Micro Econom Iacon Excel

Análisis microeconómico con Excel

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MICROECONOMÍA CON EXCEL

EN EMPRESAS

La criticada impracticabilidad de la teoría neoclásica resuelta me-diante su aplicación en Excel. Una refutación de errores en la mi-croeconomía clásica. El consumidor, la empresa, optimización y programación, los mercados: análisis diferencial, operadores de Lagrange, elasticidad media o promedio, ecuación de Slutsky, nivel de vida, 12 índices de precios y de cantidades; integración, exce-dente del consumidor y del productor según tipo de mercado; mode-lación clásica, Rapidito, lentito en la estación Vivitos, Telefocón 4 y 7; econometría: muestreo, probabilidad, combinatoria, series cortas; proyección del mercado y estimación de funciones de demanda mediante correlación múltiple con Anova, para el reemplazo por una décima variable representativa; “mejor ajustamiento” (solo milloné-simos de error) con más de 500 variables; investigación operativa: programación lineal, no lineal, dinámica, entera, binomial, Solver; matrices; 6 seis métodos equivalentes con similar resultado; pro-gramación de la producción en sistemas resueltos en Excel con 5, 10, cientos o miles de variables; colas, modelos de simulación di-námica en Excel, modelo de la telaraña con el número exacto de períodos del ajuste dinámico, VAN y TIR, producción múltiple, multi-objetivo, multicriterio; teoría de los juegos Simplex, Shapley y Banzhaf con Excel, SEU e incertidumbre; subastas licitaciones; ma-temática difusa (fuzzy) y del caos; el juego de la cerveza del MIT, modelación Oman y su asesina; nivel intermedio asequible para no especialistas mediante aplicaciones simples de Excel y álgebra. Programa de la asignatura Microeconomía I “linkeado” al material de estudio (al final), a ejercicios resueltos y a archivos Excel y otros, disponibles en:


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www.microeconomiaconexcel.com , sitios del curso en la FCE, foros y otros site.

2003 Santiago Eiras Roel – T. Isabel Rébora – Teresa Eiras

Derechos exclusivos

IMPRESO EN ARGENTINA - PRINTED IN ARGENTINE

MICROECONOMÍA CON EXCEL EN EMPRESAS

Enfoque teórico práctico de microeconomía de la empresa, para no graduados y profesionales, del área comercial e investigación de empresas; con más de 100 ejemplos resueltos paso a paso utilizan-do aplicaciones de Excel -en situaciones bajo cuatro contextos: cierto, aleatorio, hostil e incierto-.

Los autores - Santiago Eiras Roel , 30 años en análisis de mercado de Siderurgia Argentina -SOMISA- y profesor de microeconomía en la Universidad de Buenos Aires; Dr. en Ciencias Económi-cas. - T. Isabel Rébora, 30 años de docencia; profesora ayudante

del curso. Contadora (CPN) - Teresa Eiras, auxiliar en práctica estadística y casos micro-económicos.

http://www.microeconomiaconexcel.com/


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ADVERTENCIA

Es este un enfoque diferente; no es más de lo mismo: incluye nuevos aportes y refutaciones, junto con una reafirmación (computacional y práctica) de la microeconomía clásica; por lo cual el ordenamiento no es el convencional.

Use Cntrl + F para buscar temas por palabra (o bien este ín-

dice temático, o el índice alfabético al final)

Según dice el refrán, “cada maestrito con su librito”…. explica lo que está ocurriendo en el ámbito económico. Profesionales de ciencias exactas e ingeniería prefieren exponer los principios microeconómi-cos con multiplicidad de funciones y reformulaciones del V postulado euclidiano, ya sea utilizando segmentos, diferenciales o la sintaxis de la más reciente teoría de conjuntos; pero no deja de ser más de lo mismo. Otros profesionales enfatizan sobre teoría de los juegos reexpo-niendo alguna parte de los principios microeconómicos; y lo hacen con lenguaje también variado, ya sea el coloquial, el de la teoría de conjuntos o mediante el de la programación lineal. Y cómo no iba a ocurrir…; en este trabajo el enfoque es diferente. Pero aquí se cambió el “instrumento” de investigación: en vez del tradicional y científico (pero limitado a 4 variables) papel y lápiz an-teriores, aquí se utiliza Excel! De aquí la advertencia; en este libro hay mucho material, pero no todo lo microeconómico. No figura aquí lo que ya está suficientemente abarcado en los textos tradicionales (salvo que pueda ser mejorado con Excel). Por esto en los cursos se


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complementa con una selección de textos tradicionales pegándola sobre hojas de un Excel y ZIP. Lamentablemente para la industria editorial los tiempos han cambia-do; además, tampoco están ofreciente textos que recopilen la mayor parte de los temas en un solo volumen didáctico (por ahora prefieren la proliferación de enfoques limitados). Este punto nos conduce a otra idea y tarea pendiente en nuestro medio. Los centros de investigación mundiales se promocionan pre-ferentemente desde los medios académicos y revistas norteameri-canos; pero no disponemos en nuestros medios locales de algo si-milar, que nos permita tener idea de los aportes de cada investiga-dor local. ¿Cuál es la guía para los estudiantes y docentes locales? No existe; por esto, quizás las principales instituciones académicas debieran mostrar un “quién es quien”, por ejemplo reseñando en alguna pá-gina web los aportes “originales” de cada investigador (preferente-mente aquellos que no figuran previamente expuestos por otros lo-cales o del exterior). Esta idea podría encontrar alguna resistencia, por parte de acadé-micos que preferirían mostrar solo sus logros curriculares, antes que remarcar sus aportaciones originales. Sin embargo, son éstas las que necesitan conocer estudiantes, profesionales y profesores para afianzar sus conocimientos. Se pide tolerancia a la industria editorial y a los académicos. Ha cambiado la tecnología; y un contador, li-cenciado o ingeniero depende hoy de Excel, los ZIP e internet para detectar las nuevas aportaciones y desempleñarse.


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INDICE ADVERTENCIA........................................................................................................................................ 3 PRÓLOGO................................................................................................................................................ 17 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 19 CIVILIZACION OCCIDENTAL ........................................................................................................... 19 EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA .............................................................. 21 El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES............................................................. 23 MICROECONOMIA CLASICA ............................................................................................................ 39 DESDE LA GEOMETRIA PLANA DE EUCLIDES HACIA LA GEOMETRIA ANALITICA ..... 41 PRODUCCION, COSTOS, BENEFICIOS ............................................................................................ 44 ERRORES EN LA MICROECONOMIA CLASICA ........................................................................... 52 DESTINATARIOS DE LA MICROECONOMIA ................................................................................ 53 POR QUÉ ES INSUFICIENTE LA MICROECONOMÍA CLÁSICA CON ENFOQUE SOLO

FORMAL .................................................................................................................................................. 54 APORTES DE MICROECONOMIA CON EXCEL (MCE) ................................................................ 57 1) Exposiciones simplificadas ................................................................................................................. 57 2) Seis métodos equivalentes ................................................................................................................... 58 3) Estimación de funciones ..................................................................................................................... 59 4) Programación con cientos de variables .............................................................................................. 60 5) Matrices con Excel............................................................................................................................... 60 6) Otros 10 utilitarios ............................................................................................................................... 60 7) Empresa sobredimensionada: .............................................................................................................. 61 8) Casos de antidumping y countervailing duty ..................................................................................... 62 9) Cuatro contextos económicos ............................................................................................................. 62 10) Elasticidad media ............................................................................................................................... 64 11) ¿Es prácticamente útil la ecuación Slutsky? ................................................................................... 64 12) Como obtener funciones y gráficos desde series y viceversa ......................................................... 66 13) Funciones muy complejas ................................................................................................................. 66 14) Análisis dinámico .............................................................................................................................. 66 15) Modelo de la Telaraña y su número de períodos ............................................................................. 66 16) Modelos de simulación: .................................................................................................................. 67 17) El problema de identificación ........................................................................................................... 67 18 Métodos científicos ............................................................................................................................. 69 19) Un error en la microeconomía clásica, el sujeto .............................................................................. 70 20) Otro error en la microeconomía clásica, las generalizaciones sobre sistemas NxN: ................... 71 21) Visión de la microeconomía como la economía de la empresa ...................................................... 73 22) Simplificación de la Teoría de los Juegos, del S.XXI ..................................................................... 74 23) Omisión tradicional en el MIT, LSE, OXFORD Y SALAMANCA.............................................. 74 24) Brecha entre modelación y realidad: ................................................................................................ 76 CONSENSO DE WASHINGTON ......................................................................................................... 78 DISGRESIÓN MACROECONÓMICA ................................................................................................. 78 USO DE FUNCIONES ............................................................................................................................ 81 TRES POSIBLES ENFOQUES MICROECONOMICOS: ................................................................ 84 TEMAS FUNDAMENTALES PARA UN CURSO GENERAL DE MICROECONOMÍA ............. 86


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PARA QUÉ SE ESTUDIA MICROECONOMIA................................................................................. 88

OTRO PROGRAMA ACTUALIZADO DE MICROECONOMIA ........................................... 89 CAPÍTULO 1 .......................................................................................................................................... 92 SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA ....................................................................................... 92 ORIENTACIÓN Y CONTENIDO ......................................................................................................... 92 ¿HASTA DÓNDE MICROECONOMÍA Y HASTA DÓNDE ESTADÍSTICA? .............................. 93 ESTUDIAR LA DEMANDA .................................................................................................................. 95 DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRÁFICOS ........................................................... 96 DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRÁFICOS ............................................................. 97 FUNCIÓN DE DEMANDA LINEAL.................................................................................................. 97 FUNCIÓN DE DEMANDA TEÓRICA (HIPERBÓLICA) ................................................................. 98 ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y ......................................................................... 99 TIPOS DE BIENES ................................................................................................................................. 99 EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS ........................................................................... 100 MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS ............................................................................. 100 DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL.............................................................................. 102 EXTENDER CÁLCULOS EN EXCEL ............................................................................................... 102

ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CONTEXTOS ..................... 103 TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MÉTODOS ........................................................................... 103 CAPÍTULO 2 - .................................................................................................................................... 105 CONTEXTO CIERTO ........................................................................................................................... 105 ANÁLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES................................................................................. 105 SERIES SIMPLES ................................................................................................................................. 105 MEDIDAS DE POSICIÓN. MEDIA ARITMÉTICA: ........................................................................ 107 MEDIA GEOMÉTRICA ....................................................................................................................... 107 MEDIA ARMÓNICA ............................................................................................................................ 108 MEDIANA: ............................................................................................................................................ 110 MODA(O):.............................................................................................................................................. 110 MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA: ................................................................................... 111 DESVIO ESTÁNDAR ........................................................................................................................... 112 DESVIACIÓN ESTÁNDAR- EN UNA POBLACIÓN: .................................................................... 113 SERIES DE FRECUENCIAS ............................................................................................................... 114 MEDIA ARITMÉTICA ......................................................................................................................... 115 MEDIA GEOMÉTRICA: ...................................................................................................................... 116 MEDIA ARMÓNICA: ........................................................................................................................... 117 MODA(O):.............................................................................................................................................. 118 DECILES: ............................................................................................................................................... 118 PERCENTILES ...................................................................................................................................... 119 MEDIDAS DE DISPERSIÓN .............................................................................................................. 119 DESVIO ESTÁNDAR Y VARIANZA: ............................................................................................... 119 ASIMETRÍA Y CURTOSIS ................................................................................................................. 120 MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO: ....................................................... 120 MOMENTO 0: ....................................................................................................................................... 120 MOMENTO 1: ....................................................................................................................................... 121 MOMENTO 2: ....................................................................................................................................... 122


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MOMENTO 3: ....................................................................................................................................... 122 MOMENTO 4: ....................................................................................................................................... 123 MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN ............................................................... 123 MOMENTO 1......................................................................................................................................... 123 MOMENTO 2......................................................................................................................................... 124 MOMENTO 4......................................................................................................................................... 125 DESVÍO CUARTÍLICO ........................................................................................................................ 125 VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS ............................................................................................ 126 CONCLUSIÓN ...................................................................................................................................... 126

ANÁLISIS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA .................................................................... 127 Método de los promedios móviles ........................................................................................................ 127 CICLOS .................................................................................................................................................. 129 Método de los nueve puntos: ................................................................................................................. 129 RELACIÓN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS VARIABLES) ............................................. 131 AJUSTAMIENTOS ............................................................................................................................... 131 Método de los mínimos cuadrados: ....................................................................................................... 131 COVARIANZA ...................................................................................................................................... 132 DOS RECTAS DE REGRESION ......................................................................................................... 132 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ................................................................................................. 133

ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO ............................................................................... 134 CORRELACIÓN – EN UNA POBLACIÓN ....................................................................................... 134 DEMANDA COMO CORRELACIÓN PRECIO-CANTIDAD ......................................................... 135

CORRELACIÓN - EN MUESTRAS .................................................................................. 136 EVALUACIÓN DE EXÁMENES........................................................................................................ 137 ANÁLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA ............................................................................... 138 REGRESIÓN MÚLTIPLE .................................................................................................................... 139 ESTIMACIÓN DE DEMANDA POR CORRELACIÓN MÚLTIPLE - PRONÓSTICOS: ............ 139 DISCOS DE FRENO PARA AUTOS .................................................................................................. 139 ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................................................. 141

ANÁLISIS DE REGRESIÓN ................................................................................................ 142 ANOVA (en inglés ANÁLISIS DE VARIANZA ............................................................................... 143 MULTICOLINEALIDAD - FIV........................................................................................................... 144 ESTADISTICA DESCRIPTIVA EXCEL ............................................................................................ 145 ESTIMACIÓN LINEAL (MÚLTIPLE) - VENTA DE HELADOS ............................................ 147 MULTICOLINEALIDAD - .................................................................................................................. 149 MATRIZ DE CORRELACION CON EXCEL .................................................................................... 149 MATRIZ DE COVARIANCIA .......................................................................................................... 152 ECONOMIA NO ES MEDICINA NI ES MECÁNICA ..................................................................... 156 CORRELACIÓN MULTIPLE Y ANOVA CON SPSS (IBM) .......................................................... 157 CORRELACION CON EVIEWS (ex TSP) ......................................................................................... 159 CORRELACION MÚLTIPLE CON STATA..................................................................................... 163


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ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION) ............................................................................ 171 AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL ........................................................................................ 174 AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL ........................................................................... 175 AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL ................................................................................. 176 AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL .............................................................................. 178 “MEJOR AJUSTAMIENTO” CON “FINDGRAPH” ......................................................................... 179 CAPÍTULO 3 - ..................................................................................................................................... 182 PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN ................................................................................................ 182 ¿CON SERIES, CON ECUACIONES, MATRICES O CON PROGRAMACIÓN LINEAL? ....... 182 ¿PARA QUÉ PROYECTAR CON CORRELACIONES?.................................................................. 183 ANÁLISIS DE COYUNTURA PARA PRONÓSTICOS ................................................................... 183 MODELOS DE SIMULACION DE LA OFERTA Y DEMANDA GLOBAL PARA ESTIMAR LA

DEMANDA DE CHAPA DE SOMISA:.............................................................................................. 185 3.- ANALISIS DE COYUNTURA ....................................................................................................... 189 5- ETAPAS DEL PROCESO PRODUCTIVO ................................................................................... 192 PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL - ................................................................................. 194 CON SOLVER DE EXCEL .................................................................................................................. 194 SENSIBILIDAD .................................................................................................................................... 197 PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX ............................................................................................ 198 Contribución marginal (precios sombra) .............................................................................................. 202 Costo de oportunidad: ............................................................................................................................ 202 Minimizar el costo de producción: ........................................................................................................ 203 DUALIDAD ........................................................................................................................................... 203 PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL ............................................ 205 FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA ....................................................................................... 205 PRODUCCIÓN DE TV, ESTÉREOS Y ALTAVOCES .................................................................... 207 PROBLEMA DE TRANSPORTE ........................................................................................................ 208 PROGRAMACION CON PRESENTACIONES MATRICIALES ................................................... 211 PLANIFICACIÓN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVERSIONES ............................... 211 MAXIMIZAR UNA INVERSIÓN EN BONOS ................................................................................. 213 OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES ........................................................... 216 VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO ................................................. 218

MATRICES Y DETERMINANTES: ...................................................................................................... 221 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ........................................................................................................ 221 MATRIZ DETERMINANTE................................................................................................................ 223 NO SIRVE CUALQUIER MATRIZ .................................................................................................... 224 IMPUT-OUTPUT ................................................................................................................................. 226 EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIÓN-INTERCAMBIO .................................................... 227 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997 ..................................................................... 231 METODO SIMPLEX, EN FORMA ESTANDAR Y CANONICA .................................................. 235 SIMPLEX MATRICIAL ..................................................................................................................... 238

INVESTIGACION OPERATIVA CON EXCEL, WINQSB; GAMS, LINDO, TORA, OTROS .............................................................................................................................................. 241 PROGRAMACIÓN LINEAL CON WINQSB .................................................................................... 241 METODO GRAFICO CON WINQSB ................................................................................................. 245 PROGRAMACION LINEAL CON GAMS ........................................................................................ 248


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PROGRAMACION LINEAL CON TORA ......................................................................................... 253 PROGRAMACION LINEAL CON LINDO ....................................................................................... 256 SISTEMAS CON 1700 VARIABLES ............................................................................................... 260 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN .................................................................................................. 260 SISTEMAS NxN CON SOLVER DE EXCEL .................................................................................... 260 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EXCEL, STATA, EVIEWS, MATLAB, SPSS ......... 262 METODO DE DETERMINANTES: .................................................................................................... 262 SISTEMAS NXN CON DETERMINANTES EN EXCEL ................................................................ 263 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON STATA.......................................................................... 264 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EVIEWS ....................................................................... 267 SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES CON MATLAB .............................................. 272 SISTEMAS NxN CON SPSS ................................................................................................................ 277 CAPÍTULO 4 - .................................................................................................................................... 282 CONTEXTO ALEATORIO .................................................................................................................. 282 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD ..................................................................................................... 282 PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES ........................................................................................ 283 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................................................. 284 ESPERANZA MATEMÁTICA ............................................................................................................ 285 DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................................................................................................. 285 USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPORADAS EN EXCEL .............................. 286 REGLA O TEOREMA DE BAYES ..................................................................................................... 287 ANÁLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo .............................................................................. 289 PERMUTACIONES .............................................................................................................................. 291 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................................................. 292 DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................................................................................................. 293 PRUEBA Z ............................................................................................................................................. 294 VIDA ÚTIL DE UN PRODUCTO ....................................................................................................... 295 MUESTRA DE 200 ARANDELAS ..................................................................................................... 296 MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES ............................................................................. 297 TEORÍA DE LAS COLAS .................................................................................................................... 298 DISTRIBUCIÓN DE POISSON ........................................................................................................... 299 SIMULACIÓN DE MONTECARLO .................................................................................................. 300 TAMAÑO DE LA MUESTRA ............................................................................................................. 304 PROGRAMACIÓN DINÁMICA ......................................................................................................... 305 CADENAS DE MARKOV ................................................................................................................... 305 CAPÍTULO 5 - ..................................................................................................................................... 310 MUESTREO ........................................................................................................................................... 310 ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS .............................................................................................. 311 NÚMEROS ALEATORIOS.................................................................................................................. 312 PEQUEÑAS MUESTRAS .................................................................................................................... 313 DISTRIBUCIÓN STUDENT ................................................................................................................ 313 MUESTRA DE 10 ARANDELAS ....................................................................................................... 313 PRUEBA X

2 (DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MÁS MUESTRAS).... 314

MUESTRA DE 16 PIEZAS TORNEADAS ........................................................................................ 315 MUESTRA DE 200 BOMBITAS ......................................................................................................... 316 SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES ............................................................................................. 317 EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL ......................................................................................... 318 BONDAD DE UN AJUSTE .................................................................................................................. 319 CAPÍTULO 6 - .................................................................................................................................... 321


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TEORÍA DE LA DEMANDA .............................................................................................................. 321 Teorías de la demanda y sistemas económicos .................................................................................... 321 PRIMERA TEORÍA DE LA DEMANDA: sicológico-utilitaria ........................................................ 325 SEGUNDA TEORÍA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia .................................................. 327 CURVA DE INDIFERENCIA Y RECTA DE PRESUPUESTO ....................................................... 328 TERCERA TEORÍA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELADA ..................................... 329 NÚMEROS ÍNDICE .............................................................................................................................. 332 EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA ........................................................ 332 MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA UTILIDAD MARGINAL ............................................................... 332 (A. MARSHALL) .................................................................................................................................. 332 PROBLEMA DUAL: ............................................................................................................................. 334 MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO ................................................ 336 (Y LAGRANGE) ................................................................................................................................... 336

DETERMINANTES .............................................................................................................. 338 EFECTO INGRESO-SUSTITUCIÓN SEGÚN HICKS ..................................................................... 339 FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE ..................................................................................... 344 SIGNIFICADO Y VALOR DE λ: ....................................................................................................... 345 ECUACIÓN DE SLUTSKY ................................................................................................................. 346 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: . 348 PARADOJA GIFFEN ............................................................................................................................ 348 BIENES SUNTUARIOS ....................................................................................................................... 349 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y:............... 350 DEDUCCION DE LA ECUACION DE SLUTSKY........................................................................... 351 INDICES DE PRECIOS Y LOS INSTITUTOS DE ESTADISTICAS Y CENSOS (INDEC) ....... 356 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LOS NÚMEROS ÍNDICE .................................................................. 358 1. Índice agregativo aritmético simple, de precios y de cantidades: ................................................... 359 2. Índice promedio aritmético de relativos: .......................................................................................... 360 3. Índice promedio geométrico de relativos ......................................................................................... 361 4. Índice mediana de relativos ............................................................................................................... 362 5. Índice promedio aritmético ponderado de relativos ......................................................................... 362 6. Índice promedio geométrico ponderado de relativos ....................................................................... 363 7. Índice de Laspeyres ............................................................................................................................ 364 8. Índice de Paasche ............................................................................................................................... 364 9. Índice Ideal de Fisher, aplicado a precios y a cantidades ............................................................... 365 10. Índice de Edgeworth-Marshall para precios y cantidades ............................................................ 366 11. Índice de Walch para precios y a cantidades .................................................................................. 367 12. Índice de Drovish-Bowley para precios y cantidades ................................................................... 368 CAPÍTULO 7 - ..................................................................................................................................... 372 TEORÍA DEL EQUILIBRIO DE LA EMPRESA ............................................................................. 372 MAXIMIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN ........................................................................................ 372 DUALIDAD ........................................................................................................................................... 374 MÍNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIÓN DE 200.000 KILOS ......................... 374 TEORÍA DE LOS COSTOS CON EXCEL ......................................................................................... 377 MINIMIZACIÓN DE COSTOS CON SOLVER ................................................................................ 377 RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES .................................................................... 378 DOS SOFAS SIMPLES MÁS UNO TRIPLE ..................................................................................... 378 PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA ............................................................................... 380


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PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS ......................................................................... 381 PROGRAMACION BINARIA ............................................................................................................ 382 OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO ............................... 383 PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO ............................................................................. 386 EQUILIBRIO EMPÍRICO CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL ..................................................... 389 A) AJUSTE LINEAL DE LA DEMANDA ......................................................................................... 390 B) AJUSTE PARABÓLICO DEL COSTO MEDIO ........................................................................... 391 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON SOLVER ............................................................................. 394

MÉTODOS CIENTICOS: ..................................................................................................... 396 A) FORMAS DE ESTUDIAR ....................................................................................................... 396 B) PRESENTACION TIPO INFORME PROFESIONAL .......................................................... 397 C) METODOS DE DEMOSTRACION ........................................................................................ 397 DUDAS SOBRE MICROECONOMIA Y SUS METODOS CIENTIFICOS: .................................. 400 PRIMERA ) ¿Hace falta gran conocimiento previo de matemática? ................................................. 401 SEGUNDA ) Para que sirve todo esto de los métodos? ..................................................................... 402 ARCHIVO CON 6 METODOS: ........................................................................................................... 403

SEIS METODOS EQUIVALENTES ................................................................................... 406 Cuadro resumen del ejemplo autos y motos: ........................................................................................ 407 Aproximación, recordando como derivar: ............................................................................................ 408 1 ) LAGRANGE ..................................................................................................................................... 409 1b ) DUAL: ............................................................................................................................................. 411 DETERMINANTE................................................................................................................................. 412 2 ) METODO GRAFICO - Maximización ........................................................................................ 413 2b ) DUAL - Minimización ................................................................................................................... 415 3 ) AUTOS y MOTOS SEGÚN SIMPLEX ........................................................................................ 417 3b) VERIFICACION DE LA ULTIMA TABLA SIMPLEX CON MATRICES .......................... 419 4 ) SOLUCION CON SOLVER de Excel ............................................................................................ 420 5 ) MATRICES (…MANUALMENTE) .............................................................................................. 421 AYUDA: ALGEBRA MATRICIAL .................................................................................................... 424 6 ) MATRICES …CON EXCEL .......................................................................................................... 425 DUALIDAD: .......................................................................................................................................... 426 MODELACION MATEMÁTICA ........................................................................................................ 431

CARPINTERIA ..................................................................................................................... 431 MINIMIZACION, ENTERO - MINERA ........................................................................................... 432 MODELACION DE PROGRAMACION CON SOLVER ................................................................. 435 COMPUTADORES ............................................................................................................................... 435 SOLVER EN FORMA TIPO MATRICIAL / SIMIL MATRICIAL / o PARAMATRICIAL ......... 437 REFINERIA AZTECA .......................................................................................................................... 439 MODELACION DEL EQUILIBRIO EMPRESARIO (Y ”GENERAL”) ........................................ 443 OMAN: COMUNIDAD DE PESCADORES Y CAZADORES ........................................................ 443 RESPUESTAS ....................................................................................................................................... 444 5) Programación lineal con Solver de Excel......................................................................................... 450 7) ¿QUIEN FUE EL ASESINO? .......................................................................................................... 453


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8) PROGRAMACION LINEAL -OTRA FORMA DE SOLVER ..................................................... 454

VARIAS FORMAS DE SOLVER ......................................................................................... 457 EVALUACIÓN DE INVERSIONES – TIR Y VAN .......................................................................... 458 VAN Y TIR (VALORACION DEL TIEMPO) ................................................................................... 460

EVALUACION CONTABLE DE UNA EMPRESA .............................................................. 463 DEFORMACIONES CONTABLES USUALES ................................................................................ 463

TRES ESTADOS CONTABLES: ........................................................................................ 465 ANÁLISIS DE BALANCES................................................................................................................. 466 ESTABILIDAD DINAMICA (teorema de la telaraña) ...................................................................... 467 AJUSTE ANTE UNA BAJA EN LA DEMANDA ............................................................................. 469 MEDIDA DE LA RAPIDEZ DEL AJUSTE ....................................................................................... 470 AJUSTE ANTE UNA BAJA DE OFERTA POR SUBA DE COSTOS ............................................ 472 ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION .......................................................... 474 ITERACIONES EXCEL ....................................................................................................................... 475 RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9............................................................................ 476 CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE) ................................................................................. 477 NEWTON – RAPHSON........................................................................................................................ 478

MODELOS DE SIMULACION EN EL MIT: ....................................................................... 479 MODELO DE LA CERVEZA EN EXCEL ......................................................................................... 482 CAPÍTULO 8 ......................................................................................................................................... 484 TEORÍAS ECONÓMICAS Y LEGISLACIÓN OBLIGATORIA ..................................................... 484 TABLAS DE EXTRAS DE PRECIOS Y COSTOS ........................................................................... 485 CONTRATACIÓN EN COMPETENCIA PERFECTA: .................................................................... 487 CRITERIO DE CONTRATACIÓN ..................................................................................................... 487 MERCADO COMPETITIVO ............................................................................................................... 489 EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES ....................................................................... 489 OTROS MERCADOS - MONOPOLIO ........................................................................................... 492 MONOPOLIO QUE ACTÚA COMPETITIVAMENTE.................................................................... 493 MONOPOLIO DISCRIMINADOR...................................................................................................... 494 MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIÓN ............................................................................................ 496 EMPRESA CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) ........................................................ 497 COMPETENCIA MONÓPOLICA ....................................................................................................... 499 EMPRESA LÍDER Y SEGUIDORAS ................................................................................................. 502 CARTEL (COLUSIÓN ENTRE EMPRESAS) ................................................................................... 504 COASE: COSTOS DE TRANSACCION E INSTITUCIONES ADECUADAS ............................. 507 LA TRAGEDIA DE LOS (BIENES) COMUNES: OSTROM .......................................................... 509 OTRO ENFOQUE INSTITUCIONAL DIFERENTE ........................................................................ 509 CONTRATACIÓN BAJO MONOPSONIO ........................................................................................ 512 CONTRATACIÓN BAJO MONOPOLIO (CON SINDICATO) ...................................................... 514 MONOPOLIO BILATERAL ................................................................................................................ 515 MODELO DI TELLA SOBRE INTERMEDIARIOS COMERCIALES .......................................... 516


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MODELACION NEOCLÁSICA .......................................................................................................... 518 RAPIDITO Y LENTITO EN LA ESTACION VIVITOS................................................................... 518 TELEFOCOM Ejercicio 4: ................................................................................................................... 522 RESPUESTAS: ...................................................................................................................................... 523 TELEFOCOM **EJERCICIO 7: .......................................................................................................... 527 RESPUESTAS: ...................................................................................................................................... 529 MULTIPRODUCTO.............................................................................................................................. 538

MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO ................................................ 538 EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO ......................................................... 538 SEIS METODOS EQUIVALENTES ................................................................................................... 538 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON PRODUCCION DIVERSIFICADA: ................................ 538 -A) Producción simple: .......................................................................................................................... 538 - B) Producciones múltiples................................................................................................................... 539 - C) producciones múltiples conjuntas o conexas ................................................................................ 540 SUBPRODUCTOS ................................................................................................................................ 541 PRODUCCION CONJUNTA DEPENDIENTE (CONEXA) ............................................................ 544 MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO. . SEIS METODOS

EQUIVALENTES .................................................................................................................................. 546 COMPETENCIA DESLEAL ................................................................................................................ 550 ANTIDUMPING .................................................................................................................................... 551 CARGA IMPOSITIVA PARA EXPORTADORES ........................................................................... 553 PROTECCIÓN EFECTIVA DE UNA INDUSTRIA .......................................................................... 555 CAPITULO 9 ......................................................................................................................................... 556 TEORIA DE JUEGOS –CONTEXTO HOSTIL ................................................................................. 556 TEORIA DE JUEGOS ........................................................................................................................... 556 TEOREMA MINIMAX: ........................................................................................................................ 561 EJEMPLOS DE JUEGOS NO COOPERATIVOS .............................................................................. 564 EL DILEMA DEL PRISIONERO ........................................................................................................ 565 TOMA Y DACA .................................................................................................................................... 566 ESTRATEGIAS MIXTAS .................................................................................................................... 567 ESTRATEGIAS DOMINADAS ........................................................................................................... 568 AMENAZA CREIBLE .......................................................................................................................... 568 DOMINACION - DOMINANCIA ....................................................................................................... 570 JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL, GEOMÉTRICAMENTE, ANALÍTICAMENTE Y

CON SOLVER ....................................................................................................................................... 570 JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA ................................................................................................... 573 JUEGOS CON PROGRAMACION LINEAL SIMPLEX .................................................................. 577 JUEGOS REPETIDOS Y SUPERJUEGOS......................................................................................... 577 CON SOLVER DE EXCEL .................................................................................................................. 578 POLICIAS Y LADRONES ................................................................................................................... 597 HALCON Y PALOMA ......................................................................................................................... 601 FOLK THEOREM ................................................................................................................................. 609

OLIGOPOLIO Y LA TEORIA DE JUEGOS ........................................................................ 614 MODELO DE COURNOT COMO TEORIA DE JUEGOS.............................................................. 617 MODELO DE VON STACKELBERG ................................................................................................ 620


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JUEGOS CON COLUSION (CARTEL) .............................................................................................. 622 DUOPOLIO DE CHAMBERLIN ......................................................................................................... 622 MODELO DE HOTELLING (LOCALIZACION) ............................................................................. 623 EL TEOREMA DE LA MEDIANA ..................................................................................................... 624 EMPRESA DOMINANTE .................................................................................................................... 625 DEMANDA QUEBRADA DE SWEEZY .......................................................................................... 626 DUOPOLIO DE BERTRAND .............................................................................................................. 627 DUOPLIO DE EDGEWORTH ............................................................................................................. 628 MODELACION EMPRESA SOBREDIMENSIONADA EN UN PAIS EN DESARROLLO ....... 629

OLIGOPOLIO DE 3 A 9 EMPRESAS ................................................................................. 636 INFORMACION IMPERFECTA ......................................................................................................... 640 APUESTA DE PASCAL ....................................................................................................................... 644 TEORIA DE LOS ACUERDOS ........................................................................................................... 646 INDICE DE PODER DE SHAPLEY Y DE BANZHAF CON EXCEL ............................................ 648 VALOR DE SHAPLEY ........................................................................................................................ 648 LA OPTIMIZACION SUBJETIVA (Y LOS BANZHAF): ................................................................ 653 INDICE DE PODER DE BANZHAF CON EXCEL .......................................................................... 654 VALOR DE SHAPLEY CON EXCEL ................................................................................................ 659 CAPITULO 10 ....................................................................................................................................... 660 JUEGOS MULTIPLES NO COOPERATIVOS ................................................................................. 660 OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO - MULTICRITERIO ............................................................. 661 PROGRAMACION POR METAS ....................................................................................................... 661 PROGRAMACION POR METAS CON EXCEL ............................................................................... 662 PROGRAMACON POR METAS CON WINQSB ............................................................................. 665 ANALISIS ENVOLVENTE DE DATOS (DEA) ............................................................................... 668 LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA ................................................................................. 673 ALGORITMOS PARETO EFICIENTE ............................................................................................ 674 EJECUTABLE MULTICRITERIO ORDENADOR FCE-UBA ...................................................... 675 MULTICRITERIO –MULTIOBJETIVO CON EXCEL 2007 o 2010 ............................................ 678 EVALUACION DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS ........................................................................ 680 PARADOJA DE LA INDUCCION - MANO TEMBLOROSA ...................................................... 681 PARADORA DEL PRISIONERO........................................................................................................ 683 PARADOJA DEL INGRESO DE COMPETIDORES -BARRERAS DE ENTRADA -MERCADOS

CONTESTABLES ................................................................................................................................. 683 PARADOJA DE LAS ESTRATEGIAS GATILLO -TRIGGER ....................................................... 684 LIMITACIONES DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS ...................................................................... 684 OBSERVACION GENERAL SOBRE LATEORIA DE LOS JUEGOS .......................................... 686 ECONOMIA EXPERIMENTAL Y LA SEU ...................................................................................... 687 EQUILIBRIO GENERAL Y TEORIA DE LOS JUEGOS -CAJA DE EDGEWORT- ................... 689 ECONOMIA DEL BIENESTAR .......................................................................................................... 689 RESPONSABILIDAD SOCIAL EMPRESARIA-ESR ...................................................................... 692 CUATRO CONTEXTOS EN EL ANALISIS Y TOMA DE DECISIONES ................................... 693 TEORIA DE LA DECISION ................................................................................................................ 694 PRINCIPIO DE REVELACION........................................................................................................... 697 ECONOMIA DE LA INFORMACION ............................................................................................... 698 INFORMACION ASIMETRICA (CONTRATOS) .......................................................................... 698 RIESGO MORAL .................................................................................................................................. 698


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SELECCIÓN ADVERSA...................................................................................................................... 699 SEÑALIZACION ................................................................................................................................... 699 AXIOMAS DE LA LÓGICA NEUMANN-MORGENSTERN ......................................................... 700 CRITERIOS DE BIENESTAR: TEORIA DE LA DECISION .......................................................... 702 RIESGO vs. INCERTIDUMBRE ......................................................................................................... 704 CONTEXTO INCIERTO - SEGUROS ............................................................................................ 705 EVALUACIÓN DE PROYECTOS INCIERTOS ............................................................................... 707 MERCADOS DE FUTUROS ............................................................................................................... 708 VALOR ESPERADO ............................................................................................................................ 708 UTILIDAD ESPERADA ....................................................................................................................... 709 COMPETENCIA BAJO INCERTIDUMBRE ..................................................................................... 710 EJEMPLO BAJO INCERTIDUMBRE: ............................................................................................... 711 TEORÍA DE LA INCERTIDUMBRE - SUBASTAS ............................................................. 714 LICITACIONES (SUBASTAS / AUCTIONS) ............................................................................. 715 TEOREMA DEL INGRESO EQUIVALENTE................................................................................... 718 MALDICIÓN DEL GANADOR .......................................................................................................... 719 SUBASTA VICKREY ........................................................................................................................... 719 EJEMPLO DE SUBASTA VICKREY MULTIPLE OBJETO........................................................... 723 SUBASTA MULTIPLE (PAQUETES ................................................................................................ 724 EJEMPLO SUBASTA VICKREY EN PAQUETES ........................................................................ 725 SUBASTAS CON EXCEL, … ............................................................................................................. 728 CON GAMS, WINQSB, MATLAB, TORA, LINDO, VIEWS, SPSS, STATA............................... 728 EJEMPLO DE SUBASTA MULTIPLE ............................................................................................... 728 EJEMPLO DE SUBASTAS REPETIDAS .......................................................................................... 730 SUBASTAS DE UN UNICO BIEN Y DE PAQUETES .................................................................... 732

“LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA (2)” ........................................................... 736

ALGUNOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS .......................................................................... 738 TEORIA DE CONJUNTOS de Von Neumann-Bernays-Gödel ......................................................... 746 TEORIA DE LA INCERTIDUMBRE NO ESTRUCTURADA ........................................................ 750 PARADOJA DE SAN PETERSBURGO DE D. BERNOULLI ........................................................ 751 TEORIA DE LA DECISION – SEGUN TIPOS DE INCERTIDUMBRE ........................................ 752 UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU: .................................................................................. 752 AXIOMAS DE LA UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU:................................................. 752 PARADOJA DE ALLAIS: ................................................................................................................... 753 PRINCIPIO DE INDETERMINACION DE HEISEMBERG ............................................................ 753 INCERTIDUMBRE SEGÚN J. M. KEYNES ..................................................................................... 754 URNA DE PÓLYA ................................................................................................................................ 754 LOGICA DIFUSA (FUZZY) / MATEMATICA BORROSA ............................................................ 755 ANALISIS NUMERICO - CALCULO NUMERICO DEL CÁOS .................................................. 758 FUNCION LOGISTICA DE LORENZ................................................................................................ 758 ATRACTORES – FRACTAL – CAOS ............................................................................................... 760 MARKETING ........................................................................................................................................ 762 NEGOCIACION (BARGAINS)–TEORIAS- METODOS: ................................................................ 764


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EL JUEGO DE LA CERVEZA DEL MIT ............................................................................. 767 TEORÍA IRREAL vs PRÁCTICA REAL............................................................................................ 770 BRECHA ENTRE MODELACION Y REALIDAD - BROCHE DE ORO AUSENTE - ............... 771 ENUNCIADOS DE EJERCICIOS CON 50 TIPOS DE TP .............................................................. 776 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................... 789 50 INFORMES PARA 50 TP (GUIA) ................................................................................................ 790 7 TP OBLIGATORIOS EN EXCEL ................................................................................................... 818 LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS ................................................................................ 819 COMPARACIONES DE SOFT ............................................................................................................ 827 AYUDA DE MICROSOFT ON LINE ................................................................................................. 841 EDITOR DE ECUACIONES DEL OFFICE MICROSOFT .............................................................. 842 POTENCIAS Y RAÍCES ...................................................................................................................... 842 RAÍCES EN FUNCIONES CUADRÁTICAS: RUFFINI .................................................................. 843 RAÍCES EN FUNCIONES CÚBICAS: RUFFINI .............................................................................. 843 RAÍCES EN POLINOMIOS DE ORDEN SUPERIOR ...................................................................... 845 ORGANIGRAMAS CON MICROSOFT CHART ............................................................................. 845 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 863 INDICE ALFABÉTICO ........................................................................................................................ 866 Enfoque práctico del curso: ................................................................................................................... 879


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PRÓLOGO

En el ámbito de investigación de mercado o ventas de cada empre-sa, así como en el de los profesionales y estudiantes de microeco-nomía (o economía de la empresa), es fundamental el estudio de la demanda y de la programación. Las técnicas estadísticas y econométricas son laboriosas y presen-tan dificultades importantes, tanto para comprenderlas y memorizar-las, como para la aplicación concreta de esos métodos, generalmen-te imposibles de concretar sin ayuda de ordenadores. Desde la aparición de Excel, se ha simplificado considerablemente el uso de estas técnicas, ya que esta hoja de cálculo facilita muchas operaciones. Adicionalmente Excel tiene incorporadas gran cantidad de funciones estadísticas, financieras y matemáticas, dedicadas a estos análisis. Incluyen breves ayudas conceptuales, pero suelen no ser suficientes para la generalidad de los usuarios, quienes pueden no captar el sentido y practicidad de cada aplicación al no disponer de un ejem-plo práctico de la misma resuelto. Este trabajo reúne una cantidad importante de esos ejemplos re-sueltos paso a paso, sobre las aplicaciones referidas al estudio de demanda, mercado, programación y otros de la empresa y la micro-economía, que se identifican en el índice. Se plantea el problema, se lo resuelve con breves pasos Excel y se incluye la evaluación o identificación del caso para orientar al lector. No es este trabajo un manual de Excel. Supone tener una idea bási-ca, mínima, sobre su uso; y no repite indicaciones elementales, tales como abrir o salir de un archivo, imprimirlo, copiarlo, etc que son


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conocidas por la generalidad de usuarios de Excel, Word y otros del Office de Microsoft. Lo que sí se detalla paso a paso, brevemente, es como imprimir, graficar y aplicar series, funciones y métodos estadísticos o econo-métricos. T. I. Rébora


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INTRODUCCIÓN

Algunos economistas (entre ellos Arrow) incluyen como introducción un breve relevamiento de los principales aportes en la disciplina, como hitos que interesa considerar para la comprensión de esta materia. En este caso se optó aquí por resumir, además de la teoría económica, también una breve evolución de la propia civilización occidental y de los métodos científicos, que tanto han influido y con-dicionado la economía según los maestros: Civilización occidental: evolución de la matemática y de la ciencia económica sobre el V postulado de los Elementos de Euclides. La economía clásica. La geometría analítica con Descartes y la micro-economía. Errores en la microeconomía clásica. Aportes de Micro-economía con Excel (MCE). Tres posibles enfoques microeconómi-cos y temas fundamentales para un curso general de microecono-mía: para qué se estudia microeconomía.

CIVILIZACION OCCIDENTAL

El origen de la civilización occidental suele ubicarse hace 4000 años, entre el Mediterráneo y el Golfo Pérsico, especialmente en Babilonia, en el Éufrates; hubo aportes iniciales de asirios, fenicios y otros y en los siglos posteriores desde Egipto, China e India. El código Hammurabi babilónico (recopilación en -1760 de otras

leyes anteriores) es un documento describiendo en 282 artículos un completo sistema económico, conformado por numerosas institu-ciones y normas, todavía vigentes en la actualidad: propiedad priva-da de los medios de producción (tierras, casas), libertad de comer-


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ciar, mercados, precios, salarios, moneda, pesas, medidas, tasas de interés, alquileres, consignaciones, armadurías de barcos para co-mercio exterior, controles gubernamentales, impuestos y otras nu-merosas normas, leyes e instituciones. Incluían en su organización productiva la esclavitud, que posteriormente se transformaría en servilismo agrícola durante la época feudal medieval. El área de influencia de Babilonia estaba constituida por Persia, la región asiria y Balcanes Textos griegos y romanos citan el comercio de fenicios (s.-XI) y griegos hasta la costa atlántica de la península Ibérica (Islas Casitérides o del estaño, Galicia) y con Asia central y África. Su cultura se desarrolló hasta la época de Nabucodonosor y luego confluyó con la unión a la griega. Poco después cayó bajo el Imperio Romano y al desmembramiento de este continuó como Imperio Romano de Oriente (o bizantino: Constantinopla), que sufrió el desmembramiento de Persia, Damasco, Jerusalén y Alejandría durante la égida árabe en el s.VII y finalmente de la propia Constan-tinopla en el s. XV ante el imperio otomano. Aquellos pueblos sumerios y sus vecinos aportantes de estas ideas fueron conquistados en el s.-IV por Alejandro Magno y Grecia (Ate-nas, Nicea, Smirna, Pergamo, Trebisonda, Antioquía, Tesalonia,

Alepo, Constantinopla) remplazó esos gobiernos, agregando tam-bién Egipto y desde el año -282 centralizando el conocimiento en la Biblioteca de Alejandría sobre la desembocadura del Nilo. El conocimiento había adquirido en Grecia carácter científico, al in-cluir en sus libros no solo los enunciados y principios sino también los métodos de procedimiento y de demostración (la figura de los modelos debería esperar todavía 2000 años). El inmediato dominio del imperio romano sobre toda la región agre-gó a esto el progreso del derecho civil (no ciudadanos y ciudadanos que recibían predios con esclavos por sus servicios militares, etc) y del derecho común (relaciones económicas y otras) como institución


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que confirmó jurídicamente aspectos civiles y otros, como el dere-cho de propiedad privada y de herencia (en sus atributos ius utendi, ius fruendi, ius disponendi), aunque congeló el progreso del cono-cimiento científico griego en materia de economía, matemáticas y lógica que aquí nos interesan, hasta que Europa los rescató des-

de las traducciones árabes (e hindúes), que ilustres peregrinos eu-ropeos a Santiago de Compostela conseguían en latín desde Cór-doba y la Escuela de Traductores de Toledo durante los siglos XII a XIV; y luego pasarían en los siglos XVI al XVIII hacia América y otras regiones del mundo.

EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA

La economía como disciplina científica está muy vinculada con el álgebra o matemáticas y con la filosofía y lógica, ya que les propor-cionan específicamente los métodos y procedimientos, utilizados para la administración de los recursos de las unidades individuales y de los países. Los avances del conocimiento algebraico (o matemático) también fueron constituyendo hitos para el progreso de las teorías económi-cas: desde el cambio por los números indo-arábigos, el concepto de de cero, de infinito, etc. hasta las geometrías plana y la analítica, la deducción simbólica, la idea de derivada y su integral, la verificación inductiva, etc., avanzando desde una modalidad inicial retórica (en prosa, textos), que luego se transformó a sincopada (con algunas abreviaturas o símbolos) y llegó finalmente al álgebra (o matemáti-ca) simbólica y al enfoque computacional actuales. Desde esas raíces mesopotámicas hasta los nuevos desarrollos computacionales, esos hitos fueron permitiendo diferentes teorías y explicaciones microeconómicas, que lograron su máximo desarrollo abarcativo con el enfoque neoclásico computacional que aquí se propone como economía de la empresa, no obstante que continúan


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apareciendo nuevos métodos y enfoques para numerosos casos particulares. Finalmente, la microeconomía fue tomando cuerpo individualizado, pero en cuanto a su objeto de análisis particular y no general. Sin embargo, la ausencia de instrumentos computacionales no permitió una clara individualización temprana como disciplina dedicada es-pecíficamente a las empresas y convivía en un entorno propedéutico de economistas ocupados mayormente en cuestiones macroeconó-micas, que se olvidaron de los requerimientos de la empresa, lo cual se intenta aquí superar. El código Hammurabi, de la Mesopotamia del Tigris y Éufrates, es

una de las más importantes y antiguas recopilaciones de la civiliza-ción occidental. Incluye influencias sumerias anteriores, así como de asirios, caldeos y otros pueblos. Los caldeos fijaron las relaciones 3, 4, 5 de los lados de un triángulo rectángulo, según aclararía luego el teorema de Pitágoras. También interesa especialmente, el papiro del escriba egipcio Ah-mes (comprado por el escocés Rhind) de -1580 (referencias a -

1788), en el que figura la resolución egipcia del triángulo y una aproximación al número pi (π) como 3,1604, junto con numerosos conocimientos aritméticos y geométricos. La medición de las tierras fértiles para fijarles impuestos y la construcción de monumentos requería conocimientos matemáticos (geométricos y otros) importan-tes, que ya Herodoto señala como el origen de la geometría. En los libros de los Reyes del Antiguo Testamento figuran una pri-maria aproximación rústica sobre la relación 1 a 3 entre diámetro y circunferencia; y los “codos” del templo de Salomón (aunque diver-sos conocimientos aritméticos debieron ser utilizados por los merca-deres fenicios).


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En el siglo –XI el libro chino de las Permutaciones describe la cir-cunferencia y las relaciones del triángulo rectángulos de lados 3, 4, 5 que conforman el teorema de Pitágoras. En los siglos –VII y –V el Manual del Constructor indio, de Apas-tamba, también fue conocido por los griegos de la era alejandrina. Thales describió en Mileto -570 las propiedades de los triángulos semejantes, según sus ángulos, lados y áreas (que incluso utiliza-ban para su localización aquellos navegantes). Pitágoras -532 describió la geometría plana: el punto, la línea, figu-ras, sólidos y el universo, según la visión de los caldeos. En su teo-rema el cuadrado de los catetos suma como el de la hipotenusa de los triángulos; pero en aquellos de cateto igual a uno la hipotenusa no era 2, presentando así los número inexpresables o irracionales. Pitágoras también planteó la idea de infinito al describir el espacio como un número infinito de puntos y al tiempo como un número infi-nito de instantes. El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Estableció en Grecia (Alejandría -300) la geometría plana que sería divulgada fuente del conocimiento matemático y como escuela bá-sica durante 2300 años: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela; dos parale-las a una tercera lo son entre sí; la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo suma dos rectos; una recta corta a dos paralelas con ángulos alternos iguales; dos paralelas son equidis-

tantes; por tres puntos no alineados pasa un solo círculo; se pueden construir ángulos semejantes en magnitud arbitraria. Si bien le fue imposible fundamentar filosóficamente esta geometría y aunque las nuevas geometrías no euclidianas cuestionaron dife-rentes aspectos (sobre la esférica superficie de la tierra la suma de


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los ángulos del triángulo suma más que dos rectos; en el espacio estelar las paralelas no son equidistantes; etc.) este postulado geométrico fue la base del desarrollo algebraico y matemático anti-guo y moderno. Este origen geométrico de la matemática antigua se observa tam-bién en Platón, cuando en la República le hace decir a Timoteo que la geometría es más real que el mundo real, dependiendo solo de la contemplación del individuo (paradójicamente sin la necesaria expe-rimentación que por ejemplo ya figuraba en el papiro Ahmes (Rhind). Eudoxio, -400, refutó esas ideas, observando la necesidad de una verificación de esa intuición ensalzada por Platón. También se acer-có a la idea de infinito quitándole a un número más de su mitad su-cesivamente hasta llegar a otro tan pequeño como se desee. Zenón resolvió por absurdo la paradoja de Aquiles y la tortuga (acla-rándola por requerir la dicotomía de cubrir en sucesivas fases prime-ro la distancia hasta la tortuga y luego el adicional avanzado) con-firmando así la necesidad de la verificación empírica en las mate-

máticas (hoy inducción estadística), sin limitarse solamente a los razonamientos lógicos de la intuición humana (intuición pura en

Kant; hoy deducción lógica). En el -400 el general historiador ateniense Jenofonte describe en El Económico la economía doméstica y rural griega y la división del trabajo entre sus clases sociales; el abastecimiento de la población y ejércitos en épocas normales y de conflicto, con algunos primeros análisis occidentales sobre precios e inflación. En -390 Platón escribió La República, con una descripción de tipo ideal de lo que debiera ser una organización social, sin propiedad privada de la tierra y considerando al comercio como una actividad improductiva (tal como en la posterior fisiocracia de F. Quesnay)


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En -335 Aristóteles, maestro de Alejando el Grande, fijó los prime-ros enfoques científicos sobre la naturaleza de los precios, regis-trando que sobre ellos había una doble influencia conjunta, tanto de la demanda como de la oferta (necesidades, o valor subjetivo y tam-bién costos de producción, valor objetivo). Frente a la idea de Platón, defendió la propiedad privada de la tierra; y en Ética a Nicómaco (su hijo) analizó la justicia distributiva (de los ingresos y propiedad entre los ciudadanos y no ciudadanos) y la justicia conmutativa (del justo precio en los mercados). Distinguió el valor de uso del valor de cambio o precio de los bienes (que en su libro Política, también analizó distinguiendo la riqueza de bienes y su uso como diferente de la crematística o acumulación del Rey Midas, que convertía en oro todo lo que tocaba pero sin poder gastar y dis-frutar de esos bienes). También hizo los primeros análisis del con-cepto de interés (que luego tomaría Santo Tomás de Aquino en el s. XIII, desde una traducción de Averroes en Córdoba en el XII, apa-rentemente adquirida en España por su maestro San Alberto Magno, ex peregrino a Compostela). Pero además de sus enfoques éticos sobre la economía (le preocu-paba el tema de la usura, carestía, etc.) nos interesa aquí el com-plemento de su aporte metodológico: en el libro IV-Segundos Analí-ticos de su Órganon analizó Aristóteles el método científico de la lógica del silogismo hipotético: si todo A es B; y si X es A; entonces X es B.

Luego de la era alejandrina, los Ptolomeos radicaron el conocimien-to en la biblioteca de Alejandría en la desembocadura del Nilo. La aritmética de Diofanto en +250 fue uno de los pocos aportes griegos desde Alejandría durante su decadencia científica de casi diez siglos bajo la era romano cristiana, surgiendo con él la aritméti-ca sincopada (que se ayuda con algunas letras para simplificar cálculos).


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Durante el medioevo, Brahmagupta en el 628, India, tradujo y per-feccionó la aritmética sincopada de Diofanto, como el arte de expli-car “LA COSA” (el álgebra o geometría, aritmética e incluso matri-ces); también ideó el concepto del cero y los números negativos. En 815 Alkhwaritmi (el corintiano) presentó los 10 dígitos que pasarían a ser utilizados en occidente (luego que el monje Vigila los expusiera en su Códex Vigilanicus en Castila en 976 y que Sava-sorda lo tradujera en Cataluña en el siglo XII). En 1092 el persa Omar Kayyan perfeccionó la matemática de Eu-

clides (y calculó el tiempo con 365 días, con un mínimo error de un día cada 4000 años, frente a cada 3300 años según el papa Grego-rio en el 1600) El conocimiento griego depositado en la biblioteca de Alejandría era paulatinamente traducido por hindúes y por árabes. Estos últimos lo introdujeron en Córdoba, España y la castellana Escuela de Tra-ductores de Toledo constituyó un centro europeo de difusión del conocimiento, aprovechado por las peregrinaciones de monjes, san-tos y otros romeros ilustres a Santiago de Compostela especialmen-te durante los siglos XII a XIV (San Agustín, San Francisco, San Albergo Magno, maestro de Santo Tomás de Aquino, etc. y muchos otros doctos santos y gobernantes europeos). En el XIII el mercader italiano L. Fibonacci escribió varios trabajos, entre ellos una completa aritmética con los nuevos números indo-arábicos, Liber Abaci. Disponiendo ya del invento de Gutemberg de 1450, Luca Pacioli recopiló estos conocimientos en una Summa impresa en 1500. En los escolásticos influyeron las ideas aristotélicas sobre precios y salarios: fueron expuestas por Santo Tomás de Aquino en el si-glo XIII para la Iglesia, preocupada por la justicia conmutativa y la


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distributiva: el justo precio y el justo salario (en Suma Teológica y Suma para Gentiles), enseñándose en las universidades de Bolonia, Oxford, Salamanca y París. Posteriores estudios de la Iglesia avanzaron en forma diferente, abandonando esta doble influencia; según las presiones de cada época prevaleció un tiempo la influencia de los costos de producción (salarios, en San Alberto Magno en 1250 y en frai Duns Scoto en 1300, que incluía un beneficio normal para el comerciante; Marx en 1848) y luego su naturaleza subjetiva según las necesidades del comprador (en el jesuita Luís de Molina, Madrid 1590; H.H.Gossen 1854, L. Walras 1874). En 1240 el jurista Raimundo de Peñafort en Barcelona había anali-zado el concepto griego del interés, distinguiendo la usura del lucro cesante y daño emergente como beneficio resarcitorio del préstamo monetario. Estos postulados de la Iglesia continuaron siendo importantes du-rante los tres siglos del imperio español, bajo una administración que saldaba monetariamente su comercio exterior; el derecho de gentes aseguró personería jurídica a todos los integrantes del impe-rio (no obstante algunas rémoras de esclavitud impuestas y promo-vidas por acuerdos internacionales), así como la propiedad privada, leyes de herencia, impuestos, mercados e instituciones del capita-lismo comercial moderno, con una creciente influencia cultural y científica de París. Paralelamente, en otros países europeos se promovía la generación de excedentes manufacturados para expor-tación, junto con nuevas ideas económicas para apoyarlos (teorías librecambistas), que se impondrían en el mundo luego del período napoleónico. Sin referirnos a las ciencias aplicadas (astronomía, física, mecáni-ca/ingeniería, arquitectura, náutica, etc) sino a la economía y a las ciencias puras (lógica y matemática pura) que aportan sus métodos,


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en el s.XVI aparecieron los aportes de Cardano y de Tartaglia sobre la resolución de ecuaciones de tercer grado (hoy en aparente desuso porque en Excel una cifra se eleva con el símbolo^ a cual-quier potencia). En 1514 Juan Martínez escribió sobre la división de la esfera en 360 grados, minutos, segundos; también las propieda-des de los números con la media aritmética, media geométrica y media armónica; regla de tres, etc. En 1597 surgió el sistema de logaritmos neperianos, como series inversas a las exponenciales

(Napier /Neper). En 1600 aparece el álgebra simbólica (logística especiosa) con Vie-te. En 1637 Rene Descartes publicó el Discurso del Método y apor-

tó la idea de un par de ejes ortogonales: con coordenadas para cada punto de una figura sumables, comenzaba así la geometría analíti-ca; y con la idea de funciones graficables (que dependían de alguna variable X, Y, Z y en las que a, b y c representaban constantes, co-mo por ejemplo para medir los registros de un barómetro o para calcular la trayectoria parabólica de un proyectil, balística). Juan Caramuel escribió sobre el cálculo de probabilidades y jue-gos de azar (1656, que luego ampliaría Pascal), también un siste-ma binario (1670, que posteriormente ampliarían Leibniz y Boole) y

otro sistema de logaritmos con base diferente a la de J. Napier / Neper. También en el s. XVII progresaron, con B. Pascal, el análisis

combinatorio, las probabilidades y el método inductivo; el álgebra con números irracionales según W.Leibniz o con el complejo de Gauss (sin + i y – i la raíz de -4 no tenía antes sentido). Los aportes sobre lógica y matemáticas en 1666 de S. Izquierdo son menciona-dos por Leibniz entre sus antecedentes del cálculo infinitesimal. También I. Newton menciona los tratados sobre análisis geométrico, trigonometría y aritmética de Antonio Omerique.


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En particular sobre este proceso de acumulación de conocimien-tos para el cálculo infinitesimal cabe mencionar las ideas iniciales

de Arquímides y de Eudoxio sobre integración por axhausción; también contribuyeron en 976 las de Savasorda y en 1515 las de Álvaro Tomás, que lo utilizaban para sumar series de potencias; en 1612 el astrónomo Kepler medía el contenido de los toneles de vino

con una aproximación al concepto (con un vara y las secciones cir-culares); y sobre todo P. Fermat, a quien se lo considera un descu-

bridor del actual cálculo infinitesimal o diferencial anterior a Newton y a Leibniz. A mediados de este sigo XVII el científico y astrónomo I. Newton en

la Universidad de Cambridge estudiaba el movimiento de los plane-tas y distinguiendo aceleración de velocidad concluyó la idea de incremento relativo o derivada, que buscaba verificar en el universo, llegando por ese camino al cálculo infinitesimal (recién en 1890 su compatriota Marshall utilizaría este análisis diferencial para la opti-mización microeconómica que usarían los textos del siglo XX). Pero la presentación final corresponde, a fines de ese siglo XVII a W. Leibniz, quien con numerosos matemáticos en París como Los

hermanos Bernoulli y el marqués de L´Höpital, intercambiaban co-rrespondencia sobre la resolución de ecuaciones y se fijaron así los conceptos de variables, el de funciones, el de las series infinitas y el de límite mediante la geometría analítica. Leibniz precisó la dife-rencia entre una función y su límite como tan pequeña como se desee: “idea de incremento relativo de una función frente al de su variable” o el cociente incremental que hoy reconocemos como derivada. W. Leibniz utilizó el análisis combinatorio para dos mag-

nitudes que difieren infinitamente poco y llegó por esta vía a la idea de la derivada, integrales y series infinitesimales, acuñando el uso del símbolo integral “ ∫ ” para reemplazar el uso de series de sumas y el de ”d “para la diferenciación que hoy utilizamos.


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En 1750 el matemático suizo G. Cramer publicó trabajos de “los”

Bernoulli y de Leibniz; y creó un método para resolver sistemas lineales de ecuaciones mediante determinantes.

En 1763 T. Bayes estudió la probabilidad de eventos aleatorios repetibles y verificables (casos favorables sobre los posibles).

En 1800 el suizo Daniel Bernoulli también aportó el análisis de las

probabilidades para algunos tipos de fenómenos aleatorios, como en los juegos de dados y similares de azar. Otro suizo, L. Euler escribía entonces sobre polinomios, sobre di-versas ecuaciones que eran graficables (según Descartes) y sobre

series infinitesimales, utilizando derivadas e integrales según el ál-gebra moderna. En el siglo XX Cobb y Douglas tomarían sus funciones homogéneas para explicar con sus exponentes los ren-

dimientos constantes, crecientes o decrecientes, así como la distri-bución del ingreso generado en una actividad. El italiano J. L. Lagrange hacia 1800 desarrollaba un análisis alge-braico ya separado de su origen geométrico: rescatamos aquí su función combinada para resolver sistemas de ecuaciones con po-

cas variables (tal como utilizaría el ruso Y. Slutsky en 1915 para su teórica ecuación sobre el efecto sustitución y renta). En 1812 P. S. Laplace publicó su Teoría Analítica de las Probabili-

dades, ampliando el estudio de algunos hechos aleatorios (tal como la probabilidad de un suceso con pocos casos d conocidos: P = d+1 / d+2). También sobre los errores de medición de astrónomos y ma-temáticos y aportó el método de los mínimos cuadrados, (que

hoy utilizamos para estimar funciones con dos variables, como pre-cio y cantidad, manualmente, o bien otras con múltiples variables independientes, como es el ejemplo de la estimación de la deman-da de helados que Microsoft incluyó en su Office). Como astrónomo Laplace fijó la idea de la nebulosa originaria del sistema solar, al


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enfriarse los distintos anillos en planetas (tal como aún muestra Sa-turno) y confirmó “estabilidad” de ese comportamiento universal

(“Deberíamos… considerar el presente estado del Universo como el efecto de su estado anterior, y la causa del que le seguirá…”). En 1810-1830 A. Cauchy precisó las ideas de funciones, límites, continuidad, series convergentes y divergentes En 1822 J. Fourrier quería explicar que el calor tiende a distribuirse uniformemente en una masa y desarrolló las series trigonométricas e hizo uso de las derivadas parciales. A.Cayley hizo luego aportes al álgebra de matrices, aclarando que su multiplicación no es conmutativa. Entre 1800 y 1850 el alemán J. C. F. Gauss publicó numerosos

trabajos. También separándose de los orígenes geométricos de la matemática demostró un teorema fundamental del álgebra (polino-mios con tantas raíces como indica el grado); reseñó la matemática y el álgebra de matrices tal como la conocemos en la actualidad; en 1821 publicó sobre el método de mínimos cuadrados. En Lyon, 1838, A. A. Cournot publicó su Principios Matemáticos de la Riqueza en el que introdujo el análisis marginal o diferencial en la teoría económica: con ecuaciones para la oferta y la deman-da y la optimización, maximizando con una variable, que fue la

guía para todo el futuro análisis microeconómico de la competencia y del monopolio (este enfoque clásico todavía no distinguía preci-samente entre microeconomía y macroeconomía; no podían resol-ver sistemas con más de unas pocas variables, debido a los cual no se preocupaban en detalle de los procedimientos efectivamente ne-cesarios en las empresas: comenzaban o se limitaban a solo con-ceptos o principios de tipo general; con el tiempo se irían comple-mentado con aplicaciones de la econometría, de la investigación operativa y de otras especializaciones, hasta logran una autonomía


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efectiva de la microeconomía cuando a fines del s.XX pudieron ser fácilmente utilizables en las empresas: PC “clones”). En 1842 el análisis diferencial de C.G.Jacobi permitió al alemán L.O.Hess aportar un método para calcular las derivadas parciales y

resolver funciones y sistemas de ecuaciones de dos o tres variables mediante un método matricial, que sería muy utilizado en las simpli-ficaciones teóricas de los economistas del s.XX (determinante hes-siano).

En 1854 G. Boole publicó An Investigation of the Laws of Thought, (re)diseñando un sistema binario (con solo V – F ) para el álgebra, que constituyó el paradigma de la lógica matemática determinista

de aquellas épocas, así como la base para el comienzo del desarro-llo computacional del siglo XX. En 1939-1947 G.B. Dantzing (Universidad de Berkely) propuso la resolución de problemas de óptimo mediante el método Simplex de

programación lineal, que interesó inmediatamente a la fuerza aérea de los EEUU durante la guerra mundial. En las siguientes décadas este método de optimización se comenzaría a utilizar en las grandes empresas de ese país; y Lotus 123 y Excel estandarizaron aplica-ciones del proceso en forma asequible para la generalidad. Como antecedente directo de la programación lineal existía el aje-drez; considerado en el siglo XIII un juego para nobles, con reglas para la toma eficiente de decisiones, que en 1260 Alfonso X el sabio publicó en Toledo en el Códice V. En 1470 se escribieron en Va-

lencia las actuales nuevas reglas (ajedrez a la rabiosa; más rápido) y el juego interesó también a los estrategas del ejército; con textos

y campeonatos en España e Italia, expandiéndose con el tiempo a Francia e Inglaterra y finalmente como un juego popular, hasta apa-recer los campeonatos mundiales en s.XIX, ayer en poder de los rusos y hoy en poder… de las computadoras.


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Nuevos desarrollos conceptuales crearon desde 1932 otras lógicas no matemáticas o booleanas, de tipo polivalente, como para las

teorías de los juegos de von Neumann y Morguenstern (según un criterio prudencial o realista maxi-min y mini-max para el oponente) y para la teoría de la decisión ante incertidumbre. J. Nash en 1952 resolvió algunos casos de juegos sin solución se-gún N-M y posteriormente se le agregaron otras restricciones adi-cionales para resolver estos y otros casos, en los cuales el criterio es V – F - Desconocido u otras restricciones adicionales (sobre es-trategias, cooperación, equilibrio y optimalidad diferentes, el orden del juego, juegos repetidos con horizonte finito o infinito, reputación o creencias, información incompleta, jugador ficticio, juegos baye-riano, etc) En el capítulo “LI” de Don Quijote (1605-1615), Sancho Panza co-

mo nuevo gobernador de la ínsula Barataria, debió resolver un pro-blema conceptual, por alguien que declaró “voy a morir ahorcado al pasar el puente”: si solo ahorcaban a los que mentían, sería una contradicción legal ejecutarlo (y la solucionó introduciendo una res-tricción adicional al planteo inicial bivalente: cuando la ley duda no causes daño). En 1954 la urna de Pólya destruyó el concepto tradicional tipo uni-versal sobre probabilidad según Laplace y Bayes: sucesivas ex-tracciones de bolas con reposición no guardan o tienden a la proporción roja - blanca que hay en la urna, sino que resultan ¡erráticas!. Es este un concepto nuevo, claro (y posible de verificar

fácilmente con Excel) que aun actualmente distorsiona la compren-sión o creencias de la mayoría de la personas, educadas con la ra-cionalidad “estable” según Laplace y Bayes. Sencillos programas en Excel permiten comprobar la existencia de series erráticas, no ergódicas, mediante modelos de simulación co-


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mo este o también como con la curva logística de Lorenz a partir del exponente 0,506127.

Igualmente la matemática difusa de Zadeh abrió nuevas explicacio-nes diferentes a la matemática tradicional y teoría de los juegos. Cada vez se estudian más casos sobre teoría de los juegos y otros en los cuales no se cumple aquel comportamiento uniforme de la

naturaleza que se explicaba con el álgebra de Boole o las probabili-dades según Laplace y Bayes. En este sentido, la economía como “enfoque encuentro” interdisci-plinario recibe permanentemente aportes, desde la sicología, la bio-logía y así como también desde otras diferentes disciplinas. Si bien hasta mediados del siglo XX prevaleció en economía la vi-sión “sicológica racional” aportada por A. Smith y J. Bentham (esca-sez, egoísmo, competencia), la “economía del comportamiento o

conductal”, presentó casos experimentalmente observados en los que los agentes no presentaban conductas racionales (“toma de decisiones bajo riesgo” o sicología cognitiva, de Kahneman y Tverski, 1979), explicando que los factores emocionales como el

sentimiento de injusticia o la falta de seguridad influyen en la toma de decisiones con criterios no racionales. Herbert Simon aportó el concepto “sicológico” de “sufficing” (sufi-

ciente, bastante, satisfactorio), explicando que la sicología humana suele optimizar el uso del tiempo y la toma de decisiones mediante “la primer solución satisfactoria que se tiene a mano”, en vez de hacerlo mediante una maximización del beneficio en el sentido clá-sico. No obstante, Gary Becker fue galardonado con el premio Nobel, por sus enfoques de “economía extravagante o rara” (freak), como so-bre la economía del crimen, el trasplante de órganos, las relaciones


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familiares y otros, en los que se aparta de la economía del compor-tamiento (conductal), considerando que la racionalidad económica (tipo costo-beneficio) se aplica a éstos y todos los órdenes de la vida social. También el “pensamiento evolutivo” y la “biología” hacen sus apor-tes: T. Veblen publicó en 1898 un trabajo sobre porqué la econo-mía no era una ciencia evolutiva; la idea la reprodujo J. A. Schum-

peter en su Teoría del desarrollo (“evolución”) económico, con una visión de falta de equilibrio, debido a los permanentes cambios tec-nológicos empresarios; y actualmente se avanzó sobre esta idea hacia las irreversibles concentraciones de mercados. La “economía ecológica” frente a la tradicional “economía ambien-tal”: en el enfoque tradicional se consideraban cuestiones ambien-

tales, de asignación de recursos, de externalidades y evaluación de proyectos en los que se enfatizaba su eficiencia y no su sostenibili-dad; con una idea cronológica lineal y reversible en vez de un tiem-po histórico irreversible ecológico; enfatizando cálculos y resultados monetarios en vez de cuestiones físicas y biológicas, etc. Los ranking de universidades suministran cientos de instituciones, pero no aporta precisión sobre sus estudios microeconómicos ni a veces económicos. Entre las instituciones “top” sobre economía figu-ran algunas norteamericanas, otras inglesas y algunas europeas (Suiza, España, Holanda, etc) pero la dificultad es centrar el análisis en los estudios microeconómicos, ya que en general las institucio-nes continúan con el enfoque tradicional interdisciplinario y sin pre-cisar la separación entre la “oikos” microeconómica (de la casa

granja o empresa) y la economía política o macroeconómica, de la “polis”.

La presentación de Oxford ejemplifica estos tratamientos: “The

course covers the standard theory of microeconomics through a series

of modules on Consumer & Producer Theory, Choice under Uncer-


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tainty; Game Theory & IO; General Equilibrium & the Fundamental

Theorems of Welfare Economics; Bargains, Contracts, and Auctions;

Welfare Economics and Public Economics.”

También la Escuela de Economía de Londres –LES-, que tiene co-

mo objetivos: “Intended Learning Outcomes. By the end of this course students

should:

be able to apply the theory of maximising agents to firms and con-

sumers

understand the working and applications of the standard general

equilibrium model

understand the basic elements of welfare economics

know how to apply elementary game theory to microeconomic

models of firms

be able to make economic application of equilibrium concepts in

multistage games

understand the basic role of uncertainty and imperfect information

in analysing

economic incentives” Coinciden en una constante, observada en instituciones norteameri-canas, inglesas y europeas, sobre la presentación de diferentes ni-veles de estudios microeconómicos: principios introductorios, micro-economía intermedia I, II y posteriores especializaciones sobre apli-caciones a muy diversos casos.

En particular, el plan de estudios del Massachusetts Institute of

Technology –MIT- para “Microeconomic Theory III” desde 2001 a la fecha 2012 sigue siendo: “The central topic of

this course is the theory of general equilibrium and its applications

and extensions. We will start with the basic theory including exist-


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ence and optimality of equilibrium. We will then discuss the core;

Arrow's impossibility theorem; externalities and public goods; inter-

temporal competitive equilibrium and insurance; and incomplete

markets. We will consider some second-best issues.”

Muchas universidades incluyen como Microeconomía II los nuevos desarrollos no neoclásicos y a veces al menos algunas los enfocan desde un punto de vista axiomático, pero “sin la prueba de fuego”, que implica una estructura realmente profesional: objetivar las expli-caciones axiomáticas incluyendo los desarrollos explicados paso a paso e ilustrándolos con ejemplos resueltos y con sus conclusiones . La lista de enfoques y análisis interdisciplinarios es vasta y en cre-cimiento; pero nadie podría pensar que uno de estos enfoques ais-lado o un conjunto de ellos, puedan constituir una teoría explicativa de la empresa en reemplazo de la visión neoclásica actualizada computacionalmente. Por absurdo: por más importantes que para algunas industrias sean los análisis sobre “etología económica”, hoy no explican el compor-tamiento general empresario (etología, subdisciplina de la psicobio-logía que estudia la conducta espontánea de los animales en su medio natural, buscando los mecanismos de adaptación que influ-yan en el éxito reproductivo: el “impriming” /impresión, de K. Lorenz) Es decir, estos conjuntos de aplicaciones atienden planteos particu-lares pero no conforman un esquema general explicativo del com-portamiento microeconómico: el accionar de la empresa en general seguirá siendo explicado mayormente con la microeconomía clásica, aunque ahora reforzada con el instrumental computacional (por aho-ra, especialmente con Excel). Daría la impresión que fue esta falta de instrumental adecuado la que hizo perder el horizonte a los propios clásicos (explicar el fun-cionamiento ordinario en las empresas) y avanzaron mayormente


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con planteos ambiguos sobre economía, sin distinguir precisamente sus aspectos micro y macro, aunque apuntando preferentemente a teorías sobre los macroeconómicos. En los seis tomos de los Principios Económicos de A. Marshall se

recopiló en 1890 toda la micro y la macroeconomía clásica; pero conforman un conjunto de análisis, observaciones y métodos, en los cuales no se ve claramente individualizado esa finalidad empresa-rial concreta (Keynes individualizó a la macroeconomía; pero el recuento de Marshall no individualizó a la microeconomía) Esta circunstancia podría comprenderse, dado que todavía no po-dían resolver por entonces problemas con más de unas pocas va-riables; mientras que la efectiva operatoria de la empresa suele im-plicar múltiples variables (por ello hay quienes vieron que aquella profusión de métodos y principios era solo retórica inviable al mo-mento de una concreta aplicación empresarial). Lo que no parece admisible es que en la actualidad se continúe sin entender y admitir que microeconomía es esencialmente economía de la empresa. Esta idea surgió naturalmente después de la apari-

ción de Lotus 123 en los 1980 y Excel en los 1990 para quien se desempeñaba en una siderúrgica exportadora internacional y debió recurrir a las aplicaciones informáticas (en 1975 con una Compu-corp) para concretar los principios microeconómicos en las áreas de pronóstico de mercado, de optimización y de defensa de la compe-tencia ante el dumping internacional y el antidumping en EEUU y en la CEE (y también observaba las aplicaciones computacionales de diversos principios en los departamentos de producción para lami-nadores y equipos, en compras, en contaduría y finanzas, y en per-sonal). Las extensiones de los procesos estadísticos, de la econometría y de la investigación operativa eran ineficientes antes de la alternativa computacional, debido a las dificultades para los procesos multiva-


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riantes. Surgieron como extensiones o especializaciones de la mi-croecomía; y (al igual que los enfoques contables y financieros) no constituyen por si solas disciplinas cuyo objeto sea la economía de la empresa, ni sustituyen en esto a la microeconomía.

MICROECONOMIA CLASICA

Su contenido suele agruparse en función del objeto estudiado o también según los métodos de demostración. Como los métodos son compartidos para la explicación de diferentes objetos de estudio algunos textos tratan conjuntamente problemas del consumidor o la demanda con problemas de la producción u oferta y tipos de merca-dos. En este caso se optó por resumir el contenido de la microeconomía según el objeto de estudio, reseñando sucesivamente las teorías sobre el consumidor, luego las del productor y finalmente los mode-los sobre varias formas de mercados (no obstante que metodológi-camente se puedan compartir métodos según escuelas o teorías). Adicionalmente, otro capítulo más reciente de estudios está confor-mado por un conjunto de análisis diferentes, como el de la teoría de los juegos, que incorpora cada vez mayores contenidos, pero que todavía no constituyen un cuerpo explicativo tan completo como el enfoque clásico. Cuando Inglaterra perdió la gran colonia norteamericana en 1776, Adam Smith publicó la Riqueza de las Naciones, promoviendo un sistema económico liberal, sobre la base del principio hedónico (má-ximo beneficio con mínimo esfuerzo), la propiedad privada, precios sin intervenciones estatales (la mano invisible), libertad de comercio y de contratación, etc. Necesarios para penetrar en los mercados europeos y del imperio español.


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En 1817 su discípulo D. Ricardo perfeccionaría esta teoría del co-mercio internacional agregándole la idea de la especialización según las ventajas relativas y no absolutas. F. Quesnay había publicado en París 1754, su Tabla Económica, fijando la idea de circularidad económica o circulación permanente de bienes, servicios e ingresos en cada comunidad. En 1803 J. B. Say fijó en París esta idea teórica de un equilibrio económico esta-ble y con pleno empleo: la igualdad del conjunto de demandas y ofertas, para n-1 mercados (ya que el mercado restante del dinero solo cumpliría un rol de intermediación sin mayores consecuencias que diferentes niveles de precios según la emisión); luego esta rela-ción fue así vista o considerada como una identidad (válida para todo nivel de precios o tasas de interés y no como una igualdad solo válida para un determinados nivel de estos). Esa visión neutra del dinero se reafirmó en 1835 agregándole la discutida teoría cuantitativa de la moneda según el resumen de J.

S. Mill: M = P ( T) Si un gobierno aumentaba la emisión M permaneciendo constantes las transacciones nacionales T, la única consecuencia sería un cambio de precios nominales P, pero el pleno empleo no sería afec-tado (sólo vinculación directa entre emisión e inflación). Coincidentemente con la teoría del valor trabajo, tanto de A. Smith como en D. Ricardo, en 1848 K. Marx re-expuso en forma más

científica la teoría objetiva del valor, según el trabajo incorporado en los bienes; también la del beneficio o plusvalía como una explota-ción; y de ellas se extrapolaron luego consecuencias macroeconó-micas socialistas, tal como la propiedad estatal de los medios de producción, o el rígido control estatal del sistema de precios y del comercio interior y exterior.


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Las consecuencias de esas propuestas fueron advertidas inicial-mente por H.H. Gossen (en Las Leyes del intercambio, 1854), por lo

que propuso replantear la teoría liberal pero sobre la base de la de-manda según la utilidad, en dos célebres leyes: La utilidad de las ultimas unidades adquiridas (idea posterior de uti-lidad marginal decreciente) originaba la pendiente negativa de la línea de demanda de un bien; y para el caso de dos o más bienes, la elección surgía al cumplir en todos las compras con la igual co-ciente placer sobre precio y simultáneamente ajustarse al o agotar el presupuesto disponible (idea posterior del equilibrio del consumidor). Estas ideas, rescatadas por K. Menger, S.Jevons, L. Walras en 1870-1874 y otros, fueron sintetizadas por A.Marshall en 1890 en el

libro Principios Económicos, donde se completó esa teoría subjetiva del valor (en la satisfacción de necesidades primarias, bajo un con-texto de saturación la utilidad total implica una utilidad marginal de-creciente; posteriormente se agregaron las necesidades sociales o culturales, con utilidad marginal constante o creciente) , tanto para el análisis de la demanda como también con una extensión del criterio hacia la producción, los costos y la contratación. Con solo papel y lápiz, el esquema de Marshall implicaba modelos con solo una, dos o pocas variables reales y restricciones. Las sim-plificaciones satisfacían conceptualmente, pero estaban lejos toda-vía de una aplicación efectiva en las empresas por lo cual no se preocuparon por la separar microeconomía de macroeconomía y las trataban conjuntamente, sin saber precisamente bien para cuales aplicaciones efectivamente reales.

DESDE LA GEOMETRIA PLANA DE EUCLIDES HACIA LA GEO-METRIA ANALITICA

El avance conceptual surgió en 1630, con los ejes ortogonales de René Descartes (las coordenadas de cada punto eran sumables) y W. Pareto utilizó este esquema.


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Sobre la base de los análisis de Gossen y de Marshall, el ingeniero W. Pareto expuso en 1930 el mismo equilibrio, pero innovando al agregar un modelo geométrico simplificador: gráficos (utilidad solo

ordinal) con líneas de presupuesto y de indiferencia, ambas por de-finición con diferenciales totales nulos en todos sus puntos. El punto de tangencia explicaba la demanda de dos bienes, maximi-zando la utilidad y agotando el gasto del presupuesto: simplificando términos en ambos diferenciales queda en ese punto la TMS = Px/Py . Ahí se agota el gasto y se cumple que la tasa marginal de sustitución (gustos o cociente de las derivadas parciales) es coinci-dente con los precios del mercado, en este punto que marca las cantidades demandadas de ambos bienes. Pronto el desarrollo matemático de la época permitió demostrar am-bas teorías tanto con el análisis diferencial elemental como con la función combinada de Lagrange, que suma a la función de utili-dad una restricción de presupuesto. Las condiciones de primer or-den, haciendo las primeras derivadas nulas (implican ubicarse en un punto de giro, por analogía con una función de una variable); y las de segundo orden confirman que ese punto era un máximo, mínimo o inflexión (hessiano >0; <0; =0). Las teorías solo disentían en el

modelo (uno utilidad sicológica; el otro gráficos), pero compartían los métodos analíticos.

De la primera condición se podrían despejar y obtener las cantida-des demandadas, así como el valor de la tercera variable (interpre-tada como la utilidad marginal del dinero de ese consumidor) Hubo otros aportes adicionales, como el de R. Giffen para explicar una paradoja en la demanda anómala de los bienes básicos ante alteraciones importantes; y otros sobre la clasificación de los bienes y sobre las elasticidades de la demanda etc.


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Una tercera teoría de la demanda intentó explicar los cambios por la inflación, separando el efecto de un cambio de precio sobre la canti-dad demandada en sustitución y renta. En 1915 Yevgeni Slutsky

propuso una ecuación que enriqueció conceptualmente este análisis desde el punto de vista metodológico matemático (en 1938 J. Hicks

utilizó los gráficos de Pareto para simplificar ese mismo enfoque conceptual).

Adicionalmente a aquellos valores de ambas demandas y a la utili-dad marginal del dinero según la función combinada de Lagrange, Y. Slutsky dedujo su famosa ecuación luego de simplificar en el diferencial total del efecto total del cambio de un precio sobre la

demanda de ese bien. El resultado se abrevió como la suma de dos efectos, uno por la vieja ley de la demanda (efecto sustitución) y otro por el efecto de la inflación (efecto renta), que era tanto más notable si el bien cuyo precio se modificaba participaba significativamente en el presupues-to del consumidor. Los métodos de Gauss y Cramer le permitieron calcular ambos

efectos, ponderando un efecto por la influencia de la utilidad margi-nal del dinero y ponderando el otro por la cuantía adquirida de este bien: los efecto sustitución y efecto renta influían en la demanda final u ordinaria. Suponiendo en los casos de subas de precios un subsidio (o un im-puesto en los casos de bajas) para que el consumidor pudiera volver a la canasta inicial, se le compensaría la distorsión del precio y esa demanda compensada sin el efecto renta sería más rígida que la

ordinaria. En 1938 J. Hisks explicaría esto mismo mediante gráficos de Pareto, demostrando geométricamente que el supuesto subsidio sería una paralela a la nueva recta de presupuesto, tangente a la curva inicial


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en otro punto diferente que el original: la demanda compensada de Hicks, era así algo distinta que la de Slusky. Décadas después se amplió este enfoque de Slutsky aplicándolo también a la oferta individual del factor trabajo, retroascendente, considerando el efecto renta-dotación sobre la disponibilidad de tiempo diario también para descanso. En la ecuación de Slutsky los efectos directos permitían clasif icar a los bienes en típicos o atípicos, según fuera el comportamiento del efecto renta (el que además indicaba si el bien estudiado era normal o inferior). Los efectos cruzados de la variación del precio de un bien sobre la demanda de otro bien permitían clasificar a los bienes como sustitu-tos, complementarios o independientes, según fuese el resultado positivo o negativo y la naturaleza del producto de precio modifica-do. Esta ecuación fue un avance conceptual teórico y metodológico; sin embargo las conclusiones de esta teoría de la preferencia revelada (por los consumidores) se obtienen efectivamente con los estudios de las variaciones de precios y de cantidades que permiten los ín-dices de precios de las oficinas de censos nacionales, según publi-caciones de índices del nivel de vida, índices de Laspayres, de

Paasche u otros combinados.

PRODUCCION, COSTOS, BENEFICIOS

El mismo análisis diferencial era aplicado para explicar los ingresos, la producción, los costos y beneficios del productor (con solo

una o con dos variables).


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La productividad marginal decreciente, los costos marginales cre-cientes y su vinculación con la línea y función de oferta de la empre-sa, permitieron conformar un conjunto completo para el equilibrio de la empresa, que fue expuesto como una simplificación de la realidad con una o dos variables (básicamente según las relaciones entre el concepto del total, el medio y el marginal).

Este enfoque tuvo mayor aceptación académica que aplicación efec-tiva en las empresas: Esta optimización con una variable, fue implementada a partir del análisis matemático de A.A. Cournot (París, 1838): al ser el benefi-

cio la diferencia entre ingresos menos costos, había máximo Benefi-cio diferenciando con B´= 0 y B´´<= 0, de donde surge que para el caso general la optimización implica operar con ingreso marginal = costo marginal (aunque en competencia pura con precio = costo marginal o en largo plazo precio = costo medio). Sin embargo, para el caso de la competencia perfecta se exageraba el modelo basándolo en supuestos muy irreales, como libertad de mercados (sin restricciones en el ingreso de bienes, empresas y factores), con homogenidad, muchos compradores y vendedores; los precios eran una constante dada por el mercado iguales para todos (sin monopolios ni externalidades negativas en bienes públi-cos, polución, etc.). Al competir se genera una baja de precios y solo las empresas efi-cientes pueden sobrevivir, operando a largo plazo sin costos fijos las empresas operan con ingreso marginal igual a precio y al costo me-dio). En la explicación de otros mercados sobresalieron las modelos para el monopolio, con sus precios mayores al costo marginal según su limitación de la cantidad ofrecida; también su posible discriminación de precios o mercados y el criterio para producir en el caso multifac-


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toría (optimizando con el criterio de Cournot e ingresos marginales iguales a costos marginales conjuntos, respectivamente). Cournot también explicó maximizando el beneficio, con una variable, el equilibrio en duopolio, con la oferta de cada uno según funciones de reacción en las que la oferta de uno depende de lo que produzca el otro. Bertrand (e Edgeworth) analizaron este caso bajo una perju-dicial o inconsistente guerra de precios. Entre otros numerosos mo-delos particulares hubo aportes de Hotelling para monopolio y para competencia monopólica con diferenciación de producto. Stackelber expuso el accionar como empresa lider o seguidora; Sweezy el mo-delo de la demanda quebrada; Silos Labini, Bain y Modigliani casos parecidos bajo limitaciones de acceso, etc. También se plantearon explicaciones para los casos de colusión (la cual ya se conocía combatida por la legislación de los EEUU desde el accionar de la Standard Oil Co. y otras a fines del siglo IXX) solucionados como en el monopolio multiplefactoría y un reparto posterior de utilidades sin explicación. En el análisis microeconómico clásico se utilizaron funciones de solo una, dos o tres variables, para explicar con esos escasos avan-ces la teoría del consumidor y por analogía, las teorías del produc-tor, la de distribución de ingresos y la teoría del comercio internacio-nal. El criterio paretiano, según los diferenciales totales nulos en la tangencia del equilibrio con TMS = Px/Py, se fijó como estándar pa-ra demostrar que, cumpliendo sus premisas, se optimizaba la deci-sión de compra, y por analogía las de producción, la de contratación y distribución de ingresos, así como la ventaja del comercio interna-cional, que ya en 1885 había anticipado Edgeworth con su esquema de una caja (con dos gráficos tipo paretianos contrapuestos). En esa caja, los punto de tangencia de la curvas de utilidad de am-bos países eran puntos eficientes, mientras que por ejemplo una


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intersección de dos curvas era una combinación ineficiente, ya que trasladándose por una u otra de ellas al menos uno de los países o agentes mejoraba su bienestar y (en términos absolutos) ninguno se perjudicaba. Nada se explicaba en términos relativos o sobre la equidad de esta distribución: nada se explicaba sobre alguna venta-ja para ambos agentes o países. Los desarrollos de Euler también permitieron a Cobb y Douglas (Nebraska) exponer las ventajas de representar la distribución de ingresos en la empresa o en un país mediante funciones homogé-neas de un solo término; con rendimientos decrecientes si los expo-nentes suman menos que uno, constantes si uno y crecientes si mayores que uno. Estos exponentes también indicaban la participa-ción o distribución de lo producido entre ellos. La gran crisis mundial de 1929 originó un replanteo sobre el esque-ma clásico del equilibrio estable bajo competencia perfecta y su vi-sión del pleno empleo permanente. En 1874 Walrás había expuesto un sistema simplificado con N sectores productores (de bienes fina-les); consideraba que el equilibrio entre demandas y ofertas depen-día de todos los sectores incluyendo también al del dinero. No veía una identidad tipo J. B. Say, con equilibrio y pleno empleo aun sin considerar el dinero, sino que el equilibrio con pleno empleo era solo posible para un determinado nivel de precios, en cada uno y en to-dos los sectores, incluyendo al del dinero. Pero en 1936 J. M. Keynes separó netamente la macroeconomía del precedente ambiguo tratamiento conjunto micro y macroeconó-mico según Marshall y demás. Expuso una explicación diferente de la crisis, según la incertidumbre empresaria en la bolsa de valores de Wall Street y también la necesidad de utilizar la política moneta-ria y fiscal para atenuar las variaciones bruscas de la actividad ge-neral. Esa dinamización mediante obras públicas no necesariamente generaría inflación descontrolada.


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Además de estos dos enfoques básicos, walrasiano y keynesiano, posteriores desarrollos avanzaron sobre otros aspectos de la eco-nomía del bienestar, entendiéndola sobre la base del cumplimiento estricto de la competencia perfecta y del criterio paretiano, tanto en el consumo, como en la producción, en la distribución y en el co-mercio internacional, hacia un equilibrio general. Los perjuicios de los monopolios, estudiados en 1938 por Hotteling y muchos otros, confirmaban las ventajas de mayor cantidad y meno-res precios a favor de la competencia. Si se cumplieran las condiciones requeridas como supuestos nece-sarios -sobre libre movilidad de empresas, de bienes y de factores, control de monopolios y de las deseconomías por incumplimiento en los controles de polución, en los bienes públicos y recursos natu-rales etc- la competencia perfecta garantizaría el pleno empleo y maximizaría el bienestar general. Aún más, la comunidad académica también avanzó con desarrollos para demostrar la eficiencia de este mercado de competencia, por ejemplo con A. Lerner y especialmente con K. Arrow y G.Debreu, que expusieron analíticamente sobre dos leyes de la economía del bienestar: si las actividades son competitivas se están cumpliendo los criterios paretianos; la segunda es más estricta o abarcativa: si se cumple los criterios paretianos los mercados son competitivos (se subestiman las objeciones sobre las distorsiones por efecto de los monopolios, las externalidades, la naturaleza de los bienes públicos, la falta de equidad etc) y este modelo pasó a ser la base de la legis-lación comercial doméstica e internacional, ya que en teoría la com-petencia facilitaba el abastecimiento a bajos precios. En la base de las creencias y conformidad sobre esta teoría figura el accionar bajo competencia y los mercados de competencia per-fecta, que actuarían como supuestos justos planificadores, que se


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encargarían de distribuir con equidad los logros alcanzados con la eficiencia del criterio paretiano en todo ámbito. También se avanzó en la pretensión de obtener una modelaciòn efectiva para el equilibrio general, ampliando una propuesta analítica de L.Walras, al combinar sus sistemas NxN de bienes finales con la noción del principio paretiano para el equilibrio o distribución y con la visión de la necesaria existencia de un equilibrio (según el principio general o teorema del punto fijo de J. Brouwer, adaptado por De-

breu en 1959 a esta propuesta económica: dadas unas dotaciones iniciales, si la funciones de preferencias y de producción son conve-xas y reúnen las características paretianas, existirá al menos un conjunto de precios de equilibrio). Si necesariamente tenía que existir un equilibrio general, se lo expli-caba axiomáticamente (pero con sistemas de 2x2 solo supuesta-mente) generalizables a NxN variables. Las explicaciones clásicas sobre mercados y precios se basaron en análisis con coeficientes fijos de producción, o sea, rendimientos constantes, que Clark y Winsteed intentaron generalizar para el caso de varios procesos alternativos. El equilibrio parcial o maxi-mización del beneficio, considerado desde 1838 según Cournot fue

posteriormente aplicado al caso de solo dos bienes con Pareto en 1909 y luego generalizado como un planteo (meramente axiomático) de equilibrio general, mediante el diagrama de la caja de Edgeworth

y el teorema de la agregación de Hicks y Leontief. Cassel aportó la idea de diferentes mercados a partir del análisis de dos productos y dos factores. Leontief introdujo en 1941 el análisis de productos y de insumos; y finalmente, se intentó demostrar la idea de la exis-tencia (necesariamente hay) de un equilibrio general y la de su unicidad (solo uno, para este enfoque axiomático y contrario a lo

que siempre ocurre en la realidad) a través de inviables análisis de Wald, que llevaron al creador de la teoría de los juegos de suma cero von Neumann a pensar en el uso del teorema del punto fijo


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de Brouwer, replanteado por Kakutani y por Debreu. Tambièn se intentó analizar la estabilidad (de este supuesto equilibrio único, general y meramente axiomático) mediante análisis de Hicks, de Hotelling y de Samuelson que chocaron ante las inconsistencias requeridas por un exceso de supuestos limitantes en el modelo de la competencia (libre ingreso, gustos, racionalidad, técnicas, externali-dades, mercados futuros, incertidumbre, asimetrías de información, etc) y las dificultades de su extensión o generalización (unicidad y estabilidad del equilibrio, etc). Desde este punto de vista axiomático cuando Arrow y Debreu ex-pusieron las dos leyes fundamentales de esta teoría del bienestar ( 1) si hay competencia se cumple con el criterio paretiano. 2) si se cumple con el criterio paretiano hay competencia y se garantiza el máximo bienestar general), muchas opiniones llamaron la atención sobre lo irreal de esa visión, destacándose las posteriores objecio-nes del propio Debreu y las de Sonneschein sobre la imposibilidad de unicidad en la existencia de un equilibrio y por la irrealidad de una modelación con sistemas NxN, imposibles de concretar numéri-camente ni aun para representar a algún pequeño país. En la actual formalización simbólica con álgebra, análisis diferencial o de conjuntos, cada grupo de símbolos tendría supuestamente su correlato en algún sistema de ecuaciones o de matrices que permiti-rían un nexo con la realidad económica. Sin embargo, algunos ex-cesos de formalización meramente simbólica han conducido a es-fuerzos sin resultados. Frecuentemente se aceptaron representaciones abreviadas, que se demostraban con aproximaciones conceptuales simplificadoras; por ejemplo, punto fijo existente y estable, como el que uniría un plano con el centro de una esfera exterior que gire invariante sobre su eje; y muchas otras explicaciones por mera analogía conceptual simplifi-cadora, pero sin la necesaria contrastación o verificación empírica.


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En este libro también se refutó esa teoría de Arrow y Debreu desde el mismo punto de vista (no existen ni podrán asistir modelos computacionales NxN suficientes) y además desde otro punto de vista, considerando al verdadero objeto y sujetos reales de la mi-croeconomía. Esa primera refutación se formuló aquí en el ámbito de la exposi-ción o re-exposición de la microeconomía clásica computacional-mente, pero según la efectiva aplicación práctica en las empresas y considerando la generalización del uso de Excel. La última refutación surge de exponer cuál es el rol profesional; para qué estudia; y cuál es el contenido científico de la microeco-nomía. Finalmente y desde otro punto de vista, nuevos enfoques muy dife-rentes se fueron agregando a la microeconomía clásica, aunque sin conformar una nueva teoría tan abarcativa y completa como la ante-rior. Especialmente, las teorías de la utilidad esperada subjetiva (SEU) y la teoría de los juegos, que se inició en 1932 con los apor-tes de von Neumann y Morguenstern para casos maxi-min y min-max (criterio de W.Wald ) de suma nula J. Nash en 1952 agregó varios análisis con diferentes estrategias mixtas; A. Tucker planteó el “dilema del prisionero” y muchos otros casos conformaron este enfoque con y sin colusión, pero siempre bajo un contexto incierto e inestable (con y sin información comple-ta, colusión, estáticos o dinámicos, etc) y en el cual se persigue un subóptimo (o cuando lo bueno es enemigo de lo mejor por no ser autorizado por el oponente). Habiendo resumido aquí un panorama de la microeconomía clásica (y expuesto que actualmente se han abandonado las pretensiones microeconómicas de un equilibrio general, limitándose a solo análi-sis de equilibrio parcial) cabe finalmente plantearse un interrogante:


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Siendo el sujeto estudiado en la microeconomía el productor (la em-presa) y su demandante (el consumidor); y si estas teorías fueron solo enfoques parciales, pero tan solo para una, dos o tres variables (o bien análisis centrados en un fallido equilibrio general, macroeco-nómico), ¿Cómo se explicaba efectivamente el comportamiento económico de las empresas, en las cuales generalmente están invo-lucradas múltiples variables (mayormente cuantificables) y puede no existir competencia perfecta?

ERRORES EN LA MICROECONOMIA CLASICA

La comunidad económica valora internacionalmente el paradigma neoclásico que, como se reseñó arriba, enfatiza los análisis sobre el principio o criterio paretiano en el consumo, en la optimización em-presaria y en la distribución en la competencia perfecta, así como también planteos con esquemas axiomáticos sobre el equilibrio general y la economía del bienestar (con las exposiciones de Walras, Lerner, Pareto, Samuelson, Arrow y Debreu, etc). Les son detalladamente conocidas, pero subestiman las inconsis-tencias de estos esquemas científicos, como ser aquellas en materia de distribución de los ingresos con equidad, las asimetrías (el princi-pio paretiano en la caja de Edgeworth demuestra que uno mejora, pero no que los dos mejoran; tampoco dice quien mejora, ni como esta se distribuye), o por efecto de las externalidades, bienes públi-cos, etc; y tal como se explicará, también las inconsistencias por el equivocado objeto y sujeto que priorizan para esta disciplina, así como también por la impracticabilidad de sus teorías. Pero la competencia perfecta no es un modelo que se presente co-rrientemente en los mercados. Algunas corrientes de pensamiento criticaron a los teóricos de la microeconomía, por que parecieran ser funcionales a grupos empresarios y académicos (quienes finalmente les sustentarían), en cuanto sus proposiciones se manifiestan con-


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formando una defensa del sistema liberal financiero librecambista, del que se deducen (con este esquema científico incompleto) con-secuencias políticas sobre la libertad comercial y sobre el movimien-to de capitales, ausencia de barreras comerciales, no aplicación de impuestos, bajo grado de intervención del estado en materia eco-nómica, etc., que tienen grandes repercusiones en la actividad eco-nómica doméstica e internacional de los países. Por otra parte, los errores de las teorías socialistas como doctrina (en distribución, ineficiencia, burocracia, etc) ya fueron históricamen-te convalidados por sus fracasos en la aplicación prácticas de estas utopías durante el siglo XX. Pero existe otra visión en Microeconomía con Excel (MCE): no se puede identificar o confundir la teoría con la realidad. Considerando la realidad empresaria y las formulaciones teóricas se advierten dos errores en la teoría tradicional: uno es enfocar los análisis hacia quien no es el destinatario masivo de los principios microeconómi-cos; el otro es distorsionar el método de estudio reduciéndolo a un campo axiomático meramente formal e inaplicable.

DESTINATARIOS DE LA MICROECONOMIA

Constituye un error pensar que el destinatario de los análisis eco-nómicos sea aquel matemático teórico dedicado a la microecono-mía, dado que el objetivo principal de la microeconomía es el fun-cionamiento económico de las empresas (incluyendo la estimación de la demanda, mercados, la optimización, etc) y surge en conse-cuencia que el principal usuario y destinatario de estos análisis es el profesional y el técnico que se desempeñan masivamente en las diferentes área de cada empresa. Para aquel destinatario teórico es natural y suficiente centrar los análisis en Pareto, la competencia perfecta y el equilibrio general. Pero para este destinatario mayoritario y masivo, los análisis nece-


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sarios son principalmente la estimación de funciones de demanda (mercado y múltiples aplicaciones econométricas más) y la optimi-zación o programación empresaria (aplicaciones de la investigación operativa para las diversas áreas de la empresa, básicamente con programación lineal u otras; y con matrices), además de otros as-pectos sobre mercados y métodos diversos. Esta visión práctica y masiva fue la que dio origen al enfoque del libro Microeconomía con Excel en Empresas (MCE), considerando que ese utilitario para PC es de uso generalizado en todas las em-presas y trae incorporadas y simplificadas la mayoría de estas apli-caciones necesarias.

POR QUÉ ES INSUFICIENTE LA MICROECONOMÍA CLÁSICA CON ENFOQUE SOLO FORMAL

En MCE se reconoce que el profesional en economía (contador, ingeniero industrial o simplemente no graduado técnico en algún área empresaria) tiene como principal ámbito de desarrollo para su actividad el desempeño en la generalidad en las empresas. Interesa además que la formación microeconómica de un contador o un in-geniero no incluye en su currículo básico otras especializaciones superiores en procesos específicos de investigación operativa ni en econometría. Pero la generalidad de los textos no ha sido actualizada; y en las universidades se continúan dictando el enfoque tradicional teórico con sus inconsistencias, sin advertir que no es suficiente una capa-citación en modelación meramente formal tradicional, sino que es necesario llegar a la aplicación concreta de los principios “micro-económicos” en las empresas. Antes de la revolución informática, aproximadamente en 1980/90, existían muy pocas posibilidades de cálculo concreto en las perso-


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nas y empresas, ante lo cual un enfoque solo formal axiomático era inevitable (salvo difíciles y poco prácticas especializaciones adicio-nales a la profesión). Sin embargo, en MCE se demuestra que desde el uso generalizado de las PC, la microeconomía dejó de ser obsoleta e inaplicable para la generalidad de los profesionales; y sus principios pasaron a ser ahora de aplicación efectiva en las empresas, en las áreas de ven-tas, compras, personal, finanzas o dirección general. Esta dicotomía entre rigor formal e inaplicabilidad efectiva en la em-presa también fue planteada en MCE, por ejemplo a través del caso integral sobre el cálculo del equilibrio empresario empíricamente; según el modelo clásico con una, dos o tres variables (abarcando desde la estimación y el cálculo de ventas, producción, ingresos, costos y beneficio, mediante regresión simple precio-cantidad, ajus-te parabólico minimocuadrático y maximización diferencial). Pero esa solución supuestamente integral (aunque digamos univariante) no tiene aplicación concreta en la generalidad de las empresas, en-frentadas en la realidad a casos de múltiples variables. Se plantearon dos cambios de paradigma: uno es el cambio tecno-lógico, las PC, Excel e Internet. Otro es reconocer que la teoría neo-clásica sin las PC significaba solo una representación simbólica elemental, una fantasía en cuanto a sistemas NxN y al equilibrio general, en sí limitados a solo dos o tres variables, que en la prácti-ca de la optimización y actividad empresaria son insuficientes y prácticamente inservibles. Pero la PC potenció la aplicación efectiva de los principios micro-económicos en diversas áreas de la empresa. Hay todavía sectores interesados en mantener la vieja visión teórica impracticable, que se resisten a reconocer que los principios neoclásicos son una mera simplificación irreal si no se los clarifica y además, si no se los aplica efectivamente en la empresa mediante la computación.


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El conocimiento y la teoría microeconómica anterior (digamos la evolución científica entre el siglo X y el XXI) no se detiene con las versiones neoclásicas obsoletas, ya que el uso de PC en las últimas décadas convierte a ese conocimiento histórico meramente teórico en efectivamente práctico. El aporte e ingenio neoclásico quizás no suponía (o sí) que el avance tecnológico permitiría concretar sus teorías. Entonces, es necesario distinguir el atraso tecnológico, que solo contempla calcular hasta tres variables, frente a la necesidad de calcular cientos o miles de variables (pero con simplicidad !) para la efectiva optimización en la empresas; y en síntesis, se puede decir que desde la difusión generalizada del Office al ámbito de todas las empresas (casi sin excepción), los principios microeconómicos de-jaron de ser solo enfoques formales y pasaron a ser ahora de fácil aplicación concreta en todas las áreas de la empresa. En los departamentos de ventas, es fácil estimar la demanda para el próximo período mediante correlación múltiple (con su imprescindi-ble análisis de la varianza estandarizado). En el departamento de personal se pueden planificar fácilmente los horarios, turnos y va-caciones mediante programación lineal con Solver de Excel. En el área de finanzas se pueden utilizar las aplicaciones sobre VAN y TIR de Excel. Este utilitario también permite modelos de simulación estáticos y dinámicos en instantes. La programación también facilita determinar el inventario óptimo con más de una variable; o precisar la producción óptima en la dirección de las empresas, incluyendo casos de cientos o miles de variables. Ello, sin necesidad de reque-rimientos profesionales especiales o superiores al currículo profe-sional de un contador o ingeniero industrial (y quizás un técnico no profesional o no graduado en muchos casos de los usuarios masi-vos).


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APORTES DE MICROECONOMIA CON EXCEL (MCE)

MCE no es más de lo mismo, como los miles de textos disponibles. El nuevo instrumental computacional permitió la práctica de algunos enfoques diferentes y se los expuso en MCE en forma breve, sin aceptar el enfoque o planteo neoclásicos meramente formales (por su metodología lógica solo axiomática y por su matemática limitada a dos o tres variables, no obstante sus profusas referencias a siste-mas NxN y al equilibrio general), en cuanto eran inaplicables en la práctica general de las empresas. Por este motivo en MCE se incluyeron exposiciones simplificadas sobre varios principios microeconómicos, que son de aplicación efectiva en las empresas pero no figuran en la bibliografía general neoclásica: 1) Exposiciones simplificadas: por una parte, se exponen en for-

ma breve y simple numerosos principios y métodos, que era usual presentar innecesariamente en forma de tratados. La filosofía de MCE fue hacer las cosas fáciles, como modalidad didáctica y se-gún la “ley de oro” en cualquier disciplina (hacer las cosas fáciles es una máxima en la ciencia y como didáctica). Por ejemplo contiene una simplificación de la enseñanza de programación lineal “Simplex” en solo dos páginas; asimismo para sus formas estándar y canónica o el problema dual. Al igual que para los diversos métodos y las aplicaciones incluidas sobre la optimización o para la estimación de funciones y otros, no se requiere en general más de una hora de estudio y práctica con Excel (igual que con los muchos otros utilitarios alternativos aquí presentados para estos tipos de análisis). Didácticamente hay una oposición a la mera exposición formal (a veces falaz), adoptando una visión práctica, que ve en la simplificación y en la presentación


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explicada de ejemplos resueltos una buena y mejor forma de objeti-var el conocimiento práctico concreto. Por otra parte, este enfoque simplificado se complementó con la decisión de editar el texto MCE vía Internet, con acceso libre, sin convertirlo en otro de los usuales proyectos editoriales de interés pecuniario (crematístico). El orden de presentación no convencional es progresivo; y como también cambiaron los modos de estudio, ahora con PC; conviene utilizar los buscadores de palabras (Ctrl + F, o Ctrl + B) o con Google. 2) Seis métodos equivalentes: mientras que la teoría clásica enfa-

tizaba planteos con irreales sistemas NxN y sobre un también irreal equilibrio general, con lenguaje sólo formal, lógico o matemático simbólico pero nunca referidos a casos realistas concretos (al no poder resolver en forma manual problemas con más de 3 ó 4 varia-bles), en MCE se presentaron sistemas de 2x2 (4 variables) genera-lizables a cientos o miles de variables, resueltos con 6 métodos: diferenciales y operadores de Lagrange, programación lineal por métodos gráfico y Simplex o mediante matrices; adicionalmente a estos, se avanzó con programación lineal y con matrices mediante las aplicaciones simplificadas de Excel (porque es igualmente fácil generalizar para cientos de variables), llegando en todos los ejem-plos a similar resultado para los 6 métodos (12 resultados iguales con sus duales). Esta simplificada exposición de casos de 2x2 pero fácilmente gene-ralizables a cientos o miles de variables conformaron parte de la revolución informática, que permitió ir transformando la cosmovisión teórica tradicional al superar las limitaciones de los métodos ma-nuales de resolución. La posibilidad de calcular rápidamente casos de múltiples variables convirtió hoy a la microeconomía en aplicable concretamente a cualquier tipo de empresa; directamente por los estudiantes, no graduados y por los graduados en general (contado-res, licenciados o ingenieros industriales), sin ser ahora requerida


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una especialización adicional en econometría o en ingeniería de procesos de investigación operativa adicionales sobre estos temas; esto en buena medida gracias al Office de Microsoft. La importancia de agregar en estos 6 métodos los procesos con Excel, para Simplex y para matrices, fue que con ellos en el mismo archivo puede el lector resolver por analogía cientos o miles de va-riables, sin otros conocimientos ni aplicaciones adicionales, ya que esto es lo usualmente requerido en las empresas (en ninguna em-presa es posible la estimación y la optimización general con solo una, 2 ó 3 variables). Por otra parte, en MCE además de ejemplos con Excel también se presentan en forma simplificada las aplicaciones efectivas y concre-tas sobre estos temas mediante otros diez utilitarios diferentes y alternativos a Excel, o para su eventual control en casos necesarios. 3) Estimación de funciones: desde 1995 es fácil mediante corre-

lación múltiple de Excel, con 4, 10 ó 15 variables, e incluyendo el análisis de la varianza, simplificado por Excel y también según lo explicado en MCE. La estimación de funciones está incluida en los programas de mi-croeconomía, pero ningún texto la explica efectivamente (salvo en forma trivial para dos variables lo cual es inaplicable en las empre-sas), en MCE se encara este tema, que es el más importante en muchas empresas, explicando la estimación por correlación múltiple en forma concreta y efectiva; e incluyendo el imprescindible y fun-damental “anova” (hasta Microsoft lo incluyó en su Office con un ejemplo de aplicación sencilla y accesible para no profesionales, referido a la estimación de la demanda de helados con cuatro varia-bles, que permite la aplicación y evaluación anova concretas; y además es generalizable a múltiples variables independientes, faci-litando así las tres acosas involucradas en una estimación: la obten-ción de la función de ajuste, el anova y el posterior pronóstico en sí).


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4) Programación con cientos de variables: en MCE se facilita la

programación lineal para 50 ó cientos de variables con Solver y otros, cuando la generalidad de los textos solo utilizan tablas “Sim-plex” con hasta 5 variables. 5) Matrices con Excel: en MCE se expone el uso de matrices con Excel y otros para cientos de variables (en otros textos no hay ma-trices mayores a 4x4; pero algún ejemplo en Excel contiene aquí 1700 variables). En los años 90 solo se utilizaba en algunos medios el programa TSP (para DOS, hoy Eviews) como control de los cálculos manuales o del reciente Excel cuando existían inquietudes al respecto. 6) Otros 10 utilitarios: en MCE se introdujo la posibilidad efectiva

de controlar eventuales fallos en los cálculos con matrices, progra-mación lineal o estimación de funciones con Excel, al facilitar estas aplicaciones mediante efectivas simplificaciones con otros 10 utilita-rios diferentes a Excel (SPSS, Eviews, Gams, Tora, Findgraph, Matlab, WinQSP, Lindo, Lingo, Stata); simplificando la enseñanza para procesar cientos o miles de variables en breves párrafos para cada uno (y orientando sobre su adquisición gratuita en la web). Cuando en las universidades solo se utilizaban en microeconomía tablas “Simplex” manualmente; y mientras el Optimizing de Lotus y también el TSP para DOS (hoy Eviews) eran todavía poco conoci-dos, en MCE se facilitó y promovió el uso de Solver y de matrices con Excel y con otros. La necesidad de contrastar los procedimientos con varios utilitarios es ineludible en los casos reales de múltiples variables. Los análisis clásicos con una, dos o tres variables podrían ser controlados ma-nualmente mediante los diversos métodos analíticos, por ejemplo para asegurarse de que una solución fuese realmente optimizante.


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Más allá de las meras simplificaciones axiomáticas, el cerebro hu-mano continúa siendo el principal instrumento para estas implemen-taciones prácticas pero no es suficiente. Resultaba importante en primer lugar asegurar la inclusión en cada problema de todas las restricciones necesarias para concluir una optimización y finalmente disponer del utilitario necesario. Para este nivel introductorio en el análisis científico, el tratamiento comparativo de los problemas con los 6 métodos alternativos según MCE puede ayudar a iniciar estos razonamientos. Pero cuando se presentan mayores cantidades de variables, es más difícil estar seguro de que una solución encontrada sea maximizan-te; y lamentablemente, todavía no disponemos de una ayuda al res-pecto en Microsoft u otras empresas. Si las restricciones no están bien planteadas, por ejemplo las dife-rencias observadas en la optimización con Solver y con Matrices Excel (y quizás en otras estimaciones econométricas), pueden lle-gar a superar el 50%; de modo que no pueden pasar desapercibi-das. Se descarta como aplicable para estos asuntos y análisis empresa-rios la teoría del “sufficing” según H. Simon (las empresas no operan con la primer solución satisfactoria que tengan a mano, sino que procuran maximizar y optimizar sus recursos y resultados). En las empresas serían inviables errores por esa cuantía, por lo que se intentó prever los medios para evitarlos comparado también con diversos utilitarios para estos estudios de múltiples variables, impo-sibles de controlar mediante cálculos manuales. 7) Empresa sobredimensionada: en MCE se expone el modelo de

la “Empresa industrial sobredimensionada en países en desarrollo”, según el caso efectivamente utilizado ante la ITC y la FTC de los


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EEUU para defender durante 15 años exportaciones competitivas de chapas de acero de la argentina SOMISA. Para posibilitar la continuidad y mantenimiento de exportaciones siderúrgicas entre 1980 y 1993 se debió explicar en varias oportuni-dades ante la ITT y la FTC del Dep.of Commerce el funcionamiento competitivo de la “Empresa industrial necesariamente sobredimen-sionada”, por cuestiones de tecnología de países desarrollados aplicada para países en desarrollo con mercados insuficientes y que entonces necesitan competir en el mercado internacional (con fun-ciones con costo medio hiperbólico y legales descuentos de precio según cantidades, elaboradas con los breves datos legales de las usuales memoria y balance; más las adicionales y consecuentes inspecciones de costos y facturación por funcionarios de los EEUU). 8) Casos de antidumping y countervailing duty: otro aporte de MCE (diferente del modelo anterior para sobredimensionadas) es el uso de casos reales de antidumping y/o countervailing duty, como ejemplos de aplicación efectiva de los principios de microeconomía para la aplicación real de las normas de competencia en la empresa: denuncias de dumping ante la S.Comercio Exterior, con resultado en ocasiones afirmativo contra importaciones dumping y/o subsidiadas que lesionaba la competencia; también la defensas de denuncias presentadas por los EEUU y la CEE); la construcción de tablas de extras de precio competitivas, no objetables por discriminación de precios; y simplificar la obtención de los datos numéricos requeridos legalmente para demostrar la competitividad sin discriminación. 9) Cuatro contextos económicos: en MCE se estructuraron las

exposiciones bajo cuatro contextos (cierto, aleatorio, hostil e incier-to). El tratamiento de la incertidumbre era plateado tradicionalmente como análisis aleatorios o probabilísticos. En el ámbito microeco-nómico clásico la exposición se centraba en al análisis sobre segu-ros o casos análogos, valorados según el criterio de Bayes para el


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contexto aleatorio, con alguna ponderación personal diferente según la aversión o afición al riesgo del sujeto. En los años 30 Keynes había introducido la consideración masiva del tema de la incertidumbre empresaria; y también Neumann y Morgenstern plantearon su teoría de los juegos, que fue ampliada en 1950 con el análisis de J. Nash sobre estrategias mixtas. Y des-de ese año fueron aumentando las exposiciones de otros casos, incluso bajo contextos inciertos no tradicionales, en los cuales la naturaleza no se comporta uniformemente en el ámbito económico. La urna de Pólya (G.Pólya, 1954 Stanford Un.) fue otro llamado de atención, que amplió la consideración de la incertidumbre: se com-probaba que mediante extracciones con reposición en una urna no era cierto esperar resultados proporcionales a la dotación inicial (según la física, la matemática y álgebra, la lógica y el cálculo de probabilidades de Laplace, Boole, etc) sino resultados absoluta-mente azarosos. El economista y matemático Lorenz aportó por entonces (1961) su rara función logística, la cual ejecutada reiteradamente con aquellos incipientes ordenadores de su época le permitió comprobar que para una aproximación con 3 decimales en el exponente la evolución era potencial en el sentido tradicional esperado. Pero aumentando a cuatro decimales (0,5061) la función se bifurcaba con un compor-tamiento raro semideterminista (con “fractales” simétricos, autorre-producibles entre dos extremos o “atractores”) y luego pasaba a una evolución totalmente azarosa, absolutamente caótica, para valores del exponente desde o mayores a 0,506127. L. Zaded en 1965 (Berkeley) también expuso sobre una lógica fuzzy (matemática difusa) mediante planteos con criterios de verdad multi-valentes, como para el ejemplo de la contratación de jugadores, en la cual bajo el concepto lógico y matemático tradicional booleano (elegir los altos y con muchos goles) se excluía a uno no alto, de


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estatura mediana pero que había calificado con todos los goles de la prueba. Varios de estos casos también se ejemplificaron en Excel como mo-delos de simulación y/o dinámicos. 10) Elasticidad media: la economía clásica estudió detalladamente el comportamiento de la demanda y la clasificación de los bienes según sus elasticidades, que A. Marshall sintetizó en sus Principios Económicos. Giffen amplió este tema con la consideración de los bienes básicos de demanda atípica y Slutsky planteó este análisis matemáticamente diferente, para considerar los efectos de la infla-ción (efecto sustitución y renta, que en Varian se amplió con el efec-to renta-dotación, para explicar por ejemplo el caso de la oferta labo-ral). Pero en los textos se centran estos análisis en mediciones puntua-les, que no permiten obtener conclusiones en las empresas. En MCE este tema se trata como elasticidad media o promedio, simpli-ficando con la realización de un ajuste lineal precio-cantidad en un período prolongado para obtener conclusiones más firmes que con elasticidades puntuales.

11) ¿Es prácticamente útil la ecuación Slutsky?

Desde un punto de vista de la práctica empresaria se desprende de estas observaciones anteriores, que las formulaciones y consecuen-cias obtenibles con la ecuación de Slutsky no son de aplicación práctica en las empresas. La ecuación sirve para clasificar a los bie-nes (y separar los efectos en sustitución, renta y renta-dotación), pero no sirve para medir las elasticidades de las demanda de los bienes.


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En una maximización de la utilidad, considerando una demanda marshaliana que dependa de dos precios y una renta, se resuelve el lagrangiano y en las condiciones de primer orden se aíslan los términos con variables en el primer miembro, para resolver el siste-ma por el método de Cramer, de modo que figuren los adjuntos del determinante en el numerador de tres términos. Uno de estos será nulo al momento de calcular el efecto de la variación de algún precio sobre la demanda del bien estudiado, quedarán así las expresiones con los dos conocidos efectos de la ecuación, sustitución y renta. Con ellos se pueden explicar los efectos de las variaciones de pre-cios sobre las demanda de bienes y concluir una clasificación de los bienes, en típicos o de la paradoja Giffen; normales o inferiores (efectos directos); y en sustitutos o complementarios (efectos cruza-dos). Siguiendo a Varian, la ecuación también se puede aplicar para aislar el efecto renta-dotación, que es útil para explicar conceptualmente la oferta y demanda laboral, o para explicar los criterios en una elec-ción intertemporal consumo-ingreso. Pero, debido a estas mediciones puntuales de la ecuación, no es posible aplicar este esquema para calcular las elasticidades de la demanda de bienes (ya que requieren la continuidad que dan los promedios en períodos prolongados), debido a esto sus aplicaciones empresarias son muy limitadas. Medir las elasticidades según el efecto total, del caso directo o cru-zado, o también medir la elasticidad renta según el segundo término resultaría en valores puntuales sin sentido económico para las deci-siones empresarias, las cuales suelen adoptarse a partir de medi-ciones con el criterio estadístico de elasticidad media o promedio. Por otra parte, J. Hicks aportó un procedimiento analítico y geomé-trico más intuitivo y fácil de aplicar en las empresas para separar


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conceptualmente los dos primeros efectos y para estas clasificacio-nes de los bienes. 12) Como obtener funciones y gráficos desde series y vicever-sa: la simplificación de estos temas implicó comenzar en MCE por

ilustrar como obtener las funciones, pero además hacerlo partiendo desde series (y graficarlas) y continuar con utilizar funciones para obtener series. La exposición con papel y lápiz no implica necesa-riamente una capacidad para el tratamiento efectivo de series y de funciones en la empresa y esta simple práctica en Excel resulta tan imprescindible como la correlación múltiple. 13) Funciones muy complejas: en MCE se expone en forma sim-

plificada (realmente simplificada) como obtener funciones muy com-plejas y con precisión millonésima, mediante Findgraph (y algunas con Excel), cuando solo se dispone de unos pocos valores concre-tos reales pero es necesario formular una ley de formación o evolu-ción. 14) Análisis dinámico: el análisis intertemporal en microeconomía, introduciendo retardos en el ajuste de las variables, de modo que el valor actual de una variable dependa de los valores pasados de la misma y/o de otras variables se plantea no solamente para el mode-lo de la telaraña, sino que también se ven varios ejemplos de proce-sos estocásticos (aleatorios), de Markov con variaciones discretas a lo largo del tiempo, así como un conjunto de herramientas para la creación de rutinas o simulaciones del comportamiento dinámico en los procesos de ajuste, que van desde el análisis Newton- Raphson hasta el uso de la tecla de reajuste F9, las macros bucle o las itera-ciones con Excel 15) Modelo de la Telaraña y su número de períodos: en MCE se

expone el modelo de la telaraña pero incluyendo además la medi-ción concreta del número de periodos hasta el ajuste. Los textos de microeconomía incluyen el modelo de la telaraña y mencionan algún


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ejemplo de su aplicación y cómo las diferentes elasticidades influyen en la velocidad del ajuste: Pero ningún texto explica ni calculó algu-na vez el modo de determinar el número concreto de fases necesa-rio para el ajuste hasta el nuevo equilibrio. En MCE se cuantifica fácilmente el número o cantidad concreta de fases necesarias en este modelo dinámico, que pasa así a ser más efectivamente apli-cable en la empresa (para explicar la evolución en los mercados de granos, viviendas, jamones, commodities en general u otros con ajuste retardado). 16) Modelos de simulación: en MCE se presentan aplicaciones

concretas de estos enfoques mediante fáciles ejemplos en Excel y otros, ilustrando sobre la realización y comprobación de modelos de simulación mediante simples funciones de Excel como =aleatorio( ) y =Si( ; ; ) y otras. Los modelos de simulación, tanto estáticos (como el análisis de la coyuntura de la actividad económica) como dinámicos, son fáciles de implementar en Excel. En diferentes ejemplos se ilustran casos elaborados con solo instrucciones en simples hojas de cálculo; para otros casos se utilizan recursos elementales de Excel, como la posi-bilidad de iterar celdas o repetir en “bucle” indefinidamente; y en otros se utilizan aplicaciones de Excel, como iterar, =aleatorio, =si( ) y funciones o distribuciones diversas. Existen numerosos programas especializados para econometría y afines, pero Excel también per-mite además la elaboración de muchos programas complejos me-diante la creación de macros automáticas, cuya mecánica también se resume aquí (y esta detallada en el propio utilitario de Microsoft). 17) El problema de identificación: en la microeconomía neoclásica

es frecuente plantear el problema de la falta de identificación de las causas de algún problema (E. J. Working, Philadelphia 1927 ). Antes de que ocurra un hecho o un accidente que se ve inminente es po-sible tener una explicación clara de lo que luego ocurra. Pero si no


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se dispone de esa visión previa resulta más difícil encontrar o identi-ficar las causas del hecho. Así por ejemplo, en materia estimación de funciones, simplificando aquí el análisis de la varianza y la elección de la función de ajuste y de sus variables independientes; igualmente sobre el tema del equi-librio general, o al menos del equilibrio empresario con muchas va-riables: en MCE se exponen casos simples y metódicamente gene-ralizables. No se confunde al lector mediante ejemplos con 30 varia-bles como para solo ejercitarlo y que se desgaste en el problema de identificación, cuando en realidad los ejemplos fueron prefabricados mediante tanteos y sucesivas pruebas y error, que aparenten su-puesta complejidad de tratamiento conceptual, aunque solo sean en realidad elaboraciones artificiosas sin método explicativo posible. Tal sería el caso de resolver un problema empresario con 30 varia-bles, partiendo de un sistema de 2x2 (que es fácilmente optimizable) para luego ir agregándole sucesivamente restricciones macroeco-nómicas, que se puedan resolver mentalmente y luego solucionarlas también con Solver (mediante tediosas sesiones de pruebas en hojas de cálculo Excel más Solver, sumaproducto etc) pero que carecen de un método explicable económicamente o con el Office. Por el contrario, en MCE se utilizan y resuelven sistemas de este tipo pero facilitando y simplificando con ejemplos los métodos de resolución. En definitiva, se explica la modelación para optimizar sistemas con múltiples variables (incluso con diferentes utilitarios) exponiendo paso a paso los métodos para programación con Solver, en sus varias alternativas o formas de uso. Adicionalmente, también se facilitó la resolución mediante otros 10 programas alternativos, que son asequibles en la web libres y solo requieren una hora de dedicación (al igual que para estimar funcio-nes con múltiples variables).


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Con un claro objetivo científico: refutar y desmetaforizar la micro-economía meramente (falsamente) axiomática, que desde hace dé-cadas está impidiendo el progreso científico (por no ser contrasta-ble). La complejidad científica existe a otros niveles de abstracción no microeconómicos y se trata en programación, en matemáticas y en economía, generalmente en forma axiomática y excediendo los re-querimientos de la microeconomía como economía de de la empre-sa. Aún así se observan inconsistencias entre los métodos de progra-mación lineal, matrices y de insumo-producto que son evidentes en Excel, en numerosos casos simples fáciles de corroborar, por que presentan en Excel diferente resultado según la herramienta que se adopte; pero por ahora no tienen solución con Excel en estas incon-sistencias. Esto también evidencia la imposibilidad de corroborar la consisten-cia de los planteos macroeconómicos y de enfoques de equilibrio general axiomáticos (lamentablemente, solo fantasías). 18 Métodos científicos: se hace en general mucha referencia a los

métodos, pero solo ocasionalmente se aclara sobre métodos para qué. En MCE se trata el tema, separándolos en A) métodos para estudiar: un muy breve comentario sobre la pro-puesta de Descartes en su Discurso del Método, que en síntesis consiste en recolectar, listar, dividir y analizar los componentes de un tema para luego resumirlo en una síntesis (que para estudiantes se sugirió agregando “a libro cerrado”). B) métodos para informar: identificando las cinco componentes de un informe profesional como identificación; introducción y supuestos;


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desarrollo detallado explicando los pasos analíticos y su vinculación con la realidad; conclusión sintética; fuentes de información. C) métodos para demostración científica en economía, reseñando los métodos básicos de la deducción y de la inducción y los demás complementarios con detalle bien efectivo. 19) Un error en la microeconomía clásica, el sujeto: se observa

en general que muchos ven a la microeconomía como una de estas dos cosas: o bien teoría de la competencia perfecta y del equilibrio general; o bien para otros que piensan que pasa actualmente a ser teoría de los juegos, incertidumbre, etc. En MCE se entiende que ambos puntos de vista se olvidan de la importancia de la investigación operativa y de la econometría como componentes de la microeconomía en el ámbito mayoritario de apli-cación, la empresa. La corriente de pensamiento que sigue a Walras, Pareto, Lerner, Arrow y Debreu (sin la crítica de Sonnenschein y otros por las irrea-les funciones de demanda y producción del modelo) enfatiza la im-portancia de la ley 2 y la ley 1 de la teoría del bienestar, pero sin resolver la distribución de los beneficios (la Caja de Edgeworth solo explica que uno mejora, pero no puede decirlo sobre los dos, ni quien mejora), ni los problemas por las imperfecciones del mercado, por los bienes públicos, la polución, depredación de recursos natura-les, etc. Con Arrow y Debreu y el principio paretiano se insiste en demostrar la ventaja del comercio bajo libre competencia; y detrás de esto se viene en apoyo de la doctrina y políticas librecambistas así como en la de apertura comercial internacional a cualquier precio, costo y desempleo locales; contrarias a la defensa de la industrialización y de las actividades mano de obra intensivas. Presuponen, errónea-mente, que la competencia perfecta está siempre presente y enton-


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ces el sistema se encarga de actuar como un justo planificador que siempre distribuye con equidad los beneficios de la eficiencia técnica paretiana. Se oculta que ese modelo es solo esto, una idealización teórica ba-sada en supuestos fuertemente irreales; el modelo (exclusivamente) teórico solo demuestra que hay una mejora con aplicación del prin-cipio paretiano, pero que no demuestra si ambas partes mejoran con el comercio, quién mejora, ni si siempre corresponde la mejora a una de las partes, excluyendo a la otra de las ventajas de ese co-mercio, dado que en la realidad no existe tal justo planificador co-mentado (Amartya Sen y otros aportan sobre la distribución asimé-trica del 90% los recursos para el 10% de la población y el 10% de los recursos para el 90% de la población; impidiendo el efecto loco-motora de una distribución más equitativa). Sin embargo, también se puede tomar como otro aporte en MCE el haber insistido sobre estos enfoques contrarios a la cosmovisión centrada en el principio paretiano y el equilibrio general o sistemas NxN. Especialmente importante fue disentir sobre el destinatario principal de los estudios microeconómicos, que no es precisamente aquel matemático teórico dedicado a la microeconomía axiomática sino el profesional y el técnico no profesional que actúan mayorita-riamente en las empresas. Como una refutación, la microeconomía es vista así como econo-mía de la empresa pero en su “esfera real”, separada de los enfo-ques financiero contables y también de los modelos efectivamente impracticables. Y es por esto que la investigación operativa y la econometría simplificadas deben ser el centro de atención de la microeconomía en la empresa, tal como se estructuró MCE. 20) Otro error en la microeconomía clásica, las generalizacio-nes sobre sistemas NxN: igualmente insiste el paradigma neoclá-sico con los análisis teóricos del equilibrio general y en modelos


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sobre sistemas NxN, pero no se reconoce que ni aun con los super-computadores de 2011 existe siquiera un modelo de este tipo en algún país o región, EEUU, la UE, China, Rusia o Japón.. Se limita esta teoría a sistemas con cuatro o pocas variables, que no tienen aplicación microeconómica ni macroeconómica. El paradigma neoclásico, se refiere a metáforas no cuantificables; no es mucho más que lenguaje simbólico (matricial, de la lógica de conjuntos, del análisis aritmético, geométrico o diferencial, etc) pero que se agota en generalidades, limitadas a cuantificaciones de solo 4 variables, que nunca se formularon ni concretaron para un sistema real de algún país grande o pequeño. Es otra refutación reconocer que tampoco existen equipos informáti-cos capaces de efectuar esta tarea ni son anticipados para un futuro próximo en ningún continente: La UE apoyó su propaganda anticri-sis a fines del 2011 con un proyecto de programación por 1000 mi-llones de euros que incluye 200 equipos de investigación. Pero en los hechos los supercomputadores y la robótica hasta el presente solo tuvieron cabida participando en las crisis de las bolsas de valo-res con sus masivas operaciones casi instantáneas (High Frequency Trading o HFT, utilizados por brokers en Chicago, Kansas City y Austin). Tampoco entra en la categoría el famoso programa conoci-do como modelo Black-Scholes-Merton, utilizado por décadas por los especuladores para la valoración de derivados financieros (op-ciones, forwards, futuros y swaps). Es decir que en materia microeconómica, la programación seguirá por ahora limitada al ámbito de la optimización empresaria (equilibrio parcial). Para Argentina, tanto el sistema internacional CIIU como el sistema comercial e industrial argentino NCM, contemplan un nomenclador de actividades y transacciones (la NCM es compatible con el siste-ma armonizado internacional) agregado en 96 capítulos, que inclu-


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yen un promedio de 100 industrias cada uno: unas 10.000 indus-trias, con miles de transacciones diarias, que inducen a pensar en 100.000 variables solo para los sectores reales de algún proyecto de sistema de equilibrio general concreto (sin considerar otros con-dicionamientos reales de las entregas, mercados de futuros e in-fluencia del azar, etc) . Hasta la fecha estos sistemas siguen inexis-tentes en el ámbito local así como en el internacional (solo existen algunas matrices de insumo producto, con agregación muy limitada; 120 sectores en un caso argentino). No obstante lo expuesto, no se le resta mérito al enfoque clásico tradicional, por cuanto (acorde al estado del desarrollo instrumental de su época) ha permitido históricamente elaborar varios cientos de principios exitosos para explicar el funcionamiento empresario. De hecho, el enfoque de Microeconomía con Excel (MCE), solo consti-tuye una actualización práctica computacional de esta teoría, para corregir sus distorsiones por identificar teoría con realidad.

21) Visión de la microeconomía como la economía de la empresa: en el origen griego de la economía figuraba etimoló-

gicamente la economía doméstica, de la casa del ciudadano griego con sus tierras y esclavos, etc., es decir la empresa de aquella épo-ca; pero la ambigüedad de tratamiento micro y macroeconómico persistió durante 25 siglos (y se le agrega hoy la ambigüedad de considerar como casa a la residencia del consumidor). No hubo ex-plicaciones académicas especificando el tema. Tampoco la estadís-tica, la econometría o la investigación operativa reclamaron tal esta-tus; solo convivieron como extensiones o especializaciones. En al-gún momento se utilizó inadecuadamente este nombre de economía de la empresa para los enfoques contables y financieros, aunque excluían lo más importante, la esfera de lo real y lo físico microeco-nómicos. El esquema keynesiano otorgó en 1936 autonomía a la macroeco-nomía como disciplina independiente del esquema conjunto y mi-


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croeconómico. En cuanto a la microeconomía, el enfoque explicado en MCE muestra que también la microeconomía adquirió esta ca-racterística autónoma a partir de los años 1980/90, gracias al enfo-que computacional generalizado en cualquier empresa. Las causas de esta omisión en el enfoque de A. Marshall y demás clásicos fueron aquí comentadas, básicamente su imposibilidad o dificultad de resolver sistemas con más de tres o cuatro variables, frente a los requerimientos multivariantes en los departamentos de las empresas. Esta fue la visión que originó en los 1990 Microeco-nomía con Excel en Empresas (MCE) como enfoque para el dictado de cursos en la UBA: presentaciones simplificadas con facilidades computacionales, con captación o asimilación abreviada para los técnicos que se desempeñan en los departamentos empresariales.

22) Simplificación de la Teoría de los Juegos, del S.XXI: Cooperativos con TU y efectiva aplicación práctica de los

índices de Shapey y Banzhaf con Excel y otros utilitarios; licitaciones /subastas. Optimización Simplex del oligopolio con 3 a 9 empresas. Optimización multiobjetivo y multicriterio con Excel y otros utilitarios. Desmitificación de los misteriosos algoritmos Pareto-eficientes me-diante programación concreta al alcance de un curso general de microeconomía.

23) Omisión tradicional en el MIT, LSE, OXFORD Y SALAMANCA

En estas consideraciones introductorias previas al resumen sobre la microeconomía clásica se expusieron los principales contenidos microeconómicos según los programas en las instituciones más prestigiosas. Pero, ¿cómo es posible que disponiendo de los conocimientos ne-cesarios no decidieran las principales instituciones ordenar y simpli-


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ficar el tratamiento de la microeconomía, aislándola de otros aspec-tos macroeconómicos francamente no vinculados?. Los hechos orientan a concluir directamente que por motivos co-merciales (crematísticos) no abandonaron el tratamiento ambiguo micro y macroeconómico, ni simplificaron la microeconomía básica como economía de la empresa (oikos). Además, como la mayoría de las instituciones mundiales copian los programas de las universidades líderes, también perderían su posi-ción líder en el ranking de instituciones culturales prestigiosas si otras instituciones pasaran a capacitar fácilmente y en forma barata sobre economía de la empresa. Como ya se comentó, hasta 1950 no era viable para los economis-tas resolver problemas con más de tres o cuatro variables; y cuando aparecieron los primeros ordenadores, solamente algunas institu-ciones y empresas líderes tenían acceso a equipos informáticos con sus programas econométricos o de investigación operativa. Enton-ces, las instituciones encontraron un nuevo rubro de prestigio y ne-gocios con el dictado de cursos, carreras y maestrías adicionales sobre estos enfoques y aplicaciones. Desde la aparición de Lotus 123, Qpro y luego Excel, así como tan-tos otros programas y paquetes estadísticos y econométricos, Tam-bièn se amplió el panorama sobre cursos, carreras, maestrías y afi-nes; y las instituciones prestigiosas no renunciaron a esto. Parecería directamente, que no progresó ningún cambio de esquema ni en sus currículas académicas, orientado a ordenar y simplificar el trata-miento microeconómico, porque actuarían en contra de sus intere-ses comerciales y de manejo del ranking.

El MIT y universidades de Massachusetts y otras de EEUU, se im-pusieron como el centro de las nuevas ideas culturales. Un ejemplo es el reciente enfoque de la Teoría de la Negociación en el MIT,


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para licitaciones y otros casos de la teoría de los juegos, pero im-plementándolos computacionalmente y con axiomatización mediante una compleja teoría de conjuntos en una forma no del todo abierta, que quizás también tendría algo que ver con los buenos negocios que se originaron en muchísimos países para algunos sectores em-presarios prestadores de crecientes servicios públicos. En este último sentido, los planes de estudio de esta época también parecieran estar respondiendo, en algunos de sus aspectos, a orien-taciones impulsadas en la década de 1980 en el ámbito de la OMC y del Banco Mundial, sobre el tratamiento de la educación como un bien transable; así como a los planteamientos del denominado Con-senso de Washington, formulado en 1989 por un ex economista del MIT, John Williamson; que finalmente fue extendido desde Latinoa-mérica hacia el resto del mundo, e incluso internamente en los EEUU luego de la reciente gran crisis financiera:

24) Brecha entre modelación y realidad:

Es necesario reconocer que las universidades de Massachusetts son en el s.XXI las mejores del mundo, tanto por la calidad como por la cantidad de los trabajos que allí se emiten. Sin embargo, esto no quiere decir que solamente sea correcto todo lo que allí se dice, ni solo lo que allí se dice. En este sentido se llama la atención sobre una carencia generaliza-da en la formación y en los textos microeconómicos: los enfoques teóricos presentan para los estudiantes una inexplicación o falta de nexo entre las teorías y la realidad empresaria. Cualquier estudiante puede sentir esta dificultad, al estar imposibilitado para imaginarse como se aplicarían en forma efectiva los conceptos teóricos clásicos en una empresa.


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Nuevamente está aquí presente, la comentada falta de objetividad en la identificación del destinatario del análisis microeconómicos: no se tiene todavía claro que la microeconomía es básicamente eco-nomía de la empresa y los textos no explican esta carencia o tema ausente. En las empresas no se produce solo uno ni solo dos pro-ductos, pero las teorías enfocan las soluciones con solo una o dos variables, según las soluciones de Cournot, Marshall, Pareto, La-grange, etc. y la vinculación con la realidad no es así directa ni evi-dente para el estudiante. Por otra parte, la programación según Dantzing, Kantorovich y otros facilitó la optimización con cientos o miles de variables, pero aún con Excel se obtienen solamente cantidades de una mezcla óptima y en todo caso el beneficio aportado según los coeficientes y un funcional precalculados. Surge aquí un vacío o falta de nexo entre esta mezcla óptima y los análisis clásicos con solo una o dos varia-bles, sobre ingresos, costos, beneficios o producción y según sean los tipos de mercados competitivos u oligopólicos. Pero, si la clave de esta modelación no estuviera en las propuestas de estos autores, quién o cómo se explicaría el funcionamiento de la empresa?. Simplemente, está faltando una explicación sobre cómo se cierra el circuito conceptual entre estos esquemas y su aplica-ción efectiva empresaria. El profesional práctico de una empresa debió razonar sobre este nexo; pero un joven estudiante no encuentra en los textos usuales ( Henderson y Q., Baumol, Dorfman S. Solow, Varian, etc) una orientación concreta sobre el nexo entre teoría y práctica. Falta en los textos este “broche de oro”, que una la teoría clásica con la pro-gramación y con la realidad concreta; y en este trabajo MCE y cur-sos se aclara sobre esta vinculación teóríco-práctica y sobre todo, se ofrecen ejemplos reales y concretos sobre ello.


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CONSENSO DE WASHINGTON

▪ Disciplina presupuestaria (los presupuestos públicos no pueden tener déficit) ▪ Reordenamiento de las prioridades del gasto público de áreas co-mo subsidios (especialmente subsidios indiscriminados) hacia secto-res que favorezcan el crecimiento, y servicios para los pobres, como educación, salud pública, investigación e infraestructuras. ▪ Reforma Impositiva (buscar bases imponibles amplias y tipos mar-ginales moderados) ▪ Liberalización financiera, especialmente de los tipos de interés ▪ Un tipo de cambio de la moneda competitivo ▪ Liberalización del comercio internacional (trade liberalization y dis-minución de barreras aduaneras) ▪ Eliminación de las barreras a las inversiones extranjeras directas ▪ Privatización (venta de las empresas públicas y de los monopolios estatales) ▪ Desregulación de los mercados ▪ Protección de la propiedad privada.

DISGRESIÓN MACROECONÓMICA

La inclusión en los programas de microeconomía de una reseña macroeconómica es fundamental, dado que las decisiones empresa-riales son muy sensibles a los cambios de tendencias o dependen del entorno general. Sin embargo, algunos enfoques teóricos han avanzado mucho más allá que esto y cuestionan la separación entre lo macroeconomía y la microeconomía, e incluso pretenden aplicar el principio de eficien-

http://es.wikipedia.org/wiki/Gasto_p%C3%BAblico

http://es.wikipedia.org/wiki/Reforma

http://es.wikipedia.org/wiki/Liberalizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Tipo_de_cambio

http://es.wikipedia.org/wiki/Privatizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Desregulaci%C3%B3n


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cia paretiano y la simplificación del modelo competitivo con sus irreales y teóricos supuestos asignándole validez general nacional e internacional (en este último caso a través del comercio exterior, explicado con la ingenuidad de la Caja de Edgeworth). Si las transacciones guardan el básico y elemental criterio paretiano se está cumpliendo con la maximización del bienestar general, con la eficiencia y óptima determinación y asignación en el consumo, producción, distribución de ingresos y comercio internacional; bajo la estabilidad y pleno empleo del modelo de la competencia perfecta (aunque supone como requisitos fundamentales la atomización, libre movilidad de bienes, empresas y factores, ausencia de mono-polios y externalidades negativas en materia de polución, recursos naturales, uso de bienes público, etc.). Nadie puede dudar de la rigurosidad lógica y validez formal deducti-va de este enfoque y principios, ya que sus defensores insisten en que se refieren al modelo de la competencia y no a la realidad de la política económica o de la microeconomía, macroeconómica o eco-nomía internacional. Sin embargo, esto además de ser falaz es incorrecto científicamen-te en forma absoluta, según las aclaraciones formales que brinda la filosofía del conocimiento científico: la lógica y la matemática pura no son economía. La economía es una ciencia empírica y requiere que sus principios cumplan ineludiblemente con el criterio de verifi-cabilidad y/o contrastación empírica (Nagel, Popper, Khun), que precisamente no está presente en el cumplimiento de esos supues-tos fundamentales en el modelo teórico. Desde el punto de las políticas económicas, es de conocimiento público que esos supuestos no se cumplen (prohibiciones comercia-les generalizadas, tanto para bienes como para factores; polución; depredación de recursos naturales etc). Desde el punto de vista


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científico, no es sostenible defender el modelo teórico en cuanto tal sin su verificabilidad o contrastabilidad. Sin embargo, esta doctrina microeconómica eficientista tiene una amplia trayectoria. La idea del átomo estaba presente en la antigüe-dad griega y fue necesario esperar al siglo XX para concretarla y manipularlo. Por este mismo motivo se insiste en una visión del equilibrio general competitivo paretiano: llegará el día en que todos los gobiernos pueden controlar a los monopolio y las externalida-des; esta modificación de la realidad conducirá a una situación apli-cable según el modelo teórico. Además, algún día existirían unida-des computacionales capaces de procesar los necesarios sistemas de ecuaciones NxN, abarcando lo miles de millones de variables necesarias, racionales, ergódicas o no. Este pareciera ser un planteo legítimo. Pero la refutación que se precisa aquí sobre este tema es otra: este enfoque no es microeco-nomía, sino una digresión macroeconómica por exagerada exten-sión del objeto estudiado y de los supuestos requeridos. Al menos por mucho tiempo más, el objeto de estudio de la microeconomìa continuará siendo básicamente la unidad individual de producción, la empresa; y el equilibrio general debe ser considerado en micro-economía solo como el análisis de la influencia de las políticas ma-croeconómicas, sin abarcar la demostración de la eficiencia y equi-dad del comercio internacional ni del pleno empleo y bienestar gene-ral. El equilibrio de la empresa y de la unidad consumidora en diferentes mercados y bajo contextos ciertos y no ergódicos es el objeto de estudio de la microeconomía: La microeconomía clásica brinda mé-todos y suficientes explicaciones generales, abarcando sistema NxN pero para cientos o miles de variables, que alcanzan a satisfacer las exigencias de la mayoría de las empresas (solo casos de equilibrio parcial)


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Además, la tradicional programación monousuario (con DBase, Clipper y otros bajo DOS) permite elaborar modelos y programas más complicados, como para tráfico, para semáforos y similares. Pero para la generalidad empresaria, los paquetes computacionales como Excel (y otros 15 que se reseñaron y explican en Microeco-nomía con Excel) estandarizaron la econometría y la investigación operativa que hoy se requiere para una fácil aplicación concreta de la microeconomía en la empresa. Esto es microeconomía y no aque-llos sistemas NxN nacionales o internacionales del bienestar, que solo son digresiones, utopías por ahora irreales y además de índole macroeconómico, que resulta necesario y conveniente conocer y refutar, así como no confundirlas con microeconomía.

USO DE FUNCIONES

Se utilizan en microeconomía funciones de consumo, demanda, producción, costos, beneficios, etc. pero en ningún texto figura con-cretamente como se obtienen dicha funciones, no obstante ser un procedimiento asequible en pocos minutos u horas. El origen de esta distorsión reside en que la mayor parte de los eco-nomistas escritores no alcanzó a participar de las ventajas de la innovación computacional, que desde 1990 está disponible para técnicos y profesionales de toda empresa; y en forma manual no es posible efectuar esta obtención de funciones, salvo en sus versiones primarias por mínimos cuadrados simples que son insuficientes. Excel (y 15 otros que se exponen en Microeconomía con Excel) ex-plican y tienen estandarizada la correlación múltiple con el corres-pondiente análisis de la varianza (anova) o bondad del ajustamiento con múltiple variables independientes. El procedimiento es asimila-ble en una hora.


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Pero la visión tradicional, sin posibilidades computacionales limitada a solo dos variables, consistía en suponer que existen técnicas eco-nométricas oscuras para especialistas, que serían quienes obten-drían estas funciones que usarían los profesionales en microecono-mía (contadores, licenciados, ingenieros industriales) que son los que efectivamente se desempeñarán en las empresas. Pareciera algo como que quien no tiene un rol se lo autofabrica por escondimiento: esa obsoleta visión tradicional también recurrió a distorsionar el contenido de la microeconomía, subrogándolo por una extensión macroeconómica para graduados supuestamente encargados de una modelación solo conceptual y sin vinculación con la realidad económica efectiva. Pero su extensión axiomática fue tan importante, que no puede estar ausente en el contenido de la disciplina. Sin embargo, la realidad indica que la generalidad de los contado-res, licenciados o ingenieros industriales debe desempeñar su fun-ción en la actividad empresarial; salvo crear una disciplina nueva o con otro nombre que explique el funcionamiento de la unidad de producción o empresa en su esfera real (que no es estadística, eco-nometría ni investigación operativa, solo ampliaciones para análisis específicos). Una asignatura microeconomía abarca todo el campo requerido por la explicación operativa y econométrica para las empresas. Incluye la modelación simbólica (representaciones abreviadas que recurren a la analogía y rigidez formal de la matemática respetando las reglas de la geometría, del análisis diferencial, del álgebra de matrices o de la teoría de conjuntos); también estimación de funciones de deman-da y otras (usual por mínimos cuadrados múltiple o por simulaciones de la oferta y demanda globales u otras); también investigación ope-rativa para la optimización múltiples variables (programación lineal y otras); diversos mercados; y nuevos métodos no tradicionales sobre algunos juegos aislados (Neumann-Morgenstern, Nash, Tucker, etc)


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y algunos enfoques aislados bajo incertidumbre tradicional (La Pla-ce, Bayes) y no ergódica (Bólya, Lorenz, Zaded, etc) La optimización conceptualmente y con birome era todo lo posible que se podía hacer antes, ya que un limitado procesador de mesa en 1970 costaba aquí 5000 dólares, aproximadamente como su equivalente pequeño mainframe IBM 360 (más un costosísimo man-tenimiento), algo como comprar entonces un FIAT 600. Las condiciones de segundo orden, especificadas analógicamente con la concavidad paretiana (referida al requerimiento de curvas de gustos con pendiente negativa o tasa marginal de sustitución decre-ciente) o expresadas algebraicamente con el hessiano positivo o por las condiciones Khun y Tucker, etc, conformando un conjunto de confusas alternativas (tan solo para explicar los casos de las pocas variables manejables manualmente) que superó la aparición de los clones con el Lotus123, Qpro y ahora Excel y otros para cientos o miles de variables, que recién permiten la optimización efectiva en el ámbito microeconómico empresario (con exclusión aquí de las di-gresiones macroeconómicas y globales de la economía del bienes-tar general, inviables o inalcanzables ).


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TRES POSIBLES ENFOQUES MICROECONOMICOS:

1) ASIGNATURA INTRODUCCION A LA ECONOMIA:

En las asignaturas de introducción a la economía es usual algún enfoque basado en demostraciones deductivas, limitadas a plan-teos geométricos marshallianos y paretianos, sin concretar mediante los correspondientes cálculos analíticos de estas deducciones; ni incluir el otro método científico básico de la inducción estadística. Estos conocimientos aportan ayudas conceptuales pero no habilitan para efectuar las cuantificaciones de la operatoria usual en las em-presas.

2) MICROECONOMIA INTERMEDIA:

En las asignaturas de microeconomía a nivel intermedio, el enfoque marshalliano y paretiano se completa con el de otras teorías y diver-sos métodos, incluyendo en todos los principios la cuantificación específica mediante la metodología matemática existente: el cálculo matemático diferencial, el de Lagrange, con álgebra matricial, con programación lineal y otras que son de uso general no muy especia-lizado; así como con otros numerosos análisis “puntuales” sobre teorías de juegos y de la incertidumbre, teoría espacial, etc.. Este enfoque intermedio con su versión computacional conforma en con-junto un marco aplicable a la cuantificación efectiva diaria en las empresas.

3) ENFOQUE AXIOMATICO, MICROECONOMIA SUPERIOR:

Recurre a la simbología matemática de la teoría de los conjuntos, que como lenguaje lógico permitiría un rigor para las generalizacio-nes en algunos sistemas particulares y en otros supuestamente generales, de tipo NxN variables (globales para millones de varia-bles), utilizando supuestos irreales o ilógicos como especialmente el


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de ser solo análisis formales, sin abarcar o referirse a alguna reali-dad económica concreta. Sus planteos pueden ser así formalmente lógicos, pero son en lo económico científicamente inconsistentes, por ser meramente ideales, in verificables e incontrastables. Pueden ser incluidos capítulos sobre teoría de los juegos, con análi-sis complejos para algunos casos aislados, que por sí no conforman una teoría general. También se suelen incluir estimación y modela-ción con múltiples variables mediante programación informática. Pero las teorías implican un lenguaje lógico, que puede ser solo axiomático en el caso de las disciplinas puras no aplicadas a la realidad empírica (como la lógica y la matemátíca en tanto pura) y que para ser científicas, en el caso de las disciplinas empíricas co-mo la economía deben de ser verificables o contrastables además de formalmente lógicas. También incluyen modelos (ecuaciones, ideas o metáforas definidoras de alguna propuesta, incluso gráficos o maquetas como la hidráulica para referirse a la circularidad y equi-librio económico. Una visión cree que la economía debe priorizar la modelación de situaciones, pero incluso aún a costa de introducir irreales supues-tos relevantes, que convierten sus propuestas en no económicas y no científicas. Impregnan los textos económicos clásicos; basan sus enfoques en la lógica y la matemática puras, sin vinculación con la realidad ni la economía; desvirtuando el contenido de la economía. Este enfoque tiene su razón de ser en el lento avance del conoci-miento científico, que hasta fines del siglo XX impedía resolver pro-blemas con más dos o pocas variables en las empresas. La formalización de teorías es necesaria e imprescindible, pero cui-dando no confundirse: siempre debe corresponder a teorías econó-micas que, para ser tales y científicas, necesitan superar la prueba de la verificabilidad o contrastación empíricas (en los términos de R. Karnap, T.Nagel, K.Popper o T.Khun). No hay economía formal;


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hay lógica y hay matemática, pero en cuanto aplicadas a la econo-mía, pasan a ser empíricas y necesitan esa prueba de la verificabili-dad o contrastación.

TEMAS FUNDAMENTALES PARA UN CURSO GENERAL DE MICROECONOMÍA

Al menos se deberían abarcar:

1) sistema económico (teorías y realidad histórica); circulari-

dad económica (clásicos, keynesianos).

2) Elasticidad según tipos de bienes (incluyendo elasticidad

media con Excel); ingresos con sus 8 conceptos previos ne-

cesarios (Relaciones Total-medio-y marginal, máximo y mí-

nimo, doble pendiente del ingreso marginal, tangente y pen-

diente, recta por 2 puntos, elasticidad y precios, A-Robinson,

costo nulo a cortísimo plazo).

3) estabilidad estática y dinámica, modelos de simulación de la

Of.yDemanda global para estimar la demanda; estimación de

funciones por correlación múltiple con N variables indepen-

dientes con anova.

4) programación lineal simplex y con Solver de Excel para N

variables.

5) tres teorías de la demanda, con métodos diferencial, combi-

nada de Lagrange, con Slutsky; números índice de nivel de

vida, Laspayres y Paasche.

6) producción y costos con 1 y con 2 variables (relaciones en-

tre el Total, el medio y el marginal); matrices NxN con Excel;


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equilibrio y diversos objetivos; inventarios; tipos de acciones;

van y tir con Excel; 6 métodos equivalentes en una hoja Ex-

cel (2x2 con Lagrange, método gráfico, Simplex, matrices,

Solver y matrices con Excel)

7) competencia, monopolio puro, discriminador, multiplefacto-

ria, 3 casos de duopolio, Sweezy, Stackelberg, cartel, casos

de Hotelling, Bain, Silos Lavini o Modigliani; von Thünen;

empresa Sobredimensionada exportadora.

8) criterio de distribución en competencia, monopsonio, mono-

polio y bilateral.

9) teoría de los juegos de suma cero, estrategias mixtas sin y

con colusión (Prisionero y Stackelberg), juegos repetidos con

cálculo de dominancia y con programación lineal Simplex.

10) Matriz I-P; modelo de 2x2 y NxN; Ley de Say y de Walras,

Equilibrio parcial vs. general, Caja de Edgeworth y Dos leyes

Arrow y Debreu, junto con sus críticas; Sonneschein y

Amartya Sen, ESR.

Pero, ¿cómo hacer para dictar tanto y para tomar exámenes conclu-yentes (y estudiar) en tan poco tiempo? Son necesarios sin duda algunos atajos, que brinda la práctica, como utilizar conjuntamente métodos similares para el consumo, producción y otros, como sinte-tizar esquemas y utilizar paralelamente herramental computacional estandarizado, etc. Estas dudas y consultas son legítimas. También cuando alguien propone enfatizar alguna teoría en demasía de tratamiento, que el tiempo limitado no permite a profesores ni a alumnos dedicar con dicha intensidad para el resto de los temas del programa (salvo abandono de alguno, lo cual resulta inaceptable).


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Una solución práctica debería considerar cuales son hoy los reque-rimientos empresariales básicos.

PARA QUÉ SE ESTUDIA MICROECONOMIA

Algunas experiencias en la actividad empresarial suministran ejem-plos de aplicación concreta de la microeconomía a nivel intermedio: Estudio del mercado y pronóstico de demanda por producto, bási-camente mediante correlación múltiple con anova. Pronosticar la demanda propia mediante modelos de simulación de la oferta y demanda globales y análisis de la coyuntura sobre los sectores demandantes. Optimización en cada línea de producción de bienes así como en el conjunto o equilibrio de la empresa, mediante matrices y programa-ción lineal u otras (incluyendo la actualizada y simplificada teoría de los juegos computacional del s.XXI). Seguimiento periódico de los costos por producto, sus precios y su contribución marginal Planificación de inventarios óptimos. Evaluación financiera de nuevos proyectos en productos o insumos (quizás incluyendo la de empresas). Seguimiento de precios y de costos de la competencia local y exter-na, como vigilancia sobre la defensa de la competencia, la discrimi-nación de precios o mercados y el dumping /subsidios. Igualmente, defensa ante investigaciones o denuncias por exportaciones compe-titivas.


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Elaboración del modelo competitivo de la empresa o sector, como ser para empresas sobredimensionadas que actúen competitiva-mente en el mercado exterior sin bloqueos antidumping. Seguimiento (con Boletín Oficial y otros) del efecto de cada disposi-ción legal sobre las diversas áreas de la empresa (precios, comer-cial, laboral, seguros, tarifas, etc) y eventuales reclamos a través de las cámara sectoriales, bajo la óptica de la legislación internacional (OMC) según el modelo competitivo tratado en esta asignatura. Representación de la empresa ante las obligatorias cámaras respec-tivas, en materia comercial, estadística, laboral, comercio exterior, etc. manteniendo un modelo competitivo integral. OTRO PROGRAMA ACTUALIZADO DE MICROECONOMIA

Al final de este libro se presentó un análisis, resumido como una ausencia de un “broche de oro”. Considerando esa falen-cia fundamental en los enfoques académicos, otro posible or-denamiento y prioridades algo diferentes que los usuales, po-drían surgir de la microeconomía que se practicaba en SOMI-SA. Las etapas del proceso empresario se resumían (habría que hacer una distinción entre una empresa ya establecida y otra que se estuviera iniciando), según aquella experiencia adquiri-da y practicada como sigue: a) Si la empresa está establecida ya conoce el rubro al cual se está dedicando y en este caso, la secuencia pudiera ser pro-nóstico de demanda para el período, análisis de existencias de insumos y productos, compra de materias primas y otros, pro-ducción, venta y marketing.


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b) Si la empresa fuera nueva, el proceso debería anteponer a lo anterior una etapa previa de selección, mediante la pro-gramación lineal o afines, para determinar la mezcla óptima o el producto relevante y luego continuar con esas etapas del proceso. La secuencia pudiera variar según el rubro de actividad indus-trial, comercial; tipo de bienes de consumo perecedero, dura-ble, insumos diversos, servicios tangibles o intangibles, etc.; o si la firma dependiera de un proveedor principal o de un cliente principal cautivo. Pero la dirección de la empresa necesita disponer de un plan de acción, por ejemplo mediante diagramas de Gantt para controlar las fechas y el cumplimiento de las etapas. En este sentido, un programa de enseñanza universitaria de microeconomía podría seguir este ordenamiento y prioridades: comenzaría con programación lineal y afines (matrices, simu-laciones, etc); seguiría con pronósticos de demanda y estudios de mercado (regresiones y correlaciones lineales y múltiples, simulaciones); luego inventarios óptimos; compras, produc-ción, ventas y marketing. Una visión actualizada quizás debiera dedicarle menor intensi-dad al enfoque tradicional clásico sobre demanda, sin profu-sión de enfoques analíticos, geométricos, axiomáticos y con mayor énfasis en la programación lineal y simulaciones. Una vez que con la programación lineal u otras se determinó cual es el rubro que conviene producir, resultará imprescindible continuar desarrollando algún análisis con una y dos variables


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clásicos (sobre ingresos, costos, producción, beneficios), sufi-cientes para poder resumir y precisar el proyecto empresario a la dirección. Y este enfoque tradicional puede ser complemen-tado con la teoría de los juegos, para precisar mejor alguna situación competitiva, según sean los tipos de mercados. Al menos, para un estudiante, que necesita comprender como el conjunto del panorama teórico refleja la realidad, pudiera ser más interesante presentar este ejemplo de ordenamiento con-ceptual sobre el contenido microeconómico concreto, frente a las presentaciones usuales, con varios tipos de análisis alter-nativos, que enfatizan diversos enfoques analíticos, axiomáti-cos, de conjuntos u otros, pero para explicar siempre lo mismo (generalmente solo enfoques parciales con una o dos varia-bles) y no siempre con mucha conexión directa con lo requeri-do en la empresa.


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CAPÍTULO 1

SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA

ORIENTACIÓN Y CONTENIDO

El lenguaje científico puede ser a veces difícil e inadecuado. Puede ser imprescindible para generar conocimientos, pero la excesiva abstracción o un exceso de símbolos no imprescindibles resultan inadecuados como método de promover y ampliar el conocimiento científico. No hay contradicción: para el objetivo de ampliar la captación y el uso de los métodos científicos en microeconomía y estadística apli-cada en las empresas, los tratados tradicionales pueden ser invia-bles para la generalidad de los técnicos que necesitan aplicar estos métodos en las oficinas de Investigación o Ventas de las empresas. Algo similar ocurre con los estudiantes de microeconomía y de esta-dística, quienes, todavía carentes de base empírica, no captan la aplicación concreta de los métodos y modelos abstractos. Cuanto menos grandes sean las empresas importantes y en aque-llas medianas o en las más pequeñas, pueden llegar a carecer de oficinas especializadas en investigación económica y comercial. Sin embargo, todas ellas efectúan estudios de mercado y demanda y sobre otras formas diversas de toma de decisiones. En todas se estima y estudia la demanda; pero la intensidad de es-tos estudios depende precisamente de las dificultadas de interpretar el lenguaje científico.


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Simultáneamente, desde hace dos décadas, no existen empresas en las que dejen de utilizarse PC y hoy Excel de Microsoft, para múl-tiples aplicaciones administrativas. Esta hoja de cálculo incluye nu-merosas funciones econométricas, con cierta ayuda conceptual pri-maria, aunque insuficiente para aplicarlas por la generalidad de los técnicos y usuarios. Hacía falta un manual microeconómico con ejemplos en Excel para estas aplicaciones, resumiendo las teorías científicas en casos con-cretos y abreviados en pocos pasos. Se consultó en Internet y a las principales librerías o editoriales, así como a Microsoft y no fue posible encontrar algún manual o CD con ejemplos Excel sobre estas cuestiones no contables (en inglés o castellano). Debido a ello se procedió a editar este trabajo, que re-sume el conjunto de ejemplos explicados en el curso de microeco-nomía I en la facultad. En la empresa se adoptan continuamente decisiones, generalmente de tipo cuantitativo, que exceden las posibilidades de cálculo mental o manual inmediato y Excel es útil e imprescindible. Además, la microeconomía estudia modelos de comportamiento teórico para numerosas actividades en la empresa y Excel facilita su implementación práctica mediante un amplio paquete de funciones incorporadas: decisiones sobre demanda, oferta, personal, produc-ción óptima, máximo beneficio / mínimo costo, evaluación de pro-yectos, control de la producción, conducta competitiva en el merca-do, etc.

¿HASTA DÓNDE MICROECONOMÍA Y HASTA DÓNDE ESTA-DÍSTICA?


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Para estudiar microeconomía siguiendo alguna lógica, podría resu-mirse su contenido en función del objeto estudiado: a) teoría de la demanda (su naturaleza, la estimación, etc.) b) teoría de la empresa (producción, costos, optimización, planificación, etc.) c) teoría de los mercados (modelo competitivo u otros, como monopolio, empresa líder, cartel, etc.) Además podría agregarse una parte d) que hiciera referencia a los métodos utilizados en estos capítulos (diferencia-ción; matrices; Programación lineal; juegos; probabilidades bajo in-certidumbre; etc.). En cuanto a la lógica de estudiar las series y estadística en general se podría resumir su contenido en: a) series simples, series de fre-cuencias, series cronológicas b) números índice c) correlación d) probabilidad y distribuciones. Existe entonces una gran interacción entre el contenido de la micro-economía y el de la estadística. Para estudiar y pronosticar la de-manda se utilizan métodos estadísticos, como series simples, de frecuencia y cronológicas; también se utilizan encuestas, muestras y diversas distribuciones, así como correlaciones simples o múltiples. Igualmente, en otros temas microeconómicos, como control y plani-ficación de la producción también son utilizadas éstas y otras herra-mientas estadísticas. Son usualmente conocidos los aportes de Excel para facilitar la ges-tión contable y la toma de decisiones en la esfera financiera en las empresas. Pero Excel también brinda además numerosas herramien-tas para el análisis microeconómico y para la estimación de funciones vinculadas con los análisis de la esfera, no monetaria sino, real de la economía empresaria a los cuales se hace referencia inicialmente. Mediante ejemplos sencillos se intentará aquí explicarlas. El tema básico será estudiar la demanda (en la esfera real), por que es el punto principal en la economía empresaria: conocer los deseos (gustos, demandas) de los compradores para luego adoptar la inge-


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niería y procesos de producción necesarios, así como los métodos contables y financieros que permitan ajustar las transacciones mo-netarias que implique esta esfera real optimizando. En este trabajo sobre el aporte de Excel para estos análisis de de-manda y otros -de la comentada esfera no monetaria- será imple-mentado utilizando un avance progresivo, avanzando desde una introducción a los temas económicos continuada por casos vincula-dos de aplicaciones estadísticas.

ESTUDIAR LA DEMANDA

Dado que uno de los principales objetivos de la empresa es la opti-mización de su actividad para generar ingresos y beneficios, se des-taca como importante el tema de la estimación del mercado –parti-cularmente la demanda- y su estudio se efectúa mediante múltiples enfoques. Para su análisis se identifica a la demanda con funciones y ecua-ciones; y la matemática aporta numerosos procedimientos, que con Excel se pueden concretar fácilmente, sin necesidad de limitarse a utilizar ejemplos con pocas variables al resolver sistemas de ecua-ciones, y correlaciones simples o múltiples, lineales o no. Además, la demanda es en realidad algún bien o servicio -unidades, kilos, metros cuadrados, etc. de algo concreto- por lo cual, más allá de las funciones o ecuaciones teóricas existen otros procedimientos de estudio alternativos y/o complementarios, que también se ven simplificados por el aporte de Excel: programación lineal, juegos, simulaciones, incertidumbre. Estas aplicaciones están disponibles en Excel en :

a) Herramientas > Complementos > Análisis (y/o Solver), así como en


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b) el listado de funciones al cual se accede picando sobre el

icono de la barra superior, que abre el siguiente cuadro :

DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRÁFICOS

Antes de avanzar, es importante ver la facilidad de Excel para graf i-car series, incluyendo además en el gráfico la función de ajuste: Icono de gráficos>Dispersión > Siguiente y pintar el rango de datos > Siguiente y poner títulos > Siguiente y elegir en la hoja >Finalizar. Finalmente, con doble clic sobre la línea de tendencia se abre una ventana para su formato, dentro de cuyas opciones figura presentar la ecuación y el R2 en el gráfico.


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DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRÁFICOS

Excel permite escribir cualquier fórmula y representarla con pocos pasos. En el siguiente ejemplo se plantea una ecuación y se calcu-lan sus valores y el gráfico (igualmente con cualquier otra ecuación más compleja).

En A3:A11 se escriben los valores de X ; la ecuación Y = 3 (X2) se escribe en B3, copiándola hasta B11. Se grafica pintando el rango A3:B11 y pulsando el icono de Gráfico; se elige Dispersión; finalmente pide título, nombre para los ejes y lugar para guardarlo.

FUNCIÓN DE DEMANDA LINEAL

Por razones didácticas o conceptuales es usual utilizar funciones para explicar demandas, costos, producciones, etc. Con Excel resul-ta fácil escribir, obtener los valores y graficar funciones de demanda u otras.


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Para una demanda lineal obsérvese que el precio se escribió a la derecha, en B2:B10. La fórmula explícita X = 49 –0,8P se escribió a la izquierda, en A2, copiándola hasta A10.

Para graficar se pintó todo el rango A2:B10; > icono de gráficos > Dispersión > Título > Título de ejes> Imprimir en la misma hoja > Aceptar.

FUNCIÓN DE DEMANDA TEÓRICA (HIPERBÓLICA)

En este caso, la función en la forma implícita P = 12 / X2 se escribe a la derecha, en B2 y se la copia hasta B10; los valores de X se ano-

tan en A2:A10.


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Se pinta el rango A2:B10; icono de gráficos > Dispersión > Título > Titulo de ejes > Lugar de impresión >Aceptar.

ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y

TIPOS DE BIENES

Véanse más adelante los casos prácticos de obtención y de pronós-tico de la demanda, a través de los ejemplos Excel de correlación lineal simple precio–cantidad. También con el ejemplo de correlación múltiple con varias variables independientes y otros métodos. Los métodos son aplicables según se trate de bienes de consumo perecedero; bienes durables (que se conforman con demanda de reposición y demanda nueva, diferentes); insumos y bienes de capi-tal (demandas derivadas, proyectadas también con simulaciones de coyuntura, etc.), casos analizables preferentemente bajo contexto cierto.


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Servicios reales, servicios financieros, nuevos productos (con mues-treos; promocionales, etc), son analizables preferentemente bajo contexto aleatorio.

EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS

Se escriben las funciones en la forma implícita en un hoja Excel, con la cantidad X a la izquierda y a la derecha la demanda y oferta (es-cribiendo como muestra la celda C4 y copiadas hacia abajo).

Se pinta el rango A4:C7; icono de gráficos > Dispersión > títulos > etc.

MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS

Suponiendo un impuesto de $2 por unidad vendida, la oferta inicial se traslada hacia arriba por esta suba de costo adicional. La cantidad vendida baja y el precio sube, ya que la demanda esta invariante.


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Se escriben las cantidades y las funciones implícitas en el orden del cuadro (según ilustra D5). Se pinta el rango A5:D10 > Icono de gráficos > Dispersión > títulos, etc. (si se lo desea, picando en una línea aparece la ventana For-mato Línea de Tendencia > Opciones > Presentar Ecuación en el Gráfico >... permite incluir la ecuación en el gráfico.)

Si se presentara la oferta en la forma explícita el efecto de este im-puesto de $2 por unidad sería X = 200 (p - 2), expresión equivalente

a la que aparece en la columna D al despejar p.


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DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL

El análisis teórico puede suponer a veces que el costo sea nulo y el objetivo empresario sería así transitoriamente maximizar ingresos totales (primer derivada nula y segunda negativa). En este caso, igualando a cero el ingreso marginal surge la cantidad X = 2,2 y los demás valores para ingresos totales y medios o de-manda (la segunda derivada del IT sería -100, negativa).

Se nota que la pendiente del ingreso marginal (-100) es siempre el doble que la de la demanda (-50), por el 2 que multiplica al derivar el cuadrado en el ingreso total. Más detalladamente aparecerán estos valores si se anotan las fun-ciones según ilustra la celda B6, pero con un rango para X en deci-males tan amplio como lo se desee:

EXTENDER CÁLCULOS EN EXCEL

Para ello Excel facilita la tarea, escribiendo solamente dos valores para X y para cada función; luego se pintan las dos filas y picando


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en el ángulo inferior derecho se extiende (arrastra) y se copian hacia abajo todo lo deseado (de este modo aparecen al graficar curvas del tipo funciones continuas en vez de estos ejemplos breves). ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CON-TEXTOS En microeconomía suelen comenzar estos estudios con el concepto de elasticidad de la demanda, respecto al precio (-%cantidad / %precio) clasificándolos en bienes típicos o atípicos; también res-pecto al ingreso (normales o inferiores) y respecto al precio de otro bien (sustitutos, complementarios, independientes), facilitando su caracterización en bienes de consumo perecedero; bienes de con-sumo durable; servicios reales y personales; insumos; equipos in-dustriales.

TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MÉTODOS

El estudio de mercado y demanda de estos tipos de bienes y servi-cios es variado, pero podrían agruparse sus técnicas según el con-texto de referencia preferente: - contexto cierto (determinístico), para bienes de consumo, insumos y equipos - contexto aleatorio /probabilístico), para servicios, nuevos productos de consumo - contexto hostil, para la competencia monopolista - contexto incierto, si rigen contingencias, como en seguros u otras. Este criterio diferenciando contextos facilita la utilización de algunas de las herramientas para casos de demandas bajo diferentes con-textos, así como para otros temas diferentes a estudios de mercado: producción, stocks, duopolio, seguros y otros sobre toma de decisio-nes en la empresa.


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La estadística y otros aportan gran variedad de métodos para el análisis bajo estos contextos. Excel reúne buena parte de ellos en funciones prediseñadas, pero simplificando la aplicación de cada función o distribución según el caso, con ayudas incorporadas. El enfoque analítico tradicional, riguroso (en cuanto es mayormente simbólico) pero tan limitado e insuficiente al momento de llevar a la práctica los estudios en la empresa si no existen ordenadores, se ve ahora complementado con estas herramientas, que desde el plano instrumental permiten concretar los análisis a usuarios poco más que iniciados en estos temas.


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CAPÍTULO 2 -

CONTEXTO CIERTO

Se analizarán las variaciones en series individuales y la correlación (simple y múltiple) entre ellas. En las series individuales se estudian las series simples y las de frecuencias, para determinar sus principales medidas de posición y de dispersión (y los momentos absolutos y centrados). Además, en las series cronológicas interesa encontrar una función de tendencia, luego de depurarlas de componentes estacionales, cí-clicos y aleatorios.

ANÁLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES

SERIES SIMPLES

Para el análisis de las series simples y de frecuencia se utilizará

aquí como ejemplo hipotético, un supuesto estudio de mercado de fletes. Para esto se efectúa un análisis estadístico de las operacio-nes comerciales de importación argentina de soda cáustica, durante los doce últimos meses previos a abril 2003, analizando el mercado de transporte por camión para la firma Transportes Rutazul S. A.

Esta empresa necesita evaluar la logística para atender el tráfico de sus clientes entre el puerto de Buenos Aires y las empresas importa-doras de soda cáustica, ubicadas en el área metropolitana e interior de la provincia de Buenos Aires. La flota camionera a utilizar (cantidad de unidades chicas, medianas y/o grandes) dependería del nivel de los despachos involucrados,


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así como de la fluidez del movimiento y diversidad en magnitud de cada uno de estos envíos. Los datos fueron obtenidos en el INDEC hasta diciembre 2002 y en la Dirección Nacional de Aduanas para el lapso enero/marzo 2003, correspondiendo a la estadística del volumen de importación por la posición 2815.11.00 (soda cáustica) del nomenclador de comercio exterior. Se estudian las medidas de posición y las de dispersión, conside-rando los datos como series simples. A continuación también se analizan esos mismos datos conforman-do series de frecuencias al separarlos en tramos según el peso a transportar, incluyendo las medidas de posición y de dispersión así como los momentos absolutos y momentos centrados hasta cuarto orden. Paralelamente se utilizan diversas funciones prediseñadas de Excel confirmando las mediciones estadísticas; y se grafican cuadros que facilitan la toma de decisiones para la empresa de transportes. Los datos figuran en el siguiente cuadro (al cual se le han ocultado las filas 5 hasta 98 para simplificar esta presentación): nombre del impor-tador y kilos importados en cada despacho en las columnas A y B.


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MEDIDAS DE POSICIÓN. MEDIA ARITMÉTICA:

sumatoria sobre n; el cursor ubicado sobre la media aritmética muestra el cálculo en la solapa superior (=suma(B3:B100) / 100). MEDIA GEOMÉTRICA: raíz enésima del producto de n números. Ante números desiguales positivos resulta un promedio inferior a la media aritmética. Por ejemplo, con los números 2, 4 y 8 sería la raíz cúbica de 64 = 4 (menor que el promedio aritmético 4,67). Calculada con logaritmos o con Excel puede ser una medida intere-sante en algunos problemas, no obstante que aquí carece de sentido.


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MEDIA ARMÓNICA: es la recíproca de la media aritmética de los

recíprocos: aquí 3 / (1/2 + 1/4 +1/8) = 3,43. Esta medida podría ser útil para comparar las medias de esta muestra con, por ejemplo, otras de años anteriores. Excel la calcula mediante la función predi-señada que muestra la solapa.


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Otro ejemplo para PROMEDIOS Y MEDIDAS DE POSICIÓN:

Excel tiene en incorporadas alfabéticamente funciones para calcular la moda (valor más frecuente); la mediana (el valor o fre-cuencia intermedia de una serie “ordenada”) y para la media aritmé-

tica (promedio).

La media aritmética es una medida afectada por el valor de sus datos extremos y también se utilizan otros promedios, como la me-dia geométrica y la media armónica, siendo sus RELACIÓN es:

media armónica < media geométrica < media aritmética En los casos de datos que se agrupan según una curva de frecuen-cia normal unimodal se cumple:

media – moda = 3(media – mediana) Al escribir lo que aparece en B5 y anotar o pintar el rango de datos calculará la media, la moda, e igualmente para otras funciones: “=percentil(valores;percentil)” etc.


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RELACIÓN ENTRE MEDIAS: La media geométrica de una serie de

números positivos es menor o igual que su media aritmética, pero es mayor o igual que su media armónica. MEDIANA: En una serie ordenada de mayor a menor la mediana es

el valor intermedio, el central (o la mitad de los dos centrales si la serie fuera par). Si por ejemplo, en otro caso fuera bueno que la se-rie variara uniformemente, la mediana indicaría si coincide con el va-lor intermedio; aunque aquí tiene poco significado. En este ejemplo hay varios valores centrales así como la mediana con 25000 kilos. Además Excel confirma esta observación con la función prediseñada =mediana(B5:B102).

MODA(O): Es el valor con mayor frecuencia: en este caso 25000 a-

parece 23 veces, mientras que el siguiente en frecuencia es 10000, que solo aparece 20 veces. Excel confirma esta observación con su función prediseñada =moda(B3:B102).


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MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA:

Es el cuadrado de la diferencia entre cada dato y la media, que se calcula en la columna D (al lado, en C, se muestra el cálculo). La media aritmética se calculó en C111. La diferencia entre cada dato y esa media figura en la columna D elevada al cuadrado. La varianza es la suma, en D103. Excel tiene la función prediseñada para calcularla con =varp(B3"B102).

Si no fuera una población sino solo una muestra Excel utiliza =var(B3:B102) que omite los valores lógicos y el texto.

Para incluir los valores lógicos y de texto en una muestra Excel utili-za =vara(B3:B102), que asigna 0 a los valores lógicos y el texto

Falso y asigna 1 a los valores lógicos y el texto Verdadero.


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DESVIO ESTÁNDAR

En una población es la raíz cuadrada de la varianza / n, o sea, la ra-íz de (D105 /n). Excel utiliza la función prediseñada =desvestp(B3:B102) que omite los valores lógicos y el texto. Los incluye con =desvestpa(B3:B102). Para una muestra Excel utiliza =desvest(B3:B102), que omite los valores lógicos y el texto. Para considerar estos últimos utiliza =desvesta(B3:B102), que asigna 0 a los valores lógicos y texto Fal-so y asigna 1 a éstos cuando tienen valor Verdadero.

En este ejemplo se observó que siendo la media aritmética 40986,9 hay el gran desvío por 40119. Esto orientaría a pensar que, al ser un estudio es para una empresa de transporte de soda cáustica desde el Puerto hasta los depósitos en establecimientos, se debería prever camiones muy chicos y simultáneamente otros muy grandes, a fin de optimizar su logística, ya que hay gran desvío en el tamaño de los despachos. Si hubiera sido pequeño correspondería prever ca-


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miones uniformes, para el tamaño que indicara el modo(a), ya que todos los despachos serían parecidos en tamaño.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR- EN UNA POBLACIÓN:

Como otros ejemplos sobre dispersión de los datos, luego de calcu-lada la media, interesa la desviación de los datos entre cuartiles. También puede interesar conocer la desviación media o promedio

(sin signo, en %) de los datos luego de conocida la media.

La desviación estándar o típica “s” (kilos o unidades), cuyo

cálculo es parecido en una población y en una muestra (con en

vez de s). Se utiliza la raíz y el cuadrado: varianza “s2” ( 2 en mu-estras), también en kilos o unidades. El coeficiente de variación expresa esto en %. La desviación media es = 4/5 de la desviación típica. El rango semicuartílico es = 2/3 de la desviación típica.


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La media y desviación típica de esta población se calculan con Ex-cel según se lee en este cuadro:

Estas y otras funciones afines, disponibles con , también se las aplica al estudiar más adelante la "relación" entre dos o más variables.

SERIES DE FRECUENCIAS

El análisis mediante series de frecuencias confirmará las observa-ciones con series simples. Se estudian las medidas de posición y de dispersión; también se efectúa un análisis mediante momentos ab-solutos y centrados. Ordenando la serie en forma creciente de kilos se pueden seleccio-nar intervalos de diversa amplitud, por ejemplo aquí de 11.440 kilos, para registrar en cada uno de estos deciles la cantidad de despa-chos, como frecuencia absoluta en (A) y en (B) la cantidad acumula-da de éstos sumándolos.


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Ambas frecuencias pueden ser graficadas, en forma de barras unas (histograma o función de frecuencias) y en forma de curva continua o discreta pero creciente las otras (polígono de frecuencias acumu-ladas o función de distribución).

MEDIA ARITMÉTICA: El siguiente cuadro muestra como calcular la

media efectuando las operaciones con una hoja de cálculo.


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MEDIA GEOMÉTRICA: Igualmente, Excel muestra en la solapa el

cálculo correspondiente, no obstante que en el ejemplo actual esta medida no sea significativa:


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MEDIA ARMÓNICA:

MEDIANA:


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MODA(O):

MEDIDAS DE ORDEN - "CUANTILES" CUARTILES: cada uno de los 4 intervalos en que fracciono la serie;

se calculan como indica el cuadro:

DECILES: Cada uno de los 10 intervalos en que divido la serie, se-

gún se indica:


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PERCENTILES: Cada uno de los 100 intervalos en que divido la serie, según el siguiente ejemplo:

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

DESVIO ESTÁNDAR Y VARIANZA:


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ASIMETRÍA Y CURTOSIS

Más adelante, al tratar funciones, se agregarán otras medidas de dispersión, como la asimetría (para indicar si una curva es o no si-métrica respecto a un eje central) y la curtosis (para indicar la forma de una curva real más o menos achatada frente a una curva normal u otra función teórica).

MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO:

MOMENTO 0:


121

MOMENTO 1:


122

MOMENTO 2:

MOMENTO 3:


123

MOMENTO 4:

MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN

MOMENTO 1


124

MOMENTO 2

MOMENTO 3


125

MOMENTO 4

DESVÍO CUARTÍLICO


126

VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS

CONCLUSIÓN

Es usual incluir alguna conclusión tras un análisis de las series. En este caso se podría que los valores de media y varianza también muestran con series de frecuencias la elevada dispersión del tamaño de los embarques o despachos de soda cáustica a transportar. El estudio de cuantiles -cuartiles, deciles y percentiles- confirma la distribución atomizada en los primeros cuantiles, y gran concentra-ción en los últimos. Mediante el análisis de los momentos también se confirmó la gran varianza de los despachos. La atomización simultánea a una gran concentración de despachos en usuarios masivos se confirma también mediante la gran asimetría que indica el momento central tres M3. Asimismo, el momento centrado cuatro M4 muestra la elevada cur-tosis, indicando que la distribución leptocúrtica de estos despachos responde a una ley que difiere profundamente de una distribución


127

campanular normal tipo de Gauss, orientando hacia la decisión de prever simultáneamente un parque de unidades de transporte de tamaño reducido adicional a otras grandes para el tráfico masivo. ANÁLISIS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA

Series de datos históricos, empíricos (discretos, discontinuos) cuya evolución puede incluir o no componentes aleatorios, efectos coyun-turales y efectos periódicos, además de una tendencia. Una vez depurada la serie de los datos aleatorios y los efectos co-yunturales y periódicos, su tendencia puede estimarse con el análi-sis de regresión de Excel, desarrollado más adelante.

La variación periódica (horaria, semanal, estacional, etc.) suele re-

presentarse con índices base 100, dividiendo las medias periódicas por la media aritmética. Una variación coyuntural o cíclica es aquella que puede repetirse

pero con duración y forma diferentes a la estacional; se detectan luego de dividir por los valores de tendencia y de la estacionalidad. Puede haber además variaciones aleatorias, no explicadas por los

ajustes anteriores; si no indicaran algo, podrían ser eliminables me-diante una media flexible.

Método de los promedios móviles: este método es recomendable para trabajar con la estacionalidad, aunque también se lo utiliza para averiguar la tendencia. Los promedios móviles son sucesivos y pue-den ser o no ponderados.


128

Dada una serie y (t), con t variando en períodos mensuales de N años se escriben los valores encolumnados y se forman promedios móviles de doce meses. Luego:

Se divide cada valor original por el promedio móvil correspon-diente.

Se forman los promedios de los meses. No existen variaciones cíclicas o aleatorias ya que éstos se compensan.

Se expresan los valores obtenidos en porcentajes del promedio de los doce meses.

Se representan los valores gráficamente de E(t) resultando la curva que expresa la variación estacional.


129

Es conveniente trabajar con una cantidad par de años. Una vez ob-tenida la cantidad de años se repite la operación corriendo los su-mandos y se vuelve a atribuir cada valor al valor del centro. Finalmente se obtienen los coeficientes de estacionalidad de cada bimestre: I=1.004; II=0,959; III=1.003; IV=0,991; V=1,102; etc. Tiene como propiedad que no existen variaciones estacionales y ade-más que no altera los valores extremos, ya que suaviza lo central.

CICLOS

Método de los nueve puntos: Tiene por objeto aislar la componen-te cíclica de una serie de tiempo con datos mensuales cuando se trata en ciclos cortos de 3 ó 4 años.


130

Los valores de la serie original se deflactan de la componente es-tacional por el método de los promedios móviles en doce meses.

Los datos sin componente estacional se dibujan tratando de es-tablecer en el dibujo las ondas cíclicas, para lo cual se señalan los puntos mínimos y máximos relativos destacados, según se van encontrando al recorrer la serie. Las ondas se delimitan to-mando valores mínimos consecutivos. Se asimila a una función sinusoidal.

En cada onda se expresan los valores mensuales en porcentaje del promedio correspondiente a los valores de toda la onda.

Cada onda se divide en nueve partes.

En cada onda se promedian los valores correspondientes a cada una de las nueve partes resultando nueve los resultados repre-sentativos.

Se promedian los valores correspondientes a cada onda de los valores de x y de y.

Las ondas del ciclo promedio se dibujan conjuntamente con las originales para poder comparar los datos reales con los del ciclo promedio

Se lo utiliza para períodos de 40 meses. Cada onda esta compuesta por las siguientes partes:

1°. son los tres meses centrados en el primer mínimo de la onda 5°. son los tres meses centrados en el máximo de la onda. 9°. son los tres meses centrados en el valle de la onda 2,3,4°. son sucesivos tercios del período de expansión comprendi-dos entre 1 y 5. 6,7,8°. son sucesivos tercios del período de contracción entre 5 y 9.


131

RELACIÓN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS VARIABLES)

AJUSTAMIENTOS

Método de los mínimos cuadrados: se lo utiliza para averiguar la

tendencia obteniendo los coeficientes a y b de una recta de regre-sión lineal. Dada una serie cronológica y(t), con t=1,2,3...N, se trata de determi-na entre todas las rectas del plano y = at + b aquella que mejor ajus-te la serie de valores empíricos. Es decir, determinar a y b de ma-nera que se cumpla la condición.

(a,b) = ((y(t) – at – b))² mínimo Se deriva parcialmente (regla de la cadena) en función de a y de b:

/ a = -2 (y(t) - a t - b)*t = 0

/ b = -2 (y(t) – a t - b) = 0 ; por lo cual

22 ΣttΣN

y(t)ΣtΣy(t)tΣNa

22 ΣttΣN

tΣy(t)tΣy(t)ΣtΣb

Si se tomaran valores centrados la sumatoria de t seria igual a cero. Entonces a y b quedaría como:

2t

y(t)ta

N

y(t)b


132

Así, Y = at + b = tt

y(t)t2

+ N

y(t)

Al estudiar las series de frecuencias interesa especialmente conocer su media y su dispersión, las cuales son calculables mediante mo-mentos obsoletos, con el método largo o el método corto o abrevia-do, centrando las series para facilitar el cálculo y trabajar solo con valores enteros y sus potencias, lo cual es especialmente útil cuan-do hay mas de 100 datos.

COVARIANZA

La covarianza es el momento mixto centrado de primer orden. Es la sumatoria del producto de las x menos su media multiplicado las y menos su media; es decir que es el producto de los desvíos multipli-cados de las dos series.

Σ (x - mx) (y-my) = xy

DOS RECTAS DE REGRESION

Se obtienen utilizando el método de los mínimos cuadrados:

con 2t

y(t)ta

N

y(t)b

Y= a x + b primer recta de regresión X= a y + b segunda recta de regresión

Las variables cambian en las ecuaciones cuando se aplica el despe-je en función de una o la otra, luego de aplicar el método de los mí-


133

nimos cuadrados. Puede ser que no ambas tengan sentido, por ejemplo para alguna relación precio-cantidad demandada; pero en otros análisis ambas lo tienen.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El cociente entre la variación explicada a la variación total se llama coeficiente de DETERMINACIÓN. Si la variación explicada es igual a cero, es decir, la variación total es toda no explicada, este cociente es cero. Si la variación no explicada es cero, es decir, la variación total es toda explicada, el cociente es uno. En los demás casos el cociente se encuentra entre cero y uno; r2 es siempre no negativa y se calcula como:

2

2ˆ

y-y

yy

explicada no variación

explicada variaciónr 2

Su raíz cuadrada, el coeficiente de correlación r varía entre –1 y 1, con signos + o - que se utilizan para la correlación lineal positiva y la correlación lineal negativa respectivamente. Nótese que r es una cantidad sin dimensiones, es decir no depende de las unidades em-pleadas.

Si se supone una relación lineal entre dos variables, el coeficiente de correlación es:

2/1yyxx

yyxxr

Ésta fórmula da el signo adecuado de r; se llama fórmula producto-momento y muestra claramente la simetría entre x e y.


134

Un r = 0,973 cercano a 1 permitiría decir que muestra una relación funcional perfecta directa (ambas series varían en igual sentido). Los datos representan lo que se estudia y a mediada que se cumple una de las variables la otra lo hace en el mismo sentido y proporción. ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO

El concepto teórico de elasticidad de la demanda tiene aplicación práctica en la empresa, calculado como promedio serial. Teóricamente se estudia este cociente puntualmente (una cantidad y un precio), pero la toma de decisiones empresarias se basa en promedios calculados durante algún lapso razonable. Excel aporta aquí su ayuda: la elasticidad media se calcula estadísti-camente como el producto de la pendiente de la línea de ajuste mul-tiplicada por el cociente suma de precios/suma de cantidades: E media = b ΣP/ΣQ. La pendiente del ajuste es el coeficiente angular b de la línea de correlación precio-cantidad durante el período: 1,008 en el gráfico siguiente; o según el coeficiente b emitido por Excel al hacer el ajus-te o correlación PyQ (en realidad, observando la fórmula de elastici-dad dQ/dP(P/Q) y este producto dP/dQ(P/Q) va a ser necesario aplicar la inversa de uno de esos dos factores en este)

CORRELACIÓN – EN UNA POBLACIÓN

El coeficiente r de Pearson esta incorporado en Excel; indica valores

entre 0 y +1 ó –1 para medir la relación entre una variable depen-diente y dos (o más) variables independientes.


135

Excel calcula la matriz de correlación y (si fueran varias) permite elegir los pares que presentan la correlación más alta mediante el análisis de regresión. Excel dispone de varias funciones alternativas para calcular la fun-ción de ajuste que minimiza los desvíos: correlación, tendencia, pro-yección, regresión, accesibles mediante su ayuda F1 o con el icono

. Por ejemplo, con los datos de este cuadro: Herramientas >Complementos > Análisis de datos >Regresión Alternativamente, para utilizar separadamente algunas de las funcio-

nes (incorporadas en ) sería suficiente consultar ese listado y lue-go escribirla simplemente después del signo igual:

"=pendiente(rango datos)", "=interseccion.eje(...)", "=coeficiente.R2(...)"

para obtener los coeficientes de la línea de ajuste o correlación, que incluyen el coeficiente angular -1.008 que interesa para calcular la elasticidad media: -(-1.008 (36/35,9))=+1.01 (los rangos están indi-cados en la imagen sobre demanda de Y)

DEMANDA COMO CORRELACIÓN PRECIO-CANTIDAD

Obsérvese en este ejemplo de la imagen que la variable indepen-diente (precio) figura a la izquierda de la variable dependiente (can-tidad) y ello corresponde al orden de las celdas del rango (B3:B10;C3:C10), así como al gráfico con cantidades en la abscisa y precios en la ordenada, usualmente aceptado.


136

En casos de correlación sin término independiente –por el origen- pudieran presentarse imprecisiones, por la resta del término de co-rrección, en el cálculo de la determinación R2. CORRELACIÓN - EN MUESTRAS Cuando se estudie la correlación en una muestra con estos mismas funciones Excel es necesario comprobar su representatividad esta-dística mediante la prueba "t". Véanse los ejemplos posteriores.

Ya que los mismos instrumentos pueden ser utilizables bajo distintos contextos, en el enfoque progresivo de esta exposición se intenta explicar cada herramienta relevante presentándola conforme coinci-da con el ejemplo y cuadro específicos según el avance conceptual.


137

EVALUACIÓN DE EXÁMENES

Supónganse la siguiente cantidad de aciertos en una evaluación, clasificados en función del grado de instrucción de cada consultado:

4º gra-do

6º grado

3º secunda-

rio

Secunda-rio

Completo

1 5 8 9 3 7 6 11 4 6 9 8 5 3 5 7 1 9 7 7 4 7 4 - - 4 4 - - 2 - -

N =

6 8 7 5 n=26

T =

18 43 43 42 T=146

X =

3 5.38 6.14 8.4 X2/n=1462/26=819.85

X2

=

68 269 287 364 X2 =988

T2

/ n=

54 213.13

267.14 352.80 T2/n =902.07


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ANÁLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA:

Sumatoria de cuadrados ∑X2 - ∑X2/n (desvío – medias) = 988 – 819.85 = 168.15. Suma de cuadrados intragrupos ∑X2 - ∑T2/n = 988 – 902.07 = 85.93. Suma de cuadrados intergrupos ∑T2/n - ∑ X2 = 902.07 – 819.85 = = 82.22. Resumen: Suma Grados Variancia F Snedecor Cuadrados libertad ................ .................... Intergrupos: 82.22 3 82.22/3=27.41 27.41 Intragrupos: 85.93 22 85.93/22=3.91 3.91

Finalmente, 27.41 / 3.91 = 7.01 En la Tabla Distribución F, para 3grados de libertad horizontal (nu-merador) y 22 grados de libertad vertical (denominador; varianza menor) al 1% de significatividad indica 4,82, sensiblemente menor que 7,01 de la muestra. Se concluye que las diferencias educativas son relevantes en las respuestas de los encuestados y no surgen de alguna influencia ocasional entre ellos (copia, colinealidad).


139

REGRESIÓN MÚLTIPLE

ESTIMACIÓN DE DEMANDA POR CORRELACIÓN MÚLTIPLE - PRONÓSTICOS:

La demanda de un bien suele tener como condicionantes a los gus-tos, cambios en el ingreso disponible, en el precio o en los precios de otros bienes complementarios o sustitutos. Cuando ya existen pronósticos sobre esas u otras variables inde-pendientes (calor; lluvia, turistas) es usual utilizarlos para estimar la demanda del bien en estudio (variable dependiente, venta de hela-dos) efectuando una correlación lineal múltiple entre aquellas y la demanda que se desea estimar (véase más adelante con Estima-ción Lineal)

DISCOS DE FRENO PARA AUTOS

Igualmente con la demanda de discos de freno (Y) para autos, cuya demanda podría depender de la producción (y reparación) de autos, el nivel de los salarios y el del PBI (las X). Una vez anotados los datos históricos en B8:E16 Excel calcula la correlación con Herramientas >Complementos > Análisis de datos >Regresión Pide el rango para la variable Y; luego el rango para las otras varia-bles; también pide una celda conde comenzará a emitir los resulta-dos hacia abajo.


140

En este ejemplo se le indicó A25 y los coeficientes del ajuste figuran en B39:B42. Esos coeficientes multiplican cada variable independiente (pronósti-cos conocidos) según la fórmula de la celda B18 (que también se in-dica en F17).


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ANÁLISIS DE VARIANZA

¿Hay suficiente correlación entre las variables? ¿Serán todas las variables independientes suficientemente explicativas o influyentes? Excel calcula el estadístico F (104,5) y también su valor crítico. En

este ejemplo el estadístico es mayor que su valor crítico, lo cual asegura que el resultado 97% implica una varianza intergrupos e intragrupos parcialmente aceptable y que el ajuste no es aleatorio

o manifieste coalineación. Por otra parte, la tabla de distribución t Student para 6 grados de libertad y 95% de aproximación (5% error) muestra el coeficiente 1,94, que es menor que el valor indicado por Excel para la variable independiente X1 (3,099), asegurando que esta variable es significati-va en la formación de la demanda de discos de freno de este ejemplo.

El coeficiente de determinación R2 indica en las regresiones simples el % de variabilidad explicada por la variable independiente.


142

R2 ajustado se utiliza en las regresiones múltiples.

El error típico o estándar es la raíz cuadrada del cociente entre la suma de residuos al cuadrado y sus grados de libertad (T-v-1). ANÁLISIS DE REGRESIÓN

Se utiliza el análisis de regresión y de varianza-covarianza para ele-gir con Excel cuales de las variables independientes son más ade-cuadas y mejorarían la precisión del ajuste entre la ecuación y los datos empíricos. Se busca evitar posibles errores por la existencia de eventuales vin-culaciones entre algunas de las variables independientes entre sí (colinealidad).

Conviene comenzar seleccionando las regresiones entre las varia-bles que se sabe están más vinculadas e ir introduciendo otras que

mejoren la regresión múltiple.


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ANOVA (en inglés ANÁLISIS DE VARIANZA)

Existen dificultades importantes para detectar la existencia de esa relación lineal molesta entre las variables independientes. Interesa asegurar la independencia o no asociación entre los atri-butos: dos grupos difieren entre sí cuando la varianza intergrupos es mayor que la varianza intragrupo (si no hay colinealidad).

La proporción de estas dos medidas es la F de Snedecor . Comparando con el valor de la tabla de F por azar se observa si el

F obtenido en el ANOVA es mayor, lo que indicaría que hay una diferencia entre grupos que es adecuadamente significativa. La tabla de la distribución F valora según los grados de libertad horizontal (numerador) y los grados de libertad vertical (denomina-dor) para distintos % de significación; esto ya lo indican los coefi-cientes que calcula Excel simplificando así el análisis de varianza y covarianza.

Los estadísticos T DE STUDENT calculados por Excel demuestran el TEST DE HIPOTESIS: comparando este ejemplo con la tabla de distribución Student para 95% de confianza se observa la significati-vidad del coeficiente de cada variable, conforme su “t” sea mayor que el valor de tabla, tal como se explico en este ejemplo para el 3,099 de la variable X1, aunque para otras variables es menor, indi-

cando dificultades.


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MULTICOLINEALIDAD - FIV

En resumen, hemos visto varios indicadores para determinar la exis-tencia de un alto grado perturbador de correlación entre las varia-bles independientes. En los textos es usual la referencia a: - El método de la relación entre t y R2 , que consiste en observar las razones t y si no fueran significativas -y además el R2 es alto (mayor a 0,8)- indicarían multicolinealidad molesta. - El método de la prueba F: haciendo regresiones de cada variable con las demás y observando si la relación entre F y R2 es mayor que en la tabla indicaría multicolinealidad. F I V

EL factor de inflación de la varianza (FIV) y la tolerancia –T también permiten detectar la colinealidad indeseable.

El FIV es medido como la inversa del complemento del R2…. En este ejemplo, si hay un FIV >10 y el T < 0.1 estaría indicando problemas de colinealidad indeseable (generalmente cuando hay un R^2ajustado > 0.9)

2

1

1j

j

FIVR

2

2

( 1)j b j

x

j

S n SEFIV

S

1T

FIV


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- El método de la matriz de correlación, formada por los coefi-

cientes de cada variable respecto a las demás. El valor de su deter-minante es entre 0 y 1; cuando se acerca 1 indica poca multicolinea-lidad. - El método de los valores propios e Índice de Condición, que tam-

bién implica fórmulas que no son necesarias en este resumen prác-tico, luego de la claridad y facilidad de los ejemplos aquí expuestos.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA EXCEL

Junto con el menú de Análisis de Datos en Excel figura el de la Es-tadística Descriptiva, que entrega un conjunto de mediciones para cada variable independiente, que se puede imprimir a continuación de los datos de la regresión.

Datos / Análisis de Datos / Estadística Descriptiva


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147

ESTIMACIÓN LINEAL (MÚLTIPLE) - VENTA DE HELADOS

Excel incluye la función "estimacion.lineal" que también permite ajustar una serie dependiente de una o varias variables indepen-dientes. Ejemplo, pronosticar la venta de helados, dependiendo de las estimaciones de temperatura, cantidad de lluvia y arribo de ómni-bus con turistas para el próximo período. Se trata de encolumnar los datos históricos sobre ventas de helados y a su derecha las tres variables independientes. Luego pintar en otro lugar cuatro celdas para imprimir cada coeficiente más la cons-tante y escribir "estimacion.lineal (rango helados; rango variables in-dependientes)" y Ctrl+SIAT+Entre. Con los cuatro coeficientes se controla o compara la aproximación del ajuste, armando la ecuación con F4 para los coeficientes y co-piándola incluso hasta el rango de pronóstico F2:F14. En la ayuda F1 incluye Excel las características de este ajuste en detalle, pareci-das a la regresión múltiple anterior.


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149

MULTICOLINEALIDAD -

MATRIZ DE CORRELACION CON EXCEL

Otra forma mas fácil de observar la presencia de excesiva colineali-dad entre las variables independientes es construir su matriz de co-rrelación, preparando manualmente el cuadro con las variables in-dependientes como filas y columnas: se completa la diagonal con 1 y en cada celda de la mitad inferior se calcula la correlación utilizan-

do Insertar Función ( ) :

El cursor esta ubicado para calcular la correlación entre las variables Y y X1, seleccionando entre las funciones: Estadísticas /Coef.de.Correl.


150

Al aceptar presenta el cuadro para elegir las columnas con los datos de X1 y X2 pulsando en el icono de Matriz1 y Matriz2 respectiva-mente.


151

Es el mismo procedimiento para completar las restantes celdas:

En este ejemplo improvisado se observa una gran colinealidad (alta correlación positiva y negativa), por ejemplo del 93% entre las varia-bles X1 y X3, etc. Finalmente, será la experiencia de cada profesio-nal sobre la naturaleza de las series de su propio sector la que indi-cará si corresponde o no asignarle importancia a este tema de even-tual excesiva colinealidad Para otros casos mas extensos es posible implementar esta rutina manual mediante una macro de Excel; o bien simplemente utilizando las aplicaciones para copiar y referencia absoluta (F4). Por otra par-te, también es posible obtener esta matriz de correlación con EVIEWS y con otros de los utilitarios aquí presentados.


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MATRIZ DE COVARIANCIA

Las medidas de variancia y covariancia, se tratan de una simple transformación de la dispersión entre los datos y su promedio (o su línea de tendencia en el caso intraserial); y covarianza mide lo mis-mo pero entre dos series (interserial). Con Excel se puede construir fácilmente la matriz de covariancia, que además de orientar sobre la bondad de un ajuste también es otra forma de observar la presencia de excesiva colinealidad entre variables independientes.


153

MATRIZ DE COVARIANCIA CON EXCEL:

Se trata de hacer un cuadro con las variables, aquí del ejemplo He-lados, como filas y como columnas:

Al ubicar el cursor en una celda vacía de la diagonal principal hacia

abajo es posible ir al Fórmulas y pulsar en el icono de funciones para insertar la función covarianza (Covariance.P), que se elije entre las de tipo Estadísticas al abrirse el cuadro:


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Al elegir se abrirá otra ventana que en Matriz1 y Matriz2 permite seleccionar las series a correlacionar: cada una respecto de sí mis-mo y también con respecto a las demás, en esta matriz simétrica que aquí cubrimos en su parte inferior.

No sería frecuente la correlación múltiple con cientos o miles de variables independientes, por lo que completar la matriz de cova-


155

rianza no es demasiado trabajoso; su puede recurrir a las aplicacio-nes de copiar y referencia absoluta (F4) para abreviar la tarea; tam-bién se pueden utilizar las otras aplicaciones ilustradas mas adelan-te. El resultado de esta tarea indica la variancia y covariancia de cada serie respecto a si misma y a las demás.

Si la covariancia interserial (entre dos series Y y X) es mayor que la intraserie (adentro de la variable Y dependiente) alejaría la presun-ción de tener variables independientes que sean colineales (no se-rían éstas simples múltiplos entre sí, que obligarían a cambiar por otra realmente independiente).


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ECONOMIA NO ES MEDICINA NI ES MECÁNICA

En economía los cálculos econométricos (estimar funciones múlti-ples) y los de investigación operativa (equilibrio multiproducto) son más simples que en medicina o en mecánica etc. y están al alcance de un curso general de microeconomía (empresaria), que constitu-yen todo el contenido incluido en la currícula de un contador, licen-ciado o ingeniero industrial. En medicina un 3% de error es inviable por que se arriesgan vidas humanas, pero en economía este porcentaje es generalmente acep-table y ello reduce la necesidad a utilizar solo pocos entre la enorme variedad de análisis alternativos existentes, simplificándolos para el caso de las correlaciones múltiples a la medición del R2 ajustado, el test “F” y los “t”, o a la observación de excesiva colinealidad median-te la matriz de correlación. Igualmente en la investigación operativa, tal como simplificaban los clásicos al limitarse a problemas con dos variables positivas del pri-mer cuadrante, para indicar que no se consideran funciones que se desarrollan en los otros cuadrantes (por no tener sentido, en princi-pio, producciones o consumos negativos). Además, los tipos de fun-ciones así como los sistemas de ecuaciones o restricciones se im-plementan necesaria y efectivamente con programación lineal Sol-ver de Excel o con Matrices de Excel (o de otros utilitarios aquí pre-sentados). Esto conduce a que la consistencias axiomática de los sistemas se simplifique y reduzca a los términos prácticos del álge-bra de matrices para los sistemas finitos empresarios y para la ma-triz insumo-producto, comentados en este capitulo más adelante y en el capítulo 8 con el equilibrio multiproducto.


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CORRELACIÓN MULTIPLE Y ANOVA CON SPSS (IBM)

Si se deseara contrastar el ajuste hecho con Excel mediante otros utilitarios se podrían utilizar SPSS, STATA o Eviews. En este caso, con SPSS 18, se introdujeron los datos de las cuatro variables del ejemplo helados en la ventana principal y en la solapa de Edición se pulsó en Analizar /Regresión / Lineales.

Luego se seleccionó en Estadísticos y en su cuadro se tildó Estima-ción / Ajuste del Modelo y/ Diagnóstico de Colinealidad. Luego de pulsar Continuar / Aceptar aparecerán los resultados a continuación de los anteriores solicitados para la regresión.


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El índice de condición (IC) dado por SPSS 18 permite interpretar los resultados. Si el IC esta entre 10 y 30 la multicolinealidad será entre moderada y fuerte. Si el IC excede 30 la multicolinealidad será seve-ra.

En este caso se observa la dimensión 4 (la fila 4) y considerando la proporción de las descomposiciones de las varianzas muy elevadas (cercano a 1) indica que existe multicolinealidad indeseable en esa variable independiente (alguna siempre existirá, dado que todas las variables independientes están de alguna manera vinculadas con la variable dependiente). Se podría eliminarla, reemplazándola por otra que muestre menor FIV (factor inflación varianza). .


159

CORRELACION CON EVIEWS (ex TSP)

Se ejecuta Eviews en el comando File / New-Workfile /

y en Workfile Structure Type se seleccionar Unstructered / Unda-ted; también se anota el número de observaciones que se van a copiar desde una Hoja Excel, por ejemplo Rows 474.


160

Para copiar los datos desde la hoja Excel es necesario pintarlos todos (incluso títulos si se pulsa la celda continua a A1) y copiarlos al portapapeles. Luego se pulsa en Eviews Quick / Empty Group (Edit Series) y se abre una ventana para pegar los datos. Para pegarlos debe antes pulsarle Shift +↑ (flecha de dirección) para que se copien incluyendo las leyendas de campos que vienen de la hoja Excel. En el cuadro principal de resultados aparecerá una lista con los nombres de los campos copiados, a efectos de pintar con Cntrl aquellos que se desea correlacionar (por ejemplo, CI, salaini, sala-rio). Luego se obtiene la matriz de correlación mediante Quick / Group-Statistics / Correlations / OK.


161

En la primer columna muestra que el CI no esta muy relacionado con el salario 0,2491% ni con el salario inicial 0,4336. En la segun-da muestra que el salario actual esta 88% relacionado con el salario inicial. Finalmente, con View / Covariance Analysis / se tilda Correlación y también Probatility (t)


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Surgiendo la matriz para el análisis de la covarianza entre variables, que en este caso estaría diciendo en cada primer renglón que por ejemplo el CI no estaría muy relacionado con el salario inicial ni el salario actual; y según cada segundo renglón muestra que el salario inicial esta muy relacionado con el salario actual y éste con el inicial.


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CORRELACION MÚLTIPLE CON STATA

Damodar N. Gujarati, Econometría (Un. West Point) propone utilizar Stata para efectuar análisis econométricos sobre series, muestras y pronósticos. Abrir la hoja Excel con los datos y copiarlos, incluyendo el nombre de las variables (dependiente Y= helados; e independientes (X1=Calor, X2=lluvia, X3=turistas)

y x1 x2 x3

654 139 100,0 181

524 262 94,5 227


164

684 342 93,2 253

818 409 93,8 270

810 405 98 272

840 420 92,4 280

1070 450 93,1 300

1078 460 93,4 315

1022 450 94,1 325

1041 450 100 335

1061 450 94,1 345 Luego abrir Stata y pulsar en el botón Edit para pegarlos con Paste (icono tildado Data Editor de la segunda línea).

Stata preguntará si la primera fila contiene los títulos.


165

Los datos aparecerán cargados en Stata, mostrando los nombres de las variables en el cuadro inferior izquierdo y las series en inferior derecho.


166

A continuación se escriben la sentencia de ingreso de instrucciones para que Stata guarde este archivo con el nombre helados:

log using helados

(automáticamente se abre el cuadro Comand para ello). También aparecerá luego en el cuadro superior izquierdo y en el derecho con su extensión; no se pueden repetir nombres de archivo.


167

Ahora es posible solicitar a Stata diversos informes estadísticos sobre los datos guardados en el archivo helados.smc1, que luego aparecerán en la ventana o cuadro Results. Nos interesa en este ejemplo simplificado pedirle un informe preliminar con summarize y mostrará los valores básicos de las variables.


168

Luego escribimos para que Stata estime los parámetros de un modelo de correlaciòn múltiple mediante:

regress y x1 x2 x3

Al ejecutar aparecen los coeficientes para armar un ajuste del tipo Y = a +bX1+cX2 +dX3 en la ventana de resultados (en este caso mostró a= -364.53, b= 0.999, c=3.322, d=2.307 en la segunda columna). Con esta funciòn estimada (ajuste) por correlaciòn mùltiple es posible efectuar estimaciones de la demanda de helados para el pròximo año, siempre y cuando las autoridades metereológicas y de turismo (o los analistas especializados) nos pronostiquen previamente cuales serían en el año próximo los datos para calor, lluvia y turistas.


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Stata también muestra la desviación típica, Std.Err; y el estadístico t. P>|t| es el p-valor, la probabilidad que deja a la derecha el valor estimado. [95%Conf.Interval] es el intervalo de confianza al 95%; el centro del intervalo siempre coincide con el coeficiente. R squared o r2 es el coeficiente de determinación y el similar Ajus-tado para estos casos múltiples Adj R-squared. El número de obser-vaciones 11 y los grados de libertad, 11 -3 -1 =7. El estadístico F es la significación conjunta de todas las variables explicativas del mo-delo. La Prob>F indica la probabilidad que queda a la derecha del valor estimado.

Se pueden imprimir estos resultados con File / Print Result-.


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ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION)

Hemos visto antes estimación de funciones para casos de “correla-ción” entre variables, simple (la teoría básica orientativa) y múltiple (demanda de helados). En este caso, había una correlación entre la demanda de helados y el calor, la lluvia y los turistas, registrada por ejemplo en 30 períodos. Si el gobierno o los técnicos nos pro-nosticaban para el próximo período cual sería el calor, la lluvia y los turistas, Excel podía calcula en pocos pasos cual sería la próxima demanda de helados (por correlación múltiple, incluyendo el análi-sis de la varianza (ANOVA) y otras medidas para ver la bondad del ajuste. Pero hay otros casos, por ejemplo cuando proyectamos observando solamente la evolución histórica de algo (sea por ejemplo esta mis-ma producción de helados) y según sea la tendencia registrada (re-gresión) en los últimos años también se intenta estimar cual puede ser la producción para el próximo período. El análisis de series es muy variado: tendencia, estacionalidad, ciclos, autocorrelación me-diante promedios móviles, Box-Jenkins, ARIMA, ARMA, ARMARO, etc. Supongamos un caso de análisis de la tendencia (regresión) que pueda haber dado como resultado algunas observaciones muy fre-cuentes, como ser, este breve conjunto de cuatro ocurrencias prefe-rentes sobre el par variables precio y cantidad, o fecha y cantidad, o cualquier otro par: 130 y 2.9; 160 y 3.8; 200 y 4.6; 230 y 5.2 (don-de 130 es el precio o la fecha y 2.9 es la producción, etc.). Para pronosticar la producción (o lo que sea) disponiendo solo de estas pocas observaciones relevantes puede ser útil o necesario disponer de una función o ecuación que ajuste adecuadamente a este breve conjunto de datos. Entonces vamos a estimar una fun-ción partiendo de solo algunos datos; luego se debería comparar los datos con lo que surja de la estimación, siendo generalmente sufi-ciente ver a simple vista si el ajuste es perfecto, o bien recurrir al análisis paramétrico que proporciona la estadística.


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Dibuje los datos para elegir el tipo de función; haga varios ajusta-mientos para elegir el mejor; o bien busque ud.el “mejor ajustamien-to” como se indica más adelante. Excel incluye seis tipos de funciones: se pintan esos pares de da-tos; se Inserta un gráfico; de Dispersión. Con el botón derecho so-bre los puntos graficados se puede Agregar línea de tendencia y tildar Presentar la ecuación en el gráfico (aparecen ahí 6 las fun-ciones Excel para elegir: exponencial, lineal, logarítmica, polinómi-ca, potencial, media móvil).


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AJUSTAMIENTO EXPONENCIAL CON EXCEL

Comparando Y con la estimación Y* se observa demasiada diferen-cia, por que los datos no responden a una evolución exponencial (observe que aquí” e” es el número natural o neperiano 2,7182818... (o de Euler, que se utiliza en la descripción de movi-mientos amortiguados, por que ex es similar a su derivada )


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AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL

Comparando Y con la estimación Y* se observa demasiada diferen-cia, por que los datos no responden a una evolución lineal (cero o una constante más otro número multiplicado por la variable a la potencia uno); es necesario probar con otro tipo de ajustamiento.


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AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL

Este ajustamiento con una función logarítmica (logaritmo natural o neperiano) aproxima bastante, pero aun se ven diferencias impor-tantes entre Y e Y*; conviene buscar otra función que ajuste mejor.


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AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL

El ajustamiento potencial muestra mucha diferencia éntrelos datos reales Y y los ajustados Y*; conviene buscar otro ajustamiento.


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AJUSTAMIENTO MEDIA MOVIL CON EXCEL

Excel permite determinar el orden de los promedios, pero para el anterior ejemplo con tan pocos períodos no es posible o adecuado aplicarlo. Lo sería teniendo una serie mas larga.


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AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL

Este polinomio no ajusta bien y es necesario buscar otro ajusta-miento. Entonces, como los modelos de Excel no son adecuados se buscó cual sería el mejor ajustamiento preguntándole a Findgraph.


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“MEJOR AJUSTAMIENTO” CON “FINDGRAPH”

Si fuera el caso (como aquí) que este breve conjunto de solo cuatro observaciones históricas no quedara bien ajustado con alguna de esas seis funciones incluidas en Excel. Se vio al comparar estas observaciones históricas Y con las surgidas de las funciones esti-madas Y* que no hubo una gran aproximación. Es entonces nece-sario recurrir a un programa estadístico más especializado que Ex-cel para que él encuentre el mejor ajustamiento . Existen docenas de ellos (Eviews, SSPS, Matlab, Derive, etc). En este caso se probó con un “trial” del FindGraph (que dice incluir 500 tipos de funciones) y el ajuste resultó perfecto, fácil y en pocos mi-nutos, tanto para instalar el trial como para procesar la función (gra-cias a su archivo de ayuda).

Desde Excel se Pintó y Copió el rango con los pares de datos, in-cluyendo los títulos X e Y (utilizar punto y no coma). Abrir el utilitario FIndgraph y pegar esos datos con Edit y con Paste. Luego 4 veces

Siguiente. A la izquierda seleccionar el círculo verde Data From……


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(cambia a blanco); arriba elegir Fit; luego Best Function. Luego 3

veces Siguiente y tildar todas las funciones deseadas o disponibles; luego Siguiente. Luego con Star calcula la función.

Función:

Copiarla a Excel como Y*para compararla con los datos históricos (corregirle comas por puntos; eliminarle espacios; reemplazar la notación computacional e-005 ó e-007 por su equivalente 10 ele-vado a la -5 y 10 a la -7; o sea 10^-5 y 10^-7; que hacen referencia al número natural e=2.7182818…).


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Con esta función ajustada Y* en la columna D se calcularon datos que son prácticamente iguales a los reales de la columna C (con millonésimos de aproximación en cada parámetro; de modo que no es necesario algún otro análisis paramétrico para confirmar la bon-dad del ajuste. Al menos mientras se mantengan las condiciones generales sin cambios drásticos, esta ecuación serviría para calcular nuevas producciones, copiando abajo los nuevos datos X y esa función Y* (col.D).


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CAPÍTULO 3 -

PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN

¿CON SERIES, CON ECUACIONES, MATRICES O CON PRO-GRAMACIÓN LINEAL?

Hemos encontrado la correlación múltiple con varias variables inde-pendientes, eludiendo las dificultades por elegir alguna inadecuada entre éstas. Encontramos una ecuación, una función adecuada, que podemos utilizar para proyectar la demanda (pero ... solo si previamente al-guien nos adivinara la futura magnitud de cada una de estas varia-bles independientes). A un nivel teórico sería como resolver un sistema de ecuaciones identificables en la forma homogénea, en el cual no existan varia-bles repetidas entre las ecuaciones. Una solución puede obtenerse a través de sucesivos multiplicadores de Lagrange; o también mediante la matriz inversa según Gauss. Otra forma alternativa sería plantear el problema de la correlación múltiple como una programación lineal Simplex. Excel también facilita todos esto análisis (sistemas de ecuaciones, matrices, Simplex / Solver) pero el más práctico y utilizado suele ser

el aquí comentado para correlación múltiple.


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¿PARA QUÉ PROYECTAR CON CORRELACIONES?

Ante tantas dificultades, alguien puede además preguntarse: para qué tantas teorías (con sus problemas propios)?; ¿por qué no estimar directamente las unidades demandadas en el próximo periodo, en vez de hacerlo dificultosamente a través de la indirecta estimación de varias otras cosas? En realidad así suele ocurrir en la empresa. Se estima la cantidad, demanda empírica (lo real) sin teorías: directamente; también utili-zando modelos de simulación de la demanda y oferta global

(con ponderaciones surgidas de las ventas históricas por sector de-mandante y la evolución probable según el análisis macroeconómico coyuntural). También se estima la demanda empírica por analogía con la de otras localidades o países, por ejemplo al intentar imponer un nuevo producto en un mercado. Especialmente en los planes de inversión o pronósticos de largo plazo se suelen incluir varios de estos tipos de estudios simultá-neamente (tanto empíricos como teóricos), para sumar opiniones y comparar alternativas o estudios razonables posibles.

ANÁLISIS DE COYUNTURA PARA PRONÓSTICOS

El análisis macroeconómico de coyuntura suele ser muy utilizado en las estimaciones de demanda de las empresas, tanto para sus pro-nósticos de corto plazo como para justificar planes de expansión o inversión.


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Suponiendo, aquí, que el bien producido por una empresa se distri-buye directamente en proporción igual hacia los sectores que con-forman el producto interno bruto-PBI- (caso contrario se modifican las ponderaciones), la estimación de la demanda depende de las evolución prevista para cada sector de actividad En D3 se observa la ponderación del porcentaje previsto para 2003 y la participación relativa del sector agro. Con similar criterio para todos los sectores demandantes y del PBI involucrados puede obte-nerse la variación estimada de la actividad y demanda de este bien, como un promedio ponderado (4,01% de aumento para 2003, en el ejemplo ilustrativo).


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Existen algunos analistas de coyuntura y revistas especializados en pronósticos para cada rama industrial y sectores de actividad, de la oferta y demanda globales. Sus conclusiones resumidas suelen pu-blicarse en la prensa; y en detalle se obtienen por suscripción, con-formando uno de los instrumentos básicos de la estimación de de-manda para las empresas (en forma paralela con otras formas de estimación y proyección comentadas). El instituto INDEC o Bureau of Census de cada país publica men-sualmente y trimestralmente las variaciones reales por subsector, permitiendo analizar y proyectar con cierta seguridad. Sus informes sin desagregación están disponibles en algunos países por Internet y pueden comprarse allí otros con datos más desagregados.

MODELOS DE SIMULACION DE LA OFERTA Y DEMANDA GLO-BAL PARA ESTIMAR LA DEMANDA DE CHAPA DE SOMISA:

Con referencia al tema de las predicciones y los modelos de la oferta y demanda, cabe tener en cuenta que para los pronósticos de mercado empresariales, además de utilizarse programación li-neal y/o procesos estadísticos de estimación de funciones por corre-lación múltiple, también es usual efectuar paralelamente pronósticos de ventas mediante estos modelos de simulación.

En un curso de microeconomía se orienta a los alumnos principian-tes mediante esta secuencia informal de ideas orientativas de las etapas de un proceso productivo en la empresa, a fin de presentar los elementos involucrados y la finalidad de los modelo de simula-ción:

1) Se dispone en un cuadro la estructura de las ventas de la empresa en los últimos años.


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2) Se dispone de la estructura de la oferta y demanda global argentina de INDEC, incluyendo la apertura en los subsecto-res industriales.

3) Los analistas de la coyuntura económica efectúan pronósti-cos de la actividad para el próximo año sector por sector (Tendencias Económicas; los estudios de M. A. Broda, de Bein y pocos otros suelen ser los usuales).

4) Con estos porcentajes estimados en cada subsector también es posible aplicarlos en el cuadro de la estructura de ventas de la empresa, ponderando para obtener un porcentaje pro-medio de variación de las ventas en el próximo año.

5) Con el procentaje ponderado total de variación y el volumen resultante que implique para el año puede la empresa calcu-lar luego la producción necesaria; tendrá en cuenta las exis-tencias de productos terminados o en curso de elaboración y por diferencia le surgirá la idea sobre la compra de materias primas e insumos necesarios para el período. Un gráfico de Gant con estas etapas mencionadas y sus

plazos críticos ayuda en la coordinación de las actividades, que comienzan con esta estimación de la demanda, siguen con el plan de compras, plan de producción y continuarán con los planes de ventas, de expedición o logística y marke-ting (paralelamente con la coordinación de flujo financiero y aspectos impositivos, contables, etc).

1.- En los últimos años la estructura sectorial de las ventas de chapa de Somisa fue la siguiente:


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2.- Por otra parte, las estadísticas sobre cuentas nacionales están disponibles en el sitio web del INDEC (www.indec.gov.ar ) y para el estudio o “análisis de la coyuntura” y de estos modelos de simula-ción suele ser útil la siguiente presentación de la oferta y demanda globales, conformada con los cuadros INDEC del PIB, los de la O y D global, y algunos con estructuras industriales. Como una identificación aproximada puede identificarse estas esta-dísticas actuales del PIB en miles de millones de $ de 1993, como si fueran equivalentes a dólares (en aquel momento el tipo de cambio estaba 1 a 1 con el peso y sirve esta simplificación). La estructura sectorial ha ido cambiando en las últimas décadas, resumiendo este cambio como una gran reducción del producto in-dustrial y un gran aumento en los sectores generadores de servi-cios. Una aproximación a 2011 es la siguiente:

http://www.indec.gov.ar/


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Esta estructura actual de la actividad económica es necesario repre-sentarla en términos porcentuales (columna B), para proceder al análisis de la coyuntura.


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3.- ANALISIS DE COYUNTURA

El objetivo buscado con este modelo de simulación es pronosticar las ventas de la empresa en 2012. El método consiste en averiguar cuales son los pronósticos para cada subsector de actividad econó-mica, en lo que suele denominarse como análisis de coyuntura. Las empresas grandes suelen adquirir servicios especializados en el análisis de coyuntura, como las resumidas antes en el punto 3); y con sus pronósticos nacionales es posible armar las columnas C) y G) del cuadro siguiente.


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En cada línea de un sector económico se multiplica el dato de la columna B por la variación de C para obtener su ponderación en D. La suma de todas estas ponderaciones figura en D34 (divida por 100 para compensar el producto por la columna B que también su-ma 100). Otra simplificación es considerar la evolución de los sectores pro-ductores de servicios (la mayoría) como reflejo del comportamiento


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que tengan los sectores productores de bienes (físicamente pronos-ticables mediante diversas pautas e indicadores sobre producción, venta y consumo de bienes diversos, que permiten anticipar con sobre bases reales el comportamiento de la demanda, frente al ma-yor retardo de las estadísticas oficiales sobre el producto nacional). En este caso aproximado, 4,4% sería el crecimiento esperado en la economía nacional (que también se correspondería con similar ex-pansión de la demanda global en consumo, inversión y exportacio-nes. 4.- Una vez que los analistas de coyuntura consideran aceptable este pronóstico nacional, es posible utilizar algunos de estos por-centajes para utilizarlos también en el cuadro de ventas de Somi-sa (columna c):


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El próximo paso es multiplicar, en cada línea de sector de ventas de chapa de Somisa, el dato de la columna B por el C para obtener su ponderación en D. La suma de todas estas ponderaciones figura en D58 (divida por 100 para compensar la multiplicación por la colum-na B que también suma 100). De este modo, el modelo de simulación de la oferta y demanda glo-bal ha facilitado porcentajes sectoriales, que volcados en la estructu-ra de ventas de la empresa permitieron estimar que la ventas de Somisa en 2012 aumentarían en conjunto 3,9%. En cuanto a la distribución de este porcentaje entre todos los pro-ductos a fabricar por la empresa también se tendrán en cuenta las pautas disponibles sobre pedidos, prioridades según la rentabilidad de cada producto, limitaciones de equipos, etc. Por ejemplo, los precios locales son generalmente más rentables que la exportación y la demanda local sería así prioritaria sobre la exportación (en ese caso solo complementaria, hasta agotar la ca-pacidad).

5- ETAPAS DEL PROCESO PRODUCTIVO

Finalmente, con esta estimación de la demanda, será posible im-plementar las etapas del proceso productivo y efectuar en la em-

presa un plan de compras de insumos, el plan de producción y fi-nalmente los planes de ventas, expedición o logística y marketing (paralelamente con la coordinación del flujo financiero y aspectos impositivos, contables, etc). Para esta gestión global suelen utilizarse gráficos de Gant, con

anotaciones en la barra de cada línea de actividad de las fechas de inicio y entrega de cada tarea (según el campo calendario vertical).


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Un escaso solapamiento vertical de barras horizontales o fechas

entre algunas líneas, sería una orientación sobre sensibilidad ante eventuales contingencias. A veces se complementa esto mediante controles con el método PERT (program evaluation and review te-chnique). Por otra parte, es usual simplificar las estadísticas globales de las empresas refriéndolas en pocas cantidades y precios, agrupando en productos representativos. Las empresas suelen producir y ven-

der un numeroso conjunto de productos, pero se suele adoptar co-mo una simplificación para comparaciones y seguimientos, la repre-sentación en precio y cantidad con un producto principal, identifica-torio del conjunto, como un promedio de la familia de productos (o el modelo más frecuente, etc). Esto es lo usual para comparaciones con la evolución histórica y/o con la competencia (por ejemplo aquí, bobinas de chapa laminada en caliente de 3,2 mm de espesor en calidad comercial) y también para el seguimiento con las publicaciones locales e internacionales, que informan permanentemente los precios de cada producto tes-tigo en los mercados (generalmente FOB en dólares por unidad,

tonelada, etc; ocasionalmente en libras). Por su parte, las memorias y balances que se publican en las bolsas, también contienen un con-junto muy reducido de datos de venta y de costos y suele ser nece-saria esta simplificación para identificar y comparar la evolución con los indicadores en publicaciones del mercado.


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PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL -

CON SOLVER DE EXCEL

La herramienta Solver de Excel en un simple y potente mecanismo de programación, tanto lineal como no lineal (según se elija tildar en sus Opciones). Supóngase un ejemplo para optimizar una inversión en 3 títulos o acciones, que tienen las siguientes características: Precio Rendimiento Inversión

$ anual $/acc. posible Acciones “A” 20 5 6000 Acciones “B” 12 2 2000 Acciones “C” 10 2 3000 El importe a invertir y optimizar es $10000. El planteo como programación lineal consistiría en maximizar la fun-ción objetivo sujeta a las restricción:

Max. Z = 5(X1) + 2(X2) + 2(X3) (precio por cantidad de cada acción)

sujeto a: 20X1 + 12X2 + 10X3 ≤ 10000

20 X1 ≤ 6000 12 x2 ≤ 2000 10 X3 ≤ 3000

(siendo Xi 0)


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En una hoja Excel se escribe el modelo separando cada importe y precio en celdas, para que la macro Solver pueda identificarlos:

Es decir, una fila para las cantidades a comprar; otra para los ren-dimientos de cada acción; y cuatro más para los precios y las res-tricciones. En la columna E, en E3, se ubicará la fórmula para la función objeti-vo: “=sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3)” que hace referencia a las acciones B2:D2 que estimará Solver y multiplicará por los rendi-mientos B3:D3. Esa formula se copia hacia abajo en E5:E8. La columna F es para la restricción de inversión y de cada acción. Conviene salvar la hoja. Con Herramientas > Solver> se abre esta ventana. Pulsando el icono que hay en Celda objetivo permite arrastrar o anotar E3; igualmente con Cambiando celdas B2:D2.


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Para las celdas de "Sujetas a las siguientes restricciones" pulsar agregar y se abrirá una pequeña ventana para que anote o arrastre

a la izquierda una celda o rango; en el centro elija = o etc. y a la derecha anotar 0 o la celda restricción:

Luego, con Opciones.... tildar Adoptar Modelo Lineal > y Aceptar para volver a la ventana principal Parámetros de Solver.


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Pulsar Resolver > Utilizar Solución de Solver > Aceptar. Solver calculo ahí el rendimiento máximo $2267 (comprando 300 acciones A; 83 B y 300 C).

SENSIBILIDAD

Además Solver brinda en la última pantalla, en “Informes”, la posib i-lidad de un análisis adicional de sensibilidad, que permite obser-var si quedan recursos ociosos, precios sombra, costos de opor-tunidad y otros.

Al activar “Respuestas”, o “Sensibilidad” y “Límites” guarda estos in-formes en hojas adicionales fáciles de interpretar.


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PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX

Típico ejemplo para maximizar los beneficios o la producción de una empresa: la inyectora de plástico Zonda, que produce mesas y sillas, en 3 talleres -carpintería, tapizado y empaque- con las si-guientes restricciones:

X1 ≤ 3

X2 ≤ 6 (... con X1 ; X2 0 ) 6X1 + 4X2 ≤ 36 FO: Maximizar Bj = 8X1 + 3X2

(dónde $8 y $3 son los beneficios en ambos productos) 1) Transformar a ecuaciones, agregando las variables de holgura

(capacidad ociosa en cada sección) 1X1 + 0X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 = 3 0X1 + 1X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 = 6 6X1 + 4X2 + 0X3 + 0X4+ 1X5 = 36 2) Tabla 0: la primer línea de títulos es común para todas las tablas,

con estas 9 columnas -Funcional (F); Variable (X); Recursos (R);


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X1...5 ;Variable Saliente (VS)- y puede omitirse en las siguientes tablas o pasos del cálculo si se ponen seguidas. 3) Conviene anotar los coeficientes de la función objetivo (F.O) o funcional, arriba de cada Xj de la primera línea encabezamiento, como una ayuda para calcular el punto 9. 4) En la columna X anotar las variables básicas que intervienen en cada cálculo o tabla. La primera solución (en el origen) solo incluye las variables de holgura (con nada producido todo son excedentes). Se suponen variables continuas, fraccionables. 5) En la columna Funcional van los coeficientes de las variables básicas en la F.O.. El valor que tiene en el funcional. 6) En la columna Recursos se anotan los recursos iniciales. Es el valor de cada variable X en este paso (tabla) del cálculo Simplex. En las próximas tablas irán los recursos utilizados para esa etapa (o solución de la frontera acodada). 7) En X1 ... 5 se anotan inicialmente los coeficientes del sistema de ecuaciones; i filas, j columnas. Cada Xij indica cuánto disminuye el valor de la variables Xi por ca-da unidad de Xj que decida fabricar (o que sobre, si j fuera un insu-mo). O sea, cuánto disminuye el valor de Xi por cada unidad con que j entre valiendo a la base. 8) Conviene trazar rayas: tras la columna Recursos; tras la columna X5; y otra inferior. 9) Agregar una última fila, calculando cada X como:

( FiXi) – Bj


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10) Variable que entra: el mayor negativo en la fila inferior (señalar-lo). Se toma el mayor negativo por que mejora el funcional (mayor en valor absoluto). 11) Calcular la última columna VS como R / cada coeficiente en la columna de la variable que entra. 12) Variable que sale: el menor positivo en VS (señalarlo), ya que indica el valor con que la variable entra a la base y sale el menor (las variables no pueden ser nulas o negativas). 13) Pivote: intersección entre ambas señales. Remarcar el pivote:


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TABLA 0: 8 3 0 0 0

F X R X1 X2 X3 X4 X5 VS 0 X3 3 1 0 1 0 0 3 < 0 X4 6 0 1 0 1 0 - 0 X5 36 6 4 0 0 1 6

-8 -3 0 0 0 TABLA 1 8 X1 3 1 0 1 0 0 - 0 X4 6 0 1 0 1 0 6 0 X5 18 0 4 -6 0 1 4,5<

0 -3 8 0 0 TABLA 2 8 X1 3 1 0 1 0 0 0 X4 1,5 0 0 1,5 1 -1/4 3 X2 4,5 0 1 -1,5 0 1/4 37,50 0 0 3,5 0 0,75 TABLA 1:

14) En la columna X cambiar la variable que sale por la variable que entra. 15) Anotar en la columna F el valor que tiene cada variable en el funcional. 16) Calcular la nueva línea del pivote como = línea pivote anterior / pivote. 17) En la columna del pivote completar con ceros (salvo el 1 del pi-vote). 18) Para calcular cada elemento restante observar los extremos del cuadrado con diagonal en el pivote: al número en la tabla anterior restarle la otra diagonal dividida por el pivote. 19) Calcula la última fila según (9).


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20) Calcular la columna VS según (11). 21) Marcar la variable que entra (según 10) y la variable que sale (según 12); circular su intersección como nuevo pivote: TABLA 2: 22) Repetir el calculo para la Tabla 1. Se llega al óptimo cuando una tabla tiene todo positivo en la última fila. 23) Los coeficientes R indicarán ahí las producciones; puede quedar algún recurso ocioso. El valor máximo B se puede anotar al final bajo R ( B = 8(3) + 3(4,5) = $37,50 ) y sobran 1,5 del recurso 2. Contribución marginal (precios sombra) o máximo a pagar por

otra unidad: 3,5 y 0,75 para estos dos insumos que están en la ulti-ma línea. Costo de oportunidad: si hubiera quedado alguna cifra abajo en

las columnas de los productos X1 ó X2 (indicarían que no se produ-ce ese bien) sería el costo o pérdida si se decidiera producir lo que no conviene.


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Minimizar el costo de producción:

En los casos de minimización, el origen de coordenadas no puede ser el paso inicial y se suponen costos muy altos para los insumos al solo efecto del paso / tabla inicial. Además de las variables reales y las slag (aquí con signo -) se agregarán las nuevas variables, artificiales (+) en el funcional y co-mo columnas en las tablas para considerar esos altos costos. En la columna F de la tabla 0 inicial se anotan esos altos costos (por ej. M), continuando el proceso hasta obtener el precio de cada in-sumo que minimiza lo requerido para la producción de bienes dada, cuando todos los valores de la última fila sean positivos. Sin embargo, es más fácil calcular el primal, o sea, el dual del míni-mo.

DUALIDAD

Todo caso normal de maximización implica uno de minimización y viceversa. Como los cálculos para minimizar son mayores que para maximizar, debido a esos agregados comentados, es posible calcular el dual de un mínimo convirtiéndolo en un caso de máximo, al considerar los recursos disponibles como los coeficientes de las variables de un nuevo funcional y tomando los coeficientes de las filas del sistema de restricciones del mínimo como columnas para el sistema del má-ximo. Es decir, el dual tiene una variable por cada restricción del primal (y tiene tantas restricciones como variables hay en el primal). Solo se


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trata de que el funcional pasen a ser términos independientes y po-ner las filas como columnas (las desigualdades tendrán sentido in-verso). Esto vale igualmente cuando en el primal hay mezcladas desigual-dades contrarias: si alguna es negativa se le agregara una variable artificial tal como se dijo) Ejemplo:

Min Z = 5X1 + 9X2 sujeto a -3X1 - 2X2 -6

5X1 + X2 10

X1 + 10X2 9

( con X1; X2 0) Su dual es:

Max. B = -6Y1 + 10Y2 + 9Y3 Sujeto a: -3Y1 + 5Y2 + Y3 ≤ 5 -2Y1 + Y2 + 10Y3 ≤ 9

(con Y1; Y2 0) 2 variables y 3 restricciones pasan a ser 3 variables y 2 restriccio-nes... Véase en cualquier texto, pero –precaución- no los mezcle, ya que si bien son equivalentes, cambian los pasos y su consideración de los signos.


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PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL

FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA

Este mismo ejemplo está planteado en esta hoja Excel: se anotan las relaciones básicas, por ejemplo B7 = B5 por B6; C7=C5 por C6; D7=B7 más C7, D2 según indica la solapa, etc.

Luego Herramientas >Complementos> Solver > y se abrirá este cuadro, que pide la celda objetivo D7, las celdas cambiantes B5:C5 y Agregar ...restricciones (orienta como agregar una a una en se-gundos).


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Finalmente Resolver y calcula la solución $37,5 de ingreso o bene-ficio o producción de 3 mesas y 4,5 sillas (es usual trabajar con be-neficios en vez de ingresos menos costos). Además de Resolver, Excel ofrece ahí 3 informes adicionales: Respuestas (1,5 de capacidad ociosa en el Sector B). Sensibilidad (cuanto representaría una unidad más en las secciones A y C totalmente ocupadas). Límites (suponiendo alternativas).


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PRODUCCIÓN DE TV, ESTÉREOS Y ALTAVOCES

En el Office de Microsoft se incluye un archivo Excel, Muestras.xls, que incluye cinco ejemplos de aplicación de Solver en casos de pro-gramación lineal Simplex. En el primero se trata de optimizar o maximizar la producción de tele-visores, estéreos y altavoces/parlantes, en función de los beneficios que genera cada uno y las existencias de materiales en depósito.

Ejecutando Herramientas > Solver> se abre una ventana que ya tiene incorporadas las celdas objetivo, cambiantes y de restriccio-nes (según se detalló anteriormente). Con Resolver > Utilizar la so-lución de Solver calcula los valores que aparecen en pantalla, 160 televisores, 200 estéreos y 80 altavoces, totalizando en D18 $14917 de beneficio máximo.


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PROBLEMA DE TRANSPORTE

La segunda muestra de Solver es sobre optimizar la distribución o transporte minimizando los costos, en función de las demanda de almacenes en cinco ciudades y las existencias en tres plantas re-gionales.


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En C8 a G10 están las celdas a cambiar anotando las demandas de cada ciudad (o pidiéndole a Solver que lo resuelva) y a su izquierda la suma total, que se compara con las existencias de B16:B18. Con Herramientas > Solver > se introducen las celdas que indica la imagen (tal como en los primeros ejemplos - Fábrica de Mesas y Sillas Zonda) y luego Resolver > Utilizar la solución de Solver (tam-bién se pueden pedir ahí los informes sobre Respuestas, Sensibili-dad y Límites, comentados anteriormente).


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PROGRAMACION CON PRESENTACIONES MATRICIALES

PLANIFICACIÓN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVER-SIONES

Otro formato más complejo esta planteado en el archivo Mues-tras.xls del Office, hoja con el ejemplo de optimizar los horarios del personal de un parque de diversiones. Ilustra como utilizar la hoja de cálculo con una presentación matricial que facilite la presentación de cada restricción; en este caso que cada empleado trabaja 5 días seguidos y descansa dos.

La celda objetivo D20 indica el mínimo coste (con $40 diarios de salario). En las celdas cambiantes D7:D13 Solver determina la can-tidad de empleados que minimiza el costo cumpliendo con las res-


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tricciones de cubrir las diferentes necesidades de personal, según las cantidades necesarias de la línea 17. Con Herramientas > Solver > se puede pedir que optimice la dispo-nibilidad, minimizando el costo. Las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones se cargan según muestra la siguiente imagen. La operatoria es similar a lo detallado en los primeros ejemplos y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda.


213

Para otros casos será necesario plantear en la hoja este cuadro

de formato matricial cada restricción de mayor, igual y/o menor según sea necesario, guiándose por el planteo formal según las inecuaciones del “Simplex” (o “sujeto a “…aquí). Considerando que el producto de una matriz cuadrada por un vector columna origina otro vector columna con el resultado, a veces tam-bién puede ser necesario hacer también uso de la función “traspo-ner” los datos de filas a columna o viceversa. Igualmente otras fun-ciones usuales para armar en la hoja una solución son las funcio-nes =sumaproducto( ; ) =mmult.( ; ), = si( ; ) etc. otras de Excel.

MAXIMIZAR UNA INVERSIÓN EN BONOS

La ayuda que trae Excel en esta muestras dice lo siguiente: Deter-minar cómo invertir los excedentes de efectivo en certif icados de depósito a plazo fijo de 1, 3 y 6 meses, de modo que se aumenten


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los ingresos por intereses al tiempo que se conservan fondos sufi-cientes para cubrir los gastos (más un margen de seguridad). Una de las funciones de un directivo gerente financiero es el manejo de dinero líquido y de las inversiones a corto plazo de forma que se maximicen los ingresos por intereses, a la vez que se mantienen fondos disponibles para poder hacer frente a los gastos. Es preferi-ble la flexibilidad que proporcionan las inversiones a largo plazo que las altas tasas de interés de las inversiones a corto plazo. En este modelo se calcula la liquidez final en base a la liquidez ini-cial (del mes anterior), la entrada de flujo financiero debida a los plazos de los certificados de depósito, la salida de flujo f inanciero motivada por la compra de nuevos certificados de depósito y el dine-ro necesario para las operaciones mensuales de la organización. Puede tomar hasta nueve decisiones: las cantidades a invertir en certificados a un mes entre los meses 1 al 6, las cantidades a inver-tir en certificados a tres meses entre los meses 1 al 4 y las cantida-des a invertir en certificados a seis meses en el mes 1.


215

Nuevamente, la optimización se consigue con Herramientas > Sol-ver > identificar las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones como muestra la siguiente imagen. Luego Resolver > Utilizar la so-lución de Solver (también se pueden pedir en este último paso los tres informes sobre Respuestas; Sensibilidad; Limites) La operación básica se detalló anteriormente y en Fábrica de Me-sas y Sillas Zonda.


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OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES

El ejemplo de Excel propone hallar la ponderación de acciones en una cartera de valores rentable que permita incrementar la rentabili-dad para un determinado nivel de riesgo. En esta hoja se utiliza el modelo de índice simple de Sharpe. También se puede utilizar el método de Markowitz si existen términos de covarianza. Uno de los principios básicos en la gestión de inversiones es la di-versificación. Con una cartera de valores variada, por ejemplo, pue-de obtener una tasa de interés que represente la media de los flujos financieros de los valores individuales, a la vez que se reduce el riesgo de que un valor en concreto dé un mal resultado. Al utilizar este modelo, puede utilizar Solver para obtener la dotación de fondos en valores que minimice el riesgo de la cartera de valores


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para una tasa de flujo financiero dada o que maximice la tasa de flujo financiero para un tipo de riesgo conocido. Esta hoja de cálculo contiene los números (riesgo relativo al merca-do) y la varianza residual de cuatro valores distintos. Además, la cartera de valores incluye inversiones en Deuda del Te-soro, para las que se asume un riesgo de flujo financiero y de va-rianza de 0. Inicialmente, cantidades iguales (20 por ciento de la cartera de valores) se invierten en cada valor del mercado.

Utilice Solver para probar las diferentes dotaciones de fondos en los valores y Deuda del Tesoro para maximizar el flujo financiero de la cartera de valores para un nivel específico de riesgo o para minimi-zar el riesgo para una tasa de flujo financiero específica. Con la do-tación inicial del 20 por ciento, la cartera de valores devuelve un 16.4 por ciento y la varianza es del 7.1 por ciento. Con el procedimiento detallado en los ejemplos iniciales aparece la ventana para ubicar las celdas objetivo, cambiantes y para restric-


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ciones, como en los demás casos; pero la ayuda Excel es explícita, abriendo el archivo muestra.xls o (muestras.xls), incluido en el CD del Office.

VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO

Finalmente, la sexta muestra que incluye este archivo de Excel se refiere a un caso técnico, de otra índole: Hallar el valor de la resistencia en un circuito eléctrico que emitirá una descarga equivalente al uno por ciento de su valor inicial en una vigésima de segundo desde el momento en que se mueve el inte-rruptor.


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Este modelo presenta un circuito eléctrico que contiene una batería, un interruptor, un condensador, una resistencia y un inductor. Con el interruptor en la posición de la izquierda, la batería conecta con el condensador. Con el interruptor a al derecha, el condensador conec-ta con el inductor y la resistencia, los cuales consumen la energía eléctrica. Por medio de la segunda ley de Kirchhoff se puede formular y resol-ver una ecuación diferencial para determinar cómo la carga en el condensador varía con el tiempo. La fórmula relaciona la carga q[t] con el tiempo t, con la inducción L, la resistencia R y la condensa-ción C de los elementos del circuito. Utilice Solver para escoger un valor apropiado para la resistencia R (dados los valores del inductor L y el condensador C) que emitirán la carga a un uno por ciento del valor inicial en una vigésima parte de segundo después de haberse presionado el interruptor.


220

La operatoria básica del Solver y opciones es similar que lo ya expli-cado en los ejemplos iniciales y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda. Cabe aclarar que si bien la razón de este trabajo fue suplir la ausen-cia de ejemplos resueltos con Excel para las múltiples aplicaciones microeconómicas; pero no es el caso de estos seis ejemplos de Sol-ver, suficientemente explicativos en el archivo muestra que ya inclu-ye Excel.


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MATRICES Y DETERMINANTES:

En el capítulo de la producción se presentan 6 métodos equivalen-tes para la solución de algunos problemas de optimización micro-económica (en la empresa) y se hace una introducción breve en uno de estos, al álgebra matricial . El método de resolución de sistemas de ecuaciones mediante matri-ces nos interesa en virtud de su gran amplitd para miles de varia-bles. Lo presentamos allí resolviendo un sistema de 2x2, o sea de cuatro variables; por ejmeplo para optimizar en una empresa la pro-ducción alternativa de dos bienes mediente dos recursos (cuatro variables), obteniendo así la producción total: si fuera esto una sim-plificación de un país con dos sectores (vistos como productores y como consumidores), se obtendría la producción nacional. A nivel macroeconómico también se puede aplicar matrices. Sin embargo, debido a la repetición de operaciones o transacciones intersectoriales en las economías reales, las matrices de insumo-producto disponibles en algunos países no estudian la producción nacional sino el producto nacional (neteando las transacciones in-termedias, para aislar solo las producciones finales o su equivalente el valor agregado). Esta distinción se plantea con la matriz insumo-producto, mediante el simple recurso de resolver el sistema matricial usando la matriz inversa, pero en vez de utilizar la matriz de coeficientes C se invierte la matriz complemento o resta 1- C:

MATRIZ INSUMO-PRODUCTO

La inversión de matrices es utilizada para calcular la repercusión

total del proceso de relaciones intersectoriales en un grupo empre-sario (al igual que en un país).


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Supongamos un grupo empresario que produce acero y autos. Para hacer acero son necesarios autos y viceversa, para hacer au-tos hace falta parte de ese acero (incluso hace falta acero para ha-cer acero y autos para hacer autos), por lo que estos requerimientos intermedios aumentarán los valores finales a producir más allá de lo que se pretenda vender al exterior de acero y de autos. El método de Gauss-Jordan permitiría invertir esa matriz fácilmente si fuera de 2x2 y con Excel se pueden resolver miles de variables. Para averiguar la producción total se invierte la matriz de coeficien-tes C; pero para optimizar neto de las relaciones intersectoriales, es necesario invertir la matriz resta 1-C. Manualmente se trata de acoplar a su derecha otra matriz unidad o unitaria y mediante operaciones elementales se la traslada hacia la izquierda, de modo que la matriz de coeficientes directos se trans-formó así en otra, que multiplicada por los recursos finales, generan el producto final. La venta externa, recursos o demanda final es aquí 360 acero y 110 autos. La producción total es el producto de la demanda externa o final por la matriz inversa de esos coeficientes intersectoriales, o requeri-mientos (600 acero y 180 autos; un porducto de 780 si los precios fueran unitarios) Excel permite trabajar sin limitaciones de rango y rápidamente: en G2:H3 se restaron ordenadamente los coeficientes a la matriz iden-tidad.


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En A6:B7 se calculó la matriz inversa de esa resta: pintando el ran-go A6:B7 y escribiendo =minversa(G2:H3) y pulsando Cntrl+Shift+Enter por ser un rango. Igualmente para multiplicar eso por la demanda externa: se pinta el rango G6:G7 y se escribe Mult.(A6:B7;E6:E7) y se pulsa Cntrl+Shift+Enter. Queda ahí la producción total a obtener para los requerimientos di-rectos externos más los indirectos intersectoriales.

(o sea, se obtiene la matriz de los complementos y luego se la in-vierte; pero más adelante se hará una observación sobre este breve ejemplo como inadecuado en otros aspectos imput-output). En el capítulo 7 de la producción, se vuelve a estudiar estas matrices y su inversión, para calcular la producción total de la firma, invirtiendo los coeficientes técnivos directamente (sin la resta complemento de la unidad ento comentada)

MATRIZ DETERMINANTE


224

Por otra parte, Excel también tiene incorporada la función “mde-term(A1:C3)” que calcula el determinante de la matriz NxN, simple-mente anotando esta expresión en una celda y el rango del determi-nante:

NO SIRVE CUALQUIER MATRIZ

Sin embargo, no cualquier matriz tiene solución o representa un sistema de ecuaciones en la optimización empresaria; ni tampoco cualquiera representa un sistema de insumo-producto. Por ejemplo, uno de los requisitos exigidos en los sistemas es que no exista ex-cesiva colinealidad entre las condiciones (en las variables en un problema de estimación): si una restricción es un simple múltiplo de otra se reduciría en uno el orden del sistema. Otro condición nece-saria es que el determinante de los coeficientes no sea nulo, etc. El álgebra de matrices, que aquí se presenta progresivamente se-gún las necesidades, se amplía según sea el nivel de abstracción, especialmente para el tratamiento de la matriz insumo-producto. Conviene identificar a las matrices: Diagonal: con valores no nulos en la diagonal principal y el resto ceros. Dimensión: según el número de filas y columnas Rango: según el número de columnas linealmente independientes (o sea, si mediante operaciones elementales por fila puede reducir-se una fila a ceros bajaría el rango en uno) Cuadrada: NxN; no cuadrada NxM.


225

Nula: todos ceros; Unidad, I: unos en la diagonal principal y el resto ceros. Triangular: ceros debajo de la diagonal principal. Transpuesta: intercambiando filas por columna. Inversa: matriz cuadrada que multiplicada por la original son igual a la matriz unitaria. Invertible: si la dimensión coincide con el rango (no tiene ceros en alguna fila) Simétrica: si es igual a su transpuesta (coinciden las filas con las columnas). Antisimétrica: tienen ceros en la diagonal principal. Mágica, de suma k: sus filas, columnas y diagonales suman k (exis-tían en Asia antes de Cristo; nada aportan al conocimiento; todavía). De orden NxM: N filas por M columnas. Ortogonal: su traspuesta es igual a su inversa. Involutiva: coincide con su inversa. Idempotente: es igual a su cuadrado. Nilpotente, de orden k: matriz cuadrada que elevada a la k es igual a cero. APLICACIÓN MICROECONOMICA

Si bien estas matrices I-P son una cuestión macroeconómica, sus publicaciones por los gobiernos de países constituyen una útil fuente de información, al menos para las empresas básicas. Sus datos son limitados a solo grandes agregados industriales (na-da tienen que ver con los análisis axiomáticos teóricos de Arrow-Debreu sobre equilibrio general) y solo representan una imagen aproximada de la situación de un país en un determinado año cen-sal. Pero pueden ser útiles en la empresa para observar las repercusio-nes directas y las indirectas de la actividad de alguna industria y por ejemplo, construir la función de demanda sectorial de una industria


226

y/o gran empresa básica; también para observar las repercusiones de una inversión adicional de esa industria y conseguir financiamien-to; o para calcular los efectos sobre la demanda anual empresaria proveniente de alguna expansión o promoción sectorial; etc.

IMPUT-OUTPUT

Es de especial interés para las matrices tipo insumo-producto ase-gurar la existencia de solución: está garantizada si se cumplen las condiciones Hawkins-Simon: a) todos los menores principales de la matriz de coeficientes técnicos deben ser positivos. b) para obtener una producción neta positiva cada coeficiente debe ser menor a uno (sumar 1 cada columna….). c) el determinante de la matriz I-P deber ser positivo (en David Hawkins & Herber Simon: Note - Some Con-ditions of Macroeconomic Stability (Econometrica vol 17, jul-oct 1949 pag 245/248. J.M.Henderson -R.E. Quandt: Teoría Microeconómica: cap.10-Temas sobre el equilibrio del multimercado. Dorfman, Sa-muelson y Solow: Programación Lineal y Análisis Económico, cap.9-2-2).

En este ejemplo anterior usual en los textos, no se cumple la condi-ción b); sirvió aquí para presentar fácilmente la técnica de inversión de matrices I-P (se invierten los complementos de los coeficientes a la matriz unitaria); pero este caso particular no es realmente de in-sumo-producto (ya que se obtienen repercusiones directas e indirec-ta que sumarían menos producción que la repercusión directa ini-cial). En el próximo ejemplo para el enfoque teórico sobre equilibrio gene-ral se utiliza una matriz de coeficientes que cumple con las exigen-cias Hawkins-Simon para los análisis insumo-producto.


227

EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIÓN-INTERCAMBIO

Suponga un modelo de dos sectores de producción, caracterizado por las relaciones intesectoriales según la siguiente matriz de insu-mo-producto:

6/26/1

6/26/4A

En la cual los requerimiento de factores capital y trabajo para produ-cir dos bienes son: X= mín(C, T) e Y = min(1/6C, 1/2T). Las dotaciones de la economía son 260 unidades de capital C y 120 unidades de trabajo T. La función de utilidad es del tipo multiplicativo, indicando las prefe-rencias similares por el consumo final de ambos bienes: U = xy. La producción de ambos bienes deberá satisfacer las demanda fina-les x e y, así como los requerimientos intersectoriales intermedios, según la matriz de coeficientes técnicos que indica la matriz insumo-producto inicial.

Restando la matriz A inicial a la matriz unitaria se obtiene la matriz "I-A" que figura en E6:F7; la matriz inversa de ésta se calcula como lo indica la imagen en H6:I7.


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Dada la función U=xy se definen intercambios por M=$120. Resol-viendo las condiciones de primero (punto de giro, igualando a cero las primeras derivadas) y segundo grado (determinante Hes-siano=36, positivo) indican demandas finales por x=10 e y=10, que en función de los precios para ambos bienes totalizan ese importe.

Multiplicando la matriz inversa por las demandas finales (o externas) se obtienen las producciones globales necesarias para cada bien (consumo final más intermedio) X = 60 e Y = 30.


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Multiplicando las restricciones H3:I4 por las producciones finales C13:C14 se obtienen los requerimientos de factores utilizados (y comparando con las dotaciones se observa que T=120 esta plena-mente ocupado, mientas que C=240 implica 20 ociosos.


230


231

MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997

La MIP permite cuantificar el incremento de la producción de todos los sectores, derivado del aumento en la demanda final de uno de ellos en particular. Ofrece una descripción detallada de la ruta que siguen los bienes y servicios hasta llegar a la demanda final. La MIP brinda a los empresarios la posibilidad de evaluar la partici-pación relativa de su empresa en el total de una determinada rama de actividad, con sus consecuentes posibilidades de expansión de mercado. Además, las empresas conocen cual es la distribución sectorial de sus ventas normales y ponderando, pueden cuantificar los impactos directos e indirectos en la producción como consecuencia de cam-bios en la demanda final de cualquier sector, tanto sean expansio-nes o reducciones de empleo. Conforma así la MIP un preciso instrumento para la proyección de su demanda y análisis de mercado (que en Argentina es ahora posi-ble incluir dentro del conjunto de las herramientas consideradas en este trabajo inicialmente).


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INDEC publicó en 2003/04 la MIP 1997 que registra la estructura productiva argentina actualizada a los cambios de política económi-ca aperturista de los años 90 (el otro estudio, hecho por el Banco Central R.A. 30 años antes correspondía a otra tendencia económi-ca, desarrollista pero todavía con incipiente expansión industrial) Las empresas suelen utilizar para sus proyecciones de demanda diversas valiosas encuestas y estudios parciales publicados por IN-DEC y al comparar con esta MIP les otorga un marco de consisten-cia que permite encuadrarlos y corregirlos

Pero además del pronóstico de demanda y análisis de mercados, la MIP también posibilita estudios diversos, como por ejemplo medir


233

las consecuencias de cambios en las reducciones de desempleo por expansiones en la actividad de la construcción de obras públicas o privadas. También es útil para evaluar las repercusiones de alteraciones en el comercio exterior, midiendo la demanda directa e indirecta de impor-taciones de todos los sectores. También permite el análisis del tipo de insumos que requerirá la expansión de exportaciones en algún sector.

La MIP también permite determinar el efecto en el nivel general de precios como consecuencia de la modificación de algunos de los precios sectoriales o de sus tasas tributarias. Para el análisis energético de cada sector la MIP permite calcular los contenidos directos e indirectos de los diferentes productos o sectores. Asimismo es posible el análisis del medio ambiente al relacionar las fuentes de contaminación y datos sobre emisiones en términos físicos con los cuadros insumo-producto, calculando el contenido de contaminación de la demanda final.


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Los estudiantes de microeconomía tienen a su disposición esta MIP 1997 en el INDEC, pero también pueden utilizar sus cuadros desde los site del curso.

Matriz Insumo Producto 1997 - ARGENTINA CONTENIDO

Matriz Insumo Producto 1997 (Publicación completa formato PDF)

Matriz Insumo Producto 1997 (Matrices Reducidas formato XLS)

Matriz Insumo Producto 1997 (Matrices Reducidas formato PDF)

Clasificador de Actividades

Clasificador de Productos

Matriz de oferta a precios básicos

Matriz de utilización a precios de comprador

Matriz de utilización a precios básicos

Matriz de importaciones a precios de CIF

Matriz de gastos de nacionalización de las importaciones

Matriz de márgenes de comercio minorista de los productos importados

Matriz de márgenes de transporte de carga de los productos importados

Matriz de impuestos netos de subsidios sobre los productos importados

Matriz de márgenes de comercio minorista de los productos nacionales

Matriz de márgenes de transporte de los productos nacionales

Matriz de impuestos netos de subsidios sobre los productos nacionales

Matriz simétrica de insumo producto

Matriz de coeficientes de requerimientos directos (o de coeficientes técni-cos)

Matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos de produc-ción

Matriz de requerimientos directos e indirectos y multiplicadores de empleo

Matriz de generación del ingreso y puestos de trabajo

INDEC


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METODO SIMPLEX, EN FORMA ESTANDAR Y CANONICA

Se expuso antes la forma simplificada del método Simplex tabular para programación lineal, que se elaboró a partir de los trabajos iniciales de Dantzing (Michigan,1936), terminando el secreto bélico y tras las publicaciones de 1947. En cuanto a la forma canónica se refiere simplemente a la presen-

tación del sistema de restricciones como <= para casos de máxi-mos; o de >= para los casos de mínimos. La forma estándar del Simplex presenta las variables básicas más las de holgura (slack u ociosidad) como igualdades (=, para ubicar el sistema en la frontera acodada de las posibilidades de producción (o puntos extremos del perímetro del polígono exclusivamente convexo que forman los ejes cartesianos y las restricciones); además solo incluye variables no negativas; y los términos independientes (recur-sos) son positivos (si fueran negativos se multiplica la fila por -1). Dado un problema expresable en relaciones lineales, como por ejemplo la producción de la carpintería Zonda,

Mesas Sillas Recursos Restricción 1 1 0 3 Restricción 2 0 1 6 Restricción 3 6 4 36 Beneficio/u. $8 $3 -

Optimizar este sistema implica los siguientes pasos:

1) presentar la matriz del sistema con las variables básicas más

las variables de holgura, ampliado con los términos indepen-dientes (o viable saliente)

2) Sobre la línea de títulos o encabezados se anotan los coefi-cientes de la F.O. para cada variable básica y slag (línea Cj )


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Cj= 8 3 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 VS θ

0 X3 1 0 1 0 0 3 3 0 X4 0 1 0 1 0 6 - 0 X5 6 4 0 0 1 36 6 Cj – Zj= 8 3 0 0 0

3) En la tabla inicial se le agregan a la izquierda una columna para las variables que intervienen en este paso del cálculo y otra para los coeficientes que ellas tengan en el funcional ( F.O.)

4) Se calcula una ultima fila Cj-Zj como la resta del respectivo Cj menos la Zj o suma producto de los coeficientes del paso anterior por los respectivos coeficiente de cada columna.

5) En esta última fila se seleccionará el mayor positivo, para in-dicar la variable entrante en la próxima tabla.

6) Se agrega una última columna θ calculándola por división de

los coeficientes de la VS / variable entrante. El menor positi-vo resultante indicará la variable saliente en la próxima tabla.

7) La intersección de la fila y columnas saliente y entrante se toma como pivote para calcular la próxima tabla (se señala aquí con corchetes )

8) Se vuelve a tomar el sistema de variables básicas más de

holgura ampliado con los t.i. para modificarlo mediante ope-raciones elementales por fila (o triangulación), para logar que el pivote sea uno y el resto de esa columna sean ceros.

1 0 1 0 0 3 0 1 0 1 0 6 0 4 -6 0 1 18


237

9) En la próxima tabla se reemplaza la variable saliente por la

entrante (con sus respectivos coeficientes de la F.O.)

Cj= 8 3 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 VS θ

8 X1 1 0 1 0 0 3 - 0 X4 0 1 0 1 0 6 6 0 X5 0 4 -6 0 1 18 4,5 Cj – Zj= 0 3 -8 0 0

10) Tal como en 4) se calcula la última fila Cj – Zj como la resta

del coeficiente Cj por la sumaproducto del coeficiente del funcional por el coeficiente de la respectiva columna. La nueva variante entrante será el mayor positivo.

11) Se calcula la última columna θ tal como en 6), también la va-riable saliente y por intersección de fila y columna el nuevo pivote para calcular la próxima tabla.

12) Si es necesario se repiten las operaciones por fila de 8) para convertir el ultimo pivote en uno y en ceros el resto de esa columna

1 0 1 0 0 3 0 0 1,5 1 -1/4 1.5 0 1 -1.5 0 1/4 4.5

También se calcula la próxima tabla reemplazando la varia-ble saliente por la entrante (y su coeficiente en la FO)


238

Cj= 8 3 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 VS θ

8 X1 1 0 1 0 0 3 0 X4 0 0 1.5 1 -1/4 1.5 3 X2 0 1 -1.5 0 1/4 4.5

Cj – Zj= 0 0 -3.5 0 -3/4

La solución óptima surgirá en la columna VS cuando en la úl-tima fila hay solo ceros o negativos. En este caso la producción óptima y máximo Beneficio será =$8(3 mesas) +$3(4,5 sillas) = $37,50 y queda capacidad ociosa por 1,5 en la segunda restricción. Los precios sombra (remuneraciones) son 3,5 y ¾ para las dos restricciones ago-tadas, para estos casos de sistemas no cuadrados NxM (va-riables y restricciones).

SIMPLEX MATRICIAL

Sea optimizar la producción de autos y motos, maximizando el beneficio de este funcional Z =$2,5(X1) +$2(X2), sujeto a: Autos Motos Recursos

Hs.hombre 1 2 <= 8000 Hs.maquina 3 2 <=9000

Para los sistemas NxN el proceso Simplex matricial consiste en ubicar una matriz unitaria a la derecha de la de los coefi-cientes técnicos (equivale a completar el sistema con las va-riables de holgura en la presentación algebraica); también se


239

agrega otra columna con los términos independientes (o re-cursos). Luego se efectúan operaciones aritméticas elementales por línea hasta que esta matriz unitaria quede a la izquierda (con unos en la diagonal principal y ceros abajo y arriba de ella). X1 X2 X3 X4 V.S.

Hs/h 1 2 1 0 8000 Hs/m 3 2 0 1 9000

2,5 2,0 0 0 Z En este caso ya es 1 el elemento de la fija 1 y columna1 (elemento 1 1) y solo se deben ubicar ceros debajo de este elemento. Restando a la anterior fila 2 la fila1 por3 surge la segunda fila de la próxima tabla. Restando a la anterior fila 3 la fila 1 por 2,5 surge la tercera línea de esta próxima tabla: 1 2 1 0 8000 0 -4 -3 1 -15000 0 -3 -2,5 0 Z-20000 El próximo paso es conseguir 1 en el elemento 2 2 (multipli-cando la vieja fila 2 por 1/4) y ceros arriba y debajo de él. A la anterior fila 1 se le suma la fila 2 por ½; y a la anterior fi-la 3 se le resta la fila 2 por ¾, según muestra la siguiente ta-bla. 1 0 -1/2 ½ 500 0 1 ¾ -1/4 3750 0 0 -1/4 -3/4 Z-8750


240

Esta tabla ya muestra la solución del sistema, por que las va-riables reales muestran ceros en la última fila y solo hay elementos cero o negativos en esta ultima fila. En la columna de los recursos figuran las cantidades optimi-zantes: X1= 500 autos; X2= 3750 motos; con beneficios por $8750. Bajo las columnas X3 y X4 quedaron los precios sombra o contribución marginal / remuneración de ambos recursos /factores productivos.


241

INVESTIGACION OPERATIVA CON EXCEL, WINQSB; GAMS, LINDO, TORA, OTROS

Al igual que con los estudios econométricos aquí incluidos, también es usual efectuar la investigación de operaciones mediante aplica-ciones de Excel (con Solver y con matrices inversa, matriz multipli-car y matriz determinante). Sin embargo, en la generalidad de los casos no es posible controlar manualmente los cálculos, debido a la intervención de múltiples va-riables. Para asegurar la precisión de los resultados de un análisis hecho con Excel puede resultar conveniente complementar o contrastarlos efectuándolos también con otros utilitarios, como por ejemplo con los aquí enunciados.

PROGRAMACIÓN LINEAL CON WINQSB

La ventana principal muestra varias alternativas para los análisis empresariales: un modulo de programación lineal otro de progra-mación no lineal , árbol de decisiones, inventarios , el método para la ruta /camino critico (CPM ) y el diagrama PERT entre otras apli-caciones.


242

En este caso se elige Linear and Integer Programamming (progra-mación lineal y entera) y en la siguiente ventana se anotan el núme-ro de variables y el de restricciones; tildando maximizar para este caso de la carpintería Zonda.


243

En la próxima ventana se anotarán los datos del problema de opti-mización de la carpintería Zonda: maximizar el beneficio de producir mesas y sillas B= $8(x1) + $3(x2), sujeto a las restricciones de re-querimientos y disponibilidades en los talleres de carpintería, tapiza-do y expedición que se muestran en el cuadro, encolumnando los datos para la variable X1, luego para la columna X2 y finalmente para los términos independientes.


244

Para terminar, se pedirá a WinQsb los resultados pulsando en el menú superior sobre Solve and Analize y Tambièn en Solve the Problem, para que aparezcan los resultado en la ventana final.

Los resultados son los mismos que se obtienen con Solver de Excel: se maximiza el beneficio con B= $8(3 mesas)+ $3 (4,5 sillas)= $37,50.


245

El cuadro muestra los precios sombra (Sahdow Price) y los valores sobre la sensibilidad del proyecto (cambios en los coeficientes de la F.O. y del lado derecho de las restricciones, o sea los recursos, sin afectar al resultado final).

METODO GRAFICO CON WINQSB

La solución según el método gráfico de programación lineal es tam-bién muy simple con WinQsb. Según lo comentado anteriormente, se trata de elegir ahora Grafic Method, como muestra la imagen.


246

Se acepta en la próxima ventana con OK lo establecido como de-fault para las variables que van en la abscisa y en la ordenada.


247

El gráfico final muestra las tres restricciones graficadas en verde; también la función objetivo graficada en rojo. WinQsb no graficó la familia de líneas de la función objetivo, sino solamente la del máxi-mo beneficio (aquí con abscisa 4,5) y que es tangente a la frontera acodada de las posibilidades de producción según las tres restric-ciones, para marcar la solución como punto de máximo beneficio (con coordenadas 3 sillas (X1) y 4,5 mesas (X2).

A la derecha imprime el objetivo $37,50 y esas cantidades produci-das


248

(la restricción carpintería es X1= 3; la restricción tapizado es X2= 4.5; la restricción expedición es X1= 6 y X2=9).

PROGRAMACION LINEAL CON GAMS

El lenguaje matemático genérico es útil para la programación y solu-ción de problemas, pero resulta impráctico para casos efectivos de la realidad empresarial concreta. Tiene limitaciones para resolver manualmente casos con más de 4 ó 5 variables y se hace imprescindible recurrir a utilitarios como GAMS u otros, que permiten cientos y miles de variables, en sistemas efec-tivamente NxN y otros NxM con programación lineal. En la pantalla inicial de trabajo de GAMS pueden escribirse los blo-ques necesarios. Si se antepone en cada línea un* (asterisco) serán texto solo orientativo (o bien ubicándolos entre $ontext….. y $off-text).

Por ejemplo, optimizar la producción de mesas y sillas en la Carpin-tería ZONDA, Max B = $8(X1) + $3(X2), X1 <= 3 Sujeto a: X2 <= 4,5


249

6X1+4X2<= 36 Los datos de trabajo conforman otro breve bloque directamente a continuación.

A continuación se pulsa sobre File / y Run y GAMS imprime una larga lista con los pasos efectuados, observaciones y resultados. Esta lista puede consultase abriendo con File / Open el archivo ge-nerado (en este caso untitle_1.lst).


250

……………...

GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page

1 G e n e r a l A l g e b r a i c M o d e l i n g S y s t e m C o m p i l a t i o n

1 VARIABLES 2 X1, X2, F; 3 POSITIVE VARIABLES

4 X1, X2; 5 6 EQUATIONS

7 OBJ, R1, R2, R3; 8 9 OBJ.. F=G= 8*X1+3*X2;

10 R1.. X1=E= 3; 11 R2.. X2=E= 4.5; 12 R3.. 6*X1+4*X2=E= 36;

13 14 MODEL LINEAL /OBJ, R1, R2, R3/; 15 SOLVE LINEAL USING LP MAXIMIZING F;


251

(conviene repasar los términos numéricos, ya que GAMS no puede detectar errores de tipeo de este tipo) COMPILATION TIME = 0.000 SECONDS 2 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 2 G e n e r a l A l g e b r a i c M o d e l i n g S y s t e m

Equation Listing SOLVE LINEAL Using LP From line 15 ---- OBJ =G= ( =G= …o >=, máximos) OBJ.. - 8*X1 - 3*X2 + F =G= 0 ; (LHS = 0) ---- R1 =E=

R1.. X1 =E= 3 ; (LHS = 0, INFES = 3 ***)

(el lado izquierdo LHS comienza con 0 según la restricción >=)

---- R2 =E= R2.. X2 =E= 4.5 ; (LHS = 0, INFES = 4.5 ***) ---- R3 =E=

R3.. 6*X1 + 4*X2 =E= 36 ; (LHS = 0, INFES = 36 ***) GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 3 G e n e r a l A l g e b r a i c M o d e l i n g S y s t e m

Column Listing SOLVE LINEAL Using LP From line 15

---- X1 (GAMS encolumna los coeficientes de cada variable en la FO y restricciones; pone los de la FO en el primer miembro con signo negativo) X1

(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -8 OBJ 1 R1

6 R3 ---- X2 X2

(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -3 OBJ 1 R2

4 R3 ---- F F

(.LO, .L, .UP = -INF, 0, +INF) 1 OBJ GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 4

G e n e r a l A l g e b r a i c M o d e l i n g S y s t e m Model Statistics SOLVE LINEAL Using LP From line 15 MODEL STATISTICS

BLOCKS OF EQUATIONS 4 SINGLE EQUATIONS 4 BLOCKS OF VARIABLES 3 SINGLE VARIABLES 3 NON ZERO ELEMENTS 7

GENERATION TIME = 0.031 SECONDS 3 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 EXECUTION TIME = 0.047 SECONDS 3 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 5

G e n e r a l A l g e b r a i c M o d e l i n g S y s t e m Solution Report SOLVE LINEAL Using LP From line 15


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S O L V E S U M M A R Y MODEL LINEAL OBJECTIVE F TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE

SOLVER CPLEX FROM LINE 15 **** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 3 UNBOUNDED

**** OBJECTIVE VALUE 37.5000 RESOURCE USAGE, LIMIT 0.078 1000.000 ITERATION COUNT, LIMIT 0 10000

GAMS/Cplex Apr 21, 2006 WIN.CP.NA 22.2 031.034.041.VIS For Cplex 10.0 Cplex 10.0.1, GAMS Link 31 Presolve found the problem infeasible or unbounded.

Rerunning with presolve turned off. Dual infeasible or unbounded. Switching to primal to aid diagnosis. Model has an unbounded ray.

**** ERRORS/WARNINGS IN EQUATION OBJ 1 error(s): 1 Unbounded equation (slack variable) LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU OBJ . . +INF 1.000 UNBND ---- EQU R1 3.000 3.000 3.000 . ---- EQU R2 4.500 4.500 4.500 -2.333

---- EQU R3 36.000 36.000 36.000 1.333 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR X1 . 3.000 +INF .

---- VAR X2 . 4.500 +INF . ---- VAR F -INF 37.500 +INF . **** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT

0 INFEASIBLE 1 UNBOUNDED (UNBND) EXECUTION TIME = 0.016 SECONDS 2 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006

USER: GAMS Development Corporation, Washington, DC G871201/0000CA-ANY Free Demo, 202-342-0180, [email protected], www.gams.com DC0000 **** FILE SUMMARY

Input E:\Mis documentos\gamsdir\Untitled_2.gms Output E:\Mis documentos\gamsdir\Untitled_2.lst.


253

PROGRAMACION LINEAL CON TORA

Handy A.Taha, I. O,. propone utilizar también el programa Tora para

contrastar problemas de programación línea hechos con otras apli-caciones Sin embargo, la versión disponible en la red sin cargo no presenta la posibilidad de adaptación a problemas de programación lineal no entera y los resultado del problema de la carpintería Zonda con esta restricción adicional son así enteros, 3 mesas y solo 4 sillas (no 4,5 sillas), con un beneficio de solo $36 en vez de los $ 37.50 con Excel y otros. Este utilitario es de manejo intuitivo sencillo para los casos que trae prediseñados. En el menú principal se anotan los datos del problema y se guardan los datos en un archivo.txt


254

Se pulsa luego en Solver y permite elegir la solución gráfica o la solución algebraica. En esta se pueden ver la iteraciones o la solu-ción final:

La salida de resultados muestras esta solución bajo programación entera:


255

Y para este caso de programación entera la salida como gráfico muestra esta salida:


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PROGRAMACION LINEAL CON LINDO

Ejemplo de la carpintería Zonda con Lindo Systems

Handy A. Taha, Investigación Operativa ( Un. Arkansas), propone utilizar el programa de Lingo Sistems Lindo (y Lingo). En la automática ventana auxiliar (untitled) de Lindo 6 se debe ano-tar, separando con espacios los coeficientes de sus variables (y también de las instrucciones, en este caso MAX; y Subjet To (o simplemente ST aquí); y terminar con END. Lindo admite cientos de variables (y Lingo miles); están diseñados

para procesar escribiéndoles como aquí solamente la función objeti-vo; Subjet To (o ST); las restricciones de >= y/o <=; y terminado con END: MAX 8 X1 + 3 X2 ST 2) X1 <=3 3) X2 <= 4.5 4) 6 X1 + 4 X2 <= 36 END


257

Finalmente, se pulsa Solve en el marco superior de Lindo; y luego

se tilda Sensitivity para que imprima el rango de sensibilidad, mos-trando estos resultados: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 37.50000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 3.000000 0.000000 X2 4.500000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.500000 3) 0.000000 0.000000

4) 0.000000 0.750000 No. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 8.000000 INFINITY 3.500000

X2 3.000000 2.333333 3.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE


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2 3.000000 3.000000 0.000000

3 4.500000 INFINITY 0.000000 4 36.000000 0.000000 18.000000

Interpretación de estos INFORMES DE RESULTADOS: La función objetivo muestra como resultado =$ 37,50, según la solu-ción óptima de producir X1= 3; X2= 4,5 unidades. Los precios sobra (remuneraciones o precios duales) para los re-cursos agotados en la primer y tercer restricciones son $3,50 y 0,75 respectivamente. Holguras: quedan ociosos recursos de la segunda restricción por 4,5 unidades.


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El Análisis de sensibilidad se muestra en estos dos cuadros ante-

riores: a) para los coeficientes de las variables de la función objetivo

(OBJECT COEF) y b) para los lados derechos de las restricciones (RHS). En a) se muestra el coeficiente y la cantidad de crecimiento y

de decrecimiento permitidos para la función objetivo (dentro de los cuales la solución seguirá siendo la misma), que se obtienen su-mando y restando respectivamente esas cifras al coeficiente co-rrespondiente.

En b) se muestra las cantidades de crecimiento y decreci-mientos permitidas (dentro de las cuales la solución seguirá siendo la misma) para cada lado derechos de las restricciones. Para deter-minar el rango dentro del cual la solución seguirá siendo la misma, se deben sumar y restar respectivamente al lado derechos que ten-ga la cada restricción.


260

SISTEMAS CON 1700 VARIABLES

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN

Excel dispone de la macro Solver que permite diferentes planteos para resolver problemas, como es el caso de los sistemas de ecua-ciones. Utilizaremos un ejemplo de 2 ó 3 ecuaciones, con solo 4 o 6 varia-bles y/o restricciones, para simplificar lo que estas herramientas permiten para cientos de variables.

SISTEMAS NxN CON SOLVER DE EXCEL

Supongamos el siguiente sistema con los coeficientes de las varia-bles X, Y, Z y los términos independientes S (por ej. los recursos, capacidades, condiciones, requerimientos, etc) X Y Z S

1 -2 0 = -13

0 3 2 = 19

3 4 -1 = 9

Elegimos un formato de celda de tipo Número (con 2 decimales), mediante Inicio /Formato.


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En las celdas C1:C3 escribimos cada ecuación en su forma homo-génea (observe el cursor que muestra la tercera en C3). En E1 escribimos la función objetivo (FO), en este caso como =C1^2 +C2^2 +C3^2 o suma de los cuadrados de cada ecuación (que el sistema utiliza para minimizar desvíos sin que se anulen). Se abre Solver en Datos / Solver/ y se tilda la opción “Valores de”….0.


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En “Cambiando las celdas”: se anota o introduce H1:H3, que será la zona donde Solver anotará las 3 soluciones del sistema con Resor-ver. El proceso con Solver es similar para casos con muchas variables.

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EXCEL, STATA, EVIEWS, MATLAB, SPSS

Suele ser necesario verificar comparando las soluciones de siste-mas obtenidas con algún utilitario mediante lo obtenido con otros.

METODO DE DETERMINANTES:

Los utilitarios STATA, Eviews Matlab resuelven sistemas de ecua-ciones mediante el “método de determinantes”. Calculan el de-terminante de los coeficientes (S) y también otro determinante para

cada variable Xi (i= X, Y, Z, …) en el cual se reemplaza la columna de la variable por la de los términos independientes (las restriccio-nes, capacidades, condiciones, requerimientos, etc) Finalmente los valores de cada variable que solucionan el sistema surgen por división del determinante de cada variable Xi por el de los coeficientes.S (x1 = X / S, etc). Estos determinantes S y Xi se preparan fácilmente en una hoja Ex-cel, con suficientes copias del S a las que se le pegan los términos independientes en la respectiva columna del Xi. Luego se copiarán todos ellos hacia el utilitario SPSS, STATA o Eviews.


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SISTEMAS NXN CON DETERMINANTES EN EXCEL

En la hoja del siguiente cuadro se utilizo =mdeterm( ) para calcular en la columna D el determinante de los coeficientes técnicos de A2:C4 y otros tres más abajo. .

En tres copias de los coeficientes más abajo, se reemplazó una co-lumna por copia de los términos independientes E2:E4 (en amarillo)


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pegándolas en la primer columna de A6:A8 para calcular X, en la segunda de B10:B12 para calcular Y y en la tercera de C14:C16 para calcular Z. Se encontraron en la columna F los valores de la solución del siste-ma, por simple división de esos determinantes, X= -3, Y= , Z= 2

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON STATA

Resolvemos el mismo sistema de 3x3 también mediante Stata 10.1, apuntando a que todos estos utilitarios permiten resolver con igual simplicidad sistemas con cientos de variables.

1 2 0

0 3 2

3 4 1

S

Conviene anotar la matriz de los coeficientes en una hoja Excel, y hacerle ahí tantas copias como variables a resolver, a efectos de copiarle el vector columna de los términos independientes reempla-zándoles la columna de la variable respectiva.

13 2 0

19 3 2

9 4 1

X

1 13 0

0 19 2

3 9 1

Y

1 2 13

0 3 19

3 4 9

Z

Estas matrices serán luego copiadas y pegadas al Stata (u otro utili-tario estadístico) para calcular los valores de la solución. Se ejecuta el programa Stata y se pulsa Data / Matrix / Imput matrix by hand / y en la siguiente ventana Matrix input se anota o pega la matriz de los coeficientes; se le anota el nombre S (mayúscula); la dimensión 3 x 3 en este caso abreviado y OK.


265

Se procede en forma similar para la matriz de cada variable X, Y, Z, etc (con su respectiva nombre en mayúsculas) Como se ha definido en el stata que el sistema es de 3x3, si uno comete algún paso erróneo se deberá recomenzar el proceso (por esto se recomienda tener las matrices preparadas en una hoja Ex-cel). Hasta aquí Stata simplemente calculó el valor de cada matriz y para calcular los valores de las variables en la solución del sistema se

pulsa en Data / Other Utilities / Han calculator / Create / Matrix y con clic en Det( ) y en / se introduce en el marco Expression builder la expresión Det(X)/Det(S)


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Click en OK y nuevamente en OK, de modo que en el cuadro de resultados aparecerá el valor de X = -3.

De manera similar se obtienen los valores de las otras variables Y = 5 , Z= 2, etc. Si se necesita borrar todas las matrices se usa Data / Matices / Drop matrices / OK.


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SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EVIEWS

Ejecutar el programa y picar en File / New / Workfile; luego en Workfile Structure Type seleccionar Unstructered-Undated; y en Observations anotar 3 (o la cantidad de variables que sea…) / y OK.

En Objet / New Objet / Type of Objet seleccionar Matrix Vector Coef. / OK; en Name for Objet / S en mayúsculas / y OK; en Rows / 3; columns / 3 (o la cantidad de variables que sea). Este nombre S corresponde al determinante de los coeficientes.


268


269

En la nueva ventana picar en Edit+/- y permitirá pegar este determi-nante S que copiemos desde una hoja Excel, según lo sugerido unos párrafos antes.

En el cuadro de resultados (aquí a la izquierda) aparecerá una refe-rencia a los objetos creados: c; resid; y esta matriz determinante S. Se repite este proceso para crear objetos a fin de copiar y pegar justo con cada nuevo objeto el terminante de cada variable; e irán apareciendo en el cuadro de resultados sus referencias (aquí a la izquierda muestra hasta la matriz Z que también aparece pegada en el marco derecho).


270

Finalmente, se procede a calcular los valores de la solución de cada Xi tipeando en el marco superior una leyenda parecida para cada una (en minúsculas): scalar x1=@det(X)/@det(S) para la variable X; al pulsar sobre el icono del cálculo #x se mostrá el valor respectivo.


271

En forma similar se procede para las demás variables: scalar y1 =@det(Y)/@det(S) para la variable Y, etc. Con doble clic sobre #x1; #y1 ó #z1 mostrá el resultado de cada variable solución del sistema.(aquí #z1 escalar figura como 2,00000)


272

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES CON MATLAB

La operatoria con Matlab en entorno Windows es bastante intuitiva; también requiere comandos particulares, que pueden consultarse con la ayuda del marco superior (Help), o con >>helpwin (o >>look-for matrix, por ejemplo). Es posible modificar las sentencias escritas y retroceder o avanzar utilizando las techas de dirección (arriba, abajo) y se las puede se-parar con coma ( , ) o bien cambiar de línea poniendo triple punto al final (…). Anteponiendo % se escriben comentarios solo texto aclaratorio no operativos.


273

Se pueden definir variables con hasta 19 caracteres alfanuméricos. Con >>who (o >>whos) se rescatar las variables en uso. Si los cálculos son largos se pueden ocultar de la pantalla poniendo punto y coma ( ; ) al final de la sentencia y solo mostrará así el resul-tado. Para borrar variables se utiliza >>clear o bien >>clear, para borrar-las todas. MATRICES:

Se escriben entre corchetes y se separan sus filas con punto y coma ( ; )

>>A=[1 -2 0; 0 3 2; 3 4 -1] 1 -2 0

Mostrará A= 0 3 2 3 4 -1 >>inv(A) es la matriz inversa de A (o sea, A-1 ) >>det(A) calculará el determinante de la matriz A

(respondiendo en este caso: ans= -23 )

>>A^3 eleva la matriz A a la potencia 3. >>eye(n) escribe la matriz unitaria de orden n

(ceros, salvo la diagonal principal con unos).

En los ejemplos anteriores se resuelve un sistemas de 3x3 por el método de los determinantes y por el de la matriz inversa. Con Matlab se ejemplifica aquí con el de la matriz inversa, multipli-cando la inversa de los coeficientes por el vector de los términos independientes. En la pantalla de Matlab aparece definida la matriz A; luego se cal-culó la inversa de A; y al final se definió el vector columna o deter-minante de los términos independientes.


274

DE-TERMI-

NAN-TES: Un vec-tor fila

se escri-be

>>x=[3; 4; -0.7] o bien >> X= 5: 2: -0.7 Un vec-tor co-

lumna >>X=[1;

0; 3] El vector

tras-puesto

es >>x‟ >>D=A*x es el produc-

to (D) de

una ma-tiz A por

un vector x, previamente definidos. En este ejemplo Matlab muestra el resultado esperado: X= -3; Y= -5; Z= 2.


275

En la pantalla final se resuelve el sistema del ejemplo de 3x3, multi-plicando la matriz inversa de A por el vector de los términos inde-pendientes (S) como Q; y muestra el resultado esperado X= -3; Y= -5; Z= 2. (al final de la pantalla también figura una matriz unitaria de orden n). Matlab es un utilitario de operaciones matemáticas, que permite además gráficos muy detallados.


276


277

SISTEMAS NxN CON SPSS

Damodar N. Gujarati también propone en Econometría usar SPSS para los análisis; en este caso con SPSS de IBM.

Ejecutando el Pasw Statistics 18 se presenta la ventana para abrir un documento existente o bien pasar a la siguiente ventana de tra-bajo.

.


278

En la ventana de trabajo incorporamos como datos (pestaña inferior Vista de Datos) la matriz de coeficientes técnicos y también sendas copias, que tenga cada una reemplazada la columna de una varia-ble por el vector columna de los términos independientes.


279

En este ejemplo de dos variables figuran así seis columna de datos, pero pulsando en la pestaña inferior Variables se pueden agregar más variables.

En este ejemplo de dos variables figuran así seis columna de datos, pero pulsando en la pestaña inferior Variables se pueden agregar más variables.


280

Al ejecutar pulsando en el botón verde aparecerán los resultado en la ventana de resultados


281


282

CAPÍTULO 4 -

CONTEXTO ALEATORIO

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Según Pierre de Laplace, la teoría matemática de la probabilidad no es más que el sentido común aplicado a los cálculos, en situaciones que no son conocidas con certeza, o que sólo responden a una opi-nión o aserción con reserva.

Inicialmente la teoría se desarrolló en conexión con la solución a problemas de los juegos de azar, pero luego se aplicó al análisis de los problemas demográficos, económicos y estadísticos en general.

Es usual leer que las primeras nociones relevantes sobre la teoría de la probabilidad correspondieron a los matemáticos Pascal y Fer-mat, no obstante que en aquel momento el filósofo francés Compte (1798-1857) consideró como "una vergonzosa aberración científica" aquellos análisis "no determinísticos" para resolver problemas de cuestionables juegos de azar.

Si embargo, posteriores aportaciones de Gauss cimentaron estos conocimientos conformando una sólida rama de la "ciencia del azar"; con importantes aplicaciones a los fenómenos económicos, además de a la biometría, a la astronomía y a la estadística en ge-neral, después de los aportes de Santiago Bernoulli (1654-1705), que desarrollo un célebre teorema que permitió estructurar el cálculo de probabilidades como una disciplina orgánica. A principios del XIX varios trabajos de Laplace completaron los aná-lisis de Bernoulli, impulsando la estructuración definitiva de esta dis-ciplina, a la que se sumaron luego aportaciones de Possion, Gauss


283

y otros, vinculando esta teoría con los diversos campos de la ciencia comentados inicialmente.

PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES

Un aspecto fundamental de la metodología estadística reside en determinar si una distribución de observaciones se debe al azar o no. Por ello resulta interesante conocer determinados modelos esto-cásticos/probabilísticos, construidos a priori: distribuciones. Interesa explicar como se plantean y qué son las pruebas de signi-ficación, con significación en sentido opuesto al azar; tal que si una prueba resulta significativa implica que el resultado de la misma es muy poco probable que se haya dado por azar, y viceversa. Un planteo presupone que las observaciones correspondientes a cada una de las variables son "independientes" entre sí, es decir, que no se afectan mutuamente para presentarse en las experiencias (puede ocurrir un hecho ocurriendo o no el otro) Se precisa el concepto de probabilidad con tres criterios:

- se define el valor numérico de probabilidad -siempre entre cero y uno- como la frecuencia relativa de ocurrencia: o sea, la fre-cuencia absoluta sobre cantidad total de observaciones. Se obtienen conclusiones empíricas, basadas en las observaciones.

- un segundo criterio considera la probabilidad como el co-

ciente entre los casos favorables sobre los posibles; siendo este punto de vista muy útil para obtener leyes a priori, tal como la pro-

babilidad de sacar cara o cruz con una moneda. - el tercer criterio apunta a verificar un modelo a priori o a

construir un modelo empírico. Si N es una cantidad numerosa de observaciones de una variable y f es el conjunto de observaciones pertenecientes a una misma categoría, se define el valor numérico


284

de la probabilidad de obtener una observación perteneciente a esa categoría en el conjunto de observaciones de la variables como la frecuencia relativa "a la larga" de las observaciones que pertenecen a una categoría dada. Es decir que no suministra un valor exacto sino solo un valor aproximado del mismo.

Laplace aportó tres leyes que definen las propiedades matemáticas de la probabilidad: - Haciendo N ensayos no es posible tener menos de 0 éxitos ni más de N éxitos, entonces la probabilidad tiene necesariamente un valor numérico que oscila entre 0 y 1. - Probabilidad simple (suma). Si dos hechos A y B no pueden ocurrir simultáneamente, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B (la probabilidad de obtener 3 o 5 con un dato es 1/6 + 1/6 = 1/3) - Probabilidad compuesta (multiplicación). Dos o más hechos que se presentan juntos: la probabilidad de obtener A y B es el pro-ducto de la probabilidad de uno por la de probabilidad condicionada de obtener el otro: P(A) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) Las distribuciones son construcciones a priori que se utilizan para interpretar si los hechos concretos de la realidad se deben o no al azar. Entre estos modelos estocásticos o probabilísticos se desta-can la distribución binomial y la distribución normal.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Suponiendo un universo con la variable en observación clasificada en dos categorías y se considera favorable (r) la obtención de una de ellas, que a priori tiene una probabilidad p dada. Si además in-teresa formar conjuntos de N elementos, en los cuales la probabili-dad de obtención favorable varía entre 0 y N, es posible formar un modelo estocástico a priori que informa la p(r) según J. Bernouilli:


285

P(r) = N! /r!(N - r)! . Pr .qN-r

ESPERANZA MATEMÁTICA

Si la variable aleatoria solo puede tomar un conjunto finito de valo-res enteros -como el número de hijos de una familia por ejemplo, o caras de un dado, etc.- es una variable discreta, no continua. En estos casos la distribución de frecuencias puede trasformare en una distribución de probabilidad. La media aritmética de una distribución de probabilidad es la espe-ranza matemática: el valor esperado E(x) que se obtiene sumando el producto de cada uno de los valores en que puede darse la varia-ble por su probabilidad (en una lotería de 1000 números a $1 que ofrece un premio de $750, la esperanza es E(x) = 0,749 - 0,999 = = -0,25: un mal negocio para un jugador). DESVIACIÓN TÍPICA

El equivalente de la desviación Standard o de la variancia para una distribución de probabilidad es ζ = [ E(x1/2) - (E(X))1/2 ]1/2.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Cuando N tiende a infinito la gráfica de las ocurrencias deja de verse como de barras y toma la apariencia de una variable continua (cam-pana), representada por una función matemática desarrollada en 1773 por De Moivre y paralelamente por Laplace y Gauss:


286

y =

2M

2

1

2

1x

e

que varía entre 0 y 1, siendo e y pi constantes conocidas. DESVÍO REDUCIDO

Utilizando x (minúscula) para indicar la transformación del origen corrido hacia la media de la distribución, tal que la media original se transforma en 0 y además se expresan todas las medidas con des-víos respecto a su media, o sea, x = X-X (X sombrero o media) Así la unidad de medida se transforma en términos de desviación Standard, o puntaje Standard, denominado "desvío reducido" y sim-bolizado con z en muestras grandes: Z = X - X / ζ = x / ζ DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULADA Es la suma de casos de cada intervalo más todos aquellos que es-tán por debajo del mismo: una distribución de frecuencias acumula-das. Cuando se usan clases de intervalo muy numerosas y de mó-dulo chico, con la frecuencia de estos intervalos como valores acu-mulados se obtiene una función constantemente creciente de x: una curva en forma de S conocida como ojiva (la integral de la curva de distribución normal).

USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPO-RADAS EN EXCEL


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Cuando se conoce N, la media X y ζ para una distribución es posi-ble calcular por ejemplo, la cantidad o porcentaje de individuos loca-les entre dos puntajes, o por encima, o por debajo de un puntaje dado de esa distribución. No es necesario realizar todos los cálculos en cada caso; basta consultar las tablas o bien utilizar las funciones incorporadas en Ex-cel. En la tabla de distribución normal interesa la primer columna y la primer fila, con los valores de puntaje reducidos de x en la fila y las dos primeras cifras de ese puntaje en la columna; la fila la se-gunda y tercera del mismo. Aplicaciones usuales de estas tablas son por ejemplo, determinar el porcentaje de casos que caen entre dos límites dados en una distri-bución normal. También, encontrar los límites de cualquier distribu-ción normal que incluyan un porcentaje determinado de casos (pro-blema inverso al anterior). Otro ejemplo de aplicación es clasificar un grupo total en subgrupos de acuerdo con el aprendizaje o la apti-tud para una materia; también determinar la dificultad relativa de las preguntas de un examen o de los ítem de un test; etc. Excel trae ayudas incorporadas para éstas y muchas otras distribu-ciones (aproximadamente 10 ó 15 más); si bien no presenta ejem-plos para su interpretación concreta de cada caso, tal como figuran en los textos técnicos, resultan un complemento perfecto para la aplicación práctica de este análisis.

REGLA O TEOREMA DE BAYES

Supónganse 6 cajas conteniendo 100 unidades cada una. En 4 hay 8 unidades falladas en cada una; en las otras 2 hay 20 falladas en cada una.


288

Elegir una unidad implica bastante riesgo de que sea fallada (calcu-lable, pero con resultado aleatorio). Por una parte, si hay 4 cajas con 8 falladas, el primer cálculo indica una probabilidad de 4/6 (ó 66%) de obtener una de ellas; pero se corre el riesgo de sacar de una caja peor con 20 falladas, cuya pro-babilidad es 2/6, ó 33%. Sin embargo, este riesgo de elegir una unidad fallada podría redu-cirse algo si existiera la posibilidad de poder extraer y ver una uni-dad de una caja, ya que las fallas en una de las convenientes son 8/100): La probabilidad compuesta de elegir una caja con 8 se multiplicaría por la de elegir una unidad fallada esa caja. Casos favorables sobre casos posibles: P = 4/6 (8/100) / [ 4/6 (8/1000) + 2/6 (50/100) ] = 0,053 / 0,053 + 0,166 = 0,24 (el 33% se redujo a 24% de riesgo que salga fallada).


289

Excel calcula probabilidades seleccionando con el icono o bien, escribiendo directamente: =probabilidad(fallas;probabilidad;límite inferior;límite superior)

ANÁLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo

Para el cálculo de la probabilidad puede ser difícil efectuar el conteo de los casos favorables y del número total de casos posibles. Regla de conteo 1: si cualquiera de los k eventos mutuamente ex-clusivos y colectivamente exhaustivos, diferentes, puede ocurrir en cada uno de los n ensayos, el número de resultados posibles es Kn. Lanzando una moneda 4 veces el número de resultados es 24 = 16; lanzando un dado 2 veces el número de resultados diferentes sería 62 = 36.


290

Regla de conteo 2: si hay k1 eventos en el primer ensayo, k2 en el segundo, ... y kn en el n=ésimo ensayo el número de resultados po-sibles es (k1) (k2) ... (kn). Si la patente de los autos fuera compuesta por tres dígitos seguidos por dos letras el número total de patentes sería (10) (10) (10) (26) (26) = 676000.

Regla de conteo 3: Los arreglos de diferentes formas en que se

pueden ordenar n objetos es factorial de n (n!); se define 0! como 1. El número de formas en que se pueden ordenar 4 objetos es 4! = (4) (3) (2) (1) = 24.

Regla de conteo 4: Las permutaciones posibles al ordenar X obje-tos extraídos del conjunto Y, aunque se repitan en otro orden, es: Y! / (Y - X)!


291

Utilizando la función factorial de Excel se calculan las permutaciones posibles al ordenar 3 objetos extraídos de un conjunto de 4 son: 4! / (4 - 3)! = 24.

PERMUTACIONES

Excel también incluye la función permutaciones: los subconjuntos de 2 objetos que pueden obtenerse contando con 4 son 12 (aunque se repitan en otro orden, tal como 43 y 34, etc.).

Regla de conteo 5: las combinaciones posibles para ordenar X objetos tomados del conjunto, tal que no se repitan en otro orden al tomarlos, es igual a Y! / X! (Y-X)! Las combinaciones posibles para ordenar 4 objetos tomados de a 3, tal que no se repitan en otro orden, son: 4! / 3!(4-3)! = 4


292

COMBINACIONES

Las combinaciones diferentes de 4 elementos tomados de a 2, sin repeticiones, también pueden calcularse con la función "combinat" de Excel:

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En contexto aleatorio también se estudia la media ( ), la varianza

( 2) y la desviación típica ( ) , además de la curtosis, sesgo y la desviación media. La distribución binomial (Bernoulli) se utiliza en los casos en que los ensayos son independientes y solo puede haber la posibilidad de éxito o fracaso, la probabilidad de éxito es constante en todo el ex-perimento (caso contrario se utilizaría la distribución acumulada) y un número fijo de pruebas.


293

Por ejemplo, para calcular la probabilidad de obtener 4 caras al lan-zar una moneda 8 veces: en un lanzamiento la probabilidad de éxito sería 0,5 (50%); entonces Excel la calcula para 8 veces en 27,3% activando esta función al escribir en A1 =distr.binom.(4;8;0,5;falso):

La notación “falso” corresponde a la densidad de probabilidad y no acumulada.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Calcula la probabilidad de un valor aleatorio dado en series grandes. Cuando N es grande y la probabilidad de éxito p y la de fracaso q no están próximas a cero entonces coincide la distribución binomial con la normal de Gauss

(...con Np y Nq > 5)

Excel incluye varias funciones para estudiar esta distribución. Un suceso que se distribuye normalmente con una media 25 y dis-persión 8 tiene una campana ubicada en el primer cuadrante, cen-trada en la abscisa 25.(abarcando desde 0 y 50) y ordenada 1. La función distribución normal indicará la probabilidad de que la campana abarque cualquier valor igual o inferior al deseado. Para el valor de abscisa 40 la probabilidad del área para todo valor hasta 40 es 96,9%.


294

Una campana de Gauss con media 0 está centrada en la ordenada. Si la abscisa abarca aprox. entre –3 y +3, para un desvío de 1 el área acumulada a la izquierda de 1 es 84,13%; para un desvío de 2 el área es 97.72% y si el desvío es 3 el área a la izquierda (o pro-babilidad acumulativa) es 99.86%)

PRUEBA Z

La prueba z indica la probabilidad de que un valor pertenezca a una población: se calcula mediante la tabla de distribución normal o bien con Excel, anotando el rango de las muestras de esa población, el valor a averiguar y el desvío estándar (aunque si se lo omite Excel toma los el desvío estándar de los valores del rango de las mues-

tras).


295

La prueba Z devuelve el valor P de dos colas de la distribución nor-mal y permite evaluar la probabilidad de que una observación de-

terminada provenga de una población específica.

Su sintaxis es PRUEBA.Z(matriz;x;sigma), donde Matriz es la matriz o rango de datos frente a los que se ha de comprobar x; X es el valor a comprobar; sigma es la desviación estándar (conocida) de la población. Si se omite, se utiliza la desviación estándar de la

muestra.

La Distribución Norma de Gauss considera comportamientos cons-tantes, con poca probabilidad al principio y hacia el final: la distribu-

ción tipo campana simétrica:

VIDA ÚTIL DE UN PRODUCTO

La vida útil de un producto está calculada en 700 horas, según la distribución normal con un desvío estándar de 185. Para averiguar la posibilidad de que falle dentro de las 900 a 800 horas de uso el cálculo de la probabilidad acumulada con Excel sería: =distr.norm(900;700;185;verdadero) e indicará 86%. =distr.norm(800;700;185;verdadero) e indicará 71%. La diferencia 86% 75% = 11% es la probabilidad de fallar si al pro-ducto se lo utiliza entre 900 y 800 horas (la notación “verdadero” co-rresponde a la probabilidad acumulada).


296

En las muestras mayores de 30 grados de libertad también se utili-za la distribución normal o de Gauss (en las muestras grandes coin-cidiría la distribución de Student con la normal).

MUESTRA DE 200 ARANDELAS

Ejemplo: una muestra de 200 arandelas tiene diámetro 0,502 mm, con desviación típica 0,005mm. El estándar de rechazo es de 0.496 a 0.508mm ¿Cuál es el % de rechazadas si la producción se distribuye normal-mente?

z= (0.496-0.502)/0.005 = -1,2; y z= (0.508-0.502)/0.005 =+1,2

El área de la curva normal tipificada en z entre –1,2 y +1,2 es

dos veces el área z=0 y z=1,2, o sea: 2(0,3849) = 0.7898 = 77%. Hay el 23% de defectuosas. Los valores pueden consultarse en las tablas de distribución normal o directamente escribir en Excel las funciones correspondientes que figuran en estas imágenes (o utilizar la ayuda para seleccionar en Funciones Estadísticas).


297

MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES

En otro ejemplo, la duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes es 1570 horas, con una desviación típica en la mues-tra de 120 horas. Si la duración media de todos los tubos producidos por esta empre-

sa es =1600 horas (con desconocida) se busca comprobar la hipótesis nula que los tubos de la muestra difieren de la producción normal de esta fábrica, con una significación del 95% y del 99%. Corresponde un ensayo bilateral, ya que intervienen valores mayo-res y menores que 1600 horas y se utiliza la curva normal, tipifica-da en z.

Z se estima como: z = (1570-1600)/ (aquí desconocida)

Se adopta el criterio de suponer como aproximación que la mues-tral [igual a 120/(100)1/2=12] sea como la de la población, de modo que z= (1570-1600)/12 = -2,5 por lo que se rechaza la hipótesis nula ya que la z de la media muestral esta fuera del rango –1,96 a +1,96.


298

TEORÍA DE LAS COLAS

Casos como los de atención en mostrador, en los cuales la disposi-ción de servicios implica tanto un costo como posibles beneficios, por evitar deserción de clientes ante tiempos excesivos de espera. La decisión depende de:

- la aleatoriedad en la llegada de clientes - la aleatoriedad del tiempo requerido para la atención de

cada uno. -

Si no hay ninguna constante y las llegadas son aleatorias se utiliza la distribución de POISSON para determinar la probabilidad “rara”

de desatención.


299

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En cuanto al tiempo requerido para la atención de cada uno, se sue-le utilizar la distribución exponencial por que es conceptualmente coincidente con la anterior.


300

SIMULACIÓN DE MONTECARLO

Un revendedor de aparatos sabe que tendrá fluctuantes suministros y clientela; supóngaselos según las siguientes probabilidades de recepción y venta, por lo cual necesita diagramar sus instalaciones y accionar futuro: a) Suministro mensual de equipos para la venta previsto: Cantidad de equipos mensual: 1 2 3 4 5 Probabilidad de recepción: 0.04 0.23 0.3 0.23 0.2 En una urna se preparan 100 papeles, anotando los números 1 a 5 en esa proporción anterior: 4 con 1; 23 con 2; 30 con 3, etc. Eligiendo 12 al azar se obtendría uno para cada mes del año, y po-dría tomarse como el suministro para la venta:

E F M A M J J A S O N D

1 3 2 3 1 3 4 3 5 1 1 2 La selección al azar con urnas es laboriosa. Excel simplifica esta tarea mediante Herramientas > Análisis de Datos > Generación de Números Aleatorios > Discreta e indicando que seleccione un núme-ro del rango A2:B6 indicado para los 12 meses necesarios en C2:C13, según se ve en la imagen: luego, Herramientas > Análisis de datos >GENERACIÓN DE NÚ-MEROS ALEATORIOS


301

b) Por otra parte, la empresa sabe que recibiría mensualmente la siguiente cantidad de clientes según estas probabilidades: N° de compradores: 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidad: 0.1 0.1 0.15 0.3 0.15 0.1 0.1 Utilizando el Análisis de Datos Excel > Generación de Números Aleatorios, etc. (o bien poniendo en una urna 100 papeles con estos números de compradores según esas probabilidades) se podrían obtener 12 para la recepción mensual de clientes:

E F M A M J J A S O N D

2 3 6 0 5 3 4 1 3 0 4 3 c) La empresa también tiene registrada la probabilidad de que un cliente compre efectivamente: N° de clientes que compran: 0 1 2 3 Probabilidad: 0.4 0.3 0.25 0.05


302

Con este mismo Análisis de Datos de Excel (o repitiendo en una urna con 100 papeles con las cantidades que compran según estos porcentajes) se podría obtener al azar las posibles compras para cada uno de los posibles cliente de cada mes según b): E 1)2 2)0 F 1)0 2)1 3)1 M 1)2 2)0 3)1 4)3 5)0 6)1 A ----- M 1)1 2)2 3)0 4)2 5)1 J 1)1 2)1 3)0 J 1)1 2)0 3)2 4)3 A 1)2 S 1)0 2)2 3)1 O --- N 1)2 2)0 3)1 4)1 D 1)2 2)0 3)1 Por consiguiente, según las pruebas al azar, calculadas en el méto-do de Montecarlo con Excel (o con las urnas), el resultado sería: a) Suministro c) Ventas Saldo

E 1 2 -1 F 3 2 1 M 2 7 -5 A 3 0 -3 M 1 6 -5 J 3 2 1 J 4 6 -2 A 3 2 1 S 5 3 2 O 1 0 1 N 1 4 -3 D 2 3 -1


303

TOTAL29 37 -8 En esta simulación habría un saldo de –8 (suministro insuficiente). Surgió del rigor de una selección al azar. Sin embargo, hay que aclarar que si se repite la simulación con nuevas pruebas al azar seguramente el resultado sería otro. Una posibilidad es entonces efectuar numerosas pruebas al azar (con Excel) y observar los resultados posibles hasta que se estabili-cen, para luego adoptar alguna decisión sobre las instalaciones y

facilidades necesarias. Excel facilita esta larga tarea: es necesario armar una planilla ano-tando los 100 números, repitiendo cada uno las veces que corres-ponda en un cuadro de 10 por 10. Luego se encolumnan en A1 has-ta A100. En B1 se escribe la fórmula “=aleatorio()”, copiándola hasta B100 con una macro que elija solo en el rango A1: A100. Seguidamente desde B1 se ordena la lista de la columna B utilizan-do el icono del botón A-Z. Cada vez que se apriete el botón A-Z, el número que ocupe la celda A1 será el elegido al azar por Excel, respetando la proporción ne-

cesaria para la simulación; igualmente para los números para los 12 meses del año, etc.


304

TAMAÑO DE LA MUESTRA

Una forma técnica de calcular el tamaño n de la muestra (¿30 simu-laciones necesarias?) sería calcular la varianza del resultado para una cantidad de, por ejemplo 1000 simulaciones, y medir la varian-za. Si la distribución es normal y con un nivel de confianza de orden del 5%, se calcula la prueba Z de la distribución normal; y con el

error absoluto (e) que se admita aceptable se calcula el tamaño de la muestra (n)

n = Z2 ( ζ2) / e2 De todos modos, con posterioridad a los estudios y a lo que se im-plemente, la realidad seguramente será otra. Pero una planificación como esta puede representar alguna ventaja racional en aquellos casos en que no existe otra fórmula posible de previsión.


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PROGRAMACIÓN DINÁMICA

CADENAS DE MARKOV

Procesos estocásticos (aleatorios) con variaciones discretas a lo largo del tiempo. Supóngase un estudio de dos marcas, tendiente a establecer la penetración del mercado con cada una, conociendo las proporciones actuales de cada marca A 60% y B 40%, así como cuántos clientes estarían dispuestos a cambiar hacia la otra marca: El producto A tiene 90% de clientes firmes y 10% estaría dispuesto a cambiar hacia B; en el producto B hay 95% de clientes fieles y 5% de clientes que estarían dispuestos a pasarse hacia A. Estas proporciones pueden disponerse en forma de una matriz [C] de fidelidad, en la cual A11 es la posibilidad de que un cliente de A continúe en A; A12 es la posibilidad de que un cliente de A se pase a B; B22 son los clientes de B que continúan en B; y B21 los clientes de B que se pasarían hacia A.


306

En H3 se muestra el producto de la participación inicial de clientes A 60% y B 40% por la matriz de fidelidad, de modo que al final del primer año la participación ha cambiado hacia A 56% y B 44%. Se utilizó la función "=MMULT(PARTICIPACIÓN;FIDELIDAD)" Para establecer el proceso dinámico es necesario efectuar el pro-ducto {[0,60 0,40] [C]}n en los años posteriores. Repitiendo este producto con los nuevos clientes de cada año por la misma matriz de fidelidad (obsérvese en H3 que fue fijada como referencia absoluta con $D$2:$E$3 mediante F4) se copia hacia abajo durante n períodos, hasta que las proporciones se estabilizan en 1/3 y 2/3 (en este caso A) 0.34 y B 0.66 desde el año 21. Cadenas de Markov absorbentes Un laboratorio estudia casos excluyentes de salud o muerte (E y F) después de una serie de tratamientos sucesivos y periódicos, para


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una muestra con 60% de enfermos leves y 40% de enfermos gra-ves. Se observaron los resultados en el primer y siguientes períodos, según este resumen:

E F 1 2 E 1 0 0 0 F 0 1 0 0

Grupo 1 0.2 0.1 0.6 0.1 Grupo 2 0.05 0.15 0.15 0.65 Tratamiento Tratamientos Inicial siguientes Estado inicial [P Q] = [0.60 0.40]

La probabilidad final de enfermos curados después de un tiempo indefinido de tratamiento es:

40.060.0 * [I - A]-1 * 05.0

20.0

Siendo "l" matriz unitaria; y A = 65.015.0

10.060.0;

entonces [I - A] = 35.015.0

10.040.0;

con la proporción de curados en el primer año 0,20 y 0,05;

de modo que [0.60 0.40] * [I - A] * 05.0

20.0 = 0.52


308

(se esperan 52% de pacientes sanos, luego de los tratamientos su-cesivos y periódicos).

En una hoja Excel se anotan los datos en A2 hasta G3; en I2:J3 se resta la matriz unitaria menos la matriz A, ordenadamente celda a celda; en L2:M3 se calcula la matriz inversa pintando las cuatro cel-das y escribiendo con Ctrl+Shift+Enter lo que indica el visor (cuando esta pintado un rango de celdas la máquina agrega a la fórmula una llave inicial y otra final "{...}" ).

En la fila 3 se anotó el concepto de fondo: multiplicar la muestra por la matriz inversa de los tratamientos por el vector de cura inicial. Pero procedemos en dos partes: en la primera multiplicamos la muestra por la matriz inversa de tratamientos, según se ve en D6 (previo pintar las cuatro celdas).

En segundo lugar, multiplicamos el producto anterior por el vector de cura inicial, como se indica en el visor de G6.


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El 52% de pacientes de la muestra serán curados, después de los tratamientos.


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CAPÍTULO 5 -

MUESTREO

Mediante muestras es posible la estimación estadística de la media y la varianza de la población. Esta estimación será insesgada o no según que la media y varianza de la muestra sean iguales a las de la población. Si dos muestras tienen iguales media y una tiene menor varianza que la otra se dice que ésta es un estimación más eficiente. Las pruebas de significación usuales son: hipótesis de nulidad; prueba estadística; nivel de significación; distribución muestral; zona de rechazo; decisión sobre la prueba. Conviene distinguir la estimación en estima de puntos y estima de intervalos. La estima de puntos dirá que el peso es 4 kilos. La esti-ma de intervalos dirá 4 kilos + o – 0,1, o sea, peso entre 3,9 y 4,1 kilos. Hipótesis nula (Ho): por ejemplo, que un método o algo, no es mejor que otra cosa. Se distingue el error de tipo uno (rechazar algo ver-dadero) del error de tipo dos (aceptar algo erróneo). En cuanto a la significación de los ensayos admitiendo algún por-centaje de error, se explica -al 95% o al 99%- que entre las mues-tras y la población no difieren las medias ni las proporciones o des-viación típica. Existen varios tipos de muestreo: al azar simple; al azar sistemático; estratificado (al azar, proporcional o no proporcional); conglomera-dos al azar; no probabilístico o directo, etc. Interesa la selección de la muestra, su tamaño y la varianza de las muestras y de la pobla-ción.


311

ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS

Con una cola es para cuando se compara si un proceso es mejor que otro. De dos colas es para cuando se pregunta si el proceso es mejor o peor que el otro. El tipo de muestreo más importante es el muestreo aleatorio. Se

numeran los elementos de la población. Se extrae solo uno, elegido al azar, i; se conforma una muestra eli-giendo los elementos que ocupen los lugares i; i+K; i+2k; etc. to-mándolos de k en k (con alguna corrección si casualmente existiera una periodicidad constante k en la población) Los resultado se someten a error muestral e intervalos de confianza, que varían de muestra a muestra y según se calculen al principio o al final. La diferencia entre un estadístico muestral (los de posición y de dispersión vistos) y su parámetro poblacional correspondiente dan

la idea del valor que se obtendría con un censo en vez de con las muestras. El tamaño de la muestra dependerá del tipo de muestreo, del pará-metro a estimar, del error admisible, de la varianza poblacional y del nivel de confianza del caso. Las poblaciones homogéneas tienen poca varianza y necesitan muestras menores. El error muestral es la diferencia entre el parámetro o medida sobre la población y el estadístico o medida en la muestra. El nivel de confianza es la probabilidad de que la estimación se ajus-te a la realidad, siguiendo una distribución normal o bien de Stu-dent, según el caso.


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NÚMEROS ALEATORIOS

Excel tiene funciones para aplicar al análisis aleatorio. En el cuadro figuran el cálculo de números aleatorios: escribiendo en A1 “=aleatorio( )” los entrega como decimales cada vez que se recalcu-la con F9.

Si se desea calcular números aleatorio entre 700 y 800 se escribirá en A2 „=aleatorio.entre(700;800)” y los calculará cada vez que se recalcule con F9.


313

PEQUEÑAS MUESTRAS

DISTRIBUCIÓN STUDENT

Esta distribución es aplicable para muestras pequeñas (entre 3 y 30 grados de libertad) cuando no se conoce la desviación estándar de la población pero sí la de una muestra.

En vez del z de la distribución normal se utiliza t; y en vez del se utiliza el ŝ. La prueba t indica la probabilidad de que dos muestras sean de po-blaciones con igual media. Cuando el valor calculado –para los grados de libertad y % de con-fianza del caso- es menor que el de la tabla bilateral se concluye que la diferencia entre medias es por azar, no significativa.

MUESTRA DE 10 ARANDELAS

Una máquina produce arandelas de 0,050mm de diámetro prome-dio. En una muestra de 10 hubo 0,053mm de promedio, con una desviación típica de 0,003mm. Ensayar la hipótesis de que la máquina funciona bien para un 97,5% de significación. Se trata de un ensayo bilateral, con t = (x-μ)/s (N-1)1/2 t = (0.053 – 0.050)/ (10-1)1/2 = 3 valor que es mayor al 2,26 que aparece en la tabla de distribución Student para 9 grados de libertad y 97,5% de significación, por lo que se acepta la Ho; de modo que se concluye que la máquina esta funcionando mal. Comprobamos con Excel, modificando los valores de la muestra, en la imagen cercanos a 0,053 en promedio; también ponemos en la


314

segunda fila producciones normales de la maquina como 0,053 en todos los casos.

Es evidente que el resultado debe ser que la muestra indique que la maquina funciona bien (ya que casi todos los valores son parecidos a 0,053...). En la celda A3 hacemos la prueba t con Excel: muestra que hay un 79,76% de probabilidad favorable: A3 con “=prueba.t(rangomuestra1; rango 2°muestra;2 colas;tipo3” (el tipo 3 corresponde a muestras con distinta varianza; tipo 2 si son muestras con igual varianza; tipo 1 si es sobre observaciones de pares).

PRUEBA X2 (DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MÁS MUESTRAS)

Mide el promedio de la diferencia cuadrática relativa entre la fre-cuencia observada y la frecuencia teórica esperada. La prueba X2 permite observar el % de confiabilidad de que una se-

rie teórica sea como otra real, escribiendo en B11 lo que figura en esta imagen; un alto porcentaje indica que el ajuste teórico es ade-cuado para representar los datos empíricos (o una muestra repre-senta a una población, etc.)


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La prueba CHI.INV(probabilidad;grados) compara los resultados observados con los esperados (muestra con población) para ver si la hipótesis original es válida. Comparando el valor calculado con el de la tabla X2 -para los grados de libertad y el % de significación del caso- se puede observar que las variables no son independientes cuando el valor calculado sea mayor que el de tabla. Ejemplos:

MUESTRA DE 16 PIEZAS TORNEADAS

cuya altura tiene 2,4mm de desviación típica. ¿Toda la producción tiene esa desviación respecto del promedio?


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No se tiene la desviación típica de la población, pero sí la de la muestra, entonces se usa chi2:

Con 95% de confiabilidad, los límites izquierdo y derecho de la dis-tribución chi2 son: 2,4 (16/5.24)1/2 = 1,83, izquierdo; y 2,4(16/2,5)1/2 = 3,84, derecho. Para esa confiabilidad con límites 97,5% y 2,5% -y con 16 grados de libertad- la tabla muestra “el cuadrado” de 5,24 y de 2,5 -28,8 y 6,9- (igual que en Excel, anotando como se ve en A11 y B11):

Entonces, la producción habitual tendría una desviación típica en su altura media de 1,83mm a 3,84mm, según un nivel de confianza del 95%.

MUESTRA DE 200 BOMBITAS

que tienen una desviación típica de 100 hs. en su duración. ¿Será esta la desviación típica en la duración promedio de toda la producción? Si la tabla no mostrara 199 grados de libertad se utiliza Excel: Medimos los extremos con 95% de confiabilidad: izquierdo: 100(200/12.7)1/2 = 111.3 hs derecho: 100 (200/15,5)1/2 = 91.2 hs.


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(Excel muestra los cuadrados de 12,7 y 15,5 respectivamente: 161,8 y 240, en A16 y B16).

Igualmente si se trabajara con una confiabilidad del 99%: Izquierdo: 100(200/15,9)1/2 = 88,9 horas. Derecho: 100(200/12,2)1/2 = 115,9 horas (Excel muestra los cuadrados de 12,2 y 15,9 respectivamente: 151,4 y 254,1 en A20 y B20) Se puede afirmar con 99% de confiabilidad que la producción nor-mal de bombillas en esta fábrica tiene una desviación típica entre 88,9 y 115,9 horas respecto al promedio.

SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES

se observó luego de lanzar 200 veces una moneda. Se puede afirmar que la moneda esta bien hecha? X2 = (115-100)2 / 100 + (85-100)2 /100 = 2,25 + 2,25 = 4,5


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La tabla chi2 para k-1 grados de libertad (2-1=1) y 95% de significa-ción indica 3,84 o ver (con Excel en A25). Como 4,5 es mayor que 3,84 no puede afirmarse que la moneda este mal hecha. Pero al 99% de significación la tabla indica 6,63 (con Excel ver B25), que es mayor que 4,5. Entonces, no puede afirmarse con gran segu-ridad que la moneda esté bien construida, ya que probablemente este mal hecha.

EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL

fueron clasificados y en su muestra de 556 se encontró: 315 lisos amarillos; 108 lisos verdes; 101 rugosos amarillos; 32 rugosos ver-des. Concluyó en la idea que ese año la cosecha posiblemente guarda-ría la proporción 9+3+3+1=36, algo diferente (y que para 556 repre-sentaría 104.25; 104.25; 104.25 y 34.75 respectivamente). ¿Es razonable aceptar la idea de Mendel para la cosecha?


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Para k-1=3 grados de libertad y al 95% de significación la tabla X2 indica 7,81; mientras que al 99% de significación indica 11,3. Según los valores de la muestra se tiene: X2 (315-312.75)2 / 312.75 + (108-104.25)2 /312.75 + (101-104.25)2 /312.75 + (32-34.75)2 / 312.75 = 0,470 Como 0,470 es menor que 11,3 y 7,81 no se puede rechazar su idea (sin embargo, dado que la tabla al 5% indica 0,352, menor que 0,470, cabe aclarar que hay cierta influencia de error muestral).

BONDAD DE UN AJUSTE

Lanzando una moneda1000 series de 5 veces se registraron las siguientes presentaciones de cara en cada serie: 38:0 (38 veces de canto); 144:1 (144 veces una cara); 321:2; 287:3; 164:4 y 25:5. Un ajuste binomial estableció la siguiente ley de formación:

Caras p{x caras Frecuencia esperada

Frecuencia observada

0 0.0332 33 38 1 0.1619 162 144 2 0.3162 376 342 3 0.3087 309 280 4 0.1507 151 164 5 0.0294 29 25


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Para efectuar la bondad del ajuste se calcula X2 : X2 = (38-33.2)2 /33.2 + (144-161.9)2/161.9 + (342-316)2/316 + (287-308.7)2 /308.7 + (164-150.7)2 /150.7 + (25-29.4)2 /29.4 = 7,54 Comparando con la tabla para 4 grados de libertad (6-1-1) indica 9,49 al 95%, o sea, un ajuste muy bueno (pero indica 0,102 al 5%, un ajuste malo).


321

CAPÍTULO 6 -

TEORÍA DE LA DEMANDA

Teorías de la demanda y sistemas económicos

Las empresas estudian la demanda, básicamente la demanda de las personas. Pero para ello es necesario explicar la naturaleza de este acto; y existen tres teorías económicas que lo intentan, abarcando la filosofía del comportamiento humano individual, social, político y de la propia organización de los estados y sus gobiernos. Durante milenios hasta el presente, las naciones de todos los conti-nentes han tenido diversos sistemas políticos; pero sus sistemas económicos presentaron numerosas constantes: Existencias de leyes, un estado encargado de mantener el orden so-cial y administrar lo necesario para el bienestar general: efectuar actividades básicas como caminos, puentes, hospitales, escuelas, defensa territorial, seguridad de las personas y defensa del derecho de propiedad privada, asegurar el abastecimiento y normalidad en los mercados, cobrar impuestos, regular y garantizar un balance de divisas que asegurara el poder de importaciones, etc. Aristóteles en el S III a.c. escribió sobre los precios del mercado, reconociendo que dependían de las necesidades del comprador y de los costos del productor. Santo Tomás de Aquino, en el S XII (Summa Theológica y Summa para Gentiles) tradujo ese estado natural de cosas según Aristóteles en uno de los postulados del cristianismo: justicia conmutativa (justo precio para las transacciones en el mercado) y justicia retributiva (justo salario para el trabajador).


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Pero a mediados del siglo XVIII ocurre en Inglaterra la revolución industrial: el maquinismo, la revolución de los cercados, campesinos desposeídos que forman la naciente clase asalariada, etc. surgiendo la formación de excedentes exportables de productos industriales, para ubicarlos en las ciudades europeas, americanas, etc. Política, ardides, corrupción, invasiones; cortarle un dedo a los niños hindúes para que no compitieran hilando, etc. fueron diversos ins-trumentos utilizados para conseguir mercados. Pero interesa co-mentar aquí el importante aporte de contar con unas nuevas ideas para ayudar esos esfuerzos: las "teorías" (en rigor, cualquier cosa que ayude a convencer). La escuela moral escocesa pensó una nueva filosofía para explicar la conducta humana, económica y el bienestar general, oponiéndola a la idea cristiana de la justicia conmutativa y distributiva. Para A. Smith, J. Benthan, D. Ricardo y otros escoceses, todos las personas actuarían guiados por el egoísmo. El principio hedónico -procurar siempre el máximo beneficio con el mínimo esfuerzo- ga-rantiza que una especie de mano invisible (los precios libres) man-tenga los mercados competitivos y en equilibrio, conduciendo al má-ximo bienestar general, ya que el Estado evita la formación de mo-nopolios y conductas no transparentes. La propiedad privada es una idea natural en los sistemas económi-cos de la humanidad; pero el libre comercio en los mercados era una nueva idea (una teoría, que no coincidía con el orden natural tradicional). Algunos pensadores de la época ya vieron que esta idea teórica puede no ser realista si el estado no evita eficientemente esas con-ductas no transparentes. Sobre todo, en 1848 el austriaco C. Marx


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escribió El Capital, alertando que la libre competencia lleva en sí el germen del monopolio. Agregó además que el beneficio empresario o plusvalía, era en el fondo un salario pretérito del trabajador y correspondía entonces la propiedad estatal de los medios de producción, con planificación estatal de las actividades y mercados (otra nueva teoría, totalmente contraria al orden natural tradicional). Los economistas reconocen que competencia y monopolio son dos modelos teóricos extremos, mientras que en la realidad los merca-dos se desenvuelven en una gama intermedia de competencia, im-perfecta. Situaciones de competencia incontrolada pueden llevar a excesos (Argentina, Rusia, en los años 1990). También un estatismo a ul-tranza conduciría al fracaso de la URSS (si bien cabe tener en cuen-tas que Gorbachov, en la Perestroika perseguía particularmente una "transparencia política", más que económica, para terminar con la ola de asesinatos políticos en aquel régimen). En resumen, tenemos tres ideas de sistema económico relevantes (el históricamente tradicional mundial, el liberal y el marxista). Al nivel de teorías económicas, dos relevantes: la marxista, novedo-sa, contraria a la historia mundial sobre la propiedad privada; y la liberal, a fin con la historia sobre la propiedad privada, pero no así en su idea del libre comercio, salvo con su cláusula teórica de un estado fuerte que controle efectivamente la formación de monopo-lios y conductas no transparentes que lesionen la competencia pura. Bajo la evolución del pensamiento económico en aquella época, explicar la naturaleza de los precios de mercado implicaba conside-rar la demanda y la oferta.


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Pero liberales y Marx admitían una gran influencia del costo de pro-ducción en la determinación de los precios. Estos clásicos prestaban poca importancia a la escasez, las necesidades y la demanda. Equilibrio de la empresa, en el largo plazo: si en el mercado Compe-titivo la demanda esta pagando el precio $12 venderá la cantidad X=8 del producto fabricado, percibiendo $96, iguales a sus costos, también de $ 96; en el punto óptimo E no percibe beneficios extraor-dinarios, en el largo plazo. Pero si la demanda subiera el precio a $15, entonces percibiría be-neficios extraordinarios e incluso vendría algo mas que X=8 unida-des (al menos en el corto plazo, mientras no ingresen competido-res). Perdería o cerraría si la demanda solo pagara $10 por el pro-ducto X, ya que sus ingresos serían menores a sus costos. $ p Cme CMg CMe CMg 15 12 D E

10 8 X Sin embargo, esta coincidencia de pensamientos era molesta a los clásicos liberales. En 1854 el austriaco Gossen escribió un libro (del que habría algunos ejemplares en Oxford) con dos célebres leyes, que explicaban los precios de manera distinta y más favorable a la teoría liberal, ya que sobre todo, fundamentaban la legitimidad del beneficio extraordinario para la empresa.


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En el corto plazo pueden subir los precios y la diferencia con el cos-to es un beneficio para la empresa por correr el riesgo del mercado; si los precios bajaran podría quebrar. Gossen se habría suicidado por que no lo entendieron en su mo-mento; pero alcanzo a escribir cartas a varios economistas con es-tas ideas, los cuales 20 años después publicaron trabajos y Marshall los reunió como una síntesis en su libro de Principios económicos, con esta primer teoría.

PRIMERA TEORÍA DE LA DEMANDA: sicológico-utilitaria

Básicamente las dos leyes de Gossen conformaron la primer teoría de la demanda, sicológico-utilitaria. La ley 1) fue sintetizada por A. Marshall (escocés, 1890, Principios de Economía) así: conforme dispone de mas unidades el consumi-dor siente menor utilidad con cada una (utilidad marginal decrecien-te) y las va valorando menos: paga menos por cada nueva unidad consumida; esto explica la pendiente negativa de la curva de de-manda. La ley 2) explica el consumo de 2 o más bienes: a) el consumido encuentra su equilibrio (y entonces demanda, compra) con igual relación placer sobre precio en todas sus compras: igualdad de las utilidades marginales ponderadas por sus precios (UMgx / Px = = UMgy / Py = etc... Simultáneamente debía cumplirse b) gastar todo el presupuesto M (o sea, Px (X) + Py (Y) = M. Se explica matemáticamente así el máximo condicionado para dos o más variables:


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a) U'x / U'y = Px / Py con b) Px (X) + Py (Y) =M

(El máximo, mínimo para una variable era: U' = 0 con U'' <0 máxi-mo; y mínimo si es >0; o punto de inflexión si es también =0 la se-gunda derivada. Es decir, ponerse en un punto de giro /cambio con la primera deri-vada =0 y luego ver si la nueva derivada (incremento) cae o sube, explican el máximo o mínimo, etc. Con estas ideas de Gossen, los neoliberales (K.Menger, DL 1970; S. Jevons, UK 1972; L. Walras, Fr 1874; A. Marshall, UK 1890) per-feccionaban la teoría liberal y se diferenciaban de la teoría de Marx sobre los precios. El precio no es como decían los clásicos liberales y Marx, según el costo medio, sino que depende de la utilidad marginal. Explicaron la teoría sobre el sistema económico y en particular la teoría sobre los precios y la demanda. Distinguen la utilidad total (solo tiene sentido económico mientras es creciente, hasta la saturación; es así solo positiva, en el primer cuadrante; crece (primer derivada o incremento positiva) pero antes de la saturación el crecimiento es cada vez menor (segunda deriva-da negativa); hay un máximo (que coincide con la utilidad marginal nula) y si no se consume no hay utilidad. La primer derivada es la utilidad marginal (cociente incremental dU / dX). Tiene sentido económico si es positiva, pero es decreciente (primer cuadrante con pendiente negativa); es nula en la saturación. Avances posteriores permitirán explicar la utilidad con necesidades no primarias.


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SEGUNDA TEORÍA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia del ingeniero W. Pareto, Milán 1910

En 1880 el inglés Edgeworth ideó las curvas de indiferencia para explicar el comercio entre Inglaterra y Argentina (en los programas de economía se estudia la Caja de Edgeworth). Pareto las utilizo para una nueva teoría sobre la demanda. Las canastas sobre una curva son indiferentes. Curvas mas aleja-das indican canastas mayores, preferidas. Hay un presupuesto para gastar; la recta de presupuesto más alejada indica mayor gasto. Los precios relativos del mercado se indican con la pendiente de esta recta: gastando todo en uno u otro bien se grafican los extre-mos de la recta y su pendiente. La demanda aparece si hay equilibrio: tangencia de la recta de pre-supuesto con la curva de indiferencia más alta. Incluso se puede medir la utilidad total, que será aquí de tipo ordinal (mayor o menor; por oposición a la idea de medición cardinal en Marshall). Deben cumplirse las dos condiciones matemáticas:

a) TMS = Px / Py (tasa marginal de sustitución igual al cociente de precios relativos del mercado); y

b) agotar el presupuesto Px (X) + Py (Y) = M Geométricamente la TMS = dY / dX es la pendiente de la c.i. Por otra parte, en la c.i. el diferencial total entre sus puntos es ne-cesariamente nulo: U'x dX + U'y dY = 0 lo que puede expresarse como U'x / U'y = dY / dX (cociente de las derivadas igual a la pen-diente).


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Además, la pendiente de la recta de presupuesto también está pre-sente en el punto de equilibrio. En toda esta recta hay el mismo pre-supuesto, de modo que al cambiar entre dos de sus puntos necesaria-mente (dY) Py debe ser igual a (dX) Px (cantidades por precios que indican igual monto de variación, por que ambas canastas valen M). Así, geométricamente, coinciden las pendientes de la función de utilidad o gustos y de los precios de mercado, explicando el equili-brio. Matemáticamente se calcula el equilibrio como a) U'x / U'y = Px / Py; con b) Px (X) + Py (Y) = M (igual que con Marshall, pero con un mo-delo distinto: geométrico-matemático y no sicológico/utilitario-mate-mático).

CURVA DE INDIFERENCIA Y RECTA DE PRESUPUESTO

Siendo los gustos U = X Y, el presupuesto M= $100 y los precios

en el mercado Px=$1 Py=$2. a) el cociente de las derivadas igualado al de los precios es Y / X = 1 / 2 de donde la relación de intercambio # es 2Y = X b) agotar el presupuesto: M = 1(X) + 2(Y) = 100 reemplazando # es: M = X + X = 100; o sea, X= 50; e Y = 25 según #, resultando una utilidad cardinal U=XY= 1250 unidades. Esto se calcula en la siguiente hoja Excel: la ecuación de la curva de indiferencia es Y = U/X = 1250/X; la ecuación de la recta de presu-puesto es M = Px(X) +Py(Y), o sea, Y = 100/Py -Px/Py (X).


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El equilibrio del consumidor surge cuando se igualan sus gustos con los precios relativos del mercado; y gasta $100, demandando X=50 e Y=25.

TERCERA TEORÍA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELA-DA

El análisis distinguiendo los efectos sustitución y renta cuando cam-bia un precio permitieron presentar una tercer explicación sobre las razones de la demanda. Se desarrolla bajo el análisis de la ecuación de Slutsky y con el del efecto ingreso y sustitución según Hiks. Slutsky, Hicks, Samuelson explicaron que además de la vieja ley de la demanda también influía el menor poder adquisitivo si un aumen-to en el precio de algún bien importante deteriora el valor adquisitivo real del presupuesto disponible para demandar. Agregan las conse-cuencias de la inflación: al viejo efecto sustitución le agregan el nue-vo efecto renta. Lo de preferencia revelada surge por que cuando, por ejemplo, el Instituto de Estadísticas y Censos mide mensualmente los índices


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de precios al por menor y otros, esta obteniendo información objeti-va (no contingencias sino hechos) de las preferencias reveladas (manifestadas) por los consumidores sobre la demanda, según sus gustos, su dinero y los precios de todos los bienes. Su abundancia de datos mensuales permite efectuar con Excel co-rrelaciones, con valores homogéneos netos de inflación, y explicar las demandas mediante sus índices de consumo y gasto (para una gran cantidad de bienes individuales anotados mes a mes, en pre-cios y cantidades consumidas). Esta teoría se justifica con dos axiomas: débil (si una canasta le es mejor que otra, ese consumidor no puede decir racionalmente lo opuesto) y fuerte (si prefiere la canasta 1 a la 2 y también la 2 a la 3, entonces prefiere la 1 a la 3). Véase el ejemplo: a precio similar compraron más café de la marca 1 que de la 2. Igualmente comparando las marcas 2 y 3. Entonces, indirectamente prefiere la marca 1 a la 3 (salvo en la cafetería H, según muestra la celda i9 con la función lógica =Y( ; )).


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NÚMEROS ÍNDICE

El aporte de Excel no es solo por las funciones de correlación múl-tiple incorporadas sino además por las facilidades de la propia hoja de cálculo Excel para elaborar y trabajar con índices. Los complejos cálculos de Laspeyres o Paasche y otros se facilitan en minutos copiando celdas y relacionándolas mediante operacio-nes elementales (véase más en detalle al final de este capítulo).

EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA

La teoría del consumidor (cardinal u ordinal) maximiza la utilidad por consumir bienes X e Y gastando el presupuesto M, dados cier-tos gustos (función de utilidad) y precios en el mercado. Con las condiciones a) el cociente de las derivadas igualado al de los precios del mercado; junto con b) gastar todo el dinero disponi-ble, se satisfacen las dos condiciones de máximo para funciones de dos variables (coinciden las posibilidades y gustos del consumidor con las pretensiones del mercado)

MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA UTILIDAD MARGINAL

(A. MARSHALL)

U= 0,2XY + 8 con Px=$1; Py=$4; M=$70

a) se resuelve con: U‟X / U‟y = Px / Py

0.2Y / 0.2X = 1/4 o sea, X=4Y #


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b) Px(X) + Py(Y)=70 o bien reemplazando 4Y+4Y =70 Y=8,75 por lo cual X=35 (según #) La utilidad máxima es U=0.2(35)(8,75) + 8 = 69,25 unidades Excel también facilita la resolución de estos problemas con funcio-nes no lineales, utilizando su macro Solver, pero cuidando no elegir en Opciones “Adoptar el modelo lineal” (tal como cuando se hace programación lineal).

Se anotan los pocos datos tal como aparecen en la siguiente ima-gen y se abre Solver en Herramientas.


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Solver pregunta cuál será la celda objetivo (a maximizar); cuales las celdas a cambiar para calcular en ellas las cantidades de X e Y; también pregunta por las restricciones (en este caso el presupuesto $70).

Al pulsar “Agregar” en la opción “Sujeta a las siguientes restriccio-nes” se abre la pequeña ventana para anotar a la izquierda “D4”; en el centro “<=”; y a la derecha “=70” y Aceptar. Vuelve a la ventana Solver, se pulsa Resolver y luego Aceptar la solución Solver. Con Solver no hay limitación para el tipo de funciones de utilidad, sean lineales o no lineales.

PROBLEMA DUAL:

¿MÍNIMO GASTO PARA OBTENER CIERTAS DEMANDAS CON UTILIDAD DE SOLO 32 UNIDADES?

Aquí la función a) será la de presupuesto Px(X) + Py(Y) = M, mien-tras que la restricción b) es la función de utilidad igualada a 32:

U = 0,2XY +8 = 32


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a) 0,2XY +8 =32 manteniéndose los precios relativos en el mercado X=4Y #

por lo cual 0,2(4Y) Y +8 =32 con 0,8Y2 = 24 e Y2=30 o bien Y=5,48 X=4(5,48)=21,92 según #

b) El gasto necesaria será: M= $1 (21,92) + $4 (5,48) = $43,82 Con Solver de Excel se escriben los datos, incluyendo la función de utilidad en B5. Se abre en Herramientas Solver y se elige Minimizar. La celda objetivo es ahora D4 y las celda cambiantes siguen siendo B2 y C2.

Sujeto a las siguientes restricciones y Agregar permite anotar ahora B5=32. Luego Resolver y Aceptar la solución de Solver.


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(nuevamente los precios deben ser >0 y además, se ha evitado ele-gir en Opciones Adoptar la solución lineal, ya que la función es de segundo grado).

MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO

(Y LAGRANGE)

El mismo caso anterior se explica con la teoría de las curvas de indi-ferencia de W. Pareto: gustos y presupuesto coincidentes con los requerimientos del mercado, mediante:

TMS = Px / Py Según el diferencial total nulo en la curva de indiferencia y en la rec-ta de presupuesto, en el punto de equilibrio (con igual pendiente por ser tangentes) se cumple


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U‟x / U‟y = Px / Py Como en el caso anterior según Marshall, pero adoptando el método de Lagrange:

Función combinada L = U + λ(Px(X) +Py(Y)

L = 0,2XY +8 + λ[(1(X) + 4(Y) – 70]

I) U‟x = 0,2Y + λ = 0 U‟y = 0,2X + 4 λ = 0

U‟λ = X + 4Y - 70 = 0 Según U‟x resulta – λ= 0,2(8,75)= 1,75: utilidad marginal de este dinero del presupuesto. Si se gastara $1 más ($71) la utilidad total

sería: 69,25 +1,75 = 70.99 unidades de utilidad. II) El Hessiano con las segundas derivadas:

H =

041

402.0

12.00

= + 1.6 (>0)

con el mismo cálculo práctico para las dos teorías (Marshall y Pare-to), ya sea con ecuaciones diferenciales, con Lagrange, o con la programación Solver no lineal en este caso (no obstante que una

use el modelo sicológico de la utilidad marginal y otra el modelo geométrico de las curvas de indiferencia).


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Y 8,75 E ci U = 69,25 u .u. 35 X DETERMINANTES

Sin limitaciones de orden, Excel calcula estos determinantes, sim-plemente anotando en una celda “=mdeterm(A1:C3)” como se ve en la imagen (reemplazando antes λ = 1,75):


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EFECTO INGRESO-SUSTITUCIÓN SEGÚN HICKS

A) EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR

Supóngase un consumidor con gustos U=Y(X+5) y presupuesto M=Px(X) +Py(Y)= $110; en el mercado los precios son Px=$2 y Py=$1. Las relaciones necesarias están indicadas en la hoja, en A1 hasta A12. EN A7 y A8 se calculan las derivadas pero anotándolas como fórmulas: en A7 irá =A2 (tal como indican las referencias de la co-lumna B) y en A8 irá =A1+5; en A9 el cociente A7/A8; en A10 irá A5/A5; en A11 irá 2*A1+10; en A12 irá A4*A1+A5*A2. El equilibrio inicial se calcula con Herramientas > Solver > poniendo como celda objetivo maximizar la utilidad A3; celdas cambiantes A1:A2 (las cantidades de bien X e Y). Como "Sujeto a las relaciones" se anota que el cociente de las pri-meras derivadas sea igual al cociente de los precios del mercado (A9=A10) y que el presupuesto sea igual a 110 (A12=A6). Con Resolver y Aceptar Solver calcula la máxima utilidad 1800 uni-dades ordinales, así como la demanda de ambos bienes: X=25 uni-dades e Y=60 unidades.


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Excel también ayuda en la gráfica necesaria: en D1 hasta F15 se repite: la variable X (abscisa) y las ordenadas, que se reescriben como funciones: de utilidad (Y=U/(X+5)) y de presupuesto (Y=M/Py -Px/Py(X)). Conviene elegir el rango con incrementos en 4 para que sea un grá-fico visible: en D2 y D3 se anota X=1 y X=5 y se copian las dos fun-ciones en la línea 3. Se pinta las 6 celdas y se arrastra hacia abajo la esquina inferior derecha. Pintando el rango D2:F15 se pulsa en el icono de gráficos > Disper-sión > etc. Y para que el gráfico sea bien visible conviene activarlo (picarlo) de modo que recuadre el rango de datos: así se podrá arrastrar este rango achicándolo algo hasta que queden las líneas bien visibles (como en esta imagen).


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B) CAMBIO EN EL PRECIO DEL BIEN X

Suponiendo luego un aumento a Px=$5,10 y las demás condiciones constantes, se recalcula el equilibrio según a), simplemente cam-biando ese precio y volviendo a ejecutar Solver.

Bajo los nuevos precios relativos la utilidad total pasa a ser U=900 y la demanda son X=8,28 e Y=67,8. Subió el precio de X, se consume


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menos de X, pero más de Y (Y sustituye a X); y hay menor utilidad total. Antes la demanda de X era 25, ahora solo 8,3. Esta reducción de 16,7 unidades se explica según Hicks por dos motivos: no solo por la vieja ley de la demanda de Marshall (efecto sustitución), sino también por el efecto renta (o deterioro del poder adquisitivo, por inflación) C) SEPARACIÓN DE EFECTO RENTA Y SUSTITUCIÓN

Para calcular cuanto es cada efecto en esa disminución de X Hicks supone un imaginario subsidio al consumidor que le permitiera vol-ver a la curva de indiferencia inicial U=1800. La recta de presupuesto imaginaria tocaría al curva U=1800 en un punto S, distinto del equilibrio inicial E. Las coordenadas de este punto S se pueden calcular igualando las pendientes de la curva de indiferencia inicial con la pendiente de la recta de presupuesto ima-ginaria. Las pendientes (cateto opuesto sobre cateto adyacente) se pueden calcular como las primeras derivadas de cada línea: curva de indife-rencia inicial U=Y(X=5)=1800, o bien Y=1800/(X+5), que tiene como derivada: Y'=1800(X+5)-2. La recta de presupuesto imaginaria (todavía no calculada) es parale-la a la segunda recta (bajo la situación B): M=5.1(X) + 1(Y)=110, o bien Y=110/5.1 -5.1X; su pendiente es Y'= -5,1. Igualando pendientes -5.1 = -1800/(X+5)2 y resolviendo esta cuadrá-tica surgirán las coordenadas de S, en particular X=13.8, que per-mite dividir la diferencia entre la demanda inicial y posterior de X en dos partes: en A) era X=25; en B) era X=8,28. Desde 8.28 hasta


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13.8 hay 5,5 de disminución por efecto renta; desde13.8 hasta 25 hay 11,2 de disminución de demanda por efecto sustitución.


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FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE

Supóngase un consumidor con la siguiente función de gustos: U= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2, un presupuesto M=$12 y precios en el mercado Px=$1, Py=$6. Lagrange conforma una función combinada "L", compuesta de la suma de dos términos: uno la función U; el otro la restricción de pre-supuesto multiplicada por una variable auxiliar λ(Px(X)+Py(Y)-M), entonces:

L= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2 + λ(1X +6Y -12) a) La primera condición será ubicarse en un punto de giro de la

función, igualando a cero las primeras derivadas de L; la segunda será averiguar si es un punto de inflexión, de máximo o de mínimo, según que el Hessiano H sea nulo, positivo o negativo. Las primeras derivadas de L son :

012-6YXL

06λ4Y-3X- 28L

0λY3X428L

'

y

'

x

Igualamos el término en λ de las dos primeras multiplicando la pri-mera por 6, quedando 168 -24X -18Y = 28 -3X -4Y; o sea, Y= 10 -3/2X. (#) Reemplazando esta relación (#) en la tercer derivada se obtiene X + 6(10 +3/2X) = 12, de donde surge X=6; y por consiguiente Y= 1 se-gún (#).


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SIGNIFICADO Y VALOR DE λ:

Según L'x es: 28 -4(6) -3(1) = - λ; o sea, - λ = 1 (o λ = -1) Se interpreta λ como la utilidad marginal de dinero de este presu-puesto, ya que gastando un peso más en los bienes la utilidad total variaría en -1. Por ejemplo, si el peso se gasta en consumir una uni-dad más de X la utilidad total sería lo que indica la función U con X=7 (en vez de los 6 iniciales), e Y=1 y totalizaría 103 en vez de 104 inicialmente (ya que X es un bien inferior, cae la utilidad total). b) La Segunda condición es conformar el Hessiano con las deriva-

das segundas:

H =

061

643

134

"""

"""

"""

LLL

LLL

LLL

yx

yyyyx

xxyxx

Excel calcula este determinan con solo anotarlo y en D2 escribir "=mdeterm(A1:C3)" y pulsar Enter. (para estas anotaciones resulta cómodo disponer de caracteres griegos, disponibles en el Microsoft Office, insertando los símbolos deseados, λ ∆ μ β δ Σ δ ε ...).


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ECUACIÓN DE SLUTSKY

J. Hicks explica en Valor y Capital, que cuando el consumidor pasa desde un equilibrio inicial E hacia otro final F consumiría menos de algún(os) bien(es) debido a un aumento de Px. Suponiendo un subsidio que le compensara este deterioro volvería a la utilidad inicial U1, pero consumiría ahora según una canasta S diferente a E: el subsidio trasladaría su recta de presupuesto mn2 hasta ser tangente con U1 en S (a diferencia de Slutsky, si la parale-la a mn2 y pasara por E en vez de ser tangente sería secante a U1).


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Y

m

S

E U2

F U0

U1

n2 n1 X ER ES Calculando las coordenadas de S se obtendría una ordenada que dividiría en dos partes la pérdida de consumo de X entre E y F: a la izquierda el efecto renta (según el supuesto subsidio) y a la derecha el efecto sustitución o vieja ley de la demanda. La demanda compensada (efecto sustitución o perdida de X entre E y S)) según Hicks es algo diferente que según Slutsky, ya que la recta de presupuesto que pasara por E alcanzaría a una curva de utilidad U3 superior. En la ecuación de Slutsky estos dos efectos se presentan en el se-gundo miembro con otro orden: primero el efecto sustitución y luego el efecto renta. Estos efectos sustitución y renta así separados en dos partes, se miden calculando la caída de demanda ponderando en un caso por la utilidad marginal del dinero constante (con - λ); y en el otro ponde-rando por lo gastado en el bien cuyo precio cambió.


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EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X:

Conviene escribirlo en el orden del lenguaje matemático, tal como si fuera una derivada o cociente incremental (¿si cambia el denomina-dor cuánto cambiaría el numerador?):

dX / dPx = - λ ∆xx / H -X ∆λx / H = = 1 (-36/112) - 6 (-14/112) = 0,4 El pasaje desde la situación inicial hacia la final se explica con dos partes, cuyo resultado muestran: el efecto sustitución puro ( -0.3) y efecto renta (0.8), totalizando +0.4; por lo que el bien X es atípico, algo inelástico respecto a su precio, según su demanda ordinaria. Aunque el -0,3 de su demanda compensada del efecto renta indi-caba que era típico, X es tipo Giffen (como el pan, sube su precio y su cantidad vendida); además, el factor -14/112 negativo indica que X es un bien inferior): en los bienes Giffen el efecto renta supera al efecto sustitución.

PARADOJA GIFFEN

En principio, todos los bienes son básicamente o en general típicos; pero algunos bienes pueden actuar ocasionalmente bajo la paradoja Giffen: aumenta su demanda no obstante aumentar su precio. La ecuación de Slutsky nos ayuda a interpretar esta observación: según sea el signo de sus dos términos, el efecto sustitución (ES, que es siempre negativo), al que se le resta el efecto renta (ER). Si por alguna circunstancia este efecto renta fuera negativo (está restando) y es además grande o mayor que el ES, entonces el re-sultado final indicaría que la función de demanda del bien estudiado tendría pendiente positiva


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Paradoja: subiría el precio y también subiría el consumo de este bien; por ejemplo, porque un consumidor que depende de un ali-mento básico y viera subir su precio, compraría más para suplir can-tidades de otros bienes que ya no pueda consumir conjuntamente.

BIENES SUNTUARIOS

Por otra parte, todos los bienes son normales para algunos niveles de ingreso, no obstante, puede haber bienes que para algún con-sumidor sean suntuarios, en función de su abundante dotación de ingresos: más allá de las comprobaciones estadísticas, en teoría, un bien sería suntuario si su elasticidad ingreso fuera mayor que uno: dXi /dY ( Y / Xi ) > 1. ADJUNTOS

Cada elemento del Hessiano tiene un adjunto, o menor complemen-tario, conformado con las demás filas y columnas. Excel calcula los adjuntos necesarios ∆11, ∆31, ∆12, ∆32, ∆21, ∆31, ∆32 como se muestra en D11, pero es necesario complementarlos con la regla de los signos para este análisis: anteponer un signo menos a los

adjunto impares D12, D32 y D21.


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EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y:

dY / dPx = - λ ∆12 / H - 6 ∆32 / H = = 1 (6 / 112) - 6 (21 / 112) = 0.05 - 1.1 = -1

si sube el precio de X compraría menos X (se compra más por ser Giffen) y menos Y (-1 <0); Y es complementario de X; el término 21/112 positivo indica que Y es un bien normal (carne). El efecto sustitución neto es positivo e indica que Y es sustituto de X, no obs-tante que el efecto total sea complementario bruto. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE Y SOBRE LA DEMANDA DE X:

dX / dPy = - λ ∆21 / H -X ∆31 / H = = 1 (6 / 112) - 1 (-12 / 112) = 0.05 + .013 = 0,18 si sube el precio de Y se compra menos bien Y pero más X; X es sustituto de Y (pan sustituto de carne). Según el efecto sustitución neto positivo X es sustituto neto de Y; el efecto total también indica que es sustituto bruto. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE Y SOBRE LA DEMANDA DE Y:

dY / dPy = - λ ∆22 / H -Y∆32 /H = = 1 (-1 / 112) - 1 (21 / 112) = -0.01 - 0.18 = -0,2 cuando sube el precio de Y se compra menos Y (bien típico, con demanda muy inelástica); el efecto sustitución puro siempre es ne-gativo (-0,01); el cociente 21/112 positivo indica que Y es un bien normal no suntuario; la demanda compensada del efecto renta cae-ría muy poco, solo en la proporción -0,01, pero la demanda ordinaria cae según -0,2.


351

DEDUCCION DE LA ECUACION DE SLUTSKY

El conocimiento matemático acumulado a principios del siglo XX permitió explicar el equilibrio del consumidor (o cantidades deman-dadas de dos bienes) mediante la función combinada de Lagrange:

L = función de utilidad + restricción de presupuesto (con sus dos condiciones: First order condition) o punto de giro, con primeras derivadas nulas; y Second o.c.) solo será un máximo si el determinante con las segundas derivadas es positivo). Sea un consumidor que maximiza la utilidad de demandar o con-sumir con U(x;y), sujeto a la restricción de agotar el gasto de su pre-supuesto según los precios en el mercado R=Px(X) +Py(Y). Su función combinada es: L = U(XY) + λ(R -PxX – PyY), creando una variable matemática auxiliar λ para la restricción. F.o.c.) L`x = 0 o sea, Ux + λPx = 0 L´y = 0 Uy – λPy = 0 L´λ = 0 R – PxX – PyY = 0 S.o.c.) Lxx´´ Lxy´´ Lxλ´´ El determinante hessiano es: H = Lyx´´ Lyy´´ Lyλ´´ L λx´´ L λy´´ L λλ´´ (los subíndices ya ilustran sobre las derivación primera y segunda, por lo que se omitirán los tildes) Considerando los precios del mercado y el presupuesto concreto, en vez de resolver el sistema de la F.o.c. por sustitución u otros, se calculará el diferencial total de estas expresiones simbólicas de la

f.o.c., para estudiar luego los resultados:


352

Uxx dx + Uxy dy – Px dλ – λdPx = 0 Uyx dx + Uyy dy – Py dλ + λdPy = 0 dR – Px dx – Py dy – XdPx –YdPy = 0

Dejando las incógnitas en el primer miembro se pasan los datos de las variaciones ocurridas al segundo:

Uxx dx + Uxy dy – Px dλ = λdPx Uyx dx + Uyy dy – Py dλ = λdPy – Px dx – Py dy = dR – XdPx –YdPy

(*)

Se expone este sistema en forma matricial y quedara: la matriz de coeficientes por el vector de las variables igual al vector columna de los términos independientes: ( Uxx Uxy -Px ) ( X ) ( λ dPx ) ( Uyx Uyy -Py ) ( Y ) = ( λ dPy ) ( -Px -Py 0 ) ( λ ) ( dR + X dPx + Y dPy ) Para resolver este sistema por determinantes según Cramer y

calcular sus tres incógnitas se hacen sendos cocientes de hessia-nos H /H, pero reemplazando en el del numerador la columna de la variable a resolver por los términos independientes. Resolvemos aquí solamente para X: ( λ dPx Uxy -Px ) ( λ dPy Uyy -Py ) dX = ( -dR +XdPx + YdPy -Py 0 ) = ---------------------------------------------------------- H


353

El determinante del numerador se resuelve, por ejemplo, agregán-dole las dos primeras filas, para sumar los productos de las diagona-les descendentes y restarle los productos de las diagonales ascen-dentes. [λ dPx (Uyy) (0)] + [λ dPy ( -Py) ( -Px)] + [(-dR + X dPx + Y dPy ) (Uxy) ( -Py)] - [-Px (Uyy) ( -dR +X dPx +Y dPy)] -[-Py ( -Py) ) (λ dPx)] - [(0) (Ux λ) ( dPy)] = -------------------------------------------------------------------------------------- H Simplificando y reordenando:

-λ Py2 dPx + λ dPy Py Px + ( -dR + X dPx + Y dPy) ( Px Uxx – Uxy Py)

dX = ---------------------------------------------------------------------------- = H Por otra parte, cada elemento del determinante orlado (hessiano H) contiene sendos determinantes adjuntos (o menores complemen-tarios Dij) al eliminar los elementos de dicha fila y columna.

Por lo que también se puede ver que ese numerador se puede ex-presar con adjuntos:

λ Dxx dPx + λ Dyx dPy + Dλx ( -dR + XdPx + YdPy) (#)

dX = ------------------------------------------------------------------- H Ahora, interesa ver aquí (como ejemplo) el efecto directo de la va-riación del Px sobre la demanda de X (aunque también se puede estudiar el otro bien y los efectos cruzados): dX λ Dxx X Dλx


354

----- = ------- + -------- Px H H (ya que el otro término desapareció por nulo para este caso) Es decir, = Efecto sustitución + Efecto Renta = Efecto total del cambio de ese precio. Falta ahora demostrar por que estos dos términos son así los efec-tos sustitución y renta: a) El primer término de la ecuación de Slutsky es el efecto susti-tución por lo siguiente:

En el equilibrio paretiano es nulo el diferencial total para cualquier cambio de canasta sobre esa curva de indiferencia: U´x dX + U´y dY = 0 . También lo es nulo para cambios en la línea de presupuesto por ese punto: Px dx + Py dy = 0. Tangentes en ese punto de equilibrio, si se les simplifican los dx y dy en ambos, queda que la tasa marginal de sustitución entre bienes coincide con el cociente de precios relativos del mercado: TMS = Px /Py , conceptualmente; ( o bien, U´x /U´y = Px /Py en la forma diferencial) Observando la tercer línea del sistema (*) y el concepto del diferen-cial total nulo hacen que sea nulo el segundo miembro de (*), por lo cual también debe ser nulo el tercer término de (#).

Además, si se esta buscando el efecto del cambio de Px sobre la demanda de X también debe ser nulo el segundo término de (#),

quedando solo el primero. Por otra parte, dX ) λ Dxx ---- ) = ------- dPx )dU=0 H


355

Si no tiene que variar la utilidad inicial ante el cambio del Px , este termino que mide el efecto sustitución, se expresa en la forma dife-rencial (con el subíndice dU=0 ) y coincide con su medida en la forma matricial: b) El según término de la ecuación de Slutsky es el efecto renta

por lo siguiente. El cambio de la cantidad demanda de X ante un cambio en la renta se expresa en la forma diferencial como dX /dR multiplicado por la cantidad de X. Al considerar esto en (#) todos los términos que no tiene dR son

nulos y para explicar el efecto del cambio de la renta solo queda -Dλx /H, que se debe multiplicar por la cantidad demandada de X. Observaciones: Nuevamente esta en este enfoque una simplificación a solo dos bie-nes. Varian y otros generalizan este enfoque axiomático a una can-tidad n de bienes, en aquellas épocas en las que n no podía ser mayor a unas pocas variables calculables manualmente. Pero la informática permitiría medio siglo después concretar estas operacio-nes siendo n bastante mayor. Finalmente, además de los dos efectos directos y los dos cruzados, para clasificar a ambos bienes, también se ha utilizado el enfoque de la ecuación de Slutsky para analizar la oferta de trabajo (y expli-car su evolución retroascendente ante aumentos considerables de salarios, debido a la mayor renta generada o efecto renta dotación). También se ha utilizado esta análisis para estudiar el consumo a través del tiempo, o elección del consumo intertemporal, entre dos períodos, presente y futuro.


356

INDICES DE PRECIOS Y LOS INSTITUTOS DE ESTADISTICAS Y CENSOS (INDEC)

En la práctica, los institutos de estadísticas como el INDEC suelen aplicar índices modificados, debido a la dificultad material de consi-derar índices que no distorsionen las comparaciones, según trans-curren los años y los cambios en los precios y en los consumos dejan desactualizada la canasta base frente a la canasta actual. Por ejemplo, el índice de Laspayres L = P1X0 /P0X0

Laspayres mide la canasta base E a los precios actuales (mn2). Su-poniendo que sube el precio de X, la nueva recta de presupuesto pasa de man1 a mn2: el equilibrio y consumos pasan del E a F, en la curvas de indiferencia U1 y U2 respectivamente. Si se compensa la renta inicial P0X0 por la suba de precios hasta volver a la canasta inicial, una línea de presupuesto sería paralela a mn2 por el punto E inicial:

P0X0 (P1X0 /P0X0) = P1X0 Pero esta línea de presupuesto sería tangente con una curva de consumo U3 mayor que la utilidad inicial U1 , evidenciando que el índice de Laspayres sobrestima el consumo o bienestar (en la

medida de la diferencia con la línea de presupuesto paralela que pasa por F2, tangente a U1en una canasta distinta a E).


357

Y

m

F2 F3

F E U3

F2 U1

U2 n2 n1 X Lo opuesto ocurre con el índice de Paasche P = P1X1 / P0X1

Paasche Mide la canasta actual F a los precios base (mn1). Si la renta base P0X0 se compensa con este índice: P0X0 (P1X1 /P0X1) = canasta en F2 La línea de presupuesto paralela a mn1 es tangente a U2 en F2, que es una canasta inferior a F: el índice de Paasche subestima los consumos o nivel de vida.

Las modificaciones que introducen los institutos de censos a estos índices para medir el nivel o costo de vida, responden mayormente al gran costo que implica la medición de consumos de los años ba-se, frente al menor gasto en las encuestas o mediciones mensuales de precios y cantidades; por lo que las bases se mantiene por 10 ó más años (los censos económicos en los años terminados en 4, serían aprovechados aquí para estos cambios).


358

TEORÍA ESTADÍSTICA DE LOS NÚMEROS ÍNDICE

Desde el punto de vista de la teoría estadística el análisis de los números índices es amplio. Siguiendo a F. Toranzos se exponen aquí los 12 índices, de precios y sus simultáneos 12 de cantidades. Unos tendrán sentido aplicados a algún problema específico, otros lo tendrán aplicados en casos diferentes. Como ejemplo, se supuso la realización de un estudio sobre la evo-lución del nivel de vida de algún sector de la población, caracteriza-do por el consumo de bienes importados. La primera tarea sería obtener la información. En el Instituto Indec se recopilan mensualmente muchos precios y cantidades de bienes, que utilizan para estimar consolidados sobre 1) Índices de precios al por menor; 2) Índice de precios mayoristas; 3) Índice del costo de la construcción; 4) estadísticas de importacio-nes mensuales; 5) estadísticas de exportaciones mensuales; 6) otros índices sectoriales diversos y también niveles de actividad del Producto Interno Bruto Nacional. Luego de averiguar cuales bienes importados serian representativos (con poca producción local) se definió un conjunto de 8 productos, conformado por bines de consumo perecedero (bananas y palmitos y diarios), bienes de consumo durables (sábanas, abrigos/camperas para mujer, lavarropas, aire acondicionado) y bienes de uso inter-medio (PC y automóviles- en realidad, sus autopartes-). Para cada familia de productos se investigó cual era el bien particu-lar con mayor volumen importado a fin de elegir aquel más importan-te de cada categoría, definiendo así 8 bienes, que INDEC y Aduana identifican con sendos números de nomenclador arancelario de 8 dígitos. Se adquirió una estadística anual con cantidades y valores


359

importados en el quinquenio 1998/2002 para los 8 productos identi-ficados por nomenclatura. Se volcaron luego a una hoja de cálculo las cantidades y los valores de cada bien. Una vez dispuestos los conjuntos de cifras encolum-nados en la hoja de cálculo se procede a calcular los 12 índices de precios y los 12 de cantidades, así como las variaciones anuales, que permitirían emitir finalmente unas breves conclusiones econó-micas sobre lo observado y (cerrando este ejemplo) opinar como evolucionó la calidad, estándar o nivel de vida de este grupo argen-tinos (a juzgar por esta muestra tan limitada de solo 8 productos seleccionados)

1. Índice agregativo aritmético simple, de precios y de cantida-des:

Este índice es algo primario y no posee la circularidad / reversibili-dad de otros índices posteriores, Aun así, permite observar en este ejemplo algunas conclusiones económicas generales (deterioro en los consumos de este grupo social en 2001 y 2002 y que cuando los precios son altos baja el consumo y viceversa).


360

El índice aritmético simple para precios tiene el inconveniente que pondera por los precios de todos los bienes, los cuales son aquí muy disímiles. En las conclusiones finales se hace referencia a este tema, al estudiar la evolución de los precios en dólares (solo visibles utilizando una escala logarítmica, para poder observar precios de centavos por unidad con otros de cientos de dólares por unidad). Igualmente el de cantidades, aquí muy disímiles.

2. Índice promedio aritmético de relativos:

Estos índices tampoco ponderan la distinta magnitud absoluta de los diferentes bienes y/o la de sus precios, respectivamente. Ade-más, estadísticamente no presentan la reversibilidad de otros índi-ces: no es posible tener idea del valor y magnitud de los consumos (canastas) de 1998 y 2002 aplicando el índice de precios o el de cantidades sobre ambas bases, debido a que no pondera por los cambios de cantidades consumidas. No obstante, permiten ver las conclusiones generales que confirman otros índices más elabora-dos: precios altos en los años iniciales y bajos en 2002, junto con consumos deprimidos en este año 2002.


361

3. Índice promedio geométrico de relativos

Estos índices tampoco ponderan la distinta magnitud absoluta de los precios y las cantidades de los distintos bienes (respectivamente disímiles en el conjunto de cada año). Sin embargo, es un índice reversible y aplicándolo a precios y cantidades es posible reproducir los valores y consumos de otros períodos. Para el presente caso, permite observar las conclusiones generales que confirman los de-más índices: baja de precios en 1999 y 2001, con una correspon-diente suba de las cantidades consumidas (lo cual es razonable según la ley de la demanda).


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4. Índice mediana de relativos

Es un índice ordinal, pero tiene la ventaja de que no es afectado por los valores muy chicos (nulos o negativos) ni por los muy grandes. No tiene la circularidad de los índices reversibles, pero resulta útil para casos como el presente, en el cual tanto la canasta de bienes con los valores de los precios incluyen cifras muy altas junto con otras muy bajas para algunos bienes. Aplicado a precios y a canti-dades confirma las conclusiones económicas generales: cierta baja de precios constantes (en dólares) y mayores consumo en los años 2000 y 2001 que en el inicio del período y en 2002.

5. Índice promedio aritmético ponderado de relativos

Estos índices ponderan las magnitudes absolutas de precios y de cantidades, respectivamente, aunque estos índices se ven afecta-dos por los valores muy grandes, distorsionando las conclusiones económicas en el presente caso (casi desaparece el consumo en 2002, exagerado la caída real producida).


363

6. Índice promedio geométrico ponderado de relativos

Estos índices elevan la variación de precios o cantidades a la res-pectiva cantidad o precio y luego sacan la raíz del orden que com-pensa esos productos. Si bien es un índice ponderado, presenta el inconveniente de que resulta afectado por los valores muy chicos (y nulos o negativos); justamente en el presente caso surgen inconve-nientes al aplicarlo a precios, ya que muestra valores nulos. Igual-mente, también distorsiona las conclusiones al aplicarlo a cantida-des, ya que subestima el consumo en 2002 (casi desaparece, lo cual es irreal: baja mucho pero no tanto; no desaparece totalmente).


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7. Índice de Laspeyres

Aplicado sobre precios, muestra la variación de precios actual ante la base multiplicada por el consumo base: sería como el costo actual de la canasta base... Sin embargo, no muestra así los cambios ha-bidos en las canastas actuales frente a la base. Aunque se conoz-can los precios actuales, si no se puede censar y no se conocen las cantidades actuales, este índice no resultaría adecuado. Estos índices de precios o de cantidades no son reversibles en el tiempo (por desconocer esas variaciones de las canastas actuales) El índice aplicado a precios muestra valores algo aumentados ini-cialmente, si bien confirma a tendencia a la baja de precios y con-sumos de cantidades altos en 2002-2001, frente a los años extre-mos, especialmente en 2002.

8. Índice de Paasche

El índice de Paasche muestra el valor de la canasta actual sobre la canasta actual a precios bases. Aplicado a precios sirve para indicar


365

algo así como la variación del costo de vida o importe monetario de los consumos de hoy frente a los precios de la canasta vieja. Como no pondera los cambios de consumos no es perfecto; no es reversible en el tiempo. Orienta a concluir que los precios han baja-do moderadamente mientras que las cantidades consumidas fueron altas en el bienio central 2000-2001.

9. Índice Ideal de Fisher, aplicado a precios y a cantidades

Aplicado a precios muestra el valor de la canasta base a precios actuales sobre la canasta base a precios base, por la cantidad ac-tual a aprecio actual sobre la cantidad actual por precios base (y recíprocamente para cantidades). Resulta ser así un promedio de aplicar Laspeyres y Paasche: la me-dia geométrica del producto de ambos índices. Observando el resul-tado en este caso se aprecia que influye bastante el índice de Las-peyres. Este índice ideal de Fisher es reversible en el tiempo, ya que es un índice combinado de los dos anteriores: respeta el criterio de circula-


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ridad ya que aplicándolo resulta igual la canasta base por la variación de precios como la canasta actual por la variación de precios en ese período, consecuencia de la ponderación completa que utiliza. Este índice ideal es homogéneo y proporcional: respeta ambas ca-racterísticas, aunque cambien las canastas o los relativos de precios (satisface las condiciones estadísticas referidas por F. Toranzos). En este ejemplo mostró una leve caída de precios en dólares junto con otra caída de consumos en 2002.

10. Índice de Edgeworth-Marshall para precios y cantidades

Aplicado a precios toma el precio actual por el promedio de la ca-nasta base más la actual dividiendo esto por el precio base por simi-lar promedio de canasta base más actual. Aplicado a cantidades usa el promedio de ambos precios por la can-tidad actual dividiendo por ese promedio por la cantidad base. Mostró en este caso una leve caída de precios en dólares y una muy marcada caída de consumos en 2002 (coincide con la ley general


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observada sobre la demanda, salvo en 2002, ya que bajan los pre-cios y también los consumos (orientando a explicar esta situación desde otro punto de vista, por el retroceso en los ingresos y produc-ciones locales generalizadas durante ese año 2002).

11. Índice de Walch para precios y a cantidades

Aplicado a precios muestra el precio actual por el promedio de la canasta base y actual dividido por el precio base por similar prome-dio de canasta base y actual. Implica conocer no solo los precios sino las cantidades actuales, lo cual define su aplicación para casos en los que se dispone de estos datos (no es el caso del Indec cuando elabora su índice de precios al por mayor, ya que los censos nacionales con cantidades produci-das, consumidas, etc. no se hacen mensualmente sino cada 10 años; los años terminados en 4...).


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12. Índice de Drovish-Bowley para precios y cantidades

Resulta ser el promedio simple o aritmético de Laspeyres y Paas-che. En nuestro caso, el valor de la canasta base es mayor que el de la canasta 2002, evidenciando que cayeron los consumos (un deterioro del nivel o estándar de vida, ante la paralización de pro-ducciones y merma de ingresos).


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A modo de ejemplo de informe final sobre este análisis puede decir-se que el estudio se refirió a la evolución del estándar o nivel de vida de un grupo social dado en 1998-2002. Se observaron variaciones en los precios y en las cantidades con-sumidas año a año. Los datos son originarios del Indec y la Admi-nistración Nacional de Aduanas, tanto en las canastas consumidas como los importes monetarios en pesos, los cuales se convirtieron a dólares utilizando el tipo de cambio vendedor Banco Nación. Si bien casi todos los índices confirman la ley de la demanda -bajos consumos en períodos de altos precios- los índices combinados de Fisher y otros muestran también una caída muy importante del con-sumo 2002, que se explicaría por la retracción general de la activi-dad nacional.


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Adicionalmente se graficó la distribución anual de bienes consumi-dos, destacándose las franjas correspondientes a 2000 y 2001 como las más amplias (mejores).

También se dispuso en otro gráfico la composición de la canasta de vida año por año, mostrando que se han mantenido (o aumentaron relativamente) las cantidades de productos perecederos (bananas, palmitos) en desmedro de otros productos durables cuyos consu-mos bajaron abruptamente.


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Finalmente, se graficó en escala logarítmica la evolución de precios absolutos en el quinquenio, observando tendencia a la baja en cin-co de ellos y mantenimiento o leve alza en solo un bien.


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CAPÍTULO 7 -

TEORÍA DEL EQUILIBRIO DE LA EMPRESA

MAXIMIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN

Siendo la función de producción Q = 2L2C2, si se dispone de un pre-supuesto M=$60 y los costos de los factores X e Y en el mercado son PL =$1 y PC = $2, se calcula la producción máxima de un bien final Q en unidades con la misma herramienta conceptual que en el enfoque de la demanda (ya sea con derivadas o utilizando la combi-nada de Lagrange). Tanto en Marshall como en Pareto el método matemático es el mis-mo en ambos enfoques, por ejemplo: Q'L / Q'C = PL/PC y con M=60.

a) 4LC2 / 4L2C = 1/2; o bien 8C = 4L; o sea, C = 1/2L # b) además debe ser Pl(L) + Pc(C) = M: L + 2C = 60

y según # resulta L+2(1/2L) = 60, con: L=30; C=15 y Q=405.000 kilos. Igualmente con la aplicación Solver, pero para funciones "no" linea-les. Se presentan los datos básicos en una hoja Excel, con celdas para los requerimientos de ambos factores; para sus precios o cos-tos; lo gastado en cada uno y para la producción máxima: la celda objetivo B5 contiene la fórmula con la función de producción. En D4 estará el gasto total en factores B4 + C4. En Herramientas > Solver> se anota la celda objetivo; se elige Maxi-mizar; las celdas cambiantes B2yC2 en las que Solver calculará los requerimientos de factores. Sujeta a las siguientes restricciones >


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Agregar y presenta una pequeña ventana que permite anotar “D4” a

la izquierda; “ ” en el centro y “=60” a la derecha (el presupuesto).

Finalmente, luego de aceptar se abre la ventana final para Utilizar la solución de Solver y Aceptar

Al no haber entrado en Opciones para modificar se continúa traba-jando en Solver sin Adoptar el modelo lineal, ya que esta función de producción no es lineal.


374

C 15 E Q = 405.000 kilos 30 L

DUALIDAD

MÍNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIÓN DE 200.000 KILOS

Manteniendo la técnica y los costos de los factores en el mercado, se busca saber cual sería el mínimo costo para producir exactamen-te Q=200.000 kilos del bien final:


375

Q = 2L2C2 = 200.000 y siendo # C = 1/2L resulta 2L2(1/2)2L2 = = 200.000; de donde 1/4L4 = 200.000, o sea, L=25,15 de modo que C=12,6 según la relación # vigente. El costo de esta producción será M= $1(25,5) +$2(12,6)=$50,30. Con Excel, se escriben los datos con la misma disposición en un hoja de cálculo. Al abrir Herramientas > Solver se elige la celda ob-jetivo, ahora D4 y seguidamente se pulsa en Minimizar; luego las mismas celdas cambiantes B2 y C2. En Sujeta a las restricciones > “se Agrega” la restricción ahora de producción (antes de presupuesto): B5 = 200000

Con Resolver y Utilizar la solución de Solver, se calcula el presu-puesto mínimo necesario para esa producción de 200.000 kilos (así como las cantidades de las demandas derivadas de factores produc-tivos L y C). Obsérvese que para producir la mitad que antes el presupuesto no bajó a la mitad, debido a que la función de producción no tiene ren-dimientos constantes sino crecientes (según la suma de exponentes de la función de producción mayor que uno), de modo que al bajar el


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ritmo productivo el gasto no se reduce proporcionalmente (no es programación "lineal").


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TEORÍA DE LOS COSTOS CON EXCEL

En una hoja de cálculo se introducen las fórmulas de cada concepto de costo en la línea 2, como se muestra en el ejemplo. Se copian hacia abajo y surgen evidentes los puntos relevantes: mínimo costo medio E6; mínimo costo medio variable F4; costo medio igual a cos-to marginal con X=4,6 (costo marginal o aumento del costo total por producir una unidad más de X; la derivada del CT= CT').

La gráfica se obtiene con: Icono de gráficos > Dispersión > etc. y si se prefiere, eligiendo en Formato de Ejes la escala logarítmica para la ordenada.

MINIMIZACIÓN DE COSTOS CON SOLVER

A partir de esos datos es posible pedirle a Herramientas > Solver> que minimice, eligiendo como celda objetivo alguna celda del costo medio, por ejemplo E7; celda cambiante la correspondiente de las X, A7; tildar Mínimo; en Sujeta a las siguientes restricciones A7>=0, y que el costo medio sea igual al costo marginal, E7=H7; con Resol-


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ver y Aceptar calculará el valor exacto X=4,65871 que minimiza el costo medio total (nivel óptimo de explotación en el largo plazo; o en el corto plazo punto crítico, por ser el umbral de pérdidas si los pre-cios llegaran a bajar de ese importe).

RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES

DOS SOFAS SIMPLES MÁS UNO TRIPLE

Una fábrica de muebles vende juegos de sofás. Sus costos de pro-ducción para sofás simples son $ 70 variables más $60 fijos; para los sofás triples son $ 200 variables más $ 150 fijos; y su capital de trabajo son $10.000. Necesita minimizar el costo de producir la máxima cantidad posible de juegos. La restricción adicional es, en este caso, respetar la pro-


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porción dos simples más uno triple (-2+1= 0 es la restricción plan-teada según la fila 3 de la hoja Excel). La otra restricción es el capi-tal de trabajo para insumos: 10.000 menos costos fijos = 9.730, dis-ponibles para costos variables, según la proporción mencionada, que se muestra en la fila 2 de la hoja Excel.

La función Excel para matriz inversa ayuda a resolver el problema: se pinta desde A5 hasta B6 y se escribe “MINVERSA(A2:B3)” pu l-sando luego Ctrl+Shift+Enter como muestra la imagen. Seguidamente se multiplica la matriz inversa por el vector de las dis-ponibilidades: se pinta D5 y D6 y se escribe “mmult(A5:B6;D5:D6)” y Excel calcula la proporción máxima de juegos de sofás, 29 triples más 57 simples, que es posible producir con los recursos disponi-bles.


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PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA

En una dieta alimenticia interesan los costos, los requerimientos mínimos y el nivel de calorías. Se sabe que para mantener el peso adecuado alguien de consumir 1350 kcalorías y un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr de calcio, 200 mgr de proteínas y 150 mgr de minerales. Dada una tabla de contenido de los alimentos y su costo formule el programa lineal entero que optimiza la dieta. Una vez volcada la tabla y hecho el cuadro resumen en la hoja de cálculo, al ingresar a Solver se puede elegir minimizar el costo e “Integer” (entero) como restricción ( B6:B11=Integer). Las otras

restricciones hacen a cumplir con los requerimientos mínimos y con el tope de calorías. En las opciones se tildó Adoptar el modelo lí-neas y Adoptar no negativos para las cantidades de alimentos. Al resolver Utilizando la solución de Solver también se pueden pintar los tres informes usuales con los resultados. Al haber elegido Integer como restricción solo se consideran uni-

dades enteras para las celdas cambiantes B6:B11 y esta optimiza-ción se cumple con el costo mínimo de $57 .


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(Utilice Ver o Vista > Zoom > 200% para leer bien la imagen)

PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS

El problema de la mochila es otro característico caso de programa-ción entera. Consiste en llenarla con objetos cuyo peso se conoce y a los que se le asignó determinada valoración (ambos, peso y valo-ración positivos). Con una capacidad limitada en la mochila el pro-blema consiste en escoger aquellos objetos (enteros) que maximi-cen la utilidad sin exceder aquella capacidad. En el siguiente ejemplo la función objetivo a maximizar incluye en C10 la valoración de cada objeto. En C11 se anotaron como fórmula las restricciones sumando los pesos de cada objeto; y se agregó la condición C11<=20; también se agregó en Sujeto a las condiciones


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que los cuatro objetos sean enteros (Integer) y no negativos (esta

condición puede tildarse en las opciones junto con estimación li-neal). Solo se transportan 18 kilos en 6 unidades de X2 por que no pue-den incluirse fracciones de alguna; y la utilidad máxima es 54 uni-dades.

(Utilice Ver o Vista > Zoom > 200% para leer bien la imagen)

PROGRAMACION BINARIA

En un problema similar al anterior puede incluirse la condición de considerar las variables como elementos binarios (0 ó 1) tildando en “Sujeto a las restricciones” la condición binario; es el caso en que

las variables a incluir no son divisibles, repetibles (replica-bles).También se pueden plantear casos en que algunas variables sean conjuntas o que alguna sea mutuamente excluyentes de algu-na otra.


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En este caso la utilidad máxima bajó a 35; se transporta una unidad de X1, otra de X2 y otra de X4, que pesan 20 kilos; la utilidad máxi-ma bajo a 35 por que no pueden repetirse varias unidades del mis-mo bien. Además, combinando fórmulas en las celdas con las posi-bilidades que incluye “Sujeto a las restricciones” se pueden introdu-cir diversas restricciones binarias (opción 0 ó 1) para alguna o varias de las variables.

OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO

La solución tradicional de problemas con solo hasta tres variables implicaba recurrir al análisis deferencia (análisis marginal, ilustrati-vo). Aun con esta reducida cantidad de variables el proceso resulta-ba largo y engorroso. Excel y su macro Solver permiten estandari-zar este tipo de problemas (hasta 16 variables; lógicamente dando por conocido este análisis marginal).


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Una empresa produce tres bienes (A, B, C) con insumos que ad-quiere mensualmente a otro productor, según coeficientes técnicos que se indican. Los insumos totalizan 20.000 kilos por mes a $/k 2,50. Los costos fijos son $80.000 mensuales. Los costos variables de conversión ascienden a $240 por hora máquina y se trabaja 25 días al mes en dos turnos de 8 horas. Optimizar la producción con-siderando que la empresa tiene por 5 años dos contratos imposter-gables por las cantidades que se indican.

(use Ver o Vista > Zoom 200% para ver los detalles) Se volcaron los datos en la hoja de calculo, construyendo las formu-la correspondientes para la cuantificación de los costos y de los in-


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gresos según el cuadro. En la celda objetivo B30 se maximizan los beneficios y se seleccionó como celdas cambiantes B23:D23 para que Solver calcule ahí las cantidades que optimizan la producción y repercuta en las fórmulas de costos e ingresos. Como la empresa tiene contratos ineludibles las cantidades a opti-mizar son menores que la demanda total disponible; no obstante en el calculo final de beneficios se consideran tanto las producciones para contratos como las de los tres mercados remantes. Las restricciones del modelo implican no superar los insumos dispo-nibles ni la demanda remanente; al ingresar en Opciones se tildaron Adoptar modelo lineal y también No negativos.

Como en todos los demás casos, el archivo Excel con este ejemplo muestra mejor a los interesados la interrelación en cada celda (se-gún las fórmulas del cuadro) con las cantidades seleccionadas por Solver.


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PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO

Supóngase una empresa que preste servicios continuados las 24 horas durante todo el año. Su personal trabaja 8 horas diarias, in-gresando en 6 turnos cada 4 horas y no se trabajan horas extra. Las dotaciones mínimas requeridas son las siguientes restricciones. Los jornales varían según los turnos del cuadro. Para minimizar el costo salarial sujeto a las restricciones se plantearon dos hojas con diferente distribución de los cálculos. En la primera se tiene en cuen-ta que la jornada de 8 horas permite que en cada turno pueda haber “presente” personal del turno anterior, por ej. i16 = i14+n14.


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Al abrir Solver se marcó como celdas cambiantes a los turnos i8:n13. Las restricciones i16:n16 >= i18:n18 y que las celdas cam-biantes sean positivas y también que sean enteros (integer). La función objetivo es la suma-producto de los jornales por los pre-sentes, con $1208 de mínimo costo.

En esta segunda presentación se adoptó la sugerencia del archivo de las muestras Excel incluido en el Office de Microsoft. Se dispuso matricialmente la condición de personal presente del turno anterior.


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Las celdas cambiantes de la solución permiten cumplir con las res-tricciones i4:i9 >= que la dotación requerida. También permiten la suma producto por los jornales que figura en la función objetivo, con un mínimo costo de $1208.


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Al abrir Solver se establecieron como celdas cambiantes c10:h10 y se agregaron como restricciones que esas celdas cambiantes fue-ran enteras (int) y no negativas. Igualmente que el personal no fuera menor que el requerido. En ambas presentaciones se tildó adoptar la solución lineal (y no negativo). Finalmente esta siguiente es la presentación de Microsoft Excel para el ejemplo de Muestras.xls sobre la programación del personal de un parque. Su presentación matricial atiende a mostrar como cada empleado trabaja cinco días semanales y tiene dos feriados;siendo lo demás parecido.

(use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles)

EQUILIBRIO EMPÍRICO CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL

La teoría económica explica el punto de equilibrio de la empresa maximizando el beneficio. Se procede conceptualmente y desde funciones y se suelen aceptar las explicaciones, no obstante que en la empresa no existen funciones sino solo series históricas de venta y compra de insumos.


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Se aceptan las explicaciones teóricas y el criterio de óptimo (ingreso marginal igual a costo marginal y simultáneamente crecimientos de éste mayor que el del ingreso marginal; es decir máximo B si B‟= 0 y B‟‟ <0)) Si fuera necesario demostrarlo empíricamente, seria necesario cal-cular la función de demanda Px; luego el ingreso total IT =Px (X); así como el ingreso marginal, IT‟. En los costos sería necesario ajustar la serie del costo medio histó-rico a una función cuadrática (parábola invertida, tipo U); luego ob-tener el costo total como el producto CMe(X); y finalmente el costo marginal C‟. Igualando I‟ = C‟ se calcula la cantidad X que optimiza la operatoria de la empresa y maximiza su beneficio. Solo mediante una hoja de cálculo como Excel se facilitarían estos cálculos:

A) AJUSTE LINEAL DE LA DEMANDA

En este ejemplo se quiere explicar como a partir de las estadísticas reales de venta se obtienen precios y cantidades de, por ejemplo 30 o más meses. Mediante Excel se efectúa el ajuste lineal X = a – bP, estimando los coeficientes que se muestra en D4 a D6 y armando la ecuación de ajuste en C2, para copiarla hacia hasta C9.


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Siendo la demanda X = 7.98 –0,99P, se despeja P = 7.98 –0.99X. Así, el ingreso total, que es precio por cantidad, resulta: IT = (7.98 –0.99X)X = 7.98X – 0.99X2; y el ingreso marginal es IT‟ = 7.98 – 1.98X, que luego se utilizará para igualar con el costo marginal.

B) AJUSTE PARABÓLICO DEL COSTO MEDIO

Los registros históricos, reales, con costos medios y cantidades pro-ducidas permiten efectuar una ajuste cuadrático y encontrar la pará-bola que minimiza los desvíos entre los datos y la parábola de ajuste en forma de U. Bajo ritmo de producción, con insuficiente reparto de costo fijos, im-plica costos medios elevados; igualmente producir a mayor ritmo que el diseñado para el equipo implicaría subir los gastos de mante-nimiento y reparaciones, aumentando el costo medio y explicando así la forma usual en U de éste. El método de mínimos cuadrados requiere el siguiente cuadro de trabajo, en el cual X son las cantidades e Y los costos medios histó-ricos. En I2 se escribe la función de ajuste, con “referencias absolutas” (con F4 o $ ) a los coeficientes de la parábola obtenida más abajo.


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Aplicando el método de Sarrus y de Cramer, se calculan las ecua-ciones formales y se resuelve con Excel los determinantes y el Hes-siano, según se muestra en la imagen. Cabe aclarar que la función Excel para calcular determinantes es “=mdeterm(rango)” y así también se calculó el Hessiano en N13. Pero para calcular los tres coeficientes A, B, C del ajuste es necesa-rio dividir cada determinante ∆ por el Hessiano, del modo como se muestra en N17. Con A, B, C es posible conformar la parábola de ajuste que ilustra la fila 20 y se calcula en 12 hasta 18 (imagen anterior).


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Falta comprobar que el ajuste cuadrático sea bueno, calculando el coeficiente de correlación R y determinación R2

. Se obtienen en J38, como cociente de las sumas de los cuadrados de "diferencias" teóri-cas sobre las reales.


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Obtenida la función de costo medio CM = 1,8+15X-0,13X2, se obtie-ne el costo total como el producto CM(X): CT = 1,8X +15X2 - 0,13X3. El costo marginal es la primer derivada CT‟ = 1,8 +3X -0.39X2. Ahora es posible calcular el nivel óptimo de la empresa, maximizan-do beneficios B= IT–CT. El máximo beneficio implica que se cumpla B‟ = 0 y B‟‟<0. B'= 0.30X2 -5X +6,2 =0; sus raíces son X =1,4 y X =0,1; sin embar-go, solo con X=1,4 se cumple la segunda condición B''<0. La empresa maximiza beneficios produciendo 1,4 unidades; su pre-cios de venta es P=$6,61; su ingreso total $9.21 y su costo total $5.07 y su beneficio $4.15.-

EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON SOLVER

En el punto anterior se ha calculado el equilibrio empírico con la hoja de cálculo Excel, aplicando también diferenciales. Adoptando esas funciones de demanda y costos, se puede calcular el equilibrio, sin cálculo diferencial, directamente con Herramientas > Solver > y pidiéndole en Parámetros de Solver que Maximice la celda objetivo (A9), cambiando las cantidades X (A1) y sujeto a las

restricciones Img=CMg, o sea (A5)=(A7); así como I''<C', o (A6) (A8) de la siguiente imagen:


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MÉTODOS CIENTICOS:

Formas de estudiar; informes profesionales; métodos científicos. Tres temas sobre métodos para adquirir, para presentar conocimientos y para demostrarlos, que se refieren al modo de estudiar; a las presen-taciones metódicas de “informes”, exámenes o trabajos prácticos; y a la demostración mediante el razonamiento lógico científico. Temas muy densos, que se podría resumir (sin rigurosidad) como material de al-guna ayuda para orientar a los alumnos.

A) FORMAS DE ESTUDIAR

René Descartes (El Discurso del Método, 1600) fue la fuente clásica sobre cual era la manera de ordenar el proceso de adquisición de co-nocimientos. Sin releer ahora su trabajo digamos aproximadamente, que para estudiar proponía seguir estos pasos: subdividir el material en tantas partes como sea necesario, para poder analizarlas individual-mente; efectuar extensos listados con ellas, a manera de índice que permitan ir ordenando y reuniendo la información. Estos listados de temas (tipo índice) permitirán la agrupación por temas y finalmente lle-gar a una síntesis manejable, etc. Por una parte, listados y el análisis, para poder estudiar ordenadamen-te. A continuación la agrupación y la síntesis. Entonces, para un alumno de economía que debe hacer trabajos prácticos o rendir en un par de horas exámenes sobre temas expuestos, se trataría en la prácti-ca de listar contenidos y analizar hasta poder sintetizarlos (a libro ce-rrado) en pocas páginas. Adicionalmente, como los tiempos cambian hoy se impone el estudio mediante Internet y uso de PC. Muchas presentaciones son archivos de solo lectura (que no se pueden copiar y pegar) con extensión .PDF. Las PC modernas traen lectores de estos archivos .pdf, o bien el Office y también sigue vigentes versiones libres de Accrobat Reader. Para


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estos archivos es muy importante buscar por palabra clave, mediante Cntrl + F (en Word usamos Cntrl + B)

B) PRESENTACION TIPO INFORME PROFESIONAL

El modo de presentar o hacer los exámenes o trabajos prácticos es mediante informes profesionales; que en principio, deben reunir cinco partes: 1) identificación, lugar, fecha, tema. 2) introducción de un párrafo, con los supuestos necesarios y con el tema a exponer (algo como “diga que va a decir”), 3) desarrollo o explicación detallada de los principales pa-sos demostrativos ( el “dígalo”), pero en una forma que lo entienda todo lector que no tenga antecedentes sobre el tema ; sin dar por so-breentendido absolutamente nada importante, para presentar una de-mostración rigurosamente documentada y vinculando por ejemplo las ecuaciones con los (supuestos) hechos reales de su tema . 4) conclu-sión de un párrafo, con lo relevante expuesto, lo obtenido o una idea clara de lo que ello es o no es (un “diga que dijo”). 5) fuentes de infor-mación, las “primarias” que expusieron el tema, pero muy detalladas, con autor, obra, editorial, año y de ser posible número de pagina o pá-rrafos concretos. (evitando referencias vagas a solo el autor u obra). Si fueran de Internet, debe figurar específicamente la dirección URL de la página concreta con el tema y no solo la referencia a un sitio web o su página de inicio, que obligaría a posterior navegación para ubicar el punto.

C) METODOS DE DEMOSTRACION

En cuanto a los métodos científicos, para la demostración rigurosa en el ámbito económico, hay que retrotraerse al análisis clásico aristotéli-co, la metafísica causal: de un antecedente verdadero llegar a un con-


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secuente también verdadero mediante razonamiento lógico (”todos los hombres son mortales, Sócrates es hombres, entonces Sócrates es mortal”…. O según descartes “cogito ergo sum”, pienso luego existo). Desde el siglo pasado simplificamos reconociendo este planteo bajo dos situaciones: las deducciones matemáticas (lógica pura, sin conte-nido real, económico) y la inducción estadística (razonamiento lógico para los hechos sociales) . En economía se recurre a la deducción matemática (aquí aplicada) cuando se quiere demostrar la optimización, la maximización o minimi-zación. Se habla de una sola, o todo más dos variables: maximizar el beneficio, optimizar la producción, minimizar el costo, mediante el aná-lisis diferencial. La derivada se define como U`x = DU/Ux, variación de una función U (utilidad, producción) si varia x (un bien o un factor) un infinitésimo. La condición de máximo consiste en igualar a cero la primer derivada (para despejar la cantidad) y luego comprobar que es máxima si la segunda derivada es negativa (o viceversa para un mínimo). Por ana-logía con una curva sinusoide en un primer cuadrante, con una punto de inflexión, un máximo, otro punto de inflexión, un mínimo, etc. Igualar a cero la primera derivada es ubicase en uno de esos puntos de giro o cambio; con la segunda se ve si un infinitésimo después la curva o fun-ción crece, desciende o es nula (inflexión). Con dos variables, se sigue esto pero con la segunda ley de Gossen, expuesta por Marshall o por Pareto, como : a) proporción entre la utili-dad (o producto) marginal sobre el precio, igual en ambos bienes y b) agotar el gasto del presupuesto dado: Px(X) + Py(Y) = M Para los casos de optimización con más de 4 o 5 variables, estudiamos en microeconomía varios procedimientos: el cálculo diferencial con la función combinada de Lagrange hasta cuatro variables (por ejemplo dos variables reales y dos restricciones), mediante sustitución de las


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variables landa 1 y landa 2. Algo quizás más práctico y para hasta 5 o 6 variables, son las tablas “Simplex” de programación lineal. Igualmente mediante el uso de matri-ces, con la matriz inversa y el producto de matrices para obtener la matriz “insumo-producto” y el resultado total directo e indirecto en cas-cada decreciente. Excel simplificó la programación lineal con su macro Solver hasta 16 variables. Por otra parte, Excel también tiene funciones simplificadas calcular matrices determinantes: mdeterm( ; ); para invertir matrices =minversa( ; ); y para multiplicarlas: y =Mult.( ; ), mediante las cuales es posible resolver sistema de por ejemplo 1700 variables. En cuanto al otro método básico, el de las inferencias estadísticas, o inducción, Excel incluye una muy útil y simplificada utilidad, a la que se puede acceder de varias formas, como por ejemplo, en el menú He-rramientas; Análisis de datos; regresión; para casos de correlación múltiple, con varias o muchas variables independientes y otra depen-diente (trae un ejemplo de estimación de la producción de helados, según las series históricas de de calor, lluvia y turistas; que es posibles correlacionar y hacer la estimación siempre que alguna institución las pronostique para el año siguiente. Esta macro Excel calculará los coef i-cientes de cada variable independiente, para poder armar luego la ecuación del ajustamiento o estimación. También aportará los paráme-tros para estudiar la bondad del ajustamiento, análisis de la varianza, o “anova”. O sea, el alumno tiene aquí un esbozo de método racional para estu-diar. También tiene el modo de presentar profesionalmente sus traba-jos prácticos y exámenes. Y finamente, se le comentan cuales son los dos métodos científicos para demostraciones rigurosas: deducción e inducción, que se practican durante este curso. En microeconomía, deducimos maximizaciones, generalmente con uno


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o dos variables, rigurosamente; además explicamos la vinculación de esto con algún hecho económico supuesto (en un informe) . También optimizamos producciones u otras situaciones con muchas variables recurriendo a las funciones de Excel, Solver, matriz inversa y multipli-cación; y como trabajo de integración todo alumno resuelve en Excel un mismo ejemplo de cuatro variables mediante 4 a 6 métodos alterna-tivos. Por otra parte, también presenta en Excel alguna estimación de funciones mediante la correlación múltiple de Excel (la inferencia o in-ducción estadística comentada).

DUDAS SOBRE MICROECONOMIA Y SUS METODOS CIENTIFI-COS:

Desde siempre y al menos hasta 1980, cuando se fue conociendo Lo-tus y especialmente luego que en 1994 se usó Excel (con sus funcio-nes para correlación múltiple con “anova” (inducción); las de regresión; las de programación lineal; y las de matrices, matriz inversa, etc (de-ducción)) algunos reconocieron que el sistema científico de la econo-mía clásica y moderna era inaplicable o “puro verso”, y solo mediante computación (Excel) era efectivamente practicable en una empresa. Antes solo tenía sentido lógico en una realidad artificial limitada a dos o tres variables, quizás útil para definir algunas ideas básicas (análisis marginal; contribución marginal) pero aun así poco aplicable a una em-presa. Algunos vieron que todo cambió con la computación, especialmente con Excel, por que simplificó y especialmente popularizó tres cosas: 1) como hacer o construir funciones, con varias variables independien-tes (correlación múltiple con análisis de variancia o anova, con su ar-chivo del Office sobre la estimación del Productor de helados, que tiene series de 30 períodos incluyendo helados, lluvia, calor y turistas llega-dos al balneario). Excel también simplificó muchas otras aplicaciones y


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distribuciones sobre estimación. (método: inducción) 2) Solver para programación lineal o no lineal, tildando pocas opciones (método: deducción) 3) calculo de una matriz (determinante) con =mdeterm( ;), matriz inver-sa con =minversa( ; ), matriz multiplicar con =Mult.( ; ). (deducción) Entonces, el rigor científico ya es hoy realmente aplicable a lo cotidiano de cualquier empresa. El rigor científico, pasa en la “economía de la empresa” por la cuestión de los métodos científicos básicos rigurosos (inducción estadística, para la estimación; y deducción matemática, para la optimización;… ambos con contrastación con la realidad). Y la aplicación en la empre-sa, en forma generalizada, depende mayormente de Excel. ¿Dos dudas sobre microeconomía?

PRIMERA ) ¿Hace falta gran conocimiento previo de matemática?

Coloquialmente, para no iniciados se aclara que hay una trampa (ver-so) clásica: esconder /dificultar (a los indios) las cosas (y la verdad en estas explicaciones), ya que así era más fácil, y habría pocos críticos (caciques), o quizás por que se buscaba solo figurar y simultáneamente que nadie pudiera criticar las cosas hechas por los supuestos expertos. Por ejemplo se inundaba con reglas y casos de derivación etc. , segu-ramente necesarios en física o química, pero no en economía, donde por ejemplo, solo tiene sentido el primero de los cuatro cuadrantes. Igualmente con la programación lineal Simplex (con dos paginas se reemplazó aquí profusión de textos superfluos). También se habló siempre de resolución de sistemas NxN, pero ningún texto incluyó re-suelto un sistema de 4x4 ni mayor. En estos cursos se resuelven aquí casos con muchas variables, con Solver. Y con matrices mediante Ex-cel se resuelven casos con al menos 1700 variables). Pero lo importan-te es que ninguna de estas aplicaciones requiere más de una hora de dedicación básica.


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SEGUNDA ) Para que sirve todo esto de los métodos? , en qué

cosas concretas se aplica el rigor de la ciencia económica en una em-presa? Veamos algunos ejemplos de aplicación, en las cinco áreas básicas de cualquier empresa (incluida su dirección o gerencia general): Las 5 áreas se definen aquí según el ciclo empresario, (tal como por ejemplo se hacia en la siderúrgica Somisa que competía eficientemente exportando masivamente a EEUU y otros países y enfrentaba local-mente la competencia de importaciones de sus productos): El ciclo anual comenzaba con el pronóstico cuantificando el mercado; luego el plan de compras de materiales (restando las existencias); lue-go el plan de producción (restando las existencias de semiterminados); finalmente el plan de ventas, promoción, marketing, expedición…. Una de las tareas en 1971-1993 de quien escribe era coordinar para presentar anualmente el estudio de mercado (demanda/oferta); otra era coordinar la defensa de la “competencia”, local y de las importaciones, con pormenorizado seguimiento de precios y especialmente antidum-ping; así como la defensa en la competencia ante las autoridades de los EEUU y la CEE; para lo cual resultaban imprescindibles los cono-cimientos microeconómicos según el programa actual de la FCE-UBA. Es usual en las empresas, esta actividad en diversas áreas: 1 Ventas: por ejemplo, optimizar el beneficio (Ben= ingresos–Costos) eligiendo la mezcla óptima entre una serie de bienes, ya sea con pro-gramación lineal con Solver o con matrices para hasta 1700 variables con Excel. 2 Compras: por ejemplo minimizar el costo eligiendo la mezcla óptima entre una serie de insumos; minimizar el inventario óptimo. 3 Producción: por ejemplo producción óptima eligiendo alguna mezcla


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de autos y motos; optimizar rutas de envío desde varios depósitos. 4 Finanzas: por ejemplo canasta óptima de bonos o de acciones; VAN y TIR de proyectos. 5 Personal: plan rotativo de personal, vacaciones, etc. (Excel trae 5 “muestras” de aplicaciones de programación con Solver, de la gran variedad posible) Sigue esto valiendo aunque se utilice el criterio de organización de M. Hammer sobre “reingeniería” y el “gerente de producto”, o supuesto experto que conoce todo sobre un producto y reemplaza a los tradicio-nales gerentes (aunque si no vende suficiente se lo sustituye por otro), junto con la útil tercerización de servicios (pagos y cobros a través de depósitos en bancos; suprimir papeleo de pagos y cobros con email o internet y transferencias bancarias online; etc. y se entiende que en finanzas o contaduría la racionalizaron con las PC y Excel fue muy im-portante.

ARCHIVO CON 6 METODOS:

La inferencia estadística (inducción científica), con suficiente análisis de la varianza (anova) es el método básico para las disciplinas sociales, como la economía. También se utiliza la modelación de cualquier asunto económico me-diante el método (deductivo) de la matemática; además de procedi-mientos específicos diversos según los asuntos. En cuanto al método básico deductivo, interesa especialmente el

proceso para modelar situaciones de máximo y/o mínimo. En la prácti-ca las situaciones pueden implicar numerosas variables y restricciones (condiciones, que se procesan como variables adicionales). Sin embargo, la idea lógica se plantea con una variable (y una condi-ción, ya que salvo en filosofía o matemática pura no tiene sentido ha-blar sobre los infinitos).


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Pensando en el dibujo de una onda sinusoide en un primer cuadrante, en la ordenada se mide la variable y en la abscisa las ondas durante un tiempo. Si se estudia la amplitud durante solo el primer período más un infinitésimo se puede estudiar el máximo o mínimo relativo a solo ese primer período. La variable crece al principio muy aceleradamente, llega a un punto de inflexión y luego crece menos aceleradamente, hasta que en el máximo deja de crecer y luego decrece rápidamente, hay otro punto de inflexión y pasa a decrecer más lentamente hasta llegar al mínimo (rápido o len-to, proporcionalmente con la abscisa). En el punto de máximo, en el de inflexión y en el de mínimo el creci-miento infinitesimal es ahí nulo. E interesa conocer como cambia esta variable un infinitésimo a la derecha de estos puntos. Para ello el análi-sis diferencial se ubica en uno de estos puntos (de giro o cambio) ha-ciendo la primer derivada igual a cero. Luego, volviendo a derivar esta primera derivada se observa el resultado de la segunda derivada, para saber si el punto de giro era un máximo, un mínimo o un punto de infle-xión: 1ra=0 y 2da.<0 un máximo; 1ra.=0 y 2da.>0 un mínimo; 1ra.=0 y 2da.=0 un punto de inflexión (de giro o cambio). Cuando se estudian dos variables y alguna restricción, se siguen varios procedimientos alternativos, que guardan analogía con este criterio para una variable (y una restricción). Con dos variables reales y una restricción (3 en total), como consumir o producir dos bienes dado un presupuesto, se utilizan el análisis dife-rencial de Gossen, Marshall o Pareto: resolver a) igual cociente utilidad marginal sobre precio del bien (o insumo)en ambos, juntamente con b) agotar el gasto del presupuesto.


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También según las dos condiciones de la función combinada de La-grange. La combinada suma la función de utilidad (o producción) más la restricción de presupuesto multiplicada por una variable artificial u operador landa (también 3 en total). Sus dos condiciones son: FOC) igualar a cero las primeras derivadas de estas 3 variables; despejar landa por igualación de dos de ellas y reemplazar en la tercera para calcular ambos bienes. SOC) formar un determinante con las derivadas segundas del sistema anterior. Si este determinante (Hessiano) es positivo indicará un máximo; si es negativo un mínimo; si fuera también nulo indicaría un punto de inflexión. Para más de dos tres variables, cambia algo este criterio según el Hes-siano; pero en la práctica no se puede utilizar Lagrange sino que se recurre a Solver de Excel o matrices con Excel para los casos con mu-chas variables y restricciones. Excel procesa fácilmente sistemas de muchas variables, cuantificándo-las y calculando también los precios sombra (remuneraciones). Los operadores “landa” de Lagrange son el valor del producto marginal (uti-lidad marginal), precio sombra o remuneración de cada factor, etc. que también se obtienen con programación lineal según otros procesos equivalentes. Resolver el caso de dos variables más dos restricciones es interesante, ya que permite ver la analogía entre los 5 ó 6 métodos principales. Además ilustra los procesos con Solver y con matrices mediante Excel que sirven para resolver efectivamente problemas con muchas varia-bles.


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SEIS METODOS EQUIVALENTES

(UN CASO CON 12 RESULTADOS IGUALES DEL PRIMAL Y DEL DUAL)

A continuación tienen aquí resuelto en varias hojas el ejemplo del ho-norable W. Baumol y/o del libro de Henderson y Quandt sobre la opti-mización para producir autos y motos (aunque que solo lo presentan allí con un proceso, tal como otros ejemplos en los demás libros ). Asimismo, se incluyeron aquí las seis soluciones del caso PRIMAL (máximo beneficio) y las del correspondiente DUAL (mínimo costo para esa producción dada). Al llegar a similar resultado el lector puede cap-tar mejor la utilidad o sentido de cada método. Los seis casos de primal y sus 6 duales se presentan aquí para los métodos usuales: 1) ecuaciones diferencias usando operadores de Lagrange; 2) programación lineal método gráfico; 3) programación li-neal Simplex; 4) programación con Solver de Excel; 5) matrices, ma-nualmente; 6) matrices con funciones Excel (que son las efectivamente generalizables a miles de variables por cualquier usuario de PC desde 1995!) Interesa ver como se llega al mismo resultado en todos estos 12 casos. Además es especialmente útil resolver este ejemplo manualmente y sobre todo también con las aplicaciones Excel para Solver y para inver-tir y para multiplicar matrices. Al saber resolver este caso de 2x2 (cua-tro variables o restricciones) y saber hacerlo con las funciones Excel se tiene abierto el camino para resolver otros casos con miles de varia-bles. Al permitir resolver decenas y cientos de variables, Excel permitió su-perar efectivamente la falacia clásica sobre sistemas NxN, antes prácti-camente solo retórica pura, imposible de aplicación concreta en la em-


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presa o realidad. ¡De hecho, no existen textos con ejemplos de 4x4 ó 5x5 resueltos !. Por otra parte, algo similar ocurrió con la estimación de funciones por mínimos cuadrados (inducción), que solo fue prácticamente realista cuando Excel popularizó su ejemplo de los HELADOS con 4 variables (o más) y facilitando el análisis de la varianza (anova), para los coefi-cientes de correlación ajustado; el "F" de Snedecor para ver la aleato-riedad y auto correlación y el "t" de Student, sobre representatividad de cada variable independiente y en general "bondad" del ajustamiento). Planteo del problema:

Se busca optimizar la producción de autos y/o mo-tos, disponiendo de 8000 hs. Máquina y 9000 hs. Hombre. Un auto deja como beneficio $2,50 y una moto $2,00. Los insumos o coeficientes técnicos están en el cuadro 2x2 del resumen.

Cuadro resumen del ejemplo autos y motos: Requerimiento autos motos Total

requer capaci-dad

maquina 1 2 8000 8000

Hombre 3 2 9000 9000

Cant. vendida 500 3750

Ben. unitario 2.50 2.00

Total beneficio 1250 7500 8750


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Aproximación, recordando como derivar:

Tratando de simplificar el cálculo: supongamos una función Ux. Su primer derivada será U´x;y= dU/dx y su derivada segunda será Uds.=- respecto a X (o a Y, según a cual derivemos). Ejemplo: Ux=3X2 (al cuadrado)… con U'x=6X (se multiplica por el expo-nente y se baja una unidad este). Su derivada segunda U´´x=6 (se vuelve a derivar la derivada primera). Otro ejemplo Uxy=4X2Y2 (Xcuadrado por Y cuadrado), con U´x= 8XY2 (multiplica por el exponente y se le baja una unidad a este...y acompaña lo demás igual). La U´´x=8Y2. (se multiplica por el exponente y se le baja una unidad a es-te.... y acompaña lo demás sin cambios). La simbología cambia según los textos, pero es similar: U´x que dU/Dx.


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1 ) LAGRANGE

La solución analítica diferencial, con o sin Lagrange, permite el razo-namiento, pero tiene limitaciones (manuales), es para pocas variables (por esto usaremos aquí 6 métodos, llegando al mismo resultado).

Las condiciones o restric-ciones técnicas son: auto moto

Recur-sos

hs. Maquina X1 2X2 <=8000 hs. Hombre 2X1 2X2 <=9000

PRIMAL La función combinada de Lagrange incluye la función de beneficio más las de dos restricciones G = 2,50 X1 + 2,00 X2 + L1(X1 + 2X2 -8000) + L2(3X1 + 2X2 -9000) Lagrange prevé dos condiciones (FOC y SOC) . Usaremos aquí dos operadores, landa 1 y landa 2. 1) F.O.C.: G´1 = 0 2.5 + L1 + 3L2 = 0 G´2 = 0 2 + 2L1 + 2L2 = 0

G´3 = 0 X1 + 2X2 - 8000 = 0

G´4 = 0 3X1 + 2X2 - 9000 = 0

Con estas dos ultimas se puede despejar X1 y X2 por igualación: X1 - 8000 = 3X1 - 9000 o sea, 1000 = X1…X1= 500

y según G´3 …… 500 + 2X2 -8000 = 0… o sea, 2X2 = 7500…….. X2= 3750

Con estas cantidades optimas el beneficio es: B = $2.50 (500) + $2.00 (3750) = $8750

Con precios sombra según G´1 y G´2:

2.5 + L´1 + 3L´2 = 0 multiplico por 2:


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2 + 2L´1 + 2L´2 = 0 5 + 2L´1 + 6L´2 = 0

2 + 2L´1 + 2L´2 = 0 y por igualación surge 5 + 6L´2 = 2 + 2L´2 . O sea 4L´2 = -3…….. -L´2 = 0,75

y según L´1 es 2,5 + L´1 + 3(-0,75) = 0 o sea, 2,5 + L´1 - 2,25 = 0…..y -L´1 = 0,25 (remuneración de ambos factores o precios sombra) 2) S.O.C.:

Si el determinante Hessiano es positivo se asegura que esta solución es óptima. El determinante Hessiano se conforma volviendo a derivar cada línea del primer sistema respecto a las cuatro variables 1, 2, 3 y 4. L´´11 L´´12 L´´13 L´´14

H = L´´21 L´´22 L´´23 L´´24

L´´31 L´´32 L´´33 L´´34

L´´41 L´´42 L´´43 L´´44

o sea, H =

0 0 1 3

0 0 2 2 = 16

1 2 0 0

3 2 0 0

Calcular el Hessiano manualmente solo es práctico hasta 3 variables, pero para muchas (o miles de) variables Excel tiene la función =Mdeterm( G26;J31).

(estudiamos los métodos y sus condiciones en estos casos simples con pocas variables, por que algunos son generalizables a múltiples varia-bles utilizando Excel u otros con matrices y con programación lineal y no lineal. Kuhn-Tucker generalizaron estas condiciones para los casos


411

de programación no lineal. En particular este otro ejemplo usual en los textos económicos, tampoco serviría como un ejemplo insumo-producto ya que su determinante de coeficientes técnicos es negativo y no satis-face las condiciones Hawkins-Simon vistas)

1b ) DUAL:

(el mínimo de este máximo) Este mismo caso tiene otro aspecto a considerar. Busquemos cual se-ría la mínima remuneración para optimizar esos recursos de 800 hs.máquina y 9000 hs.hombre, sabiendo que un auto deja $250 y una moto $ 2,00 de beneficio (es como la otra cara en una misma moneda). Para minimizar, Lagrange armó su función combinando ahora la fun-ción objetivo y agregando sus operadores "landa" multiplicando las res-tricciones de cumplir con el beneficio unitario en autos y en motos (usamos dos operadores landa 1 y 2 por que hay dos restricciones; además de la variables reales, ambos beneficios unitarios en este caso de minimizar) K = 8000 Y1 + 9000Y2 + h1 (Y1 + 3Y2 - 2,50) + h2 (2Y1 + 2Y2 - 2,00)

(cambio las letras por K, Y1y2 y h1y2 pero quizás no sea imprescindi-ble) Lagrange prevé dos condiciones (FOC y SOC) . Usaremos aquí dos

operadores, landa 1 y landa 2.

1) F.O.C.:

(al igualar a cero las derivadas primeras nos ubicamos en un "punto de giro", por analogía con una variable…)

K´1= 0 8000 + h1 + 2h2 = 0

K´2= 0 9000 + 3h1 + 2h2 = 0

K´3= 0 Y1 + 3Y2 - 2,5 = 0

K´4= 0 2Y1 + 2Y2 - 2 = 0


412

Multiplicando la tercera por 2 y repitiendo la cuarta

2Y1 + 6Y2 - 5 = 0

2Y1 + 2Y2 - 2 = 0

por igualación surge: 6Y2 - 5 = 2Y2 - 2 o sea, 4Y2 = 3 ….Y2 = 0,75 Y según k´3 es: Y1 + 3 (0,75) - 2,5 = 0 Y1 = 0,25 remuneraciones que optimizan minimizando el costos para usar estos recursos. Min C = 8000 (0,25) + 9000 (0,75) = $8750 y segùn k´2: 9000 + 3h1 + 2 (-3750) = 0 -3h1 = 9000 - 7500 -h1 = 500

que en este dual seria como las cantidades "sombra" 2) S.O.C.:

En los sistemas con 3 variables la segunda condición de Lagrange para el dual (mínimo) era que el Hessiano de la derivadas segundas fuese negativo (y si se buscara otro punto de inflexión debería ser H = 0…). Pero el tema cambia y se complica para sistemas con 4 o mas varia-bles; cambian los criterios y se complican mucho las reglas para los resolver determinantes mayores a 3x3. Comparando métodos se pueden ver estas limitaciones y la practicidad de cada uno, destacándose la ventaja de usar Excel para los sistemas grandes.

DETERMINANTE con Excel (en E73;H73 ) 0 0 1 2

H = 0 0 3 2 =16

1 3 0 0 2 2 0 0


413

Excel calcula fácilmente estos determinantes grandes con su función =mdeterm(E70:H73)

2 ) METODO GRAFICO - Maximización

el método gráfico admite dos variables y no demasiadas restricciones (tantas como no ensucien el gráfico…). Consiste en graficar cada restricción y elegir el área interior entre el origen y la frontera de codos o soluciones alcanzables. Las soluciones posibles son aquí el origen (nada producido y solo capacidad ociosa); solo 4000 de X2; solo 3000 de X1; y el punto con 500 de X1 y 3750 de X2. Falta ahora determinar cual de estas posibilidades genera mayor bene-ficio. Para esto se grafican las líneas de beneficio (la función objetivo), obteniendo una familia de líneas de isobeneficio, por ejemplo B=60000; B=30000; B=15000; etc. paralelas, con pendiente segùn los valores de la función objetivo. La solución se encuentra en el punto de tangencia entre la curva de beneficio mas elevada con uno de los codos de la frontera de la pro-ducción factible, en este caso el punto de coordenadas (500;3750) con B=8750


414

Función objetivo: B = 2,5X1 + 2X2 2X2 = -2,5X1 + B X2 = -1,225X1 + B/2 (pendiente -1,25 y ordenada según valores de B) 2X2 = -X1 + 8000; X2 = -1/2X1 + 4000 (grafico: si X1=0 entonces X2=4000; igualmente, si X2=0 entonces X1=2000 ) Igualmente, 2X2 = -3X1 + 9000 X2 = -3/2X1 + 4500 (si X1=0 entonces X2= 4500; igualmente si X2=0 entonces X2=6750 ) Igualando ambas restricciones resulta -1/2X1 + 4000 = -3,/X1 + 4500, de donde surge X1=500 Reemplazando en la primer restricción X2 = -1/2 (500) +4000 = 3750 Este es el punto que coincide con la máxima línea de isobeneficio B=


415

2,5(500) + 2,0(37850) = $8750 2b ) DUAL - Minimización:

En este mismo ejemplo será buscar el mínimo costo (remuneración) para producir esas cantidades de autos y motos utilizando los recursos disponibles El procedimiento es similar en los casos de minimización. Pero aquí el área factible es la región superior de los costos más alejada del origen. La región inalcanzable es la cercana al origen (ya que no es posible producir estas cantidades con poco o ningún costo); el origen no es aquí una solución posible. En este dual la función objetivo permite graficar la familia de líneas de isocosto; cuanto menores sean alguna llegará a alcanzar un codo de la frontera formada por los pares de restricciones, indicando el óptimo. Según C = 8000Y1 + 9000Y2 surge Y2 = -0.89Y1 + C


416

Graficando esta familia de líneas de isocosto, la mas reducida será coincidente con el codo (0,25; 0,75), indicando que el mínimo costo para producir 500 autos y 3750 motos (usando todos los recursos) es Y1= 0,25 e Y2 = 0,75, la remuneración de ambos factores productivos para obtener esas producciones dadas y $8750 beneficio.

Función objetivo: Min C = 8000Y1 + 9000Y2 Restricciones: que las remuneraciones permitan obtener un beneficio de $2,50 por auto y de $ 2,00 por moto: Y1 + 3Y2 = 2,50 2Y1 + 2Y2 - 2,00 Grafico los extremos de hs. hombre: si Y2=0 entonces Y= 2,50;


417

igualmente si Y1 = 0 entonces Y2 = 2,50/3 = 0,83 Grafico los extremos de hs. Máquina: si Y2 = 0 entonces Y1 = 2/2 = 1; igualmente si Y1 = 0 entonces Y2 = 2/2 = 1 Surgen aquí 3 codos factibles, Y1=1; Y2 = 1 y la intersección ambas restricciones con coordenadas (0,25;0.75)

3 ) AUTOS y MOTOS SEGÚN SIMPLEX

Función Objetivo: Max Benef. = $2,50 (X1) + $2,00 (X2) Sujeto a:

X1 + 2X2 <= 8000 hs. Maquina

3X1 + 2X2 <= 9000 hs. Hombre

( y siendo X1 y X2 >=0 ) Agregando ociosidad sería:

X1 + 2X2 + X3 = 8000

3X1 + 2X2 + ……….+ X4 = 9000


418

2,5 2

FO X REC. X1 X2 X3 X4 V.S.

tabla 0: 0 X3 8000 1 2 1 0 8000

0 X4 9000 3 2 0 1 3000

-2,5 -2 0 0

tabla 1 0 X3 5000 0 4/3 1 -1/3 3750

2,5 X1 3000 1 2/3 0 1/3 4500

0 -1/3 0 0,83

tabla 2 2 X2 3750 0 1 3/4 -1/4

2,5 X1 500 1 0 -1/2 1/2

0 0 0,25 0,75

precios sombra

(todos positivos en la última fila). Max. Benef.=$2,50(500 autos)+$2.00(3750 motos) = $8750 Verificación del uso de los recursos: 1 (500) + 2 (3750) = 8000 hs. Maquina 3 (500) + 2 (3750) = 9000 hs. Hombre (sin capacidad ociosa). (ver las dos páginas con los pasos del método Simplex en el cap. 3)


419

3b) VERIFICACION DE LA ULTIMA TABLA SIMPLEX CON MA-TRICES

Recursos

¾ -1/4 8000 3750 MOTOS

-1/2 1/2 9000 500 AUTOS

ver fórmula y

**

Estos valores difieren de los que se verán como la matriz inversa por que el orden de presentación fue alterado en el proceso quedando co-mo motos y autos. El producto de esta tabla (matriz) por el vector de recursos tiene la fórmula: =mmult(A2:B3;D2:D3) ingresada en Excel previo pintar estas dos celdas aquí F2:F3; y con Cntrl+Shift+Enter para que Excel la apli-que a ambas.


420

4 ) SOLUCION CON SOLVER de Excel

Planteo del problema y Ayuda previa para Solver: Se busca optimizar la producción de autos y/o mo-tos, disponiendo de 8000 hs. Máquina y 9000 hs. Hombre. Un auto deja como beneficio $2,50 y una moto $2,00. Los insumos o coeficientes técnicos están en este cuadro 2x2 del resumen.

Cuadro resumen del ejemplo autos y motos:

Requerimiento autos motos Total requer

capaci-dad

maquina 1 2 8000 8000

Hombre 3 2 9000 9000

Cant. vendida 500 3750

Ben. unitario 2.50 2.00

Total beneficio 1250 7500 8750

Luego use HERRAMIENTAS / SOLVER/ ETC una vez que ya es-tán prearmadas las formulas en la hoja Excel. O use Datos / Solver en Office 2007 ó 2010 (instálelo si no le aparece en Datos / Solver). Si no le es aquí fácil recurra a alguno de estos archivos que incluyen ejemplos con Solver Paso a Paso (en www.microeconomiaconexcel.com )



421

Al pulsar la celda objetivo deberá marcar la que tiene el resultado final 8750 (D6 en esta imagen Word); tilde Máximo; en Cambiando las cel-das pinte las dos que tienen 500 y 3750 (B4:C4 de la imagen Word); mas abajo agregue restricciones: que el total requerido sea <= a la capacidad (D3:D4<=E3:E4 de la imagen Word); se omitieron la condi-ciones de no negatividad, que autos y motos no sean negativos, por que en Opciones se tildó No negativo y también adoptar el modelo li-neal. Finalmente se pulsa resolver (y permite tildar tres informes auxi-liares, de respuestas, sensibilidad y límites. Esta opción Solver de Excel es interesante por que permite la progra-mación lineal, no línea, entera y binaria con poco más que tildar opcio-nes, para 16 variables y restricciones.

5 ) MATRICES (…MANUALMENTE) El álgebra de matrices recurre a operaciones elementales. El proceso según Gauss-Jordan consiste en ubicar la matriz de los coeficientes


422

técnicos: 1 2 3 2

a la izquierda de una matriz unitaria de similar rango.

1 0 0 1

Ubicado este par de matrices se tratará de pasar hacia la derecha la matriz de coeficientes mediante operaciones elementales. 1 2 1 0 ( 2ª- 3 2 0 1 1ªx3 )

el resultado aparece en el próximo par de matrices: 1 2 1 0 0 -4 -3 1 (2da / -7)

el resultado aparece en el próximo par de matrices:

1 2 1 0 (1ª- 2ª x2)

0 1 0,07 0,025

el resultado aparece en el próximo par de matrices:

1 0 -0,5 0,5 0 1 0,75 -0,25

Obsérvese que la matriz unidad está ahora a la izquierda y los coef i-cientes fueron invertidos para pasar a la derecha. Esta matriz inversa de los coeficientes es la necesaria para multiplicar por el vector de los recursos para obtener el resultado final.


423

-0,5 0,5 8000 0,75 -0,25 x 9000 =

El producto de esta matriz 2x2 por el vector de recursos original otro vector de 2x1 con los resultados para autos y motos

-0,5(8000)+0,5(9000) 500 0,5(8000+0,5(9000) = 3750

El beneficio máximo es B = 2.50(500) + 2.00 (3750) = $8750


424

AYUDA: ALGEBRA MATRICIAL 1. INTERCAMBIAR FiLAS 2. MULTIPLICAR UNA FILA POR UN ESCALAR 3. SUMAR A UNA FILA OTRA POR UN ESCALAR.

4. Producto: A11 A12 B1 A11 B1 + A12 B2

A21 A22 por B2 = A21 B1 + A22 B2

(matriz cua-drada por un vector co-lumna da otro vector co-lumna)

5. matriz unidad o identica, I = 1 0 tiene 1 en la diagonal princi-pal y 0 en el resto

0 1

6. matriz inversa (ver en antes)

Otra exposición sobre el álgebra matricial se planteó anteriormente en

el capítulo de proyección y programación (luego de la estimaciòn de funciones de demanda (mediante la matriz insumo-producto) y como otra alernativa a la optimizacòn mediante la programación lineal.


425

6 ) MATRICES …CON EXCEL

Excel trae numerosas funciones, entre ellas para calcular determinan-tes (=mdeterm( ; ), para invertir matrices (=minversa( ; ), para multipli-car matrices (=mmult( ; ) M. inver-sa Recursos

Produc-ción

autos -0,5 0,5 8000 500 motos 0,75 -0,25 9000 3750 Máxima

** Produc-ciòn

A la izquierda esta el resultado de invertir la matriz de coeficientes téc-nico iniciales. Los recurso son el dato inicial. A la derecha esta el pro-ducto de la matriz inversa por el vector de los recursos. El resultado es el mismo que con los otros métodos (500 autos ; 3750 motos): Ben = 2.5 (500) + 2.0 (3750) =$8750. Sin embargo, hay que destacar la ventaja de este proceso con Excel, ya que resuelve en instantes cientos o miles de variables, superando la limitación clásica de dos variables con una o dos restricciones. La referencia ** es el atajo Excel (shortcut) Cntrl+Shift+Enter, para procesar esas fórmulas en todas las celdas previamente pintadas.

Confirmación Insumo – Producto Distribución del Producto

Distribución del Ingreso

Ben /u Recurso Salarios Ingresos


426

2,50 1250 8000 0,25 2000 2,00 7500 9000 0,75 6750 8750 8750

Producto Ingreso

Los 500 autos y 3750 motos por su beneficio unitario originan un pro-ducto de $8750 (en los sectores maquinas y hombres). Igualmente, las remuneraciones para máquinas y para hombres multi-plicadas por la capacidad disponible genera ingresos para cada factor cuya distribución agota lo producido, $8750.

DUALIDAD: También se llega al mismo resultado con el enfoque dual de estos otros métodos. Mínimo costo para obtener esas producciones y beneficios conocidos. 3b ) MINIMIZACION CON SIMPLEX: Minimizar C = 8000(Y1 + 9000(Y2)

sujeto a: Y1 + 3Y2 >= 2.50

2Y2 + 2Y2 >= 2,00

Restando dos variables ociosidad y sumando dos variables artifiales:

Y1 + 3Y2 -Y3 …. + MY5 + .... = 2,50

2Y1 + 2Y2…… . - Y4 …. ..+ MY6 = 2.00


427

8000 9000 0 0 M M

FO Y REC Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 V.S.

T.0 M Y5 2,5 1 3 -1 0 1 0 0,83

M Y6 2 2 2 0 -1 0 1 1

3M 5M -M -M 0 0

-8000 -9000

(positivo)

T.1 9000 Y2 0,83 1/3 1 -1/3 0 1/3 0 2,5

M Y6 1/3 4/3 0 2/3 -1 -2/3 1 0,25

1,33M 0 0,67M -M -1,67M 0

-500 -3000 +3000

(positivo)

T. 2 9000 Y2 0,75 0 1 -1/2 1/4 1/2 -1/4

8000 Y1 0,25 1 0 1/2 -3/4 -1/2 3/4

0 0 -500 -3750 -M -M

autos ,motos -500 +3750

( todos negativos !!)

Mínimo Costo = 8000(0.25) + 9000 (0.75) = $ 8750

$maquina $salario

0,25 0,75

4 b) Dual Minimo costo con Solver

h maq h hom Ben /u

autos 1 3 2,5 2,5

motos 2 2 2 2

salarios 0,25 0,75

Recurs 8000 9000

Costo 2000 6750 8750 Ingreso


428

En la hoja Excel debe hacerse previamente la fórmula para el costo de horas máquina y horas hombre (en este Word sería 0.25 por 8000=2000 y también 0.75 por 9000=6750. Ambas remuneraciones de factores están sumadas en la fórmula del costo total 8750 = 2000+6750. Así mismo, las remuneraciones de máquina y hombres para autos y similares para motos no deben ser mayores a los beneficios unitarios del óptimo primal: las fórmulas en la columna D en este Word multipli-can 0.25 y 0.75 por el coeficiente de maquinas y hombres para autos (igualmente para motos). Estas dos celdas con fórmulas será una de las restricciones para indicar que lo distribuido como remuneraciones sea igual al beneficio producido por autos y por motos.

En esta imagen del caso en Excel la celda objetivo es en este Word 8750. Las cambiantes son 0.25 y 0.75. En sujeto a las restricciones (figuran valores no negativos para ambas remuneraciones por que no se tildó en opciones No negativos). Las otras dos restricciones son pa-ra que los ingresos sean igual al producto con cada bien.


429

Interpretación general como Ingresos recibidos:

Rec Remuner Ingre

8000 0,25 2000 para h. maquinaa

9000 0,75 6750 para h. hombre

8750 ingreso nacional

6 B ) Dual: Verificacion con matrices

maquina hombre

auto 1 3

moto 2 2

8000 9000

El proceso consiste en multiplicar la matriz inversa de los coeficien-tes del dual por el vector de los beneficio unitarios.

-0,5 0,75 0,25

0,5 -0,25 por 0,75

La matriz izquierda es la inversa de los coeficientes del dual

-0,5 0,75

0,5 -0,25 hecha con =minversa( : ). El vector columna de la derecha es el producto de esta matriz in-versa por el vector de los beneficio unitarios (2.50 y 2.00), hecho con =mmult( ; ).

0,25

0,75 Muestra que el resultado de ese producto son las remuneraciones para máquina y para hombre; compatibles con la optimización del primal y con la confirmación Insumo – Producto que ya se incluyó


430

anteriormente.

Recurso Remuneración Ingresos

8000 0,25 2000

9000 0,75 6750

8750

Ben /u producción BEN TOTAL

2,5 500 1250

2.0 3750 7500

8750


431

MODELACION MATEMÁTICA

Para diseñar en las empresas la solución de las diversas situaciones problemáticas es usual esbozar el esquema resolutorio mediante expresiones matemáticas simples: este es (en términos de los crea-dores del álgebra hace 1200 años) “el arte de explicar LA COSA”. Pero en los casos con pocas variables la solución puede plantearse manualmente mediante diferentes métodos usuales, como operado-res de Lagrage, programación lineal gráfica, simplex o con matrices. Sin embargo, el método matricial ya requiere planteos cuadrados mediante PC para casos de ocho o más variables; los operadores de Lagrange están limitados a cálculos manuales para muy pocas variables; el método gráfico es aplicable a casos de dos variables con no demasiadas restricciones y además no suministra informa-ción sobre capacidades ociosas, el método Simplex permite algunas variables y restricciones NxM y suministra información sobre capa-cidades ociosas, precios sombra y costos de oportunidad, pero tam-bién resulta inviable con no muchas variables. Por esto lo más práctico suele ser en general recurrir a alguna de las alternativas de presentación de Solver de Excel, como se intro-dujo con los ejemplos orientativos resueltos aquí anteriormente y algunos otros siguientes.

CARPINTERIA Una carpintería necesita una unidad de carpintero para obtener una mesa y 6 unidades de despacho; necesita una unidad de tapizado para obtener una silla y 4 unidades de despacho. Si sus recursos son 3 unidades de carpintero, 6 de tapizado y 36 de despacho. Es-tas son las tres restricciones a introducir en “Sujetas a las siguien-tes restricciones:” (las condiciones de no negatividad de las varia-bles y el tipo lineal de la programación se tildan en opciones):


432

Restric /Varia. Mesas Sillas Recursos

R1 carpintería X1 <= 3 R2 tapicería X2 <= 6 R3 expedición 6X1 + 4X2 <= 36

(con X1 ; X2 >= 0)

TELEVISORES Para un TV hace falta un bastidor, un tubo, un altavoz, un generador eléctrico y dos piezas electrónicas. Para un estéreo hace falta un bastidor, dos altavoces, un generador y una pieza electrónica. Un altavoz requiere un cono altavoz y una pieza electrónica. Los recur-sos son 450 bastidores, 250 tubos de imagen, 800 conos altavoz, 450 generadores eléctricos y 600 piezas electrónicas. Estas son las 5 restricciones a introducir en “Sujetas a las siguientes restriccio-nes:” (las condiciones de no negatividad de las variables y el tipo lineal de la programación se tildan en opciones):

Restr / Var: TV Estéreo Altavoz Recursos R1 bastidores X1 + X2 <= 450 R2 tubos X1 <=250 R3 altavoz 2X1 + 2X2 + X3 <= 800 R4 generador. X1 + X2 <= 450 R5 piezas elec. 2X1 + X2 + X3 <= 600

y la condiciones de no negatividad todas de las varia-bles >= 0

Por otra parte, la presentación en las hojas Excel permite además otras diagramaciones alternativas para el Solver, que figuran en las muestras del Office presentadas en el capítulo 1.

MINIMIZACION, ENTERO - MINERA

La compañía Minas Universal opera tres minas en West Virgina. El mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos gra-dos. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los del cuadro siguiente.


433

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garanti-zan a los trabajadores de las minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un cos-to total mínimo. Sean X1, X2, X3 los días que las minas I, II y III habrán de operar durante la semana venidera. Entonces, la función objetivo será: Min C = 20X1 +22X2 +18X3 Sujeto a las restricciones: r1 La demanda de mineral de grado alto es: 4X1 +6X2 +X3 >= 54 r2 La demanda de minera de grado bajo es:4X1 +4X2 +6X3 >= 65 r3 Las minas solo pueden operar 7 días: X1<= 7 r4 X2 <= 7


434

r5 X3 <= 7 r6 Todas las variables son enteras, ya que los contratos laborales son por día completo o fracción. r7 Todas las variables son no negativas, ya que no puede haber número negativo de días trabajados en las minas.


435

Con Datos / Solver/ se asigna D13 como celda objetivo a minimizar; se tilda el método lineal Simplex LP y se introducen las restricciones indicadas, surgiendo como mínimo $ 284 miles y los días indicados en el cuadro por mina.

MODELACION DE PROGRAMACION CON SOLVER

COMPUTADORES

Una empresa optimiza la producción de computadores para los pró-ximos 4 trimestres, con un mínimo costo. Tiene en stock 5000, pero sus pedidos suman 7000, 15000, 10000 y 8000 respectivamente. Puede producir 10000 cuatrimestrales a un costo de $2000 o bien agregar otros 2500 a un costo de $2200. Si produce en exceso pue-de despacharlos posteriormente, con un costo operativo de almace-naje de $100 cuatrimestrales Modelaciòn: en la definición de variables figuran ambos tipos de producción, normal (Xt,) otra con sobrecosto (Yt) y la producción para stock (It); durante los 4 trimestres (t = 1 : 4). El balance trimestral debe considerar lo producido más lo provenien-te del stock junto con la demanda, de modo que la función objetivo será: Min C = 2000(X1 + X2 + X3 + X4) + 2200(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 100( I1 + I2 + I3) Sujeto a las restricciones: 5000 + X1 + Y1 = 7000 + I1 (o sea P29 = P31) I1 + X2 + Y2 = 15000 + I2 (o sea Q29 = Q31) I2 + X3 + Y3 = 10000 + I3 (o sea R29 = R31) I3 + X4 + Y4 = 8000 (o sea S29 = S31) Xt <= 10000 (o sea, U26 ) Yt <= 2500 (o sea, U27 )


436

con X; Y; I; t >= 0 (no negativos) También se simplifica el problema suponiendo que no se pueden mezclar las producciones normal y de sobrecosto; y no se usa la restricción “entero” como si las unidades fuesen fraccionables (So l-ver permite la programación no lineal, entera, binaria con solo tildar estas opciones y presentar adecuadamente el cuadro básico de relaciones matemáticas en la hoja de cálculo de presentación bási-ca) Un primer planteo básico con Solver, fue ubicar los costos en O26 hasta O28; las celdas cambiantes en P26 hasta S28 y la función objetivo en U30 (el cursor ubicado sobre U30 esta mostrando en la imagen la minimización de la suma de costos).

En Herramientas / Solver (o Datos / Solver, según sea la versión del Office) se accede a la ventana para agregar los parámetros de Solver, según muestra la imagen: función objetivo en U30. Valor: mínimo. Cambiando las celdas P26 hasta S28. En sujeto a las res-tricciones se agregaron todas las de igualdad y las de <=. En opcio-nes se tildó adoptar el modelo lineal y asumir no negativos.


437

SOLVER EN FORMA TIPO MATRICIAL / SIMIL MATRICIAL / o PARAMATRICIAL

Otra presentación alternativa para esta misma solución mediante Solver figura en las imágenes siguientes. Los tres tipos de suminis-tro son las variables horizontales en la línea 4 (producción normal, producción de sobrecosto; de stock); verticalmente se ven las 12 restricciones necesarias.


438

Los costos están en la línea 17 y el suministro óptimo (celdas cam-biantes) figura en la línea 18 (también se anotaron como celdas cambiantes al ejecutar Solver, según la imagen inferior) Las restricciones tienen el tope indicado en la columna P, que se compara con el suministro que figura en la columna N como “=sumaproducto” (N5 hasta N17; en dos tramos, según la forma de los signos = y <= de la imagen inferior)


439

En opciones también se tildó adoptar el modelo lineal y asumir no negativos. Al momento de ejecutar la optimización se puede selec-cionar (sombrear) la presentación de informes ( de respuestas, sen-sibilidad y límites)

REFINERIA AZTECA

La Refinería Azteca vende nafta Regular a $12 y Extra a $14 por barril, que elabora mediante las siguientes relaciones téc-nicas.

¿Qué cantidad de petróleo nacional e importado se deberá refinar para maximizar el Beneficio? Sean:

X1 = barriles de petróleo nacional para nafta Regular X2 = barriles de petróleo importado para nafta Extra X3= barriles de petróleo nacional para nafta Regular X4= barriles de petróleo importador para nafta Extra Ingreso total por nafta Regular = $12(X1+X2). Ingreso total por nafta Extra = $14(X3+X4). Costo nacional por nafta Regular = $8(X1+X3). Costo importado por nafta Extra =$15(X2+X4).


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Se trata de maximizar el beneficio, definido como ingresos menos costos: $Ben = 12(X1 + X2) + 14(X3 + X4) - 8(X1 + X3) -15(X2 + X4) Simplificando, el programa queda como:

Max Ben = 4X1 -3X2 +6X3 -X4 Sujeto a las restricciones:

X1 + X3 <= 40000 (disponibilidad petróleo nacional) X2 + X4 <= 60000 (disponibilidad petróleo importado) X1 + X2 >= 50000 (requerimiento mínima de Regular) X1 + X2 <=100000 (demanda máxima de Regular) X3 + X4 >= 5000 (requerimiento mínimo de Extra) X3 + X4 <= 20000 (demanda máxima de Extra) Si la restricción de octanaje debe ser 87(X1/X1+X2) + 98(X2/X1+X2) >=88% en nafta Regular, pasando 88 al lado izquierdo y simplificando surge X1 -10X2 <= 0 (octanaje mínimo nafta Regular) 6X3 - 5X4 <= 0 (asimismo con la restricción de octanaje naf-ta Extra) Si la restricción de presión debe ser 25X1 /X1+X3 + 15X3 /X1+X3 <= 23, pasando 23 al lado izquierdo y simplificando surge 2X1 - 8X2 <= 0 (restricción presión vapor Regular) 2X3 - 8X4 <=0 (igualmente con la restricción presión vapor Extra) Y como restricción final, todas las variables no negativas.


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En una hoja Excel se anotan los coeficientes y las restricciones or-denadamente, incluyendo los coeficientes del funcional; e insertan-do una columna F5:F15 para efectuar las sumas producto como se indica para F7. Finalmente se abre la macro con Datos / Solver, para indicarle las celdas y las opciones: celda objetivo F15; se tilda maximizar; cam-biando las celdas B16:E16; e insertando las restricciones y sus sig-nos ordenadamente, una a una o bien agrupando conjuntos con similar sentido de desigualdad. Al ejecutar el resultado aparece en la celda F15: máximo beneficio por $125000; incluyendo en la fila 16 las cantidades de 35000 de nafta Regular, 15000 de nafta Extra; se consume todo el petróleo importado y sobran 5000 del nacional. (antes de ejecutar pueden


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solicitarse los informes usuales sobre respuestas, sensibilidad y límites)

(de Investigación Operativa –R. Bronson, Ed. Schaum-McGraw-Hill


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y con Excel 2010 o anteriores)

MODELACION DEL EQUILIBRIO EMPRESARIO (Y ”GENERAL”)

OMAN: COMUNIDAD DE PESCADORES Y CAZADORES

Érase una vez una comunidad de pescadores y cazadores que con-taba con 1000 hombres y 1500 mujeres. Como era conocido, para pescar se formaba un equipo de dos mujeres y un hombre para ob-tener una unidad de pescado, mientras que para la caza los equipos eran constituidos por un miembro de cada sexo, obteniendo una unidad de caza por equipo. La producción era comprada por los mercaderes a razón de $1,70 y $ 1,00 por unidad respectivamente el pescado y las presas. Era una comunidad muy competitiva. Los miembros de cada grupo sexual tenían igual remuneración (aunque podría diferir entre sexos) y el beneficio era desconocido entre ellos. Se le debe al gran Oman la industrialización de los productos de la caza y de la pesca, quien logró de los mercados un precio unitario por unidad de producto procesado de $2 y$2,20 para la caza y la pesca respectivamente; y quien enseñó como se procedía a elabo-rar los productos primarios con la sola participación de un miembro de la comunidad sin distinción de sexo por unidad de producto pro-cesado. La historia cuenta que Oman fue brutalmente asesinado por uno de los grupos comunitarios. ¿Puede ud. deducir por quién? (ayuda: la distribución relativa del ingreso de la comunidad era un bien social muy preciado)


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RESPUESTAS

Las incursiones de la macroeconomía en la microeconomía tiene dos fundamentos: uno de ellos es que las empresas operan bajo el entorno de las políticas económicas (generalmente cambiantes) que condicionan sus circunstancias de operación y optimización funda-mentalmente (análisis del equilibrio general). El segundo fundamento es que la adaptación de los recursos esca-sos a la satisfacción de necesidades y/o producción múltiples y al-ternativas requiere un preciso método de programación (que en la teoría neoclásica también se le decía modelación). La modelación (programación) neoclásica inglesa y norteamericana del siglo XIX y XX se limitó a casos de 1, 2, 3 ó 4 variables. El resul-tado fue una simplificación artificiosa, que precisó un conjunto de principios, demasiado limitado y no aplicable a la realidad de la acti-vidad concreta de las empresa (algunos economistas criticaron a esta teoría microeconómica como una mera retórica pura, por im-practicable efectivamente en la empresa). Sin embargo, el desarrollo de la técnica computaciones a fines del XX, especialmente con aplicaciones de Excel, permitió generalizar la modelación de casos elementales de 2x2 variables a cientos de ellas con Solver y a miles de variables utilizando matrices de Excel, con misma simplicidad que en los casos de 2x2 (es esta una de las refutaciones a la microeconomía clásica neoliberal que se demues-tra en Microeconomía con Excel.pdf) Este caso se resuelve con los 6 métodos usuales de programación líneas gráfica, Lagrange, Simplex, matrices, Solver y matrices Excel. Pero se señala como salvedad que el Office presenta varias alterna-tivas para el Solver y en el caso de la última aquí planteada, debe aclararse que deja a cargo del usuario el ingenio intuitivo de com-plementación de la macro Solver con las ingeniosas operaciones


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aritméticas que cada uno pueda realizar en la hoja de cálculo básica de trabajo. 1) Programación lineal método gráfico

2) Diferenciación según la función combinada de Lagrange, con dos operadores auxiliares


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3) Matriz inversa

En otras páginas se desarrolló el proceso de inversión manual de una matriz (solo posible hasta 4 variables, trasladando la matriz uni-taria de derecha a izquierda mediante operaciones elementales por línea). Por este motivo se omite aquí y se expone la más práctica solución utilizando las funciones de Excel, =minversa( ; ); =mmult( ; ) e =mdeterm( ; ), que son idénticas tanto para 2x2 como para miles de variables. También se agrega el método de determinantes, que suelen utilizar todos los utilitarios computacionales para resolver sistemas (tal co-


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mo se explica breves párrafos para cada uno en Microeconomia con Excel.pdf) La imagen muestra la matriz inversa con Excel: el cursor fue ubica-do en la celda C11 para mostrar la fórmula para la matriz inversa (ejecutando con Ctrl +Shift +Enter); y en G1;G12 se aclara la forma de multiplicar la matriz inversa por los recursos para obtener el re-sulta X=500 e Y=500..


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Por otra parte, la resolución por determinantes manualmente o con Excel y los demás programas computacionales consiste en reem-plazar los términos independientes por la variable a calcular y efec-tuar el cociente que se indica en G22 y G26. 4) Programación lineal Simplex (tablas manuales) En otras dos páginas se explicó el método Simplex paso a paso,

por lo cual desarrollamos aquí el caso sin mayores explicaciones. En la última tabla figuran los resultados: 500 de X y 500 de Y; tam-bién figuran los precios sombra o remuneraciones de cada factor productivo: $0,70 y $0,30; así como el valor total de la producción $1350.


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Al utilizar computadores para la aplicación práctica real en las em-presa es necesario siempre, contrastar los resultados mediante otros métodos u equipos. En este caso incluimos la simple verifica-ción matricial, con similares producciones optimizantes: 500 de X y 500 de Y (en Microeconomía con Excel hay al menos otros 10 pro-gramas de computación, cada uno explicado en pocos párrafos; y pueden bajarse libremente en la web)


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5) Programación lineal con Solver de Excel

Abandonando las limitaciones neoclásicas de solo hasta cuatro va-riables, Solver permite resolver optimizando con cientos de variables con este mismo procedimiento para 2x2.


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En Herramientas (o en Datos, según sea la versión del Office) se puede abrir la macro Solver: se le indica la celda objetivo D12; las cambiantes B10yC10; y sujeto a las restricciones indicadas arriba. En opciones se tilda Adaptar modelo lineal y No negativos.

Obviamente, primero fue necesario escribir en las celdas B12 y C12 las fórmulas del precio por cantidad y luego sumarlas en D12. Igualmente, hay limitaciones de no superar las disponibilidades, en-tonces, lo que se utilice de mujeres para caza más mujeres para pesca debe figurar como fórmula en E8 (e igual para hombres en E9) Al resolver se obtiene los valores de las variables que maximizan (el primal de este problema, de optimización /programación / modela-ción).


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6) PROBLEMA DUAL: MINIMIZACION DE ESTOS COSTOS

Es el mismo problema, pero se plantea al revés, suponiendo que no se conocen las remuneraciones para mujeres y hombres y el resul-tado muestra, lo que ya se había obtenido como precios sombra con el primal (y con el Simplex manualmente, para solo 2x2)


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7) ¿QUIEN FUE EL ASESINO?

Las modificaciones que introdujo Omán fueron cambiar la venta de productos como industrializados (con coeficientes 1 y 1 en cada sexo) y cambiar los precios, ahora 2,20 pescado y 2,00 caza. A la programación con Solver se le agrega una columna para Indus-tria y en los requerimientos de la columna F48:F49 se suman los industriales a los previos de pesca y caza.


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En las filas 55 y 56 se comparan los ingresos anteriores con los ac-tuales por sexo, observando que los de hombres aumentaron 62% mientras que las de mujeres solo 51%; esto induciría a pensar en una asesina. (Recuerde que estas imágenes se pueden ver mayores y leer, eli-giendo con el zoom de Ver o Vista)

8) PROGRAMACION LINEAL -OTRA FORMA DE SOLVER

Otro formato para aplicar la macro Solver es este (figura incluido entre las 5 “muestras” que trae el Office). Aquí, las reglas de presen-tación en la propia hoja de cálculo (para las fórmulas y poder indi-carle las celdas operativas a Solver) dependen de la intuición (adap-tándose a la modalidad de la macro Solver, por ejemplo al multipli-car matrices por vectores columna; utilizar funciones como


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=sumaproducto( ; ); =mmult(B2:G6;J11:J16); =trasponer(K11:K23) ...), etc tantas otras de Excel que nos convenga según el problema) En Este caso para aplicar =sumaproducto(B2:G7;K11:K16) mante-niendo pintado todo H2:H7 se escribe esta fórmula y para que se aplique a todo K11 a K16 finalmente se pulsa Ctrl + Shift + Enter. SOLVER MATRICIAL

También se le indica a Solver que la solución no implique más que los recursos disponibles, incluyendo en Sujetas a las siguientes res-tricciones: J2:H6<=i2:i6; etc En esta forma de modelación se acumula la ventaja de implemen-

tar múltiples variables con la de construir las relaciones de la hoja de cálculo utilizando tantas otras funciones de Excel como requiera un problema.


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Pero, no hay en el Office ni en Excel una ley de formación fija para

esta presentación en filas y columnas. Es necesario cierta práctica y razonamiento por aproximaciones sucesivas con el planteo de esos coeficientes 1 en estas filas y columnas (mediante prueba y error) hasta lograr la coherencia del modelo (y comprobarlo mediante al-guno de los otros utilitarios que se explican en Microeconomía con Excel.pdf).

Desde otro punto de vista, si por ejemplo se expandiera este modelo con importaciones y exportaciones habría que agregar cuatro

columnas luego de G (imp pesca; imp caza; exp pesca; exp caza). También agregar 4 líneas en J17 con estos nombres. Quedaría un sistema de 10x10: multiplicar una matriz cuadrada de 10 coeficientes por un vector columna de 10 filas, cuyo re-sultado sería una columna con 10 filas.


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En Opciones se tildan las usuales comentadas; y al resolver se se-leccionan los informes de Respuesas, Sensibilidad y Límites para

ver los precios sombra y demás relaciones necesarias, por ejemplo para el modelo de insumo producto de Leontief, con salarios, pre-cios, cantidades, uso de factores. Modificando los precios y las condiciones teóricas se implementan modelos de simulación de la oferta y demanda globales, usuales para el pronóstico de ventas o demanda; y problemas de equilibrio general tipo Walrasiano, que no son viables con la modelaciòn

Simplex, pero facilita Solver (con las limitaciones de cada caso, co-mo ser funciones lineales, relaciones de cambio tipo TMS constan-tes, factores con productividad homogénea, gustos constantes y condiciones de intercambios según el modelo competitivo etc, en la medida que Solver también permite programación no lineal, entera y binaria seleccionando o tildando opciones. VARIAS FORMAS DE SOLVER

Se han expresado aquí varias formas de planteos con Solver: véan-se los modos normales de Solver, el modo “paramatricial” y el modo “valores de”; equivalentes y alternativos a los modos del planteo según el método Simplex y/o al planteo según el “Simplex matricial”; y/o a las soluciones mendiante matrices.


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EVALUACIÓN DE INVERSIONES – TIR Y VAN

Se trata de calcular el VAN y la TIR en una inversión para producir PVC, estimando las siguientes necesidades, ventas en unidades e importes por 10 años. Materias primas:

Cloro 645 kg/Tm ( a 6400 $/Tm) Etileno 480 “ ( a 21000 “ )

Soda cáustica 40 “ ( a 8000 “ ) Coste de servicios: 721 $/Tm Mano de obra 70 Mantenimiento % de la inversión Gastos generales 130 Impuesto Beneficios 35% Gastos comerciales 1% Ventas Precio de venta del PVC 25000 $ /tm


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La inversión necesaria es $4500 (30% al inicio del proyecto; 50% al comienzo del año de puesta en marcha y 20% un año después). La amortización se efectúa al 10%. Coste del dinero: 10% anual. El gráfico muestra el VAN, la evolución del acumulado del cash flow actualizado. La función Excel para el VAN se calcula escribiendo: =vna(tasa;importes). Si los períodos no fueran anuales se utiliza =vna.no.per(tasa;importes;fechas) que incluiría además el rango de las fecha. En este caso el VAN es $159 y se ve también en el acumulado. Para calcular la TIR en Excel se escribe =TIR(B21:M21) que abarca el rango con los importes según el cash flow .


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VAN Y TIR (VALORACION DEL TIEMPO)

VAN (o VNA): Un cierto importe dado tiene hoy mayor valor que si recién lo tuvié-ramos disponible dentro de un próximo período. Asimismo, conside-rando un costo normal del dinero, ese importe o valor actual sería menor que si hubiese estado disponible antes hace algunos perío-dos, ya que por ejemplo, hoy se podría haber tenido ese importe más el interés que hubiera redituado en algún depósito a plazo por ese lapso. Entonces, un dinero hoy equivale a más que si recién se lo tuviera en el futuro; y también hoy equivale a menos que si ya se lo hubiera tenido anteriormente. Por esto, siendo la tasa de interés “i” y los períodos del tiempo “t”, el VAN o valor actual neto o VNA de un im-porte futuro M es:

VAN = M / (1+i)t (el interés divide, reduce)

Igualmente, en valor actual de un importe que tuvimos disponible anteriormente, en el pasado es:

VAN = M(1+i)t (el interés multiplica, aumenta)

Esta simple ecuación, que se viene practicando desde la enseñanza secundaria, es la base del tratamiento económico y financiero de los proyectos (es decir, la base de la valoración del tiempo). Excel tiene incorporadas otras funciones alternativas para estos tratamientos de valoración (hay ejemplos al pulsar F* y ahí “ayuda sobre esta función”). Pero interesa antes analizar este concepto mediante un simple ejemplo:


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Supongamos ingresos en los tres próximos meses por $100; $120 y $150. ¿Cual es el valor actual si consideráramos un costo normal del dinero del 5% ?: PERÍODO FUTURO:

VA = $100 / (1+0,05)1 + $120 / (1+0,05)2 + $150 / (1+0,05)3 = 95.23 + 108.84 + 129.58 = $336,66.

Pero por otra parte, ¿cuál sería el valor actual al 1 de abril de tres importes, $80, $90 y $ 95 devengados en los anteriores tres meses enero, febrero, marzo?: PERÍODO PASADO: $80 (1+ 0,05)3 + $90 (1+0,05)2 + $95 (1+0,05)1 = $92.61 + 99.23 + 99.75 =$291,59. (en este último ejemplo no se aplica la función VNA de Excel ya que calcularía otra cosa: el valor presente al día 1 de enero y no al día 1 de abril…). La función =VNA( ; ; ) de Excel tiene tres argumentos separados por “;”en el paréntesis para calcular este valor, ya sea escribiéndolos o con solo pintar la celda con la tasa a considerar, las celdas con los gastos de cada período (con signo menos) y finalmente las cel-das con los importes positivos de los ingresos de cada período). También existen otras funciones parecidas, que pueden consultarse con F1.


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TIR:

La tasa interna de retorno (TIR) de un proyecto es el rendimiento que alguien piensa que le va a redituar ese proyecto, luego de res-tar el valor presente de los gastos al de los ingresos esperados (en otras palabras es la tasa que hace igual el valor actual de los ingre-sos esperados al de los gastos del proyecto). Por ejemplo, si se gastan $100 y $100 durante dos períodos para obtener en el tercero $110 y en cuarto $120, Excel calcula como TIR= 6,032%; y los cálculos que realiza mediante aproximaciones serían:

-100 /1,06032 –100 /1,1242 + 110 / 1,192 + 115 / 1,2639 = -183,27 + 183,27 = 0

Tanto para gastos como para ingresos Excel aplica período a pe-ríodo el concepto del valor actual con la tasa 6,032% que calcula para que se igualen ambos conceptos. Microsoft incluye otras fun-ciones especiales parecidas para estos cálculos TIR no periódicos y con costo de reinversión, básicamente anotando o pintando en to-das los importes de gastos e ingresos (con su signo correspondien-te) en las celdas que representan a cada período (en este caso cua-tro). Verlas pulsando F1 en las fórmulas financieras o eligiéndolas en F* y allí “Ayuda para esta función”.,


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EVALUACION CONTABLE DE UNA EMPRESA

Si bien sobre el tema evaluación de proyectos interesa, en princi-

pio, el criterio del valor actual neto (VAN) y el de la tasa interna de retorno (TIR) de cualquier proyecto, considerando que licenciados e ingenieros no son técnicos contables, puede ser adecuado reseñar aquí algunos aspectos contables básicos, así como algunas distor-siones usuales, tanto para evitar el pago de impuestos como por efectos de la inflación. DEFORMACIONES CONTABLES USUALES: a) Deformaciones para evitar impuestos:

- menores ventas (o ventas en negro) - menores utilidades (bajando stocks o subvaluarlos,

transitoriamente…) - cargos diferidos (para ocultar pérdidas, presentán-

dolos como costos de/en/para futuros ejercicios….); - subvaluar importaciones (se pagan menores arance-

les, pero aumenta utilidades…).

COSTOS por absorción: se incluye todo: M.Prima

+M.O.directa (el Costo PRIMO) + G.Generales Fabricación. Costeo Directo: no se incluyen los C.Fijos (en el análisis

marginal para exportaciones; para discriminación de precios, etc)

Valuación inventarios En general, es usual en las firmas industriales tomar el valor de mercado y no el de compra. En las empresas comerciales se valo-ran como un % del precio de venta (menos el gasto de comerciali-zación). Estas cuatro formas son usuales: -método Promedios: entrar a valor de compra y salen al promedio (es lo más utilizado) -método FIFO: salen a los precios más viejos.


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-método LIFO: el último entrado es el que sale primero (por la infla-ción, se recargan costos y bajan utilidades) -método Reposición: a lo que costaría hoy (no es legal)

Amortizaciones: 4 métodos de Depreciación

(considerando el valor inicial, la duración y el valor de rezago) -partes constante: resultan cuotas cada vez mayores al valor neto…(lo tradicional para la DGI) -proporcional al valor neto: amortiza mucho al principio y po-co al final… (por ejemplo, porque que habría más mantenimiento…) -suma de los dígitos: también amortiza acelerado (suma los dígitos del período y amortiza cada año el dígito/suma; ejemplo en 5 años: 5+4+3+2+1 =15; 1ro.5/15; 2do 4/15; 3ro: 3/15, etc.) -según valor de uso: cuando el uso no es constante

Sin embargo, la inflación distorsiona estos métodos.

b) Deformaciones por la inflación:

Efectos de la Inflación: - En las amortizaciones: traslada a utilidades la parte sub-

valuada… - En las cuentas a cobrar: las favorece, al disminuirlas. - Costo mercaderías vendidas: traslada a utilidades la par-

te subvaluada - Deudas: las favorece, al disminuirlas

Estrategias bajo inflación:

- Descuentos por pronto pago: bajan las utilidades conta-bles, pero aumentan las reales.

- Mayor política de endeudamiento (bajar el patrimonio mínimo)

- Costeo ajustado a Reposición


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TRES ESTADOS CONTABLES:

-Balance Activo-Pasivo

Caja 10 Pasivo exigible 2000 Créditos 1300 Patrimonio 3100 Mercaderías 2200 Pasivo 5100

Activo fijo 1500 Activo 5100

-Cuadro demostrativo de pérdidas y ganancias Ventas 3000 Costo 1800 Utilidad bruta 1200 Gastos.g. adm. com.y fin. 700 Utilidad no operativa 500 Utilid.No operativa…. 100 Utilid.antes imp.indir. 600 Impuestos indirectos 240 Utilidad neta 360 (Incluidas Provisiones y Previsiones, aproximadas)

Los Resultados pueden ir a: Acumular reservas

Dividendos a acciones Dividendos en efectivo Honorarios directorio Donaciones Utilidades acumuladas

-Estado movimiento Patrimonial Patrimonio inicial 200000 Utilidades 30000 Aportes capital ---


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Honorarios directores (10000) Dividendos (20000) Gratificaciones (5000) Patrimonio final 195000

ANÁLISIS DE BALANCES

Evaluación contable de una empresa, comparando su balance con el de otro período o con los de esa industria; según índices típicos como:

-Rentabilidad: Utilidad / Patrimonio

-Utilidad / Ventas -Rotación patrimonio: Ventas /Patrimonio -Margen bruto /Ventas -Pérdidas por inflación /Ventas -Índice de liquidez: Activo circulante /Pasivo Exigible -Índice de liquidez seco: Disponibil.+créditos por ventas / Pasivo exigible a c/p -Endeudamiento: Pasivo exigible /Pasivo total (< 40%, pocos activos con fondos ajenos) -Índice Volumen de stocks (en % costos, o en meses o días) -Plazo crédito concedido: crédito ventas+ documentos des-contados +documentos endosados a proveedores /Ventas -Período de cobranza: crédito ventas / Ventas

-Índice financiación externa: pasivo exigible operativo y fi-nanciero /Ventas

-Índice financiación operativa: pasivo exigible operativo /Ventas


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ESTABILIDAD DINAMICA (teorema de la telaraña)

Es el caso del mercado competitivo cuando la oferta se ajusta con retardo de un periodo (depende de los precios del período anterior); como por ejemplo en las cosechas anuales de cereales, en la construcción de vivienda para alquiler; o en los ciclos de la industria del cerdo (de los jamones) etc periódicos.

En este mercado competitivo la demanda se adapta instantánea-mente a los precios, pero la oferta si bien es rígida (fija) a cortísimo plazo (ya que no puede cambiar sus cantidades y necesita vender) a mediano plazo puede producir más o menos según sea el alicien-te de los precios del periodo anterior.

Se parte de un equilibrio inicial:

Demanda: P = 35 – 4X Oferta: P = 4 + 5X

En equilibrio D = O 35 – 4X = 4 + 5X


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31 = 9X X = 3,44 Y según la D u O P = 35 – 4 (3,44) = $21 el precio inicial graficado . El proceso de ajuste puede ocurrir tanto por alteraciones en la de-manda como en la oferta. Si bien podría haber teóricamente situa-ciones transitorias inestables (de indefinición por recurrencia o tam-bién por divergencia en el ajustamiento), es normal que luego de la alteración ocurra un proceso de ajustes y se llegue a un nuevo equilibrio de largo plazo diferente (por aproximaciones convergen-tes).

Esto lo asegura una pendiente de la oferta mayor que en la deman-da (en valor absoluto), simplemente por una cuestión geométrica, pensando que los ajustes de precio y cantidad serán cada vez me-nores si las endientes son mas empinadas en la oferta (pero no se pueden ampliar conclusiones sobre las elasticidades ni sobre pen-dientes en funciones diferentes a las normales).

Simplificando para el caso típico, si el precio del trigo fue alto en el periodo anterior esta siembra seria grande (y viceversa) y la oferta así mayor. Esta reacción o actitud es la que genera las aproxima-ciones sucesivas entre oferentes y demandantes. No interesa en sí cual sea la duración del periodo (en granos sería de12 meses hasta repetir la cosecha; en viviendas para alquiler se dice que hacen falta unos 18 a 20 meses para terminar una vivien-da; en la industria del cerdo (producción de jamones con maíz) es-tos animales paren en 6 meses pero las estadísticas serían anuales y los ciclos observados en algunos países serían de 2 y 4 anos (se-gún las sequías y el mercado internacional del maíz, etc.).

Lo que sí interesa es el proceso de convergencia y disponer de alguna idea del tiempo de este proceso, que el modelo explica con la diferencia de pendientes comentada.


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AJUSTE ANTE UNA BAJA EN LA DEMANDA

Ahora compraría esa cantidad pero solo al menor precio P = $10; surge así un nuevo punto P = 10 y X = 3,44 diferente al equilibrio inicial, que la oferta no estaría dispuesta a aceptar. Para calcular el nuevo equilibrio faltaría conocer la ecuación de la nueva demanda que pasa por ese punto. Se la puede deducir recurriendo al concepto de recta que pasa por dos puntos: el nuevo y otro inmediato que no es imprescindible co-nocer, ya que en este concepto matemático el siguiente cociente entre paréntesis representa la pendiente de esa recta de demanda buscada.

P- P1 = (P2-P1 / X2-X1) (X-X1)

P = -4X + 23,86 segunda recta deman-da

En el nuevo equilibrio se iguala la nueva demanda con la oferta:

-4X + 23,86 = 5X + 4 19,86 = 9 X X = 2,2

y reemplazando en P2 u O1 el precio P = $ 15

Como la pendiente de la oferta es mayor (en valor absoluto) que la de la demanda el proceso de aproximaciones a un nuevo equilibrio esta asegurado. La oferta es mas rígida, firme, empinada.... que la demanda , es de-cir oferta con mayor coeficiente en la forma implícita... (menor coefi-ciente en la forma explicita) Las aproximaciones sucesivas serán más o menos rápidas, según la diferencia entre las pendientes de la oferta y demanda (aquí 5 vs. 4 en valores absolutos). 5 indica que la oferta es muy rígida; 4 muestra que la demanda es


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más inclinada (y esto no implica afirmar que son más o menos elásti-cas o inelástica)

MEDIDA DE LA RAPIDEZ DEL AJUSTE

El gráfico muestra como se llega al nuevo precio $15 en 13 fases. Según el modelo este lapso cambia conforme se modifiquen las pendientes (junto con el precio de equilibrio y magnitud de los ajus-tes). Pero ello no quiere decir que en la realidad se deban esperar los períodos indicados hasta llegar a un nuevo equilibrio (los agen-tes económicos se encargan de efectuar estos ajustes muy rápida-mente para no perder negocios); el modelo solo muestra que a ma-yor diferencia de pendientes mayor será la rapidez del ajuste y me-nores las fases; Excel permite comprobar esta lógica fácilmente (los agentes procuran abreviar drásticamente el lapso para no per-der operaciones frente a competidores).

La interactividad de la hoja Excel permite ver esto instantáneamen-te. Por ejemplo, subiendo la pendiente de la oferta a 7 como una


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prueba, cambiaría también el nuevo equilibrio. Excel muestra que el proceso de ajuste se cumple ahora en 8 fases; bastante más corto / rápido porque subió la diferencia de pendientes (en valor absoluto) entre demanda y oferta (medidas en la forma implícita sus coefi-cientes serían ahora 4 y 7; antes 4 y 5).

La pendiente 7 en la oferta se cambió en la celda 05 y simplemente se copió a toda esa columna.


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(use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles) NÚMERO DE PERIODOS HASTA EL AJUSTE

Antes que existiera Excel los textos solo explicaban intuitivamente que la velocidad dependía de las pendientes.Pero hoy Excel permite contar el número exacto de períodos hasta el ajuste, con la función =contar.si( ; ), en la cual los argumentos del paréntesis son: a) el rango con las diferencias Pd-Po ; y b) ”>0”.

AJUSTE ANTE UNA BAJA DE OFERTA POR SUBA DE COSTOS

Mercado competitivo con una demanda que se ajusta instantá-


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neamente a los cambios de precios, pero la oferta es rígida a cor-tísimo plazo y a mediano plazo se ajusta con retardo de un perío-do. En este caso luego del equilibrio inicial cae la oferta 20%: Demanda Pd = -3X +40; Oferta Po = 5X +15 Equilibrio con D = O que hemos calculado como -3X + 40 = 5X + 15...... o sea X=3,12 y reemplazando en Pd o Po..... P=$30,60 Si cae la oferta 40% se puede interpretar como que a ese precio p=$30,60 ofrecería 40% menos que 3,122 unidades (X =1,87 uni-dades ahora...) Usamos Recta que pasa por 2 puntos: P - P1 = (P2 - P1 / X2 - X1) (X - X1) ........donde el cociente del segundo miembro es la pendiente de la recta de oferta (la tangente o cateto opuesto P sobre cateto adyacente X). Cambió la oferta y solo conocemos un punto, el formado por P=30,60 $ y X=1,87...... Pero la pendiente de la segunda recta de oferta es similar a la primera (la cual ya conocemos: el 5 que afecta a la variable X en la oferta inicial) Ahora podemos completar la Recta por dos puntos: P – 30,60 = 5 (X - 1,87)....... o sea, P – 30,60 = 5X – 9,35......o sea, P = 5X –9,35 +30,60 .......O sea, P = 5X + 20,65 es la segunda oferta. Nuevo equilibrio: D = O: -3X+40 = 5X + 20,65..... o bien 8X = 19,35....o sea X = 2,42......y según la D u O es P = 5(2,42) + 20,65 = $32.75. Se llega a este nuevo equilibrio de largo plazo luego de un proce-so de ajustes sucesivos o aproximaciones (tanteos) que incluyen variaciones de precio y cantidad cada vez menores. Esta tenden-cia concéntrica lo asegura el hecho de que la pendiente de la oferta inicial es mayor (en valor absoluto) que la de la demanda (la velocidad del ajustamiento depende de cuanto mayor sea esa


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diferencia en valor absoluto). El grafico muestra la demanda con ordenada 40 y abscisa 3; la oferta inicial con ordenada 15 y pasa por el primer equilibrio; segunda oferta con ordenada 20,65 y pasa por el segundo equilibrio.

X DEMANDA OFERTA 2da.Oferta

-1 43 10 15,65 0 40 15 20,65 1 37 20 25,65 2 34 25 30,65 3 31 30 35,65

4 28 35 40,65 5 25 40 45,65

ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION

El análisis dinámico y los modelos de simulación, tanto estáticos (como el análisis de la coyuntura o actividad económica) o dinámi-cos son fáciles de implementar en Excel. En los siguientes ejemplos


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se ilustran casos elaborados con solo instrucciones en simples hojas de calculo; para otros casos se utilizan recursos elementales de Excel como la posibilidad de iterar celdas o repetir en “bucle” indef i-nidamente; y en otros se utilizan aplicaciones de Excel, como iterar, =aleatorio, =si() y funciones o distribuciones diversas. Existen numerosos programas especializados para econometría y afines, pero Excel también permite la elaboración de muchos pro-gramas complejos median la creación de macros automáticas, cuya mecánica también se resume aquí (y esta detallada en el propio utilitario de Microsoft).

ITERACIONES EXCEL

Excel tiene incorporada la función iterar (repetir cálculos) que puede ser activada tildando en las opciones iniciales. Pero también se pueden construir fácilmente iteraciones utilizando dos celdas (como se hace en el próximo Excel sobre la función logística de Lorenz). Pruebe con un ejemplo fácil: anote un número en D1; en D2 escriba +E2; en E2 escriba una fórmula, por ejemplo, =raíz(D1). Pinte y co-pie las celdas D2 y E2 hacia abajo; verá la iteración de la raíz cua-drada del número puesto en D1 (elija la cantidad de copias o itera-ciones necesarias; también los decimales, con formato de celda / número /decimales).


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Si en otro análisis se debiera “rellenar” una serie sucesiva se pue-den anotar en dos celdas dos valores sucesivos con algún intervalo; pintarlos y arrastrar hacia abajo el borde inferior de esa cuadrícula pintada. Excel completará repitiendo el intervalo en el período elegi-do como sucesivo (tal como en el modelo de la Telaraña, columnas M hasta P). Estas posibilidades de iterar facilitan los análisis dinámicos en Excel.

RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9

En esas opciones Excel (en Herramientas o bien en el Office 2007 el icono Excel para el Office (izquierda arriba) ver abajo Opciones; elegir Formulas; luego tildar Cálculo Automático o Manual (con F9); tildar Iteraciones, que suele venir para 100 cálculos y con ajuste al 0,001, pero se pueden elevar hasta 32.000 cálculos (y más con F9)


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y anotar otras diferencias (con macros esto se puede redimensionar a millones). Si en una celda A2 anota la fórmula =A2+1 (es una referencia circu-lar a la misma celda), en cálculo automático instantáneamente se vería 100, pulsando F9 vería 200 etc. aumentando 100 con calda pulsación de F9. Si hubiese anotado para 1000 cálculos en vez de 100, vería que los aumentos serían de 1000 con cada F9 (y al guardar).

CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE)

Excel incluye muchas funciones y aplicaciones intuitivas que apli-camos aquí al análisis económico sin programar. En dinámica pre-sentamos algunos ejemplos en este capítulo como el modelo de la telaraña; o las cadenas de Markov; y la herramienta Solver de Excel. En computación estas posibilidades para el análisis dinámico son múltiples mediante programación; y en Excel se facilitan con la creación de macros. Hay una forma intuitiva de diseñar programas y utilizarlos, creando macros con Excel: se efectúa la rutina de algún análisis o modelo económico y se instruye a Excel para que simultáneamente grabe una macro con esa rutina. Luego se la podrá ejecutar indefinidamen-te a voluntad.


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En este ejemplo simplificado se le pide a Excel que multiplique por dos la celda izquierda; la macro repite esa rutina indefinidamente para todos los valores de la columna. Para crearla: Herramientas / Macro / Grabar nueva macro. Para ejecutarla: desde B2, Herramientas / Macro / Macros / Ejecu-tar; o bien con Cntrl + A (en este caso se le asignó esa letra). En Office 2007 recurra a F1 para esta equivalencia.

NEWTON – RAPHSON

Es un método de resolución de ecuaciones mediante iteración para aproximaciones sucesivas, en el cual a cada término se le resta el anterior menos la función dividida su derivada:

Xn+1 = Xn - Fx / F‟x

Si la función tiende a un valor finito es fácil encontrarlo anotando los términos de esa función en una hoja de cálculo y copiándolos, tal como se indicó en iteración.


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MODELOS DE SIMULACION EN EL MIT:

Simulación para administración de empresas y/o inventarios:

El breve trabajo La Quinta Disciplina, de P. Senge, popularízó el modelo o juego de la cerveza que desarrolló la escuela de adminis-tración Sloan del MIT en 1960, siguiendo un proyecto de Jay W. Forrester (en “Industrial Dynamics”) sobre modelos computacionales de simulación económica (y que J. D. Sterman, del MIT, explicó de-talladamente en Teaching Takes Off: Flight Simulators for Manage-ment Education, "The Beer Game". Sin embargo, P. Senge por ra-zones didácticas (o de promoción, quizás) lo hizo sobre la base de supuestos (grotescos) de una total ausencia de formación técnica microeconómica en los gerentes de cada empresa.


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Interesa por ahora la idea de Forrester sobre los modelos de simu-lación económicos, que es algo costosa aún a nivel microeconómi-co. De hecho esta tipo de programación también le interesó a la ex Unión Soviética, que desarrolló paralelamente la programacion lineal con L.V. Kantorovich y otros, aunque esta aspiración macroeconó-mica fue luego abandonada, al igual que ocurrió en los países de economías de mercado con su (lírica) idea de “el equilibrio general”. Estas simulaciones son costosas, pero sin embargo, son aplicables para diversos ámbitos técnicos y también microeconómicos; por ejemplo, en los simuladores de vuelo a que hace referencia Ster-man: simuladores de vuelo como el que existía aquí en la calle La Paolera–en Catalinas- antes de la privatización de Aerolínea Argen-tinas para la práctica de pilotos. Sin embargo en materia económica y microeconómica los avances son todavía modestos, como para no pensar por ahora en algo como “pilotos automáticos” para empre-sas, no obstante las posibilidades que ofrece Excel en estas. Trataremos el modelo o juego de la cerveza del MIT sobre la base de dos aspectos: uno a continuación, que es la herramienta compu-tacional para simular el comportamiento de una industria (compues-ta aquí de consumidores, minoristas, mayoristas, distribuidor, pro-ductor); el otro aspecto es la irreal simplificación del funcionamiento de esta industria, sobre la base de irreales pautas de comportamien-to de los jugadores (gerentes de distribución en cada uno de esos cuatro grupos empresarios). Veremos ahora las características del funcionamiento del modelo de la cerveza como simulación compu-tacional y en otro capítulo se comentará sobre los irreales supuestos de su funcionamiento (en el cap.10: El juego de la cerveza del MIT). Sterman explica que el juego consiste en administrar (optimizar) los pedidos y existencias de cerveza en estos cuatro de los cinco secto-res mencionados; los equipos de jugadores comienzan repitiendo los pedidos iniciales de 4 unidades semanales, hasta que por una promoción la demanda se duplica. No existe más comunicación en-


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tre los sectores que la libreta de pedidos de los camioneros y se supone un gran retardo de semanas en la informaciones de estos, de modo que en ese momento se reducen las existencias de los minorístas y luego las de los mayoristas y las del distribuidor antes que la fábrica comience a subir la producción y la entrega. Los minoristas suben sus pedidos casi tanto como vieron aumentar el consumo; otro tanto hacen los mayoristas y el distribuidor con los pedidos que reciben, de modo que se van redimensionando los pe-didos hasta llegar a unas 20 unidades al final de la cadena, que res-ponde con ese retardo a estas órdenes; pero la entrega así sobre-dimensionada llega finalmente cuando ya pasó el auge del consumo y tal demanda no existe, generando los consiguientes perjuicios y paralización del sistema. Se suponen ingresos y costos, incluso por mantención de inventa-rios (12 unidades inicialmente) y también costos por demora en las entregas; luego de la cuarta semana cada jugador (equipo o empre-sario) debe tomar sus decisiones sobre optimización durante el resto del juego (50 fases o semanas, o menos ante interrupción del mis-mo por colapso del sistema, a las 36 semanas según juegos en el MIT). Solo los minorístas conocen la demanda de los consumidores y no existe comunicación sobre esto entre las empresas (tampoco hay imprevistos o interrupciones por causas técnicas u otras). Igual que los simuladores de vuelo aeronáuticos, este modelo apun-ta a una práctica en administración y/o inventarios: refleja la gran oscilación de los pedidos y las existencias debida a un artificioso sistema de comunicaciones con un gran retardo, y al aumento en esta variancia por irreflexivo redimensionamiento entre cada etapa, hasta más que duplicar el ritmo de pedidos normales en los mayoris-tas y otro tanto en el distribuidor y fabricante, pasando desde 4 uni-dades semanales hasta unas 20, ya que según Sterman (Modelan-


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do el comportamiento empresarial, 1989), la mayoría de las perso-nas no tiene en cuenta el impacto que sus propias decisiones tiene sobre los demás (ante una heurística muy “sencilla”, según explica, por amplificación de señales (o redimensionamiento). Este juego de simulación puede practicarse on line (hay varios ac-cesos gratis en la web para este beer game), como una simulación de gestión de “vuelo” empresarial (según el MIT, Sterman y More-croft, 1992), para remarcar la importancia de la coordinación entre los niveles de una organización y la de sus sistemas de información. J. Sterman también desarrolló otros modelos parecidos, como Peo-ple Express Airlines, una aerolínea “recuperada”, en la que el juego consiste en prácticas sobre decisiones de marketing, demanda, competencia y gestión para optimizarla. Igualmente con el modelo B & B Enterprises, supuesta productora de bienes de consumo dura-ble, que permite practicar decisiones sobre marketing, estrategia comercial y de organización industrial, teoría de los juegos e incluso la propia modelación computacional de este juego.

Sin embargo, estos últimos modelos de Sterman y Morecroft no en-focan cuestiones preferentemente microeconómicas, sino otros di-versos atinentes a organización, administración o a aspectos sobre la gestión gerencial o directiva.

MODELO DE LA CERVEZA EN EXCEL

Ante la carencia de algo similar en nuestro medio, para estos cursos de microeconomía hemos preferido desarrollar este modelo de si-mulación con cinco sectores, mediante Excel, cuyo lenguaje compu-tacional es francamente superior (en sencillez, eficacia y posibilida-des de interacción) a cualquier otro existente (y en especial a las bases de datos, ya sean para PC o para las MAC que utilizaba an-tes el MIT).


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Este modelo de simulación ejecutado en Excel permite la operación por un solo “jugador”, o bien por un grupo de practicantes para cada tipo de empresa (sector), mediante la simulación progresiva para todo el conjunto de esta “industria”, ya sea esto practicando con decisiones tipo impulsivo, como con decisiones basadas en los prin-cipios microeconómicos (estudios de demanda, optimización de in-ventarios, programación de la producción, optimización multiobjeti-vo, competencia oligopólica, etc. aquí expuestos). Este enfoque microeconómico del juego o modelo de simulación de la cerveza en Excel tiene una naturaleza objetiva (simulación de decisiones de demanda y producción sobre métodos numéricos in-ductivos y deductivos), frente a los análisis de Sterman y Morecroft, enfocados preferentemente en aspectos subjetivos y no medibles, que buscarían aportar ideas para explicar los fracasos de compa-ñías, como sus ejemplos de la aerolínea People Express y/o la ope-radora telefónica (que introdujo las centrales de telefonía electróni-ca) etc., quizás más útiles para asignaturas como administración o gestión (en microeconomía no se dudaría en culpar del fracaso en la aerolínea, entre escasez de personal o que luego de cinco años la competencia también bajó sus precios 50%: no es cuestión de pro-sa; cada efecto se cuantifica).


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CAPÍTULO 8

TEORÍAS ECONÓMICAS Y LEGISLACIÓN OBLIGA-TORIA

La legislación comercial local –ámbito interno de la Comisión Nacio-nal de Defensa de la Competencia y ámbito externo de la Secretaría de Comercio Exterior, según puede consultarse por ejemplo en www.mecon.gov.ar- procura el accionar de la empresas industriales y comerciales bajo las condiciones de la libre competencia. Asimismo, la legislación doméstica en otros países, así como la le-gislación sobre el comercio internacional, según la Organización Mundial de Comercio ex GATT- también se basan en el accionar sobre la libre competencia, según el modelo económico teórico de la competencia perfecta. Se destaca la exigencia de un solo precio para el mismo producto, ausencia de discriminaciones, de acuerdos entre empresas compe-tidoras (colusión), de aranceles proteccionistas a la importación, reservas de mercado, ventas, importaciones o exportaciones en condiciones subsidiadas y dumping, etc. Son célebres y numerosos los casos legislados -sobre la Standard Oil Company hace un siglo, por precios predatorios; hasta los re-cientes casos locales sobre YPF por discriminación; y otros numero-sos sobre diferentes empresas- y ponen de manifiesto un ámbito sobre el accionar de las empresas, que repercute directamente so-bre la demanda y mercado disponible de todas las demás, general-mente en una magnitud tan relevante como pueden serlos las modi-ficaciones extraordinarias de tipos de cambio o de la legislación comercial y política macroeconómica.


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Las empresas, sus cámaras y las autoridades discuten sobre las condiciones competitivas de los competidores locales o externos. Las presentaciones incluyen argumentos teóricos así como contras-taciones empíricas, que Excel facilita, al presentar series y gráficos de estas o de las funciones / ecuaciones de los modelos en soportes magnéticos estandarizados.

TABLAS DE EXTRAS DE PRECIOS Y COSTOS

A través de un ejemplo se concreta la idea. Una empresa industrial dispone de instalaciones modernas, pero que superan la capacidad de compra doméstica. Sus producciones insuficientes le impiden operar con el costo medio mínimo, en la medida que está obligada a repartir los importantes costos fijos entre la poca producción y sus precios locales son así altos. La conducta competitiva le orienta a buscar mercados externos para operar en el punto de mínimo costo medio u óptimo de explotación de largo plazo. Consigue exportar a los EEUU la mitad de su producción mensual. Esos grandes lotes son exportados a precio rebajado, tanto por el tamaño del pedido, como por operar ahora en el punto óptimo. Los competidores de aquel país impulsan una denuncia de dumping contra el exportador argentino, alegando que el precio de venta a EEUU es inferior al precio de venta local, según fotocopia de factu-ras a varios pequeños clientes argentinos. El “Department of Commerce” de EEUU envía inspectores para con-trolar costos y facturas del productor y requiere constancias y expli-caciones en el acto, inmediatamente.


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Los argumentos para explicar la conducta competitiva sobre costos, precios y optimo de explotación según textos no sirven. Son necesa-rios documentos empresarios, pero en el acto. Se recurre a las últimas memorias y balances anuales firmados por el contador de la empresa. En sus anexo A y cuadro 1 figuran cinco datos vitales: total facturado en pesos; volumen facturado en kilos; total del costo fijo; total del costo variable; Y pequeño porcentaje de utilidad, no pérdidas. Se explica que al operar ahora en el punto optimo de explotación el bajo precio de exportación coincide con el mínimo costo medio -y con el precio local a algún cliente muy grande- no obstante que los mayores precios locales para el menudeo se corresponden con los mayores gastos variables de comercialización, administrativos, etc. La estructura de precios debe responder a la de los costos; debe presentarse una tabla de extras o descuentos (quizás no exista im-presa, si las pocas ventas muy grandes o exportaciones pocos nu-merosos no lo justifican). Con Excel puede armarse rápidamente un cuadro de extras como el de la imagen y cumplimentar esta exigen-cia legal, tal que permita mantener el mercado y evitar multas anti-dumping:


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CONTRATACIÓN EN COMPETENCIA PERFECTA:

CRITERIO DE CONTRATACIÓN

La empresa competitiva maximiza su beneficio contratando factores hasta el nivel en que la remuneración a abonar sea igual al valor del producto marginal obtenido con ella. En el siguiente ejemplo figuran las unidades de factor, producciones, salario, ingreso total, costos y beneficios.

Con la cuarta unidad de factor el salario de 140 es igual al producto marginal que obtiene la empresa contratándola y a ese nivel obtiene su máximo beneficio. Si opera con menor contratación de factores pierde o no maximiza beneficios; igualmente si opera contratando más que 4 unidades del factor L. Para graficar esta situación con valores unitarios es necesario ubicar a la izquierda las unidades de factor, luego el valor del producto marginal y luego el salario. Icono de gráficos > Dispersión > título, etc. (y si se desea la ecuación en el gráfico picar sobre una línea y con el botón derecho > Agregar línea de tendencia, etc.).


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Para graficar con enfoque total se ubican a la izquierda las unidades de factor y luego el ingreso total, el costo total y el beneficio total. Icono de gráficos > Dispersión > títulos (y picando en una línea ele-gir Agregar línea de tendencia, con el botón derecho).


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MERCADO COMPETITIVO

EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES

La demanda del mercado es X= -50P +1000 y las empresas operan en el óptimo de explotación (mínimo CMVariable) Una de las empresas competitivas tienen costos de largo plazo: CT = X3 -3X2 +6X; su costo medio variable mínimo se obtiene minimi-zando o también igualando el CMVariable con el C.Marginal: CMVar = X2 -3X +6; CMg = 3X2 -6X +6; igualándolos surge la cantidad X =1,5 para esa empresa "A", así como el importe $3,75 de ambos CMVar.y CMg., que deben coincidir con el precio en ese mercado competitivo en el largo plazo. Reemplazando ese precio en la demanda del mercado se obtiene la cantidad total demanda en el mercado X=812,5. Como la empresa "A" produce solo 1,5 se concluye que hay 542 empresas competido-ras actuando.


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SOLVER permite la maximización: Herramientas > Solver > Celda objetivo: la cantidad demanda por el mercado total; celda cambiante: la cantidad producida por "A"; restricción: CMVar.=CMg, como se ve en la siguiente hoja Excel:


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OTROS MERCADOS - MONOPOLIO

Operan en la etapa de rendimientos crecientes, ya que reduciendo la cantidad pueden maximizar beneficios, frente a otra conducta, como la competitiva. Maximizan su beneficio, B= IT-CT, con B'=0 y B'' <0; es decir, B' = IT' -CT'=0, ingreso marginal igual a costo marginal y que desde ese nivel crezca más CT'que IT'. Si la demanda es X = 400 -20P, o bien P = -1/20X +20, y su costo total CT = 5X + X2/50, resulta: IT = -1/20(X2) +20X, con IT'= -1/10X + 20 Su costo marginal CT'= 5+ 1/25X IT'= CT' con -1/10X +20 = 5 +1/25X (-1/10-1/25)X = -15 o sea cantidad X= 107 con IT'' = -1/10 menor que CT'= 5+ 1/25(107) El precio P= -1/20(107) +20 = $14.65 El monto del beneficio es B=IT -CT = $14.65 (107) -[5(107) +(107)2/50] = $ 1568 - $ 765 = $803 Ingresando estas fórmulas en la fila 2 de una hoja de cálculo, se elige un rango como en A3 y se las copia. Luego se pintan las dos filas y se arrastra por el ángulo inferior derecho hacia abajo, hasta que aparezca el máximo beneficio. También se pude efectuar la solución con Herramientas > Solver >: se elige la celda objetivo, las cambiantes y las restricciones como se


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indica en la imagen y al resolver, Solver emite los resultados en la fila 8 de la hoja.

MONOPOLIO QUE ACTÚA COMPETITIVAMENTE

Si decidiera actual como en competencia, tendría que igualar su precio al costo marginal. En competencia las empresas operan con rendimientos decrecientes y su ingreso marginal es igual al precio de mercado, común para todas: optimizan entonces igualando pre-cio con costo marginal (y desde ahí que su IMg crezca menos que su CMg). Aquí: P = CT' sería: -1/20X +20 = 5 +1/25X

con X = 166,6 y P= 1/20(166,6) +20 = $11.67 Su beneficio B =11,67(166,6) -[5(166,6) +(166,6)2 /50] =$556, inferior que si optimiza como monopolio puro.


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Puede observarse en la imagen que Solver calculó esta situación en la fija 8 simplemente cambiando en la restricción la columna G por la anterior que era B (igualar precio en vez de ingreso marginal).

MONOPOLIO DISCRIMINADOR

Sea el caso de un monopolio que puede dividir su demanda en dos grupos y cobrar diferente el mismo producto en ambos. La teoría explica que si fuera posible esta actitud la empresa maximizaría beneficios vendiendo más caro en la demanda con menor elastici-dad precio (más rígida) y más barato en la demanda más elástica. La condición es vender en ambos mercados con similar ingreso marginal, a su vez igual al costo marginal único; y que desde ahí el costo marginal crezca más rápido que el ingreso marginal conjunto. Supóngase un caso con costo marginal no constante, decreciente, como es el caso general en monopolio:


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Su costo total CT= -0,2X2 +30X + 40; costo marginal es CM'= -0,4X + 30 y ambas demandas

P1= - 2X1 +100 y P2 = -3X22 + 150;

los ingresos totales son: IT1= -2X1

2 +100X1 e IT2 = -3X2

2 + 150X2 y los ingresos marginales:

IT'1 = -4X1 + 100 y IT'2 = -6X2 +150 Para la suma horizontal de ambos ingresos marginales se trasponen a la forma implícita:

X1 = 1/4 IT'1 + 25 X2 = 1/6 IT'2 + 25 Sumando: X = 10/24 IT'+50 o sea, IT'= -2,4X +120 Para maximizar el beneficio B debe cumplirse B' =0 y B'' <0 B'= 0 implica IT'- CT' = 0: -2,4X +120 = -0.4X +30 o sea, X=45 reemplazando en CT'o en IT' = -2,4(45) +120 = $12 Del ingreso marginal, $12, puede deducirse la cantidad a vender en cada mercado:

$12 = -4X1 + 100 o bien, -4X1 = -88 con X1 = 22 igualmente en el otro mercado: $12 = -6X2 + 150 o bien, -6X2 = -138 con X2 = 23 La cantidad total 22 + 23 = 45 unidades; los precios: P1 = -2(22) + 100 = $56 P2 = -3(23) + 150 = $81 El beneficio máximo es: B = IT1 + IT2 -CT = 56(22) + 81(23) -[-0,2(45)2 +30(45) + 40] = 3095 - 985 =$2110. Falta observar si cobra más caro a la demanda más rígida y más barato a la más elástica. E1 = dQ/dP (P/Q) = - [-1/2(56/22)] = +1,3 la más elástica E2 = -[-1/3(81/23] = 1,1 la menos elástica


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(cobra menos en la demanda más elástica, P1 =$56, P2 =$81)

MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIÓN

También conviene comparar con la situación frente al monopolio sin discriminación, para ver cuanto representa: P1 = -2x21 +100 o sea, X1 = -1/2 P + 50 P2 = -3X2 + 150 X2 = -1/3P + 50 Sumando: X = -5/6P +100 o bien P =-6/5X +120 El ingreso total IT = P(X) = -6/5X2 + 120X Su ingreso marginal IT' = -12/5X +120 Maximizando B con B'=0 y B'' <0 IT' = CT' -12/5X +120 = -0.4X +30 (24/10 - 4/10)X + 90 = 0 con X= 45 similar que antes. El precio P = -6/5(45) + 120 =$66 intermedio entre los anteriores EL beneficio B= IT - CT = 45(66) -[-0,2(45)2 + 30(45) + 40 = $2970 - 985 =$1985, inferior que el obtenido bajo discriminación ($2110).


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EMPRESA CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA)

Cuando tiene dos plantas, logra su óptimo o máximo beneficio pro-duciendo de modo que el costo marginal en ambas sea igual al in-greso marginal. La optimización empresaria se analiza con funciones en la forma implícita; pero para sumar los costos marginales en un costo margi-nal conjunto es necesario trasponerlos a la forma explícita, para hacer la suma horizontal. Una vez sumados se debe volver ese CMg conjunto a la forma implícita, a efectos de igualar con el IMg y calcu-lar así la cantidad de equilibrio. Esta cantidad permite obtener el importe en pesos del CMg conjunto o IMg; con ese importe en pesos se reemplaza en cada función de costo marginal de las plantas para calcular la cantidad a producir por cada una. Con la cantidad total también podemos calcular el IT, el CT, el Beneficio; y el precio.


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Supóngase solo dos plantas en un mercado cuya demanda es com-petitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X1

2 +10 X1 + 20 y para la otra planta C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18.

Una vez sumados horizontalmente los costos marginales se traspo-ne el costo marginal conjunto (para optimizar igualándolo con el in-greso marginal). C1´ = 1/2X1 +10 1/2X1 = C1´-10 X1 = 2C1´- 20 C2´ = 2/3X2 + 8 2/3X2 = C2´- 8 X2 = 3/2C2´- 12 X = 7/2Cc´- 32 costo marginal conjunto Volviéndolo a la forma implícita: 7/2Cc´= X + 32 o sea, Cc´= 2/7X + 64/7 El equilibrio es Max. Beneficio, con B´= 0 (o IMg = CMg) y que sea B´´< 0 (es decir Img´< CMg´) 30-2X = 2/7X + 67/7 ; 16/7X = 30 – 64/7; con X = 7/16 (30 – 67/7); X = 9,1 Que cumple la segunda condición de máximo: -2 < 2/7. En ese punto el valor del Costo marginal conjunto es Cc´= 2/7(9.1) + 64/7 = $11,80 Que si se reemplaza en la suma horizontal precisa el reparto de las producciones:

X1 = 2 (11.80) – 20 = 3,5 kilos X2 = 7/2 (11.80) -12 = 5,6 kilos 9,1 El precio es igual en las dos plantas P9,1 = 30-9,1 = $20.90 El ingreso total es PX = 30X – X2 = 190,19 El ingreso marginal es IT´= 30 – 2X = 30 – 18.2 = $11.80. (el Ingre-so marginal es igual a ambos costos marginales). El beneficio B= IT –CT1 –CT2 = -5/4(3,5) -4/3(5,6)2 -2(3,5)5,6 +20 (3,5) +22 (5,6) -38 = $59,


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30 $ C1` c2´ 20.90 P CC´ 11.80 E 3,5 5,5 9,1 15 30 kios

COMPETENCIA MONÓPOLICA

DUOPOLIO SEGÚN COURNOT

Supóngase solo dos empresas competidoras en un mercado cuya demanda es competitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X1

2 +10 X1 + 20 y para la otras empresa C2 = 1/3X2

2 + 8X2 + 18 La solución de Cournot prevé que cada uno considera su producción dependiente de la cantidad que produzca su competidor, ya que sería ingenuo pensar que mantendría la producción fija haga lo que haga su competidor. Los ingresos de cada uno son: IT1 = 30X1 - X1

2 - X1X2 ; e IT2 = 30X2 -X1X2 - X22


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O sea, B1 = -5/4 X1

2 +20X1 -X1X2 -20 para la primera y B2 = -4/3X2

2 + 22X2 -X1X2 -18 para la segunda. Sus costos marginales son: CT'1 = 1/2X1 +10; y CT'2 = 2/3X2 +8 Se puede maximizar el beneficio en cada uno, ya que B = IT - CT y el óptimo en ellos es cuando su B'= IT'- CT'=0 y desde ese punto se cumpla B'' = IT'' -CT''<0 B'1 = 20 - 5/2X1 - X2 = 0, de donde X1 = 8 -2/5X2 (función de reacción de la primer empresa, que expresa su producción depen-diente de la de su competidor) B'2 = 22 - 8/3X2 - X1 = 0, de donde X2 = 33/4 -3/8X1 (función de reacción de la segunda empresa, que expresa su producción, asi-mismo, dependiente de la de su competidor) Igualando ambas funciones de reacción y resolviendo surgen X1 = 5,53 unidades; y X2 = 6,17 unidades. El precio es P = 30 -5,53 - 6,17 = $18,30 igual para ambas. Reemplazando estas cantidades en sus funciones de beneficio se obtiene: B1 = $ 18,26 y B2 = $32,86. Esto mismo puede hacerse en una hoja de cálculo Excel, anotan-do las funciones en la fila 2, según la siguiente imagen (recordamos que las ecuaciones se comienzan con "=" para que Excel las acepte como fórmulas). Se anotan una cantidad en A2 y en A3; en B2 va la función de reac-ción X2; en C2 el costo marginal de una y en D2 el de la otra; en E2 va el beneficio de la primera y en F2 el de la segunda. Simplemente


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se escribe en G2 que la suma de ambos sea el beneficio total, para poder observar cuando éste es máximo (G2 = E2 + F2). Al anotar la otra cantidad en A3 el rango entre A2 y A3 puede elegir-se convenientemente para evitar series demasiado largas). Se co-pia B2 a G2 hacia B3; se pintan ambas filas y se las arrastra hacia abajo. Se puede ver que el máximo beneficio aparece en la fila 5, con cantidades y beneficio diferentes para cada empresa, cumplien-do con la condición de B'1 y B'2 nulos.

Otra forma es recurrir a Herramientas > Solver > y anotar como

celda objetivo alguna de la columna beneficio (por ejemplo G4). Como celda cambiante la primera columna de esa fila. Las restric-ciones serán igualar los beneficios marginales de ambas en esa fila

y también que la cantidad de la primera columna sea 0. Con Resolver y Aceptar, Solver encuentra la solución que ya cono-cemos. En esta imagen se eligió la fila 4 al azar.


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EMPRESA LÍDER Y SEGUIDORAS

En la competencia imperfecta una empresa puede ser relativamente más eficiente (o con más poder) que la o las pocas otras, que adop-tan la actitud de seguidoras. Sus costos mayores le impiden operar con el precio más bajo de la líder. Esta toma la decisión de optimizar sus intereses: en su función de beneficios (aquí la misma que la primer empresa del ejemplo anterior) reemplaza X2 por la función de reacción de la seguidora, y simplificando queda como: B1 = 47/4X1 - 7/8 X1

2 - 20 Maximiza beneficios con B' = 0 y B''<0: B'= 47/4 -14/8X1 = 0, o sea, X1 = 6,71 Reemplazando este valor en la función de reacción X2 surge X2 = 5,74. El precio para ambas queda: P= 30 - 6,71-5,72=$17,55 En cada función de beneficio se reemplazas las dos cantidades y se obtiene B1 = $19,42 y B2= $25,84.


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Con Excel se hacen estos cálculos: reemplazando en la hoja ante-rior la fórmula del B'1 por la aquí comentada y anotando los valores de X1 se observa al copiar cual es el máximo beneficio, con B'1 nulo.

Pero aplicando la solución Solver como se muestra en la imagen siguiente también se calcula esta nueva situación (aquí en la fila 8 por azar). La diferencia con lo anterior fue cambiar la formula B'1 y además en Sujeta a la condición, se anotó aquí que el B'1 sea igual a cero.


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Si fuera el caso que la segunda empresa decidiera ser la líder y la demás seguidoras, la solución sería análoga a este desarrollo.

CARTEL (COLUSIÓN ENTRE EMPRESAS)

Bajo el supuesto de que las empresas efectúan (ilegales) acuerdos para trabajar conjuntamente, la decisión conduciría a obtener el ma-yor beneficio conjunto posible; con algún tipo de reparto posterior del beneficio sin criterio definido analíticamente. Siguiendo con las empresas de estos ejemplos, ambas plantas de-ben actuar con iguales costos marginal, a su vez iguales al ingreso marginal, en un Monopolio con dos plantas (el costo marginal con-junto se suma en la forma implícita; en forma similar a la suma de ingresos marginales para el monopolio discriminador de precios o mercados). Supóngase solo dos plantas en un mercado cuya demanda es com-petitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X1

2 +10 X1 + 20 y para la otra planta C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18.


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Una vez sumados horizontalmente los costos marginales se traspo-ne el costo marginal conjunto (para optimizar igualándolo con el in-greso marginal). C1´ = 1/2X1 +10 1/2X1 = C1´-10 X1 = 2C1´- 20 C2´ = 2/3X2 + 8 2/3X2 = C2´- 8 X2 = 3/2C2´- 12 X = 7/2Cc´- 32 costo marginal conjunto Volviéndolo a la forma implícita: 7/2Cc´= X + 32 o sea, Cc´= 2/7X + 64/7 El equilibrio es Max. Beneficio, con B´= 0 (o IMg = CMg) y que sea B´´< 0 (es decir Img´< CMg´) 30-2X = 2/7X + 67/7 ; 16/7X = 30 – 64/7; con X = 7/16 (30 – 67/7); X = 9,1 Que cumple la segunda condición de máximo: -2 < 2/7. En ese punto el valor del Costo marginal conjunto es Cc´= 2/7(9.1) + 64/7 = $11,80 Que si se reemplaza en la suma horizontal precisa el reparto de las producciones:

X1 = 2 (11.80) – 20 = 3,5 kilos X2 = 7/2 (11.80) -12 = 5,6 kilos 9,1 El precio es igual en las dos plantas P9,1 = 30-9,1 = $20.90 El ingreso total es PX = 30X – X2 = 190,19 El ingreso marginal es IT´= 30 – 2X = 30 – 18.2 = $11.80. (el Ingre-so marginal es igual a ambos costos marginales).


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El beneficio B= IT –CT1 –CT2 = -5/4(3,5) -4/3(5,6)2 -2(3,5)5,6 +20 (3,5) +22 (5,6) -38 = $59, 30 $ C1` c2´ 20.90 P CC´ 11.80 E

3,5 5,5 9,1 15 30 kilos Como las dos planta no son de la misma empresa sino una asocia-ción (colusiòn tipo cartel), este beneficio tendrán que repartirlo entre las empresas, con algún criterio no analítico (por ejemplo, mejoran-do algo los resultado de cada una si decidiera actuar por su cuenta, bajo duopolio, como líder o como seguidora; es decir, repartiendo solamente el plus que generarían con la colusión).


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COASE: COSTOS DE TRANSACCION E INSTITUCIONES ADE-CUADAS

R.Coase comenzó en 1960 una línea de investigación buscando mecanismos para evitar las distorsiones en algunos mercados im-perfectos, referidos a bienes de propiedad común, como el medio ambiente y su contaminación por emisiones de carbono (o gases industriales que destruyen el ozono, etc). Sus aportes comienzan aclarando conceptos como el de costos de búsqueda (`por informa-ción necesaria para la selección y adquisición de algo) así como el de la naturaleza (hedonista, eficientista) de la empresa, para profun-dizar en el concepto de costos de transacción, el cual incluye ade-más otros costos no siempre identificados pero que también influyen en las transacciones, en el mercado y en sus aspectos sociales, proponiendo soluciones para reducirlos (bonos antipolución o del carbono; y similares, como los bonos de empleo). En las últimas década la teoría económica (por ejemplo, Arrow en 1987) reconoció que el enfoque neoclásico de la teoría de precios, el equilibrio y la eficiencia de las transacciones solo permite respon-der a algunos interrogantes económicos, pero no a otros, por lo que es necesario un nuevo cuerpo teórico. En este sentido, R. Coase había precisado sobre los costos de transacción, incluyendo también conceptos no visibles, por negocia-ción, gestión y aplicación de una política, etc como por ejemplo en el caso del medio ambiente y la polución industrial; y para solucionar estos inconvenientes analizó separando los aspectos jurídicos del derechos de propiedad (y el de apropiación, más limitado: acceso, extracción, gestión, exclusión, transferibilidad) y las transacciones con cesión de estos derechos, buscando un mecanismo o leyes para modificar las instituciones de estos mercados (crear una ley y un mercado de bonos del carbono).


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Pero su concepto de costos de transacción difiere del tradicional de costo de búsqueda: son los costos de búsqueda e información, más los costos de negociación y decisión, y los costos de formulación y aplicación de las políticas. La calidad de las instituciones está rela-cionada directamente con los niveles de costos de transacción: y le interesa el concepto de su eficacia o gobernanza, “governance”. El Teorema de Coase establece que si no existieran los costes de transacción, la asignación de recursos sería siempre la más eficaz

cualquiera que fuese que fuese la distribución de derechos de pro-piedad. Pero, en los mercados reales los costos de transacción no son nulos, e incluyen a veces elevados costos ocultos, no incluidos en el costo de búsqueda de las empresas, como son los costos por la polución, se distribuyen como beneficios empresarios que soporta la comunidad (información técnica y de prensa, ampliamente difun-dida en su momento, explicaba que la reconversión de la industria energética norteamericana para cumplir con el protocolo de Kioto, representaba un sobrecosto del 20%, que habría originado el finan-ciamiento de la campaña republicana y la polémica elección del presidente Bush. También cabe aclarar en este urticante ejemplo, que luego de una década, la tecnología de recuperación secundaria del petróleo y el gas, estarían solucionando parcialmente la gran contaminación de las usinas eléctrica a carbón en ese país). En consecuencia, según Coase (1960) para este tema polución, si se establecieran topes de contaminación industrial empresaria e inicialmente se repartieran en forma gratuita (con algún criterio de proporcionalidad) bonos o derechos a contaminación limitada entre todas las empresas, aquellas firmas contaminantes con bonos insu-ficientes para poder cumplir con el tope de la ley se encargarían de adquirir bonos excedentes de las firmas no contaminantes, gene-rándose un mercado de estos bonos que, sin otras intervenciones conduciría por sí solo a solucionar un problema, como el de la polu-ción (o su similar el del empleo (Tow, 1995): una simple o automáti-ca gestión del mercado, inducida ante la mera aparición de una ley


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adecuada que perfecciona esa institución. La calidad de las institu-ciones está directamente vinculada con los costos de transacción!.

LA TRAGEDIA DE LOS (BIENES) COMUNES: OSTROM

La profesora Elionor Ostron (Un. Indiana) escribió sobre las medidas necesarias para controlar los recursos públicos necesarios para sus-tentar el estado de bienestar: “derivar un simple y bonito modelo matemático no es el único objetivo” de quienes buscan perfeccionar las instituciones, para evitar la tragedia en los mercados de bienes comunes (aquellos que pertenecen o que puede desarrollar la co-munidad, como medioambiente, minería y combustibles, aguas, bancos de pesca, bosques), en continua y creciente presión por sobreexplotación. Esa propiedad de todos y que es de nadie, constituye un “capital social”, que suelen aprovechar algunas empresas, con peligro de su agotamiento. De aquí la importancia de perfeccionar las institucio-nes con leyes apropiadas para la “gobernanza” de esa institución o mercado (Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action,1990) Suelen haber numerosas restricciones de tipo político, de informa-ción, sobre incentivos y usualmente en vez de un óptimo absoluto solo es posible obtener soluciones tipo “second best” (ejemplos de Ostrom sobre pastoreo, sistemas del agua, gestión de bosques y pesquerías), en el s.XXI están muy difundidas en algunos países europeos para la gestión comunal o comarcal de sus recursos públi-cos locales (mariscos, agua de riego, bosques, etc).

OTRO ENFOQUE INSTITUCIONAL DIFERENTE

También Oliver E. Williamson explica en este sentido, que las orga-nizaciones jerárquicas y las empresas son las mejores formas de


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organizar y gestionar (governance) estas situaciones, en las que se presentan conflictos de intereses particulares y públicos. Se depen-de de las instituciones y de las leyes adecuadas para preservar los intereses particulares y sociales (en Las instituciones del capitalis-mo, 1975; y en Mercado y Jerarquías, 1985): Esas organizaciones vienen a ser los jugadores y las instituciones son las reglas de jue-go. Ve la administración de los recursos a través de la concesión a empresas como la forma más eficiente y “no intervencionista” que corregiría los fallos del mercado. Este enfoque de O.E. Williamson (y J. Williamson según el Consen-so de Wasington) es el preferido desde fines del s.XX en los países americanos: legislación sobre minería, combustibles fósiles, agro y medioambiente etc. que asigna a las empresas la “governance” de estos bienes públicos. Ejemplos argentinos son las leyes de 1990 sobre propiedad provin-cial de recursos mineros, junto con grandes inversiones en mega establecimientos, como los de Barrick y de Goldcorp (oro y plata) o Minera Alumbrera (cobre) y muchas más, que desde 1990 multipli-caron sus actividades extractivas para exportación (existiendo polé-mica sobre las ventajas por un mayor empleo no calificado pero sin otra participación local, durante los 30 años de la ley, en los benef i-cios sobre lo exportado); la asignación de más de la mitad de la tie-rra agrícola al cultivo de soja transgénica con el defoliante glifosato (como en la guerra de Vietnam) para Monsanto, Atanor, Cargil, etc; Repsol en combustibles, que concluyó en la renacionalización de YPF. DOS ENFOQUES ENFRENTADOS Un enfoque empresarial en los países americanos (O.E.Williamson), enfrentado al enfoque comunal (Ostrom, Coase) en países euro-peos; en los cuales se procura mantener el estado de bienestar me-diante instituciones que garanticen la sustentabilidad de los recursos


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de uso comunal (uso del agua de riego compartido; explotación de pinares y robledales para producir rollizos de carpintería o jamones de bellota solo para los aldeanos del lugar; plantación de huevos o alevinos y cupos máximos de extracción de frutos de mar y playas, solo para las marisqueiras del lugar)


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CONTRATACIÓN BAJO MONOPSONIO

Supóngase una sola empresa provincial demandando factor trabajo (en ausencia de sindicatos). Su función de producción de un bien Z es Q=27,5X2 -0,4X3; el precio del bien Z es Pz=$4. Su ingreso total IT = PQ = $4(27,5X2 -0,4X3) = -1,6X3 +110X2 El ingreso marginal IT ' = 220X -4,8X2 El gasto medio en factor productivo depende el costo de éste: Oferta de factor w = 264 +43X (según el costo marginal de este factor trabajo). EL gasto total GT = w(X) = 264X + 43X2; y el gasto marginal es GT' = 264 + 86X Maximiza el beneficio si su ingreso marginal es igual al gasto margi-nal y también se cumple que IT'' < GT'': 220X - 4,8X2 - 264 - 86X = 0; con dos raíces X=25,8 y X=-2,1 , pero B''<0 sólo con X=25,8 Para X=25,8 la función de producción representa Q25,8 = 27(25,8)2 -0.4(25,8)3 = 11436 unidades de Z. Su precio es Pz

= -1.6(25.8)2 + 110(25.8) = $1773 El salario w25,8 = 264 + 43(25,8) = $1374, según la oferta del factor; sin embargo el salario posible sería el abonado según el gasto mar-ginal = 264 +86(25,8) =$2483, por lo que la explotación monopsóni-ca es la diferencia 2483 -1374 = $1109.


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El ingreso total IT25,8 = 110(25,8)2 -1,6(25,8)3 = $ 45742 El gasto total GT25,8 = 264(25,8) +43(25,8)2 = $ 35433 El beneficio total es 45742 -35433 = $10308, como se observa en la hoja Excel con las funciones (aproximación).


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CONTRATACIÓN BAJO MONOPOLIO (CON SINDICA-TO)

El máximo beneficio B se consigue con B'=0 y B'' <0. Siendo B= IT - CT, entonces IT'= CT' : 220X -4,8X2 = 264 + 43X Resolviendo esta cuadrática con Ruffini se obtienen las raíces X=35.3 y X=1.6; con X=35.3 se cumple la condición B''<0. Entonces P35.3 = 110(35.3) - 1,6(35.3)2 = $ 1889 y con el salario favorable al sindicato al nivel de ingreso medio. El beneficio B35.3 = IT - CT = 110(35.3)2 -1,6(35.3)3 -[264(35.3) +43(35.3)] = 66682 - 62901 = $ 3781, resulta menor para el produc-tor del bien Z si abonara los salarios del sindicato.


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MONOPOLIO BILATERAL -

NEGOCIACIÓN CUASICOMPETITIVA Una situación intermedia podría ser viable para ambos, si aceptaran esta solución voluntariamente. En condiciones de competencia per-fecta el equilibrio surgiría de igualar la demanda con la oferta: D = O, si originara ganancias: 110X -1,6X2 = 264 +43X -1,6X2 + 67X - 264 = 0, de donde X=37.5... Entonces, el precio P37.5 = 110(37.5) -1,6(37.5)2 = $ 1875 (interme-dio) y el beneficio B= 110(37.5)2 -1.6(37.5)3 - [264(37.5) + 43(37.5)2] = -$56, pérdida, por lo que la negociación pudiera no ser posible en estos términos. Una negociación de compromiso sería posible, con otros salarios competitivos suficientemente reducidos como para que la empresa alcance algún beneficio razonable. Se suele negociar en primera instancia la cantidad del empleo y luego se negocian los salarios.


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MODELO DI TELLA SOBRE INTERMEDIARIOS CO-MERCIALES (CONCESIONARIOS)

La producción automotriz se entrega o vende vía concesionarios, desvinculados. Ambas firmas, productor y distribuidor, son un mo-nopolio, pero c/u con intereses opuestas al otro; no son duopolio ni tampoco un monopolio bilateral. En esta intermediación comercial hay un margen bruto (y otro neto) de ganancia para el distribuidor, que el autor llama landa (lambda). Si ambas fueran una sola firma esa landa sería el margen crítico. Pero no lo son; y cuando este margen es mayor que el crítico, el concesionario querría vender mas y además que el productor baje su precios. Si el margen real esta entre el crítico y el mínimo, el productor querría vender más que el concesionario y se formarían stocks excedentes... y el productor presionaría para que el margen fuese menor y así aumentar ventas.... Como son dos monopolios los precios tienden a subir y la cantidad a bajar frente a si fueran una sola firma... Vimos un ejercicio maximizando la operatoria para el concesio-nario.


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Un ejemplo del concesionario:

Determinar el máximo beneficio para el productor y para el interme-diario comercial (concesionario automotriz) considerando: Demanda Pd = -2X +350; Oferta del productor Po= 15X +150 Costo de la intermediación: Ci=$10X (10 pesos por unidad) Beneficio del productor: B = IT – CT IT = Pd(X) = (-2X +350)X = -2X2 +350C CT = Po(X) = (15X + 150)X = 15X2 + 150X + Ci = = 15X2 + 150X + 10X Max B si B`= 0 y B``< 0…. Con B´= IT „ – CT ` = 0 B´= -50 +350 –(30X +150 +10) = 0 ; -80X + 190 = 0; X = 2,38 Pd = -25(2.38) + 350 = 290,5 precio final Po = 15 82.38) + 150 = 185.70$ precio para el productor Diferencia: $ 104.80 margen para el intermediario - Costo de intermediación $10 = $94.80 beneficio del intermediario Beneficio del productor: B = IT –CT = -25X2 +350X -15X2 -150X -10X = -40(2.38)2

+190(2.38) = $225.62


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MODELACION NEOCLÁSICA

Ejercicio conceptual tipo integrador de varios principios

RAPIDITO Y LENTITO EN LA ESTACION VIVITOS

El enunciado esta en la Guía Distancia Actividad 4 del tomo II, 7-4 pag 156 Guía Distancia Tow, (eventuales errores de interpretación o tipeo me pertenecen) Este ejercicio es un ejemplo de lo que en el fondo quiere decir el prof. Tow: lo mandatorio es el programa (y no alguna simplificación de la Guía que el alumno pueda suponer que lo demás no se incluye por que no esta ahí desarrollado....). Es decir, hemos estudiado la teoría de los ingresos, la de la produc-ción y la de los costos. Luego el accionar de la empresa en competencia y en el caso gene-ral, como por ej. monopolio (que puede optimizar, discriminar o ac-tuar competitivamente para no ser controlado con impuestos, pre-cios máximos (o venta mínima) o abriéndole la importación competi-tiva con bajos aranceles de importación ...) Tambièn les recomendé leer algo de Microeconomía con Excel (por ej. para poder obtener las ecuaciones partiendo de una serie de valores, etc) ya que nadie puede memorizar sin sentido y es necesa-rio disponer de métodos para identificar, transformar, obtener fun-ciones. En este TP se habla de la estación Vivitos a 10 km de la ciudad; cada domingo llega un tren con 48 pasajeros, que quieren ir a la


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ciudad, y llevan un cartel con el precio que están dispuestos a pa-gar: de $ 0 a 47 y ninguno se repite. El único micro, Rapidito, maximiza beneficios y esta autorizado a un solo viaje pero debe cobrar el mismo precio a todos. Su costo fijo es $100 y el variables de $8 por pasajero. A) Cuántos pasajeros transportara y a qué precio? A un peso habría 47 pasajeros; a dos pesos 46; a tres pesos 45; etc.... La demanda según una hoja Excel es P = -X +48 .... Haciendo P por X el IT = +X2+48X …. Su derivada es el IMg = -2X +48 El CT = 100 +8X .... Su derivada es el CMg = 8 El máximo Ben es según el caso general (Cournot) con la deriva-da primera IT´= 0 (punto de giro) y que la segunda IT´´ negativa.... O sea, con IMg = CMg .... surgiendo así X=20 con P=$28 y un IT=$ 560; un CT= $260 y un max. Ben =$ 300 (y se quedaron sin viajar en micro las 28 personas que tenían la mas baja valoración del viaje en su cartelito) B) A penas salido Rapidito, llega otro micro con similar autorización... . pero su costo fijo es $150 y su costo variable es $4 por pasajero. Cual será el precio de este Lentito y cuando transportara? Con la demanda remanente de las 28 personas con las menores valoraciones del viaje puestas en una hoja Excel, se grafican pin-tando con el iconito de grafico, luego elegimos por ej. dispersión..... agregamos línea de tendencia.... y en su opciones ... Presentar


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ecuación en el grafico... Así obtenemos la función, ecuación, de esa demanda remanente como P = -X +28 Su IT = -X2 + 28X... y su IMg = -2X +28 Su CT = 150 + 4X .... y su CMg = 4 Optimiza Lentito también según Cournot.... con IMg = CMg (punto de giro) surgiendo C= 12 y luego P = -12 +28 = $126 Su IT es así $192.... y su CT = $198....resultando una pedida de $8...... C) Si ambos fueran una única empresa.... llegaría primero el que tomara menos café los sábados y madrugara ... Pero siendo la demanda para ambos asociados buscarían de opti-mizar como un monopolio, usando el ómnibus con menor costo, que es el Lentito. Ya que optimizando con una demanda plena de 48 personas optimi-zaría con 22 pasajeros, cobrando P=$26, con un IT = $572 y un CT = $238... y un Benef = $334 (mayor que el de Rapidito)... pero cui-dado, menos el costo fijo de Rapidito ahora parado les quedaría... $234. Por eso Usarían Lentito y.... luego se repartirían ese beneficio ...(por mitades u otro método que el modelo no incluye, por lo cual se supone podrían repartir solo la diferencia que exceda el costo de oportunidad que tenga cada uno) - Indemnización si le obligaran a poner un precio competitivo: Trabajarían competitivamente (el caso especial) buscando operar con P = CMg (en vez de IMg = CMg)

Surgiendo así una cantidad de X=40.... con un P= -40 + 48 = $ 8..... Así el IT seria $320 y el CT $238 con un beneficio de solo $82..... Entonces debería indemnizarles por la diferencia entre 334 (max. Ben de Lentito) y 82, o sea $252 de subsidio.


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- SI PUDIERAN DISCRIMINAR: cobrándole la cada uno según la cara (su cartelito). El ingreso total en una discriminación perfecta surge de sumar los 48 valores, totalizando $1128. El costo total de Lentito era $238, surgiendo un Beneficio de $890..... En este caso si el municipio admite subsidiarles la diferen-cia entre actuar competitivamente y discriminado tendría que pagar-le 890 - 82 =$ 808 de subsidio. D) Qué pasaría si su objetivo fuera maximizar ingresos (en a), b) y c)? Da) Disponemos de la función de ingreso total de Rapidito... y si el objetivo es max. Ingreso lo encontramos con IT´=0 y con IT´´ negati-vo, surgiendo X=24.... Con 24 el ingreso total es $576... y el costo total con 24 es de $292..... El beneficio por diferencia es $284... Db) maximizando ingresos Lentito tendría el mismo IT=$576 pero diferente costo CT= 150 +4)24) =$246..... por lo que el Ben = 576 - 246 = $330 Dc) si ambas fueran un monopolio..... maximizando ingresos con Lentito sacarían $330 menos el costo fijo de lentito 100 quedaría un Benef =$ 230 En esta programación neoclásica, la idea central es que se trabaje sobre la base de los principios, los diferentes tipos de mercados, los diversos métodos (con hasta 3 variables) y bastantes pautas confu-sas y/o simplificadores para agilizar el razonamiento (esto es bueno; pero mejor es suministrar métodos de aplicación concreta a la ope-ratoria real de toda empresa)


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TELEFOCOM Ejercicio 4:

Ejercicio conceptual tipo integrador de varios principios (el enuncia-do esta en la guía de tp de Tow-ejercicios combinados; eventuales errores de interpretación o tipeo me pertenecen)

La empresa TELEFOCOM debe instalar 500 teléfonos públicos (TP) en distintos locales comerciales de empresas privadas (y maximiza-doras de beneficio). Por su estratégica localización se estima que cada TP tendrá una demanda por parte del público usuario igual a X = 15.000 -5.000Px donde X: número de llamadas mensuales medi-das en número de fichas y Px: precio por ficha (al público). (Nótese que los TP serán instalados lo suficientemente lejos entre si de modo que diferencias en el valor de la ficha en un TP, de existir, no modifican la demanda en los restantes TP. Asimismo téngase presente que el número de solicitudes para que se instalen TP se supone será muy grande por parte de los eventuales tenedores de TP, puesto que se sabe que el TP aumenta la concurrencia a dichos locales y en consecuencia la evolución comercial de los mismos. Se proyecta en $50 + 0,01x el beneficio mensual derivado de este fac-tor para cada tenedor de TP). En el marco regulatorio de la Concesión de Teléfonos se prevé que Telefocom opte por una de las siguientes modalidades para otorgar el servicio de TP: a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha al público y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada. b) Cobrarle al tenedor del TP un precio único por cada llamada y otorgarle libertad en cuanto a fijar el valor -único- de la ficha al públi-co (el precio cobrado por Telefocom incluye el costo de éste).


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Suponga que el costo de cada llamada es de $0,20 para Telefocom, siendo su costo mensual de mantenimiento del servicio de cada TP de $800, adicionalmente. ¿Cuál alternativa es la más conveniente para Telefocom? (A efectos de responder el interrogante planteado determine en cada caso can-tidad demandada, precio (al público) de la ficha, precio de la ficha al comerciante y beneficio mensual del Telefocom. Compare y comente los resultados obtenidos.

RESPUESTAS:

El enunciado no se refiere a un mercado competitivo (ni a monopo-lio, duopolio, empresa líder, cartel, monopsonio, monopolio bilateral, modelo Silos-Labini, Modigliani o de Sweezy). No hay información sobre competidores de Telefocom o productos sustitutos. No cabe aquí la discriminación de precios por alguna de las dos partes. Se menciona un régimen de concesiones, pero no se dice que Tele-focom sea una empresa pública. Tampoco se aclara si puede o no alternativamente instalar los TP en la vereda por su cuenta, sin los comerciantes intermediarios. En este caso de información insuficiente, un modelo algo asimilable podría ser el de Di Tella para intermediarios comerciales (concesio-narios automotrices). Está claro que si Telefocom también es una empresa privada, es imprescindible que ambas partes ganen algo y/o más que operando alternativamente por su cuenta (en la vereda).


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Sin embargo, el modelo matemático solo explica la optimización (B´=0 y B´´<0); nada informa sobre el modo de reparto de las utili-dades entre las partes. 1) Según el modelo Di Tella se optimiza considerando los ingresos

finales y los costos del productor básico, para repartir los beneficios con algún criterio comercial no definido:

Demanda X = 15000 – 5000Px; -5000Px = X –15000; Px = -X/5000 + 3;

Ingreso total: IT = -X2/5000 + 3X; Ingreso marginal IT´= -X/2500 + 3; Costo total neto de la ventaja: CT = 800 + 0,20X -50 – 0,01X; CT = 750 + 0,19X; Costo medio: 750/X + 0,19; costo marginal: CT´= 0,19. Beneficio del intermediario comercial: BTC = -X2/5000 + 3X – 800 – 0,20X + 50 + 0,01X = = -X2/5000 + 2,81X – 750. Maximizando: B´ = -X/2500 + 2,81 = 0, con X=7025; B´´= -1/2500 (<0);


525

Precio: P7025 = -7025/5000 + 3 = $1,60 Px 750 CT CMe IT

3

1,60 Px= CMg

7025 IMg 15000 Situación primaria sobre beneficios, sin explicación del modelo Di Tella sobre su reparto entre Telefocom y el intermediario comercial:

Resultados si Telefocom solo cobrara sus costos: Comerciante: BC = 1,60(7025) – 800 – 0,20(7025) + 100 + 0,01(7025) = = 1405 - 800 - 140,50 + 100 + 70,25 = $ 10470 Telefocom: BT = 0,20(7025) + 800 - 0,20(7025) – 800 = $0; situación extrema inviable si ambas fueran empresas comerciales privadas, que con-duciría a cobrar Telefocon mayores importes, según algún indefinido criterio comercial. 2)


526

Si Telefocom pudiera alternativamente operar los TP en la vere-da sin intermediarios comerciales:

Demanda: Px = -X/5000 + 3 Ingreso total: IT = -X2/5000 + 3X; ingreso marginal: IT´= -X/2500 + 3; Costo total: 800 + 0,20(X); costo medio: CMe= 800/X + 0,20; costo marginal: CT´= 0,20. Beneficio; B = -X2/5000 + 3X – 800 – 0,20X. Maximizando; B´= -X/2500 + 3 = 0; X = 8000. Precio: P8000 = -8000/5000 + 3 = $1,40 Beneficio: B = 1,40(8000) -800 – 0,20(8000) = $8800. 3) Para operar con intermediarios comerciales, bajo el supuesto

que Telefocom también pudiera operarlos por su cuenta en la vere-da, ambas partes tendría que tener algún beneficio, mejorando la alternativa de operar cada uno por su cuenta. Esto significaría repar-tir la diferencia de beneficios entre las situaciones extremas de 1) y 2): $10470 - $8800= $1670 . Dado que el comerciante no puede operar por sí solo, podrían acep-tar por ejemplo repartir esa diferencia por mitades (1670/2= $835 cada uno); en este caso la respuesta a la pregunta 4 a) sería: Respuesta 4 a) Beneficio alternativo de Telefocom $8800 + 835 = $9635; para obte-ner este beneficio necesitaría cobrar un mayor cargo fijo: BT = 10435 + 0,20(7025) – 800 – 0,20(7025) = $9635 (o sea, $835 más que actuando por su cuenta). Beneficio del intermediario comercial: BC = 1,60(7025) + 100 + 0,01(7025) – 10435 – 0,20(7025) = $835. 4) Respuesta a la pregunta 4 b), si Telefocom solo debiera cobrar

por ficha: El ingreso del comerciante es 1,60(7025)= $11350 El costo de Telefocom es 800+0.20(7025) = $2205


527

La diferencia 11350 – 2205 = 9145. - Si Telefocom le cobra la ficha a $1,60 (7025)=11350, el comer-ciante no tendría beneficio (y Telefocom ganaría 11350-2205=9145). - Si Telefocon solo le cobra la ficha a $0,314 entonces Telefocom no tendría beneficio: $0,314(7025)=$2205; solo cubriría su costo, $800+0,20(7025); mientras que el comerciante ganaría $9145. - Si Telefocom pudiera operar alternativamente por su cuenta, po-drían repartir la diferencia entre $9145 y los 8800 actuando en la vereda $ 345; a repartir, por ejemplo por mitades (173 cada uno): el comerciante debería ganar $173 Quedaría $11350 – 173 = $11178 para las fichas: o sea 1,59(7025)= 11178. El beneficio de Telefocom sería: $11178 - 800- 0,20(7025) = $ 8973 (173 más que los 8800 operando los TP por su cuenta en la vereda).

TELEFOCOM **EJERCICIO 7:

Ejercicio conceptual tipo integrador de varios principios (el enuncia-do es de la Guía de tp de Tow -ejercicios combinados; eventuales errores de interpretación y tipeo me pertenecen) La empresa Telefocom ha decidido instalar 1000 Teléfonos Públicos (TP) en todo el territorio en distintos locales comerciales de empre-sas privadas -y maximizadoras de beneficio-. Por su estratégica localización se estima que cada TP tendrá una demanda igual a X = 10.000 -10.000Px donde x: número de llamadas mensuales medidas en número de fichas y Px: precio por ficha.


528

(Nótese que los TP serán localizados lo suficientemente lejos entre sí, de modo que diferencias en el valor de la ficha en un TP, de exis-tir, no modifican la demanda en los restantes TP. Asimismo téngase presente que las solicitudes para que se instalen TP se estima será muy gran de por parte de los dueños de los locales comerciales, puesto que se sabe que la presencia de TP aumenta la concurrencia a dichos locales y en consecuencia la evolución comercial de los mismos, proyectándose en $100 el beneficio neto mensual derivado de este factor para cada tenedor de TP). En el pliego de Concesión de Teléfonos se prevé que el concesiona-rio de la red de teléfonos -en este caso Telefocom- opte por una de las siguientes modalidades para otorgar el servicio de TP: a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada. b) Fijar el valor de la ficha y otorgarle un porcentaje de dicho valor al comerciante. c) Cobrarle al tenedor del TP un precio por cada ficha de modo de maximizar beneficios, teniendo en cuenta que aquel lo fijará a su vez al público según su conveniencia. d) Cobrar un alquiler por el TP y fijar la tarifa al valor de competen-cia. Suponga que el costo de cada llamada es de $0,20 para Telefocom, siendo su costo mensual de mantenimiento del servicio de cada TP de $30, $35, $40 y $47,5 en cada una de las alternativas anteriores respectivamente. ¿Cuál alternativa es la más conveniente para Telefocom? ¿Y para cada tenedor? ¿Y para los consumidores? A efectos de responder los interrogantes planteados determine en cada caso: cantidad demandada, precio (al público) de la ficha, pre-


529

cio de la ficha al comerciante, beneficio mensual de Telefocom, be-neficio de cada comerciante, excedente del consumidor.

RESPUESTAS:

El enunciado no se especifica ni incluye pautas inequívocas, de que Telefocom sea una empresa competitiva, ni tampoco sus clientes; no es un mercado competitivo, ni tampoco un monopolio (un produc-tor exclusivo), duopolio (dos exclusivos), empresa líder y seguidora, cartel (con colusión), monopsonio (único comprador), monopolio bilateral, modelo Silos-Labini, Modigliani (privilegio por acceso ini-cial o con restricciones de acceso) o demanda quebrada de Sweezy (competencia imperfecta bajo conveniencia sin optimización). No hay información sobre competidores de Telefocom o de produc-tos sustitutos. No cabe aquí la discriminación de precios por alguna de las dos partes (no obstante que la función de costos de Telefo-com indica que el costo medio es asintótico, es decir que nunca se alcanzar un mínimo costo medio, lo que es sinónimo de un mercado insuficiente para Telefocom, tipo “empresa sobredimensionada”). Se menciona un régimen de concesiones, pero no se dice que Tele-focom sea una empresa pública. Tampoco se aclara si puede o no alternativamente instalar los TP en la vereda por su cuenta, operán-dolos sin los comerciantes intermediarios. Pero está claro que si Telefocom también es una empresa privada, es imprescindible que ambas partes ganen algo si negociaran; tam-bién que ganen más que operando alternativamente por su cuenta (Telefocom en la vereda y los comerciantes algo más que la alterna-tiva nula, sin TP, ya que nada se dice de sustitutos). En este caso de información insuficiente, un modelo asimilable po-dría ser el de Di Tella para intermediarios comerciales (concesiona-


530

rios automotrices), considerando que cada intermediario tiene un costo negativo (ventaja) de $100. Como se está informado el costo del productor básico, la demanda final y el costo de cada empresa concesionaria (no competitivas, sin precio uniforme, sino en competencia imperfecta), cabe optimizar en ellas según el caso general. Sin embargo, el modelo matemático solo explica la optimización (B´=0 y B´´<0); nada informa sobre el modo de reparto de las utili-dades entre las partes. 7 a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada. Se estipula que el comerciante no puede discriminar precios, pero puede fijarlos libremente (según le convenga con su demanda) y su costo será un cargo fijo más otro por llamada. Según el modelo Di Tella se optimiza considerando los ingresos

finales por venta al público y los costos del productor básico, para repartir los beneficios con algún criterio comercial no definido:

1) Operando con intermediarios comerciales y maximizando ambos, se debe considerar la demanda final, el costo de Telefocom y el del intermediario (en este caso $100 de ventaja): La demanda, X = 10000 -10000Px; -10000Px = X -10000; Px = -X/10000 +1; El ingreso total, IT = Px(X) = -X2/10000 +X; IMg = -X/5000 +1 El costo total, CT = 0,20X + 30 -100, lineal (empresa sobredimen-sionada); costo medio CM = 0,20 -70/X (hiperbólico); costo marginal CMg= 0,20 (constante)


531

Se optimiza maximizando el beneficio, B = IT-CT; max.B con B´=0 (B´= IMg –CMg=0) y B´´< 0;: B = -X2 /10000 + X –(0.20X + 30) +100 = -X2/10000 - 0.80X + 70

B´= -X/5000 +1= 0.20; -X/5000 = -0,80; X = 0,8(5000) = 4000 telé-fonos públicos ; cumpliendo B´´= -1/5000 < 0; P4000 = -4000 /10000 + 1 = $0.60 El modelo matemático no explica cómo distribuir los resultados de este negocio compartido (este es el tan comentado gran impedimen-to invalidante de la teoría neoclásica, microeconómica y macroeco-nómica). Tomando un extremo; el beneficio podría ser, por ejemplo, todo para el comerciante intermediario y nada para Telefocón: Beneficio del comerciante intermediario: BC = 0,60(4000) – 0,20(4000) -30 +100= $1670 Beneficio para Telefocom: 0,20(4000) +30 -0,20(4000) -30 = $0. En cuanto a lo opuesto, todo para Telefocom y nada para el comer-ciante, tampoco parece viable. Alguna alternativa intermedia debiera existir para justificar el accionar conjunto de dos empresas privadas. El comerciante no tiene alternativa, no puede operar los TP por sí solo; Telefocom tendría la alternativa de operarlos por su cuenta en la vereda, ante lo cual, si el negocio conjunto generara mayor bene-ficio que Telefocom por su cuenta, cabría repartir ese mayor benefi-cio con algún criterio, que mejore las alternativas de ambas partes (su costo de oportunidad). Para esto es necesario calcular el beneficio de Telefocom operando por su cuenta y compararlo con el caso anterior. 2) Sin intermediarios comerciales, por que Telecom puede operar los TP por su cuenta:


532

La demanda puede trasponerse a la forma implícita y calcular el ingreso total y el marginal. Con el costo total se calcula el costo me-dio y el marginal. En principio, el beneficio máximo surge (sin con-siderar en este caso la ventaja (costo negativo) de $100 por mayor concurrencia) aplicando la condición matemática de máximo, con un nivel de 4000 fichas a $0,60 al público en cada concesionario. La demanda, X = 10000 -10000Px; -10000Px = X -10000; Px = -X/10000 +1; El ingreso total, IT = Px(X) = -X2/10000; IMg = -X/5000 +1 El costo total, CT = 0,20X + 30; costo medio CM = 0,20 +30/X (asin-tótico, porque el costo es lineal; indica una empresa sobredimensio-nada según el modelo SOMISA-Eiras). EL costo marginal, CMg = 0,20. Optimiza maximizando el beneficio, B = IT-CT; max.B con B´=0 (B´= IMg –CMg=0) y B ´´< 0; : B´= -X/5000 +1= 0.20; -X/5000 = -0,80; X = 0,8(5000) = 4000 telé-fonos públicos operados directamente en la vereda. P4000= -4000/10000 +1 = $0,60; B4000 =$0,60(4000) – 0,20(4000) – 30 = $1570


533

Px CMe CT 30 IT 0,60 Px= ( -X/10000) + 1 0,20 CMg X 4000 IMg 10.000 3) Si operaran conjuntamente, repartiéndose el mayor beneficio dife-rencia de las dos alternativas anteriores, la situación podría ser: Beneficio del comerciante BC = $0,60(4000) – 0,20(4000) - 30 -- 1620 + 100 = $50. El público paga $0,60 por llamado. Al ingreso del comerciante se le resta el costo de mantenimiento y un cargo fijo diferencial 1620 (que Telefocom calculó repartiendo la diferencia de las dos alternativas anteriores: en 1) el beneficio es $1670; en 2) el beneficio es 1570; con diferencia de $100; por ejem-plo $50 para cada una). Dado que Telefocom ganaría por su cuenta $1570 debería ganar ahora $1620, cobrando al costo de 0,20 las llamadas a su costo de $0,20 y además estos 1620 como un cargo fijo adicional al costo de $30. BT = IT – CT = 0,20(4000) + 30 +1620 -0,20(4000) -30 = $1620


534

Excedente del consumidor: es el área entre la (función) línea de demanda hasta (menos) el precio, que se puede calcular mediante la integral definida ( ∫ entre el origen cero y 4000) de la función de demanda menos el precio $0,60.

∫04000 [( –X/10000 + 1) -0,60] dx = ∫0

4000 [(–X/10000 +0,40] dx =

= -0.0001X2 /2 + 0,4X] 04000 = ; para X=4000 es Excedente = -

1600 /2 + 1600 = $800.

7 b) Fijar el valor de la ficha y otorgarle un porcentaje de dicho valor al comerciante. Si Telefocom solo cobrara un porcentaje de Px para resarcirse de su de $0,20X + 35, tendría que considerar el planteo de Di Tella mas la distribución (con algún criterio comercial no definido) de los benefi-cios adicionales al costo de oportunidad de cada uno. El comerciante no tiene alternativa; Telefocom ganaría $1570 por su cuenta en la vereda; el máximo beneficio conjunto era $1670. Si repartieran la diferencia 1670 -1570 = $100 por mitades, el comer-ciante debería ganar $50 y Telefocom $1620 (ahora $47,50 y 1617,50 debido al mayor costo fijo de $35). La peculiaridad de este enunciado b) es que requiere maximizar pero cobrándole al comerciante solo un porcentaje del costo de la llamada que Telefocom fije para el público Px. Se trata de calcular beneficios considerando ingresos menos costos, de modo que el resultado $47,50 para el comerciante: ingreso $0,60(4000) mas $100 menos costo por cada llamada; pero, el co-merciante no puede aumentar el precio al público, ya que se optimi-


535

za con $0,60 y 4000 llamadas y considerando su ventaja de $100 como ingreso debería repartirla con Telefocón para obtener un be-neficio de solo $47,50. Esto implicaría cobrar al público 0,60 y pa-garle a Telefocom más que esto, $ 0,6131 (circunstancia que posi-blemente se enfrentaría a las normas de la realidad comercial, por ser una modalidad o asociación poco usual y sujeta a eventuales reclamos del comerciante, que se quejaría por la opresión tipo tóme-lo o déjelo. Mayoristas, minoristas, centrales de compras, agentes comerciales, comisionistas, representantes, leasing, concesionarios, distribuidores, etc pueden tener diferente legislación comercial e impositiva doméstica en cada país e internacionalmente).

O sea, BC = $0,60(4000)+100 -0,6131(4000) = $47,50. Telefocom ingresa el costo del comerciante 0,6131(4000) y le resta sus propio costo de 0,20(4000) +35.

O sea, BT = 0,6131(4000) – 0,20(4000) +35 = $ 1617,50 Con similar precio y cantidad para el público, $0,60 y 4000 llamadas, implican igual excedente del consumidor, $ 800. 7 c) Cobrarle al tenedor del TP un precio por cada ficha de modo de maximizar beneficios, teniendo en cuenta que aquel lo fijará a su vez al público según su conveniencia. Con las mismas circunstancias y explicaciones del caso b), solo aumenta aquí el costo fijo a $40.

BC = $0,60(4000)+100 -0,613(4000) = $45. BT =0,613(4000) – 0,20(4000) +35 = $ 1615. Con similar precio y cantidad para el público, $0,60 y 4000 llamadas, implican igual excedente del consumidor, $ 800.


536

7 d) Cobrar un alquiler por el TP y fijar la tarifa al valor de compe-tencia. Se entiende aquí que Telefocom decide operar cobrándole una tarifa como si actuara competitivamente. Es decir que la optimización ya no sería en esta caso con un punto de giro con IMg=CMg sino con IM o demanda igual a costo marginal (y cumpliendo las segundas derivadas con CMg>IM) Recuérdese que en la gráfica competitiva unitaria coinciden el IMg y el IM, horizontales; además téngase presente que la simplificación teórica supone que en el largo plazo coincide el mínimo costo medio con el costo marginal y el precio o demanda, pero aquí se indican costos fijos, de corto plazo. Es decir que la respuesta a esta pregunta surge identificando las coordenadas del mínimo costo medio total de corto plazo (que en este caso no es posible debido a la desafortunada elección del costo total lineal como para una empresa sobredimensionada). Pero tam-bién es posible ubicarse en ese punto de giro (o primera condición de máximo) igualando la demanda con el costo marginal: -X/10000 +1 = 0,20 ; -x/1000 = 0,80 ; X = 0,80(10000) = 8000 lla-madas; P8000 = -8000/10000 +1 = $0,20. Los ingresos serían de $0,20(8000) +100 de la ventaja comercial =1700 Los costos de Telefocom son: $0,20(8000) + 47,50= 1647,50. Surge una diferencia de $52,50, a repartir con algún criterio comer-cial no específico, por ejemplo por mitades. En este caso los beneficios serían


537

BC = $0,20(8000) +100 – alquiler de $1674,25 = $26,75 (alquiler calculado por diferencia para que el beneficio sea 26,75) BT = ingreso por alquiler $1674,25 - $0,20(8000) – 47,50 = $ 26,75. (con cálculo similar del alquiler) El público abonaría $0,20 por cada una de las (mayores 8000) lla-madas competitivas. El excedente del consumidor aumentaría, según la mayor diferencia de área entre la misma demanda y el menor precio competitivo, desde el origen hasta las ahora 8000 llamadas:

∫08000 [( –X/10000 + 1) -0,20] dx = ∫0

8000 [(–X/10000 +0,80]

dx, que calculamos integrando directamente para el valor 8000 (desde el origen nada se resta)

= -0.0001X2 /2 + 0,8X] 0

8000 Para X=8000 el Excedente es ahora mayor = - 6400 /2 +

6400 = $3200.

(es fácil visualizar estos valores en la gráfica del caso 2 actuando en la vereda)


538

MULTIPRODUCTO

MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO

EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO

SEIS METODOS EQUIVALENTES

EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON PRODUCCION DIVERSIFICADA:

El objetivo básico de la empresa es, en principio, maximizar

beneficios de largo plazo, reinvirtiendo utilidades en el propio rubro,

salvo que según el ciclo vital del producto u otras causas

competitivas, la direcciòn considere necesario un cambio de rubro o

una diversificacion.

En las producciones de tipo ”por proceso” (y no las de tipo fijo, como

barcos o diques) las funciones de producción y las funciones de

costos dependen mayormente de la naturaleza de los productos y

de los tipos de procesos productivos que se utilizan:

-A) Producción simple:

Es usual estudiar las producciones comenzando por casos de

producciòn simple, en los cuales cada rama de una empresa produ-

ce un solo bien de tipo homogéneo, ya sea mediante:

- un único proceso técnico (soja, pan, cal, carbón, soda cáus-

tica)


539

- o bien con la unión de varios procesos técnicamente separa-

dos (boogies para trenes; equipos especializados).

- B) Producciones múltiples que son muy frecuentes en gene-

ral:

- producción múltiple de varios bienes diferentes (obtenidos tanto con - procesos únicos (dos líneas de producción no

vinculadas, como aluminio y neumáticos); o con

- uniones de varios procesos (como tejidos, tubos metálicos,

barras y piezas metálicas).

En estos casos, la optimización se estudia comenzando con el uso de uno o de dos factores, con coeficientes fijos o variables. El prin-cipio matemático de máximo y mínimo y la función combinada de Lagrange permiten la optimización de estos casos simples elemen-tales con una o con dos variables.

En estos casos de coeficientes fijos o variables, salvo preferencias

de algún producto para algún cliente tradicional o preferenciales con

abastecimiento obligado (para ese usuario protegido, o bien para

clientes por otras razones similares, como en el accionar de la

empresa socialmente responsable –ESR-) la optimizaciòn en estos

casos suele utilizar el análisis marginal.

La demanda de cada producto condiciona los ingresos y el ingreso

marginal en cada producto; igualándolo al costo marginal indicará la


540

contribuciòn marginal de cada producto. La selección permitirá

optimizar o maximizar el beneficio de la empresa.

Cuando la cantidad de restricciones aumenta, es necesario avanzar en los análisis y optimizar mediante sistemas de ecuaciones, utili-zando el álgebra matricial o con programación lineal o no lineal, usando Solver de Excel o sus equivalentes de otras empresas in-

formáticas para programación multivariante.

- C) producciones múltiples conjuntas o conexas, obteni-das en diferentes etapas de uno o varios procesos a partir de una misma materia prima (con coeficientes fijos o semifijos; y algún “punto de separación” que determina la formación de cada subpro-ducto y que os contadores tienen en cuenta para la determinación

de los costos de cada coproducto);

- ya sea sucesivamente (laminación de chapas de acero en

caliente, en frío, hojalata; diversos combustibles en una torre de

destilería);

- o bien en forma alternativa (diferentes automotores; ma-quinaria; confecciones textiles variadas en color, talle, tipo, sexo,

temporada etc).

(en éstos y en todos los otros casos, también puede haber además

generacion conjunta de subproductos de menor importancia)

En algunos rubos los analisis de “estacionalidad” son muy

importantes y se pueden incorporar dentro de la programación de la

producción multivariante.


541

En estas producciones conjuntas o conexas es caracterísitica la existencia de multiples restricciones, por lo cual es también necesa-rio optimizar mediante sistemas de ecuaciones, utilizando el álgebra matricial o con programación lineal o no lineal, utilizando Solver de Excel o sus equivalentes de otras informáticas.

La cantidad de variables involucradas depende de cada actividad,

decenas, cientos, miles o más según sean las actividades

industriales o la prestaciòn de algunos servicios, como distribución

de energía, fluídos, transportes, etc.

- C) Uniones transitorias de empresas – UTE

Cuando dos o varios productores actúan conjuntamente: la

negociación suele simplificar la participación de cada empresa en el

negocio, a través de alguna fijación del precio del insumo o del

valor agregado en cada etapa del negocio (usualmente en bienes de

tipo “posición fija”, como barcos, diques, plantas energéticas, usinas,

puertos), los que son más frecuentes que la formación de UTE para

las anteriores producciones de “tipo por proceso”.

SUBPRODUCTOS

Además de los coproductos en las producciones conexas, cualquier

tipo de producción enumerada anteriormente puede originar otros

materiales:

- subproductos (se pueden reusar o vender);


542

- sobrantes (con valor, se reincorporan al proceso; o sin valor);

- residuos (que no se pueden aprovechar pero quizás son vendi-

bles); y también

- desperdicios de materiales o productos (que se venden sin otro

proceso).

En principio, los subproductos son una consecuencia de los proce-

sos y no suelen formar parte de la programación básica de la em-

presa.

Los métodos clásicos eran utilizados para la economía, con enfoque

preferentemente macroeconómico y se limitaban a casos de muy

pocas variables. La programación lineal y el cálculo de matrices me-

diante Excel y otros han otorgado autonomía a la microeconomía, al

permitir la resolución multivariante en forma práctica o fácil.

En este trabajo se incluyó un ejemplo sobre 6 métodos equivalentes,

que para una sistema de 2x2 incluye los operadores de Lagrange, el

método gráfico y el Simplex junto con matrices manualmente; ade-

más el Simplex mediante Solver y también matrices, ambos según

Excel.

La ventaja de la exposición o tratamiento conjunto de los 6 métodos

es que mediante los dos últimos pueden ser resueltos con cientos y

miles de variables respectivamente. Se incluyeron además otros


543

diez utilitarios de empresas informáticas para esto, en función de la

necesidad de verificar cualquier cálculo mediante las más diversas

formas posibles (en todos los casos las explicaciones están abre-

viadas y simplificadas)


544

PRODUCCION CONJUNTA DEPENDIENTE (CONEXA)

Por producción conjunta dependiente se entiende una función de producción de un solo insumo del cual se pueden derivar dos o más productos (ejemplo: de la leche se pueden obtener queso y yogurt) Como ejemplo numérico se puede suponer una función de produc-ción conjunta: del insumo X se obtienen dos productos Q1 y Q2

X = Q1² + Q2² Esta función muestra las cantidades del producto 1 y 2 que se pue-den obtener del insumo X. Si tuviésemos una cantidad fija de 100 de insumo X, y el producto Q1 y Q2 se venden en el mercado a $3 y a $2 respectivamente. ¿Qué cantidad de producto 1 y 2 convendría producir para maximi-zar el ingreso, sujeto a esta cantidad de insumo de X=100? El planteo es similar al de la maximización de la utilidad cuando dis-poníamos de dos bienes: la combinada de Lagrange es ahora B = 3(Q1) + 2(Q2) + &(100 – Q1² - Q2²) FOC) Obtenemos las derivadas parciales: dB/dQ1 = 3 - &2q1 = 0 => & = 3/2q1 => 3/2q1 = 1/q2 => q1 = (3/2)q2 (*) dB/dQ2 = 2 - &2q2 = 0 => & = 1/2q2 dB/d& = 100 – Qqi² - Qq2² = 0

según (*) => 100 – [(3/2)q2] ² - q2² = 0

=> 100 – (13/4)q2² = 0 => Q2 = 5,55


545

=> Q1 = 16,64 (de donde surge &= ½(5.55)=2,97)

Estas son las cantidades de q1 y q2 que habría que producir para maximizar el ingreso contando con un insumo de 100. SOC) con H >0: -2& 0 -2Q1 -2(2.97) 0 -2(16.64) 0 -2& -2Q2 = 0 -2(2.97) -2(5.55) = 1- 1- 0 -1 -1 0 = +246, positivo, que garantiza ser máxima esa producción. En la realidad suele haber situaciones más complicadas, con nume-rosas restricciones, que se resuelven mediante programación lineal, generalmente con Solver de Excel y/o también con matrices de Ex-cel.


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MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO. EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUC-TO. SEIS METODOS EQUIVALENTES

Las conocidas limitaciones de los economistas clásicos para resol-ver sistemas con más de dos o tres variables han orientado a un usual tratamiento del cálculo del equilibrio con múltiples productos con una incorrecta simplificación de la situación mediante el supues-to de un costo promedio y el cálculo de las contribuciones margina-les según un criterio de obtener algo posible y satisfactorio (que Herbert Simon denominó “sufficing”) pero que elude la optimización.

Sin embargo, la mayoría de las empresas se enfrenta a la produc-

ción de varios o muchos bienes, mediante costos que pueden o no ser separables por producto, bienes complementarios o sustitutos, diferentes situaciones de preferencias, condicionamientos intertem-porales, metas diferenciadas, alternativas y otras circunstancias muy diversas. Los modelos pueden ser lineales, no lineales, de progra-mación entera, binomial, dinámica, con variables discretas, estocás-ticos, etc.

Estas situaciones conducen a la resolución de sistemas de ecuacio-nes, que pueden plantearse axiomáticamente y simbólicamente con diferentes enfoques, pero que para concretar su cálculo llevan fi-nalmente y necesariamente en la generalidad de los casos a plan-teos mediante matrices y/o especialmente a la solución mediante programación lineal, bajo rendimientos constantes usualmente en la mayoría de los casos; y en algunas ocasiones a otras bajo rendi-mientos no constantes mediante programación no lineal, cumpliendo

las condiciones Kuhn-Tucker.

Por analogía con la optimización con una variable (y restricción de no negatividad), en la extensión paretiana a dos variables, el equili-brio exigía las condiciones de convexidad en la curvas isocuantas y


547

cumplir la restricción presupuestaria; estas condiciones al menos simbólicamente pueden ser generalizadas agregando operadores y restricciones y estudiando el hessiano y sus menores. Se requieren condiciones (solo teóricas) para la función, su combinada lagran-geana y los operadores (precios sobra; sensibilidad respecto al lado derecho o recursos), que igualmente implican o conducen al álgebra de matrices, pero abordando en la práctica solo estos casos lagran-geanos con muy pocas variables, que finalmente son de relativa o

muy limitada utilidad práctica.

En definitiva la modelación y programación multiproducto se concre-ta en la práctica solamente con programación lineal, no lineal y otras o bien con matrices, pero siempre mediante Excel y alguno de los otros 10 utilitarios desarrollados en MCE (igualmente con la progra-

mación multiobjetivo o multicriterio, tratada más adelante)

Convienen preferentemente, las diferentes alternativas de Solver de Excel para programación lineal, no lineal y otras que se explican en los ejemplos de MCE. Y para matrices conviene Excel, mediante los dos métodos usuales: matriz inversa utilizando =MINVERSA( ; ) o el métodos de los determinantes utilizando (=MDETERM( ; ) de Excel, que también es el utilizado en todos los demás utilitarios ex-

plicados).

O sea, se plantea la función objetivo y el sistema de las restricciones del problema y se procesa en Excel … y en otros utilitarios, simul-

táneamente para confrontación de los resultados.

En el caso de utilizar matrices, se trata de calcular la matriz inversa y luego multiplicar esta por el vector de los recursos para obtener los valores maximizantes de cada variable, los cuales se utilizarán fi-

nalmente para calcular el resultado según la función objetivo.

Si se utilizar el método de resolución del sistema mediante determi-nantes, para calcular cada variable maximizante se reemplaza en el


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hessiano la respectiva columna por el vector de los recursos; final-mente se divide el valor obtenido en este determinante por el valor del hessiano para obtener la raíz o valor de la variable optimizante. Una vez calculadas todas, se las utiliza para obtener el resultado reemplazando esos valores en la función objetivo.

En este sentido también se incluyó en MCE un ejemplo comparando “seis métodos equivalentes”, que desarrolla un sistema de 2x2 me-diante los procesos clásicos de los operadores de Lagrange, pro-gramación lineal por método gráfico, método Simplex y matrices, todos en forma manual. Adicionalmente se resuelve el mismo ejem-plo utilizando Solver y utilizando matrices, ambos de Excel, ya que estos dos últimos, que no disponían los economistas clásicos hasta mediados del siglo XX, son el procedimiento específico ineludible para la operatoria concreta en las empresas, casi siempre abocadas

a múltiples productos y alternativas.

A diferencia de otras disciplinas, como mecánica, física, etc. los pro-blemas económicos se reducen al primer cuadrante, acotando mu-cho los requerimientos analíticos necesarios. La programación ma-temática puede ser tan amplia como la gama de problemas plantea-dos y/o también con el tipo de lenguaje simbólico y axiomático que se utilice, pero refiriéndose a las n variables, que en la práctica solo

son las inviables 1, 2, 3 ó 4 clásicas.

Igualmente ocurre con el álgebra matricial; esta también se simplifi-ca mucho para la optimización empresaria en general (máximos y mínimos condicionados): implica utilizar sistemas cuadrados, no nulos porque no optimizarían. Puede haber variables nulas (originan capacidades ociosas), pero no todas pueden ser nulas. No debe haber restricciones colineales o múltiplos entre sí, ya que bajaría el rango u orden de la matriz y no sería cuadrada (se requieren siste-mas determinados con igual número de ecuaciones que de incógni-

tas).


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Para la matriz insumo-producto se necesita además que los vecto-res columna contengan coeficientes fraccionarios menores a la uni-dad y totalicen uno; y en vez de la matriz inversa de los coeficientes se invierte aquí la matriz del complemento de los coeficientes a la matriz I (ver en el capítulo 3).


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COMPETENCIA DESLEAL

Las decisiones en materia de competencia desleal y de cuestiones antidumping / subsidios, representan variables que condicionan en muy alto grado la magnitud de la demanda de las empresas. Suelen

depender fuertemente de consideraciones de política internacional y local, además de las cuestiones económicas. El tratamiento de estas últimas se efectúa en términos del modelo de la competencia perfecta y sus presentaciones alternativas que posibilita Excel; la claridad y documentación no es absolutamente decisoria, pero ayuda a relativizar las consideraciones extraeconó-micas de política internacional y local. En el ámbito del comercio interior argentino la Comisión Nacional de Defensa de la Competencia, controla las conductas monopólicas bajo la Ley 25156, tal como ocurre en los EEUU y otros países. Son célebres los casos CNDC s/YPF SA; American Express c/ Visa, Mastercard y Argencard; Sadit c/ Massalin Particulares SA; Editorial AMFIN SA c/ Arte Gráfico Editorial Argentina SA y muchos otros. El mercado legal es el que se aproxima al modelo competitivo; los monopolios restringen la cantidad y suben los precios, afectando el excedente del consumidor. Las presentaciones en este ámbito implican argumentaciones según los modelos aquí comentados, para las cuales Excel representa facilidades de consideración.


551

ANTIDUMPING

En el ámbito de la Comisión Nacional de Comercio Exterior se dili-gencian las presentaciones argentinas por conductas anticompetiti-vas vinculadas con el comercio exterior. Los productores locales pueden sentirse afectados en doble sentido: en importaciones sustitutivas con precios dumping a niveles inferio-res que los precios en sus mercados domésticos de origen. Por otra parte, los productores que exportan también pueden afectar los intereses de productores en mercados externos, y recibir denun-cias de éstos a través de sus gobiernos por ventas a precio dum-ping (venta a precio menor que para el mercado local) o bien de-nuncias por subsidios, tal como suele ser la inquietud de que el rein-tegro de impuestos a exportadores representa un subsidio. En los países latinoamericanos existen estadísticas aduaneras por-menorizadas al nivel de cada despacho (individualizando precios, marcas, empresa y demás datos comerciales particulares, de cada una y absolutamente todas las importaciones y exportaciones), los cuales son de circulación pública a través de operadores informáti-cos particulares de las administraciones aduaneras.


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Estos datos se publican clasificados por posición del nomenclador arancelario de importación / exportación y fecha. El nomenclador clasifica todo tipo de bienes en 96 capítulos, a 8 (y a 11) dígitos, incluyendo derechos de importación, tasa estadística y reintegro de exportación: Cap.1 hasta 24) carnes, cereales, alimentos, bebidas, tabaco Cap. 25 a 27) tierras, minerales, combustibles Cap. 28 a 30) química inorgánica, orgánica y medicamentos Cap. 31 a 39) fertilizantes jabones, explosivos, plásticos Cap. 40 a 71) caucho, madera, textiles, calzado vidrio Cap. 72 a 81) acero, laminados, metales comunes varios Cap. 82 a 96) manufacturas, maquinaria, automotores, muebles, etc.


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Por normas de la ONU y OMC existe en casi todos los países infor-mación muy "agregada", por industria (sin individualizar despachos ni productos), que recopilan anual o mensualmente los institutos de estadísticas y censos de cada país. En algunos pocos casos están disponibles por Internet. Pero paradójicamente, no existe esta información detallada para operaciones individuales de importación o exportación en EEUU, Europa, Asia y África. Sin embargo, mediante ella es posible aquí realizar comparaciones sobre precios dumping u otros y preparar en Excel cuadros mensuales de los últimos 4 años (con producción, im-portación y exportación) cuyo registro magnético (disquete) requiere el régimen para estas presentaciones. El mercado disponible y demanda de chapas de acero, miel, perfiles y numerosos bienes diversos son permanentemente incluidos en estas presentaciones, según puede observarse en los listados de las Secretarías respectivas (www.mecon.gov.ar).

CARGA IMPOSITIVA PARA EXPORTADORES

La carga impositiva que afecta a las producciones locales y exporta-bles suele ser muy alta. A las empresas les afecta directamente me-


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nos de 10%, pero considerando los impuestos incorporados en sus compras, la incidencia puede triplicarse. Los proveedores soportan la misma carga impositiva y la incorporan en sus facturas de venta, al igual que lo hicieron los proveedores anteriores en aquellos lo hicieron, incorporándola en los costos del exportador, en un efecto piramidal o en cascada. Para calcular este efecto "neto", se evita duplicar la piramidación, dividiendo cada incidencia por su inverso ("el grossing up"), por que las facturas de compra ya incluyen el importe de la carga. La legislación de los EEUU y de la Organización Mundial de Comer-cio -OMC- solo admite la carga piramidal integrada físicamente al producto exportable, que se compara con el porcentaje de reintegro para observar si hay devolución excesiva o subsidio.


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PROTECCIÓN EFECTIVA DE UNA INDUSTRIA

La demanda de las empresas suele depender también de la protec-ción efectiva, o derecho de importación relativo de su producto com-parado con el de su insumo. Supóngase por ejemplo, que la participación del costo del algodón en la producción de hilado fuera 50%. Si el derecho de importación del algodón fuera 0 %, mientras que el derecho de importación del hilado fabricado con aquel fuera 10%, la protección efectiva para los productores del hilado de algodón sería: 0,10 / 0,50 = 0,20 (20%).

Igualmente con cualquier otro producto y sus materias primas, gene-ralmente liberadas de derechos en los casos en que no existen ya-cimientos o abastecimiento locales. Con intereses opuestos a los de los comerciantes, los productores requieren elevados derechos para sus bienes manufacturados y ninguno para sus materias primas (y hay dificultadas cuando tam-bién existen yacimientos o recursos locales de aquellas).

Por el contrario, los comerciantes están interesados en competir

con importaciones de productos manufacturados y reclaman ba-

jos derechos de importación, alegando favorecer el interés de los

consumidores.


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CAPITULO 9

TEORIA DE JUEGOS –CONTEXTO HOSTIL

ESPECIALIZACIONES COMPARTIDAS

Como consecuencia de la falta de objetividad de la teoría microeco-nómica neoclásica, es cada vez más usual agrupar conjuntos de técnicas (matemáticas, lógicas, económicas, sociológicas, etc.) bajo nombres, como investigación operativa, econometría, teoría de la decisión, etc. Sus contenidos suelen aparecer parcialmente coinci-dentes, solapados entre sí; y en sus enfoques básicos conforman los programas de la microeconomía, aunque en estas especializa-ciones profesionales se superan los contenidos curriculares de esta asignatura para contadores o ingenieros industriales. Igual que la microeconomía, la Investigación Operativa incluye téc-nicas de la teoría de los juegos, teoría de las colas y de los grafos, programación lineal o dinámica o análisis estadístico y cálculo de probabilidades. Igualmente, la Teoría de la Decisión ( también in-cluye enfoques compartidos con la microeconomía (según Neu-mann-Morgenstern 1947, W. Wald y Savage 1954, Simon 1960) y suele abarcar problemas bajo contexto cierto, bajo riesgo y bajo incertidumbre (además de otros complejos de incertidumbre no es-tructurada así, en los que se recurre a la modelación matemática y computacional).

TEORIA DE JUEGOS

Como una aproximación o introducción al tema, interesa anticipar que este nuevo conjunto de métodos y razonamientos para la toma


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de decisión (en innumerables tipos de cuestiones personales y/o empresariales) no conforma un cuerpo orgánico para describir el comportamiento de la empresa; es decir que no reemplaza a la mi-croeconomía tradicional, sino que muy por el contrario, la comple-menta, como un nuevo punto de vista, especialmente útil para definir situaciones no abarcadas anteriormente. De hecho, la teoría del oligopolio junto con nuevos desarrollos sobre teoría de juegos han originado y conformado importantes aportes tempranos y recientes (modelos de Cournot, Bertrand, Edgeworht y equilibrio de Nash para casos con homogenidad de productos; mo-delos de Chamberlin, de Hotelling y de Robinson para casos con diferenciación de producto; modelos de Stackelberg; modelos colu-sivos (cartel) con información incompleta, modelos cooperativos, con información incompleta, imperfecta, dinámicos, secuenciales, infinitos). Se remarca en esta ubicación inicial: las matrices de pagos o pre-mios para cada jugador previstas en los juegos, requieren previa-mente que se calculen los premios de cada estrategia mediante los métodos de optimización clásicos (algebraicamente para simplifica-ciones con una o dos variables, y con programación lineal o matri-ces para múltiples variables, etc). O sea, la teoría de los juegos requiere en general aplicar previamen-te los análisis microeconómicos clásicos tradicionales de optimiza-ción, para finalmente proceder a la toma de decisiones según este moderno enfoque lógico matemático o punto de vista de la teoría de juegos. Esta novísima teoría de juegos se refiere a la toma de decisiones interdependientes, cuando el resultado depende de una u otra ac-ción que puedan tomar los demás jugadores. Se caracteriza por que todos conocen esta circunstancia y actúan bajo las reglas de la lógi-ca Neumann-Morgenstern (N-M).


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Por este motivo, para este curso introductorio se plantea aquí una orientación sobre los contenidos básicos de un juego; una posible clasificación de estos; y la presentación de métodos y ejemplos re-sueltos de varios casos relevantes, necesarios según la currícula de un contador o ingeniero. Los juegos son esquemas lógico-matemáticos: se suelen plantear mediante representaciones formales, incluyendo: a) normas sobre

los jugadores (cantidad finita, todos bajo la lógica N-M) y otras re-glas de juego; b) reglas sobre quien juega primero; c) pautas sobre qué cosas (información) conocen o no los jugadores antes de ha-

cer su jugada; y también que cada uno conoce los posibles cursos de acción de los otros, dentro de un número finito de estrategias ; d) todos conocen qué cosas se puede hacer al momento de actuar

y ambas partes (o todas) intervienen en cada jugada; e) igualmente, conocen los resultados posibles de cada acción.

Los primeros análisis en Game Theory and Economic Behavior, de von Neumann-Morguenstern, se refirieron mayormente a los juegos


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de suma cero o nula, en los cuales lo que uno gana es lo que pierde el otro (en 10 de sus 12 capítulos; mayormente para 2 jugadores y

solo “axiomáticamente” para 3, 4 y n >=5 jugadores, cuya implemen-tación es inviable sin programación lineal efectiva). En el capítulo III se planteó este juego de 2x2, según la matriz de pagos para el jugador A:

Ambos calculan con solo la matriz de los pagos para un jugador (A), de modo que implícitamente se analiza al oponente (B) con lo opuesto (o según se lo indique, el complemento) de esta matriz: -2 1 -1 2 si por ejemplo, la matriz de pagos a A tiene una estrategia con el valor -2, deja implícito que el jugador B ganará 2, etc. Ambos jugadores conocen las reglas y tienen un comportamiento N-M prudencial o asegurador (sin riesgos, maximin): el jugador A

observa los mínimos de sus 2 estrategias según las filas, -2 y -1 y selecciona como estrategia el máximo de sus mínimos, -1. También con esta matriz de pagos para A el jugador B observa los máximos de sus dos estrategias por columna, -1 y 2 y selecciona como su estrategia N-M el mínimax -1. Ambos coinciden seleccio-nando la opción fila 2 columna 1; y se benefician con esa decisión: A perdiendo solo 1 y B ganando 1.

Una estrategia pura es aquella que resulta ser la ganadora solo

con ese curso de acción, aquí la 2 de A y la 1 de B; las otras estra-


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tegias son dominadas, aquellas que representan menor premio que

otra. La estrategia dominante puede ser estrictamente dominante si es mayor que, o débilmente dominante si es mayor o igual que otra dominada. Una acción con probabilidad =1, es así una estrategia pura. Según el análisis impulsado por J. Nash para otros casos sin esa solución anterior, una estrategia mixta no pura es una proporción de accio-

nes; una distribución de probabilidades sobre varias estrategias. En estos casos, un equilibrio de Nash ocurre cuando nadie quiere cambiar su decisión dada la combinación de estrategias de los res-tantes; no requieren actividad externa y todo el incentivo es el propio interés personal de cada jugador. Sin embargo, no está aquí nece-sariamente definido el resultado: puede haber solución si evalúan que así les conviene a los participantes. Las reglas del juego requieren una formalización del planteo: jue-go J = (N; Ai; Ui), con reglas que todos deben conocer. Por ejemplo, en el conocido dilema del prisionero se define 1) la cantidad de ju-gadores N=2; 2) las acciones Ai posibles para todo jugador: confe-sar – no confesar; c) una función de pagos Ui, según la lógica ma-ximin-minimax N-M. En este dilema, la acción No confesar es una estrategia dominada por la estrategia dominante Confesar. El juego consiste en eliminar las estrategas dominadas, bajo el presupuesto de actuación racional N-M. Puede haber varias estrategias que proporcionen “puntos de silla”; también puede haber juegos sin puntos de silla, para los cuales se pueden implementar estrategias mixtas al azar. En los juegos sin puntos de silla se eligen estrategias al azar que guarden una distribución de probabilidad, para que el oponente no neutralice las decisiones optimizantes o valor esperado (VE). Este


561

VE se obtiene prescindiendo de las acciones que pueda realizar el oponente, quien obtendrá una VE similar: el valor maximin del juga-dor I es similar al valor minimax del jugador II. Una estrategia mixta para un jugador es una distribución de pro-

babilidad en el conjunto de sus estrategias puras. Las estrategias puras y mixtas tienen al menos una estrategia de seguridad para cada uno de los jugadores. Las estrategias y el valor esperado VE del juego pueden obtenerse mediante varios métodos: algebraicamente, gráficamente y con pro-gramación lineal. El primal del jugador I tendrá como dual al primal del jugador II. Las estrategias mixtas optimizantes maximizan el premio o seguri-

dad para el jugador I, así como limitan los pagos del oponente, se-gún el teorema del minimax de von Neumann en 1932 (generalizado por Kakutani en 1941 utilizando el concepto del teorema del punto fijo de Brouwer).

TEOREMA MINIMAX:

En todo juego bipersonal finito de suma cero existen estrategias mixtas óptimas para cada jugador, con un premio similar para am-bos; consecuentemente, al optimizar la seguridad, ganancia o VE de un jugador también se están limitando los pagos del oponente. Mientras el oponente actúe con sus estrategias óptimas ningún ju-gador se beneficia cambiando su estrategia óptima, salvo que el juego tenga más de un punto de equilibrio, intercambiables y equiva-lentes, proporcionando un mismo VE del juego. Mediante el método Simplex es posible resolver juegos de 2 y tam-bién otros con más jugadores, ya sea con 2 o con más estrategias


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La teoría de los juegos está sujeta a diferentes clasificaciones,

según sean los tipos de juegos abarcados y por lo tanto su caracte-rización, todavía en desarrollo, hace difícil buscar o tener alguna definición y clasificación completas. Observando los desarrollos desde la Game Theory de Neumann y Morgenstern (N-M), este análisis se comenzó estudiando juegos de dos personas y suma cero (constante o matriciales 2x2), con ensi-lladura, planteados en forma estratégica (matrices escalares o vec-toriales) o bien en forma extensiva (con árboles de decisión). Los juegos sin solución, guiaron a J. Nash y otros a desarrollar diferen-tes estrategias mixtas según los casos. Estos desarrollos iniciales a partir de la lógica y funciones de utilidad Neumann-Morguenstern fueron planteados para juegos no coope-rativos (juegos de dos personas con suma cero) presentándolos en la forma estratégica (matricialmente, con escalares, cifras), bajo

contexto competitivo, hostil; también se presentaron otros casos en forma extensiva, utilizando diagramas (árboles) con los posibles cursos de acción de ambos jugadores; finalmente también algunos juegos cooperativos.

A continuación de aquellos primeros juegos con solución (ensilladu-ra), se presentaron otros que requieren estrategias mixtas, defi-

niéndose el concepto de dominación (análisis de dominancia) y los equilibrios de Nash: se plantearon soluciones para casos tanto está-ticos con información completa o incompleta y dinámicos con

información adquirida perfecta o imperfecta: Juegos estáticos con información completa, se plantearon solu-ciones según el análisis de la dominación /dominancia (oligopolio de Cournot, duopolio de Bertrand, o el caso Clarke-Groves para la asignación de un bien público); juegos dinámicos con información completa (prisionero repetido); equilibrio de Nash en subjuegos;


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juegos dinámicos con información completa pero adquirida perfecta (inducción hacia atrás) y completa pero adquirida imperfecta (duopo-lio de Stackelberg; modelo de Leontief). Juegos estáticos con información incompleta: juegos bayesianos,

equilibrio bayesiano de Nash; duopolio de Cournot con información incompleta; casos de subastas. Juegos dinámicos con información incompleta: equilibrio baye-

siano perfecto; equilibrio bayesiano secuencial; juegos de señaliza-ción; modelo A.M.Spence de señalización para el mercado laboral. En el conjunto de juegos, repetidos, se plantearon con un número finito de etapas; y con infinitas etapas (como un modelo de Cour-not indefinidamente). Se plantearon con homogenidad y con dife-renciación de productos y en general, se fueron aclarando casos a partir de los primeros desarrollos de la teoría microeconómica sobre varios mercados oligopólicos (Cournot, Bertrand, Stackelberg, etc.), que abrieron el camino para este enfoque de la teoría de juegos de N-M, Nash y otros.

También se desarrollaron complejos esquemas para los jue-gos cooperativos y de acuerdos, que ya se presentaron axiomáti-

camente en la Game Theory: conjunto de juegos que tienen solucio-nes (o imputaciones) bajo racionalidad individual y también raciona-lidad grupal. Se puede anticipar una idea básica o teorema: solo habrá solución si con la colusión cada uno recibe un pago mayor o igual que lo que percibiría actuando por su cuenta (por ejemplo, bajo cartel deben mejorar lo que percibirían como duopolio, o siendo lí-der, o siendo seguidora, etc). Adicionalmente al concepto de imputaciones, se presenta la idea o concepto de core (subconjunto de imputaciones dentro de un con-

junto, que podrían constituir acuerdos no impugnables unilateral-mente y que aporten mayor beneficio que lo conseguible en forma


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individual); el concepto de nucleolus (cuando la solución cooperati-

va del core no es ni un conjunto vacío ni demasiado grande); el valor de Shapley (valor esperado de la contribución marginal de un juga-dor que accede a una coalición); coaliciones y juegos equilibrados para ver si un core es o no vacío; formación de coaliciones mediante complejos análisis combinatorios para conjuntos en los que en 2n -1 los n agentes es grande; el índice de Banzhaf en coaliciones bina-rias y multilineales; el índice similar de Owen para definir cuando es

ventajoso para un subconjunto coaligarse; así como también los procesos para solucionar los juegos de múltiples alternativas, cuyos tratamientos en complejos sistemas axiomáticos con desarrollos recientes exceden lo requerido para una introducción en un curso general de microeconómica.

EJEMPLOS DE JUEGOS NO COOPERATIVOS

En cuanto a los primeros casos elementales de juegos estratégicos, con dos jugadores y dos estrategias fueron formulados mediante dos matrices (bimatriciales), o bien con una sola matriz, que en vez

de escalares (cifras) contiene “vectores” fila con las estrategias de ambos, tanto en casos estáticos como repetidos y con dos o con N jugadores: juegos multiobjetivo, considerando diferentes estrategias y/o muchos jugadores (no cooperativos, mediante métodos gráfi-cos, métodos analíticos o con programación lineal, incluso me-

diante aplicaciones computarizadas, especialmente para los casos de varios jugadores y estrategias). Algunos juegos estáticos, con información completa (reciben un pa-go al jugar, pero no saben que elegirá el otro ni pueden reaccionar): el dilema del prisionero; la guerra de los sexos; policías y ladrones, etc., cuya presentación como casos simples permite concretar los conceptos básicos de juegos; y a continuación plantear el tratamien-to original de la competencia imperfecta clásica (oligopolio) median-te este enfoque de la teoría de juegos.


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EL DILEMA DEL PRISIONERO

(matricial vectorial, único o estático)

Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aisla-miento de forma que no pueden comunicarse entre ellos. El comisa-rio sospecha que han participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Sólo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años de cárcel. Promete separada-mente a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco.

Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en for-ma de matriz de pagos. La estrategia "lealtad" consiste en permane-cer en silencio (No confesar) y no proporcionar pruebas para acusar

al compañero. Llamaremos "traición" a la otra estrategia (Confesar).

Dilema del prisionero

Matriz de Pagos (años de cárcel)

Prisionero Y

No confesar Confesar

Prisionero X No confesar 2 ; 2 10 ; 1

Confesar 1 ; 10 5 ; 5

Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que es condenado el preso X o Y respectivamente

según las estrategias que hayan elegido cada uno de ellos.


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La aplicación de la estrategia maximin (para ambos) conduce en este juego a un resultado subóptimo. Al no conocer la decisión del otro preso, la estrategia más segura es traicionar. Si ambos traicio-nan, el resultado para ambos es peor que si ambos hubieran elegido la lealtad, aún así es preferible que correr el riesgo de obtener 10 años. Este resultado 5 / 5 es un punto de equilibrio de Nash (aquí, lo menos malo). El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito, es un juego de suma no nula, bipersonal, biestratégico y simétrico (presentado con matriz vectorial y no escalar). Fue formalizado y analizado por primera vez por A. W. Tucker en 1950. De 2x2, equili-brado, con solución según Nash (sin ensilladura), no corresponde su

implementación con programación lineal en esta forma estática.

El dilema del prisionero puede ampliarse agregando la condición de ser repetido indefinidamente: la estrategia de amenaza, basada en la represalia del ojo por ojo, o “estrategia gatillo” (trigger strategy) hace que si uno denuncia el otro también lo hará a partir de ese momento, obteniéndose otro equilibrio de Nash al ser repetido inde-finidamente. Al introducir condiciones de información incompleta, como por

ejemplo hacer creer que uno pueda actuar en forma irracional, se agrega la noción de “reputación” de cada jugador. Cada jugador calcula la esperanza de que el otro no denuncie en cada secuencia del juego según esa reputación, basándose en conjeturas o creen-cias que tienden a ser profecías autorealizadoras; conducirían a la elección de estrategias de equilibrio con un pago mejor que bajo represalias gatillo sin incertidumbre.

TOMA Y DACA

Este juego se ve como una estrategia óptima en teoría de los juegos para el dilema del prisionero pero iterado. La expresión “tit for tat” se refiere a golpes suaves, que se entienden como una "represalia


567

equivalente": "golpea suavemente al que te ha golpeado suavemen-

te".

Un agente que use esta estrategia responderá consecuentemente a la acción previa del oponente. Si el oponente ha cooperado previa-mente, el agente cooperará. Si el oponente deserta el agente se vengará de él. Estas características hacen que el funcionamiento de esta estrategia sea fácil de comprender por el oponente, y se pueda así encontrar una forma de trabajar en un juego repetido. La estra-tegia depende de cuatro condiciones:

1. El agente siempre colabora, a menos que sea provocado con una deserción.

2. El agente se vengará ante cualquier deserción. 3. El agente perdona fácilmente una vez que se ha vengado. 4. El agente debe tener una probabilidad mayor de 2/3 de jugar

de nuevo contra el mismo oponente.

ESTRATEGIAS MIXTAS

Supónganse dos empresas que compiten monopólicamente. Ambas coinciden en la visión del mercado y procuran que su oponente no anticipe cual será su accionar en cada campaña para que no pueda neutralizarla. A tiene 2 estrategias y B 3 en sucesivos juegos repeti-dos. Los ingresos de una se consideran sustraídos a las posibilidades de la otra. La matriz de pagos a una representa lo que pierde la otra:

PAGOS PARA “A”:

B A 5 7 2

9 4 8


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Tratando de asegurar lo mejor, cada una elige lo que al otro no le interese. A selecciona sus dos mínimos (3 y 4) y elige lo mejor, 4 (maximin). B esta calculando sobre estos pagos para A, entonces seleccionar aquí los tres máximos (9, 7, 8) y elige el menor, 7 (minimax). Sus decisiones no coinciden; no hay punto de ensilladura y deberán proceder con otro criterio, mediante estrategias mixtas.

ESTRATEGIAS DOMINADAS

Además, B estudia los premios que recibiría A y como tiene una estrategia más que A observa que B perdería en las dos últimas menos que con la primera: entonces B considera que tiene su pri-mer estrategia dominada por las otras dos. Su matriz de juego que-da reducida a: PAGOS PARA “A” B A 7 2 4 8 A selecciona los mínimos (2 y 4) y elige 4 (el maximin). B selecciona los máximos (7 y 8) y elige 7 (el minimax). Tampoco hay punto de ensilladura o coincidencia, por lo que siendo juegos repetidos eligen estrategias mixtas, calculando gráficamente, analíticamente y/o me-diante programación lineal.

AMENAZA CREIBLE

Una estrategia de amenaza puede ser o no creíble, de acuerdo a que sea compatible con la optimización actual según el criterio ma-ximin. Supongamos dos empresas A y B que compiten produciendo caños de acero, para uso mecánico y para uso conducción de agua.


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De acuerdo a la siguiente matriz vectorial de pagos (beneficios para A y B según sus maximin) la empresa A-filas tiene su maximin pro-duciendo caños para uso mecánico (ganando 1) y la empresa B-columnas optimiza (también según su maximin en la forma vecto-rial) produciendo caños para conducción (ganando 2).

CAÑOS PARA USOS:

A \ B Mecánico Conducción

Mecánico 3 , 2 1 , 8

Conducción 0 , 7 5 , 4

No sería creíble que la empresa A amenazara a la B con aumentar la venta de caños para uso conducción, ya que así reduciría sus beneficios actuales o pagos de 1 y pasaría a ganar menos o a tener pérdidas. Tampoco sería creíble que la firma 2 amenazara a la firma 1 con expandir sus ventas de caños para uso mecánico, ya que actual-mente la firma 2 optimiza según su maximin 4 vendiendo caños para conducción de agua. No obstante, las firmas podrían adoptar una estrategia disuasiva para neutralizar la entrada en competencia en este mercado de

nuevos competidores, o bien inversiones competitivas en una firma actual, ya sea anunciando o bien implementando inversiones en sus propias instalaciones como estrategia disuasiva, según sea el ru-

bro y el equilibrio actual.


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DOMINACION - DOMINANCIA

JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL, GEOMÉ-TRICAMENTE, ANALÍTICAMENTE Y CON SOLVER

Cuando no hay ensilladura J. Nash propuso estrategias mixtas. En el caso particular de juegos repetidos, bajo incertidumbre pero con la racionalidad N-M el cálculo de la dominancia podrá precisarse analíticamente y gráficamente: Con criterio asegurador el jugador A, igualaría las probabilidades de ganar y perder cada acción suya, según lo que pueda adoptar el oponente (en columnas): por ejemplo, lo que obtendría A, según que B pueda adoptar su primer o segunda estrategia, sería según la pri-mer columna: 7P +4(1-P), o sea 3P +4, que es posible graficar asig-nando valores arbitrarios P=0 y P=1, obteniéndose los extremos de la línea P1: 4 y 7. Si B adoptara la segunda estrategia, A obtendría según la segunda columna: 2P +8(1-P), o sea, -6P + 8, que es posible graficar asig-nando valores arbitrarios P=0 y P=1 para obtener dos puntos 8 y 2 de la línea P2:


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VE P1 8 7 5,33 4 2 P2 1-P 0,44 1 P Analíticamente: A debe igualar las posibilidades de acción de B, o sea:

7p + 4(1-p) = 2p + 8(1-p) 2p - 8p + 8 = 7p – 4p + 4 2p – 8p – 7p +4p = -4 -9p = -4 ; ó 9p = 4; con p = 0,44 que confirma analítica-mente lo obtenido gráficamente.

Con ese criterio asegurador, A juega al azar pero cuidando totalizar estas proporciones: 0,44 de ganar (según el criterio maximin A gana si elige su primer fila (o sea, 2) y B eligiera la segunda columna, o sea, 2). A esto A le suma 0.56 de posibilidad de perder (A pierde si eligió la primer fila pero B no eligió la segunda columna: si en esa columna no recibe 2 A debe recibir 8). O sea, 0.44(2) + 0.56(8) =$5.53 Igualmente para B: Dado que B analiza con la matriz de pagos para A, iguala las pro-babilidades de premios a obtener según que A pueda decidir jugar con la primera o segunda estrategia (filas).


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Geométricamente, según sea la fila que A decida jugar, B obtendría: Primera fila: 7P +2(1-P), o sea 5P +2, que podemos graficar como línea P1, asignando valores arbitrarios P=0 y P=1 y obteniendo co-mo VE los extremos 2 y 7 para la línea P1. Si A jugase con la segunda fila, B obtendría: 4P +8(1-P), o sea -4P +8; que se puede graficar asignando valores arbitrarios P=0 y P=1 para obtener los extremos 8 y 4 de la línea P2. La resolución geométricamente, surge al igualar ambas líneas, ob-teniendo el valor esperado $5,33 con la P=0,67 VE P1 8 7 5,33 2 4 P2

1-P 0,67 1 P

Analíticamente:

7p + 2(1-p) = 4p + 8(1-p) 7p – 2p + 2 = 4p – 8p + 8 7p -2p –4p+ 8p = 6 ; 9p = 6; con p= 0,67 El VE $5,33, se obtiene de juegos al azar, que cuidan totalizar estas proporciones: 0,67(7) + 0,33(2), que también suman VE = $5,36. Es decir, según el criterio minimax B gana si elige la primer columna y A eligiera la primer fila (7). A esto le suma B la posibilidad de per-


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der: B pierde si eligió la primer columna pero A no eligió la primer fila. Si B ganaba con (7) y la jugada de A con la primer fila le hace perder, entonces B pierde (2).

O sea, VE = 0.667(7) + 0.335(2) = $5.53

JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA

DILEMA DEL PRISIONERO EN LA FORMA EXTENSIVA (ARBOL) Para especificar un juego en la forma extensiva se debe definir: el

momento y orden en que eligen los jugadores; el conjunto de elec-ciones posibles de cada jugador; la información de que disponen cuando les toca elegir; y los pagos para ambos en función de esas elecciones. En el dilema de los prisioneros no hay información completa para la toma de decisiones. Cada uno de los prisioneros debe razonar en forma simultánea su estrategia sin tener conocimiento de cual sea la decisión del otro. El razonamiento se aclara en forma de árbol: en el primer subjuego, el que comienza con el nodo 1, se plantean las dos alternativas disponibles, confesar y no confesar. El otro prisione-ro se plantearía sus alternativas de confesar o no confesar en los nodos 2 y 3. Como este segundo prisionero (no interesa si es el 1 o el 2) no tiene información perfecta sobre la decisión del otro, suelen circularse con un marco de borde punteado los nodos 2 y 3 en los

cuales decide el segundo para indicar que su información no es completa. Los resultados de cada alternativa figuran en los nodos 4 hasta 7 (en años de cárcel para cada uno): hay un equilibrio de Nash en no confesar, con 5 años de cárcel para cada prisionero que aplica la racionalidad N-M y se asegura el menor castigo sin arriesgar.


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FORMA EXTENSIVA PARA LOS JUEGOS SECUENCIALES

En estos casos un jugador decide después del otro y no en forma simultánea. En un ejemplo de una inversión competitiva entre dos empresas se debe definir el momento y el orden de las jugadas, las decisiones posibles, la información disponible por cada empresa y los pagos a recibir por cada una según cada decisión: en el nodo 1la empresa A decide en una primera instancia entre invertir o no inver-tir. En una segunda instancia en los nodos 2 y 3, la empresa B deci-de en cada nodo entre invertir y no invertir. Los nodos 1, 2 y 3 son nodos de “decisión”. Los nodos del “resultado” de sus decisiones figuran al final, en los nodos 4 hasta 7.


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Por ejemplo, según el nodo 4 la empresa A gana 30 por invertir si también invierte B y gana 8; pero si A invierte y B no invierte en el nodo 5 se anotan los premios respectivos, 40 para A y 1 para B, etc. El resultado del juego es que ambas empresas invierten: es el mejor resultado para ambas (nodo 4: A gana 30 y B que eligió en segunda instancia gana 8). Un Equilibrio Perfecto en Subjuegos (EPS) es un conjunto de estrategias (una de cada jugador) que en cada subjuego inducen finalmente un equilibrio de Nash (ignorando las estrategias no ópti-mas). En los juegos de Información Perfecta los EPS se pueden cal-cular resolviendo hacia atrás: en el nodo que empieza con 2 inver-

tir genera mejores pagos que no invertir; en el subjuego que empie-za con 3 invertir general mejores pagos que no invertir; y hacia atrás, en el subjuego que empieza con 1, invertir genera mayores pagos que no invertir. Otra forma de calcular el EPS es ir subrayan-do en el árbol las estrategias ganadoras: Invertir en los nodos que comienzan con 1, con 2 y con 3.


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Esta forma extensiva (en árbol) del juego representa aquí un juego secuencial con información perfecta (ambas empresas saben en

cual nodo están cuando les toca elegir). Pero también se pueden representar así juegos cuando no existe información perfecta, (información imperfecta), simplemente

aclarando esta situación de B en los nodos 2 y 3 (se los suele en-marcar con borde punteado). Sería el caso de un juego simultáneo (como en el dilema del prisionero), en el que la empresa B no sabría cuál es la decisión de A (no sabría B en cual nodo estaría).


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JUEGOS CON PROGRAMACION LINEAL SIMPLEX

JUEGOS REPETIDOS Y SUPERJUEGOS

En los casos de juegos repetidos finitos como en los de duración teórica infinita (superjuegos) la solución de los juegos repetidos de 2 jugadores con 2 estrategias puede obtenerse en forma analítica o en forma gráfica o con programación lineal Simplex, consideran-

do que según el teorema minimax, lo que cada uno busca es pro-mediar las probabilidades de ganar y perder y que estas suman uno; o sea, el valor esperado en sucesivas jugadas será un premio simi-lar al del oponente, a quien se supone también experto en estos juegos. La solución para estos casos sencillos puede obtenerse mediante programación lineal y también son Solver (para casos complejos

con muchos jugadores y estrategias las dificultades de la programa-ción lineal requieren utilizar medios computacionales específicos más potentes). Es necesario observar que la matriz de coeficientes sea no negativa (o se la convierte a no negativa sumándole una constante acorde a su mayor valor negativo); plantar una función objetivo con las valo-res Xi=0, que también incluya la constante o valor esperado E; en sujeto a las restricciones se incluyen los coeficientes y condiciones del primal o de la transformada de su traspuesta -A´, orlada a la derecha, así como las restricciones de no negatividad para los Xi y E que se utilice según la conversión inicial. Por ejemplo, el juego 7 2 es no negativo. 4 8 Su dual es la transformada de la traspuesta: -7 -4 -2 -8


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El planteo simplex implica -7 -4 1 por el vector 0 -2 -8 1 0 1 1 0 1 Cuya inversa y producto son: -0.11 0.11 0.44 por 0 igual a 0.44 011 -0.11 0.55 0 0.56 0.44 0.55 5.33 1 5.33 Se corresponde con el juego del oponente: 7 2 1 4 8 1 1 1 0 Cuya inversa y producto son: 0.11 -0.11 0.67 por 0 igual a 0.67 -0.11 0.11 0.33 0 0.33 0.44 0.56 -5.33 1 -5.33 La solución de juegos repetidos mediante programación lineal Sim-plex es fácil también para juegos de dos personas y varias estrate-gias.

CON SOLVER DE EXCEL

Solver simplifica la optimización de estos casos: para el primal se trata de maximizar un VE, sujeto a la condiciones que cada una de las estrategias valga entre 0 y 1; que cada una sea un valor positivo no nulo; y que el conjunto de ellas debe valer uno, según el condi-ción de las probabilidades de La Place y/o Bayes. Al activar la macro Solver se establece como objetivo la celda D13 (sin fórmulas subyacentes); se tilda Maximizar; se establecen como


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cambiantes a calcular por Excel las cedas D9:D10 y separado por punto y coma también ahí la propia celda objetivo D13, para que Excel también la optimice. Como condiciones, en “Sujeto a” las restricciones, que la suma de las celdas cambiantes en D11 sea =1; que los VE de cada estrate-gia sean mayores o iguales a la celda objetivo; y que las celdas cambiantes sean no negativo. Finalmente se tilda Convertir a no negativos y también programación de tipo lineal. Al ejecutar, Solver calcula los VE y el máximo, coinci-dentes, así como las probabilidades para la primera y segunda es-trategias de A.


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Previamente fue necesario sumar en D11 las dos celdas superiores; y en D15 efectuar la suma producto que se indica en el cursor (y copiarla a E15). La solución impresa por Solver debe interpretarse como que el ju-gador A asigna 44% de probabilidad a su estrategia radio y 56% a su estrategia TV (o sea, 0.44 (7) + 0.56 (4) =$5.33 de premio espe-rado para A.


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En síntesis, para este juego repetido, el jugador A observa que su estrategia pura no coincide con la de B (sin ensilladura), ante lo cual decide una estrategia mixta, consistente en jugar al azar, pero cui-dando que 44% de la veces sean Radio y 56% TV, obteniendo un premio similar al de su oponente (también racional: 0,44(2) + 0,56(8) = $5,33) Es decir, si A decide la fila Radio puede ganar o perder según lo que haga B en sus columnas. Igualmente, si A decide la fila TV puede ganar o perder según lo que haga B en las columnas. Enton-ces, respetando el criterio minimax, iguala sus probabilidades (o valor esperado, VE) al decidir A Radio según lo que pueda decidir B: 2p +8(1-p) = 7p +4(1-p). Esto implica que si su oponente es racional hará lo mismo y obtendrán el mismo premio. Simplificando esa expresión, surge X =0,44 como valor esperado (VE) de igualar chances; y entonces A juega al azar, pero de modo que su primer estrategia (radio) sume 44% de las veces y la segun-da (TV) 56%. DUAL:

Análogamente para el caso de juegos de B: dado que con Solver se usa la matriz de pagos para A, para B se tilda Minimizar; las estrate-gias de B se asignan a Solver ahora según una fila de celdas cam-biantes D10:E10 juntamente con la celda objetivo separada por pun-to y coma (previamente se sumaron ambas celdas en F10); las res-tricciones son análogas, pero en este caso las estrategias del opo-nente deben figurar como menores o iguales a la celda objetivo.


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Como esta es la matriz de pagos para A, el jugador B busca el mí-nimo de los máximos. Su óptimo no coincidía con la estrategia pura de A, por lo que en ausencia de ensilladura (equilibrio) B adopta una estrategia mixta para este juego "repetido": B juega al azar pero cuidando de totalizar 67% de veces su primer estrategia, Radio y 33% de veces la segunda estrategia, TV. De esta forma B espera lograr como promedio ponderado la mínima pérdida por beneficios de A, tanto que A jugase Radio o TV (similar VE que A = $5.33).


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JUEGO REPETIDO 2 JUGADORES 2 ESTRATEGIAS SIN ENSI-LLADURA (MATRICIAL ESCALAR)

MATRIZ DE PAGOS PARA A:

B) 8 9

A) 15 0 Bajo incertidumbre sobre qué jugará el oponente, pero con la racio-nalidad N-M en ambos, el jugador A, igualaría las probabilidades de ganar y perder en cada acción suya (filas), según lo que pueda adoptar el oponente (en columnas): Para resolver en forma gráfica se obtienen ambas líneas de probabi-lidad, según las dos columnas: p1) 8X +15(1-X) = 8X + 15 –15X = -7X +15 Se grafican los extremos asignando a X valores 0 y 1: Si X=0 sería UE= 15 Si X=1 sería UE = 8 Igualmente para la otra decisión de B: P2) 9X + 0(1-X) = 9x La línea que representa esta expresión es una recta por el origen con pendiente 9; sus extremos son: Si X =0 entonces UE= 0 Si X=1 entonces UE = 9


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VE 15 P1 8.44 P2 8 1-P 0,94 1 P La intersección de ambas líneas permite obtener la frecuencia de juego de la primera estrategia y la utilidad esperada o VE: Igualando ambas funciones: -7X + 15 = 9X 16X = 15; X= 0.94 (94%); y 1-X = 0.06 (6%) VE: 0.94 (9) + 0.06 (0) = $8,44. Analíticamente: A debe igualar las posibilidades de acción de B, o sea: 8p + 15(1-p) = 9p + 0(1-p) 8p - 15p + 15 = 9p – 0p + 0 -16p = -15 ; ó p = 0,94 que confirma analíticamente lo obte-nido gráficamente. Con ese criterio asegurador, A juega al azar pero cuidando totalizar estas proporciones: 94% de ganar (según el criterio maximin A gana si elige su primer fila (o sea, 8) y pierde si elige la segunda (o sea, 15): 0.94(8) + 0.06(15) =$8.44


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Igualmente para B:

Dado que B analiza con la matriz de pagos para A, iguala las pro-babilidades de premios a obtener según que A pueda decidir jugar con la primera o segunda estrategia (filas). Geométricamente, según sea la fila que A decida jugar, B obtendría: Primera fila: 8P +9(1-P), o sea -P+9, que podemos graficar como línea P1, asignando valores arbitrarios P=0 y P=1 y obteniendo co-mo VE los extremos 9 y 8 para la línea P1. Si A jugase con la segunda fila, B obtendría: 15P +0(1-P), o sea 15P; que se puede graficar asignando valores arbitrarios P=0 y P=1 para obtener los extremos 8 y 4 de la línea P2. La resolución geométricamente, surge al igualar ambas líneas, ob-teniendo el valor esperado $5,33 con la P=0,67 VE 15 P1 9 8.44 P2 1-P 0,56 1 P Analíticamente: 8p + 9(1-p) = 15p + 0(1-p) 8p – 9p + 9 = 15p – 0p + 0 -p –15p = -9; 16p = 9; con p= 0,56


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El VE se obtiene de juegos al azar, que cuidan totalizar estas pro-porciones: 0,56(8) + 0,44(15), que también suman VE = $8.44. Con Programación lineal: Una tercera alternativa, aplicable también para casos mayores a dos jugadores, es la resolución mediante programación lineal, del caso primal (jugador A) y de su dual (jugador B). Para el primal se trata de maximizar un VE, sujeto a la condiciones que cada una de las estrategias valga entre 0 y 1; que cada una sea un valor positivo no nulo; y que el conjunto de ellas debe valer uno, según el condición de las probabilidades de La Place y/o Ba-yes. Al activar la macro Solver se establece como objetivo la celda D13 (sin fórmulas subyacentes); se tilda Maximizar; se establecen como cambiantes a calcular por Excel las cedas D9:D10 y separado por punto y coma también ahí la propia celda objetivo D13, para que Excel también la optimice. Como condiciones, en “Sujeto a” las restricciones, que la suma de las celdas cambiantes en D11 sea =1; que los VE de cada estrate-gia sean mayores o iguales a la celda objetivo; y que las celdas cambiantes sean no negativo. Finalmente se tilda Convertir a no negativos y también programación de tipo lineal. Al ejecutar, Solver calcula los VE y el máximo, coinci-dentes, así como las probabilidades para la primera y segunda es-trategias de A.


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A asigna 94% a su primer estrategia y 6% a la segunda: 0.94 (8) + 0.06 (15) =$8.44. Igualmente para el caso dual, el juegos de B: dado que con Solver se usa la matriz de pagos para A, para B se tilda Minimizar; las es-trategias de B se asignan a Solver ahora según una fila de celdas cambiantes D10:E10 juntamente con la celda objetivo separada por


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punto y coma (previamente se sumaron ambas celdas en F10); las restricciones son análogas, pero en este caso las estrategias del oponente deben figurar como menores o iguales a la celda objetivo.

Como esta es la matriz de pagos para A, el jugador B busca el mí-nimo de los máximos. Su óptimo no coincidía con la estrategia pura de A, por lo que en ausencia de ensilladura (equilibrio) B adopta una estrategia mixta para este juego "repetido": B juega al azar pero cuidando de totalizar 56% de veces su primer estrategia, Radio y 44% de veces la segunda estrategia, TV. De esta forma B espera lograr como promedio ponderado la mínima pérdida por beneficios de A, tanto que A jugase Radio o TV (similar VE que A = $8.44).


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JUEGO DE DOS JUGADORES CON MÁS ESTRATEGIAS

A efectúa juegos repetidos pero con 73% de probabilidad a su pri-mer estrategia radio 5 y 27% de los juegos a su segunda estrategia TV 0, obteniendo un premio de $3.64, similar que B.


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B asigna 55% de sus juegos a la estrategia radio y 45% a la estrate-gia diarios, obteniendo un valor esperado similar que A: $3.64. PIEDRA PAPEL TIJERA (matricial escalar repetido) Otra ventaja de esta modalidad diferente de Solver, para programa-ción lineal de casos repetidos con probabilidades que suman uno, es que Excel permite la resolución de casos mayores a 2x2 con más estrategias en uno o ambos jugadores.


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Juego con dos jugadores, tres estrategias, dinámico, repetido, finito, con premio para quien gane antes una cantidad pautada; por ejem-plo de tres aciertos y el oponente lava los platos (uno de los casos

planteados en el mencionado Game Theory and Economic Beha-vior, J.von Neumann – O. Morguenstern, Princepton Un.Pres sep-tember 1946/53)

O sea, un juego con 1/3 de probabilidad que tiene esta representa-ción:

Jugador B Columnas

Jugador A filas

0 -1 1

1 0 -1

-1 1 0

Reglas: sucesivos juegos con N=2, ambos jugadores mostrando simultáneamente el puño cerrado, dos dedos abiertos o toda la


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mano abierta. Piedra (pisa) gana a tijera; tijera (corta) gana a papel; papel gana (envuelve) a piedra (Pi>Ti; Ti>Pa; Pa>Pi) En este sentido, la programación lineal aporta un método apropiado, para determinar el tipo de estrategias y solución, las cuales se facili-tan con Solver de Excel: se suman en D12 las tres celdas superio-res; tildando maximizar, se indica a Solver la celda objetivo D13; en “Cambiando las celdas” D9:D11; D13 (pero se le agregó “;D13”) y en “Sujeto a las restricciones” las que muestra la imagen (se obser-va que la desigualdad leve D15:F15>=D13 es mayor o igual que la celda objetivo). La solución esta caracterizada también con el enfoque de J.Nash para estrategias mixtas: jugar al azar pero sumando las proporcio-nes según el análisis de dominancia; pero tendría esto sentido para un juego repetido suficientemente largo. Para este u otros casos similares, una implementación del desarrollo de este juego con Excel (como dinámico suficientemente largo) también podría incluir la posibilidad de su ejecución, asignando a cada acción por línea los valores mediante la función =aleatorio( ; ).


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Con jugadas al azar pero cumpliendo esas proporciones se asegura un premio neutro, lo cual es mejor que jugar sin orden y tener un premio negativo (perder): A asigna 33% a cada estrategia, con VE= $0. El dual de este primal es la situación del otro jugador, que obtiene un premio similar: solo se cambia en Solver tildar la opción minimi-zar, la suma de las tres celdas cambiantes en F10 y las sumapro-ducto en columna D15:D17 según muestra el cursor. En Sujeto a las restricciones, la desigualdad leve D15:D17 <=D13 (es menor o igual que la celda objetivo).


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B asigna 33% a cada estrategia y obtiene un premio similar al de A: $0, o sea sin ganancia ni pérdida, según el planteo maximin consis-tente en promediar resultados eventuales, minimizando riesgos, que confluyen en igualdad de premios y probabilidades para ambos ju-gadores. LA GUERRA DE LOS SEXOS (matricial vectorial)

Dos jugadores, dos estrategias: Ana y Alberto, que se están corte-jando mutuamente, querrían coincidir en la actividad de esta tarde. Pero a la vez, cada uno tiene gustos distintos, así que les gustaría


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coincidir, pero en la actividad que a ellos les gusta y no se pueden coordinar previamente.

Ana

Fútbol Discoteca

Alberto Fútbol 3, 2 1, 1

Discoteca 0, 0 2, 3

Cada uno de ellos puede decidir ir al Fútbol o ir a la Discoteca. En cada celda de la matriz esta primero el pago de Alberto y luego el de Ana. Ambos están cortejándose mutuamente, así que su mayor pa-go es cuando coinciden en la elección (es decir, la diagonal de la matriz). Pero claro si coinciden haciendo lo que Alberto quiere, él gana un poquito más (3), mientras que Ana gana mucho, pero no lo máximo (2). Análoga situación tenemos si coinciden pero yendo a la Discoteca. En las otras dos celdas de la matriz lo que tenemos es que cada uno hace la actividad elegida, pero no coinciden. Si al menos la acti-vidad elegida era la que a ellos les gustaba, reciben un punto de consolación; si encima tienen la mala suerte de haber elegido la que no les gustaba, nada. Es un juego simétrico, ya que se pueden intercambiar sus estrate-gias y posiciones sin que cambie el resultado del juego. El problema que se plantea es simplemente un problema de coordi-nación. Se trata de coincidir en la elección. Al no haber comunica-ción previa, es posible que el resultado no sea óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximín el pago que recibirán es subóptimo. Esa solución, tampoco es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores están tentados de cambiar su elección: cuando Ana llegue a la discoteca y observe que Alberto se ha ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.


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Pero, hasta aquí es un juego por única vez (sin repetición) y sin transferencia de utilidad (no hay comunicación previa, por lo que no es posible ponerse de acuerdo y negociar o acordar pagos secunda-rios, como "si vienes al fútbol pago yo la entrada"). Sin embargo, el juego también se suele plantear más realista, por preferencias (asi-métrico) y la restricción de no coordinación pero modificando ahora como juego dinámico, con una solución según Nash, de tipo segun-do mejor (o mal menor). En este último caso la solución mediante programación lineal Simplex con Solver tendría el siguiente primal:


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Con similar solución para el dual:

POLICIAS Y LADRONES (matricial vectorial)

Este juego también esta incluido en “Game Theory an Economic Behavior”, en su forma matricial escalar, aunque también puede plantearse en su forma matricial vectorial.

: En la ciudad existen dos sectores A y B afectados por operaciones delictivas. Una numerosa organización decidió operar en un solo


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sector cada día. Pero la policía solo cuenta con recursos para patru-llar una zona. Los resultados de la actividad de unos y otros figura en la siguiente matriz vectorial de pagos (también podría represen-tarse bimatricialmente, una para policías con estos escalares antes de la coma y otra para ladrones con los escalares posteriores a la coma): Operar en sector A Operar en sector B Patrullar en A 1 ; -1 -1 ; 1 Patrullar en B -1 ; 1 1 ; -1 En este juego no hay un equilibrio de Nash, ya que al menos uno de ambos tiene incentivos para cambiar de estrategia según lo que haga el otro. La solución para este juego repetido puede obtenerse mediante Sol-ver: ni ganancia ni pérdida, en función del teorema del minimax, que dado el conocimiento mútuo del juego, solo se puede esperar un promedio de las posibilidades de éxito, obteniendo una VE nulo, sin ganancia pero tampoco con pérdida.


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Ese primal tiene como dual el juego para ladrones, Con similar re-sultado:


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B obtiene un VE nulo, sin ganancia pero tampoco con pérdida.


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HALCON Y PALOMA (matricial vectorial)

Con este juego se modelizan situaciones en las que un agente es agresivo (halcón) y domina la situación jugando inicialmente, mien-tras que el otro (paloma) es conciliador y pierde frente al primero; pero perdería mucho más (él y ambos) en caso de no aceptar la situación y también decidiera actuar como halcón. La guerra fría entre potencias atómicas; los dos autos que en la película avanzan a gran velocidad uno contra el otro, son ejemplos de este modelo.

Dos autos de frente: Jugador 1

Se Aparta Sigue

Jugador 2

Se Aparta 0 , 0 +1 , -1

Sigue -1 , +1 -100 , -100

Se observan diferencias en este modelo con el Dilema del Prisione-ro. La matriz es parecida, pero la solución y el análisis son diferen-tes. Aquí hay dos resultados que son equilibrios de Nash: Cuando las estrategias elegidas por cada jugador son diferentes; es decir, cuando uno elige halcón y el otro paloma. Por el contrario, en el Di-lema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que ambos jugadores traicionan. Otra diferencia de este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el orden en que los jugadores eligen sus estrategias. El primero que juega, gana. El primero elegirá y manifestará la estrate-gia Halcón con lo que el segundo en elegir se verá obligado a elegir la estrategia Paloma, la alternativa menos mala.


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DOS CONSTRUCTORAS

Dos empresas concursan (matricial escalar 3x3) en la adjudicación de un proyecto de construcción, ofreciendo cada una tres tipos de posibles proyectos P1, P2 y P3, según la siguiente matriz de ga-nancias, en la que el premio será 1 si su proyecto vence; -1 si pier-de; y 0 si el concurso queda desierto y debe repetirse la convocato-ria. Se busca maximizar el VE en D13; sujeto a que VE= X1+X2+X3=1;

o sea, VE= X2 -X3; VE = -X1 +X3;

VE= X1 -X2; y con X1, X2,X3>0;

La solución primal es VE=0, con P1= 1/3, P2= 1/3 y P3= 1/3 . Este primal con A tiene como dual la solución de B y viceversa. En este juego repetido, el jugador A observa que su estrategia pura no coincide necesariamente con la de B (sin ensilladura), ante lo cual decide una estrategia mixta, consistente en jugar al azar, pero cuidando que 33% de la veces sean Proy.1, 33% Proy.2 y 33% Proy.3, obteniendo un premio similar al de su oponente (también racional).


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Es decir, si A decide la fila uno Proy.1 puede ganar o perder según lo que haga B en sus columnas. Igualmente, si A decide la fila 2 Proy.2 o la fila 3 Proy.3, puede ganar o perder según lo que haga B en las columnas. Entonces iguala sus probabilidades (o valor espe-rado, VE) al decidir A Proy.1, Proy.2 o Proy.3, según lo que pueda decidir B. Esto implica que si su oponente es racional hará lo mismo y obtendrá el mismo premio: no ganar ni perder.


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605

OTRO EJEMPLO JUEGO DE 3X3: PRIMAL

A asigna 25% de sus juegos repetidos a su primer estrategia, 25% a la segunda y 50% a la tercera, obteniendo un valor esperado similar que el de B, $ 2.50 DUAL


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En este caso B asigna 25% de sus juegos repetidos a su primer estrategia, 25% a la segunda y 50% a la tercera, obteniendo un va-lor esperado similar que el de A, $ 2.50


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EJEMPLO DOS JUGADORES CON CUATRO ESTRATEGIAS PRIMAL SIMPLEX MATRICIAL (ESCALARES)

A asigna 33% de juegos repetidos a cada una de sus tres primeras estrategias, obteniendo un premio de $ 0.667, similar que obtiene B.


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DUAL

B asigna 33% de sus juegos repetidos a cada una de sus tres pri-meras estrategias y obtiene un premio de $0.667, igual que A.


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FOLK THEOREM

El folk theorem es particularmente referido a los juegos repetidos. Al igual que el teorema del punto fijo, este teorema folk es otro concep-to matemático genérico, que se aplica cuando se admite u observa el cumplimiento de condiciones aún sin que alguien lo haya riguro-samente demostrado. Este teorema folk (popular) aplicado a la teoría de los juegos esta-blece que una estrategia será una solución si es seleccionada me-diante el criterio maximin; no obstante que pueda haber diferentes resultados que sean equilibrio perfecto en subjuegos (EPS).

Al elegir el máximo de todos los mínimos se le está dejando al opo-nente un premio similar al propio; y es optimizante, ya que se selec-ciona para sí la mejor entre todas las alternativa que el oponente desecha; al no poder así oponerse el contrincante se obtiene para uno el mejor pago en forma segura y, sobre todo, el jugador se evita otros resultados peores (optimiza, maximizando ganancias o mini-mizando pérdidas).


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TEORÍA DE LOS JUEGOS – DUOPOLIO ( R. Bronson - I.O.)

Juego de suma cero: se trata de dos empresas de supermercados, que estudian abrir un nuevo local cada una, en una región en la que hay tres ciudades: 1) Córdoba, 2) Rosario, 3) Tucumán (R.Bronson, Inv.Operativa -Schaum).

La distancia entre ellas es la siguiente:

Aproximadamente 45% de la población de la región vive cerca de la ciudad 1; 35% vive cerca de la 2 y 20% vive cerca de la 3. Debido a que la cadena A es más grande y tiene más prestigio que la cadena B, la cadena A controlará la mayoría de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la provincia y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones idénticas.

ROSARIO

CORDOBA

TUCUMAN

10 Km15 Km

20 Km

DOUPOLIO:

NUEVO

SUPERMERCADO


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Si ambas cadenas se sitúan en la misma ciudad o equidistantes de un pueblo, la cadena A controlará el 65% de los negocios en esa ciudad. Si la cadena A está más cercana a una ciudad que la cadena B, la cadena A controlará 90% de los negocios en ella. Si la cadena A está más alejada de un pueblo que la cadena B atraerá a 40% de los negocios de esa ciudad. El resto de las opera-ciones, bajo cualquier circunstancia, irá a la cadena B. Además, ambas cadenas saben que la política de la cadena A es no ubicarse en ciudades que sean demasiado pequeñas, y la ciudad 3 está dentro de esa categoría. COMO JUEGO DE SUMA CERO O NULA: Hay dos jugadores en este juego, la cadena A y la cadena B. El jugador A tiene dos estrategias puras: A1 (ubicarse en la ciu-dad 1) y A2 (ubicarse en la ciudad 2); el jugador B tiene tres estrategias puras: B1 (ubicarse en la ciudad 1); B2 (ubicarse en la ciudad 2), B3 (ubicarse en la ciudad 3).

Se considera que las consecuencias para la cadena A son los por-centajes de negocios que en cada región le corresponderán, de acuerdo a los estudios del mercado. Ya que cada porcentaje de aumento o disminución representan un aumento o disminución idéntico, respectivamente, para la cadena B, este es un juego de dos personas suma cero. Si ambas cadenas se ubican en el mismo pueblo, entonces el juga-dor A recibirá 65% de los negocios de toda la región. Entonces, E11 = E22 = 65%.


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Si la cadena A se ubica en la ciudad 1 mientras que la cadena B se ubica en la ciudad 2, entonces el jugador A está mas cerca de la ciudad 1 que el jugador B, pero el jugador B esta más cerca tanto de la ciudad 2 como de 3 que el jugador A. En consecuencia, el ju-gador A capturará: (0,90)(0,45)+(0,40((0,35)+(0,40)(0,20)=0,625 o sean 62,5% de los negocios de la región: E12 = 62,5%. Si la cadena A se ubica en la ciudad 2 y la cadena B se ubica en la ciudad 3, entonces el jugador A esta más cerca de los pueblos 1 y 2, mientras que el jugador B está más cerca de la ciudad 3. En conse-cuencia, el jugador A tendrá: (0,90)(0,45)+(0,90)(0,35)+(0,40)(0,20)= 0,80 el 80% de los negocios de la región: E23 = 80%. De igual manera para las estrategias E13= 80% y E21= 57,5%.


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Estos resultados se condensan en la matriz de Pagos a "A" de esta hoja Excel, que es la matriz de consecuencias para este juego y se utiliza para definir el juego. A marca precautoriamente sus dos mínimos y elige el mayor (maxi-min 62,5) asegurándose que ninguna acción de B pueda anulárselo. Igual precautoriamente B marca sus tres máximos (ya estos son pagos a A y dejan como complemento la participación para B) y B elige el mínimo (minimax 65; hay dos). Como no hay punto de ensilladura o coincidencia, ninguna empresa puede asegurarse algún máximo. Será necesaria una estrategia mixta adicional (según Nash) para decidir el reparto (por ejemplo, con colusión tipo Stackelberg).


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OLIGOPOLIO Y LA TEORIA DE JUEGOS

Los supuestos básicos necesarios son una demanda competitiva que depende del precio de un bien típico no Giffen; los demandan-tes son precio–aceptantes, pero los oligopolistas no son precio-aceptantes y buscan maximizar beneficios, pero no pueden discri-minar precios. Todas las empresas conocen la función de demanda; no pueden almacenar existencia y deben vender lo producido en el período. Los textos suelen simplificar mediante demandas y costos lineales o con costos marginales constantes, para ilustrar sobre los precios y cantidades monopólicos o competitivos de estos modelos:

C = P = a -2(Q) Monopolio: Q = (a-c)/2 Stackelberg: q1 = a –c)/2 q2 = (a –c)/4


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Q = q1 + q2 = 3/*4(a –c)

O sea:

Pero limitan así aun más la realidad de este tratamiento. Para es-tos casos se desarrollan aquí los conceptos utilizando los ejemplos ya resueltos previamente (de Dieguez y Porto, Problemas de Micro-economía, Ed. Amorrortu 1971) para el análisis clásico del oligopo-lio. Un juego es cualquier situación en la que los individuos deben to-mar decisiones estratégicas y en la que el resultado final depende

de lo que cada uno decida hacer (Nicholson, 1997). En el duopolio según Cournot (1838), sin diferenciación del produc-

to y sin colusión; cada uno “reacciona” en función de la cantidad que iría a producir el otro; ambas empresas saben que los precios se adaptan según la oferta total.


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El duopolio de Bertrand (1883), es similar al anterior, pero con pre-

cios como variable de decisión (también se puede plantear con dife-renciación de productos, sustitutivos); cada uno puede elegir el pre-cio, pero la demanda es elástica. Finalmente, es un juego inestable en cuanto conduce a una guerra de precios y a la quiebra de alguna empresa (con la posterior aparición de otro competidor para reiniciar el proceso).

Juegos dinámicos, con información completa: Juegos repetidos, como el duopolio según Stackelberg (1934), parecido al de Cour-

not, pero no eligen o razonan simultáneamente sino uno después del otro (en forma secuencial en dos etapas), inicialmente la líder y luego la seguidora. Juegos con colusión, cartel, como un primer tratamiento bajo teoría

de los juegos cooperativos.

Juegos dinámicos con información imperfecta: juegos repetidos en t etapas limitadas; o en infinitas etapas. Juegos bayesianos: como por ejemplo las subastas a sobre cerrado; al primero o al segundo

precio (en los que gana el de mayor precio ofrecido, pero paga se-gún el segundo precio; y si empata se decide por el subíndice me-nor). Juegos estáticos con información incompleta: caso estático como en el duopolio de Cournot pero con información asimétrica.


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MODELO DE COURNOT COMO TEORIA DE JUEGOS

En este primer planteo, de 1835, cada empresa decide el nivel pro-ducción simultáneamente con la otra (sin información previa) y la producción agregada se vende al precio que indica la función de demanda. La función de reacción de cada una expresa lo que la empresa producirá, considerando la producción de la otra empresa. Estas funciones de reacción del modelo de Cournot tienen pendien-te negativa, lo cual revela que a mayores cantidades menor será el precio, entonces, cada uno producirá menos cuanto más estime que producirá la otra (como en algunos mercados de productos agrícolas). X2 X1 = f(x2) f. reacción1 6.17 E X2 = g(x1) f.reacción2 5,53 X1 En la teoría de los juegos estas funciones de reacción se interpretan como la mejor respuestas de cada una según lo que estime produci-rá la otra empresa; y a estos resultados se los considera hoy un equilibrio de Nash: un vector con ambas estrategias que son las mejores para cada empresa (18.26; 32.86); ninguna de ellas tiene incentivos para desviarse de esta estrategia de equilibrio. Empresa 2


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Coopera No coopera Empresa 1 Coopera (29.50; 29.50) (10.40; 46.17)

No coopera (23.74; 19.93) (18.26; 32.86)

En la teoría de los juegos también se encuentra analogía entre el modelo de Cournot y el “dilema de los prisioneros”: si las empresas coluden (como cartel o un monopolio con dos plantas) obtendrían los mayores beneficios conjuntos; pero si una no cooperara la otra se perjudicaría, ante lo cual deciden actuar por su cuenta, guiándo-se por un criterio prudencial, asegurador y obteniendo algo como un mejor segundo premio. Estas estrategias posibles de ambas empresas surgen ante la posi-bilidad de cooperar formando un cartel, o de no hacerlo. Si ambas cooperan poniéndose de acuerdo y actuando como un cartel, el re-sultado conjunto es un beneficio de $59, a distribuir con algún crite-rio ajeno a estos modelos aquí presentados (Diéguez y Porto). El reparto de los beneficios en un cartel es una cuestión racional o no, pero para simplificar esta representación de juegos suponemos aho-ra que lo hacen por mitades, 29.50 cada una cooperando. Sin em-bargo, esta alternativa no es un equilibrio de Nash, ya que no pue-den estar seguras del cumplimiento del acuerdo. Si la empresa 1 coopera y la empresa 2 no lo hace, entonces la em-presa 1 vende 3,5 kilos (cartel) y la empresa 2 (según su función de reacción) vendería 6,94 kilos, sumando 10.44 kilos. El precio para 10.44 kilos es P = 30 – 10.44 =$19.56. El beneficio para la empresa 1 sería B1= -5/4(3.5)2 +20.(35.) -3.5(6.94) -20= $10.40. El beneficio para el empresa 2 sería B2= -4/3(6.94)2 + 22(6.94) -3.5(6.94) -18 =$46.17. Si la empresa 1 no coopera y la empresa 2 coopera, esta produciría 5.6 kilos (cartel); por consiguiente según la función de reacción de la primera X1 = 8 -2/5(5.6) = 5.76 kilos. Los beneficios serían: para la primera, B1= -5/4(5.76)2 +20(5.76) -5.76(5.6) -20 = $23.74. Para la segunda, B2 = -4/3(5.6)2 +20(5.6) -5.76(5.6) -18 = $19.93.


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En definitiva, la teoría clásica presenta un esquema completo para el cálculo de los ingresos, costos y beneficios de las empresas, con-cluyendo que si la figura de cartel fuera permitida, algún reparto racional de los beneficios conjuntos (por ejemplo, repartir por mita-des solo los beneficio diferenciales a aquello que cada una ya ob-tendría actuando por su cuenta) es la situación más ventajosa para las empresas. Lo que se quiere destacar para este curso general, es que por el contrario, la teoría de los juegos no puede reemplazar en las em-presas a los análisis clásicos. Solamente brinda un criterio de deci-sión o de interpretación de los resultados alternativos que se deben calcular mediante el análisis clásico tradicional: ante la falta de se-guridad en la cooperación, el equilibrio de Nash se obtiene actuando cada uno por su cuenta.


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MODELO DE VON STACKELBERG

Se interpreta como un juego secuencial: la empresa seguidora de-cide después de conocer la producción de la líder, en decisión se-cuencial y no simultáneamente. El modelo de Stackelberg (1934) es otro precursor de la teoría de los juegos y hoy se lo reinterpreta me-diante el concepto de equilibrio perfecto en subjuegos (EPS): la mejor respuesta de la seguidora ante cualquier nivel de producción de la líder. La empresa líder optimiza incorporando en sus cálculos la produc-ción de la seguidora (incorpora en su función de reacción la función de reacción de la seguidora). Así como los resultados en el modelo de Cournot se acercan a los de monopolio, los resultados en el de Stackelberg se acercan a los de una solución bajo competencia, al obtener finalmente una producción agregada mayor que en el caso de Cournot y un precio menor con este proceso secuencial. Se supone que existen barreras a la entrada de competidores y por esto la empresa líder obtiene ventajas haciendo primero su jugada. También se supone irreversibilidad de las decisiones, o sea, que la líder no pude redirigir la producción a otros mercados luego de co-nocer la decisión de la seguidora en el proceso secuencial.


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Las ventajas de ser la primera en fijar un nivel con la variable de decisión, cantidad, se aprecian en el árbol del juego en forma ex-tensiva: a la(s) empresa seguidora(s) solo le queda la alternativa de

adaptar su oferta a la demanda remanente luego de la decisión ini-cial de la lider. Por otra parte, el precio será una resultante de la función de demanda, pero la respuesta al unísono no implica la exis-tencia de colusión o un cartel, sino que es una simple consecuencia del juego inicial de la empresa lider, con un equilibrio de Stackelber.


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JUEGOS CON COLUSION (CARTEL)

Según el desarrollo anterior bajo el esquema microeconómico tradi-cional, si ambas empresas pudieran coludir obtendrían el mayor beneficio conjunto, $59, que aquí simplificamos (excesivamente) con un reparto igualitario, $29.50. Los demás cálculos corresponden a las soluciones según Cournot y según Stackelberg ya sea con la empresa 1 siendo lider, o bien la 2 lider y la 1 seguidora. Empresa 2 Coopera No coopera Empresa 1 Coopera (29.50; 29.50) (10.40; 46.17)

No coopera (23.74; 19.93) (18.26; 32.86)

Un cartel es una forma monopólica y por ello el resultado conjunto genera el mayor beneficio (salvo una adicional discriminación de precios). Pero entra en el cartel el condicionante de la credibilidad en los compromisos del acuerdo. Es como en el dilema del prisionero, en el que no solo influye la ín-dole de la información disponible sino también la credibilidad sobre el mantenimiento de los compromisos; de modo que la solución $ 29.50 para cada uno bajo cartel no es precisamente un equilibrio de Nash, sino que lo será la mejor opción de cada una actuando por su cuenta.

DUOPOLIO DE CHAMBERLIN

Se supone colusión tácita, con aprendizaje según la experiencia, bien homogéneo y capacidad suficiente en ambos: maximizarán en forma conjunta sus beneficios, fijando el precio y cantidad conjunto como en monopolio puro, repartiéndose por mitades la producción y los beneficios (un equilibrio de Nash).


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MODELO DE HOTELLING (LOCALIZACION)

En este caso se simplifica que actúan dos empresas con un bien homogéneo e información perfecta. Se supone diferenciación pero por el lado de la localización del punto de venta: dos vendedores

en una playa lineal, con consumidores precio-aceptantes distribui-dos uniformemente; ambas empresas adoptaran como estrategia de Nash ubicarse en el punto central, aceptando su interdependencia. También sería el caso de dos candidatos que capten votantes entre electores que siempre voten por el candidato más cercano a su po-sición: si la playa tuviera 100 m de largo y la empresa o candidato I se ubicara en el metro 50 y la empresa o candidato II en el metro 40 sería: I en X=50 y II en Y =40;

Pero dado que Pagos (A) + Pagos (B) = 1 Resulta: Pagos (I) = 100 –X + (X-Y) / 2;

o sea, 100 –50 +(50-40) / 2 = 55 También, Pagos (II) = Y + (X-Y) / 2; O sea, 40+(50-40) /2 =45 (ganaría más el candida-to o empresa I) Si I se ubicara en X = 50 y II se ubicara en Y = 60 sería:

Pagos (I) = 100 -50 +(60 -50) / 2 = 55; Pagos (II) = 100 -60 +(60-50) /2 =45;

(ganaría más la empresa o candidato I). Por consiguiente, ambas empresas o candidatos se ubicarían coin-cidentemente: I en X = 50 y II en Y = 50; con Pagos (I) = Pagos (II) = 50 en este ejemplo, con similar ingreso o captación de votos.


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La teoría de los juegos explica este caso como un equilibrio de Nash: sea cual sea la ubicación de la otra empresa, la estrategia dominante de una empresa o candidato es ubicarse en el centro; el equilibrio perfecto del subjuego de una u otra empresa será siempre ubicarse en el punto central.

EL TEOREMA DE LA MEDIANA

K. Arrow estableció las condiciones mínimas que deben reunir los sistemas de votación entre partidos políticos (transitividad u optima-lidad de Pareto débil; racionalidad; independencia de terceras alter-nativas irrelevantes); bajo estas condiciones, si solo hay una única dimensión de preferencias en estudio y estas preferencias de los votantes son unimodales, en un sistema de votación por simple ma-yoría el “teorema del votante de la mediana” establece que ganará el candidato que deje a la izquierda y a la derecha la mitad de la población restante (la mediana en el ejemplo anterior, coincidente con la media en las distribuciones normales).


625

EMPRESA DOMINANTE

En algunos oligopolios existe una empresa más grande que las otras que puede fijar el precio según la optimización del propio be-neficio; entonces la curva de demanda de la dominante es la dife-rencia entre la demanda total del mercado y la oferta de las empre-sas pequeñas, las cuales actúan como precio aceptantes en un equilibrio de Nash.

En este gráfico tomado de Varian (M.I. cap.27) la líder optimiza en el punto de giro (B´=0) que se indica a nivel de Y*L (con costo marginal constante e igual al ingreso marginal; y también ahí B´´<0, o IMg´< CMg´) y con una demanda total a nivel de Y*r. (la diferencia entre estas dos cantidades coincide con la oferta del seguidor, señalada al nivel del P*)


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DEMANDA QUEBRADA DE SWEEZY

En este casi oligopolio con demanda quebrada, si una empresa sube su precio las otras no lo subirían, esperando beneficiarse con un mayor mercado: a la izquierda del punto de equilibrio y quiebre, la demanda es elástica, ya que si alguien sube el precio cae mucho su cantidad.

Hacia la derecha del punto de equilibrio y quiebre, la demanda es inelástica, ya que si alguien baja el precio también lo harían las de-más, pero a costa de poco aumento en la cantidad vendida. Esa situación de equilibrio, con similares precios aun soportando diferen-tes costos marginales en las empresas implica un equilibrio de Nash, en cuanto estas prefieren mantener esa situación (existirían estudios empíricos que evidenciarían ausencia de ejemplos histórico en este modelo).


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DUOPOLIO DE BERTRAND

En este caso las dos empresas tienen como variable de decisión a los precios, en un juego dinámico; el bien es homogéneo y hay limi-taciones de acceso al mercado; ambos deciden en forma simultánea sus precios y cada una supone que la otra mantendrá el suyo fijo. Los textos simplifican suponiendo costos nulos o bien costos margi-nales constantes e iguales para ambas, de modo que la guerra de precios continúa hasta igualar el costos marginal, con beneficios nulos. Bertrand (1883), explica así con solo dos empresas la con-vergencia al nivel óptimo social, que la teoría convencional estable-ce como resultado de la interacción de muchos (infinitos) vendedo-res y compradores en competencia perfecta. En el caso de las empresas según el ejemplo de Dieguez y Porto aquí comentado, la empresa 2 tiene menores costos, de modo que en este modelo la empresa uno quebraría durante el proceso de guerra de precios; pero entraría otra en su lugar para justificar y reiniciar el modelo de duopolio, por lo que se lo considera como un juego inestable (salvo agregando condicionantes adicionales, como ser restricciones de capacidad, o bien bajo diferenciación de produc-tos, ya sea real o simplemente percibida en marca u otras caracte-rísticas) que conduciría a alguna situación de precios en un equili-brio de Bertrand-Nash.


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DUOPLIO DE EDGEWORTH

En este modelo los bienes son homogéneos y hay simetría entre los productores pero Edgeworth supone capacidad limitada para las empresas; los precios también son la variable de decisión igual que en el modelo de Bertrand, de modo que si ocurren reducciones de precios las cantidades se adecuarán sucesivamente hasta agotar la capacidad disponible (equilibrio de Nash).


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MODELACION EMPRESA SOBREDIMENSIONADA EN UN PAIS EN DESARROLLO (*) Ante la escasez de divisas para importaciones reemplazables, es frecuente que las empresas industriales inviertan en costosas instalaciones, que superen transitoriamente la capacidad de absorción del mercado local en ese momento; especialmente si son países en crecimiento o desarrollo. Consecuentemente, necesitan exportar competitivamente , a fin de ocupar más sus instalaciones y lograr menores costos medios y precios. Estas exportaciones son resistidas por las empresas ineficientes y por los sindicatos en los países receptores, que recurren a inventar fallidas denuncias antidumping o por subsidios (conuntervailing duties). La defensa legal de estas comienzan con la presentación del modelo económico seguido por la empresa exportadora (Somisa) y le contnúan inspecciones del país denunciante (EEUU) sobre costos, precios, facturación y modelación. Las explicaciones surgieron del analisis microeconómico clásico: la limitada venta al mercado local no permite que se alcance un punto óptimo, con un mínimo Costo Medio (CM). En estas empresas sobredimensionadas, sin exportaciones el CM sería siempre decreciente (una hipérbola), que se corresponde con funciones de Costos Totales (CT) lineales , diferentes a las usuales parabólicas de los textos. Subyace la idea de una optimización competitiva, maximizando beneficios empresarios, cuya modelación matemática fijó Cournot en París (1835) y figura en textos básicos de microeconomía, como el de W. Baumol o el de Henderson-Quandt: máximo de una variable (Beneficios = ingresos menos costos) cuando el volumen de producción se fija como un punto de giro (primer derivada nula) y la segunda derivada resulta negativa, confirmando que ese nivel de giro es el de máximo beneficio.


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En la modelación convencional la fuciòn de costos suele ser una parábola cuadrática o cúbica (en una variable X, cantidad o tonelaje), con un costo medio lineal o cuadrático, que presenta un punto de mínimo costo, que según la teoría se procura como el optimo competitivo, para beneficio de la empresa y de la sociedad, al permitir gran cantidad a bajo precio. Pero en la empresa sobredimensionada de un país en desarrollo no se puede alcanzar ese nivel de mínimo costo medio (debido al excedente de capacidad operativa de su equipo): sus producciones para uso local son insuficientes para ocuparlo a pleno y solo con la exportación es posible utilizar la otra parte ociosa del equipo (50% en este caso). La modelación utilizada requirió el uso de la información contable según las memorias y balances anuales , firmadas por un profesional y por lo tanto legales en el país, en EEUU y para la OMC. En los anexo A y cuadro 1 constan el importe de ventas, el costo fijo y el costo variable, así como la cantidad física vendida y los resultados anuales sin pérdidas. Cos estos datos se estimó por mimimos cuadrados una funcion de costo total, C = a + bX (con X= toneladas de chapa de acero) lineal, cuyo costo medio es CM = a/X + b, una hipérbole, que nunca alcanza un mínimo (como ocurre con la clásica parábola cuadrática); y con costo marginal = b, constante. Igualmente con los ingresos: cuando estas empresas exportan deben hacerlo compitiendo a los bajos precios internacionales (siempre marginales, o dumping según los criterios del mercado local receptor). Los grandes niveles exportados suelen así tener precios menores que las pequeñas operaciones de clientes en el mercado local exportador (ya que a mayor CM corresponde mayores precios).


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Pero en las denuncias se comparaban altos precios locales para pequeños clientes, con los menores precios para EEUU, que correspondían a uno o dos barcos con 8.000 toneladas mensuales de chapa. Y se presentarn factura a precios similar para dos grandes clientes locales. También se presentaron las tablas de extras o descuentos de precio por cantidad, correspondientes a los CM decrecientes, según costos de los balances firmados por cantador público y la capacidad de diseño del equipo. Repartiendo el costo fijo en una mayor cantidad para exportacion, bajan los costos medios totales y los precios; por lo que no constituye una discriminación ilegal de precios la aplicación de extras o descuentos según la cantidad vendida. Las grandes transacciones internacionales no implican una gran cantidad de gastos en personal y otros en las áreas de ventas, finanzas, créditos, expedición, producción, etc., que implica la atención de los pequeños clientes locales. Al atender una usina a pequeños clientes locales se convierte en un costoso servicentro; mientras que todo este sobrecosto de servicios no existe vendiendo solo a grandes clientes masivos en condiciones fob (solo dos locales y algunos de exportaciòn). La modelación reunió asi, funciones de costos y de ingresos, confeccionadas con regresión por mínimos cuadrados, sobre los datos contable de las memorias anuales, que representaba la política de precios y de extras por cantidades según costos; con un 50% de exportaciones, a precios internacional inferiores a los de operaciones domésticas para los pequeños clientes (solo pocos tenían una dimensión importante).


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Se enfrentaron con éxito periódicas denuncias por dumping o por subsidios entre 1980 y 1993, alentadas por una industria norteamerica obsoleta (que luego se derrumbaría en pocos años) y que apoyaba su poderoso sindicato U. Steel Workers, imponiendo usualmente sus criterios ante algunos países, pero no en otros, como frente a los envíos de Japón, Corea, Brasil y este caso argentino. Finalmente en pocos años más las autoridades de aquel país decidieron imponer “manu militarI” un derecho del 30% a toda importación de acero, que tampoco evitó el derrumbe de aquella industria siderúrgica, automotriz, etc sobreprotegidas. No había precios fob inferiores al costo, ni intención de daño a aquella industria, ni discriminación de precios; y esas denuncias fracasaron (contando especialmente con el apoyo de los sectores importadores, usuarios automotrices, de artefactos, carpintería metálica, etc.). Pero las defensas hubieran fracasado si el exportador no hubiera hecho preseantaciones con una modelación genuina, avalada por la teoría reconocida y expuesta por los prestigiosos H-Q y el “honorable” Baumol (según es reconocido por sus prolongados méritos en el congreso de aquiel país). Otro punto, trivial pero que también resultó fundamental en las denuncias, fue la justificación de la política de descuentos de precios, normalmente comunicada a los clientes según catálogos para cada producto. Surgía de periódicos estudios internos comparando volúmenes y costos medios, los cuales iban bajando según se reparten los costos fijos entre un mayor tonelaje. Algo que se presume o parece obvio pero que para ser válido requiere cuantificación periódica y publicación en catálogos para clientes. A continuación se representa esta modelación mediante un ejemplo hipotético general y competitivo:

a) Caso general:


633

Una sola empresa ante una demanda competitiva P = -5X +250 ; el costo total C= 50X +120 (ambas funciones lineales, que es posible estimar con Excel utilizando Regresion sobre los datos históricos mensuales o anuales) IT = -5X2 +250X es el ingreso total, como precio (demanda) por cantidad IMg = C‟ = -10X +250 es el ingreso marginal, con doble pendiente que el IM o P

CMg = C‟ = 50 es el costo marginal, constante ya que el CT es lineal CM = C/X = 50 +120/X es el costo medio hipérbolico, por ser el

costo total lineal Condición matemática de equilibrio, según Cournot: Max B, con B= IT – CT; cumpliendo B´ = 0 y cumpliento B‟‟ < 0 (condiciones necesaria y suficiente)

Punto de Cournot según B´= IMg – CMg = 0 IMg = CMg ; -10X +250 = 50 o sea -10X +200 = 0; X = 20 la cantidad a producir.

Y con B´´ = -10 < 0 asegura la maximización del beneficio, objetivo básico reconocido en la OMC . El precio es P = -5(20) +250= $150; y el CM = 50+120/20 = $56. Resultando $B = IT – CT = 150(20) –( 50(20) +120) = $1880 que podría interpretarse como el beneficio bajo monopolio puro ( con poca cantidad y alto precio).

b) Si actua competitivamente, no existirían beneficios y la

maxima producción ocurrirá cuando sea el IT = CT; y/o a un

nivel unitario, en una empresa competitiva coincidirían el P

= IM = IMg constantes, que a su vez en el punto de Cournot

deben ser iguales al CMg (primera condición de óptmo).

En este caso de una empresa que actua competitivamente debería igualar P = CMg


634

O sea, -5X +250 = 50 ; -5X = -200 ; X = 40 la mayor cantidad a producir ;

Con un P = -5(40) +250 = $50; el CM = 50 +120/40 = $53. El resultado sería $B = IT – CT = $50(40) –(50(40) +120) =

$-120, de perdida (en este ejemplo con funciones improvisadas: mayor cantidad y bajo precio). c) Si exporta a precios competitivos

Otra pauta de actuar competitivamente es vender al nivel del minimo CM posible, con P = CM mínimo. En este caso con CM hiperbólico es: -5X + 250 = 50 + 120/X ; -5X2 +250X = 50X +120 ; -5X2 +200X – 120= 0 y según Ruffini X = -b+-(b2 -4ac)1/2 / 2a = 39 y 0,8 Con la raíz 39 cumple la condición B‟‟ < 0. El precio P = 5(39) + 250 = $52; El CM = 50 + 120/39 = $ 53,1 Con beneficios $B = 52(39) –(50(39) + 120) = 2070 – 2070 = 0$ La empresa sobredimensionada exportadora que actua competitivamente (con gran cantidad y bajo precio) cubre sus costos pero no obtiene beneficios extraordinarios, según el modelo competitivo de largo plazo.


635

(*) Análisis implementado por S. Eiras en Somisa, ante las autoridades de EEUU, durante las defensas de fallidas denuncias antidumping entre 1980 y 1993.


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OLIGOPOLIO DE 3 A 9 EMPRESAS

La teoría clásica y los desarrollos de la programación lineal han ex-plicado suficientemente casos de oligopolio y especialmente el duo-polio. No es frecuente la definición sobre la cantidad o número de las po-cas empresas en estos mercados, por lo que adoptamos aquí la definición de tres hasta nueve (3 hasta 9) empresas, que surge de lo observado en los casos de investigaciones antidumping en los EEUU (según se tomó conocimiento durante las defensas varias de esas acusaciones -todas con resultado favorable para SOMISA- en la siderúrgica argentina durante 1978 y 1993). Para las investigaciones en general, el congreso norteamericano consideraba que existía conformación monopólica en un mercado cuando solo cuatro empresas abarcaban el 50% del mismo; por lo cual adoptamos aquí como criterio que 10 o más empresas confor-man mercados competitivos y con solo 3 a 9 empresas son merca-dos oligopólicos. La optimización en cada una de estas empresas de un mercado oligopólico también se encara mediante programación lineal Sim-plex. No es un caso de optimización multiproducto / multicriterio o simultánea de varias funciones objetivo, ya que sin colusión, las empresas compiten entre sí. Esta optimización es una situación particular que permite explicar la teoría de los juegos; en este caso, juegos con repetición, mediante optimización “Simplex”, que Solver de Excel resuelve perfectamente. Cada empresa compite con las otras nueve y para no desaparecer debe adoptar el criterio maximin, compitiendo con todas pero en las condiciones que observa ante el competidor de menores costos o mejor posición competitiva.


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En el siguiente ejemplo, cada firma hace el análisis Simplex con Solver frente a las demás: la empresa “A” compite con otras ocho empresas, “B” hasta “I”. Efectúa la optimización Simplex en sendas hojas, hoja1 hasta hoja8; similares, pero con la situación de costos o competitiva ante cada una. Ejecuta Solver en cada una y finalmente observa cual es la empresa más competitiva. Esa observación es visible trayendo los resultados de cada optimi-zación hacia la hoja1, como se muestra en G8:M15. Según el crite-rio maximin, el máximo beneficio posible surge de la confrontación con la empresa “D”: $2,29 para “A” y otro tanto para “D”; o sea $ 4,58 para ambas; pero como son 9 empresas, ese beneficio y mer-cado debe ser compartido con las 7 restantes, surgiendo un premio o beneficio de $0,51 para cada una de las 9 empresas.


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Dado que las empresas compiten entre sí, no corresponde ni es posible aquí una ejecución simultánea o interdependiente, como en el capítulo de la optimización multiobjetivo / “multicriteria”, que re-quiere intervención del decisor; según explica o abarca la teoría de la decisión (entre muchos otros de estos enfoques, es el caso pre-sentado sobre la tradicional solución en la empresa multiproducto, que optimiza mediante programación lineal, pero ponderando en una sola función objetivo esos productos según su contribución marginal, decidida previamente).


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INFORMACION IMPERFECTA

Por una parte, existen Juegos con información incompleta: en

ellos no se sabe cuáles son los beneficios de otros jugadores o cuá-les son las acciones disponibles para ellos; o sea, no se conoce todo el árbol. Por otra parte, hay otros juegos en los que los jugadores conocen la estructura del mismo, o sea, tienen información completa, pero sin embargo, alguno de ellos puede desconocer las jugadas ante-riores de sus oponentes, por lo que tendría información completa pero imperfecta (hay información imperfecta cuando un jugador no sabe lo que hicieron otros jugadores)

J. Harsanyi, en una serie de artículos revisados entre 1965 y 1968, escribió sobre los juegos con información imperfecta (Games with incomplete informaticon played by “bayesian” players I-III, Berkeley, Informs 1967). En las partes I y II de este trabajo describe una nue-va teoría para el análisis de juegos con información incompleta, dis-tinguiendo dos casos: juegos consistentes, en los que existe una cierta distribución de probabilidad básica, de modo que las distribu-ciones de probabilidad subjetiva de los jugadores se pueden derivar como distribuciones de probabilidad condicional; y también juegos inconsistentes en los que dicha distribución no existe. En la parte III demuestra que en los juegos consistentes, donde una distribución de probabilidad básica existe, esta es esencialmente única. También argumenta que, a falta de razones especiales en contra, se debe tratar de analizar cualquier situación de juego con información incompleta en los términos de un modelo coherente del juego, ya que demuestra que esta teoría se puede extender también a juegos inconsistentes (…”But later the theory is extendet also to cases where the diferent players´subjective probability distributions fail to satisfy the consistency assumption.”).


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Finalmente Harsanyi concluye que los juegos de informa imperfecta convertidos según su criterio a juegos de información completa tie-nen similar tratamiento que el juego original.

Los juegos de información incompleta se pueden interpretar, según J. Harsanyi, como juegos de información imperfecta, en los que cada jugador puede pertenecer a diferentes “tipos” (tipos de benef i-cios, de estrategias disponibles, preferencias, etc). Y ante el desconocimiento del tipo real el otro jugador recurre a cal-cular el juego iniciándolo como enfrentándose a la naturaleza: si cada jugador no sabe a qué tipo de jugadores se enfrenta, entonces supone que actúa ante la naturaleza y le asigna una probabilidad a la decisión del jugador, calculándola según la regla de Bayes (jue-gos bayesianos o con equilibrios Bayesianos de Nash, ya que no tienen ensilladura y requieren estrategias mixtas tipo Nash que brinda la transformación de Harsanyi). Por ejemplo, en un caso de dos jugadores, el primero en jugar de-cidiría ante dos alternativas con alguna probabilidad en ellas. Luego jugarían los dos simultáneamente, pero el segundo no sabe qué jugó el primero y deberá así decidir ante cuatro alternativas Continuando con el caso ya visto sobre juego de la guerra de los sexos, en el que se planteó la solución del caso simple (sin ensilla-dura) y también la del caso de juegos repetidos (en el que la pro-gramación lineal determinó un equilibrio con 50% de salidas según los gustos de cada uno). Ahora veremos según la explicación de Harsanyi para la solución simultánea de un juego estático con información imperfecta, en el que se dispone de dos tipos de jugadores: cada uno conoce sus propias preferencias y no sabe lo que juega el otro, pero deben de-cidir simultáneamente, por lo que según la transformación de Har-


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sanyi, si el jugador 1 moviera primero entonces el jugador 2 para decidir debería recurrir a suponer un evento aleatorio inicial (un jue-go estático simultáneo, pero como si tuviera tres instancias: 0 (natu-raleza), 1 (supuesta decisión del jugador 1) y 2 (decisión del jugador 2).

La forma extensiva (en árbol) es especialmente útil cuando influye una secuencia temporal en un juego para definir la situación estra-tégica; mientras que la forma normal (escalar o vectorial) es útil para juegos estáticos que se definen en una única jugada. Aquí, tanto en la forma extensiva como en la siguiente forma vecto-rial se observa que este sería un caso sin ensilladura, en el que co-rresponden estrategias mixtas (si el jugador 1 es del tipo 1 tiene su maximin en el primer nodo de resultados; y si es del tipo 2 lo tiene


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en el sexto nodo de resultados; por su parte, el jugador 2 tiene su único minimax en los nodos primero y quinto). Pero como el jugador 2 no conoce las preferencias del jugador 1 recurre a suponerlas similares a las suyas; de todos modos, aún así no sabría que podría haber decidido el jugador 1 en la instancia ini-cial. Efectivamente, ambos deberían decidir en forma simultánea en la instancia 2 (y con información imperfecta): pensando como si Ana hubiera decidido inicialmente Alberto asignaría una probabilidad a que hubiera elegido Fútbol y su complemento para Discoteca. Pero ante el desconocimiento le sería indiferente igualar estas pro-babilidades de la decisión:

j.1 \ j.2 F D j.1 \ j.2 F D

F 2 , 2 0 , 1 F 3 , 2 1 , 1 D 1 , 0 3 , 3 D 0 , 0 2 , 3

0(p) + 2(1 –P) = 3(P) + 1(1-P), o sea, 2 – 2P = 3P + 1 –P; y

2 – 4P = 1; o bien 1 = 4P; o sea, P = ¼

(en este caso con preferencias del jugador 1 consistentes y análo-gas a las del jugador 2, Alberto sería indiferente en escoger Fútbol o Discoteca con P = ¼ , equilibrio bayesiano de Nash, para optimizar

y evitar un resultado peor). Pero si las preferencias del jugador 1 no fueran similares a las su-yas, con una P > ¼ entonces Alberto escogería Fútbol. Y si fueran con una P < ¼ entonces Alberto escogería Discoteca, para optimi-zar y evitar un resultado peor.


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APUESTA DE PASCAL

Según la apuesta de B. Pascal: si creo en Dios y existe voy al cielo; si no existe no pierdo nada. Si no creo en Dios y existe voy al in-fierno; si no existe no pierdo nada. Entonces creer en Dios es una estrategia dominante y el equilibrio en este juego de información imperfecta. En los juegos estáticos de unipersonales de información perfecta hay un único conjunto unitario de información (o singleton) con la solución. Pero en los juegos unipersonales con información imper-fecta el jugador se enfrenta a la naturaleza y se pueden resolver por el método de inducción hacia atrás: observando desde los no-dos de resultados, la estrategia Si es dominante y un equilibrio de Bayes Nash. En la forma extensiva:

si cielo

1

si

no infierno

0 si nada

no

1

no nada


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En la forma normal:

Creer \ Dios Existe No existe

Creer cielo nada

No creer infierno nada


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TEORIA DE LOS ACUERDOS

En economía se estudian los acuerdos empresarios bajo el concep-to de colusión o mercados con formas monopólicas tipo cartel; pero la teoría de los acuerdos ha tenido gran desarrollo en algoritmos de programación y aplicaciones para optimización multiobjetivo /”multicriteria” en otras disciplinas, como en genética, en política, para programación computacional, etc, además de aplicaciones pa-ra la ingeniería empresarial e industrial.

En la segunda mitad del s.XX, el problema central que se encaraba era estudiar la forma en que se compatibilizan los intereses contra-puestos de los agentes y racionalizar la toma de sus decisiones in-dividuales o grupales. J. F. Nash amplió los conceptos iniciales de von Neumann-Morguenstern sobre teoría de los juegos agregando diversos casos sin ensilladura, Juntamente con Shapley, M. Shubik y M. Hauser diseñaron en 1950 un juego para representar la conflic-tiva situación lógica ante la “guerra fría” por el control en la carrera

nuclear, “Fuck you buddy”, o Hasta siempre tontos o Joder a tu ve-cino: 4 jugadores que pueden establecer acuerdos a la vista, sobre la mesa y, mediante capturas o adquisiciones, gana quien logre quedarse con la fichas de los demás (7 de un color cada uno), pero lo hace a costa de establecer un acuerdo con otro o más jugadores y finalmente traicionarlo.

Lloyd S. Shapley, en 1950 y en 2012 (premio Nobel), aportó el concepto de núcleo (core) y el concepto de valor de cada jugador y de potencial en un juego; diseñó un algoritmo para medirlo en casos de coalicionales (con TU) y, junto con J. Har-

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2012/shapley.html


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sanyi, una solución para juegos con pagos sin transferencia de utili-dad (NTU). Con Bondareva explicó los juegos convexos, de núcleo vacío; y con R. J. Haumann, aplicaron la teoría de los juegos a la formalización y claridad de las licitaciones /subastas (elaboraron un “precio recomendado”, aplicable a diversas situaciones como el de tarifas, aproximadamente, según el valor esperado de su coste mar-ginal, cuando una producción es uniforme y se cumple una serie de premisas, sobre equilibrio presupuestario, neutralidad en la activi-dad, independencia de escala, etc). Juntamente con D. Gale propu-sieron un algoritmo, conocido como de aceptación diferida, adecua-do para la explicación de problemas como el de los matrimonios estables, con una selección o combinación de parejas según sus preferencias entre los numerosos conjuntos de hombres y mujeres. Entre sus numerosos trabajos también figura uno sobre las Propie-dades matemáticas del Índice Banzhaf Power [1979] (con Pradeep Dubey). A.E. Roth tomó los conceptos teóricos de Shapley (The Shapley Value: Essay in honor of Lloyd S. Shapley, 1998) y los aplicó a di-versos problemas concretos, buscando formas para precisar una distribución eficiente de pagos en aquellos casos en que los merca-dos no están formalizados y/o en los que no se dispone de precios establecidos, como por ejemplo: compatibilizar la oferta de médicos y cirujanos graduados con las necesidades de los hospitales; la de egresados economistas con los requerimientos y cargos disponibles en las universidades; padres que estudian cómo elegir colegio para sus hijos, frente a las disponibilidades en estos; compatibilizar la donación de órganos humanos con los requerimientos de enfermos en lista de espera (Kidney Exchage, o el Intercambio de riñones, 2004), etc. (Two Side Matching: A Study in Game Theoretic Model-ing and Analisy)


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INDICE DE PODER DE SHAPLEY Y DE BANZHAF CON EXCEL

En los juegos con colusión o coaliciones hubo gran desarrollo de aplicaciones diferentes para algunos análisis del poder coalicionad, especialmente en medicina (genes) y en casos como en el congre-so de los EEUU, o de la UE y países e incluso en áreas menos im-portantes, como para asociaciones empresarias o hasta consorcios de copropietarios.

VALOR DE SHAPLEY

En el volumen II de Contributions to the Theory of Games -Princeton Un.Press- Lloyd Shapley (1963) se incluyó un breve trabajo de 1954, que estableció las bases para la configuración de un índice del valor, que aporta o tiene cada jugador: 1 cada jugador es asig-nado a las coaliciones hasta completar todas las posibilidades de estas. 2 el orden es por sorteo, con similares posibilidades para to-dos. 3 Cada jugador espera recibir aquello con que su aporte contri-buye.


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―The players in N agree to play the game v in a grand coalition, formed in the following way: 1. Starting with a single member, the coalition adds one player at a time until everybody has been admit-ted. 2. The order in which the players are to join is determined by chance, with all arrangements equally probable. 3. Each player, on his admission, demands and is promised the amount which his ad-herence contributes to the value of the coalition (as determined by the function v). The grand coalition then plays the game ―efficiently‖ so as to obtain v(N) – exactly enough to meet all the promises.‖ El criterio de Shapley consiste en calcular las aportaciones margina-les de cada jugador a las coaliciones posibles, entendiéndolas como puntos de premio o valores monetarios (en […. ] ), por cada partici-pación suya en una coalición que se convierta en ganadora por ello (en Pn(S) ):

en donde el primer factor de la sumatoria representa la probabilidad que se forme la coalición S de jugadores y a continuación el jugador i se le incorpore (o sea, S! o probabilidad que lleguen miembros a S; que se multiplica por la probabilidad de llegada posterior de n –S -1 restantes). El segundo factor de la fórmula en la sumatoria de Shapley [el cor-chete] está representando el valor de la contribución de i a la coali-ción; de modo que Xi es la cantidad esperada con que el jugador i contribuye a la coalición. Por ejemplo, en un sistema de votación en el que 3 jugadores (A, B, C) tengan una representación de 6, 5, y 4 respectivamente, el juego se puede simbolizar como


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(9: 6, 5, 4),

indicando 9 la mayoría absoluta (la mitad más uno, enteros, es 15/2= 7.5, entero 8, +1 = 9). Para calcular el índice de valor de Shapley se deben calcular las aportaciones marginales de cada jugador a las coaliciones posibles: supongamos en este caso un punto de premio por cada participa-ción suya en una coalición que se convierta en ganadora por ello (aunque en otros casos pueden ser miles de pesos). En este ejemplo las coaliciones posibles son tres factorial: 3! = 3(2)1 =6 coaliciones: A B C A B11 C A C B y las aportaciones o contribuciones marginales A C10 B B A C que hacen ganadora a una coalición son: B A11 C B C A (se anotaron los votos que hacen ganador B C9 A C A B como subíndice) C A10 B

C B A C B9 A En este caso, los 3 jugadores hacen en la primer vuelta su aporte ganador (ver subíndice sumando los votos en la 2ª columna o prime-ra vuelta): el jugador A hace ganadora dos coaliciones; B hace ga-nadora a otras dos; y C a otras dos coaliciones: o sea, a un punto por coalición ganadora, cada uno reúne dos puntos sobre seis (2/6 = 0.33); cada jugador tiene 33% de poder de voto. Cambiando a otro ejemplo, supongamos que la representación de los 3 jugadores fuera 4, 3 y 2 respectivamente; el juego sería (6: 4, 3, 2), indicando 6 la mayoría absoluta (51% o la mitad más uno, 9/2 =4.5, entero 5, + 1 =6) En este segundo caso las coaliciones posibles también son 3! = 3(2)1 =6:


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A B C A B7 C A C B y las aportaciones o contribuciones marginales A C6 B B A C que hacen ganadora a una coalición son: B A6 C B C A (se anotaron los votos que hacen ganador B C A9 C A B como subíndice) C A6 B

C B A C B A9 Aquí A hace ganadoras a 4 coaliciones (dos en la primer vuelta y dos en la segunda, según muestran los subíndices de las columnas 2ª y 3ª, primera y segunda vuelta respectivamente); B hace ganado-ra a 1 coalición; y C hace ganadora a 1 coalición. Considerando que cada uno recibe un punto de premio (en otros ejemplos pueden ser importes monetarios) por cada coalición que convierte en ganadora, A tiene 4/6 = 0.667; 66.7% de poder de vo-to; B hace ganadora a una coalición y tiene 1/6 = 0.167 de coalicio-nes y premio por 16.7% del poder de voto; y C también tiene 16.7% de coaliciones, premio y puntaje. Otras pautas para calcular los índices de valor coalicionad en los juegos cooperativos simples (como son por ejemplo los definidos mediante votación) se fueron agregando en ampliaciones posterio-res de Shapley, de Shubik y varios otros análisis abarcando juegos cooperativos de votación diversos; las principales son:

- En los juegos cooperativos con utilidad transferible (UT o TU) el núcleo (core) es la configuración de pagos que no permite a ninguna otra coalición alguna mejora para sus miembros (no está dominada por ninguna otra; las bloquea) ya que los satisface según sus posibilidades, con estabilidad.

- el pago de cada jugador es una media ponderada de sus contribuciones marginales a las coaliciones.


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- La suma de todas las ganancias de las coaliciones ha de ser igual a la ganancia segura que se obtiene al conformar una coalición entre todos los jugadores (gran coalición)

- La ganancia de un jugador deber ser al menos tan grande como la ganancia que obtendría jugando sin conformar coa-liciones.

- Existe racionalidad de grupo. - El valor de Shapley se entiende siempre una imputación efi-

ciente; igualmente si el juego es superaditivo (la unión de dos coaliciones mejora lo que obtienen individualmente).

- Si un jugador no añade valor a alguna coalición su valor es nulo.

- Si se intercambian los valores de la función característica de dos jugadores también se intercambiarán las ganancias.

- El valor de Shapley de una suma de funciones característi-cas en dos juegos con los mismos jugadores, será la suma de los valores de Shapley de cada juego.

- el valor de Shapley no tiene en cuenta factores como la exis-tencia de alguna distribución de coaliciones dada, o incom-patibilidades entre jugadores, ni grados de cooperación dife-rentes entre ellos. En realidad, existen juegos en los que unas coaliciones pue-den ser más fáciles o viables que otras. Tal es por ejemplo la situación en los consejos en el ámbito de las ONU, donde pueden influir factores históricos, culturales, guerras, etc que dificulten coaliciones entre representantes de países; y por ejemplo, Owen complementó este análisis con la idea de coalición “anidada” (por estos aspectos exógenos) y otros conceptos para ampliar el índice de Shapley a estos casos. Harsanyi, Shapley, Maschler y Owen extendieron este análi-sis para los juegos con utilidad no transferible (UNT o NTU planteados por Aumann en 1961); y existen otros casos análogos.


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LA OPTIMIZACION SUBJETIVA (Y LOS BANZHAF):

La optimización multiobjetivo implica necesariamente la intervención (previa, posterior o progresiva) del decisor, convirtiéndola así en un proceso subjetivo, sujeto a sus apreciaciones, valores, heurística. Los métodos usuales implican algoritmos de procesos Pareto-

eficientes u otros como los aquí presentados utilizando Excel.

La inteligencia artificial implementada mediante software en las últi-mas décadas tiene desarrollos importantes en dos áreas de trata-miento ilustrativas: una es en la teoría de los juegos, mediante algo-

ritmos de programación lineal.

Otra área son los algoritmos genéticos evolutivos, que utilizan mu-chos los terapeutas y ofrece crecientes posibilidades médicas, bio-ingeniería industrial y muchos otros campos, especialmente desde el desarrollo de la programación genética, cuyos principales aportes figuran en los textos de Wolfgang Banzhaf: Programación Genética – Introducción, 1998; y Programación Genética Lineal, una mono-

grafía de Brameier y Banzhaf, 2007).

Son ampliamente conocidos los resultados en investigaciones sobre ADN, tanto en medicina (el genoma humano, vacunas, insulina, te-rapias genéticas), como en agricultura (cultivos transgénicos como la soja y otros granos) o ganadería (variedades sin grasas, leche

enriquecida, etc).

En cuanto a la programación lineal y la teoría de los juegos nos in-teresan particularmente algunos aportes de John Francis Banzhaf III, especialmente con su trabajo de 1965, Weighted voting does not work: A mathematical analysis. (Rutgers Law Rev., 19, 317-343).


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J. F. Banzhaf, es muy conocido en EEUU por sus diversas activida-des: contribuciones a la legislación y políticas públicas, con acciones legales contra las tabacaleras y su publicidad televisiva; prohibición de fumar en vuelos; acciones sobre los derechos de autor en mate-ria de software; acciones legales sobre la obesidad por refrescos de Coca Cola o por dietas saturadas en grasa disponibles en la cadena McDonal; etc. Pero nos interesan especialmente sus aportes sobre la medición del “poder de voto” en las coaliciones de los juegos con T.U., presentes en instituciones como el senado de los EEUU o de EU e instituciones representativas de números países, así como en

las empresas u organizaciones sujetas a votación en asambleas.

INDICE DE PODER DE BANZHAF CON EXCEL

Para aplicar el índice de Banzhaf es necesario previamente asegu-rar la coherencia de un sistema de votación; por ejemplo, que exclu-ya valores negativos y valores mayores a la totalidad de los votos, o que respeten los diferentes tipos de mayorías reglamentarias (sim-ple, absoluta (51%), especiales (67%), o con poder de veto (un por-centaje mayor al de todos los demás), etc., según establezcan los estatutos del juego o asociación. Para este ejemplo en Excel la fórmula incorporada en la celda D2 discrimina entre minoritario y con poder de veto; y para evitar in-consistencias se incorporó a esta celda la exigencia de incluir solo valores positivos y hasta 1400 (mediante Datos / Validación de da-tos / Decimal )


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Para el cálculo del índice de poder según J. F. Banzhaf mediante Excel, el valor de una coalición a estudiar se valida en D2 y luego se lo incorpora como referencia en A9 (pulsando aquí +D2). Luego se establecen en B10:B24 las coaliciones posibles (arreglos simples sin repetición incluyendo la gran coalición por unanimidad). En la columna siguiente se suman los votos de cada una (por ejem-plo C19 es =A12+A13 ; etc. C10:C24)


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En D10:D24 se introdujo la fórmula que indica si cada coalición pier-de o gana frente al valor de la referencia estudiada en D2 o A9 (por ejemplo, D15 es =SI(C15>=$A$9;"GANA";"PIERDE") ; etc. D10:D24)). En las columnas E hasta H se recuenta el aporte o incidencia gana-dora de cada jugador en las coaliciones (con 1 ó 0, según los resul-tados de cada swing del denominado penduleo de Banzhaf), me-diante la fórmula con en E10 ( =SI(Y($D10="GANA"; $C10-$A$10<$A$9);1;0), que se copia a las demás celdas con coalicio-nes E10:H24 )


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A continuación en la fila 25 se suman las incidencias, aportes o swing de cada jugador (E25 es =SUMA(E10:E24) ; etc. E25:H25 ); y también se suman en I 25 las incidencias de todos los jugadores. Finalmente se calcula el índice de Banzhaf mediante la fórmula: (E26 es =E25/$I$25*100; etc E26:H26), que indica el poder de cada jugador como un porcentaje del poder o incidencia total.


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La ventaja de esta presentación como planilla de cálculo es que puede ampliarse fácilmente para juegos mayores a cuatro jugado-res, y para cada juego se obtienen automáticamente los índices de poder de Banzhaf con solo incorporar y validar los votos en la celda validante inicial D2.


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VALOR DE SHAPLEY CON EXCEL

En la siguiente trabajo se incorporó en una macro el cálculo del índi-ce de Banzhaf-Coleman y también el de Shapley-Shubik:


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CAPITULO 10

JUEGOS MULTIPLES NO COOPERATIVOS

Existen muchos ejemplos limitados para juegos de dos jugadores, cada uno con dos acciones posibles; las estrategias del sujeto B dependen de los que decida A, de modo que para B son 22 = 4 las estrategias posibles; el número de estrategias crece exponencial-mente según el número de jugadores y también según la posibilidad de interacción posible entre ellos: esto consiste una de las limitacio-nes de la teoría de juegos y fue el motivo de la concentración en juegos de pocos jugadores y estrategias. No obstante, hay diferentes análisis para encarar los casos comple-jos. En particular, están algunas referencias sobre utilitarios diseña-dos para estos análisis, que van más allá de la programación lineal: Ghose y Prassad (1989) definen puntos de equilibrio con niveles de seguridad que son puntos de silla Pareto óptimo. Admiten planteos similares a los juegos escalares pero son mas complejos en función de la cantidad de jugadores y estrategias. Pueden programarse eje-cutables para resolverlos y recientemente los utilitarios de Investiga-ción Operativa comienzan a incorporar estas herramientas para op-timización multiobjetivo o multicriterio (mayormente con finalidad comercial, pero existen otros libre en la web e incluso “on-line”. Entonces y por ahora, lo comentado: la teoría de juegos no reem-plaza a la teoría convencional microeconómica, clásica o neoclásica, como teoría general de la empresa; simplemente es un enfoque lógico, matemático, axiomático y computacional, complejo pero útil para reinterpretar, particularmente la teoría del oligopolio (ámbito en el cual se presentaron la primeras inquietudes sobre juegos), así como otros campos, en los cuales permite obtener conclusiones antes imposibles, como son los casos de juegos múltiples, la teoría


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de los acuerdos (cooperación) y otros importantes casos puntuales, cada día aplicados a nuevos ámbitos.

OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO - MULTICRITERIO

PROGRAMACION POR METAS

La agencia TopAd firmó un contrato de promoción por radio y tv, que establece no utilizar más de 6 minutos por radio; los anuncios por radio y tv deben llegar a por lo menos 45 millones de personas; el presupuesto fue fijado en $ 100 mil. La empresa tiene 10 emplea-dos y quiere saber cuántos minutos de radio y tv optimizarán esta promoción. El siguiente cuadro resume la situación: Minuto de anuncios Radio TV

Audiencia en millones 4 8 Costo en $ millones 8 24 Empleados dedicados 1 2 PENALIZACIONES: En la programación multiobjetivo (dos o más f.o.) por metas se fijan las funciones objetivo: Min C1 = p1 (satisfacer la meta de audiencia minimizando excesos p) Min C2 = n2 (satisfacer la meta del presupuesto minimizando defectos n) Sujeto a:


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4X1 + 8X2 + p1 – n1 = 45 (restricción audiencia) 8X1 + 24X2 +p2 – n2 = 100 (restricción presupuesto)

X1 + 2X2 <= 10 (restricción personal) X1 <= 6 (restricción radio) X1, X2, p1, n1, p2, n2 >= 0 (no negatividad) En donde las penalizaciones se consideran como ponderadores de cada función objetivo o meta que son incorporadas en las restric-ciones como variables adicionales, tanto los desvíos positivos de cada meta (p1 y p2) como los desvíos negativos (n1 y n2). Según la programación por metas, la agencia TodAd decide consi-derar que la meta audiencia es el doble de importante que la meta del presupuesto (penalizaciones); entonces se replantean las fun-ciones objetivo unificándolas como: Min Z = 2C1 + C2 = 2p1 + n2 La programación tradicional resolvía en forma dificultosa y muy limi-tada estos problemas (con 2 ó 3 variables y pocas restricciones) mediante el método gráfico o el Simplex por etapas; sin embargo a fines del s.XX, aparecieron utilitarios que facilitan la programación por metas (y otros métodos alternativos), para muchas variables y restricciones.

PROGRAMACION POR METAS CON EXCEL

La macro Solver de Excel es la aplicación más conveniente (siempre bajo necesarios controles de racionalidad). Se ilustran ejemplos con dos variables para abreviar, pero los utilitarios procesan de igual forma muchas variables y restricciones (cientos).


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Desarrollando este caso simplificado se observan contradicciones iniciales entre el objetivo de obtener una gran audiencia de 45 y otros objetivos o restricciones, como un solo un presupuestos de $100, solo 10 empleados o no más de 6 minutos por radio. La propuesta tradicional consiste en determinar algunas soluciones extremas considerando solamente algunas restricciones como duras o indefectibles y olvidándose de las otras, a efectos de fijar un punto extremo u objetivo límite sobre el cual pivotar para minimizar dife-rencias al momento de determinar un óptimo global (incorporando estas diferencias penalizadas en una sola función objetivo. Si en este caso, el decisor tomara como criterio valorar el doble un exceso de presupuesto (restricción dura) que un defecto en audien-cia (restricción blanda): en C9 se establece la diferencia entre la restricción audiencia y lo conseguido; en C10 se establece la dife-rencia entre el presupuestos y lo que se gaste; en C11 se establece la nueva función objetivo, minimizar un doble de la diferencia en audiencia más la diferencia en presupuesto.


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Al ejecutar Solver se obtiene una solución, con 5 de radio y 2,5 de tv, que permiten obtener una audiencia de 40 (o sea que ante el objetivo limite inicial 45, surgen 5 como penalización minimizada). Es decir que, con 5 de radio y 2,5 tv se obtienen: 5(4) + 2,5(8) =40 de audiencia. Pero podría haber otras combinaciones posibles que también respe-taran las restricciones duras: por ejemplo, con solo 10 empleados, 100 de presupuesto y 6 de radio como máximo (restricciones du-


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ras), también se obtendría solo 40 de audiencia (blanda): utilizando 6 de radio y 2 de tv: 6(4) +2(8)=40. Es el decisor quien debe adoptar finalmente el criterio deseado, en función de la contradicción inicial entre los múltiples objetivos y las restricciones.

PROGRAMACON POR METAS CON WINQSB

A continuación se resolverá este ejemplo de L.R. Sturla con WinQsb (2.0), que también es uno de los software más amigable y de amplia difusión, tal como se presentó en el capítulo anterior para facilitar la programación lineal.

En la ventana inicial se elige Goal Programming y se abrirá otra ventana para anotar el nombre del problema, la cantidad de funcio-nes objetivo, la de variables y la de restricciones (no negativas ya lo esta por default)


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Para implementar la modelación algebraica de la programación por metas se debe tener en cuenta que los utilitarios usuales operan con el algoritmo Simplex, implementado en forma matricial para el ingre-so de datos; en general presentando las variables reales y adiciona-les como columnas y las restricciones como filas; de este modo la operatoria de la macro considerará la incidencia según la intersec-ción de cada variable y restricción, según los coeficientes y penali-zaciones establecidos. La primer fila corresponde a la/las funciones objetivo y última co-lumna corresponde a los términos independientes o lado derecho del sistema de inecuaciones (o límites, restricciones, capacidades, etc).


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Una vez completa esta matriz de presentación, se pulsa en Solve and Analyze que resuelve en forma casi instantánea estos casos y presenta los resultados de esta “una” solución en una venta adicio-nal (superpuesta y desplazable).

INTERPRETANDO LA SOLUCION:

X1 = 6 minutos radio X2 = 2 minutos tv X3 = p1 = 5 millones de audiencia X5 = n2 = 4 mil $ presupuesto O sea, una solución eficiente con X1 = 6 radio y X2 = 2 tv, pero que genera una audiencia de solo: 4(6) + 8(2) = 40 millones de perso-nas; y con un presupuesto inferior al límite: 8(6) + 24(2) = $ 96 mil. Las variables restantes se cumplen y figuran con resultado nulo; el hecho de que el óptimo encontrado no sea nulo implica que al me-


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nos una de las metas no se satisface: P1 = 5 millones esta indican-do que la audiencia igual a 45 millones no se alcanza; en cuanto a la meta del presupuesto $100 mil tampoco se está logrando ($96 mil), ya que n2 no es nulo. Sin embargo, en este tipo de problemas multiobjetivo o multicriterio no se consigue una solución óptima sino solo una solución eficiente, quedando a cargo el decidor la elección entre esta u otra solución eficiente según sus preferencias. Por ejemplo, otra solución eficiente del problema se alcanza con estos resultados diferentes:

X1 = 5 minutos (radio) X2 = 2,5 minutos (tv) P1 = 5 millones de personas de modo que aquí el objetivo de la audiencia tampoco se alcanza: 4(5) + 8(2,5) = 40 millones; aunque en este caso se cumple el obje-tivo del presupuesto 8(5) + 24(2,5) = $100 mil (según indica en este otro caso un n2 = 0). Pero es el decisor quien debe elegir entre las soluciones eficientes.

ANALISIS ENVOLVENTE DE DATOS (DEA)

El AED surge en 1978 con los desarrollos de Charnes, Cooper y Rhode sobre una idea de Farrel (1957), para obtener “una medida satisfactoria” de la eficiencia productiva, en los casos de procesos alternativos y/o de empresas que obtienen diferentes producciones mediante insumos compartidos. Esta técnica de programación multiobjetivo también es otro proceso que implica una intervención necesaria o toma de decisiones, así


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como la utilización de algún software, dada la naturaleza compleja de estos casos de optimización múltiple. Existen numerosos programas específicos (muchos de uso libre y algunos on-line) y también se ha incorporado esta prestación en los paquetes econométricos usuales; aquí presentamos el DEA Excel Solver Frontier, para el utilitario Excel de Microsoft; este Frontier es de acceso libre: http://www.deafrontier.net/free_dea/index.html Requiere bajar el archivo DEA.zip, habilitar en el Excel el uso de macros (y además, en particular, el de la macro Solver) adoptando un nivel de seguridad medio; incluye una orientación preliminar y un archivo con un ejemplo.

En la orientación figura a la izquierda una columna con las DMU o unidades de decisión; otras para sus imput y finalmente otras para los output.

http://www.deafrontier.net/free_dea/index.html


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Las posibilidades de aplicación a casos económicos son variadas (procesos, producciones, empresas, etc) para estos procesos mul-tiobjetivo (ya que en ellos también se está buscando como un con-junto de soluciones Pareto-eficientes, que conforman una frontera eficiente con las mejores combinaciones productivas o resultados alcanzables).


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El DEA.zip incluye un archivo (Example.xlsx) con el siguiente caso ejemplo, desarrollado en sus siete hojas al pie:


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LOS ALGORITMOS MULTIOBJETIVO / MULTICRITERIA

LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA

Lo que en el universo del nuevo álgebra abstracta se presenta como un summum de complicación y sofisticación no es a veces más que un no simple lenguaje simbólico (batante a criterio del redactor), que generalmente intenta expresar simples operaciones sucesivas o reiteradas, no tan complicadas, salvo para expresarlas literalmente. Muchísimas situaciones complejas de este tipo suelen resolverlas los jóvenes de 15 ó 20 años que realizan programas de compu-tacion para juegos y otros fines, sin recurrir a la teoría de conjuntos NBG (veáse más adelante hacia el final), pero concretando sus ideas computacionalmente. Los algoritmos suelen ser solo dibujos de ideas; pero por sí solos no resuelven ni calculan algo: calculan nada. Generalmente, son los programas de computación como Excel u otros los que resuelven los cálculos (salvo expeciones muy simples o primarias). Algo similar ocurre con algunos algoritmos multiobjetivo y/o multicri-terio, que solo expresan sucesivos procesos aritméticos que es ne-cesario realizar paso a paso ordenadamente. Pero la dificultad solo está mayormente en la forma de expresar esta idea. Como un ejem-plo se puede citar el criterio de ordenación de Excel en Office 2003; tiene 3 criterios para odenar simultáneamente (por ejemplo, dia, mes, año). Pero es usual que sea necesario ordenar por más de 3 criterios, como sería por dia, mes,año, nombre de empresa, pais de origen, marca de producto, precio, rankeado de mayor o menor o viceversa, etc. Con Office 2007 o 2010, se pueden agregar más criterios de orde-namiento, simplemente con sendos clic y eligiendo en cada uno por cual campo o columna se desea ordenar o pivotar (c/u en orden


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creciente o decreciente). Es este un ejemplo de proceso y algoritmo multicriterio, que requiere del ejecutor esa intervención previa de tildar (en otros casos similares la intervención puede ser paso a pa-so o bien por una selección posterior).

ALGORITMOS PARETO EFICIENTE

El tratamiento tradicional de los problemas con el análisis de datos bajo múltiples objetivos o multicriterio consistía en la elaboración de programa de computación, bajo la guía o idea conceptual de algún algoritmo que sintetizara simbólicamente en pocos símbolos el tra-tamiento a desarrollar. En definitiva, utilizando siempre programas de computación para tratar series de datos y seleccionar los que cumplían algunos obje-tivos buscados. Los algoritmos y/o programas son de una variedad muy amplia, acorde con las soluciones que cada usuario encuentra para obtener la información buscada. Inicialmente, los programas se formulaban bajo el entorno DOS; pero desde que apareció el Office 2007 y Excel con su hoja de cálculo de un millón de líneas y 20 mil columnas, aparecen cada día nuevas aplicaciones bajo este entorno Windows (todavía siguen siendo más potentes las bases monousuario como DBase 4 hasta 7 y el vFox (que Microsoft pronto sacará de circulación, sin reemplazo en Acces ni Excel todavía u Oracle; cuestiones de marketing).


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EJECUTABLE MULTICRITERIO ORDENADOR FCE-UBA

En este curso de microeconomía de la FCE-UBA se facilita un bre-vísimo programa bajo DOS para resolver un problema de optimiza-ción multicriterio, conformado por muchos millones de elementos, estructurados cada uno en un registro (línea) con cincuenta campos o conceptos (columnas de datos). Se trata de información comercial de despachos diarios de importa-ciones de bienes en Argentina, durante períodos 1991-2008 prolon-gados. Es información sobre cantidades, precios, fechas, empresas, orígenes, marcas, calidades, etc y se buscan ahí despachos que cumplan con algunas características. Sin embargo, éstas puedan representar objetivos contrapuestos, como por ejemplo, bajo precio y alta calidad, o algún tamaño u origen de un bien. Algunos algoritmos resuelven este problema mediante métodos Pa-reto eficiente, en los que la intervención del decisor va seleccionan-do progresivamente los elementos que cumplen uno de los objeti-vos, para repetir el proceso con otro objetivo, hasta depurar la serie seleccionando las mejores alternativas de cada objetivo y elegir en la frontera eficiente de Pareto finalmente un óptimo global, que me-jore algunos objetivos y solo perjudique levemente algún otro. En este caso se suministra aquí un ejecutable sacf.exe, hecho utili-zando Clipper5 bajo DOS, para simplificar las cosas en este proble-ma, usualmente tratado en los textos con algoritmos solamente en forma simbólica, pero con demasiado misterio sobre la operatoria de los procesadores (simples ordenadores o PC de mesa) Se confeccionó la instrucción necesaria sobre criterios a decidir en el archivo sacf.prg escribiendo solamente el contenido entre comillas (sin incluir estas y respetando el espaciado):


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“Use 72con9 Sort on cap, part, a /d, m /d, año, desp, /d, di, ítem, si, kilos /d to 72con99” Este archivo sacf.prg no es necesario procesarlo bajo algún pro-grama de base de datos para tratamiento de series, como DBase o vFox, ya que mediante Clipper5 se lo convirtió en un ejecutable sacf.exe. Para ello se instruyó al equipo bajo DOS con: clipper sacf Enter clipper rtlink Enter. De este modo, siguiendo bajo DOS y disponiendo de la base de datos 72con9 con los millones desordenados de registros de 50 campos [entre ellos los nominados en el sacf.prg: capitulo, partida, año (en orden decreciente), mes (en orden decreciente), número de despacho aduanero (en orden decreciente), dígito del despacho, ítem, subitem, kilos (en orden decreciente)]; en el sacf.prg se instru-yó que la PC o equipo inicie la base de datos configurada en su path (junto con Clipper, Dbase o vFox, NC) y abra el archivo 72con9 (que por configuración default tiene la extensión .dbf) y proceda a orde-narlos según el criterio ahí previsto por el decisor; finalmente con “to 72con99” se instruye que seleccione la base así ordenada y la guar-de en un nuevo archivo 72con99.dbf El usuario decisor dispondrá en este nuevo archivo 77con99.dbf de todos los despachos, pero ya ordenados según el criterio multiobje-tivo; de modo que solo le es requerido al decisor que seleccione finamente el o los despachos de un producto concreto, que cum-plen con el criterio buscado (menor precio y simultáneamente mejor calidad o determinado tamaño u origen, etc), mediante selección visual de la serie final ordenada.


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Cabe aclarar que así como es fácil simplificar la operatoria de un proceso computacional multiobjetivo-multicriterio para este caso resuelto mediante ordenamientos, también es igualmente fácil cons-truir programas mediante .prg y sus ejecutables .exe para casos que impliquen sumatorias, promedios simples o móviles, etc. nece-sarios para otros problemas de decisión Pareto eficiente, ya sea con intervención previa , final o interactuando con el decisor durante el proceso.


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MULTICRITERIO –MULTIOBJETIVO CON EXCEL 2007 o 2010

Sin embargo, desde 2007 también es posible efectuar estos análisis multicriterio y multiobjetivo utilizando Acces y especialmente Excel con un millón de líneas. En la imagen siguiente se efectuó el orde-namiento con Excel, mediante la pestaña Datos / Ordenar: se agre-gan suficientes renglones para los criterios de orden necesarios con Agregar nivel y se tilda en cada uno si debe ser creciente o descen-dente; al Aceptar sobre el área total previamente pintada (con Ma-yúsculas y simultáneamente una techa cursor) quedará instantá-neamente la serie original ordenada según el criterio seleccionado (conviene guardarla con otro nombre de archivo). La decisión final del usuario consistirá en elegir aquellos despachos de menor precio y mayor calidad o determinado origen o tamaño, etc ya ordenados según su criterio deseado.


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(ud. puede aumentar el detalle de la imagen con Vista / Zoom 200% etc.)


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EVALUACION DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS

La teoría de los juegos se conforma con reglas y métodos para resolver un conjunto (limitado) de situaciones (preferentemen-te económicas) interdependientes entre dos o más sujetos. Estáticos o dinámicos; de tipo conflicto o con cooperación; por única vez o repetido (finitos o infinitos); con información com-pleta o incompleta /imperfecta; de dos, tres, pocos, numero-sos agentes, muchos, o un continuo de agentes. Interesa tener en cuenta que en ellos se presupone racionali-dad en todos los agentes; que requieren que las reglas sean conocidas antes de comenzar y además de mutuo conoci-miento; las estrategias (acción estática o plan de juego diná-mico) de cada uno; los pagos, en cantidad, su orden y el valor esperado. En los juegos estáticos cada uno decide sin conocer la deci-sión de los oponentes. Las estrategias pueden ser puras (re-sultado del 100%) o mixtas con cierta probabilidad de algu-nas estrategias puras; discretas o bien continuas. Se pueden presentar en la forma matricial escalar o vectorial, o bien en la forma extensiva tipo árbol; en los juegos dinámicos en la for-ma extensiva se resuelve mediante inducción hacia atrás, desde el nodo final. Los juegos repetidos son como los estáticos pero ocurren en una secuencia de varias veces, por lo cual interesa la repu-tación previa y las expectativas del adversario; las amenazas y promesas deben ser creíbles en función de los pagos impli-cados para quien los formula. En los juegos repetidos finitos con final conocido se invalidan las amenazas y promesas y


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solo se repite algún posible equilibrio de Nash (Selten). En los juegos infinitos no se conoce el final y no se puede aplicar la inducción hacia atrás, por lo cual son posibles las amenazas y promesas. Según el teorema Folk, en los juegos repetidos infinitos los jugadores reciben un pago similar, que es igual o superior a alguno de los equilibrios de Nash en el juego de una etapa y será un equilibrio de Nash perfecto si la tasa de descuento es cercana a uno. Por ejemplo, los productores de envases industriales entregan periódicamente algunos defectuosos (un 0,5% de”perros”), que generan pérdidas a los productores de productos quími-cos, quienes necesitan comprar envases baratos para compe-tir; la operación es viable siempre que el descuento en el pre-cio de los envases (por incluir perros) no llegue a impedir fa-bricarlos (se acerque a 1).

PARADOJA DE LA INDUCCION - MANO TEMBLOROSA

D. Ross (2005) utiliza la inducción hacia atrás desarrollando el algoritmo de Ernst Zermelo (1913) en un juego repetido finito

y observó una paradoja: en el tercer período final el jugador 1 debe elegir Left (con pagos 3 y 1 respectivamente), que el ju-gador II no aceptaría, ya que retrocediendo un período el ju-gador II obtendría un pago mayor, según (0, 2); asimismo, este resultado no sería aceptado por el jugador 1, ya que retroce-diendo otro período obtendría un pago mayor: según (1, 10) inicial obtiene un pago 1 que es mayor que el pago 0 del pe-riodo intermedio. La paradoja se presenta, ya que este equili-


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brio inicial es el equilibrio de Nash; y la resuelve introduciendo una nueva variable, la posibilidad de irracionalidad o “mano temblorosa”

Para decidir en el último período, el jugador II necesita supo-ner que el jugador I es racional y elige Left. Pero si se introdu-ce la posibilidad de que los jugadores sean irracionales, al elegir su estrategia (con esta mano temblorosa) cambian los resultados del juego: (2, 4) es más beneficioso para ambos. De aquí la necesidad e interés (especialmente en ciencia polí-tica), en divulgar y enseñar la racionalidad de la teoría de los juegos (con énfasis especialmente en la justificación racional de medidas ya adoptadas en materia de guerra fría, como la crisis de misiles cubana, armamentismo, o en las políticas en Oriente Medio, etc.) Pero, si los jugadores tienen que ser educados para poder llegar a la solución correcta de la teoría de los juegos, en defi-nitiva esta teoría no está explicando satisfactoriamente los mecanismos de decisión del comportamiento humano.


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PARADORA DEL PRISIONERO

En el dilema del prisionero reiterado con horizonte finito (in-formación incompleta), la estrategia dominante es traicionar en todas las etapas, sin aprovechar las ventajas de la colusión mediante cooperación. El equilibrio perfecto es confesor, de-fraudar, traicionando.

PARADOJA DEL INGRESO DE COMPETIDORES -BARRERAS DE ENTRADA -MERCADOS CONTESTABLES

En los mercados contestables, ingresan nuevas empresas compitiendo con tecnologías sin altos costos fijos. P.Sylos Labini (1962), la empresa lider procura establecer barreras de entrada (bloked entry): sus costos hundidos por aumentos de capacidad son para poder operar con menores precios, que sean disuasivos del ingreso de competidores. A.M.Spence (1977), Incumbrón disuade a Entrón mediante un aumento de la capacidad productiva para operar con menores precios y así achicar el mercado remanente para la seguidora entrante. Se concreta la amenaza creíble, que a Entrón se le generen be-neficios nulos o negativos conforme menor sea su demanda remanente, como en un modelo de Cournot. Para A.Dixit (1980), es un juego secuencial con inducción ha-cia atrás; pero se da un paradoja en estos juegos repetidos finitos, como en el del ingreso de competidores en la cade-na de almacenes, que Reinhard Selten (1987) analiza paso a

paso: si el juego es finito, entonces en el último período al mo-


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nopolio ya no conviene luchar y entrarán competidores, opti-mizaría evitando nuevos gastos en medidas de disuasión y decidiría compartir el mercado. Pero si el juego fuera infinito, este resultado no sería robusto, ya que el monopolio decidiría seguir invirtiendo en medidas disuasivas, luchando para evitar el ingreso de competidores

PARADOJA DE LAS ESTRATEGIAS GATILLO -TRIGGER

En los juegos repetidos con acuerdo de cooperación, las estra-tegias gatillo (trigger) serían un equilibrio de Nash: si nunca hubiera desviaciones todos los jugadores en cada subjuego elegirían la estrategia cooperación, con igual resultado en el juego completo. Pero si hubiera una desviación en un subjue-go, los jugadores dispararían la estrategia gatillo y pasarían todos a actuar por la suya según el equilibrio de esa etapa del subjuego, cumpliéndose la previsión del teorema Folk: en los juegos repetidos puede haber equilibrios con pagos superio-res a los del juego base.

LIMITACIONES DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS

En los juegos no siempre es razonable asumir el elevado nivel de racionalidad requerido por los agentes; puede no ser siem-pre posible precisar las reglas y resultados para todos los ju-gadores; y en ocasiones los resultados no surgen por aplica-ción de esta teoría sino por cuestiones culturales o sociales. Un conjunto de críticas sobre juegos y sus paradojas se refie-ren a la racionalidad de los agentes, que efectivamente no es ilimitada; además, los agentes pueden tener diferentes cos-


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movisiones sobre la normalidad según su formación, religión o cultura y ofrecer diferentes respuestas racionales unos que otros a un mismo juego. Otra de las observaciones críticas efectuadas se refiere a que esta teoría de juegos se basa en el accionar de los individuos más bien que en la consideración de los sistemas sociales del contexto. Aumann (1998) resumió que en los juegos no cooperativos individuales (equilibrio de Nash perfecto en sub-juegos) se considera en definitiva la consistencia mutua de expectativas individuales, pero ello es con independientemen-te de eventuales reglas impuestas por el contexto. Shubik (2000) también duda del alcance de los juegos estraté-gicos, en la medida que no consideran la innovación, las mu-taciones, ni la retroalimentación entre el juego y su ambiente. Además, en los agentes influyen las pasiones como el amor, odio, rabia, envidia, temores, que hacen a la toma de decisio-nes no necesariamente probabilísticas bajo incertidumbre. Los enfoques de la teoría de los juegos se plantean concep-tualmente, gráficamente y mediante los análisis matemático o algebraico alternativos, requiriendo en muchos casos la he-rramienta computacional para la solución; la teoría de conjun-tos y grupos es un lenguaje alternativo adecuado para el plan-teo de estos algoritmos, especialmente en los casos con dos o pocos agentes que no requieren una solución computacional. Otro grupo de observaciones hace referencia a la complejidad de la implementación computaciones para algunos juegos en el s.XXI; se menciona por ejemplo la ambigüedad del concepto práctico de infinito; pero especialmente se objeta la tendencia


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a utilizar un confuso lenguaje alternativo, diferencial, combina-torio, de conjuntos y con algoritmos de la modelación previa a la concreta programación computacional de muchos casos, planteados bajo un marco oscurantista innecesario.

OBSERVACION GENERAL SOBRE LATEORIA DE LOS JUE-GOS

No existe una teoría general sobre teoría de los juegos; existe una colección de reglas y métodos para diferentes tipos de juegos, pero son casos particulares (que enfrentan numero-sas críticas en el ámbito económico y en ciencia política) y no conforman un enfoque general. Solo constituyen un nuevo modo de explicar satisfactoriamente situaciones de conflicto y de cooperación; conforman mecanismos útiles que hacen a la mejor gobernanza y mejoran el análisis tradicional clásico en numerosos casos particulares. Esto no implica insinuar en particular, que la teoría de los jue-gos pueda reemplazar a la teoría clásica microeconómica co-mo economía de la empresa; por el contrario, el reciente enfo-que de mercados imperfectos con teoría de los juegos suele implicar matrices de pago, que son previamente obtenidos mediante el análisis microeconómico clásico (ingresos, de-manda, producción, costos, beneficio, etc.). La teoría de los juegos complementa a la teoría microeconómica clásica en un conjunto limitado de temas de la economía de la empresa (mercados imperfectos) , así como también lo hace en ciencia política (justificación del armamentismo y guerra fría), medici-na (genoma, ADN) y otras disciplinas.


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ECONOMIA EXPERIMENTAL Y LA SEU

Las observaciones anteriores no son un punto de vista particular aislado. Entre otros análisis, R. Selten, en Evolution, Learning, and Economic Behavior (1990), también hace una exposición de nume-rosos estudios y experimentos sociológicos, referidos al enfoque tradicional “bayesiano” sobre la maximización de la “utilidad espe-radas subjetiva” (SEU), que plantearon von Nuemann y Savage (1954) para la teoría de los juegos y su aplicación particular en mi-croeconómía. Por una parte comenta las excepciones a este criterio bayesiano, como las planteadas por la Paradoja de Allais, que considera al “homo economicus” como un sujeto teórico, un mito, que se aleja de la realidad del comportamiento humano, muy influido por usuales inconsistencias. Menciona a Maynard Smith, que analiza el criterio del comporta-miento racional en la adaptación de las especies animales y plantas. Sin embargo, los genetistas dudan de la optimalidad en la evolución animal, tal como en el ejemplo del desarrollo imperfecto de la jirafa, por sus limitaciones de movimiento y tener que dormir de pie, al no poder adaptar su organismo y disponer de solo 7 vértebras en el cuello. También destaca que, según la teoría de la evolución cultural, pre-sentada por Cavalli, Sforza y Feldman (1981), los métodos bayesia-nos “deberían ser enseñados a los futuros ejecutivos, para garanti-zar el éxito” de los mismos; los padres culturales resultan tanto más efectivos según mayor sea su prestigio. También Boyd y Richerson promueven el aprendizaje guiado por el ejemplo, los itos y los ingresos en dinero; y Arrow (1962) con la teo-


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ría del aprendizaje procediendo, según un proceso memorístico, de imitación y de creencias en el aprendizaje. Por otra parte, Selten ve que según los experimentalistas, esas usuales decisiones humanas “tomadas a dedo” se pueden relativi-zar, si se incorpora en el análisis los costos de decisión. En esta evaluación de la SEU presenta argumentaciones sobre de-cenas de análisis sociológicos, tanto a favor como en contra de la teoría bayesiana: sus defensores piensan que el problema es por-que los sujetos no siguen las pautas requeridas por este comporta-miento y por ejemplo tienden a sobrevaluar casos como con la ley de los pequeños números, cuando la aplicación del criterio de Bayes requiere estrictamente distribuciones de probabilidad que abarquen a todos los estados posibles de la naturaleza. H. Simon ya había presentado en 1957 la idea del satisficing -

sufficing sobre racionalidad limitada en el comportamiento econó-mico humano usual; sin embargo, luego de una extensa evaluación de pros y contras, por ahora la microeconomía continúa con sus (exagerados) supuestos de racionalidad SEU. Es previsible que en el futuro se continúe con las tendencias bayesianas y con esa sos-pechosa necesidad de la enseñanza de sus principios para que se cumpla; sin embargo, para Selten es evidente que son necesarias nuevas teorías sobre la racionalidad limitada en el comportamiento humano microeconómico.


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EQUILIBRIO GENERAL Y TEORIA DE LOS JUEGOS -CAJA DE EDGEWORT-

ECONOMIA DEL BIENESTAR

El enfoque de Edgeworth en1885 fue unos de los planteos clásicos mediante los cuales se intentó posteriormente proyectar la solución microeconómica del equilibrio empresario (optimización matemática con una y con dos variables, según Cournot y Pareto luego) hacia el equilibrio general macroeconómico e internacional. A nivel microeconómico y bajo condiciones competitivas este equili-brio basado en argumentos de eficiencia podría coincidir (teórica-mente) con el bienestar social. Sin embargo, a nivel macroeconómi-co y en la economía internacional este criterio eficientista no asegu-ra la optimalidad social ni la equidad. Cualquier punto de intersección de dos curvas de indiferencia en la caja de Edgeworth resulta ser un punto ineficiente, ya que trasla-dándose por alguna de ellas uno u otro país puede llegar a un punto de la línea de contrato, en el cual alcanza una curva superior, mien-tras que el otro país permanece sin cambio en la misma curva de indiferencia (alguien gana y nadie se perjudica, según Pareto). La dificultad es que no hay argumentos para asegurar ganancia pa-ra ambos países y esta circunstancia destruye las aspiraciones de extender el equilibrio microeconómica hacia el equilibrio general (no se cumplen las dos leyes de Arrow y Debreu). Sin embargo, algunos enfoques tendrían esperanzas en que el aná-lisis propuesto por Hurwicz podría superar la objeción anterior y re-confirma esta propuesta para un equilibrio general: un primer teore-ma del bienestar establece un conjunto de condiciones que garanti-za que las asignaciones según una economía de mercado optimi-zan las posibilidades de producción e intercambio. Un segundo teo-


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rema establece que las cuestiones de eficiencia y las de equidad distributiva pueden tratarse en forma independiente. Están aquí presentes las esperanzas en la efectividad de la “bús-queda de mecanismos”, propuesta por Hurwicz para explicar los

mercados y transacciones no convencionales. No cabe duda que esta búsqueda de mecanismos (basada principalmente en el enfo-que matemático, la programación Simplex y la teoría de los juegos) resulta un avance, con aplicaciones crecientes en el ámbito micro-económico a fines del s.XX. Hurwicz y otros ya explicaron los meca-nismos optimizantes en mercados bajo condiciones monopólicas, con información imperfecta, sin precios normalizados, de bienes públicos, etc. y se continuarán aclarando seguramente muchos nue-vos modelos. Pero es muy diferente la situación para explicar la optimalidad con equidad en el comercio entre países. Esos mecanismos siguen inexistentes y serán difíciles de obtener, tal que equilibren las condi-ciones entre un país desarrollado o de dimensión continental con otros de reducida dimensión. Utilizando el ejemplo desarrollado en el capítulo 9 (radio – TV, analí-ticamente, gráficamente y con Simplex) para explicar el comercio entre dos países utilizando la caja de Edgeworth, cabría admitir que el país A optimizaría sus intereses operando en puntos de contrato con altas curvas de indiferencia cercanas al origen del país B. Vice-versa, el país B desearía efectuar negocios con altas curvas de indi-ferencia, cercanas al origen del país A, representándolas en esta caja simplificadora con los pares de ejes enfrentados. Pero el mecanismo eficientista de Pareto implícito no incluye que por aproximaciones sucesivas se logre un comercio en un punto de contrato central, ni nada por el estilo en proporción a los precios ni dotaciones relativas. Solo explica que alguien gana y nadie pierde (trasladándose desde algún punto ineficiente hacia otro en la curva


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de contrato). La equidad no esta presente en (el) este análisis clási-co. Tampoco la teoría de los juegos (y su metodología matricial Sim-plex) implícita en el esquema de Hurwicz es aplicable a esta situa-ción internacional. No es el caso de un juego repetido de 2x2, en el cual la conducta optimizante maximin opera de modo que cada uno maximice beneficios dejándole al otro un beneficio similar. Simplemente no existe competencia perfecta en estos casos del comercio internacional, por que no existen condiciones de atomici-dad, homogenidad, etc.; tampoco corresponde idealizar con simplif i-caciones sobre las condiciones requeridas por el análisis diferencial y Kuhn o Tucker para pocas variables; ni las condiciones análogas sobre convexidad, negatividad etc. del análisis matricial para una cantidad numerable de variables (solamente miles); ni sus análogas condiciones sobre monotonicidad, etc. en la teoría de los juegos. No son contextos vinculados con el comercio internacional (ni con el equilibrio general); solo son aplicables al ámbito microeconómico y empresario doméstico de los países. Por otra parte, tampoco es viable la búsqueda de mecanismos que propone Hurwicz para convertir en competitivo y equitativo el en-torno del comercio internacional, entre países desarrollados de ta-maño continental frente a pequeños países en desarrollo, con pre-dominio de condiciones monopólicas. Estos mecanismos de Hurwicz solo son una esperanza para la nue-va microeconomía, pero en los ámbitos domésticos de los países. Por ahora, el comercio internacional continúa regido por el simple reparto de los negocios, solo según convengan o no, pero con pres-cindencia del tema de la equidad: la economía del bienestar, en Arrow-Debreu y en Hurwicz, etc. sigue esperando soluciones centra-les, según lo analizado aquí y en los puntos 19 y siguientes de la introducción a este libro.


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RESPONSABILIDAD SOCIAL EMPRESARIA-ESR

Entre otros enfoques recientes sobre la economía del bienestar figu-ran los escritos de Amartya Sen, que se pueden sintetizar como

educación y salud, esenciales para combatir la pobreza: “terminar con la pobreza, la ignorancia, la enfermedad y la desigualdad de oportunidades, es la base de mi trabajo”. “Si bien la apertura económica contribuye al desarrollo, ésta por sí sola no bastaría si no se toman medidas en el campo de la ecuación y la salud, las cuales son esenciales en la lucha contra la pobreza”. El mayor éxito de Corea del Sur, China y Taiwan frente a India y Pakistán lo explica por el descuido en la educación, salud y reforma agraria en estos últimos; y considera que la globalización debe ir acompañada de mayor progreso social, para aprovechar además el “efecto locomotora” de éste. Además de su interés por la acción de la empresas socialmente responsables (ESR, o RSE con trato justo, ético, equidad y partici-pación en cuestiones comunitarias) interesan sus aportes y modif i-caciones a las mediciones sobre bienestar e índices de pobreza, ya que la curva de Lorenz e índices usuales esconden los diversos grados de pobreza en sus mediciones medias de ingresos por cápi-ta.


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CUATRO CONTEXTOS EN EL ANALISIS Y TOMA DE DECISIO-NES

Las clasificaciones son variadas, pero se suelen encarar cuatro con-textos para el análisis científico en sus variados campos, incluido el económico y su toma de decisiones: 1) la certidumbre determinista, 2) el riesgo aleatorio probabilístico medible, 3) el contexto hostil ante conflicto con oponentes (teoría de los juegos, como para duo-polio) y 4) la incertidumbre ante lo desconocido. Cuando se considera que se puede predecir el comportamiento económico con precisión se adoptan decisiones con procesos bajo un contexto cierto. Otras veces la información disponible es incom-pleta, pero basándose en estudios y datos preexistentes se conocen las posibles alternativas adoptándose ciertas probabilidades objeti-vas. Por otra parte, la toma de decisiones bajo contexto hostil ocu-rre cuando un agente enfrenta a un oponente, que se esfuerza en conseguir para si el mejor resultado posible, perdiéndolo aquel si este lo consigue. El contexto incierto es cuando se desconocen as-pectos importantes, que hacen inviable el análisis bajo el concepto tradicional de probabilidad por que no se sabe que ocurrirá; y ante las contingencias las decisiones que pueda estar influidas por algu-na determinada actitud personal ante el riesgo pero igualmente debe ser racionalmente o científicamente determinadas u optimizadas. Antes del siglo XX los análisis científicos eran preferentemente de-terministas; además de la lógica binaria matemática solo se incluían mayormente situaciones bajo el análisis de probabilidades (Bayes, Laplace, etc). Durante el siglo XX se desarrollaron otros enfoques diferentes para el razonamiento lógico y para la metodología de las disciplinas, que abarcaron los conceptos y las situaciones no incluidas en el análisis anterior.


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TEORIA DE LA DECISION

En este análisis se destaca preferentemente la optimización multiob-jetivo / multicriterio, que en siglo pasado ya se enfocaba con nume-rosos algoritmos pero solo simbólicamente o en forma manual muy limitada; y que en las últimas décadas alcanzó gran desarrollo computacional efectivamente práctico, con profusión de aplicaciones individuales (cientos o miles) y decenas de “paquetes”, como los software aquí presentados (Excel, WinsQsb, SPSS, Matlab, etc). A mediados del s.XX los economistas estudiaban preferentemente cuestiones referidas a las diferencias en los sistemas de mercado y las economías planificadas; sin embargo, otros economistas y pro-fesionales de diversas disciplinas vinculadas o complementarias abarcaban otros temas, que han ido cobrando importancia en el ámbito de los análisis económicos no precisados por la economía clásica.

Leonid Hurwicz, en “La Teoría del Comportamiento Econó-mico” analizó los mecanismos mediante los cuales las instituciones y las personas toman las decisiones, enfocando los aspectos mate-máticos y la influencia de la “información disponible” por los agen-tes. Considera que los mercados suelen ser imperfectos y se nece-sitan mecanismos específicos (mensajes para los agentes y reglas de asignación de recursos; con “compatibilidad de incentivos”).

Así, con la teoría de los juegos se pueden precisar más detallada-mente las explicaciones sobre oligopolio planteadas por los econo-mistas del s.XIX y XX, También analiza el mercado de bienes públi-cos (su financiamiento mediante impuestos es lo más eficiente), así como la importancia de la información disponible por los agentes cuando comercializan los bienes.

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2007/hurwicz.html

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2007/hurwicz.html


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Los consumidores y productores pueden no disponer del total de la “información” existente; y la realización de transacciones bajo

condiciones óptimas o ventajosas implica la necesidad de conocer las reglas o mecanismos (“de juego”) eficientes. Esta inquietud de

los mecanismos necesarios también le condujo a la necesidad de estudiar el sistema de “incentivos” que motivan la conducta de los agentes. Debe ser destacado que sus enfoques condujeron a ver que este tema de “buscar” los mecanismos de asignación de recursos, me-diante mensajes, reglas adecuadas y compatibilidad de incentivos, conforma un nuevo y diferente concepto, criterio o enfoque global y general, no abarcado por los economistas clásicos y den-tro del cual los mercados son solo instituciones particulares, que deben ser estudiados buscándoles los mecanismos particulares o individuales necesarios para su optimización o asignación óptima específica (en vez de estudiar a los mercados bajo un único criterio de optimización, paretiano, se buscan las reglas particulares de asignación optima en cada mercado). Por ello, estas ideas se aplicaron al análisis de mercados no nor-malmente estructurados, así como también a otros diversos campos diferentes al ámbito microeconómico, como para el diseño de políti-cas redistributivas, políticas sobre financiamiento y créditos, para el tratamiento de la contaminación (carbono), las licitaciones de espa-cios en comunicaciones sociales, TV, etc. Estas ideas de Hurwicz sobre la búsqueda de mecanismos eficien-tes para una asignación óptima, fueron recientemente ampliadas por algunos discípulos, como E. S. Maskin o R. B. Myerson, recurriendo a la formalización mediante la programación lineal y a la teoría de los juegos. Por ejemplo desarrollaron las reglas y lógica del sistema de licitaciones públicas (“subastas”); y los criterios de eficiencia de transacciones en circunstancias o mercados excepcionales,


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en los cuales la asignación de recursos no ocurre bajo las normas del mercado convencional: desigual acceso a la información rele-vante, regulación pública de los monopolios, comercio entre filiales de una misma empresa (intrafirma), casos de comercio excepcional, decisiones sobre el suministro de bienes o servicios públicos por el estado, etc. Esta nueva ingeniería en la teoría económica desde un punto de vista lógico matemático y de la teoría de los juegos, fue aplicada por Maskin para estudiar el mecanismo de las regulaciones mono-pólicas (“Nash equilibrium and welfare optimality”, 1999); analizó el uso de la información disponible por cada agente y la necesidad de un sistema de incentivos adecuado, para satisfacer los intereses individuales en forma consistente con el funcionamiento de un sis-tema lógicamente deseable. En particular, precisó la necesidad de la monotonicidad en estos mecanismos (analogía matemática que

denota la ausencia de discontinuidad o disparidad en las reglas y necesidad de condiciones regulares para todos; monótonas), afín con el modelo clásico de la libre competencia. También desarrolló las condiciones bajo las cuales algunos juegos o problemas importantes admiten múltiples equilibrios; casos en que además de un mejor resultado posible existen otras soluciones; ca-sos de múltiples equilibrios óptimos (en materia política opina que la discusión ideológica debería centrarse sobre los objetivos a perse-guir, pero dejando en manos de los técnicos el diseño de los instru-mentos (mecanismos) adecuados; otra aplicación política de los mecanismos que explica es el caso del “voto castigo”, que al apar-tarse de las reglas “estratégicas” del juego optimizante conduce a un resultado social no eficiente).


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PRINCIPIO DE REVELACION

En la misma búsqueda de mecanismos explicativos de estas situa-ciones, Myerson (“Mechanism Design”, 1998) contribuyó aportando el “principio de revelación” directa, compatible con un sistema de incentivos de un mediador, que hace que los agentes no estén

expuestos a la tentación de comportarse con él en forma deshones-ta (ocultando información, mintiendo) o desobedeciendo (desaca-tando recomendaciones) y que asegura que los agentes siempre encuentre más beneficioso actuar respetando las reglas estableci-das por el mediador y asegurar una asignación Pareto eficiente de los recursos. Myerson también ejemplificó los problemas de “selección adversa” (ocultamiento de preferencias), así como problemas de “moral ha-zard” (riesgo moral / desobediencia de recomendaciones), modeli-

zables mediante una axiomatización, que se concreta utilizando se-ries de desigualdades lineales, en los términos que son usuales en la programación lineal Simplex y en la teoría de los juegos (desde

otro punto de vista, político, también justifica mediante el criterio estratégico de la teoría de los juegos de von Neumann, la dominan-cia en la carrera armamentista, la estrategia de disuasión, la oposi-ción al equipamiento nuclear en Irán, etc) .


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ECONOMIA DE LA INFORMACION INFORMACION ASIMETRICA (CONTRATOS)

Continuando con la información imperfecta, en este capítulo micro-económico de los contratos se estudian las consecuencias de las asimetrías en la información disponible por los agentes contractua-les, el principal y los agentes; y se utiliza esta teoría de los juegos con información imperfecta (asimétrica). Básicamente, un contrato es todo compromiso entre partes: entre el principal y el (los) agente(s); y en forma general, se suele clasificar a estos análisis, observando que las asimetrías de información es-tén en que el agente disponga de información oculta o que efectúe una acción /jugada oculta; o bien según que la iniciativa correspon-da a la parte informada o a la parte desinformada. :

RIESGO MORAL

En los modelos de riesgo moral la parte desinformada mueve prime-ro pero está imperfectamente informada de la acción que hará la parte informada (bajo información imperfecta es como si se debiera finalmente elegir contra la naturaleza, que en definitiva se planteará o juega al final). En estos problemas de riesgo moral la información asimétrica se manifiesta en que el principal no puede observar o verificar comple-tamente el esfuerzo que efectúa el agente (problemas de la acción oculta) en el cumplimiento contractual luego de firmado este; sin embargo, el pago debe efectuarse, pero no se puede establecer en función de este esfuerzo. Por ejemplo, según K. Arrow (1970), las aseguradoras se enfrentan a situaciones como las de quienes pueden tomar un seguro y con-

http://es.wikipedia.org/wiki/Seguro


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vertirse luego en menos cuidadosos con su salud o su propiedad, sabiendo que el posible costo monetario de un accidenta será cu-bierto por otros.

SELECCIÓN ADVERSA

En los modelos de sección adversa la parte desinformada juega primero y no tiene información sobre las características que reúne la parte informada (inicialmente se debe adoptar una decisión como jugando ante la naturaleza, que juega al principio). En estos problemas de selección adversa las asimetrías de la in-formación se refieren a las características o antecedentes del agen-te, que el principal no puede conocer: problemas de tipo oculto. Por ejemplo, si las compañías de seguros supieran que tipo de conduc-tor es cada cliente podrían ofrecer diferentes tipos de pólizas en vez de una suponiendo una pericia promedio). G. A. Akerlof (1970, The market for lemons: quality, incertainty and the market mechanism) planteó el ejemplo de la venta de autos usados: los compradores no pueden saber si están adquiriendo un auto malo (solo el vendedor sabe si en realidad ese auto es un “le-mon”) y la información asimétrica puede destruir este mercado.

Otro ejemplo es el del regulador que debe controlar a un prestador de servicios públicos: en este tipo de monopolio, solo la empresa pudiera conocer el verdadero costo marginal y esta información asimétrica puede distorsionar la tarifa óptima.

SEÑALIZACION


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En los modelos de señalización la parte informada mueve primero y la parte desinformada tiene información imperfecta sobre esta ac-ción. En estos problemas de señalización el agente anticipa información

imperfecta para influir en el contrato a firmar con el principal: por ejemplo en el caso de un postulante en una contratación de perso-nal (A.M.Spence); en un vendedor de bienes semejantes pero con precios muy diferentes; en la venta de botellas de vino con dudosas referencias según la etiqueta, la bodega o el precio, que no siempre se corresponden con la calidad del producto. Otro ejemplo es el modelo J.E.Stiglitz-Weiss sobre el racionamiento del crédito en mercados con información imperfecta, donde el pre-cio puede ser utilizado como una señal, que produce distorsiones impidiendo una adecuada asignación de los recursos. Tal es el caso de clientes que, no obstante tener proyectos similares a otros, están dispuestos a pagar mayor interés, pero son a veces penalizados por los bandos, por que presumen que podría tener algo negativo en su proyecto (característica contraintuitiva insertada en un mecanismo de los precios no optimizante).

AXIOMAS DE LA LÓGICA NEUMANN-MORGENSTERN

1- Transitividad. Si el individuo se muestra indiferente entre

dos premios a y b; y entre b y c, entonces es indiferente entre a y c.

2- Continuidad de las preferencias como una función de p. Es posible establecer un valor intermedio de probabilida-des para el cual el individuo sea indiferente entre el bille-te artificial y un bien a.

3- Independencia. Si el individuo se muestra indiferente en-

tre un bien A y un bien B, será indiferente entre dos bille-


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tes de lotería idénticos en todos los sentidos, excepto que uno brinde como premio un bien A y el otro un bien B.

4- Deseo de grandes probabilidades de éxito. Dados dos bi-lletes de lotería idénticos el individuo prefiere el que ten-ga mayores probabilidades de ganar.

5- Probabilidades compuestas. Si a la persona se le ofrece un billete de lotería cuyos premios son a la vez, otros bi-lletes de lotería, su actitud respecto a este billete de lote-ría compuesta será cual si hubiese pasado por todos los cálculos de probabilidades de ganar el premio final.

CONTEXTOS BAJO LA OPTICA DE LA DISPONIBILIDAD DE INFORMACION:

1) Certeza con Información perfecta

2) Información imperfecta o parcial:

a) Decisiones con Riesgo: Disponibilidad intermedia de datos. Los

datos se representan a través de las funciones de probabilidad una sola etapa para la evaluación de alternativas de.

Criterios: c) Valor esperado d) Valor esperado y Varianza combinados e) Nivel de aceptación conocido f) Ocurrencia más probable de un estado futuro

múltiples etapas para la evaluación de alternativas de: Cri-

terio del Árbol de decisión.

b) Decisiones con Incertidumbre: No se disponen de datos:

b1) No se conocen los datos y no puede determinarse una función de probabilidad

Criterios:


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a) Laplace b) Wald c) Savage d) Hurwicz

b2) Si el decisor además tiene un oponente inteligente se

formulan como Teoría de Juegos.

CRITERIOS DE BIENESTAR: TEORIA DE LA DECISION

En este trabajo se han visto diferentes análisis agrupándolos, en forma aproximada, bajo cuatro contextos. En cuanto a los criterios de decisión dependen de los tipos de problemas tratados y su con-texto; por ejemplo, en los juegos de estrategia estudiados por Neu-mann-Morgenstern el criterio de decisión es el minimax; en otros casos, cuando se pueden conocer las probabilidades que tienen los diferentes estados, el criterio tradicional es la esperanza matemáti-ca; Harry Markowiz sugirió como regla de decisión la media-varianza en los casos de selección de carteras; y cuado no se enfrentan ca-sos de total incertidumbre los criterios de decisión son: el de Laplace o igual verosimilitud; el criterio pesimista (o de Wald); el criterio op-timista; el criterio de Hurwicz (optimismo parcial); y el criterio de Sa-vage.

1. Criterio de la “Razón Insuficiente” de Laplace: en vez de re-

currir a la subjetividad de quien decide, en este criterio se pondera asignando a cada resultado posible similar probabi-lidad de ocurrencia. Al no existir alguna razón para suponer que un estado pueda ocurrir antes que los demás, se le asigna a todos la misma probabilidad (todos equiprobables). La crítica a este criterio surge ante la dificultad de prever un conjunto exhaustivo de todos los estados posibles de ocu-rrencia)


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2. Criterio maximin: se prefiere la mejor de todas las peores al-

ternativas, según la lógica N-M (Wald, 1950, criterio pesimis-ta).

3. Criterio maximax: se adopta la mejor de todas las acciones (criterio optimista).

4. Criterio de Hurwicz: pondera la suma de las probabilidades asignadas al valor de las alternativas multiplicadas por el re-sultado maximin y maximax en ellas. Este criterio se basa en la definición de un coeficiente de optimismo ( { ) de que ocu-rra el desenlace entre los límites 0-1, y un coeficiente de pe-simismo (1- {). El primer coeficiente muestra el estado del su-jeto decisor frente al horizonte económico. Según este autor al sujeto solo le interesa los valores extremos de cada alter-nativa, así el valor máximo se multiplica por { y el mínimo por 1 – {. El valor de cada alternativa será la suma de estos pro-ductos, eligiendo aquella con un valor mayor.

5. Savage propone una alternativa que minimice los pesares más altos de cada opción. En este caso el decisor presupone que sea cual sea la situación que ocurra, elegirá siempre la peor opción, por tanto tomará aquella decisión que minimice el coste de oportunidad (o el pesar) de entre todos los pesa-res más grandes de las diferentes opciones. Implica elaborar una matriz de coste de oportunidad: en cada estado de la na-turaleza se da valor 0 a la mejor opción, y en el resto de las opciones se halla la diferencia en relación con la mejor. De este modo, esta matriz muestra lo que se deja de ganar al elegir la opción equivocada. La mejor opción es la que pre-sente un coste de oportunidad total menor, es decir la que presente un resultado menos desfavorable.


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El contexto en el cual se encuadran los problemas origina variantes en los criterios: puede haber casos de decisiones sin riesgo entre mercancías inconmensurables imposibles de medir bajo el mismo parámetro; elección bajo impredicibili-dad; elección intertemporal; casos de decisiones sociales ba-jo una estructura, etc Incluso, se ha planteado la “paradoja de la elección”: la posibilidad de una mala elección o errónea debido al exceso de alternativas de elección.

RIESGO vs. INCERTIDUMBRE

En las situaciones bajo riesgo se efectúan los viejos análisis de pro-babilidades; son probabilidades objetivas porque se generan resul-tados sobre la base de hechos concretos ocurridos, por ejemplo, en el pasado o en análisis parciales de una situación presente, que se generalizan con aquel contexto aleatorio tradicional. Pero en las situaciones de incertidumbre, cuando no se conoce na-da de lo que puede ocurrir ante contingencias o el azar, no se pue-den asignar esas probabilidades a los resultados esperados. UTILIDAD ESPERADA

En particular, desde este punto de vista de la incertidumbre y el de la reciente teoría de la utilidad, se estudia bajo incertidumbre las decisiones del consumidor cuando maximiza la utilidad “esperada” (en vez de la subjetiva utilidad incluida en el análisis clásico de Marshall y otros).Se piensa que se asocia la utilidad esperada con un concepción así más realista, completa y objetiva de la utilidad (que la del tradicional enfoque subjetivista clásico). El sujeto al considerar según su criterio personal la capacidad de las cosas para satisfacer una necesidad estaría de un modo u otro


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haciéndolo objetivamente; por lo cual el resultado esperado debe incluir esto para efectuar la medición (y graficar) con mayor realis-mo, tanto por incluir esta racionalidad ampliada como por seguir una lógica consistente.

CONTEXTO INCIERTO - SEGUROS

Supóngase una persona con una propiedad que vale $1000, que en caso de incendio puede perder $ 750 y quedarle el valor del terreno por $250. Puede contratar un seguro a un costo del 33% (premio de 1/3), pero la suma asegurada dependerá de su aversión o afición al riesgo (su Utilidad Esperada). Llamando X a la situación si no hay incendio e Y a la situación con incendio, es posible representar sus posibilidades de elección, analí-tica y gráficamente para explicar su conducta de afección o aversión al riesgo.


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1) Patrimonio en caso de no incendio: X = $1000 - 1/3 F 2) En caso de incendio es: Y = $1000 - 750 - 1/3 F + F (valor - pérdida incendio - costo seguro + monto seguro) Despejando en 1) X - 1000 = 1/3 F F = - 3X + 3000 Reemplazando en 2)

Y = 1000 - 750 - 1/3 ( - 3X + 3000) + ( - 3X + 3000) Y = 250 + X - 1000 - 3X + 3000 Y = 2250 - 2 X ecuación lineal que relaciona la cantidad del haber en caso de in-cendio con la cantidad en el caso sin incendio. Se la puede graficar como una recta de presupuesto del esquema paretiano, e incluyendo una función de Utilidad Esperada del indivi-duo -curva de indiferencia que indique su utilidad de un suceso por la probabilidad de su ocurrencia- si su conducta se rigiera por los cinco axiomas de von Neumann y O. Morgenstern indicando deter-minadas preferencias por el riesgo según el punto de contacto ele-gido. Solamente tendría $1000 si corriera el riesgo del posible incendio. Pero si es neutral al riesgo tendría solamente $750. Cualquier otra precaución implicaría comprar más seguro, ubicando la curva de utilidad esperada a la izquierda del punto E. La ordenada paretiana indica el caso Y= incendio; la abscisa el caso X= noincendio; la recta de presupuesto es la ecuación lineal prece-dente ( con extremos X= 1125 e Y=2250); y las curvas de indiferen-cia indican su mapa de utilidad esperada.


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Una persona neutral al riesgo maximiza su UE en el punto de tan-gencia de la curva mas alejada y la recta indicada, con coordena-das X=750 e Y=750. Su consumo contingente o demanda de seguros según la utilidad esperada N-M es:

EU = p ( caso 1) + (1 - p) (caso 2) = 750

para esta persona "Neutral" al riesgo.

EVALUACIÓN DE PROYECTOS INCIERTOS

Suponiendo que la valoración subjetiva sobre riesgos es preponde-rante nos alejamos del análisis bajo contexto cierto y la utilidad es-perada de una inversión estará ponderada por la probabilidad de ocurrencia que le asigne el demandante. Si la función de utilidad U y el haber Y fueran U= (Y/1000)1/2, con 3000>=Y>=0, el consumidor debe decidir entre la alternativa de con-tratar un seguro con prima de $50 y la posibilidad de 0,02 que ocu-rra un siniestro que le reduciría el haber a solo $500


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Contexto cierto: haber $ 2950 U = (2950/1000)1/2 = 1,7175

Contexto incierto: haber 0,98 por $3000 ó 0,02 por $500 U*=0,98 (3000/1000)1/2 + 0,02 (500/1000)1/2 =

= 1.6974 + 0.01414 = 1,7115 En este caso resulta U > U*: 1.7175 > 1.7115; de modo que el de-mandante prefiere asegurarse y contratar el seguro comentado.

MERCADOS DE FUTUROS

Dada su valoración de riesgos, es posible calcular cuánto estaría dispuesto a pagar esta persona por un seguro: U* = (Y/1000)1/2 = 1.7115, de donde Y = 2929,23 La diferencia entre el haber cierto $2950 y 2929.23 es $20.77, que podría sumarse al costo del seguro actual $50; de tal modo que es-taría dispuesto a pagar por un seguro hasta $70.77.- Estos análisis son usuales en los mercados de futuros, en los que las personas adversas al riesgo adoptan sus previsiones, bajo la lógica de los axiomas Neumann-Morgensterm. Las funciones de oferta para futuro de las personas adversas al riesgo igualan los precios de futuro con sus costos marginales, asegurando un ingreso determinado. Otras personas podrán comprar si con ello entienden que aumentan su utilidad. Los niveles dependerán de la afición o aversión al riesgo de unos y otros.

VALOR ESPERADO


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EL VE se obtiene multiplicando cada resultado de una alternativa por la probabilidad P de que ella ocurra y efectuando la suma de los productos para todas las alternativas (como en H3 y H4). Supóngase un caso de maximización del beneficio para la elección entre dos acciones X o Y, con tres resultados monetarios posibles y tres grados de probabilidad de ocurrencia (bueno, regular y malo) según se muestra:

UTILIDAD ESPERADA

Según el criterio algo arriesgado de Teresa, su función de utilidad N-M es U = 10 +2M (siendo M la ganancia monetaria). Tiene la oportunidad de invertir $25 en la financiera XX, y con su criterio personal valora 0,5 la probabilidad de perder todo y 0,5 la probabilidad de ganar $32. Se pregunta cuál es su utilidad esperada si invierte; así como si de-be o no invertir. a) utilidad de no invertir: UE0 = 10 + 2(0) = $10


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Utilidad de perder la inversión de $25: U-25 = 10 + 2(-25) = -$40 Utilidad de ganar la inversión de $25: U32 = 10 + 2(32) = $74 Utilidad Esperada si decide invertir: 0,5 (-40) + 0,5 (74) = $17 b) Si no invierte obtendría $10; si invierte ganaría $17; entonces, según el criterio arriesgado de Teresa, le conviene invertir.

COMPETENCIA BAJO INCERTIDUMBRE

Una empresa estudia invertir en un mercado competitivo, en el cual se espera que los precios futuros sean p=$6 a p=$8. Sus costos totales son actualmente CT = 9+ 10X -5X2 +X3. En el corto plazo el costo medio mínimo indica su punto crítico, al compa-rarlo con los precios fluctuantes (en el largo plazo esto sería el punto óptimo de explotación). A cortísimo plazo es usual comparar con el costo medio variable mínimo. Para medir esos dos costos mínimos se puede calcular matemáti-camente el mínimo de ambos costos medios (total y variable), obte-niendo la cantidad X al despejar (haciendo sus derivadas nulas y que las segundas sean positivas; es decir, CM'= 0 y CM''>0; asi-mismo CMV'=0 y CM''>0): Asimismo, igualando ambos costos medios con el costo marginal también se obtendrían las dos cantidades correspondientes a fun-cionar cubriendo ambos costos medios mínimos (implicaría resolver funciones cúbicas con alguno de los métodos usuales, como el re-pasado antes en este capítulo según Ruffini);. Reemplazando esas cantidades en estas funciones se obtienen los importes de estos costos medios (totales y variables) que interesa sean menores a los precios de mercado.


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EJEMPLO BAJO INCERTIDUMBRE:

a) Empresario afecto al riesgo: El precio futuro puede ser $ 6 a $8, entonces un empresario con cierta afición por el riesgo adoptará la actitud de ponderar riesgos promediando los resultados probables (la utilidad esperada con $6 y con $8 con probabilidad P=0,5 cada una). Siendo el Beneficio = ingresos menos costos, y la probabilidad P=0,5 de ocurrir ambos precios, la Esperanza de la utilidad o Bene-ficio esperado sería: E(BE) = PB6 + PB8 = =0,5 {[6(X)] -[9+10X-5X2 +x3]} + 0,5 {[8(X)] -[9+10X -5X2 +X3]} = -3X -9 +5X2 -X3; el máximo beneficio se obtiene igualando la primer derivada a cero y con la segunda negativa, surgiendo X=3, cantidad correspondiente al punto crítico, con precios de $7, por lo cual efectuará la inversión, ya que con $7 se calculó inicialmente el punto óptimo a cubrir. b) empresario adverso al riesgo: Efectúa el mismo cálculo anterior pero, al actuar prudentemente, en vez de ponderar con probabilidades de 0,5 iguales valora aquí más la posibilidad del término con precio $6 que el término con $8, obte-niendo así al maximizar precios esperados menores que $7, tal como era el máximo en a). Entiende que el nivel de producción será menor que el óptimo X=3 y el precio y el beneficio inferiores que en a). Es decir que comparan-do con los $7 calculados inicialmente para el punto óptimo ve una Utilidad Esperada negativa y decide no invertir en este mercado.


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Pero también se puede realizar este cálculo con Excel, simplemente anotando cada función en la línea 2 y copiándola a la línea 3. Pintando ambas líneas y arrastrando el ángulo inferior derecho has-ta la línea 15 se puede observar cuando ambos costos medios son mínimos: con X=3 es mínimo el costo medio (ahí igual al costo mar-ginal); con X=2,5 es mínimo el costo medio variable (ahí igual al costo marginal). Eligiendo, antes de arrastrar, un intervalo para X menor al aquí adoptado aumentaría el grado de aproximación (interpolación).

Es decir, en el corto plazo el punto crítico aparece cuando el precio baja a $7 (CM=$7, con X=3) y éste es también su óptimo de explo-tación de largo plazo; mientras que en el cortísimo plazo el mínimo de explotación surge produciendo X=2,5, con precio y CMV =$4.


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La interpretación del corto y largo plazo depende de considerar o no los costos fijos; por lo que el óptimo de explotación a largo plazo (sin costos fijos) como igual el punto crítico es una aproximación concep-tual. Admitiendo incertidumbre, el empresario podría promediar los resul-tados con precios de $6 y $8: la esperanza de los beneficios espe-rados suma cada probabilidad por el resultado

E(BE) = p6 Benef6 + p8 Benef8

= 0,5[ 6(X) - 9 -10X+5X2 - X3] + 0,5[ 8(X) - 9 -10X+5X2 - X3] = = -3X -9 +5X2 -X3 Optimiza maximizando la esperanza de estos resultados probables Max E(BE) con E'BE= 0 y E''BE <0 E'BE = -3X2 +10X -3 = 0 y con X=3 cumple B''<0 (pero no cumple con X=1/3) La cantidad X=3 implica un costo medio de $7, por lo que si el em-presario fuera adverso al riesgo no invertiría en este negocio cuyo precio posible puede bajar a $6. Solo invertirían empresarios afectos al riesgo, ya que al no ponderar igual los beneficios esperados bajo ambas situaciones de precios obtendrían un cálculo de óptimo con menores costos medios, lo cual mostraría algún margen de beneficio aún frente a la alternativa del precio más pesimista.


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TEORÍA DE LA INCERTIDUMBRE - SUBASTAS

Los análisis económicos, tanto con los modelos concretamente apli-cados a la realidad de la empresa o del consumidor, como con los modelos abstractos (sin relación con las características de la reali-dad práctica) se pueden plantear bajo cuatro contextos diferentes: 1 Certidumbre; con consecuencia determinísticas: se conocen todas las características y antecedentes del problema; existe una relación directa entre causa y efecto y los modelos generan soluciones ópti-mas invariantes. 2 Aleatorio; con consecuencias solo probables: se conoce el pro-blema en forma incompleta y no se conoce con certeza el resultado o las posibles soluciones; se utilizan modelos matemáticos; modelos con probabilidades tanto objetivas según hechos concretos, como subjetivas, dependientes de opiniones y juicios personales. 3 Hostil; con consecuencias influidas por el oponente: decisiones bajo conflicto con algún oponente, en las que se desconocen los resultados de los eventos porque están influidas por lo que decida el oponente, que tiene intereses opuestos. 4 Incierto; con consecuencias desconocidas: en situaciones cuando se dispone de información incompleta para la toma de decisiones; aunque se pueda reconocer alternativas de solución, no se les pue-de asignar probabilidades


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LICITACIONES (SUBASTAS / AUCTIONS)

En las últimas décadas se le esta dando importancia a la búsqueda en general de mecanismos para explicar mercados, no analizados anteriormente y en particular en aquellos no institucionalizados o formalizados en las formas usuales (en materia de precios, deman-da, oferta, lugares, momentos, producto, etc), atendiendo a su efi-ciencia, a la autogestión, optimización, distribución con equidad, ausencia de corrupción, etc. Estos mecanismos, tal como son los de subastas, aportan claridad y facilitan las decisiones públicas (o pri-vadas) en materia de oferta de bienes, concesiones de servicios públicos (como el de licencias para emisoras de radio y de TV, dis-tribución de electricidad, etc), adjudicación de pozos petrolíferos, de yacimientos o de áreas de pesca, oferta de bonos del tesoro o de la deuda pública, contratación de proveedores para servicios públicos y muchos otros casos. Estas licitaciones son uno de los tantos mecanismos de negocia-ción (como lo son básicamente los mercados, el regateo, la vota-

ción, la asignación de tareas, las coaliciones, etc). Sobre las licita-ciones existe una amplia doctrina y legislación tanto local como en los demás países (e internacional en organismos regionales y de la ONU) sobre este amplio tema de las licitaciones públicas (y priva-das). Contiene reglas de procedimiento sobre la confección de plie-gos y también sobre los procedimientos para cotizar; buscando la transparencia y que tenga la equidad de la competencia; intentando evitar la corrupción (que se presenta incluso solapada bajo la propia forma de un exceso de requerimientos formales o de la venta de pliegos a “clubes” de interesados y sin amplia publicidad) mediante normas, como por ejemplo, sobre la impugnación de los pliegos por eventuales cláusulas con “favoritismos”, etc.; a veces se convoca a los oferentes para que participen en la confección de los pliegos.


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Destacamos que desde el punto de vista microeconómico no intere-sa analizar los largos listados de ofertas en los Boletines Oficiales de cada país, estado o provincia, sino que interesa analizar los me-canismos de las licitaciones, en cuanto a que son a) una fuente de ingresos a maximizar (y/o una asignaciones adecuada de recursos) y también b) en cuanto a sus reglas de competencia entre los pro-pios oferentes, que condicionan c) su objetivo de ganar la licitación (tercer aspecto microeconómico a estudiar), buscando finalmente los mecanismos microeconómicos que las hagan competitivas y sin posibilidades de corrupción. En esta tarea interviene la teoría de los juegos (como los repetidos y los coalicionales) y por lo tanto también la programación lineal Simplex (para esos casos repetidos y las coa-liciones /colusión), así como la programación computacional (espe-cialmente o principalmente). Hay licitaciones de muy diversas formas, como por ejemplo las lici-taciones o subastas a) para la venta o concesión de servicios, co-mo las poco frecuentes del tipo “todos-pagan” (gana el mayor postor pero todos pagan según su oferta, que es solo aplicable en algunos casos muy particulares); las frecuentes licitaciones con cláusula de preferencia para inquilinos, socios, accionistas etc y otras frecuentes que estudiamos abajo. Desde otro punto de vista, también están las b) “subastas inversas” (o de “procuración”, referidas a las compras

por algún ente de los bienes o servicios que le son ofrecidos por muchos competidores). En general, las subastas son formas especiales de mercados que no son competitivos y generalmente están poco institucionalizados o formalizados (por con una indefinida oferta, demanda, precios, transparencia, etc); pero tienen como característica común el hecho de referirse a bienes o servicios cuyo valor para los interesados es desconocido; y también comparten que usualmente no interviene en sus decisiones el costo (a veces desconocido o nulo) del oferente de estos bienes o servicios.


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Existe los remates (de derechos de explotación de yacimientos mi-

neros o energéticos, de uso del agua de riego, o derechos de pres-tación de servicios públicos, de TV, Internet, radio, telefonía móvil o espectro 3G y tantos otros), los concursos de oferentes y en gene-ral las licitaciones (subastas), las cuales hasta ahora se las suele

simplificar en los siguientes cuatro los tipos o formas más frecuen-tes:

1) La licitación oral ascendente: todo oferente va conociendo el

nivel ofrecido en cada momento y gana quien ofrece el ma-

yor precio y queda único en la puja (también le dice subasta

inglesa).

2) Licitación oral descendente: el subastador inicia con un pre-

cio alto y lo va reduciendo hasta que finalmente solo un

comprador ofrece (también se le dice subasta alemana

/holandesa /danesa)

3) Licitación al primer precio a sobre cerrado: gana quien pre-

sente el mayor precio entre los compradores potenciales. A

diferencia con la licitación oral, los oferentes no pueden aquí

observar las ofertas de los demás ni ir revisando su oferta.

4) Licitación al segundo precio a sobre cerrado (subasta W.

Vickrey, 1971, generalizada para múltiples bienes por E.H.

Clarke y T.Groves): gana quien presente el mayor precio, pe-

ro abona según la segunda oferta más alta (por lo cual po-

drían ser una fuente potencial de colusión, como por ejemplo

si solo hubiera dos oferentes y se pusieran de acuerdo para

que el segundo ofrezca muy poco).


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TEOREMA DEL INGRESO EQUIVALENTE

En teoría (sin colusión, bajo supuestos de neutralidad al riesgo, si-metría e independia), estos cuatro tipos básicos de licitación com-parten el hecho de representar una asignación eficiente, acorde con la mayor valoración de los oferentes: así, el teorema del ingre-so equivalente establece que, para el caso de valores individuales, estos diferentes mecanismos de subastas conducen a la obtención de un mismo ingreso esperado, siempre que el subastador esta-blezca un precio de reserva óptimo. Bajo estas condiciones teóricas, este teorema de la equivalencia de ingresos equipara los resultados (Pareto eficientes) de los cuatro tipos; lo que permite simplificar calculando la solución básica de estas licitaciones teóricas según la maximización de ingresos que genera la oferta o precio del segundo oferente o costo marginal del segundo oferente mejor (entiéndase bien, ello bajo estas condicio-nes teóricas solamente; en la realidad, este principio y el criterio puede no cumplirse y estos tipos de subastas son objeto de críticas diversas:

Solo la subasta inglesa y la de VIckrey implican estrategias domi-nantes, en cuanto los oferentes no necesitan recurrir a los complica-dos procesos combinatorios para calcular alternativas en las ofertas de sus rivales. Cuando se prevé la existencia de eventual colusión, con las subas-

tas Vickrey y la inglesa se generarían menores ingresos que con la licitación descendente o con la licitación al primer precio a sobre cerrado, las cuales resultan más adecuadas para evitar la formación de coaliciones. Las licitaciones dependen de la credibilidad en el compromiso del

subastador, sobre que no va a cambiar de criterio una vez observa-das las ofertas: una eventual pérdida de la reputación sobre éste


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distorsionaría la presentación de ofertas en futuras licitaciones (por ejemplo, en las licitaciones Vickrey se puede implementar la firma electrónica encriptada, para evitar una eventual falta de honestidad o posibles problemas de corrupción).

MALDICIÓN DEL GANADOR

Es un fenómeno parecido a una victoria pírrica, que se puede pro-ducir en las subastas de valor común con información incompleta. Esta expresión se refiere a que en dichas subastas, el ganador ten-derá a pagar de más. El ganador puede pagar en exceso o ser "maldito" en una de dos maneras: 1) la oferta ganadora supera el valor del bien subastado de manera que el ganador es el peor en términos absolutos, o 2) el valor del activo es menor que el previsto por el postor, por lo que el licitante puede todavía tener una ganan-cia neta, pero será menor a la prevista. Sin embargo, un exceso de pago real generalmente sólo se produci-rá si el ganador no tiene en cuenta esta maldición del ganador al hacer una oferta (un resultado que, de acuerdo con el teorema de equivalencia de rentas, no necesita ocurrir). Así que a pesar de co-mo suena este terrible nombre, la maldición del ganador no necesa-riamente tiene efectos nocivos en la práctica.

SUBASTA VICKREY

W.Vickrey (en Counterspeculative, Auctions, and Competitive Sead-le Tenders, 1961), efectua un análisis del mercado de las subastas, detallando el mecanismo de competición de los oferentes y el de la optimización de ingresos para el licitante; analiza los casos de subastas simples (sin colusión, asimetrías, etc.) de un solo producto a sobre cerrado; también amplió para subastas de múltiples produc-tos y para subastas múltiples de un productos idéntico. Estas subas-


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tas, al primer precio o al segundo precio (subasta Vickrey) son una extensión de las tradicionales subasta inglesa y subasta holandesa, que VIckrey extiende a sobre cerrado. Su complejo análisis teórico describe el tratamiento para subastas, pero bajo condiciones de perfección de mercado: considerando la inclusión de precios mínimos de reserva y neutralidad hacia el ries-go; ausencia de asimetrías; independencia de oferentes, o sea sin su colusión (suponiendo homogeneidad y continuidad en oferentes y valuaciones, etc.). Posteriores ampliaciones de estos análisis, por Myerson (1981) y Milgron (1985), McAfee y McMillan (1987) y otros, permiten concluir algunas observaciones que facilitan el complejo análisis inicial de Vickrey. En este esquema teórico simplificado sin asimetrías ni co-lusión (con homogeneidad, continuidad, etc.), se cumple que, en una licitación al primer precio bajo sobre cerrado, el mecanismo de oferta se puede definir, según McAfee y McMillan (1987), como:

Donde B = oferta del oferente; vi = valoración del bien por cada

oferente; ve = precio de reserva; F( ) =distribución de valuación; N =

cantidad de oferentes; - Esta expresión muestra que la función B es creciente en el número de oferentes, o sea que las ofertas aumentan con el mayor número de oferentes. - Asimismo, si la cantidad de oferentes tiende a infinito las ofertas tenderán a coincidir con el efectivo valor del bien (desaparecería el


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beneficio extraordinario contemplado en el modelo de la competen-cia perfecta). - Bajo esas condiciones teóricas mencionadas, revelar los verdade-ros valores resulta ser una estrategia dominante (débil) para los ofe-rentes. - Considerando una distribución uniforme de la valoraciones de los oferentes para el cálculo de la expresión anterior, se podría simplifi-car su cálculo, suponiendo la existencia de solo dos eferentes: en este caso el valor ofrecido se podría calcular como

B(vi) = (Vi + Ve)/2

- La política de ingresos para el vendedor será óptima con tan solo establecer precios mínimos (precios de referencia) óptimos. - Los cuatro tipos básicos de licitaciones originan ingresos equiva-lentes para el vendedor: en la subasta ascendente y la subasta al segundo precio el ganador paga según la segunda cotización ofreci-da. En la subasta al primer precio y en la subasta holandesa cada oferta coincide con la estimación de la segunda valoración más alta entendiendo que la propia es la mayor. Es decir que, se presentan precios que ganan si son los más altos pero abonan según el se-gundo precio; en definitiva, los precios esperados por el vendedor son coincidentes en los cuatro casos. - En la práctica, el principio de equivalencia de ingresos entre las cuatro formas básicas de licitaciones, permite simplificar estos casos (sin colusión ni asimetrías, etc.) calculando el ingreso óptimo según el nivel de la subasta Vickrey, al segundo precio a sobre cerrado. - Las cuatro formas básicas de licitación son las más fáciles y con-venientes, comparándolas con otras formas más elaboradas posi-bles (como por ejemplo, permitir ofertas por solo un tiempo limita-


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dos; o exigir pagos acordes con cada oferta; o subsidiar a los gana-dores; o fraccionar la licitación en diferentes rondas; etc.)


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EJEMPLO DE SUBASTA VICKREY MULTIPLE OBJE-TO

En este caso de licitación de 3 unidades idénticas de un bien, entre 5 oferentes, que cotizaron los siguientes precios:

b.1 b.2 b.3 Ofe.1 20 16 14

Ofe.2 18 13 12 Ofe.3 19 17 16

Ofe.4 15 13 12 Ofe.5 21 20 12

Ordenando los precios cotizados, se pueden anotar la cantidad de oferentes para cada precio, hasta agotar la disponibilidad de bienes: Precios: 21 20 19 18 17 16 15… adjudicac.: 1 2 Las tres unidades subastadas son adquiridas por el Oferente 5 (dos unidades) y el oferente 1 (una); y pagan $19 por cada unidad (el primer precio perdedor). PRECIO MINIMO DE RESERVA

Para asegura un mecanismo justo, resulta importante la fijación de un precio de reserva óptimo, a efectos de asegurar un mecanismo con valores que sean justos, tanto para el licitante como para la dis-tribución entre los oferentes: Ejemplo de licitación de solo 3 bienes entre 2 oferentes, sin un pre-cio de reserva: b.1 b.2 b.3

Ofe.1 20 4 3


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Ofe.2 21 20 2

En ausencia de un precio de reserva el oferente 1 adquiriría una unidad y el oferente 2 adquiriría dos unidades; y si no hubiera precio mínimo de reserva pagarían solo $4 (el primer precio perdedor, que posiblemente hubiera sido producto de un acuerdo colusivo entre los concursantes). Pero en la realidad la colusión puede ocurrir también por parte del ente licitante; al igual que pueden ocurrir otras distorsiones, como sería la disuasión al ingreso de nuevos participantes; o la acción predatoria de un oferente más fuerte (reputación); etc., en una am-plia variedad de juegos posibles.

SUBASTA MULTIPLE (PAQUETES)

Por otra parte, las licitaciones también reúnen algunas característi-cas, que pueden ser o no adecuadas según sean los tipos de bienes públicos a subastar. Por ejemplo, en el caso de licitación simultá-nea de varios bienes, se complica la obtención de una asignación eficiente (asignación para los compradores que más los valoren): estas subastas múltiples necesitan ser flexibles y permitir, las ofer-tas separadas cuando los bienes son sustitutos (si no existen ex-cesivas combinaciones posibles que imposibiliten las presentacio-nes); cuando los bienes son complementarios deben permitir las ofertas simultáneas en paquete (ya que con el empaquetamiento el

valor conjunto de estos bienes suele superar a la suma de sus valo-res individuales, debido a cierta sinergia o superaditividad propia

del paquete). Desde el punto de vista del subastador, también se puede necesitar la formación de paquetes para optimizar el valor a percibir; pero sobre todo el subastador siempre necesita determinar si el entorno en el cual se va a realizar la licitación se incluye la posibilidad de


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valores “comunes”, con colusión entre los agentes, o por el contrario las ofertas son de carácter individual privado (también puede existir una combinación de ambas situaciones).

EJEMPLO SUBASTA VICKREY EN PAQUETES

Por ejemplo, se subastan dos bienes X e Y en una licitación del tipo Vickrey (o VCG – VIckrey, Clarke, Groves): ¿Conviene admitir ofertas conjuntas en paquete?

Licitación Vickrey - VCG:

Bien X Bien Y Paquete XY Ofer. 1 50 30 40 Ofer. 2 22 50 45 Ofer. 3 34 32 48

a) Si los bienes fueran sustitutos, en principio, ante ofertas indi-

viduales el oferente 1 ganaría la compra individual del bien X y pagaría solo 34 (el segundo precio ofrecido); el oferente 2 ganaría la compra individual del bien Y pagando solo 32, de modo que la licitación generaría un ingresos por 64.

Pero si se previera la oferta en paquetes, el oferente 3 ganaría la compra del paquete con ambos bienes, de modo que se obtendría con esta licitación un ingreso de solo 45 (segundo precio), muy infe-rior a la suma de lo ofrecido individualmente por 1 y por 2 (quizás sería posible atenuar estos inconvenientes estableciendo algún tipo de descuento o compensación a efectos del cotejo para quienes presenten solo ofertas individuales)

b) Si los bienes fueran complementarios habría que considerar la sinergia o superaditividad en la oferta conjunta del paquete


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XeY; individualmente los bienes X o Y pueden tener un valor reducido pero este aumenta con la posibilidad de obtenerlos conjuntamente.

En estas ofertas en paquetes se suelen presentar dos problemas básicos, uno referido a la optimización del ingreso y otro a la determinación de los ganadores. En la optimización de ingresos dificultaría una presencia de demasiados paquetes, ya que cada postor debe definir ofertas entre 2m-1 paquetes. Pero también hay otro aspecto, la veracidad de las valuaciones (o afines por even-tual corrupción), que influyen decisivamente en la determinación final de los ganadores.

La colusión puede distorsionar todo, tanto los resultados del licitante como una distribución eficiente. Por ejemplo, si 3 de los 7 más in-teresados concursantes se ponen de acuerdo y dos ofrecen “algo” mayor a los otros 4, pero el tercero ofrece “algo + un plus” ganan, pagarían solo el importe “algo” y se evitarían competir entre ellos. Es por esto último, que la teoría de los juegos (cooperativos, mi-diendo el valor según la formación de coaliciones con el criterio ini-ciado por Shapley) busca conseguir asignaciones que finalmente contengan las deseables cualidades de justicia, eficiencia y estabili-dad, y se utiliza un complejo cálculo o valor de Aumann-Shapley. Se observa entonces, que en este tipo de problemas microeconó-micos sobre subastas están influyendo diversas disciplinas, como la programación computacional y la matemática o la investigación ope-rativa (teoría de los conjuntos, programación lineal y no lineal), que son enfoques para definir cuestiones según los criterios de decisión de la reciente teoría de los juegos cooperativos (nueva metodología que está complicando, enriqueciendo y encareciendo el panorama sobre las licitaciones, con creciente expansión local e internacional).


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Recordamos, que los primeros análisis con teoría de juegos corres-pondieron a casos simples únicos sin colusión, le siguieron otros también simples, en los cuales se calculó el equilibrio de Nash (con-junto de estrategias del juego tal que ningún jugador ganaría algo cambiando la suya); luego los juegos repetidos, etc. y en las últimas décadas esta teoría se aplicó al ámbito de la política y también al de las licitaciones, con posibilidades crecientes.


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SUBASTAS CON EXCEL, …

CON GAMS, WINQSB, MATLAB, TORA, LINDO, VIEWS, SPSS, STATA

EJEMPLO DE SUBASTA MULTIPLE

Un caso de bienes independientes, sin superaditividad (transferen-cia de utilidad), privada sin colusión ni asimetrías, en la cual se subastan 3 bienes entre 5 oferentes, que cotizan por uno o por va-rios bienes, en paquete, los siguientes importes ((bienes), importe)):

Ofe1 = ((2), 2) Ofe2 = ((1, 2), 5) Ofe3 = ((1, 3), 9) Ofe4 = ((1), 8) Ofe5 = ((2, 3), 13)

En estos casos simples se debe considerar la maximización de los ingresos (utilidad) para el licitante y simultáneamente también para cada uno de los oferentes, que compiten deseando asimismo mini-mizar su gasto al haber ajustado sus ofertas a sus valuaciones de cada bien. Se trata de una optimización mediante programación lineal, que conviene implementar con Solver de Excel (también se explicó antes aquí como resolver estos casos utilizando Gams, WinQsb, Matlab, Tora, Lindo, Eviews, SPSS, Stata), en la cual la función objetivo busca optimizar maximizando el producto de los valores cotizados por la mezcla de bienes, sujeto a una restricción de valores enteros y positivos, que se puede implementar considerando en el cuadro una digitación binaria (0 ó 1, salvo para las cotizaciones):


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La imagen resalta en G6 el cálculo de las restricciones implemen-tando suma-producto de cada bien por la fila de soluciones (celdas cambiantes B7:F7), incluyendo también la fila de las cotizaciones, que abarca hasta la celda objetivo G6; la digitalización binaria del cuadro permite cumplir con la restricciones indicadas en la columna G hasta I, también contempladas en “Sujeto a las restricciones:” Al ejecutar esta optimización Solver calculó como ganadores de la licitación a los oferentes 3 (bien 1 y 3) y 4 (bien2), generando un


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importe máximo por $ 17 (el ejemplo es fácilmente ampliable a ma-yor cantidad de bienes y/o empresas oferentes).

EJEMPLO DE SUBASTAS REPETIDAS

Los procesos repetidos de subastas son usuales en diversos mer-cados, como carnes, pesados, frutos y hortalizas, etc. La programa-ción lineal también es el método adecuado para encarar subastas en los contextos dinámicos, en los cuales suelen presentarse pro-

blemas de señalización, reputación, aprendizaje, etc. El método adecuado es plantearlos según el esquema visto aquí anteriormente para juegos repetidos.

Para el primal (principal, licitante) se trata de maximizar un VE, suje-to a las condiciones que cada una de las estrategias valga entre 0 y 1; que cada una sea un valor positivo no nulo; y que el conjunto de


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ellas debe valer uno, según la condición de las probabilidades de La Place y/o Bayes. Al activar la macro Solver se establece como objetivo la celda D13 (sin fórmulas subyacentes); se tilda Maximizar; se establecen como cambiantes a calcular por Excel las cedas D9:D10 y separado por punto y coma también ahí la propia celda objetivo D13, para que Excel también la optimice. Como condiciones, en “Sujeto a” las restricciones, que la suma de las celdas cambiantes en D11 sea =1; que los VE de cada estrate-gia sean mayores o iguales a la celda objetivo; y que las celdas cambiantes sean no negativo. Finalmente se tilda Convertir a no negativos y también programación de tipo lineal. Al ejecutar, Solver calcula los VE y el máximo, coinci-dentes, así como las probabilidades para la primera y segunda es-trategias de A que figuran en el cuadro en D9:D10. En estas licita-ciones repetidas el principal juega al azar pero cuidando mantener estas proporciones con las dos estrategias (estos juegos matriciales requieren cumplir con la condición de juego sin ensilladura de Nash y también con las requeridas por al álgebra matricial, matriz no nula, etc consideradas aquí anteriormente). Para el caso dual, B o juego repetido del agente en estas licitacio-nes, dado que con Solver se usa la matriz de pagos para A, para B se tilda Minimizar; las estrategias de B se asignan a Solver ahora según una fila de celdas cambiantes D10:E10 juntamente con la celda objetivo separada por punto y coma (previamente se sumaron ambas celdas en F10); las restricciones son análogas, pero en este caso las estrategias del oponente deben figurar como menores o iguales a la celda objetivo. Como esta matriz es la de pagos para A, el jugador B busca el mí-nimo de los máximos. Su óptimo no coincidirá con la estrategia pura


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de A, por lo que en ausencia de ensilladura (equilibrio) B adopta una estrategia mixta para este juego "repetido", jugando al azar pero cuidando de totalizar las proporciones que indique Solver. De este modo ambos (licitante y oferente) obtienen un mismo VE, según la condición de equilibrio del teorema mínimas: si ambos actúan bajo las reglas de la lógica N-M y sin asimetrías, optimizan estimando valores prudenciales, que coinciden asegurando a la otra parte un premio similar al propio.

SUBASTAS DE UN UNICO BIEN Y DE PAQUETES

Sin embargo, cuando en los casos estáticos (único bien o paquetes) se pasa a restringir esas condiciones teóricas de tipo competiti-vo, introduciendo diversas condiciones de asimetría o colusión, el tratamiento se complica, con innumerables posibilidades de juegos, objeto de los análisis recientes. En 1961 Vickrey explicó sobre la conveniencia de las subastas de un único bien al segundo precio para el caso de bienes públicos importantes. Otro hito es cuando en 1994 la Comisión Federal de Comunicaciones de los EEUU diseñó un mecanismo para las lici-taciones de múltiples ítem, en forma instantánea (en las cuales

influye si los ítem se subastan simultáneamente, permitiendo o no ofertas por paquetes o combinaciones de ítem) o con repetición, en una secuencia; pero en los textos estos temas eran todavía solo menciones superficiales; y numerosos casos diversos y aplicaciones fueron publicados ínterin y posteriormente. Los arreglos, permutaciones y combinaciones según corresponda a cada posible caso de licitación a dilucidar se complicarían (e impedi-rían el tratamiento manual de estas situaciones) para juegos gran-des. Sin embargo, con el enfoque iniciado por Shapley y Banzhaf (para los acuerdos o colusión, que en el fondo consistente en listar y comparar todas las posibles situaciones y observar los incrementos


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de poder/costo/valor) se simplifica la innumerable gama de juegos posibles con colusión y agregación de utilidad, al implementarlos computacionalmente. Una idea del procedimiento concreto se puede obtener analizando el criterio según los ejemplos desarrollados anteriormente paso a paso para el valor de Shapley y su análogo el de poder de Banzhaf con Excel.


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Estos análisis de la colusión o posibles acuerdos, siguiendo la idea de Shapley o de Banzhaf mediante Excel, resultaría ser una forma concreta de objetivar el tratamiento de estos problemas de licitacio-nes o subastas asimétricas.


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Concretamente, el campo profesional de aplicación de la teoría de licitaciones a los servicios públicosen en los países es cada vez más frecuente (telecomunicaciones y medios, energía, etc.). Sin embargo, sobre estas aplicaciones generalmente solo aparecen presentaciones axiomátricas en forma simbólica (matemática de conjuntos y grupos), que no debieran asustar por ser específicas, sino por variadas y sin su objetivación. En la práctica, esos esquemas abundan en solo presentaciones formales (simbólicas, generalmente sin aclarar si los símbolos re-presentan valores cardinales u ordinales y sin la objetividad de su correspondiente desarrollo numérico y/o computacional paso a pa-so. Por ello suelen brindar una apariencia de ser a veces poco más que pantallas (carteles, bluff, promociones) en estos tan variados y complejos asuntos de juegos computacionales múltiples, con asime-trías, transferencia de utilidad (UT), colusión, etc. Es importante tener presente que la presentaciòn simbólica por si sola no es suficiente, y que salvo excepciones simples, siempre es necesario recurrir a algun programa de computación para implemen-tar estas ideas: la teoría de conjuntos parece ser el lenguaje apro-piado para los algoritmos; pero también existen otros lenguaje alge-bráicos (como los expuestos aquí), asi como muchísimos lenguajes computacionales, que en definitiva son los que permiten concretar las ideas y los cálculos. Recientemente, se destaca (al menos a nivel académico) una apli-cación de la teoría de los juegos, para el campo de la “negociación”, de conflictos internacionales y otros. La presentan Sergei Izmalkov y Muhamed Yildiz del MIT, pero con el tratamiento alternativo del ál-gebra abstracta de grupos (axiomática de Frobenius), muy específi-ca, que podría resultar de interés como otra herramienta, otro enfo-que algebráico, o modo de programación para generar nuevas apli-caciones informáticas sobre el tema.


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La exposición de la teoría de juegos en modo formal y axiomático, utilizando los variados símbolos lógicos matemáticos, fue contem-plada por Neumann-Morgenstern en 1928 y en 1944, así como por gran cantidad de desarrollos ampliatorios de fines del s.XX y conti-núa en el XXI. Este lenguaje lógico de las diferentes ramas matemáticas usuales es amplio y complejo; pero con él la teoría de juegos no siempre se puede implementar concretamente. Es quizás la forma idónea de presentación y planteamiento de los juegos; pero muchísimos jue-gos requieren necesariamente la instrumentación computacional para su desarrollo concreto. Entonces este lenguaje lógico formal conforma una alternativa ade-cuada, pero no siempre imprescindible, para posibilitar la necesaria instrumentación computacional de muchos juegos, como son los juegos repetidos o las crecientes aplicaciones de los juegos con acuerdo, que aquí fueron expuestos mediante a) el análisis matemá-tico, b) el análisis geométrico, c) la programación lineal Simplex, así como con d) varias formas de planteos con Solver (véanse antes los modos normales de solver, el modo “paramatricial” y el modo “valo-res de”; equivalentes y alternativos a los modos de planteo del Sim-plex y/o del “Simplex matricial”; o a soluciones mediante matrices) “LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA (2)”

Una cosa es escribir simbólicamente lo que voy a hacer para calcu-lar algo (algoritmo); y otra cosa muy diferente es escribir ese ejecu-table computacionalmente y que efectivamente calcule lo buscado (es más fácil describir que realizar una aplicación computacional) Gran cantidad de aplicaciones económicas y empresariales de estos juegos es solo viable mediante enfoques computacionales, con sus propias lógicas y lenguajes. Aquí, a diferencia de las exposiciones


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formales de otros textos, se trató de ejemplificar mostrando paso a paso, utilizando presentaciones básicas simples y accesibles a un técnico o profesional no especializado en lógica. No obstante se pegan a continuación dos resúmenes de Wikipedia, sobre una nómina de algunos símbolos lógicos matemáticos y sobre la lógica de cojuntos de Neumann, Bernays, Gödel: bienvenido el álgebra abstracta de NBG y otros, pero no es imprescindible para todo profesional; mientras que las aplicaciones computacionales si que lo son. (esta aseveracion se efectúa conjuntamente con la resolución y pre-sentaciòn aquí de diversos tipos de juegos, subastas y otros me-diante varios métodos algebráicos y varios utilitarios computaciona-les)


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Algunos símbolos matemáticos

(Wikipedia)

Genéricos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

igualdad igual a todos

x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un

mismo objeto o ente.

1 + 2 = 6 − 3

definición se define como todos

x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin

embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia)

P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q

cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A B) ¬(A B)

Aritmética


adición más aritmética

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es

10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

substracción menos aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo

'menos' también se utiliza para denotar que un número esnegativo. Por

ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados,

el resultado es 'dos'.

87 − 36 = 51

multiplicación por aritmética

7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.

4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Substracci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n



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división entre aritmética

significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y

dos, cada pedazo será de tamaño siete.

sumatoria suma sobre ... desde ... hasta ... de aritmética

∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

productorio

producto sobre... desde ... hasta ...

de aritmética

∏k=1n ak significa: a1a2···an

∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional


implicación material o en un

solo sentido

implica; si ..

entonces; por lo

tanto

lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también;

si B es verdadero entonces nada se dice sobre A.

→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para deno-

tar funciones, como se indica más abajo.

x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso

(ya que x podría ser −2)

doble implicación

si y sólo si; sii,

syss1 lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa siB es falsa.

x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y

conjunción lógi-

ca ointersección en una reja y

lógica proposicio-

nal,teoría de rejas

la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra

manera es falsa.todo es verdadero de los valores

n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)


http://es.wikipedia.org/wiki/Sumatoria


http://es.wikipedia.org/wiki/Productorio


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Implicaci%C3%B3n_material_o_en_un_solo_sentido&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Implicaci%C3%B3n_material_o_en_un_solo_sentido&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Doble_implicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos#cite_note-condicional-1


http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunci%C3%B3n_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunci%C3%B3n_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Reja_(orden)&action=edit&redlink=1




http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural


740

disyunción lógica ounión en

una reja o

lógica proposicio-

nal,teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si

ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

negación lógica no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.

una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a

la izquierda.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados Símbolo Nombre se lee como Categoría

cuantificador universal

para todos; para cual-

quier; para cada

lógica de predi-

cados

∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x

∀ n ∈ N: n² ≥ n

cuantificador existencial

existe por lo menos

un/os

lógica de predi-

cados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

cuantificador existencial con

marca de unicidad

existe un/os único/s lógica de predi-

cados

∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.

∃! n ∈ N: n + 1 = 2

reluz tal que lógica de predi-

cados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos


delimitadores

deconjunto el conjunto de ...

teoría de con-

juntos

http://es.wikipedia.org/wiki/Disyunci%C3%B3n_l%C3%B3gica





http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/Negaci%C3%B3n_l%C3%B3gica


http://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador_universal

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_predicados


http://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador_existencial



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuantificador_existencial_con_marca_de_unicidad&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuantificador_existencial_con_marca_de_unicidad&action=edit&redlink=1





http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos



741

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

notación constructora

de conjuntos

el conjunto de los elementos ...

tales que ...

teoría de con-

juntos

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es

verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.

{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

conjunto vacío conjunto vacío teoría de con-

juntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.

{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

pertenencia de conjun-

tos

en; está en; es elemento de; es

miembro de; pertenece a

teoría de con-

juntos

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es

elemento del conjunto S

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N

subconjunto es subconjunto de teoría de con-

juntos

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B

A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión teoría de con-

juntos

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de Ay tam-

bién todos aquellos de B, pero ningún otro.

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

intersección de conjun-

tos

la intersección de ... y ...; inter-

sección

teoría de con-

juntos

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos

que A y B tienen en común.

{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

complemento de un

conjunto

menos; sin teoría de con-

juntos



http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo





http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjunto



http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos



http://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos




http://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto





742

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos

de A que no se encuentran en B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones


aplicación de función; agrupamiento de funciones

para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la fun-

ción fsobre el elemento x

para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del

paréntesis.

Si f(x) := x², entonces f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) =

8/2 = 4

mapeo funcional de ... a funciones

f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y

Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²

Números


números naturales N números

N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturalespara una convención diferente.

{|a| : a ∈ Z} = N

números enteros Z números

Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}

{a : |a| ∈ N} = Z

números raciona-

les

Q números

Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}

3.14 ∈ Q; π ∉ Q

números reales R números

R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}

π ∈ R; √(−1) ∉ R




http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionales

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionales


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales



743

números comple-

jos

C números

C significa: {a + bi : a, b ∈ R}

i = √(−1) ∈ C

raíz cuadrada

la raíz cuadrada de; la principal raíz

cuadrada de números reales

√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x

√(x²) = |x|

infinito infinito números

∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los números

reales; ocurre frecuentemente en límites

limx→0 1/|x| = ∞

valor absoluto valor absoluto de números

|x| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo) en-tre x y zero

|a + bi | = √(a² + b²)

Órdenes parciales


comparación es menor a, es mayor a órdenes parciales

x < y significa: x es menor a y; x > y significa: x es mayor a y

3 < 4 5 > 4


comparación es menor o igual a, es mayor o igual a órdenes parciales

x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual

a y

x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Geometría euclídea


pi pi Geometría euclideana

π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.

A = πr² es el área de un círculo con radio r

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejos

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejos


http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito


http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendida

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto


http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo

http://es.wikipedia.org/wiki/Zero

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclideana

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo


744

Combinatoria


factorial factorial combinatoria

n! es el producto 1×2×...×n

4! = 24

Análisis funcional


norma norma de; longitud de análisis funcional

x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

x+y ≤ x + y

Cálculo


integración

integral desde ... hasta ... de ... con respecto

a ... cálculo

∫ab f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de

la función f entre x = a y x = b

∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3

derivación derivada de f; f prima cálculo

f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, lapendiente de

la tangente en ese lugar.

Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2

gradiente del, nabla, gradiente de cálculo

∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df /dxn)

Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)

derivada parcial derivada parcial de cálculo

Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las

otras variables mantenidas constantes.

Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad


perpendicular es perpendicular a ortogonalidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_normado

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcional

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_normado

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Del&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente


http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial


http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicular

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad


745

x y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogo-nal a y.

Álgebra matricial


perpendicular traspuesta matrices y vectores

(a,b) con al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe

colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en

un documento vectores verticales.

Teoría de rejas


fondo el elemento fondo teoría de rejas

x = significa: x es el elemento más pequeño.

http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicular

http://es.wikipedia.org/wiki/Matrices

http://es.wikipedia.org/wiki/Vectores

http://es.wikipedia.org/wiki/Fondo

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_rejas&action=edit&redlink=1


746

TEORIA DE CONJUNTOS de Von Neumann-Bernays-Gödel (Wikipedia) La teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (denotada NBG) es una teoría de conjuntos axiomática. Su noción primitiva es la de clase, en lugar de conjunto como en la teoría de Zermelo-Fraenkel (denotada ZF). A diferencia de otras teorías de conjuntos, NBG es finitamente axiomatizable. Ontología Siendo una teoría de conjuntos, las nociones primitivas de NBG

son clase X y pertenencia ∈. Sin embargo, aun cuando las clases retienen su significado como «colecciones de objetos», se reserva la palabra conjunto para un tipo especial de clases con una propiedad adicional:

(NBG) Un conjunto X es una clase que está contenida en alguna otra clase:

A las clases que no son conjuntos se las denomina clases propias. Entre las clases propias se encuentran la clase universal V, la clase de todos los ordinales On, etc. Sin embargo, los axiomas de NBG postulan algunas propiedades sólo para conjuntos —no para cual-quier clase— , de tal modo que en NBG se evitan las clásicas para-dojas de la teoría de conjuntos. Axiomas Notación En los axiomas de NBG se distingue entre clase y conjunto, y habi-tualmente se utilizan letras minúsculas para especificar conjuntos:

Las expresiones

donde α es una fórmula cualquiera, son abreviaturas para

Axiomas generales El primer grupo de axiomas es básicamente equivalente a sus co-rrespondientes versiones en ZF.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_axiom%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Clase_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Zermelo-Fraenkel


http://es.wikipedia.org/wiki/Noci%C3%B3n_primitiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Clase_universal

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ordinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)



747

Extensionalidad. Dos clases son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.

Par. Dados dos conjuntos existe un tercero que los contiene sólo a ambos:

Unión. Dados dos conjuntos, existe un tercero que contiene a los elementos de ambos:

Conjunto vacío. Existe un conjunto sin elementos:

Reemplazo. Dada una clase F que sea una función, la imagen de de un conjunto cualquiera por F es también un conjunto:1

Esta formulación del axioma de reemplazo está comprendida en una única sentencia, a diferencia de la formulación habitual en ZF que es un esquema axiomático. Axiomas de formación de clases NBG tiene la propiedad particular de ser finitamente axiomatizable, esto es, puede establecerse con un número finito de axiomas. ZF no comparte esta propiedad, pues su axioma de reemplazo es en reali-dad un esquema axiomático, una afirmación del tipo: «Dada una fórmula φ(x) la siguiente sentencia es un axioma de ZF...». En NBG también puede utilizarse un esquema de formación de clases a par-tir de una fórmula dada, pero es posible demostrar dicho esquema a partir de una colección finita de casos particulares:2 Intersección. Dadas dos clases existe una tercera que contiene los elementos comunes a ambas:

Complemento. Dada una clase existe otra que contiene todos con-juntos que no están en la primera:

Pertenencia. Existe la clase de la relación binaria de pertenencia entre conjuntos:

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_extensionalidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_par

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_uni%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_conjunto_vac%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_reemplazo


http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del#cite_note-fun-1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Esquema_axiom%C3%A1tico&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del#cite_note-2



http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria


748

Dominio. El dominio —entendido en el sentido del dominio de una función— de una clase siempre existe:

Producto cartesiano. Dada una clase X, existe otra que contiene todos los pares ordenados con primeros elementos en X:

Y por último dos axiomas que permutan las n-tuplas ordenadas de una clase dada de diversas maneras: Permutación 1.

Permutación 2.

De este modo, combinando estos «casos particulares» con los axiomas generales puede demostrarse un esquema axiomático para fórmulas que hablen solamente de conjuntos:

Esquema de formación de clases Dada una fórmula φ(X1, ..., Xn) —con al menos las variables libres indicadas— cuyas únicas variables cuantificadas son conjuntos, la expresión

es un teorema de NBG.

Si se prescinde de estos axiomas y en su lugar se adopta el esque-ma de formación de clases, se obtiene una axiomatización alternati-va de NBG, pero no finita. Si se elimina de estos axiomas la restric-ción a fórmulas sin variables de clase cuantificadas se obtiene la teoría de conjuntos de Morse-Kelley.

Axiomas adicionales Además de estos axiomas iniciales, es necesaria una serie de axio-mas para que la teoría de conjuntos contenga los aspectos estándar que se usan en la matemática. Partes. Dado un conjunto, existe otro formado por la totalidad de los subconjuntos del primero:

http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano

http://es.wikipedia.org/wiki/N-tupla

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Morse-Kelley

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_conjunto_potencia


749

Infinito. Existe un conjunto inductivo:

Regularidad. Toda clase no vacía contiene una clase disjunta con-sigo misma:

El axioma de elección puede añadirse también a la lista: Elección. Dado un conjunto, existe una función de elección sobre sus elementos no vacíos:1

Véase también Teoría de conjuntos de Morse-Kelley Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Bibliografía y referencias ↑ a b Fun F, Dom F y Im F son abreviaturas para denotar «F es una función», «el dominio de F» y «la imagen de F». Como es habitual en teoría de conjuntos, una función se define de forma extensiva como una clase de pares ordenados en la que no se repiten primeras

componentes. ↑ Estos son los axiomas de formación de clases recogidos en Mendelson, 1997.

Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 1-1-2011. Mendelson, Elliott (1997) (en inglés). Introduction to Mathematical Logic. Chapman & Hall. ISBN 0-412-80830-7.

Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Von Neumann–Bernays–Gödel

set theory de la Wikipedia en inglés, bajo la licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y la licencia de documentación libre de GNU.

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_inductivo

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_regularidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n

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http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Morse-Kelley

http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del#cite_ref-fun_1-0

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http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory

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http://es.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

http://es.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

http://es.wikipedia.org/wiki/Licencia_de_documentaci%C3%B3n_libre_de_GNU


750

TEORIA DE LA INCERTIDUMBRE NO ESTRUCTURADA

Se pueden distinguir dos clases de enfoques sobre incertidumbre:

- Estructurada: si bien no se sabe cuál ocurrirá entre diferentes alternativas, es posible determinar que pueden ocurrir varias de estas.

- No estructurada: no se sabe cuales alternativas pueden ocu-

rrir, ni sus probabilidades ni consecuencias.

Una de las modalidades de solución es introducir sentimientos sub-jetivos de optimismo (criterio maximax, que selecciona la acción máxima del pago máximo) y de pesimismo (criterio maximin, que selecciona el mayor de los pagos mínimos); que a veces pueden tener bases razonables, según algún conjunto de pautas parcial-mente orientativas.

Otra alternativa es asignar una distribución de probabilidades a los sentimientos, para convertir el problema en uno de decisiones bajo riesgo y poder así elegir un óptimo.

Por otra parte, cuando no existen elementos para esto, antes que tomar una decisión solo al azar, se puede recurrir al “principio de la razón insuficiente” (de Laplace), suponiendo que todas los

eventos tienen igual probabilidad, ponderando 50 y 50. Interesan los aspectos formales; que las preferencias sean consis-tentes desde el punto de vista lógico, respetando los criterios si-guientes:

- Transitividad: si X > Y; Y > Z; entonces X > Z.


751

- Completitud: si solo hay X e Y, entonces se prefiere X, o bien Y, o bien son indiferentes.

- Asimetría: si X > Y, no puede ser Y > X. - Simetría de la indiferencia: si X es indiferente a Y, entonces

Y es indiferente a X.

PARADOJA DE SAN PETERSBURGO DE D. BERNOULLI

El concepto de utilidad esperada que se utiliza recientemente tiene su origen en el siglo 18, cuando Daniel Bernoulli resolvió la paradoja que representaba el juego de tirar la moneda. SI sale cara pago $2; si sale cruz vuelvo a lanzar y pagaré el doble si es cara; y así suce-sivamente. ¿Cuánto pagaría alguien por participar del juego? El valor esperado (VE) depende de las tiradas hasta que salga cruz;

1) ½ x $2 = $1 2) ¼ x $4 = $1 3) 1/8 x $8 = $1

…x… = $ …. ¿pagaría infinito?. No tendría sentido este VE, pero debía ser explicado por qué, según hizo Bernoullí:

Conforme va aumentando la riqueza se la va valorando menos; y por el contrario, va resultando cada vez más importante evitar la pérdida (de pagar). Este comportamiento se puede ver gráficamente como una función logarítmica, para la UE finita del juego, creciente solo hasta un lími-te. Esto abrió la posibilidad de introducir el análisis matemático en la teoría de la utilidad esperada subjetiva, así como la programación computacional.


752

TEORIA DE LA DECISION – SEGUN TIPOS DE INCER-TIDUMBRE

En la teoría de la decisión se utilizan usualmente diferentes criterios: Criterio maximin: se prefiere la mejor de todas las peores alternati-vas, según la lógica N-M. Criterio maximax: se adopta la mejor de todas las acciones. Criterio de Hurwicz: pondera la suma de las probabilidades asigna-das al valor de las alternativas multiplicadas por el resultado maxi-min y maximax en ellas. Criterio de la “Razón Insuficiente” de Laplace: en vez de recurrir a la subjetividad de quien decide, en este criterio se pondera asignando a cada resultado posible similar probabilidad de ocurrencia.

UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU:

En 1944 Neumann y Morgenstern publicaron los axiomas para la toma de decisiones racionales bajo incertidumbre, incluyendo:

- Preferir una lotería que otorgue el mayor premio. - Será indiferente una lotería con premio de G de ganar o P de

perder, con otra cuyo premio es intermedio entre G y P. En 1954 Savage demostró que sobre ese criterio se puede obtener probabilidades subjetivas de tipo cardinal (medible). Para obtener probabilidades subjetivas en este contexto incierto es necesario ser lógicamente consisten en la toma de decisiones:

AXIOMAS DE LA UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU:

1. Completitud


753

2. Transitividad 3. Independencia ante alternativas irrelevantes: por ejemplo;

¿qué le sirvo, pollo o cerdo?. Deme pollo. Ah, me olvidé que también hay pescado. Entonces deme cerdo.

4. Independencia ante consecuencia contrafácticas: una vez realizada una acción se decide según sus resultados y no según las posibilidades que existían a priori.

5. Independencia con respecto a la ganancia esperada: se elige una de las apuestas según sus probabilidades de ganar y no según los premios que ofrezcan.

PARADOJA DE ALLAIS:

Este enfoque no racional es una crítica a la teoría racional SEU de Savage, bajo el concepto de racionalidad limitada en los decisores. Según Simon, 1986, ni las personas ni las PC disponen siempre de capacidad suficiente para la toma de decisiones con plena racionali-dad. A veces se decide bajo diferentes reglas no siempre racionales en el sentido SEU, según obligan las dificultades planteadas al tomar de-cisiones en terminados casos.

PRINCIPIO DE INDETERMINACION DE HEISEMBERG

En 1927 el físico W. Heisemberg formuló el principio de indetermi-nación: la temperatura del termómetro había modificado impercep-tiblemente la medición en un líquido; y no era el estado de la cien-cia no suficientemente evolucionado para medir esa alteración ni la pequeñez del dispositivo, sino que en sí los diminutos cambios de-bía ser considerados lógicamente como no medibles con precisión: el principio de indeterminación presente en todo tipo de medición


754

física (“si la precisión con la que se determina la posición y veloci-dad de una partícula es mayor, menor será su velocidad”). Más reciente, en el ámbito de la programación industrial y de la computacional, se adoptarían en forma especialmente intensa es-tos criterios del análisis bajo incertidumbre; siendo todavía incipien-tes en otras disciplinas.

INCERTIDUMBRE SEGÚN J. M. KEYNES

En 1937 Keynes amplió un concepto incluido en su Teoría General del Empleo y el Dinero, refiriéndose al tipo de incertidumbre empre-saria, tratando "simplemente de distinguir lo que se conoce como seguro de lo que es sólo probable. El juego de la ruleta no está suje-to, en este sentido, a incertidumbre ...El sentido en el que estoy usando el término es que... no existe base científica sobre la que formar cualquier probabilidad calculable. Sencillamente no sabe-mos".

URNA DE PÓLYA

Un ejemplo sobre el estado actual de la matemática (no tan exacta como se creía) es este modelo, útil para estudiar procesos económi-cos estocásticos, en los cuales las circunstancias iniciales, la au-sencia de libre competencia, el libre albedrío de los consumidores, etc. conduce a la obtención de resultados que no están directamen-te basados en la teoría de la probabilidad, la competencia, los ren-dimientos, economías a escala, etc. La dinámica de estos procesos “no-ergódicos” esta influida por el azar y su evolución no converge automáticamente, como se podría pensar, a una distribución probabilística de los resultados, debido a la influencia distorsionadora de esos accidentes históricos.


755

El modelo de Pólya consiste en una urna con bolas de dos colores; cada vez que extrae una (muestras con reposición) se la repone pero conjuntamente con otra (otras) de ese color. Luego de una se-rie de extracciones se observa que el resultado no guarda las pro-porciones quizás esperadas, si no que es azaroso.

(use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles) La implementación del modelo en Excel es fácil: en la columna B se introduce la función =Aleatorio(); en las columnas C y D se utiliza la función =Si ( ; ; ) para cuantificar la posibilidad de reponer las bolas de un color u otro, según aclaran las formulas de la imagen para este ejemplo con cien mil extracciones, cuyo resultados cambia drásticamente con cada pulsación de recálculo F9 etc.

LOGICA DIFUSA (FUZZY) / MATEMATICA BORROSA

El título del trabajo de G. Boole, Lows of trhorugh, de 1850 constitu-yó una aseveración sobre el comportamiento de la naturaleza de las cosas y las visión teórica instrumentada en las simplificaciones cien-


756

tíficas para abarcar los problemas científicos (incluso microeconómi-cos) tanto objetivos como subjetivos, Luego de los aportes de L. Zadeh en 1965, otros posteriores amplían estos enfoques con cre-ciente intensidad. Un relevamiento de la utilización de la matemática borrosa en el ámbito microeconómico con numerosos temas figura en el trabajo Introducción a la teoría de los subconjuntos borrosos a la gestión de las empresas, de A. Kaufmann y J.Gil Aluja (Ed. Milladoiro, Santiago de Compostela, 1986) Dado que la empresa implica dedicar capitales inmovilizados anali-zan ahí problemas de la inversión y renovación de equipos median-te matemática borrosa; la producción fue incorporada con el trata-miento mediante conjunto borrosos de los materiales (gestión de stocks) y de la incorporación de mano de obra (selección de perso-nal); la comercialización se plantea con la distribución física de pro-ductos; y la dirección y administración con subconjunto borrosos a través del análisis de balances y de los presupuestos y las previsio-nes a largo plazo. También en estos enfoques tiene un lugar preponderante, no solo la nueva visión conceptual lógica, sino su modelación matemática y el tratamiento mediante computación.

L A. Zaded presentó en 1965 en Berkeley, California sus conceptos sobre la lógica difusa o fuzzy. En esta metodología reciente del análisis científico y computacional también se permite la inclusión de situaciones multivariantes para criterio de verdad o del estado de una cosa, en vez del criterio tradicional bivalente o binario (de Boo-le) tipo verdadero o falso, frío o caliente, lleno o vacío, etc.


757

En este ejemplo sobre la puntuación de deportistas goleadores ante 16 tiros, la solución clásica ponderaría la estatura mayor a 1,85 y los mayores aciertos, seleccionando a los deportistas F e I. Bajo la lógi-ca difusa se tienen en cuenta otras ponderaciones, que permitirían en este caso incluir con los mayores puntajes también al deportista E que tuvo 16 aciertos y antes estaba excluido. Esta lógica de los conjuntos difusos (elementos pertenecientes a más de un conjunto) progresó especialmente en computación y en algunos campos de la tecnología; tiene desarrollos importantes en la matemática de conjuntos y otras disciplinas están todavía esperan-do mayores aplicaciones. Al parecer tiene mayor intensidad de uso en las recientes industrias de Japón y de China, la que habría facili-tado la aparición de las computadoras recientes con mayor capaci-dad que las existentes en Europa y EEUU hasta 1990y estos análi-sis comentados de Zaded y otros (especialmente sobre Fuzzy Mo-deling and Control e Intelligent Systems, del japonés Michio Sujeno; y de F. H. Mandani del Reino Unido).


758

ANALISIS NUMERICO - CALCULO NUMERICO DEL CÁOS

FUNCION LOGISTICA DE LORENZ

El análisis dinámico en los modelos de economía y otras disciplinas estudia el movimiento para predecir su estado en fases futuras. Cuando resultan cambios muy complejos se les dice caóticos. Fun-ciones logísticas como P = 1 / 1+e-t y similares describen compor-tamientos iniciales tipo exponencial que luego se atenúan o alteran y evolucionan hacia estructuras o límites asintóticos (los “atracto-res” del meteorólogo Lorenz, para rotación del anillo, temperatura y

desviación de ésta)

En 1961 Edward Lorenz estudiaba el comportamientos atmosférico mediante simulaciones con series y encontró resultados muy dife-rentes cuando repitió el análisis utilizando en la constante inicial tres decimales (0,506) en vez de seis decimales (0,506127), estable-ciendo así que los sistemas caóticos son muy sensibles a las condi-ciones iniciales. En 1975 R. MAY usó un modelo de simulación del crecimiento de la población de insectos tipo logístico ya que consideró que luego de


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un crecimiento exponencial la población se acercaría a un máximo posible ante la saturación de los recursos del medioambiente. Estudió las series con una función diferente, una parábola logística, que llevó a precisar mejor la transición entre el comportamiento normal y el caótico, según pequeños cambios en las constantes iniciales y en el exponente:

(use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles)

Véase en la fila dos los comentarios sobre las cifras de la fila 1 que llevaron a determinar los límites entre el comportamientos determi-nista, caóticamente ergódico y absolutamente caótico.


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ATRACTORES – FRACTAL – CAOS

El físico M. FEIGENBAUM precisó luego que la constante 4,6692016091020 es el punto a partir del cual el sistema lógico (y la transición caóticamente lógica) se convierte en definitivamente caó-tico (este Excel con 10 mil observaciones muestra varios niveles lógicos hasta caóticos que se indican en las filas 1 y 2). Considérense los débiles computadores que se utilizaban en 1961, comparando por ejemplo con las fáciles y potentes funciones iterar y otras de Excel. La posibilidad de efectuar infinitas pruebas con la computación permitió analizar las estructuras de los atractores y su comportamiento “fractal” (composición de estructuras por repetición

de formas similares, que se muestra en esta gráfico de Excel). El “efecto mariposa” (o si hay o no leyes de formación entre el aleteo de una mariposa en China que origine un tornado en Texas) fue la nueva metáfora para enfrentar la visión mecanicista tradicional (de LAPLACE; o de A. Einstein en “Dios no juega a los dados el univer-so”). Con el análisis del caos, la matemática moderna había aban-donado los límites deterministas de la matemática tradicional. En economía, al igual que en la física, química y otras disciplinas, se incorporó este análisis; y ante la imposibilidad de predicción en los sistemas caóticos se utilizan simulaciones del comportamiento hu-mano posible, siendo Excel la herramienta adecuada para imple-mentarlas (modelos de optimización, programación y logística; jue-gos de empresa; estudios de población y demanda; etc.) Por ejemplo, los sismólogos influyen con sus informes en muchas actividades; suelen opinar sobre algunos tipos de terremotos que no son acontecimientos predecibles pero que sí son prevenibles.


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Considerando el caso de la probabilidad tradicional sobre una tirada de dados, se estaba suponiendo implícito que estos no incluían im-perfecciones y cada resultado tenia así 1/6 de probabilidad. Pero en el análisis de la incertidumbre se analiza e incluye también la posibi-lidad de que por ejemplo los dados tengan imperfecciones (que es-tén “cargados”). Asimismo, en el análisis tradicional sobre la tirada de una moneda se suponían monedas perfectas, con probabilidad cierta de ½ para cara y 1/2 para cruz. Pero en esta nueva teoría se incluiría por ejemplo, la posibilidad de que la moneda pueda tener también dos caras o dos cruces u otra imperfección dable, que sea relevante para el resultado esperado. Ciertamente, esta ingresando así con esta lógica plurivalente la in-fluencia de las valoraciones del decisor sobre la decisión u optimiza-ción; pero aún con esto se entiende que las conclusiones siguen siendo racionales (más racionales, en realidad) al considerarlas.


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MARKETING

Investigación de mercado (mercadeo) es un conjunto de técnicas

todavía no muy bien definido (o en expansión), que hacen referencia a empresas especializadas o a las secciones de cualquier empresa grande dedicadas a actividades, diversas pero cuyo fin es suminis-trar a la dirección de una empresa informaciones sobre novedades (amenazas y oportunidades) en los mercados (sobre demanda, gus-tos, productos complementarios o sustitutos, técnicas de producto o de proceso, costos; e incluso ideas sobre creación de nuevas nece-sidades, etc.), tal que le ayuden a mejorar los ingresos o a reducir los costos de esa empresa comercial o productora de bienes o ser-vicios (tangibles o intangibles). Las ideas sobre marketing están evolucionando y recientemente avanzaron desde una simplificación inicial en el s.XX, como simples técnicas de promoción o publicidad de venta, para ir incorporando nuevas actividades, como ser la distinción entre marketing B2C (bu-siness “to” customer, o sea Emprea”2”cliente) y B2B (empre-

sas“2”empresa), cuando en el años 80 se ampliaron estas activida-des de investigación de mercado para abarcar las técnicas de pro-ducción de insumos que fueran mejor adaptados a las necesidades del cliente empresario: por ejemplo, en tecnología de producto se pasó de las autopartes elaboradas con chapa comercial al carbono (que se oxida si no se pinta), hacia chapa más delgada pero en cali-dad apta para ser recubierta en una o dos caras con cinc (galvani-zada): igual superficie, menor espesor, menor peso, menor consumo de combustibles y mayor duración. Desde hace décadas, una actividad usual B2B es la presentación por las empresas grandes, sus cámaras o sus institutos sectoriales (por ejemplo el Instituto Argentino de Siderurgia), ofreciendo infor-mación útil para los usuarios fabricantes sobre nuevos productos


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(insumos), técnicas de proceso o aplicaciones (usos finales), etc. con una interacción técnica permanente entre proveedores y clien-tes y viceversa (caños de plástico para usos petrolíferos y de con-ducción; unión por termo-soldado; paragolpes de plástico; tablesta-cas de chapa, galvanizada corrugada para alcantarillados viales, perfilería o carpintería metálica de chapa vs. aluminio, etc.. La American Marketing Association promocionó la idea de las “4 P”, para hacer referencia a un conjunto de actividades involucradas

en este campo: “producto, promoción, precio, place”, enfoque que también se conoce con la sigla “VISA” (por Solución técnica con un material o producto, Información o publicidad, Valor de uso y de cambio, Plaza o lugar de distribución) y la concepción actual del marketing es de tipo holistico (o globalista), incluyendo algunas actividades sobre RSE (responsabilidad social empresaria o empre-sa socialmente responsable. En enfoque holístico (Ph.Kotler) surgen sobre la idea de Aristóteles

en su Metafísica, cuando se refiere a temas en los que “el todo es mayor que la suma de las partes” (por oposición a la visión de la física (o de la matemática, en el V postulado de Euclides, el todo es la suma de las partes). Por ejemplo, una semilla transgénica más un defoliante glifosato, representan mucho más que solo un tipo dife-rente de semilla y de agroquímico; pueden representar la sustitución masiva de cultivos, deforestación, erradicación de poblaciones, tras-lación de ingresos regionales hacia otros sectores privados o estata-les, riesgos por monocultivo o ecológicos, etc. con franca influencia sobre la actual RSE. La organización de actividades en una empresa dedicada al marke-ting es compleja y puede reunir a sociólogos, economistas, ingenie-ros, médicos neurólogos, etc. Al igual que en las empresas grandes y corporaciones, el área de marketing, tal como en la siderúrgica SOMISA, se diferenciaba en dos secciones: una dedicada a la ta-rea de campo (encuestas e intercambio de información con usua-


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rios o grandes consumidores, distribuidores, etc) y otra dedicada a la investigación econométrica y económica sobre la base de los

datos recabados en esos estudios de campo (por ejemplo analizar que no es igual lo que dicen los consumidores en una encuesta a lo que realmente o efectivamente suelen comprar); y sobre el análisis de la información estadística de precios, cantidades, comercio exte-rior competitivo, costos de competidores, novedades en los merca-dos internacionales que puedan representar amenazas u oportuni-dades en el área de ventas o en el área de compra, etc (con revistas como Metal Bulletin, JSJ, CRU-MM, AMM) . En el caso SOMISA esta oficina efectuaba los estudios de mercado y también las proyecciones y pronósticos de ventas; por afinidad de materia, también se ocupaba de la defensa del mercado (el anti-dumping), sobre la base de la teoría microeconómica de la libre competencia: evidentemente, todas novedades sobre amenazas y oportunidades que surgían en los mercados e interesaban a la dirección de la empresa).

NEGOCIACION (BARGAINS)–TEORIAS- METODOS:

Se estudian las técnicas de negociación de las personas e institu-ciones, en el intercambio económico y en todos los ámbitos, como políticos y demás. Existe un importante conjunto de técnicas, méto-dos o teorías, que conforman un universo conceptual todavía en desarrollo e incompleto. El tradicional “regateo” en el intercambio es la cuestión de fondo o esencial, pero se analiza con nuevos aportes y desde disciplinas tan opuestas como la sicología y la teoría de los juegos; que abarcan más allá de ese tradicional regateo (bargaining) en los mercados minoristas.


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Este regateo puede ser usual en regiones de Oriente Medio o Asia, pero que en zonas urbanas occidentales puede considerarse como una discriminación de precios; y a su ausencia como una señal de seriedad y fidelización del cliente; aunque en estas últimas también es usual en transacciones de otro tipo de bienes, como las vivien-das, autos, etc.; y se lo estudia según las posiciones individuales de negociación “duras” o “blandas”; la oferta de precios individuales tipo gancho o especiales, bonificaciones, compras grupales, etc. ENFOQUE COMPETITIVO VS. COOPERATIVO La sociología y la neurosicología aportan pautas de comportamien-to, distinguiendo según zonas o según tipos de bienes; pero tratan-

do de diferenciar el comportamiento humano del enfoque matemáti-co de la teoría de los juegos para estas decisiones: es como el pro-blema de la hipótesis básica en C. Popper para construir un modelo con una base racional, enfrentado con la dificultad o imposibilidad del tratamiento matemático para el comportamiento humano (M. Bunge); las decisiones humanas van más allá que solo lo racional y que el simple regateo; y se estaría tendiendo actualmente hacia una visión holística, abarcativa, del tipo enfocado en la “economía de la información”. Existe diferentes enfoques: como este del comportamiento según diferentes zonas o países; también el enfoque procesual, que ana-

liza los procesos de negociación, distinguiendo el rango de la nego-ciación, las “posiciones” de las partes, sus “intereses” de fondo, los riesgos y puntos de seguridad, etc. Una variante más reciente la brida el enfoque de la computación evolutiva, sobre la base del desarrollo computacional y los análisis que permite la incorporación de algoritmos con aprendizaje, para el estudio masivo de las comunicaciones por internet y otras.


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Por otro lado está el enfoque según la teoría de los juegos, según

los axiomas N-M de eficiencia, simetría, independencia de alternati-vas irrelevantes, invariancia escalar, monotonicidad, etc., que se plantean como casos de suma cero (competitivos) y también como casos del tipo juegos cooperativos, pero siempre con un enfoque matemático subyacente. Especialmente los juegos de suma cero ponen su acento en las “posiciones” de las partes, trabajando con sus justificaciones o argumentaciones, en una actitud agresiva (competitiva, de amenaza). También hay una visión cooperativa, según “los intereses” de las

partes, los riesgos incurridos, el reconocimiento del otro y la “crea-ción de valor” según alternativas que brinde el reconocimiento de los intereses, en vez del enfrentamiento de las posiciones. W. Ury, en la Escuela de Negociación de Harvard, habla de un en-foque de “integrativo”, reconociendo los intereses comunes de las partes y los opuestos, apuntando a la creación de opciones y mayo-res alternativas (creación de valor) que posibiliten acuerdos nego-ciados, incluso con la figura del “mediador”, en el ámbito económico, desarme nuclear, etc.; distingue MAAN como la mejor alternativa de un acuerdo negociado y PAAN como la peor alternativa de acuerdo

negociado. Herramientas: de tipo actitudinal: como por ejemplo, analizar si

uno reconoce o no la idoneidad de la otra parte como interlocutor válido, o bien se está admitiendo desinterés en la negociación, etc. Herramientas de tipo comunicacional, como reconocer y no enfren-

tar o atacar la posición de la otra parte, escucharla atentamente, tomar notas de sus planteos, evitar la carga emocional, hacer pre-guntas, distinguiendo las de tipo cerrado, abierto, coercitivo, circula-res, etc. que permitan un replanteo del tema. Herramientas proce-dimentales, diferenciando reuniones personales o vía representan-

tes, acompañados o no, en diferentes lugares, tiempos y plazos, telefónicamente, por email, etc.


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EL JUEGO DE LA CERVEZA DEL MIT

En una aproximación al Juego de la cerveza a través del bestseller La quinta disciplina (de P. Senge) alguien podría obtener una ima-gen deplorable, desde el punto de vista microeconómico. Un sistema de distribución de cerveza entre el productor, mayorista, distribuidores, minoristas y consumidores, malformado por un retar-do de semanas en la comunicación vía camioneros entre las etapas origina que, ante una promoción ocasional, los altibajos en la de-manda generen un caos en toda la cadena. La impresión deplorable podría surgir por un 80% del bestseller, dedicado a consejos irrelevantes e incoherentes, con una absoluta ausencia de los principios microeconómicos, referidos a la estima-ción de la demanda, a la programación de la producción o sobre optimización (abarcando enfoques básicos, y/o bien otros como el análisis de series estocásticas para el suavizado y ruidos o la opti-mización multiobjetivo entre etapas y para esa industria). Sin embargo, este viejo trabajo del MIT (J. D. Sterman, 1960), además de ilustrar sobre un efecto látigo en el sistema de distribu-ción también incluye otros aspectos: la construcción de modelos dinámicos de simulación; así como la programación y la optimiza-ción computacional, que si bien en los años 60 incluida lenguajes de programación hoy suplantados con numerosas alternativas, también sería hoy interesante brindar con el utilitario Excel (el de mayor uso entre los profesionales), pero abarcando no solo principios de siste-mas de distribución sino también la optimización microeconómica (ver en cap. 7-modelos de simulación en el MIT). Una antigua costumbre de ilustrados científicos era recurrir a las argumentaciones por referencia a los incunables griegos; este hábi-to fue cambiado modernamente por la recurrencia a las ideas de excelencia observando las opiniones y “consejos varios” (y vagos)


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de eminencias y destacados en cualquier ámbito, como por ejemplo, consejos para pensar y razonar o bien el fárrago de citas de toda índole en la Quinta disciplina, pero con absoluta ausencia de méto-dos para lo básico: no hay métodos para estimar las funciones de demanda de cerveza en distribuidores, en el mayorista ni en el pro-ductor; tampoco hay métodos para optimizar la producción, la entre-ga y los beneficios en cada eslabón de la cadena. Todos actúan por sus impulsos del momento y sin estrategia adecuada son víctimas del latigazo de un sistema malformado con el retardo de semanas según órdenes vía camionero. Pero los principios sobre sistemas de distribución en el conjunto no pueden funcionar ajenos a los principios microeconómicos de opti-mización en cada eslabón y en el conjunto de esa industria. Por esto en microeconomía se estudian los métodos, para sostener esos principios. En el medioevo Grecia y Europa perdieron su biblioteca de Alejan-dría y el conocimiento se retrajo a los monasterios. Monjes, sabios y reyes peregrinaban a España por motivos religiosos y también para comprar las traducciones al latín hechas por las escuelas de traduc-tores. En Toledo, Salamanca, Tarazona se suministraba a esos monjes (algunos luego denominados santos), los conceptos sobre el cero y de los números indoarábigos, la geometría euclidiana, las matrices del Corintiano y en general sobre “la cosa” y sus métodos. Descartes introdujo en 1630 al final del Discurso del método las coordenadas, que posibilitaron avanzar desde la geometría euclidia-na hacia la analítica, luego utilizadas por Pareto para ilustrar los avances que permitía el análisis infinitesimal con dos variables. Slutsky avanzó utilizando la función combinada de Lagrange para 3 ó 4 variables y generó la necesidad de utilizar los aportes de Sarrus y de Cramer para determinantes, adjuntos y matrices. En 1938 Dan-tzing aportó las tablas Simplex, simplificando el cálculo matricial, para algunas variables más, según entonces era posible con solo papel y lápiz.


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Más recientemente la teoría de los conjuntos se utiliza como otro lenguaje que es alternativo en este álgebra para explicar algunos (quizás numerosos) casos de juegos, que en especial incluyen otra explicación para los mercados imperfectos y para las subastas. Pero, en la empresa actual se manejan desde decenas hasta milla-res o más variables; y la optimización, incluso con algoritmos multi-objetivo, es necesariamente computacional. Por esto en Microeco-nomía con Excel (MCE) también se comparan estos métodos con similares en 10 ó 15 otros utilitarios destacados, no obstante que la de MS Office es por ahora la herramienta profesional más eficiente y más utilizada). En particular Excel facilita la correlación múltiple y el análisis de la varianza para estimar la demanda sin los sobresaltos mencionados en la Quinta disciplina. Con Excel es posible estudiar fácilmente las series, individualizando sus componentes estacionales, cíclicas, tendenciales y ruidos aleatorios del latigazo (efecto bullwhip); y Ex-cel facilita los tratamientos de series estocásticas con suavizados del tipo de la familia de modelos ARMA (autorregresivos de prome-dios móviles). Excel simplificó las varias presentaciones de la programación lineal o no lineal mediante Solver, tanto para esta optimización como para la optimización multiobjetivo /multicriterio, así como para teoría de los juegos (y de subastas), dinámicos sin TU y también cooperativos con numerables jugadores, con información imperfecta. Igualmente es instantáneo con Excel el cálculo de matrices, con solo utilizar sus utilidades elementales como =minversa( ; ), =mdeterm( : ), =mmult( : ; ), etc., para miles de variables (y con limitaciones de capacidad, también son estos trabajos posibles con varias de las otras 10 ó 15 aplicaciones computacionales que se explican en MCE).


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TEORÍA IRREAL vs PRÁCTICA REAL

La variedad de productos y servicios es amplia (consumo perecede-ro, durable, insumos, servicios tangibles e intangibles) y también la de los contextos aquí explicados; y es por esto que en microecono-mía y en estadística se incluyen capítulos sobre análisis de series estadísticas (Student, pequeñas muestras, CHI2, estacionalidad y aleatoriedad en series de tiempo, etc.), además de métodos de infe-rencia inductiva (estimación), otros deductivos para programación con múltiples variables; y en diferentes tipos de mercado y explica-ciones, como con la teoría de los juegos. Lamentablemente, en la mayoría de los textos no esta clara la for-mulación de conceptos: explican trabajando sobre funciones teóri-cas y se quedan en ello; lo hacen con un enfoque incompleto, en el que no se percible por ejemplo, como un cálculo del equilibrio al modo clásico puede tener sentido en una empresa real, en la que no existen funciones ni un único producto o insumo, etc. Suponen qui-zás que, con la práctica empresaria sería posible redondear la hila-ción de los conceptos. Con los métodos estudiados es posible aquí cerrar el proceso mi-croeconómico efectivo y en estos cursos se lo hace a través de ejemplos sobre equilibrio empírico y/o con modelos de simulación. El concepto de cierre entre lo teórico clásico y lo real se basó aquí en lo siguiente: con programación lineal y otras se determina la mezcla óptima de productos; mediante la “estimación” se obtienen funciones representativas de cada familia de producto relevante; se calcula el punto de equilibrio clasico; se estudian las tendencias y otras características de las series; se proyectan las ventas; y a con-tinuación se completa el resto de la actividad en cada ciclo o período


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(mediante el cálculo de las existencias, la necesidad de compra de insumos, la producción, venta y marketing). Esta idea global teórico-práctica se capta en estos cursos al mo-mento de concretar la práctica sobre ejercicios, como los del “equli-brio empírico” y otros con modelos de simulación dinámicos, simila-res al comentado / criticado juego de la cerveza del MIT (pero con tratamiento profesional y sin las exageraciones que aparenta la sim-plificación de Senge).

BRECHA ENTRE MODELACION Y REALIDAD - BROCHE DE ORO AUSENTE -

La generalidad de las empresas producen u ofrecen una amplia variedad de productos; sin embargo, siempre es posible agruparlos en una cantidad menor de gamas o tipos de productos afines, e in-cluso identificar a cada una de estas mediante el bien o servicio más frecuente en ella (con un precio cercano al promedio de esa gama). Este producto representativo es el que se utilizará para simplificar los análisis y presentaciones identificando su precio y cantidad pro-ducida o vendida, costos y rentabilidad en los análisis clásicos y de optimización. Mediante programación lineal y/o matrices (Dantzing, Kantorovich, Dorfman, S., Solow, etc) se facilita la determinación de la mezcla óptima de bienes o servicios a producir o vender. Esta mezcla óptima permite simplificar efectuando los cálculos a partir de ella con solo el producto más relevante, suponiendo que la cantidad del bien X sea una mix ponderado según la mezcla óptima. Con una sola variable X (o si se prefieren X e Y, dos de dicha gama) es ahora posible implementar los análisis clásicos según Cournot, Marshall, Pareto y otros. Tiene así sentido la maximización clásica


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para ingresos, producción, beneficios, costos, según sean los mer-cados competitivos u oligopólicos, con o sin incertidumbre o infor-mación imperfecta. La objetividad se facilita mediante ejemplos reales. En una empresa siderúrgica (como SOMISA) se producen chapas estructurales, cha-pa automotriz y para artefactos del hogar, hojalata para alimentos, rieles, perfiles estructurales, palanquilla para relaminar en barras y también varios subproductos. Los insumos principales son mineral de hierro, carbón de hulla, fundentes como calizas/dolomita, mano de obra, fuel y combustibles, electricidad (si no tuviera usina pro-pia), y una enorme cantidad de repuestos como cilindros y maquina-rias diversas (dinero). Para la mezcla representativa se ponderan los precios representati-vos (por ejemplo U$S/ton 800 chapa en caliente, U$S/ton 1200 cha-pa en frío, U$S/ton 2500 hojalata, etc) por sus cantidades produci-das o vendidas; y el análisis de costos por producto permite identifi-car el beneficio o contribución marginal por producto(s) representati-vo(s) de toda la gama. La programación lineal Simplex o con Solver permite calcular la can-tidad a laminar para cada producto, teniendo en cuenta las mermas de laminación y que para obtener hojalata de 0,20 mm de espesor hay que relaminar bobinas en frío de 1,5 mm; o que para obtener estas se deben relaminar bobinas de chapa en caliente de 6 a 9 mm de espesor, las cuales son necesarias para la venta en diversas calidades para usuarios finales y para continuar los otros procesos de relaminación. Las variables involucradas se multiplican según la cantidad, la calidad y los distintos usos finales de cada material re-querido por los clientes y para relaminación. Sin embargo, la dirección de la empresa necesita disponer de una modelación como la clásica aquí estudiada, tal que le permita simpli-ficar sus análisis de producción, mínimo costos o máximo beneficio


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competitivos con solo una o dos variables. Por ejemplo, los accionis-tas o las autoridades locales o de otros países clientes pueden tam-bién requerir esta información simplificada, pero cuya cuantificación sea rigurosamente demostrativa de la situación competitiva. Por ejemplo, algunas exportaciones de SOMISA en los años 80/90 fueron erróneamente acusadas de precios en condiciones dumping; y fue necesario demostrar el comportamiento competitivo según la modelación clásica sobre precios, costos y beneficios, coincidente con los datos contables. La explicación se planteó bajo el modelo de una empresa transitoriamente sobredimensionada para la demanda local, que necesitaba exportar para operar con un volumen competi-tivo y acorde con su punto crítico u óptimo. Se modelizó simplifican-do con costos totales de tipo “lineal”, por que así surgen costos me-dios hiperbólicos, evidenciando que solo mediante adicionales ex-portaciones competitivas el volumen operativo se acercaría al punto óptimo o crítico. Las inspecciones de costos y precios demostraron que para expor-tación las condiciones ofrecidas eran similares a las de otros clien-tes distribuidores o grandes usuarios locales, con ausencia de dis-criminación de precios o dumping, al disponer de un listado público de extras de costos o descuentos de precio por cantidad tabulados para los productos relevantes de la gama ofrecida. Los imprescindibles informes con detalles de costos, precios e in-gresos son información interna y muy reservada de cada empresa, careciendo además de poder o evidencia pública demostrativa. Sin embargo, toda empresa está obligada a emitir balances, contenien-do una mínima información global; y que al estar firmados por un contador constituyen instrumentos públicos legalmente vinculantes. En los cuadros y anexos de las memorias y balances figuran sola-mente unos pocos datos de ingresos, costos y beneficios, pero que resultan suficientes: el ingreso total por ventas y la cantidad vendi-


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da, el costo total fijo y variable, así como el resultado de cada ejerci-cio; cinco datos clave, suficientes para deducir el análisis microeco-nómico clásico con una variable, si se dispone además de la mezcla óptima obtenida mediante programación lineal. Es decir, que una vez que con la programación lineal se determina la mezcla óptima es luego posible aplicar el análisis clásico con una o dos variables, para precisar las condiciones del equilibrio competi-tivo con el o los productos efectivamente representativos por ponde-ración. Algo no difícil o fácil de entender pero que no es para nada evidente, especialmente para un estudiante o profesional cuya es-pecialización se limite a la microeconomía captada en los textos. Esta cuestión del broche de oro (sólo aquí así denominada) la cono-cen muy bien los doctores e ingenieros gerentes y directivos de em-presas. Las publicaciones técnicas especializadas en cada industria (con relevancia a nivel internacional), suelen aportar datos sobre la situa-ción competitiva de las principales firmas internacionales, estiman-do en cada industria con una precisión muy acertada sus costos de producción en todo tipo de actividad industrial, servicios u otras, obteniéndolos desde las publicaciones de precios de insumos y commodities (insumos o productos de venta generalizada y estanda-rizada), que son negociados en las bolsas locales, mundiales y de-más medios representativos. Sin embargo, no siempre los economistas y demás académicos son necesariamente hombres de empresa (dificilmente un gerente o directivo disponga de tiempo para estas cuestiones académicas) y este alejamiento también explica la existencia de esta carencia o falta de (broche de oro) nexo comentada Desde del punto de vista didáctico, esta enseñanza del nexo puede efectuarse mediante ejemplos ilustrativos o también a través de tra-


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bajos prácticos específicos, incluso del tipo modelo de simulación dinámico, como el juego de la cerveza del MIT; pero cuidando que la orientación para el estudiante incluya en detalle la individualiza-ción, separación y nexo de estos conceptos clave y no solo aquel priorizado efecto látigo por una programación con retardo.


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ENUNCIADOS DE EJERCICIOS CON 50 TIPOS DE TP

Orientativos sobre los TP del cronograma con 50 TP, a completar como informes profesionales incluyendo la teoría, la parte analítica, gráficos, detalles y fuentes primarias que tratan el tema (figura aquí una orientación sobre informes para cada TP). Ejemplos semiresueltos (a revisar y/o corregir están en archivos pdf identificados por unidad (como 2dem_ofer.pdf , 3estabilidad.pdf etc) y en archivos Word o Excel, también en Microeconomía con Excel y según la bibliografía oficial detallada. (Nota: numerosos conceptos teóricos y otros temas breves del pro-grama no están incluidos en estos 50 TP pero para entender la asignatura deben ser considerados completando el programa). Número de unidad y TP: UNIDAD 1

1a) informe en detalle sobre sistemas económicos, sus teorías y casos reales (unidad 1 y 10). 1b) informe en detalle sobre el circuito económico, incluyendo las consecuencias para la empresa de las formulaciones sobre la iden-tidad, la igualdad, teoría cuantitativa y la ecuación fundamental, se-gún Say, Walras, Arrow, Keynes, tratadas en la unidad 1 y 10. UNIDAD 2:

2) agregación unidad 2: a) construya las funciones de demanda y de oferta de 3 grupos para ambos casos. b) Suponga que existan 10 agentes en cada grupo de ambos casos y obtenga las funciones agregadas de este mercado, suponiendo que se trata de bienes


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privados; c) suponiendo que se trata de bienes públicos. d) Comente ejemplos de estos dos casos. 3) a) Elasticidad puntual, clasifique a los bienes para: Elasticidad precio: Dx = 1/1000 P + 8 para P = 5 Defina la elasticidad precio con sus tres expresiones alternativas Elasticidad Ingreso: Dx = 1/8 M + 4.75 para M = 8000 Defi-na la elasticidad renta con sus tres expresiones alternativas Elasticidad cruzada: Dx = 2Py + 60 para Py = 10 Defina la elasticidad cruzada con sus tres expresiones alternativas. b) Describa y comente sobre el coeficiente de elasticidad media o promedio. c) dada esta función de demanda clasifique a los bienes: Qx= 50 - Px + 0,01 M + 3 Py con M= 100; PX= 1 ; Py= 10. 4) Teoría de los ingresos: explique la conducta de una empresa con dificultades para levantar un pagaré y no ser rematada en el próximo mes; su demanda es Px = - 0,10 X + 60 Comente cual sería el nivel de actividad que le conviene a la empresa; calcule las funciones y los gráficos. Detalle los ocho conceptos y supuestos requeridos para esta teoría puntual de cortísimo plazo. UNIDAD 3:

5) Sea un mercado con demanda Xd = 30 - P y oferta Xo = 80 - 4P ; calcule la estabilidad estática según Walras y según Marshall; explique y grafique estos modelos. 6) Determinar los efectos que producirá un impuesto sobre la ofer-ta en una cuantía de $0,90 por unidad vendida en este mercado, con: Dp = - 400p + 4000; Sp = 500p - 500 Comente los efectos de diversos tipos de impuestos sobre el exce-dente del oferente, del demandante y de la sociedad.


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7) Estabilidad dinámica: en un mercado competitivo, con demanda Xd = 100 – 3 P y oferta Xo= 20 + 0,5 P Establezca la estabilidad dinámica del equilibrio si a) baja la demanda baja 20% b) si se encarece la oferta por un impuesto del 10%. c) comente sobre ejemplos reales de mercados a los que se adapta este modelo dinámico explicativo. 8) a) Estimación de funciones por mínimos cuadrados diseñados en 1812 para el caso simple con dos variables, si a= (∑X ∑P2 -∑P ∑XP) / ( N∑P2 – (∑P)2; ) y b=( N∑PX - ∑P∑X ) / (N∑P2 – (∑P)2; ); b) caso realista mediante correlación múltiple; comentando al me-nos tres medidas sobre la calidad del ajustamiento. UNIDAD 4:

9) Programación lineal Caso a) Un granjero tiene posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la semilla de trigo es de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tiene un costo de $6 por hectárea. El costo total de la mano de obra es de $20 y $10 por hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de trigo y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1500 en mano de obra, ¿cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantarse para obtener la máxima ganancia? Caso b) Optimice con estos coeficientes, recursos y beneficios: X Y DISPONIBILIDAD

• Mano de obra 1 1 200 • Materia Prima 2 1 260 • Fondos 10 20 3500 • Beneficio 100 400 ---- Caso c) Sea una firma que produce un bien Q, poseyendo dos cla-ses de máquinas, siendo su dotación de recursos 200 trabajadores, 60 máquinas clase M1 y 40 máquinas clase M2. Dos trabajadores y una máquina M1 producen 50 unidades del bien por período (acti-


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vidad X1) , en tanto que 4 trabajadores y 1 máquina M2 produ-cen 60 unidades (actividad X2). Se calculará:

1) La máxima cantidad de Q que la firma puede producir por período, qué retribución cabe imputar a las dos clases de máquinas y al trabajo.

2) El incremento de la producción que se logrará en el caso de contarse con un trabajador más.

3) Cómo varía el plan óptimo de producción si mantener ociosas M1 ó M2 cuestan 2 y 10 unidades del bien Q por período y por máquina inactiva. 10) Programación lineal, mínimos con método grafico (ejemplos resueltos en TP u4) 11) Programación lineal “Simplex”, máximos (resueltos en 33resumenes o en Microeconomía con Excel y en archivos) 12) Programación lineal “Simplex”, mínimos (en 33resumenes, en Microeconomía con Excel y archivos) 13) Programación lineal con Solver de Excel (en archivos Excel

y.pdf, 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras.pdf) UNIDAD 5:

14a) Además de calcularlo demuestre cómo y porqué se puede en-contrar el equilibrio del consumidor según la teoría de la utilidad

cardinal si: U = XY2 ; Px = $10 ; Py = $20; M = $1.000. 14b) Además de calcularlo demuestre como y porque se puede encontrar el punto de equilibrio del consumidor según Pareto: U =

3XY ; Px = $8 Py = $6 ; M = $240


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15) Minimización del gasto si: U = XY =165 ; Px = $3 ; Py = $10 ; X = 16,70; Y = 5 ¿Mínimo costo para una utilidad total =165?. 16) Análisis del concepto de dualidad. (en archivos Excel y.pdf, 33 resúmenes y en Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 17) Función combinada de Lagrange, máximos: condición de primer orden, condición de segundo orden y demuestre el significado eco-nómico de landa para los casos 14a o b). 18) Función combinada de Lagrange, mínimos para el caso 15). 19 ) Función de demanda hiperbólica: a) Sea U = 2XY; Py=$10; M=$100. Calcule la función de demanda de Px = y explique los aportes de este enfoque. b) Encuentre la función de demanda del consumidor maximizador de utilidad por el bien X si la función de utilidad es U= XY; su renta M= $1.000 y Py=$ 20. 20a) Determine analíticamente y grafique el efecto ingreso-sustitución según Hicks. Si: U = 2XY2 ; Px =$ 2; Py = $3; M = $540; si sube Px =$ 3 20b) Ecuación de Slutzky. Dada una función de utilidad, los precios del mercado y el presupuesto (de los casos anteriores) clasifique a los bienes y determine la demanda compensada y ordinaria. (TP u5, en archivos Excel y.pdf, 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 21) Determine la elasticidad media o promedio (en archivos Excel, 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras)


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22) Índices de precios y cantidades, con ejemplo somero para los del nivel de vida Gasto, Paasche y Laspayres (en archivos Excel, 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) Unidad 6:

23) Producción con un solo factor variable : a) dada una función de producción Qz = -6X3Y + 2X2Y2 con X insumo variable e Y=5 fijo determinar las etapas de los rendimientos analítica y gráficamente. b) producción conjunta dependiente: con una función de producción conjunta X = q1² + q2² que muestra las cantidades del producto 1 y 2 que se pueden derivar del insumo X. Si se tiene una cantidad fija de 100 de insumo X, y el producto 1 y 2 se venden en el mercado a $3 y a $2 respectivamente. ¿Qué cantidad de producto 1 y 2 con-vendría producir para maximizar el ingreso, dado una cantidad de insumo de 100? 24) Producción con dos factores variables a) Sea una empresa con la siguiente función de producción: Q = 8C¾T¼ Con Pc = $4; Pt = $6; M = $280. Hallar el nivel de producción tal que la em-presa alcance su Eficiencia Física. (Aplicar el enfoque Paretiano). b) ¿Cuál es el mínimo costo para producir 300.000 toneladas? Utili-ce la función combinada de Lagrange. c) optimice y comente sobre los rendimientos si Q = 5CT3 ; con Pc = $6; Pt = $3; M = $100 d) Teniendo en cuenta la siguiente función de producción, hallar el producto máximo aplicando el método de Lagrange. Q = 18CT²; Pc = $2; Pt = $3; M = $150. 25) Función de producción Cobb-Douglas Q = 4C1/3T1/ 3 ; Pc = $3; Pt = $4; M = $300 y comente las principales consecuencias prácticas de este enfoque.

b) Si Q= 100K0,5L0,5, ; con un precio de K = $ 40 y precio de L = $ 30. A) Determine la cantidad de trabajo y capital que debe utilizar la empresa con el fin de minimizar el costo de obtener 1444 unidades de producción. B) ¿Cual es este costo mínimo ?


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26) Teoría de los costos a) Corto plazo. Construir la función de oferta de una empresa cuyo costo a corto plazo está dado por Ccp = 0.04X³ - 0.8X² + 10X + 5.

b) Supongamos que la función de costo total a corto plazo de un empresario es

C = X³ - 10X² + 17X +66. Determinar el nivel de producción para el cual se maximiza el Beneficio si P= 5$. Calcular la elastici-dad de la producción respecto al costo en dicho punto. c) Etapas de los costos si: C = 0,03X2 + 12X + 100, con P = $20 (en unidad 6, tp 27) d) Una empresa competitiva con la siguiente función de costos: C = 0.04X3 – 0.8X2 +10X + 5 Se pide: la función de oferta a cortísimo plazo, argumentándolo. e) Largo plazo. Dada la función de costo C = X³ - 2X² + X, con un precio de venta de $5 por unidad. Determinar los óptimo, mínimo de explotación y de oferta mínima, bajo el supuesto del corto y largo plazo clásicos; suponga y analice las consecuencias de una caída de $1 en el precio. f) En un mercado competitivo, la empresa estudia la posibilidad de instalarse en el mismo. Determinar la decisión de instalarse o no en el mismo si el precio es $10 y la empresa trabaja con la siguiente función de costo total: C = 3X3 – 15X2 + 52X (en unidad 6, tp 31) 27) Equilibrio de la empresa y cantidad de competidores a) La función de costo a largo plazo de cada una de las empresas que producen el bien Q es C = q³ - 4q² + 8q Nuevas empresas entraran o abandonaran la industria según los beneficios sean posi-tivos o negativos. Obtener la función de oferta a largo plazo. Supo-niendo que la función de demanda correspondiente es D = 2000 –100p determinar el precio de equilibrio, la cantidad total y el número de Empresas en esa industria. b) Dada la función de costos totales CT= 128 + 69X -14X² +X³; y el precio de mercado es 60 $. Hallar el nivel de producción que maxi-


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miza beneficios. Hallar el ingreso, costo total y beneficios en este nivel. Suponga que el ingreso permanece como IT = 60(X) pero la función de los costos totales cambia a CT = 10 + 5*X². Como difiere esta función de los costos totales de la presentada en la parte superior del gráfico (enfoque total). ¿Cuál es la producción maximizadora de beneficios y cual es este importe maximizante? (en unidad 6, tp32) 28) Empresa necesariamente sobredimensionada: algunas caracte-rísticas teóricas del modelo y de sus consecuencias prácticas (en archivos Excel, 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Micro-economía Eiras) 29) inventario óptimo, optimizando con una sola variable, siendo la necesidad anual de insumos Q=100; el costo del dinero t=$8; el flete unitario a=$60 y el precio del bien PQ=$3 ¿cuál será el número de pedidos y cuál el tamaño de ellos que hagan mínimo el costo del abastecimiento e inventarios? (casos resueltos en archivos Excel y.pdf, 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 30) VAN y TIR: somero ejemplo cuantificando ambos concepto con algunos pocos períodos anteriores y otros pocos posteriores (en archivos Excel y.pdf, en 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 30b) evaluación de proyectos inciertos: somero ejemplo suponiendo el criterio tradicional laplaciano o bayeriano, aclarando las conse-cuencias de invertir, no invertir, perder (en archivos Excel, 33 resú-menes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 31) Detalle sobre las diversas fuentes de financiamiento de la em-presa (en archivos Excel y en .pdf por unidad, en 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras)


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32) Equilibrio de la empresa empíricamente y comente sus limita-ciones o posibilidades (en archivos Excel y.pdf, en 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) UNIDAD 7:

33) Monopolio: puro y que actúa competitivamente; Siendo la fun-ción de Costo Total CT = 1/3X3 -5X2 +20X +50 ; y la demanda P = -4X +100 (en ar-chivos Excel y.pdf, en 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 34) Monopolio con un impuesto específico o ad-valoren, de tipo fijo, o sobre beneficios, o sobre ventas sobre el caso 33); (en archivos Excel, en TP u.pdf, en 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 35a) Monopolio discriminador si el caso 33) las demanda fueran P1 = -5X1 +80 y P2 = -20X2 +180 ; con X = X1 +X2 35b) Optimice un monopolio con dos plantas (multiplefactoría), cu-yos costos son: C1= 1/4X1

2 +10X1 +20 ; y C2= 1/3X22 +8X2 +18 ; y su

demanda competitiva es: P = 30X con X=X1 +X2 ; (en archivos Excel y.pdf, en 33 resúmenes y Microecono-

mía con Excel o Microeconomía Eiras; Diéguez y Porto etc. según el programa) 36) Carga impositiva en exportadores, ejemplo somero (en archivos Excel y.pdf, en 33 resúmenes y Microeconomía con Excel o Micro-economía Eiras) 37) Duopolio según Cournot: EJERCICIO: Teoría Microeconómica El modelo supone que hay dos empresas que producen un bien homogéneo. Sean las funciones de demanda y costo:


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P= 100 –5(x1 + x2) ; C1= 5 x1 ; C2= 0,5 x22

38a) Empresa lider y seguidora de Stackelberg, ssuponiendo P=100 –0,5(X+Y) ; Cx= 5x ; Cy= 0,5 y2 ; b) Modelos de Silos-Labini, Modigliani; modelo de demanda que-brada o apuntada; otros no enumerados anteriormente. c) Modelación para una empresa sobredimensionada que actúa competitivamente en países en desarrollo (en 7tp28 en zip y MCE). d) bienes públicos y bienes de uso común: propuestas o teoremas de Coase y de Tow (en zip y separatas o MCE, unidad 7 y 10). 39) Caracterización del antidumping (en archivos Excel, 33 resú-menes y Microeconomía con Excel o Microeconomía Eiras) 40a) Cartel (colusión). Suponiendo que las funciones de demanda y de costo vienen dadas por, P= 100 – 05(X + Y) ; Cx= 5x ; Cy= 0,5y2 ; b) Supongamos que las funciones de demanda y de costo vienen dadas por: P= 100 – 0,5 (x + y) ; C1= 0,3X2 ; C2= 20Y ; 41) Teoría de los juegos; JUEGO DE SUMA CERO CON DOS ADVERSARIOS – a) En todos estos casos resuelva y explique ampliamente sobre

las estrategias y cálculos de cada jugador: 8 40 20 5 10 30 -10 -8 (en Unidad7, tp 31; 33 clases.pdf o Microeconomiacon Excel.pdf) b) estrategias puras y mixtas: (en Unidad7, tp26 etc) Se ejemplifica este caso a través de una matriz de resultados que representa en


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sus filas, los 3 cursos de acción alternativos de la empresa A para ganar participación en el mercado; y en sus columnas los cursos de acción alternativos de la empresa B para ganar participación en el mercado. B1 …. B2 …. B3-Bonificacion

sobre precios B4 ….

A1- Afiches en vía pública

6 -3 15 -11

A2- …. 7 1 9 5

A3- …. -3 0 -5 8

b) juegos de suma No cero: Contrariamente a lo desarrolla-

do con anterioridad los juegos de suma distinta de cero son aquellos en los cuales los intereses de los jugadores no son completamente opuestos. (en unidad 7, tp 30 etc)

c) B1:Mantener el precio B2: Rebajar precio

A1: Mantener el precio normal

A= 20 B=20 A=12 B=32

A2: Rebajar el pre-cio

A= 32 B=12 A=14 B=14

d) dilema del prisionero. e) duopolio según Stackelberg (contexto hostil) 42) Análisis de dominancia, estrategia mixta del caso anterior (en unidad7, tp28) UNIDAD 8:

43) Contratación de factores en competencia. a) La producción de trigo depende de un solo factor, trabajo: Q = F (L) ; su precio es p=$4; el salario w y F los costos fijos). Su producto marginal es la primer derivada respecto a L, PMg= Q'L El beneficio es ingresos menos costos: B = I - C ; o sea, B = p Q - w L - F Cons-truya un breve cuadro con un ejemplo numérico de este situación


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según el modelo clásico competitivo…. (en unidad8, tp en .pdf, 33clases etc) b) Distribución según la función Cobb-Douglas (verlo en teoría de

la producción, TP 25 y en unidad 8) y explicitar aquí las consecuen-

cias de aplicar esta teoría o modelo.

44) Contratación de factores en monopsonio. Una sola empresa es productora de trigo y único demandante de un solo factor, traba-jo; la oferta del factor es en competencia (sin sindicatos). El mo-nopsonista no puede adquirir una cantidad ilimitada de insumo a un precio uniforme; el precio que debe pagar por cada unidad viene dado por el mercado de ese factor, con una función de oferta cre-ciente e independiente de la cantidad adquirida r = 263 + 43 X Se supone que también vende el trigo en un mercado competitivo, al precio $4; y su función de producción indica la cantidad producida como dependiente del factor contratado Q = F ( X ), supongamos Q = 27X2 - 0,4X3 (en unidad 8,tp 6 etc) b) Monopolio bilateral: Sean Q1= 270Q2 –2Q² ; X= 0.25X², las fun-ciones de producción del comprador y el vendedor respectivamente, correspondiente al monopolio bilateral. El precio de Q1 es 3$, y el de X es 6$. A- Determinar los valores de Q2, P2 y los beneficios del comprador y el vendedor correspondientes a las soluciones de mo-nopolio, monopsonio y cuasi- competencia. Determinar los límites de negociación para P2 bajo el supuesto de que el comprador no puede estar peor que cuando la solución es la del monopolio, y el vendedor que cuando es la del monopsonio. (en unidad 8, 33clases, etc.) UNIDAD 9: (enunciados sobre juegos aquí en unidad 8)

45) juego no cooperativos y cooperativos: enfoques, incluyendo pro-gramación Simplex y aplicaciones de Shapley o de Banzhaf (para casos de oligopolio, coaliciones, subastas) 46a) Teoría de la incertidumbre e industria de los seguros. Axio-mas de la lógica Neumann-Morguenstern. Explique sobre la utilidad


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esperada bajo contexto cierto y bajo incertidumbre tradicional (en TP unidad 9 y en 33clases y Microeconomía con Excel.pdf) 46b) evaluación de proyectos inciertos. EEnn ccuuaall aacccciióónn iinnvveerrttiirráá uunn

iinnvveerrssoorr ssii ccoommpprraa AAcccciioonneess AA PPuueeddee ggaannaarr $$442200,,0000 óó ppeerrddeerr

$$111100,,0000 ((ssiinn ttéérrmmiinnoo mmeeddiioo)).. SSii ccoommpprraa AAcccciioonneess BB ppuueeddee ggaannaarr

$$665500,,0000 óó ppeerrddeerr $$330000.. LLaass pprroobbaabbiilliiddaaddeess ddee ggaannaarr ccoonn AA yy BB ssoonn

iigguuaalleess PP==00,,55 yy nnoo ppuueeddee ddiivviiddiirr ssuu iinnvveerrssiióónn eennttrree aammbbaass.. cc)) CCuuááll

pprroobbaabbiilliiddaadd ddee ggaannaarr ddeebbeerráá tteenneerr ppaarraa eessttaarr iinnddeecciissoo eennttrree AA yy BB

UNIDAD 10:

47) Ley de Walrás y Ley de Say. Consecuencias para la empresa de las formulaciones sobre la identidad, la igualdad, teoría cuantita-tiva y la ecuación fundamental keynesiana (en separatas, en 33resumenes, TP en .pdf por unidad, 33clases o Microeconomía con Excel o según el programa oficial) 48) Caja de Edgeworth. Demuestre las consecuencias del traslado desde un punto ineficiente (intersección) a un punto eficiente (tan-gencia) y explique el criterio de distribución y si rol en las dos leyes del bienestar según Arrow y Debreu. (en separatas, 33resumenes, TP por unidad, 33clases o Microeconomía con Excel y/o en el pro-grama oficial) 49) a) Matriz Insumo-Producto. Determine la optimización de un grupo empresario o de un país con solo dos procesos y dos bienes, mediante el uso de matriz inversa y el producto de matrices. Cuanti-fique las repercusiones indirectas si los coeficientes son:

2 3 ; y las demandas finales son: 8000 1 4 10000 b) ¿Qué podría además obtener si supiera que ambos bienes dejan un beneficio unitarios de $3 y $5 respectivamente? (en sepa-


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ratas y archivos Excel y.pdf de la unidad 10; en 33resumenes, en Microeconomía con Excel.pdf y/o en el programa oficial). 50 a) Teorema de Coase y economía del bienestar; estado del mer-cado de bonos del carbono. Extensión en el modelo de Tow. (en separatas en el zip, 33resumenes, TP por unidad, y en el programa oficial unidad 7 y 10). b) Economía del bienestar y criterios de decisión: criterio de Hur-wicz (en criterios de valoración unidad 9 y 10 en MCE y separatas, en zip) 51) Criterio de distribución en competencia; criterios de valoración según la economía del bienestar y vinculación con las dos leyes del bienestar de Arrow y Debreu (coincidencias y/o críticas en separa-tas, 33resumenes, TP por unidad, Microeconomía con Excel y/o en el programa oficial) Nota:

Numerosos conceptos teóricos y otros temas breves del programa no están incluidos en estos 50 TP pero deben ser considerados; sin ellos no podrá comprender y completar el programa. EJERCICIOS PROPUESTOS: Esos son los enunciados (consignas) correspondientes a TP simila-

res a los 50 TP básicos del curso; los alumnos pueden consultar los textos usuales, para completar otros TP similares a los aproxima-damente 400 que hay ya resueltos en los sitios de este curso, para estos 50 tipos de TP (en realidad los enunciados no son imprescin-dibles y pueden obviarse, según se capte el conocimiento básico de la teoría de cada principio sobre estos 50 tipos de temas o pregun-tas. Como ayuda conceptual se orienta a continuación con un some-ro informe sobre cada uno.


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50 INFORMES PARA 50 TP (GUIA)

Los exámenes y los trabajo prácticos (TP) deben ser estructurados bajo su identificación, una breve introducción con los supuestos o lo que se va a informar, un largo desarrollo explicativo del análisis numérico u otros, una breve conclusión final con lo que se hizo y el cierre con las fuentes primarias y textos consultados (obviamente, no es estético incluir estas palabras como subtítulos de cada parte del Informe). Hay más adelante un largo listado de archivos en paginas web con ejercicios resueltos numéricamente, pero a todos les falta la revisión final y presentación como informe profesional. Se comentan a conti-nuación estos resúmenes pero solo como algunas ideas parciales, para ampliar o modificar según el contenido de cada tema. 1a) Sistema económico: Los países se organizan con instituciones y leyes. La ciencia explica esto recurriendo a ejemplos, metáforas o modelos como el de la mano invisible, el circuito sanguíneo, la maqueta hidráulica, el ten-tempié, el sistema solar, etc._ Históricamente hubo 3 sistema importantes: 1) el real (con propie-dad privada, estado que organiza y controla e invierte) 2) el modelo liberal, con librecambio, hedonismo, propiedad privada y mercados competitivos) desde 1776 (más efectivo que las 3 invasiones a Bue-nos Aires) 3) el socialismo (propiedad estatal y precios fijados por el gobierno) hasta el la Perestroika y derrumbe en 1990 de la URSS y apertura comercial en Shangai y resto de China._ Desaparecida la URSS se confirmó que la organización del sistema económico con instituciones del mercado libre y leyes basadas en el


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merado competitivo es óptima para coordinar las actividades y ma-ximizar el bienestar general._ Fuentes: 1b) Circuito económico: En las sociedades se intercambian continuamente bienes y servi-cios. Desde F. Quesnay en 1750 La ciencia lo explica con el mode-lo, ejemplo o metáfora del sistema sanguíneo. Empresas y familias (o más sectores, como el gobierno o el externo) tienen un doble circuito de prestaciones: servicios por salarios; bie-nes por sus precios, etc. en continua circulación de Producción -Distribución de ingresos - Consumo. J.B. Say suponía una identidad con pleno empleo permanente (fun-cionando la teoría cuantitativa de la moneda de J.S. Mill) pero luego de 1930 se reconoció que la igualdad de Walras explicaba que solo para determinado nivel de precios se cumplía la igualdad entre de-manda y oferta habiendo pleno empleo. J.M.Keynes explicó la crisis con las expectativas empresarias que concretaron su profecía auto realizadora del crack (y propuso la obra pública para reactivar: cavar y tapar zanjas) A través de precios y salarios circula la riqueza continuamente, con pleno empleo, salvo en las crisis, como el desempleo por expectati-vas de 1930 o la intervención oficial distorsionante del tipo de cam-bio argentino uno a uno en 1992. La estructura actual de la oferta y demanda global argentina es en miles de millones según Indec en 2011 la siguiente: (sitio web del INDEC; archivos sobre el PIB y la matriz insumo pro-ducto argentina en los sitios web del curso) 2)


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Agregación en mercados de bienes privados y públicos: Los precios surgen en los mercados por interacción de oferentes y demandantes La suma o agregación de todos los demandan y oferentes de bienes privados se modeliza por suma horizontal, utilizando funciones ex-plicitas (por que la variable independiente para cada uno es el precio que fija el mercado). En los bienes públicos, cuya disponibilidad no es reducida por los demás, la suma es vertical, con funciones implí-citas (ya que la variable independiente o asegurada es la cantidad disponible por el estado) El equilibrio surge por igualdad entre demanda y oferta agregada, con un precio y cantidad libremente determinados en los mercados competitivos. Fuentes: 3) Elasticidad precio, renta, cruzada y media o promedio: Para diversas comparaciones de variaciones de precios y cantida-des se necesita relacionarlas mediante cocientes incrementales. Se define cada coeficiente, calculando sus expresiones alternativas, para opinar sobre la demanda u oferta de un bien o factor puntual-mente, para calificar al bien de típico o atípico, normal o inferior, sustituto o complementario, etc La medición puntual permite calificar al bien o factor, pero en la em-presa para clasificar a los bienes se utiliza el promedio de unos 40 meses de tendencia uniforme: elasticidad media o promedio. Fuentes: 4) Teoría de los ingresos (y/o gasto) Bajo algunas circunstancias (como un vencimiento inminente) con-viene suponer costos nulos y maximizar ingresos


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Si se utilizan demandas lineales, se puede aplicar el máximo de una función de una variable -la doble pendiente del ingreso marginal vs. el medio; el concepto de recta por dos puntos; las relaciones entre elasticidad y precios altos o bajos y en general las relaciones que W: Baumol define como “ el X total, medio y marginal”- para graficar el desarrollo geométrico de los ingresos , que será útil para obtener conclusiones sobre sus máximos, elasticidades y las funciones so-bre datos aparentemente no suministrados. Con estos conceptos matemáticos y costos nulos se puede optimi-zar para el corto plazo maximizando ingresos en vez de los benefi-cios. Fuentes: 5) Estabilidad estática en el mercado: Luego de alteraciones un mercado puede o no volver por si solo a otro equilibrio estable. Walras y Marshall calculan la demanda excedente, y el excedente de precio demandado, negativos como muestra de estabilidad; pero sus teorías no coinciden cuando las demandas y ofertas no tienen la forma típica de la “tijera marshaliana”. Ambas teorías difieren en algunos casos por ser solo teorías, o me-ras interpretaciones de la realidad, la cual explican bien o no. Fuentes: 6) Impuestos que interfieren en el mercado: Se calcula el equilibrio de los mercados, sin y con impuestos, obser-vando quien los soporta mayormente y si lo afectan frenando o no las actividades.


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Los impuestos ad-valoren o específicos sobre ventas reducen la actividad del mercado; pero aquellos fijos o sobre beneficios no la reducirían. Fuentes: 7)Estabilidad dinámica o problema de la telaraña. Ante una baja de la demanda, o de una suba de costos en la oferta, se calcula en el nuevo punto la función de la demanda (u oferta) nueva utilizando el coeficiente de la recta por dos puntos; y final-mente con ella el nuevo equilibrio. Si en valor absoluto la oferta es mas inelástica que la demanda, las aproximaciones sucesivas conducirán a un nuevo equilibrio más rápida-mente. Fuentes: 8) Estimación de funciones: En la empresa se estiman funciones diversas, especialmente las de demanda, para pronosticar la actividad (y calcular luego la compra de insumos, la producción necesaria y proceder a la venta y expedi-ción). Estudios de mercado con encuesta, experimentos controlados (co-mo ofertas gratis para observar las preferencias) y sobre todos el método estadístico del ajuste según mínimos cuadrados son utiliza-dos paralelamente La estimación minimocuadrática es muy utilizada, ya que Excel cal-cula los coeficientes de la línea o función de ajuste, lineal, igual que con múltiples variables independiente; y en instantes presenta au-tomáticamente los coeficientes de significación, colinealidad y otros del ANOVA. Fuentes:


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9)Programación lineal, máximos, con método gráfico: Suponiendo 2 variables, restricciones lineales y recursos. Al dibujar las restricciones surge un área con una frontera de posibi-lidades de producción. Superponiendo las líneas de isobeneficio (de la función objetivo) se determinara el punto de contacto que optimi-zará la producción maximizando el beneficio. Pero el método grafico con 2 variables no permite trabajar efectiva-mente en la empresa y antes de existir PC se recurrió a las tablas Simplex (o a matemáticos hábiles con matrices para casos de pocas variables, 5 a 10) Fuentes: 10) Programación lineal, mínimos, con método gráfico: Suponiendo 2 variables, restricciones lineales y requerimiento míni-mos. Al dibujar las funciones de cada requerimiento surge un área alejada del origen con una frontera de costos mínimos. Superponiendo las líneas de isocostos (de la función objetivo) se determinará el punto de contacto, que optimizará minimizando el costo. Pero el método gráfico con 2 variables no permite trabajar efectiva-mente en la empresa; y antes de existir PC se recurrió a las tablas Simplex (o a matemáticos hábiles con matrices para casos de pocas variables, 5 a 10) Fuentes: 11) Programación lineal,”Simplex”, máximos. Mediante las tablas Simplex se puede optimizar manualmente utili-zando hasta unas 6 variables sin ser un experto matemático.


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Las tablas Simplex (de Dantzing y posteriores) se obtienen reiteran-do 10 operaciones elementales; incluyendo capacidades ociosas (variables de holgura) para el calculo inicial sin producciones reales. Excel agiliza el Simplex con su macro Solver en la opción maximi-zar, para hasta 16 variables y no solo dos como en el método gráfi-co que utilizaba la escuela clásica tradicional inglesa. Fuentes: 12) Programación lineal, mínimos: Mediante las tablas “Simplex” se puede optimizar manualmente utili-zando hasta unas 6 variables sin ser un experto matemático Las tablas Simplex (de Dantzing y posteriores) se obtienen reiteran-do con 10 operaciones elementales, incluyendo capacidad ociosa (o variables de holgura) y en este caso además otras variables artificia-les, para el cálculo inicial: suponiendo costos altos de M$ que des-aparecerán en los sucesivos cálculos de tablas. Asimismo, la idea de dualidad también permite transformar casos de mínimo en máximo, trasponiendo recursos en objetivos y filas en columnas. Pero Excel agiliza el Simplex con su macro Solver, en la opción mi-nimizar, para hasta 16 variables y no solo dos como en el método grafico que utilizaba la escuela clásica tradicional inglesa. Fuentes: 13) Programación lineal con Solver de Excel. Solver de Excel sigue la rutina del “Simplex”. Se escriben los datos del cuadro resumen en una hoja y se identifican esas celdas (con sus fórmulas correspondientes) ingresando a Herramientas> Sol-


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ver, en Función objetivo, en celdas cambiantes y en las opciones para ingresar las restricciones. Ejecutando, se obtiene la optimiza-ción y tres informes usuales orientadores (Excel incluye 6 ejemplos típicos en muestras.xls) Excel agiliza la programación lineal con su macro Solver eligiendo en la opción minimizar o maximizar, para hasta 16 variables y no solo dos como en el método grafico que utilizaba la escuela tradicio-nal inglesa. Fuentes: 14) Teoría de la demanda según la utilidad: Maximización de la utilidad. En el precio del mercado influye espe-cialmente la utilidad (decreciente) del consumidor. Definiendo la utilidad total y la marginal, se explica el concepto ma-temático de máximo relativo (según derivadas) a la demanda de un bien conforme a la utilidad marginal. Con dos bienes, la doble condición de la ley dos de Gossen (y Marshall), sobre la proporcionalidad del cociente placer sobre pre-cio en ambas compras y sobre agotar el gasto del presupuesto. El consumidor que terminó de estudiar el mercado, pasa así a ser de-mandante, comprador, en ese equilibrio. Este modelo sicológico-matemático neoclásico explicaba solo las necesidades primarias (con saturación). Posteriores desarrollos ma-temáticos (Friedman y otros) permitieron ampliar esta teoría a otras necesidades (con utilidad marginal constante y creciente, además de decreciente) Fuentes: 15)


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Teoría de la demanda según la utilidad: Minimización del gasto. En el precio del mercado influye especial-mente la utilidad (decreciente) del consumidor Calculada la relación de intercambio según los gustos y los precios del mercado, el problema de minimizar el gasto para esa u otro utili-dad dada, es reemplazar esa relación en la función de utilidad dada, para calcular las nuevas demandas; y luego reemplazar estas en la función de presupuesto para determinar ese monto de gasto. Este modelo sicológico-matemático explicaba solo las necesidades primarias (con saturación), también para minimizar el gasto de una utilidad dada. Posteriores desarrollos matemáticos (Friedman y otros) permitieron ampliar esta teoría a otras necesidades (con utili-dad marginal constante y creciente, además de decreciente) Fuentes: 16) Dualidad de todo acto económico: Toda maximización de utilidad implica un mínimo costo para alcanzarla. Utilizando los conceptos matemáticos de máximo y mínimo para dos variables y la doble condición de Gossen o Marshall, el modelo sico-lógico-matemático neoclásico explicaba la demanda según la utili-dad marginal y necesidades (inicialmente solo primarias, con satu-ración). Pero al ser un único acto económico, lo veían tanto para el problema primal de maximizar la utilidad y demandas como para su dual de minimizar el gasto de satisfacer esa utilidad dada u otra. Fuentes: 17) Función combinada de Lagrange para máximos: La elección entre 2 bienes sujeta a una restricción de presupuesto se resuelve como un sistemas con 3 variables (dos bienes reales y una variable adicional matemática landa).


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Friedman y la teoría de W.Pareto permitieron explicar la demanda con curvas de indiferencia infinitas para casos con utilidad marginal decreciente, constante y creciente (de las necesidades primarias, sociales y culturales). Usando el modelo geométrico, se igualaban las pendientes (TMS) de los gustos con la del presupuesto o precios relativos del merca-do. La función combinada de Lagrange requería dos pasos: igualar a cero las primeras derivadas parciales y luego ver que el Hessiano (segundas derivadas) fuera positivo, para garantizar un máximo de utilidad con esas demandas de bienes. Las condiciones de primer orden y segundo orden. Este modelo matemático alternativo al anterior de Marshall-Gossen, permitía calcular además la utilidad marginal del dinero en ese pre-supuesto (igual a la derivada de una tercera variable auxiliar inven-tada, landa). La utilidad marginal del dinero, representada aquí por este valor de landa, se demuestra por que coincide con el aumento de utilidad total al gastar un peso más en alguno de los dos bienes (frente a la utilidad total original). Fuentes: 18) Función combinada de Lagrange para mínimos: Dados los precios del mercado, sujetos a una restricción de una utilidad dada por consumir una determinada cantidad de bienes, es otro sistema de 3 variables. La teoría de W.Pareto explico con curvas de indiferencia infinitas la demanda con utilidad marginal también constante, creciente y de-creciente (de las necesidades sociales, culturales y primarias), usando el modelo geométrico, igualando las pendientes (TMS) de los gustos con las del presupuesto o precios relativos del mercado.


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Para el problema dual de minimizar el gasto de una utilidad dada partía de combinar la función de presupuesto con una restricción de un consumo (o producción) dado. La condición de primer orden (FOC-first order condition) es igualar a cero las primeras derivadas; la segunda (o SOC -second order con-dition) es que las segundas derivadas o Hessiano sea aquí positivo para garantizar que ese costo o gasto es mínimo. Este modelo matemático alternativo al anterior de Marshall, permitía calcular además la utilidad marginal del dinero en ese presupuesto (pero no aquí sino solo en el primal del máximo). Fuentes: 19) Deducción de la demanda teórica: M. Friedman demostró que la demanda hiperbólica explica la de-manda también con utilidad marginal constante y creciente. Partiendo de una función de utilidad, los precios y el presupuesto (nominales, sin especificarlos) se calcula el equilibrio, resultando siempre en una función de demanda implícita de tipo hiperbólico (solo la rama positiva interesa). La suma de los exponentes de la función de utilidad menor, igual o ma-yor que uno, indica si la utilidad marginal es decreciente, constante o creciente. Friedman usó la hiperbólica para superar la limitación de la utilidad de Marsall solo aplicable a necesidades primarias con utilidad marginal de creciente (y así precios decrecientes), debido a la saturación de aque-llas; pero no aplicable en las necesidades sociales o culturales. Fuentes: 20) Efecto renta y sustitución según Hicks:


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Hicks (1938, V. y Capital) demostró gráficamente (como Pareto) los efectos de la difícil ecuación de Slutzky. Al cambiar un precio la nueva recta de presupuesto mostraba el segundo equilibrio y las demandas. Con un supuesto subsidio surgiría una tercer RP tangente a la curva de indiferencia inicial, en un punto “S” distinto del equilibrio ”E” inicial. Sus coordenadas permiten seccionar la caída total de demanda de X en el efecto Renta (subsidio) y el resto o efecto susti-tución (o ley de la demanda); también calcular la demanda compensada (subsidiada) y la ordinaria (o total o final). _ Los gustos hacen que el nuevo equilibrio implique más, igual o me-nos del otro bien Y; y se los pueda calificar (a X y a Y) de sustitutos, independientes o complementarios, según el efecto sustitución neto sea positivo, nulo o negativo). Fuentes: 20b) Ecuación de Slutzky: En 1915 Slutzky prestó atención al efecto de la inflación sobre la demanda. _ Este matemático descompuso el efecto del cambio de un precio (denominador) sobre la cantidad estudiada (numerador), en dos términos, considerando en uno la utilidad marginal del dinero (el landa de Lagrange) y en el otro la cantidad gastada en el bien que cambió de precio. Así calculo la demanda compensada (subsidiada) con una y la total u ordinaria con ambos. Calculando los cuatro efectos por variación de ambos precios sobre ambos productos, la ecuación ilustra (al menos teóricamente) sobre las elasticidades (precio, renta y cruzada) para clasificar a los bie-nes. Sin embargo se desconoce como implementar esta ecuación en las empresas, en las cuales (por el contrario) Excel permite cal-cular en instantes las elasticidades media o promedio y posibilita


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clasificar a los bienes efectivamente. (la ecuación de Slutsky solo permite hacerlo hipotéticamente, bajo el ambiente de los supuestos teóricos que usa) Fuentes: 21) Elasticidad media o promedio: La medición puntual de las elasticidades es teórica y solo útil con-ceptualmente. La elasticidad media o promedio de unos 40 meses uniformes, es el producto de la pendiente (de esa recta de correlación precio-cantidad demandada) por el cociente suma de precios sobre suma de cantidades. Excel calcula esto en un instante graficando ambas series (y tildando en las opciones incluir la ecuación en el gráfico). Fuentes: 22) Índices de precios y de cantidades: Además del efecto renta y sustitución (Hicks o Slutsky) y la ecuación de Slutsky, la teoría de la demanda según la preferencia revelada utiliza los índices del INDEC para observar las reacciones de los consumidores ante cambios en los precios o cantidades. Los índices de gasto comparan la cantidad y los precios de la ca-nasta base con la actual. Laspayres observa los precios actuales de la canasta base. Paasche compara la canasta actual con los precios base. Los 12 índices usuales de precios y de gastos están en los archivos de Microeconomía con Excel (siguiendo a F. Toranzos). Mejora el nivel de vida cuando el índice de gasto es mayor que el de Laspayres y también es mayor que el de Paasche. Es indefinido si el índice de gasto esta entre ambos. Fuentes:


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23) Producción con un solo factor variable: Nuevamente usamos el modelo matemático-geométrico para teori-zar sobre la empresa. Se define y grafica el producto total, medio y marginal (siguiendo el “X” total, medio y marginal de W. Baumol). Cuando el total es máximo el marginal es nulo. En el punto de infle-xión del máximo esta el máximo marginal. La máxima tangente al producto máximo indica el máximo producto medio (y para el resto de los valores monetarios tendrá dos niveles de producción, según sendas ramas de la campana de Gauss ) La grafica del X total, medio y marginal utiliza el concepto de pen-diente /tangente trigonométrica del modelo geométrico junto con el matemático de máximos y mínimos de una función univariante, para determinar los puntos relevantes: etapas de rendimientos crecien-tes, decrecientes y negativos. Rendimientos crecientes hasta el máximo producto medio; decre-cientes desde ahí hasta el producto marginal nulo; negativos desde ahí. Fuentes: 24) Producción con dos factores variables: Las curvas de Pareto también se utilizan para la producción con dos insumos variables. La tangencia de (aquí) isocuantas e isocostos indica la optimización maximizando la producción de un bien con dos factores. Dada la técnica, los rendimientos de cada factor indicarán la remu-neración posible en una empresa para ambos factores al momento de distribuir los ingresos producidos. La contratación efectiva tam-


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bién dependerá de los precios del mercado, según la oferta y de-manda de ambos factores. Fuentes: 24b) Numerosos conceptos teóricos y extensiones del programa no tie-nen aquí TP individualizados pero son necesarios. Elecciones intertemporales; concepto del costo de búsqueda, etc.son otros punto teóricos suficientemente identificados en los sitios web y en la bibliografía. 25) Función de producción Cobb-Douglas La función lineal y homogénea (por ser de “un solo término” con dos variables y exponentes fraccionarios que suman uno), de Euler, in-dica rendimientos constantes. Los profesores Cobb y Douglas verificaron que servía para repre-sentar la distribución del ingreso entre trabajo y capital, tanto en EEUU en 1890-1920 como en Sudáfrica, Australia y otros. Si los rendimientos vienen dados por la suma de exponentes, estas funciones también sirven para representar la distribución de ingre-sos en las empresas. Fuentes: 26) Teoría de los costos: Se utiliza para costos el modelo matemático y geométrico del “ X” total, medio y marginal de W. Baumol. Los costos totales aumentan a partir del fijo inicial; los variables de-penden de la producción; el costo medio conforma la típica U del CMV; el marginal se ve como la pendiente de la línea del costo total, de modo que el costo marginal intersecta al CMV en su mínimo (ahí mínimo de explotación a corto plazo) , delimitando los costos decre-


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cientes y crecientes (o sus conceptos inversos, rendimientos cre-cientes y decrecientes) Si el CMV es mayor al precio indica los rendimientos negativos, completando las tres etapas de los costos o rendimientos. En el lar-go plazo se supone no existen costos fijos, de modo que el CMV coincide con el CM. El mínimo de este (el punto crítico del corto pla-zo) es el óptimo de explotación en el largo plazo. Fuentes: 27) Equilibrio de la empresa competitiva y cantidad de competidores en el mercado: Si el mercado competitivo tiene agentes atomizados, al identif icar el precio y la cantidad de uno puede deducirse el tamaño del mercado y número de firmas en esa industria. Solo perduran las empresas eficientes, operando en su mínimo CMV. Calculando el mínimo de esa función surge la cantidad ópti-ma y el valor de su CMV. Reemplazando este último en la demanda del mercado -como pre-cio uniforme- se obtiene la cantidad total operada. Dividiéndola por la cantidad del productor inicial se obtiene el número de firmas de esa industria. Si en competencia el precio es único (no hay discriminación) se ob-tienen los valores de la industria a partir de agente individual cono-cido. Fuentes: 28) Empresa sobredimensionada:


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Las funciones de costo total lineales tienen costos medios hiperbó-licos. El costo medio hiperbólico representa el caso en que nunca se llega al nivel del costo medio mínimo. Tal es el caso de las industrias bá-sicas que requieren grandes instalaciones, que superan la demanda doméstica de los países en desarrollo; y necesitan operar competiti-vamente exportan excedentes, según precios acortes a los menores costos medios de esos grandes volúmenes. Ese modelo se utilizó exitosamente en Argentina por SOMISA para demostrar competitividad y no discriminación monopólica, ante de-nuncias antidumping de gobiernos de EEUU por las exportaciones de dos barcos mensuales, con chapa de acero hacia ese país en los años 1980-1993. Fuentes: 29) Inventario optimo: La condición matemática de mínimo permite racionalizar el costo de mantener inventarios. Esos costos dependen del tamaño de los pedidos, del flete y del costo financiero de mantener existencias paralizadas. Se define la necesidad anual, el número de pedidos, del tamaño de cada despa-cho o pedido y el stock medio o promedio de un período. Es posible armar así una función de costos lineal en la variable des-pacho, cuyo mínimo matemático determinará el lote a adquirir con cada pedido (y la cantidad de estos). Esta tarea con la ecuación diferencial comentada racionaliza el aná-lisis frente a las aproximaciones sucesivas tradicionales de alguien no técnico. Sin embargo, la programación Simplex y especialmente Solver de Excel facilitan todavía más esta determinación racional.


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Fuentes: 30) Evaluación de proyectos. VAN y TIR: Es usual calcular el valor actual para evaluar proyectos. El valor actual pondera el capital por el interés, tanto en ingresos como en gastos. Al considerar ingresos y gastos surge el VAN o VNA (valor actual neto). Los valores viejos se actualizan multiplicando por (1+i)t (i de interés y t períodos); a los valores futuros se los divide por (1+i)t. Otros análisis complementan ese criterio de evaluación (como con-siderar los diferentes costos de los préstamos según sean los tama-ños de las empresas; la existencia o no de liquidez inicial; los posi-bles costos de explotación consecutivos; las reglamentaciones fisca-les; el valor residual; alternativas de compra o alquiler, por que pue-den considerarse ya sea como inversión o ya como gasto; los ries-gos de cada inversión; etc). Asimismo, en la evaluación de proyectos también se usan otros in-dicadores, además del VAN: la TRF (tasa rentabilidad financiera); PR (el periodo de repago); los árboles de decisión; varias medidas de rentabilidad; el criterio FODA (fortalezas, oportunidades, debili-dades, amenazas); la cruz de Porter (ver si es el único proveedor /ver si es el único cliente; ver si hay muchos proveedores / muchos clientes); etc. La TIR (tasa interna de retorno o discounted cash-flow) se calcula por tanteos, igualando el VA de los Ingresos al VA de los Egresos La tasa que permita igualar ambos conceptos es la TIR; si es acep-table para un inversor aportará sus recursos en vez de por ejemplo depositarlos en un banco a tasas menores. Excel calcula el VNA y la TIR con solo pintar el área de ingresos y egresos e indicar la función.


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Fuentes: 31) Evaluación de proyectos inciertos: Los empresarios pueden ser adversos o afectos al riesgo y asignar diferentes probabilidades de ocurrencia a los escenarios posibles de siniestro y no siniestro. Dada una función de utilidad se puede calcular el monto de un segu-ro o bien correr el eventual riesgo de un siniestro. Además, al com-parar los ingresos bajo contexto cierto (sin seguro) e incierto (con seguro) también se puede estimar por diferencia el valor posible por el seguro. El análisis de seguros implica así estimaciones valorando la aver-sión al riesgo de los clientes Fuentes: 31b) El financiamiento de la empresa: Las empresas pueden tener financiamiento o conseguirlo de los proveedores y otras fuentes. Bajo el peligroso enfoque monetarista y la actual globalización generalizada (que sobredimensionan este enfoque) interesa especialmente el financiamiento proveniente de los bonos y el proveniente de las acciones (ya sean comunes, prefe-rentes y convertibles, con sus características propias). Pero esta visión sobre el papel proveedor de recursos de las bolsas de valores conduce a desórdenes regulatorios y a crisis recurren-tes, que perjudican a todos y muy especialmente a los ahorristas menores. Fuentes: 32)


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Equilibrio de la empresa empíricamente: La modelización matemática permite optimizar precisando los ingre-sos y los costos Se pueden estimar funciones de demanda, de ingresos totales y de marginales. Igualmente funciones de costos lineales o parabólicas (según el tipo de empresa sea sobredimensionada o normal). Igualando ingresos y costos marginales es posible llegar al punto de equilibrio o de Cournot. Dado que las funciones surgen de listados de 40 ó más meses uni-formes, el Análisis de Excel y Solver facilitan determinar el nivel óptimo sobre bases empíricas. Esto no es así un concepto solo teó-rico, calculable únicamente con funciones conceptuales sin aplica-ción concreta. Fuentes: 33) Monopolio: El modelo teórico de un solo proveedor y demanda competitiva es estudiado bajo diversas actitudes. La optimización monopólica implica el criterio de Cournot (maximi-zando la función de beneficio (con la primer derivada nula y la se-gunda negativa, surge la cantidad, el precio y monto de cada varia-ble) Al graficar con enfoque total y por unidad, se observa que el monopolio restringe la cantidad y sube el precio frente al equilibrio en un mercado de competencia (mayor precio que ingreso marginal). Fuentes: Si fuera el caso de un monopolio con dos plantas (multifactoría),

la condición es calcular previamente el costo marginal conjunto (por suma horizontal) para luego continuar con la optimización; con ese


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nivel de equilibrio se ve cuanto producirá cada planta, con similares precios. 34) Monopolio con impuestos: El gobierno puede controlar a los monopolios con impuestos o favo-reciendo las importaciones para que le sean competitivas. El impuesto represente una suba de costos que limitara sus benefi-cios y puede afectar o no (según el tipo de impuesto) a la cantidad y precios de ese mercado. Los impuestos fijos o sobre a beneficios no alteran las condiciones del mercado (como aquellos que se aplican sobre ventas) y solo limitan los beneficios. Fuentes: 35) Monopolio discriminador: Si discrimina precios diferenciando mercados aumentará más sus beneficios. Cuando le es permitido fraccionar la demanda puede cobrar precios diferentes según la elasticidad de cada tramo de mercado (más caro en el tramo rígido), vendiendo la misma cantidad total que sin dis-criminar, pero con mayores beneficios que en su optimización pura sin diferenciar mercados. Su condición es igualar el ingreso marginal conjunto con el costo marginal y a ese nivel de pesos determinar la cantidad para cada mercado (y reemplazándola, su precio en cada uno) Existen diversos grados de discriminación y estos casos lesionan la competencia, según las normas domésticas y las de la OMC. Fuentes:


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36) Carga impositiva en los exportadores: Los exportadores no incluyen los impuestos en este precio, ya que también existen estos al ingreso en el país receptor. Localmente, la carga impositiva total incluye la imposición directa más la indirecta en cascada incorporada en los insumos y costos (sin incluir el IVA a los consumidores, ni lo no incorporado física-mente al producto en salarios y gastos financieros, según requiere la OMC). Se calcula la carga en los insumos nacionales, importados, impuestos directos, etc. (sin los gastos financieros ni la carga sala-rial que no admite la OMC) La carga impositiva suele ser del orden del 40% medida macroeco-nómicamente (participación del estado) y es natural pensar que toda empresa tiene una carga similar. Pero debe ser detallada para los casos de denuncias antidumping (o countervailing duty por subsi-dios) de otros países, y hay que justificar los escasos reintegros (reembolsos) a los exportadores, por que son usualmente vistos como subsidios en el exterior (con carga mucho mayor que reinte-gros). Fuentes: 37) Duopolio según Cournot: Solo dos oferentes, sin colusión, frente a una demanda competitiva en la cual la cantidad X es la suma de X1 + X2 para ambas firmas. Calculan cada uno así sus ingresos totales y sus beneficios. Al op-timizar separadamente, surge que cada uno actúa considerando su oferta como dependiente de la cantidad ofrecida por el otro (funcio-nes de reacción X1= f(X2) y viceversa X2= g(X1) que incluyen la cantidad del otro). Ninguno supone que el otro mantiene la cantidad fija sino que am-bos reaccionan ofreciendo según lo que produzca la otra empresa.


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Fuentes: 38) Empresa lider y seguidoras Una firma lider con varias seguidoras ante una demanda competiti-va. Cada uno estudia eligiendo actuar como lider o como seguidor y coloca la producción del oponente en su propia función de de bene-ficio y por tanto de oferta. El resultado de estos escenarios se compara con otros posibles, sin y con colusión, para determinar cual conducta le conviene más a la empresa(s). Fuentes: 39) Antidumping: La ley comercial, doméstica e internacional, se basa en el modelo de la competencia. Pero la competencia es difícil de practicar; y a menudo hay que defenderla ante las autoridades locales y/o de la OMC, con denun-cias por precio predatorio o por subsidios. Una denuncia documentada puede llegar a tener resultado positivo y obtenerse en un derecho antidumping o similar, si además se de-mostró que los montos originaron daños considerable (o amenazan con ello). Fuentes: 40) Cartel Si es posible la colusión los oligopolios optimizan conformando un cuasimonopolio. Para calcular la cantidad de cada uno se suma ho-rizontalmente el costo marginal conjunto (tal como en el caso multi-


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factoría). No se explica el reparto de los beneficios (pero sería razo-nable suponer que ambos pretendan más que lo que obtendría ac-tuando por su cuenta: repartirían solo el excedente sobre ello) Pueden fijarse políticas comunes de precios, de cuotas y /o de re-parto de beneficios, si fueran permitidas (controladas) por el go-bierno. Bajo colusión se obtendrían beneficios mayores a toda otra alterna-tiva de optimización de competencia imperfecta, ya que conforma-rían un monopolio. Se demuestra que los mayores beneficio surgen bajo monopolio (y aún mayores cuando puede discriminar precios o mercados) Fuentes: 41) Teoría de los juegos: En el contexto hostil del duopolio y en el de la incertidumbre y segu-ros se aplica la nueva lógica de Neumann-Morguenstern, que amplia el rigor del criterio matemático de verdad o falso al agregar la posi-bilidad de desconocido. En los juegos sin y con acuerdo se estudian las probabilidades de ocurrencia y ganancia, llegándose a un segundo mejor, realista o seguro, que es lo preferible a toda otra alternativa inalcanzable se-gún el oponente. Cada duopolista calcula sus posibilidades, asegurándose el mejor resultado posible entre aquellos que no interesan a su oponente. Para los casos en que no coinciden las estrategias J. Nash agregó al análisis de las estrategias mixtas, con y sin colusión; o en juegos reiterados según la dominancia, al igualar las probabilidades según cada juego que pueda hacer el otro.. 42) Análisis de dominancia:


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Sin colusión, puede convenir una estrategia mixta con sucesivos juegos al azar. En los juegos repetitivos se calcula la dominancia igualando las alternativas según que el oponente actúe con una u otra estrategia, para luego jugar al azar pero guardando esas pro-porciones como promedio. Se logra un óptimo segundo, o lo mejor posible, luego de igualar las probabilidades de cada acción, con igual premio para ambos duopolistas. Fuentes: 43) Contratación de factores en competencia: La asignación óptima sigue el criterio paretiano para determinar la remuneración según el valor de su producto marginal (salario = valor del producto marginal del trabajo) Al igualar la TMS y el cociente de los precios de factores Pareto calcula la producción óptima, de modo que la remuneración de los factores no puede superar al producto marginal de cada factor. De este modo la distribución de ingresos agota el producto genera-do. Fuentes: 44) Contratación de factores en monopsonio: Una única empresa demanda factores, que actúan competitivamen-te. Igualando el valor del producto marginal a la oferta del factor surge una remuneración posible y otra mayor del resultado monopsónico. La diferencia entre ambos valores es el margen monopsónico. Fuentes: 45) Teoría de la incertidumbre – seguros:


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La lógica N-M también es aplicable cuando no se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso. Según su aversión o afección al riesgo el agente pondera las con-tingencias, de ocurrir o no un suceso, para obtener la utilidad espe-rada de esa contingencia. El patrimonio efectivo o neto considera e incluye el costo del seguro contratado por la persona racional. Fuentes: 46) Evaluación de proyectos bajo contexto incierto Los empresarios pueden ser adversos o afectos al riesgo y asignar diferentes probabilidades de ocurrencia a los escenarios posibles de siniestro y no siniestro. Dada una función de utilidad se puede calcular el monto de un segu-ro o bien correr el eventual riesgo de un siniestro. Además, al comparar los ingresos bajo contexto cierto (sin seguro) e incierto (con seguro) también se puede estimar por diferencia el valor posible por el seguro. El análisis de seguros implica estimaciones valorando la aversión al riesgo de los clientes. Fuentes: 47) Ley de Walras y Ley de Say Las empresas dependen del nivel de actividad general, que no siempre esta en equilibrio. En 1803 J.B. Say creía en una igualdad entre la demanda y la ofer-ta, siempre con pleno empleo (excedente de demanda nulo). La teoría cuantitativa de la moneda de J.S. Mill en 1840, consideraba


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que si se emitía ello solo resultaría en inflación sin afectar al equili-brio de los mercados reales. J. M. Keynes explicó la gran crisis mundial de 1929, cuando las ex-pectativas/ desconfianza de los empresarios sobre una burbuja de la bolsa de Wall Street los llevó a retirar sus inversiones, catapultando una quiebra general mundial con desempleo. Recetó cavar y tapar zanjas para dinamizar la actividad con los salarios de esa obra pu-blica. Desde 1934, en vez de la identidad de Say , se prefiere utilizar la igualdad de Walras (Paris 1874), ya que solo para un determinado valor de precios la suma de ofertas se convierte en igual a la suma de demandas, pero con pleno empleo. Fuentes: 48) Caja de Edgeworth: Utilizó en 1885 curvas de indiferencia para demostrar las ventajas del intercambio entre dos países. W. Pareto completó analíticamen-te su criterio geométrico de óptimo. La intersección de dos curvas de los países era una combinación ineficiente, ya que era posible trasladarse por una u otra curva hacia una combinación eficiente (con punto de tangencia, no de intersec-ción), que representaba una mejora para uno o para el otro de los países. Como no explicaba cual de ambos debía mejorar surgieron otros criterios de bienestar, como los de Kaldor, Tibor de Scitowky y Berg-son. Fuentes: 49) Matriz Insumo-Producto para miles de variables


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El álgebra de matrices incluye solo media docena de reglas y permi-tía resolver manualmente sistemas con más de tres variables pero pocas más (no había así publicados sistemas de 5 variables) La matriz inversa por el vector de demandas finales da como resul-tado el valor de las transacciones directas e indirectas de una eco-nomía o grupo empresario microeconómico. El algebra de matrices se aplicó exitosamente a la macroeconomía de los países, basándose en datos de los censos económicos. En Argentina se escondieron o no se publicaron estos datos, apare-ciendo recién en 2003 una matriz I-P suficientemente desagregada, no obstante los censos que se efectúan cada 10 años. Excel permite calcular en instantes miles de variables con la matriz inversa (=minversa( ) ) y las multiplicaciones (con =mmult( ) ); basta pintar el cuadro de los datos, seleccionar estas funciones y aplicar-las con Cntrl+Shift+Enter a todo otro rango similar pintado. Fuentes: 50) Teorema de Coase: El Estado puede dictar leyes pasivas y leyes activas (las que obligan a no hacer y a hacer) Repartiendo unos derechos iniciales a contaminar por un determi-nado nivel (limitado), puede surgir un mercado de esos derechos, para equilibrar las empresas deficitarias en polución con las sobran-tes y lograr simultáneamente combatir la polución o carbono. Este aspecto del comportamiento bajo el criterio de las “ESR” no fue logrado; el acuerdo de Kyoto no fue cumplido por EEUU, demo-rándose hasta hoy la implementación del proyecto antipolución. Fuentes: 51)


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Criterio de distribución en competencia Igualando las TMS en el equilibrio paretiano de la empresa, o bien en la Caja de Edgeworth, se determinan las combinaciones eficien-tes para demostrar que uno mejora y nadie empeora. Pero pueden hacer falta otros criterios de bienestar para determinar quien mejora o quien empeora, o que ambos mejoren, como algunos criterios que estudia la economía del bienestar. Fuentes: PD:

7 TP OBLIGATORIOS EN EXCEL

El curso requiere la práctica obligatoria de al menos cinco temas en Excel: elasticidad media o promedio; estimación de funciones por correlación múltiple incluyendo el “anova”; programación “Simplex” con Solver; VAN y TIR; resolución de sistemas o matrices NxN; teo-ría de los juegos con Simplex y un caso 2x2 con 6 métodos equiva-lentes. Los métodos que son practicados en el curso conviene sean presentados por el alumno con otro enunciado similar, llegando en ellos a similares resultados (en este caso 2x2 como el ex-puesto aquí en el punto programación con seis métodos equi-valentes (cap. 7). Asimismo, otros temas teóricos figuran en el programa y quizás no implican utilizar ecuaciones para modelizarlos, pero son igualmente necesarios. Por ejemplo los dos axiomas de la teoría del bienestar; otros criterios de bienestar; empresa socialmente responsable (ESR); teorema de Coase, juegos de subastas /licitaciones, etc.


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LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS

En los sitios de la FCE–UBA y en otras paginas web, como www.microconexcel.com.ar , www.microeconomíaconexcel.com , etc. figuran numerosos archivos, con práctica analítica y otros enfo-ques. Son ejercicios de alumnos resueltos numéricamente, pero sin concluir con el correspondiente informe profesional y una revisión metódica preventiva. Hay allí además muchos otros TP, con resolu-ción de sistemas con miles de variables en Excel, simulaciones di-námicas, etc (en todos los casos comienzan el título con la Unidad seguido del número de TP y una palabra clave). 1 33 Resúmenes De 33 Clases 1 50 Informes sobre los 50 Tp 1 50 TP resueltos Cronograma 1 Bibliografía 1 Código Hammurabi Sistema económico real hace 4000 años 1 Conceptos Introductorios Relevantes 1 Guía Inicial 1 Orientación Inicial 1 Orientación Y Cronograma Distancia 1 Tp 1 (circuito Económico) 1 Tp 1 (sistema Económico) 1 Tutor 1 Tutoría 1 Utopía de T. Moro -Sistemas Económicos 1 Visión 1 Y 2 Tutorías Distancia 2 Agregación Bienes Privados Y Públicos 2 Agregación Demandas Y Ofertas 2 Demofe 2 Elasticidades Puntual Y Media 2 Gráficos Total Medio Marginal

http://www.microconexcel.com.ar/

http://www.microeconomíaconexcel.com/


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2 Ingreso 2 Ingresos 2 Oferta Y Demanda 2 Prácticos Analíticos 2 Tp 2 Agregación 2 Tp 2 Bienes Privados 2 Tp 2 Bienes Privados Y Públicos 2 Tp 2 Suma Horizontal 2 Tp 3 Elasticidad 2 Tp 3 Elasticidad 2 Tp 3 Elasticidad Cigarrillos

2 Tp 3 Y 21 Elasticidad Media o Promedio

2 Tp 4 (teoría De Los Ingresos-gastos) 2 Tp 4 Ingreso Marginal 2 Tp 4 Ingresos 2 Tp 4 teoría De Los Ingresos 2 Tp 8 teoría Ingresos O Gasto 2 Tp Suma Horizontal Bienes Privados 3 El Mercad Competitivo U.3 3 Estabil 3 Micro Con Excel 3 Tp 12 Simplex Dieta 3 Tp 5 (estabilidad Estática) 3 Tp 5 Estabilidad Del Mercado 3 Tp 5 Estabilidad Mercado 3 Tp 5 Estabilidad Walras Y Marshall 3 Tp 6 Efecto De Impuestos 3 Tp 6 Impuestos 3 Tp 7 Modelo Telarana 3 Tp 7 Modelos Telaraña Con Ajustes 3 Tp 7 Modelos Telaraña Con Ajustes2 3 Tp 8 Demanda Caso Industrias 1999 3 Tp 8 Detalle Datos Mercado A 3 Tp 8 Detalle Datos Mercado B 3 Tp 8 Detalle Datos Mercado C


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3 Tp 8 Detalle Datos Mercado D

3 Tp 8 Estimación Demanda Helados Con Anova

3 Tp 8 Estimación Demanda Helados Correlac Múltiple 3 Tp 8 Estimación Demanda Y Análisis De Coyuntura 3 Tp 8 Estimación Función Demanda Discos Freno 3 Tp 8 Estimacion Funciones Demanda Cocinas 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto 11 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto1 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto10 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto2 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto3 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto4 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto5 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto6 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto7 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto8 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto9 3 Tp 8 Nomenclador Internacional De Productos 3 anova 4 Archivos Paginas Micro Con Excel 4 Modela 4 Solver 4 Tabla0 Simplex 4 Tp 10 Minimizacin Lineal método Grafico 4 Tp 10 Minimizacion Y Simplex 4 Tp 11 (simplex) 4 Tp 11 Inversiones Con Solver 4 Tp 11 Maximizacion Simples Caso Zonda 4 Tp 11 Muestras De Excel Para Transportes y otros Simplex 4 Tp 11 Simplex 4 Tp 11 Simplex Con Solver De Excel 4 Tp 11 Simplex Con Solver De Productora 4 Tp 11 Simplex Con Solver Dulces 4 Tp 11 Simplex Con Solver Lenceria

4 TP 11 Simplex con Solver paso a paso


822

4 Tp 11 Simplex Con Solver Peras 4 Tp 11 Simplex Fabrica Remeras 4 Tp 11 Simplex Gualeguaychu 4 Tp 11 Simplex Solver Duraznos 4 Tp 11 Simplex Solver Motos 4 Tp 11 Simplex Textil 4 Tp 11 Simplex Trigo Centeno 4 Tp 11 Simplex Y Solver Lagrange Y Matrices 4 Tp 11 Tablas Simplex Programac Lineal 4 Tp 11 Tablas Simplex Programación Lineal 4 Tp 12 Simplex Camperas 4 Tp 12 Simplex Con Solver Dietas 4 Tp 12 Simplex Con Solver Imprenta 4 Tp 13 Minimizar Costo Dieta 4 Tp 13 Programación Con Solver-remeras 4 Tp 13 Simplex Solver Sensibilidad 4 Tp 9 método Grafico Programación Lineal 4 Tp 9 Prog Lineal método Grafico 4 Tp 9 Y 10 Programación Lineal-método Grafico 4 Tutoría Simplex Programación Lineal Solver 5 Graficos Total Medio Marginal 5 Hicks Efecto Renta 5 Slutzky E Inclusión Del Tiempo 5 Tp 14 (maximización De La Utilidad) 5 Tp 14 (minimización Del Gasto T.utilidad) 5 Tp 14 Tres Teorías De La Demanda Y El Sistema económico 5 Tp 14 Utilidad Cardinal 5 Tp 15 Curvas Indiferencia Pareto 5 Tp 16 Y 18 Lagrange Dual Y Teorias 5 Tp 17 Lagrange 5 Tp 17 Lagrange Max Y Tp18 Minimiza 5 Tp 19 Demanda Teorica 5 Tp 20 Ecuac Slutzky 5 Tp 20 Ecuacion Slutzky 5 Tp 20 Efecto Renta Y Sustitucion De Hicks


823

5 Tp 22 12indices De Toranzos 50 Informes De 50 Tp 50 Tp Micro1 Octub 2007 6 Dumping 6 Juegos 6 Produc 6 Producion 6 teoría Juegos Estrategias Mixtas 6 Tp 23 Y 24 Producción 6 Tp 23 Y teoría Producción Y Costos 6 Tp 24 Maximizacion Con Operadores De Lagrange 6 Tp 25 Euler Y Cobb Douglaseulercob 6 Tp 26 Costos 6 Tp 26 Costos A Corto Plazo 6 Tp 26 Costos Con Excel 6 Tp 26 Costos Unitarios 6 Tp 26 Punto Muerto 6 Tp 27 (cantidad De Competidores) 6 Tp 27 Cantidad De Emrpesas 6 Tp 27 Cantidad De Firmas En Competencia 6 Tp 28 Sobredimensionada 6 Tp 29 (inventario Optimo) 6 Tp 29 Inventario Optimo Stocks 6 Tp 30 Evaluacion Estados Financieros 6 Tp 30 Tir Segun Excel

6 tp 30 TIR y VAN Teresa Eiras

6 Tp 30 Van Y Tir Etileno 6 Tp 32 Equilibrio Empirico 6 Tp 33 ( Monopolio ) 6 Tp 33 Monopolio 6 Tutoría 6 Y 8 Tp 31 Y 46 Evaluacion Proyecto Incierto 6 Tp Sistemas NxN

6 TP sistemas NxN ABRA

6_6 Métodos equivalentes


824

6 Metodos equivalentes 7 Carga Impositiva 7 Compett 7 Medio Ambiente 7 Monopolio 7 Monopolios 7 Oligopo 7 Teorema De Coase 7 Tp 28 Empresa Sobredimensionada Y Antidumping 7 Tp 28 Y 39 Competencia Y Antidumping 7 Tp 32 Equilibrio Empresa Con Series Empiricas 7 Tp 34 (monopolio Con Impuestos) 7 Tp 34 Efecto De Los Impuestos 7 Tp 34 Impuestos En Monopolio 7 Tp 35 Discriminación 7 Tp 35 Discriminacion De Precios O Mercados 7 Tp 35 Discriminacion Mercados 7 Tp 36 Carga Impositiva 7 Tp 36 Cargaimpositiva 7 Tp 37 (duopolio Segun Cournot) 7 Tp 37 A 40 Oligopolio 7 Tp 37 duopolio de Cournot 7 Tp 37 Listas De Extras Sin Discriminacion En Antidumping 7 Tp 37 Y 38 Duopolio De Cournot Etc 7 Tp 38 Estacion Vivitos 7 Tp 38 Lider Y Seguidora De Stackelgerg 7 Tp 38 Vivitos Rapidito Lentito 7 Tp 39 (antidumping) 7 Tp 39 Dumping Y Gatt 7 Tp 39 Proceso De Dumping 7 Tp 40 Cartel 7 Tp 40 Stackelberg Y Otros 7 Tp 41 Dilema Del Prisionero 7 Tp 41 Juegos Duoplio Supermercados 7 Tp 41 Juegos Duopolio


825

7 Tp 41 Juegos Radio Tv 7 Tp 41 teoría De Los Juegos E Incertidumbre 7 Tp 41 Y 42 teoría De Los Juegos Y Dominancia 7 Tp 41,45 Y46 Juegos-incertidumbre 7 Tp 42 (juegos Dominancia) 7 Tp 42 Dominancia En Juegos 7 Tp32 Equilibrio Con Funciones Empiricas 7 Vivitos, Rapidito Y Lentito 8 A 10 Tp 43 Y 44 teoría Distribucion 8 A 10 Tp 47 A 51 Caja De Edgewourt 8 Distribucion 8 Equilibrio General 8 o 10 Tp 47 Equilibrio General 8 o 10 Tp 51 Excedente Consumidor 8 o 9 Tp 45 Seguros E Incertidumbre 8 o 9 Tp 45 Seguros Incertidumbre 8 o 10 Criterios De Bienestar Y Valoración 8 Tp 47 Equilibrio General 8 Tp 49 Matriz Inversa 8 Tp 49 Matriz I-p Acero Autos 8 Tp 49 Sistemas Ecuaciones Y Matrices 8 Tp 50 Teorema Coase 8 Tp 51 Bergson Perdida Social 8 Tp 51 Excedentes Y Bienestar 9 Incertumbre 10 Bienestar Zip con versiones anteriores: Zip1 Programa y TP Micro1 Zip2 Prácticos Analíticos Zip3 Micro Con Excel 2012 <<< Zip4 Archivos Paginas Micro conExcel<<< Zip5 Otros Archivos Excel Zip6 Acrobat Reader Para Leer el Libro Zip7 Con varios Programas


826

Los 5 recuadrados son los 5 TP obligatorios en Excel

ayuda para alumnos u otros 24 horas 365 días en: [email protected] cursos Distancia correo por el sitio Distancia Todos y el libro son libres ( 0 $ )

mailto:[email protected]


827

COMPARACIONES DE SOFT

Las tablas siguientes comparan la información general y técnica para un análisis estadístico de los principales paquetes. Los autores incluyen tamben una gran cuadro con la comparación integral por rubro (ver abajo su dirección). Unos paquetes de este soft son gra-tis, otros tienen un alto costo, pero en muchos casos se pueden ba-jar de sus paginas web versiones de prueba “trial” por 30 días sin costo. Información general:

Información básica sobre cada producto (producto, licencia, interfaz utilizador etc). Nota del precio [1] indica que el precio era precios altos promocionales (así que más elevados puede aplicarse a las compras actuales), y nota [2] indica eso más bajo tasación de pene-tración se ofrece a los compradores académicos (e.g. las ediciones del give-away de algunos productos se lían con algunos libros de textos del estudiante en estadística).

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Statistics

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Statistics


828

Producto Productor

La fecha más

última de la

versión

Coste

(USD) fuente

Licencia

del soft-

ware

In-

ter-

faz

AcaStat Acastat $29 No Propietario GUI

ADaMSoft Marco

Scarno 24-ene-08 Libre Sí GNU GLP CLI/GUI

Analizar-él Analizar-él $185-495 No Propietario GUI

ASReml VSN inter-

nacional

Febrero de

2007 >$150 No Propietario CLI/GUI

BioStat AnalystSoft

8 de enero,

2007 $100[1][2] No Propietario GUI

BrightStat Daniel

Stricker

22 de febrero,

2008 Libre No Propietario GUI

Dataplot Alan

Heckert

Marzo de

2005 Libre Sí

Public do-

main CLI/GUI

EasyReg Herman J.

Bierens

Libre[3] /

No Propietario GUI $300

Epi Info

Centros

para el

control y la

prevención de la en-

fermedad

8 de noviem-

bre, 2007 Libre No Propietario CLI/GUI

EViews Software

micro cuan-

titativo

Marzo de

2007 No Propietario CLI/GUI

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/United_States_dollar


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Open_source

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Software_license



http://www.acastat.com/

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Proprietary_software

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Graphical_user_interface

http://adamsoft.caspur.it/

http://adamsoft.caspur.it/

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/GNU_General_Public_License

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Analyse-it

http://www.analyse-it.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/ASReml

http://www.vsni.co.uk/products/asreml/



http://www.analystsoft.com/



http://www.brightstat.com/

http://www.brightstat.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Dataplot



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Public_domain

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Public_domain

http://econ.la.psu.edu/~hbierens/EASYREG.HTM

http://econ.la.psu.edu/~hbierens/EASYREG.HTM

../Documents%20and%20Settings/Usuario/DBASE/soft%20paquetes%20estadistico.xls#RANGE!cite_note-Noncommercial-2



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Epi_Info

http://www.cdc.gov/epiinfo







http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/EViews

http://www.eviews.com/





829

GAUSS Sistema de

Aptech 2006 No Propietario CLI

GenStat VSN inter-

nacional Julio de 2006 >$190 No Propietario CLI/GUI

Hélice de

oro Hélice de

oro

Marzo de


gretl El equipo

del gretl

21 de marzo,

2008 Libre Sí GNU GLP CLI/GUI

JMP Instituto del

SAS

1 de noviem-

bre, 2005 $1190 No Propietario GUI/CLI

MacAnova Gary W.

Oehlert y

Christopher

Bingham

29 de agosto,

2005 Libre Sí GNU GLP GUI

Mathemati-

ca Investiga-

ción del

volframio

25 de febrero,

2008 $1880 No Propietario CLI/GUI

MedCalc Schoonjans

franco

22 de abril,

2008 $395 No Propietario GUI

modelQED [marke-

tingqed]

15 de junio,

2007 No Propietario GUI

Minitab Minitab Inc.

10 de enero,

2007 $1195[2] No Propietario CLI/GUI

MRDCL [1]

4 de enero,

2008 $4000[2] No Propietario CLI/GUI

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/GAUSS_(software)

http://www.aptech.com/

http://www.aptech.com/


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Command_line_interface

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/GenStat

http://www.vsni.co.uk/products/genstat/

http://www.vsni.co.uk/products/genstat/


http://www.goldenhelix.com/

http://www.goldenhelix.com/


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/gretl

http://gretl.sourceforge.net/

http://gretl.sourceforge.net/


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/JMP_(statistical_software)

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/SAS_Institute



http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html






http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Mathematica


http://www.wolfram.com/




http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/MedCalc

http://www.medcalc.be/

http://www.medcalc.be/



http://www.marketingqed.com/products/modelqed.html

http://www.marketingqed.com/products/modelqed.html



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Minitab

http://www.minitab.com/

../Documents%20and%20Settings/Usuario/DBASE/soft%20paquetes%20estadistico.xls#RANGE!cite_note-note2-1


http://www.mrdcsoftware.com/




830

NCSS Software estadístico

de NCSS >$399 No Propietario GUI

OpenEpi A. Decano,

K. Sullivan,

M. Soe

Diciembre de


Origen OriginLab $699 No Propietario GUI

Lenguaje de

programa-

ción del

buey

OxMetrics, J.A. Door-

nik

Octubre de

2007

Libere

para el uso aca-

démico No Propietario CLI

OxMetrics

OxMetrics,

J.A. Door-

nik

Octubre de

2007

$500-


Origen OriginLab $699 No Propietario GUI

Partek Partek Junio de 2007 No Propietario GUI

Cartilla Cartilla-e

Febrero de

2007

$500-

$1000 No Propietario GUI

PSPP Pspp

3 de agosto,

2005 Libre Sí GNU GLP CLI

R Fundación

de R

8 de febrero,

2008 Libre Sí GNU GLP CLI

Coman-

dante de

R[4]

Zorro de

Juan

1 de agosto,

2006 Libre Sí GNU GLP CLI/GUI

RATAS Estima

1 de octubre,


RKWard[4]

Comunidad

de RKWard

15 de febrero,


http://www.ncss.com/





http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/OpenEpi

http://www.openepi.com/





http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Origin_(software)

http://www.originlab.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Ox_programming_language




http://www.doornik.com/




http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/CLI

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/OxMetrics

http://www.oxmetrics.net/






http://www.originlab.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Partek

http://www.partek.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Primer

http://www.primer-e.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/PSPP

http://sv.gnu.org/projects/pspp



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/R_(programming_language)

http://www.r-project.org/

http://www.r-project.org/



http://socserv.mcmaster.ca/jfox/Misc/Rcmdr/

http://socserv.mcmaster.ca/jfox/Misc/Rcmdr/


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Regression_Analysis_of_Time_Series

http://www.estima.com/


http://rkward.sourceforge.net/

http://rkward.sourceforge.net/




831

SalStat Alan James

Salmoni

Febrero de


SAS Instituto del

SAS

Marzo de


SOCR

UCLA

30 de no-

viembre,


Stata Statacorp Junio de 2007 $129 No Propietario CLI/GUI

Statgraphics StatPoint Junio de 2005

$695 -

$1295 No Propietario GUI STATIS-

TICA StatSoft >$695 No Propietario GUI

StatIt StatIt >$395 No Propietario GUI

StatPlus AnalystSoft

7 de enero,

2007 $150[1][2] No Propietario GUI

SPlus Insightful

Inc. 2005 No Propietario CLI

SPSS SPSS Inc. 2007 $1599[2] No Propietario GUI

StatsDirect StatsDirect $179 No Propietario GUI

Statistix Statistix $695 No Propietario GUI

SYSTAT Systat

Software

Inc.

21 de febrero,


UNISTAT

Unistat Ltd

15 de marzo,

2005

$895,

$495,

$300 No Propietario GUI, Excel

VisualStat El computar de VisualS-

tat $195 No Propietario GUI

Winpepi J. H. Abra-

mson Sep de 2007 Libre No Propietario GUI

http://salstat.sourceforge.net/index.php?index

http://salstat.sourceforge.net/index.php?index



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/SAS_System




http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Statistics_Online_Computational_Resource

http://www.socr.ucla.edu/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Stata

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/StataCorp


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Statgraphics

http://www.statgraphics.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/STATISTICA


http://www.statsoft.com/



http://www.statit.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/StatPlus

http://www.analystsoft.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/S-PLUS

http://www.insightful.com/products/splus/default.asp

http://www.insightful.com/products/splus/default.asp



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/SPSS

http://www.spss.com/




http://www.statsdirect.com/



http://www.statistix.com/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/SYSTAT

http://www.systat.com/products/Systat/




http://www.unistat.com/


http://www.visualstat.com/





http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Winpepi




832

XLStat El computar

de Kovach $395[2] No Propietario Excel

XploRe MD*Tech 2006 No Propietario GUI

Producto Producto

La fecha más

última de la

versión

Coste

(USD)

Abra la

fuen-

te

Licencia del

software Interfaz

http://www.kovcomp.co.uk/

http://www.kovcomp.co.uk/



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Microsoft_Excel

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/XploRe

http://www.mdtech.de/












833

Ayuda del sistema operativo

Producto Windows OS del Mac Linux DEB Unix

ADaMSoft Sí Sí Sí Sí Sí

MacAnova Sí Sí Sí Sí Sí

Dataplot Sí Sí Sí Sí Sí

SalStat Sí Sí Sí Sí Sí

Cartilla Sí No No No No

AcaStat Sí No No No No

Analizar-él Sí No No No No

BioStat Sí No No No No

BrightStat Sí Sí Sí No Sí

EasyReg Sí No No No No

Epi Info Sí No No No No

EViews Sí

Terminado

(1.1) No No No

GAUSS Sí Sí Sí No Sí

Hélice de oro Sí Sí Sí No Sí

gretl Sí Sí Sí No No

JMP Sí Sí Sí No Sí

Mathematica Sí Sí Sí No Sí

MedCalc Sí No No No No

modelQED Sí No No No No

Minitab Sí Terminado No No No

NCSS Sí No No No No

Origen Sí No No No No

OpenEpi Sí Sí Sí Sí Sí

Partek Sí No Sí No No

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Microsoft_Windows

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Mac_OS

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Linux

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Berkeley_Software_Distribution

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Unix

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Dataplot

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Primer






http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/JMP






834

PSPP Sí Sí Sí Sí Sí

R Sí Sí Sí Sí Sí

Comandante de

R Sí[5] Sí[5] Sí[5] Sí[5] Sí

RATAS Sí Sí Sí No Sí

RKWard No No Sí No Sí

SAS Sí Terminado Sí No Sí

AcaStat Sí Sí Sí Sí Sí

SOCR Sí Sí Sí Sí Sí

Stata Sí Sí Sí No Sí

Statgraphics Sí No No No No

STATISTICA Sí No No No No

StatIt Sí No No No No

StatPlus Sí Sí No No No

SPlus Sí No Sí No Sí

SPSS Sí Sí Sí No No

StatsDirect Sí No No No No

Statistix Sí No No No No

SYSTAT Sí No No No No

UNISTAT Sí No No No No

VisualStat Sí No No No No

Winpepi Sí No No No No

XLStat Sí Sí No No No

XploRe Sí No Sí No Sí

Producto Windows OS del Mac Linux DEB Unix

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/PSPP


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/R_Commander


../Documents%20and%20Settings/Usuario/DBASE/soft%20paquetes%20estadistico.xls#RANGE!cite_note-UsingR-4





http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/RKWard











http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/XploRe

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Microsoft_Windows

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Mac_OS

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Linux

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Berkeley_Software_Distribution

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Unix


835

Ayuda para varios métodos ANOVA

Producto Unidi-

reccional

De dos

vías

MA-

NOVA GLM

prue-

bas

Poste-

hoc

Análisis

de los

cua-

drados

latinos

AcaStat No No No No No No

ADaMSoft No No No No No No

Analizar-él Sí Sí No No Sí No

BioStat Sí Sí Sí Sí Sí No

BrightStat Sí Sí No No Sí No

EasyReg No No No No No No

Epi Info Sí Sí No No No No

EViews Sí

GAUSS No No No No No

Hélice de oro Sí Sí

gretl

Mathematica Sí Sí Sí Sí Sí No

MedCalc Sí Sí No No Sí No

Minitab Sí Sí Sí Sí Sí Sí

NCSS Sí Sí Sí Sí Sí Sí

OpenEpi Sí No No No No No

Origen Sí Sí No No No No

Partek Sí Sí Sí Sí Sí Sí


Comandante de

R Sí Sí Sí

SAS Sí Sí Sí Sí Sí

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Analysis_of_variance

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/MANOVA


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/General_linear_model















836

SOCR Sí Sí No No No No

Stata Sí Sí Sí Sí

Statgraphics Sí Sí Sí Sí Sí Sí

STATISTICA Sí Sí Sí Sí Sí Sí

StatIt Sí Sí Sí Sí Sí No

StatPlus Sí Sí Sí Sí Sí Sí

SPlus Sí Sí Sí Sí Sí Sí

SPSS Sí Sí Sí Sí Sí Sí

StatsDirect Sí Sí No No Sí Sí

Statistix Sí Sí Sí Sí Sí Sí

SYSTAT Sí Sí Sí Sí Sí Sí

UNISTAT Sí Sí No Sí Sí Sí

VisualStat Sí Sí Sí No Sí No

Winpepi No No No No No No

XLStat Sí Sí Sí No Sí No

Producto Unidi-

reccional

De dos

vías

MA-

NOVA GLM

prue-

bas

Poste-

hoc

Análisis

de los

cua-

drados

latinos












http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/General_linear_model


837

REGRESION - Ayuda para varios métodos de regresión:

AcaStat

ADaMSoft Sí No No Sí Sí No No No

Analizar-él Sí

BioStat

BrightStat Sí Sí Sí

EasyReg Sí Sí

Epi Info Sí No No No Sí No No No

EViews Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí

GAUSS

Hélice de oro Sí Sí

gretl Sí Sí Sí Sí Sí No Sí

Mathematica Sí Sí Sí

MedCalc Sí No No Sí Sí No No Sí

Minitab Sí Sí No No Sí No No Sí

NCSS Sí Sí Sí

Origen

Partek Sí No No No No Sí No Sí

R Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí

Comandante

de R[4]

Sí Sí

RATAS Sí Sí Sí Sí Sí No Sí Sí

Sagata Sí Sí No No No No Sí Sí

SAS Sí Sí Sí Sí Sí Sí

SOCR Sí No No No Sí No No No

Stata Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí

Statgraphics Sí Sí No Sí Sí Sí No Sí

STATISTICA Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Regression


















838

StatIt

StatPlus Sí No Sí Sí Sí Sí No Sí

SPlus Sí Sí Sí Sí Sí

SPSS Sí Sí Sí Sí Sí Sí No Sí

StatsDirect Sí Sí Sí Sí

Statistix

SYSTAT Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí

UNISTAT Sí Sí Sí Sí Sí Sí No Sí

VisualStat

Winpepi Sí Sí

XLStat Sí Sí Sí

Producto OLS WLS 2SL

S NLLS

Lo-

gís-

tico

GLM CHA

VAL

Por

etapas






http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Least_squares

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Least_squares

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Instrumental_variable

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Instrumental_variable

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Non-linear_least_squares

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Logistic_regression



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Generalized_linear_model

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Stepwise_regression

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Stepwise_regression


839

SERIES DE TIEMPO -Ayuda para vario análisis de serie de tiempo.

Producto ARIMA GARCH

Prueba de

la raíz de la

unidad

Prueba de

Cointegration VAR

GAR

CH

Mul-

tiva-

riate

AcaStat

Analizar-él

BioStat

EasyReg Sí Sí Sí Sí

EViews Sí Sí Sí Sí Sí Sí

GAUSS

gretl Sí Sí Sí Sí Sí

Mathematica Sí Sí

MedCalc No No No No No

Minitab Sí No No No No

NCSS Sí

Origen


Comandante

de R[4]

RATAS Sí Sí Sí Sí Sí Sí

SAS

SOCR No No No No No

Stata Sí Sí Sí Sí

Statgraphics Sí No No No No

STATISTICA Sí No No No No

StatIt

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Time_series

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Autoregressive_integrated_moving_average

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Autoregressive_conditional_heteroskedasticity

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Unit_root_test



http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Cointegration


http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Vector_autoregression

















840

StatPlus Sí No No No No

SPlus Sí Sí

SPSS Sí

StatsDirect

Statistix

SYSTAT Sí

UNITAT Sí No No No No

VisualStat

Winpepi

XLStat

Producto ARIMA GARCH Prueba de la raíz de la

unidad

Prueba de Cointegration

VAR

GAR

CH

Mul-

tiva-

riate

COMPARACON INTEGRAL DE PAQUETES ESTADISTICOS DISPONI-

BLE EN:

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Comparison_of_statistical_packages






http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Autoregressive_integrated_moving_average

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Autoregressive_conditional_heteroskedasticity






http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Vector_autoregression




841

AYUDA DE MICROSOFT ON LINE

Existe ayuda automática de Microsoft en (http://support.microsoft.com/gp/mtdetails ) con traducciones auto-máticas o de un traductor humano. Microsoft le ofrece artículos tra-ducidos por un traductor humano y artículos traducidos automática-mente para que tenga acceso en su propio idioma a todos los artícu-los de nuestra base de conocimientos (Knowledge Base). Sin em-bargo, los artículos traducidos automáticamente pueden contener errores en el vocabulario, la sintaxis o la gramática, como los que un extranjero podría cometer al hablar el idioma. Microsoft no se hace responsable de cualquier imprecisión, error o daño ocasionado por una mala traducción del contenido o como consecuencia de su utili-zación por nuestros clientes. Microsoft suele actualizar el software de traducción frecuentemente. NOTA: Es usual encontrar PC con teclados desconfigurados y tener dificul-tades para ubicar algunos signos, símbolos, caracteres. Pueden obtenerse pulsando simultáneamente Alt + (pad numérico):

Alt 40 ( Alt 41 ) Alt 42 * Alt 43 + Alt 45 - Alt 46 . Alt 47 / Alt 60 < Alt 61 = Alt 62 > Alt 92 \

http://support.microsoft.com/gp/mtdetails


842

Alt 94 ^ Alt 97 a Alt 208 ð Alt 230 µ Alt 255 β

EDITOR DE ECUACIONES DEL OFFICE MICROSOFT

Puede ser necesario en Excel, o con Word, recurrir al editor de ecuaciones, al cual se accede con: Insertar > Objeto > Editor de ecuaciones Microsoft. Incluye plantillas para anotar valores en dife-rentes niveles, como subíndice y supraíndice (potencias también se consiguen en Word con Ctrl+Shift y +; y subíndices con Ctrl y +, respectivamente)

POTENCIAS Y RAÍCES


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RAÍCES EN FUNCIONES CUADRÁTICAS: RUFFINI

Las ecuaciones de segundo grado son presentadas por Ruffini or-denadas con exponente decreciente. Las dos raíces son fáciles de obtener manualmente, siguiendo el cálculo (del hindú Bhakara, del siglo X ). Pero la dificultad se presenta para el estudiante o profesional que debe efectuar numerosos cálculos con esta fórmula. Inviables por falta de tiempo, son instantáneos recurriendo a Excel, según se ilus-tra: en A9, B9 y C9 se anotan los coeficientes a, b, c; y las dos raí-ces son calculadas en E9 y F9.

RAÍCES EN FUNCIONES CÚBICAS: RUFFINI

En estos tipos de problemas suele haber funciones cúbicas o poli-nomios de orden superior. La regla de Ruffini permite obtener las tres raíces de funciones cúbicas.


844

En este nuevo ejemplo la función U=X3 -2X2 -2X +1 se presenta en la tabla de dividir de B4 a E6; se siguen los 6 pasos A12 a A17 y en la fila 7 se ha factoreado la cúbica como (X+1) (X2 - 3X +1) como se muestra en la fila 6 y 8.

Según el primer paréntesis, la primer raíz es X= -1; las otras dos surgen de aplicar la más usual fórmula de Ruffini para resolver la cuadrática: X = -b+-(b2 -4ac)1/2 / 2a, siendo X= 0,38 y X=2,61.


845

RAÍCES EN POLINOMIOS DE ORDEN SUPERIOR

Otra manera de obtener las raíces de una función cúbica, u otro polinomio de orden superior, es escribiéndolo como se muestra en la siguiente tabla. En H1e I1 se eligen valores para X con un rango a elección. En H2 e I2 se anota la función. Se pintan las cuatro celdas y se arrastra des-de el ángulo inferior izquierdo hacia la derecha o abajo. Buscando los valores en que la función U es nula están las raíces X.

ORGANIGRAMAS CON MICROSOFT CHART

La planificación requiere a veces utilizar organigramas. El Office de Microsoft los facilita con: Insertar > Objeto > Microsoft Chart.


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PROGRAMA MICROECONOMIA FCE-UBA: UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECO-NOMIA El problema económico. Descripción sintética de un sistema económico global y su funcionamiento desde la perspectiva micro-económica. Consumidores. Productores. Propietarios de los factores de producción. Mercado de productos y de factores. Sectores eco-nómicos. Sector gobierno y sector externo. Gustos y tecnología. Interrelaciones. Flujo circular. Sistema de precios. Diferenciación de la macroecomía. Aspectos metodológicos: economía positiva y nor-mativa, teoría y realidad. Variables. Funciones e identidades. Mode-los determinísticos y estocásticos. DETALLE UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECO-NOMIA El problema económico. (Lipsey cap.4) Descripción sintética de un sistema económico global y su funcio-

namiento desde la perspectiva microeconómica. (Parkin 1) Consumidores. Productores. Propietarios de los factores de produc-ción. Mercado de productos y de factores. Sectores económicos. Sector gobierno y sector externo. Gustos y tecnología. Interrelaciónes. Flujo circular.

Sistema de precios. (Lipsey 5; Friedman 1) Diferenciación de la macroecomía. Aspectos metodológicos: economía positiva y normativa; teoría y

realidad. (Lipsey 1) Variables. Funciones e identidades. (Lipsey 2) Modelos determinísticos y estocásticos. (Lipsey 3)

1%20tutoria.doc

1sistema%20economico.doc

1%20_33%20Resumenes%20de%2033%20clases.doc

1sistema%20economico.doc


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Lipsey, Richard: Introducción ala economía positiva. Cap. 1 - 5

Objeto y método. Visión general del sistema de precios. Parkin, M. Microeconomía. Cap. 1 Qué es la economía? Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 1 - Introducción.

UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. La función de demanda y de oferta de mercado. Conceptos ex-ante y ex-post. Unidad de tiempo y de medida. Variables depen-dientes e independientes. Elasticidades. Definición de los bienes. Gasto e ingreso total. Composición de las curvas mediante suma horizontal. Desplazamientos de las curvas. Relación entre los con-ceptos. DETALLE UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. La función de demanda y de oferta de mercado. (Lipsey 7,8,10; Parkin 4; Friedman 2 hasta49). Conceptos exante y expost

Unidad de tiempo y de medida. Variables dependientes e independientes. Elasticidades. (Baumol c.8 hasta 175 ed.1964; cap9 hasta 190 ed.1980; Mochón 5; Parkin 5; Varian 15) Definición de los bienes. Gasto e ingreso total. (Varian 15; conviene también el

cap 3 de Baumol) Composición de las curvas mediante suma horizontal.

(Dieguez-Porto ej.35) Desplazamientos de las curvas. Relación entre los conceptos.

1VISION.DOC

1VISION.DOC

1VISION.DOC

2%20graficos%20total%20medio%20marginal.doc


2%20TP%203%20Elasticidad%20cigarrilos_1.doc


2%20TP%202%20Agregacion.xls


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Lipsey, R. Introducción a la economía positiva. Cap. 7 La teoría elemental de la demanda. La teoría elemental de la oferta. Cap. 10 La elasticidad de la oferta y la demanda. Mochón F. y Becker V. Economía, Principios y aplicaciones. Cap. 5 Oferta y demanda: conceptos básicos y aplicaciones. Parkin, M. Microeconomía. Cap.4 Demanda y oferta. Cap.5 Elastici-dad. Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 2 La teoría de la demanda (hasta la pag. 49) Baumol W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 8 Teo-ría del demanda (hasta la pag. 175). Fernández Pol, J. Conceptos matemáticos útiles en microeconomía. Parte I. Cap. 5 Funciones homogéneas. Teorema de Euler. Varian, Harl R. Microeconomía intermedia. Cap. 15 La demanda del mercado. UNIDAD 3: EL MERCADO COMPETITIVO. Caracterización. Equilibrio. Condiciones de estabilidad (está-ticas). Hipótesis del exceso de demanda (Walras). Hipótesis del ex-ceso de demanda precio (Marsall). Modificación del equilibrio. Está-tica comparada. Subsidios e impuestos. Oferta conjunta, demanda compuesta y demanda derivada en condiciones de coeficientes fijos. Mercados relacionados. Modelo de la telaraña y otros modelos di-námicos. Condiciones de estabilidad dinámica. Predicciones e inter-pretación a través del modelo de la oferta y demanda. Comparación de esquemas analíticos. Introducción a la estimación de las funcio-nes. Problemas de identificación. Estudio de casos de la realidad. Extensiones: introducción a la econometría. DETALLE: UNIDAD 3: EL MERCADO COMPETITIVO. Caracterización.


849

Equilibrio. Condiciones de estabilidad (estática). Hipótesis del ex-

ceso de demanda -Walras). Hipótesis del exceso de demanda pre-cio -Marsall. (Henderson-Quandt 6-7 y 6-8) Modificación del equilibrio. Estática comparada. Subsidios e im-puestos (Lipsey 9 y 11; Parkin 6)

Oferta conjunta, demanda compuesta y demanda derivada en con-diciones de coeficientes fijos. Mercados relacionados. (Friedman 7) Modelo de la telaraña y otros modelos dinámicos. Condiciones

de estabilidad dinámica. (Lipsey 12; Henderson-Quandt 6-8 y 6-9) - Predicciones e interpretación a través del modelo de la oferta y demanda. Comparación de esquemas analíticos: Introducción a la estimación de las funciones. Problemas de iden-tificación. (Baumol cap.10 ed.1980 es más específico pero excede el nivel de la asignatura) Estudio de casos de la realidad. (Eiras: chapa frío; discos embrague; helados; departamentos, etc. resueltos en páginas Web ) Extensiones: introducción a la econometría. (Baumol, etc. ...) Lipsey, R. Introducción a la economía positiva. Cap. 9 La teoría elemental del precio de mercado. Cap. 11 Algunas predicciones de la teoría del precio (centra su enfoque en los impuestos, precios máximos y precios mínimos). Cap. 12 La teoría elemental del pre-cio. Análisis dinámico (incluye el modelo de la telaraña) Varian H. R. Microeconomía intermedia. Cap. 16 El equilibrio. Parkin, M. Microecomía. Cap. 6 Los mercados en la práctica. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 7 La demanda derivada. Henderson J. y Quandt, R.: Teoría microeconómica. Cap. 6 El equi-librio del mercado; punto 6-7 La existencia y unicidad del equilibrio; 6-8 La estabilidad del equilibrio; 6-9 El equilibrio dinámico con ajuste retrasado (modelo de la telaraña) Bibliografía complementaria.




3%20TP%207%20Modelo%20Telarana.doc

3%20estimacion.doc


850

De Pablo, J y Tow, F.: Lecturas de microecomía por economistas argentinos. Canavese, Alfredo J, Una exposición sobre problemas habituales en la estimación de funciones de demanda. Stigler, G. y Boulding, K., Ensayos sobre la teoría de los precios. Cap. 4 Working, E. J,: Qué demuestran las funciones estadísticas de demanda ? Ejercicios resueltos: Dieguez, H. y Porto, A,: Problemas de microeconomía. Problema 35 Agregación de demandas. UNIDAD 4: PROGRAMACION LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no negatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuacio-nes de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de hol-gura. Minimización y maximización. Planteo de problemas. Proble-ma primal y dual. Variables artificiales. El método Simplex. Su in-terpretación económica. Precios sombra. Planteo y aplicación de teoremas. Análisis de sensibilidad. Extensiones: programación ente-ra y no lineal. DETALLE: UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no negatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuacio-

nes de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de hol-gura. Minimización y maximización. Planteo de problemas.

(Baumol 5; Henderson-Quandt 5-6 y 5-7; Tow ficha ed.Macchi)

4%20TP%2011%20tablas_simplex_programacion_lineal%20paso%20a%20paso.DOC



4%20TP%2011%20Muestras%20de%20Excel%20para%20transportes%20y%20otros%20Simplex%20con%20Solver.xls

4%20TP%2011%20Simplex%20y%20Solver%20y%20Lagrange%20y%20matrices.XLS


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Problema primal y dual. Variables artificiales. (Baumol

6) El método Simplex. Su interpretación económica. Precios sombra.

Planteo y aplicación de teoremas. Análisis de sensibilidad. (3 paginas Eiras en Web; Ej. en Excel-Solver)Extensiones: programación entera y no lineal. (Baumol 7; Ej.en pagi-nas Web Eiras con Solver de Excel) Baumol, W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 5 Programación lineal Henderson, J. y Quandt, R: Teoría microeconómica. Cap. 5 punto 5-6 Funciones de producción lineales y 5-7 Programación lineal. Tow, Fernando V. Programación lineal como instrumento de mode-lación microeconómica. Todas las secciones. Bibliografía complementaria: Dorfman, R., Samuelson, P., Solow, R, Programación lineal y análi-sis económico. Cap. 5 El problema del transporte; punto 5-1 Un ca-so sencillo y 5-4 Los valores implícitos: el dual. Ejercicios resueltos: Dieguez H. y Porto, Problemas de microeconomía. Problema 13 Maximización del producto. Problema 14 Minimización del costo. Problema 16 Plan de producción. Problema 17 Plan de producción (II). Problema 18 Plan de producción (III) UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR. Preferencias y elecciones racionales. Utilidad cardinal y ordi-nal. La restricción presupuestaria. Maximización de la utilidad. Equi-librio del consumidor. Deducción de la curva de demanda individual. Propiedades. Ecuación de Slutzky. Efectos precio y renta. Clasifica-ción económica de los bienes. La preferencia revelada. Los índices de ingresos. Elecciones intertemporales. Extensiones: inclusión del

4%20TP%2011%20Simplex%20y%20Solver%20y%20Lagrange%20y%20matrices.XLS



4%20TP%2011%20Simplex%20con%20Solver%20paso%20a%20paso.xls

4%20TP%2011%20unidades%20enteras%20y%20binario.xls

4%20TP%2011%20unidades%20enteras%20y%20binario.xls

4%20TP%2011%20maximizacion%20Simples%20caso%20Zonda.xls


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tiempo en la tecnología del consumo y como restricción. Costos de búsqueda. DETALLE UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR Preferencias y elecciones racionales. Utilidad cardinal (Parkin 7) ...y ordinal (Parking 8; Baumol 8-5 hasta 8-10 ed.1964 ó 9-5 hasta 9-10 ed.1980). La restricción presupuestaria. Maximización de la utilidad. Equilibrio del consumidor. (Friedman 2 pag. 49-73)(Varian

3,4,5)(Baumol 2 y3) Deducción de la curva de demanda individual. Propiedades. (Dieguez-Porto ej 32 y 34 ) Ecuación de Slutzky. Efectos precio y renta. (Baumol

8-11 y 8-12 ed.1964 ó 9-11 hasta 9-17 ed.1980; Henderson-Quandt cap2 y 3-5) Clasificación económica de los bienes. (Varian 8) La preferencia revelada. (Baumol 8-12 o 9-13 ed.1980, etc.) (Henderson-Quandt 3-5)(Varian 7) (Dieguez-Porto ej.36) Los índices de ingresos.

Elecciones intertemporales. (Dieguez-Porto ej.40) Extensiones: inclusión del tiempo en la tecnología del consumo y como restricción. (Varian 10) (Lago: Microec. c.XII) Costos de búsqueda. Fernández Pol, J : conceptos matemáticos útiles en microeconomía. Parte II Cap. 3 Tercer caso: funciones de dos variables y una res-tricción. Parkin, M. Microeconomía. Cap. 7 Utilidad y demanda. Cap. 8 Posi-bilidades, preferencias y elecciones. Baumol, W.: Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 8 Teoría de la demanda (pag. 175 en adelante)

5%20TP%2015%20curvas%20indiferencia%20Pareto.xls

~$_33%20Resumenes%20de%2033%20clases.doc

5%20TEORIAS.DOC

5%20graficos%20total%20medio%20marginal.doc

5%20TP%2020%20ecuac%20Slutzky.doc

5%20Slutzky%20e%20inclusión%20del%20tiempo.DOC

5%20TP%2022_12indices%20de%20Toranzos.xls

~$_33%20Resumenes%20de%2033%20clases.doc


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Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 2 La teoría de la demanda (pag. 49 en adelante) Henderson, H. y Quandt, R Teoría microeconómica. Cap. 2 La teoría de la conducta del consumidor. Cap. 3 Temas sobre la teoría de la conducta del consumidor: puntos 3-5 La teoría de la preferencia revelada. Bibliografía complementaria. Varian, H. Microeconomía intermedia. Cap. 3 Las preferencias. Cap. 4 La utilidad. Cap. 5 La elección. Cap. 6 La demanda. Cap. 8 La ecuación de Slutsky. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 32 Utilidades independientes e interdependientes. Problema 34 Autar-quía de un productor-consumidor. Problema 36 Preferencia revela-da. UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIOS. Función de producción. Isocuantas e isocostos. Rendimien-tos de los factores variables y rendimientos a escala. Minimización de costos. Eficiencia técnica y económica. Deducción de las funcio-nes de costos y sus relaciones. Costos de corto y largo plazo. Asig-nación de los factores de la producción. La naturaleza de la em-presa. Modelos de inventarios óptimos. El problema de los incen-

tivos. El financiamiento. La inversión y los flujos financieros. Análisis costo beneficio. Extensiones: evaluación económica y financiera de proyectos. DETALLE UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIO.

6_falacia%20sistemas%20NxN.XLS

6_falacia%20sistemas%20NxN.XLS

6%20TP%2029%20Inventario%20Optimo%20Stocks.xls


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Función de producción. (Mochón 7; Parking 10; Baumol

9 ) Isocuantas e isocostos. Rendimientos de los factores variables y rendimientos a escala. Minimización de costos (Baumol 2 y 3; Dieguez-Porto ej.1 y 6;

Henderson-Quandt 5-1, 5-2; Varian 17 a 21) Eficiencia técnica y económica. (Parkin 9; Mochon 7) Deducción de las funciones de costos y sus relaciones. Costos de corto y largo plazo. (Mochon 8) Asignación de los factores de la producción. La naturaleza de la empresa. (Coase) Modelos de inventarios óptimos. (Baumol 1);

El problema de los incentivos. El financiamiento. La inversión y los flujos financieros. Análisis costo beneficio. (Parkin 9) Extensiones: evaluación económica y financiera de proyectos.

Mochón, F. y Becker, V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 7 La teoría de la producción y de los costos. Parkin, M., Microeconomía. Cap. 10 Producción y costos. Baumol W., Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 1 Optimización y un ejemplo de análisis de existencias. Cap. 9 Pro-ducción y costos. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 4 La teoría de la empresa. Cap. 5 Temas sobre la teoría de la empresa: puntos 5-1 Funciones de producción homogéneas y 5-2 Las funciones de producción CES (elasticidad de sustitución constante) Bibliografía complementaria

Varian, H. Microeconomía intermedia. Cao. 17 La tecnología. Cap. 20 Las curvas de costes. Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 5 Las relaciones entre cur-vas de oferta y curvas de costes. Coase, Ronald. La naturaleza de la empresa, en Stigler, G. y Boul-ding, K.,: Ensayos sobre la teoría de los precios.

6%20TP%2023%20y%2024%20t%20%20produccion.doc

6%20TP%2026%20costos%20con%20Excel.xls

6%20_%20sist%2052%20ecuaciones.xls

6%20TP%2029%20Inventario%20Optimo%20Stocks.xls

6%20TP%2030%20TIR%20y%20VAN%20Teresa%20Eiras.xls

7%20TP%2034%20efecto%20de%20los%20%20impuestos.XLS


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Ejercicios resueltos. Dieguez, H. y Porto, A. Problemas de microeconomía. Problema 1 Minimización del costo de producir una cantidad dada de un bien. Problema 6 Rendimientos a escala. UNIDAD 7: EL OBJETIVO DE LA EMPRESA Y FORMAS DE MER-CADO DE PRODUCTOS. Competencia perfecta, maximización de beneficios y la curva de oferta individual y de la industria. Corto y largo plazo, Economías y deseconomías externas. Monopolio maximizador de beneficios. Monopolio maximizador de ventas con restricción de beneficios. Monopolio discriminador de precios. Empresa líder con competi-dores perfectos. Competencia imperfecta. Duopolio: soluciones de Cournot, de von Stackelberg, de Bertrand y de colusión. Teoría de los juegos. Publicidad. Oligopolios: la demanda quebrada, la participación fija en el mercado. Modelos de competencia espacial. Extensiones: evaluación empírica de algunos modelos de con-ducta empresaria.

DETALLE UNIDAD 7: EL OBJETIVO DELA EMPRESA Y FORMAS DEL MERCADO DE PRODUCTOS Competencia perfecta, maximización de beneficios y la curva de oferta individual y de la industria.

Corto y largo plazo, Economías y deseconomías externas (Mochon 9) (Par-kin 11) (Henderson-Quandt 6-1 hasta 6-5) (Varian 21, 22) Monopolio maximizador de beneficios. (Monchon 10; Baumol 11; Henderson-Quandt 7; Varian 19) Monopolio maximizador de ventas con restricción de beneficios.

7%20TP%2033%20monopolio.XLS

7%20TP%2038%20lider%20y%20seguidora%20de%20%20Stackelgerg.XLS

7%20TP%2038%20lider%20y%20seguidora%20de%20%20Stackelgerg.XLS

7%20TP%2041,45%20y46%20juegos-incertidumbre.XLS

7%20TP%2041,45%20y46%20juegos-incertidumbre.XLS

7%20oligopolio.doc

7%20TP%2032%20equilibrio%20empirico.xls

7%20anti%20dumping.doc

7%20anti%20dumping.doc

7%20TP%2027%20cantidad%20de%20firmas%20en%20competencia.XLS

7%20TP%2027%20cantidad%20de%20firmas%20en%20competencia.XLS


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Monopolio discriminador de precios. (Dieguez-Porto ej. 25 caso general ! )(Parkin 12) (Varian 23, 24) (Baumol 16-13 caso sencillo !) Empresa líder con competidores perfectos. Competencia imperfecta. (Mochon 11)(Parking 13) (Hen-derson-Quandt 8-1 8-2 8-3)) Duopolio: soluciones: de Cournot de von Stackelberg, de Bertrand y de colusión. (Dieguez-Porto ej.19, 20, 23,24,25,28,30,31) Teoría de los juegos. (Parkin 13) (Henderson-Quandt 8-5) Publicidad. (Baumol 10) Oligopolios: la demanda quebrada, la participación fija en el merca-do. (Stigler) Modelos de competencia espacial. (Lago: Microec. c.XI) Extensiones: evaluación empírica de algunos modelos de con-ducta empresaria. (Baumol 10 o 15 ed.1980 ) ( DiTella; De Pablo; Tow) Mochón F. y Becker V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 8 El mercado de competencia perfecta. Cap. 9 El monopolio. Cap. 10 El oligopolio y la competencia monopolista. Parkin, M. Microecomía. Cap. 11 Competencia. Cap. 12 Monopolio. Cap. 13 Competencia monopolista y oligopolio. Baumol W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 10 La empresa y sus objetivos. Cap-. 11 Estructura del mercado, determi-nación de precios y producción. Henderson J y Quandt R Teoría microeconómica. Cap. 6 El equili-brio del mercado: punto 6-1 Los supuestos de la competencia per-fecta; 6-2 Funciones de demanda; 6-3 Funciones de oferta; 6-4 Equilibrio del mercado de un bien; 6-5 Una aplicación a los impues-tos. Cap. 7 Monopolio, monopsonio y competencia monopolisti-ca.Cap. 8 Duopolio, oligopolio y monopolio bilateral: puntos 8-1 Duopolio y oligopolio: producto homogéneo; 8-2 Duopolio y oligopo-

7%20TP%2039%20(antidumping).xls

7%20TP%2039%20dumping%20y%20Gatt.doc

7%20TP%2039%20dumping%20y%20Gatt.doc


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lio: productos diferenciados; 8-3 Duopsonio y oligopsonio; 8-5 Mo-nopolio bilateral. Varian, H. Microeconomía intermedia. Cap. 18 La maximización del beneficio. Cap. 19 La minimización de los costes. Cap. 21 La oferta de la empresa. Cap. 22 La oferta de la industria. Cap. 23 El mono-polio. Cap. 24. La conducta del monopolio. Cap. 2 El oligopolio. Bibliografía complementaria. De Pablo J. y Tow F. Lecturas de microeconomía por economistas argentinos. Di Tella, Guido y Baccino, Osvaldo: Análisis teórico de los efectos de la intermediación comercial. El caso de la industria del automóvil en Argentina. De Pablo, J.; Monopolio y tarifas de impor-tación. De Pablo, J.: Comparación del equilibrio competitivo y mono-pólico. Tow, F. Un caso de equilibrio múltiple en el monopolio sim-ple. Stigler, G. y Boulding, K. Ensayos sobre la teoría de los precios. Stigler G. La demanda quebrada y precios rígidos. Ejercicios resueltos. Diequez H y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 19 Impuesto a las ventas a un monopolista. Problema 20 Publicidad. Problema 23 Monopolista con ventas en dos mercado (I). Problema 24 Monopolista con ventas en dos mercados (II). Problema 25 Mo-nopolista con ventas en dos mercados y discriminación de precios en uno de ellos. Problema 28 Duopolio. Problema 30 Mercado de un bien: soluciones de competencia y monopolio. Problema 31 Empre-sa de energía: tarifas y capacidad de planta. Las Unidades 8 y 9 están consideradas como extensiones de la Unidad 7 Distancia y la Unidad 10 es la Unidad 8 Distancia UNIDAD 8: FORMAS DE MERCADO DE FACTORES.


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La demanda de los factores de producción bajo condiciones de competencia y monopolio en el mercado de productos. Oferta de factores en condiciones de competencia, de monopsonio y oligop-sonio. Monopolio bilateral. Sindicatos. Negociación. Intermediarios monopólicos y monopsónicos. Rentas y cuasirentas. La oferta de trabajo a corto plazo: elección entre ocio e ingreso. La oferta laboral a largo plazo. Diferenciales de ingreso. Extensiones: capital humano y no humano. DETALLE UNIDAD 8: FORMAS DE MERCADO DE FACTORES. La demanda de los factores de producción bajo condiciones de competencia y monopolio en el mercado de productos. (Lipsey 28)(Mochón 13)(Parkin 14 y 15)(Friedman 7 y 9)(Varian 25)(Henderson-Quandt 4-3 y 6-6) Oferta de factores en condiciones de competencia, de monopsonio y oligopsonio. (Tow) Monopolio bilateral. (Hendersn-Quandt 8-5) Sindicatos. Negociación. Intermediarios monopólicos y monopsónicos. Rentas y cuasirentas. La oferta de trabajo a corto plazo: elección entre ocio e ingreso. La oferta laboral a largo plazo. Diferenciales de ingreso. Extensiones: capital humano y no humano. (Parkin 18)(Mochon 14) Lipsey R. Introducción a la economía positiva. Cap. 28 Salarios y contratación colectiva. Mochón F. y Becker V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 13 Distribución y sistema de precios.


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Parkin, M. Microeconomía. Cap. 14 La fijación de precios y la asig-nación de los factores de la producción. Cap. 15 Mercados de traba-jo. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 25. Los mercados de factores. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 4 La teoría de la empresa: punto 4-3 Demanda de inputs. Cap. 6 El equilibrio del mercado: punto 6-6 El equilibrio en el mercado de factores. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 7 Demanda derivada (La demanda de trabajo y la oferta de trabajo, el control sobre los sala-rios). Cap. 9 La teoría de la productividad marginal y la demanda de los factores de producción. Cap. 11 La oferta de factores de produc-ción. Bibliografía complementaria. De Pablo, J. y Tow F., Lecturas de microeconomía por economista argentinos. Tow F. Análisis crítico de un caso de oligopsonio. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 22 Salario máximo. Problema 33 Elección entre consumo y ocio. UNIDAD 9: INCETIDUMBRE Y RIESGO Y CONCEPTOS DELA TEORIA DE LOS JUEGOS. Distinción. Axiomas de von Neumann y Morgenstern. La utili-dad esperada. Funciones cóncavas y convexas de utilidad. El segu-ro y el juego. La maximización de la utilidad esperada en la teo-ría del consumidor y de la empresa. Comparación con modelos

de certeza. Juegos cooperativos y no cooperativos en forma estra-

6%20y%208%20TP%2031%20y%2046%20evaluacion%20proyecto%20incierto.XLS

6%20y%208%20TP%2031%20y%2046%20evaluacion%20proyecto%20incierto.XLS


860

tégica. Conceptos de solución. Extensiones: aplicaciones macro-económicas. DETALLE UNIDAD 9: RIESGO E INCERTIDUMBRE Y CONCEP-TOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS. Distinción. (Parkin 13 y 17)(Friedman 4) Axiomas de von Neumann y Morgenstern. La utilidad esperada. Funciones cóncavas y convexas de utilidad. El seguro y el juego. (Varian 12 y 27; Henderson-Quandt 3-8, 3-9, 5-5, 6-10, 8-4; Baumol 17, 18, 19; Dieguez-Porto ej.42 y 43) La maximización de la utilidad esperada en la teoría del consumidor y de la empresa. Comparación con modelos de certeza. Juegos cooperativos y no cooperativos en forma estratégica. Conceptos de solución. Extensiones: aplicaciones microeconómicas. Parkin, M. Microeconomía Cap. 13 Competencia monopolística y oligopolio. Cap. 17 Incertidumbre e información. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 12 La incertidumbre. Cap. 27 La teoría de los juegos. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 3 Temas sobre la teoría de la conducta del consumidor: puntos 3-8 EL pro-blema de la elección en situación con riesgo. Los axiomas. Utilidad esperada. Cap. 5 Temas sobre la teoría de la empresa: punto 5-5 Producción en un contexto de incertidumbre. Cap. 6 El equilibrio del mercado: punto 6-10 Los mercados de futuros. Cap. 8 Duopolio, oligopolio y monopolio bilateral: punto 8-4 Teoría de los juegos. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 4 El análisis de la incerti-dumbre basado en la utilidad. Baumol W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 17 Utilidad cardinal de Neumann-Morgenstern. Cap. 18 teoría del jue-go. Cap. 19 Teoría de los acuerdos.


861

Gibbons, R. Un primer curso de teoría de los juegos. Cap. 1 y 2 Bibliografía complementaria. Stigler G. y Boulding K. Ensayos sobre la teoría de los precios. Cap. 3. Friedman, Milton y Savage, L. Estudio de las elecciones que impli-can un riesgo, a la luz de la teoría de la utilidad. Dorfman R, Samuelson P y Solow R. Programación lineal y análisis económico. Cap. 15 Elementos de la teoría de los juegos. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 42 Elecciones en situación de riesgo (I) Problema 43 Elección en si-tuaciones de riesgo (II). Las Unidades 8 y 9 están consideradas como extensiones de la Unidad 7 Distancia y la Unidad 10 es la Unidad 8 Distancia UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL IN-GRESO. El modelo de dos factores (fijos) y dos productos con eco-nomía cerrada. Ley de Walras y de Say. Caja de Edgeworth. Curva de posibilidades de producción. Modelo con coeficientes fijos de producción. Distribución del ingreso bajo competencia perfec-ta. Efecto del monopolio y de impuestos. Apertura de la econo-mía de un modelo de país pequeño. Equilibrio parcial versus ge-neral. Extensiones: costos privados y sociales. Introducción a la teoría del bienestar.

DETALLE UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL INGRESO

8%20TP%2049%20sistemas%20ecuaciones%20y%20matrices.xls

8%20TP%2049%20sistemas%20ecuaciones%20y%20matrices.xls

10%20excedente%20del%20producto%20y%20consumidor.doc

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7%20TP%2034%20efecto%20de%20los%20%20impuestos.XLS

8%20a%2010%20TP%2047%20a%2051%20Caja%20de%20Edgewourt.doc

8%20a%2010%20TP%2047%20a%2051%20Caja%20de%20Edgewourt.doc

8%20TP%2051%20Bergson%20perdida%20social.xls

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862

El modelo de dos factores (fijos) y dos productos con economía ce-rrada. Ley de Walras y de Say. (Baumol 12, 13 ed. 1964 o Cap 20, 21,22 en ed.1980) (Henderson-Quandt 9-2) (Varian 28) Caja de Edgeworth. (Mochon 12)(Henderson-Quandt 9-2; Varian 29 + apéndice; Dieguez-Porto 45ª) Curva de posibilidades de producción. Modelo con coeficientes fijos de producción. (Dieguez-Porto ej. 4, 48, 50; ej. Paginas Web Eiras) Distribución del ingreso bajo competencia perfecta. (Parkin 20, 21, 22) Efecto del monopolio y de impuestos. (Friedman 3) Apertura de la economía de un modelo de país pequeño. ( Tow ) Equilibrio parcial versus general.

Extensiones: costos privados y sociales. (Mochon 12)(Varian 34) Introducción a la teoría del bienestar. (Varian 30, 31) Parkin , M. Microeconomía. Cap. 19 Imperfección del mercado. Cap. 20 Elección pública. Cap. 21 Regulación y legislación antimonopolio Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 33 Los bienes públicos. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 3 Los efectos de los im-puestos sobre el bienestar. Bibliografía complementaria. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 29 La producción. Ejercicios resueltos. Dieguez H y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 4 - Función de transformación. Problema 48 Modelo de economía con dos sectores productivos y relaciones de insumo-producto. Proble-ma 50 Caso de un factor no reasignable.

8%20TP%2047%20equilibrio%20general.doc


863

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Se han buscado y no fueron encontrados (en Microsoft, ni en edito-riales internacionales, en inglés o en castellano) textos o CD (tienen interactividad) con casos ejemplificados mediante Excel sobre este tipo de contenido. Consecuentemente, se aplicó en el presente trabajo el utilitario Excel, para clarificar y abreviar la solución de ejercicios conceptuales publicados en diversos trabajos. Algunos pocos ejercicios forman parte del paquete Excel del Office de Microsoft; pero la mayor parte de los ejercicios conceptuales ha sido obtenida de los textos utilizados en los programas de Micro-economía I, o de Estadística, de la Facultad de Ciencias Económi-cas de la Universidad de Buenos Aires. Varios de ellos se listan a continuación (otros trabajos pueden no estar listados aquí y se pide disculpa):

-Allen, R. G. D., Análisis Matemático para Economistas, Madrid: Aguilar Ediciones, 1964. -Baumol, W. J., Teoría Económica y Análisis de Operaciones, Madrid: Editorial Dossai, 1980.` -Becker, V. A., Microeconomía Aplicada, Buenos Aires: Editorial de Belgrano, 1992. -Bronson, R., Investigación de Operaciones- Teoría y 310 Problemas Resueltos. Editorial McGaw Hill: serie Schaum publicado en español. ISBN 968-451-385-2 -Cecil Mills, F., Métodos Estadísticos Aplicados a la Economía y a los Negocios, Madrid, Aguilar Ediciones, 1965. -Chiang A., Métodos fundamentales de economía matemática, Buenos Aires: Amorrortu Editores, 1977.


864

-Cortada, N.-Carro, J. M., Estadística Aplicada, Buenos Aires, EUDEBA, 1968. -Davies, O. L., Métodos Estadísticos Aplicados a la Investigación a la Producción, Madrid: Aguilar Ediciones, 1965. -Diéguez, H.-Porto, A., Problemas de Microeconomía, Buenos Aires: Editorial Amorrortu, 1972. -Eiras Roel, S., Microeconomía: ejercicios de los cursos FCE-UBA, Buenos Aires, accesibles en:

www.microeconomiaconexcel.com http://distancia.econ.uba.ar

http://www.econ.uba.ar/www/departamentos/economia/plan97/micro1/eiras_roel/

Dep..Economía (Microeconomia I-cátedra I -adjunto Eiras Roel); www.aplinfo.com.ar (clave en Entrar: microeconomia) -Ferguson, C. E.-Gould, J., Teoría Microeconómica, Buenos Aires: Editorial Fondo de Cultura Económica, 1983. -Fernández Pol, J. Demanda de los Consumidores, Ediciones Rancagua. -González García, J. A., Técnica operativas para la toma de decisiones, Madrid: Editorial Index, 1976. -Gujarati, Damodar N., Econometría (Un. West Point) -Henderson, J.M.-Quandt, R.E., Teoría Microeconómica, Barcelona, Editorial Ariel, 1985. -Kmenta, J., Elementos de Econometría, Barcelona: Editorial Vicens Universidad, 1980.


http://distancia.econ.uba.ar/

http://www.aplinfo.com.ar/


865

-Lago. A. V., Microeconomía, Buenos Aires: Ediciones Macchi, 1976. -Moroney, M. J., Hechos y Estadísticas, Buenos Aires: EUDEBA, 1970. -Rébora, T. I., Ejercicios de los cursos de microeconomía I, en www.rebora.homestead.com -Solana, R. F., Planeamiento y control de la producción, Buenos Aires: Editorial El Coloquio, 1974. -Spiegel, M. R., Estadística, Bogotá: Editorial McGraw Hill, 1969. -Taha, Handy A., Investigación Operativa (Un. Arkansas). -Toranzos, F. I., Estadística, Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 1962. También Formación Matemática del Economista, Buenos Aires, Fondo de Cultura Económica, 1964. -Tow, F., Programa de Microeconomía I, Buenos Aires: Facultad Ciencias Económicas-UBA, 1997. -Tow, F., Guía de trabajos prácticos Microeconomía, Ed. CECE. -Trejo, C. A., Matemática General, Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 1962. -Varian y Bergstrom (Bergstrom-Varian), Ejercicios de Microeconomía Intermedia, Barcelona: Editorial Bosch, 1987. -Varian, H. R., Análisis Microeconómico, Barcelona: Editorial Bosch, 1998. -Varian, H. R., Microeconomía Intermedia, Barcelona: A. Bosch Editor, 1998.


866

-Watson, D. S., Teoría de los precios en acción, México: Editorial Trillas, 1981. -Yamane, T., Matemáticas para Economistas, Barcelona, Editorial Ariel, 1965.

INDICE ALFABÉTICO

A. MARSHALL 324

Y LAGRANGE) 328

¿CON SERIES, CON ECUACIONES, MATRICES O CON PROGRAMACIÓN LINEAL? 177

¿HASTA DÓNDE MICROECONOMÍA Y HASTA DÓNDE ESTADÍSTICA? 88

“LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA (2)” 728

ANALISIS DE COYUNTURA 184

AJUSTE LINEAL DE LA DEMANDA 382

AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL 169

AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL 170

AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL 173

AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL 171

AJUSTAMIENTOS 126

AJUSTE ANTE UNA BAJA DE OFERTA POR SUBA DE COSTOS 464

AJUSTE ANTE UNA BAJA EN LA DEMANDA 461

ALGORITMOS PARETO EFICIENTE 666

Algunos símbolos matemáticos 730

AMENAZA CREIBLE 560

ANÁLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo 282

ANÁLISIS DE BALANCES 458

ANÁLISIS DE COYUNTURA PARA PRONÓSTICOS 178

ANÁLISIS DE REGRESIÓN 137

ANÁLISIS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA 122

ANÁLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES 100

ANÁLISIS DE VARIANZA 136

ANÁLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA 133

ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION 466

ANALISIS ENVOLVENTE DE DATOS (DEA) 660

ANALISIS NUMERICO - CALCULO NUMERICO DEL CÁOS 750

ANOVA (en inglés ANÁLISIS DE VARIANZA 138

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867

ANTIDUMPING 543

APORTES DE MICROECONOMIA CON EXCEL (MCE) 55

1) Exposiciones simplificadas 55

2) Seis métodos equivalentes 56

3) Estimación de funciones 57

4) Programación con cientos de variables 58

5) Matrices con Excel 58

6) Otros 10 utilitarios 58

7) Empresa sobredimensionada: 59

8) Casos de antidumping y countervailing duty 60

9) Cuatro contextos económicos 60

10) Elasticidad media 62

11) ¿Es prácticamente útil la ecuación Slutsky? 62

12) Como obtener funciones y gráficos desde series y viceversa 64

13) Funciones muy complejas 64

14) Análisis dinámico 64

15) Modelo de la Telaraña y su número de períodos 64

16) Modelos de simulación: 65

17) El problema de identificación 65

18 Métodos científicos 67

19) Un error en la microeconomía clásica, el sujeto 68

20) Otro error en la microeconomía clásica, las generalizaciones sobre sistemas NxN: 69

21) Visión de la microeconomía como la economía de la empresa 71

22) Simplificación de la Teoría de los Juegos, del S.XXI 72

23) Omisión tradicional en el MIT, LSE, OXFORD Y SALAMANCA 72

24) Brecha entre modelación y realidad – Broche de Oro - 74

APUESTA DE PASCAL 636

ARCHIVO CON 6 METODOS: 395

METODOS SEIS EQUIVALENTES 398

(UN CASO CON 12 RESULTADOS IGUALES DEL PRIMAL Y DEL DUAL) 398

Cuadro resumen del ejemplo autos y motos: 399

Aproximación, recordando como derivar: 400

1 ) LAGRANGE 401

1b ) DUAL: 403

DETERMINANTE 404

2 ) METODO GRAFICO - Maximización 405

2b ) DUAL - Minimización 407

3 ) AUTOS y MOTOS SEGÚN SIMPLEX 409

3b) VERIFICACION DE LA ULTIMA TABLA SIMPLEX CON MATRICES 411

4 ) SOLUCION CON SOLVER de Excel 412










868

5 ) MATRICES (…MANUALMENTE) 413

AYUDA: ALGEBRA MATRICIAL 416

6 ) MATRICES …CON EXCEL 417

DUALIDAD: 418

ASIMETRÍA Y CURTOSIS 115

ATRACTORES – FRACTAL – CAOS 752

AXIOMAS DE LA LÓGICA NEUMANN-MORGENSTERN 692

AXIOMAS DE LA UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU: 744

AYUDA DE MICROSOFT ON LINE 827

B) AJUSTE PARABÓLICO DEL COSTO MEDIO 383

BAYES REGLA O TEOREMA DE BAYES 280

BIENES SUNTUARIOS 341

BONDAD DE UN AJUSTE 311

BRECHA ENTRE MODELACON Y REALIDAD – BROCHE DE ORO AUSENTE - 762

CADENAS DE MARKOV 297

CAPÍTULO 1 87

CAPÍTULO 6 - 313

CAPITULO 10 652

CAPÍTULO 2 - 100

CAPÍTULO 3 - 177

CAPÍTULO 4 - 275

CAPÍTULO 5 - 302

CAPÍTULO 7 - 364

CAPITULO 9 548

CARGA IMPOSITIVA PARA EXPORTADORES 545

CARPINTERIA 423

CARTEL (COLUSIÓN ENTRE EMPRESAS) 496

CICLOS 124

CIVILIZACION OCCIDENTAL 17

COASE: COSTOS DE TRANSACCION E INSTITUCIONES ADECUADAS 499

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN 128

COMPARACIONES DE SOFT 813

COMPETENCIA BAJO INCERTIDUMBRE 702

COMPETENCIA DESLEAL 542

COMPETENCIA MONÓPOLICA 491

COMPUTADORES 427

CON GAMS, WINQSB, MATLAB, TORA, LINDO, VIEWS, SPSS, STATA 720

CON SOLVER DE EXCEL 189

CON SOLVER DE EXCEL 570

CONCLUSIÓN 121








































































869

CONSENSO DE WASHINGTON 74

CONTEXTO ALEATORIO 275

CONTEXTO CIERTO 100

CONTEXTO INCIERTO - SEGUROS 697

CONTRATACIÓN BAJO MONOPOLIO (CON SINDICATO) 506

CONTRATACIÓN BAJO MONOPSONIO 504

CONTRATACIÓN EN COMPETENCIA PERFECTA: 479

Contribución marginal (precios sombra) 197

CORRELACIÓN - EN MUESTRAS 131

CORRELACIÓN – EN UNA POBLACIÓN 129

CORRELACION MÚLTIPLE CON STATA 158

CORRELACION CON EVIEWS (ex TSP) 154

CORRELACIÓN MULTIPLE Y ANOVA CON SPSS (IBM) 152

Costo de oportunidad: 197

COVARIANZA 127

CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE) 469

CRITERIO DE CONTRATACIÓN 479

CRITERIOS DE BIENESTAR: TEORIA DE LA DECISION 694

CUATRO CONTEXTOS EN EL ANALISIS Y TOMA DE DECISIONES 685

CURVA DE INDIFERENCIA Y RECTA DE PRESUPUESTO 320

DECILES: 113

DEDUCCION DE LA ECUACION DE SLUTSKY 343

DEFORMACIONES CONTABLES USUALES 455

DEMANDA COMO CORRELACIÓN PRECIO-CANTIDAD 130

DEMANDA QUEBRADA DE SWEEZY 618

DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL 97

DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRÁFICOS 92

DESDE LA GEOMETRIA PLANA DE EUCLIDES HACIA LA GEOMETRIA ANALITICA 39

DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRÁFICOS 91

DESTINATARIOS DE LA MICROECONOMIA 51

DESVIACIÓN ESTÁNDAR- EN UNA POBLACIÓN: 108

DESVÍO CUARTÍLICO 120

DESVIO ESTÁNDAR 107

DESVIO ESTÁNDAR Y VARIANZA: 114

DETERMINANTES 330

DISCOS DE FRENO PARA AUTOS 134

DISGRESIÓN MACROECONÓMICA 75

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 277

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 285

DISTRIBUCIÓN DE POISSON 291


















































































870

DISTRIBUCIÓN NORMAL 278

DISTRIBUCIÓN NORMAL 286

DISTRIBUCIÓN STUDENT 305

DOMINACION - DOMINANCIA 562

DOS RECTAS DE REGRESION 127

DOS SOFAS SIMPLES MÁS UNO TRIPLE 370

DUALIDAD 198

DUALIDAD 366

DUDAS SOBRE MICROECONOMIA Y SUS METODOS CIENTIFICOS: 392

DUOPLIO DE EDGEWORTH 620

DUOPOLIO DE BERTRAND 619

DUOPOLIO DE CHAMBERLIN 614

ECONOMIA DE LA INFORMACION 690

ECONOMIA DEL BIENESTAR 681

ECONOMIA EXPERIMENTAL Y LA SEU 679

ECONOMIA NO ES MEDICINA NI ES MECÁNICA 151

ECUACIÓN DE SLUTSKY 338

EDITOR DE ECUACIONES DEL OFFICE MICROSOFT 828

EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y: 342

EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: 340

EFECTO INGRESO-SUSTITUCIÓN SEGÚN HICKS 331

EJECUTABLE MULTICRITERIO ORDENADOR FCE-UBA 667

EJEMPLO BAJO INCERTIDUMBRE: 703

EJEMPLO DE SUBASTA MULTIPLE 720

EJEMPLO DE SUBASTA VICKREY MULTIPLE OBJETO 715

EJEMPLO DE SUBASTAS REPETIDAS 722

EJEMPLO SUBASTA VICKREY EN PAQUETES 717

EJEMPLOS DE JUEGOS NO COOPERATIVOS 556

EJERCICIOS PROPUESTOS 775

EL DILEMA DEL PRISIONERO 557

EL JUEGO DE LA CERVEZA DEL MIT 757

EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL 310

EL TEOREMA DE LA MEDIANA 616

ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO 129

EMPRESA CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) 489

EMPRESA DOMINANTE 617

EMPRESA LÍDER Y SEGUIDORAS 494

Enfoque práctico del curso: 865

ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS 303

ENUNCIADOS DE EJERCICIOS CON 50 TIPOS DE TP 762


















































































871

EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA 324

EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON PRODUCCION DIVERSIFICADA: 530

-A) Producción simple: 530

- B) Producciones múltiples 531

- C) producciones múltiples conjuntas o conexas 532

SUBPRODUCTOS 533

PRODUCCION CONJUNTA DEPENDIENTE (CONEXA) 536

MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO. 538

EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON SOLVER 386

EQUILIBRIO EMPÍRICO CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL 381

EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS 95

EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIÓN-INTERCAMBIO 221

EQUILIBRIO GENERAL Y TEORIA DE LOS JUEGOS -CAJA DE EDGEWORT- 681

EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES 481

EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO 530

ERRORES EN LA MICROECONOMIA CLASICA 50

ESTABILIDAD DINAMICA (teorema de la telaraña) 459

ESTADISTICA DESCRIPTIVA EXCEL 140

ESTIMACIÓN DE DEMANDA POR CORRELACIÓN MÚLTIPLE - PRONÓSTICOS: 134

ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION) 166

ESTIMACIÓN LINEAL (MÚLTIPLE) - VENTA DE HELADOS 142

ESTRATEGIAS DOMINADAS 560

ESTRATEGIAS MIXTAS 559

ESTUDIAR LA DEMANDA 90

ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y 94

ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CONTEXTOS 98

ETAPAS DEL PROCESO PRODUCTIVO 187

EUCLIDES: El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS 21

EVALUACION CONTABLE DE UNA EMPRESA 455

EVALUACIÓN DE EXÁMENES 132

EVALUACIÓN DE INVERSIONES – TIR Y VAN 450

EVALUACION DE LA TEORIA DEL LOS JUEGOS 672

EVALUACIÓN DE PROYECTOS INCIERTOS 699

EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA 19

EXTENDER CÁLCULOS EN EXCEL 97

FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA 200

FOLK THEOREM 601

FUNCIÓN DE DEMANDA TEÓRICA (HIPERBÓLICA) 93

FUNCIÓN DE DEMANDA LINEAL 92

FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE 336






































































872

FUNCION LOGISTICA DE LORENZ 750

HALCON Y PALOMA 593

IMPUT-OUTPUT 220

INCERTIDUMBRE SEGÚN J. M. KEYNES 746

INDICE ALFABÉTICO 853

INDICE DE PODER DE BANZHAF CON EXCEL 646

INDICE DE PODER DE SHAPLEY Y DE BANZHAF CON EXCEL 640

INDICES DE PRECIOS Y LOS INSTITUTOS DE ESTADISTICAS Y CENSOS (INDEC) 348

INFORMACION ASIMETRICA (CONTRATOS) 690

INFORMACION IMPERFECTA 632

50 INFORMES PARA 50 TP (GUIA) 776

INTRODUCCIÓN 17

INVESTIGACION OPERATIVA CON EXCEL, WINQSB; GAMS, LINDO, TORA Y OTROS 234

ITERACIONES EXCEL 467

JUEGOS CON COLUSION (CARTEL) 614

JUEGOS CON PROGRAMACION LINEAL SIMPLEX 569

JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL, GEOMÉTRICAMENTE, ANALÍTICAMENTE Y CON SOLVER

562

JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA 565

JUEGOS MULTIPLES NO COOPERATIVOS 652

JUEGOS REPETIDOS Y SUPERJUEGOS 569

LA OPTIMIZACION SUBJETIVA (Y LOS BANZHAF): 645

LA TRAGEDIA DE LOS (BIENES) COMUNES: OSTROM 501

LICITACIONES (SUBASTAS / AUCTIONS) 707

LIMITACIONES DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS 676

LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS 805

LOGICA DIFUSA (FUZZY) / MATEMATICA BORROSA 747

LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA 665

MALDICIÓN DEL GANADOR 711

MARKETING 754

MATRICES METODO DE DETERMINANTES: 255

MATRICES Y DETERMINANTES: 216

MATRIZ DE COVARIANCIA 147

MATRIZ DE CORRELACION CON EXCEL 144

MATRIZ DETERMINANTE 218

MATRIZ INSUMO-PRODUCTO 216

MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997 224

MAXIMIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN 364

MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO 328

MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA UTILIDAD MARGINAL 324

















































































873

MAXIMIZAR UNA INVERSIÓN EN BONOS 208

MEDIA ARITMÉTICA 110

MEDIA ARMÓNICA 103

MEDIA ARMÓNICA: 112

MEDIA GEOMÉTRICA 102

MEDIA GEOMÉTRICA: 111

MEDIANA: 105

MEDIDA DE LA RAPIDEZ DEL AJUSTE 462

MEDIDAS DE DISPERSIÓN 114

MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA: 106

MEDIDAS DE POSICIÓN. MEDIA ARITMÉTICA: 102

“MEJOR AJUSTAMIENTO” CON “FINDGRAPH” 174

MERCADO COMPETITIVO 481

MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS 95

MERCADOS DE FUTUROS 700

Método de los mínimos cuadrados: 126

Método de los nueve puntos: 124

Método de los promedios móviles 122

METODO GRAFICO CON WINQSB 238

METODO SIMPLEX, EN FORMA ESTANDAR Y CANONICA 228

MÉTODOS CIENTICOS: 388

a ) FORMAS DE ESTUDIAR 388

b) PRESENTACION TIPO INFORME PROFESIONAL 389

c) METODOS DE DEMOSTRACION 389

MICROECONOMIA CLASICA 37

MINIMIZACIÓN DE COSTOS CON SOLVER 369

MINIMIZACION, ENTERO - MINERA 424

Minimizar el costo de producción: 198

MÍNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIÓN DE 200.000 KILOS 366

MODA(O): 105

MODA(O): 113

MODELACION DEL EQUILIBRIO EMPRESARIO (Y ”GENERAL”) 435

MODELACION DE PROGRAMACION CON SOLVER 427

MODELACION EMPRESA SOBREDIMENSIONADA EN UN PAIS EN DESARROLLO 621

MODELACION MATEMÁTICA 423

MODELACION NEOCLÁSICA 510

MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO 530

MODELO DE COURNOT COMO TEORIA DE JUEGOS 609

MODELO DE HOTELLING (LOCALIZACION) 615

MODELO DE LA CERVEZA EN EXCEL 474












































































874

MODELO DE VON STACKELBERG 612

MODELO DI TELLA SOBRE INTERMEDIARIOS COMERCIALES 508

MODELOS SIMULACION OFERTA DEMANDA GLOBAL PARA ESTIMAR DEMANDA CHAPA DE SOMISA:

180

MODELOS DE SIMULACION EN EL MIT: 471

MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO: 115

MOMENTO 0: 115

MOMENTO 1: 116

MOMENTO 2: 117

MOMENTO 3: 117

MOMENTO 4: 118

MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN 118

MOMENTO 1 118

MOMENTO 2 119

MOMENTO 4 120

MONOPOLIO BILATERAL 507

MONOPOLIO DISCRIMINADOR 486

MONOPOLIO QUE ACTÚA COMPETITIVAMENTE 485

MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIÓN 488

MUESTRA DE 10 ARANDELAS 305

MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES 289

MUESTRA DE 16 PIEZAS TORNEADAS 307

MUESTRA DE 200 ARANDELAS 288

MUESTRA DE 200 BOMBITAS 308

MUESTREO 302

MULTICOLINEALIDAD - 144

MULTICOLINEALIDAD - FIV 139

MULTICRITERIO –MULTIOBJETIVO CON EXCEL 2007 o 2010 670

MULTIPRODUCTO 530

NEWTON – RAPHSON 470

NO SIRVE CUALQUIER MATRIZ 218

NÚMEROS ALEATORIOS 304

NÚMEROS ÍNDICE 324

NUMEROS INDICE TEORÍA ESTADÍSTICA DE LOS 350

1. Índice agregativo aritmético simple, de precios y de cantidades: 351

2. Índice promedio aritmético de relativos: 352

3. Índice promedio geométrico de relativos 353

4. Índice mediana de relativos 354

5. Índice promedio aritmético ponderado de relativos 354

6. Índice promedio geométrico ponderado de relativos 355



















































875

7. Índice de Laspeyres 356

8. Índice de Paasche 356

9. Índice Ideal de Fisher, aplicado a precios y a cantidades 357

10. Índice de Edgeworth-Marshall para precios y cantidades 358

11. Índice de Walch para precios y a cantidades 359

12. Índice de Drovish-Bowley para precios y cantidades 360

OBSERVACION GENERAL SOBRE LATEORIA DE LOS JUEGOS 678

OLIGOPOLIO DE 3 A 9 EMPRESAS 628

OLIGOPOLIO Y LA TEORIA DE JUEGOS 606

OMAN: COMUNIDAD DE PESCADORES Y CAZADORES 435

OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO 375

OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO - MULTICRITERIO 653

OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES 211

ORGANIGRAMAS CON MICROSOFT CHART 831

ORIENTACIÓN Y CONTENIDO 87

OTRO ENFOQUE INSTITUCIONAL DIFERENTE 501

OTROS MERCADOS - MONOPOLIO 484

PARA QUÉ SE ESTUDIA MICROECONOMIA 85

PARADOJA DE ALLAIS: 745

PARADOJA DE LA INDUCCION - MANO TEMBLOROSA 673

PARADOJA DE LAS ESTRATEGIAS GATILLO -TRIGGER 676

PARADOJA DE SAN PETERSBURGO DE D. BERNOULLI 743

PARADOJA DEL INGRESO DE COMPETIDORES -BARRERAS DE ENTADA -MERCADOS CONTES-TABLES

675

PARADOJA GIFFEN 340

PARADORA DEL PRISIONERO 675

PEQUEÑAS MUESTRAS 305

PERCENTILES 114

PERMUTACIONES 283

PLANIFICACIÓN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVERSIONES 206

POLICIAS Y LADRONES 589

POR QUÉ ES INSUFICIENTE LA MICROECONOMÍA CLÁSICA CON ENFOQUE SOLO FORMAL 52

POTENCIAS Y RAÍCES 828

PRIMERA ) ¿Hace falta gran conocimiento previo de matemática? 393

PRIMERA TEORÍA DE LA DEMANDA: sicológico-utilitaria 317

PRINCIPIO DE INDETERMINACION DE HEISEMBERG 745

PRINCIPIO DE REVELACION 689

PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES 276

PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS 373

PROBLEMA DE TRANSPORTE 203





































































876

PROBLEMA DUAL: 326

PRODUCCIÓN DE TV, ESTÉREOS Y ALTAVOCES 202

PRODUCCION, COSTOS, BENEFICIOS 42

PROGRAMACION BINARIA 374

PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL - 189

PROGRAMACION CON PRESENTACIONES MATRICIALES 206

PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO 378

PROGRAMACIÓN DINÁMICA 297

PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA 372

PROGRAMACION LINEAL CON GAMS 241

PROGRAMACION LINEAL CON LINDO 249

Programación lineal con Solver de Excel 442

PROGRAMACION LINEAL CON TORA 246

PROGRAMACIÓN LINEAL CON WINQSB 234

PROGRAMACION LINEAL -OTRA FORMA DE SOLVER 446

PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX 193

PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL 200

PROGRAMACION POR METAS 653

PROGRAMACION POR METAS CON EXCEL 654

PRÓLOGO 15

PROGRAMACON POR METAS CON WINQSB 657

PROTECCIÓN EFECTIVA DE UNA INDUSTRIA 547

¿PARA QUÉ PROYECTAR CON CORRELACIONES? 178

PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN 177

PRUEBA X2 (DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MÁS MUESTRAS) 306

PRUEBA Z 287

QUIEN FUE EL ASESINO? 445

RAÍCES EN FUNCIONES CUADRÁTICAS: RUFFINI 829

RAÍCES EN FUNCIONES CÚBICAS: RUFFINI 829

RAÍCES EN POLINOMIOS DE ORDEN SUPERIOR 831

RAPIDITO Y LENTITO EN LA ESTACION VIVITOS 510

RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9 468

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 849

REFINERIA AZTECA 431

REGRESIÓN MÚLTIPLE 134

RELACIÓN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS VARIABLES) 126

RESPONSABILIDAD SOCIAL EMPRESARIA-ESR 684

RESPUESTAS 436

RESPUESTAS: 515

RESPUESTAS: 521


















































































877

RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES 370

RIESGO MORAL 690

RIESGO vs. INCERTIDUMBRE 696

SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES 309

SEGUNDA ) Para que sirve todo esto de los métodos? 394

SEGUNDA TEORÍA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia 319

SEIS METODOS EQUIVALENTES 530

SELECCIÓN ADVERSA 691

SENSIBILIDAD 192

SEÑALIZACION 691

SERIES DE FRECUENCIAS 109

SERIES SIMPLES 100

SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA 87

SIGNIFICADO Y VALOR DE λ: 337

SIMPLEX MATRICIAL 231

SIMULACIÓN DE MONTECARLO 292

SISTEMAS CON 1700 VARIABLES 253

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES CON MATLAB 265

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN 253

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EVIEWS 260

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EXCEL, STATA, EVIEWS, MATLAB, SPSS 255

SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON STATA 257

SISTEMAS NXN CON DETERMINANTES EN EXCEL 256

SISTEMAS NxN CON SOLVER DE EXCEL 253

SISTEMAS NxN CON SPSS 270

SOLVER EN FORMA TIPO MATRICIAL / SIMIL MATRICIAL / o PARAMATRICIAL 429

SUBASTA MULTIPLE (PAQUETES 716

SUBASTA VICKREY 711

SUBASTAS CON EXCEL, … 720

SUBASTAS DE UN UNICO BIEN Y DE PAQUETES 724

TABLAS DE EXTRAS DE PRECIOS Y COSTOS 477

TAMAÑO DE LA MUESTRA 296

TELEFOCOM Ejercicio 4: 514

TELEFOCOM **EJERCICIO 7: 519

TEMAS FUNDAMENTALES PARA UN CURSO GENERAL DE MICROECONOMÍA 83

TEOREMA DEL INGRESO EQUIVALENTE 710

TEOREMA MINIMAX: 553

TEORIA DE CONJUNTOS de Von Neumann-Bernays-Gödel 738

TEORIA DE JUEGOS 548

TEORIA DE JUEGOS –CONTEXTO HOSTIL 548


















































































878

TEORIA DE LA DECISION 686

TEORIA DE LA DECISION – SEGUN TIPOS DE INCERTIDUMBRE 744

TEORÍA DE LA DEMANDA 313

TEORÍA DE LA INCERTIDUMBRE - SUBASTAS 706

TEORIA DE LA INCERTIDUMBRE NO ESTRUCTURADA 742

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 275

TEORÍA DE LAS COLAS 290

TEORIA DE LOS ACUERDOS 638

TEORÍA DE LOS COSTOS CON EXCEL 369

TEORÍA DEL EQUILIBRIO DE LA EMPRESA 364

Teorías de la demanda y sistemas económicos 313

TEORÍAS ECONÓMICAS Y LEGISLACIÓN OBLIGATORIA 476

TERCERA TEORÍA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELADA 321

TIPOS DE BIENES 94

TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MÉTODOS 98

TEORIA IRREAL – PRACTICA REAL 760

TOMA Y DACA 558

TRABAJOS PRACTICOS: 7 OBLIGATORIOS EN EXCEL 804

TRES POSIBLES ENFOQUES MICROECONOMICOS: 81

TRES ESTADOS CONTABLES: 457

URNA DE PÓLYA 746

USO DE FUNCIONES 77

USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPORADAS EN EXCEL 279

UTILIDAD ESPERADA 701

UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU: 744

VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO 213

VALOR DE SHAPLEY 640

VALOR DE SHAPLEY CON EXCEL 651

VALOR ESPERADO 700

VAN Y TIR (VALORACION DEL TIEMPO) 452

VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS 121

VIDA ÚTIL DE UN PRODUCTO 288


































































879

Enfoque práctico del curso:

Este curso tiene una modalidad analítica similar a los dicta-dos en la Escuela de Economía de Londres., en el MIT y en alguna universidad española. Sin embargo, como Microeconomía a nivel intermedio, de aplicación directa y plena en los diversos departa-mentos de toda empresa, se le ha asignado un tratamiento tipo “Microeconomía en Acción”: el alumno debe captar la aplicación

de cada principio / modelo -incluso su cálculo matemático y con PC (el ejemplo resuelto con 6 métodos (CAP.7) es ilustrativo ya que es “efectivamente” generalizable a miles de variables); también para la posible confrontación de su empresa con las competidoras locales y externas; y en las negociaciones ante las Secretarías de Comercio, de Industria o Comisión Nacional de Defensa de la Competencia locales, así como ante la OMC, Mercosur, CECA, International Tra-de Commission y U.S. Department of Commerce, etc., guiándose sobre la base de los casos reales gestionados por el profesor en la actividad empresaria.

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