UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 3

Rafael Salas octubre de 2005

Resumen...

Problemas primal y dual

C. de demanda ordinaria

C. de demanda compensada

F. indirecta de utilidad y F. de gasto

Optimización:

Dos visiones alternativas de plantear la optimización del consumidor

El problema primal

n El consumidor maximiza la utilidad

U(x)

U satisface los axiomas (1) a (6)

n Sujeto a la restricción de factibilidad

x R+n

n y a la restricción presupuestaria n

S pixi ≤ Yi=1

El conjunto de consumo posible es el ortante no negativo.

La renta Y>0 es exógena

El problema primal

x1

x2

x*

Existe una forma equivalente de verlo (más adelante)

El consumidor maximiza su utilidad...

Sujeto al conj. presupuestario

Max U(x) sujeto a n

S pixi £ Yi=1

Define el problema primal

Solución al problema primal

Conjuntopresupuestario

Conjuntopresupuestario

incremento

preferencias

Contornos de la función objetivo

Contornos de la función objetivo

U(x)

El problema primal

üýþ

U1(x ) = m p1

U2(x ) = m p2

… … …Un(x ) = m pn

una ecuación para cada bien i. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “”

una ecuación para cada bien i. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “”

n

+ m[ Y – S pi xi ] i=1

maximizamos la función objetivo s. a la restricción presupuestaria

...construimos el Lagrangiano

Maximiza

Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn

e igualamos a 0

Restricción presup.

Restricción presup.

... y c.r.a m

MultiplicadorLagrange

MultiplicadorLagrange

* * * *

* *

*

Un sistema de n+1 condiciones de primer orden de tangencia:

* denota valores maximizadores de utilidad

n

Y S pi xi i=1

n

Y = S pi xi i=1

Si tenemos una solución interior x*

InterpretaciónInterpretación

nR ++

Condiciones de primer orden CPO

Ui(x*) pi ——— = — Uj(x*) pj

RMS = precios relativos

si ambos bienes i y j son positivos...

Ui(x*) pi ——— £ — Uj(x*) pj

Si consumo de bien i fuera cero entonces...

RMS £ precios relativosSoluciónSolución

La solución...

Resolviendo las CPO del primal, se obtiene un valor de consumo de cada bien maximizador de utilidad...

xi* = xid (p, Y)

m* = m*(p, Y)

...y para el multiplicador de Lagrange

...y para el valor máximo de utilidad, que se conoce como la función indirecta de utilidad :

V(p, Y) := max U(x) = U(x*) {S pixi Y}

que se conoce como la función de demanda ordinaria o marshalliana del bien i

Teorema: Existencia de funciones de demanda

Teorema: Si U(x) es continua, monótona estricta, estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, y si la renta y los precios son estrictamente positivos, las funciones de demanda xi* = xi d (p, Y) están bien definidas, son continuas y diferenciables para todo xi* estrictamente positivo.Demostración: Se basa en el teorema de la función implícita: el sistema de n+1 ecuaciones de las CPO interiores tienen una solución, contínua y diferenciable, si el jacobiano es no singular. Si U(x) es estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, el jacobiano es no singular, para los precios estrictamente positivos. Detalles

Nota: Este teorema hace referencia a la cualificación técnica de precios estrictamente positivos. Esto asegura que estamos en la región donde la estricta cuasiconcavidad implica que el jacobiano del sistema sea no singular. Si quisieramos ser más generales y analizar situaciones con precios no negativos, deberíamos imponer la propiedad del jacobiano no singular en la función de utilidad, que es una condición sutilmente más restrictiva que la estricta cuasiconcavidad

x1

x2

El problema dual

x*

Existe una forma alternativamente de verlo

el consumidor podría minimizar el gasto...

Sujeto a la restricción de utildad constante

Define el problema dual

Solución al problema dual

Min n

S pixii=1

sujeto a U(x) u

uConjunto presupuest.

Conjunto presupuest.

Reducción del gasto

Contornos de la f. objetivo

Contornos de la f. objetivo

Una conexión clara

x1

x2

x*

u

Compara el problema primal...

...con el problema dual

Los dos son equivalentes

Bajo unas condiciones

Bajo unas condicionesx1

x2

x*

n

U(x) + m[ Y – S pi

xi ] i=1

n

U(x) + m[ Y – S pi

xi ] i=1

El primal y el dual…

Tienen una simetría interesante

Son problemas equivalentes: obtienen la misma x* si elegimos como la restricción del dual la solución del primal (u=U(x*)) y viceversa

En ambos casos p está dado y determinan x*. La restricción del primal coincide con la f. objetivo del dual…y viceversa

n

S pixi+ l[u – U(x)]i=1

n

S pixi+ l[u – U(x)]i=1

u U(x) + l[u – U(x)]

El problema dual

üýþ

l U1 (x ) = p1

l U2 (x ) = p2

… … …l Un (x ) = pn

u = U(x )

Una para cada bien. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “”

Una para cada bien. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “”

n

S pi xii=1

minimizamos la función objetivo s. a la restricción

...construimos el Lagrangiano

Minimiza

Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn

e igualamos a 0.

Si tenemos una solución interior:

Restricción de utilidad

Restricción de utilidad

... Y c.r.a l

* * * *

* *

*

Un sistema de n+1 ecuaciones

* denota valores minimizadores del gasto

Mismas condiciones de primer orden

Ui(x*) pi ——— = — Uj(x*) pj

RMS = precios relativos

si ambos bienes i y j son positivos...

Ui(x*) pi ——— £ — Uj(x*) pj

Si consumo de bien i fuera cero entonces...

RMS £ precios relativosSoluciónSolución

Las n+1 soluciones...

Resolviendo las CPO del dual, se obtiene un valor de consumo de cada bien minimizador del gasto...

xi* = xic (p, u )

* = *(p, u)

...y para el multiplicador de Lagrange

...y para el valor del mínimo gasto, que se conoce como la función de gasto:

e(p, u) := min S pixi = S pixi*

que se conoce como la función de demanda compensada o hicksiana del bien i

{U(x) ³u}

Práctica:

(1) Evalúa las funciones de demanda y funciones indirectas de utilidad de:

U= a log(x1) + b log(x2) a, b > 0 Cobb-Douglas

SOL

U=a1 log(x1- g1) + a2 log(x2- g2) SOL a1, a2 > 0; g1, g2 ≥ 0; x1 > g1, x2 > g2

Sistema lineal de gasto (Stone-Geary). Stone, Economic Journal, 1954

(2) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de:

U=x1 x2

SOL

U=min(x1, x2)SOL

U=x10,5 + x2

0,5

.

Práctica:

(3) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de:

U=x1 + x2

, 1 SOL

U=log x1+x2 SOL

U=x1+x20,5

U=x1-1/x2

U=-e-x-e-y

.

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Rafael Salas octubre de 2004