente muchos de ellos probarán distintos datos hasta llegar a 12

en cada caja. Sin embargo ésta no es la respuesta del problema y, para responder, a veces

abandonan el procedimiento y la información hallada y vuelven a pensar en las dos cajas de

distinta cantidad: 15 tiene 6 bombones más que la más chica, entonces los pasan a la más

chica suponiendo que de esa manera obtendrán que las dos cajas tengan la misma cantidad,

pero esto no se logra.

Como procedimiento correcto pueden recurrir a sumar ambas cantidades y dividirlas

por 2 para determinar cuántos bombones tienen que tener las dos cajas, y a partir de esa

información restan de la grande la cantidad que le falta a la de menor cantidad para llegar a

12, es decir 3. O bien restan ambas cantidades 15 – 9 = 6 que es la diferencia entre ambas,

y la dividen por 2 para obtener cuántos bombones es necesario pasar de la caja grande a la

chica para tener iguales.

Se pueden realizar algunas consideraciones sobre estos dos procedimientos; en particular,

el de la resta de las cantidades es un procedimiento que pueden llegar a encontrar los alumnos

que en una primera acción pasaron la diferencia completa a la caja chica, como esto no

les permite tener dos cajas de igual cantidad, pueden pensar en pasar menor cantidad de

bombones y descubren que se debe pasar la mitad de la diferencia.

Por otra parte, puede observarse que el de la suma ocupa un cálculo más.

La finalidad de esta ficha es que los alumnos, trabajando con distintas cantidades de

bombones y con distintas preguntas, descubran varios aspectos de este problema.

- Se pueden dibujar todos los bombones y borrar de una caja y dibujar en la otra, pero no es

un procedimiento práctico si las cantidades son mayores.

- A veces no se puede resolver el problema, debido a que será necesario contar como

cantidades de bombones dos números pares o dos números impares, de las cuales se puede

obtener la mitad. Si las cantidades corresponden a un número par y otro impar, no se podrá

dividir la cantidad total por 2 sin que sobre un bombón.

- Se pueden resolver por distintos procedimientos: sumando o restando las cantidades

iniciales y dividiendo por dos, pero que uno de ellos es más corto que el otro.

- Pueden aprender a resolver un tipo de problema no solamente un problema, ya que se les

pide que piensen –y escriban– cómo enseñarle a un compañero a resolver un problema como

el de Mariana con cualquier cantidad inicial de bombones.

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- Pueden adaptar alguno de los procedimientos iniciales para resolver un problema como los

anteriores, pero esta vez se disponen de 3 cajas de distinta cantidad de bombones y se trata de

que todas tengan la misma cantidad.

Ficha 57: Los peluches

Se retoma en esta ficha una situación de determinar cuántas caritas de osos de peluche

se pueden armar, teniendo distintas cantidades de orejas, ojos, narices y bocas, que en los

primeros grados de primaria también puede ser presentada con cantidades menores y con la

posibilidad de completar las caritas de los osos en dibujos. En este caso, se trata de cantidades

mayores: 69 orejas, 74 ojos, 38 bocas y 42 narices y se incorpora una nueva pregunta que se

analiza más abajo.

Un primer paso en la resolución debería ser averiguar cuántas caras de osos se podrán

armar teniendo en cuenta que cada una necesita dos ojos y dos orejas, pero una única boca y

nariz. ¿Para cuántas caritas alcanzarán las orejas? ¿Y los ojos? Etcétera.

A partir de esas cantidades será necesario determinar la cantidad mayor posible que sea

común a los cuatro datos para responder a la pregunta.

Nuevamente se pide a los alumnos explicar y escribir, cómo pueden determinar si la

cantidad obtenida es respuesta al problema, siguiendo con el propósito de que sean los

mismos alumnos los que puedan determinar la validez de sus afirmaciones o resoluciones.

La respuesta correcta es 34 caritas, y los niños pueden mostrar que es posible construirlas

con las cantidades de las que dispone la abuela, pero ¿no se podrán construir algunas más?

Por ejemplo ¿35 no puede ser la respuesta?

El último ejercicio avanza en esta situación preguntando cuántas orejas, bocas, etcétera,

debería comprar la abuela Juana para poder usar lo que le había sobrado después de armar los

34 ositos.

Una vez determinada –en el primer paso– la cantidad máxima que se puede construir es

necesario recalcular las cantidades para determinar cuántos de cada uno le sobrarán y obtener

así: que sobran 1 oreja, 6 ojos, 4 bocas y 8 narices.

Ahora será la cantidad de 8 narices que alcanzan para 8 caritas, la que marcará lo que es

necesario comprar. Le faltarán 4 bocas, 10 ojos, y 15 orejas.

Si bien no se piden las cantidades mínimas, sería bueno que el docente pregunte si las

que responden son las cantidades mínimas que necesita comprar o si podría comprar menos

que esas.

Este problema permite percibir claramente lo que mencionábamos como características de

este tipo de problemas: su complejidad y, a la vez, el "interés" no está dado por la cantidad o

tamaño de los números involucrados, sino por la necesidad de organizar los distintos pasos

para resolverlos, establecer variadas relaciones entre los datos y poder en cada paso, controlar

la pertinencia de las operaciones realizadas y de las informaciones obtenidas en relación con

el contexto.

Ficha 68: Colección de estampillas

Nuevamente presentamos un problema con varios datos, todos relacionados con las

estampillas de un coleccionista. Puede ser resuelto con una resta, una multiplicación y una

división, operaciones que en algunos casos pueden ser resueltas mentalmente y se pide

también que escriban al lado de cada cálculo qué información les permite obtener ese cálculo.

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Dado que muchos de ellos permitirán obtener cantidades de estampillas, cabe la pregunta

del docente: "¿De cuáles estampillas están hablando? Todas son estampillas…" Explicitar de

cuáles estampillas se trata puede ayudar a los alumnos a establecer relaciones estrechas entre

los números y operaciones, y el contexto en el que se está trabajando. De esta manera se

les va asignando significados que posteriormente les permitirán trabajar con las operaciones,

olvidando en cierto modo de qué cantidades se trata en la situación.

En la página 185 del Período de Afianzamiento y revisión se plantea un nuevo problema:

averiguar a través de las pistas que dan los integrantes de una orquesta juvenil, cuál es el

instrumento que toca cada uno. Se menciona a los alumnos que pueden armar una tabla si

lo necesitan y marcar de cierta manera cuando dan una respuesta positiva y de otra cuando

es negativa. Si en las distintas fichas se fue analizando el uso de las tablas, probablemente los

alumnos recurran a ellas en este caso. Sin embargo, si ningún alumno armó una tabla, después

de la resolución y discusión de respuestas diferentes si las hay y de distintos procedimientos, el

docente puede mostrarla ya que es una de sus responsabilidades proveer de nuevos recursos

para organizar la información.

G S F B

P X X

J

A

F

La información que provee Paulina: No toco guitarra ni flauta, puede

ser indicada en la tabla con dos cruces en Guitarra (G) y en Flauta

(F).

La información de Juan: Toco la batería, se podrá indicar con un

circulito en el lugar correspondientes, pero también con cruces en

los demás instrumentos y en los correspondientes a los demás

niños, ya que cada uno toca un único instrumento y diferente del de

los demás.

Relaciones entre magnitudesFichas 19, 53, 61, 66

En 4º- grado se pretende iniciar un trabajo más sistemático sobre relaciones entre

magnitudes que se profundizará en los años superiores con el estudio explícito de la

proporcionalidad.

Ficha 19: Doña Martina

Retomamos esta ficha para mencionar una actividad que ha sido analizada en el apartado

de Fracciones y de Tratamiento de la Información: la relación que se establece entre la cantidad

de paquetes que se necesitan para armar 3 kg si se dispone de paquetes de distintos pesos.

Así, se necesitarán 12 paquetes de 14

kg para tener 3 kg, en cambio si los paquetes tienen el

doble de peso: 12

kg no se necesitará el doble de paquetes sino la mitad. La explicación de este

fenómeno puede encontrarse en que si se dispone de paquetes del doble del peso, para tener

el mismo peso, será necesaria una menor cantidad de paquetes. Para determinar con precisión

G S F B

P X X X

J X X X O

A X

F X

3

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cuántos, se podrá considerar que en los dos casos hay que reunir 3 kg, o sea que 14

por el

número de paquetes debería ser igual a 12

por el número de paquetes, producto constante que

caracteriza a la proporcionalidad inversa. Sin pretender introducir la idea de proporcionalidad

inversa ni hacer descubrir ni conocer esta propiedad (producto constante) a los alumnos, la

actividad tiene el objetivo de –en cierto modo– empezar a cuestionar la regla tan "natural" para

los niños de que al doble seguramente le corresponde el doble.

Sin embargo, pretendemos crear una cierta actitud frente a este tipo de problemas que

consiste en preguntarse si se podrá o no utilizar tal regla. Entonces, la siguiente actividad

corresponde a un uso simultáneo de ambos tipos de relaciones de proporcionalidad, ya que se

presenta una tabla que pone en relación las dos magnitudes anteriores, pero esta vez para 6 kg

en lugar de 3 kg.

Si se llena la tabla en forma independiente de la anterior, nos encontramos nuevamente

frente a una proporcionalidad inversa: se necesitan 24 paquetes de 14

kg y 12 de 12

kg que son

justamente el doble de las cantidades correspondientes a 14

y a 12

en la tabla anterior. Pero la

consigna invita a los alumnos a recurrir a las cantidades obtenidas en la tabla anterior para

determinar las de la nueva tabla, correspondientes a 6 kg. En ese caso se reencontrará una

relación de proporcionalidad directa: si para 3 kg se necesitan 12 paquetes de 14

kg, para tener

6 kg se necesitará el doble de paquetes de 14

kg.

Reiteramos que en este nivel de escolaridad no se introducirán estos conceptos, pero sí

su tratamiento, que los alumnos podrán validar determinando con sumas de pesos las

cantidades necesarias.

Ficha 53: Muchas monedas

En este caso en el contexto del dinero, en una de las actividades incluidas se trata de

determinar cuántas monedas de distintos valores (su denominación) se necesitan para tener

$ 1. Es decir, se plantea relacionar la cantidad de monedas necesarias para armar un peso

cuando se varía el valor de cada moneda.

Entonces, si para tener $ 1 se necesitan 10 monedas de 10 centavos, si las monedas son de

20 centavos no se necesitarán 20 monedas, sino la mitad, ya que el valor es el doble. En esta

situación no se respeta ni la regularidad numérica de que si a 10 le corresponde 10, entonces,

a 20 le corresponde 20; sino que tampoco, al doble de valor le corresponde una cantidad doble.

Ficha 61: El negocio de don Lucas

En el contexto de compras y ventas en un negocio, se pretende poner en juego las

propiedades de las relaciones de proporcionalidad ya citadas, solamente como recursos para

resolver problemas: por el doble de objetos del mismo tipo a comprar, si no hay ofertas, se

deberá pagar el doble.

Por otra parte, tal como indica la placa de teoría, se informa que si se conoce el precio

de dos cantidades, se puede calcular el precio de la suma de esas cantidades; y también, si

se conoce el precio unitario, se puede averiguar el precio de otras cantidades multiplicando

por ese precio. Reencontramos en este caso, una situación de multiplicación ya conocida.

Sin embargo, el valor unitario mostrará completamente su interés en situaciones donde no se

conozca, y averiguarlo permitirá reducir la situación de proporcionalidad a una situación de

multiplicación por el precio unitario.

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En las últimas actividades, se presentan algunas donde no existe ninguna relación entre los

datos y, por lo tanto, no se podrán averiguar nuevas informaciones. Esta es una característica

que justifica el estudio de las relaciones entre magnitudes, ya que si se la conoce, es posible

obtener nueva información; esto se llama interpolar y extrapolar. Por ejemplo, si la relación se

establece entre los días de las semana y la cantidad de fotocopias realizadas por don Lucas,

más allá de cierta estadística que se puede llevar sobre las ventas durante las semanas,

conocer las cantidades de fotocopias realizadas el lunes y el martes no permite averiguar la

cantidad que se realizarán el miércoles o el jueves.

Ficha 66: ¿Cuál es más barato?

En relación con la proporcionalidad se pueden identificar básicamente dos tipos de

problemas: los llamados de cuarto proporcional, como los trabajados en la ficha 62. Se conoce

que cierta cantidad de objetos valen tal precio y se quiere calcular el precio de una cantidad

distinta de objetos. Es decir, se conocen tres valores y se quiere calcular el cuarto. Este cálculo

se hace suponiendo que se está enfrente de una situación de proporcionalidad, por eso la

aclaración de que no hay ofertas y que los productos son del mismo tipo (marca y contenido).

Otro tipo de problemas es el que corresponde a la llamada comparación de razones, en

este caso se conocen cuatro datos y se pretende determinar si hay o no proporcionalidad.

En los problemas que se plantean a los alumnos se han seleccionado los datos que permitan

razonamientos acordes con este nivel escolar. Por ejemplo, si 4 paquetes de galletitas cuestan

en un negocio $ 28 y en otro 5 paquetes de la misma marca y cantidad cuestan $ 35, ¿en cuál

conviene comprar las galletitas? Se podría esperar que se pudieran comprar en cualquiera de

los dos negocios… ¿Cómo saber si es así? Este es un caso donde conviene averiguar el valor

unitario: en el primer negocio cada paquete cuesta $ 7, ¿costará lo mismo un paquete en el

segundo negocio? Sí, ya que 5 × 7 = 35. Ahora bien, por ejemplo, si en el segundo negocio

el precio de 5 paquetes fuera $ 34, sería una oferta, en cambio, si costara $ 36, convendría

comprar en el primer negocio.

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