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CONTENIDO

1.- CAMPOS Y POTENCIALES ELÉCTRICOS.------------------------ 5

1.1.-Ley de coulomb.------------------------------------------------ 5

1.1.1.-Estructura de átomo y carga eléctrica.---------------- 5

1.1.2.-Conductores y aislantes.------------------------------- 7

1.1.3.-Ley de coulomb.---------------------------------------- 9

1.1.3.1.- Sistema de unidades.------------------------ 10

1.1.3.2.- Aplicaciones de la Ley de Coulomb.--------- 11

1.2.- Campo eléctrico.---------------------------------------------- 20

1.2.1.- Calculo de E a partir de Ley de Coulomb.----------- 29

1.2.2.- Representación de E con ayuda de las líneas de fuerza. 30

1.2.3.- Campo de un dipolo.---------------------------------- 37

1.2.4.- Campo eléctrico E para una distribución continua.--- 39

1.2.4.1.- Cálculo de E con distribución de carga continua 40

1.2.5.- Problemas de campo eléctrico E.---------------------- 46

1.2.6- Teorema de Gauss.------------------------------------- 49

1.2.7.- E entre láminas paralelas.----------------------------- 52

1.3.- Potencial Eléctrico----------------------------------------------- 53

1.3.1- Energía potencial.---------------------------------------- 53

1.3.2.- Potencial (V).-------------------------------------------- 58

1.3.2.1.- Diferencia de potencial.------------------------ 59

1.3.2.2.- Expresión para (V) de una carga punto.----- 59

1.3.3.- Potencial V para distribución de carga continúa.----- 63

1.3.4.- Energía potencial para unsistema de cargas.-------- 63

1.4.- Relación entre el campo eléctrico E y el potencial V.-------- 65

1.5.- Problemas de Potencial eléctrico.----------------------------- 68

2

2.- CIRCUITOS ELÉCTRICOS 76

2.1.- Corriente y resistencia.-------------------------------------------- 75

2.1.1.- Corriente eléctrica.---------------------------------------- 75

2.1.2.- Densidad de corriente I y ley de ohm.----------------- 78

2.2.- Diferencia de potencial, intensidad de corriente y resistencia.- 80

2.2.1 Diferencia de potencial a partir de la densidad de corriente (J), resistividad y resistencia.----------------------------------- 80

2.2.2.- Ley de ohm a partir del potencial y la resistencia R.--- 82

2.3.- Resistencia y temperatura.--------------------------------------- 83

2.3.1.- Cálculo de resistencia.----------------------------------- 83

2.4.- Potencia eléctrica y sus unidades (transferencia de energía en un circuito eléctrico).------------------------------------------------------- 92

2.5.- Leyes de Kirchhoff.----------------------------------------------- 94

2.5.1.- Circuitos serie y paralelo.----------------------------- 94

2.5.1.1.- Circuito serie.--------------------------------- 94

2.5.1.2.- Circuito paralelo.------------------------------ 95

2.5.1.3.- Circuito serie y paralelo.---------------------- 96

2.5.1.4.- Problemas resueltos de circuitos.------------ 97

2.6.- Circuitos de mallas múltiples.---------------------------------- 107

2.6.1.- Leyes de Kirchhoff.------------------------------------- 108

2.6.1.1.- Ejemplo de aplicación.---------------------- 111

2.6.1.2.- Problemas propuestos.---------------------- 112

2.7.- Dieléctricos.----------------------------------------------------- 113

2.7.1.- Cargas inducidas.--------------------------------------- 113

2.7.2.- Estructura molecular de los dieléctricos.-------------- 113

2.8.- Capacitancia e inductancia.----------------------------------- 117

2.8.1.- Capacitancia y su cálculo.------------------------------ 118

2.8.2.- Almacenamiento de energía en un campo eléctrico.- 120

3

2.8.3.- Capacitores de placas paralelas con dieléctrico.------ 121

2.8.4.- Circuitos con capacitores.------------------------------ 126

2.8.5.- Bobinas. ------------------------------------------------ 131

2.8.1.- Inductancia de una bobina---------------------- 131

3.- PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA E INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA-------------------------------------------------- 135

3.1.- Propiedades magnéticas de la materia.------------------------- 135

3.2.- Líneas de inducción y Flujo magnético.------------------------ 141

3.3.- Fuerza sobre una partícula cargada en movimiento.---------- 143

3.3.1.- fuerza sobre un conductor.----------------------------- 146

3.3.2.- Momento sobre una espira con corriente.------------- 152

3.4.- Inducción Electromagnética.------------------------------------ 162

3.4.1.- Ley de Amper.----------------------------------------- 162

3.4.2.- Ley de Biot Savart.------------------------------------ 166

3.4.3.- Ley de Faraday.--------------------------------------- 172

3.4.4.- Ley de Lenz.------------------------------------------ 176

3.5.- Principio del transformador eléctrico.------------------------ 184

4.- NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ.------------------- 191

4.1.- Modelo corpuscular y ondulatorio.---------------------------- 191

4.2.- Espectro electromagnético.----------------------------------- 197

4.3.- Óptica geométrica.-------------------------------------------- 200

4.3.1.- Óptica de rayos.--------------------------------------- 200

4.3.2.- Reflexión y Refracción.-------------------------------- 202

4.3.3.- Refracción.----------------------------------------------- 204

4.3.4.- Reflexión total interna.--------------------------------- 209

4.4.- Espejos y lentes.------------------------------------------------ 213

4.4.1.- Imagen invertida.--------------------------------------- 215

4

4.4.2.-Espejos cóncavos.--------------------------------------- 218

4.4.3.- Espejos convexos.-------------------------------------- 223

4.5.- Lentes delgadas.------------------------------------------------ 224

4.6.- Estudios y aplicaciones de la emisión láser.------------------- 231

4.6.1.- Tipos de láser.------------------------------------------- 235

4.6.2.- Aplicaciones en ciencias e ingeniería.------------------ 240

1.- CAMPOS Y POTENCIALES ELECTRICOS

1.1.- Ley de coulomb

1.1.1.- Estructura del átomo y carga eléctrica

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Se ha encontrado que los átomos están constituidos de 3 clases de partículas que son: el electrón, el protón, y el neutrón.

Donde los protones y neutrones se encuentran en el núcleo y fuera del núcleo se encuentran los electrones.

Con una serie de experimentos Benjamín Franklin (1706-1790) determinó estos tipos de cargas, los cuales les dio el nombre de positiva (al protón) y negativa(al electrón).

Un experimento sencillo para comprobar la existencia de ambas cargas es el siguiente: imagine una varilla rígida de hule que ha sido frotada en un trozo de piel sin curtir suspendida por un hilo de coser. Seguidamente tome un una varilla de vidrio y frótela con seda, al cercar la varilla de hule a la de vidrio ambas se atraen entre sí. Por otra parte, si se acercan dos varillas de hule cargadas(o dos de vidrio cargadas) ambas se repelen.

Estas observaciones demuestran que el hule y el vidrio tienen dos tipos de carga diferentes, y se concluye que: cargas de un mismo signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen. ( ver figura 1.1 )

Figura 1.1 (a) una varilla de hule con carga negativa suspendida por un hilo es atraída por una varilla de vidrio con carga positiva. (b) una varilla de hule con carga negativa es repelida por una varilla de hule con carga negativa.

En base a esto se encontró también, que protones y electrones ejercen fuerzas mutuas, además de las fuerzas de gravitación universal que existen entre ellas.

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Estas fuerzas se explican, adjudicando a los protones y electrones una propiedad llamada electricidad o carga eléctrica, (exactamente como se explica adjudicando a la materia la propiedad de tener masa gravitatoria).

Existen, sin embargo, una diferencia, pues mientras las gravitatorias son solamente atractivas, las eléctricas son de atracción y repulsión.

Hay que hacer notar que en un sistema aislado, la carga eléctrica siempre se conserva; esto significa que cuando se frota un objeto contra otro, no se crea carga durante el proceso, el estado de electrificación se debe a una transferencia de carga de uno de los objetos hacia el otro. Uno adquiere parte de carga negativa en tanto que el otro adquiere la misma cantidad de carga, pero positiva.

Por ejemplo, cuando se frota una barra de vidrio con seda, la seda adquiere una carga negativa igual en magnitud a la carga positiva de la barra de vidrio.

De la misma manera sucede cuando el hule se frota con la piel, los electrones se transfieren de la piel al hule dándole una carga negativa neta y a la piel una carga positiva neta, todo esto lo podemos comprender debido al conocimiento que tenemos de la estructura del átomo y del hecho que la materia es eléctricamente neutra, es decir: contiene el mismo número de cargas positivas y negativas

En 1909, Robert Millikan (1868-1953) descubrió que las cargas eléctricas siempre se presentan como un entero múltiplo de una cantidad básica de carga e (carga del electrón).

El hecho anterior indica que la carga eléctrica q esta cuantizada, siendo q el símbolo estándar usado como variable para la carga. Esto es, la carga eléctrica existe en forma de ¨paquetes¨ discretos, pudiéndose escribir q=Ne, donde N es un número entero

De lo analizado se puede concluir que:

1.-En la naturaleza se presentan dos tipos de cargas: cargas de signos opuestos se atraen una a la otra y las del mismo signo se repelen.

2.- En un sistema aislado la carga se conserva.

3.-La carga esta cuantizada.

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1.1.2.- Conductores y aislantes

Con respecto al comportamiento eléctrico, los materiales pueden clasificarse en general en dos clases:

-Conductores

-Aisladores (Dieléctricos)

Esta clasificación, está basado en función de la movilidad que tienen los electrones a través del material.

Los primeros son sustancias metálicas, como el cobre, plata, hierro, el agua de la llave, el cuerpo humano etc… que contienen un gran número de portadores de carga libre .Estos portadores de carga (generalmente electrones) se mueven libremente en el conductor.

Los segundos, son materiales en los que los portadores de carga no se mueven, debido a que están fuertemente ligadas a las moléculas de las que forman parte como son: el vidrio, plástico, porcelana, el agua químicamente pura, etc…

Un aislante típico, tiene un poder de aislamiento del orden de 1020 veces mayor que un buen conductor, puesto que esta cantidad es mucho muy grande, podemos decir que los materiales dieléctricos (aislantes) no son buenos conductores.

El cuarzo fundido en uno de los mejores aislantes, ya que su poder de aislamiento es de unas 1025 veces la del cobre.

Cuando se frotan los materiales aislantes, solamente la zona frotada se carga, y las partículas cargadas no pueden moverse hacia otra zona del material.

Ahora cuando se frotan los materiales conductores y se cargan, la carga se distribuye de inmediato sobre toda la superficie del material.

Por ejemplo, si se sujeta una varilla de cobre con la mano y se frota con un trozo de lana o de piel no conseguirá atraer pequeños fragmentos de papel- esto podía llevar a la suposición de que no es posible cargar un metal. Sin embargo, si a la varilla se le adapta un mango de madera y entonces se frota sujetándola por el mango, la varilla conservará su carga y atraerá el papel. La explicación de lo anterior es de la siguiente

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manera, sin la madera aislante, las cargas eléctricas producidas por el frotamiento, se trasladan de inmediato a través de su propio cuerpo y se pierden en la tierra. El mango de madera aislante impide que la carga fluya hacia la mano

Un punto intermedio entre los aislantes y conductores, están los semiconductores; como el silicio y el germanio, estos tipos de semiconductores típicos puede contener entre 1010 y 1012 electrones de conducción por centímetro cubico. Una de las propiedades de los conductores que lo hacen tan útiles es que se le pueden inyectar pequeñas cantidades de impurezas (se dopan, menos de una parte en

109) o variando el voltaje aplicado, la temperatura o la intensidad de luz que incide sobre el material.

Estos materiales semiconductores son utilizados para la fabricación de gran diversidad de chips electrónicos utilizados en computadoras, teléfonos celulares y estéreos.

Cargar un objeto por inducción

Figura 1.2.- (a) El objeto cargado de la izquierda induce una distribución de carga sobre la superficie de un material aislante debido a la realineación de las cargas en las moléculas. (b)Un peine cargado atrae fragmentos de papel debido a que las cargas en las moléculas de papel se realinean.

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1.1.3 Ley de coulomb.

Los protones ejercen fuerzas de repulsión sobre otros protones y lo mismo hacen los electrones con otros electrones, aparecen así, 2 clases de cargas eléctricas designadas arbitrariamente como cargas (+) y (-).

Las fuerzas observadas entre protones y electrones conducen el anunciado conocido: cargas del mismo signo se repelen, cargas de signo contrario se atraen.

Con base a esto, Coulomb demostró, que la fuerza de atracción o repulsión entre 2 cuerpos cargados, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Trabajos posteriores, han demostrado que a una separación dada entre 2 cuerpos cargados la fuerza es directamente proporcional al producto de sus cargas individuales.

Algebraicamente la ley de Coulomb se planteó de siguiente forma

F= α q1q2

r2 F = K q1q2

r2 = 1

4 π ε o q1q2

r2

O bien

F=k e

|q1||q2|r2 donde ke=8.9875 x109N−m2/C2

Charles Agustín Coulomb (1736-1806) planteo lo anterior usando su balanza de torsión que el mismo invento, en donde midió las magnitudes de las fuerzas eléctricas entre objetos cargados.

Este principio que uso, es el mismo que utilizo Cavendish para medir la constante de gravedad (ver figura 1.3)

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Figura 1.3.- Balanza de torsión de Coulomb, utilizada para determinar la ley del inverso de los cuadrados para una fuerza eléctrica entre dos cargas

1.1.3 .1.- Sistema de unidades

Las unidades empleadas serian en el sistema, MKS. O SI

K = 9x109 New−m2

COUL2 = 1

4 π ε o

q= Coulomb

r= metros

F= Newton’s

En el sistema CGS.

K= 1 Dina−cm2

(UEC )2

q= UEC (Unidades electrostáticas de carga)

r= centímetros

F= Dinas

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Del sistema MKS podemos calcular a la ε o, ya que:

K = 9x109 = 1

4 π ε o ; ε o =

1

4 π 9 x109

ε o= 8.85 x 10−12 Coulmb2

New−m2

NOTA:

1 Coulomb= 3x109 U.E.C

Unidad de carga eléctrica= 1 electrón = 1.6x10−19 coulomb.

1 Coulomb= (3x109) (1.6x10−19) = 4.8x10−10 U.E.C

1.1.3.2.- Aplicaciones de la ley de coulomb

Problemas 1

Una carga puntual de +80 unidades electrostáticas de carga, dista 5 cm de una carga puntual de -60 unidades electrostáticas

a) ¿Qué fuerza en dinas ejerce cada carga sobre la otra?

b) una carga puntual de +14.4 unidades electrostáticas está a 4 cm de la carga positiva citada en a) y a 3 cm de la carga negativa. ¿Cuál es la fuerza resultante ejercida sobre ella?

Solución:

a) Formula: F = K q1q2

r2 En el sistema CGS:K= 1 Dina−cm2

(UEC )2

Por lo tanto: F= 1 (+80 )(−60)

(5)2 = - 4800

25F= -192 Dinas

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b) q1+

4cms 5cms

3cms

q3 F32 q2-

F13 FR

F13= 1 (+80 )(+14.4)

(4)2 = 115216

F13 = 72 Dinas

F23= 1 (−60 )(+14.4)

(3)2 =- 864

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F23= -96 Dinas

De la figura anterior por teorema de Pitágoras tenemos que:

FR= √(F122 + F23

2) =

FR =√((72)²+(96)²)=

FR= 121 Dinas (magnitud)

Donde angulo tangente( 7296 )=36.8698 grados(direccion)

Problema 2

Un gramo de hidrógeno monoatómico contiene 6.02x1023 átomos, que se componen de un núcleo cargado positivamente y un único electrón exterior. Si todos los electrones contenidos en 1 gr de hidrógeno

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pudieran concentrarse en el sur, ¿Cuál sería, en toneladas, la fuerza de atracción entre ellos? El radio polar de la tierra tiene 6357 km.

Solución:

1 gramo = 6.02x 1023 atomos

q1= (-6.02x1023 ¿ (1.6x10−19) = -9.63x 104 Coul.

q2= (+6.02x1023 ¿ (1.6x10−19) = +9.63x 104 Coul.

r= 6.357x106 mts.

F = K q1q2

r2

F= 9x109 – (9.63 x104)²(6.357 x 106) ²

F= -20.3 x10−11 Newt de atracción.

Ahora:

1 New= 0.224 libras.

1 libra= 453.6 gramos

Por lo tanto:

1 Newt= 94.32 gramos

Ahora sí:

1 New----- 94.32 gramos.

20.3 x10−11-- X

Por lo tanto:

X= 1914.7 x10−11 gramos

Ahora si:

1 ton----- 106 gramos

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X ------ 1914.7 x10−11 gramos

X= 1914.7 x10−5 ton

Por lo tanto la fuerza de atracción será:

F= 0.019147 toneladas

Problema 3

En el modelo de Bohr. Correspondiente al átomo de hidrogeno, un electrón describe una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón. Si el radio de la órbita es de 5.28x10−9cm, calcúlese el numero de revoluciones que da el electrón por segundo. La fuerza de atracción electrostática entre protón y electrón proporciona la fuerza centrípeta.

Solución:

q1= 1.6x10−19 Coul.

q2= -1.6x10−19Coul.

r= 5.28 x10−9 =5.28 x10−11 mts.

FC=FE = mac=mw ²r

;

Donde: ac es la aceleración centrípeta w es la velocidad angular

K q1q2

r2 = mw ²r

w²=Krq1q2

mr2

w²=Kq1q2

mr

w= √(Kq1q2

mr)

Sustituyendo valores tenemos:

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w= √(9x109(1.6x10−19)²) / (9.1x10−31X 5.28 x10−11 )

w= √(23.4x10−29) / (48 x10−42)

w= √ (4.9 x1012

w= 2.21 x106 rad/seg

Pero:

W= 2π nT

; n (num de vueltas/seg)= wT2π

n= 2.21x 106 x 16.28

=

22.1x 105

6.28

radseg

seg

rad

porlo tanto:

n= 3.52 x105 rev/seg

Problema 3

En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de lado a = 1m se tiene las siguientes cargas q1 = -2*10-6coulomb, q2 = 1*10-6 coulomb y q3

= 1*10-6 coulomb ¿Cuál es la fuerza resultante sobre q1?

.q3 F13

q1

q1

FR2 = F12

2 + F132 –2 F12 F13 Cos Ɵ

F12=(−2∗10¿¿−6coulomb)(1∗10¿¿−6coulomb)

1m2 =−0.018N=F13 ¿¿

FR=√ (0.018 )2+(0.018 )2−4 (0.018 ) cos120 °=36.6∗10−3 N

Problema 4

Para las esferas que se muestran en la figura siguiente, de masa 1gr ¿Hallar las cargas?

1q2

1 1F12

120|

FR

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Solución

De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, que se muestra arriba podemos establecer las siguientes ecuaciones

∑ F x=T sin 6 °−Fe=0

∑ F y=T cos6 °−mg=0

T sin 6 °=Fe

T cos 6 °=mg

T sin 6 °T cos6 °

=Fe

mg

tan6 °=kq2

r2

mg

tan6 °= kq2

mgr2

( tan6 ° ) (mgr2 )=kq2

q=√ (mgr2 ) ( tan 6° )k

De la figura de arriba (en el centro) se halla el valor de “r” como se muestra a continuación

sin 6 °=

r2

21=

r42

q1 q2

r

21cmm

Ɵ

12° 21cm

84°

6°

r / 2

Fe

FG

r

T

6

q1

θ

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r sin 6 °=42

r= 42sin 6 °

r=4.3902

Ahora sustituyendo en la ecuación de “q” obtenemos:

q=√ (1∗10−3 kg ) (9.8m / seg2 )¿¿¿

q=√ 19.8525∗10−3 kgm2

seg2

9∗109 N ∙m2

c2

q=√2.20583∗10−12c2

¿1.48523∗10−6 c

Problema 5

Calcule, cuánto vale la carga de cada una de las bolitas de sauco suspendidas en el aire de un mismo punto, por cuerdas de 5cm, si se rechazan separándose 4cm, cada bola tiene una masa de 0.1 gr.

5cm

Fe

mg 2cm

Suponiendo que están en reposo, se establecen las ecuaciones de equilibrio y se plantean las ecuaciones correspondientes, trabajaremos en el sistema CGS donde la constante K=1 y la gravedad g=980 cm/seg2

∑Fx=0−q2

r 2 +Tcosθ=0

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∑Fy=0Tsenθ−mg=0

De lo anterior tendremos

Tsenθ=mg

Tcosθ=q2

r2

Dividiendo las ecuaciones anteriores resulta

tgθ=mg r2

q2 entoncesq2=mgr2

tgθ

Sustituyendo valores y sabiendo que

cosθ=25=.4 tgθ=2.2912

q2=(0.1 ) ( 980 ) (4 )2

2.2912=684.3575

q=√684.3575=26.1602uec (unidades electrostáticas de carga)

Pero como

1 Coulomb= 3x109 U.E.C

Entonces

q=26.4 ( 1coulomb

3x 109 )=8.72x 10−9Coulomb

Problema 6

Si la carga total positiva y la carga total negativa es de 1.3x10−5 coul se separan a una distancia tal, que su fuerza de atracción fuese de una libra (45 N) ¿Cuál debe ser su separación?

Solución:

F=kq1q2

r2

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4.5=9 x109 (1.3 x10−5 )2

r2 =15.21 X 10−1

r2

r2=1.5214.5

=0.338entonces r=0.58137m

Problema 7

Para las esferas que se muestran en la figura, cuyas cargas son 1.5x10-6

C y de masa 1gr. Halle la distancia de separación.

12°

ΣFx=Tsen6 °−Fe=0

ΣFy=Tcos6 °−mg=0

Tsen6 °=Fe

Tcos6 °=mg

Tsen6 °Tcos6 °

= Femg

tg 6 °= Femg

Fe=tg6 °mg

Fe=kq1q2

r2

tg 6 °=kq

r2

mg

21cm

6

m=1gr q1

m=gr q2

Tcos6°

Fe

x

T

Tsen6°

mg

y

20

r2 tg6 °= kqmg

r2= kqtg 6 °mg

r=√ kqtg 6°mg

r=√ (9 x 109N m2 )(1.5 x10−6C)2

(1 x10−3 ) ( 9.8m /s2 ) tg 6 °

r=√ 0.02025N m2

1.03 x10−3kg m /seg2

r=√21.383049m2

r=4.6242m

1.2.- Campo eléctrico (E)

Experimentalmente, se ha comprobado que cuando se colocan 2 cuerpos como muestra la figura (abajo) se origina una fuerza eléctrica de repulsión F. Como la fuerza gravitacional, esta también es de acción a distancia y se manifiesta sin que haya una conexión entre los 2 cuerpos (figura).

Por lo tanto se ha comprobado que cada uno de estos cuerpos modifica las propiedades del espacio que lo rodea.

F F

Como ejemplo: analicemos los cuerpos A y B. De la figura anterior.

A BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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Supongamos, que quitamos el cuerpo B, y sea ahora un punto P del espacio en el cual estaba colocado el cuerpo B. (ver figura).

Se dice que el cuerpo cargado A, crea o produce un campo eléctrico (E) en el punto P, y si el cuerpo cargado B esta ahora colocado en P, podemos considerar que esta fuerza es ejercida sobre B por, el campo y no por el cuerpo A directamente. Puesto que esta fuerza seria experimentado por el cuerpo B en todos los puntos del espacio que rodea al cuerpo A, dicho espacio es un campo eléctrico.

Se puede considerar igualmente, que el cuerpo B, crea un campo que ejerce una fuerza sobre el cuerpo A por el campo de B.

La comprobación experimental, de la existencia de un campo eléctrico en un punto, consiste simplemente en colocar un cuerpo cargado en dicho punto, cuerpo que se denominará, “Carga de prueba” (y que la denominaremos como q0). Si se ejerce una fuerza (de origen eléctrico) sobre el cuerpo cargado, existe un campo eléctrico en el punto.

Por lo tanto:

“Se dice que existe un campo eléctrico en un punto, si sobre un cuerpo cargado colocado en dicho punto se ejerce una fuerza de origen eléctrico”.

Puesto que la fuerza es una magnitud vectorial, el campo eléctrico también lo es.

El valor del campo en cualquier punto, representado por E, se define: como el cociente obtenido al dividir la fuerza ejercida sobre un cuerpo de prueba (q0) colocado en el punto por la cantidad de carga q0 del cuerpo de prueba”. Es decir:

E= Fq0

AP

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

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La dirección de un campo eléctrico en un punto, es la dirección de la fuerza ejercida sobre una carga de prueba positiva colocada en el punto.

La fuerza sobre una carga negativa, tal como un electrón, es por consiguiente, opuesta a la dirección del campo.

Conocemos dos tipos de fuerzas debido a los campos. Estas son: la fuerza gravitacional, y la fuerza Eléctrica

Como ya conocemos, las fuerzas de campo pueden actuar a través del espacio produciendo algún efecto, aun cuando no exista contacto físico entre los objetos que interactúan entre si.

El campo gravitacional “g” en un punto en el espacio, está definida como la fuerza gravitacional “Fg” actuando sobre una partícula de prueba de masa “m” dividida entre esa masa, algebraicamente está dado por la ecuación siguiente:

.g=Fg/m.

La otra fuerza es la Eléctrica, que al igual que la gravitacional pueden actuar a través de espacio produciendo algún efecto aun cuando no exista contacto físico entre los objetos que interactúan, la cual se define en forma muy similar, nada más que la acción de la fuerza es sobre una carga de prueba positiva, colocada en el punto en cuestión, es decir:

E =Fe/q0

Hay que notar que E, es el campo producido por una carga o distribución de cargas separado de la carga de prueba; no es el campo producido por la propia carga de prueba.

Debe tomarse en cuenta que para que el campo exista, no es necesaria la presencia de una carga de prueba. La carga de prueba sirve como detector del Campo Eléctrico, de la misma forma en que comprobamos con cualquier objeto la existencia del Campo Gravitacional (al ver que cae el objeto hacia el piso por la atracción).

El campo gravitacional es puramente de atracción.

El campo Eléctrico es de atracción y de repulsión

La ecuación para la fuerza Eléctrica, puede escribirse como Fe=q0 E, que como se puede ver es similar a la gravitacional (Fg=mg)

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El concepto de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) en relación con las fuerzas eléctricas, y es de un valor bien práctico.

Unidades

MKS(SI) CGS

Fuerza= Newton Fuerza= Dinas

Carga= Coulombios Carga= U.E.C.

Campo eléctrico=New/Coulomb. Campo eléctrico= Dinas/UEC.

De la expresión anterior del campo eléctrico, podemos deducir:

F = E q0 -----------------------------A

Esto es, la fuerza ejercida sobre una carga “q0” en un punto, en que existe una intensidad de campo eléctrico E, es igual al producto de la intensidad de campo eléctrico por la carga de prueba.

La notación vectorial de la expresión (A) significa que los vectores F y E tienen el mismo sentido si q0 es positiva, si es negativa se escribiría de la siguiente manera:

F = E q0

24

La figura 1.4 muestra el comportamiento de la fuerza y el campo para cargas positivas y negativas

Figura 1.4. Una carga de prueba q0 en el punto P esta a una distancia “r” de la carga puntual “q”.

a) Si “q” es positiva, entonces la fuerza sobre la carga de prueba se dirige alejándose de “q”. b) para una carga fuente positiva, el campo eléctrico en P apunta radialmente hacia fuera de “q” c) si “q” es negativa, entonces la fuerza en la carga de prueba se dirige hacia “q” d) para una carga fuente negativa el campo eléctrico en P apunta radialmente hacia dentro en dirección a “q” .

25

Figura 1.5. Fotografía que muestra la caída de un rayo sobre un árbol cerca de algunas casas en una zona rural. Los rayos están asociados con campos eléctricos muy potentes que se generan en la atmosfera

Ejemplo 1.-

Dos cargas puntuales q1 y q2 de +12x10−9 y -12x10−9 coul, están separadas a una distancia de 10 cm, como se indica en la figura, calcúlese los campos eléctricos debidos a estas cargas en los puntos a, b, c.

Solución:

Como se ve en la figura, por ser un triángulo isósceles, todos los ángulos, interiores son de 60 grados, entonces el Angulo comprendido entre el vector del campo eléctrico debido a la carga positiva y la resultante es de 30 grados, de igual manera para el vector debido a la carga negativa ya que los vectores son de la misma magnitud. Por lo que tendremos lo siguiente para el punto “c” en la parte superior del triangulo

26

Componentes en x:

EC+¿ ¿ sen 30°

EC−¿¿ sen 30°

Componentes en y:

EC+¿ ¿ cos 30°

EC−¿¿ cos 30°

Ec−¿=

(9x 109 )(12 x10−9)(10 x 10−2)2

= 108100 x10−4

=−1.08x 104New / coul ¿

Ec+¿=

(9x 109)(12 x 10−9)(10 x10−2)2

= 108100 x 10−4

=1.08 x 104New / coul ¿

Resolviendo el sistema de fuerzas por medio de las componentes (ver figura). Tenemos que las componentes en el eje de las y se anulan y las componentes de las x se suman. Por lo tanto:

Ec+¿ sen30 °+Ec−¿sen 30°=2 E csen30 °=2 (1.08 x104 )( 1

2) ¿¿

EcT=1.08 x 104 New /coul

Dirección:

Cero grados con respecto al eje de la “x” hacia la derecha

Ahora en el punto a

E−¿=k

q

r2=−9 x109∗12 x10−9

(6 x10−2 )2 =−108

36 x 10−4=−3 x 104 New / coul¿

E+¿=k

q

r2=9x 109 12 x 10−9

(4 x10−4)2=108

16 x 10−4=6.75x 104New /coul ¿

En este punto los dos vectores, tanto para la carga positiva como para le negativa tienen el mismo sentido (hacia la derecha) por lo que se suman los valores absolutos y obtenemos lo siguiente:

ETa=E−¿+E+¿=( 3+6.75) x104=9.75 x104 New /coul ¿¿

27

Dirección

Cero grados respecto al eje de las “x” hacia la derecha

Para el punto b tendremos lo siguiente:

Eb−¿=k−q

r2=

(9 x109)(−12 x10−9)(14 x10−2 )2

= −108

(14 )2 x10−4=−0.55x 104New / coul ¿

Eb+¿=k q

r2=

(9 x109)(12 x10−9 )(4 x10−2)2

= 10816 x10−4

=6.75x 104 New / coul¿

El vector para la carga positiva está dirigida a la derecha y para la negativa hacia la izquierda, por lo tanto tendremos una diferencia en valor absoluto entre esos vectores, el que va a la derecha, menos la que va hacia la izquierda.

EbT=¿

Dirección: 180 grados respecto al eje de las “x” hacia la izquierda

y

EcT

EbT x

ETa

Ejemplo 2.

Supongamos que tenemos 2 láminas paralelas, y que entre ellas existe un campo eléctrico dirigido verticalmente hacia arriba = 104 New/Coul ¿Calcúlese la fuerza ejercida sobre un electrón y compárese con el peso de este.

Datos:

,q0= electron = 1.6x10−19 Coul.

E = 104 New/Coul

F e= q0 E =(1.6x10−19 ¿(104) = 1.6x10−15 Newt

28

FG= mg = (9.1x10−31) (9.8) = 8.918 x10−30Newt

Fe

FG =

1.6 x10−15

8.918 x10−30 = 1.8 x1014

Se ve que la fuerza gravitatoria es despreciable, ya que la fuerza Eléctrica es 1.8 x1014 veces más grande que la fuerza gravitacional.

Ejemplo 2.

Que velocidad adquirirá el electrón del ejemplo anterior, partiendo del reposo, cuando haya recorrido 1 cm. ¿Cuál será entonces su energía cinética? ¿Cuánto tiempo necesita para recorrer dicha distancia?

.a= Fm

= eEm

= 1.6 x10−15

9.1 x10−31 = 1.8 x1015 m/ seg2

v= √2as = √ 2 x 1.8 x1015 x 10−2 = 6 x106 m/seg

Ec= ½ mv2 = ½ 9.1 x10−31(6 x 106)2 = 16 x10−18 Julios

Ejemplo 3.

Si se hace, que el mismo electrón penetre en el campo con una velocidad horizontal, hállese la ecuación de su trayectoria.

ax = 0 ; a y= -e Em

Por lo tanto al cabo de un tiempo t.

x= v0 t; t= x/ v0----(a)

y= ½ a t 2 = -½ ay t 2

y= -½ e Em

t 2

Sustituyendo (la ecuación a) tenemos:

y= - e E

2mv02 x2 Esta es la ecuación de una parábola.

Como la que se muestra en la figura siguiente

y

x

v0

29

Como se observa, el movimiento es el mismo que el de un cuerpo lanzado horizontalmente en el campo gravitatorio terrestre.

1.2.1.-Calculo de E partir de la ley de Coulomb.

El E en un punto, puede calcularse partiendo de la ley de coulomb, si se conocen los valores y las posiciones de las cargas que crean el campo.

Así, para calcular la intensidad del campo Eléctrico en un punto P del espacio, separado una distancia r de una carga puntual q ´ colocada en P. La fuerza sobre la carga de prueba es, en virtud de la ley de coulomb.

F = 1

4 π ε o qq0

r2 = K qq0

r2

Y por consiguiente, el E en el punto P es:

E= Fq0

= K q

r2

El sentido del campo es tal, que se aleja de la carga q si esta es positiva, y se acerca si es (-) como se vio en la figura 1.4

Cuando se utiliza la ecuación, anterior, debemos de suponer que la carga de prueba q0 es lo suficientemente pequeña para que no afecte a la distribución de carga responsable del campo eléctrico.

1.2.2.- Representación del campo eléctrico con ayuda de las líneas de fuerza.

30

Línea de fuerza (auxiliar para representar E). Es una línea imaginaria, dibujada de modo que su dirección indique el campo en ese punto.

Las líneas de campo eléctrico establecidas por primera vez por Faraday están relacionadas con el campo eléctrico de una región del espacio de la manera siguiente

El vector E del campo eléctrico es tangente a la línea del campo eléctrico en cada punto. La dirección de la línea indicada por una punta de flecha, es igual a la dirección del campo eléctrico.

El número de líneas por unidad de superficie que pasan a través de un área perpendicular a dichas líneas es proporcional a la magnitud del campo en dicha región. Entonces, las líneas de campo están cercanas donde el campo sea fuerte y separadas donde el campo sea débil, véase la figura 1.5

Figura 1.5. Líneas de campo eléctrico atravesando dos superficies. La magnitud del campo es mayor en la superficie A que en la B.

Componente en el punto

Ep

EQ

Línea de campo campofuerza

31

Nota: Las líneas de campo eléctrico no representan las trayectorias de las partículas

Es posible, naturalmente, dibujar una línea de fuerza que pase por cada punto de un campo eléctrico, pero si se hiciese esto, toda la superficie estuviera llena de líneas de fuerza y no podríamos distinguir ninguna de ellas separadamente.

Limitando de modo adecuado el número de líneas de fuerza que se dibujan, para representar un campo, estas líneas de fuerza pueden utilizarse para indicar la magnitud del campo al mismo tiempo que su dirección.

Esto, se consigue espaciando las líneas de fuerza de tal modo que “el número de las que atraviesen la unidad de superficie perpendicular a la dirección del campo, sea igual en cada punto, al producto de ε o por la intensidad de campo eléctrico en dicho punto.”

En una región, donde la E sea grande, las líneas estarán apretadas y donde sea pequeña las líneas estarán más espaciadas.

Si la E, y por consiguiente el número de líneas por unidad de área, es la misma en todos los puntos de una superficie de extensión finita perpendicular al campo, el número total de líneas de fuerza que atraviesan la superficie es: considerando que E es perpendicular a el área entonces.

N=εo Ex A

Ahora si nosotros consideramos una esfera tendremos:

N=εo kq

r2∗4 π r2

N=εo

14 π εo

∗q

r2 ∗4 π r2

N=q

Esto es, que el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie, es igual a la carga situada en su interior. Este número es independiente del radio de la esfera.

32

Ahora, si E no es perpendicular al área, el número de líneas que cruzan

la superficie puede expresarse por N=∫ εo EdA cosφ

con la ayuda de la figura anterior se hace la siguiente deducción.

La proyección del área dA sobre un plano perpendicular al campo es: dA cosφ

Y el número de líneas que atraviesan dA es:

ε oE dAcosφ=q=ϕE

Donde ∅ E=Flujo eléctrico=N

N=∫ εo EdA cosφ=¿¿Numero total de líneas de fuerza que atraviesan un

área finita, eligiéndose los límites de integración de modo que abarquen toda la superficie.

La línea de fuerza es una manera conveniente de representarse en la mente la forma de los campos eléctricos.

La relación entre la línea de fuerza y la E es la siguiente:

1.- La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en ese punto.

2.- Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud de E. En donde las líneas están muy cercanas E es grande y en donde están muy separadas E es pequeña.

Cuando se quiere determinar la dirección que tiene un campo eléctrico, considere una carga puntual “q” como carga fuente, esta creara un

33

campo eléctrico en todos los puntos del espacio que lo rodea. En el punto P, a una distancia r de la carga fuente, se coloca una carga de prueba “q”0, tal como se muestra en la figura siguiente y en ella se puede observar los sentidos que toman los campos eléctricos los cuales

vienen expresados por la ecuación E=kq

r2r .Donde r es el vector unitario

en el sentido de la r Si varias cargar puntuales q1, q2… qn están a distancias r1 , r2…rn de un punto dado P como indica la figura A, cada

una ejerce una fuerza sobre la carga de prueba q ´0 colocada en el punto

y la fuerza resultante es la suma vectorial geométrica de estas fuerzas.

F=kq0q1

r12 +k

q0q2

r22 +k

q0q3

r 32 +…(Suma vectorial geométrica).

F=K q0[q1

r12 +

q2

r 22 ……]

∑

F=k q0∑i

n qiri

2 …………………………………………………1

Pero:

E= Fq0

……………………………………………………………………………………..…2

FR

F1

F2

q0

P

r2

r1

q1

F1

Figura A. q2

+

-

+

34

Sustituyendo 1 en 2 tenemos:

E=k i∑i

qiri

2 r --------------------3

Donde:

k=1

4 π εo

En la práctica, los campos eléctricos son creados generalmente por cargas distribuidas sobre la superficie de conductores de tamaño finito, y no por cargas puntuales.

La intensidad de campo eléctrico, se calcula entonces, imaginando divididas las cargas distribuidas en cargas infinitesimales de “dq” por lo tanto:

E=k∫ dq

r2 (Suma geométrica) --------------4

Cualquiera de las ecuaciones (ecs.1 y 4), pueden considerarse como definición de la intensidad de campo eléctrico en un punto.

La primera, define la intensidad de campo en un punto a partir de medidas que pueden efectuarse en el punto, y no requiere el conocimiento del valor y posición de las cargas que crea el campo.

La segunda permite calcular la intensidad en un punto sin tener que efectuar realmente medidas en dicho punto. Siempre que conozca la distribución de las cargas que crean el campo.

En las siguientes figuras (1.6, 1.7, 1.8 y 1.9) se muestran las líneas del campo eléctrico representativas, causadas por la acción de los diferentes tipos de cargas, tanto la representación con las líneas de fuerza como la experimentación real

35

Figura 1.7. (a) Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales de igual magnitud y de signo opuesto (un dipolo eléctrico). El número de líneas que salen de la carga positiva es igual al número que termina en la carga negativa. (b) Las líneas oscuras son pequeños trozos de hilo suspendido en aceite que se alinean con el campo eléctrico de un dipolo.

36

Figura 1.8 (a) Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales positivas (Las ubicaciones A, B y C han sido analizadas). (b) Trozos de hilo suspendido en aceite que se alinean con el campo eléctrico creado por dos cargas positivas de igual magnitud.

Figura 1.9. Líneas de campo eléctrico para una carga puntual +2q y una segunda carga puntual –q. Observe que las dos salen de +2q por cada una que termina en –q.

1.2.3.- Campo de un dipolo

Dipolo es el conjunto de 2 cargas iguales y de signos opuestos situadas a una cierta distancia “l” tal como lo muestra la fig. Siguiente.

37

En este problema se pide demostrar que el campo total generado por este arreglo (dipolo) es el mismo, tanto para el punto “p” como para el “Q”

Consideremos primero un punto P a una distancia r del centro.

Ep=k q

(r− l2)

2− q

(r+ l2)

2 Desarrollando tendremos:

Ep=kq (r+ l2)

2

−(r− l2)

2

(r2−l2

4)

2 Desarrollando y simplificando tenemos:

(r− l2 )

2

(r+ l2 )

2

=(r2−2l2r+ l

2

4 )(r2+2 rl2+ l

2

4 )=(r2−lr+ l2

4 )(r2+lr+ l2

4 )¿ r4−r3 l+ l2 r

2

4+l r3−r2 l2+r l

3

4+l2 r

2

4−r

l3

4+ l4

16

¿ r4−r2 l2 (¼+¼−1 )+ l 4

16

38

¿ r4− r2l2

2+ l4

16

¿(r2− l2

4)2

Entonces:

E=kq 2 rl/(r 2−l2

4)

2Si; l≪r ; l2

4<¿<¿ r 2(se desprecia)

E=k2ql

r3

Si ql=p=momento electricod el dipolo

Por lo tanto:

Ep=k2 p

r3

Ahoracalcularemos la EQ creado por cada carga en el punto Q.

De la figura anterior se puede plantear que, a partir de la ecuación del campo eléctrico, se puede escribir que

EQ=kq

(r2+ l2

4)

De la figura se puede ver que las componentes en el eje “y”, se anulan y las componentes en el eje x son Esenφ.

EQT=2 Esenφ; pero; senφ=¿( l2) /(r2+ l

2

4)

½

Por lo tanto sustituyendo, tendremos:

EQT=

k 2q

(r2+ l2

4)∗ l

2

(r2+ l2

4)

½

39

Si r>>l se pueden despreciar l2

4 del denominador y la expresión se

reduce a:

EQT=kql

r3 ; si convenimos que =ql tendremos lo siguiente:

EQT=kp

r3

Vemos, por lo tanto, que en ambos puntos p y Q, la E es proporcional a , e inversamente proporcional a r3 al centro del dipolo.

1.2.4.- Campo eléctrico de una distribución continua

En algunas situaciones, el sistema de cargas se puede considerar como si fuera continua, si en ese grupo de cargas, la distancia existente entre ellas, es mucha más reducida que la distancia que hay desde el grupo de interés (por ejemplo un punto donde se desea calcular el campo eléctrico) En esta situación, el sistema se puede considerar continuo.

Es decir, el sistema de cargas separadas por distancias muy reducidas, es equivalente a una carga total, distribuida de forma continua a lo largo de una línea, sobre alguna superficie, o en interior de un volumen.

Entonces para hallar el campo Eléctrico creado por una distribución continua de carga podemos seguir los pasos siguientes:

1.- tomamos pequeños incrementos de carga Δq como se puede observar en la figura.

2.- utilizamos la ecuación ∆ E=k∆q

r2r para calcular el campo eléctrico en

P debido a uno de estos elementos.

3.- evaluamos el campo eléctrico total en P, debido a la distribución de carga sumando las contribuciones de todos los elementos de carga (esto es aplicando el principio de superposición )

La ecuación que se aplicaría finalmente seria de la siguiente manera

E=k∑i

∆q i

r i2 r=k lim

∆q→0∑i

∆qiri

2 r=k∫ dqr2 r

40

En donde la integral abarca toda la distribución de carga.

En los ejemplos que se trataran a continuación supondremos que la carga está distribuida de forma uniforme a lo largo de una línea, sobre una superficie o en el interior de un volumen.

Para tratar lo anterior, definiremos lo que es densidad de carga

Densidad de carga volumétrica ρ=QV

(coul /m3)

Densidad de carga superficial σ=QA

(coul /m2)

Densidad de carga lineal λ=Ql(coul /m)

Si las cargas no están distribuidas de manera uniforme a lo largo de una línea, superficie ó volumen pequeños, las cargas “dq” estarán dadas de la manera siguiente:

dq=λ dldq=σdA y dq= ρdV

1.2.4.1.- Cálculo de E con distribución de carga continúa

Cuando se tiene que resolver problemas que involucren distribución de cargas continuas, las sumas vectoriales para evaluar el campo eléctrico total en algún punto deben ser remplazadas por integrales vectoriales. Divida la distribución de carga en fracciones infinitesimales, y calcule la suma vectorial integrando en toda la distribución de la carga.

En el caso de distribuciones de cargas puntuales y continuas, aproveche cualquier simetría presente en el sistema para simplificar sus cálculos.

Campo eléctrico de un anillo con carga uniforme.

De acuerdo a la figura 1.10 siguiente

En la que se muestra un anillo de radio “a” y que tiene y una carga total Q positiva distribuida de manera uniforme. Calcule el campo eléctrico

41

generado por el anillo en un punto P a una distancia “x” de su centro y a lo largo del eje central perpendicular al eje del anillo.

Figura 1.10. Anillo cargado de manera uniforme de radio a. (a) Campo en P sobre el eje de las x debido a un elemento de carga dq. (b) El campo eléctrico total en P se encuentra a lo largo del eje de las x. El componente perpendicular del campo en P debido al segmento 1 es cancelado por el componente perpendicular correspondiente debido al segmento 2.

Solución:

El campo eléctrico para el anillo viene dado por la siguiente ecuación para un segmento de carga “dq”

dE=kdq

r2

La componente en el eje de las “x” es:d Ex=dE cosθ

La componente en el eje de las “y” perpendicular al eje de las “x” está dada por:d Ey=dEsenθ quees perpendicular al eje de las x como lo muestra la figura (a)

Como se puede observar también en la figura (b), las componentes en el eje de las “y” se anulan entre sí, de todos los distintos segmentos de la distribución de carga del anillo, es decir, la sumatoria de todas estas componentes es igual a cero.

De tal forma que el campo resultante en el punto “P” debe extenderse a lo largo del eje de las “x” y viene expresado por las siguientes ecuaciones:

42

como cosθ= xryr=(x2+a2 )3 /2

Sustituyendo en la ecuación que se muestra

abajo tendremos:

d Ex=dE cosθ=(k dqr2 ) xr =kx

(x2+a2 )3 /2 dq

Entonces integrando la ecuación anterior, ya que todos los segmentos del anillo contribuyen de igual manera a campo en P, porque todos ellos son equidistantes a dicho punto.

E x=∫ kx

(x2+a2 )3/2dq= kx

(x2+a2 )3 /2∫dq

Entonces E x=kx

(x2+a2 )3 /2Q

Línea de carga infinita

La siguiente figura muestra una sección de línea infinita de carga cuya densidad de carga lineal tiene el valor constante de λ ¿Cuál es el campo E a una distancia “y” de la línea?

43

Figura 1.11. Una línea de carga uniforme de gran longitud. El elemento de longitud “dz” da una contribución “dE” al campo eléctrico en el punto P, cuya distancia “y” a partir de la línea, es pequeña comparada con la longitud de la línea

Solución

dE para este problema se puede expresar de acuerdo a la siguiente ecuación:

d E=kdq

r 2=k

λdz

y2+z2

Donde dq=λ dz y r2= y2+z2 de acuerdo a la figura

Y además las componentes de acuerdo también a la figura son:

d E z=dE senθd Ey=dE cosθ

Por lo tanto

Ey=¿∫dE y= ∫

z=−∞

z=+∞

dEcosθ y Ez=¿∫dE

z=¿ ∫

z=−∞

z=+ ∞

dEsenθ¿¿¿

Se puede simplificar el cálculo usando la simetría de la figura, es decir que para elementos de carga en “z” positivo existe un elemento correspondiente en “z” negativo, de tal modo que las componentes en “z” de sus campos se cancelan en P. Entonces el campo resultante se orienta solamente sobre el eje “y” pasando por el centro de la línea, sin embargo, si la línea es infinitamente larga, estamos siempre en su “centro” y nunca cerca de ningún extremo.

44

Tomando en cuenta que la línea sobre la que se quiere calcular E, es a la mitad de la barra sobre el eje de las “y”. Cada mitad de la barra contribuye a dicho campo resultante y podemos establecer la siguiente ecuación.(cambiamos los límites de -∞a+∞ por oa∞ y lomultiplicamos por 2¿

E=Ey=2∫0

∞

dEcosθ=2k∫0

∞λdzy2+z2 COSθ=2

14 π ε0

∫0

∞λ dzy2+z2 COSθ=¿ λ

2π ε 0∫

0

∞dz

y2+z2 cosθ ¿

Pero de la figura se puede obtener las siguientes relaciones

z= y tanθ entoncesdz= y sec2θdθ

Que nos permite eliminar una de las variables, en este caso a “z” y escribimos, sustituyendo estas relaciones en la ecuación anterior obteniéndose las ecuaciones que se muestran

E= λ2 π ε0

∫0

π2

y sec2θdθy2+ y2 tan2θ

cosθ= λ2π ε 0

∫0

π2

y sec2θdθy2(1+ tan2θ)

cosθ= λ2 π ε0

∫0

π2sec2θdθy sec2θ

cosθ

E= λ2 π ε0 y

∫0

π2

cosθdθ= λ2π ε0 y

Nota: El otro cambio de límites que se realizó, se puede comprobar observando la figura, ya que a medida que la “dq” se va tomando más hacia abajo o hacia arriba de la barra, el ánguloθ va tendiendo a π /2

Campo eléctrico de un disco cargado de manera uniforme.

45

Figura 1.12. Disco de radio R cargado de manera uniforme. El campo eléctrico en un punto P sobre el eje está dirigido a lo largo del eje central perpendicular al plano del disco.

El disco que muestra la figura, tiene una densidad de carga superficial uniforme σ y un radio “R”. Calcule E, en un punto P que esta sobre el eje perpendicular al centro del disco y a una distancia “x” del mismo.

Solución:

Como ya se ha resuelto el problema para un anillo cargado en un problema anterior, podemos usar ese resultado, y después sumar la contribución de todos los anillos que conforman el disco. Usando las recomendaciones de simetría, el campo en un punto axial deberá estar a lo largo del eje central.

La superficie del disco que se muestra en la figura viene dado por:

dA=2 πrdr por lo tantodq=σdA=σ 2 πrdr

Usando este resultado en la ecuación hallada para el anillo, remplazando “r” por “a” se obtiene el campo debido al anillo

d Ex=kx¿¿

Ahora para calcular el campo total en el punto P, se integra la expresión anterior desde los limites r=0 yr=R tomando en cuenta que “x ” es constante, tal como a continuación se muestra

E x=kxπσ∫0

R2 rdr¿¿ ¿

¿kxπσ [ (x2+r2 )−1 /2

−1/2 ] valuando de 0 a R

E x=(1− x

(x2+R2)12 )

La expresión anterior es válida para toda x>0

46

Si se pide hallar para R>>x (es decir el campo muy cerca del disco a lo largo de su eje) la ecuación anterior se reduce de la siguiente manera

Ex=2πkσ=2π ( 14 π ε0

)σ=σ

2 ϵ0

Donde ϵ 0 es la permitividad del vacío

1.2.5- Problemas de campo eléctrico

Problema: calcular la E a una distancia de 1 milimicra de un núcleo de Helio cuya carga es 2 e−¿¿.

Datos:

2 electrones= (2)(1.6x10−19)=3.2x10−19coul.

1 mmicra=10−9= r

Solución:

E=(9 X109)(3.2 X 10−19)

(10¿¿−9)2=28.8 X 1010 /10−18 ¿

E=28.8 X 108New /coul

Problema: ¿Cuál es la intensidad de campo creado por un átomo de oro a una distancia de 10−12 cm?

El núcleo del átomo de oro tiene 118 neutrones y 79 protones.

Datos:

r=10−12 cm=10−14mts

q=1.6 x10−19coul

Solución:

E=(9 x109)(1.6 x 10−19)(79)

¿¿

E=1.375x 10−10 /10−28=1.375x 1018

47

E=1.375 x1021New /coul

Problema: ¿Cuál será la E creado por un protón a una distancia del mismo de 5.28x10−9 cm?

Datos:

r=5.28x10−11mts

q=1.06 x10−19coul

Solución:

E=(9 x109)(1.6 x 10−19)

¿¿

E=14.4 x10−10 /27.8 x 10−22=0.518 x1012

E=5 .18 x1011New /coul

Problema: la intensidad de E entre las láminas de un cierto oscilógrafo de rayos catódicos es de 30,000 New /coul.

a) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre un electrón, cuando pasa entre ellas?

F=(3 x104 ) (1.6 x10−19)=4.8 x 10−15newt

b) ¿Cuál es la aceleración de este e−¿¿, cuando esta sometido a esa fuerza?

F=ma , a=Fm

a=4.8 x10−15

9.1 x10−31

a=5 .2x 1015 m

seg2

48

Ejemplo

Un electrón es proyectado con una v0=107m /seg dentro del campo

creado por las láminas planas paralelas de la figura.

El campo, está dirigido verticalmente hacia abajo, y es nulo, excepto en el espacio comprendido entre las láminas; el electrón entra en el campo, por un punto situado a igual distancia de las láminas.

2cm

1 cm v0

a) Si, cuando sale del campo, el electrón pasa justamente por el borde el de la lámina superior, calcúlese la intensidad de dicho campo.

v f2=v0

2+2as ; v f=v0, v02=2as; a=

v02

2 s

F=ma; F=mv02/2 s

F=(9.1 x10−31 ) (1014 )

2 (2 x10−2)=2.27 x 10−15Newt

E=Fq

=2.27 x 10−15

1.6 x 10−19 ; E=1.41x 104 Newt /coul

b) Determine la dirección de la velocidad del e−¿¿ cuando sale del E.

1cm

2cm

θ

Tangθ= ½

θ=angulo tang 0.5

θ=27°

49

Tarea: un electrón es lanzado dentro de un E uniforme igual a 5000 Newt /coul dirigido verticalmente hacia arriba la v0=107m /seg2 y forma 30°

por arriba de la horizontal.

a) Calcúlese la altura máxima alcanzada por el e−¿¿ por encima de su altura inicial.

b) Que distancia horizontal recorre el e−¿¿ antes de volver a su altura inicial.

c) Dibuje la trayectoria del e−¿¿.

1.2.6.- Teorema de gauss

Si se considera una superficie cerrada de forma cualquiera en un campo eléctrico, el número neto de líneas de fuerza que cruzan la superficie hacia afuera, es igual a la carga positiva neta dentro de la superficie, independientemente de cómo estén distribuidas las cargas.

∫ εo EdAcosφ=q

Aplicando la ley de Gauss:

N=ϕE=∫a

εo EdA+∫b

ε oEdA+¿∫c

ε oEdA ¿

N=∫a

εo E cos180 ° dA+∫b

εo E cos90 ° dA+¿∫c

εo Ecos0 ° dA=0¿

50

La figura muestra una sección infinita de carga, la densidad lineal de carga λ (coul/m), es constante para todos los puntos de la línea. Encontrar una expresión para E a una distancia de la línea.(Ver figura A)

Por simetría, E debida a una carga lineal uniforme tiene que estar forzosamente en dirección radial. Como su superficie gaussiana elegimos un cilindro de radio r y longitud h cerrado en ambos extremos con tapas planas normales al eje.

E=cte por toda esa superficie cilíndrica y el flujo de E, que pasa por esa superficie es:

E (2πrh )=E∗A

No hay flujo en las tapas circulares, porque E en ellas está en la superficie en todos los puntos.

La carga encerrada por la superficie gaussiana es: λh

Por lo tanto:

ε o∮EdA=q

ε oE2 πrh=q

E= λ2 πr εo

La dirección de E, es radialmente hacia afuera para una barra cargada positivamente.

h

51

Nótese, cuando más sencillas es la solución, usando la ley de gauss, que usando los métodos de integración. Nótese también, que la solución utilizando la ley de gauss, es posible solamente si elegimos nuestra superficie gaussiana, aprovechando totalmente la ventaja de la simetría radial del campo eléctrico producido por una larga línea de carga.

Estamos en libertad de escoger una superficie cualquiera, tal como la de un cubo o una esfera, como superficie gaussiana. Aun cuando la ley de gauss, es válida para cualquiera de estas superficies, no todas son útiles para el problema de que se trata; solamente la superficie cilíndrica es adecuada en este caso.

La ley de gauss, tiene la propiedad de que proporciona una teoría útil para el cálculo, solo en aquellos problemas que tienen cierto grado de simetría, pero en tales problemas las soluciones son notablemente sencillas.

1.2.7.- E entre láminas paralelas

52

En la mayor parte de los casos, la dispersión es despreciable y cuando no lo es, se suele despreciar para mayor sencillez de los cálculos.

Puede calcularse la E por la fórmula:

E=k∫ dq

r2

Realizando una doble integración que abarque ambas láminas.

Pero se facilita más, utilizando la ley de gauss. Utilizando el pequeño rectángulo, sus caras dA son perpendiculares a el plano de la figura, una de ellas se encuentra dentro del conductor; y la otra en el campo E uniforme y σ=coul /m2. Las líneas de fuerza, atraviesan únicamente la cara que se encuentra situada entre las láminas, ya que el campo dentro del conductor es nulo.

N=εo ExdA

Q dentro del rectángulo=𝜎dA

Según el teorema de gauss: ε oEx dA=q=σdA

Por lo tanto:

E= σεo

En la práctica, los campos eléctricos son producidos con más frecuencia por cargas distribuidas sobre láminas paralelas que por cualquier conjunto de cargas puntuales.

1.3.-Potencial eléctrico

1.3.1.-Energia potencial

En este tema introduciremos el método de la energía para el estudio de la electrostática. Comenzamos con la energía potencial eléctrica, un escalar que caracteriza a una fuerza electrostática, de la misma forma que la energía potencial gravitatoria caracteriza a una fuerza gravitatoria.

53

Como vimos en uno de los temas anteriores, las fuerzas gravitacionales y electrostáticas son muy semejantes.

Lo mismo se puede decir de los campos gravitacionales y Eléctricos respecto a su semejanza.

Recordaremos también que

∆U=−Wab=−¿∫

a

b

F∙ ds=U b−U a¿

∆U=−q0∫a

b

E ∙ds

Donde:

∆U es ladiferencia en laenergia potencial

W abes el trabajo realizado por la fuerzacuando la particula semuevedeahaci ab

Todo lo anterior es válido si las fuerzas son conservativas.

Debemos generalizar de la diferencia en energía potencial a la energía potencial misma, al definir la energía potencial como cero en un punto de referencia apropiado, esto es, elegir el punto de referencia en que la energía potencial corresponda a una separación infinita de las partículas(es decir donde la fuerza sea cero) y luego definir que la energía potencial es cero para esa condición.

Hay que recordar, que una fuerza es conservativa, cuando una partícula que se desplaza de a hacia b es independiente de la trayectoria seguida entre esas posiciones.

La fuerza electrostática y la gravitacional son conservativas, y por lo tanto la electrostática se puede representar por una energía potencial

Aunque esta, puede ser de atracción y de repulsión (dependiendo de los signos de las cargas) y la gravitacional es solamente de atracción, esta diferencia puede afectar el signo de la energía potencial pero de ninguna manera cambia el argumento basado en la analogía entre las fuerzas.

Al dividir la energía potencial entre la carga de prueba, se obtiene una cantidad física que depende solo de la distribución fuente de carga.

54

La energía potencial por unidad de carga (Uq0

) es independiente del valor

de q0 y tiene un valor en cada uno de los puntos de un campo eléctrico, esta cantidad se conoce como potencial eléctrico (o simplemente potencial)”V”, algebraicamente viene expresado por la siguiente ecuación

V=Uq0

El hecho de que la energía potencial sea una cantidad escalar significa que el potencial eléctrico también lo es.

Entonces el potencial eléctrico se puede expresar también de la siguiente manera

V=Uq0

=−∫a

b

E ∙ds

La diferencia de potencial no debe confundirse con la diferencia en energía potencial.

La diferencia de potencial entre “a” y” b” depende solo de la distribución fuente de carga (considere lo puntos a y b sin tomar en cuenta la presencia de la carga de prueba) mientras que la diferencia en energía potencial existe solo si se desplaza una carga de prueba entre los puntos. El potencial eléctrico es una característica escalar de un campo eléctrico, independientemente de las cargas que puedan haber sido colocadas en el campo

55

Una carga positiva de prueba q ,(tal como una pequeña esfera cargada, situada en el extremo de una varilla aislante) que se desplaza sobre la trayectoria a-b. E, puede variar de dirección de un punto a otro, no se han representado las cargas que crean el campo ni se han tenido en

cuenta las fuerzas gravitatorias y rozamientos (donde q ,=q0).

q ,E=¿Fuerza ejercida por la carga, y por el campo, en un punto arbitrario a lo largo de la línea.

F= es la fuerza exterior, no eléctrica, que actúa sobre la carga.

ΣFn=Fsenφ+q,Esenθ=¿Fuerza centrípeta.

ΣF t=Fcosφ+q ,Ecosθ

ΣFn= fuerza centrípeta, modifica la dirección, pero no el valor de la velocidad de la carga.

ΣF t= la fuerza tangencial, comunica a la carga una aceleración a lo largo de su trayectoria.

Por lo tanto:

Fcosφ+q ,Ecosθ=ma

a=dvdt

=

dvdt

∗ds

ds=

dvds

∗ds

dt=v

dvds

56

Fcosφ+q ,Ecosθ=mvdvds

dsFcosφ+ds q,Ecosθ=mvdv

Fcosφds=mv dv−q ,Ecosθds−−−−(A )

Dónde:

. dw=Fcosφds= trabajo realizado sobre la carga por la fuerza F durante el desplazamiento ds.

mv dv=d (½mv2)= aumento de la energía cinética de la carga.

d (EC )=d ( ½mv2)=mv dv

-q ,Ecosθds = trabajo realizado, contra la fuerza eléctrica q ,E ejercida sobre la carga por el campo. El signo negativo indica, que se ha ejercido trabajo contra las fuerzas eléctricas o sea, el aumento total de energía potencial.

Por lo tanto:

d (EP )=−q ,Ecosθds=incremento de energía potencial. (A)

Es la forma de trabajo-energía, cuando se desplaza un cuerpo eléctrico.

dw=d (EC )−d (EP )

Integrando (A) tendríamos:

∫a

b

Fcosφds=∫va

vb

mv dv−∫a

b

q ,Ecosθds−−−−(B)

Las pruebas a y b, no son el sentido usual; sino que, sirven simplemente para indicar los puntos extremos de la trayectoria.

Si va=vb caso especial Ec=0

Por lo tanto:

∫b

b

Fcosφds=−∫a

b

q,Ecosθ ds=E pb−E pa

57

Esto es, la expresión general de las diferencias de Ep de la carga de prueba q , en los puntos a y b de un campo eléctrico.

ECb−ECa

+Epb+E pa

=0

ECb+E pb

=ECa+E pa

=CTE

Esto es, cuando la única fuerza actuante es la del campo, la suma de la Ec+Ep, es la misma en todos los puntos.

−∫a

b

q ,Ecosθds=Epb−Epa

Esta es, la expresión general de las diferencias de Ep de la carga de prueba q , en los puntos a y b de un campo eléctrico.

Antes que podamos hablar de Ep de la carga en cualquier punto, es necesario que convengamos en atribuir, arbitrariamente, energía potencial nula a cierto punto de referencia; esto es, la Ep de la carga de prueba se supone nula cuando está muy alejada de las otras cargas que crean el campo.

Si la carga de prueba, se trae desde el infinito a un punto cualquiera del campo. El trabajo realizado (W) contra la fuerza ejercida sobre ella por el campo es igual a la Ep en el punto.

Si suponemos” a” en el infinito EPa=0

E Pb=−∫∞

b

q,Ecosθ ds

El punto b puede ser, un punto cualquiera del campo. Podemos suprimir el subíndice ya que el punto puede ser cualquiera.

EP=−∫ q,Ecosθds

Donde se entiende, que la integral es curvilínea desde el infinito hasta el punto en cuestión.

La Ep de una carga de prueba en un punto de un campo eléctrico puede definirse como; el trabajo realizado contra la fuerza ejercida sobre ella por el campo, cuando se trae la carga desde el infinito al punto.

Este trabajo es independiente de la trayectoria.

58

1.3.2.-Potencial (V)

Potencial en un punto de un campo eléctrico se define como, la razón de la energía potencial de un cuerpo de prueba, al valor de su carga o sea Ep por unidad de carga.

Va=EP a/q0

EPa=V aq0

Puesto que la energía es una magnitud escalar el potencial es también escalar.

V=−∫ q ,Ecosθdsq,

=−∫ Ecosθds

Donde se toma la integral a lo largo de un a línea, que va desde el infinito hasta el punto considerado.

Potencial en un punto, es igual a la integral de línea de la E desde el infinito al punto cambiada de signo.

Físicamente, es igual al trabajo realizado por unidad de carga, contra la fuerza ejercida por el campo, cuando se trae la carga desde el infinito al punto escogido.

Unidades

El potencial en un punto de un campo electrostático será un voltio, si al traer una carga de un coulomb desde el infinito al punto, venciendo las fuerzas del campo, es necesario realizar un trabajo de 1 julio.

MKS

V=julios/coulomb

Voltio=1 julio/coulomb

1 julio= 107 ergios

1KV=103 volts

1MV= 106 volts

CGS

V=ergios/vec

KV= 10−3 volts

MV=10−6 volts

V= ergios/UEC = 300 V.

U.E.C= Unidad eléctrica de potencial

59

1.3.2.1.-Diferencia de potencial

vb−¿va=−∫

a

b

E cosθds=EPb

q0

−EP a

q0

volts¿

Se dice que el punto “b” está a un potencial superior al de “a” si se realiza trabajo contra las fuerzas eléctricas para mover una carga (+) desde a⟶b. esto es la E Pb>E Pa.

vab¿ va−¿vb ;¿ Aquí, +va=¿ Potencial más elevado. Y se ha realizado un

trabajo desde b⟶a de una carga positiva contra el campo.

Si vab es (-),vb=¿¿Potencial mas elevado; puede obtenerse trabajo del campo vab=−v ba cuando se permite la carga (+) moverse desde a⟶b.

Estas diferencias pueden medirse con el electroscopio, electrómetros, y voltímetros.

1.3.2.2.- Expresión para potencial debido a una carga punto:

Figura. (a)Una carga de prueba q0 se mueve desdea hasta b a lo largo de una línea radial desde una carga positiva q que crea un campo eléctrico E. (b) La carga de prueba se mueve desde b hasta c a lo largo del arco de un arco centrado en q

60

V b−V a=−∫a

b

E .ds

Edscosϴ=E ∙ds=E ∙dr=Edr; ds=dr y θ=180

V b−V a=−∫a

b

Edr ;

Usando la ecuacion del campo eléctrico para una carga puntual

E= 14 π ε0

q+¿

r 2 =kq+¿

r2 ¿¿

V b−V a=−k q+¿∫

a

bdrr2 =−k q

+¿ [ r−2dr ]a

b=−kq [ r−2+1

−2+1]=−kq [ r−1

−1 ]=k q+¿ [ 1r ]ab¿¿

¿

V b−V a=k q+¿[ 1

rb− 1ra ]¿ ; ra→∞;

1ra→0

V b−V a=kq1r b

Ahora eliminando el índice b, tendremos:

V= 14π ε0

qr Ecuación general

Además la ecuaciónV b−V a=k q+¿[ 1

rb− 1ra ]¿ hallada anteriormente se cumple

para la diferencia de potencial entre dos puntos aun cuando no se encuentren sobre la misma línea radial. La figura b)(arriba) muestra los puntos arbitrarios a y c . Ya que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria, estamos en libertad de elegir la trayectoria que sea más sencilla para la cual podamos calcular la diferencia de potencial. Elegimos la trayectoria abc ,en la cual ab es radial y bcesta a lo largo del arco de un circulo centrado en q . El campo no realiza ningún trabajo a lo largo de bc, ya que E es perpendicular a ds en todas partes sobre bc, y así la diferencia de potencial entre a y c es también dada por la misma ecuación

V b−V a=k q+¿[ 1

rb− 1ra ]¿

61

Por lo tanto, si deseamos calcular el potencial en cualquier punto (en lugar de la diferencia de potencial entre dos puntos) es ya costumbre elegir un punto de referencia en el infinito.

Elegimos que “a” este en el infinito (esto es que “a” tienda a infinito) y definimos a V a como cero en esta posición.

La ecuación V= 14π ε0

qr es también válida para cualquier distribución

esféricamente simétrica de la carga total q, siempre y cuando r sea mayor que el radio de la distribución.

La ecuacion anterior muestra que a grandes distancias el potencial debido a una carga puntual positiva es cero y crece hacia valores positivos grandes conforme nos acercamos a la carga. Si la carga es negativa, el potencial tiende a valores negativos cerca de la carga.

Nótese que los resultados de las gráficas que se muestran a continuación, no dependen, en absoluto, del signo de la carga de prueba empleada en el cálculo.

Las dos figuras siguientes muestran las gráficas de la ecuación generadas por una computadora, para una carga puntual positiva y para un dipolo

62

Figura. El potencial eléctrico en el plano alrededor de una carga positiva única esta trazado sobre el eje vertical, (para una carga negativa el potencial se vería como un agujero, no como una

colina) la línea roja muestra la naturaleza 1r del potencial

eléctrico

Figura. Potencial eléctrico en un plano que contiene un dipolo

Para calcular el potencial eléctrico de un grupo de cargas en un punto cualquiera se siguen los pasos siguientes:

a) Calcular el potencial V n debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran.

b) Sumar las cantidades así obtenidas.

V=ΣV n=kΣqn

rn (Suma geométrica)

Donde.

qn=Enésima carga.rn= Distancia de la carga enésima hasta el punto en cuestión.

1.3.3.-Potencial (V) para distribución de carga continúa.

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos.

63

V=∫ dV=K∫ dqr

El cálculo es más sencillo para el potencial, porque el potencial es un escalar, y por lo tanto no es necesario tomar en cuente las diferentes direcciones de las contribuciones de cada uno de los distintos elementos de carga.

Al igual que se hizo para el cálculo del campo eléctrico, supondremos que ya tenemos una línea, superficie o volumen con densidad de carga, y por lo tanto podemos obtener las “dq” respectivas con las ecuaciones ya conocidas

dq=λ dldq=σdA y dq= ρdV

De acuerdo con la geometría del problema

1.3.4.- Energía potencial para un sistema de cargas.

Consideremos ahora la energía potencial de un sistema formado por dos partículas cargadas. Si V2 es el potencial eléctrico en punto P debido a la carga q2, entonces el trabajo que debe realizar un agente externo para traer una segunda carga q1 desde el infinito hasta P sin aceleración es igual q1 V 2 . Este trabajo representa una transferencia de energía para el interior del sistema y aparece en este como una energía potencial U cuando las partículas están separadas una distancia r12 (ver figura).

Figura. a) Si dos cargas puntuales estan separadas una distancia r12, la energia potencial del par de cargas es dado por

64

k e

q1q2

r 12 b) si se elimina la carga q1 existira un potencialk e

q2

r12 en

el punto P debidoa la carga q2

Por lo tanto, podemos expresar la energía potencial del sistema como

U=keq1q2

r12

Observe que si las cargas son del mismo signo, U es positiva (primer caso), si las cargas son de signos opuestos U es negativa (segundo caso).

Lo anterior es consistente con el hecho que un agente externo debe realizar un trabajo positivo sobre un sistema para acercar las dos cargas positivas (para el primer caso), y en el segundo caso significa que un agente externo debe realizar un trabajo negativo en contra de las fuerzas de atracción entre las cargas de signos opuestos al acercar la una a la otra (debe aplicarse una fuerza opuesta al desplazamiento para impedir que q1 se acelere hacia q2)

Si el sistema consiste en más de dos partículas cargadas podemos obtener la energía potencial total si calculamos U para cada par de cargas y sumamos los términos algebraicamente. Como un ejemplo, la energía potencial total del sistema de tres cargas (véase la figura)

Figura. tres cargas puntuales están fijas en Las posiciones que se muestran. La energía potencial de este sistema de cargas está dada por le ecuacion A

Será expresado de la manera siguiente:

65

U=ke (q1q2

r12

+q1q3

r 13

+q2q3

r23

)---------------------------A

La ecuacion anterior se puede interpretar de la siguiente manera:

Imagine que q1 está fija en la posición que muestra la figura, pero que q2

y q3 están en el infinito. El trabajo que debe realizar un agente externo

para traer a q2 del infinito a una posición cerca de q1 es k e

q1q2

r 12

Que es el primer término de la ecuación, y los dos últimos términos representan el trabajo requerido para mover a q3 del infinito a una posición cerca de q1 y q2 (el resultado es independiente de cómo se transporten las cargas)

1.4.- Relación entre el campo eléctrico (E) y el potencial (V)

Las ecuaciones del cambio de energía potencial eléctrica de un sistema ∆U y la diferencia de potencial entre dos puntos ∆V son validas en todos los campos eléctricos, sean estos uniformes o variables, pero se puede simplificar estas ecuaciones si el campo es uniforme.

Si tomamos en cuenta estas ecuaciones el potencial está dado por

∆V=−El

Si |s|=d

El signo negativo indica que el potencial eléctrico en el punto B es inferior al del punto A, esto es, V B<V A .Esto nos indica que las líneas del campo eléctrico siempre apuntan en dirección del decremento del potencial eléctrico.

Ahora suponga que una carga de prueba q0 se mueve desde A hacia B. podemos calcular el cambio en la energía potencial del sistema caga-campo con la ecuación

∆U=q0∆V=−q0Ed

Véase las figuras (abajo) siguientes

66

Figura. a) cuando el campo eléctrico E se dirige hacia abajo, el punto B se encuentra en un potencial eléctrico menor que el punto A. Cuando una carga de prueba positiva se desplaza desde el punto A hacia el punto B, el sistema carga-campo pierde energía potencial eléctrica b). Cuando un objeto de masa “m” se mueve hacia abajo en dirección del campo gravitacional “g”, el sistema objeto –campo pierde energía potencial gravitacional

Estas dos cantidades eléctricas están relacionadas de acuerdo a la ecuacion matemática vista anteriormente

V=−∫a

b

E ∙ds

Que también lo podemos escribir de la siguiente forma

dV=−E ∙ds

Si tiene una componente en x, y, z entonces, se pude escribir como una derivada parcial como se muestra

E=−∂V∂xyz

O bien si solamente varia con respecto a x la ecuación se escribe

dV=−Exdx obien Ex=−dVdx

Esto quiere decir, que el campo eléctrico es igual al negativo de la derivada del potencial eléctrico en cualquier punto del espacio.

67

Cuando una carga eléctrica de prueba sufre un desplazamiento ds a lo largo de una superficie equipotencial, entonces dV=0 ya que el potencial es constante en una superficie equipotencial.

De la ecuación dV=−E ∙ds=0; por lo tanto, E debe ser perpendicular al desplazamiento a lo largo de la superficie equipotencial.

Esto nos lleva a concluir que las superficies equipotenciales siempre deben ser perpendiculares a las líneas de campo eléctrico que pasa a través de ella, como se observa en la figura siguiente:

Figura.- Superficies equipotenciales (las líneas punteadas son las intersecciones de estas superficies con la pagina)y las líneas de campo eléctrico. Para a) un campo eléctrico uniforme producido por un plano infinito de carga b) una carga puntual, y c) un dipolo eléctrico. En todos los casos las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas del campo eléctrico en todos los puntos.

68

Figura.- Porciones de cuatro superficies equipotenciales.Se muestran cuatro trayectorias diferentes para el movimiento de una partícula de prueba.

A cualquier superficie formada por una distribución continua de puntos con el mismo potencial eléctrico se le denomina superficie equipotencial

1.5.- Problemas de potencial eléctrico:

En la figura se mueve una carga q (carga +) sin aceleración desde A⟶B. siguiendo la trayectoria que se muestra. Calcúlese vAB.

Datos:

l= 12cm

E= 80 new/coul

Para AC 𝛳=135°

Que es el ángulo que está formando el campo y la trayectoria según la figura, de al lado

V C−V A=−∫A

C

E cosθds=−∫A

C

E cos135 ° ds

cos (90°+a )=−sena; cos (90°+45 )=−sen 45°=−0.7071=cos135

V C−V A=E√ 2

∫A

C

ds=¿ E√2

s¿; cos135 °=¿−sen45 °=−1√2

¿

Pero la trayectoria que sigue la carga es “s” por lo tanto :

s=CA= lcos 45°

= l

√2=√2 l

Entonces

69

V C−V A=E

√2√2l=El

Sustituyendo los valores proporcionados, tendremos

V C−V A=80∗0.12=9.6Volts

Para el movimiento de la particular de C hacia B, el campo y la trayectoria están formando 90 grados por lo tanto

W=∫C

B

Edscosϴ=∫C

B

E cos 90° ds=0; cos 90°=0

Los puntos B y C están al mismo potencial debido a que no se hace ningún trabajo al mover una carga entre ellos. Puesto que E y ds son perpendiculares entre sí en todos los puntos de la línea CB. En otras palabras C y B están en la misma superficie equipotencial.

Entendiéndose por superficie equipotencial, el lugar geométrico de los puntos de igual potencial eléctrico.

Así pues:

vB−v A=vC−v A=El

Este es el mismo valor obtenido para una trayectoria directa entre A y B.

Ejemplo: La figura nos muestra 2 láminas planas paralelas, cargadas

Igualmente en magnitud y dirección. Calcular vba¿vb−¿va¿

vb−va=−∫a

b

E cosθds; θ=0 ° ∴ cos𝛳=1 (ya que θ y ds formancero grados)

70

vb−va=−∫a

b

Eds; si ds=dx

vb−va=−∫x1

x2

Edx=−E ( x2−x1 )=−Ed

vb−va=−Ed; Entonces E=va−¿ vb

d¿

E=va−¿ vb

d¿ ---(L)

La ecuación (L) es más útil, puesto que V ab puede determinarse experimentalmente y la expresión E=σ /ε0 (la cual se podría calcular usan do la Ley de Gauss)

Ejemplo.- ¿Cuál es el potencial en el centro del cuadrado de la figura

suponiendo que q1=10−8 Coulomb, q2=−2 x10−8 Coulomb, q3=3 x10−8

Coulomb, q4=2x 10−8Coulomb. a=10cm.

71

q1 a q2

P

a

r

q3 a2

a2

q4

De la figura:

r=( a2 )sen45

=a √22

= a

√2=0.1

√2=0.0707

V=∑n

V n=¿k(q1+q2+q3+q4 )

r¿

V=9x109∗(1−2+3+2 ) x 10−8

0.0707

V=5091 .94 volts

Ejemplo.- dos cargas puntuales de +12x10−9 y -12x109 coul. Están separadas a 10 cm. Como indica la figura hállese los potenciales en los puntos a, b y c.

c

10cm 10cm

.+q1 - q2

b a

4 cm 6 cm 4cm

V=∑n

V n=¿k qr¿

En el punto “a” tendremos:

Va+¿=9 x

109∗12 x 10−9

6 x10−2 =1880 volts¿

72

Va−¿=9x 109−12 x10−9

4 x 10−2 =−2700¿volts

V aT=1800−2700=−900 volts

Para el punto “b”

Vb+¿=9 x

109∗12 x 10−9

4 x10−2 =2700¿volts

Vb−¿=9x

109∗−12 x 10−9

14 x 10−2 =−771¿volts

V bT=2700−771=1929 volts

Para “c”

V CT=0

Ejemplo.- calcúlese la E.P de una carga puntual de 4 x10−9 coul. Cuando esta colocada en los puntos a, b y c de la figura anterior.

E Pa=qV a=4 x10−9 (900 )=−36 ergs

E Pb=qV b=4 x10−9 (1930 )=77 ergs

E Pc=qV c=0 (Todos respecto a un punto del infinito)

Problema:

En el apartado para determinar la cara del e I por el método de Millikan, se requiere un E=6.34x104 v /m para sostener justamente una gota cargada. Si las laminas están separadas 1.5cm ¿cuál es el valor de V ab?

E=V ab

l;

V ab=El=(6.34 x 104)(1.5 x10−2)

V ab=9.5 x102volts

V ab=9500volts

73

Problema

Un electrón-voltio es una unidad de energía, igual a la EC de un electrón que ha sido acelerado partiendo del reposo con una diferencia de potencial de 1 volts.

a) Exprese esta energía en julios y en ergiosb) ¿Cuál es la velocidad de un electrón cuya EC=1 electrón-volts.

¿100electron-volts?c) Cuál es la velocidad de 1 deuterón cuya EC=100 e v.

(1deuteron=1proton y 1neutron. Masa protón=1.67x10−27kg.Masa neutrón=1.67x10−24gr=1.67 x10−27kg¿

a)

EC=1eV=1.6 x 10−19 julios

1 julio=107 ergios

1eV=1.6 x10−19

107 =1.6 x 10−26 ergios

b)

EC=½mv2=1.6 x10−19 julios

v2=2 ECm

=√ 2ECm

v=√ 2∗1.6 x10−19

9.1x 10−31=6 x 107m /seg

v=√ 2∗100∗1.6 x 10−19

9.1 x10−31=6 x106m / seg

c)

EC=½ (m p+mn )v2=100eV

74

v=√ 2∗100∗1.6 x 10−19

2∗1.67 x10−27=√ 1.6 x 10−17

1.67 x 10−27=9.8 x104m /seg

2.-CIRCUITOS ELÉCTRICOS

2.1.- Corriente y resistencia.

75

En la unidad anterior, tratamos a las cargas aisladas y en reposo, es decir en condiciones de equilibrio, que es lo que trata la electrostática.

En este unidad veremos cargas eléctricas que no están en equilibrio, es decir describiremos la rapidez del flujo de las cargas a través de alguna región del espacio, para lo cual utilizaremos el término “corriente eléctrica” (también llamada intensidad).

Algunos ejemplos son: La linterna de mano (afocador) que es activado por las baterías, la cual produce la corriente que pasa por el filamento del foquito al activa el interruptor, algo más cotidiano es la corriente que circula por un alambre de cobre que es un conductor (corriente alterna), con este tipo de corriente funcionan infinidad de aparatos, también puede haber (corriente) un haz de electrones en el cinescopio de televisión.

Aquí también definiremos lo que es resistencia eléctrica y también veremos lo que es un resistor.

2.1.1.- Corriente eléctrica

Siempre que hay un flujo neto de cargas a través de una alguna región, se dice que existe una corriente eléctrica, esta cantidad de flujo de cargas depende del material a través del cual pasan las cargas, y de la diferencia de potencial que existe de un extremo a otro del material

Es ilustrativa la analogía que se puede hacer entre el flujo de agua y la corriente eléctrica. En muchos sitios se instalan salidas de agua de bajo flujo para ahorrar dicho liquido; la forma de cuantificar este flujo que sale durante un cierto intervalo de tiempo, y que frecuentemente son litros por minuto (en una escala mayor se puede cuantificar la rapidez para la cual pasa el agua por una determinada localización en m3 /seg.).

Para mayor comprensión véase la figura siguiente (fig 2.1) supóngase que las cargas se mueven perpendicularmente a una superficie A (esta A podría ser la A transversal de un alambre; por ejemplo) “La corriente es la rapidez a la cual fluye la carga a través de esta superficie”.

76

Figura 2.1. Cargas en movimiento a través de una superficie A. La rapidez a la cual fluye la carga a través del área se define como I. La dirección de la corriente es la dirección en la cual fluyen las cargas positivas (sentido convencional) cuando tienen libertad de hacerlo.

Algebraicamente se puede escribir:

I av=∆Q∆ t

Donde ∆Q=cantidad decargaque pasaa través deesta superficie

∆ t=intervalo de tiempo

I av=corriente promedio

De acuerdo a esto definimos la corriente instantánea de forma diferencial como se muestra

I=dQdt

(amper= coulombsegundo

)

Lo ecuación anterior se puede interpretar de la siguiente manera; un Amper de corriente es equivalente a un coulomb de carga pasando a través del área en un segundo

Ahora definiremos la corriente promedio como función de otros parámetros, desde el punto de vista microscópico.

Figura 2.2. Sección de un conductor uniforme de área transversal A. los portadores de carga móvil se desplazan con una velocidad vd y el desplazamiento que experimentan en dirección de las x en un intervalo ∆t es vd∆t. Si decidimos que ∆t es el intervalo durante el cual se desplazan las cargas, en promedio, por la longitud del cilindro, el número de portadores

77

en la sección de longitud ∆x es igual a nAvd ∆t, siendo n el número de portadores por unidad de volumen

De acuerdo a la figura 2.2; consideremos la corriente en un conductor de sección transversal A. El volumen de una sección de conductor de longitud ∆x, es A ∆x. Si nes la densidad de portadores de carga, por lo que el total de portadores en la región gris es nA ∆ x . por lo tanto

∆Q=(nA∆ x )q

Donde:

(nA ∆ x )q = número de portadores en la sección х Carga por portador

.q= carga por portador

Entonces tendremos, dividiendo entre ∆ t lo siguiente

I av=∆Q∆ t

=(nA ∆ x )q

∆ t=(nA vd)q

En la que vd=∆ x∆ t

= velocidad de arrastre (velocidad promedio de los

portadores de carga dentro del material)

Debe aclararse, que los electrones no se mueven en línea recta a través del conductor. Más bien, colisionan repetidamente con los átomos metálicos y su movimiento es complicado y en zigzag (véase fig 2.3) a pesar de las colisiones, los electrones se trasladan poco a poco a lo largo del conductor (en dirección opuesta a la orientación de “E”) a la velocidad de arrastre vd

78

Figura 2.3. a) diagrama esquemático del movimiento aleatorio de dos portadores de carga en un conductor y en ausencia de un campo eléctrico. La velocidad de arrastre es igual a cero b) movimiento de dos portadores de carga en un conductor en presencia de un campo eléctrico. Observe que el movimiento aleatorio es modificado por el campo, y los portadores de carga tienen una velocidad de arrastre

2.1.2.- Densidad de corriente y ley de Ohm.

En este caso, se describirá, que es lo que ocurre cuando las cargas en un conductor no están en equilibrio, en cuyo caso existe un campo eléctrico en el conductor.

Para comprender lo anterior, definamos algebraicamente densidad de corriente (J) en el conductor con la ecuación siguiente:

J ≡IA

=(nA vd )q

A=nqvd enunidades en el SI de(

Am2 )

La expresión anterior es válida, solo si la densidad de corriente es uniforme y la superficie del área transversal, es perpendicular a la dirección de la corriente. De lo anterior se concluye que “J” es una cantidad vectorial y toma la dirección del movimiento de la carga, si esta es positiva, y si es negativa la carga, su dirección es opuesta.

En un conductor, siempre que se mantenga una diferencia de potencial en él, se establecerá una “J” y una “E”.

Otra relación que podemos establecer entre “J” y “E”, para algunos materiales, es la siguiente:

79

J=σE

Donde σ (sigma)=Conductividad del conductor y que es propio de cada material.

A la ecuación anterior se le conoce como la ley de Ohm, en honor al Físico Alemán, Georg Simón Ohm (1789-1854).

Esta ley, no es una ley fundamental de la naturaleza, sino más bien una relación empírica válida solamente para ciertos materiales.

La ley de Ohm, que es de gran importancia, en el estudio de los circuitos eléctricos se interpreta de la siguiente manera:

En muchos materiales (incluyendo la mayor parte de los metales) la relación de la densidad de corriente al campo eléctrico es una constante sigma (σ) que es independiente del campo eléctrico que produce la corriente.

Todos los materiales que cumplen la ley de Ohm (la relación entre “”J y “E”), se les conoce como materiales “Óhmicos”, y los que no la cumplen como materiales “no óhmicos”

2.2.- Diferencia de potencial, intensidad de corriente y resistencia.

80

2.2.1.- Diferencia de potencial a partir de la densidad de corriente.

Ahora podemos obtener una ecuación útil en aplicaciones práctica si hacemos las siguientes consideraciones

Consideremos un conductor de la longitud L y sección constante “A”.

Por el cual circula una i, sean V a y V b los potenciales en sus extremos, como lo muestra la figura siguiente

Figura 2.4.- conductor uniforme de longuitud l y de sección transversal A. la diferencia de potencial ∆V=vb-va qu se mantiene de un extrmo a otro del conductor establece un campo eléctrico E, y este campo produce una corriente i que es proporcional a la diferencia de potencial

Si en todos los puntos del conductor i, 𝜎 y A son constantes.

Y sabiendo que J=iA

=σE

Entonces despejando i y sustituyendo a E se obtiene la ecuación que nos

indica el valor de i=σA(-dVdl

)

Por lo tanto arreglando esta ecuación obtenemos

i dl=−σA dV

i∫0

L

dl=−σA∫V a

V b

dV

i [l ]0L=−σA [V ]Va

V b

iL=−σA (V b−V a)

81

iL=σA (V a−V b)

i=σAL

(V a−V b))=V a−V b

R=VR

Dónde:

.i=corriente aplicada

σAL

=¿ Conductancia

LσA

= ρ LA

=¿Resistencia (1/σ=ρ)

V a−V b=V=diterenciade potencial aplicado

La tabla siguiente, proporcionan las propiedades conductoras de las substancias en función de la inversa de la conductividad (σ); llamada resistividad (ρ) Tabla 2.[todos los valores están a 200 C]

Tabla 2

Debe aclararse que la resistencia es la propiedad de un objeto, y la resistividad es una propiedad de una sustancia.

Entonces todo material óhmico tiene una resistividad característica, que depende de las propiedades del material y de la temperatura

82

Donde la resistividad es la inversa de la conductividad, es decir

(ρ) resistividad=1/σ

Entonces, la resistencia(R) viene definida por la expresión

R=ρ LA

Donde R= resistencia (ohms)

ρ = resistividad (Ohms-m) y

A= área (m2).

Esta expresión, indica que, la resistencia de un material es directamente proporcional a la longitud (L). de dicho material, e inversamente proporcional al área (A) del mismo. De esto concluimos que la resistencia depende de la geometría del conductor.

2.2.2.- Ley de Ohm a partir del potencial y la resistencia

También podemos definir la resistencia como la relación de la diferencia de potencial aplicada a un conductor entre la corriente que pasa por el mismo, como lo muestran las siguientes ecuaciones:

Como i=V a−V b

R;entoncesV ab=Ri ó R=

V ab

iley deOhm

En este caso, la resistencia(R) se puede interpretar también como la oposición ofrecida por un material al flujo de una corriente.

La ley de Ohm lo podremos escribir como: “que la diferencia de potencial es directamente proporcional a la resistencia multiplicada por la intensidad de corriente que circula por el metal considerado.”

De todo lo anterior, la Ley de Ohm se puede escribir de dos formas:

J=σE

Que es la forma microscópica; y

V ab=Ri

es la forma macroscópica

83

Las unidades de la resistencia, como ya se indicó con anterioridad es el ohm (Ω) en el sistema SI, por lo que esta unidad se define como:

1Ω=1V1 A

La expresión anterior indica, que si una diferencia de potencial de 1V aplicada a un conductor genera una corriente de 1A la resistencia del conductor será de 1 Ω. Por ejemplo, si un aparato domestico conectado a una fuente de diferencia de potencial de 120 volts tiene una corriente de 10 A, su resistencia es de 12 Ω

2.3.- Resistencia y temperatura

Otra forma de escribir una expresión de la resistencia en función de otros parámetros, como son: la temperatura (T), el coeficiente de temperatura de resistividad (α) es de la siguiente manera.

R=Ro[1+α (T−T o)]

Donde α= 1ρ0

∆ ρ∆T

y ρ=ρ0[1+α (T−T 0)]

Siendo ρ la resistividad a cierta temperatura T (en grados Celsius)

ρ0 la resistividad a alguna temperatura T 0 (por lo general 20°C )

α el coeficiente de temperatura de resistividad.

∆T=T−T 0 y

∆ ρ=ρ− ρ0

2.3.1.- Cálculo de resistencias. Ejemplo1La Resistencia (a 20° c) de una barra de cierto material de 1m de longitud y 0.550cm de diámetro, es de 2.87∗10−3. Del mismo material se fabrica un disco de 2cm de diámetro y 1mm de espesor. a) ¿Cuál es la resistencia entre las caras expuestas del disco y b). ¿De qué material se trata?

a) Calculando la resistividad del material, de acuerdo a los primeros datos

84

R=2.87∗10−3ΩD=0.55cm=0.55 x 10−2m

Entonces r=D2

=r=2.75∗10−3m

Por lo tanto

A=π ¿¿

A=23.758∗10−6m2

como R= ρlAentonces ρ=RA

l=(2.87∗10¿¿−3Ω)

(23.758∗10¿¿−6m2)1m ¿¿

ρ=68.186∗10−9Ω ∙m=6.8186x 10−8Ω ∙m

b) Ahora calculamos el área de la cara del disco cuyo D=2 cm y L= 1mm

A=πr 2

A=π (0.01)2=3.1416 x10−4

A=0.314159∗10−3m2

l=1mm=0.1m=0.001m=10−4m

R=ρlA

R=(68.186∗10¿¿−9Ω ∙m)(0.001m)

0.31415965∗10−3m2 ¿

R=0.217042∗10−6Ω=217.042 x10−9Ω

b) Se trata del tungsteno o el hierro (véase la tabla 2)

Ejemplo 2

Se fabrica dos conductores de la misma longitud con el mismo material. El conducto A es un alambre solido de 1mm de diámetro. El conductor B

85

es un tubo de 2mm de diámetro externo y 1mm de diámetro interno. ¿Cuál es la relación entre las resistencias medidas entre sus extremos

Datos:

DA=1mmentonces r=12mm=5x10−4m

DB=2mmexterno ;entonces r=10−3m

DB=1mminterno;entonces r=5x 10−4m=0.5x 10−3

Solución:

A=π r2

A=π ¿¿

A=7.854∗10−7m2del conductor A

Ahora para el conductor B

AB=¿

AB=π (0.75 x 10−6)

AB=2.356202 x10−6m2del conductor B

Por lo tanto tendremos que Ra

Rb

=

ρa laAa

ρb lbAb

=Ab

Aa

Ya que ρa ¿ ρb y la=lb

Ra

Rb

=2.356202x 10−6

0.7854 x 10−6 =3

86

Ejemplo 3

Un alambre de cobre y uno de hierro, de la misma longitud, están sometidas a la misma diferencia de potencial. A).¿Cuál debe de ser la relación entre sus radios para que la corriente a través de ellos sea la misma? Y b). Puede ocurrir que la densidad de corriente sea la misma en los 2 alambres, escogiendo adecuadamente sus radios

Datos: lCu=lFeV Cu=V Fe y iCu=iFe

a) rFercu

=?

Solución:

Como iCu=iFe ; entonces V Cu

Rcu

=V Fe

RFe ; comoV Cu=V Fe ; por lo

tanto 1Rcu

= 1RFe

Sustituyendo la expresión de la resistencia resulta

1

ρCu lCuACu

= 1ρFe lFeAFe

comolCu=lFe se obtieneACu

ρCu=AFe

ρFe

π rCu2

ρCu=π rFe

2

ρFe

finalmenter Fercu

=√ ρFeρCu

=√ 10 x10−8

1.7 x10−8=2.4254

Otra forma de resolverlo es la siguiente:

Como V=Ri=ρlAi por lotanto A=ρ

lVi

ACU=ρCUlVi Suponiendo que l=2m;i=13 A y V=20V

Calculamos el área del cobre

ACU=(1.7∗10¿¿−8Ω)(2m)(13 A)

20V=0.0221∗10−6m2¿

πr2=0.0221¿10−6m2

Ahora el área del hierro

87

AFe=10 x10−8(2m)(13 A)

20V=0.13 x10−6m2

AFe

ACU

=π rFe

2

π rCu2 = 0.13 x10−6m2

0.0221∗10−6m2 =5.88

Entoncesr FerCu =2.4253

Ejemplo 4

Un alambre de nicromo (que es una aleación de níquel y cromo que se usa comúnmente en los elementos calefactores) tiene una longitud de 1m, el área de su sección transversal es de 1mm y transporta una corriente de 4 A cuando se aplica una d. d. p. de 2 V entre sus extremos. ¿Cuál es la conductividad del nicromo?

V=Ri=ρlAi

ρ=VAil

lρ=σ

Resistividad

ρ=VAil

=(2V )(1∗10¿¿−6m2)

(4 A )(1m)=0.5∗10−6Ω ∙m¿

Conductividad

σ=1ρ= 1

0.5∗10−6Ω∙m=2∗106 1

Ω∙m

Ejemplos: 5

88

Dos materiales, uno de aluminio y otro de cobre, los cuales tienen la misma longitud e igual resistencia, en donde la resistividad del cobre es 0.61 veces la del aluminio y la densidad del cobre es 3.3 veces la del aluminio. ¿Calcule la relación de las masas?

DatosLal=¿ Lcu; Ral=Rcu ; ρcu=¿0.61 ρaly D

cu=3.3D

al¿ ¿

Como sabemos que D=mVentonces Dcu=

mcu

V cu

y D al=mal

V al

Por lo tanto mcu

V cu

=3.3mal

V al

pero comoV=Al tendremosquemcu

Acu lcu=3.3

mal

Aal lal

pero comolcu=lal entoncesmcu

Acu

=3.3mal

Aal

(1)

y ademasde la ecuacion R=ρlA

como Ral=Rcuobtenemosque

ρallalAal

=ρculcuAcu

como las l soniguales

ρal

Aal

=ρcuAcu

=0.61ρalAcu

Aal=Acu

0.61−−−−−−−−−−−(2)

Entonces sustituyendo ecuación 2 en ecuación 1 tendremos finalmentemcu=¿2.01mal ¿

Ejemplo 6Un filamento de tungsteno de 1 mm de sección transversal de 0.4 m de longitud, tiene una resistencia de 0.022 ohm.

a) Cuál es su resistividad.Por tabla es 5.6 x10−8Ω−mHaciendo el cálculo según los datos tendremos

R=ρlAdespejando ρ= RA

lSustituyendo

ρ=0.022Ω(10−6m2)

0.4m=5.5 x10−8Ω−m

89

b) La resistencia de un alambre de cobre a cero grados centígrados es de 200Ω ¿Cuál es su resistencia a 60?

ρ=ρ0 (1+α∆T )=1.7 x 10−8 [1+4 x 10−3(60−0)]=0.409 x 10−8Ω−mPor lo tanto la resistencia es:

R=ρlA

=0.409 x 10−8Ω−m0.4m

10−6m2=0.1632 x10−2Ω

Ejemplo 7: Un alambre de cobre y de hierro de la misma longitud, y diámetro se unen para formar un alambre compuesto al que se le aplica la misma diferencia de potencial entre sus extremosCalcular:a) La diferencia de potencial en cada alambre; supóngase que

l=10m;D=2mm yV=100Vb) La densidad de corriente en cada alambre y el campo eléctrico

Solución

a) voltaje en cada alambre R1=Rcu yR2=Rhe

Como R=ρlA

entonces

R1=1.677 x10−8(10)

3.1416 x (10¿¿−3)2= 16.773.1416

10−8

10−6 =5.338 x10−8

10−6=0.05338=53.38mΩ¿

R2=9.7 x10−8(10)

3.1416 x (10−3)2 =30.87610−8

10−6 =0.3088Ω=308.8mΩ

RT=R1+R2=0.3622Ω=362mΩ (Porque está en serie)

I T=V T

RT

= 1000.3622

=276.09 A

V R1=I T R1=276.09 (0.05338 )=14.84 A

V R2=I T R2=276.09 (0.3088 )=85.26 A

AhoracomoE=Vl

Entonces E1=V R1

l=14.84

10=1.484 volts/m E1=

V R2

l=85.26

10=8.526volts /m

90

Finalmente sabemos que J=IA

J1=J2=I TA

= 276.09 A3.1416 x10−6=88 A /m2

Ejemplo 8 Un cable eléctrico consta de 125 hilos de alambre fino, cada uno de los cuales tiene una resistencia de 2.65 micro ohm. Se aplica la misma diferencia de potencial entre los extremos de cada hilo, y la corriente resultante total es de 750 micro amperes. Halle la corriente en cada hilo, la diferencia de potencial aplicada y la resistencia del cable.

Solución

Datos

125 hilos y están en paralelo. R=2.65μΩ ; V= igual para cada hilo

iT=¿ 750μA ¿

icada hilo=?

Puesto que están en paralelo los 125 hilos, la i se distribuye entre todos ellos por igual.

icadahilo=750μA

125=6 μA

V cada hilo=Ri=2.65 μΩ (6μA )=15.9nV

O también se puede calcular

V=RT (itotal )=0.0212 μΩ (750 μA )=15.9nV

91

Donde RT se calcula con la expresión siguiente, ya que están en paralelo

1RT

= 1R1

+ 1R2

+ 1R3

+…+ 1R125

RT=2.65x 10−6

125=0.0212 μΩ

Ejemplo 9

Un alambre con una resistencia de 6 ohm, se estira en un lado de modo que su nueva longitud es tres veces mayor que su longitud inicial. Halle la resistencia del alambre más largo, suponiendo que la resistividad y la densidad del material no hayan cambiado durante el proceso de estirado.

Solución:

Datos: R=6ΩL f=3 Li ρi=ρf Di=Df

Como R=ρlAentonces ρ= RA

l

Pero ρi=ρf tendremosqueRi A i

Li

=R f A f

L f

despejandoa R f y sustituyendoa Lf y a Ri se obtieneque

R f=18A i

A f

Pero también Di=D f y D=mVse planteaque

mi

A iLi

=mf

A f Lf

despejando A f y sustituyendoa Lf seobtiene lo siguiente

A f=Aim2

3mi

Sustituyendo esta última ecuación en R f finalmente resulta

92

R f=54mi

mf

Finalmente si mi=mf

R f=54Ω LQQD

2.4. Potencia eléctrica y sus unidades. (Transferencia de energía en un circuito eléctrico).

Si consideramos un circuito como el que muestra figura

Figura2.5 una batería B crea una corriente i en un circuito que contiene una caja negra, es decir, una caja cuyo contenido se desconoce.

Existe una corriente estable “i” en los alambres de conexión, y una diferencia de potencial estable Vab entre las terminales “a” y “b”.

La terminal “a”, conectada a la terminal positiva de la batería, está a potencial mayor que el de la terminal “b”.

La energía potencial de una carga “dq”, que se mueve a través de estas terminales disminuye en una “dqVab” (véase la figura 2.7).

El principio de la conservación de la energía nos indica, que esta energía se transfiere entre las terminales de energía eléctrica a alguna otra

93

forma. La forma de energía dependerá de lo que halla entre las terminales. En un tiempo “dt”, la energía “dU” transferida entre las terminales es

d U=dqV ab=idt V ab

Si esta “dU”, lo variamos respecto al tiempo, obtendremos la energía transferida o la potencia “P” de la siguiente forma

P=dUdt

=i V ab

Si el dispositivo entre las terminales es un acumulador, que está siendo cargado, la energía aparece en gran parte como energía química almacenada en esta segunda batería, si es un motor, la energía aparece como trabajo mecánico realizado por el motor, si es un resistor, la energía aparece en el resistor como energía interna (asociada con el movimiento atómico y observada quizás, como un aumento en la temperatura)

Una comparación de lo que pasa con este fenómeno se puede explicar en forma más cotidiana, con la caída de una piedra de masa “m” que cae desde una altura “h”, su energía potencial gravitatoria disminuye en “mgh”. Si la piedra cae en el vacío (para propósitos prácticos) en el aire, esta energía se convierte en energía cinética de la piedra. Sin embargo, si la piedra cae, en las profundidades del océano, su velocidad con el tiempo será constante, lo cual significa que la energía cinética ya no aumenta. La energía potencial disponible en cada instante mientras cae la piedra aparece entonces como energía interna de la piedra y el agua circundante. Lo que hace que la piedra deje de acelerar, es la resistencia viscosa semejante a la fricción del agua sobre la superficie de la piedra, y es en esta superficie donde ocurre la transformación en energía interna. El recorrido del electrón a través de un resistor es muy parecido al de la piedra a través del agua.

Combinando las ecuaciones para un resistor obtenemos lo siguiente

Como R=Vientonces sustituyendolo en P=i V ab=i2Ro tambien P=V

R

2

Hay que aclara que P=i V ab se aplica a toda clase de transferencia de energía.

94

Y las ecuaciones i2Ro tambien P=VR

2

solamente se aplican a la

transferencia de energía eléctrica en energía interna en un resistor, las cuales se le conocen como la ley de JOULE.

Las unidades son

1volt−ampere=1joule

coulombcoulombsegundo

=1joule

segundo=1watt

2.5. Leyes de Kirchhoff.

2.5.1. Circuitos serie y paralelo.

Los resistores se presentan en los circuitos eléctricos en diferentes combinaciones. Al analizar dichos circuitos es conveniente remplazar la combinación de resistores con una sola resistencia equivalente (Req), cuyo valor se calcula de tal modo que la operación del circuito no cambie.

Existen dos formas de considerar esta conexión de las resistencias, las cuales se les denominan Circuitos conexión en serieY circuitos conexión en paralelo.

2.5.1.1 Circuitos serie

La conexión en serie se caracteriza por los siguientes principios1.- Deben conectarse las resistencias en la forma como lo muestra la figura siguiente

Figura 2.6 Circuito con resistencias conectadas en serie

95

2.- La corriente (i), que circula por cada una de las resistencias debe ser la misma

3.- Los voltajes(V=Ri ), en cada una de las resistencias deben ser diferentes, y la suma de todos los voltajes de cada uno de los

elementos debe ser igual al voltaje total (V T=∑n

V n).

4.- La resistencia total (Req=RT), de esta conexión, es la suma de cada una de las resistencias que intervienen en el circuito serie; es decir:

Req=RT=∑n

Rn

Para aclarar estos conceptos, analicemos el circuito siguiente:

Del circuito, se puede plantear las siguientes ecuaciones, puesto que la i que circula por todo el circuito es la misma para cada resistencia (punto 1).

V 1=i R1V 2=i R2V 3=i R3

Ahora como se plantea en el punto 3

V T=V 1+V 2+V 3

iReq=i R1+i R2+i R3

iReq=i(R1+R2+R3)

Por lo tanto Req=R1+R2+R3

2.5.1.2.- Circuito paralelo.

Las características para este tipo de conexión son las siguientes:

1.- Se debe conectar como se muestra en la figura siguiente.

96

Figura 2.7 Circuitos con resistencias conectadas en paralelo.

2.- La corriente i que circula por cada elemento del circuito es diferente (iT ≠ i1≠i2≠i3)

3.- Los voltajes en cada rama del circuito son iguales al voltaje total (V T=ε=V 1=V 2=V 3)

4.- El inverso de la resistencia total o equivalente, es igual a la suma de los inversos de cada una de las resistencias que intervienen en el circuito.

Es decir, algebraicamente se expresa como

1Req

=∑n

1Rn

Ejemplifiquemos, los conceptos anteriores, utilizando el circuito que se muestra

De acuerdo al punto 2, la i para cada una de las ramas, viene expresada por las siguientes ecuaciones.

i1=VR1

i2=VR1

i3=VR1

Como

iT=i1+i2+i3 y los voltajes soniguales paracada R

VRT

= VR1

+ VR2

+ VR3

97

VRT

=V ( 1R1

+ 1R2

+ 1R3

)

Por lo tanto1RT

= 1R1

+ 1R2

+ 1R3

= 1Req

2.5.1.3.- Circuito serie –paralelo.

Ejemplo.

Encontrar la resistencia equivalente entre los puntos A y B del arreglo que se muestra. Tómese los siguientes valoresR1=R2=1Ω;R3=R6=1Ω R4=R5=4Ω

Figura 2.8. Circuito serie-paralelo

Para encontrar la resistencia equivalente vemos primero cuales están en serie y cuales en paralelo para poder combinarlas, como la 2 y la 3 están en serie tendremos

R23=R2+R3=2Ω

Como R23 ,R4 y R5estan en paraleloresulta lo siguiente

1R2345

= 1R23

+ 1R4

+ 1R5

=12+ 1

4+ 1

4=4

4=1Ω

Como este arreglo queda en serie con las resistencias 1 y 6 el resultado final es

RT=RAB=R1+R2345+R6=3Ω

2.5.1.4.- Problemas resueltos de circuitos.

Ejemplo 1

98

Una pila seca está conectada directamente con alambres a un pequeño foco luminoso, la pila tiene un a D.D.P de 1.5 volts a través de la lámpara. Si la corriente de electrones que fluye por el foco es 0.5 amp. ¿La R de la lámpara será?

R=1.50.5

=3Ω

Aunque la resistencia que hemos encontrado se supone que es la del foco, en realidad incluye la resistencia de los alambres conectores. En la práctica generalmente se usan alambres de tan baja resistencia que en la mayoría de los cálculos se puede despreciar.

Ejemplo 2. Para el circuito que se muestra calcular R

R=Vi=60

5=12

R=12Ω

Ejemplo 3. Calcule la resistencia total del circuito que se muestra

V=i R1+i R2+i R3=i(R1+R2+R3)

99

i= VR1+R2+R3

=V T

RT

RT=R1+R2+R3

Para determinar prácticamente la resistencia de un circuito eléctrico, se usa un voltímetro y un amperímetro. El voltímetro se aplica a través del circuito en paralelo, para medir la diferencia de potencial y al amperímetro se conecta en serie para medir la corriente

(a) (b)

I R

I

Voltímetro Amperímetro

I

- +

(c)

Figura 2.9. Arriba se muestra un multímetro digital (a) y un amperímetro (b). Abajo como se conectan en un circuito estos aparatos(c)

AV

100

Ejemplo4. Dibujar un diagrama lineal del circuito que se muestra en la figura a) indicando las subidas y caidas de voltaje en cada uno de los elementos

Figura a)

Solución

La suma algebraica de los cambios de potencial que se encuentran al recorrer el circuito por completo, debe ser cero.

V−ir−iR=0

El (-) nos indica que la parte superior de la resistencia se encuentra un potencial más elevado que la inferior; ya que los portadores de la carga (+) se mueven por si mismas del potencial más alto al potencial más bajo.

Ejemplo 5:

Un acumulador de 12 celdas se usan en una lancha, cada uno de los 2 faros tiene una R=5.5Ω. Encontrar la i suministrada a cada foco (cada celda produce 2.2 Volts).

101

R1=5Ω

R2=1Ω

R3=3Ω

I=189

=2 Amps

Si el voltímetro se conecta entre J y K, y se mide la D.D.P a través de R1 conociendo la resistencia R1 e I, por ella se puede calcular la D.D.P por la ecuación.

V 1=I 1R1=2∗5

V 1=10Volts

Porque el potencial difiere en 10 V desde un lado de la resistencia al otro. La D.D.P es llamada comúnmente caída de voltaje, similarmente se puede hacer con las caídas en R2 y R3.

V 2=I R2=2∗1=2Volts

V 3=I R3=2∗3=6Volts

Si hacemos la suma de todas las caídas.

Tendremos:

V 1+V 2+V 3=10+2+6=18Volts

De aquí podemos decir que: “el voltaje total de la fuente, es igual a la suma de los voltajes o caídas en cada resistencia”. En general podríamos escribir:

V=V 1+V 2+V 3+…V n (1° Ley de Kirchhoff)

CIRCUITOS EN PARALELO

102

I T=I 1+ I 2+ I 3……….(2° Ley de Kirchhoff)

Ejemplo 6:

Si suponemos R1=5Ω; R2=1Ω; R3=3Ω y V=120Volts .

Vamos a calcular la RT e I T.

1RT

= 1R1

+ 1R2

+ 1R3

=15+1+ 1

3= 3

15+ 15

15+ 5

15=23

15Ω=1.53333Ω

Entonces RT=1523

=0.6522

I T RT=V ; I=VRT

=

1201523

=23(120)

15=184 Amps

Ahora calcularemos I 1, I 2 , e I 3 . Ya que el voltaje es el mismo por estar en paralelo solamente dividimos entre los valores de las resistencias, tal como se muestra

I 1=120

5=24 Amps I 2=

1201

=120 Amps I 3=120

3=40 Amps

I 1+ I 2+ I 3=24+120+40=184 Amps L.Q.Q.D

EJEMPLO 7:

103

1RT

=18+ 1

12+ 1

24= 6

24 ; RT=246

=4Ω

RT I T=V ; I T=90/4=22.5 Amps

I 1=VR1

=908

=11.22 Amps

I 2=VR2

=9012

=7.5 Amps

I 3=VR3

=9024

=3.75 Amps

I T=I 1+ I 2+ I 3=22.47 Amp

Nótese que la I más elevada, fluye por la resistencia menor y la I menor, fluye por la resistencia más grande.

Ejemplo 8:

Una batería surte una diferencia de potencial de 180 Volts en las terminales en un circuito que contiene 4 resistencias de 5.6, 8, y 20 como se ve en el circuito siguiente.

a) Calcular la Req. de la combinación en paralelo de 5 y 20Ω.b) Calcular la I suministrada

por la batería.c) La I de cada resistencia.

104

SOLUCIÓN:

Por estar en paralelo las resistencias 2 y 3; se tiene

1Req

= 1R2

+ 1R3

=15+ 1

20= 5

20

a¿Req=4Ω

Puesto que la resistencia equivalente anterior queda en serie con las resistencias 1 y 4 obtenemos (como lo muestra la figura abajo)

ReqT=8+4+6=18

b¿ iT=VReqT

=18018

=10 Amp

c ¿V ¿1=R1 I T=8∗10=80Volts

V 2=Req I T=4∗10=40Volts

V 3=R3 I T=6∗10=60Volts

Las I en las resistencias de 8 y 6Ω es de 10 Amper al igual que en la equivalente por estar en serie.

En las de 5 y 20Ω serán:

i=V 2

R2

=405

=8 Amps . Parala de5Ω

i=V 2

R3

=4020

=2 Amps .Para la de20Ω

Ejemplo 9:

Para el circuito que abajo se muestra donde

R1=20Ω, R2=6Ω ,R3=30Ω ,R4=22Ω

105

Calcular:

V ab=?

V cd=?

I 1=?

I 2=?

I T=?

Solución:

V ab=40Volts

I 1=4020

=2 Amps

I 2=40

R2+R3+R4

=4058

=0.69 Amps

(Ya que las resistencias 2,3 y4 están en serie y el voltaje entre las 3 es la misma que en la resistencia 1; como se ve al lado de la primera figura)

V ac=I 2R2=0.69∗6=4.14Volts

V cd=0.69∗52=I 2 (R3+R4 )=35.9Volts

I T=I 1+ I 2=2+0.69=2.69 Amps

Ejemplo 10.-

106

Calcular: a) La resistencia equivalente del circuito que se muestra en la siguiente figura, b)La corriente en la resistencia 5, c) La caída de voltaje en la resistencia 4. Los datos del circuito son:

R1=R2=R3=4ΩR4=6ΩR5=5ΩR6=R7=10Ω

Solución:

Como las resistencias 1 y 2 están en serie RA=R1+R2=R12=8Ω

Las resistencias 5,6 están en paraleloRB=5015

=3.3333Ω

Ver figura del circuito

Las resistencias 4 y la B están en serieRC=R4+RB=6+ 5015

=14015

=9.3333Ω

Ver figura 1

Las resistencias A, C y la 7 están en paralelo (ver figura 2)

107

1RD

= 1RA

+ 1RC

+ 1R7

=18+ 15

140+ 1

10= 93

280Ωentonces RD=

28093

=3.0107Ω

Por lo tanto

Req=R3+RD=4+ 28093

=65293

=7.0107Ω(Ver figura 3)

b) IR5=?

I T=V T

Req

=8V7Ω

=1.1429 A

La I T=¿ IR3¿ ya que la resistencia equivalente y la resistencia 3 están en

serie, como se puede ver en la figura 4

También se puede observar que esa corriente se divide entre toda las demás resistencias, por lo tanto se establece la siguiente ecuación (Ver figura 2)

V T=V A+V R3entoncesV A=V T−V R3

=8−1.1429 ( 4 )=3.4284V

Entonces

I A=V A

R A

=3.42848

=0.4286 A IC=V C

RC

=3.42849.3333

=0.3673 A

IC=IR4=IB

Ahora V C=V R4+V B ;despejandoV B=V C−V R4

=3.4284−0.3673 (6 )=¿1.2244 A

V B=V R5=V R6

c) IR5=V R5

R5

=1.2244

5=0.3061 A

d) V R4=I R4

R4=0.3673(6)=2.204V

2.6.- Circuitos de mallas múltiples

Cuando se analizan los circuitos eléctrico muchas veces , no se presentan los elementos en serie y en paralelo, sino que se presentan circuitos en el que las resistencias están conectadas o se combinan los dos tipos, a estos tipos de circuitos no se le puede resolver solamente

108

con las formulas anteriores , sino que hay que aplicar otros métodos , a estos circuitos se le conoce como circuitos mixtos, los cuales pueden contener no solamente resistencias en cada rama, sino también pueden contener dos o más fuentes de voltaje.

2.6.1.- Leyes de Kirchhoff

Como hemos visto anteriormente los circuitos sencillos pueden analizarse utilizando la expresión Δv=iR y las leyes para la combinación serie y en paralelo de los resistores.

Muy a menudo sin embargo, no es posible simplificar el circuito a una sola malla. El procedimiento para circuitos más complicados se simplifica de manera significativa, si utilizamos dos principios conocidos como las leyes de Kirchhoff.

Ley de nodos. La suma algebraica de todas las corrientes que entran o salen en un nodo es igual a las que entran o salen de dicho nodo, considerando que las que entran son positivas y las que salen son negativas o viceversa es decir:

∑ I entran / salen=∑ I salen /entran

109

Esta ley de Kirchhoff también puede enunciarse como sigue:

“La suma de todas las I que fluyen hacia cualquier punto de unión, es igual a la suma de todas las I que fluyen hacia fuera del mismo.

Ley de mallas. La suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos alrededor de una malla cerrada debe der igual a cero.

∑mallacerrada

∆V=0

La primera ley es un enunciado de la conservación de la carga eléctrica. Todas las cargas que entran a un punto dado en un circuito deben abandonarlo, debido a que las cargas no pueden acumularse en ese punto. Aplicando esta ley a la unión que se muestra en la figura A tendremos

I 1=I 2+ I 3

Figura 2.10. a) Ley de las uniones de kirchhoff b) Analogia mecanica de laley de uniones,

La figura 2.10 b) de arriba representa una analogía mecánica para esta situación, en la cual el agua fluye por a través de una tubería ramificada sin fugas. Debido a que el agua no se puede acumularen ningún sitio de la tubería, el flujo en su interior es igual al flujo total en las dos ramificaciones de la derecha.

110

La segunda ley, es una consecuencia de la ley de la conservación de la energía. Imaginemos que movemos una carga alrededor de un circuito cerrado, la carga regresa al punto de partida el sistema carga –circuito debe tener la misma energía total que la que tenía antes de mover la carga. La suma de los incrementos de la energía conforme la carga pasa a través de elementos de algún circuito debe ser igual a la suma de los decrementos de la energía conforme pasa a través de otros elementos. La energía potencial se reduce donde la carga pasa a través de una caída de potencial −iR en un resistor o donde quiera que se mueva en dirección contraria a través de una fuente de FEM. La energía potencial aumenta donde la carga pasa a través de la terminal negativa a la positiva en una batería.

Para una aplicación práctica de las leyes de Kirchhoff tomaremos las siguientes convenciones para facilitar la solución de circuitos eléctricos (véase la figura de abajo).

a).- Cuando se recorre una malla en un circuito y se atraviesa una resistencia en la dirección de la corriente, hay una diferencia de potencial igual a –iR (caída de voltaje); en la dirección opuesta es +iR (elevación de voltaje).

b).- Si una fuente de FEM (Fuerza Electromotriz= Fuente de Voltaje) se recorre en la dirección de la FEM (de la terminal negativa a la terminal positiva) la diferencia de potencial es positiva (+); en sentido contrario es negativa (-)

c).- las corrientes que entran a un nodo se toman como positivas y las que salen como negativas

111

Figura 2.11. Convenciones para determinar la diferencia de potencial aplicada a un resistor y a una batería. (Cada elemento del circuito se atraviesa de izquierda a derecha)

2.6.1.1.- Ejemplo de aplicación

EjemploResuelva el circuito que se muestra en la figura siguiente:

a) Hallar la corriente y el voltaje en las resistencias R1 y R2

Considere los siguientes datos:R1=R3=R5=R7=R9=15Ω

R2=R4=R6=R8=5Ω y V 1=V 2=20V ;V 3=V 4=25V

112

Solución:Primeramente se le asigna sentido a las mallas, y será en el sentido de las manecillas del reloj, estableciendo una ecuación para cada una de las mallas, tomando en cuenta los criterios adecuados.Para la malla 1 tendremos:

V 1+V 2=R3 I 1+R1 ( I 1−I 2 )+R6 I 1=15 I 1−15 I2+15 I 1+5 I 1=35 I 1−15 I 2

40=35 I 1−15 I 2

Ahora para la malla 2:−V 1−V 3=R1 ( I 2−I 1 )+R4 I 2+R2 ( I 2−I 3 )+R7 I 2

−40=40 I 2−15 I 1−5 I3

paralamalla3 tendremos :V 3+V 4=R2 ( I3−I 2 )+R5 I 3+R9 I 3+R8 I3

50=40I 3−5 I2

Resolviendo por cualquier método las ecuaciones planteadas para las tres mallas obtendremos:

I 1=0.8621 A ;I 2=−0.655 A; I 3=1.1681 A

Teniendo estos datos podemos calcular

V R1=R1 ( I 2−I1 )=15Ω (−0.655−0.8621 ) A=−22.75V

V R2=R2 ( I 2−I3 )=5Ω (−0.655+1.1681 ) A=2.5655V

2.6.1.2.- Problemas propuestos

1.- Calcular I 1, I 2, V ab ,V bc

2.-Una varilla cuadrada está fabricada con dos materiales, uno de 25 cm y el otro de 40 cm, cada conductor tiene un sección transversal

c

ba

20 V

R4=22ΩR2=6Ω

R3=30ΩR1=20Ω

113

cuadrada de 3mm de lado, la resistividad del primer materiales de 4x 10−3Ω−m y del segundo es de6 x10−3Ω−m¿Cuál es la resistencia de un extremo a otro de la varilla?

3.- en las siguientes preguntas de respuestas múltiple, pueden haber una o más respuestas correctas (nota: ponga una palomita si es correcta y una cruz si es incorrecta)

¿PARA CUALQUIER RESISTENCIA?A) La resistrividad es constante?B) La energia que disipa por unidad de tiempo en función del votaje

esta expresado porP=V 2

R

C) Su valor es directamente proporcional a su longitudD) No existe conversion de energia

Problema

Un alambre de cobre de una longitud L0 y una area A0 y tiene una resistencia R0

¿Cuáles serian las dimensiones de longitud y area del mismo alambre para que su resistencis sea cuatro veses R0.Suponga que la resistividad y la densidad del material no cambian

2.7.- Dielectricos.

2.7.1.- Cargas inducidas

Las cargas superficiales inducidas explica uno de los hechos más elementales de la eléctricidad estática: a saber, el hecho de que una barra cargada atraiga pedazos de papel descargados, etc. La figura 2.1.1 muestra un pedazo de papel en el campo de una barra cargada. En el papel aparecen las cargas superficiales.

Figura 2.12.- Una barra cargada atre un trozo de papel descargado porque existen fuerzas no valanceadas que actuan sobre las cargas superficiales inducidas

114

El extremo del papel cargado negativamente será atraido hacia la barra y el extremo positivo será repelido. Estas dos fuerzas son de magnitudes diferentes, debido a que el extremo negativo, al estar más cerca de la barra, se encuentra en un campo más intenso y experimenta una fuerza mayor. El efecto total es el de atracción. Un cuerpo dielectrico en un campo uniforme, aparecen las cargas superficiales inducidas pero el objeto no experimenta ninguna fuerza neta.

2.7.2.- Estructura molecular de los dielectricos

Consideremos un dieléctrico compuesto de moleculas polares colocadas en el campo eléctrico entre las placas de un capacitor. Los dipolos (esto es , las moleculas polares que constituyen el dieléctrico) tiene una orientación al azar en ausencia de un campo eléctrico(ver figura 2.12.). Cuando se aplica un campo eléctrico E0debido a las cargas del capacitor, se ejerce una torca sobre los dipolos,lo que provocan que se alinieen parcialmente con el campo como se observa en la figura 2.12. de abajo. Podemos ahora describir el dieléctrico como u material polarizado. El grado de alineación de las moleculas en relación con el campo eléctrico dependen de la temperatura y de la magnitud del mismo. En general, la alineación aumentará al reducirse la temperatura e incrementarse el campo eléctrico.

Figura 2.13 a) en ausencia de un campo externo, las moleculas polares tienen una orientación al azar b) cuando se aplica un campo eléctrico externo,las moléculas se alinean parcialmente con el campo c) los bordes con carga del dieléctrico puede modelarse o representarse como un par adicional de placas paralelas que establecen un campo eléctrico inducidoEind en dirección opuesta a E0

Entonces, es posible polarizar un material dieléctrico mediante un campo externo, independientemente de que las moleculas sean polares o no polares.

115

De la figura 2.12, se puede ver que es posible estas distribuciones de carga superficial como debidas a placas paralelas, las cargas superficiales inducidas en el dielectrico originan un campo eléctrico inducidoEind con dirección opuesta al campo externoE0. Por lo tanto el campo eléctrico netoE en el dieléctrico tiene una magnitud

E=E0−E ind

La figura 2.12c muestra, un capacitor de placas paralelas, el campo externo E0 esta relacionado con la densidad de carga σ sobre las placas

mediante la relación E0=σε0

. el campo eléctrico inducido en el dieléctrico

esta relacionado con la densidad de carga inducida de la siguiente manera

E=E0−E ind

σkε0

= σε0

−σ ind

ε0

σ ind=( k−1k )σ

Ejemplo:Un capacitor de placas paralelas es cargado hasta una carga Q0, utilizando una batería como se muestra en la figura 2.14a.La batería ha sido eliminada y se inserta una lámina gruesa de material con una constante dieléctrica k entre las placas, como se ve en la figura 2.13b. Determine la energía almacenada en el capacitor antes y después de la inserción del dieléctrico.

116

Figura 2.14 a)Una bateria carga un capacitor de placas paraleleas b) Se elimina la bateria y se inserta una lamina gruesa de matrial dieléctrico entre las placas.

Solución:La energía antes de insertar el material dieléctrico es

U0=(Q0 )2

2C0

Ahora, después de retirar la batería e insertar el material dieléctrico, la carga del capacitor se mantiene igual. Por lo tanto la energía almacenada en presencia del dieléctrico es

U=U0

k=

(Q0 )2

2k C0

Si k<1 la energía final es menor que la inicial.Lo anteriormente descrito sucede, porque un agente debe efectuar un trabajo negativo con la finalidad de impedir que el material dieléctrico se acelere. Este trabajo es simplemente la diferencia de las energías

U−U 0

De la misma manera el trabajo positivo que el sistema efectúa sobre el agente externo es U 0−U

Figura 2.15. Campo eléctrico no uniforme cerca de los bordes de un capacitor de placas paralelas que empuja un material dieléctrico en el capacitor. Observe que el campo actúa sobre las cargas superficiales inducidas sobre el dieléctrico, que están distribuidas de manera no uniforme

117

2.8.- Capacitancia e inductancia.

Tipos de capacitores

Figura 2.16. Todos los dispositivos de la figura son capacitores que almacenan carga y energía. Un capacitor es una clase de elemento de circuito que podemos combinar con otros para fabricar circuitos eléctricos.

118

Figura 2-16. Tres diseños de capacitores comerciales a) Capacitor tubular, cuyas placas están separadas por un papel y después enrolladas en un cilindro b) capacitor para alto voltaje formado por muchas placas paralelas separadas por aceite aislante c) capacitor electrolítico.

Figura 2.17. En el lugar de un accidente o en un hospital es posible ver como se revive a un paciente utilizado un desfibrilador. Las paletas del desfibrilador se aplican sobre el pecho del paciente y se hace pasar una descarga eléctrica a través de la cavidad torácica. El objetivo de esta maniobra es restaurar el patrón rítmico normal del corazón.

2.8.2. Capacitancia y su cálculo.

En este punto, analizaremos los capacitores, dispositivos que almacenan carga eléctrica.

119

Estos, se usan de manera regular en una diversidad de circuitos eléctricos, como en radio, receptores para eliminar las chispas de encendido de los automóviles, como filtros de fuentes de energía eléctrica.Un capacitor está formado por dos conductores separados por un material aislante. La capacitancia de un capacitor depende tanto de su geometría como del material (conocidos como dieléctrico) que separan a los conductores.Si se tienen dos conductores que contienen cargas de igual magnitud y de signos opuestos como se observa en la figura 2.18, a esta combinación se le conoce como un “capacitor”, los conductores son las placas.

Figura2.18. Un capacitor está formado por dos conductores. Cuando está cargado, cada conductor posee una carga de igual magnitud y de signo opuesto.

Debido a la presencia de las cargas entre los conductores existe una diferencia de potencial ΔV, para producir esta diferencia de potencial, se requiere llevar carga de un conductor a otro y por consiguiente realizar un trabajo, el cual es hecho por la fuerza electromotriz (FEM). Todo el sistema tiene una carga neta cero ya que los conductores tienen igual carga pero signo contario. La carga que tienen los conductores depende de la FEM que los conecta y de otros factores y su forma, tales como la distancia entre ellos, su tamaño y su forma geométrica. Es decir, que si todos estos factores permanecen constantes excepto la FEM, entonces la carga es directamente proporcional a la difere ncia de potencial producida por la FEM entre los conductores, es decir:

q=CVDonde..q=magnitud de la carga en cada uno de los conductores (coulomb)V=potencial entre los conductores (volt).C=constante de proporcionalidad (capacitancia en farad).La figura que se muestra a continuación se conoce como condensador

120

Figura 2.19 Capacitor basico

La ecuación anterior nos define la capacitancia en general.El símbolo con el que representa la capacitancia es

La unidad de la capacitancia es el farad, en honor a Michael Faraday.

1 farad=1coulomb1volt

Debido a que las dimensiones geométricas de un condensador para que su capacitancia sea de un farad, son demasiado grandes, es conveniente usa submúltiplos del farad, tales como:

microfarad=μfd=10−6 fdpico farad=pfd=μμfd=10−12 fd

Dado que la carga de un condensador, está en función únicamente del voltaje que se le aplica, tiene que haber un límite máximo en el voltaje, ya que de no ser así, se generaría tanta carga en los conductores que se produciría un chispazo entre ellos que comúnmente se conoce por corto circuito.

2.8.3. Almacenamiento de energía en un campo eléctrico.

Los condensadores nos pueden generar campos eléctricos uniformes que se utilizan para acelerar o desviar partículas cargadas; dado que se

121

pueden obtener campos eléctricos al cargar un condensador, entonces nos puede servir como almacén de energía eléctrica

Figura 2.20. a)Circuito formado por un capacitor, una bateria y un interruptor b) cuando se cierra el interruptor, la bateria establece un campo eléctrico en el alambre que hace que los electrones se muevan de la placa izquierda hacia el alambre y del alambre hacia la placa derecha. Como resultado, en las placas se presenta una separacion de la carga, lo que representa un incremento en la energía potencial eléctrica del sistema en el circuito. Esta energía en el sistema es la transformación de energía química de la batería.

2.8.4.- Capacitor de placas paralelas con un dieléctrico. En la figura 2.21 muestra dos placas metálicas paralelas de igual área A están separadas una distancia d. una de las placas tiene una carga Q y la otra una –Q.

Figura 2.21 Un capacitor de placas paralelas consiste en dos placas conductoras paralelas, cada una con una superficie A, separadas una distancia “d”.Cuando se carga el capacitor al

122

colocar las placas a las terminales de una bateria, estas placas adquieren cargas de igual magnitud, pero de sentido contrario.

Cuando una batería carga a un capacitor, fluyen electrones hacia el interior de la placa negativa y hacia fuera de la positiva. Si estas placas son grandes, las cargas acumuladas pueden distribuirse en un área sustancial, y la magnitud de la carga que se puede almacenar sobre una placa, para una diferencia dada de potencial, se incrementa conforme aumenta el área de la placa. En consecuencia esperamos que la capacitancia sea proporcional al área de la placa.Ahora, analicemos la región que forma la separación entre las placas, si entre sus terminales la batería tiene una diferencia de potencial constante, entonces el campo eléctrico entre las placas debe aumentar conforme disminuya d.Por lo tanto, acercar las placas una a la otra, hace que la carga en el capacitor se incremente. Si se incrementa d la carga disminuye, como resultado, esperamos que la capacitancia de las placas sea inversamente proporcional a d.Matemáticamente se puede deducir la siguiente expresión

Supongamos que cada una de las placas tiene una densidad superficial

σ=QA

Si las placas están muy cerca una de la otra (en comparación con su longitud y anchura) podemos suponer que el campo eléctrico es uniforme entre ellas y en el resto del espacio es igual a cero.Pero como sabemos

E= σε0

= Qε0 A

pero como∆V=Ed= Qdε0 A

finalmente sabemosC= Q∆V

= QQdε 0 A

entoncesC=ε0 A

d

La ecuación anterior es la capacitancia de un capacitor de placas paralelas, en donde se puede observar que es proporcional a la superficie de sus placas e inversamente proporcional a la separación de las mismas.

123

Capacitor con dieléctrico

Figura 2.22. Un capacitor cargado a) antes, b) después de haber insertado un material dieléctrico entre las placas. La carga existente entre las placas se conserva sin cambios, pero la

diferencia de potencial disminuye de∆V 0a ∆V=∆V 0

k por lo tanto, la

capacitancia se incrementa de C0ak C0

Un dieléctrico es un material no conductor como el hule, el vidrio o el papel encerado.Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor (como se muestra en la figura 2.22), su capacitancia se incrementa. Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas la capacitancia se incrementa en un factor k, que no tiene dimensiones y se conoce como constante dieléctrica del material.Esto es, la capacitancia aumenta en un factor k cuando el material dieléctrico llena por completo la región entre las placas. Para un capacitor de placas paralelas

C=kε0 A

d

A continuación se presenta una tabla de las diferentes constantes dieléctrica de los materiales

124

Ejemplo 1

Dos hojas rectangulares de papel de estaño de 20x25 cm. están pegadas en las caras opuestas de una lámina de mica de 0.1 mm de grueso

Solución:

Ya queC=ε0 A

d entonces

C=8.85 x10−12 Fd−m

m2(0.05)m2

10−4m=0.4425 x10−8Fd=0.00443 μFd

Ejemplo 2

Las placas paralelas de un capacitor tienen 0.70 m2 de área y la distancia de separación entre ellas es de 0.50 mm a) Cuál es la capacitancia del capacitor b) si se coloca un voltaje de 12 V en las placas, ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas y cuanto exceso de carga hay en cada una de ellas?

Solución:

a)

C=ε0 A

d=

8.85 x10−12 Fd−m

m2(0.70)m2

5x 10−4m=0.012 μFd

b) E=Vd

= 12V

5 x10−4m=2.4 x104 V

m

Q=CV=1.2x 10−8Fd (12V )=0.14 μC

Ejemplo 3:

Un capacitor variable de aire, está diseñado con placas semicirculares con un radio de 1.7 cm y una distancia de separación de 0.2 cm.

125

¿Cuántas placas se requieren para que el capacitor variable tenga una capacitancia máxima de 50 pFd?

Solución:Datos: r=1.7cm=1,7x10−2m d=0.20cm=2.0 x10−3m

Cmáx=50 pFd=50 x10−12Fd

El área de la placa semicircular es

A=A=12π r2=4.5 x10−4m2

La capacitancia para el área común máxima de N placas es

C=(N−1 )ε0 A

d

despejandoa (N−1 )= Cdε0 A

=5 x10−11Fd(2 x10−3m)

8.85 x10−12 Fd−mm2 (4.5 x 10−4m2)

=25

Por lo tanto N=26 placas

Ejemplo 4:

Las placas paralelas de un capacitor de aíre, miden 100 cm. por 75 cm. Y está separada una distancia de 1 mm. a) ¿Cuál es la capacitancia? b) si el capacitor se conecta a una fuente de 100 V ¿Cuánta energía se almacena en el capacitor cuando éste se carga completamente?

Solución:

Datos A=100x 75cm2=0.75m2d=10−3m y V=100V

a)

C=ε0 A

d=

8.85 x10−12 Fd−m

m2(0.75)m2

10−3m=0.00664 μFd

b)para calcular el trabajo se emplea una diferencia de potencial promedio

V=V f+V i

2=V f

2

126

Por lo que la ecuación

W=QV=Q(V f

2 )=12QV=1

2CV 2=1

26.64 x 10−9 (1002 )=3.3x 10−5 joules

2.8.5.-Circuitos con capacitores

Como se ha visto en el tema con resistencias, aquí también se pueden resolver circuitos con capacitores tantos en serie, paralelos y mixtos, de esta manera haciendo la simplificación de estos podremos encontrar las capacitancias equivalentes para cualquier arreglo.

Para poder llegar a estos arreglos, se deben de seguir las reglas siguientes: para un arreglo en serie

1. Debe de conectarse como lo muestra la figura siguiente.(Nota: V 0=V T ;qT=q0 yC e=CT)

2. Para este tipo de arreglo, las cargas son iguales para todos los capacitores, y sus voltajes son diferentes para cada capacitor, es decir

qe=q1=q2=¿ q3 y V T=V 1¿V 2=V 3¿

3. El inverso de la capacitancia equivalente o total , es igual a la suma de los inversos de cada uno de los capacitores

1Ce

=∑1

n1Cn

1C e

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

+…… ..1Cn

Para los circuitos en paralelo las reglas son las siguientes:

1. Debe de conectarse como se muestra en la figura.

127

2. Las cargas en cada uno de los capacitores es diferente, y el voltaje en cada uno de ellos es el mismo

qT ≠q1≠q2≠q3 yV T=V 1=V 2=V 3

3. La capacitancia equivalente o total, es igual a la suma algebraica de cada una de estas

C e=∑ CnC e=C1+C2+C3………Cn

En los circuitos mixtos debe utilizase la combinación de los criterios anteriores para resolver este tipo de arreglo.

La deducción de la ecuación para la capacitancia equivalente en serie se obtiene a partir de las ecuaciones básicas q=CV yV T=V 1+V 2+V 3

qT

CT

=q1

C1

+q2

C2

+q3

C3

Como en serie las cargas son iguales entonces

1CT

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

01CT

=∑1

n1Cn

Ahora para las capacitancias en paralelo tendremos lo siguiente:

Como en un circuito en paralelo cada una de las cargas son diferentes en cada capacitor entonces

qT=¿ q1+q2+q3¿

Por lo tanto podemos escribir

CTV T=C1V 1+C2V 2+¿C3V 3¿

Pero como los voltajes son iguales se obtiene

128

1CT

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

01CT

=∑1

n1Cn

Circuitos mixtos

Ejemplo 1Calcular la capacitancia equivalente del arreglo de condensadores de la figura que se muestra, donde C1=1μFd ;C2=4 μFd ;C3=1μFd ;C4¿3 μFd ;C5¿1 μFd y C6=3/2μFd

De la parte a de la figura vemos que los capacitores encerrados en los lazos estan en paralelo por lo que

ce1=C4+C5=4 μfd

A su vez ésta está en serie con la capacitancia de 4μfd como se muestra en la parte “b”, aplicando el criterio para circuitos en serie tendremos

1Ce 2

= 1C e1

+ 1C2

= 24 μfd

⇒

C e 2=2μfd

En la parte “c” vemos que C e2 esta en paralelo con C3 encerrados ambos en el lazo C e3=Ce 2+C3=3μfd

Finalmente en “d” vemos que los 3 condensadores estan en serie po lo que

1Ce

= 1CT

= 1C e3

+ 1C1

+ 1C6

= 36 μfd

⇒

C e=CT=12μfd

129

Ejemplo 2

Para el circuito que se muestra y usando los principios adecuados calcular

a) La capacitancia totalb) La carga en cada uno de los capacitoresc) El voltaje en cada uno de los capacitoresd) La energía almacenada en el capacitor 3

Considere los valore de C1=5μFd ;C2=10 μFd yC3=2μFdSolución:

a) Del circuito se puede observar que los dos capacitores de arriba(C A) están en serie entre sí, al igual que los dos de abajo(CB), y estos dos quedan en paralelo conC3 como lo muestra la figura (abajo)Donde

C A=C1C2

C1+C2

=5 x 105+10

μFd=3.33μFd=CB¿¿

y CC=C2+C2=20 μFd

entonces resolviendo el paralelode lostres capacitoresobtenemos queCD=CA+C3+CB=(3.33+2+3.33 ) μFd=8.666 μFd

Ahora este capacitor “D” queda en serie con el capacitor “C” es decir (ver figura abajo)

CT=CCCD

CC+CD

=20x 8.6620+8.66

=6.046 μFd

b) Ahora, calcularemos las cargas en cada uno de los capacitores, utilizando las ecuaciones y los conceptos de la propiedad de las cargas para circuitos serie y paralelo

c)qT=CTV T=6.046 μFd (25V )=151.15 μCoulombPero qT=qC=qD por la propiedad de esta enserie

Ahora calculamos

V C=qCCC

=151.15 μC20μFd

=7.5575V y V D=qD

C D

=151.15 μC8.66 μFd

=17.441V

Podemos observar que

V D=V A=V 3=V B=17.441V

130

Sabiendo esto podemos calcular que

q A=C AV A=3.333 (17.441 )=58.130 μCoulombq3=C3V 3=2 (17.441 )=34.882μCoulomb

qB=CBV B=3.333 (17.441 )=58.130 μCoulombqC=CCV C=20 (7.5575 )=151.15 μCoulomb

Pero como en el capacitor “C” hay 2 capacitores C2 en paralelo y las cargas en paralelo son diferentes en cada capacitor, pero como aquí los valores de capacitores son de igual valor entonces

qC2=75.555 μCoulomb

Ahora tenemos que qT=qB=q A=q3

Pero en el capacitor “A” y “B” existen dos capacitores en serie C1 y C2los cuales tienen las mismas cargas, entonces

q A=qC1=qC2

=58.130 μCoulomb

qB=qC1=qC2

=58.130 μCoulomb

Por ultimo calculamos los voltajes

V C1=qC1

C1

=58.130 μCoulomb5 μFd

=11.626V

V C2=qC2

C2

=58.130 μCoulomb10 μFd

=5.813V

131

Figura Aquí se muestra las simplificaciones del del proceso que se llevo a cabo para la solución del ejemplo 2 desarrollado arriba.

2.8.5. Bobinas.

2.8.5.1.- Inductancia de una bobina.

Cualquier alambre enrollado con simetría, constituye lo que se conoce como bobina (inductor) y que por ese solo hecho, tiene una propiedad que se conoce como inductancia, siendo lo importante en estos conductores la presencia de un campo magnético, así como lo es el campo eléctrico en un condensador. Cuando en un solenoide se hace circular una corriente, comienza a formarse un campo magnético en su interior, produciéndose un cambio en el flujo magnético hasta que la corriente se estabiliza, ,este sería el caso en que el solenoide se conectará a una fuente de corriente directa, de aquí que en el intervalo de tiempo desde que se conecta el interruptor hasta que se estabiliza la corriente, se auto induce una FEM en el solenoide que es directamente proporcional a la razón de cambio del flujo magnético y este a la razón de cambio de la corriente, que se puede escribir mediante la expresión:

ε=−Ldidt

Donde

132

L=Constante de proporcionalidad (Inductancia).

Esta ecuación es válida para cualquier circuito estacionario en el cual los cambios de flujo magnético resultan de los cambios en la corriente que pasa por el circuito.

De la ecuación anterior se puede obtener las relaciones matemáticas para el cálculo de la inductancia a partir de la Ley de Faraday osea:

ε=−d∅ b

dt−L

didt

por loque L=d∅B

di (

Volt−segAmper

=Henry ¿

Comúnmente, se utiliza submúltiplos como.

1 milihenry=10−3henrys(mH )

1 microhenry=10−6henrys(μH )

Para algunos inductores que tienen simetría simple se puede calcular fácilmente su inductancia, el caso más sencillo es el del solenoide muy largo de vueltas muy juntas con núcleo de aire en el cual se puede determinar el flujo magnético con la siguiente ecuación.

∅ B=∫B .ds=BA

Donde A es el área transversal del solenoide y B el campo magnético.

Pero como también sabemos que

B=μ0∋(campomagnético enelinterior del solenoide )

Donde n=Nl

(numero de vueltas N por unidad de longuitud )

Por lo tanto los encadenamientos del flujo magnético en el solenoide son igual al número total de vueltas N por el flujo de una de éstas es decir:

L=d (N ∅B)

di=d (NBA)

di=d ¿¿

De la ecuación anterior se puede ver que la inductancia de un solenoide, depende básicamente de los factores geométricos, del número de vueltas y de μ0

Ejemplo 1

133

Para una bobina (solenoide) de sección cuadrada, de lado 2 cm con 400 vueltas y 20 cm de longitud. Determine su inductancia?

Solución

L=N2 A μ0 l peroN=nl

Entonces L=N2 A μ0

l=

(400)2 4 π10−7(o .02)2

0.2=128π microhenry

Ejemplo 2

Calcule la inductancia de una bobina toroidal de N vueltas de sección transversal circular de área A y con un radio medio “a”, como se muestre en la siguiente figura. Considere que el radio medio es mucho mayor que el radio de la sección transversal.

Solución:

De la Ley de Amper ∮B .dl=μ0 i

Obtenemos B (2πa )=μ0∋¿

Donde N=número de vueltas e i=corriente en el enrollamiento

El flujo que atraviesa cada vuelta es

∅ B=BA=NAμ0i

2πa

Flujo total que pasa por las N vueltas

∅ B=A μ0∈¿2

2 πa¿

Luego la inductancia viene dada por la ecuación:

134

L=d∅B

di=d ¿¿

3.- PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA E INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

3.1.- Propiedades magnéticas de la materia

135

Desde el año 800 a.c. los griegos ya tenían conocimiento sobre el magnetismo. Descubrieron que la magnetita (Fe3O4) atrae fragmentos de hierro.

En el año de 1269 un francés de nombre Pierre de Maricourt descubrió que las direcciones donde apuntaba una aguja al acercársele un imán esférico natural formaban líneas que rodeaban a la esfera y pasaba a través de esta en dos puntos diametralmente opuestos uno del otro, al que le llamo polos del imán.

Figura 3.1. La toma magnética de huellas dactilares permite ver huellas dactilares que están sobre la superficie que solo de esta manera es posible detectar. El polvo que se aplica sobre la superficie está recubierto de un material orgánico que se adhiere a residuos grasos que la huella dactilar deja. Una brocha magnética recoge el polvo excedente, haciendo que la huella sea visible.

El comenzar el estudio de este tema, prácticamente comenzamos con la segunda parte del curso. Los conceptos generales que hemos estudiado en las unidades anteriores sobre campo eléctrico, nos serán de gran utilidad para comprender el estudio del campo magnético, ya que además de estar relacionados entre sí, son muy similares en algunos aspectos, lo cual se verá y se analizará a medida que se avance en el estudio del campo magnético.

Los materiales magnéticos desempeñan papeles cada vez más importantes en nuestra vida diaria. En los motores eléctricos y en los generadores, así como también en ciertos tipos de altoparlantes, se emplean comúnmente materiales como el hierro, que son imanes

136

permanentes a temperaturas ordinarias. Otros materiales pueden imantarse o desimantarse con relativa facilidad; estos han encontrado un amplio uso para almacenar información en aplicaciones cómo cintas magnéticas para grabar, los discos de las computadoras y en las tarjetas de crédito,

En esta unidad consideraremos la estructura interna de los materiales la cual es responsable de sus propiedades magnéticas. Demostraremos que el comportamiento de diferentes materiales magnéticos puede entenderse en términos de los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales.

Figura 3.2. (a) Un dipolo eléctrico, que consta de una barra aislante con una carga positiva en un extremo y una carga negativa en el otro. Se muestran varias superficies gaussianas. (b)Un dipolo magnético, que consta de una barra imantada con un polo norte un extremo y un polo sur en el otro.

La figura 3.2a muestra el campo eléctrico asociado a una barra aislante que tiene iguales cantidades de carga positiva y negativa situados en los extremos opuestos. Este constituye un ejemplo de dipolo eléctrico, la figura 3.2b, muestra el caso análogo de un dipolo magnético, tal como la familiar barra imantada con polo norte en un extremo y polo sur en el otro extremo. En este nivel, los casos eléctricos y magnéticos son muy similares. De hecho podríamos ser llevados a postular la existencia de polos magnético individuales análogos a las cargas eléctricas, tales polos, si existiesen producirían campos magnéticos (semejante a los campos eléctricos producido por las cargas) proporcionales a la intensidad de los polos e inversamente proporcional al cuadrado de la

137

distancia desde el polo. Como veremos, esta hipótesis no concuerda con el experimento. Cortemos a la mitad los objetos de la figura 3.2 y separémoslo en dos piezas. La figura 3.3 muestra que los casos eléctrico y magnético ya no son semejantes. En el caso eléctrico, tenemos dos objetos que, si se les separa por una distancia suficientemente grande, pudieran considerarse como cargas puntuales de polaridades opuestas, cada una de las cuales produciría un campo característico de una carga puntual. Sin embargo, en el caso magnético no obtenemos polo norte, y polo sur aislado, sino un par de imanes, cada uno de ellos con su polo norte y sur.

Figura 3.3 (a) Cuando el dipolo electrico de la figura 3.2a se corta a la mitad, la carga positiva se aisla en una pieza , y la carga negativa en la otra. (b)cuando el dipolo magnetico de la figura 3.2b se corta a la mitad, aparece un nuevo par de polos norte y sur. Notese la diferencia en los patrones del campo.

Esto es una diferencia importante entre los dipolos eléctricos y magnéticos: El dipolo eléctrico puede separarse en cada una de sus cargas(o polos) constituyentes, pero el dipolo magnético no. Cada vez que tratamos de dividir un dipolo magnético en polo norte y polo sur por separado, creamos un nuevo par de polos.

Esta diferencia entre los campos eléctrico y magnético tiene una forma matemática en la Ley de Gauss, que viene dada por las siguientes ecuaciones

∅ E=∮E ∙dA= qε0

LEY DEGAUSS PARACARGAS ELECTRICAS

138

∅ B=∮B ∙dA=0 LEY DEGAUSS PARACARGAS MAGNÉTICAS

En la figura 3.3a el flujo del campo eléctrico a través de las diferentes superficies Gaussianas depende la caga neta encerrada por cada superficie. Si la superficie no encierra ninguna carga, o ninguna carga neta (esto es cantidades iguales de carga positiva y negativa como el dipolo completo), el flujo del vector campo eléctrico a través de la superficie es cero. Si la superficie corta al dipolo, de modo que encierre una carga neta “q”, el flujo del campo eléctrico está dado por la LEY DE GAUSS.

De manera semejante podemos construir superficies gaussianas para el campo magnético como en la figura 3.3b. Si la superficie gaussiana no contiene ninguna “carga magnética” neta, el flujo ∅ B del campo magnético que atraviesa la superficie es cero. Sin embargo como lo hemos visto, aun aquellas superficies gaussianas que cortan a la barra imantada no encierran una carga magnética, porque cada corte a través del imán produce una pieza que tiene tanto polo norte como polo sur.

Entonces se interpreta la ley de gauss para cargas magnéticas de la forma siguiente:

EL FLUJO NETO DEL CAMPO MAGNÉTICO A TRAVÉS DE CUALQUIER SUPERFICIE CERRADA ES CERO

Experimentos subsecuentes demostraron que todo imán cualquiera que sea su forma tiene dos polos, uno norte (N) y otro sur (S) que ejercen fuerzas sobre otros polos magnéticos de manera similar como a la de las cargas eléctricas ejercen fuerzas entre sí. Esto es, polos iguales (N-N o S-S) se repelen y polos opuestos (N-S) se atraen. Los polos son llamados así por la forma que un imán, como el de una brújula, se comporta en presencia del campo magnético de la tierra.

Al tener una barra magnética (imán) suspendida en un hilo, experimenta desviaciones en presencia de otra barra magnética, como se muestra en la figura 3.4, a medida que acercamos la barra magnética a la barra suspendida. Si la alejamos de la presencia de cualquier material magnético o fuente magnética observamos que se orienta hacia el Polo Norte de la tierra, debido a que la tierra se comporta como un imán natural, el extremo de la barra magnética que se orienta hacia el Polo Norte geográfico (Polo sur Magnético) de la tierra se le conoce como

139

polo Norte (de la barra del imán) y el otro extremo como Polo Sur (de la barra del imán).

Figura 3.4

Entonces la tierra se comporta como un imán gigantesco, esto fue descubierto experimentalmente por William Gilbert (1540-1603).

En 1750 se utilizó una balanza de torsión para demostrar que los polos magnéticos ejercen entre sí, fuerzas de atracción y de repulsión y que estas fuerzas varían en función del inverso del cuadrado de la distancia entre los polos que interactúan. A pesar de que las fuerzas entre polos magnéticos es por lo demás similar a la existente entre dos cargas eléctricas, éstas últimas pueden aislarse (recuerde el electrón y el protón), en tanto que nunca ha sido posible aislar un solo polo magnético. Esto es los polos magnéticos siempre se encuentran en pares.

Es decir, que independientemente de cuantas veces se divida un imán, cada trozo resultante siempre tendrá un polo note y un sur.

Hasta a principios del siglo XIX (1819-1820)se descubre la relación entre la electricidad y el magnetismo, y esto lo hizo el científico danés Hans Christian Oersted, al ver que al hacer circular una corriente eléctrica en un alambre desviaba la aguja de una brújula cercana (ver figura -foto).

140

Durante ese mismo periodo pero independientemente (1820), Faraday y Joseph Henry (1797-1878) demostraron, relaciones adicionales entre la electricidad y el magnetismo.

Ellos mostraron que, es posible crear una corriente eléctrica en un circuito ya sea moviendo un imán cerca de él o variando la corriente de algún circuito cercano. Estas observaciones demuestran que una variación de un campo magnético crea un campo eléctrico. Años después, el trabajo teórico de Maxwell demostró que lo contrario también es cierto. Un campo eléctrico que varía crea un campo magnético.

3.2.- Líneas de inducción y flujo magnético. (Campos y fuerza magnética)

Así como en campo eléctrico lo representamos gráficamente por medio de líneas de fuerza, el campo magnético lo vamos a representar por las

141

líneas de inducción que nos ayudaran en gran medida en el análisis cualitativo y algunos casos nos ayudan a resolver problemas analíticamente.

Históricamente el símbolo B ha sido utilizado para representar el campo magnético, y esta lo utilizaremos en estos apuntes. La dirección del campo magnético B en cualquier sitio es la dirección a la cual apunta la aguja de una brújula colocada en dicha posición.

La siguiente figura 3.5 nos muestra cómo pueden trazarse las líneas de inducción magnética de un imán de barra ayudado de una brújula. Observe que las líneas de inducción magnética en el exterior del imán apuntan hacia afuera de los polos norte y hacia los polos sur.

Figura 3.5. Con la aguja de una brújula pueden trazarse las líneas de campo magnético en la región externa de un imán de barra.

En la figura 3.6., se muestra los patrones de campo magnético en forma práctica ayudado de pequeñas limaduras de hierro.

Figura 3.6. Patrones de campo magnético de un imán y entre dos imanes de barra utilizando limaduras de hierro, (a) Que rodea un imán. (b) Entre polos opuestos (N-S) de dos imanes de barra. (c)Entre polos iguales (N-N) de dos imanes de barra.

142

Se puede observar las siguientes relaciones entre las líneas de inducción magnética y el campo magnético:

1.- La tangente a la línea de inducción magnética en cualquier punto es paralela al campo magnético en ese punto.

2.- El número de líneas de inducción por unidad de área de sección transversal en una región del espacio, está en relación directa a la magnitud del campo magnético. Por consiguiente donde las líneas están muy cercanas entre sí, el campo es más intenso que donde están separadas.

3.- La dirección de las líneas de inducción es del polo norte al polo sur.

4.- las líneas de inducción nunca se cruzan.

Nota:

Al trabajar con los campos magnéticos, tomaremos las siguientes convenciones

Representaremos el campo magnético entrando en un plano por una cruz (+¿) y saliendo del plano por un punto (∙).

Las unidades del campo magnético en el sistema SI es la TESLA(T)

1T=1Newton

Coulomb(metro/ segundo)=1

NC (m /s )

=1N

A (m)otra unidad que seusa comunmente parael campomagnético es elGAUSS

La relación entre estos es la siguiente

1Tesla=104Gauss

1Tesla=1weber

m2

entonces1weber

m2=104Gauss=1

NA (m)

La siguiente tabla nos da algunos valores típicos de campo magnético (tabla 3.1)

143

Tabla 3.1

3.3.- Fuerza sobre una partícula cargada en movimiento

Relación entre B ,FB y v

Podemos definir un campo magnético en algún punto en el espacio en función de la fuerza magnética FB que ejerce el campo sobre una partícula cargada que se mueve con una velocidad v, misma que identificamos como carga de prueba (ignoraremos la gravedad y el campo eléctrico), los resultados experimentales observados sobre estas partículas cargadas son:

La magnitud de la fuerza magnética (FB) ejercida sobre la partícula es proporcional a la carga(q) y a la velocidad(v).

La magnitud y la dirección de FB depende de la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo magnético B.

Cuando una partícula cargada se mueve en forma paralela el vector del campo magnético, la fuerza magnética que actúa sobre ella es igual a cero.

Cuando el vector velocidad de la partícula forma un ánguloθ≠0 con el campo magnético, la fuerza magnética actúa en dirección perpendicular tanto a v como a B.

La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene dirección opuesta a la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre una carga negativa que se mueva en la misma dirección (figura 3.7.).

La magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula en movimiento es proporcional al senθ , siendo θ el ángulo que el vector velocidad de la partícula forma con la dirección del campo magnético (B).

144

Con ayuda de los puntos planteados anteriormente podemos establecer la ecuación de la fuerza magnética como sigue:

FB=qv×B

Figura 3.7. Dirección de la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve con una velocidad v en presencia de un campo magnético B. (a)La fuerza magnética es perpendicular tanto a v como a B. (b) sobre dos partículas cargadas de signos opuestos que se mueven a la misma velocidad en un campo magnético se ejercen fuerzas magnéticas FB en direcciones opuestas.Las líneas punteadas muestran la trayectoria de las partículas.

Que como se puede ver, utilizamos el producto vectorial el cual por definición nos indica que ésta es perpendicular a “v” y a “B”Es decir podemos decir que el campo magnético está definido en función de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada en movimiento.La figura 3.8 analiza las dos reglas de la mano derecha, para determinar la dirección del producto vectorial v×B y la dirección de FB.Se puede utilizar libremente cualquiera de las dos reglas.La definición de la fuerza magnética utilizando el concepto del producto cruz viene dado por:

FB=|q|vBsenθDonde

θ=Angulo menor entre v y Bv=velocidad de la particulao carga

B=campomagnéticoFB=Fuerzamagnética

145

Figura 3.8. Dos reglas de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética FB=qv×B que actúa sobre una partícula de carga q que se mueve con una velocidad v en un campo magnético B. (a) En esta regla, los dedos apuntan en la dirección de v lo que provoca que B salga de la palma de la mano de forma que los dedos puedan cerrarse en la dirección de B. La dirección v×B, y la fuerza ejercida sobre una carga positiva, es la dirección a la cual apunta el pulgar. (b) En esta regla el vector v está en la dirección del pulgar y B en la dirección de los dedos. La fuerza FB sobre una carga positiva aparece en la dirección de la palma de la mano, como si se estuviera empujando la partícula con la mano.

De la expresión que define a la fuerza magnética, podemos deducir lo siguiente:

FB=0 si θ=0 oθ=180 °

FB=Máx siθ=90 ° o( π2)

Algunas diferencias existentes entre la fuerza eléctrica y magnética son:

La fuerza eléctrica actúa a lo largo de la dirección del campo eléctrico, mientras que la fuerza magnética actúa perpendicularmente a éste.

La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada sin importar si esta se encuentra en movimiento, en tanto que la fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada solo cuando está en movimiento.

La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en tanto que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no efectúa trabajo cuando se desplaza una partícula, debido a que la fuerza es perpendicular al desplazamiento.

146

Con referencia a la última diferencia comentada líneas arriba podemos concluir con ayuda de uno de los teoremas más conocidos (Trabajo y Energía), que cuando una partícula se mueve a una velocidad v a través de un campo magnético, éste puede modificar la dirección del vector velocidad pero no puede cambiar la velocidad ni la energía cinética de la partícula.

3.3.1.- Fuerza sobre un conductor

Una corriente es un conjunto de cargas en movimiento debido a que un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga en movimiento, esperamos que también ejerza una fuerza lateral sobre un alambre que lleva corrienteDe la ecuación anterior, la cual es para una partícula en movimiento, ahora lo planteamos para N partículas de la manera siguiente

FB=Nqv ×B

Para facilitar el análisis supóngase que el campo magnético es perpendicular a la velocidad de los portadores de carga, entonces:

FB=NqvB

Pero como sabemos, la relación entre la corriente y el número de portadores de carga por unidad de volumen viene expresado por

I=nqvA donden= NAL

EntoncesI=NAL

qvA= NqvL

arreglando IL=Nqv

Sustituyendo esta última ecuación en FB

FB=ILB

Que en forma vectorial se escribe

FB=IL×B

FB=ILBsenθ

147

O bien en forma diferencial

dFB=IdL×B

Integrando se obtieneFB=I∫ dL×B

Donde L nos indica la dirección de la corriente y es la longitud del alambre que está dentro del campo magnético.La forma diferencial es la diferencial, que es muy útil para los casos en los cuales el alambre no es recto o que el campo magnético es variable, a partir de esta ecuación se puede calcular la fuerza total, integrando sobre la longitud del alambre no lineal que está dentro del campo magnético.

Es posible la acción de una fuerza magnética sobre un conductor que tiene corriente colgando un alambre entre los polos de un imán (véase figura 3.9a) para facilitar la visualización en la figura anterior, se ha eliminado una parte del imán, a fin de mostrar en los siguientes incisos b, c, y d de la misma figura la cara del extremo del polo sur. El campo magnético está dirigido hacia la página y abarca la región entre las líneas sombreadas. Cuando la corriente en el alambre es igual a cero, el alambre se mantiene vertical como se puede ver en la figura b). Sin embargo, cuando el alambre conduce una la corriente hacia arriba, como se ve en la figura c), el alambre se flexiona hacia la izquierda. Si invertimos la dirección de la corriente como se muestra en la figura d), el alambre se flexiona hacia la derecha.

Figura3.9. (a) Alambre suspendido verticalmente entre los polos de un imán. El arreglo que se muestra en a) mira hacia el polo sur del imán, de manera que el campo

148

magnético (cruces azules) se dirige hacia dentro de la página. Cuando no existe corriente en el alambre, éste sigue vertical. c) cuando la corriente se dirige hacia arriba, el alambre se flexiona hacia la izquierda. (d)Cuando la corriente se dirige hacia abajo, el alambre flexiona hacia la derecha.

En la figura 3.9 se puede analizar un segmento recto de alambre de longitud L y de sección transversal A, que lleva una corriente I en un campo magnético B. en esta se puede ver la fuerza magnética sobre cada carga y sobre todo el segmento.Las expresiones que se muestran en la figura solamente son para un segmento de alambre recto en un campo magnético uniforme.

Figura3.8. Segmento de un alambre conduciendo corriente en un campo magnético B. La fuerza magnética ejercida sobre cada una de las cargas que constituyen la corriente es igual a qv ×B y la fuerza neta sobre el segmento de longitud L esIL×B .

EjemploEn un campo magnético uniforme B=2 i+4 j tesla, es disparado un electrón con una velocidad 2 x108 k m /seg calcule la fuerza en magnitud y dirección que experimenta el electrón.Solución:

Como sabemos FB=qv×B=−1.6 x10−19¿

FB=12 .8 x10−11 i−¿6.4x10−11 j Nt =(12.8 i−6.4 j )x 10−11Nt

|FB|=14.24 x10−11 Nt. (Ver diagrama vectorial abajo)

149

Figura 3.10Ejemplo.Un campo magnético B=−1.5 jTesla (direcciónde sur anorte)Si un protón de 5 MeV se mueve verticalmente hacia debajo de Este a Oeste a través de este campo. ¿Qué fuerza obra sobre él?Ver diagrama de figura 3.10

Solución:Puesto que es un protón, tiene carga positiva y su Energía Cinética viene dada por:

K=12mv2

=5MeV=5x106 eV (+1.6 x10−19)Joules/eV=8 x10−13 joules

Despejando la velocidad tendremos

v=√ 2Km

=√ 2 x (8 x10−13)1.7 x10−27 =3.1 x107m /seg

v=−3.1 x107 k m /seg(Negativo porque va hacia abajo del eje de las k como se ve en el diagrama vectorial, abajo)Por lo tanto la fuerza magnética, viene dada por

FB=qv×B=+1.6 x10−19(−3.1x 107 k )× (−1.5 j )Nt

FB=7.4 x10−12 i Nt

|FB|=7.4 x10−12 Nt. (En sentido según diagrama figura 3.10)

150

Figura 3.11.

Ejemplo:Un alambre doblado, como se muestra en la figura lleva una corriente I (=i), y va colocado en un campo magnético uniforme de inducción B, que sale del plano de la figura, calcúlese la fuerza que obra sobre el alambre.

Figura 3.12.

Solución:La magnitud de la fuerza dF que experimenta un segmento de alambre dL es:

dFB=IdL×B perodLdθ

=RentoncesdL=Rd θ

por lo tanto dFB=IdL×B=IRdθBy cuyadirección es radial , apuntando haciael centro del arcoizquierdo

y apuntando hacia fuera delarco derecho

Solamente, la componente hacia abajo de esta fuerza es efectiva, porque la componente horizontal es anulada por una componente

151

directamente opuesta proveniente del correspondiente segmento del arco.Así, la fuerza total sobre el semicírculo de alambre alrededor de “o” apunta hacia abajo y es:

F2=∫0

π

dFsenθ=∫0

π

IBRdθsenθ=IBR∫0

π

senθdθ=2 IBR

La fuerza resultante, sobre todo el alambre es:FT=F1+F2+F3+F4

F3=F2=2 IBR parael otro semicirculo

Para los segmentos rectos:F1=F4=IRB y son fuerzasque apuntanhaciala der echahorizontalmente

FT=√¿¿

EjemploUn alambre de la forma que se muestra en la figura, lleva una corriente de 2 Amper. Calcule la fuerza magnética resultante que obra sobre el alambre si el campo magnético es de 100 tesla y a=0.1 m

Figura 3.13

Solución Como ya sabemos la ecuación para F viene dada por

dFB=IdL×B

De la figura se puede ver que la fuerza de la parte superior del alambre es igual a la que actúa en la parte inferior. El cálculo de la

152

fuerza en la parte semicircular se obtiene integrando de la forma siguiente

FB=∫ dF senθ=∫( IdLBsen 90 °)senθ

Solamente se integra la componente del senoθ , ya que la correspondiente al cosenoθ se anula por la parte simétrica en el semicírculo del alambre, como lo muestra la figuraComo se puede observar de la figura dL y B son perpendiculares y además dL=adθPor lo que la integral queda expresada de la siguiente forma

FB=∫0

π

IBa senθdθ=−IBa [cosθ ]0π=2 IaB

En la dirección que se muestra en la figura, finalmente sustituyendo datos obtenemos que

FB=2x 2x 100x 0.1=40Nt

3.3.2.- Momento sobre una espira con corriente

Figura 3.14.

Cuando tenemos una espira con corriente en un campo magnético, como se muestra en la figura 3.14b Vemos que cada uno de los lados experimenta una fuerza, hemos tomado una espira rectangular de lados a y b, de aquí que la fuerza en cada uno de los lados contrarios de acuerdo a la ecuacion vista con anterioridad, son iguales en su magnitud pero de sentidos contrarios como se puede ver en la figura 3.14a que las F1 y – F1

153

Van a ejercer un momento de torsión haciendo girar a la espira sobre un eje z’ sobre la cual actúan las fuerzas F2 y –F2 y por consiguiente estas dos últimas no producen ningún momentoτ (tau). El momento de torsión es generado por las otras dos fuerzas (F1 y –F1) sobre el eje z´.

Momento de torsión=τ=2F1(a2senoθ)

( yaque F1 y−F1 efectuanelmomento de torsión sobre zen lamismadirección)

Donde a2senoθ ,es la distancia entre el eje z y las fuerzas F1 y –F1

que se conoce como brazo de palanca; de la ecuacion planteada para un alambre, sabemos que F=IaB, sustituyéndolo en el momento de torsión obtenemos:

τ=aaIBsenoθ=a2 IBsenoθ=abIBsenoθdonde a=bDonde:.ab=el área A de la espira.AI=momento magnético de la espira=μ(miu).θ=ángulo entre el vector unitario n del área y el campo magnético.

La dirección del momento de torsión es dado por el producto vectorial de n y B como se muestra en la figura 3.15

Figura 3.15

Por consiguiente la ecuación del momento de torsión viene expresada por:

τ=AI n× B

τ= μ× B

154

Donde.μ=AI Tiene la dirección del vector unitarion del área A

La ecuación anterior es válida para cualquier espira plana de área A con una corriente.Ahora si se tiene varias espiras, ya estamos hablando de una bobina.Y el momento para bobinas (N vueltas) viene dado por la ecuación siguiente:

τ=NAI n× B

τ= μ× B

Donde se puede observar que μ=NAI y es el momento del dipolo magnético de la bobina.

Ahora, si queremos calcular la energía almacenada por cualquier dipolo magnético o por la bobina cuando está alineada en un campo magnético exterior, si desea cambiar su orientación, consideraremos que la energía magnética almacenada es cero cuando θ entre μ y B es de 90 grados, es decir, que son perpendiculares entre sí. La energía potencial magnética se define de acuerdo a la siguiente ecuación.

U=∫ τdθ=∫ μBsenθdθ=−μBcosθ

Que vectorialmente se puede expresar, de acuerdo a la definición del producto punto por la ecuación siguiente:

U=− μ∙ B

Esta energía potencial almacenada por el momento del dipolo magnético en el campo magnético externo es el trabajo que tiene que realizar un agente externo para hacerlo girar un ángulo θ a partir de su posición de energía cero.

OTRA FORMA DE ENFOCAR EL CONCEPTO DEL MOMENTO DE UN DIPOLO MAGNÉTICO (momento de una espira con corriente) ES LA SIGUIENTE:

155

Figura 3.16. (a) vista superior de un lazo de corriente rectangular en un campo magnético uniforme. Dado que los lados 1 y 3 del rectángulo son paralelos a B, no existen fuerzas magnéticas que actúen sobre estos lados. Existen, sin embargo, fuerzas magnéticas actuando sobre los lados 2 y 4. (b) vista lateral del lazo en dirección de los lados 2 y 4 que muestra que las fuerzas magnéticas F2 y F4 sobre estos lados forman una torca que tiende a torcer el lazo en dirección dextrógira. El punto color violeta en el círculo izquierdo represente la dirección de la corriente en el alambre 2 dirigida hacia el lector; la cruz violeta en el círculo derecho representa la corriente en el alambre 4 alejándose del lector

Consideremos la figura 3.16, en la cual se tiene un lazo rectangular que lleva una corriente I en presencia de un campo magnético uniforme dirigido paralelamente al plano del lazo, como se puede observar en la figura 3.16a. Sobre los lados 1 y 3 no actúa ninguna fuerza magnética, ya que estos alambres son paralelos al campo, por lo que para estos lados L×B=0.Sin embargo sobre los lados 2 y 4, si actúan fuerzas magnéticas, porque están orientados perpendicularmente al campo, la magnitud de estas fuerzas viene dada por

F2=F4=IaB

La dirección de las fuerzas 2 y 4 se muestran en la figura 3.16b.

156

Obsérvese que las dos fuerzas están apuntando en direcciones opuestas pero no están actuando a lo largo de la misma línea.Si se logra que el lazo gire alrededor del punto “o“, estas dos fuerzas producen, en relación con este punto, una torca (par o momento magnético) que hace que el lazo gire en sentido dextrógiro. La magnitud de este par (momento magnético o par) de torsión es:

τ máx=F2b2+F2

b2=IaB

b2+ IaB b

2=IabB=IAB (Nt /m)

Si se invierta la dirección de la corriente, la dirección de las fuerzas también se invertirían, y la rotación seria en sentido contrario al descrito en el párrafo anteriorDónde:

b2=brazo delmomento enrelacióncon o paracadauna de las fuerzas

A=ab=area contenida por el lazo

Esta torca o par máximo(τmáx) solo es válida si el campo magnético es paralelo al plano del lazo.

Un segundo caso se presentaría cuando el campo magnético uniforme forma un ángulo θ<90° con una línea perpendicular al plano del lazo, como se muestra en la figura 3:16. Por así convenirnos para la mejor comprensión del problema, consideramos que B es perpendicular a los lados 2 y 4. En este caso las fuerzas 1 y 3 ejercidas sobre los lados respectivos (1 y 3) se cancelan entre si y no producen torca (momento magnético o par), y que pasan por un origen común, sin embargo las fuerzas 2 y 4 que actúan sobre los lados respectivos producen una torca (momento magnético o par) en relación con cualquier punto. En la vista lateral que muestra la figura 3.17 notamos que el brazo del momento debido a la fuerza 2 en relación con el origen, esta

expresado por b2senoθ . De manera similar para la fuerza 4, es

b2senoθ .

157

Figura 3.17 Vista desde un extremo del lazo de la figura girado un ángulo con respecto al campo magnético. Si B forma un ángulo respecto al vector A, que es perpendicular al plano del lazo, la torca será igual IABsenθ , siendo la magnitud de A el valor de A, es decir, el área del lazo.

Puesto que

F2=F4=IaB

La expresión para la torca (momento magnético o par) neta en magnitud esta expresada por la ecuación siguiente:

τ=F2b2senoθ+F4

b2senoθ=IaB

b2senoθ+ IaB b

2senoθ=IabBsenθ

τ=IabBsenθ=IABsenθ=IA ×B=μ×B(A−m2)

Que es la expresión que se dedujo en el primer caso

Aunque obtuvimos la torca (momento magnético o par) para una orientación especifica de B en relación con el lazo, la ecuación de la torca o momento magnético es válida para cualquier orientación, en general esta ecuación también es válida par a cualquier forma de lazo.

Como vemos en la figura 3.17, el lazo tiende a girar en la dirección de valores decrecientes de θ (es decir, de forma que el vector de área A gire hacia la dirección del campo magnético).

158

Si se quiere la ecuación para una bobina y la energía potencial magnética de esa bobina tendremos las ecuaciones siguientes:

τ=N μ lazo×B=N μbobina×B

Y U=−μ∙ B

De esta última expresión para la energía potencial, vemos que U es mínima cuando μ y B apuntan en la misma dirección y es máxima cuando apuntan en dirección opuesta

Donde

A= vector perpendicular al plano del lazo como se ve en la figura 3.17| y tiene una magnitud igual al área del mismo.

La dirección de A se determina utilizando la regla de la mano derecha como se describe en la figura 3.17. Cuando se colocan los dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente en el lazo, su pulgar apunta en la dirección de A.

Figura 3.17. Regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector A. La dirección del momento magnéticoμ es la misma que la dirección de A

Ejemplo.

159

Una bobina rectangular de lado “a” y “b” de N vueltas, pasa por ella una corriente I ¿cuál es la máxima energía que almacena al hacer un giro completo en un campo magnético externo B, tomando como posición inicial θ=0 ¿ considere a=0.4m, b=0.05m I=2 amperes, B=10 tesla y N=100 vueltas.

Solución:

Como ya hemos visto

U=−μ∙ B=−μBcosθ

Si θ=π tendremos que Umáx=¿ μB yaquecosθ=−1¿

Por lo tanto U=NIAB=NIabB=100 (2amper ) 20x 10−5m2 (10 tesla )

Finalmente

U=4 Joule

Ejemplo:

El momento magnético (torca ó par) de una espira con corriente es

μ=2 j+3 k . Si se encuentra en un campo magnético externo B=4 i+ j , calcule el momento de torsión (τ)

Solución:

Como hemos visto el momento magnético de torsión viene dado por el producto cruz como sigue:

τ=μ×B

Resolviendo por determinantes esta ecuación obtenemos

τ=|i j k0 2 34 1 0|=−3 i+12 j−8 k Nt−m

Se puede hallar también utilizando el producto punto

160

μ×B=( 2 j+3 k . )× (4 i+ j , )=−8 k+0+12 j−3 i

Y su magnitud es:|τ|=14.73Nt−m

Ejemplo:

Una bobina rectangular 5.40x8.50 cm está constituida por 25 vueltas de alambre y conduce una corriente de 15 mA. Un campo magnético de 0.350 teslas se le aplica paralelamente al plano del lazo

(a) Calcule la magnitud de su momento dipolar magnético.(b) Cuál es la magnitud de la torca (par o momento magnético)

que actúa sobre el lazo.

Solución:

Datos:

A=5.40 cmx8.50cm=45.9 x 10−2m

N=25 vueltas

I=15 mA=15 x10−3amper

B=0.350 tesla paralela al plano

(a)μbobina=NIA=25 (15 x10−3 A ) 45.9 x10−2m=172 x10−3 A .m2

(b) como se deduce que B es perpendicular a μbobina

Concluimos que τ=μbobina×B=μbobinaBsen90

τ=172x 10−3 A .m2 (0.350 tesla)=6.02x 10−4 N−m

Ejemplo. CONTROL DE ORIENTACIÓN DE UN SATELITE.

Muchos satélites utilizan bobinas conocidas como torsores

Para ajustar su orientación. Estos dispositivos interactúan con el campo magnético de la tierra para crear una torca sobre una nave espacial en las direcciones de x, y o z. la principal ventaja de este sistema control de

161

orientación, es que utiliza electricidad generada por el sol y por lo tanto no consume ningún combustible propulsor.

Si un dispositivo típico de este tipo tiene un momento dipolar magnético de 250 A-m2 ¿Cuál es la torca máxima que se aplica a un satélite cuando su torsor está activo a una altitud donde el campo magnético de la tierra es 3x10-5 tesla.

Solución:

Como sabemos el momento máximo de la torca (momento magnético o par) se obtiene cuando el momento dipolar magnético del torsor es perpendicular al campo magnético de la tierra

τ máx=μB=(250 A−m2)(3x10-5 teslas)=7.5x10-3 Nt-m.

3.4.- Inducción electromagnética

3.4.1- LEY DE AMPER

En los temas analizados con anterioridad, tratamos los efectos del campo magnético sobre partículas cagadas en movimiento y en conductores con corriente, sin considerar como se generó el campo magnético. En esta parte de nuestro estudio analizaremos brevemente la Ley de Amper y la de Biot-Savart (ver figura 3.19) que son leyes experimentales que establecen la forma de calcular el campo magnético resultante de una corriente estable.

162

Figura 3.18.

El descubrimiento de que las corrientes producen efectos magnéticos fue hecho por Oersted en 1820. Este descubrimiento consistió en que observó el desvió de las agujas de las brújulas cuando un conductor que lleva corriente produce un campo magnético, véase la figura 3.19.

Figura3.19(a)Cuando no existe corriente en el alambre todas las agujas de la brujula apuntan en la misma dirección (hacia el polo

163

norte de la tierra) (b)Cuando el alambre lleva una fuerte corriente, las agujas de las brujulas se desvian en direccion tangente al circulo, la dirección del campo creado por la corriente (c) lineas de campo magnético circulares que rodea un conductor que lleva una corriente, desplegadas mediante limaduras de hierro.

Ya que las agujas de la brújula apuntan en la dirección de B, concluimos que las líneas de B forman círculos, alrededor del alambre, como se vio en una sección anterior, por simetría la magnitud es la misma en cualquier parte de la trayectoria circular centrada sobre el alambre y que yace sobre un plano perpendicular a éste. Si modificamos la corriente y la distancia “a” al alambre, encontramos que B es proporcional a la corriente e inversamente proporcional a la distancia al alambre como se describe en la ecuación siguiente:

B=μ0 I

2πa

Evaluando ahora el producto B∙ds para un pequeño elemento de longitud “ds” de la trayectoria circular definida por las agujas de las brújulas, y sumemos los productos para todos los elementos de la trayectoria circular cerrada. A lo largo de esta trayectoria los vectores B y ds son paralelos en cada punto (véase figura 3.19) así que B∙ds=Bds .Además la magnitud de B es constante en este círculo y está dada por la ecuación definida anteriormente. Por lo tanto, la suma de los productos Bds a lo largo de la trayectoria cerrada viene expresada por la siguiente ecuación:

∫B ∙ds=B∮ds=μ0 I

2πr(2 πr )=¿ μ0 I ¿

Donde

∮ds= (2 πr ) Es la circunferencia de la trayectoria circular.

A pesar de que este resultado fue calculado para el caso especial de una trayectoria circular que rodea a un alambre, es válida para la trayectoria cerrada de cualquier forma (una espira Amperiana) que rodea una corriente en un circuito cerrado.

164

Por lo que la siguiente ecuación se le conoce como la ley de Amper

∮B ∙ds=¿μ0 I ¿

Y se interpreta de la siguiente manera:

LA INTEGRAL LINEAL DE B∙ ds ALREDEDOR DE CUALQUIER TRAYECTORIA CERRADA ES IGUAL A μ0 I, DONDE I ES LA CORRIENTE TOTAL ESTABLE QUE PASA A TRAVÉS DE CUALQUIER SUPERFICIE LIMITADA POR LA TRAYECTORIA CERRADA.

Esta ley describe la creación de campos magnéticos para todas las configuraciones de corriente continua, a nuestro nivel matemático, pero solo es útil para calcular el campo magnético de configuraciones de corrientes que tienen un alto grado de simetría.

Esta ecuación de la Ley de Amper, también se puede escribir en función de la densidad de corriente de la forma siguiente:

Como sabemos

I=∫s

J .ds=corriente encerrada

Sustituyéndola en la ecuación de la Ley de Amper obtenemos lo siguiente:

∮B ∙dl=μ0∫s

J ∙ds

Donde la integral de superficie de la densidad de corriente corresponde al área encerrada por la integral de línea cerrada

Ejemplo

Calcule el campo magnético para puntos dentro de un cable coaxial como el mostrado en la siguiente figura (a<r<b), si el conductor central tiene un radio “a” y el exterior un radio “b” por los conductores pasan corrientes iguales pero de sentidos contrarios como lo muestra la figura 3.20.

165

Figura 3.20

Solución:

Como se vio en la Ley de Amper, la única corriente que produce campo magnético en el intervalo considerado es la del conductor interno, ya que es la corriente encerrada.

∮B ∙dl=μ0 I=B(2πr )

B=μ0 I

2πr

Qué valor cree usted que tiene el campo para valores de r fuera del cable coaxial?

Ejemplo

Para un conductor recto y largo de radio “a” que lleva una corriente I uniformemente distribuida (a) Calcule el campo magnético, para puntos dentro del alambre véase figura 3.21. (b) grafique B contra “r” para a<r<∞ .

Figura 3.21.

Solución:

166

Calcularemos primero la densidad de corriente J que viene dada por:

J= IA

= I

π a2

De la ecuación de la ley de Amper tenemos:

∮B ∙dl=μ0∫s

J ∙ds

Evaluando la integral resulta lo siguiente:

B2πr=μ0 J A=μ0I

π a2(π r2)

Para r=aB=μ0 I

2πa

(c) Grafica de B contra rEn esta gráfica 3.21a, observamos que el campo máximo es en r=a y que el campo es cero para r=0 y el campo tiende a cero cuando r→∞

3.4.2.- Ley de Biot- Savart.

Esta ley, al igual que la de Amper, nos proporciona un método para calcular el campo magnético.

Como ya se planteó, la ley de Amper se utiliza más a menudo para casos con mucha simetría, esto no quiere decir que no se pueda utilizar para cualquier caso, lo que pasa es que se hace más complicada la evaluación de la integral cerrada.

En forma alternativa se establece esta ley de Biot-Savart en magnetismo, para calcular el campo magnético por integración directa para una distribución de corriente con respecto a un punto considerado, y que se escribe como

dB=μ0

4Iπdlsenθr 2

Donde

167

dl=diferencial de longitud del conductor concorriente I aportando unadB

I=La corriente en el alambre.

r=distancia del alambreal punto demedicion deel campo

μ0=4 π ×10−7(m /A)constante de proporcionalidad

La dirección del campo magnético a P está dada por dl ×r que concuerda con la regla de la mano derecha que se estableció anteriormente. La Ley de Biot-Savart lo podemos escribir en forma vectorial como:

B=μ0 I

4 π∫ dl ×r

r3 =¿μ0 I

4 π∫ ds× r

r2 ¿

Deducción de la Ley de Biot- Savart

Partiendo de la ley de Amper tenemos que.

B=μ0 I

2πR

Y tomando como referencia la figura 3.22

Podemos realizar las siguientes observaciones que nos permitirán entender esta deducción que se hace de la ley de Biot-Savart

Figura 3.22.

NOTA (I=i)

168

Como podemos observar, este campo depende de la distancia R, de la corriente y de la longitud del alambre, ya que cada diferencial de alambre dy aporta un diferencial de campo dB, que varía en la forma que se observara más adelante.

Por lo pronto podemos saber que dB es muy pequeño en el punto P para una dy muy alejado del origen, es decir si r tiende a infinito, y es máximo el dB cuando el diferencial de longitud dy al punto P es mínima es decir en R.(En R el valor de dB es máxima)

Por lo que podemos escribir la ecuación de la siguiente forma.

dB=μ0 I

4 πRdyl

Entonces

B=∫−l

l

dB=∫−l

l μ0 I

4 πRdyl

=μ0 I

2πR

De la ecuación anterior se deduce que

μ0 I

4 πR∫−l

ldyl

=μ0 I

2πR

Para que esta ecuación sea cierta la integral debe valer 2

Para que no se altere esta ecuación se debe de cumplir que

∫−l

ldyl

=1l∫−l

l

dy=1l[( l )−(−l )]=2l

l=¿2¿

Y esta condición se cumple también si integramos

∫π

0

−senθdθ=[ cos0 ]−cos π=1−(−1 )=2

Entonces el campo se puede escribir con la ecuación

B=−μ0 I

4 πR∫π

0

senθdθ diferenciandodB=−μ0 I

4 πRsenθdθ

De la figura 3.22.

y=R cotangθ r=R csecθ entoncesdy=−Rcosec 2θdθ

169

Multiplicando la última ecuación de dB por R2 cosec2θotenemos la siguiente ecuación

dB=−μ0 I senθ dθR

2cosec 2θ

4 πRR2 cosec2θ

Arreglando términos e incluyendo a dy y r en la ecuación resulta

dB=−μ0 I senθR(R ¿¿cosec2θ dθ)

4 πRR2 cosec2θ¿

Puesto que r2=R2cosec 2θdy=−R cosec2θdθ

La ecuación se reduce a lo siguiente:

dB=μ0 Isen θRdy

4 πR r2

Eliminando las R y multiplicando arriba y abajo por r se obtiene

dB=μ0 Idy×r

4 π r3

Ejemplo:

Calcular el campo magnético B para puntos sobre el eje axial de una espira con corriente I y Radio “a” como se muestra en la figura 3.23

Figura 3.23.

Solución

170

De la figura se puede observar que “dl” y “r” son perpendiculares, por lo que la ecuación de Biot Savart se puede escribir en la forma siguiente ya que el seno 90 =1

dB=μ0 Idl

4 π r2

Donde dB tiene la dirección que se muestra en la figura pero solamente d Bx contribuye al campo magnético resultante en P ya que la componente d B y se anula por su componente simétrica y opuesta, entonces

B=∫d Bx=¿μ0 I

4 π∫ dl

r2 sen∅ ¿

También de la figura se pude establecer que:

sen∅=ary r=√a2+ x2

Sustituyendo en la ecuacion anterior obtendremos

B=∫d Bx=¿μ0 I

4 π∫ dl

r2 ( ar )= μ0 I

4 π r2∫ adlr

=μ0 Ia

4 π r3∫ dl=μ0 Ia

4 π r3 (2πa)¿

B=μ0 Ia

4 π r3 (2 πa )=μ0 I a

2

2 r3

Sustituyendo a r en la última ecuación finalmente

B=μ0 I a

2

2(a2+x2)32

Ejemplo

Sobre la superficie de una esfera de madera de radio “a” se enrolla en una capa un número N de vueltas muy próximos entren si con un alambre fino, cubriendo completamente la superficie de la esfera. Los planos de las vueltas son perpendiculares al eje de la esfera como se muestra en la figura 3.24. Calcule el campo magnético en el centro de la esfera si la corriente del enrollado es I (i).

171

Figura 3.24.

Solución:

Puesto que en el ejemplo anterior hallamos el campo para una sola espira con corriente en puntos sobre el eje axial, tomaremos dicho resultado para la solución de este problema, de acuerdo a las variables que se muestran en la figura estableceremos la ecuación

B=μ0 I y

2

2a3

Donde “y” es el radio de la espira como se muestra en la figura 3.24 para un dI tenemosunadB esto es

dB=μ0dI y

2

2a3 pero dI=N I 0dl

ly dl=ad∅ asitambien l=πa

Por lo tanto dI=N I 0d∅

π pero además y=asen∅

Sustituyendo tenemos

dB=μ0a

2 sen2∅ N I 0d∅2 π a3

Simplificando e integrando ∅ de cero a π tenemos

B=μ0N I 0

2πa∫0

π

sen2∅ d∅=¿μ0N I 0

2πa [ ∅2 − sen2∅4 ]= μ0 N I 0

2 πa ( π2 )=μ0N I 0

4 a¿

172

3.4.3.- Ley de Faraday

Esta ley trata los efectos causados por campos magnéticos que varían con el tiempo.

Michael Faraday y Joseph Henry que realizaron experimentos casi simultáneamente, uno en Londres y el otro en Estados Unidos, mostraron que es posible inducir una FEM (ε) en un circuito utilizando un campo magnético variable. Los resultados de estos experimentos sirvieron como base para establecer una ley básica y muy importante del electromagnetismo, la cual se conoce como LEY DE FARADAY. Una(ε) FEM (y por lo tanto también una corriente) puede ser inducida por varios procesos que involucran un cambio en el flujo magnético.

Leyes de inducción de Faraday.

173

Consideremos una espira de alambre conectada a un amperímetro sensible, tal como se muestra en la figura 3.25 para poder observar cómo es posible inducir una FEM debido a un campo magnético.

Figura 3.25 (a) Cuando se mueve un imán hacia una espira de alambre conectada a un amperímetro sensible, éste se desvía como se muestra, lo que indica que se ha inducido una corriente en la espira. (b) Cuando el imán se mantiene estacionario, no existe corriente inducida en la espira, aun cuando el imán esté físicamente en el interior de la espira. (c) cuando el imán se mueve en dirección contraria a la espira, el amperímetro se desvía en la dirección opuesta, lo que indica que la corriente inducida tiene dirección contraria a la que se muestra en el inciso (a). Cuando se cambia la dirección del movimiento del imán, se cambia también la dirección de la corriente inducida por dicho movimiento.

Cuando el imán se acerca a la espira, la aguja del galvanómetro se desvía en una dirección, que en la figura 3.25a se ha ilustrado de forma arbitraria con una desviación hacia la derecha. En cuanto se deja el imán en reposo y se mantiene estacionario en relación con la espira (figura 3.25b), no se observa deflexión alguna. Cuando, el imán es alejado de la espira, la aguja se desvía en dirección opuesta, como se ve en la figura 3.25c. Finalmente, si el imán se mantiene estacionario y la espira se mueve ya sea hacia el imán o en dirección opuesta, la aguja se desviará. Concluimos de estas observaciones que la espira detecta que el imán se está moviendo respecto a la espira, y esta detección lo correlacionamos con un cambio en el campo magnético. Entonces parece existir una relación entre la corriente y un campo magnético cambiante.

174

El resultado de este experimento es notable ya que se observa que se establece una corriente a pesar de que no existe una batería presente en el circuito. A esta corriente se le conoce como corriente inducida y se dice que es el producto de una FEM (ε) inducida.

Michel Faraday realizo un experimento que se ilustra en la siguiente figura 3.26. Una bobina primaria se conecta a un interruptor y a una batería. La bobina se enrolla alrededor de un anillo de hierro, y una corriente a través de la bobina producirá un campo magnético al cerrarse el interruptor. Una bobina secundaria esta enrollada alrededor del anillo y se encuentra conectada a un amperímetro sensible. En el circuito secundario no hay batería alguna, y este circuito no está conectado eléctricamente con la bobina primaria. Cualquier corriente que se detecte en la bobina secundaria deberá haber sido inducida por un agente externo.

Figura 3.26. Experimento de Faraday. Cuando se cierra el interruptor en el circuito primario, el amperímetro conectado en el circuito secundario se desvía momentáneamente. La FEM(ε) inducida en el circuito secundario es causada por el campo magnético cambiante aplicado a la bobina primaria

Pudiera pensarse que nunca podrá detectarse una corriente en el circuito secundario. Sin embargo cuando se abre o se cierra el interruptor existente en el circuito primario, ocurre algo asombroso. En el momento en que se cierra el interruptor, la aguja del galvanómetro se mueve en una dirección y de inmediato regresa a cero. En el instante en que el interruptor se abre, la aguja presenta un movimiento en la dirección opuesta y de nuevo vuelve a cero. Finalmente, el galvanómetro marca cero cuando existe una corriente estable o no existe corriente en el circuito primario.

175

La clave, para primero comprender lo que está ocurriendo en este experimento, es considerar que cuando el interruptor está cerrado, la corriente en el circuito primario genera un campo magnético que penetra en el circuito secundario. Además, cuando el interruptor está cerrado, el campo magnético producido por la corriente en el circuito primario cambia de cero a algún valor durante un periodo finito de tiempo, y este campo cambiante induce una corriente en el circuito secundario.

Como resultado de estas observaciones, Faraday concluyo que: en un circuito (en este caso el circuito secundario) es posible inducir una corriente eléctrica mediante un campo magnético cambiante. La corriente inducida existe solo durante un corto periodo de tiempo mientras el campo magnético que pasa a través de la bobina secundaria esté cambiando. En cuanto el campo magnético alcanza un valor estable. La corriente en la bobina secundaria desaparece. En efecto, el circuito secundario se comporta como si se hubiese conectado a una fuente de FEM (ε) durante un breve lapso. Es habitual decir que una FEM(ε) inducida se produce en el circuito secundario debido al campo magnético cambiante.

Los experimentos mostrados en la figura 3.25 y 3.26 tienen algo en común: en ambos casos se induce una FEM(ε) en el circuito cuando el campo magnético a través del circuito cambia con el tiempo.

De todo lo anteriormente expuesto se plantea la Ley de Faraday usando la ecuación siguiente

ε (FEM )=−d∅ B

dt

Donde ∅ B=∫B ∙dA es el flujo magnético a través del circuito

La cual se enuncia de la manera siguiente:

La FEM(ε) inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito.

También se puede escribir como

ε (FEM )=−Nd∅ B

d t

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Si la bobina está formada de N espiras todas ellas de la misma superficie y ∅ B es el flujo magnético a través de una espira, habrá una FEM inducida en todas las espiras. Las espiras están en serie, por lo que sus FEM se suman; de aquí que la FEM inducida este expresada por la ecuación anterior.

Para resumir: Siempre que varía con el tiempo el flujo que atraviesa el circuito se produce en él una FEM inducida. El flujo puede hacerse variar de dos formas

1.- Por el movimiento de un conductor.

2.- Por un cambio en el valor del flujo que atraviesa un circuito fijo.

Para el primer caso la FEM puede calcularse bien a partir de:

ε (FEM )=−d∅ B

dto ε=Blv

o tambien ε (FEM )=−d∅ B

dt=−∫ d (Bcos∅ )

dtdA

3.4.4.- Ley de Lenz

En el estudio de la Ley de Faraday analizamos, como se inducen las FEM, pero no mencionamos nada acerca de la dirección de las FEM inducidas ni de las corrientes inducidas. Fue H.F. Lenz (1804-1865) contemporáneo de Faraday quien en una forma sencilla estableció el sentido de las corrientes inducidas, mediante el siguiente enunciado conocida como la Ley de Lenz:

La corriente que es inducida en un circuito tendrá una dirección de tal forma que se oponga a la causa que lo produce; que es una consecuencia directa del principio de la conservación de la energía, ya que sí el flujo inducido en la figura 3.27 estuviera en la misma dirección que el flujo que lo induce, entonces, la corriente inducida podría seguir induciendo corriente y a la ves aumentándola, algo que es evidentemente falso

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Figura 3.27.

Una mejor forma de comprender el enunciado de la Ley de Lenz es por medio de un experimento como el siguiente: En la figura 3.28 tenemos una bobina y movemos un imán hacia el centro de la bobina de tal forma que observamos que comienza a generarse una FEM inducida, es decir, que se genera una corriente inducida en la bobina que produce un campo magnético que se opone al campo B del imán; podemos decir , en otras palabras que en la bobina se induce un dipolo magnético cuyo polo magnético norte esta frente al polo norte del imán, que se representa en la figura 3.28a.

Figura 3.28. El campo magnético inducido está representado por líneas punteadas

Donde vemos que el cambio de flujo magnético que pasa por la espira va en aumento a medida que se mueve el imán hacia la espira, este movimiento lo representamos mediante una flechita (m→) de acuerdo a la Ley de Lenz, se induce una corriente en la dirección que se indica en

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la figura. La cual produce un campo magnético en dirección opuesta al campo del imán que se acerca a la espira. En la figura 3.28b, se indica con un polo norte y un polo sur la magnitud del campo magnético producido por la corriente inducida.

¿Qué sucede cuando empezamos a retirar el imán? Como el cambio de flujo cada vez es menor a medida que se va alejando del imán, entonces, se induce una corriente de tal forma que produce un campo magnético que se opone a la reducción del flujo magnético ∅ B, de aquí que el campo magnético que aparece, tiene en el centro de la espira una dirección igual al campo del imán que se aleja, como se indica en la figura 3.28b.

Otra forma de comprender esta ley, es considerar la situación que explica la figura siguiente

Figura 3.29 (a) Cuando el imán se mueve hacia la espira conductora estacionaria. Una corriente es inducida en la dirección que se muestra. Las líneas de campo magnético que se muestran son las correspondientes al imán de barra. (b) Esta corriente inducida produce su propio campo magnético dirigido hacia la izquierda que contrarresta el flujo externo en aumento. Las líneas de campo magnético que aparecen son provocadas por la corriente inducida en el anillo. (c) Cuando se mueve el imán alejándose de la espira conductora estacionaria, se induce una corriente en la dirección mostrada. Las líneas de campo magnético que se observan corresponden a las del imán de la barra. (b) Esta corriente inducida produce un campo magnético dirigido hacia la derecha contrarrestando, por lo tanto, el flujo

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externo decreciente. Las líneas de campo mostradas son a las correspondientes a la corriente inducida en el anillo.

Ejemplo (aplicaciones de la ley de Faraday)

Con cierta intensidad de corriente en el circuito 1 de la figura 3.30 pasa un flujo de 5 x10−4 weber en el circuito 2.cuando se interrupa el circuito 1, el flujo se anula en un tiempo de 0.001 seg. ¿Cuál es la FEM medida inducida en el circuito 2?

Figura 3.29.

Solución

La disminución media del flujo en el circuito 2 es:

B=∆∅∆ t

=5 x 10−4

0.001=0.5

wbm

Ejemplo

Una vuelta o espira de alambre que encierra una superficie A se coloca en una región donde el campo magnético es perpendicular al plano de la espira. La magnitud de B varía con el tiempo según la expresión

B=Bmáxe−at siendo “a” alguna constante. Esto es en t=0 el campo tiene el

valor Bmáx y para t>0 el campo disminuye en forma exponencial (ver figura 3.30). Determine la FEM inducida en la espira como una función del tiempo.

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Figura 3.30 Decrecimiento exponencial en la magnitud del campo magnético en función del tiempo. La FEM inducida y la corriente inducida varían con el tiempo de manera similar

Solución:

En vista de que B es perpendicular al plano de la espira, el flujo magnético a través de la espira en el instante t>0 es

∅ B=BA cos 0=A Bmáx e−at

Entonces ε=−d∅ B

dt=−A Bmáx

d e−at

dt=a A Bmáxe

−at

La última expresión nos indica que la FEM inducida decae exponencialmente en función del tiempo. Observe que la FEM máxima se presenta en t=0. Donde εmáx=a A Bmáx. La grafica de ε en función de t es similar a la curva de B en función de t que se muestra en la figura 3.30.

Aplicación de la ley de Lenz

Determine el sentido de la corriente inducida en la resistencia, en el momento de cerrar el interruptor S (figura 3.31)

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Figura 3.31

Solución

De acuerdo con la Ley de Lenz, al cerrar S, aparece un polo N a la derecha de la bobina con mayor número de vueltas, lo que hace que aparezca un polo N en el extremo izquierdo de la bobina del circuito de la resistencia. Para tener un polo N en el extremo izquierdo de la bobina de la resistencia, la corriente en la resistencia deberá circular de izquierda a derecha (→)

Ejemplo conceptual de la Ley de Lenz

Se coloca un anillo metálico cerca de un solenoide como se muestra en la figura 3.32. Encuentre la dirección de la corriente inducida en el anillo.

(a) En el instante en que se cierra el interruptor en el circuito que contiene al solenoide.

(b) Después que el interruptor haya estado cerrado durante varios segundos y

(c) En el instante en que se abre el interruptor.

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Figura 3.32 (del ejemplo) Se induce una corriente en un anillo metálico cercano a un solenoide cuando el interruptor es abierto o cerrado

Solución

(a) Cuando se cierra el interruptor, de no existir en el anillo ningún flujo magnético, pasamos a una situación en la que existe flujo, y este campo magnético está dirigido hacia la izquierda como se puede ver en la figura 3.32b. Para contrarrestar este cambio en el flujo, la corriente inducida en el anillo debe establecer un campo magnético dirigido de izquierda a derecha en la figura 3.32b. esto requiere una corriente dirigida según se muestra.

(b) Habiendo estado el interruptor cerrado durante varios segundos. Ya no se presenta ningún cambio en el flujo magnético a través de la espira; de ahí que la corriente inducida en el anillo es igual acero.

(c) Cuando se abre el interruptor, de existir un flujo en el anillo, pasamos a una situación en la que ya no existe ningún flujo magnético. La dirección de la corriente inducida es igual a la que se muestra en la figura 3.32c, ya que la corriente en esta dirección produce un campo magnético dirigido de derecha a izquierda, contrarrestando así la disminución en el flujo producida por el solenoide

Ejercicios

1.- El flujo magnético

a) sus unidades son webers.

b) Para una superficie gaussiana dentro de un imán es cero.

c) Es una cantidad vectorial.

d) Se define con la ecuación ∅ B=∫B ∙dA.

2.- Una partícula con carga q y velocidad v entra a un campo magnético como se muestra en la figura

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.a).- Si la carga es positiva, se desvía hacia la parte superior.

.b).- La magnitud de su velocidad aumenta.

.c).- experimenta una fuerza igual a qvB

.d).- Su trayectoria no cambia.

3.- El campo magnético.

.a).- se define por la expresión: B=F /qv senθ.

b).- es una cantidad escalar.

c).- Su unidad es Tesla /m2

d).- equivale al campo eléctrico.

3.5.- Principios del transformador eléctrico

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Fotografía. Estos grandes transformadores se utilizan para aumentar el voltaje en una planta generadora de energía eléctrica para distribuir la energía por transmisión eléctrica en la red.

Es posible cambiar los voltajes con relativa facilidad porque la potencia se distribuye por corriente alterna en lugar de corriente directa

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En su forma más sencilla el transformador de CA es la que está formada de dos bobinas de alambre enrolladas alrededor de un núcleo de hierro, como se ilustra en la figura 3.33 (Compare esto con el experimento de Faraday de la figura 3.26) La bobina de la izquierda, que está conectada a la fuente de voltaje alterno y tiene N1 vueltas se denomina devanado primario. A la bobina de la derecha, formada por N2 vueltas y conectada a un resistor de carga R, se le llama devanado secundario. El propósito del núcleo de hierro es aumentar el flujo magnético a través de la bobina y proporcionar un medio en el que casi todas las líneas de campo magnético que pasan a través den una bobina lo hagan por la otra. Las pérdidas por corrientes de Eddy se reducen con el uso de un núcleo laminado. Se usa hierro como material del núcleo porque es una sustancia ferromagnética suave y, por lo tanto, reduce las perdidas por histéresis. La transformación de energía en energía interna en la resistencia finita de los alambres de la bobina suelen ser muy pequeña. Los transformadores típicos tienen eficiencias de potencia de 90 a 99%.

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En el análisis que sigue, suponemos un transformador ideal, esto es, aquel en que las pérdidas de energía en los devanados y el núcleo son igual a cero.

Figura 3.33. Un transformador ideal está formado por dos bobinas enrolladas en el mismo núcleo de hierro. Un voltaje alterno ∆V 1se aplica a la bobina primaria, y el voltaje de salida∆V 2 a las terminales del resistor de resistencia R

Primero consideremos lo que ocurre en el circuito primario. Si suponemos que su resistencia es despreciable con respecto a su reactancia inductiva, entonces es equivalente a un simple circuito formado por un inductor conectado a una fuente de CA. Como la corriente está 90 grados fuera de fase con el voltaje, el factor de potencia cos∅ es cero y la potencia promedio entregada desde el circuito primario es también cero. La Ley de Faraday establece que el voltaje ∆V 1en las terminales del circuito primario es

∆V 1=−N1

d∅B

dt

Donde ∅ B es el flujo magnético que pasa por cada vuelta. Si suponemos que todas las líneas de campo magnético permanecen dentro del núcleo de hierro, el flujo que pasa por cada vuelta del primario es igual al flujo que pasa por cada vuelta del secundario. Por lo tanto, el voltaje en la terminal del secundario es

∆V 2=−N2

d∅ B

dt

Entonces, despejandod∅ B

dt en las dos ecuaciones anteriores e igualando

estas, y después despejamos a ∆V 2 obtenemos

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∆V 2=N2

N1

∆V 1

Si N2>N1 El transformador se llama elevador, el voltaje de salida es mayor que el de entrada

Si N2<N1 El transformador se le llama reductor, el voltaje de salida es menor que el de entrada

Figura 3.34. Diagrama del circuito de un transformador.

Cuando se cierra el interruptor del circuito secundario, se induce una corriente I2 en el secundario. Si la carga del circuito secundario es una resistencia pura, la corriente inducida está en fase con el voltaje inducido. La potencia alimentada al circuito secundario debe provenir de la fuente de CA conectada al circuito primario, como se observa en la figura 3.34. En un transformador ideal, sin pérdidas, la potencia I 1∆V 1 suministrada por la fuente es igual a la potencia I 2∆V 2 en el circuito secundario. Esto es,

I 1∆V 1=¿ I 2∆V 2

El valor de la resistencia de carga RL determina el valor de la corriente

del secundario porque I 2=∆V 2

RL. Además, la corriente del primario es

I 1=∆V 1

Reqdonde

Req=(N1

N2

)2

RL

Es la resistencia equivalente de la resistencia de carga cuando se ve desde el lado del primario. De este análisis podemos inferir que un transformador se puede usar para acoplar resistencias entre el circuito

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primario y la carga. De esta forma se puede lograr una máxima transferencia de potencia entre una fuente de potencia y la resistencia de carga. Por ejemplo, un transformador conectado entre la salida de un 1kΩ de un amplificador de audio y un altavoz de 8Ω asegura la transmisión de tanta señal de audio como sea posible al altavoz. En terminología de equipos estéreo, esto se llama acoplamiento de impedancias.

También podemos entender por qué son útiles los transformadores para entregar energía eléctrica a grandes distancias. Debido a que el voltaje del generador se eleva, la corriente en la línea de transmisión se reduce y por esta razón se reducen las pérdidas I 2R. En la práctica, el voltaje se eleva a alrededor de 230 000 V en la planta generadora, se reduce a unos 20,000 V en la estación de distribución, luego a 4000 V para entrega a zonas residenciales y por último 120-240 V a las puertas del usuario.

Muchos aparatos electrónicos comunes para uso doméstico requieren bajos voltajes para funcionar de manera apropiada. Un pequeño transformador que se conecta directamente a la toma de pared como el que se muestra en la figura 3.35, pueden proporcionar el voltaje adecuado. La fotografía muestra los dos devanados enrollados alrededor del núcleo común de hierro que se encuentran en pequeñas cajas negras. Este transformador en particular convierte los 120 de CA del tomacorriente a 12.5 de CA.

Figura 3.35. El devanado primario de este transformador está acoplado directamente a la puntas de la clavija. El devanado secundario se conecta al cable de la línea que se ve a la derecha que va a un aparato electrónico. Muchos de estos transformadores de fuente de alimentación también convierten corriente alterna en corriente directa

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Fotografía. Este transformador es más pequeño que el que se muestra en la fotografía con que se inicia este tema. Además, es un transformador reductor. Baja el voltaje de 4,000 a 240 V al momento de entregar energía a un grupo de residencias.

EJERCICIOS

Ejemplo:

Un transformador que esta en un poste de servicio funciona con un voltaje de primario de 8.85 kV en el devanado del primario y abastese de energía eléctrica a cierto número de casas cercanas a un voltaje de secundario igual 120 V, siendo ambas cantidades valores rms. La taza de consumo promedio de la energía en las casas servidas por el transformador en un momento dado es de 78 kW. Supóngase un transformador ideal, una carga resistiva, y un factor de potencia unitario. (a) ¿Cuál es la razón de vueltas de este transformador reductor? (b) ¿Cuáles son las corrientes rms en los devanados del primario y secundario del transformador? (c) ¿Cuál es la carga resistiva equivalente en el circuito del secundario? (d) ¿Cuál es la carga resistiva equivalente en el circuito del primario?

Solución:

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Como sabemos (a).- N P

N S

=V P

V S

=8.5 x103

120=70.8

(b).- P=i pV p entonces iP=PV p

= 78 x103

8.85 x103 =9.18 A

Y iS=PV s

=78 x103

120=650 A

(c)En el circuito del secundario

R s=V s

is=120V

650 A=0.185Ω

(d) Aqui tenemos

RP=V p

iP=8.5x 103V

9.18 A=930Ω

4.- NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ

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4.1.- Modelo corpuscular y ondulatorio

Es Isaac Newton (1642 - 1727) el que formula la primera hipótesis científica sobre la naturaleza de la luz.

No existe nada en su naturaleza fundamental que distinga a la luz de cualquier otra onda electromagnética. Lo que distingue a la luz de las demás ondas electromagnéticas es que tenemos receptores (los ojos) que son sensibles a la radiación electromagnética solo en una gama de longitudes de onda desde unos 400 nm (el violeta) hasta unos m700 nm(el rojo)

Podemos definir operativamente que la luz visible es una radiación electromagnética a la cual el ojo es sensible. La sensibilidad de los observadores individuales puede variar, pero los humanos típicos pueden observar la radiación en la gama de longitudes de onda de 400 a 700 mm (correspondiente a una gama de frecuencias de 7 x1014a 4 x1014 Hz). La figura 4.1 muestra una representación de la variación en la sensibilidad de un observador normal para radiaciones de longitudes de onda diferentes pero de intensidad radiante constante dentro de la región visible del espectro.

Figura 4.1. Sensibilidad del ojo humano en relación a la longitud de onda

192

Una fuente más familiar de luz visible es el sol. Su superficie emite radiaciones en todo el espectro electromagnético, pero su radiación más intensa está en la región que definimos como visible, y la intensidad radiante del sol tiene su pico en unos 550 nm, correspondientes precisamente al pico de la sensibilidad de nuestro observador normal(figura 4.1). Esto indica que, por selección natural, nuestros ojos evolucionaron de tal manera que su sensibilidad se igualo a la del espectro del sol.

Todos los objetos emiten radiación electromagnética, llamada radiación térmica, debido a su temperatura. Los objetos como el sol, cuya radiación térmica es visible, se llaman incandescentes. Otros objetos incandescentes comunes son los filamentos de los focos de luz ordinarios y el rescoldo reluciente de un fuego de carbón vegetal. La incandescencia está asociada por lo general con los objetos calientes; típicamente son necesarias temperaturas de más de 10000 C.

También es posible que ciertos objetos fríos emitan luz; este fenómeno se llama luminiscencia. Entre algunos ejemplos están los receptores de televisión, los tubos fluorescentes, las manecillas y las caratulas brillantes de algunos relojes.

Modelo corpuscular: Conocida como teoría corpuscular o de la emisión, es el primer modelo exitoso en explicar el comportamiento de la luz. En gran parte se debe a la autoridad de Newton, ya que en esa misma época el modelo ondulatorio trataba de explicar el mismo fenómeno.

En 1672 Newton envió una breve exposición de su teoría de los colores a la Royal Society de Londres. Su publicación provocó tantas críticas que confirmaron su recelo a las publicaciones, por lo que se retiró a la soledad de su estudio en Cambridge. En 1704, sin embargo, publicó su obra Óptica, en la que explicaba detalladamente su teoría. En esta obra explicaba que las fuentes luminosas emiten corpúsculos muy livianos que se desplazan a gran velocidad y en línea recta. Según su teoría la variación de intensidad de la fuente luminosa era proporcional a la cantidad de corpúsculos que emitía en determinado tiempo.

En 1638, René Descartes (1596-1650) publicó su tratado "Óptica". Descartes fue el primer gran defensor de la teoría corpuscular, diciendo que la luz se comportaba como un proyectil que se propulsaba a

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velocidad infinita. Sin especificar absolutamente nada sobre su naturaleza

La reflexión de la luz consistía en la incidencia de dichos corpúsculos en forma oblicua sobre una superficie espejada, de manera que al llegar a ella variaba de dirección pero siempre en el mismo medio. La igualdad del ángulo de incidencia con el de reflexión se debía a que tanto antes como después de la reflexión los corpúsculos conservaban la misma velocidad (debido a que permanecían en el mismo medio). La refracción la resolvió expresando que los corpúsculos que inciden oblicuamente en una superficie de separación de dos medios de distinta densidad son atraídos por la masa del medio más denso y, por lo tanto, aumenta la componente de la velocidad que es la velocidad que es perpendicular a la superficie de separación, razón por la cual los corpúsculos luminosos se acercan a la normal.

Según lo expresado por Newton en su obra, la velocidad de la luz aumentaría en los medios de mayor densidad, lo cual contradice los resultados de los experimentos realizados años después. Esta explicación, contradictoria con los resultados experimentales sobre la velocidad de la luz en medios más densos que el vacío, obligó al abandono de la teoría corpuscular para adoptar el modelo ondulatorio

Modelo ondulatorio:

James Clerk Maxwell, uno de los más grandes científicos de la historia, entre muy importantes descubrimientos demostró que la luz era una parte del espectro electromagnético, es decir que difiere con las demás ondas (como pueden ser ondas de radio, microondas, rayos ultravioleta, infrarrojos) solo en su longitud de onda (distancia entre cresta y cresta de la onda)

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Luz es entonces la región del espectro electromagnético visible al ojo.

En óptica se usan unidades de longitud de onda como:

micra (10−6), Ángstrom (10−10), o nanómetro (10−9 metros).

Modelo electromagnético: los físicos sabían desde principios del siglo XIX que la luz se propaga como una onda transversal (una onda en la que las vibraciones son perpendiculares a la dirección de avance del frente de ondas). Sin embargo, suponían que las ondas de luz requerían algún medio

Desde otro punto de vista, Christian Huygens (astrónomo, matemático y físico holandés) en el año 1678, describe y explica lo que hoy se considera las leyes de reflexión y refracción. Define a la luz como un movimiento ondulatorio semejante a la propagación del sonido, de tipo

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mecánico, que necesita un medio material para propagarse. Supuso tres hipótesis:

1. Todos los puntos de un frente de ondas son centros emisores de ondas secundarias.

2. De todo centro emisor se propagan ondas en todas direcciones del espacio con velocidad distinta en cada medio.

3. Como la luz se propaga en el vacío y necesita un material perfecto sin rozamiento, supuso que todo el espacio estaba ocupado por éter.

Las ondas mecánica requieren de algún medio material que las transporte, para las ondas lumínicas se suponía la existencia de una materia insustancial e invisible a la cual se le llamó éter, la que debía estar esparcida por todo el espacio. Justamente la existencia del éter fue el principal problema de la teoría ondulatoria.

En aquella época, la teoría de Huygens no fue muy considerada, fundamentalmente, y tal como se ha mencionado, dado al prestigio que alcanzó Newton. Pasó más de un siglo para que fuera tomada en cuenta gracias a los experimentos del médico inglés Thomas Young sobre los fenómenos de interferencias luminosas, y los del físico francés Auguste J. Fresnel sobre la difracción, que fueron decisivos para que se colocara en la tabla de estudios de los físicos sobre la luz, la propuesta realizada por Huygens en el siglo XVII.

Thomas Young demostró experimentalmente un hecho paradójico que no se podía explicar desde la teoría corpuscular: la suma de dos fuentes luminosas pueden producir menos luminosidad que por separado. Su experiencia consistía en practicar dos minúsculas ranuras muy próximas entre sí sobre una tela negra en la que se hace incidir luz de un pequeño y distante foco apareciendo sobre la pantalla (colocada a determinada distancia de la tela) en forma de líneas alternativamente brillantes y oscuras. ¿Cómo explicar el efecto de ambas ranuras, que por separado darían un campo iluminado, combinadas produce sombra en ciertas zonas? Young logró explicar la alternancia de las franjas asociando las ondas de luz al comportamiento de las ondas acuáticas. Si las ondas suman sus crestas hallándose en concordancia de fase, la vibración resultante será intensa y se verá una zona clara. Por el contrario, si la cresta de una onda coincide con el valle de la otra, la vibración resultante será nula, viéndose una zona oscura. Deducción simple imputada a una interferencia y se desarrolla la idea de la luz como estado vibratorio de una materia insustancial e invisible, el éter, al cual se le resucita.

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Ahora bien, la colaboración de Auguste Fresnel para el rescate de la teoría ondulatoria de la luz estuvo dada por el aporte matemático que le dio rigor a las ideas propuestas por Young y la explicación que presentó sobre el fenómeno de la polarización al transformar el movimiento ondulatorio longitudinal, supuesto por Huygens y ratificado por Young, quien creía que las vibraciones luminosas se efectuaban en dirección paralela a la propagación de la onda luminosa, en transversales. Pero aquí, y pese a las sagaces explicaciones que incluso rayan en las adivinanzas dadas por Fresnel, inmediatamente queda presentada una gran contradicción a esta doctrina, ya que no es posible que se pueda propagar en el éter la luz por medio de ondas transversales, debido a que éstas sólo se propagan en medios sólidos.

En su trabajo, Fresnel explica una multiplicidad de fenómenos manifestados por la luz polarizada. Observa que dos rayos polarizados ubicados en un mismo plano se interfieren, pero no lo hacen si están polarizados entre sí cuando se encuentran perpendicularmente. Este descubrimiento lo invita a pensar que en un rayo polarizado debe ocurrir algo perpendicularmente en dirección a la propagación y establece que ese algo no puede ser más que la propia vibración luminosa. La conclusión se impone: las vibraciones en la luz no pueden ser longitudinales, como Young lo propusiera, sino perpendiculares a la dirección de propagación, transversales.

Aun cuando el modelo ondulatorio y la teoría clásica de electricidad y magnetismo podían explicar la mayoría de las propiedades de la luz, no podía hacer lo mismo con los experimentos subsiguientes. El más notable de éstos es el efecto fotoeléctrico, también descubierto por Hertz: cuando incide luz sobre una superficie metálica, a veces se expulsan electrones de la superficie. Como ejemplo de las dificultades que surgieron, algunos experimentos demostraron que la energía cinética de un electrón expulsado es independiente de la intensidad de la luz. Este hallazgo contradijo la teoría ondulatoria, que sostenía que un rayo de luz más intenso debería de transferir más energía al electrón. Einstein propuso una explicación del efecto fotoeléctrico en 1905 en una teoría que utilizó el concepto de cuantización creado por Max Planck (1858-1947) en 1900. El modelo de cuantización supone que la energía de una onda luminosa está presente en partículas llamadas fotones: por lo tanto, se dice que la energía está cuantizada. Según la teoría de Einstein, la energía de un fotón es proporcional a la frecuencia de la onda electromagnética:

E=hf

Dónde: h=constante de proporcionalidad=6.63x 10−34 J . s=constante de Plank

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En vista de estos perfeccionamientos, se debe de considerar que la luz tiene doble naturaleza: en algunos casos exhibe características de una onda y en otras de una partícula

4.2.-Espectro electromagnético

El término espectro procede del latín espectrum, que significa forma o apariencia. Newton introdujo el término para describir la imagen iridiscente que resultaba cuando un haz de luz solar atravesaba un prisma de vidrio. Hoy en día nos referimos al espectro electromagnético para indicar las muchas clases diferentes de radiación electromagnética, clasificadas de acuerdo con su frecuencia o longitud de onda en una escala de pequeña a grande.

Figura 4.2. El espectro electromagnético. Observe la superposición entre tipos adyacentes de onda. La vista ampliada a la derecha muestra detalles del espectro visible

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En tiempos de Maxwell la luz y las radiaciones infrarrojas y ultravioletas que la acompañan eran los únicos tipos de radiaciones electromagnéticas conocidos.

Hoy en día el espectro electromagnético, que se muestra en la figura 4.2 muestra los diferentes tipos de onda electromagnéticas.

Observe los extensos rangos de frecuencias y longitudes de onda. No existe una división clara entre un tipo de onda y la siguiente. Recuerde que todas las formas de los diversos tipos de radiación son producidos por el mismo fenómeno: cargas en aceleración. Los nombres que se han dado cada tipo de onda son simplemente por conveniencia en la descripción de la región del espectro en que están.

Los límites del espectro visible no están bien definidos ya que la curva de sensibilidad del ojo tiende a acercarse a los límites pero nunca lo hace, aunque los límites rondan un valor de entre 4300 A y 6900 A.

Ondas de la luz visible, es la forma más familiar de las ondas electromagnéticas, es aquella parte del espectro electromagnético que el ojo humano puede detectar. Se produce mediante la reorganización de los electrones en los átomos y moléculas. Sus diversas longitudes de onda, que corresponden a los diferentes colores, van desde el rojo (ʎ≈7x10−7m) hasta el violeta (ʎ≈4x10−7m). La sensibilidad del ojo humano es una función de la longitud de onda, siendo máxima a una longitud de onda de alrededor de5.5 x10−7m .

Ondas de radio. Cuyas longitudes de onda llegan más allá de 104m hasta alrededor de 0.1m son el resultado de cargas que se aceleran en alambres conductores. Estas ondas son generadas por dispositivos electrónicos, como por ejemplo osciladores LC, y se utilizan en los sistemas de radio y televisión.

Las microondas tienen longitudes de onda que van desde 0.3 m hasta 10−4m y también son generados por dispositivos electrónicos. Debido a sus cortas longitudes de onda, son muy adecuadas para sistemas de radar y para el estudio de las propiedades atómicas y moleculares de la materia. Los hornos de microondas son una interesante aplicación domestica de estas ondas. Se ha sugerido que la energía solar podría aprovecharse enviando microondas a la tierra desde un colector solar en el espacio.

Las ondas infrarrojas tienen longitudes de onda que van desde 10−3hasta7 x10−7m, la luz visible de longitud de onda más larga. Estas ondas, producidas por moléculas y objetos a la temperatura ambiente, son fácilmente absorbidos por la mayor parte de los materiales. La

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energía infrarroja (IR), absorbida por una sustancia, aparece como energía interna, ya que la energía agita los átomos del objeto, lo que incrementa su movimiento vibratorio o de translación, y da como resultado un incremento en la temperatura. La radiación infrarroja tiene aplicaciones prácticas y científicas en muchas áreas, incluso en la fisioterapia, la fotografía infrarroja y la espectroscopía vibratoria.

Las ondas ultravioletas cubren longitudes de onda que van desde aproximadamente 4 x10−7mhasta6 x 10−10m. El sol es una importante fuente de luz ultravioleta (UV), la cual es la causa principal de las quemaduras del sol o eritema solar. A estos rayos se les atribuye una parte de la formación de cataratas y la pérdida de transparencia en el cristalino, el lente interno del ojo.

La mayor parte de los rayos UV del sol es absorbidas por las moléculas de ozono (O3) en la atmosfera superior de la tierra, en una capa llamada estratosfera. Este escudo de ozona convierte la radiación UV letal de alta energía a radiación infrarroja, lo que a su vez calienta la estratosfera. Recientemente se ha generado una gran controversia en relación con el posible agotamiento de la capa de ozono protectora como resultado de los productos químicos que emiten las latas de aerosol y refrigerantes.

Los rayos X tienen longitudes de onda que van desde aproximadamente 10−8mhasta10−12m . La fuente más común de rayos x es el frenado de electrones de alta energía que impactan un blanco metálico. Los rayos x se utilizan como una herramienta de diagnóstico en la medicina y como tratamiento para cierto tipo de cáncer. También se le utiliza en el estudio de estructura de los cristales ya que las longitudes de onda de los rayos x son comparables con la distancia de separación de los átomos en los sólidos (alrededor de 0.1 nm).

Los rayos gamma son ondas electromagnéticas emitidas por núcleos radiactivos (como el 60Co y 137Cs) durante ciertas reacciones nucleares. Estos rayos de alta energía son un componente de los rayos cósmicos que entran en la atmósfera de la tierra desde el espacio. Tienen longitudes de onda que van desde aproximadamente 10−10mhasta10−14m son muy penetrantes producen daños serios si son absorbidos por tejidos vivos. En consecuencia, quienes trabajan cerca de este tipo de radiación peligrosa, deben estar protegidos con materiales de gran absorción, como por ejemplo gruesas capas de plomo.

Con base a las descripciones anteriores puede verse que existen fuentes, tanto naturales como artificiales, de todo tipo de radiaciones electromagnéticas, y también que el estudio de las radiaciones electromagnéticas de todas las longitudes de onda se ha empleado en

200

años recientes para proporcionar una imagen más precisa de la estructura y evolución del universo.

Al describir las emisiones de radiación electromagnética como un fenómeno ondulatorio, nos estamos concentrando en un aspecto particular. Consideramos los átomos del sistema que emite la radiación como si se comportase cooperativamente; por ejemplo se necesita la participación de los electrones de muchos átomos para la emisión de la luz a partir del filamento caliente de un foco. Como alternativa, podemos estudiar la emisión de radiación electromagnética por un solo átomo. En este caso, centraremos nuestra atención en un paquete de energía electromagnética (llamado cuanto), y observaremos generalmente la radiación no como una onda que varía suavemente sino como un paquete concentrado de energía electromagnética. Ciertos experimentos parecen inconsistentes con la interpretación de la onda y pueden explicarse sólo en términos de partículas o cuantos de radiación electromagnética. En este tema hacemos hincapié en los aspectos de onda y hacemos caso omiso de los aspectos de la partícula. Posteriormente consideraremos los aspectos de la partícula, que son complementarios a los aspectos de la onda en la adquisición de una comprensión completa en la radiación electromagnética.

4.3.- Óptica geométrica.

4.3.1.- Óptica de rayos

El postulado general de la óptica geométrica es la propagación rectilínea de la luz, es decir dedica al estudio de la luz como si fueran rayos rectilíneos sin tener en cuenta ni su naturaleza ni su velocidad.

A medida que estudiemos la óptica geométrica aquí y en los temas que siguen, utilizaremos la aproximación de un rayo. Para comprender esta aproximación, primero observaremos que los rayos de una onda dada son líneas rectas perpendiculares a los frentes de onda, como se ilustra en la figura 4.3 para una onda plana.

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Figura 4.3. Onda plana que se propaga a la derecha. Observe que los rayos, que siempre apuntan en la dirección de propagación de la onda, son rectas perpendiculares a los frentes de onda

Si la onda se encuentra con una barrera en la que hay una abertura circular cuyo diámetro es mucho mayor que la longitud de onda, como se ve en la figura 4.4a, la onda que emerge de la abertura continua moviéndose en línea recta (además de algunos pequeños efectos de borde); por lo tanto, la aproximación de rayo es válida. Si el orden de la abertura es del orden de una longitud de onda. Como en la figura 4.4b, las ondas se extienden desde la abertura en todas direcciones. Este efecto se llama difracción que se estudiara posteriormente. Finalmente si la abertura es mucho menor que la longitud de onda, se puede aproximar como una fuente puntual de onda (figura 4.4c). Se observan efectos similares cuando las ondas se encuentran con un cuerpo opaco de dimensión d. En este caso, cuandoʎ ≪d el cuerpo arroja una sombra nítida.

Figura 4.4. Una onda plana de longitud de onda ʎ incide sobre una barrera en la que hay una abertura de diámetro d. (a) cuando ʎ ≪d ,los rayos continúan en una trayectoria en línea recta, y la aproximación del rayo continua siendo válida. (b) cuando ʎ=d los rayos se extienden después de pasar por la abertura. (c) cuando ʎ >d, la abertura se comporta como fuente puntual que emite ondas esféricas

La aproximación de un rayo y la suposición de que ʎ ≪d se usa aquí y lo trata la óptica geométrica. Esta aproximación es muy buena para el estudio de espejos, lentes, prismas e instrumentos ópticos asociados, por ejemplo telescopios, cámaras y prismáticos.

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Si la condición de la óptica geométrica no se cumple, no podemos describir el comportamiento de la luz mediante rayos, sino que debemos considerar específicamente su naturaleza ondulatoria. La óptica geométrica también llamada óptica de rayos estudia la refracción y la reflexión, a continuación resumimos estas leyes

4.3.2.- Reflexión y refracción de la luz.

Reflexión. Cuando un rayo de luz que se desplaza en un medio encuentra una frontera con otro medio, parte de la luz incidente se refleja. La figura 4.5a muestra varios rayos de un haz de luz incidente en una superficie reflectora lisa, semejante al espejo. Los rayos reflejados son paralelos entre sí, como se indica en la figura. La dirección de un rayo reflejado está en el plano perpendicular a la superficie reflectora que contiene al rayo incidente. La reflexión de luz desde esta superficie lisa se denomina reflexión especular. Si la superficie reflectora es rugosa, como se ve en la figura 4.5b, la superficie refleja los rayos no como un conjunto paralelo sino en varias direcciones. Este tipo de reflexión se la conoce como reflexión difusa.

Figura 4.5. Representación esquemática de a) reflexión especular, donde los rayos reflejados son todos paralelos entre sí, y b) reflexión difusa, donde los rayos reflejados se desplazan en direcciones aleatorias. (c) y (d) fotografías de reflexión especular y difusa usando luz láser

Una superficie se comporta como superficie lisa mientras las variaciones de superficie sean mucho menores que la longitud de onda de la luz incidente.

Estos dos tipos de reflexión se pueden ejemplificar de la siguiente forma: es más difícil ver cuando circulamos en auto en una noche lluviosa. Si el pavimento esta mojado, la superficie lisa del agua refleja en forma especular casi toda la luz de los faros del auto y los aleja de éste (quizá hacia los ojos de conductores que circulan en sentido

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contrario). Cuando el pavimento está seco, su superficie rugosa refleja en forma difusa parte de los rayos de luz de los faros hacia el conductor, lo cual permite ver con más claridad la carretera (reflexión difusa). En este libro solo nos ocuparemos de la reflexión especular y usamos el término reflexión para dar a entender reflexión especular.

Considere un rayo de luz que avanza en el aire y que incide a un angulo en una superficie plana y lisa, como se ven la figura 4.6. los rayos incidentes y reflejados forman ángulos θ1

´ yθ1 , respectivamente, donde los ángulos se miden entre la normal y los rayos. Experimentos y teoría muestran que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

θ1´=θ1

Esta relación se denomina Ley de reflexión

Figura 4.6. Según la ley de reflexiónθ1´=θ1 el rayo incidente el

rayo reflejado y la normal están en mismo plano

4.3.3.- Refracción

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Figura 4.7 (a) rayo de luz que incide en forma oblicua en una interfase aire –vidrio. El rayo refractado se dobla hacia la normal porque v2<v1. Todos los rayos y la normal se encuentran en mismo plano. (b) ll luz que incide sobre el bloque de Lucite se dobla cuando entra y cuando sale de éste.

Cuando un rayo de luz que se mueve por un medio transparente encuentra una frontera que lleva otro medio de igual característica como se ve en la figura 4.7 parte de la energía se refleja y parte penetra al segundo medio. El rayo que penetra en el segundo medio se dobla en la frontera y se dice que se refracta. El rayo incidente, el rayo reflejado y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano. El ángulo de refracción,θ2 de la figura 4.7a, depende de las propiedades de los dos medios, y del ángulo de incidencia por medio de la relación

senθ2

senθ1

=v2

v1

=constante ---------------------A

Donde

v1 = velocidad de la luz en el primer medio

v2 = velocidad de la luz en el segundo.

La trayectoria de un rayo de luz que pasa por una superficie refractaria es reversible.

Por ejemplo, el rayo que se ilustra en la figura 4.7a pasa del punto A al punto B. Si el rayo se originó en B, se puede mover a la izquierda a lo largo de la recta BA hasta llegar al punto A, y la parte reflejada apuntaría hacia abajo y a la izquierda del vidrio.

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Por ejemplo si el rayo 1 es el haz entrante en la figura 4.7b, la línea 2 es la reflejada, la 3 la refractada, la 4 la reflejada y la 5 la refractada.

De la ecuación A podemos inferir que cuando la luz se mueve de un material en que su velocidad es alta a un material en que su velocidad es menor, como se observa en la figura 4.8a, el ángulo de refracciónθ2es menor que el ángulo de incidencia θ1 y el rayo se dobla hacia la normal. Si el rayo se mueve de un material en el que la luz se mueve con más lentitud hacia un material en el que se mueve con más rapidez como se ve en la figura 4.8b θ2> θ1 y el rayo se dobla en sentido contrario a la normal.

Figura 4.8. (a) cuando un haz de luz pasa del aire al vidrio, la luz pierde rapidez al entrar a éste y su trayectoria se dobla hacia la normal. (b) cuando el haz se mueve del vidrio al aire, la luz aumenta su rapidez al entrar al aire y la trayectoria se dobla alejándose de la normal.

El comportamiento de la luz cuando pasa del aire hacia otra sustancia y luego regresa al aire es con frecuencia un tema de confusión para estudiantes. Cuando la luz se mueve en el aire, su rapidez es de 3 x108 m/s, pero su rapidez se reduce a alrededor de 2 x108 m/s cuando la luz entra a un bloque de vidrio, cuando la luz emerge de nuevo hacia el aire, su rapidez aumenta en forma instantánea a su valor original. Esto es muy diferente a lo que pasa, por ejemplo, cuando se dispara un arma de fuego y la bala atraviesa un bloque de madera. En este caso, la velocidad de la bala se reduce cuando se mueve a través de la madera porque parte de la energía original se emplea para separar las fibras de madera. Cuando la bala sale de nuevo al aire, lo hace a la velocidad que tenía inmediatamente antes de salir del bloque de madera.

Si queremos saber, por qué la luz se comporta de esta manera considere la figura 4.9, que representa un haz de luz entrando en un trozo de vidrio desde la izquierda. Una vez dentro, la luz pude encontrar

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un electrón ligado a un átomo, indicado como A. supongamos que la luz es absorbida por el átomo; esto hace que el electrón oscile (detalle representado por las flechas verticales de doble punta). El electrón oscilatorio entonces actúa como una antena e irradia el haz de luz hacia un átomo en B, donde la luz es absorbida de nuevo. Los detalles de estas absorciones y radiaciones lo explica mejor la mecánica cuántica. Para nosotros es suficiente pensar que la luz pasa de un átomo a otro a través del vidrio.

Figura 4.9. Luz que pasa de un átomo a otro en un medio. Los puntos son electrones y las flecas verticales representan las oscilaciones.

Aun cuando la luz se mueve de un átomo de vidrio a otro a 3 x108m / s , la absorción y radiación que tiene lugar hacen que el promedio de la rapidez de la luz que pasa por el material disminuya a unos 2 x108m /s. Una vez que la luz emerge hacia el aire, la absorción y radiación cesan y la rapidez de la luz regresa a su valor original.

Otro caso análogo de mecánica de refracción se muestra en la siguiente figura 4.10. Cuando el extremo izquierdo del barril que rueda llega al pasto, pierde rapidez, mientras que el extremo derecho continúa en el concreto y se mueve con la rapidez original. Esta diferencia provoca que el barril tenga un efecto pivote, lo cual cambia la dirección del movimiento.

De hecho la luz se desplaza a su máxima rapidez en el vacío, por lo general la rapidez de la luz en cualquier material es menor que en el vacío.

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Figura 4.10. Vista superior de un barril que rueda del concreto al pasto.

Por lo anterior es conveniente definir el índice de refracción n de un medio como la razón

n= rapidezde luz enel vac í orapid ez de laluz enunmedio

= cv>1---------------------B

Además, n=1 para el vacío

La siguiente tabla muestra los índices de refracción para varias sustancias.

Cuando la luz pasa de un medio a otro, su frecuencia no cambia, pero si lo hace su longitud de onda

Consideremos la figura 4.11 para ver porque ocurre esto. Las ondas pasan junto a un observador situado en el punto A en el medio 1 con cierta frecuencia e inciden en la frontera entre el medio 1 y el medio 2. La frecuencia con la que pasan las ondas junto a un observador situado en el punto B en el medio 2 debe ser igual a la frecuencia a la que pasan en el punto A. Si éste no fuera el caso, entonces se acumularía energía en la frontera. Como no hay mecanismo para que esto ocurra la frecuencia debe ser una constante cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro. Por lo tanto, como la relación v=fʎ debe ser valida en ambos medios, y como f 1=f 2=f

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Figura 4.11. Cuando una onda se mueve del medio 1 al medio 2, cambia su longitud de onda, pero su frecuencia permanece constante.

v1=f ʎ 1 y v2=f ʎ 2−−−−−−−−−−−C

Como v1=v2 , se deduceque ʎ 1≠ʎ 2

Podemos obtener una relación entre el índice de refracción y la longitud de onda al dividir la primera ecuación C entre la segunda y luego usar la ecuación B.

ʎ 1

ʎ 2

=v1

v2

=c /n1

c /n2

=n2

n1

⇒

ʎ 1n1=ʎ 2n2-------------D

Si el medio 1 es el vacío, o aire para fines prácticos, entonces n1=1. Por lo tanto, se deduce de la ecuación D que el índice de refracción de cualquier medio se puede expresar como la razón

n=ʎʎ n

---------------------------E

Donde ʎ es la longitud de onda de la luz en el vacío yʎ n es la longitud de onda de la luz en el medio cuyo índice de refracción es n. de la ecuación E, vemos que, como n>1 , ʎ n<ʎ

Ahora estamos en posición de expresar la ecuación A de una manera

alternativa. Si sustituimos el termino v2

v1 de la ecuación A con

n1

n2 de la

ecuación D, es decir

senθ2

senθ1

=v2

v1

209

Pero como v1

v2

=c /n1

c /n2

=n2

n1

entoncesv2

v1

=n1

n2

senθ2

senθ1

=n1

n2

Por lo tanto

n1 senθ1=n2 senθ2

El descubrimiento experimental de esta relación suele acreditarse a Willebrord Snell (1591-1627), y por ello se conoce como Ley de Refracción de Snell

4.3.4.- Reflexión total interna

Un efecto interesante denominado reflexión interna total se puede presentar cuando dirija luz desde un medio que tenga un índice de refracción dado hacia otro que tenga un índice de refracción menor. Considere un haz de luz que se desplaza en el medio 1 y la frontera se encuentra entre el medio 1 y el medio 2, donde n1>n2 (figura 4.126a).varias posibles direcciones de haz se indican con los rayos 1 al 5. Los rayos refractados están doblados alejándose de la normal porque n1>n2. En algún ángulo particular de incidencia θc denominado ángulo crítico, el rayo de luz refractado se mueve paralelo a la frontera, de modo que θ2=90 ° (figura 4.12b).

Figura 4.12. (a) Los rayos se desplazan de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de refracción n2. Donde n2<n1.

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Cuando aumenta el ángulo de incidencia θ1 El ángulo de refracción θ2 aumenta hasta queθ2 es de 90°(rayo 4). Para ángulos de incidencia incluso mayores, se presenta reflexión interna total (rayo 5). (b) El ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción igual a 90° es el ángulo crítico θc. A este ángulo de incidencia se refleja toda la energía de la luz incidente

Para ángulos de incidencias mayores a θc, el haz se refleja enteramente en la frontera, como lo muestra el rayo 5 de la figura 4.12a. Este rayo se refleja en la frontera cuando cae sobre la superficie. Estos y todos los rayos que sean como él obedecen las leyes de la reflexión; es decir, para estos rayos, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Podemos usar la ley de la refracción de Snell para hallar el ángulo crítico. Cuando θ1=θc ;θ2=90°

n1 senθ1=n2 senθ2⇒

n1 senθC=n2 sen90 °

senθC=n2

n1

paran1>n2 ---------------K

Esta ecuación solamente se puede usar cuando n1>n2 . Esto es, la reflexión interna total se presenta solo cuando la luz se dirige de un medio de un índice de refracción dado hacia un medio de índice de refracción menor. Si n1 fuera<n2, la ecuación K daríasenθC>1 ; el cual es un resultado sin sentido porque el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que la unidad.

El ángulo crítico para le reflexión interna total es pequeño cuando n1 Es considerablemente mayor a n2.

Una aplicación interesante de reflexión interna total es el uso de varillas de vidrio o plástico transparente para transportar luz de un lugar a otro. Como se indica en la figura 4.13, la luz es confinada a moverse dentro de una varilla, incluso alrededor de curvas, como resultado de reflexiones internas totales sucesivas. Este tubo de luz es flexible, si se emplean delgadas fibras en lugar de gruesas varillas. Un tubo flexible de luz se denomina fibra óptica. Si se utiliza un cable de fibras paralelas para construir una línea de transmisión óptica, se pueden transmitir imágenes de un punto a otro.

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Figura 4.13 La luz se desplaza en una varilla curva transparente por reflexiones internas múltiples

Una fibra óptica práctica está formada por un núcleo transparente rodeado por un revestimiento, material que tiene un menor índice de refracción que el núcleo. La combinación puede estar rodeada por un forro de plástico para evitar daños mecánicos. La figura 4.14 muestra una vista lateral de esta construcción. Debido a que el índice de refracción del revestimiento es menor que el del núcleo la luz que se desplaza en éste experimenta reflexión interna total si llega a la interfase entre el núcleo y el revestimiento a un ángulo de incidencia que sea mayor al ángulo crítico. En este caso, la luz rebota a lo largo del núcleo de la fibra óptica, perdiendo muy poco de su intensidad a medida que se desplaza.

Figura 4.14 Construcción de una fibra óptica. La luz se desplaza en el núcleo que está rodeado por un revestimiento y un forro protector.

Cualquier pérdida de intensidad en una fibra óptica se debe en esencia a reflexiones de los dos extremos y a la absorción por el material de la fibra. Los dispositivos de fibras ópticas son particularmente útiles para ver objetos en lugares inaccesibles. Por ejemplo, los médicos usan a veces estos dispositivos para examinar órganos internos del cuerpo o para realizar cirugía sin necesidad de grandes incisiones. Los cables de fibra óptica hoy en día están sustituyendo al alambre cobre y a los

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cables coaxiales para telecomunicaciones debido a que las fibras pueden llevar un volumen mucho mayor de llamadas telefónicas u otras formas de comunicación de lo que puedan hacerlo los alambres eléctricos.

4.4.- Espejos y lentes

Contemplarse en un espejo es una de nuestras experiencias más comunes. La figura 4.15 muestra una fuente puntual de luz O, a la cual llamamos el objeto, situada a una distancia o enfrente de un espejo plano. La luz que cae sobre el espejo está representado por los rayos qjue emanan de O. construimos un rayo reflejado en el punto en que cada rayo choca con el espejo. Si prolongamos los rayos reflejados hacia la parte posterior del espejo, se intersectan en el punto I, al cual llamamos la imagen del objeto O. la imagen está a la misma distancia detrás del espejo que el objeto O enfrente de él, lo cual se demostrara a continuación.

Las imágenes pueden ser reales o virtuales. En la imagen real la luz pasa realmente por el punto imagen; en la imagen virtual la luz se comporta como si divergiera del punto imagen, si bien, de hecho, no pasa por ese punto, véase la figura 4.15. En los espejos planos las imágenes de la luz divergente son siempre virtuales. Sabemos de la experiencia cotidiana lo real que parece ser tal imagen virtual y cuán definida esta su ubicación en el espacio detrás del espejo, aun cuando este espacio pueda, de hecho, estar ocupado por una pared de ladrillos.

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Figura 4.15 un objeto puntual O forma una imagen virtual I en un espejo plano. Los rayos parecen divergir de I pero, en ese punto, no está presente ninguna luz.

La figura 4.16 muestra dos rayos de la figura 4.15. Uno choca con el espejo en v, a lo largo de una línea perpendicular. El otro choca con él en un punto arbitrario a , formando un ángulo θ de incidencia con la normal en ese punto. La geometría elemental demuestra que estos ángulos aOv yaIv son iguales también a θ. Así, los triángulos rectángulos aOv yaIv son congruentes y por tanto

O=-i

Figura 4.16 Dos rayos de la figura 4.15. El rayo Oa forma un ángulo arbitrario θ de la normal a la superficie del espejo.

En donde introducimos el signo menos para mostrar que I y O están en los lados opuestos del espejo. En la ecuación anterior no interviene θ, lo que significa que todos los rayos que parten de O chocando con el espejo pasan por I cuando se prolongan hacia atrás, como hemos visto en la figura 4.15.

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Aparte de haber supuesto que el espejo es realmente plano y que se cumplen las condiciones de la óptica geométrica, no hemos hecho aproximaciones al deducir la ecuación anterior.

En un espejo plano, un objeto puntual produce una imagen puntual, siendo o=-i, independientemente de cuán grande sea θ en la figura 4.16.

A causa del diámetro finito de la pupila del ojo, solo los rayos que están más próximos entre sí pueden entrar al ojo después de la reflexión en un espejo. En la posición del ojo mostrada en la figura 4.17, solo una pequeña zona del espejo cerca del punto a es efectiva en formación de imagen; el resto del espejo puede taparse o retirarse. Si volvemos la pupila hacia otro lugar, será efectiva una zona diferente del espejo; sin embargo la ubicación de la imagen virtual I permanecerá sin cambio, en tanto que el objeto permanezca fijo.

Figura 4.17 El grupo de rayos que parte de O entra en el ojo después de su reflexión en el espejo. Solo es efectiva una pequeña parte del espejo cerca de a. Los pequeños arcos representas secciones de los frentes de onda esféricos. La luz parece venir de I.

Así la imagen reproduce el objeto punto por punto. La mayoría de nosotros lo comprobamos todos los días al mirarnos en el espejo.

4.4.1- Imagen invertida.

Como lo muestra la figura 4.18a, la imagen de una mano izquierda parece ser una mano derecha. Interpretamos esta apariencia como una inversión de izquierda a derecha. Esto es, si levantamos nuestra mano izquierda, entonces la imagen del espejo levanta una mano derecha. Es lógico preguntar ¿por qué un espejo invierte de izquierda a derecha pero no invierte de arriba abajo?

215

Figura 4.18 El objeto O es la mano izquierda; su imagen I es la mano derecha. (b)El estudio de un objeto de tres flechas reflejado demuestra que el espejo intercambia frente y dorso, en lugar de izquierda y derecha.

La figura 4.18b ilustra el modo en que el espejo invierte la imagen de un objeto tridimensional, representado simplemente como un grupo de tres flechas mutuamente perpendiculares. Nótese que las flechas paralelas al plano del espejo (las flechas x e y) son idénticas en sus imágenes en el espejo. Solo la flecha z ha cambiado su dirección en virtud de la reflexión. Por tanto, es más exacto decir que un espejo invierte de frente a dorso más bien de izquierda a derecha. La transformación de una mano izquierda a una mano derecha se lleva a cabo, en cierto sentido, mediante el cambio del frente al dorso de la mano.

Nótese también que puede considerarse que el objeto representa a un sistema de coordenadas convencional derecho (x en cruz con y señala en dirección z), mientras que la imágenes un sistema de coordenadas izquierda(x en cruz con y señala en dirección negativa de z) tales inversiones se aplican igualmente a los objetos físicos; por ejemplo, la imagen de un tornillo con cuerda de avance hacia la derecha es un tornillo con cuerda de avance hacia la izquierda.

Ejemplo:

Encuentre la longitud mínima h de un espejo necesaria para que una persona de altura H vea su reflexión completa.

Solución:

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La figura 4.19 muestra los pies f, los ojos e y la parte superior de la cabeza t de una persona. Para que el vea todo su altura, un rayo de luz(tae) debe salir de la parte superior de su cabeza, reflejarse del espejo en a, y entrar a sus ojos, mientras que otro rayo (fce) debe salir de sus pies, reflejarse del espejo en c, y entrar a sus ojos. La persona verá le reflexión de toda su altura (incluyendo las imágenes virtuales de los puntos t y f) si la longitud del espejo es ac por lo menos.

Figura 4.19.

De la geometría de la figura 15R, vemos que

ab=12te ybc=1

2ef

Donde el punto b está a la misma altura que sus ojos

Por lo que ac=ab+bc=12te+ 1

2ef=1

2tf

Como h=ac y H=tf se tiene que h=12H

La persona puede ver su imagen entera si el espejo por lo menos es la mitad de su altura

Nótese que la distancia de la persona al espejo no constituye una diferencia en este cálculo, el cual resulta valido para cualquier distancia entre el objeto y el plano del espejo.

La reflexión y la refracción en superficies planas, estudiadas con anterioridad, son de utilidad limitada en los instrumentos ópticos. Una

217

de las razones es que no son capaces de cambiar la luz divergente en luz convergente; la luz divergente, como la que procede de una fuente puntual, permanece como luz divergente después de la reflexión en un espejo plano o de la refracción por una frontera plana.

Si el espejo o la superficie refringente son curvas, los frentes de onda planos pueden cambiar a frentes de onda curvos, que pueden entonces converger en un punto o divergir de un punto. La luz divergente puede incluso convertirse en luz convergente y enfocar para formar una imagen, como en una cámara, un telescopio o el ojo humano. Mediante combinaciones de espejos y lentes podemos lograr que objetos diminutos parezcan grandes o que objetos distantes parezcan cercanos.

4.4.2.- Espejos cóncavos.

Un espejo esférico, como su nombre lo indica, tiene la forma de una sección de esfera. Este tipo de espejo enfoca los rayos incidentes paralelos en un punto, como muestran los rayos luminosos de colores de la figura 4.20. La figura 4.21a muestra la sección transversal de un espejo esférico, con su superficie representada por una línea sólida y curva de color negro. (La banda azul representa el soporte estructurado para la superficie del espejo, como por ejemplo una pieza de vidrio curvo sobre el cual se deposita una superficie plateada.) Este tipo de espejo, donde la luz es reflejada de la superficie interna cóncava, se llama espejo cóncavo. El espejo tiene un radio de curvatura R y su centro de curvatura está en el punto C. el punto V es el centro de la sección esférica, y la línea que pasa por C y por V se conoce como el eje principal del espejo.

Figura 4.20. Los rayos de color rojo, azul y verde son reflejados por un espejo curvo. Observe que los tres haces de colores se unen en un punto.

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Ahora considere una fuente de luz puntual colocada en el punto O de la figura 4.21b, donde O es cualquier punto sobre el eje principal, a la izquierda de C. en la figura se muestran dos rayos divergentes que se originan en O. después de reflejarse en el espejo, estos rayos convergen y se cruzan en la imagen que aparece en el punto I. después continúan divergiendo alejándose de I como si en ese punto existiera un objeto. Como resultado, en el punto I tenemos una imagen real de la fuente de luz en O.

Figura 4.21. (a) Espejo cóncavo de radio R. el centro de curvatura C está ubicada sobre el eje principal. (b) Un objeto puntual colocado en O frente a un espejo esférico cóncavo de radio R, donde O es cualquier punto a lo largo del el eje principal alejado una distancia mayor que R de la superficie del espejo, forma una imagen real en I. Si los rayos divergen de O en ángulos pequeños, todos ellos se reflejan a través del mismo punto de imagen.

En esta sección sólo consideraremos rayos que divergen del objeto formando un ángulo pequeño con el eje principal. Estos rayos se conocen como rayos paraxiales. Todos los rayos paraxiales se reflejan a través del punto imagen, como se muestra en la figura 14.9bSW. Aquellos rayos que están lejos del eje principal, como los que se muestran en la figura 4.22, convergen en otros puntos del eje principal, produciendo una imagen borrosa. Este efecto, que conoce como aberración esférica, está presente con mayor o menor grado en cualquier espejo esférico.

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Figura 4.22 Rayos que divergen de un objeto a grandes ángulos en relación con el eje principal, se reflejan en un espejo esférico cóncavo para cruzar con el eje principal en puntos distintos, lo que genera una imagen borrosa. Este fenómeno se conoce como aberración esférica.

Para calcular la distancia de la imagen q podemos utilizar la figura 4.23 para conocer la distancia objeto p y el radio de curvatura R. Por regla convencional, estas distancias se miden a partir del punto V. La figura 4.23 muestra dos rayos que salen de la punta del objeto.

Figura 4.23 imagen formada por un espejo esférico cóncavo cuando el objeto O yace fuera del centro de curvatura C. Esta es la construcción geométrica utilizada para deducir la ecuación 4.4

Uno de estos rayos pasa a través del centro de curvatura C del espejo e inciden en el espejo perpendicularmente a la superficie del mismo, reflejándose sobre sí mismo. El segundo rayo incide en el espejo en su centro (punto V) y se refleja como se muestra, en concordancia con la ley de la reflexión. La imagen de la punta de la flecha se localiza en punto donde se cruzan ambos rayos. Del triángulo rectángulo color oro

de la figura 4.23 vemos que tanθ= hp

, y del triángulo rectángulo azul

vemos que tanθ=−h´

q . Se introduce el signo negativo porque la imagen

está invertida, por lo que h prima se toma como negativa. En

consecuencia, de la ecuación 4.1 (M= Alturade laimagenAlturadel objeto

=h´

hec 4.1)) y de

estos resultados, encontramos que la amplificación de la imagen es igual a

M=h´

h=−q

pec . 4.2

220

También observamos de los dos triángulos de la figura 4.23 que tiene α como un ángulo que

tan∝= hp−R

y tanα= −h ,

R−q

Despejando las h de cada una de estas ecuaciones y sustituyéndolas en M tendremos

h´

h=−R−q

p−R=−q

pp (R−q )=q ( p−R )

pR−pq=qp−qR

pR+qR=qp+ pq=2 pq

R ( p+q )=2 pq

p+q=2 pqR

Dividiendo entre pq

p+qpq

=

2 pqRpq

1q+ 1p= 2REcuación del espejo ec 4.4

Si el objeto está muy lejos del espejo (esto es, si p es mucho más grande que R de forma que se puede decir que p tiende al infinito) entonces 1/ p=0, y vemos de la ecuación 4.4 que q

≈R2

. Esto es, cuando el objeto este muy lejos del espejo, el punto

imagen está a la mitad del camino entre el centro de curvatura y el punto central sobre el espejo, como se puede observar en la figura 4.24a. Los rayos incidentes provenientes del objeto son esencialmente paralelos en esta figura porque se supone que la fuente está muy lejos del espejo.

221

Figura 4.24. (a) Rayos de luz proveniente de un objeto distante (p→∞) se refleja de un espejo cóncavo a través del punto focal F. En este caso, la distancia imagen q=R /2=f siendo esta última la distancia focal del espejo. (b) Reflexión de rayos paralelos provenientes de un espejo cóncavo

En este caso en especial, llamamos al punto de imagen el punto focal F y la distancia imagen la distancia focal f, donde

f=R2

En la figura 4.20 los rayos de colores están viajando en forma paralela al eje principal y el espejo refleja los tres haces en el punto focal. Observe que el punto en el cual se cruzan los tres haces y donde se suman los colores, se ve blanco.

La distancia focal es un parámetro particular de un espejo dado, y por lo tanto puede ser utilizado para comparar un espejo con otro. La ecuación del espejo se puede expresar

1q+ 1p=1fec .4.6

222

Nótese que la distancia focal de un espejo depende solo de su curvatura y no del material con que esté fabricado. Esto se debe a que a que la formación de la imagen es el resultado de rayos que se reflejan de la superficie del material. La situación es distinta en el caso de los lentes; en este caso, la luz de hecho atraviesa el material y la distancia focal depende del tipo de material con que fue fabricada la lente.

4.4.3.- Espejos convexos.

La figura 4.25 muestra la formación de una imagen en un espejo convexo, esto es, uno diseñado de forma que la luz sea reflejada en la superficie exterior convexa. A veces este espejo se conoce como espejo divergente porque los rayos de cualquier punto de un objeto divergen después de haber sido reflejado, como si provinieran de algún punto por detrás del espejo. La imagen de la figura 4.25 es virtual porque los rayos reflejados dan la impresión de originarse en el punto imagen, como se indican con las líneas punteadas. Además, la imagen siempre está cabeza arriba y siempre es menor que el objeto. Este tipo de espejo se utiliza con frecuencia en las tiendas para desanimar a los ladrones. Es posible utilizar un solo espejo para obtener una amplia visibilidad. Ya que forman una imagen más pequeña del interior de la tienda.

Figura 4.25 Formación de una imagen en un espejo esférico convexo. La imagen formada por el objeto real es virtual y está cabeza arriba.

Las ecuaciones 4.2, 4.4 y 4.6 son válidas tanto para para espejos cóncavos como convexos, siempre y cuando sigamos el procedimiento siguiente. Identifiquemos la región en que los rayos luminosos se muevan hacia el espejo como el lado delantero del mismo y el otro lado como el trasero. Por ejemplo, en las figuras 4.23 y 4.25, el lado a la

223

izquierda de los espejos es el delantero y el lado a la derecha, el trasero. La figura 4.26 presenta las reglas convencionales para los signos de las distancias objeto e imagen, y la tabla 14.1 resume los signos convencionales para todas las cantidades.

Figura 4.26 Signos de p y q para espejos convexos y cóncavos

4.5- Lentes delgadas.

Los lentes se usan por lo común para formar imágenes por refracción en los instrumentos ópticos, como es el caso de cámaras fotográficas, telescopios y microscopios. Podemos utilizar lo que acabamos de aprender sobre las imágenes formadas por superficies de refracción para localizar la imagen formada por una lente. Reconocemos que la luz que pasa a través de ella experimenta una refracción en dos superficies. El desarrollo que seguiremos se basa en el hecho de que la imagen formada por una superficie refractora sirve como el objeto para la segunda superficie. Analizaremos una lente gruesa y posteriormente haremos que su espesor sea aproximadamente cero.

Considere una lente con un índice de refracción n Y dos superficies esféricas con radios de curvatura R1 y R2, como en la figura 4.27 (observe que R1, es el radio de curvatura de la superficie de la lente que primero atraviesa la luz que proviene del objeto y que R2, es el radio de

224

curvatura de la otra superficie de la lente.) un objeto se coloca en el punto O a una distancia p1 enfrente de la superficie 1.

Figura 4.27 Para localizar la imagen formada por una lente, utilizamos la imagen virtual en I 1 formada con la superficie 1 con el objeto de la imagen formada por la superficie 2. El punto C1 es el centro de curvatura de la superficie 1. (a) La imagen debida ala superficie 1 es virtual por lo que I 1 está del lado izquierdo de la superficie. (b) La imagen debida a la superficie 1 es real, por lo que I 1 aparece a la derecha de la superficie.

Empecemos con la imagen formada por la superficie 1. Utilizando la ecuación 4.8 y suponiendo que n1=1, porque la lente está rodeada por aire encontramos que la imagen I 1, formada por la superficie 1 satisface

la ecuación. (Nota: n1

p+n2

q=n2−n1

Rec 4.8¿

1p1

+ nq1

=n−1R1

ec . 4.10

225

Donde q1 es la posición de la imagen debida a la superficie 1. Si la imagen debida a la superficie 1 es virtual (figura 4.27a), q1 es negativa, y si la imagen es real, q1 es positiva (figura 4.27 b).

Ahora aplicamos la ecuación 4.8 ( n1

p+n2

q=n2−n1

Rec 4.8¿

a la superficie 2, utilizando n1=n yn2=1. (Hacemos este cambio en el índice, debido a que los rayos luminosos que se acercan a la superficie 2 están en el material de la lente, y este material tiene un índice de refracción n). Si p2 es la distancia objeto de la superficie 2 y q2 es la distancia imagen, obtenemos

np2

+ 1q2

=1−nR2

4.11

Ahora introduciremos matemáticamente el hecho de que la imagen formada por la primera superficie actúa como objeto para la superficie. Hacemos esto al notar en la figura 4.27 que p2, medida desde la superficie 2, está relacionada con q1 como sigue:

Imagenvirtual de la superficie1 p2=−q1+t (q1 esnegativa ) fig4.27a

Imagenvirtual de la superficie1 p2=−q1+t (q1 es positiva ) fig4.27b

Donde t es el espesor de la lente.

En el caso de una lente delgada (cuyo espesor es menor comparado con el radio de curvatura), podemos despreciar t. En esta aproximación, vemos que p2=−q1 para cualquiera de los dos tipos de imágenes de la superficie 1. (Si la imagen de la superficie 1 es real, la imagen actúa como objeto virtual por lo que p2 es negativa). Entonces la ecuación 4.11 se convierte en

−nq1

+ 1q2

=1−nR2

ec .4.12

Sumando las ecuaciones 4.10 y 4.12, encontramos que

1p1

+1q2

=(n−1 )( 1R1

−1R2

)ec 4.13

En el caso de una lente delgada, podemos eliminar los subíndices del lado izquierdo de la ecuación 4.13 e identificar p como la distancia

226

objeto y q como la distancia imagen, como en la figura 4.28. De ahí podemos escribir la 4.13 de la forma

1p+

1q= (n−1 )( 1

R1

−1R2

)ec 4.14

Figura 4.28 Geometría simplificada para el caso de una lente delgada.

Esta expresión relaciona la distancia imagen q de la imagen formada por una lente delgada con la distancia objeto p y con las propiedades de la lente (índice de refracción y radios de curvatura). Solo es válida pera rayos paraxiales y únicamente cuando el espesor de la lente es mucho menor queR1 y R2.

La distancia focal f de una lente delgada es la distancia imagen que corresponde a una distancia objeto infinito, lo mismo que ocurre con los espejos. Si en la ecuación 4.14 hacemos que p tienda a infinito y q tienda a f, vemos que la inversa de la distancia focal de un lente delgado es igual a

1f= (n−1 )( 1

R1

−1R2

)ec 4.15

Esta ecuación se le conoce como la ecuación de los fabricantes de lentes, puesto que pude ser utilizada para determinar los valores de R1 y R2 necesarios para un índice de refracción dado y una distancia focal f deseada. Por lo mismo, si están dados tanto el índice de refracción como los radios de curvatura de la lente, esta ecuación permite el caculo de la distancia focal, si la lente está sumergida en algo diferente al aire, se puede utilizar esa misma ecuación, interpretando a n como el índice de refracción del material de la lente con el fluido que la rodea.

227

Utilizando la ecuación 4.15 podemos escribir la ecuación 4.14 de manera idéntica 4.16 para los espejos:

1p+ 1q=1fec4.16

Esta ecuación conocida como la ecuación de las lentes delgadas, puede ser utilizada para relacionar la distancia imagen con la distancia objeto para una lente delgada.

Dado que la luz puede pasar en ambas direcciones a través de una lente, cada lente tiene dos puntos focales, uno para los rayos luminosos que pasan en una dirección y el otro para los rayos luminosos que pasan en la otra dirección. Esto queda ilustrado en la figura 4.29 para una lente biconvexas (dos superficies convexas, lo que da como resultado una lente convergente) y una lente bicóncava (dos superficie cóncavas dan como resultado una lente divergente).

Figura 4.29 (izquierda) Efecto de un lente convergente (arriba) y una lente divergente (abajo) para rayos paralelos. (Derecha) los rayos paralelos pasan a través de (a) una lente convergente y (b) una lente divergente. La distancia focal es la misma para los rayos luminosos que pasan a través de una lente dada en cualquiera de las direcciones. Tanto los puntos focales F1 y F2

están a la misma distancia de la lente.

La figura 4.30 resulta útil para obtener los signos de P y q, y la tabla 14.3 contiene las reglas convencionales de signos para lentes delgadas. Observe que estas reglas de signos son las mismas que de las superficies refractoras (vea la tabla 14.2) si aplicamos estas reglas a una

228

lente biconvexa, vemos que cuando p es mayor que f, las cantidades p, q, R1 son positivas y R2 es negativa. Por lo tanto p, q y f son todas positivas cuando una lente convergente forma la imagen real de un objeto. En el caso de una lente bicóncava, p y R2 son positivas, y q y R1

son negativas, con el resultado de que f es negativa.

Figura 4.30 Diagrama para obtener los signos de p y q para lentes delgadas (este diagrama también es aplicable para un superficie refractora)

Tabla 14.3

En la figura 4.31 se muestran varias formas de lentes. Observe que una lente convergente es más gruesa en su parte central que en los bordes,

229

en tanto que una lente divergente es más delgada en el centro que en los bordes.

Figura 4.31 varias formas de lentes. (a).Las lentes convergentes tienen una distancia focal positiva y son más gruesas en su parte central.(b)Las lentes divergentes tienen una distancia focal negativa y su parte más gruesa está en los bordes.

.

4.6.- Estudio y aplicaciones de la emisión laser.

LÁSER=Amplificación de luz por emisión estimulada de radiación (light amplification by stimulated emission of radiation)

En este tema, exploraremos la naturaleza de la luz láser y la gran diversidad de aplicaciones de estos en nuestra sociedad tecnológica. Sus principales propiedades que lo hacen tan útil para las aplicaciones tecnológicas, son las siguientes:

La luz láser;

230

1.- Es coherente. Los rayos individuales de luz en un haz láser conservan una relación de fase fija entre sí, con lo cual no existe interferencia destructiva.

2.- Es monocromática. Es decir tiene un rango muy limitado de longitud de onda.

3.- Tiene un pequeño ángulo de divergencia. Esto nos indica que se dispersa muy poco aun a grandes distancias.

Como sabemos, un fotón incidente puede provocar transiciones de energía atómica, ya sea hacia arriba (absorción estimulada) o hacia abajo (emisión estimulada). Los dos procesos son igualmente probables.

Cuando hay luz incidente sobre un grupo de átomos, usualmente ocurre una absorción neta de energía, ya que cuando el sistema se encuentra en equilibrio térmico, existen mucho más átomos en el estado base que en estados excitados. Sin embargo, cuando se invierte la situación de forma que más átomos, se encuentren en un estado excitado que en el estado base, puede ocurrir una emisión neta de fotones. Esta condición se conoce como inversión de población.

Éste, de hecho, es el principio fundamental que subyace a la operación de un láser. Su nombre completo indica uno de los requisitos para que exista luz láser: debe de ocurrir un proceso de emisión estimulada para poder lograr la acción láser.

Figura 432. Emisión estimulada de un fotón incidente con energía hf=E2−E1, inicialmente, el átomo se encuentra en estado

231

excitado. El fotón incidente estimula al átomo a producir un segundo fotón con energía hf=E2−E1

Supongamos que un átomo se encuentra en el estado excitado E2, como se muestra en la figura 4.32, y que sobre él incide un fotón con energía hf=E2−E1. Como ya sabemos el fotón incidente puede estimular al átomo excitado para que vuelva al estado base, emitiendo así un segundo fotón con la misma energía hf y que se mueve en la misma dirección. El fotón incidente no es absorbido, por lo que al terminar la emisión estimulada existen dos fotones idénticos: el fotón incidente y el fotón emitido. El fotón emitido está en fase con el fotón incidente. Estos fotones pueden estimular a otros átomos para que emitan más fotones, en una cadena de procesos similares. La gran cantidad de fotones que se producen de esta manera, son la fuente de la luz coherente e intensa de un láser.

A fin de que la emisión estimulada de cómo resultado una luz láser, debemos de tener una acumulación de fotones en el sistema. Las tres condiciones siguientes deben ser satisfechas para lograr esta acumulación.

a. El sistema debe estar en un estado de inversión de población, esto es debe haber más átomos en estado excitado que en estado base. Esto debe ocurrir ya que el número de fotones emitidos debe ser mayor que el número de fotones absorbidos.

b. El estado excitado del sistema debe ser un estado metaestable, lo que significa que su vida debe ser larga en comparación con las vidas comúnmente cortas de los estados excitados, los cuales duran por lo general 10−8 s. En esta

232

situación, es posible establecer una inversión de la población, y es más probable que ocurra una emisión estimulada antes que una emisión espontanea.

c. Los fotones emitidos deben confinarse en el sistema el tiempo suficiente para que puedan tener la capacidad de incitar emisiones posteriores de otros átomos excitados. Esto se logra utilizando espejos en los extremos del sistema. Un extremo es completamente reflejante y el otro es parcialmente reflejante. Una fracción de la intensidad de la luz pasa a través del extremo parcialmente reflejante, formando un haz de luz láser (figura 4.33).

Figura 4.33 Diagrama esquemático de un diseño de láser. El tubo contiene los átomos que son el medio activo. Una fuente de energía interna (un dispositivo electrónico u óptico) bombea a los átomos hacia estados excitados. Los espejos paralelos en los extremos evitan que los fotones se salgan del tubo, salvo por el espejo 2, que solo es parcialmente reflejante.

Un dispositivo que muestra una emisión estimulada de radiación es el láser de gas helio –neón. La figura 4.33 es un diagrama del nivel de energía del átomo de neón en este sistema. La mezcla de helio y neón se confina en un tubo de vidrio sellado en sus extremos mediante espejos. Un voltaje aplicado de un extremo a otro del tubo hace que los electrones se desplacen por el tubo, entrando en colisión con los átomos de los gases y elevándolos a estados excitados. Los átomos de neón se excitan al estado E3

¿ mediante este proceso (el asterisco indica un estado metaestable) y también como resultado de colisiones con los átomos

233

excitados del helio. Se presenta una emisión estimulada, lo que hace que los átomos de neón realicen transiciones al estado E2. Los átomos cercanos excitados, también son estimulados. Esto da como resultado la producción de luz coherente con una longitud de onda de 632.8 nm.

Figura 4.34. Diagrama de nivel de energía para un átomo de neón en un láser de helio-neón. El átomo emite fotones de 632.8 nm a través de la emisión estimulada en la transición E3

¿−E2. Esto es la fuente de luz coherente en el láser.

4.6.1.-Tipos de láser

1.- El láser de Rubí

Recordemos que fue el primer láser y que fue construido por Theodore Maiman en 1960, quien usó como medio activo un cristal de rubí sintético. El rubí es una piedra preciosa formada por cristales de óxido

234

de aluminio Al2O3, que contiene una pequeña concentración de alrededor de 0.05% de impurezas de óxido de cromo Cr2O3 (el óxido de aluminio puro, Al2O3, se llama zafiro). La presencia del óxido de cromo hace que el transparente cristal puro de óxido de aluminio se torne rosado y llegue a ser hasta rojizo si la concentración de óxido de cromo aumenta. La forma geométrica típica que adopta el rubí usado en un láser es la de unas barras cilíndricas de 1 a 15 mm de radio y algunos centímetros de largo. (Véase Fig.4.35)

Fig. 4.35

2. Láser de Helio-Neón

El láser de helio-neón fue el primer láser de gas que se construyó. Actualmente sigue siendo muy útil y se emplea con mucha frecuencia. Los centros activos de este láser son los átomos de neón, pero la excitación de éstos se realiza a través de los átomos de helio. Una mezcla típica de He-Ne para estos láseres contiene siete partes de helio por una parte de neón. (Véase Fig. 4.36)

235

Fig. 4.36

3. El láser de Argón ionizado

Las transiciones radiactivas entre niveles altamente excitados de gases nobles se conocen desde hace largo tiempo, y la oscilación láser en este medio activo data desde la década de los sesenta. Entre estos láseres, el de argón ionizado es el que más se utiliza, debido a sus intensas líneas de emisión en la región azul-verde del espectro electromagnético y a la relativa alta potencia continua que se puede obtener de él. (Véase Fig. 4.37)

Fig. 4.37

4. Láseres de CO2

El láser de bióxido de carbono CO2 es el ejemplo más importante de los láseres moleculares. El medio activo en este láser es una mezcla de bióxido de carbono (CO2), nitrógeno (N2) y helio (He), aunque las transiciones láser se llevan a cabo en los niveles energéticos del CO2. Como en seguida veremos, el N2 y el He son importantes para los procesos de excitación y desexcitación de la molécula de CO2. (Véase Fig. 4.38 y 4.39)

236

Fig. 4.38

Fig. 4.39

5. Láser de gas dinámico de CO2

La diferencia fundamental entre un láser de gas dinámico y un láser convencional de CO2 radica en el método de bombeo empleado. En el láser de gas dinámico la radiación láser es producida al enfriar rápidamente una mezcla de gas precalentado que fluye a lo largo de una tobera hasta la cavidad del resonador. Por las altas potencias que es capaz de proporcionar se ha convertido en una importante alternativa para ciertas aplicaciones industriales. (Véase Fig. 4.40)

Fig. 4.40

6. Láser de soluciones líquidas orgánicas

El medio activo en este tipo de láseres está compuesto por líquidos en los que se han disuelto compuestos orgánicos, entendidos este último cómo los hidrocarburos y sus derivados. Estos láseres son bombeados ópticamente y como enseguida veremos, una de sus más importantes características radica en que pueden emitir radiación láser en anchas

237

bandas de longitud de onda, es decir que son "sintonizables". (Véase Fig. 4.41)

Fig. 4.41

7. Láseres de semiconductores

Los láseres de semiconductores son los láseres más eficientes, baratos y pequeños que es posible obtener en la actualidad. Desde su invención en 1962 se han mantenido como líderes en muchas aplicaciones científico-tecnológicas y su continua producción masiva nos da un inicio de que esta situación se prolongará por mucho tiempo. (Véase Fig. 4.42)

Fig. 4.42.

8. Láser de electrones libres

Todos los sistemas láser anteriormente vistos basan su funcionamiento en la inversión de población lograda en un medio activo atómico o molecular. Por tanto, la longitud de onda a la cual el láser emite está inevitablemente determinada por los centros activos contenidos en la

238

cavidad láser, es decir, por las transiciones energéticas permitidas a los átomos o moléculas de dicho medio. Un láser basado en la emisión de radiación estimulada por electrones libres no tiene las limitaciones propias de los láseres anteriormente vistos, pues los electrones libres no están sujetos a la existencia de transiciones energéticas particulares y por lo tanto pueden generar radiación electromagnética en cualquier longitud de onda del espectro. Este tipo de láseres utilizan como medio activo un haz de electrones que se mueve con velocidades cercanas a la de la luz. Debido a esto se le llama haz relativista de electrones. Podemos describir un láser de electrones libres como un instrumento que convierte la energía cinética de un haz relativista de electrones en radiación láser. (Véase Fig. 4.43)

Fig. 4.43

4.6.2.- Aplicaciones en ciencias e ingeniería.

Desde el desarrollo del primer láser en 1960, la tecnología láser ha tenido un crecimiento tremendo. Ahora están disponibles láser que utilizan longitudes de onda en las regiones infrarroja, visible y ultravioleta. Algunas aplicaciones incluyen la soldadura quirúrgica de retina desprendida, la agrimensura y medición de longitudes de precisión, los cortes precisos de metales y de otros materiales (por ejemplo el tejido de la figura 4.44) y comunicación telefónica mediantes fibras ópticas. Éstas y otras aplicaciones han resultado posibles debido a las características únicas de la luz láser. Además de ser altamente monocromática, la luz láser también es altamente direccional y puede ser enfocada con mucha precisión para producir regiones con una energía luminosa muy intensa (con densidades de energía de 1012 veces mayores que lo de la llama de un soplete de corte típico).

239

Figura 4.44. Estas tijeras láser robóticas, que pueden cortar hasta 50 lienzos de tela en una sola pasada, es una de las aplicaciones de la tecnología láser.

También se utilizan en mediciones de precisión a distancia (Telemetría), para fines astronómicos y geofísicos, medir con la mayor precisión posible las distancias sobre varios puntos sobre la superficie de la tierra a un punto sobre la superficie de la luna. Para hacer esto más fácil, los astronautas del apolo colocaron en la luna prismas reflectores cuadrados de 0.5 m de lado, con lo que consigue que las emisiones de láser dirigidas de una estación de la tierra sea reflejada de regreso a la misma estación (véase la figura 4.45). Utilizando los valores conocidos de la rapidez de la luz y el tiempo medido de viaje redondo de un pulso 1ns, la distancia tierra luna puede determinarse con una precisión mayor de 10 cm.

Figura 4.45

Debido a las propiedades particulares del haz de radiación luminosa con su gran potencia concentrada (el láser), hacen de él una herramienta ideal en muchas aplicaciones donde se precise de una fuente controlada y localizada de energía. Si a este factor diferenciador inicial se le suma la facilidad para su control automático y regulación, se observa cómo se

240

amplía el campo de utilización a otros usos en los que la precisión, la minimización de daños colaterales y la menor modificación de la características del material circundante y de sus dimensiones son importantes. De ahí el amplísimo rango de aplicaciones.

APLICACIONES A LA MEDICINA

La cirugía láser es algo cotidiano en hospitales de todo el mundo

El láser en la medicina es cada vez más usado al actuar muy selectivamente sobre la lesión, dañando mínimamente los tejidos adyacentes. Por eso produce muy pocos efectos secundarios en cuanto a destrucción de otro tejido sano de su entorno e inflamación, así como presentar una esterilización completa al no ser necesario instrumental quirúrgico. En la dermatología, éstos pueden eliminar casi todos los defectos de la piel bajo anestesia local. En oftalmología son utilizados los láseres de excímero, que eliminan capas submicrométricas de la córnea, modificando su curvatura. El ojo es transparente a la luz

entre aproximadamente 0.38 y 1.4 micrometros. A menores longitudes de onda el cristalino y la córnea absorben la radiación y a mayores longitudes de onda son las moléculas de agua presentes en el ojo las que absorben la luz. Por medio de radiación láser (en este caso con láser de argón ionizado) es posible en la actualidad tratar casos de desprendimiento de retina. Como se muestra en la figura 4.50, el haz láser es focalizado en la retina por el propio cristalino del paciente. Los láseres de He-Ne han sido utilizados con éxito en dermatología para el tratamiento de manchas en la piel, o como auxiliares para estimular la regeneración de tejido en cicatrices.

Fig. 4.50

241

Tratamiento dermatológico con láser.

APLICACIONES A LA COMPUTACIÓN

Aplicaciones más cotidianas de los sistemas láser son, por ejemplo, el lector del código de barras, el almacenamiento óptico y la lectura de información digital en discos compactos (CD) o en discos versátiles digitales (DVD), que se diferencia en que éstos últimos utilizan una longitud de onda más corta (emplean láser azul en vez de rojo). Otra de las aplicaciones son las fotocopiadoras e impresoras láser, o las comunicaciones mediante fibra óptica. Las aplicaciones para un fututo próximo son los ordenadores cuánticos u ópticos que serán capaces de procesar la información a la velocidad de la luz al ir los impulsos eléctricos por pulsos de luz proporcionados por sistemas láser; muchos de los componentes electrónicos que tienen en su estructura las computadoras, como por ejemplo resistencias, en las cuales es necesario volatilizar muy pequeñas cantidades de material para fabricar resistencias de muy alta precisión.

* Impresoras a láser, CD y DVD

APLICACIONES A LA HOLOGRAFÍA

En la holografía, las ondas se solapan en el espacio o se combinan para anularse (interferencia destructiva) o para sumarse (interferencia constructiva) según la relación entre sus fases. Debido a la relación especial entre los fotones del haz del láser, los láseres son considerados el mejor ejemplo conocido de efectos de interferencia representados en los interferómetros y hologramas. La holografía es utilizada para proporcionar imágenes en tres dimensiones. También es utilizada como sistema de seguridad en las tarjetas de crédito.

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APLICACIONES A LA INGENIERIA MECANICA

En el mundo industrial se han producido avances sustanciales en el desarrollo e implantación de tecnologías láser en todo tipo de materiales, como puede verse en la Tabla 1. Por su parte, en la Tabla 2 pueden verse las ocho familias de aplicaciones industriales, en las que pueden hacerse en algunos casos divisiones importantes, como en el marcado, en el que también se engloban las utilizaciones de baja potencia destinadas al marcaje de material de embalaje con los datos de fecha de consumo preferente y lotes de fabricación, campo en el que se han multiplicado las instalaciones en los últimos años.

Dentro del procesado de materiales, el láser es utilizado como se había dicho en todas las ramas (corte, soldadura, marcado microscópico, etc.) al poder ser empleados en casi todos los materiales y tener una muy buena respuesta en el mecanizado. Se utiliza para:

Realizar Soldaduras. Tratamientos superficiales como:

- Endurecimiento o temple.

- Aleación superficial.

- Recubrimiento superficial.

- Fusión superficial.

Corte mediante el láser. Taladrado y punzonado. Marcado mediante láser.

Tabla 1 Materiales susceptibles de ser tratados mediante láser

Metálicos No Metálicos

Aceros al carbono Polímeros

Aceros inoxidables Cerámicos

Aceros de herramientas Madera

Fundiciones Vidrio

Aleaciones ligeras Caucho

Aleaciones de cobre Cuero

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Aleaciones de titanio Corcho

SOLDADURA CON LÁSER

Un láser focalizado se puede emplear en una amplia variedad de procesos de soldadura, entre los que la más tradicional es la de materiales metálicos. La soldadura por láser puede realizarse de dos formas diferentes:

- Por conducción: la profundidad de la zona fundida, inicialmente superficial, aumenta en función de la conductividad térmica y de la distribución de la intensidad de la radiación. Este tipo de soldadura se emplea en la unión de láminas delgadas.

- Por penetración profunda: en este tipo de soldadura se consigue desplazar la zona de mayor temperatura por debajo de la superficie del material, alcanzándose un mayor rendimiento. El material fundido se desplaza hasta la superficie por acción del vapor recalentado y se mantiene allí por efectos combinados de gravedad, viscosidad y tensión superficial, lo que favorece la formación de un cordón de soldadura que aporta excelentes características mecánicas a la pieza.

La afectación térmica reducida, la falta de necesidad de utilizar material de aportación en algunas utilizaciones, la flexibilidad y facilidad del control de proceso hacen del láser una herramienta de gran potencia para aplicaciones de soldadura en materiales difíciles de tratar por otras técnicas. Las soldaduras obtenidas son de alta calidad metalográficas y sin deformaciones dimensionales apreciables, están exentas de poros, grietas y mordeduras, y tienen características similares a la soldadura convencional, en muchos casos sin aporte de material y con una velocidad de proceso seis veces superior.

La fuente láser utilizada depende del tipo de materiales a soldar. Se pueden realizar aplicaciones en piezas de espesores de 1 mm (se habla de "cierto espesor" por encima de 3 mm), con penetraciones máximas de hasta 10 mm.

Existe un ahorro de fases en la operación de soldadura, ya que no afecta a los materiales existentes; por lo tanto, no requiere tratamientos posteriores para eliminación de tensiones. Las aplicaciones de soldadura con y sin aporte, así como la soldadura de bimetales están ampliamente establecidas dentro de la industria. Las novedades en este campo vienen representadas por la soldadura de materiales disimilares, soldadura de aleaciones ligeras, soldadura de oro y las aplicaciones de soldadura de materiales plásticos, que se encuentran en un avanzado estado de desarrollo.

TRATAMIENTOS SUPERFICIALES CON LÁSER

244

Los tratamientos superficiales están encaminados a modificar las características superficiales de un material, tanto desde el punto de vista de sus propiedades mecánicas como de la resistencia a la corrosión. Son aplicables a materiales metálicos con alta absorción térmica y suficiente capacidad de disipación de calor por conducción. Los tratamientos superficiales se llevan a cabo con fuentes láser de alta potencia en dos y tres dimensiones. Las aplicaciones más difundidas en esta técnica de tratamientos son las siguientes:

- Endurecimiento o Temple

En este tipo de tratamiento superficial, el láser de potencia se convierte en una herramienta que, dadas sus características, permite actuar sobre zonas puntuales minimizando la interacción con el material base, y creando zonas con características mejoradas sobre las piezas, tales como un aumento en la tenacidad de la zona tratada, y en la resistencia a golpes y vibraciones, lo que redunda en la vida útil. La pieza tratada no debe sufrir posteriores transformaciones ni manipulaciones, quedando lista para su uso; el proceso es rápido y la dureza conseguida es superior a la de un tratamiento convencional. Puede limitarse a áreas concretas de una misma pieza consiguiéndose de esta forma endurecimientos localizados.

- Aleación superficial (Alloying)

La aleación superficial permite la generación de aleaciones sobre la superficie de las piezas para mejorar sus propiedades térmicas y mecánicas frente al desgaste o la corrosión. Las aleaciones realizadas son específicas y puntuales, por lo que tiene la ventaja de que realmente necesita ver mejoradas sus características.

- Recubrimiento superficial (Cladding)

El recubrimiento superficial supone la incorporación de material sobre una superficie para mejorar las propiedades de ésta. Mediante la interacción de un láser de alta potencia con un polvo metálico o no metálico pueden crearse capas de espesor controlado sobre las superficies metálicas. Los recubrimientos superficiales se pueden realizar con materiales antidesgaste, anticorrosión, de características especiales, etc. Confiriendo las características superficiales requeridas a la superficie tratada.

- Fusión superficial (Melting)

Otra posibilidad reside en la reconstrucción de piezas dañadas o desgastadas mediante la adición del mismo material en el que esté construida la pieza. Asimismo, puede procederse al sellado de capas de deposición realizadas mediante la aplicación de plasma, confiriéndoles mayor adherencia al substrato y un grado de compacidad superior al obtenido mediante la técnica original. Otras aplicaciones son la ablación

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o eliminación de materiales adheridos a substratos y la realización de vitrificados estructurales, donde se consiguen profundidades máximas de 50 mm. Otro tipo de actuaciones a destacar por su componente innovador son los recubrimientos y los tratamientos superficiales de diferentes componentes metálicos. Un ejemplo es la fusión superficial de titanio en atmósfera de N2 para conseguir capas de nitruro de titanio.

Tratamiento superficial de la pared de una pieza.

CORTE MEDIANTE LÁSER

En el corte mediante láser se utiliza la radiación procedente de la fuente láser para calentar la pieza hasta alcanzar la temperatura de fusión, al tiempo que una corriente de gas a presión arrastra el material fundido. La utilización del láser en este campo ofrece muchos aspectos positivos. El haz láser focalizado sobre la pieza tiene unas dimensiones mínimas, de modo que actúa como una herramienta puntual. Por tanto, la zona afectada térmicamente es muy limitada, lo que evita la aparición de distorsiones en piezas que pueden tener contornos muy complejos. El corte por láser se puede realizar sobre chapas finas de metal, madera, plástico, tela o cerámica en fin sobre diversos materiales, desde acero a corcho, pasando por materiales plásticos, etc., para formas en dos y tres dimensiones. Las fuentes láser utilizadas son de media y baja potencia (de 0,4 a 1,2 kW), consiguiéndose realizar cortes en piezas de espesores que van desde los 0,5 a los 8mm, con tolerancias entre +/- 0,05 y +/- 0,1 mm.

 Las ventajas que ofrece el láser sobre las técnicas convencionales en este tipo de utilizaciones son las siguientes:

- Mejor aprovechamiento del material, debido a que la anchura del surco generado es mínima.

- Las paredes de corte son perpendiculares a la pieza y paralelas entre sí.

- La pieza cortada no precisa ningún tratamiento ni limpieza posteriores.

- Se pueden realizar cortes en cualquier dirección.

- El proceso es altamente flexible y automatizado.

- No se precisan cambios de herramienta, lo que aumenta la flexibilidad y eficiencia de los equipos.

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-Es un proceso rápido y silencioso.

Dentro de este campo, podemos destacar las siguientes aplicaciones innovadoras:

- Corte de materiales innovadores (Titanio y plástico).

- Corte de vidrio

Si bien el corte por láser constituye una inversión que -bien aplicada- brinda excelentes resultados, puede conducir a graves errores si usted no está convenientemente asesorado.

Corte de una pieza mediante LASER.

Este proceso corta rápidamente chapas finas de metal, madera, plástico, tela o cerámica, con un mínimo de pérdida de material y sin distorsión.

Al mismo tiempo, corta con un altísimo nivel de precisión, permitiéndole realizar tareas sumamente avanzadas y delicadas.

El cuadro 1 Ilustra la aplicación de este tipo de láseres en el corte de diversos materiales. En la mayoría de estas aplicaciones el uso del láser está sincronizado con elementos automáticos o computarizados tales como robots. De esta forma el corte de complicados diseños en diversos materiales puede realizarse en forma rápida y precisa. Hoy en día son ya: innumerables las industrias que utilizan robots-láser en sus líneas de producción, como la industria electrónica y la automotriz.

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TALADRADO Y PUNZONADO

Las técnicas utilizadas para el taladrado y el punzonado son las mismas que las utilizadas en el corte mediante láser (para efectuar un corte hay que realizar un taladro inicial). Con estas técnicas se consiguen penetraciones máximas en piezas de espesores considerables (de hasta 13 mm), y diámetros desde 0,075 mm. Para asegurar un taladrado correcto en piezas de cierto espesor (por encima de los 3 mm) es importante controlar los niveles de potencia media empleados y los tiempos de interacción, ya que si se sobrepasan ciertos niveles se puede provocar el "reventón" del agujero. Las investigaciones en este campo están centradas en la realización de taladrados con la máxima energía posible disminuyendo los tiempos de interacción, sin llegar a explosionar el agujero taladrado, ya que, en la práctica, por motivos obvios de aseguramiento de la calidad de la pieza, son excesivamente bajos y los tiempos de interacción demasiado altos.

MARCADO MEDIANTE LÁSER

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La técnica utilizada normalmente para realizar el marcado mediante láser es por desplazamiento del haz. Con esta técnica se focaliza un haz láser de media potencia sobre la superficie a marcar. El haz se orienta mediante una combinación de espejos galvanométricos de manera que sigue el recorrido del diseño a marcar. En función del tipo de material que se va a grabar, se utilizan distintos tipos de fuentes láser: CO2, Nd: YAG o excímeros.

Actualmente pueden marcarse una gran variedad de materiales: materiales metálicos, plásticos, vidrio, etc. La profundidad de la zona marcada va desde algunas micras (marcado superficial) a décimas de milímetros (marcado profundo). La superficie máxima de marcado es un cuadrado de 100x100 mm. Mediante la utilización de quipos de baja potencia se puede realizar el marcado de elementos de envasado sobre ventanas preimpresas, sobre todo papel, con los datos sobre lotes de fabricación y fechas de consumo preferente, muy importantes en la industria del envasado de bienes de consumo.

Ilustraciones de algunos procesos efectuados por láser

Maquina láser utilizada para varios procesos industriales en la ingeniería: como la soldadura, el corte de planchas, Mecanizado superficial y perforación.

Soldadura en esquinas y bordes mediante el láser.

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Soldadura en interiores usando tecnología láser.

MICRO: REPARACIÓN DE MOLDES Y MATRICES POR LÃSER.

Ventajas:

Mínima zona afectada térmicamente. No se producen deformaciones. Posibilidad de soldaduras extremadamente finas con varillas desde

0,25 mm de diámetro. No precisa precalentamiento de la pieza. No genera rechupes. Posprocesado mínimo. Durezas resultantes de 45 a 60 HRC sin fisuras ni poros. Posibilidad de soldar Aluminio y Cobre.

Tabla 2 Resumen de aplicaciones industriales del láser

Aplicación Fuente Técnica Características obtenibles

Aleación 5 kW CO2Profundidad máxima: 0,5mm. Buenas características en capa. Dilución típica 20%

Corte0,4, 0,8 y 1,2 kW

Nd-Yag

CO2

Espesor: de 0,5 a 0,8 mm. Tolerancia +/-0,05 mm a +/-0,1 mm

Marcado 0,4 KW Nd-YagCapacidad: 325 mm2/min. Profundidad máxima: 0,04 mm

Recubrimiento 5kW CO2Alta densidad de capas y mínima dilución en sustrato. Espesores de capas hasta 2 mm.

Refusión 5kW CO2Penetración máxima: 0,5 mm. Baja deformación. Alto rango de dureza

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Soldadura TodasNd-Yag

CO2Penetración máxima: 10 mm. Baja deformación

Taladrado 0,4 KW Nd-YagDiámetros desde 0,075 mm. Penetración máxima: 13 mm

Temple 5kW CO2Penetración máxima: 2 mm. Baja deformación. Alto rango de dureza.

OTRAS APLICACIONES DEL LASER

La fusión por confinamiento inercial es la aplicación más deseada ya que permitiría el desarrollo de la fusión nuclear del hidrógeno de una forma controlada, permitiendo la obtención de una elevadísima cantidad de energía. Dicho proceso se produce en el Sol y se obtuvo, aunque no de una forma controlada, en 1952, con la bomba atómica de hidrógeno.

Un rayo láser puede viajar grandes distancias con una pequeña reducción de la intensidad de la señal y debido a su alta frecuencia puede transportar 1.000 veces más información que las microondas, por lo que son idóneos para ser utilizados como medio de comunicación en el espacio.

Más aún, el láser podría suponer la revolución definitiva en los sistemas de propulsión aérea. En 2003 la NASA consiguió hacer volar indefinidamente un pequeño avión de 300 gramos cuya energía era proporcionada desde tierra mediante láser. Científicos japoneses hicieron lo propio con un avión de papel, si bien utilizaron el láser para evaporar agua que servía de propelente. Estos aviones ligeros podrían ser utilizados como alternativa a los satélites artificiales para establecer telecomunicaciones en zonas de difícil acceso. Pero de desarrollarse más esta tecnología, podría suponer una tremenda reducción del lastre de los vuelos convencionales, al eliminar el combustible, tal y como ya se planea hacer en los viajes espaciales.

Últimamente, como no podía ser de otra forma, se realizan esfuerzos para incluirlo en el uso militar como sustitutivo de los proyectiles convencionales y los mísiles. Existe ya un prototipo de láser aerotransportado, montado en un Boeing 747 y las Fuerzas Aéreas de Estados Unidos proyectan cazas armados con láser de alta potencia para los próximos años. El primer prototipo, de apenas un kilovatio, pesaba 750 kilogramos, algo perfectamente adaptable a los modernos aviones de combate.

Mientras que el gran láser a bordo de aviones como el Boeing serviría como arma de precisión durante un bombardeo, los menos potentes

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pero más ligeros montados en cazas podrían ser una contra arma muy efectiva contra mísiles.

En definitiva, su uso está extremadamente extendido y continuamente se le descubren nuevas aplicaciones siempre sorprendentes, como su participación en los complejos procesos de enfriamiento a muy bajas temperaturas.

La medición de distancias con alta velocidad y precisión es otra de las aplicaciones del láser a la rama militar inmediatamente después de que se inventara el láser, para el lanzamiento de artillería o para el cálculo de la distancia entre la Luna y la Tierra (384.403 Km.), con una exactitud de tan sólo 1 milímetro. También es utilizado en el seguimiento de un blanco en movimiento al viajar el haz a la velocidad de la luz.

Los láseres de argón ionizado han sido extensamente utilizados en el estudio de la cinética de reacciones químicas y en la excitación selectiva de éstas. Hay algunas reacciones químicas que sólo se producen en presencia de radiación láser o cuya rapidez puede incrementarse notablemente cuando los reactantes son irradiados con luz láser de longitud de onda apropiada. En el primer caso podemos obtener sustancias que de otro modo sería difícil obtener y en el segundo caso se tiene la posibilidad de incrementar la productividad de algunas industrias químicas.

ALGUNAS NOTICIAS INTERESANTES ACERCA DEL LASER

En la Universidad de Michigan han creado el rayo láser más potente jamás creado, con una potencia de 300 terawatios. Este tipo de "chispas cósmicas" ayudará a los científicos en muchos campos de la ciencia. Se le llamo လHérculesá€. Es decir este potente rayo tiene una capacidad de aproximadamente 300 veces la red de electricidad de los Estados Unidos.

El primer sistema del mundo de carros automáticamente guiados mediante tecnología láser, desarrollado por Rocla Oyj, se aprovecha, por ejemplo, en las plantas papeleras. El sistema comprende una unidad central de control y carretillas elevadoras automatizadas que recorren

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itinerarios programados entre los puntos de procesamiento de sus cargas y realizan labores de elevación y transporte sin operario.

Los científicos, encabezados por el profesor Gero Miesenbck, de la Universidad de Oxford, activaron en las hembras por control remoto, mediante un rayo láser, la neurona que en los machos es responsable del cortejo sexual. El resultado fue que las hembras de la mosca de la fruta ('Drosophila melanogaster') se comportaban igual que los machos tras recibir este estímulo.

Conclusiones

Las aplicaciones científicas del láser son muy variadas. Difícilmente un solo libro dedicado tan sólo a este tema sería suficiente para mencionarlas, las mismas se pueden encontrar como hemos visto ya, en cualquier sector de la sociedad actual. Estas incluyen campos tan dispares como la electrónica de consumo, las tecnologías de la información (informática), análisis en ciencia, métodos de diagnóstico en medicina, así como el mecanizado, soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares.

Por tanto las tareas desempeñadas por los láseres van de lo mundano a lo esotérico si bien comparten un elemento común: son difíciles o totalmente imposibles con cualquier otro instrumento. Aunque por lo general los láseres son aparatos relativamente caros existe un incremento elevado de su utilización a nivel mundial, debido a su

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propiedad de suministrar la forma y la cantidad de energía requerida en el lugar deseado.