Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsión

Diseo en Acero y Madera

1Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin

1. Introduccin:

Si bien muchos miembros estructurales

pueden tratarse como columnas

cargadas de manera axial o como vigas

con slo carga de flexin, la mayora de

las vigas y columnas estn sometidas, en

cierto grado, a la flexin y a la carga axial.

Esto se cumple para las estructuras

estticamente indeterminadas. Incluso,

el rodillo de apoyo de una viga simple

puede experimentar la friccin que

restringe longitudinalmente a la viga, al

inducir la tensin axial cuando se aplican las cargas transversales. Sin embargo, en este

caso particular, los efectos secundarios son usualmente pequeos y pueden ser

despreciados. Muchas columnas son tratadas como miembros en compresin pura con

poco error. Si la columna es un miembro de un solo piso y puede tratarse como articulada

en ambos extremos, la nica flexin resultar de excentricidades accidentales menores

de la carga.

La mayora de las columnas en marcos rgidos son en realidad vigas-columnas y los

efectos de la flexin no deben ser ignorados. Sin embargo, muchas columnas aisladas de

un solo piso son tratadas como miembros cargados axialmente en compresin.

Otro ejemplo de viga-columna puede a veces encontrarse en las armaduras de techo.

Aunque la cuerda superior es, por lo comn, tratada como un miembro cargado

axialmente en compresin, si se colocan polines entre los nudos, sus reacciones causarn

flexin, la que debe tomarse en cuenta.

2. Frmulas de Interaccin:

La desigualdad de la ecuacin puede escribirse de la forma siguiente:

0.1

n

ii

R

Q

o 0.1

arg___

aresistenci

asclasdeefectos

Si ms de un tipo de resistencia est implicada, la ecuacin se emplear para formar la

base de una frmula de interaccin. Por ejemplo, si actan la flexin y la compresin

axial, la frmula de la interaccin sera:



0.1nb

u

nc

u

M

M

P

P

Dnde:

uP Carga de compresin axial factorizada.

ncP Resistencia de diseo por compresin.

uM Momento flexionante factorizado.

nbM Momento de diseo.

Para la flexin biaxial, habr dos razones de flexin:

0.1

nyb

uy

nxb

ux

nc

u

M

M

M

M

P

P

Donde los subndices x y y se refieren a la flexin

respecto a los ejes x y y.

La ecuacin es la base para las frmulas del AISC, para los miembros sometidos a la

flexin ms la carga de compresin axial. Dos frmulas se dan en las Especificaciones:

una para la carga axial pequea y otra para la carga axial grande. Si la carga axial es

pequea, el trmino de la carga axial se reduce. Para una carga axial grande, el trmino

de flexin se reduce ligeramente. Los requisitos del AISC estn dados en el Captulo H

sobre los "Miembros Bajo Fuerzas y Torsin Combinadas", y se resumen como sigue:

Para: 2.0nc

u

P

P

0.19

8

nyb

uy

nxb

ux

nc

u

M

M

M

M

P

P

(Ecuacin H1-1 a del AISC)

Para: 2.0nc

u

P

P

0.12

nyb

uy

nxb

ux

nc

u

M

M

M

M

P

P

(Ecuacin H1-1b del AISC)

Amplificacin del Momento: El enfoque anterior para el anlisis de los miembros

sometidos a la flexin ms la carga axial es satisfactorio en tanto que esta ltima no sea

muy grande. La presencia de Ia carga axial produce momentos secundarios y a menos

que la carga axial sea relativa pequea, esos momentos adicionales deben tomarse en

cuenta. Para entender esto, observe la figura 6.3, la cual muestra una viga-columna con

una carga axial y una carga transversal uniforme.



En un punto O cualquiera, hay un momento flexionante causado por la carga uniforme y

un momento adicional Py originado por la carga axial al actuar con una excentricidad

respecto al eje longitudinal del miembro. Este momento secundario es mximo donde la

deflexin es mxima, en este caso a la mitad de la altura, donde el momento total es

PwL 8/2 . Por supuesto, el momento adicional causa una deflexin adicional por

encima de la resultante de la carga transversal. Como la deflexin total no puede

encontrarse directamente, este problema no es lineal y sin conocer la deflexin, no

podemos calcular el momento.

Los mtodos de anlisis estructural ordinario, que no toman en cuenta la geometra

desplazada, se denominan de primer orden. Los procedimientos numricos iterativos,

llamados mtodos de segundo orden, pueden emplearse para encontrar las deflexiones

y los momentos secundarios, pero esos mtodos son impracticables para los clculos

manuales y son, por lo regular, implementados con un programa de computadora. La

mayora de los reglamentos y de las especificaciones de diseo, incluyendo las

Especificaciones del AISC, permiten el uso de un anlisis de segundo orden o del mtodo

de la amplificacin del momento. Este mtodo implica calcular el momento flexionante

mximo que resulta de las cargas de flexin (cargas transversales o momentos de

extremo del miembro) por medio de un anlisis de primer orden para luego multiplicarlo

por un factor de amplificacin de momento para tomar en cuenta el momento

secundario. Se desarrollar, enseguida una expresin para este factor.

La siguiente figura muestra un miembro simplemente apoyado con una carga axial y cierto

desalineamiento inicial. Este desalineamiento inicial puede ser aproximado por:

L

xeseny

0



Donde e es el desplazamiento mximo inicial que ocurre a la mitad del claro. Para el

sistema coordenado mostrado, la relacin momento-curvatura puede escribirse como:

EI

M

dx

yd

2

2

El momento flexionante M es causado por la excentricidad de la carga axial Pu con

respecto al eje del miembro. Esta excentricidad consiste en el desalineamiento inicial y0

ms la deflexin adicional y que resulta de la flexin. En cualquier posicin, el momento

es: yyPM u 0

Al sustituir esta expresin en la ecuacin diferencial, obtenemos:

y

L

xesen

EI

P

dx

yd u 2

2

Al reordenar los trminos, resulta: L

xsen

EI

ePy

EI

P

dx

yd uu 2

2

Es una ecuacin diferencial ordinaria no homognea. Como es una ecuacin de segundo

orden, habr dos condiciones de frontera. Para las condiciones de soporte mostradas, las

condiciones de frontera son:

En x = 0, y = 0 y en x = L, y = 0

Es decir, el desplazamiento es cero en cada extremo. Una funcin que satisface la

ecuacin diferencial y las condiciones de frontera es:



L

xBseny

Donde B es una constante. Sustituyndola en la ecuacin diferencial, obtenemos:

L

xsen

EI

eP

L

xBsen

EI

P

L

xBsen

L

uu 2

2

Al despejar la constante se obtiene:

112

2

2

2

u

e

u

u

u

P

P

e

LP

EI

e

LEI

P

EI

eP

B

Dnde:

2

2

L

EIPe

La carga de pandeo de Euler .:

Lx

senPP

e

L

xBseny

ue

1/

yyPM u 0

L

xsen

PP

e

L

xesenP

ue

u

1/

El momento mximo ocurre en x = L/2:

1/ ueumx

PP

eePM

1/

11/

ue

ueu

PP

PPeP

eu PPM

/1

10

Donde Mo es el momento mximo no amplificado. En este caso, esto resulta del

desalineamiento inicial, pero en general, esto puede resultar de las cargas transversales

o de momentos en los extremos. El factor de amplificacin de momento es por lo tanto:

eu PP /11

Pandeo Local del Alma en Vigas-Columnas: La determinacin del momento de diseo

requiere que se revise la compacidad de la seccin transversal. El alma es compacta para

todos los perfiles tabulados, en tanto que no se tenga carga axial. En presencia de la carga

axial, el alma puede ser no compacta. Cuando usamos la notacin wth / tenemos lo

siguiente:

Si p , el perfil es compacto.

Si rp , el perfil es no compacto.



Si r , el perfil es esbelto.

La seccin B5 del Manual AISC, en la Tabla B5.1, prescribe los siguientes lmites:

Para ,125.0yb

u

P

P

yb

u

y

pP

P

F

75.21

640

Para ,125.0yb

u

P

P

yyb

u

y

pFP

P

F

25333.2

191

Para cualquier valor de yb

u

P

P

,

yb

u

y

rP

P

F 74.01

970

Donde ygy FAP es la carga axial requerida para alcanzar el estado lmite de fluencia.

Como Pu es una variable, la compacidad del alma no puede revisarse ni tabularse de

antemano. Sin embargo, algunos perfiles rolados satisfacen el peor caso lmite de 253/

Fy, lo que significa que esos perfiles tienen almas compactas sin importar cul sea la carga

axial. Los perfiles dados en las tablas de cargas para columnas, en la Parte 3 del Manual,

que no satisfacen este criterio, estn marcadas, y slo esos perfiles deben revisarse por

compacidad del alma. Los perfiles cuyos patines no son compactos, estn tambin

marcados; por lo que, si no hay indicacin contraria, los perfiles en las tablas de cargas

para columnas son compactos.

3. Miembros Sometidos a Flexin y Tensin Axial: Sitio de incidencia: Los miembros estructurales sujetos a una combinacin de esfuerzo

por flexin y carga axial son muchos ms comunes de lo que uno se imagina. Las columnas

que forman parte de una estructura de acero deben soportar, casi siempre, momentos

flexionantes, adems de sus cargas usuales de compresin. Es casi imposible montar y

centrar exactamente las cargas axiales sobre las columnas aun en los caso de pruebas de

laboratorio, y en las construcciones dicha dificultad es an mayor. Aunque las cargas en

un edificio o estructura pudieran centrarse perfectamente en un momento determinado,

no permaneceran estacionarias. Adems, las columnas pueden tener defectos iniciales

o tener otras fallas, dando como resultado el que se produzcan flexiones laterales. Las

vigas generalmente se unen a las columnas mediante ngulos o mnsulas colocadas a los

lados de estas, que originan as cargas aplicadas excntricamente que producen

momentos. El viento y otras cargas laterales ocasionan flexin lateral en las columnas y

las de marcos rgidos edificios, estn sometidas a momentos, aun cuando el marco

soporte solo cargas verticales. Los elementos de los portales y de puentes deben resistir

esfuerzos combinados en forma semejante a las columnas de edificios; entre las causas



que los originan se encuentras los fuertes vientos laterales, cargas verticales de trnsito,

sea o no simtricas y la fuerza centrfuga debida a la transito en los puentes con curva.

Posiblemente ha considerado que las armaduras se cargan en los nudos y como

consecuencia, sus miembros estn axialmente cargados; sin embargo, en ocasiones los

largueros de la cubierta quedan colocados entre los nudos de la cuerda cargada de la

armadura, haciendo que dicha cuerda se flexione; de modo semejante, la cuerda inferior

puede flexionarse por el peso de las instalaciones de alumbrado, ductos u otros

elementos colocado entre los nudos de las armaduras. Todos los miembros horizontales

o inclinados de las armaduras estn sometidos a un momento ocasionado por su propio

peso, en tanto que todos los miembros

de las armaduras sean o no verticales,

quedan sujetos a esfuerzos de flexin

secundaria. Los esfuerzos secundarios

se ocasionan por que los miembros no

se conectan mediante pasadores sin

friccin, como se supone por el anlisis

que se hizo de esfuerzos y los ejes de

gravedad de los miembros, o los de sus

elementos de conexin no coinciden

exactamente en las juntas, etc.

Los momentos flexionantes en los miembros sujetos a tensin no son tan peligrosos

como en los miembros sujetos a compresin, porque la tensin tiende a reducir las

deflexiones laterales, en tanto que la compresin las incrementa. A su vez, el incremento

de deflexin lateral se traduce en incremento de momento, con el resultado de mayores

deflexiones laterales, etc. Es de esperarse que los miembros en tal situacin sean

suficientemente rgidos como para impedir que las deflexiones laterales lleguen a ser

excesivas.

Miembros Simtricos Sometidos A Flexin Y Tensin Axial: Algunos tipos de miembros

sometidos a flexin y tensin axial se muestran en la figura.

En la seccin H1 de las especificaciones LRFD se dan las siguientes ecuaciones de

interaccin para perfiles simtricos sujetos simultneamente a flexin y a tensin axial.

Esas ecuaciones tambin se aplican a miembros sujetos a flexin y a compresin axial.



Algunos miembros sometidos a flexin y tensin axial.

Si Pu

tPn> 0.2

PutPn

+8

9[

MuxbMnx

+Muy

bMny] 1.0

(Ecuacin H1-1a del LRFD)

Si Pu

tPn< 0.2

Pu2tPn

+ [Mux

bMnx+

MuybMny

] 1.0

(Ecuacin H1-1b del LRFD)



Los trminos en esas ecuaciones se han definido previamente; Pu y Mu son las

resistencias requeridas por tensin y por flexin, Pn y Mn son las resistencias nominales

por tensin y por flexin, t y b son los factores de resistencia. Por lo general se hace

solo un anlisis de primer orden (es decir, sin incluir ninguna fuerza secundaria) para

miembros sujetos a flexin y tensin. Se sugiere a los proyectistas efectuar anlisis de

segundo orden para esos miembros y usar los resultados en sus diseos. Los ejemplos 1

y 2 ilustran la aplicacin de esas expresiones de interaccin a miembros sujetos

simultneamente a flexin y a tensin axial.

Ejemplo 1:

Un miembro de acero 50 ksi tiene una seccin W12x35 sin agujeros y est sujeto a una

tensin factorizada Pu de 80 klb y a un momento flexionante factorizado Muy de 35 klb-

pie. Es satisfactorio el miembro si < ?

Solucin:

La seccin W12x35 tiene una A = 10.3 pulg3 y una = 11.5 pulg3.

tPn = t Fy Ag = (0.9)(50)(10.3) = 463.5 klb

Pu

tPn=

80

463.5= 0.173 < 0.2

Por lo que rige la ecuacin del H1-1b LRFD

= =(0.9)(50)(11.5)

12= 43.13

Pu2tPn

+ [Mux

bMnx+

MuybMny

] =80

(2)(463.5)+ [0 +

35

43.12]

= 898 < 1.0 ()

Ejemplo 2:

Un miembro de acero 50 ksi tiene una seccin W10x30 sin agujeros y una de 12.0 pie;

est sujeto a una tensin factorizada de 120 klb y a los momentos factorizados =

90 klb-pie y = 0. Si =1.0 Es adecuado el miembro?

Solucin:



La seccin W10x30 (A = 8.84 pulg2, = 4.8 pie y = 14.5 pie)

tPn = t Fy Ag = (0.9)(50)(8.84) = 397.8 klb

Pu

tPn=

120

397.8= 0.302 > 0.2

Por lo que rige la ecuacin del H1-1a LRFD

En la tabla de seleccin se ve que > ; entonces

= 137 klb-pie

= 97.2 klb-pie

BF = 4.13

= [ ( )]

= 1.0[137 4.13(12.0 4,8)] = 107.26

PutPn

+8

9[

MuxbMnx

+Muy

bMny] =

120

397.8+

8

9(

90

107.26+ 0) = 1.048 > 1.0 ()

4. Miembros Simtricos Sometidos a Flexin y Compresin Axial:

El miembro sujeto a compresin axial y a flexin es conocido como una viga- columna a flexocompresion. Como se mencion anteriormente, en las uniones de miembros en estructuras de acero se pueden generar excentricidades en la transmisin de cargas que pueden producir momentos flexionantes. Los momentos flexionantes tambin pueden ser producidos por cargas transversales o por momentos aplicados en los extremos o en el claro del miembro. Independientemente del origen de los momentos, si sus valores son significativos, estos no pueden ser despreciados y debern considerarse actuando en combinacin con los otros efectos de carga presentes en el miembro. En este Captulo se tratan los miembros estructurales sujetos a combinacin de esfuerzos de compresin axial y flexin (o flexocompresin). Dichos miembros son conocidos como vigas-columnas y se encuentran frecuentemente en marcos, armaduras y en puntales de muros exteriores. La Fig. 7.1 ilustra las condiciones tpicas de carga que generan flexocompresin.



El comportamiento estructural de las vigas-columnas depende principalmente de la configuracin y dimensiones de la seccin transversal, de la ubicacin de la carga excntrica aplicada, de la longitud de columna y de las condiciones de apoyo lateral. Por esta razn, el AISI 1980 clasific a las vigas-columnas en las siguientes cuatro categoras, de acuerdo a la configuracin de la seccin transversal y el modo de pandeo:

Secciones con simetra doble y secciones no sujetas a pandeo por torsin o por flexotorsin.

Secciones con simetra simple o componentes de secciones armadas unidos intermitentemente, no sujetos a pandeo local y cargados en el plano de simetra, los cuales pueden estar sujetos a pandeo por flexotorsin.

Secciones simtricas o componentes de secciones armadas unidos intermitentemente, sujetos a pandeo local y cargados en el plano de simetra, los cuales pueden estar sujetos a pandeo por flexotorsin.

Secciones con simetra simple sujetas a carga asimtrica. Como resultado de la aplicacin del concepto unificado de diseo, el AISI 1986 determin que las vigas-columnas sujetas y no sujetas a pandeo local sean diseadas usando la misma ecuacin de diseo. El AISI 1996 mantiene el mismo concepto e incluye a las ecuaciones de diseo en la Seccin C5. A continuacin se presenta la fundamentacin terica en la que se basa las especificaciones de del AISI para el diseo de vigas-columnas. Secciones con simetra doble y secciones no sujetas a pandeo por torsin o flexotorsion: Las secciones doblemente simtricas sujetas a compresin axial y flexin con respecto al eje menor pueden fallar por fluencia o por pandeo local por flexin en la ubicacin del mximo momento. Sin embargo, cuando la seccin es sujeta a carga excntrica que produce momentos flexionantes con respecto al eje mayor, el miembro puede fallar por flexin o por flexotorsin debido a que la carga excntrica no pasa por el centro de cortante. Las secciones torsionalmente estables, como las secciones tubulares rectangulares, sujetas a momentos flexionantes aplicados con respecto al eje menor, pueden fallar por flexin en la regin del momento mximo, pero si el momento es aplicado con respecto al eje mayor, pueden fallar por flexin con respecto al eje mayor o menor, dependiendo de la magnitud de las excentricidades. Atendiendo a la dualidad ASD/LRFD presente en el AISI 1996, a continuacin se presenta el desarrollo de las ecuaciones de diseo para vigas-columnas segn los Mtodos ASD y LRFD.

El mtodo LRFD usa las mismas ecuaciones de interaccin que el mtodo ASD, excepto que cPn y bMn son usadas como las resistencias de diseo a compresin axial y flexin, respectivamente. Adems, la resistencia requerida para carga axial Pu y la resistencia



requerida a flexin Mu debern ser determinadas a partir de las cargas factorizadas de acuerdo a los requisitos de la Seccin A6.1.2 (ver Art. 3.3.2). Debe mencionarse que, comparado con las primeras especificaciones de LRFD del AISI (1991), la definicin del parmetro a fue modificada en el AISI 1996 al eliminar el factor de resistencia c, ya que la variable Pe es determinista (no aleatoria) y por lo tanto no requiere un factor de resistencia. Las ecuaciones de interaccin del AISI 1996 son las mismas que fueron usadas en las primeras especificaciones de LRFD del AISI pero son diferentes a las especificaciones de LRFD del AISC (1993), ya que la informacin disponible actualmente del comportamiento de columnas de acero laminado en fro no permite adoptar libremente los criterios de LRFD del AISC. A continuacin se presentan las ecuaciones de interaccin del AISI 1996:

Para Pu 0.15cPn:

La definicin de todos los trminos de estas ecuaciones est dada en el Art. 7.5.

Secciones Abiertas de Pared Delgada Sujetas a Pandeo por Flexo torsin: Las secciones con simetra simple y las secciones abiertas asimtricas usadas como vigas-columnas pueden estar sujetas a pandeo por flexotorsin. Las ecuaciones diferenciales de equilibrio que gobiernas dichas secciones estn dadas por las Ecs. (7.20) a (7.22).

Dnde: Ix = momento de inercia con respecto al eje x Iy = momento de inercia con respecto al eje y u = desplazamiento lateral en la direccin x v = desplazamiento lateral en la direccin y



f = ngulo de rotacin xo = coordenada en x del centro de cortante yo = coordenada en y del centro de cortante E = mdulo de elasticidad G = mdulo de cortante J = constante torsional de St. Venant de la seccin Cw = constante torsional de alabeo de la seccin ro = radio de giro polar de la seccin con respecto al centro de cortante P = carga axial aplicada

Mx, My = momentos flexionantes con respecto a los ejes x y y, respectivamente

Todas las primas representan diferenciacin con respecto a z. Asumiendo que los momentos de extremo Mx y My se deben a cargas excntricas aplicadas en ambos extremos a excentricidades ex y ey (ver Fig. 7.3), los momentos Mx y My pueden expresarse como:

Por consiguiente, las Ecs. (7.20) a (7.22) pueden replantearse de la siguiente manera:

5. Efectos de Segundo Orden:

En un miembro sometido a carga axial y momentos, aparecern momentos flexionantes

y deflexiones laterales adicionales a las iniciales. Cuando se realiza un anlisis elstico

convencional, obtenemos momentos y fuerzas de primer orden. En una columna de un

prtico arriostrado se puede presentar momentos secundarios debido a la flexin lateral

de la columna. En la figura 1, se presenta un momento adicional Pu. Este es un efecto

de tipo local y slo se presentar en la columna ms dbil o sometido a una mayor carga

axial. En un prtico no arriostrado, se pueden presentar momentos adicionales P,



debido a la deflexin lateral que se presenta. Este es un fenmeno global y se puede

presentar en todas las columnas de un entrepiso.

La resistencia a fuerzas horizontales en ciertos edificios puede ser provista por slo

algunos planos resistentes que proporcionen adems la estabilidad de todos los planos

frente a fuerzas gravitatorias mayoradas.

En otros edificios cada plano mediante la accin de prtico de nudos rgidos proveer

dicha resistencia y estabilidad. En los prticos de nudos rgidos (o semirgidos)

desplazables lateralmente, bajo la accin combinada de fuerzas gravitatorias y

horizontales, se producen desplazamientos laterales de sus nudos.

Como consecuencia de dicho desplazamiento , se pueden desarrollar en vigas y

columnas momentos secundarios adicionales, conocidos como efecto P. En cada piso, P

es la carga gravitatoria total actuante por encima del piso considerado y es el

desplazamiento de dicho piso. Cuando la carga o el desplazamiento son de cierta

magnitud, este efecto produce momentos adicionales de segundo orden de importancia

que se deben considerar en el proyecto de las barras del prtico.

En prticos de nudos articulados cuya estabilidad est provista por otros planos de

arriostramiento, el efecto P produce un incremento de las fuerzas axiles en sus barras y

en las de los sistemas de arriostramiento aunque, en general, esos efectos son de poca

importancia.

El Proyectista o Diseador Estructural deber valorar su importancia relativa y

considerarlos o no en el dimensionado. Por otra parte, cuando en las barras comprimidas

actan cargas transversales entre los nudos, se puede producir un aumento de los

momentos flexores en tramo y extremos de la barra por efecto de la deformacin del eje

Efectos P y P en elementos

flexocomprimidos



de la barra, (P). En este caso P es la fuerza de compresin en la barra y la deformacin

en el tramo. Puesto que los efectos (P y P) pueden generar en los prticos

deformaciones mayores que las resultantes de las solicitaciones de primer orden, los

efectos de segundo orden debern ser incluidos en el anlisis para determinar las

deformaciones en servicio.

Para determinar las solicitaciones de seccin requeridas, producidas por las cargas

mayoradas que incluyan los efectos P y P, se puede utilizar el anlisis elstico de

segundo orden. Alternativamente, a partir de los momentos flexores obtenidos por

anlisis elstico de primer orden, se pueden obtener los momentos flexores de segundo

orden en forma aproximada con los factores de amplificacin B1 y B2.

En un caso general, una barra puede tener momentos de primer orden no asociados con

los desplazamientos laterales (Mnt), los que sern amplificados con B1, y momentos de

primer orden producidos por las fuerzas que provocan los desplazamientos laterales

(Mlt), que sern amplificados con B2. En prticos de nudos desplazables se pueden

producir momentos de primer orden de ambos tipos aunque slo existan cargas

gravitatorias. Esto ocurre si la estructura y/o las cargas no son simtricas. Los Mnt son los

momentos resultantes en el prtico cuando se impide el desplazamiento lateral mediante

vnculos ficticios. Los momentos resultantes en el prtico al cargarlo con las acciones

contrarias a las reacciones de dichos vnculos ficticios son los momentos Mlt.

En el diseo de las estructuras aporticadas se considerarn los efectos P- o de segundo

orden, en las estructuras diseadas mediante un anlisis plstico, los momentos finales

satisfaga los requisitos de estabilidad de porticos.

En las estructuras diseadas mediante un anlisis elstico, el momento final Mu en las

columnas, viga-columnas, conexiones y miembros conectados se determinar mediante

un anlisis elstico de segundo orden; El AISC-LRFD especifica que el momento final que

estima los momentos de primer y segundo orden en un miembro sometido a flexo

compresin es:

Donde:

B1 =es el factor de amplificacin que toma en cuenta los efectos P.

B2 =es el factor de amplificacin que toma en cuenta los efectos P.

Pe = es la carga crtica de Euler. Cm es un factor de reduccin.

Mnt = resistencia a la flexin requerida del miembro, suponiendo que no hay

translacin lateral del prtico. Incluye los momentos de primer orden

resultantes de la aplicacin de las cargas gravitacionales.

Mlt: =Resistencia a la flexin requerida por un miembro, como resultado de la

translacin lateral del prtico. En un prtico arriostrado, Mlt es cero.En

prticos no arriostrados, Mu debe incluir los momentos producidos por

las cargas laterales . si tanto el prtico como las cargas son simtricas ,

Mu = B1Mnt + B2Mlt



Mlt por cargas verticales ser cero; sin embargo ,si bien el prtico o las

cargas gravitacionales son asimtricas , en los prticos no arriostrados se

presentara desplazamiento lateral, y Mlt ser diferente de cero. Para

determinar Mlt (a) se analizara el prtico con cargas gravitacionales,

ubicando restricciones horizontales ficticias en cada piso, por lo que no

habr translacin lateral, y (b) al prtico sin carga alguna , se le aplicaran

fuerzas horizontales iguales a las reacciones encontradas en (a).

Finalmente, Mlt para un prtico no arriostrado, es la suma delos

momentos hallados en los dos pasos anteriores.

La suma algebraica dada por la expresin anterior amplificando los momentos por B1 y

B2 respectivamente, da un valor aproximado a los momentos de segundo orden del

prtico. En prticos de nudos desplazables los momentos producidos por cargas laterales

aplicadas a los nudos o las acciones contrarias a las reacciones de vnculos ficticios que

impidan el desplazamiento lateral frente a cargas laterales aplicadas en los tramos, sern

los momentos Mlt que deben ser amplificados por B2 (Fig. C-C.1.1.).

Los momentos amplificados (por B1 y/o B2) de los extremos de las barras comprimidas

debern satisfacer el equilibrio del nudo. En forma general esto se puede cumplir

mediante la distribucin a las otras barras unidas en el nudo a la barra comprimida,

de la diferencia entre el momento amplificado y el de primer orden. Esa distribucin

se har en funcin de la rigidez relativa de las otras barras no comprimidas. Si las

diferencias son pequeas, pueden ser

Ignoradas, quedando dicha valoracin a juicio del proyectista. Si la distribucin de las

diferencias de momento resultara compleja ser necesario realizar un anlisis elstico

de segundo orden. Las uniones sern proyectadas para resistir los momentos

amplificados (Figura C-C.1.2.).



El clculo de B2 se realiza para un piso completo. Cuando se proyectan edificios

aporticados a partir de un valor oh/L predeterminado, el factor B2 puede ser la base

para el predimensionado de las barras comprimidas.

Tambin, en algunas categoras de edificios, se pueden fijar desplazamientos laterales

lmites a fin de que el efecto de los momentos adicionales de segundo orden sea

insignificante. Es conservador aplicar el factor B2 a la suma de los momentos

correspondientes al prtico indesplazable y al desplazable, (Mnt + Mlt).

El clculo de B1 se realiza para cada barra comprimida del prtico :

Donde:

B1= el factor utilizado en la determinacin de Mu para amplificar momentos

determinados por anlisis de primer orden, cuando actan

simultneamente fuerzas axiles.

Pu= La resistencia requerida a compresin axil para la barra analizada, en kN.

Pe1 = Ag Fy (10-1)/ c2 donde c es el factor de esbeltez adimensional, calculado

utilizando el factor de longitud efectiva k en el plano de flexin.



Cm el coeficiente basado en un anlisis elstico de primer orden suponiendo que el

prtico como conjunto no se traslada lateralmente. Se pueden adoptar los siguientes

valores:

(a) Para barras comprimidas, que en el plano de flexin no estn sometidas a cargas

transversales entre sus apoyos:

Donde (M1 / M2) es la relacin entre los valores absolutos de los momentos

menor y mayor respectivamente, en los extremos de la porcin no arriostrada de

la barra, y en el plano de flexin considerado. (M1/ M2) es positivo cuando la barra

est deformada con doble curvatura, y negativo cuando est deformada con

simple curvatura.

(b) Para barras comprimidas, que en el plano de flexin estn sometidas a cargas

transversales entre sus apoyos, el valor de Cm ser determinado por anlisis

estructural o utilizando los siguientes valores conservativos:

Cm = 0.85 para miembros con extremos restringidos.

Cm = 1.0 para miembros con extremos no restringidos.

La relacin M1/M2 es positiva cuando el elemento se flexiona en curvatura doble y

negativa en curvatura simple. Adems M1 M2. En caso de que M1= 0 o M2 = 0 la

relacin M1/M2 = 1.

El valor de B1 nunca ser menor que 1. Para barras comprimidas no sometidas en el

plano de flexin a cargas transversales entre sus extremos, se utiliza para Cm la

expresin anterior, propuesta en la AISC-LRFD.

En la Figura C-C.1-3 se comparan los resultados de la aplicacin de esta expresin

aproximada con las soluciones exactas (Ketter, 1961).



Para simple curvatura la expresin de Cm es levemente deficitaria, para un momento

extremo nulo es casi exacta y para doble curvatura es conservadora. El factor Cm se

aplica sobre el momento mximo M2. Es de hacer notar que la expresin supone los

extremos de la barra articulados por lo que no incrementa los momentos de apoyo.

Esto en general no es real en las barras de los prticos por lo que en los extremos con

alguna restriccin hay un incremento en los momentos extremos. Para cubrir esta

situacin se puede considerar el momento amplificado como actuante en cualquier

punto de la barra. Esta condicin resulta excesivamente conservadora cuando los

momentos extremos generan doble curvatura o son muy distintos cuando generan

simple curvatura (M1 < 0,5 M2). En este ltimo caso se puede suponer

conservadoramente que el momento amplificado se dar en el tramo o en el extremo

correspondiente a M2. Para barras con cargas transversales actuando en el plano de

flexin y entre sus extremos indesplazables, el momento de segundo orden puede ser

calculado, aproximadamente, a partir de la expresin C.1.2 con Cm dado por la

siguiente expresin obtenida del anlisis estructural:



Donde:

B2 el factor utilizado en la determinacin de Mu para amplificar momentos

determinados por anlisis de primer orden, cuando actan simultnea-mente

fuerzas axiles.

Pu la resistencia axil requerida para todas las columnas de un piso, en kN.

oh el desplazamiento lateral relativo del piso considerado, en cm. H la suma

de todas las fuerzas horizontales que producen oh, en kN. L la altura del piso,

en cm.

Donde:

c es el factor de esbeltez adimensional, calculado usando el factor de longitud

efectiva k en el plano de flexin. La sumatoria se extender solo a las columnas

(i) que aportan rigidez lateral al prtico, en kN.

K es el factor de longitud efectiva, Lb y rb son la longitud real sin soporte y el

radio de giro correspondiente al plano de flexin.

En general, cuando no se trata de prticos rectangulares ms o menos regulares, la

aplicacin del mtodo aproximado de amplificacin de momentos de primer orden

puede generar incertidumbres o solicitaciones deficitarias, por lo que en esos casos

es conveniente realizar un anlisis elstico de segundo orden.



Las diferencias entre los momentos amplificados por los factores B1 y B2 y los

momentos de primer orden en los extremos de las columnas, debern ser distribuidas

entre las vigas que concurran al nudo en funcin de su rigidez a flexin relativa, de

manera de respetar el equilibrio del nudo. Si dicha distribucin resultara compleja no

se podr utilizar el mtodo aproximado de amplificacin de momentos de primer

orden, debiendo considerarse el efecto de las deformaciones por medio de un anlisis

elstico de segundo orden.

No se podr utilizar el mtodo aproximado de amplificacin de momentos de primer

orden si B2 > 1,5. Las uniones se debern proyectar para resistir los momentos

amplificados. En vigas reticuladas resueltas por anlisis elstico, los momentos

flexores requeridos (Mu) en las barras comprimidas sometidas a flexin y en las

uniones de las barras si correspondiere, podrn ser obtenidos por el mtodo

aproximado de amplificacin de momentos de primer orden con B2 = 0.



6. Prticos arriostrados: En prticos y reticulados cuya estabilidad lateral es provista por un sistema de

arriostramiento, el factor de longitud efectiva k para barras comprimidas se deber tomar

igual a la unidad, a menos que un anlisis estructural demuestre que se puede adoptar

un valor menor.

En prticos arriostrados de varios pisos el sistema vertical de arriostramiento deber ser

resuelto por anlisis estructural.

El sistema vertical de arrostramiento para prticos arriostrados de varios pisos, puede

ser considerado como actuando en conjunto con tabiques exteriores o interiores, losas

de piso y cubiertas de techo siempre que las mismas estn adecuadamente unidas a los

prticos. Para el anlisis del pandeo y la estabilidad lateral de los prticos arriostrados,

las columnas, vigas, vigas armadas y barras diagonales que formen parte de un plano del

sistema vertical de arriostramiento pueden ser consideradas como integrantes de una

viga reticulada en voladizo con nudos articulados. La deformacin axil de todas las barras

del sistema vertical de arriostramiento deber ser incluida en el anlisis de la estabilidad

lateral. El sistema horizontal de arriostramiento en cada piso deber ser resuelto por

anlisis estructural. Sus elementos constitutivos sern proyectados para resistir los

efectos producidos por las cargas mayoradas actuando sobre los prticos arriostrados y

los efectos resultantes de la estabilizacin de los prticos que arriostra. En estructuras

proyectadas a partir de un anlisis global plstico la fuerza axil en las barras (en kN),

causada por las cargas verticales y horizontales, ambas mayoradas, no deber exceder

de:

7. Prticos no arriostrados

En prticos cuya estabilidad lateral depende de la rigidez a flexin de la unin rgida de

vigas y columnas, el factor de longitud efectiva k para barras comprimidas ser

determinado por anlisis estructural. Los efectos desestabilizantes de columnas

sometidas a cargas gravitatorias que por estar biarticuladas al prtico no aportan rigidez

lateral, debern ser incluidos en el dimensionamiento de las columnas del prtico que

aportan rigidez lateral al mismo. Se podr realizar la correccin por inelasticidad de la

rigidez de las columnas del prtico. En el anlisis de la resistencia requerida en prticos

no arriostrados de varios pisos se debern incluir los efectos de la inestabilidad del

prtico y de la deformacin axil de sus columnas.



En estructuras proyectadas a partir de un anlisis global plstico la fuerza axil en las

barras (en kN), originada por las cargas verticales y horizontales, ambas mayoradas, no

deber exceder de:

8. Diseo de Vigas-Columnas

Existen tres mtodos por los cuales se pueden disear vigas-columnas, de acuero a este

tipo de estado de los elementos, estos son:

1). Mtodo de AISC 1999: Este mtodo es de los ms complicados en calcular, pero da

el perfil ms econmico. En este mtodo se utiliza el manual del AISC de dicho ao, se

debe de determinar un Puequivalente y calcular los momentos y cargas ultimas que

actuaran en el perfil, posterior a eso se debe de escoger un perfil comprobar su

Puequivalente. Si la Puequivalente segunda es menor que la primera que se conoci, ese es el

perfil resultante.

2). Mtodo AISC 2005: este mtodo se conoce como Aminmmansur. En este mtodo,

se le realiza una alteracin a la frmula que se aplica en los elementos a flexo-

compresin, en donde se disminuye el momento y se le da prioridad a la compresin,

se calculan diversos trminos que facilitan el proceso de diseo.

3). Mtodo Yura: este mtodo se realiza en menos iteraciones pero no da el perfil ms

econmico. Este es uno de los mtodos ms fciles de calcular, ya que se sugiere un

perfil al inicio, el cual se recomienda que sea W10,W12,W14 por medio de valores

como la K y L se comprueba que este perfil cumpla para lo diseado, al final se realiza

un proceso iterativo.

- Mtodo de AISC 1999: Debido a las muchas variables en las frmulas de interaccin, el

diseo de vigas-columna es esencialmente un proceso de tanteos. Se selecciona un perfil

de prueba y luego se revisa si ste satisface la frmula de interaccin gobernante. Es claro

que entre ms cerca est el perfil de prueba a la seleccin final, se tratar de un perfil

mejor. Un procedimiento muy eficiente para escoger un perfil de prueba, originalmente

desarrollado para el diseo por esfuerzos permisibles (Burgett,1973), ha sido adaptado

para el LRFD y se da en la Parte 3 del Manual sobre "Diseo de Columnas". La esencia de

este mtodo es "convertir" los momentos flexionantes a las cargas axiales equivalentes.

Esas cargas ficticias se suman a las cargas reales y se selecciona en las tablas de cargas

para columnas un perfil que soporte la carga total. Esta seleccin debe entonces

investigarse con la Ecuacin H1-1a o la H1-1b del AISC. La carga axial efectiva total est

dada por:



Donde:

La base de este procedimiento puede examinarse al rescribir la ecuacin 6.3 como sigue.

Primero, multiplique ambos lados por

El lado derecho de esta desigualdad es la resistencia de diseo del miembro bajo

consideracin y el lado izquierdo puede estimarse como la carga factorizada aplicada por

ser resistida. Cada uno delos tres trminos en el lado izquierdo debe tener unidades de

fuerza ya que las constantes "convierten" los momentos flexionantes Mux y Muy en

componentes de carga axial.

Los valores promedio de la constante m se han calculado para diferentes grupos de

perfiles W y estn dados en la Tabla 3-2 en la Parte 3 del Manual. Los valores de u estn

dados en las tablas de carga para columnas para cada perfil en la lista. Para seleccionar

un perfil de prueba para un miembro con carga axial y flexin respecto a ambos ejes,

proceda como sigue:

- Mtodo AISC 2005: Debido a la gran cantidad de variables en las frmulas de interaccin,

el diseo de vigas-columnas es un proceso que requiere de mltiples intentos. Un

procedimiento develado por Aminmansour (2000) simplifica los pasos, especialmente en

la evaluacin de perfiles. En la parte 6 del manual del LRFD Design of Members subject

to Combined Loading (Diseo de Miembros sometidos a Cargas Combinadas), podemos encontrar tablas que contienen ayudas de diseo elaboradas por Aminmansour. Las principales

ecuaciones a tomar en cuenta son:

Si Pr/Pc2, o su equivalente, pPr0.2 asumimos la ecuacin del AISC H1-1a:



La cual puede ser escrita como:

O tambin:

Donde:

Si Pr/Pc



Los valores para Cb, B1 y B2 deben ser calculados independientemente para ser usados en

el clculo de Mr (Mu para el LRFD). El procedimiento de diseo es el siguiente:

1. Seleccionamos un perfil de prueba de la tabla 6-1 del manual.

2. Usamos la longitud efectiva KL para seleccionar p, y usamos la longitud no

arriostrada Lb para seleccionar bx (la constante by determina la flexin en el eje

dbil, de forma que es independiente de la longitud no arriostrada). Los valores

de las constantes estn basados en que el pandeo en el eje dbil controla la fuerza

de compresin axial y que Cb=1.0.

3. Calculamos pPr. Si es mayor o igual que 0.2, usamos la ecuacin H1-1a, y si es menos,

usamos la ecuacin H1-1b.

4. Evaluamos la ecuacin seleccionada con los valores de p, bb y by para el perfil de

prueba.

5. Si el resultado no est muy prximo a 1.0, escogemos otro perfil. Examinando el

valor de cada trmino en las ecuaciones H1-1a y H1-1b podemos ganar intuicin

sobre que constante necesita ser mayor o menor.

6. Continuamos con el proceso hasta encontrar un perfil que brinde un resultado de

la ecuacin de interaccin menor, pero cerca a 1.0 (mayor que 0.9).

Verificacin de Tanteo:

Si el pandeo en el eje fuerte controla la resistencia a la compresin, usamos la

longitud efectiva :

Para obtener p de la tabla 6-1.

Si Cb no es igual a 1.0, el valor de bx debe ser ajustado. Este procedimiento

propuesto por Aminmansou (2009), se desarrolla desde el punto de vista del LRFD

de la siguiente manera, para modificar bx en consideracin de Cb.



De esta manera el valor modificado de bx (antes de chequear el lmite superior)

es el valor de bx que encontramos en la tabla divido entre Cb porque bMpx es el

valor de bMnx cuando Lb=0, la desigualdad en la ecuacin anterior ser

satisfactoria cuando:

Por lo tanto:

=

= 0

O tambin:

= max (

, = 0)

Ntese que esta modificacin es independiente del enfoque de diseo usado.

Diseo de Vigas-Columnas no arriostradas: El diseo preliminar de vigas-columnas en

prticos arriostrados ya ha sido especificado. El factor de Amplificacin B1 fue asumido

como 1.0 para propsitos de seleccionar un perfil adecuado; B1 podra entonces ser

evaluado segn frmulas para este perfil seleccionado. En la prctica, B1 puede casi

siempre ser igual a 1.0. Para vigas-columnas sujetas a desplazamiento lateral, el factor de

amplificacin B2 es usualmente mayor que 1.0 y debe ser determinado como se vio

anteriormente. El clculo de B2 ser revisado nuevamente a continuacin:

Donde Pe story (Pe piso) puede ser obtenido de la siguiente ecuacin:



Donde

Pmf = Suma de cargas verticales en todas las columnas del piso que son parte del

momento del prtico.

L = Altura de piso

= Desplazamiento lateral del piso en consideracin

= Suma de todas las fuerzas horizontales que generan

Las columnas en un piso deben estar diseadas para un desplazamiento referencial,

/, el cul es el proporcional al desplazamiento del piso sobre el alto del mismo. El uso

de un desplazamiento mximo permisible referencial es un requerimiento que es similar

al lmite en deflexin de vigas. A pesar de que no existen lmites de desplazamientos

referenciales, usualmente se usan valores entre 1/500 y 1/200. Recordemos que es el

desplazamiento causado por H, as que si el desplazamiento referencial est basado en

cargas de servicio, las fuerzas lateral H deben ser tambin de servicio. Usando

desplazamientos referenciales permisibles prescritos, el diseador determina el valor

final para B2 desde el principio.

- Mtodo Yura: Aunque el mtodo presentado para seleccionar un perfil de prueba

converge rpidamente, unenfoque algo ms simple ha sido sugerido por Yura (1988). La

carga axial equivalente por usar es:



9. Ejercicios de Aplicacin:

6.2-1 Determine si la viga- columna que se muestra en la figura P6.2-2 satisface a la

ecuacin de interaccin apropiada del AISC. La carga y los momentos mostrados estn

factorizados (las fuerzas cortantes en los extremos no se muestran) y la flexin es

respecto al eje fuerte.

Solucin:

De la tabla de carga para columnas, la resistencia de diseo por compresin axial de

un perfil W10x54 con Fy=50 ksi y una longitud efectiva = 1.0 x 13 = 13 pies es

=512 kips.

El momento de diseo para = 1.0 y = 13 , entonces:

= 250 = 80

= 200

Determinando la ecuacin de iteracin

=

80

512= 0.16 < 0.2 Entonces se usa la ecuacin H1-1b del LRFD

Pu2tPn

+ [Mux

bMnx+

MuybMny

] =80

(2)(512)+ [

200

250+ 0] = 0.87 1.0 ()



6.2-2 Determine si la viga-columna que se muestra en la figura P6.2-2 satisface la ecuacin de interaccin apropiada del AISC. Las cargas y los momentos mostrados estn factorizados (las fuerzas cortantes en los extremos no se muestran) y la flexin es respecto al eje fuerte.

SOLUCION: De las tablas de carga para columnas, la resistencia de diseo por compresin axial de un perfil W8 x 67 con Fy = 36 ksi y una longitud efectiva Ky L= 1.0 x 16 = 15 pies es: . = 935.07 .

Para una longitud no soportada: = 15ft nbM = 551 ft-kips.

Propiedades geomtricas del perfil w12x96:

A = 28.2 in2 Sx = 131 in3

Zx = 147 in3 Ix = 833 in4

Luego:

Pc = b Pn = 935.07 kips

1 =

1 /

= 1.0

=2

(1)2=

2 29000 833 4

(1.0 16 12

. )2

= 6467.56

1 = 1.0

1 1.0 (600 6467.56 )

= 1.10



Mux = 1.02 (220 ft-kips) = 224.4 ft-kips

Mnx = Mp = FyZx = 36 ksi (147 in3) = 5292 kip-in = 441 kip-ft

Mcx = bMnx = 0.90 (441 kips-ft) = 396.9 kip-ft

Chequeamos si cumple con las especificaciones de las frmulas H1.1

=

=

600

935.07 = 0.64 < 2

Entonces:

2

+ (

+

) 1.0

600

2 (935.07)+ (

224.4

396.9 + 0) 1.0

0.6208 + 0.5654 = 0.8862 1.0 SI CUMPLE

6.3-1 Resuelva el problema 6.2-1, pero incorpore el factor de amplificacin de la

expresin 6.4:



La carga axial factorada es:

Pu = 80 kips

Los momentos factorados son:

Mux = 200 ft-kips

La longitud efectiva para compresin y la longitud no arriostrada para flexin son las

mismas:

KL = Lb = 13 ft

Propiedades geomtricas del perfil w10x54:

A = 15.8 in2 Sx = 60 in3

Zx = 66.6 in3 Ix = 303 in4

Luego:

Pc = b Pn = 543 kips

1 =

1 /

= 1.0

=2

(1)2=

2 29000 303 4

(1.0 13 12

. )2

= 3563.62

1 = 1.0

1 1.0 (80 3563.62)

= 1.02

Mux = 1.02 (200 ft-kips) = 204 ft-kips

Mnx = Mp = FyZx = 50 ksi (66.6 in3) = 3330 kip-in = 277.5 kip-ft

Mcx = bMnx = 0.90 (277.5 kips-ft) = 249.75 kip-ft

Chequeamos si cumple con las especificaciones de las frmulas H1.1



=

=

80

543 = 0.147 < 2

Entonces:

2

+ (

+

) 1.0

80

2 (543 )+ (

204

249.75 + 0) 1.0

0.0737 + 0.8168 = 0.8905 1.0 Si cumple

6.3-2 Resuelva el problema 6.2-2, pero incorpore el factor de amplificacin de la

expresin 6.4.

Para W12x96

=

=

(1.0)(15)(12)

5.44= 33.09

=2

()2=

2(29000)(28.2)

(33.09)2= 7371.46

Entonces.

1 =

1 1

=1.0

1 600

7371.46

= 1.09

Entonces el momento de amplificacin es :

1.09 = 239.8

6.4.1 Un perfil W14x43 de acero A572 grado 50 se usa como viga-columna. Si la carga axial factorizada es de 65kips. Es compacta el alma? SOLUCIN: Este perfil es compacto para cualquier valor de la carga axial porque no hay un pie de pgina en la tabla aplicable de cargas para columnas que indique lo contrario. Sin embargo, como ilustracin, revisamos aqu la razn ancho-espesor:

. =

.(.) =

65

(0.90)(12.6)(50) = 0.1146 0.125



= 640

. (1-

2.75

.) =

640

50. (1-2.75 (0.1146))= 61.99

De las tablas de dimensiones y propiedades:

=

=

13.66

0.305 = 44.79 <

El alma es por lo tanto compacta. Note que, para cualquier Fy disponible, h/tw ser

menor que yF/253 , que es el menor valor posible de p , por lo que el alma de un

perfil W14 x 43 siempre ser compacta.

6.4.2 Si la viga-columna del problema 6.4-1 est sometida a una carga axial de 480 kips,

es el alma compacta?

yb

u

P

P

=

ygb

u

FA

P

480

(0.90)(12.6)(50)= 0.85 > 0.125

.: 98.3985.033.250

19133.2

191

yb

u

y

pP

P

F

253

50= 35.78 < 39.90 98.39p

De las tablas de dimensiones y propiedades, 98.394.37 pt

h

w

Por lo tanto el alma es compacta.



6.6.1 Un perfil W12x58 de acero A572 grado 50 est cargado como se muestra en la figura

P6.6-1. La carga axial y los momentos flexionantes se calcularon con las cargas factorizadas

(las fuerzas cortantes en los extremos no se muestran). La flexin es respecto al eje fuerte

y Kx= Ky=1.0. se tiene soporte lateral solo en los extremos. Cumple este miembro con las

especificaciones AISC?

SOLUCIN: Determinamos cul es la frmula de interaccin que debe usarse: .

mx. =

.

=

16(12)

2.51 = 76.49

De la Tabla 3-50 del AISC, . = 27.73, por lo que:

. = . . = 17(0.85). (32.62) = 471.4 kip.

. =

300

471.4 = 0.6364 > 0.2 :. Use ecuacin H1-1a del AISC.

En el plano de flexin: .

Mx. =

.

=

16(12)

5.28 = 36.36

1= .

2 =

2..

( .

) =

2.(29000)(17)

36.362 = 3680 kips.

= 0.6 0.4 ( 1

2) = 0.6- 0.4 (-

100

100) =1



1 =

1( 1) =

1

1(300

3680) = 1.089

De las cartas para Diseo de Vigas, con Cb = 1.0 y Lb = 16 ft, la resistencia por momento es: . = 324 ft-kips. Para el valor real de Cb, es: Cb= 1.32

:. . = (324)= 428 ft-kips.

Pero:

. = 324 kips (de las cartas) < 428 ft-kips.

:. Use: . = 324 kips

Los momentos por carga factorizada son:

Mnt = 100 . 0tlM

De la Ecuacin C1-1 del AISC, = 1. + 2. = 1.089(100) + 0 = 108.9 =

De la ecuacin H1-1a del AISC,

.

+ 8

9(

.

+

.) = 0.6364 +

8

9(

108.9

324) = 0.935 < 1.00 (Satisfactorio)

RESPUESTA: Este miembro es satisfactorio.



6.6-2 Un perfil W10x77 de acero A572 grado 50 est sometido a una carga axial

factorizada de 140 kips, como se muestra en la figura. Si Kx=0.8 y Ky=1.0 Cul es el

momento factorizado mximo Mmax que puede aplicarse alrededor del eje fuerte en el

extremo superior del miembro? Se tiene soporte lateral slo en los extremos y el

extremo inferior est articulado.

Encontramos la resistencia a la compresin. Para KL = 0.8 (13.5) = 10.8 ft., la resistencia

de diseo por compresin axial, de las tablas de carga para columnas es:

= 801.20 Calculamos los momentos flexionantes respecto al eje fuerte:

= 0.6 0.4 (12

) = 0.6 0.4(0) = 0.6

=

0.8 13.5 12

4.49= 28.86

= 2

(/)2=

2(29 000)(22.6)

(28.86)2= 7766.29

1 =

1 (/)=

0.6

1 (140

7766.29)= 0.611 < 1.0 1 = 1

= 1 + 2 = 1.0 () + 0 =

De las cartas de diseo de vigas con Lb = 13.5 ft., = 350 ft-kips para Cb = 1.0 y = 366 ft-kips. Cb = 1.67 y



( = 1.0) = 1.67 (350) = 584.5

Este resultado es mayor que por lo tanto, usamos = =

366 . Calculamos los momentos flexionantes respecto al eje dbil:

= 0.6 0.4 (12

) = 0.6 0.4(0) = 0.6

=

1.0 13.5 12

2.60= 62.31

= 2

(/)2=

2(29 000)(22.6)

(62.31)2= 2666.06

1 =

1 (/)=

0.6

1 (140

2666.06)= 0.633 < 1.0 1 = 1

= 1 + 2 = 1.0 () + 0 =

Como el perfil es compacto:

=

2= 5.9

= 65

=

65

50= 9.192

Lp = 9.2 < = 13.5 < = 39.9

= [ ( ) (

)]

= = = 50(45.9)

12= 191.25

= = ( ) = (50 10)30.1 = 1204

= 100.33

= 1.67 [191.25 (191.25 100.33) (13.5 9.2

39.9 9.2)] = 298.12



298.12 > 191.25

= 0.9( 191.25) = 172.13

=

140

801.20= 0.175 < 0.2

Entonces:

2+ (

+

) = 1.0

0.175 + (366

+

172.13) = 1.0

(172.13 + 366

6299.58) = 0.825

172.13 + 366 = 51 974.65

= 301.95

6.6-4 Un perfil W8x67 de acero A36 est cargado como se muestra en la figura P6.6-4. La flexin es con respecto al eje fuerte y Kx=Ky=1.0. se tiene un soporte lateral solo en los extremos. Cul es la carga axial factorizada mxima Pu que puede aplicarse?



SOLUCIN:

De las tablas de carga para columnas, la resistencia de diseo por compresin axial de un perfil W8 x 67 con Fy = 36 ksi y una longitud efectiva Ky L= 1.0 x 16 = 16 pies es: . = 162.4 .

Para una longitud no soportada: = 16ft nbM = 263 ft-kips.

Para las condiciones de extremo y carga de este problema, bC = 1.32.

Para bC = 1.32, nbM = 263 ft kips.

El momento flexionante mximo ocurre a media altura, por lo que:

= 22(16)

4= 88 .

Determinamos qu ecuacin de interaccin gobierna:

.

=

162.4

Usamos la Ecuacin H1-1 a del AISC.

.+

8

9(

.+

.) =

162.4+

8

9(

88

263) < 1.00 (Satisfactorio)

162.4+ 0.2974 < 1.00

162.4< 1.00 0.2974

162.4< 0.7026

< 114.10 = 114

Usamos la Ecuacin H1-1 b del AISC.

2..+ (

.+

.) =

2162.4+ (

88

263) 1.00 (Satisfactorio)

2162.4< 0.6654

< 216.12 = 216

RESPUESTA La carga factorizada mxima que se aplicara ser de = 216

.



6.7-1 Un perfil W14x109 de acero A572 grado 50 debe investigarse para usarse como

viga-columna en un marco no arriostrado. La longitud es de 14 pies y no hay cargas

transversales sobre el miembro. Se efectuaron los anlisis de primer orden del marco

para los casos con y sin desplazamiento lateral. Las cargas factorizadas y los momentos

correspondientes a una de la combinaciones de carga por investigarse estn dadas para

este miembro en la siguiente tabla:

Tipo de Anlisis Pu (kips) Mtop (ft-kips) Mbot (ft-kips)

Sin desplazamiento Lateral 300 62 35

Con desplazamiento Lateral - 54 135

La flexin es con respecto al eje fuerte y todos los momentos causan una flexin de

curvatura doble (todos los momentos de extremo actan en la misma direccin, es decir,

todos son horarios o todos son antihorarios). Los siguientes valores se obtienen tambin

de un diseo preliminar:

2 = 54 000 = 8200

Use Kx = 1.0 (caso sin desplazamiento lateral), Kx= 1.7 (caso con desplazamiento lateral)

y Ky = 1.0. Determine si este miembro satisface las Especificaciones AISC

Determinamos la fuerza de compresin axial de diseo. Usamos Kx para la condicin

no arriostrada:

/=

1.7 14

1.68= 14.17 > = 14 .

De las tablas de cargas en columnas con KL = 14.17 ft., = 1166.16

=

300

1166.16= 0.2573 > 0.2

Chequeamos primero la condicin arriostrada. Para el eje de flexin:

= 0.6 0.4 (35

62) = 0.3742

= 2

(1)2=

2(1)2

= 2(29 000)(1240)

(1.01412)2= 12574.79

1 =

1 (/)=

1 (1.00/)

=0.3742

1 (300

12574.79)



= 0.383 < 1.0 1 = 1.0

Condicin sin arriostramiento:

2 =1

1

2

= 1

1 1.00(8200)

54000

= 1.176

El momento total amplificado en la parte de arriba es:

= 1 + 2 = 1.0 (62) + 1.176(54) = 123.50

El momento total amplificado en el pie es:

= 1.0 (35) + 1.176(135) = 193.76

Usamos Mu = 193.76 ft-kips. Calculamos la magnitud del momento. De las tablas de

diseo de vigas con Lb = 14 ft.

bMn = 714 kip-ft para Cb = 1.0 y bMp = 720 kip-ft

Usando el momento total amplificado, calculamos Cb:

= 12.5

2.5 + 3 + 4 + 3

= 12.5(193.76)

2.5 (193.76) + 3(35.11) + 4(21.83) + 3(78.77)= 2.652

Para Cb = 2.652, bMn = 2.652( 714) = 1893.53 ft-kips

Como 1893.53 > bMp, usamos bMn = bMp = 720 kips-ft

+ 8

9(

+

) = 0.2573 +

8

9 (

193.76

720+ 0) = 0.497

0.497 < 1.0



6.8-4 Use acero A572 grado 50 y seleccione el perfil W ms ligero para el miembro

mostrado en la figura. La carga axial y los momentos flexionante estn calculados con las

cargas factorizadas. La flexin es con respecto al eje fuerte y se tiene un arriostramiento

lateral en los puntos A, B y C.

Pu = 10 kips

Wu = 2 kips/ft

Qu = 0

= 1

8

2 +

4=

1

8 (2)(10)2 +

0 (10)

4= 25

Para fines de seleccionar un perfil de prueba, suponemos que B1 = 1.0.

= 1 + 2 = 1.0 (25) + 0 = 25

Para la condicin arriostrada, usamos Kx = 1.0. De la tabla 3-2, el factor de flexin m

es 2.8 para perfiles W6 con KL = 10 pies

= + + = 10 + 25(2.8) + 0 = 80

Para KL = 10 ft, un W6x15 tiene una resistencia de diseo de cPn = 115 kips. Para el

eje x.

=

1.0 10 12

2.56= 46.88

= 2

(/)2=

2(29 000)(4.43)

(46.88)2= 576.93

= 0.6 0.4 (12

) = 0.6 0.4(0) = 0.6



1 =

1 (/)=

0.6

1 (10

576.93)= 0.611 < 1.0 1 = 1

De las cartas de diseo para vigas con Lb = 5 ft, el momento de diseo para un w6x15

con Cb=1.0

= 38.5

Para un momento flexionante que vara linealmente desde cero en un extremo hasta

un mximo en el otro, el valor de Cb es de 1.67. el valor corregido del momento de

diseo es por lo tanto:

= 1.67 (38.5) = 64.30

Sin embargo, este momento es de mayor capacidad por momento plstico de =

38.6 . Por lo tanto, la resistencia de diseo debe limitarse a

= = 38.6

Determinamos la frmula de interaccin apropiada:

=

10

115 = 0.0870 < 2

Entonces:

2+ (

+

) 1.0

0.0870

2+ (

25

35.6 + 0) 1.0

0.746 1.0 Si cumple



6.8-9 El marco de un solo piso no arriostrado que se muestra en la figura est sometido

a una carga muerta, una carga viva de techo y viento. Los resultados de un anlisis

aproximado estn resumidos en la figura. La carga axial y los momentos de extremo estn

dados por separado para carga muerta, carga viva de techo, viento hacia arriba sobre el

techo y carga de viento lateral. Todas las cargas verticales estn simtricamente

colocadas y contribuyen slo a los momentos Mnt. La carga lateral produce momentos

Mtl. Considere acero a 572 grado 50 y seleccione un perfil W12 para las oclumnas

(miembros verticales). Disee para un ndice de ladeo de 1/400 basado en la carga de

servicio del viento. La flexin es con respecto al eje fuerte y cada columna est

lateralmente arriostrada en la parte superior e inferior.

Las combinaciones de cargas que incluyen carga muerta D, carga viva de techo Lr y

viento W son las siguientes:

A4.2: 1.2D + 0.5Lr

Pu = 1.2 (11) + 0.5 (19) = 22.7 kips

Mnt = 1.2 (45) + 0.5 (74) = 91 ft-kips

Mtl = 0

A4.3: 1.2D + 1.6Lr + 0.8W

Pu = 1.2 (11) + 1.6 (19) + 0.8 (-11 + 1.4) = 35.92 kips

Mnt = 1.2 (45) + 1.6 (74) + 0.8 (-45) = 136.4 ft-kips

Mtl = 0.8 (32) = 25.6 ft-kips



A4.4: 1.2D + 1.3 W + 0.5Lr

Pu = 1.2 (11) + 1.3 (-11 +1.4) + 0.5 (19) = 10.22 kips

Mnt = 1.2 (45) + 1.3 (-45) + 0.5 (74) = 32.5 ft-kips

Mtl = 1.3 (32) = 41.6 ft-kips

La combinacin de cargas que gobierna es la A4.3. Esta combinacin produce la carga

axial mxima y el momento total mximo (la combinacin A4-4 no puede gobernar a

menos que B2, el factor de amplificacin para Mtl fuese sumamente grande).

Para fines de seleccionar un perfil de prueba, suponemos que B1 = 1.0. El valor de B2

puede ser calculado:

2 = 1

1 (/ )=

1

1 ( / ) (/)

=1

1 (2(35.92)

3.6 ) (1

400)= 1.053

La carga horizontal no factorizada LH se usa porque el ndice de ladeo se basa en el

ladeo mximo causado por las cargas de servicio, por lo tanto:

= 1 + 2 = 1.0 (136.4) + 1.053 (25.6) = 163.36

Debido a que no conocemos los tamaos de los miembros del marco, no podemos

emplear los nomogramas para el clculo de la longitud efectiva. Dela C-C2.1

obtenemos que Kx = 2.0. Para la condicin arriostrada, usamos Kx = 1.0. como el

miembro est arriostrado en la direccin fuera del plano se usar Ky = 1.0. Podemos

entonces hacer una leccin de prueba. De la tabla 3-2, el factor de flexin m es 1.4

para perfiles W12 con KL = 18 pies

= + + = 35.92 + 163.36(1.4) + 0 = 264.62

Para KL = KyL = 18 ft, un W12x50 tiene una resistencia de diseo de cPn = 285 kips.

Para el eje c.

=

1.0 18 12

5.18= 41.70

= 2

(/)2=

2(29 000)(14.7)

(41.70)2= 2419.60



= 0.6 0.4 (12

) = 0.6 0.4(0) = 0.6

1 =

1 (/)=

0.6

1 (35.92

2419.60)= 0.609 < 1.0 1 = 1

De las cartas de diseo para vigas con Lb = 18 ft, el momento de diseo para un w12x50

con Cb=1.0

= 215

Para un momento flexionante que vara linealmente desde cero en un extremo hasta

un mximo en el otro, el valor de Cb es de 1.67. el valor corregido del momento de

diseo es por lo tanto:

= 1.67 (215) = 359.05

Sin embargo, este momento es de mayor capacidad por momento plstico de =

272 . Por lo tanto, la resistencia de diseo debe limitarse a

= = 272

Determinamos la frmula de interaccin apropiada:

=

35.92

285 = 0.126 < 2

Entonces:

2

+ (

+

) 1.0

0.126

2+ (

163.36

272 + 0) 1.0

0.063 + 0.601 = 0.664 1.0 Si cumple



6.9-1 Considere acero A36 y seleccione un perfil T para la cuerda superior de la armadura

mostrada P6.9-1. las armaduras estn espaciadas a cada 18 pies y estn sometidas a alas

siguientes cargas:

Largueros: M6x4.4, situados en los nudos y a la mitad entre estos.

Nieve: 20 lb/ft2 de proyeccin de la superficie del techo

Cubierta metlica: 2 lb/ft2

Techado: 4 lb/ft2

Aislante: 3 lb/ft2

SOLUCIN:

Las cargas transmitidas son:

Nieve = 20 (3) (25) = 1500lb = 1.500 kips

Cubierta de metal = 2 libras por pie cuadrado

Techos = 4 libras por pie cuadrado

Aislamiento = 3 libras por pie cuadrado

Total = 9 libras por pie cuadrado

9(3) (25) = 670 lb

Correas = 8.5 (25) = 212.5 lb

Carga muerta total = 675 + 212.5 = 887.5 lb = 0.8875 kips

Combinacin de 3 cargas:

= 1.2 + 1.6 = 1.2(0.8875) + 1.6(1.500) = 1.465

En el momento de extremo fijo para cada miembro de la cuerda superior es:

= =

8=

3.465(6)

8= 2.599

La reaccin en cada extremo del miembro de cuerda superior-extremo fijo es:

2

=3.465

2= 1.733



Carga puntual del panel interior total: 3.465 + 2(1.733) = 6.931 kips

Carga puntual del panel Exterior:

Nieve = 1500/2 = 750 lb

Techo = 675/2 = 337.5 lb

Correas = 212.5 lb

= 1.2(0.3375 + 0.2125) + 1.6(0.750) = 1.860

Total de la Carga puntual del panel exterior = 1.733 + 1.860 = 3.593 kips

Reaccin en cada extremo = 2(3.593)+7(6.931)

2 = 27.85 kips

Considere un cuerpo libre de la parte de la armadura izquierda de la seccin a-a:

1 = (27.85 3.593)(18) 6.931(12 + 6) (5) = 0

= 62.37



Diseo para una carga de compresin axial de 62.37 kips y un momento de flexin

de 2.59 ft-kips.

Pruebe con WT5x15. De las tablas de carga de columna con = 6 y =

3 .

= 166 kips

Para el eje de flexin:

1 =2

()2=

2(29000)(9.28)

(612)2= 512.4

= 1.0 (Miembro cargado transversalmente)

1 =

1 1

=1.0

1 62.37512.4

= 1.139

= 1 + 2 = 1.139(2.599) + 0 = 2.96

La forma es compacta para la flexin. Compruebe el estado lmite de rendimiento.

Porque el momento mximo es un momento de extremo fijo, estar en compresin,

suponiendo que la brida est en la parte superior. Para tallos en compresin.

= = (AISC Equation F9-3)

Desde < el momento en el rendimiento

= = = 50(2.24) = 112

Comprobando el pandeo lateral. De AISC Ecuacin F9-5,

= 2.3 (

)

= 2.3 (5.24

612)

8.35

0.310= 0.8687



(El signo menos se utiliza cuando la madre est en compresin en cualquier lugar a lo

largo del arriostrado longitud.) De AISC Ecuacin F9-4.

= =2

[ + 1 + 2]

=(29000)(8.35)(11200)(0.310)

612[0.8687 + 1 + 0.86872]

= 5755.8

El estado lmite de los controles de rendimiento.

= 0.90(112.0) = 100.8 = 8.4

Determine qu interaccin ecuacin de empleo:

=

62.37

166= 0.3757 < 0.2 Entonces se usa la ecuacin H1-1a del LRFD

PutPn

+8

9[

MuxbMnx

+Muy

bMny] = 0.3757 +

8

9[2.96

8.4+ 0] = 0.689 1.0 ()

Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsión

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