Michel Mate Matic As

1 Universidad Abierta y a Distancia de México

Unidad 4. Matemáticas básicas

Presentación de la unidad

En la Unidad 4. Matemáticas básicas, se te presentan conceptos fundamentales, como

teoría de conjuntos, aritmética y álgebra. El dominio de estas áreas es indispensable

para iniciar tus estudios en la Universidad Nacional Abierta y a Distancia de México

(UnADM).

En el primer tema, aprenderás los conceptos y las operaciones fundamentales de los

conjuntos, así como también su representación por medio de diagramas de Venn. En el

segundo tema, estudiarás las operaciones fundamentales de los números enteros y sus

propiedades, el teorema fundamental de la aritmética, el máximo común divisor y el

mínimo común múltiplo, asimismo, se presentarán las operaciones fundamentales de

suma, resta, multiplicación y división de números racionales. Finalmente, en el tercer

tema, estudiarás los conceptos básicos del álgebra, el lenguaje algebraico, las

operaciones con expresiones algebraicas, la factorización, las ecuaciones de primer grado

y las ecuaciones cuadráticas.

¡Adelante!

Propósitos

Identificar la teoría de conjuntos, simbología y terminología necesaria para comprender el lenguaje matemático por medio de ejemplos y ejercicios.

Exponer la aritmética de los números enteros y números fraccionarios, a través de ejercicios y aplicaciones.

Plantear y resolver problemas sencillos de la vida cotidiana mediante la aplicación del álgebra, donde se requieran ecuaciones de primero y segundo grado.


Competencia específica

Recuperar los conceptos, las operaciones y las aplicaciones elementales de la teoría de conjuntos, aritmética y álgebra para plantear y resolver problemas, a través de ejercicios.

4.1. Teoría de conjuntos

A lo largo de las distintas ramas de las matemáticas, la teoría de conjuntos desempeña un

papel primordial, debido a que muchas de las identidades y propiedades analizadas en

las matemáticas se obtienen de ciertos conjuntos particulares o algunas clases de objetos

determinados. Estas ramas son formalmente definidas a través de la teoría de conjuntos.

Como consecuencia, muchas preguntas fundamentales acerca de la naturaleza del

estudio de las matemáticas son reducidas a preguntas sobre conjuntos.

La teoría de conjuntos proporciona una parte de la simbología utilizada en las

matemáticas, como la siguiente:

Símbolo Significado

Pertenece

No pertenece

Contenido

No contenido

Contiene

No contiene

Implica

Igual

Diferente

Conjunto vacío

Complemento de A

Unión

Intersección

Diferencia


4.1.1. Conceptos básicos

Uno de los conceptos más importantes del estudio de las matemáticas son los conjuntos,

ya que todo lo que se estudia es relativo a propiedades de algunos conjuntos en

particular. La palabra conjunto no tiene una definición concreta, sin embargo,

intuitivamente se entiende que un conjunto es una colección o clase de objetos bien

definidos. Dichos objetos toman el nombre de elementos o miembros del conjunto, por

ello, de forma equivalente se dice que un objeto pertenece a un conjunto dado.

Los conjuntos son representados por letras mayúsculas, por ejemplo, y los

elementos, por letras minúsculas , etc. Cuando un elemento pertenece a un

conjunto , se denota por , en caso contrario, si no es elemento de se denota

por . En resumen, dado un conjunto y un elemento se cumple una y sólo una de

las siguientes condiciones: ó .

Existen dos formas de describir los conjuntos:

1. Por extensión: Aquí se presentan todos los elementos de un conjunto entre los

símbolos de llaves , . Cuando los elementos del conjunto son conocidos y son

un número muy grande, se utilizan puntos suspensivos . Por ejemplo, se

tienen los siguientes conjuntos:

.

.

.

2. Por comprensión: Aquí se usan todas las propiedades que describen a los

elementos del conjunto, es decir, si representa un elemento del conjunto y es

la propiedad que describe al conjunto, entonces se escribe el conjunto de la

siguiente forma: | . En palabras, se dice que “el conjunto de

todos los tales que la propiedad en ”. Observa cómo se

presentan los conjuntos del ejemplo anterior:

| .

| .

| .

|


Diagramas de Venn

Una herramienta muy útil en la teoría de conjuntos son los llamados diagramas de Venn,

que son representaciones gráficas de conjuntos, con los cuales se pueden visualizar

algunas propiedades de que se presenten en los conjuntos. Usualmente se representa el

conjunto universal como un rectángulo y con regiones dentro de él, se muestran los

distintos conjuntos en cuestión. Por ejemplo, si se desea representar que en un

diagrama de Venn, la siguiente figura es ilustrativa:

Contención de conjuntos

Anteriormente, se explicó la relación de pertenencia que hay entre un elemento y un

conjunto, ahora se estudiará la relación de contención, que se da entre dos conjuntos

dados. Sean y dos conjuntos, se dice que es subconjunto si y solo si todo

elemento de es elemento de y se denota por , en caso contrario . En

símbolos, se tiene que si y solo si dado , lo anterior se lee de la

siguiente manera: dado elemento de implica que es elemento de .

Cuando es común utilizar equivalentemente la palabra contenido, es decir, está

contenido en . Además, se define que incluye o contiene a si y solo si y se

denota por . Si se quiere ver gráficamente que equivalentemente el

diagrama de Venn es la siguiente figura:


Observa los siguientes ejemplos de contención de conjuntos:

1. Sean y | , claramente ,

ya que toda vocal es una letra del alfabeto.

2. Sean | y | , entonces

, ya que, como se verá más tarde, es múltiplo de .

Una consecuencia inmediata de la definición de contención de conjuntos es el siguiente

resultado:

Lema: Si y entonces .

Igualdad entre conjuntos

En matemáticas es común definir algunas propiedades en términos de una igualdad, por

ejemplo, un número real es positivo si y solo si | |. En teoría de conjuntos se tiene

algo similar, muchas propiedades de conjuntos se presentan en términos de la igualdad

de conjuntos, que se define de la siguiente manera: Se dice que el conjunto es igual al

conjunto si y solo si y tienen los mismos elementos, y se denota por , en caso

contrario . Nótese que si todo elemento de es elemento de implica que y

si todo elemento de es elemento de entonces , por lo tanto, se tiene que

si y solo y . En consecuencia, si se tiene que demostrar una igualdad entre

conjuntos basta demostrar una doble contención. Por ejemplo, dados los conjuntos

y se tiene que , nótese que no importa que los

elemento y se repitan dos veces en el conjunto .

Conjunto universal y conjunto vacío

Ahora toca el turno de definir el conjunto q í “ ” radica

en el hecho de universo de discusión, es decir, el conjunto universal es el conjunto de

todos los objetos que entran en una discusión dada. Por ejemplo, si se habla de

divisibilidad, el conjunto universal es el conjunto de todos los números enteros; si se habla

de derechos humanos, el conjunto universal es el conjunto de todos los seres humanos; y

en geometría plana, el conjunto universal es el plano.

Existe un conjunto distinguido que no tiene elementos, que se llama conjunto vacío, este

se denota por ó y resulta de contradicciones. Por ejemplo, si se desean buscar todos

los números naturales menores que cero, es claro que no existen dichos números.

Matemáticamente el conjunto vacío se define por | . Dado que el conjunto

vacío se define a partir de una contradicción, por cuestiones de lógica de predicados se

tiene que , para cualquier conjunto .


Actividad 1. Conceptos básicos

Instrucción: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres

correcta.

1. Dado el conjunto , di cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:

a. F, V, V y F.

b. F, F, V y V.

c. F, V, F y F.

d. F, F, F y V.

2. Escribe en su forma comprensiva los siguientes conjuntos:

i. consiste de todos los dígitos.

ii. E í í .

a. | í y |

b. | y | í .

c. | í y | í .

d. y |

3. De los siguientes conjuntos, ¿cuáles son vacíos?

i. | q .

ii. | .

iii. | .

iv. | .

v. | .

a. y

b. , y

c. , y

d.


4. Dados los conjuntos Define si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

a. V, F, V, V y V.

b. F, F, V, V y F.

c. F, F, V, F y V.

d. V, V, F, V y F.

5. Dados y , considera que . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a. V, F, F, V y V.

b. F, F, V, V y F.

c. V, F, V, F y V.

d. F, F, F, V y V.

4.1.2. Operaciones con conjuntos

En la sección previa se presentaron los conceptos básicos de los conjuntos, en esta

sección se definirán algunas operaciones fundamentales sobre los mismos, como el

complemento, la unión, la intersección y la diferencia. Por simplicidad de notación, en el

resto de esta sección denotará un conjunto universal fijo.

Complemento de un conjunto

Cuando se presentan algunas propiedades matemáticas sobre un conjunto, en muchas

ocasiones no es fácil trabajar directamente con el conjunto. Por ejemplo, si se necesita

trabajar con todos los valores tales que , es más sencillo identificar cuando

, es decir, solo puede tomar el valor de . Se definirá el complemento de un

conjunto dado con respecto a determinado conjunto universal. Dado , el

complemento de con respecto a se define como el conjunto | ,

gráficamente se tiene:


Considera los siguientes ejemplos:

Si es el conjunto de los números enteros y es el conjunto de todos los

números pares, entonces es el conjunto de todos los números impares.

Sea el conjunto de todos los humanos y el conjunto de todas los niños,

entonces es el conjunto de todos los adultos.

Ahora se enunciarán algunas propiedades del complemento:

Lema: El complemento de un conjunto satisface lo siguiente:

a)

b) .

Unión de conjuntos

Si se tiene una bolsa con manzanas y con el paso del tiempo se obtiene una bolsa con

peras, se puede vaciar el contenido de ambas bolsas en una bolsa más grande.

Pensando en términos de conjuntos, se toman todos los elementos de los dos primeros

conjuntos para construir otro que resulta de “reunir” los elementos de tales conjuntos. Esto

es muy común con los objetos matemáticos, es decir, reunir objetos de conjuntos dados

para obtener otro conjunto que contenga a dichos conjuntos. La siguiente operación entre

conjuntos que se definirá es la unión, dados , el conjunto unión es el

conjunto | . En palabras, para que un elemento pertenezca a la

unión de conjuntos basta con que pertenezca al menos a alguno de los conjuntos que se

unen. Gráficamente, se tiene lo siguiente:


Observa los siguientes ejemplos:

Sean , entonces se tiene

que .

Sean , entonces .

Ahora se enunciarán algunas propiedades de la unión de conjuntos:

Lema: La unión de conjuntos satisface lo siguiente:

a) Dado , se tiene que .

b) Para se tiene que si y solo si .

c) Para se tiene que .

d) Para , se tiene que .

Intersección de conjuntos

Un problema importante en geometría es el siguiente: Dadas dos rectas no paralelas,

¿dónde se cortan? Intuitivamente dos rectas se cortan en un punto. Si consideras las

rectas como conjuntos de puntos, verás que el punto de corte tiene la particularidad de

pertenecer a ambos conjuntos, usualmente se dice que el punto de corte es la

“intersección” de las dos rectas. Ahora se presentará la definición de intersección de

conjuntos: dados , el conjunto intersección es el conjunto |

, es decir, la intersección de conjuntos está formada por todos los elementos

comunes de los conjuntos en cuestión. Gráficamente se tiene lo siguiente:


Observa los siguientes ejemplos:

Sean , entonces

.

Sean , entonces .

El último ejemplo motiva la siguiente definición: dados dos conjuntos se dice que

es ajeno ó disjunto a si y solo si . Enseguida se enunciarán algunas

propiedades de la intersección de conjuntos:

Lema: La intersección de conjuntos satisface lo siguiente:

a) Dado , se tiene que .

b) Para se tiene que si y solo si .

c) Para se tiene que .

d) Para , se tiene que .

Las propiedades que relacionan a la unión, la intersección y el complemento son las

siguientes:

Teorema: Dados se tienen las siguientes relaciones:

i. .

ii. .

iii. .

iv. .

De lo anterior (i) y (ii) son las propiedades distributivas. Los puntos (iii) y (iv) se conocen

como las leyes de De Morgan.


Diferencia de conjuntos

Considera que formas parte de un grupo de médicos que busca un tratamiento para una

enfermedad exclusiva de la población masculina. En este caso, no tiene sentido realizar

un estudio en el conjunto de todos los humanos, ya que por la naturaleza de la

enfermedad solo se debe estudiar a la población masculina. Pensando en términos

conjuntistas, al conjunto de los humanos hay que quitarle el conjunto de todas las

mujeres. En matemáticas, este fenómeno se presenta de manera usual, en muchos casos

hay que quitarle algunos elementos a un conjunto determinado, lo que lleva a la definición

de la diferencia entre conjuntos. Dados , la diferencia de con o menos

es el conjunto | . Nótese que si y es equivalente a

decir por lo tanto, . La diferencia se ve gráficamente de

siguiente forma:


Actividad 2. Operaciones con conjuntos

Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres

correcta.

1. Escribe en notación de teoría de conjuntos los siguientes enunciados:

i. no es elemento de .

ii. incluye a la unción de . iii. pertenece a la diferencia de menos .

iv. esta contenido en el complemento de . v. es ajeno a la unión de con la intersección de con .

a. .

b. . c. .

d. . 2. Diagrama que presenta la validez de .

a. c.

b. d.


3. ¿Qué diagrama presenta la validez de

a.

b.

c.

d.


4. Diagrama que presenta la validez de .

a.

b.

c.

d.


5. Dada las siguientes relaciones entre conjuntos, determina cuáles son verdaderas y

cuáles son falsas. a) b) . c) .

d) .

e) .

a. F, F, V, V y F. b. F, V, F, V y F. c. V, F, F, V y F. d. F, F, V, V y V.


Actividad 3. Teoría de conjuntos


correcta.

1. Presenta los siguiente conjuntos en su forma explícita: | |

a. .

b. .

c. .

d.

2. De los siguientes conjuntos, ¿cuáles son iguales?

a. y .

b. .

c. y .

d. .

3. Escribe todos los subconjuntos del conjunto .

a. , , y .

b. , y

c. , y

d. y .

4. Dados los conjuntos . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas?

a. V, F, F, F y F.

b. V, V, F, F y V.

c. F, F, V, F y V.

d. V, F, F, V y V.


5. ¿Qué diagrama de Venn comprueba que y , entonces ?

a. c.

b. d.

6. ¿Qué diagrama presenta la validez de ?

a. c.

b. d.


7. ¿Qué diagrama presenta la validez de ?

a.

b.

c.

d.


8. ¿Qué diagrama presenta la validez de

a.

b.

c.

d.


9. Considerando que , calcula:

a. . b. . c. . d. .

10. ¿Qué diagrama representa que los conjuntos A y B son ajenos?

a. c.

b. d.


4.2. Aritmética

La aritmética comienza con el estudio de los números naturales: . Uno de

los primeros objetos de estudio en este conjunto es la operación de suma, que tiene una

ó : “ ” j j . P

induce otra operación conocida como resta, que en esencia consiste en la acción opuesta

a agregar, es decir, se deben q ” j .

De manera natural, no se puede quitar más cosas de las que se tienen, sin embargo, hay

fenómenos que sí tiene sentido quitar más de lo que se tiene, por ejemplo, las ganancias

y pérdidas del calor. Por tal motivo, el conjunto es insuficiente para algunos estudios

donde se requiera realizar restas, esta es la motivación para obtener el conjunto de los

números enteros:

Se toma al conjunto y se le agregan todos los posibles resultado que se pueden obtener

al realizar la operación de resta en .

Cuando se realizan sumas en donde todos los elementos que se suman son el mismo,

se induce la operación de multiplicación. Análogamente a lo que pasa con la suma, la

multiplicación induce una operación inversa conocida como división. Como no siempre

se puede realizar esta operación en , esto motiva a obtener el conjunto de los números

racionales:

,

| -

Al igual que los números enteros, los números racionales se obtienen de agregándole todos los posibles resultados de dividir. Los símbolos utilizados en este tema son los siguientes:

Símbolo Significado

Conjunto de los números naturales

Conjunto de los números enteros

Conjunto de los números racionales

| | Valor absoluto de

Suma

Resta

Producto

División

Menor que

Mayor que

La potencia de


4.2.1. Números enteros y sus propiedades

Antes de comenzar con el estudio de los números enteros, considera que debes tener las

habilidades para realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación de números

naturales.

Representación gráfica

Los números enteros se presentan en una en una línea recta como se muestra en la

siguiente figura:

Primero ubica el número cero en un punto de la recta, a continuación coloca hacia la

derecha, en el orden usual a los números naturales y, finalmente, de lado izquierdo, sus

“ ”, que se obtienen de tomar un número natural y ponerle un signo

menos de lado izquierdo. Por ejemplo, el inverso del es . Los números naturales

distintos del cero toman el nombre de positivos y sus inversos se llaman negativos.

Valor absoluto

Muchas de las aplicaciones de los números enteros no requieren el uso del signo del

número, por ejemplo, al calcular una distancia no importa si se mide de un punto a un

punto o si medimos del punto al punto . Esto motiva el siguiente concepto: el valor

absoluto de un número entero se define como el valor del numero entero sin importar

su signo, este se denota entre dos barras verticales, es decir, el valor absoluto de se

denota por | |. Gráficamente el valor absoluto es la distancia que hay de un número

entero al cero.

Por ejemplo, el valor absoluto del es y el valor absoluto del es , en símbolos se

escribe de la siguiente manera: | | y | | .


Parte importante del estudio de lo números enteros son sus operaciones de suma, resta,

multiplicación, división y combinaciones entre ellas. Ahora toca el turno de presentar

dichas operaciones y se inicia con la más elemental:

Suma de números enteros

Para representar la operación de suma ó adición, se utiliza el símbolo . La suma en los

números enteros se puede dividir en tres casos:

1. Todos los números son positivos o cero: En este caso la suma es la misma que en

los números naturales, por ejemplo, . Gráficamente se tiene lo siguiente:

2. Todos los números son negativos: En este caso se realiza la suma sin importar el

signo y al final del resultado, se le coloca el signo negativo de lado izquierdo, por

ejemplo, . Gráficamente se tiene lo siguiente:

3. Cuando hay positivos y negativos: Para este caso, primero hay que sumar por

separado los positivos y los negativos. Para sumar un positivo con un negativo, hay

que tomar el número de mayor valor absoluto y restarle el valor absoluto del menor, y

colocar el signo del número que tenga más valor absoluto. Por ejemplo,

ya que el número que tiene más valor absoluto es | | después se le resta el

valor absoluto del otro, en este caso | | , la diferencia entre , por último,

el signo es negativo. Gráficamente se tiene lo siguiente:


Ahora se presentarán las propiedades que tiene la operación de suma en los números

enteros:

(i). Asociatividad: Dados tres números enteros se tiene que

.

(ii). Conmutatividad: Dados dos números enteros , se tiene que

.

(iii). Elemento neutro: Existe el número entero tal que , para cualquier

número entero .

(iv). Inversos aditivos: Dado un número entero , existe un entero tal que

.

Por la propiedad (i) se pueden sumar más de tres números eliminando los respectivos

signos de agrupación. Por ejemplo:

A continuación se ejemplificará lo anterior.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .


Resta de números enteros

De las propiedades anteriores, la existencia de los inversos aditivos expone que todo

número entero sumando con una cantidad adecuada se anula. Por ejemplo, para el

existe un número denotado por tal que e, inversamente, para el existe

el número tal que . En general, el inverso de un número positivo es su

respectivo negativo y el inverso de un negativo es su respectivo positivo. En

resumen, para calcular el inverso de un número entero basta cambiarle el signo a dicho

número, en símbolos se tiene que:

Gráficamente se presenta:

A partir del inverso se define la operación de inversa a la suma, es decir, la resta que

representa por el símbolo “ De la siguiente manera:

Observa algunos ejemplos de restas:

.

.

.

.

.

Orden en los números enteros

En el conjunto la operación de resta permite definir la igualad de números enteros.

Decir que es igual a es equivalente a . En los números naturales, se tiene un

orden conocido, es decir, se comienza con , le sigue el , después , etc.

Gráficamente, un número natural es más grande que otro si se localiza más a la derecha.

En consecuencia, todo número positivo es mayor que y se denota por . Esta

idea se retomará para ordenar a los números enteros, intuitivamente un número entero

es más grande que o que es menor que si se localiza más a la derecha que .

Formalmente, se dice que es menor que o que es mayor que si y solo si

es un número positivo, en tal caso se denota por ó . Por ejemplo: ,

, y .


Multiplicación de números enteros

Como observaste en el apartado anterior, técnicamente sumar números enteros es

equivalente a sumar números naturales considerando cómo se adapta esta operación

para los nuevos objetos (números negativos). El caso de la multiplicación es análogo al de

la suma en , ya que la multiplicación en es técnicamente la misma que en . La

multiplicación o producto se denota con el símbolo , o utilizando paréntesis, o

concatenando objetos, así para presentar la multiplicación de con se utiliza

indistintamente . Antes de multiplicar números enteros observa cómo

se multiplican sus signos en la siguiente tabla:

Para multiplicar dos números enteros, primero hay que multiplicar sus signos y, después,

multiplicar sus valores absolutos. En consecuencia, el producto tiene las siguientes

propiedades:

(i). Asociatividad: Dados tres números enteros se tiene que:

.

(ii). Conmutatividad: Dados dos números enteros , se tiene que:

.

(iii). Elemento neutro: Existe el número entero tal que , para cualquier

número entero .

Observa algunos ejemplos de productos:

.

.

.

Para finalizar, se definirá la potencia de un número entero del siguiente modo: Dado

, se dice que la -ésima potencia de es el número

⏟

.


Donde toma el nombre de potencia o exponente y recibe el nombre de base. Por la

regla de los signos, cualquier potencia de un número positivo es positiva, en el caso de

los números negativos, la potencia será positiva si el exponente es par y será negativa si

el exponente es impar.

Revisa los siguientes ejemplos:

.

.

.

.

.

Propiedad distributiva

Las operaciones de suma y producto en , se relacionan a través de la propiedad

distributiva, esta expresa que el producto se distribuye con respecto a la suma. En

símbolos se tiene lo siguiente:

Como es conocido, el producto de números naturales se puede ver gráficamente como el

área de un rectángulo cuyos lados son los valores que se multiplican.

Así, la propiedad distributiva se ve gráficamente del siguiente modo:


Observa algunos ejemplos de la propiedad distributiva:

.

.

Algoritmo de la división

Siempre que se pueda definir una operación sobre un conjunto determinado, es natural

pensar si esta induce a una operación inversa. El caso del producto en los números

enteros no es la excepción, la operación inversa al producto es la división,

lamentablemente dicha operación no siempre puede llevarse a cabo, lo más que se puede

hacer es el llamado algoritmo de la división. Para esta operación se utiliza el símbolo

y en este curso dicho algoritmo solo se empleará para números enteros positivos.0

Teorema: Dados , existen tales que donde | |.

De lo anterior se desprenden los siguientes nombres: es el divisor, es el dividendo,

es el cociente y es el residuo. Para ejemplificar el teorema anterior, considera y

, entonces y ya que . Realizando la operación

tradicional se observa que:

El algoritmo de la división permite definir los siguiente: Se dice que divide a o que

es un múltiplo de si y solo si , en símbolos se tiene que para algún

Por ejemplo: es divisor de ó es múltiplo de ya que ; y es múltiplo

de ó es divisor de , ya que , no es divisor de ya que .

Ahora se presentan algunos criterios de división de un número por otro:

a) Si se tiene un número cuya última cifra de la derecha es par, entonces es divisible

entre . Por ejemplo: son divisibles entre .


b) Si la suma de las cifras de un número es un múltiplo de entonces es divisible

entre . Por ejemplo: son divisibles entre , ya que

.

c) Si se tiene un número cuyas dos últimas cifras de la derecha forman un múltiplo de

entonces es divisible entre 4. Por ejemplo: son

divisibles entre .

d) Si se tiene un número cuya última cifra de la derecha es entonces es

divisible entre . Por ejemplo: son divisibles entre .

e) Si se tiene un número cuya última cifra de la derecha es entonces es divisible

entre . Por ejemplo: son divisibles entre .

f) Si se tiene un número cuyas últimas tres cifras de la derecha es un múltiplo de 8,

entonces es divisible entre . Por ejemplo: son

divisibles entre .

Números primos y compuestos

Si consideras solo números positivos, debes q “ ”

ellos tiene dos divisores, es decir, dado un número positivo, son divisores de , ya

que . Esto permite clasificar dichos números en primos y compuestos. Un

número entero positivo diferente de la unidad es primo si y solo si sus únicos divisores

de él son el mismo y la unidad. Un número positivo es compuesto si no es primo, es

decir, los números compuestos tienen más de dos divisores. Por ejemplo son

primos, son compuestos.

La relación que existe entre números primos y compuestos viene dado a través del

siguiente resultado, que se conoce como Teorema fundamental de la aritmética:

Teorema: Todo número entero positivo se puede representar como producto de números

primos, esta representación es única salvo el orden de los factores.

Antes de ejemplificar el teorema anterior, se te ofrecerá una lista de los primeros números

primos menores o iguales a . Para ello, se utilizará el método conocido como Criba

de Eratóstenes, que consiste en los siguientes pasos:

1. Se realiza un listado del al .

2. Se cancela el número por ser la unidad.

3. Se identifica el número inmediato al , que en este caso es el , y se cancelan

todos sus múltiplos.

4. Se identifica el siguiente número no cancelado, que en este caso es el , y se

cancelan todos sus múltiplos.

5. Se identifica el siguiente número no cancelado, que es el ya que el ha sido

eliminado por ser un múltiplo , y se cancelan todos sus múltiplos.

6. Se realiza lo anterior sucesivamente.


El resultado final se muestra en el cuadro siguiente:

En consecuencia, los números primos entre el y el son los siguientes:

.

Ahora se presentarán algunos ejemplos del teorema fundamental de la aritmética:

.

.

.

.

.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

El máximo común divisor ( ) de un conjunto de número enteros, como su nombre

lo indica, es el divisor común más grande de dichos números. El método para calcular

el máximo común divisor consiste en buscar los números primos que dividan

simultáneamente a los números dados, no importando si se repiten y, al final,

multiplicarlos. Por ejemplo, si se desea calcular el máximo común divisor de los números

se realiza lo siguiente:


Por consiguiente .

Ahora se verá una aplicación del máximo común divisor:

Problema: Un carpintero quiere cortar una hoja rectangular de triplay de de largo

y de ancho, para obtener piezas cuadradas de las mismas dimensiones con la

condición de que sean lo más grande posible. ¿Cuánto debe medir la longitud del lado de

cada cuadrado?

Solución: P h q q ó “ h j

” í q dichos cuadrados divide simultáneamente

tanto al largo como al ancho de la hoja, en consecuencia se debe buscar un divisor

. ó “ á ” se debe buscar el más

grande de los divisores comunes de las dimensiones del largo y el ancho. Por lo tanto, la

solución buscada es el máximo común divisor de y , es decir:

En consecuencia, se tiene que cada

cuadrado tiene longitud .

Análogamente, el mínimo común múltiplo ( ) es el más pequeño de los múltiplos

comunes. Para calcular este se buscan números primos que al menos dividan a alguno de

los números dados y, al final, se multiplican. Por ejemplo, si se desea calcular el mínimo

común múltiplo de los números se realiza lo siguiente:


Por consiguiente,

Ahora se verá una aplicación del mínimo común múltiplo:

Problema: Ana, Juan y Pedro realizan compras en una misma tienda de autoservicios.

Ana va cada días, Juan cada días y Pedro cada días. Si ellos coinciden el día de

hoy en dicha tienda, ¿cuál es el número mínimo de días que tienen que pasar para que

vuelvan a coincidir?

Solución: P h q q ó “ ”

los múltiplos comunes de los días en que Ana, Juan y Pedro van a la tienda. Además, la

ó “ í í ” expresa que el mínimo común múltiplo de , y

es la solución a la cuestión. Realizando las operaciones, se obtiene que:

En consecuencia, el número de días que

tienen que pasar son .


Actividad 4. Números enteros


correcta.

1. Es la propiedad de la suma de números enteros que permite sumar más de tres

cantidades:

a. Asociatividad. b. Conmutatividad. c. Elemento neutro. d. Inversos aditivos.

2. Calcular la siguiente operación: :

a. . b. .

c. . d. .

3. De las siguientes ternas de números, ¿cuáles son múltiplos de ?

a. . b. .

c. . d. .

4. ¿Cuál es la descomposión en factores primos del número ?

a. .

b. .

c. .

d. .

5. Calcula el máximo común divisor de 91 y 117.

a. b. c. d.

6. Calcula el máximo común divisor de .

a. b. c.


d.

7. Calcula el mínimo común múltiplo de .

a. b. c. d.


a. b. c. d.

9. En una mercería se desean vender bolsitas de botones de varios colores. Si se tienen botones blancos, rojos y azules, ¿cuántas bolsitas se pueden formar que contengan el número máximo de botones de cada color? y ¿cuántos botones de cada color hay en cada bolsita?

a. bolsas con blancos, rojos y azules. b. bolsas con blancos, rojos y azules.

c. bolsas con blancos, rojos y azules. d. bolsas con blancos, rojos y azules.

10. En una fiesta hay un pastel y un pay, divididos en y partes respectivamente. Si se desean repartir platillos con una rebanada de pastel y otra de pay, ¿cuál es el número mínimo de platillos que se pueden servir? y ¿en cuántas partes hay que dividir cada sección del pastel y del pay, respectivamente?

a. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay, en .

b. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay, en .

c. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay, en .

d. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay,

en .


4.2.2. Números racionales

En la sección anterior viste que la operación de división no siempre se puede llevar a

cabo en el conjunto de los números enteros, para resolver este problema, es necesario

construir el conjunto de los números racionales o fracciones, que resultan de tomar los

números enteros y agregarles todos los posibles resultados de dividir. En consecuencia,

el conjunto de los números racionales es el siguiente:

,

| -

En particular todo número entero se identifica con una fracción de la forma

, es decir,

. Cabe mencionar que realizar la operación de división es equivalente a resolver la

ecuación , donde .

Dada una fracción

, se tiene que toma el nombre de numerador y el de

denominador. Cuando | | | | se dice que la fracción es propia y cuando | | | | se

dice que la fracción es impropia. En este caso, aplicando el algoritmo de división para y

, existen tales que , con | |, al dividir entre se tiene que

, en consecuencia toda fracción impropia puede verse como una parte entera

más una fracción propia, llamada fracción mixta, cuando se tiene la expresión mixta

. En ocasiones, esta se expresa como

.

Inversamente, para convertir una fracción mixta a una fracción impropia, el numerador se

forma multiplicando la parte entera por el denominador y se le suma su numerador; el

denominador es el mismo.

Observa algunos ejemplos de conversiones de impropia a mixta:

ya que 5

27 136

135

1

ya que

3

24 346

243

103


ya que 8

425 2453 3400 53

Observa algunos ejemplos de conversiones de mixta a impropia:

ya que .

ya que .

ya que .

Equivalencia de fracciones

Primero se comenzará con la equivalencia de fracciones. Esta definición es importante, ya

que no existe una única manera de representar una fracción, por ejemplo, si se toma la

“ q ”

figura:

Se dice que

es equivalente a

si y solo si , lo anterior se denotar por

.

En el ejemplo antes mencionado se tiene que

ya que .

Como consecuencia de lo anterior, toda fracción es equivalente a una fracción que tiene

la propiedad que el máximo común divisor entre el numerador y el denominador es ,

cuando se tiene esta expresión se dice que la fracción está en su mínima expresión.

Para obtener la mínima expresión de una fracción, basta encontrar los divisores comunes

entre el numerador y el denominador, para después cancelarlos y así obtener una fracción

equivalente simplificada. Por ejemplo:


.

.

.

.

Suma de fracciones

Ahora, toca el turno de definir la operación de suma de fracciones. Esto se realizará en

dos casos:

i. Fracciones de igual denominador: Aquí solo se suman los numeradores y se le

pone el mismo denominador. Por ejemplo:

.

.

ii. Fracciones de distinto denominador: En este caso primero hay que llevar

ambas fracciones a un denominador común y, de ahí, aplicar el caso anterior. Para

encontrar el denominado común, se hará uso del mínimo común múltiplo entre los

denominadores de las fracciones dadas. Por ejemplo:

.


Resta de fracciones

Análogamente al caso de la suma, la resta se realiza en dos casos:

i. Fracciones de igual denominador: En este caso solo se restan los numeradores

y se le pone el mismo denominador. Por ejemplo:

ii. Fracciones de distinto denominador: En este caso primero hay que llevar

ambas fracciones a un denominador común y, de ahí, aplicar el caso anterior. Por

ejemplo:

Multiplicación de fracciones

De las operaciones de fracciones, la multiplicación o producto es la más sencilla de todas.

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican numerador por numerador y denominador

por denominador. En símbolos, dadas dos fracciones

se tiene que

.

Por ejemplo:


División de fracciones

Antes de definir la división de fracciones, hay que observar que el elemento tiene la

siguiente propiedad:

Así, el y el producto se comportan en de forma análoga como el y la suma en .

Además, dada una fracción no nula

, la fracción

tiene la siguiente propiedad:

La fracción

toma el nombre de inversa de

y se denota por (

)

. Lo anterior permite

definir la división de fracciones del siguiente modo: Dadas dos fracciones

con

se tiene que:

(

)

Observa algunos ejemplos de división de fracciones:


Actividad 5. Números racionales


correcta.

1. ¿Qué fracción es equivalente a

?

a.

b.

c.

d.

2. ¿Cuál es la mínima expresión de la fracción

?

a.

b.

c.

d.

3. ¿Cuál es el resultado simplificado de

?

a.

b.

c.

d.

4. l el resultado simplificado de

?

a.

b.

c.

d.


5. ¿Cuál el resultado simplificado de

?

a.

b.

c.

d.


?

a.

b.

c.

d.


?

a.

b.

c.

d.


?

a.

b.

c.

d.



?

a.

b.

c.

d.

10. ¿Cuál el resultado simplificado de

?

a.

b.

c.

d.


Actividad 6. Operaciones aritméticas


correcta.

1. Calcula la siguiente operación: .

a. . b. .

c. . d. .

2. Calcula la siguiente operación: .

a. 288. b. 243. c. 256. d. 229.

3. ¿Cuál es la descomposición en factores primos del número 812?

a. b. c. d.

4. lcula el máximo común divisor de .

a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.



a. b. c. d.


a. b. c. d.

9. En una pollería se tienen piernas, patas y alas. Se desean hacer paquetes que contengan el máximo número de cada pieza, ¿cuántos paquetes se pueden formar? y ¿cuántas piezas contiene cada uno? a. paquetes con piernas, patas y alas.

b. paquetes con piernas, patas y alas. c. paquetes con piernas, patas y alas.

d. paquetes con piernas, patas y alas.

10. Una papelería vende paquetes de tarjetas de y piezas. Si el propietario quiere vender paquetes con el mismo número de tarjetas en cada uno, ¿cuál es el número mínimo paquetes que tiene que comprar?

a. paquetes de y paquetes de .

b. paquetes de y paquetes de . c. paquetes de y paquetes de .

d. paquetes de y paquetes de .

11. Hallar el numerador de la fracción equivalente a

, que tenga denominador

a. b. c. d.


12. ¿Cuál es la mínima expresión de la fracción

?

a.

b.

c.

d.

13. Es el resultado simplificado de

:

a.

b.

c.

d.


:

a.

b.

c.

d.


:

a.

b.

c.

d.



:

a.

b.

c.

d.


:

a.

b.

c.

d.


:

a.

b.

c.

d.


:

a.

b.

c.

d.



:

a.

b.

c.

d.


4.3. Álgebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las cantidades consideradas del

modo más generalmente posible. Este estudio tiene sus orígenes en las antiguas

civilizaciones, como lo son la egipcia y la mesopotámica. En la aritmética, las cantidades

son representadas por números, valores determinados fijos, por ejemplo, el símbolo

“ ”. D q

valor hay que utilizar otros símbolos distintos a . Si embargo, en el álgebra, el uso de

las letras generalizan a las cantidades presentadas en aritmética, por ejemplo, se puede

utilizar el símbolo para denotar un número cualquiera, en particular, puede toma el

valor de .


En esta sección se estudiarán los conceptos fundamentales del álgebra. Se iniciará con la

presentación de la manera de expresar cantidades, conocidas o no, a través de los

siguientes objetos:

1. Números: Estos son los números utilizados en la aritmética y representan

cantidades bien determinadas. Por ejemplo, “ ” “ ” . Como

viste anteriormente, en los números existen dos operaciones: la suma y el

producto, que son asociativas y conmutativas, y poseen elementos neutros,

que son y respectivamente. Además, cada número tiene un inverso aditivo y

cualquier número distinto de tiene un inverso multiplicativo. La existencia de

los inversos induce las operaciones de resta y división respectivamente. Por

último, ambas operaciones se relacionan a través de la propiedad distributiva.

2. Letras o literales: Son empleadas para representar la generalización de una

cantidad que no se conozca o no esté bien determinada. En consecuencia, las

literales satisfacen todas las propiedades operacionales que satisfagan los

números. Un ejemplo de cómo introducir una literal es el siguiente: decir “ á

ñ ” q expresar “ á tiene

ñ ” q í representa una cantidad que no se puede determinar con la

información dada.

Los signos empleados para relacionar los números y las letras son de tres tipos:

1. Operaciones: Aquí se emplean los signos usuales de la aritmética. Para la suma

(adición), resta, producto (multiplicación) y división se emplean los símbolos , ,

y respectivamente. En consecuencia, se tienen los siguientes convenios:


a. La expresión “ más ”. C

conmutativa, se tiene que .

b. La expresión “ menos ”.

c. Las expresiones ó ó “ multiplicado por

”. C se tiene que .

En los casos particulares en que uno de los factores sea un número y el

otro una literal o que todos los elementos del producto sean literales, se

omite el símbolo de la operación de multiplicación, por ejemplo,

se escribe .

d. Las expresiones ó

ó “ dividido entre ”.

e. En el producto de dos expresiones algebraicas, un factor es llamado el

coeficiente del otro factor. Por ejemplo, en la expresión , el número

es el coeficiente de . Cuando los coeficientes son números naturales,

indican las veces en que una expresión se suma consigo misma,

considerando el ejemplo anterior es equivalente a . En

particular, cuando el coeficiente es este es omitido, por ejemplo,

se escribe . A partir de como interactúan los números con las literales,

las expresiones algebraicas tienen dos sentido, uno positivo y otro

negativo, el primero se obtiene cuando el coeficiente numérico es positivo y

el segundo cuando es negativo. Finalmente, cuando el coeficiente es ,

toda la expresión es , por ejemplo, .

f. El exponente: Al igual que en aritmética, es un número entero positivo

pequeño colocado en la parte superior derecha que indica las veces que

una expresión, llamada base, se multiplica por sí misma. Por ejemplo,

significa , aquí la base es y el exponente, . En el caso

particular en que el exponente de una expresión sea , este se omite, por

ejemplo, es igual a .

2. Relaciones: Estos son utilizados para establecer relaciones entre expresiones

algebraicas. Por ejemplo, en la igualdad de expresiones algebraicas como en las

expresiones numéricas, se utiliza el símbolo . Así, la expresión “

es igual a ”.

3. Agrupaciones: Este tipo de símbolos son utilizados cuando se tienen operaciones

de tipo binario, como la suma y el producto, para poder operar más de dos

elementos o combinaciones de operaciones. Los signos de agrupación más


comunes son los parénte “ ” h “ ”. D q

de suma y producto son asociativas cuando se tengan solo sumas o productos, los

signos se omiten, por ejemplo, y

. Sin embargo, en la expresión no pueden omitirse los

paréntesis. Cabe mencionar que cada signo de agrupación de apertura “ ”, se

debe cerrar “ ”, así la expresión y la expresión son incorrectas,

lo adecuado es .

Una expresión algebraica en un arreglo de números, literales y símbolos algebraicos

que respetan los convenios antes mencionados. Por ejemplo:

.

.

.

En particular, un término algebraico o, simplemente, un término es una expresión

algebraica que no tiene los símbolos ó separando objetos, es decir, un término

consta de:

1. Un coeficiente formado por un signo y un número. Por convenio, si el término es

positivo el símbolo se omite.

2. Literales.

3. Exponentes de las literales.

Usualmente cuando las literales de los términos algebraicos se toman de algún alfabeto,

las literales conservan el orden del alfabeto de donde fueron tomadas, así, la expresión

se presenta como ya que en el alfabeto español la letra se presenta

antes que la letra , cabe mencionar que esto es un convenio, la propiedad conmutativa

del producto dice que ambos términos son el mismo. Esto es una manera de tener un

“ ” algebraicos.


El grado de un término es la suma de los exponentes de las literales que aparecen en

dicho término. Así, el término es de grado , el término es de grado .

Por convenio, una constante numérica tiene grado . En ocasiones, es conveniente ver el

grado de un término con respecto a una literal, en este caso el grado es el exponente de

dicha literal y se menciona el grado con respecto a la literal. Por ejemplo, el término

es de grado con respecto a , de grado con respecto a y de grado

con respecto a .

Las expresiones algebraicas se clasifican a partir del número de términos que la formen, así

se tiene lo siguiente:

1. Monomios: Son aquellas expresiones que tienen uno y solo un término algebraico.

Por ejemplo:

a.

b.

2. Polinomios: Son aquellas expresiones que tienen más de un término algebraico. En

particular se tiene los siguientes:

a. Binomios: Son aquellas expresiones que tienen dos términos. Por ejemplo:

i.

ii.

b. Trinomios: Son aquellas expresiones que tienen tres términos. Por ejemplo:

i.

ii.

c. Como ejemplo de polinomios se tiene lo siguientes:

i. .

ii. .

iii. .

iv. .

Un polinomio ordenado con respecto a una literal, es un polinomio en el cual los

exponentes de la literal escogida aparecen ordenados. Se dice que el polinomio está

ordenado de manera ascendente si el orden es ascendente, de manera similar se dice

que el polinomio está ordenado de manera descendente si el orden es descendente. Por

ejemplo:

Polinomio descendente: y son

ordenados en forma descendente con respecto a la letra


Polinomio ascendente: y son

polinomios en ascendente con respecto a la letra .

Dos términos son semejantes si y solo si difieren en sus coeficientes, es decir, sus

literales junto con sus potencias se conservan. Por ejemplo:

Los términos , y

son semejantes, ya que en las tres

expresiones aparecen las literales .

Los términos y no son semejantes, ya que a pesar de que

aparecen las literales y sus potencias no se conservan.

Por último, el lenguaje algebraico se encarga de tomar expresiones del lenguaje

cotidiano que involucren las operaciones algebraicas y expresarlas en términos de objetos

algebraicos. Esta es una de las aplicaciones más importantes del álgebra, ya que permite

traducir un problema cotidiano al lenguaje de las matemáticas, por ejemplo, si se tienen

ganancias y pérdidas, estas se traducen en sumas y resta. Observa el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Mis padres cumplen con las siguientes condiciones:

a. El doble de la edad de mi papá es .

b. La quinta parte de la edad de mi mamá es .

c. Mi papá tiene años más que mi mamá.

d. La edad de mi papá sumada con la de mi mamá es .

e. Dentro de años mi papá tendrá el doble de la edad que mi madre tiene ahora.

Solución: Primero hay que observar que se tienen dos cantidades: la edad de mi papá y

la de mi mamá, observa que dichas cantidades no se conocen, en consecuencia se

denotan con un par de literales. Sean y la edad de mi papá y de mi mamá

respectivamente.

a. Cuando se habla del doble de un cantidad, matemáticamente es multiplicar por .

Después “el doble de la edad de mi papá es ” se traduce a .

b. Cuando se habla de la quinta parte de una cantidad, matemáticamente es dividir

entre . Después, “la quinta parte de la edad de mi mamá es ”

.

c. Cuando se mencionan excesos y discrepancias, matemáticamente se suma y

resta. L “mi papá tiene años má q á” .

d. Análogamente, “L á á ”

se traduce en .

e. F “dentro de ñ á á” “

q h ” , por lo tanto, la oración completa se

traduce en .


Actividad 7. Conceptos básicos


correcta.

1. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: Por tortas y refrescos pagué

.

a. . b. .

c. . d. .

2. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: El costo de tres sombreros y cuatro trajes es .

a. b. c. d.

3. Diofanto fue un gran matemático cuyo epitafio es el siguiente:

“¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números

pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta

parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además

una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.

A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un

matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo

dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y

su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que

su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura

con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.

Dime, caminante, ¿cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la

muerte?”

La expresión algebraica del epitafio de Diofanto es:

a.

b.

c.

d.


4. Ordena de manera descendente con respecto a , el polinomio .

a. b. c. d.

5. Ordena de manera descendente con respecto a el polinomio .

a. b. c. d.


4.3.2. Operaciones con expresiones algebraicas

En esta sección se estudiará cómo se suman, restan, multiplican y dividen polinomios.

Estas operaciones dependen en buena medida de los coeficientes de los términos que

formen los polinomios en cuestión.

Números reales

Como se ha visto existen distintas clases de números, por consiguiente, antes de

comenzar a definir la operaciones con polinomios, se enunciarán las propiedades que

tienen las operaciones de suma y multiplicación de los números con los que se trabajará,

dicho conjunto toma el nombre de números reales, que se denotan con el símbolo ℝ,

esto es muy importante ya que son las reglas que debes seguir de aquí en adelante. Para

enunciar las propiedades de las operaciones y , sean , y tres números reales

cualesquiera, entonces:

(i) es asociativa:

(ii) es conmutativa: .

(iii) Existe ℝ tal que .

(iv) Dado ℝ, existe ℝ tal que .

(v) es asociativa: .

(vi) es conmutativa: .

(vii) Existe ℝ tal que .

(viii) Dado ℝ , existe ℝ tal que .

(ix) se distribuye con respecto a la operación : .

Como ya se dijo anteriormente, estas propiedades son muy importantes porque son las

reglas que de ahora en adelante deberás aplicar cuando requieras operar con

expresiones algebraicas.

Suma de polinomios

Para entender un poco la suma de polinomios, considera que personas van al mercado

y compran frutas: la primera compra manzanas; la segunda, manzanas; y la tercera,

peras. Si las primeras juntan lo que compraron en total tienen manzanas, pero si

las dos segundas juntan sus productos, en total tienen manzanas más peras. Es fácil

observar que la primera operación que se realizó es la suma , ya que se tienen

objetos de la misma naturaleza (semejantes), en el otro caso, no se puede realizar la

operación, ya que lo objetos son de naturaleza distinta (no semejantes) y lo más que se

puede hacer es expresar dicha operación: manzanas peras.

Lo anterior se puede traducir en términos algebraicos: los objetos de la misma naturaleza

son los términos semejantes, recuerda que dos términos son semejantes si difieren solo


en sus coeficientes. Para sumar o reducir términos semejantes, se suman los

coeficientes y las literales se quedan invariantes. Como caso particular, si dos

términos semejantes difieren solo en su signo, su suma es cero. Cabe mencionar que la

suma de términos semejantes es garantizada por la propiedad distributiva. Observa

algunos ejemplos:

.

.

(

)

.

.

(

)

.

(

)

.

Ahora toca el turno de los términos que no son semejantes: Para sumar dos términos

no semejantes, solo se representa la suma “formal” de los términos, por ejemplo:

.

.

.

.

.

Has visto como se suman términos semejantes y no semejantes, en consecuencia, la

regla para sumar polinomios es la siguiente: Se escribe un polinomio a continuación

de otro y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: Sumar con .

Solución: Se realiza la operación:

Por la regla antes enunciada se tiene:

⏟ P

⏟


Después, hay que identificar los términos semejantes:

Luego, reduciendo los términos semejantes:

Por lo tanto:

.

que es la respuesta buscada.

Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios:

Solución: Se desea calcular:

(

) (

)

Por la regla, antes enunciada se tiene que:

⏟ P

⏟

⏟



reduciendo los términos semejantes:


Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios:

Solución: Se quiere realizar:

Por la regla antes enunciada:

⏟

⏟

⏟

Dado que no existen términos semejantes en la expresión anterior se obtiene:


Resta de polinomios

De las propiedades de la suma de números reales la propiedad del elemento neutro dice

que existe un elemento llamado cero que, sumado a un número real, da como resultado el

mismo número y la propiedad del inverso aditivo dice que dado cualquier número real

existe otro número que al ser sumados da como resultado cero. La importancia de estas

dos propiedades es que permite definir la operación de resta del siguiente modo:

nota que esta definición es análoga a la definición de resta presentada en los

números enteros.

Observa que dado un número real y considerando que se tiene que

,

lo que implica que . Como has visto, una literal representa un número cualquiera,

por lo antes mencionado un término algebraico que tenga coeficiente cero es igual a cero.

Por consiguiente, el polinomio cero, denotado de igual manera por es el polinomio que

tiene todos sus coeficientes iguales a cero. Después, dado un polinomio, este se anula si

se le suma el polinomio que tiene los mismos términos, pero con signos contrarios. Por

ejemplo, el polinomio es anulado por el polinomio .


Para la operación de resta de polinomios, primero hay que identificar el minuendo (que

es el polinomio al que se le resta) y el sustraendo (que es el polinomio que resta). Por lo

tanto, la regla para restar polinomios es la siguiente: Se toma el minuendo y se le suma

el sustraendo con sus signos contrarios.

Ejemplo: De restar .

Solución: Observa que es el minuendo y

es el sustraendo. Así, se desea realizar la operación:

( ⏟

) ( ⏟

)

Por la regla antes enunciada se tiene que:


Después, reduciendo los términos semejantes:

Por lo tanto:


Ejemplo: Restar el polinomio

del polinomio

.

Solución: Observa que la operación a realizar es la siguiente:

(

⏟

) (

⏟

)


Por la regla antes enunciada, se tiene que:

(

) (

)

Después, reduciendo los términos semejantes:


Exponentes y radicales

Recuerda que un exponente entero positivo o potencia cuenta las veces que una

cantidad no nula, llamada base se multiplica por sí misma, es decir, si es la base y

el exponente o potencia, se tiene que:

⏟

Como consecuencia inmediata de la definición anterior, dados y dos números reales

cualesquiera se cumple:

⏟

⏟

⏟

Además, para dos números enteros positivos y :

⏟

⏟

⏟

Finalmente, también se cumple lo siguiente:

⏟

⏟

La relación dice que multiplicar potencias de la misma base es

equivalente a sumar sus exponentes. Esto permite relacionar las operaciones de división

y resta con los exponentes a través de las siguientes definiciones:


Esta es la manera de extender el concepto de exponente, de un número entero positivo a

un número entero cualquiera. A partir de la definición anterior, se obtiene que para y

dos números reales, con , entonces:

(

)

⏟

⏟

⏟

en particular, tomando :

(

)

Después, se tiene:

Como has visto, lo inverso a sumar es restar y lo inverso a multiplicar es dividir, ahora

toca el turno de definir lo inverso a una potencia, que toma el nombre de raíz. Sean y

dos números reales positivos y un número entero. Se dice que es la raíz

-ésima de si y solo si es la potencia de . En símbolos: √

si y solo si

.

Observa que sustituyendo tiene √

, análogamente sustituyendo , se obtiene

√ Esta definición permite extender el concepto de exponente entero a exponente

fraccionario, ya que si se parte del hecho que √

implica que (√

)

después , así

y , por lo tanto, √

. Además

se cumple que √

√

√

. Finalmente

√

√

.


Las leyes anteriores han sido enunciadas para números reales, pero también son validas

para literales. En resumen, las leyes de los exponentes y los radicales son las siguientes:

Observa ejemplos de cómo se emplean las leyes de exponentes y radicales:

.

.

.

.

.

.

√

√

√ .

√

√

√ √

√ .

√

√

√ .

√

√ .


Multiplicación de polinomios

El concepto de multiplicación de polinomios requiere combinar las leyes de los

exponentes con la propiedad distributiva. Para este estudio se presentará la multiplicación

en tres casos:

1. Monomio por monomio: Para multiplicar dos monomios, primero se multiplicas

sus coeficientes, después se multiplican sus literales. Esto equivale a colocar

todas las letras, de preferencia en orden alfabético y, por último, aplicar las leyes

de exponentes.

Ejemplo: Multiplicar con .

Solución: Realizando los pasos indicados:

Por lo tanto se tiene que .

De manera similar, se obtienen los siguientes productos:

2. Monomio por polinomio: Para llevar a cabo esta operación hay que recordar que

un polinomio es una suma de términos, por consiguiente, este caso se obtiene a

través de la propiedad distributiva, por lo tanto, un monomio por un polinomio es el

polinomio que se forma de la suma de multiplicar el monomio por cada término del

polinomio.



Solución: Para mayor comodidad es conveniente presentar el producto de la

misma forma en que se multiplican los números (multiplicación larga):

El resto es aplicar la propiedad distributiva y la multiplicación de monomios del

siguiente modo: primero se toma, de derecha a izquierda, el primer elemento del

polinomio y, después, se multiplica por el monomio, lo que da como resultado

A continuación, se realiza el mismo procedimiento para el segundo término del

polinomio como se muestra a continuación:

Finalmente, se lleva a cabo la misma acción con el tercer término del polinomio:

El resultado final es:

Los siguientes ejemplos se obtienen de la misma manera:


3. Polinomio por polinomio: Este caso al igual que el anterior se hace uso de la

propiedad distributiva, considera que el segundo polinomio es un solo término, el

producto de él se distribuye con los términos del primer polinomio, así, se tiene la

suma de los monomios que multiplican al segundo polinomio, enseguida se aplica

el caso anterior, a cada uno de los sumandos, y se realiza la suma de los

polinomios que se vayan formando. Lo anterior suena un poco complicado, pero

no lo es, se pide que el primer término del primer polinomio se multiplique por

todos los elementos del segundo, a este polinomio se le suma el producto del

segundo término del primero con el segundo polinomio, y así sucesivamente hasta

terminar con todas los términos que componen el primer polinomio y, finalmente,

se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: Multiplicar con

Solución: Como en el caso anterior, primero se acomodan los polinomios del

siguiente modo:

Se inicia tomando, de derecha a izquierda, el primer elemento del polinomio que

se tenga en la parte inferior, como en el caso anterior se multiplica por el polinomio

que esté en la parte superior:

Después, se realiza el mismo procedimiento con el segundo término del polinomio

inferior, cabe mencionar que al final se debe realizar una suma, por tal motivo se

puede aprovechar el arreglo para agrupar los términos semejantes y agilizar su

reducción:


Finalmente, se suman los resultados previos:

Por lo tanto, es el polinomio:

– –


Solución: Realizando el algoritmo anterior se obtiene lo siguiente:

Por lo tanto, el resultado buscado es .

División de polinomios

La división de polinomios se presenta como la operación inversa del producto, de forma

análoga al tema anterior, estudiarás la división en los siguientes casos: monomio entre

monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio.

1. Monomio entre monomio: Este caso es parecido al producto de monomios,

primero se identifican el dividendo y el divisor, después se dividen los signos, los

coeficientes y las literales. Para dividir los signos, se utiliza la siguiente tabla:


Ejemplo: Dividir entre .


Por lo tanto, se tiene:

Los siguientes ejemplos se obtienen de manera similar:

2. Polinomio entre monomio: Recuerda que la propiedad distributiva dice que el

producto se distribuye con respecto a la suma, además la división se deriva del

producto, en consecuencia, la división se distribuye con respecto a la suma. Por lo

tanto, dividir un polinomio entre un monomio es igual a la suma de los términos del

polinomios divididos entre el monomio.

Ejemplo: Calcula .


Por lo tanto,


Los siguientes ejemplos se obtienen de manera similar:

3. Polinomio entre polinomio: E á ó “ ”

“ ó ” que se realiza en tres pasos: en el primero divide, en

el segundo se multiplica y finalmente se resta. Las operaciones anteriores se

realizan sin importar cómo se presenten las expresiones a operar, en el caso de la

división, el orden es esencial, para ello se ordenan de manera descendente

ambos polinomios con respecto a una literal fija. Si el grado del divisor es mayor

que el grado del dividendo, no hay nada que realizar, ya que el cociente es igual al

polinomio cero y el residuo es igual al dividendo.

En caso contrario, se dibuja “ ” de la cual se coloca al dividendo y

el divisor queda fuera de esta. Si algún término del dividendo o el divisor no

aparece, es conveniente dejar un espacio para cuestiones operativas. Esta

operación se lleva a cabo en tres pasos: en el primero, se comienza de izquierda a

derecha dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del

divisor, el resultado se coloca “ ”. En el segundo paso este elemento

multiplica al divisor y en el tercer paso, el resultado se le resta al dividendo, lo cual

genera un polinomio de menor grado, recuerda que los polinomios están

ordenados descendentemente. Si el polinomio generado tiene menor grado que el

grado del divisor, el proceso termina; en caso contrario, se aplican los tres pasos al

polinomio generado y al divisor, generando otro de menor grado, y así

sucesivamente hasta terminar con un polinomio de menor grado que el divisor con

respecto a la literal elegida.

Para comprobar que se realizó adecuadamente la división, hay que

multiplicar el divisor por el cociente, el polinomio que resulte se suma al

residuo y el resultado tiene que ser igual al dividendo.



Solución: Observa que los polinomios ya están ordenados descendentemente con

respecto a , además el grado del dividendo es mayor o igual al grado del divisor. El

“ ” :

Primer paso: El primer término del dividendo, que es , es dividido entre el primer

término del divisor, que es , lo que da como resultado que se coloca en la parte

superior “ ”:

En el segundo paso, el término multiplica al divisor que da como resultado

. En el tercer paso, el polinomio se le resta al dividendo

, recuerda que el polinomio que resta debe cambiar sus signos, así el

q h q “ ” , notarás que el término de

mayor grado se anula al realizar la reducción, en consecuencia, queda el polinomio de

menor grado . E “ ” :

Dado que el grado del polinomio es y el grado del polinomio divisor

es , el procedimiento continúa. Ahora se aplica el proceso a los polinomios

y , tomando el primer término entre da como resultado ,

este es el segundo término de la división, como se ve en la siguiente figura:


Se multiplica el término por para obtener , cambiándole los signos se

llega . Este polinomio se suma al polinomio , dando como

resultado , dichas operaciones se ubican de la siguiente manera:

Como los polinomios y tienen el mismo grado, el proceso continúa, así,

entre es igual a

, que se ubica del modo siguiente:

Se multiplica

por para obtener y cambiándole los signos da

, al realizar la reducción el resultado es , como el grado de es menor que el grado

, el proceso termina.


En resumen, al dividir el polinomio entre el cociente es

y el residuo es . La operación queda de la siguiente forma:

Finalmente, la comprobación de dicha operación es la siguiente:

(

)

por lo tanto, la operación es correcta.


Solución: Observa que los polinomios están ordenados en forma descendente con

respecto a y el grado del dividendo es mayor que el grado del divisor, realizando el

proceso de división se tiene lo siguiente:

La comprobación es la siguiente:

.

Por lo tanto, la operación es correcta.


Actividad 8. Operaciones con expresiones algebraicas


correcta.

1. Reduce los siguientes términos semejantes:

, ,

a.

b.

c.

d.

2. Reduce los siguientes términos semejantes:

,

,

a. –

b.

c.

d.

3. Suma los siguientes polinomios: , ,

a. b. c. d.

4. Suma los siguientes polinomios:

a. b. c. d.

5. Resta , de .

a. b. c. d.


6. Resta y, de .

a. b. c. d.

7. Multiplica los polinomios .

a. b. c. d. .


a. .

b.

c.

d.

9. Calcula el cociente y el residuo de dividir , entre .

a. Cociente: residuo: b. Cociente: residuo: . c. Cociente: , residuo: .

d. Cociente: , residuo: .


a. Cociente: , residuo: .

b. Cociente: , residuo: . c. Cociente: , residuo: .

d. Cociente: , residuo: .


4.3.3. Productos notables

En la sección anterior estudiaste la operación de multiplicación de monomios y

polinomios, en este tema estudiarás algunos casos particulares del producto, como el

cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados y el producto de binomios

con un término común. El objetivo fundamental de este tema es que conozcas como

realizar de manera rápida tales operaciones.

Cuadrado de un binomio

Dado el binomio , su cuadrado es:

Por lo tanto, el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más

el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del

segundo término. De manera gráfica se tiene lo siguiente:

Observa algunos ejemplos:

Ejemplo: Calcular .

Solución: Se tiene que el primer término es y el segundo es . Siguiendo la regla

anterior:

El cuadrado del primero es .

El doble producto del primero por el segundo es .

El cuadrado del segundo es .

Por lo tanto .


Ejemplo: Calcular (

)

.

Solución: Se tiene que el primer término es

y el segundo es . Siguiendo la regla

anterior:

El cuadrado del primero es (

)

(

)

.

El doble producto del primero por el segundo es (

) .

El cuadrado del segundo es .

Por lo tanto (

)

.

Los siguientes ejercicios se resuelven de la misma manera:

Productos de binomios conjugados

Se comienza este tema con la definición: un par de binomios conjugados son aquellos

que son la suma y la diferencia de dos términos fijos, es decir, un término no cambia y

el otro solo difiere en el signo, en consecuencia, tienen la forma y . Tomando el

producto de ellos, se tiene:

Por lo tanto, el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los

cuadrados de los términos que forman los binomios, donde el elemento que resta

es el cuadrado del término que difiere de signos en los binomios conjugados.

Gráficamente se tiene:


Ejemplo: Calcular

Solución: El término que no cambia es y su cuadrado es , el término que cambia

de signos es y su cuadrado es ; la diferencia de cuadrados es , por lo

tanto .

Ejemplo: Calcular .

Solución: El término que no cambia es y su cuadrado es , el término que

cambia de signos es y su cuadrado es ; la diferencia de cuadrados es ,

por lo tanto .


Productos de binomios con un término en común

De manera similar al caso anterior, se define que dos binomios tienen un término en

común si solo difieren en un término, dichos binomios son de la forma y ,

por lo tanto, su producto es el siguiente:

Por lo tanto, el producto de dos binomios con un término común es igual al

cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicada

por el término común más el producto de los términos no comunes. Gráficamente se

tiene:


Ejemplo: Calcular .

Solución: El término común es y su cuadrado es . Los términos no comunes son

y cuya suma es , multiplicando esta suma por el término

común da como resultado , finalmente, el producto de los términos

no comunes es , por lo tanto,

.

Ejemplo: Calcular .

Solución: El término común es y su cuadrado es . Los términos no comunes son

y cuya suma es , multiplicando esta suma por el término común

da como resultado , finalmente, el producto de los términos no comunes

es , por lo tanto .



Actividad 9. Productos notables


correcta.

1. Calcula .

a. b. c. d.

2. Calcula .

a. b. c. d.

3. Calcula .

a. b. c. d.

4. Calcula .

a. b. c. d. .

5. Calcula .

a. b. c. d.


6. Calcula .

a.

b.

c.

d.

7. Calcula .

a.

b.

c.

d.

Calcula .

a.

b.

c.

d.

8. Calcula .

a.

b.

c.

d.

9. Calcula

a. b. c. d.


4.3.4. Factorización

En esta sección se realizará el proceso inverso a lo presentado en la sección anterior, es

decir, dado un polinomio, con alguna forma específica, este se expresa como producto de

otros polinomios, los componentes de ese producto toman el nombre de factores. Aquí

estudiarás cómo factorizar un polinomio con términos comunes, un trinomio cuadrado

perfecto, una diferencia de cuadrados y algunos trinomios en particular.

Polinomio con factores comunes

Estos polinomios son aquellos cuyos términos tienen al menos una literal en común. Uno

de los factores se obtiene calculando el máximo común divisor de sus coeficientes; las

literales que acompañan a este número, son las literales comunes que aparecen elevadas

a la mínima potencia que tienen dichas literales. Este coeficiente y estas literales forman

el factor común, el otro factor se obtiene dividiendo el polinomio entre el término común.

Ejemplo: Factorizar el polinomio .

Solución: El polinomio tiene como literales comunes a y .

El coeficiente del término común es , las literales del término común son

y ya que son las potencias de menor grado que aparecen en el polinomio

. Así, el término común es .

Dividiendo entre da como resultado , por lo tanto,


Ejemplo: Factorizar el polinomio .

Solución: El polinomio tiene como literales comunes a y

. El coeficiente del término común es , las literales del término común

son y . Así, el término común es . Dividiendo entre

da como resultado , por lo tanto,

Los siguientes polinomios se factorizan de manera similar a los ejemplos anteriores:

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, en

consecuencia, todo trinomio cuadrado perfecto tiene la forma , es decir, hay

dos términos que son cuadrados perfectos y el tercer término es el doble del producto de

las raíces cuadradas de esos términos. Para su factorización, se calculan las raíces

cuadradas de los cuadrados perfectos, se colocan dentro de un paréntesis, se

separan con el signo del doble producto y se expresan como cuadrado.

Ejemplo: Factorizar el trinomio .

Solución: Primero hay que observar que y son los cuadrados de y

respectivamente; además multiplicando por el producto de y se obtiene que

es el tercer elemento del trinomio, en consecuencia, hay un trinomio cuadrado perfecto.

Realizando los pasos indicados para su factorización se obtiene lo siguiente:

por lo tanto, .


Ejemplo: Factorizar el trinomio .

Solución: Observa que y son los cuadrados de y respectivamente,

además , es decir, hay un trinomio cuadrado perfecto. Realizando

los pasos indicados para su factorización, se obtiene lo siguiente:

por lo tanto, .

Los siguientes polinomios se factorizan de la misma manera:

Diferencia de cuadrados

Hay que recordar que el producto de dos binomios conjugados da como resultado una

diferencia de cuadrados, así, la factorización de una diferencia de cuadrados es un

producto de binomios conjugados, que se forman de las raíces cuadradas de los

términos, donde el término que cambia de signo es la raíz cuadrada del término que

resta.

Ejemplo: Factorizar .

Solución: Observa que y tienen raíces cuadras iguales a y

respectivamente. El cuadrado que resta es por lo tanto

.

Ejemplo: Factorizar

.

Solución: Las raíces cuadradas de y

son y

respectivamente. El

cuadrado que resta es

por lo tanto

(

) (

).


Las siguientes factorizaciones se obtienen de manera similar:

Trinomio de la forma

Este caso, se obtiene de multiplicar dos binomios que tienen un término común.

Considera los binomios y , realizando el producto de ellos se tiene que:

En consecuencia, para factorizar un trinomio de la forma hay que

encontrar un par de números que sumados sean iguales a y multiplicados sean

iguales a . Cabe mencionar que existen polinomios de la forma anterior que no tienen

factorización en productos de polinomios con coeficientes reales.


Solución: Para factorizar el polinomio anterior, hay que encontrar un par de números que

sumados sean igual a y multiplicados sean igual a . Tales números son y , por lo

tanto .


Solución: Para factorizar el polinomio anterior, hay que encontrar un par de números y

que sumados sean igual a y multiplicados sean igual a . Se tiene que

, de lo anterior , y toman los posibles valores:

Se tiene que y , por lo tanto .


Los siguientes polinomios se factorizan de manera análoga:


Actividad 10. Factorización


correcta.

1. Factoriza el polinomio:

a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.



a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


Actividad 11. Conceptos básicos y operaciones algebraicas


correcta.

1. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: Dos números consecutivos tales

que el cuadrado del mayor excede en al triple del menor.

a. b. c. d. .

2. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: Mis canicas más la mitad mis

canicas más tu canica suman .

a.

b.

c.

d.

3. Ordena de manera descendente con respecto a el polinomio .

a. b. c. d.

4. ¿Cuál es el grado del término

?

a. b. c. d.

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un trinomio?

a. b. c. d.


6. Reduce los siguientes términos semejantes: ,

,

a.

b.

c.

d.

7. Suma los siguientes polinomios:

a. b. c. d.

8. Resta , de . a. b. c. d.


e. f. g. h.


a. Cociente: , residuo: . b. Cociente: , residuo: .

c. Cociente: , residuo: . d. Cociente: , residuo: .

11. Calcula .

a. b. c. d.


12. Calcula .

a. b. c. d. .

13. Calcula .

a. b. c. d.

14. Calcula

a. b. c. d.

15. Calcula .

a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.



a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


4.3.5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Esta sección comienza con el siguiente concepto: una ecuación es una igualdad entre

objetos donde aparecen cantidades desconocidas, llamadas incógnitas o

indeterminadas. Como consecuencia, resolver una ecuación es encontrar cantidades

que al ser sustituidas en la ecuación original satisfagan la igualdad.

En este tema solo se estudiarán ecuaciones con una incógnita. El grado de una ecuación

es la mayor potencia que tiene la incógnita. En particular, las ecuaciones de primer grado

son las que tiene grado uno y las de segundo grado, las de grado dos. Por ejemplo, la

ecuación es de primer grado y la ecuación es de segundo grado.

En general, una ecuación de primer grado con una incógnita tiene la forma:

ℝ

Cabe destacar que una ecuación de primer grado no siempre se presenta en la forma

anterior, sin embargo, mediante la aplicación de las propiedades de los números reales,

se puede llevar a la forma antes mencionada.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, primero se debe recordar

que lo inverso a sumar es restar y a multiplicar es dividir. Una ecuación puede

representarse gráficamente por una balanza en equilibrio como lo muestra la siguiente

figura:

Para conservar el equilibrio en una balanza, si se agregan o se quitan objetos en un lado

se debe realizar lo mismo del otro lado. En las ecuaciones el comportamiento es similar.

Considera la ecuación gráficamente se tiene la siguiente figura:


Para “q ” y , se debe realizar la operación contraria a la presentada

en la ecuación. Por jerarquía de operaciones, primero se elimina el término que suma y,

posteriormente, el término que multiplica. Recuerda que para anular al elemento hay

que sumarle su inverso aditivo , esto es equivalente a restar el elemento , por

consiguiente, se resta en ambos lados de la igualdad, en símbolos se tiene:

Sumando

Asociatividad

Definición de Resta

Definición del inverso

Definición del cero

De manera informal, lo anterior puede expresarse: Si está sumando, entonces pasa

al otro lado restando y, viceversa, si un elemento está restando, pasa al otro lado

sumando, de esta forma en la balanza se muestra:


Resumiendo lo anterior:

A partir de la ecuación , hay que eliminar el elemento . Para ello, el proceso es

similar al anterior, como entonces, existe tal que . Dado

que el producto es conmutativo, multiplicar por es equivalente a dividir entre , en

consecuencia, se dividen ambos lados de la ecuación entre , en símbolos se tiene:

Multiplicando por

Asociando

Conmutando

Definición de inverso

Definición de división

De manera informal, lo anterior puede expresarse: Un elemento que está multiplicando

pasa al otro lado dividiendo y, viceversa, si un elemento está dividiendo pasa al

otro lado de la igualdad multiplicando. Resumiendo lo anterior, se tiene que:


Ejemplo: Resolver

Solución: Realizando lo antes

mencionado:

Es decir . Para ver si la ecuación fue resuelta correctamente, basta

sustituir el y observar que la igualdad se satisface, como se muestra de la manera

siguiente:

Por lo tanto, es la solución buscada.

Ejemplo: Resolver

.

Solución: Realizando lo antes mencionado se tiene que:

está restando

pasa sumando

está dividiendo

pasa multiplicando

Sustituyendo en

:

está sumando

pasa restando

está multiplicando

pasa dividiendo


Por lo tanto, es la solución buscada.

Ejemplo: Resolver .

Solución: Realizando lo antes mencionado, se tiene que:


suma y resta

pasa restando y pasa sumando

lo que da como resultado una incongruencia, por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

Ejemplo: Resolver .

Solución: Para resolver la ecuación primero hay que realizar

las operaciones indicadas para eliminar los signos de agrupación y, después, proceder

como en los ejemplos anteriores:


Reducción de términos

11 está sumando

11 pasa restando

14 está multiplicando

14 pasa dividiendo

Sustituyendo

en , se tiene:


Por lo tanto,

es la solución buscada.

Ahora se presentan algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una

incógnita.

Ejemplo: El costo de tres empanadas y un refresco es , ¿qué costo tiene cada

empanada si el refresco vale ?

Solución: Sea el costo de cada empanada, en consecuencia, el costo de tres

empanadas es . Si cada refresco vale y el costo total es , entonces, se

tiene la siguiente ecuación: observa que se puede omitir el símbolo de

pesos . Después:

Por lo tanto, cada empanada cuesta .

Ejemplo: Un viajero ha recorrido dos terceras partes de su recorrido, si aún le faltan km,

¿cuál es la longitud total del recorrido del viajero?

Solución: Sea la longitud del recorrido del viajero, entonces la solución al problema lo

proporciona la ecuación

.

En consecuencia:


Por lo tanto, la distancia que recorre el viajero es km.

Ejemplo: Pasó un gavilán y dijo: ¡Adiós mis palomas! Y las palomas contestaron:

Con estas y otras tantas como estas, y la mitad de estas, y la cuarta parte de estas y con

usted señor gavilán, las aves seríamos. ¿Cuántas palomas hay en realidad?

Solución: Sea q . L “ estas y otras tantas

como estas, y la mitad de estas, y la cuarta parte de estas y con usted señor gavilán, las

aves seríamos” :

Resolviendo:

Por lo tanto, hay palomas.


Actividad 12. Ecuaciones de primer grado con una incógnita


correcta.

1. Resuelve .

a. . b. . c. . d. .

2. Resuelve .

a.

.

b.

.

c.

.

d.

.

3. Resuelve

.

a. . b. . c. . d. .

4. Resuelve

.

a. . b. . c. . d. .

5. Resuelve

.

a.

.

b.

.


c.

.

d.

.

6. La suma de dos números es . Si uno es el doble del otro, ¿cuáles son dichos números?

a. . b. . c. . d. .

7. La fórmula

convierte los grados centígrados ( ) en grados

Fahrenheit ( ). Si en este momento un termómetro marca , ¿cuántos grados centígrados se tienen?

a. . b. . c. . d. .

8. Diofanto fue un gran matemático cuyo epitafio es el siguiente: “¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, ¿cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte?”

¿A qué edad murió Diofanto?

a. años.

b. años. c. años.

d. años.


9. La edad de mi papá sumada con la mía es . Si yo tengo la tercera parte de la edad de mi papá, ¿qué edad tenemos cada uno?

a. y años respectivamente. b. y años respectivamente.

c. y años respectivamente. d. y años respectivamente.

10. Se desea cercar un terreno en forma rectangular de área m2. Si un lado mide m, ¿cuántos metros de cerca se necesitan?

a. m. b. m c. m d. m


4.3.6. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto de

dos ecuaciones de dos incógnitas cuyas potencias es uno. Resolver un sistema de esta

naturaleza consiste en encontrar un pareja de números que satisfagan simultáneamente

tales ecuaciones, por tal razón, estos sistemas también toman el nombre de ecuaciones

simultáneas de de grado uno, haciendo mención a que hay dos ecuaciones y dos

incógnitas.

Todo sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:

donde ℝ y son las incógnitas.

Existen cinco métodos para resolver un sistema como el anterior, tres de ellos consisten

en “eliminar” una incógnita, para obtener una ecuación de primer grado con una

incógnita, que se resuelve y con ella se encuentra el primer valor; para encontrar el

segundo, basta sustituir el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones

originales y así obtener otra ecuación de primer grado con un incógnita, que se

resuelve para obtener el segundo valor. Para comprobar que se resolvió

correctamente el sistema, hay que sustituir los dos valores encontrados en ambas

ecuaciones y verificar que se cumplan las dos igualdades simultáneamente.

A continuación se te presentan los tres métodos antes mencionados, para resolver

sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, los cuales son:

1. Método de igualación: Consiste en tomar la primera ecuación y resolverla con

respecto a una incógnita; después, realizar la misma operación con la

segunda ecuación; enseguida, aplicando el hecho de que dos objetos

iguales a un tercero son iguales entre sí, “se igualan” las dos soluciones

para obtener la ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:


Solución: Tomando la ecuación y la incógnita , se resuelve con

respecto a :

Resolviendo con respecto a :

Igualando los resultados, se obtiene la siguiente ecuación de primer grado con

como incógnita:

Resolviendo la ecuación anterior:

Sustituyendo en y resolviendo con respecto a :


En consecuencia, y . Ahora se comprobará que tal resultado es correcto:

Por lo tanto, y es la solución buscada.

Ejemplo: Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:

Solución: Tomando la ecuación y la incógnita , se tiene:

Resolviendo con respecto a :

Igualando los resultados se obtiene:




En consecuencia, se obtiene que y

. Ahora se comprobará que tal

resultado es correcto:

Por lo tanto, y


2. Método de sustitución: Este método consiste en tomar una ecuación y

resolverla con respecto a una incógnita, y después sustituirla en la otra

ecuación para obtener la ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

Solución: A partir de la ecuación y la incógnita , se tiene:

Sustituyendo

en se obtiene:

(

)



Sustituyendo en y resolviendo con respecto a se llega a lo

siguiente:

En consecuencia, y . Ahora se comprobará que el resultado es

correcto:


Ejemplo: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

Solución: A partir de la ecuación y la incógnita se tiene:


Sustituyendo

en se obtiene:

(

)



En consecuencia, y . Ahora se comprobará que tal resultado es

correcto:



3. Método de sumas y restas: Consiste en escoger una incógnita y multiplicar

cada ecuación por una cantidad adecuada, de tal manera que los

coeficientes de dicha incógnita sean los mismos, pero con signos contrarios,

para que al sumar miembro a miembro las ecuaciones, se elimine tal

incógnita y, así, llegar a la ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver por el método de sumas y restas el siguiente sistema:

Solución: Hay que escoger una incógnita, considera . Al observar las ecuaciones

y , la tiene coeficiente y respectivamente,

entonces hay que multiplicar la ecuación por y la ecuación

por , es decir:

Sumando miembro a miembro:

resolviendo con respecto a :


Sustituyendo en y resolviendo con respecto a se obtiene:

En consecuencia, y . Ahora se comprobará que tal resultado es

correcto:


Ejemplo: Resolver por el método de sumas y restas el siguiente sistema:

Solución: Hay que escoger una incógnita, considera . Al observar las ecuaciones

y , la tiene coeficiente y respectivamente, entonces

hay que multiplicar la ecuación por y la ecuación por ,

es decir,

Sumando miembro a miembro:


resolviendo con respecto a :

Sustituyendo en y resolviendo con respecto a se obtiene:

En consecuencia,

. Ahora se comprobará que tal resultado es

correcto:

Por lo tanto, y


Sistemas incompatibles y sistemas con más de una solución

Hasta este momento se han presentado tres métodos para resolver sistemas de

ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, pero hay sistemas que no tienen

solución, dichos sistemas toman el nombre de incompatibles. Cuando se aplica el

método de sumas y restas a estos sistemas, las dos incógnitas se eliminan, pero los

valores numéricos no se anulan, por lo cual esto resulta ser una incongruencia.

Ejemplo: Resolver el sistema:


Solución: Multiplicando por la ecuación tenemos . Sumando

miembro a miembro se tiene:

pero por lo tanto, el sistema es incompatible.

Los sistemas con más de una solución se presentan cuando se aplica el método de

sumas y restas, provocando que las dos incógnitas y los valores numéricos se eliminen.

Ejemplo: Resolver el sistema:

Solución: Multiplicando la ecuación por se tiene . Claramente

cuando se suma miembro a miembro, se obtiene . Por lo tanto, el sistema tiene más

de una solución.

Aplicaciones

Ahora se presentan algunos ejemplos de cómo aplicar los sistemas de dos ecuaciones de

primer grado con dos incógnitas, en problemas de la vida cotidiana.

Ejemplo: Pedro y Pablo tienen un número determinado de canicas, si Pedro le da una

canica a Pablo, ambos tendrán el mismo número de canicas, pero si Pablo le da una

canica a Pedro, este tendrá el doble de canicas que Pablo. ¿Cuántas canicas tienen cada

uno?

Solución: Sean y el número de canicas que tiene Pedro y Pablo, respectivamente.

Cuando Pedro le da una canica a Pablo disminuye en uno y aumenta en uno, por lo

tanto, . Cuando Pablo le da una canica a Pedro, disminuye en uno y

aumenta en uno, en consecuencia, . Por lo tanto, el sistema a resolver es


El anterior sistema se puede resolver por cualquiera de los métodos anteriores, en este

caso es por igualación. Resolviendo con respecto a se tiene que

, resolviendo con respecto a se tiene que . Igualando

y resolviendo:

Sustituyendo en y resolviendo:

Por lo tanto, Pedro y Pablo tiene y canicas, respectivamente.

Ejemplo: Una mañana Juan y Luis fueron a desayunar, Juan tomó dos tazas de café y se

comió tres tacos, Luis tenía un poco más de hambre y se comió cuatro tacos y tres tazas

de café. ¿Cuál es el costo de cada taco y cada taza de café si Juan pagó y Luis

?

Solución: Sean y el costo de la taza de café y del taco, respectivamente. Como Juan

pagó por dos tazas de café y tres tacos, se tiene que . Dado que Luis

pagó por tres tazas de café y cuatro tacos, se obtiene . Por lo

tanto, el sistema a resolver es:

Dicho sistema se va a resolver por el método de sustitución. Resolviendo

con respecto a :


Sustituyendo

en y resolviendo:


Por lo tanto, la taza de café y el taco cuestan y respectivamente.

Actividad 13. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas


correcta.

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con

dos incógnitas:

a. . b. . c. . d. .

2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas:


a. . b. c. . d.


dos incógnitas:

a. . b. c. . d.


dos incógnitas:

a. b. c. d.


dos incógnitas:

a. . b. c. d.

6. Un empresario invierte un capital de en dos fondos que pagan y

de interés simple anual, respectivamente. Si el interés recibido en un año es , ¿cuánto invirtió el empresario en cada fondo?

a. y respectivamente.

b. y respectivamente. c. y respectivamente.

d. y respectivamente.


7. Un grupo de amigo organiza concierto de rock, para ello, imprimen boletos con dos costos, el boleto de tipo cuesta y el boleto de tipo .

Si al venderse todos los boletos se recaudaron , ¿cuántos boleto de cada tipo se imprimieron?

a. del tipo y del tipo . b. del tipo y del tipo .

c. del tipo y del tipo . d. del tipo y del tipo .

8. En un puesto de dulces, por cinco mazapanes y un chicle pague . Al día

siguiente pague por dos mazapanes y tres chicles. ¿Cuánto me costó cada producto?

a. el mazapán y el chicle. b. el mazapán y el chicle.

c. el mazapán y el chicle. d. el mazapán y el chicle.

9. En un expendio de café, se venden dos tipos de granos, los costos de cada

grano son de y por kg, respectivamente. Los granos son mezclados para obtener kg de una mezcla, cuyo costo es de por kg.

Calcula la cantidad de café utilizada de cada grano, para obtener los kg de mezcla.

a. y kg respectivamente. b. y kg respectivamente. c. y kg respectivamente.

d. y kg respectivamente.

10. El largo de un rectángulo es pulgadas más que el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es pulgadas, ¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

a. pulgadas de largo y pulgadas de ancho.

b. pulgadas de largo y pulgadas de ancho. c. pulgadas de largo y pulgadas de ancho.

d. pulgadas de largo y pulgadas de ancho.

4.3.7. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita o ecuaciones cuadráticas son

de mucha importancia en matemáticas, además también tienen aplicaciones en otras

ramas de la ciencia, como lo son la física y la química. Este tipo de ecuaciones han sido

estudiadas desde las civilizaciones antiguas, hay testimonios de que los babilonios ya


conocían cómo resolver algunos casos particulares de ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación cuadrática tiene la forma:

ℝ

La ecuación anterior se resuelve de la siguiente manera:

1. Dado que , se divide la ecuación anterior entre :

2. Dado que

suma en el miembro izquierdo, este pasa restando al miembro

derecho:

3. Ahora el término

se lleva a un trinomio cuadrado perfecto. Recuerda que

un binomio al cuadrado es de la forma . Basta identificar

y

. En consecuencia y

, lo que implica que

.

4. Sumando en ambos miembros

, se tiene:

5. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación anterior y realizando la operación en

el lado derecho, se obtiene:

(

)

6. Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados:

√(

)

(

)

√

√

√


Aquí se hace uso de que la raíz cuadrada tiene dos signos.

7. Dado que

suma en el miembro izquierdo, este pasa restando al miembro

derecho:

√

8. Por lo tanto:

√

En resumen, si , con entonces √

. Esta relación se

conoce como la fórmula general para ecuaciones cuadráticas. Cabe mencionar que

cuando el símbolo aparece, se considera que se tienen dos casos, uno con el signo

y otro con el signo , a esto se le llama desglose.

Ejemplo: Resolver .

Solución: Primero hay que identificar los valores que tiene cada coeficiente, en este caso

, y . Sustituyendo en la fórmula general, se tiene:

Ahora hay que desglosar los signos del siguiente modo:

Por consiguiente, hay dos valores y . Para comprobar que ambos

resultados son correctos se sustituyen dichos valores en la ecuación :



Ejemplo: Resolver .

Solución: Identificando los coeficientes se tiene que , y . Sustituyendo

en la fórmula general:

Desglosando los signos, se obtiene:

Por consiguiente, hay dos valores y

. Comprobando los resultados

anteriores:

Por lo tanto, y

son la solución deseada.


Ejemplo: Resolver .

Solución: Identificando los coeficientes se tiene que , y .

Sustituyendo en la fórmula general:


Por consiguiente hay dos valores

y

. Comprobando los resultados

anteriores:

Por lo tanto,

y

son la solución deseada.

Dada la ecuación , con su solución está dada por la relación

√

. El término toma el nombre de discriminante, ya que permite

clasificar el tipo de solución que tiene una ecuación cuadrática del siguiente modo:

1. El discriminante es positivo, es decir, , por consiguiente, su raíz

cuadrada existe en los números reales y toma dos valores: uno positivo y el otro

negativo. En consecuencia, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y

distintas.


2. El discriminante es cero, es decir, , por consiguiente, su raíz

cuadrada existe en los números reales y toma un único valor que es cero, por

tanto, la ecuación cuadrática tiene una única solución.

3. El discriminante es negativo, es decir, , por consiguiente, la raíz

cuadrada no existe en el conjunto de los números reales, por ello, la ecuación

cuadrática no tiene soluciones reales. Un número que satisfaga una ecuación de

este tipo se conoce como número complejo y se estudiará en futuras

asignaturas.

Para ejemplificar lo anterior, aquí se presenta la siguiente tabla:

Para finalizar esta sección, se presentan algunas aplicaciones de las ecuaciones

cuadráticas de una incógnita.

Ejemplo: Hallar dos números consecutivos cuyo producto sea .

Solución: Como los números son consecutivos, si se denota por al número más

pequeño, entonces el segundo es denotado por . Por lo tanto, la relación pedida es

, lo que lleva a la ecuación . En consecuencia, ,

y , sustituyendo en la fórmula general:



Cuando el consecutivo es . Cuando el consecutivo es

. Por lo tanto, se tienen dos soluciones: la primera es y , y la segunda,

y .

Ejemplo: El área de un rectángulo es m2, ¿cuáles son las dimensiones de dicho

rectángulo si un lado excede en m al otro?

Solución: Sea la longitud del lado más pequeño, entonces el lado más grande es ,

por consiguiente, el área de este rectángulo es es decir así se

obtiene la ecuación . Luego , y , sustituyendo en la

fórmula general:

Desglosando los signos:

Las soluciones de la ecuación son y , dado que buscan longitudes, estas

no pueden ser negativas, así que el resultado no es tomado en cuenta, ya que

no existen longitudes negativas. Por consiguiente, las dimensiones del rectángulo se

obtienen cuando . Por lo tanto, el rectángulo tiene un ancho de m y m de

largo.


Actividad 14. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita


correcta.

1. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

a.

b.

c.

d.


a.

b.

c.

d.

3. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: .

a.

b.

c.

d.

4. Encuentra el número entero cuya suma con su inverso multiplicativo es

.

a. b. c. d.

5. Un triángulo tiene una base de cm más que su altura, ¿qué dimensiones tiene

el triángulo si su área es de cm2? a. cm de base, cm de altura.

b. cm de base, cm de altura. c. cm de base, cm de altura.

d. cm de base, cm de altura.


Actividad 15. Ecuaciones algebraicas


correcta.

1. Resuelve .

a.

b.

c.

.

d.

.

2. Resuelve

.

a. b. c. d.

3. Resuelve

.

a.

b.

c.

d.

.

4. Por kg de huevo y kg de tortillas pagué . ¿Qué precio tiene cada

producto sabiendo que el kilogramo de huevo vale dos veces más que el kilogramo de tortillas?

a. Tortilla y huevo b. Tortilla y huevo .

c. Tortilla y huevo . d. Tortilla y huevo .


5. El cociente de dos números es igual a

si el mayor de ellos difiere en del

menor, ¿cuáles son estos números?

a. y respectivamente.

b. y respectivamente. c. y respectivamente.

d. y respectivamente.


dos incógnitas

a. . b. . c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.

9. La diferencia entre dos números es , el doble del más pequeño excede al

mayor en . ¿Cuáles son estos números? e. y .

f. y . g. y . h. y .


10. Dos paquetes tienen un peso total de kg. Si el más pequeño pesa kg menos

que el más grande. ¿Cuánto pesa cada paquete? a. kg y kg respectivamente.

b. kg y kg respectivamente. c. kg y kg respectivamente.

d. kg y kg respectivamente.


a.

.

b.

c.

.

d.

.

12. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: .

a.

b.

c.

d.


a.

b.

.

c.

d.

14. Encuentra un número positivo de tal manera que su cuadrado exceda a su doble

en tres.

a. b. c. d.

15. Una caja se construye cortando cuadrados de cm por cm, en las esquinas de una hoja de cartón cuadrada como se muestra en la figura:


Calcula las dimensiones de la hoja de cartón, de tal manera que la caja tenga cm3 de volumen.

e. cm. f. cm. g. cm. h. cm.

4.4. Trigonometría

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los

triángulos, a partir de las relaciones existentes entre los lados y sus ángulos. Dado que

los triángulos son las figuras geométricas más simples, estos sirven para estudiar figuras

geométricas más complejas, además tienen muchas aplicaciones dentro de las

matemáticas mismas, así como en la física y la ingeniería.


Un ángulo es la abertura formada por dos segmentos de rectas que se intersectan en un

punto llamado vértice. Para denotar los ángulos, se utiliza alguno de los símbolos ∡ o ̂.

En muchas ocasiones se utilizan letras griegas: (alfa), (beta), (gama), (delta), etc.


Recordando cómo se desplazan las manecillas de un reloj

Este movimiento proporciona, por convenio, una orientación para los ángulos: se

considera que un ángulo es positivo si su abertura se realiza en contra de las manecillas

del reloj, en caso contrario, es decir, si el desplazamiento de la abertura es a favor de las

manecillas del reloj se considera negativo. En este trabajo se considerarán los ángulos

sin orientación, es decir, no va a importar si el desplazamiento es a favor o en contra de

las manecillas del reloj.

En este estudio, los ángulos se miden de las siguientes dos formas:

(i). Grados sexagesimales: Un grado sexagesimal es la abertura que resulta de

dividir un círculo en partes, por lo tanto, la circunferencia tiene . Los

grados sexagesimales se denotan colocando un círculo pequeño en la parte

superior derecha.


Cada grado a su vez de divide en partes, cada una de ellas se llama minuto y

se denota con un símbolo . Cada minuto se divide en partes, que se llaman

segundos y se denota por .

(ii). Radianes: La razón que existe entre una circunferencia y su radio es la constante

, por lo tanto, un una circunferencia tiene radianes. Los radianes se denotan

con la abreviatura .

De aquí en adelante cuando se requiera hablar de grados sexagesimales, se nombrará

simplemente grados. Antes de continuar, se presentan algunos ejemplos de cómo

convertir un expresión en grados a una expresión en grados minutos y segundos y

viceversa. Para convertir una expresión decimal presentada en grados se realiza lo

siguiente:

1. La parte entera son los grados.

2. La parte fraccionaria se multiplica por , la parte entera que resulta son los

minutos.

3. La parte decimal que resulta de la operación anterior se multiplica por y la parte

entera son los segundos.


4. Por último, se presentan los grados, después los minutos y, finalmente, los

segundo.

Ejemplo: Convertir en grados, minutos y segundos.

Solución: Realizando los pasos anteriores

1. Se tiene que la parte entera de es , así hay .

2. La parte fraccionaria de es que se multiplica por , dando como

resultado , así se tienen .

3. La parte fraccionaria de es que se multiplica por , dando como

resultado , así se obtienen .

4. El resultado es .

Por lo tanto, .

Ejemplo: Convertir en grados, minutos y segundos.

Solución: De se tiene multiplicando por da , después se

tienen . Finalmente, multiplicando por da , en consecuencia, hay .

Por lo tanto,

Ahora toca realizar el proceso inverso, es decir, dada una cantidad en grados, minutos y

segundo se debe convertir en grados. Los pasos son los siguientes: hay que sumar los

grados más los minutos entre más los segundos entre .

Ejemplo: Convertir a grados.

Solución: Hay que realizar la siguiente suma:

Por lo tanto,


Solución: Hay que realizar la siguiente suma:


Por lo tanto,

Toca el turno de convertir grados a radianes y viceversa. Antes de continuar hay que

observar que los grados sexagesimales son aberturas entre líneas y los radianes son

longitudes de arcos de circunferencia, por consiguiente, la relación entre grados

sexagesimales y radianes es la siguiente:

En consecuencia, para convertir grados a radianes hay que multiplicar el número de

grados por y dividirlos entre e, inversamente, para convertir radianes a grados hay

que multiplicar el número de radianes por y dividirlos entre .


Solución: Como lo dice el párrafo anterior se tiene que:

Por lo tanto, .

Ejemplo: Convertir a radianes.

Solución: Como lo dice el párrafo anterior se tiene que:

Por lo tanto, .

Los ángulos se clasifican por su abertura de la siguiente manera:

1. Agudo: Es aquel que mide más pero menos de .


2. Recto: Es aquel que mide .

3. Obtuso: Es aquel que mide más pero menos de .

4. Colineal: Es aquel que mide .


5. Entrante: Es aquel que mide más pero menos de .

6. Perigonal: Es aquel que mide .

Para sumar gráficamente dos ángulos no dirigidos, primero se coloca uno de ellos y,

después, se posiciona el segundo de tal manera que los vértices ellos coincidan y el lado

final del primer ángulo coincida con el lado inicial del segundo, como se muestra a

continuación.

De lo anterior, se obtiene que dos ángulos son complementarios si y solo si su suma es

un ángulo recto, es decir, Dos ángulos son suplementarios si y solo si su suma son

dos ángulos rectos, es decir,


Un triángulo es la figura geométrica plana delimitada por tres segmentos de recta rectas.

Los puntos donde se intersectan dos a dos las rectas se llaman vértices, así un triángulo

se define de manera equivalente como la figura geométrica formada por tres puntos no

colineales, es decir, que no pertenecen a la misma línea.

Etimológicamente, la palabra triángulo significa tres ángulos, estos se forman en el cruce

de las líneas que delimitan a dicha figura, por la posición de los mismos toman el nombre

de ángulos internos. Para denotar un triángulo, se coloca el símbolo seguido de las

letras con las que se indican los vértices, por convenio, la manera de colocar los vértices

del triángulo es en contra del sentido del movimiento de las manecillas del reloj y

utilizando letras mayúsculas, además los ángulos internos se denotan con las mismas

letras que los vértices utilizando el símbolo ∡ o las letras de los vértices utilizando el

símbolo ̂; los lados que estén frente a los ángulos se etiquetan con las mismas letras de

los vértices pero estas son minúsculas.

Por ejemplo, si se tiene un triángulo tiene vértices , y se denota por , sus tres

ángulos internos son ̂, ̂ y ̂ (equivalentemente ∡ , ∡ y ∡ ). Hay que

observar que la letra que queda al centro del símbolo ̂ es la que está en el vértice del

ángulo, además como se consideran ángulos sin orientación, es equivalente escribir ̂

que ̂. Los lados se denotan por , y .


Los triángulos se clasifican de las siguientes maneras:

1. Por sus lados.

a. Equilátero: Es aquel triángulo que sus tres lados tienen la misma longitud.

b. Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados con la misma longitud,

pero la longitud del tercer lado es distinta.

c. Escaleno: Es aquel triángulo que sus tres lados tienen diferentes

longitudes.


2. Por sus ángulos:

a. Acutángulo: Es aquel triángulo que sus tres ángulos internos son agudos.

b. Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno que es recto.

c. Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno que es

obtuso.


Un resultado conocido de la geometría plana es el siguiente:

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos,

es decir,

Como consecuencia de lo anterior, se tiene lo siguiente:

Corolario: En un triángulo rectángulo, los ángulos internos agudos son complementarios.

4.4.2. Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras presenta la relación que existe entre los lados de un triángulo

rectángulo. Este teorema es adjudicado a Pitágoras, aunque siglos atrás en la cultura

babilónica ya era conocido.

Antes de presentar este teorema, hay que mencionar los nombres que tienen los lados de

un triángulo rectángulo. Un cateto es un lado del triángulo que forma el ángulo recto

interior, el lado restante toma el nombre de hipotenusa.

Sean y las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cualquiera y la

longitud de su hipotenusa.


Si se tiene un cuadrado de longitud entonces su área es igual a

.

Renombrando del siguiente modo las dimensiones del cuadrado anterior, se tiene:

cuya área es *

+ . Por lo tanto:

Con lo anterior se demuestra el siguiente resultado:

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las

longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Es decir, si


en un triángulo rectángulo las longitudes de los catetos son y respectivamente y la

hipotenusa tiene longitud entonces .

En consecuencia, si se desea calcular la longitud de la hipotenusa se utiliza √ .

Si se desea calcular la longitud de algún cateto, se utiliza √ ó √ . Por la regla de los signos, una raíz cuadrada tiene dos signos una positiva y otra negativa,

aquí solo se consideren las raíces positivas, ya que se estudian las longitudes de los

lados de un triángulo rectángulo, por consiguiente, los valores tienen que ser positivos.

Ejemplo: Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden cm y

cm, respectivamente.

Solución: Gráficamente se tiene:

Tomando la relación √ y sustituyendo los valores y se tiene:

√ √ √ √

Por lo tanto, la hipotenusa mide √ .

Ejemplo: Un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa y uno de sus catetos mide

. Calcular el valor del segundo cateto.

Solución: Gráficamente se tiene:


Tomando la relación √ y sustituyendo los valores y se tiene:

√ √ √ √

por lo tanto, el segundo cateto mide √ .

Ahora se presentan algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras:

Ejemplo: Se desea dividir a lo largo de una de sus diagonales, un terreno cercado que

tiene forma de rectángulo. ¿Cuántos metros de cerca se necesitan si las dimensiones del

terreno son de ancho por de largo?

Solución: El terreno tiene la siguiente forma:

La figura muestra que el problema se resuelve calculando el valor de la hipotenusa del

triángulo rectángulo, que se forma al dividir el rectángulo en dos parte a lo largo de la

diagonal trazada. Tomando la relación √ y sustituyendo los valores y

se tiene:

√ √ √

por lo tanto, se necesitan √ de cerca.

Ejemplo: Desde la parte más alta de un poste de están colocados los extremos de

dos cables tensores, uno de los cables está ubicado a mitad de la base del poste y el

extremo del otro tensor. Si el cable tensor más largo mide , calcular:

(i). La distancia que hay entre la base del poste y los extremos de los cables tensores

que no están sujetos en el poste.

(ii). La longitud del cable tensor más pequeño.


Solución: Para resolver (i) se debe encontrar el valor de , donde es la longitud

representada en la siguiente figura:

De la relación pitagórica se tiene lo siguiente:

√


Por lo tanto, el cable más cercano y el cable lejano están a √ y √ de la base del

poste, respectivamente. Para calcular (ii) hay que sustituir el valor encontrado en (i) para

tener el siguiente triángulo rectángulo:

Aplicando la relación pitagórica se tiene:

(√ )

√

Por lo tanto, el cable tensor menor mide √ de longitud.

4.4.3. Funciones trigonométricas

En la sección anterior se estudió las relaciones que existen entre los lados de un triángulo

rectángulo, es esta sección se estudiarán las relaciones existentes entre los lados y los

ángulos interiores del mismo. Para este estudio, es necesaria la introducción de las

funciones trigonométricas que se definen a partir de las razones existentes entre los lados

del triángulo rectángulo.

Considera un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos. A partir de la elección del

ángulo, los catetos toman los siguientes nombres:


(i). Cateto opuesto: Es aquel que queda frente al ángulo señalado.

(ii). Cateto adyacente: Es aquel que forma parte del ángulo.

Las funciones trigonométricas de un ángulo se definen de la siguiente manera:

(i). Seno: Es la razón de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa.

h

(ii). Coseno: Es la razón de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa.

h

(iii). Tangente: Es la razón de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.

(iv). Cotangente: Es la razón de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa.

(v). Secante: Es la razón de dividir la hipotenusa entre el cateto adyacente.

h

(vi). Cosecante: Es la razón de dividir entre la hipotenusa entre el cateto opuesto.

h


Para ejemplificar lo anterior considera el siguiente triángulo rectángulo:

por lo tanto, se tiene:

Dado que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, se tiene

que , las relaciones anteriores dicen lo siguiente:

Una pregunta natural es la siguiente: Si se cambian las dimensiones del triángulo

rectángulo conservando sus ángulos, ¿las funciones trigonométricas de los ángulos

cambian? L “no”

dependen de los lados, solo dependen de los ángulos. Para verificar lo anterior, hay que

retomar un resultado de geometría elemental que dice lo siguiente:

Teorema: Dos triángulos que tienen sus ángulos correspondientes iguales son

semejantes.


El teorema anterior dice que hay una constante de proporcionalidad entre los lados

correspondientes como lo muestra la siguiente figura:

Hay que observar que dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen un

ángulo agudo igual, ya que esto implica que sus ángulos internos correspondientes son

iguales. Lo que da las siguientes relaciones:

Calculando las funciones trigonométricas se tiene:

Ejemplo: Calcular las funciones trigonométricas del ángulo señalado en la siguiente

figura:


Solución: Dada lo posición del ángulo , se tiene que el cateto opuesto vale y el

cateto adyacente . Por el teorema de Pitágoras la hipotenusa se calcula de la

siguiente manera:

√

√

√

√

por lo tanto, la funciones trigonométricas del ángulo son:

C .

√

C .

C .

C .

√

C .

√

C .

C .

C .

√

Ejemplo: Calcular las funciones trigonométricas del ángulo señalado en la siguiente

figura:


Solución: La información que presenta el dibujo es el valor de la hipotenusa y el

valor de cateto opuesto, que es . Por el teorema de Pitágoras, el cateto adyacente

se calcula de la siguiente manera:

√

√

√

√

√

por lo tanto, la funciones trigonométricas del ángulo son:

√

√

√

√

√

√

√

√

Funciones trigonométricas de , y

Considera un triángulo equilátero, de tal manera que cada lado mida

Ahora, se traza un segmento de recta que se inicie en un vértice, pero que sea ortogonal

al lado opuesto al vértice:


En un triángulo equilátero cada ángulo interno mide , en consecuencia, el proceso

anterior divide el triángulo equilátero de lado en dos triángulos rectángulos con las

siguientes dimensiones:

En consecuencia, se obtienen las funciones trigonométricas de :

√

√

√

√

√

√

√

√

De manera similar, se tienen las funciones trigonométricas de :

√

√

√


√

Para las funciones trigonométricas de , considera un cuadrado de lado :

Ahora se traza una de sus diagonales, dividiendo el cuadrado en dos triángulos

rectángulos:

Cada triángulo rectángulo tiene las siguientes dimensiones:

por lo tanto, las funciones trigonométricas de son las siguientes:


√

√ √

√

4.4.4. Funciones trigonométricas inversas

Las ideas detrás de las funciones trigonométricas inversas es muy simple, hasta este

momento se ha dado un ángulo y se encuentra el valor de sus funciones trigonométricas,

ahora toca el turno de hacer el proceso inverso: dar el valor que toma la función

trigonométrica y hallar el valor del ángulo que le corresponde. Las funciones

trigonométricas inversas se nombrarán anteponiéndole la palabra arco a la función

trigonométrica en cuestión. Así, la función inversa del seno es la función arcoseno, la

función inversa del coseno es la función arcocoseno, la función inversa de la tangente es

la función arcotangente, etc.

La manera de definir las funciones trigonométricas inversas es de la siguiente manera:

Algunos autores denotan las funciones trigonométricas inversas colocándole un

exponente a la función trigonométrica. En consecuencia,

etc.

Ejemplo: Calcular (√

).

Solución: Dado que √

, por lo tanto (

√

) .


Ejemplo: Calcular .

Solución: Dado que , por lo tanto .

En la práctica no es fácil calcular una función trigonométrica inversa si no se cuenta con al

menos una calculadora científica ó una tabla de valores de las funciones trigonométricas.

Cálculo de las funciones trigonométricas utilizando calculadora

Existen varios tipos de marcas de calculadoras científicas, dentro de cada marca existen

varios modelos de las mismas, pero todas ellas tienen en común las funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente. En esta parte, se utiliza la calculadora que trae

por incluida el sistema operativo Windows 7.

Lo primero que hay que observar es con qué unidad angular se pretende trabajar y

seleccionarla.


Ahora toca el turno de identificar que función trigonométrica se desea calcular.

En este tipo de calculadoras, primero se coloca el valor del ángulo y, después, se

presiona la tecla de la función trigonométrica a tratar.

Ejemplo: Dado , calcular , y .

Solución: Primero hay que seleccionar los grados sexagesimales.

Hay que introducir en la calculadora.


Si se desea calcular la función seno, se presiona la tecla correspondiente:

Ahora, basta trabajar con cuatro cifras decimales, por lo tanto .

Si se desea calcular la función coseno, se presiona la tecla correspondiente:

Por lo tanto .

Si se desea calcular la función tangente, se presiona la tecla correspondiente:


Por lo tanto .

Para las funciones trigonométricas inversas, primero hay que seleccionar la unidad

angular se requiere.

Después, hay que localizar el botón de Inverso, en algunas calculadoras la tecla dice

shift ó 2nd.

En el caso de la calculadora mostrada en este ejemplo, al presionar “ ”

teclas cambian:


Se procede de manera similar al caso directo, primero hay que ingresar el número y,

después, la función inversa en cuestión.

Ejemplo: Calcular en radianes .

Solución: Primero hay que escoger la opción Radianes.

Después, hay que ingresar

Presionar la tecla inversa.


Y, finalmente, presionar la tecla de la función Seno inverso.

lo que da como resultado:

Por lo tanto ..

4.4.5. Aplicaciones de las funciones trigonométricas

Ahora toca el turno de utilizar funciones trigonométricas en problemas de la vida cotidiana

que requieran la utilización de un triángulo rectángulo y alguno de sus lados.

Aplicaciones de la función seno


La función seno se utiliza cuando se tienen relaciones entre un ángulo agudo, su cateto

opuesto y la hipotenusa.

Ejemplo: Calcular el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura:

Solución: Como los datos que la figura proporciona son el cateto opuesto y la hipotenusa

del ángulo , se requiere la utilización la función seno. Por consiguiente, se tiene la

siguiente relación:

C

h

Por consiguiente

.

Ejemplo: Un cable es sujetado en la punta de un poste de m, que es perpendicular a la

superficie plana. Si el ángulo que forma el cable con respecto al piso es de , ¿cuál es

la longitud del cable?

Solución: Primero hay que realizar un bosquejo que ilustre las condiciones del problema,

en consecuencia se tiene la siguiente figura:

Sea la longitud del cable, entonces se tiene el siguiente triángulo:


En consecuencia,

, por consiguiente

.

Por lo tanto, el cable mide m.

Ejemplo: Una escalera de m está reclinada sobre una pared, el ángulo que forma la

escalera con respecto a la banqueta horizontal de , ¿a qué altura de la pared está

apoyada la escalera?

Solución: De los datos anteriores se tiene la siguiente figura:

Sea la altura de la pared donde se apoya la escalera. El dibujo anterior te lleva al

siguiente triángulo rectángulo:


De donde se obtiene que

, por consiguiente

. Por lo tanto, la escalera está apoyada a una altura de .

Aplicaciones de la función coseno

La función coseno se utiliza cuando se tienen relaciones entre un ángulo agudo, su cateto

adyacente y la hipotenusa.

Ejemplo: Un tanque de guerra apunta a un blanco móvil a m hacia el Norte, el

blanco se mueve hacia el Este y el tanque siempre lo tiene en la mira. ¿A qué distancia

está el tanque del blanco, si el cañón del tanque giró ?

Solución: Primero hay que dibujar un diagrama que represente la información que

proporciona el enunciado del ejercicio, de lo que resulta:

Sea el valor de la distancia por encontrar, el diagrama anterior te lleva al siguiente

triángulo rectángulo:


De donde se obtiene que C

por consiguiente

. Así, el blanco está a m del tanque.

Ejemplo: Se desliza una pelota sobre un rampa que tiene con respecto a la

horizontal, la rampa tiene m de longitud, ¿qué distancia recorrió horizontalmente la

pelota cuando llegó al punto final de la rampa?

Solución: Denotando por la longitud buscada, se tiene el siguiente diagrama:

De donde se obtiene que

, es decir . Por

lo tanto, la pelota recorre horizontalmente m

Ejemplo: Una escalera de m se apoya en una pared, si la distancia de la base de la

escalera a la pared es de m, ¿qué ángulo forma la escalera con respecto a la

horizontal?

Solución: Considera el siguiente diagrama:


En consecuencia

, luego

, por lo tanto, la escalera forma

un ángulo de con respecto a la horizontal.

Aplicaciones de la función tangente

La función tangente se utiliza cuando se tienen relaciones entre un ángulo agudo y los

dos catetos.

Ejemplo: En una banqueta que tiene cm del alto, se desea construir una rampa para

acceso de sillas de ruedas. ¿A qué distancia de la base de la banqueta se tiene que

comenzar a construir la rampa si la inclinación es de ?

Solución: Sea la distancia buscada, en consecuencia, se tiene el siguiente diagrama:

Por consiguiente, C

C

resolviendo con respecto a se tiene las

siguientes relaciones

. Por lo tanto, hay que comenzar a

construir la rampa a cm


Ejemplo: Un observador identifica un vehículo a m hacia el Sur, el vehículo se

desplaza m hacia el Oeste. Si el observador sigue con la mirada al vehículo ¿qué

ángulo ha girado el observador?

Solución: Sea el ángulo que gira el observador, se tiene el siguiente diagrama:

En consecuencia, se tiene que

. Después . Por lo

tanto, el observador giró .

Ejemplo: La sombra de un árbol forma un ángulo de con respecto al piso horizontal.

Suponiendo que el árbol es perpendicular al piso, ¿qué altura tiene el árbol si el extremo

de la sombra está a m de la base del árbol?

Solución: Sea la altura del árbol, esto lleva al siguiente diagrama:


En consecuencia

, es decir, , por lo

tanto, el árbol mide m.

Referencias

Baldor, A. (2009). Álgebra. 2ª. ed. México: Publicaciones Cultural.

Baldor, A. (2009). Aritmética. 2ª. ed. México: Publicaciones Cultural.

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Michel Mate Matic As

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