Midiendo el Contenido de Información en Imágenes PolSAR

Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias

Midiendo la Cantidad de Información enImágenes PolSAR

Alejandro C. [email protected]

LaCCAN

Laboratório de Computação Científicae Análise Numérica

Universidade Federal de Alagoas

Congreso Argentino de TeledetecciónSetiembre de 2012

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Contacto

Alejandro C. [email protected]://sites.google.com/site/acfrery


Objetivo de la reunión

Revisar:1 Los principales modelos para imágenes PolSAR

2 Elementos de Teoría de la Información

3 Ver resultados de aplicar TI a los modelos

4 Ver aplicaciones: detección de bordes, filtrado y clasificación

5 Vislumbrar líneas de investigación

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Estructura

1 Introducción

2 Modelos para Datos PolSAR

La distribución H Pol en detección de bordes

La distribución G0 Pol en clasificación

3 Teoria de la Información para modelos PolSAR

Atributo de discriminación

Filtrado con distancias estocásticas

Complejidad estadística

4 Líneas de Investigación

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SAR Polarimétrico

Los sensores SAR Polarimétricos (PolSAR) son una importantefuente de información en teledetección.

En su forma más completa, en cada frecuencia de operación acada pixel está asociado no un vector de datos (como en lasimágenes multiespectrales), sino una matriz de númeroscomplejos.

Es una tecnología cara, y por lo tanto es importante ser capazde medir la información que provee.

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¿Cómo medir la información?

Es un problema difícil desde su formulación hasta suejecución.

Adoptaremos una estrategia mixta: por un lado formal,matemática, y por otro del punto de vista del usuario, de lasaplicaciones.

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Estructura

1 Introducción









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Modelado I

Los sensores SAR polarimétricos registran la intensidad y la fase devarias polarizaciones.

En cada pixel se registra una matriz de dispersión de cuatroelementos complejos SHH, SHV, SVH, SVV, en que H y V denotan laspolarizaciones horizontal y vertical, respectivamente.

La información polarimétrica está en el vector Y = [SVV SVH SHH]t ,en que t denota transposición. Se admite que Y sigue una leygaussiana compleja de media nula (Goodman, 1963a,b) y densidad

f (y;Σ) = 1

π3|Σ| exp−y∗Σ−1y

,

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Modelado IIen que | · | es el determinante, ∗ es el transpuesto del conjugado, Σes la matriz de covarianza de Y :

Σ= E

Y Y∗= ESVVS∗

VV ESVVS∗VH ESVVS∗

HHESVHS∗

VV ESVHS∗VH ESVHS∗

HHESHHS∗

VV ESHHS∗VH ESHHS∗

HH

,

y E· es la esperanza matemática.

La matriz de covarianza Σ es hermitiana, positiva definida, ycontiente toda la información para analizar losdatos (López-Martínez et al., 2005).

Se promedian n muestras para aumentar la relación señal/ruido,formando la matriz de covarianza de n looks (Anfinsen et al., 2009):

Z = 1

n

n∑i=1

Y iY∗i , (1)

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Modelado III

que sigue una distribución Wishart complexa con densidad

fZ (z;Σ,n) = n3n|z|n−3

|Σ|nΓ3(n)exp

−n tr(Σ−1z), (2)

en que Γ3(n) =π3 ∏2i=0Γ(n− i), Γ(·) es la función gama de Euler, y

tr(·) es el trazo. Denotamos esta distribución Z ∼W (Σ,n), y severifica que E(Z) =Σ (Anfinsen et al., 2009).

Blancos diferentes en la misma imagen tiene matrices decovarianza diferentes.

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Modelos polarimétricos con rugosidad I

El modelo Wishart no incluye un descriptor de la rugosidad de losblancos. Podemos generalizarlo haciendo

Z = X1

n

n∑i=1

Y iY∗i , (3)

en que X : Ω→R+ es una variable aleatoria positiva de mediaunitaria independiente del resto. Diferentes modelos para Xproducen diferentes modelos para el retorno Z , entre ellos laconstante igual a 1 (que lleva al modelo Wishart), la ley gama, la leygaussiana inversa y la ley recíproca de gama. Esas distribucionespara la rugosidad llevan a los siguientes modelos para el retorno:

fZ (z;Σ,α,n) = 2 |z|n−m(nα

) α+mn2

h(n,m) |Σ|nΓ(α)

(tr

(Σ−1z

)) α−mn2 Kα−mn

(2√

nαtr(Σ−1z

)),

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Modelos polarimétricos con rugosidad II

fZ (z;Σ,ω,n) =√

2n n3neωω3n+1 |z|n−3

h(n,m) |Σ|nK3n+1/2

(√ω(2nTr(Σ−1z)+ω)

)(ω(2nTr(Σ−1z)+ω))

32 n+ 1

4

,

fZ (z;Σ,α,n) = nmn |z|n−mΓ(mn−α)

h(n,m) |Σ|nΓ(−α)(−α−1)α(ntr

(Σ−1z

)+ (−α−1))α−mn.

En estos tres modelos α y ω modelan la rugosidad del terreno(Freitas et al., 2005; Frery et al., 2010).

Veremos ahora la aplicación de estos modelos a dos problemas.

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Detección local de bordes

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Probabilidad de detección correcta

Position

Pro

babili

ties

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10

I ~ Σu, ω=1 vs. Σf, ω=10 II ~ Σu, ω=5 vs. Σf, ω=10

0 2 4 6 8 10

III ~ Σu, ω=1 vs. Σf, ω=15 IV ~ Σu, ω=5 vs. Σf, ω=15

V ~ Σu, ω=1 vs. Σp, ω=20 VI ~ Σu, ω=5 vs. Σp, ω=20 VII ~ Σu, ω=1 vs. Σp, ω=25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

VIII ~ Σu, ω=5 vs. Σp, ω=25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

IX ~ Σf, ω=10 vs. Σp, ω=20

0 2 4 6 8 10

X ~ Σf, ω=10 vs. Σp, ω=25 XI ~ Σf, ω=15 vs. Σp, ω=20

0 2 4 6 8 10

XII ~ Σf, ω=15 vs. Σp, ω=25

Mean Roughness (a) HH (b) HV (c) VV (d)

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(a) Modelo Wishart (b) Modelo G0 Pol

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Estructura

1 Introducción









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Elementos

! La Teoría de la Información es una rama de la Probabilidad y laEstadística fuertemente influenciada por la Ingeniería.

! También se la conoce como “Teoría Estadística de lasComunicaciones” y “Teoría de la Comunicación”

! La Información puede ser entendida como el tiempo o elesfuerzo que demanda realizar una tarea.

! Fisher cuantificó la información que una muestra da sobre lapoblación (Wassermann, 2005).

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Información de Kullback-Leibler

Es una medida relativa de la información entre dos distribuciones,también conocida como entropía relativa y entropía cruzada:

K (X : Y ) =−∫

S

(log

fX

fY

)fY

Si fY es uniforme, K (X : Y ) = H(Y )−H(X) que sólo es finita si S es unconjunto limitado.

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Divergencias (h,φ)

Una divergencia es una medida de lo diferentes que son dosdistribuciones. La divergencia (h,φ) es una familia propuesta porSalicrú et al. (1994) y por Csiszár (1967).

Definition

Sean las variables aleatorias X y Y con igual soporte S y densidadesfX (x | θ1) y fY (x | θ2), respectivamente. Sean φ : (0,∞) →R+ y hfunciones, la primera convexa y la segunda creciente tal queh(0) = 0, ambas derivables. La divergencia entre las distribucioneses dada por

dhφ(X‖Y ) = h

(∫x∈S(x)

φ

(fX (x | θ1)

fY (x | θ2)

)fY (x | θ2)dx

). (4)

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Podemos construir distancias a partir de divergencias

dhφ(X ,Y ) = 1

2

(dhφ(X‖Y )+dh

φ(Y‖X )).

Propiedades:

Las distancias estocásticas satisfacen:

1 dhφ(X ,Y ) ≥ 0 (no negatividad);

2 dhφ(X ,Y ) = dh

φ(Y ,X ) (simetría);

3 dhφ(X ,Y ) = 0 ⇔ X = Y (identidad de indiscernibles).

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Distancia h,φ y funciones h y φ

Distancia (h,φ) h(y) φ(x)

Kullback-Leibler y/2 (x−1)logx

dKL(X ,Y ) = 12

∫(fX − fY ) log fX

fY

Bhattacharyya − log(−y+1), −px+ x+12

dB(X ,Y ) =− log∫ √

fX fY 0 ≤ y < 1

Hellinger y/2, (p

x−1)2

dH(X ,Y ) = 1−∫ √fX fY 0 ≤ y < 2

Rényi (order β) 1β−1 log((β−1)y+1),

x1−β+xβ−β(x−1)−22(β−1) ,

dβR(X ,Y ) = 1

β−1 log

∫fβ

X f1−β

Y +∫f

1−βX f

βY

2 0 ≤ y < 11−β 0 <β< 1

χ2 y/4 (x−1)2(x+1)/x

dχ2 (X ,Y ) = 14

(∫ (fX −fY )2

fX+∫ (fX −fY )2

fY

)

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Otras distancias

Jensen-Shannon: dJS(X ,Y ) = 12

[∫fX log

(2fX

fY +fX

)+∫

fY log(

2fY

fY +fX

)]Aritmética-geométrica: dAG(X ,Y ) = 1

2

∫(fX + fY ) log

(fY +fX

2p

fY fX

)Triangular: dT(X ,Y ) = ∫ (fX−fY )2

fX+fY

Media armónica: dHM(X ,Y ) =− log(∫ 2fX fY

fX+fY

)=− log

(1− dT(X ,Y )

2

)

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De distancias a tests de hipótesis

Al calcular distancias estocásticas dhφ(X ,Y ) entre distribuciones del

mismo tipo (que difieren sólo en los parámetros), podemos escribir

dhφ(θ1,θ2).

Para poder usar dhφ(θ1,θ2) necesitaríamos los parámetros

verdaderos θ1 y θ2.

Pero si no están disponibles, podemos usar estimadores, porejemplo de máxima verosimilitud:

dhφ(θ1, θ2) . . .

y estas cantidades tienen buenas propiedades estadísticas. Puedenser transformadas en estadísticas de test.

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Distancias entre leyes Wishart con igual número de looks

dχ2 (θ1,θ2) = 1

4

[( |Σ1||Σ2|2

abs(|(2Σ−12 −Σ−1

1 )−1|))n

+( |Σ2||Σ1|2

abs(|(2Σ−11 −Σ−1

2 )−1|))n

−2]

dKL(θ1,θ2) = n[ tr(Σ−1

1 Σ2 +Σ−12 Σ1)

2−p

]dβR(θ1,θ2) = log2

1−β + 1

β−1log

[|Σ1|−β|Σ2|(β−1)|(βΣ−11 + (1−β)Σ−1

2 )−1|]n

+ [|Σ1|(β−1)|Σ2|−β|(βΣ−12 + (1−β)Σ−1

1 )−1|]n

.

dB(θ1,θ2) = n[ log |Σ1|+ log |Σ2|

2− log

∣∣∣(Σ−11 +Σ−1

2

2

)−1∣∣∣].

dH(θ1,θ2) = 1−[ |(Σ−1

1 +Σ−12

2

)−1|p|Σ1||Σ2|

]n

.

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Test de hipótesis basados en distancias

Sean los estimadores de máxima verosimilitud θ1 = (θ11, . . . , θ1M ) yθ2 = (θ21, . . . , θ2M ) de los parámetros θ1 y θ2 basados en muestrasindependientes de tamaños N1 y N2, respectivamente. El siguientelema vale satisfechas ciertas condiciones de regularidad (Salicrú etal., 1994, p. 380):

Lemma

Si N1N1+N2

−−−−−−−→N1,N2→∞ λ ∈ (0,1) y θ1 = θ2, entonces

Shφ(θ1, θ2) = 2N1N2

N1 +N2

dhφ(θ1, θ2)

h′(0)φ′′(1)D−−−−−−−→

N1,N2→∞ χ2M ,

en que “D−→” denota convergencia en distribución.

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¿Estos resultados son aplicables?

(c) Fotografía de San Francisco (d) Polarización HH

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Phantom Corrompida

x

x x x x

x x xx

(θ1, . . . , θ9

)0.94810.0127

.

.

.0.0554

if Shφ(θ1, θi) < ηx x

x x = λj

x = λ1

Filtrada

Algoritmosde avaliacao da

qualidade de imagem

Z ∼∼∼ Γ(L,L/λ) Operador

Local

EMV

Shφ(θ1, θi)Ajuste de

Bonferroni

Sim(Selecao)

Juncao

Nao

Extracao das caracterısticas para avaliacao

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Datos simuladosVentana 5×5, 1 iteración y α= 99%

(e) 4-looks (f) Zoom

(g) Filtro Lee (h) Zoom (i) Filtro Hellinger (j) Zoom

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Datos PolSARVentana 5×5, 1 iteración y α= 80%

(k) Datos originales (l) Filtro de Media (m) Filtro Hellinger

Figura : Datos PolSAR en descomposición de Pauli.

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Estructura

1 Introducción









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Algunas líneas de investigación

Trabajar con otros modelos

Resolver los muchos problemas de estimación

Proponer nuevas técnicas de filtrado

Proponer nuevos clasificadores (en ensemble, por ejemplo)

Proponer nuevas técnicas de segmentación

Proponer descomposiciones con propiedades estadísticas yvisuales interesantes

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Referencias I

Anfinsen, S. N., Doulgeris, A. P. & Eltoft, T. (2009), ‘Estimation of theequivalent number of looks in polarimetric synthetic aperture radarimagery’, IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing47(11), 3795–3809.

Cintra, R. J., Frery, A. C. & Nascimento, A. D. C. (in press), ‘Parametric andnonparametric tests for speckled imagery’, Pattern Analysis andApplications.

Csiszár, I. (1967), ‘Information type measures of difference of probabilitydistributions and indirect observations’, Studia ScientiarumMathematicarum Hungarica 2, 299–318.

Freitas, C. C., Frery, A. C. & Correia, A. H. (2005), ‘The polarimetric Gdistribution for SAR data analysis’, Environmetrics 16(1), 13–31.

Frery, A. C., Jacobo-Berlles, J., Gambini, J. & Mejail, M. (2010), ‘PolarimetricSAR image segmentation with B-Splines and a new statistical model’,Multidimensional Systems and Signal Processing 21, 319–342.

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Referencias II

Frery, A. C., Nascimento, A. D. C. & Cintra, R. J. (2011), ‘Information theoryand image understanding: An application to polarimetric SAR imagery’,Chilean Journal of Statistics 2(2), 81–100. URLhttp://chjs.soche.cl/index.php?option=com_content&view=article&id=170&Itemid=58.

Giron, E., Frery, A. C. & Cribari-Neto, F. (2012), ‘Nonparametric edgedetection in speckled imagery’, Mathematics and Computers inSimulation 82, 2182–2198. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037847541200136X.

Goodman, N. R. (1963a), ‘The distribution of the determinant of acomplex Wishart distributed matrix’, Annals of Mathematical Statistics34, 178–180.

Goodman, N. R. (1963b), ‘Statistical analysis based on a certain complexGaussian distribution (an introduction)’, Annals of MathematicalStatistics 34, 152–177.

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http://chjs.soche.cl/index.php?option=com_content&view=article&id=170&Itemid=58

http://chjs.soche.cl/index.php?option=com_content&view=article&id=170&Itemid=58

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037847541200136X

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037847541200136X


Referencias III

López-Martínez, C., Fábregas, X. & Pottier, E. (2005), ‘Multidimensionalspeckle noise model’, EURASIP Journal on Applied Signal Processing2005(20), 3259–3271.

Salicrú, M., Morales, D. & Menéndez, M. L. (1994), ‘On the application ofdivergence type measures in testing statistical hypothesis’, Journal ofMultivariate Analysis 51, 372–391.

Wassermann, L. (2005), All of Statistics: A Concise Course in StatisticalInference, Springer.

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