Miguel Ángel Riquelme Solís Gobernador Constitucional del ...

Miguel Ángel Riquelme SolísGobernador Constitucional del Estado de Coahuila de Zaragoza

Higinio González CalderónSecretario de Educación del Estado de Coahuila

Jorge Alberto Salcido PortilloSubsecretario de Educación Básica

Gerardo Daniel Torres CastillaSubsecretario de Administración y Recursos Humanos

Margarita Loera LezaDirectora General del Instituto de Desarrollo Docente, Investigación, Evaluación y Certificación

Oscar de León FloresDirector General de Educación Primaria

Eduardo Aguilar BrondoDirector General de Educación Secundaria

EQUIPO EDITORIAL:

Ximena Argüelles SacristánCoordinación General Ivonne Twiggy Sandoval CáceresMaría de los Dolores Lozano SuárezAlan Stewart DownieContenidos

Ana Elisa Lage RamírezRevisora técnica

Welcome Branding Arte y Diseño

Daniela SalmónIlustración

Welcome Branding Formación

Cerrando Fuerte 2021-2022Primera edición, 2020Tiempo para la Educación S.C., 2020Impreso en MéxicoDistribución gratuita. Prohibida su venta

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5 . º D E P R I M A R I A

Estimados padres de familia

Me es grato comunicarles que, en el presente ciclo escolar, la escuela de su hija/o participará en la Cerrando Fuerte, una estrategia que implementa la Secretaría de Educación para fortalecer las competencias de los estudiantes en el área de Matemáticas. De esta manera, se busca que mejoren los niveles de logro académico en su educación primaria.

Para apoyar el trabajo en el aula, se contemplan las siguientes acciones:

• Aplicar a los alumnos dos evaluaciones diagnósticas: una inicial y una al final del ciclo escolar.

• Entregar dos cuadernos de ejercicios para el alumno y material didáctico en forma digital para el docente.

• Dar continuidad a la formación de los docentes para fortalecer su enseñanza.

• Proporcionar ejercicios de repaso para practicar en vacaciones de diciembre y primavera.

Les exhorto a que se sumen desde casa y apoyen las actividades derivadas de este proyecto. Su contribución será invaluable para que su hija/o refuerce los aprendizajes fundamentales y, así, logre su paso por la educación primaria sea todo un éxito.

Agradezco de antemano su colaboración. Reciban un cordial saludo.

Dr. Higinio González CalderónSecretario de Educación del Estado de Coahuila

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Estimado(a) alumno(a)

Además de saludarte con mucho gusto, escribo para comentarte que en el Gobierno del Estado deseamos que triunfes en tus estudios y, sobre todo, que logres tus sueños. Por ello, en el ciclo escolar 2021-2022 daremos continuidad a la estrategia Cerrando Fuerte, que tiene la finalidad de ayudarte a que adquieras más y mejores conocimientos en el área de Matemáticas.

Tu escuela te brindará las herramientas y los materiales necesarios para que, con la ayuda de tus docentes y el apoyo de tu familia, desarrolles tus capacidades al máximo. Los conocimientos, las competencias y las habilidades de razonamiento matemático que adquieras en este proceso no sólo te permitirán avanzar con éxito en tu paso por la primaria; también te acompañarán por el resto de tu vida. Por este motivo te invito a que sigas haciendo tu mejor esfuerzo.

Te envío un saludo afectuoso.

Dr. Higinio González CalderónSecretario de Educación del Estado de Coahuila

R E F O R Z A M I E N T O D E A P R E N D I Z A J E S F U N D A M E N T A L E S

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Índice

1. Sistema de numeración decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

2. Suma y resta de naturales y decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

3. Figuras (2D) y cuerpos (3D) geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

4. Perímetro y área de cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

5. Desarrollos planos de cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

6. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

9

10

13

16

21

22

25

28

33

34

37

40

45

46

49

52

57

58

61

64

69

70

73

76

7


7. Suma y resta de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

8. División por naturales con cocientes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

9. Conversión entre unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

10. Multiplicación por naturales y estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sesión 1

Sesión 2

Sesión 3

81

82

85

88

93

94

97

100

105

106

109

112

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118

121

124

Tema 1

Sistema de numeración decimal


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Sistema de numeración decimal

Sesión 1

Busquen objetos que midan aproximadamente 10 y 100 veces el largo de una pluma y objetos que midan la décima y la centésima parte del largo de la misma pluma.

• Midan primero la pluma y hagan una tabla con las medidas que deben tener los objetos. ¿Qué observan en la tabla?

• Midan los objetos y registren su largo en otra columna de la tabla.

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• En un número, el valor de cada dígito depende del lugar en el que se encuentra, como lo indica la siguiente tabla:

u . de millón

c. de millar

d. de millar

u. de millar

centenas decenas unidades décimos centésimos milésimos

6 1 4 5 . 8 9

6 1 4 5 8 9 .

6 1 . 4 5 8

• En 6145.89 el 5 vale 5 unidades, mientras que en 614589 el 5 vale 5 centenas, es decir, 500 y en 61.4589 el 5 vale 5 centésimos, es decir, .05 ó .

• Mientras más a la izquierda del punto decimal se encuentra el dígito, su valor es mayor.

• Mientras más a la derecha del punto decimal se encuentra el dígito, su valor es menor.

Practícalo

1. Coloca el punto decimal en el lugar adecuado para que el valor del dígito sea el indicado. Agrega ceros si es necesario.

El 9 debe valer 9 000 en 89 657

El 4 debe valer en 145

El 8 debe valer 800 en 1 082

El 2 debe valer dos décimos en 8 201

El 3 debe valer treinta en 876 356

2. Escribe con número:

Tres enteros, ocho milésimos

Siete mil tres enteros, dos décimos

Doscientos cincuenta mil enteros, cinco milésimos

Quinientos ocho metros, cuatro decímetros

Diecinueve mil veinticinco enteros, siete centésimos

Recuerda

41 000

5100


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Plenaria: Comparte y compara

¿Cuál de todos los ejercicios anteriores te pareció más complejo y por qué?

¿Qué estrategias utilizaste para escribir las cantidades correctamente?

¿Qué aprendiste nuevo sobre los números y el valor posicional?

¿Qué dudas tienes todavía?

Más práctica

3. Elige la opción correcta en cada caso:

Cuatro mil quinientos enteros, tres centésimos

A) 400 500.03 B) 4 500.03 C) 4 500.0030 D) 4 500.3

Setecientos cuarenta mil doscientos enteros, siete milésimos

A) 740200.007 B) 740 000 200.007 C) 740 200.7 D) 740 200.0007

Veinte mil cinco

A) 20 05 B) 20 000 5 C) 2 005 D) 20 005

Reto

4. Escribe con número 268 centésimos

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Sesión 2

En parejas, utilicen dos juegos de tarjetas del 0 al 9. Colóquenlas boca abajo.

• Tomen 5 tarjetas cada uno y acomoden los dígitos para formar el número mayor.

• Intercambien una tarjeta por otra de las que quedaron, ¿pueden formar un número que sea mayor al que tienen con esa tarjeta? ¿En dónde la colocarían?

• Repitan tres veces y anoten las cantidades en su cuaderno con número y con letra. ¿Cuál fue el mayor número que encontraron?


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• En los números naturales, un número es mayor que otro si tiene más dígitos: 56 109 es mayor que 9 879.

• Si dos números naturales tienen el mismo número de digitos, para saber cuál es mayor comparamos dígito por dígito, de izquierda a derecha. El número que tenga el mayor dígito en el primer lugar en el que son distintos, es mayor. Por ejemplo, 56 109 es mayor que 52 989:

5 6 1 0 9

5 2 9 8 9

• Para leer números conviene separar los dígitos de 3 en 3 de derecha a izquierda: 23 045 146 987 1 809 567

La primera separación nos indica “miles”, y la segunda, “millones”.

• Al escribir cantidades con número, es importante colocar cada dígito en el lugar que le corresponde según su valor posicional.

Dos mil cinco es 2 005, y no 20005, ya que el 2 debe estar en el lugar de los miles,es decir, de las unidades de millar.

Practícalo

1. Ordena de menor a mayor los siguientes números:

467 000, 46 700, 467 900, 417 900, 497 000.

2. Escribe con número.

Cuatrocientos treinta y cinco decenas de millar

Setecientos mil uno

Doscientos treinta

Cuatro mil veintisiete

Dos unidades de millar, dos decenas

3. Escribe con letra en tu cuaderno.

30 005, 1 202, 400 008, 6 090 105, 724 001

Recuerda

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¿Cuál de las siguientes actividades te parece más difícil: comparar números, leer un número en voz alta, escribir un número con letra o escribir una cantidad con número?

¿Cómo le explicarías a un niño de cuarto grado que 1005 es mayor que 105?

¿Qué aprendiste sobre los números naturales que no sabías antes?


Más práctica

4. Elige el número que representa la cantidad:

Trescientos ocho

A) 3008 B) 38 C) 30008 D) 308

Quince mil ochenta

A) 15 080 B) 1500 080 C) 15 0080 D) 15000 080

Dos millones trece mil

A) 2 013 000 B) 213 000 C) 2000 013 D) 201300

Reto

5. Escribe el número: doce centenas de millar, ciento cincuenta decenas.


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Sesión 3

Formen los números 12.75, 1.275 y 127.5 de diferentes maneras utilizando únicamente los números del recuadro, la suma y la multiplicación.

100 10 0.5 0.25 0.125 .1 .01

• Al finalizar, escriban en su cuaderno cada cantidad con letra, de menor a mayor.

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• Para escribir un número decimal con letra o bien al leerlo, se toma en cuenta el valor del último dígito distinto de cero. Por ejemplo, 0.125 se escribe ciento veinticinco milésimos.

• Un número decimal puede nombrarse de diferentes maneras. Por ejemplo, 3.25 puede escribirse como tres enteros, veinticinco centésimos, o bien, puede leerse como trescientos veinticinco centésimos. 12.5 puede leerse como doce enteros, cinco décimos, o bien, como ciento veinticinco décimos.

• Para representar numéricamente un decimal, es importante que el último dígito se encuentre en la posición correcta. Por ejemplo, 12 décimos es 1.2 y no 0.12, ya que en este último caso el 2 se encuentra en la posición de los centésimos y no de los décimos.

• Para comparar números decimales primero comparamos la parte entera y, cuando son iguales, comparamos la parte decimal. En la comparación de la parte decimal es importante hacerlo con los dígitos que se encuentran en cada posición, de izquierda a derecha a partir del punto. Por ejemplo: 1.257 es menor que 1.3 ya que en el lugar de los décimos el dos es menor que el tres.

Practícalo

1. Elige el número que sea mayor:

A) 125.8 m B) 123.3 m C) 125.7 m D) 123.9 m

2. Escribe con letra en tu cuaderno:

1.008, 10.08, 100.8, 1008, 0.1008

3. Tere dice que el número 12.8 es mayor que el número ciento veintiocho décimos. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

4. Ordena de mayor a menor:

12.50, 125.0, 12.05, 1.250, 12.005


El 1 debe valer 10 centésimos en 214

El 3 debe valer 30 decenas en 8736

Recuerda


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Resumen del tema

• El valor de cada dígito en un número depende de la posición en la que se encuentra ese dígito.

• En el sistema decimal, el valor correspondiente a cada posición es diez veces el valor de la posición que se encuentra a su derecha y la décima parte del valor de la posición que se encuentra a la izquierda.

Autoevaluación

¿Cómo me sentí con este tema?

¿Qué fue lo que me costó más trabajo?

¿Qué sé ahora sobre los números naturales y decimales que no sabía antes?

Estrategias

Comprensión lectora

Si quieres resolver un problema en matemáticas necesitas primero entenderlo. Para esto te puede ayudar lo siguiente:

• Lee despacio y con cuidado el enunciado del problema. Si puedes, léelo en voz alta.

• Explica el problema con tus propias palabras.

• ¿Qué información te dan? ¿Qué te preguntan?

• Haz un dibujo o un diagrama para representar el problema y luego enséñaselo a algún compañero para que te diga si tomaste en cuenta todo lo necesario.

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Más práctica

6. Tomás vende aceites de plantas en frascos de doscientos cincuenta milésimos de litro. ¿Cómo se escribe esa cantidad?

A) .0250 litro B) 2.50 litro C) 25.0 litro D) 0.250 litro

7. Cuatro frascos tienen las siguientes cantidades de líquido:

Frasco 1 0.650 ml Frasco 2 0.056 ml Frasco 3 0.506 ml Frasco 4 0.605 ml

¿Cuál contiene la mayor cantidad de líquido?

A) Frasco 3 B) Frasco 2 C) Frasco 1 D) Frasco 4

8. ¿Cuál es el número mayor?

A) 12 054 000 B) 124 000 C) 14 054.000 D) 12 054 000.05

9. ¿Cuál es el número menor?

A) 8.005 B) 8.5 C) 8.050 D) 80.5

10. ¿Cuál es el número menor?

A) 72 décimos B) 7 décimos 2 centésimos C) 7.2 décimos D) 72 milésimos

11. El número trece enteros, setenta milésimos se representa como:

A) 13.070 B) 13.70 C) 13.00070 D) 13.0070

12. El número 1.075 se lee como:

A) un entero, setenta y cinco décimos B) ciento setenta y cinco milésimosC) un entero, setenta y cinco centésimos D) un entero, siete décimos y cinco milésimos

13. El número dos millones setenta se escribe como:

A) 2 070 B) 2 070 000 C) 2 000 070 D) 2 700 000

14. Doscientos cuarenta decenas de naranjas equivalen a:

A) 240 naranjas B) 2400 naranjas C) 240000 naranjas D) 0 24 000 naranjas

15. Treinta y nueve monedas de diez centavos equivalen a:

A) 39 pesos B) 3 pesos con 9 centavos C) 3 pesos con 90 centavos D) 390 pesos


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Tema 2

Suma y resta de naturales y decimales


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Suma y resta de naturales y decimales

Sesión 1

Encuentra la suma con el mayor resultado que se puede formar con dos de los siguientes números. Encuentra la resta con el resultado mayor. Luego encuentra la suma con el menor resultado y la resta con el menor resultado.

1 009 279 2 976 876 1 876

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• Siempre hay que sumar y restar unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Por eso, la manera más común de organizar las operaciones es en forma vertical, con las unidades en una columna, las decenas en otra, etc.

• Al sumar, cada 10 en una columna se convierte en uno en la siguiente columna a la izquierda. Es decir, 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena y así sucesivamente, como en el siguiente ejemplo:

• Para las restas es al revés. En una misma columna, cuando el número en el minuendo es menor que el número en el sustraendo de la misma columna, hay que tomar uno de la columna a la izquierda y convertirlo en diez de la columna en donde hacía falta.

Practícalo

Encuentra los dígitos que faltan en las siguientes operaciones:

4. En la siguiente operación, dos dígitos están intercambiados. Encuentra cuáles son y escribe bien la operación.

5. En la siguiente operación, cada letra representa un número distinto. Encuentra el número que representa cada letra.

8 centenas más 6 centenas más 1 centena son 15

centenas, que se convierten en 1 unidad de millar

y 5 centenas.

7 decenas más 5 decenas son 12 decenas, que se

convierten 1 centena y dos decenas.

7 decenas se convierten en 6 decenas y 10 unidades.

10 unidades más 3 unidades son 13 unidades,

13 unidades menos 6 unidades son 7 unidades.

8 7 3

6 5 6

2 1 7

6 1

8 7 3

6 5 6

1 5 2 911

2. 3 5

5 9

9 0

3. 1 0 4

7 8

3 4

8 2 6 3

5 7 4 2

2 7 9 1

A A A

A A

B C A D

5 6

2

1 2

1.

Recuerda


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¿Cuál de todos los problemas anteriores te pareció más difícil, y por qué?

¿Qué estrategias fueron las mejores para resolver los problemas? Explica por qué.

¿Qué aprendiste nuevo sobre la suma y la resta?


Más práctica

6. A Pepe le dan $27 de cambio cuando compra unos bolillos con un billete de $50. ¿Cuánto costaron los bolillos?

7. María mide 13 cm más que su hermano Carlos. Si María mide 152 cm, ¿cuánto mide Carlos?

8. Dos aviones llevan un total de 739 pasajeros. Si uno lleva 456, ¿cuántos pasajeros lleva el otro?

9. El Monte Tlaloc es 131 m menos alto que el Cofre de Perote, que es 358 m menos alto que la Sierra Negra. Si el Monte Tlaloc mide 4 151 m, ¿cuánto mide la Sierra Negra?

10. El municipio de Monclova tiene 83 298 habitantes más que Acuña y 67 512 más que Piedras Negras. Si Acuña tiene 147 809, ¿cuántos tiene Piedras Negras?

Reto

11. Tres números suman 10 000. La diferencia entre los dos números más pequeños es de 1 250 y la diferencia entre los dos números más grandes es de 4 200. ¿Cuáles son los números?

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Sesión 2

Encuentra tres números que sumen uno y la diferencia entre el mayor y el menor sea más de 0.85


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• Sumar y restar números con decimales se puede hacer de la misma manera que con los números naturales. Siempre hay que tener cuidado que las columnas estén alineadas haciendo coincidir los puntos decimales, las unidades con unidades, las decenas con decenas, los décimos con décimos, etc. Se debe tener especial cuidado cuando los números no tienen la misma cantidad de dígitos decimales, por ejemplo 123.5 + 5.83 + 0.029:

• En estos casos, conviene agregar ceros adicionales para completar los dígitos decimales:

Practícalo

1. 15.67 + 2.893 =2. 5.104 - 0.96 =3. 34.05 - 6.3 + 0.289 =4. 5 - 0.34 =5. 12.004 - 0.0679 =6. De una tira de madera de 2 m un carpintero corta dos piezas, una de 0.4 m y otra

de 0.75 m. ¿Cuánta madera le sobra?

7. José mide 1.32 m. Su hermana Ana es 15 cm más alta que José y su hermano Pablo mide 1.56 m. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas de Ana y Pablo?

8. Un taxista realiza cuatro viajes. En los primeros tres viajes recorre 1.76 km, 5.9 km y 0.68 km respectivamente. Si el total de los cuatro viajes es exactamente 10 km, ¿cuánto recorrió en el cuarto viaje?

9. Encuentra dos números que sumen 0.8 y su diferencia sea de 0.3

10. Encuentra dos números que sumen 0.7 y su diferencia sea de 0.45

1 2 3 5

5 8 3

0 0 2 9

1 2 9 3 5 9

.

.

.

.

1 2 3 5 0 0

5 8 3 0

0 0 2 9

1 2 9 3 5 9

.

.

.

.

Recuerda

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¿Qué te resulta un mayor reto, resolver problemas con sumas o con restas de números decimales? ¿Por qué?

¿Qué procedimientos fueron los mejores para resolver los problemas? Explica por qué.

¿Qué novedades aprendiste sobre la suma y la resta con decimales?


Más práctica

11. 200 - 0.451 12. 0.031 + 0.0018 =13. 0.23 + 0.023 + 0.0023 =14. 12 - 0.34 - 0.56 =15. 18.001 - 17.009 =

Reto

16. Las edades de los tres hijos de Rosa suman su edad. En un año sumarán la edad de su marido. ¿Cuál es la diferencia entre la edad de Rosa y su marido?


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Sesión 3

Encuentra la resta con menor resultado que se puede formar con los siguientes números:

1 .09 0.098 1.98 0.987

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• Para resolver problemas que involucran suma y resta, es muy útil representarlos con un diagrama que muestra la relación entre los elementos del mismo. Por ejemplo, para el problema 7 de la sesión 2:

Practícalo

1. Después de colocar un asta de bandera que mide 3.5 m en el techo de un edificio, la altura total del edificio es 142.3 m. ¿Cuánto mide el edificio sin el asta de bandera?

A) 145.8 m B) 139.3 m C) 138.8 m D) 142.3m

2. Pedro corre 3.6 km el lunes, 1.93 km el martes, 4.2 km el miércoles, 3 km el jueves y 2.5 km el viernes. ¿Cuánto corrió en total?

A) 299 km B) 15.23 km C) 29.9 km D) 13.106 km

3. Los tiempos de los cuatro finalistas en una carrera de 100 m son: primero 12.036 s, segundo 12.243 s, tercero 12.455 s y cuarto 12.66 s. ¿Cuáles son los dos corredores que terminaron más cercanos?

A) primero y segundo B) segundo y tercero C) tercero y cuarto

4. Los alpinistas inician el acenso del Everest desde una altura de 5 364 m. El ascenso es de 3 484 m ¿Cuál es la altura del Everest?

A) 8 848 m B) 3 484 m C) 1 880 m D) 8 748 m

5. En enero de 2017, 1 263 032 pasajeros internacionales utilizaron el Aeropuerto Internacional de la Ciudad de México. En enero de 2018, el número de pasajeros aumentó en 182 758 y en enero de 2019 aumentó en otros 32 846. ¿Cuántos pasajeros internacionales había en 2019?

A) 32 846 B) 215 604 C) 1 295 878 D) 1 478 636

Recuerda

D) primero y cuarto

José Ana Pablo

1.321.56

0.24 - 0.15 = 0.090.15

1.56 1.320.24


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Resumen del tema

• Siempre alinear las centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc.

• Diez en una columna se convierte en uno en la siguiente columna a la izquierda.

• Uno en una columna se convierte en diez en la siguiente columna a la derecha.

• Utiliza un diagrama como apoyo para comprender el problema.

Autoevaluación

¿Qué fue lo que me costó más trabajo? ¿Qué fue lo que me pareció fácil?

¿Qué sé ahora que no sabía antes?

¿Qué dudas tengo todavía?

Estrategias

Dibujar el problema

La técnica que utilizamos para representar los problemas de suma y resta a través de un diagrama, también sirve para otros tipos de problema. Para construir el diagrama, piensa en lo siguiente:

• ¿Cuáles son los elementos del problema? (personas, objetos, etc.)

• ¿Cuáles son los datos del problema? (alturas, distancias, precios, pesos, etc.)

• ¿Cómo se relacionan estos elementos con los datos? (hacer conexiones)

¡Inténtalo!

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Más práctica

6. ¿Cuál es el resultado de sumar 3.5 y 30.65?

A) 33.70 B) 34.15 C) 31 D) 3.1

7. Cuál es el resultado de restar 507 de 30 042?

A) 29 535 B) 30 535 C) 25 035 D) 30 545

8. ¿Cuál es el resultado de restar 34.78 de 59.125?

A) 25.47 B) 55.647 C) 25.047 D) 24.345

9. ¿Cuál es el resultado de restar 5.189 de 73.99?

A) 22.10 B) 68.801 C) 68.90 D) 2.21

10. La Secundaria Técnica Benito Juárez tiene 345 niños y 319 niñas, mientras la Secundaria Técnica Miguel Hidalgo tiene 478 niñas y 452 niños. ¿Cuántos estudiantes hay en total en las dos escuelas?

A) 930 B) 664 C) 797 D) 1 594

11. Miguel maneja 197 km de Saltillo a Monclova y luego sigue hasta Piedras Negras. Si su viaje en total es de 436 km ¿cuál es la distancia entre Monclova y Piedras Negras?

A) 239 km B) 633 km C) 339 km D) 361 km

12. Diana maneja un trailer que tiene una carga de 8 659 kg de cemento. Cuando lo sube a la báscula, pesa 15 326 kg. ¿Cuánto pesa el trailer sin carga?

A) 23 985 kg B) 8 659 kg C) 6 667 kg D) 7 333 kg

13. Un hotel tiene 276 huéspedes la noche del martes. El miércoles 59 de ellos salen y 37 nuevos huéspedes entran. ¿Cuántos huéspedes ocupan el hotel la noche del miércoles?

A) 260 B) 254 C) 372 D) 180

14. El 14 de abril de 2020 el dólar se cotizó en 23.61 pesos mexicanos. El 15 de abril el dólar incrementó su valor por 43 centavos, y el 16 de abril lo disminuyó por 29 centavos. ¿Cuál fue el valor del dólar en pesos mexicanos el 16 de abril?

A) 23.75 pesos B) 23.47 pesos C) 37.61 pesos D) 9.61 pesos


32

Tema 3

Figuras (2D) y cuerpos (3D) geométricos


34

Figuras (2D) y cuerpos (3D) geométricos

Sesión 1

Analiza las siguientes configuraciones en cada una de las tarjetas. ¿Cuál sería la descripción para identificar la configuración de la tarjeta D y diferenciarla de las demás?

Tarjeta A Tarjeta B Tarjeta C Tarjeta D

35


Los triángulos pueden clasificarse por la longitud de su lados y también por amplitud de sus ángulos. Por la longitud de sus lados

• Triángulo equilátero: son los triángulos que tienen los tres lados de igual longitud. En otras palabras, todos sus lados son iguales (congruentes).

• Triángulo isósceles: son los triángulos con dos o más lados de igual longitud.

• Triángulo escaleno: son los triángulos que tienen todos sus lados de diferentes longitudes.

Por la medida de sus ángulos (interiores)

• Triángulo rectángulo: Son los triángulos con un ángulo recto.

• Triángulo obtusángulo: Son los triángulos con un ángulo obtuso.

• Triángulo acutángulo: Son los triángulos con todos sus ángulos agudos.

Practícalo

Un triángulo equilátero se descompuso en seis triángulos como se muestra en la

figura. Cada uno tiene un color y letra diferente.

1. Analiza cada uno de los triángulos de colores, identifica todos aquellos que cumplen con la característica dada y escribe la letra que le corresponde.

A) Tiene un ángulo recto ___________________________________

B) Todos sus lados son de igual longitud ____________________

C) Todos sus lados son de diferente longitud ________________

D) Tiene un ángulo obtuso _________________________________

2. Para cada tipo de los siguientes triángulos, encuentra dos o más triángulos de colores que lo formen al unirlos.

A) Triángulo rectángulo ____________________________________

B) Triángulo equilátero _____________________________________

C) Triángulo isósceles ______________________________________

D) Triángulo obtusángulo ___________________________________

Recuerda

K J

OY

UM


36


Cuando no se indica con número las medidas de la longitud de los lados de un triángulo, ¿cómo le haces para saber si dos lados son iguales o no?

¿Cuál de los problemas anteriores te pareció más difícil? ¿Por qué?

¿Qué aprendiste sobre los triángulos que no sabías o recordabas?

Más práctica

3. En tu cuaderno, traza un triángulo. Indica con un color los vértices, con otro los ángulos y con otro, los lados.

4. Observa y analiza las siguientes figuras e indica con letra cuáles son:

A) Triángulos rectángulos: B) Triángulos isósceles: C) Triángulos escalenos: D) Triángulos obtusángulos: E) Triángulos equiláteros:

Reto

5. En tu cuaderno, construye dos ejemplos diferentes de triángulos que cumplan con cada afirmación

A) isósceles-obtusángulo B) escaleno-rectángulo C) equilátero-acutángulo

Z Q2.24 2.83

3 3

3

2

2

P R T

M X W

37


Sesión 2

Las siguientes figuras son hexágonos irregulares. En todos, se muestran sus vértices, algunos puntos en su interior y puntos medios en algunos de sus lados. En el ejemplo se dividió el hexágono irregular en dos polígonos, un hexágono regular y un octágono irregular, uniendo algunos de estos puntos.

1. Divide la figura 1 en triángulos equiláteros, ¿cuántos la conforman?

2. Divide la figura 2 en el mayor número de rombos posible. Las figuras que no sean rombos deberán ser cuadriláteros.

3. Divide el hexágono 3 en tres trapecios y dos rombos.

Figura 1 Figura 2 Figura 3


38

Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados y 4 ángulos. Podemos clasificarlos por las rela-ciones entre sus lados (igualdad, paralelismo, perpendicularidad) y entre sus ángulos (igualdad, ángulos rectos).

Lados paralelos

• Trapecios: son cuadriláteros que tienen solo un (1) par de lados paralelos.

• Paralelogramos: son cuadriláteros que tienen dos (2) pares de lados paralelos.

Paralelismo e igualdad (entre lados o ángulos) Los paralelogramos tienen nombres específicos si cumplen con otras características.

Practícalo

4. De las siguientes figuras, identifica los paralelogramos.

5. En los paralelogramos que ya identificaste, realiza lo siguiente:

Colorea un par de lados paralelos de color naranja y para el otro par, usa color marrón. Marca los ángulos obtusos con amarillo.

6. Escribe cuántos ejes de simetría tienen los siguientes cuadriláteros:

A) Cuadrado __________________________ C) Trapecio isósceles______________________B) Rectángulo_________________________ D) Rombo__________________________________

Recuerda

Rectángulos

2 pares de lados paralelos4 ángulos rectos

Rombos

2 pares de lados paralelos4 lados iguales

Cuadrados

2 pares de lados paralelos4 ángulos rectos4 lados iguales

39



¿Por qué un cuadrado se puede definir de diferentes maneras (polígono con..., rectángulo con..., rombo con...)?

'

¿Cómo le haces para asegurarte de que dos lados son paralelos?

¿La posición en la que están las figuras es una característica importante que las define? Explícalo.

Más práctica

7. María quiere completar un cuadrado con su rompecabezas.

Reto

8. Usando regla, escuadras y compás construye un paralelogramo cuyas diagonales sean iguales.

¿Cuál de las siguientes piezas le hace falta para terminarlo?

A CD

B


40

Sesión 3

Un juego de bloques de construcción tiene las siguientes piezas. ¿Qué tienen en común todas las piezas? ¿En qué son diferentes?

41


• Los cuerpos geométricos tienen tres dimensiones. Se pueden clasificar considerando si tienen caras planas o curvas, las relaciones entre las caras planas (perpendiculares, paralelas, iguales), la forma de las caras planas, y de muchas otras maneras. Para describir a los cuerpos geométricos podemos centrarnos en el número de caras, aristas (o bordes) y vértices.

• Una cara plana es una figura 2D, una arista es el segmento de recta en la que dos caras se unen, y un vértice es el punto donde las aristas coinciden. Los cuerpos que se muestran son prismas rectos. Las bases son dos polígonos iguales y que son paralelos. Las caras laterales son todas rectángulos. Las aristas laterales son perpendiculares a la base. Los prismas rectos rectangulares son aquellos cuyas bases son rectángulos.

Practícalo

Observa los siguientes cuerpos geométricos y responde:

1. ¿En cuáles de los cuerpos geométricos anteriores hay triángulos en sus caras planas? ______________________________

2. ¿En cuál de los cuerpos geométricos anteriores hay exactamente dos triángulos? __________________________

3. ¿Cuáles de los cuatro cuerpos geométricos anteriores tienen, al menos, un par de caras paralelas? __________________________

4. ¿Cuál de los cuatro cuerpos geométricos anteriores no es prisma? ________________

5. ¿Cuántas caras tiene el cuerpo geométrico C? ________________ ¿qué figuras geométricas tiene en sus caras?__________________________

6. ¿Cuál cuerpo geométrico tiene 2 cuadrados y 4 rectángulos no cuadrados en sus caras?__________________________

A CB D

Recuerda


42

Resumen del tema

• Una misma clase de figuras puede describirse de diversas maneras, centrándose en sus características o propiedades.

• Relaciones geométricas como igualdad (congruencia), perpendicularidad y paralelismo se establecen entre lados (el caso de figuras 2D) y también entre caras (en los cuerpos 3D).

• Los vértices se definen de manera distinta para los polígonos (se refiere al punto en el que se unen dos lados) y poliedros (se refiere al punto en el que coinciden tres caras planas).

Autoevaluación¿Cómo me sentí al resolver los problemas?

¿Qué aprendí sobre cuerpos y figuras geométricas que no sabía?

¿Qué dudas tengo para diferenciar cuadriláteros y prismas?

Estrategias Pregúntale a la pregunta

Cuando resuelves un problema, hay una situación a solucionar.

• Lee con atención el problema.

• Identifica y subraya donde se te indica lo que debes resolver. (Si es encontrar un resultado después de operar, encontrar información en una gráfica o figura, deducir características de una familia de figuras, ...).

• Analiza qué información del enunciado (texto e imágenes) son útiles para responder esa pregunta.

• Cuando hayas terminado de resolver el problema, regresa a la pregunta y asegúrate que la respondiste. ¡Úsalo en los siguientes problemas!

43


Más práctica

Analiza las siguientes figuras para responder las preguntas 7 a 11:

A) B) C) D)

7. ¿En cuál de las figuras anteriores, él ángulo que se muestra es obtuso?

Opción A Opción B Opción C Opción D

8. ¿Cuál de las figuras anteriores tiene solo un par de lados paralelos y un par de ángulos agudos?


9. ¿Cuál de las figuras anteriores NO es un cuadrilátero?


10. Tres características de la figura D son:

A) Tiene cuatro lados iguales, dos ángulos agudos y los lados opuestos paralelos.

B) Tiene cuatro lados, cuatro ángulos agudos y los lados opuestos paralelos.

C) Tiene cuatro lados, cuatro ángulos obtusos y cuatro lados oblicuos.

D) Tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices.

11. Observa la construcción que se realizó con dos piezas. ¿Cuáles de las siguientes piezas se usaron?



44

Tema 4

Perímetro y área de cuadriláteros


46

Perímetro y área de cuadriláteros

Sesión 1

¿En cuál de los dos mosaicos es mayor el área gris?

47


El área de un rectángulo se calcula como el producto de las longitudes de cualquier par de lados que formen un ángulo recto.

Practícalo

1. Encuentra el área de las siguientes figuras sin contar cada uno de los cuadritos:

2. Encuentra, de dos maneras distintas, el área de las figuras que representan los dibujos:

Recuerda

18.5 19 19.5 20 20.5 21

13

7

1

14

8

2

15

9

3

16

10

4

17

11

5

18

12

6

6 cm

3.5 cm

Área= 6 x 3.5= 21 cm2Es la cantidad de cuadrados de 1 x 1 que se

requerirían para cubrir exactamente la superficie del rectángulo

En ocasiones, es posible transformar otras figuras en rectángulos. Esto nos permite obtener más fácilmente su área. Transformar una figura en otra es una estrategia útil para resolver problemas de área

A

B

C

E

D

F

Área de A

Área de D

Área de B

Área de E

Área de C

Área de F

4.5 cm

6.5 cm

4.5 cm2.5 cm

2 cm

12 m

6 m

8 m

Área: Área:


48


¿Cuál de los problemas anteriores te costó más trabajo resolver?

Describe, a un compañero de cuarto grado, cómo se puede calcular el área de un rectángulo.

¿Qué aprendiste nuevo sobre el área?

Más práctica

3. Encuentra el área de un rectángulo cuyos lados miden 25 m y 0.5 m.

4. Encuentra tres rectángulos diferentes que tengan un área de 36 cm2.

5. Si el área de un rectángulo es 22 cm2 y uno de sus lados mide 5 cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Reto

6. Encuentra el área de la superficie gris.

Área:

12

49


Sesión 2

Encuentra cinco rectángulos con un área de 24 cm2. Calcula el perímetro de cada rectángulo. ¿Qué observas?

Ahora encuentra cinco rectángulos con un perímetro de 20 cm. Calcula el área de cada rectángulo. ¿Qué observas ahora?

¿Qué concluyes sobre la relación entre el área y el perímetro de un rectángulo?


50

El perímetro de un rectángulo se calcula sumando las longitudes de todos sus lados.

Es la distancia que tendría que recorrer una mosca que camina por todo el contorno de la figura, terminando en el punto de donde se partió.

Practícalo

1. Calcula el área y el perímetro de los siguientes rectángulos:

2. Encuentra un rectángulo que tiene un perímetro de 20 cm y un área de 16 cm2.3. La longitud de un lado de un rectángulo es 6 cm y su área es 45 cm2. ¿Cuánto

mide el otro lado del rectángulo?4. La longitud de un lado de un rectángulo es 3.5 cm y su perímetro es 18 cm.

¿Cuánto mide el otro lado del rectángulo?5. ¿Cuál de los siguientes rectángulos tiene la mayor área? ¿Cuál tiene el mayor

perímetro?

Recuerda

El área y el perímetro miden dos aspectos diferentes de la misma figura. Dos rectángulos con la misma área pueden tener diferentes perímetros, y dos rectángulos con el mismo perímetro pueden tener diferentes áreas.

2.5 cm

4.8 cm

4.8 cm

2.5 cm

Perímetro =

4.8 + 2.5 + 4.8 + 2.5

= 14.6 cm

3 m

5 m

5.2 mm

1.4

mm 6 cm

8 cm7.5 cm

10 cm

5 m

4 m

6.5 m

3 mAB

A) B) C)

5 m

51



¿Qué aprendiste nuevo sobre el perímetro?

¿Cuándo tienes que sumar y cuándo tienes que multiplicar?


Más práctica

6. Una caja de cartón mide 32 cm x 26 cm x 47 cm. ¿Cuánto cartón se necesita para armarla? Si se coloca cinta sobre todas las aristas, ¿cuánta cinta se necesitaría?

7. Para enmarcar una pintura, la madera que forma el cuadro cuesta $29 el metro y el vidrio que cubre la pintura cuesta $45 el metro cuadrado. ¿Cuánto costaría el material para enmarcar una pintura que mide 50 cm x 40 cm?

Reto

8. Encuentra todos los rectángulos que puedas con la propiedad de que su área es igual a su perímetro (tendrías que considerar rectángulos cuyos lados tienen longitudes fraccionarias y decimales). ¿Qué patrones encuentras en tus resultados?

9. En la figura a la derecha hay un círculo dentro de un cuadrado de lado 20 cm y un cuadrado de lado 14 cm dentro del círculo. Estima el área y perímetro del círculo, justificando tus respuestas

14 cm

20 cm


52

Sesión 3

Copia y corta las piezas que se muestran. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes puedes construir con ellas? ¿Tienen la misma área? ¿Tienen el mismo perímetro? ¿Cómo puedes usar tus resultados para encontrar una estrategia para calcular el área de un trapecio?

53


Para determinar el área de una figura puedes usar diferentes estrategias.

• Contar el número de cuadrados enteros dentro de la figura, y después, con las piezas restantes mover y juntarlas para hacer nuevos cuadrados.

• Construir un rectángulo que contenga a la figura original y restar las áreas de las figuras que no forman parte de la original, las que sobran.

• Descomponer la figura original en otras, moverlas y juntarlas para construir un rectángulo, si es posible.

• En un rectángulo (o cualquier paralelogramo), se multiplica la medida de la longitud de uno de sus lados por la medida de su altura correspondiente. ¿Qué otra conoces?

Practícalo

1. Calcula el área de las siguientes figuras. ¿Cuáles tienen la misma área? ¿Cuál tiene la mayor área?

2. Completa la siguiente tabla. Primero escribe cuánto crees que mide (estimación) y luego, mídelo. Para el área, usa dos estrategias diferentes.

3. Lupita midió las dimensiones de su cama. Sus medidas son 1.9 m por 80 cm. Ella dice que el área que ocupa su cama es 163.8 cm. ¿Estás de acuerdo con su respuesta? ¿Qué fue lo que hizo Lupita? ¿Qué le dirías a Lupita para ayudarla a resolver el problema?

4. El costo por pintar una pared cuadrada, en un solo color, cuesta $1 200. Si se divide en partes como se muestra, ¿cuánto costaría pintar cada parte?

Recuerda

Perímetroreal

Perímetroestimado

Objeto a medir

Portada de este cuadernillo

Puerta de tu salón o casa

Áreaestimada

Área realestrategia 1

Área realestrategia 2


54

Resumen del tema

• Al comparar dos figuras éstas pueden tener la misma área y diferente perímetro; mismo perímetro con áreas diferentes, o tener la misma área y el mismo perímetro.

• Hay diferentes estrategias para calcular el área de una figura.

• Saber cómo calcular el área del rectángulo, es útil para calcular el área de otras figuras.

• Al calcular el perímetro y el área, hay que asegurarse que las longitudes de todos los lados usan la misma unidad de medida. Si no es así, se deben convertir a una misma unidad de medida. La respuesta debe estar en las unidades pedidas en el problema.

• Para expresar la medida del perímetro de una figura se usan unidades lineales (u, cm, km, m, mm,…) y para el área, unidades cuadradas (u2, cm2, km2, m2, mm2,…).

Autoevaluación¿Qué aprendí sobre la diferencia entre el área y el perímetro y cómo medirlo?

¿Qué estrategias puedo usar para resolver problemas donde se calcula el área y perímetro?


EstrategiasSí se puede

La preparación previa para un examen o cualquier evaluación es importante. No solo es un asunto de conocimientos, también hay que prepararse emocionalmente para ello. Algunas sugerencias son:

• Evitar situaciones que puedan generar preocupaciones. Llegar temprano, revisar que se cuenta con todos los materiales necesarios (lápiz, goma, compás, regla, por ejemplo).

• Sustituir los pensamientos negativos “No sé qué hacer”, “no puedo” por “estoy preparado para este examen, voy a mostrar lo que sé, un problema a la vez”.

• La mente no queda en blanco, hay que mantener la calma, tener confianza en lo aprendido y las ideas claves para resolver los problemas irán fluyendo.

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Más práctica

5. Si a la bandera le colocan un listón en toda la orilla, ¿cuántos centímetros se necesitan? Las medidas están en centímetros.

A) 9 cm B) 6.5 cm C) 15.5 cm D) 13 cm

6. Para construir la bandera anterior, ¿cuánta tela se gastó?

A) 9 cm2 B) 6.5 cm2 C) 15.5 cm2 D) 9 cm

7. Juan Pablo necesita comprar un marco para una fotografía, ¿cuál es la unidad más común que se usa para indicar sus medidas?

A) centímetros B) metros C) kilómetros D) milímetros

8. La familia Contreras va a cercar sus dos milpas, ¿en cuál milpa necesita más material?

A) En la de maíz B) En la de hortalizas C) D)

9. Antes de empezar las lluvias, se recomienda impermeabilizar. El techo de la casa de Daniel tiene la forma y medidas que aparecen en la figura. ¿Cuántos metros cuadrados deberá impermeabilizar?

7.5 m

7.5 m

3 m

6 m3 m1.5 m

7.5 m

9 m

10.5 mMaízHortalizas

3 m

Las dos tienen el mismo perímetro No se puede calcular

A) 81 m2

C) 42 m2

B) 18 m2

D) 24 m2

3 m

4 m5 m

6 m

4.5 cm

4.5 cm

2.5 cm2 cm2 cm


56

Tema 5

Desarrollos planos de cuerpos geométricos


58

Desarrollos planos de cuerpos geométricos

Sesión 1

Julián quiere construir dados de colores. La única regla es que las caras opuestas deben pintarse del mismo color. Julián usará tres colores: negro, blanco y gris (¿Por qué?). En cada uno de los desarrollos planos para armar cubos, ya está pintada de gris una de sus caras. ¿Cómo quedarían coloreadas las demás caras?

59


Para construir algunos cuerpos geométricos (imaginemos paquetes para guardar cosas) podemos hacerlo a partir de sus desarrollos planos. Al doblar estos desarrollos planos (configuraciones 2D), por las líneas punteadas, podemos formar el cuerpo geométrico (3D). Un mismo cuerpo geométrico puede armarse usando diferentes desarrollos planos, claro, si el patrón de armado es correcto.

También podemos hacer el proceso inverso, es decir, si tenemos un cuerpo geométrico, podemos desarmarlo cortando en algunos bordes (aristas) para obtener su desarrollo plano. Así, podemos identificar más facilmente cómo están formados, por ejemplo, qué formas tienen sus caras y cuántas son.

Practícalo

1. ¿Cuál de los siguientes desarrollos planos es el que permite armar al prisma marcado con la letra H?

Recuerda

A B C D F G H

Opción A Opción B

2. ¿Cuál(es) de los siguientes desarrollos planos permite(n) armar el prisma triangular A?


3. ¿Cuáles de los cuerpos geométricos anteriores tiene(n) cara(s) en forma de triángulo? ¿Cómo lo sabes?


60


Cuando tienes un prisma, ¿en qué te fijas para identificar cuál es su desarrollo plano?

¿Cuál de los problemas anteriores te pareció más fácil? ¿Por qué?

¿Qué aprendiste sobre los desarrollos planos que no sabías o recordabas?


Más práctica

4. Observa la siguiente caja con forma de prisma rectangular. ¿Cuál desarrollo plano se usó para formarla?

5. Hay un desarrollo plano que no forma un cubo, ¿cuál es? ¿Por qué?

Reto

6. En una hoja cuadriculada construye dos desarrollos planos de prismas triangulares, diferentes a los vistos en esta sesión. Uno que sí lo forme y otro que no.

A B C D

A B C D

61


Sesión 2

Eli compró en la papelería un juego de desarrollos planos de pirámides. En la etiqueta dice “Hay dos que no permiten formarlas”.¿Cuáles son? Explica por qué no.


62

Para identificar si un desarrollo plano corresponde o no, al de un cuerpo geométrico dado, es necesario fijarse en algunos de sus elementos. Analicemos dos tipos de poliedros (aquellos que todas sus caras son polígonos) prismas en contraste con pirámides:

• Formas de sus caras (qué tipo de polígonos).

• Número de caras.

• Organización de las caras de tal manera que al imaginar doblarlas,

• no se sobrepongan unas sobre las otras;

• en el caso de las pirámides, hay que fijarse en el tamaño de las caras triangulares que permitan formarla, que no sean demasiado pequeñas.

Practícalo

1. ¿Con cuál(es) desarrollos planos se puede armar una pirámide?

2. Con los desarrollos planos que elegiste, ¿qué forma tiene la base de la pirámide?

A. Cuadrado B. Triángulo

3. Coloca la letra de cada desarrollo plano con su correspondiente cuerpo geométrico.

4. En los cuerpos anteriores, están coloreadas dos de sus caras. Identifícalas y coloréalas en su correspondiente desarrollo plano.

Recuerda

A B C D

63


¿Cómo puedes identificar en un desarrollo plano, si es una pirámide o es un prisma triangular?

Cuando te imaginas doblar un desarrollo plano para formar un prisma o una pirámide, ¿cómo le haces para asegurarte que no se sobreponen unas caras con otras?

¿Qué te gusta más: encontrar cuál es el cuerpo geométrico que corresponde a un desarrollo plano, crear diferentes desarrollos planos del cuerpo geométrico o encontrar cuál es el desarrollo plano que corresponde a un cuerpo geométrico dado? ¿Por qué?

Más práctica

5. Observa las siguientes pirámides. ¿Qué tienen en común? ¿En qué son diferentes?

6. ¿Cuántas caras tienen estas pirámides?

¿Cuántas caras son cuadrados?

¿Cuántas caras son triángulos?

¿Cuántas caras son rombos (no cuadrados)?

7. Elige una de esas pirámides. En tu cuaderno, dibuja dos diferentes desarrollos planos.

Reto 8. Julieta afirma que las pirámides que se

forman con los siguientes desarrollos planos, todas tienen la misma altura. ¿Por qué sí o por qué no?


64

Sesión 3

El siguiente prisma tiene solo dos caras visibles, las demás están ocultas.

Dibuja, al menos dos poliedros diferentes, que cumplan con las características dadas:

• Tiene exactamente cinco caras y sólo se pueden ver tres.

• Tiene exactamente seis caras y sólo se puede ver una cara.

• Tiene exactamente seis caras y sólo se pueden ver dos caras.

65


Dibujar cuerpos geométricos es como tomar una fotografía, depende desde donde lo miremos (ubicación del observador) serán visibles ciertos detalles o elementos. Por ejemplo, en un cubo como el que se muestra, el número de sus caras visibles puede variar. Si miras desde arriba, de frente, de lado derecho, de lado izquierdo, desde abajo, ..., verás diferentes partes de ese cuerpo (o de cualquier objeto). Por eso es importante saber si se está analizando una figura plana (2D) o si es un cuerpo geométrico (3D).

Practícalo

1. Para armar el prisma que se muestra, ¿qué figuras geométricas se necesitan y cuántas de cada una?

A) 3 rectángulos y 1 hexágono

B) 6 rectángulos y 1 hexágono

C) 2 hexágonos y 6 rectángulos

D) 12 rectángulos y 2 hexágonos

2. En los siguientes prismas y pirámides, identifica la cantidad de caras visibles y de caras ocultas

Recuerda

Cuerpo Caras visibles Caras ocultas Cuerpo Caras visibles Caras ocultas

3. La siguiente plantilla es de una casa. Las paredes opuestas deben tener el mismo diseño. Coloca la letra T de techo en la figura que corresponde. Coloca E de “entrada” y P de piso de la casa. Dibuja en tu cuaderno como luciría la casa ya armada.


66

Resumen del tema

• Un mismo cuerpo geométrico puede armarse con diferentes desarrollos planos.

• Para elegir el cuerpo geométrico que corresponde a un desarrollo plano o el desarrollo plano que corresponde al cuerpo geométrico hay que fijarse en la forma de las caras, el número de caras y que al doblarse no se sobrepongan ni hagan falta.

Autoevaluación¿Cómo me sentí al imaginar los cuerpos geométricos a partir de sus desarrollos planos?

¿Qué aprendí sobre los desarrollos planos de prismas y pirámides que no sabía?

¿Qué dudas tengo para identificar las caras que no se ven de un cuerpo geométrico?

Estrategias

El buen uso del tiempo

Cuando vas a resolver problemas es necesario tomar decisiones. Algunas recomendaciones:

1. Considera el tiempo que tienes para responder todo el examen. 2. Da una mirada rápida a los problemas e identifica cuántos son en total. 3. Estima el tiempo máximo que podrías dedicar a cada problema. 4. Puedes empezar por orden, del primero al último. 5. Si en uno de los problemas sientes que no tienes ideas claras de cómo resolverlo, coloca una marca, (?), para que sepas que está sin contestar. 6. Sigue con los demás problemas o ejercicios. 7. Cuando hayas terminado de resolver los demás problemas, regresa a los que dejaste pendientes. Seguro tendrás nuevas ideas de cómo resolverlos.

Recuerda, no le dediques demasiado tiempo a una pregunta o problema que no sabes responder, puedes regresar cuando ya hayas terminado los que sí sabes. ¡Inténtalo!

67


Más práctica

4. Debajo de cada cuerpo geométrico, selecciona el(los) desarrollos planos que permite(n) construirlo.

5. Este dado se formó con uno de los siguientes desarrollos planos, ¿cuál es?

6. Con este desarrollo plano se formó un cubo, hay uno que no corresponde, ¿cuál es?

A B C D

E F G H

A B C D

A B C D


68

Tema 6

Fracciones


70

Fracciones

Sesión 1

¿Cómo dividirías la siguiente figura en secciones de manera que en cada sección estuviera sombreada la cuarta parte del entero?

71


Una fracción es un número que puede utilizarse, por ejemplo, para expresar relaciones entre las partes de un entero y el entero completo. En este caso, el número que está por encima de la barra (numerador) indica las partes seleccionadas en el entero, mientras que el otro número (denominador) indica el número total de partes en las que está dividido el entero.

• Cuando utilizamos fracciones es importante definir cuál es el entero o la unidad.

• Una misma fracción puede representar una misma relación, aunque el entero y sea diferente:

• Una misma relación entre partes y entero se puede representar con fracciones diferentes, estas fracciones se llaman fracciones equivalentes.

Practícalo

1. Escribe, para cada dibujo, la fracción que corresponde a la parte sombreada. Si encuentras varias maneras de representar el resultado, escríbelas.

2. Sombrea la parte correspondiente a la fracción dada.

Recuerda

34

34

34

28

14

37

13

14

12


72


¿Cuál de todos los ejercicios anteriores te pareció más complejo y por qué?

¿Qué estrategias utilizaste para decidir a qué fracción corresponde cada dibujo?

¿Qué aprendiste nuevo sobre las fracciones?

Más práctica

3. Elige, para cada dibujo, la opción que representa la parte sombreada:

Reto

5. Dibuja dos cuadrados más en cada imagen. Sombrea lo necesario para que se conserve la misma fracción.

A)

B)

C)

D)

112161312

A)

B)

C)

D)

101513155715

A)

B)

C)

D)

24133834

12

13

73


Sesión 2

La mamá de Pedro preparó una gelatina en un molde rectangular y la partió en 24 pedazos iguales.

Si quiere repartir la gelatina completa entre Pedro y tres de sus amigos, ¿cuántos pedazos le tocarán a cada quién?

• ¿Qué parte de la gelatina completa le toca a cada uno?


74

Las fracciones pueden representar el resultado de un reparto o de una división.

• En ocasiones, un mismo reparto se puede expresar con fracciones diferentes que representan la misma cantidad, es decir, con fracciones equivalentes.

Por ejemplo, si tenemos un pastel dividido en 9 partes iguales, y queremos repartirlo entre tres personas, podemos hacer lo siguiente:

Practícalo

1. Marta reparte una bolsa de 20 malvaviscos entre sus tres hijos y ella. ¿Cuántos malvaviscos le tocan a cada quién? ¿Qué fracción del total de malvaviscos tendrá cada uno?

2. Santiago y María comparten un chocolate que tiene 5 piezas. Si se desean repartir todo el chocolate entre ellos, ¿cuántas piezas de chocolate le corresponden a cada uno? Reparte el chocolate de dos maneras diferentes.

3. Don José quiere repartir un terreno que está dividido en cuatro partes iguales entre sus tres hijos. ¿Cómo debe repartirlo? ¿Qué fracción del terreno le toca a cada uno?

5. ¿Entre cuántas personas se puede repartir el siguiente pastel sin tener que cortar en pedazos más pequeños? Encuentra todas las posibles respuestas y escribe cuántos pedazos les tocan y qué fracción le corresponde a cada persona en cada caso.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Reparto 1: Repartir 9 pedazos entre tres personasPersona 1 Persona 2 Persona 3

1 4 7 2 5 8 3 6 9

Reparto 2: Repartir el pastel entero entre tres personasPersona 1 Persona 2 Persona 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

39

39

39

13

13

13

4. Tatiana quiere repartir el pastel de zanahoria que se muestra en el dibujo entre 8 personas. ¿De qué manera lo puede repartir? Encuentra formas diferentes de repartirlo y escribe la fracción del pastel que le corresponde a cada persona para cada caso.

Recuerda

75



¿En qué problemas tuviste dificultades? ¿Qué puedes hacer para mejorar?

¿Cómo le explicarías a un niño de cuarto grado que y son equivalentes?

¿Qué problema fue el que más te gustó? ¿Por qué?

¿Qué dudas acerca de las fracciones tienes todavía?

Más práctica

6. Tomás va a repartir una pizza de 5 rebanadas entre 3 amigos. ¿Cuánto le toca a cada uno?

A)

7. Marco repartirá un pastel partido en 26 pedazos iguales entre 2 personas. ¿Qué fracción del pastel le toca a cada persona?

Reto

8. Seis amigos reparten dos pizzas que estaban divididas en 10 partes iguales. Si se aseguraron de que todos les tocara exactamente lo mismo y de que no sobrara pizza, ¿cuánto lo tocó a cada quién?

53

B) 35

C) 315

D) 515

132

B) 226

C) 12

D) 113

A)

1 2

2 4

de pizza de pizza de pizza de pizza


76

Sesión 3

Si tuvieras que repartir 3 rollos de ate con dulce de leche entre 4 personas de manera que a todos les tocara la misma cantidad, ¿cómo lo harías?

• ¿Cuánto le tocaría a cada persona?

• Y si fueran 6 personas, ¿cuánto le tocaría a cada uno?

77


Las fracciones pueden representar repartos o partes de un total en los que las cantidades iniciales incluyen más de un entero.

• Cuando la parte seleccionada o repartida es mayor que un entero, se puede escribir una sola fracción (fracción impropia), o bien es posible escribir los enteros completos y la fracción faltante (fracción propia). En este caso, como el resultado incluye enteros y fracciones se le llama número mixto.

Por ejemplo, si en los siguientes ejemplos cada figura es un entero se tiene que:

Practícalo

1. Escribe de dos maneras diferentes la fracción representada en cada dibujo.

2. Sombrea las figuras para representar la fracción que se indica.

3. Si tuvieras que repartir 4 sándwiches entre tres personas, ¿cuánto le tocaría a cada una?

Recuerda

=12

1 32 = 12

121 =1

31 4

3

83

54

12

1 156

Repartidos en 3 partes iguales

4 entre 3 es igual a


78

Resumen del tema

• Las fracciones sirven para representar relaciones entre números. A veces representan partes de un entero, y a veces representan lo que resulta al realizar un reparto.

• Cuando trabajamos con fracciones es muy importante definir cuál es el entero en cada problema o ejercicio.

• En ocasiones una misma cantidad puede representarse utilizando diferentes fracciones. Se dice que esas fracciones son equivalentes.

• Autoevaluación¿Cómo me sentí con este tema?


¿Qué sé ahora sobre las fracciones que no sabía antes?

Estrategias

Claridad y orden

Al resolver problemas de matemáticas es importante tener claridad y orden en el procedimiento:

• Escribe claramente los números.

• Intenta que tus dibujos sean precisos. Utiliza regla si lo consideras necesario.

• Al escribir sigue un orden, numera tus ejercicios y respuestas.

• Registra todos tus intentos, aún los equivocados. Quizá posteriormente quieras revisar de nuevo algún procedimiento.

79


Más práctica

4. Saúl repartió un pastel que estaba partido en 8 partes iguales entre tres personas. ¿Qué fracción del pastel le toca a cada persona, tomando en cuenta que no sobra pastel?

A) B) C) D)

5. Mónica repartió seis salchichas entre 8 niños sin que hubiera sobrantes y de manera que a todos les tocara la misma cantidad de salchicha. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

A) de salchicha B) de salchicha C) de salchicha D) de salchicha

6. ¿Qué fracción de la siguiente figura se encuentra sombreada?

A) B) C) D)

7. A la caja de colores de Tania le faltan algunas piezas.

¿Qué fracción del total de colores es la que falta?

A) B) C) D)

8. ¿Qué fracción de la siguiente figura se encuentra sombreada?

A) B) C) D)

9. Patricia repartió dos pizzas con 12 rebanadas cada una entre 6 personas. ¿Qué fracción de una pizza completa le tocó a cada persona?

A) de pizza B) de pizza C) de pizza D) de pizza

10. ¿Qué fracción se encuentra sombreada si el entero es cada figura?

A) B) C) D)

11. ¿Qué fracción se encuentra sombreada si el entero es cada figura?

A) B) C) D)

88

34

43

23

14

34

912

129

412

14

246

624

38

28

83

13

23

26

43

64

23

214

134

143

312

12

912

129

26

13

12

36


80

Tema 7

Suma y restade fracciones


82

Suma y resta de fracciones

Sesión 1

Si la siguiente figura es un entero, ¿cómo la dividirías para representar en ella la suma?

14

+ 12

+ 18

• ¿Cuál es el resultado de la suma?

• Ahora divide una figura similar para representar

• ¿Cuál es el resultado de la segunda suma?

• ¿Qué observas?

13

+ 16

+ 112

83


Para sumar fracciones es necesario que todas tengan el mismo denominador. Como se observa en las figuras, tener partes que son del mismo tamaño nos permite sumarlas (o restarlas):

Cuando las fracciones que queremos sumar o restar tienen diferente denominador, primero debemos encontrar fracciones equivalentes a éstas, que tengan el mismo denominador.

Practícalo

1. Dibuja figuras para representar las sumas y encontrar el resultado.

2. En las siguientes figuras, ¿qué fracción representan juntas la zona blanca y la zona gris claro?

Recuerda

14

+ 14

= 24

12

+ 14

= 12

14

+ = 34

13

+ 13

= 13

+ 16

= 12

+ 14

=


84


¿Cuál de todos los ejercicios anteriores te costó más trabajo y por qué?

¿Qué estrategias utilizaste para sumar las fracciones?

¿Qué aprendiste nuevo sobre la suma de fracciones?


Más práctica

3. Tienes dos vasos iguales, uno lleno hasta la mitad , y el otro lleno hasta la sexta parte . Si juntaras el agua de los dos vasos en uno, ¿qué fracción del vaso quedaría llena?

4. En un salón de clases, de los estudiantes tienen un perro en casa mientras que de ellos tienen dos. ¿Qué fracción de los estudiantes tiene uno o dos perros en casa?

Reto

5. Sombrea lo que hace falta para alcanzar la fracción que se indica. ¿Qué fracción dibujaste?

A)

121

6

28

de vaso B) 26

de vaso C) 46

de vaso D) 36

de vaso

A) 12

B) 29

C) 34

D) 28

38

56

13

16

85


Sesión 2

Mariana calculó la fracción que ocupa de su día en cada una de sus actividades:

• ¿Cuánto tiempo dedicó a jugar y a hacer sus tareas?

• ¿Cuántas diferentes respuestas puedes encontrar?

TareasJugarComerEscuelaDormirActividad

Fracción

Televisión

512

14

112

124


86

Para restar fracciones también debemos, al igual que en la suma, expresarlas primero como fracciones equivalentes con el mismo denominador. Cuando tenemos varias fracciones que queremos sumar o restar, necesitamos un denominador común para todas.

Si alguno de los denominadores es múltiplo de los demás, podemos utilizarlo como denominador común. Encontramos fracciones equivalentes para cada una de las fracciones y sumamos (o restamos).

Practícalo

1. Teresa y sus amigos pidieron media pizza de jamón y un cuarto de pizza de pimiento morrón y el resto de la pizza se dividió en partes iguales, una de champiñones y otra de cebolla, ¿qué fracción de pizza era de champiñones?

2. En un rompecabezas, de las partes son azules, 23 son rojas y el resto son

negras. ¿Qué fracción del rompecabezas es negra?

3. En la siguiente figura, ¿qué fracción representan juntas la parte negra y la parte gris? ¿qué fracción representa la diferencia entre la parte negra y la parte gris?

4. María y su mamá hornearon galletas. Llevaron del total de galletas a sus vecinos, y le dieron la mitad de lo que les sobró al papá de María. ¿Qué fracción de las galletas que hornearon les quedó a ellas?

5. En una receta de cocina dice que se necesita taza de harina para la masa, y de taza de harina para cubrir el molde. ¿Cuánta harina se necesita?

Recuerda

12

+ 34

+ 512

612

+ 912

+ 512

2012

16

12

12

16

87




¿Cómo le explicarías a un niño de cuarto grado la manera de sumar y ?

¿Qué problema fue el que menos te gustó? ¿Por qué?

¿Qué dudas acerca de la suma o resta de fracciones tienes todavía?

Más práctica

6. Marta dedica de su tiempo libre a jugar con su perro y a escribir cartas a sus amigas. ¿Qué fracción le queda disponible para hacer otras cosas?

7. Silvia comió hoy parte de un chocolate que le regalaron de cumpleaños. Si anteriormente había comido parte, ¿qué fracción de chocolate le queda?

Reto

8. En la fiesta de Mario, pusieron una pizza completa en cada mesa. En una mesa los asistentes comieron media pizza, y en otra se terminaron de pizza.

¿Cuánta pizza sobró entre esas dos mesas?

12

14

A) 58

B) 212

C) 38

D) 34

14

18

14

16

A) 210

B) 810

C) 512

D) 712

14


88

Sesión 3

Organiza las fracciones , , , , , en dos grupos de tal manera que la suma de las fracciones en cada grupo dé el mismo resultado. ¿De cuántas diferentes maneras puedes hacerlo?

Ahora organiza las fracciones en tres grupos que tengan la misma suma.

12

18

13

16

14

18

89


Al sumar fracciones, muchas veces nos da un resultado mayor a un entero.

Cuando esto sucede, podemos escribir la fracción como un número mixto, el cual incluye un número natural y una fracción:

También, a veces es posible escribir la fracción que nos da en el resultado de una manera más simple (con números menores), utilizando fracciones equivalentes:

Esto lo podemos identificar cuando tanto el numerador como el denominador pueden dividirse entre el mismo número

Al sumar números mixtos puedes sumar primero los enteros y después las fracciones.

Al restar números mixtos, cuando la parte fraccionaria es mayor en el sustraendo que en el minuendo, necesitas convertirlos a fracciones impropias para poder restar.

Practícalo

1. Un pedazo de tela que mide de metro de largo se va a juntar con otro pedazo que mide de metro de largo. ¿Alcanza para juntar dos metros de tela? ¿Cuánto falta o cuánto sobra?

2. Suma cada vez para completar la siguiente sucesión. Escribe las fracciones impropias como números mixtos.

3. Si le quitas litro de agua a una jarra que contiene de litro, ¿cuántos litros de agua te quedan?

Recuerda

23

+ 56

46

+ 56

96

=

36

1

36

1 =121 =

3 3 6 3

= 12

( )

14

2 -123 = 1

45 + 24 =

345

14

2 -121 = 9

4- 3

2 =94

64

34

- =

14

58

1

14

, , , , ; , ,

12

181

12

1


90

Resumen del tema

• Para sumar y restar fracciones es necesario tener fracciones con el mismo denominador.

• En muchas ocasiones, necesitamos utilizar fracciones equivalentes para poder sumar y restar.

• Los resultados de las sumas y restas en ocasiones se pueden, simplificar, es decir, expresar con fracciones equivalentes más sencillas. También a veces es posible escribir los resultados como números mixtos.

Autoevaluación¿Cómo me sentí con este tema?


¿Qué sé ahora sobre las fracciones que no sabía antes?

Estrategias

Revisa tu respuesta

Acostúmbrate a siempre revisar tu respuesta al resolver problemas de matemáticas. Puedes hacerte las siguientes preguntas:

• ¿Tiene sentido la respuesta? ¿Responde a la pregunta?

• ¿La cantidad es la esperada? ¿Esperaba más o menos de un entero? ¿Esperaba cientos, miles o millones?

• ¿La respuesta se expresa en las unidades correctas (metros, litros, número de estudiantes, etcétera)?

• ¿El procedimiento es correcto? ¿Las operaciones son las adecuadas? ¿Puedo encontrar algún error en las operaciones?

91


Más práctica

4. Una receta de sopa requiere, para dos porciones, de taza de crema. ¿Cuánta crema se necesita para preparar cuatro porciones de sopa?

A) de taza B) de taza C) de taza D) de taza

5. Patricia juntó medio kilo de fresas, mientras que su hermana Karla recogió de kilo. ¿Qué cantidad de fresas recogieron entre las dos?

A) kilo de fresas B) kilo de fresas C) kilo de fresas D) kilo de fresas

6. ¿Qué fracción de la siguiente figura representa la parte blanca junto con la gris?

A) B) C) D)

7. José y Ana pidieron dos pizzas, una de salchicha y otra de verduras. José comió media pizza de salchicha y de pizza de verduras. Ana comió de pizza de salchicha y de pizza de verduras. ¿Cuánta pizza sobró?

A) de pizza B) de pizza C) de pizza D) de pizza

8. Francisco cortó el césped en de su jardín. Su esposa, Magdalena, cortó otro del jardín. ¿Cuánto les falta por cortar?

A) de jardín B) de jardín C) de jardín D) de jardín

9. Daniela compró de kilo de jamón, mientras que su esposo por su parte compró de kilo y su hija de kilo. ¿Cuánto jamón compraron entre los tres?

A) kilo de jamón B) kilo de jamón C) kilo de jamón D) kilo de jamón

10. Si consideras que cada figura es un entero y juntas la parte sombreada de ambas figuras ¿qué fracción obtendrías?

A) B) C) D)

83

83

1

69

46

63

14

1 18

192

26

46

59

56

14

183

814

34

38

58

29

12

26

23

3478

12

18

2 118

1114

14

4

46

13

23

34

1

23

58

13

16


92

Tema 8

División por naturales con cocientes fraccionarios


94

División por naturales con cocientes fraccionarios

Sesión 1

Cuando reparto unas canicas entre cuatro amigos en partes iguales, sobra una. Si reparto las mismas canicas entre cinco amigos, sobran dos. ¿Cuántas canicas tengo? ¿Cuántas respuestas pueden encontrar? ¿Qué patrones pueden encontrar en las respuestas? Comparen sus estrategias con las de sus compañeros. ¿Qué estrategias les parecen mejores? ¿Por qué?

95


La división se utiliza cuando queremos agrupar y cuando queremos repartir. Por ejemplo, si la maestra quiere organizar una clase de 35 estudiantes en grupos de 7, tenemos que dividir 35 entre 7 para saber el número de grupos, o sea 5. Eso se llama agrupar. Tomamos 7 para el primer grupo, luego otros 7 para el segundo grupo y así sucesivamente hasta agotar los 35 estudiantes. Pero si la maestra quiere organizar los estudiantes en 7 grupos, entonces hay que dividir 35 entre 7 para saber cuántos estudiantes habrá en cada grupo, en este caso 5. Primero se asignan 7 estudiantes, uno a cada grupo, luego otros 7 estudiantes para que sean dos en cada grupo, y así sucesivamente repartiendo los estudiantes entre los 7 grupos. Eso se llama repartir. En los dos casos la operación es 35÷7, pero en el primero queremos saber el número de grupos y en el segundo queremos saber el número de estudiantes por grupo

Practícalo

1. Si caben cuatro personas en cada coche, ¿cuántos coches se requieren para transportar 33 personas?

2. Pablo guarda sus pelotas de tenis en cajas de tres. ¿Cuántas cajas va a necesitar?

3. Cuando se reparten 46 fresas en cantidades iguales entre 7 miembros de la familia ¿cuántas sobran?

4. Miranda va al mercado con $50 para comprar naranjas. ¿Cuántas va a poder comprar?

5. Al final del día le quedan 40 peces al pescadero, que decide regalarlos entre 6 compañeros en cantidades iguales. ¿Cuántos peces le tocan a cada compañero y cuántos le quedan al pescadero?

Recuerda

5 grupos de 7 7 grupos de 5

FRUTAToronja $8Naranja $7Manzana $9Plátano $3


96



¿Qué estrategias fueron los mejores para resolver los problemas? Explica por qué.

¿Qué aprendiste nuevo sobre la división?


Más práctica

6. Rodrigo vende 6 rosas por $48. Julia vende 5 por $45 ¿Cuáles son más baratas?

7. José Luis cosecha 70 papas y las vende en paquetes de 6. ¿Cuántos paquetes puede formar con las papas? ¿Cuántas papas le sobran?

8. En la boda de Carmen y Alfredo hay 75 invitados y cada mesa tiene espacio para 8 personas. ¿Cuántas mesas necesitan?

9. Alfredo y Carmen deciden poner 12 mesas, y Carmen imprime 40 copias del menú. ¿Cuántos menús le tocan a cada mesa y cuántos sobran?

10. Un avión tiene una capacidad máxima de llevar 126 pasajeros en filas de 6. ¿Cuántas filas hay?

Reto

11. Lupita tiene 100 árboles para plantar, y los quiere sembrar en filas de 8 y de 6. ¿Con cuántas filas de 8 y cuántas filas de 6 puede sembrar los 100 árboles? ¿Cuántas respuestas diferentes puedes encontrar?

97


Sesión 2

Calcula 1÷7 hasta seis lugares decimales. ¿Cómo lo hiciste? Compara tu respuesta con las de tus compañeros. Si no llegaron a la misma respuesta, intenten decidir cuál es correcta. Ahora calculen 2÷7. Luego 3÷7 y así hasta 6÷7. ¿Qué observan? ¿Qué cifras nunca aparecen en sus respuestas? ¿Por qué?


98

• v Cuando el dividendo tiene varios dígitos, sin o con decimales, y el divisor es entero de un solo dígito, siempre empezamos desde la izquierda, repartiendo lo que hay en cada columna hasta agotarlo y luego pasando lo que sobra a la columna inmediatamente a la derecha.

Como se puede ver, en este caso estamos resolviendo la división como reparto.

Practícalo

Calcula

1. 7 1 8 92. 378 ÷ 93. 6 4 6.84. 975 ÷ 4 5. 3 ÷ 8

6. Jesús reparte 1.5 kg de carne en cantidades iguales entre seis miembros de su familia. ¿Cuántos kg de carne le tocan a cada persona?

7. David compró 6 playeras por $330. Ángel compró 5 playeras por $290. Silvia compró 7 playeras por $371. ¿A quién le salieron más baratas las playeras?

8. Un edificio de 7 pisos mide 18.55 m de altura. ¿Cuál es la altura de cada piso?

9. En un viaje escolar hay 77 estudiantes, y los maestros quieren organizar a los estudiantes en equipos de 5. ¿Cuántos equipos tendrían que formar? Si ningún equipo puede tener menos de 4 estudiantes ¿cuántos equipos habría de 5 y cuántos de 4?

Recuerda

5 7 3 . 5

1

10 10 10 10 10 20Las 2 decenas se convierten en 20

unidades.

5 7 3 . 5

1 4

4 4 4 4 4 3

2

Las 3 unidades se convierten en 30

décimas.

5 7 3 . 5

1 4 . 7

.7 .7 .7 .7 .7

2 3

Reparto las 7 decenas entre 5 grupos. Hay 1

decena en cada grupo y sobran 2

decenas.

Reparto las 23 unidades entre 5

grupos. Hay 4 unidades en cada grupo y sobran 3

unidades.

Reparto las 35 décimas entre 5

grupos. Hay 7 décimas en cada

grupo.

99



¿Cuál te resultó el mayor reto en los problemas anteriores? ¿Por qué?

¿Qué aprendiste nuevo sobre la división?


Más práctica

10. Un carpintero corta una tira de madera que mide 3 m en cuatro partes iguales. ¿Cuántos metros mide cada pieza?

11. Un edificio cuenta con 8 tinacos idénticos, que tienen una capacidad total de 9 160 litros cuando todos están llenos. ¿Cuál es la capacidad de cada tinaco?

12. Francisco cambia 9 dólares a pesos, y recibe 206 pesos mexicanos. ¿Cuánto vale cada dólar en pesos?

13. En una oferta, la tienda de Miguel ofrece un foco gratis en la compra de 5. Si el precio normal de cada foco es $15, ¿en cuánto sale cada foco con la oferta, si se compran 5?

14. Julio tiene una bolsa de bloques de construcción. Puede organizarlos en grupos de 2, grupos de 3, de 4, de 5 o de 6, y nunca sobran bloques. ¿Cuántos tiene?

Reto

15. Aura reparte unas tarjetas en cantidades iguales entre un grupo de amigos y cada quien recibe 6. Luego viene otro amigo y cuando reparte de nuevo las tarjetas, cada quien recibe 5. ¿Cuántas tarjetas tiene Aura? ¿Y cuántos amigos?


100

Sesión 3

Una fábrica tiene 3 792 lápices en su bodega, empacados en cajas de 16. Tiene pedidos de las siguientes escuelas:

CajasEscuela

Benito Juárez

Miguel Hidalgo

Juan Escutia

5 de mayo

16 de septiembre

30401005010

¿Hay suficientes lápices para todas las escuelas? ¿Cuántos sobrarán o faltarán? Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Qué estrategias utilizaron? ¿Cuál te parece mejor? ¿Por qué?

101


Cuando dividimos por un divisor de dos o más dígitos, nos conviene resolverlo por agrupamiento, formando grupos del tamaño del divisor hasta agotar el dividendo. Podemos ir formando los grupos en varios pasos, cada vez tomando el número de gru-pos que conviene para facilitar los cálculos. Por ejemplo, para calcular 8 188 ÷ 23podemos hacer lo siguiente:

Practícalo

1. ¿Cuántas cajas de 18 huevos se pueden llenar con 900 huevos?

2. Un hotel tiene 23 cuartos por piso. Si tiene 345 cuartos en total, ¿cuántos pisos hay?

3. Rosa compra pollo a $79 el kilo y paga $948 en total. ¿Cuántos kilos compró?

4. Un grupo de amigos contratan a un autobús, pagando $145 cada quien. Si pagan un total de $4 640 ¿cuántos amigos son?

5. El boleto de entrada a un partido de fútbol cuesta $130. Si el ingreso por todas las entradas es $318 500 ¿cuántas personas entraron al partido?

Recuerda

100 grupos de 238 1 8 8

2 3 0 0

5 8 8 8

2 3 0 0

3 5 8 8

2 3 0 0

1 2 8 8

1 1 5 0

1 3 8

1 1 5

2 3

2 3

0

100 grupos de 23

100 grupos de 23

50 grupos de 23 (la mitad de 2 300)

5 grupos de 23 (1 150 entre 10)

1 grupo de 23

En total hemos formado 356 grupos de 23.

Entonces 8 188 ÷ 23 = 356

-

-

-

-

-

-


102

Resumen del tema

• Las divisiones surgen cuando organizamos una cantidad de objetos en varios grupos del mismo tamaño (agrupamiento) o cuando repartimos una cantidad de objetos en partes iguales (reparto).

• Cuando el divisor es de un dígito, podemos realizar la operación repartiendo el dividendo columna por columna, yendo de la izquierda hacia la derecha, y llevando el sobrante de cada columna a la siguiente columna a la derecha.

• Cuando el divisor es de dos o más dígitos, podemos formar grupos del tamaño del divisor hasta agotar el dividendo, y luego sumar la cantidad de grupos en total que hemos formado.

Autoevaluación¿Qué entiendo ahora que no entendía antes sobre la división?

¿Qué procedimientos puedo aplicar para resolver las divisiones?


Estrategias

Escribir el procedimiento

• Anotar el resultado que calculaste en tu mente.

• Escribir los pasos del cálculo.

• Checar que calculaste bien.

103


Más práctica

6. Calcula 182 ÷ 7

A) 1 274 B) 26 C) 7 182 D) 175

7. ¿Cuál es el resultado de 6 2 274 ?

A) 2 268 B) 1 668 C) 379 D) 13 644

8. ¿Cuál de las siguientes operaciones se debe realizar para calcular el número de equipos de 8 jugadores que se pueden formar con 96 estudiantes?

A) 96 ÷ 8 B) 8 ÷ 96 C) 96 – 8 D) 96 x 8

9. Se reparten 645 estudiantes entre 15 autobuses, todos con el mismo número de pasajeros. ¿Cuál de las siguientes operaciones sirve para saber cuántos estudiantes hay en cada autobús?

A) 645 – 15 B) 15 645 C) 645 x 15 D) 645 15

10. Cuándo se reparten 80 nueces entre siete amigos en cantidades iguales ¿cuántas nueces le tocan a cada amigo y cuántas sobran?

A) 11 y sobran 3 B) 7 y sobran 3 C) 11 y no sobran D) 7 y no sobran

11. Humberto cambia euros a pesos mexicanos a 26 pesos por euro. Si le dan 1 430 pesos, ¿cuántos euros cambió?

A) 26 B) 1 430 C) 37 180 D) 55

12. ¿Cuál es el mejor precio, 8 manzanas por $50, 9 por $56 ó 10 por $62?

A) 9 por $56 B) 10 por $62 C) 8 por $50 D) son iguales

13. Si se vacía una jarra con 1.6 litros de agua en 5 vasos en cantidades iguales, ¿cuánta agua habrá en cada vaso?

A) 0.32 litros B) 8 litros C) 3.2 litros D) 3 litros

14. Una fábrica vende tornillos en paquetes de 32. ¿Cuántos paquetes requiere para 20 000 tornillos?

A) 1 000 B) 640 000 C) 625 D) 32

15. Un atleta que practica salto de garrocha quiere partir su garrocha en 6 partes para poderla transportar con más facilidad. Si la garrocha mide 4.62 m ¿cuánto medirá cada una de las 6 piezas?

A) 77 m B) 1.38 m C) 1 m D) 0.77 m


104

Tema 9

Conversión entre unidades de medida


106

Conversión entre unidades de medida

Sesión 1

En la Sierra de Arteaga (Coahuila) entre los 2 584 y 3 480 metros de altitud, se realizan diferentes carreras pedestres de resistencia. Una de ellas es la de "30 Kilómetros" para terminarse en un máximo de 8 horas. Después de 2 horas, las distancias recorridas por seis corredores son las de la tabla.

3600

3400

3200

3000

2800

26000 K 3 K 6 K 9 K 12 K 15 K 18 K 21 K 24 K 27 K 30 K

• Completa la tabla con el lugar en el que va cada competidor.• ¿Cuál es la mayor diferencia en distancia entre dos corredores? ¿Quiénes son?• ¿Quiénes son los dos corredores que tienen menos distancia entre ellos?• Marca en la gráfica dónde va cada competidor.

LugarDistancia recorrida

19.5 kilómetros

20 020 metros

15.63 kilómetros

15 200 metros

6.7 kilómetros

20.2 kilómetros

Corredor

Lorena

Ricardo

Cesar

Mariana

Abraham

René

6 K 6 K 9 K 4 K 5 K

MET

A

107


El sistema métrico decimal provee unidades de medida estándar. Para medir longitudes y distancias, la unidad convencional es el metro (m).

Practícalo

1. Completa las siguientes equivalencias

A) 10 milímetros = _______ metros B) 20.2 kilómetros = _______ metros C) 6 700 metros = _______ kilómetros D) 15.63 kilómetros = ________ centímetros E) 1 metro = _______ centímetros = _________ milímetros = ____________ kilómetros

2. En 2018, Abril, una joven argentina, tenía el reconocimiento por tener el cabello más largo del mundo con 1.52 m de largo. En 2020 este título lo obtuvo Nilashi, una joven india, su cabellera mide 190 cm. ¿Cuántos milímetros (mm) de diferencia hay entre estas cabelleras? _________

3. La tabla muestra algunos récords femeninos de los saltos de longitud. Úsala y responde:

A) ¿Cuánto más saltó Heike que Muriel? ____________ B) ¿Por cuántos centímetros el salto de Galina es más largo que el de Marie?_________ C) ¿Cuál es la diferencia entre el salto de Anisoara y el de Heike? ________________

Recuerda

Kilómetro

Hectómetro

Decámetro

Metro

Decímetro

Centímetro

Milímetro

Mú

tip

los

Subm

últ

iplo

s

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

Año

1922

1926

1954

1968

1983

1985

1988

Atleta

Marie Mejzlikova (República Checa)

Muriel Gunn (Gran Bretaña)

Yvette Williams (Nueva Zelanda)

Viorica Viscopoleanu (Rumania)

Anisoara Cusmir-Stanciu (Rumania)

Heike Drechsler (Alemania)

Galina Chistyakova (Rusia)

Marca

5.16 m

5.485 m

6.28 m

6.82 m

7.43 m

7.44 m

7.52 m

Se pueden establecer equivalencias entre unidades. Por ejemplo, 1 kilómetro (km) equivale a 1 000 metros (m); 1 centímetro (cm) es lo mismo que 0.01 metro (m).

• Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica.

• Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide.


108


Si necesitas medir la longitud de un objeto o una distancia, ¿cómo decides la unidad más adecuada?

¿Cuál de los problemas anteriores fue un mayor reto para ti? ¿Por qué?

¿En qué otros contextos has usado unidades de medida de longitudes y distancias?

Más práctica

4. La pirámide de Toniná es la más alta de México y está ubicada en Ocosingo, Chiapas. Elige la unidad de medida que indique la altura posible

5. El puente Baluarte Bicentenario es uno de los más altos del mundo. Es un puente atirantado con 12 pilares. Su longitud es de 1.124 km, un ancho de 20 m y una altura sobre el río Baluarte de 402.57 m. ¿A cuántos kilómetros equivale su altura?

6. Elije la afirmación que no sea razonable.

A) El salón de clases mide 100 cm de largo B) Pedro mide 1.3 m de altura

C) El ancho de una hoja de papel A4 es de 210 mm D) El plumón mide 15 mm de ancho

Reto

7. En un mariposario dieron seguimiento a una de las mariposas desde el huevo hasta que se convirtió en mariposa. En la primera fase la larva mide 4 mm; en la segunda mide 8 mm; en la tercera aumenta 5 mm más; en la cuarta fase mide 25 mm y en la quinta fase aumentó su tamaño en 2 cm. ¿Cuánto aumentó el tamaño de la larva de la tercera fase a la quinta?

B) C) D)A) 75 km 75 cm 75 m 75 mm

B) C) D)A) 402 570 km 0.40257 km 40 257 km 4.0257 km

109


Sesión 2

En Cuetzalan, Puebla, una cooperativa náhualt produce miel melipona (de abejas sin aguijón). La producción por año es de un litro por cada olla. En la cooperativa hay 10 apicultores con 20 ollas cada uno. Venden botellas de 1 litro, ½ litro, ¼ de litro, 750 mililitros y goteros de 30 mililitros. Los pedidos están registrados en la hoja, completa la tabla. ¿Alcanzó la producción?

1 litro

35

50

15

Clientes

Miel de la montaña

Necutli miel

Pitsilnekmej

Total en litros

1/2 litro

21

12

30

1/4 litro

40

16

32

750 mililitros

20

15

20

30 mililitros

100

25

50


110

Para medir la capacidad usamos el litro. Los recipientes indican su capacidad, generalmente, en litros (l) o mililitros (ml).

Practícalo

1. Mariana tiene 10 años. Cada día, ella bebe las siguientes cantidades de líquidos. En la mañana un vaso de jugo y una taza de leche; en la escuela, una botella con 750 mililitros de agua; en la tarde, una taza de agua de frutas y antes de dormir un vaso de agua. El Instituto Mexicano del Seguro Social recomienda, por edad, el consumo de líquidos que se muestra en la imagen. ¿Consume Mariana la cantidad de líquidos recomendada? __________________.

2. En un restaurante es indispensable desinfectar todas las superficies. La indicación de la Secretaría de Salud para limpieza y desinfección de superficies es 30 mililitros de cloro por cada litro de agua. Para limpiar el piso, Cristina usa 4 cucharaditas de cloro por litro de agua. Juan a cada litro de agua le adiciona 3 cucharadas soperas de cloro. ¿Quién está usando la cantidad recomendada?

3. Para las fiestas patrias se harán pedidos de gelatinas tricolor. Para 18 porciones se necesitan 8 tazas de agua, 1 paquete de gelatina de limón, 1 de gelatina de coco, 1 de gelatina de fresa y 4 tazas de leche. Si en el salón de 4C hay 27 alumnos, ¿cuántos litros de agua y de leche se necesitan, y cuántos paquetes de gelatina de cada sabor?

Recuerda

Un litro (l)

1 000 mililitros (ml).

1 taza = 1 vaso

250 ml, ¼ litro

1 cucharada sopera al ras

15 ml

1 cucharadita al ras

5 ml

4-8 años

1.6

L/ día

Chicos

2.l L/ día

Chicas

1.9 L/ díaHombres

2.5 L/ día

Mujeres

2 L/ día

9-13 años > 14 años

111



En el problema inicial, ¿qué estrategia usaste para encontrar la cantidad de litros que se necesitaban para el pedido de los goteros de 30 mililitros de miel melipona?

¿Qué aprendiste nuevo sobre las medidas de capacidad?

¿Cuál de los problemas se te hizo más sencillo resolver? ¿Por qué?

Más práctica

4. Merlín, el perro de la familia, tiene conjuntivitis. El veterinario le mandó gotitas. Deben aplicarle, en cada ojo, una gota en la mañana y otra en la tarde, por dos semanas. El tamaño del frasco es de 5 ml. Si cada gota son 0.05 ml, ¿para cuántos días de tratamiento alcanza el frasco?

5. Para medir líquidos es necesario elegir entre los recipientes disponibles, los adecuados. Colorea, en cada recipiente, la cantidad que se te indica.

Reto

6. Yajaira vive con sus dos abuelos y su hermano. Ellos consumen, diariamente, un tinaco de 1 100 litros de agua. La Organización Mundial de la Salud (OMS) recomienda 130 litros de agua diarios, por persona, para satisfacer sus necesidades de consumo y de higiene. ¿La familia de Yajaira gasta más o menos litros?

mililitros litros1 000

500

0

1

0.5

0


500

0

1

0.5

0


500

0

1

0.5

0


500

0

1

0.5

0

0.75 litros 0.05 litros 0.99 litros 0.8 litros


112

Sesión 3

Los nuevos camiones de basura de Saltillo tienen una capacidad de 12 toneladas. En esta ciudad, cada año se recolectan, 237 mil toneladas de desechos.

1. En un día, ¿cuántas toneladas de basura se recolectan? ¿Cuántos camiones se necesitan para recolectarla?

2. Se estima que la población en Saltillo para 2020 es de 848 373 habitantes, ¿cuántos kilogramos de basura, produce en promedio, cada habitante?

113


Para medir pesos, la unidad convencional es el gramo (g).

Practícalo

1. Para fabricar una tonelada de papel se necesitan 12 árboles que equivalen a 2 mil kilogramos de madera y se usan 25 mil litros de agua. Para fabricar la misma cantidad de papel reciclado se usan 1 250 hojas de papel usado y 10 mil litros de agua. ¿Cuántas hojas de papel usado se requiere para hacer una hoja de papel reciclado cuyo peso es de 80 gramos?

2. Para hacer 1 tortilla de 25 gramos se usan 50 litros de agua, ¿cuánta agua se usa para producir un kilo? ________________

3. Nicolás tiene temperatura. Él tiene 9 años y pesa 27.8 kilogramos. Su pediatra le recetó un medicamento. ¿Cuál es la dosis que debe tomar? __________ ¿A cuántos litros equivale? ___________

4. Inés y su familia compraron 1 litro de helado. Si tienen vasos de 40 mililitros, ¿para cuántos alcanzan? __________

Recuerda

Kilogramo

Hectogramo

Decogramo

Gramo

Decigramo

Centigramo

Miligramo

Mú

tip

los

Subm

últ

iplo

s

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

Se pueden establecer equivalencias entre unidades. Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica. Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide.

1 tonelada equivale a 1 000 kilogramos

Peso (kg)

Menos de 10

De 10 hasta 15

De 16 hasta 21

21.5 a 26.5

27 a 32

32.5 a 43

Edad (años)

Menos de 2

2 a 3

4 a 5

6 a 8

9 a 10

11 a 12

Dosis

Consulte a su médico

5 ml

7.5 ml

10 ml

12.5 ml

15 ml

Tabla de dosificación


114

Resumen del tema

• Diez unidades de medida (de peso, de longitud, de capacidad) equivalen a la unidad inmediatamente mayor.

• Kilo- significa mil veces; mili- equivale a una milésima parte (1/1000); centi- equivale a una centésima parte (1/100).

• Para convertir una unidad más grande en una más pequeña, se multiplica. Y viceversa, para convertir una unidad pequeña en una más grande, se divide.

Autoevaluación

¿Cómo me sentí cuando logré resolver los problemas? ¿Y cuando no? ¿Qué hice?

¿Qué aprendí sobre las unidades, múltiplos y submúltiplos de medida que no sabía?

¿Qué dudas tengo para usar y encontrar equivalencias entre unidades de medida?

Estrategias¿Qué me sirve?

Los enunciados de los problemas tienen información útil y no útil. Es importante diferenciarla. Algunas recomendaciones son:

• Lee con atención la pregunta.

• Subraya la información que necesitas para responderla.

• En ocasiones necesitas más de un paso para resolver el problema. Divide el problema en esos pasos, e identifica la información necesaria en cada paso.

• No siempre usas toda la información numérica que aparece en el enunciado.

¡Ponlo a prueba!

115


Más práctica

Uno de los monumentos representativos de la Ciudad de México es el Ángel de la Independencia. Las gradas fueron construidas, unas en 1910 (150 centímetros) y otras en 1986 (3 metros).

5. ¿Cuál es la altura total de este monumento?

A) 46 metros B) 194.5 metros C) 194.5 centímetros D) 112.6 metros

6. En 2019, para el alumbrado decembrino del Zócalo de la Ciudad de México se compraron 2 500 metros de cable. ¿Cuántos kilómetros de cable compraron?

A) 250 kilómetros B) 25 kilómetros C) 2.5 kilómetros D) 0.25 kilómetros

7. En México hay un esquema de vacunación para hacernos inmunes de algunas enfermedades. Según los datos del Inegi, en Coahuila de Zaragoza hay 25 003 niños y 24 033 niñas menores de un año. En el esquema de vacunación mexicano, la vacuna BCG es una única dosis de 0.1 mililitros a cada menor. La vacuna viene en frascos de 1 ml, ¿cuántos frascos de la vacuna BCG se necesitan para vacunar a todos los niños y niñas del estado?

A) 49 036 frascos B) 4 903 frascos C) 490 360 frascos D) 4 904 frascos

8. En la visita al Centro de Salud a todos los menores los pesan, miden y toman su temperatura. En la cartilla de vacunación se registra su peso y estatura. Para pesarlos, ¿qué instrumento usan?

A) cinta métrica B) Báscula C) Cronómetro D) Termómetro

Vacuna

BCG

Esquema de vacunación

Hepatitis B Hepatitis B

Enfermedadque previene

Tuberculosis única

primera

segunda

tercera

al nacer

al nacer

2 meses

6 meses

dosis Edad y frecuencia

Fecha de vacunación


116

Tema 10

Multiplicación por naturales y estimación


118

Multiplicación por naturales y estimación

Sesión 1

En el diagrama a la derecha, el rectángulo grande se repartió en cuatro rectángulos más chicos. Calcula el área de cada uno de estos rectángulos y suma tus respuestas para saber el área del rectángulo grande. Ahora dibuja otras dos rectas en otra posición y repite el proceso. ¿Cuál sería la mejor posición para las rectas para facilitar el cálculo? ¿Por qué?

119


Para multiplicar números con dos o más dígitos nos conviene separarlos en unidades, decenas, centenas, etc. y luego sumar los productos individuales, como en el siguiente ejemplo.

Esta característica de nuestro sistema numérico se llama la Propiedad Distributiva. Hay muchas diferentes maneras de emplearla. Por ejemplo, para calcular 35 x 19 podemos usar una resta, como en el siguiente ejemplo.

Practícalo

Usa un dibujo como el que se encuentra a la derecha para calcular los siguientes productos:

1. 48 x 712. 27 x 623. 55 x 664. 145 x 635. 237 x 812

Usa la propiedad distributiva con restas para calcular los siguientes productos:

6. 29 x 337. 18 x 458. 39 x 599. 101 x 9910. 1 098 x 123

Recuerda

= (50 + 6) x (30 + 7) = 50 x 30 + 50 x 7 + 6 x 30 + 6 x 7 = 1 500 + 350 + 180 + 42 = 2 072

56 x 37

= 35 x (20 – 1) = 35 x 20 – 35 x 1 = 700 – 35 = 665

35 x 19

30

60020 140

7

1204 28

37 x 24 = 600 + 140 + 120 + 28 = 888


120



¿Qué estrategias fueron las mejores para resolver los problemas? Explica por qué.

¿Qué aprendiste nuevo sobre la multiplicación?


Más práctica

11. Silvia compra 45 litros de gasolina a $17 pesos el litro. ¿Cuánto le cuesta?

12. Sara maneja 34 km viaje redondo diario para ir al trabajo. Durante febrero va al trabajo 19 veces. ¿Cuántos kilómetros recorre?

13. La maestra Lupita lleva a 36 alumnos al zoológico y el boleto de entrada cuesta $55 por alumno (la maestra entra gratis). ¿Cuánto tiene que pagar en total?

14. Un tren tiene 16 vagones con 52 asientos en cada uno. ¿Cuántos pasajeros puede llevar?

15. Una carrera de ciclismo consta de 23 vueltas de 18 km cada una. ¿Cuántos km en total es la carrera?

Reto

16. Encuentra la diferencia entre 34 x 65 y 35 x 64 sin calcular los dos productos. Repite para otros pares de productos similares y busca un patrón en las respuestas.

121


Sesión 2

Organiza los productos abajo en grupos que tienen el mismo resultado. Para cada grupo, encuentra una manera de explicar por qué el resultado es lo mismo (con un dibujo o unas operaciones). Luego encuentra todos los otros productos distintos que también tienen el mismo resultado.

2 x 156 x 4

4 x 9

5 x 14 10 x 7

3 x 8

3 x 12

6 x 5


122

•

• Cuando multiplicamos dos números, el orden de los elementos no afecta el resultado. Esta característica de nuestro sistema numérico se llama la Propiedad Conmutativa.

• Si tenemos que multiplicar tres o más números, tampoco afecta el resultado con cuáles empezamos. Esto se llama la Propiedad Asociativa.

• Utilizamos estas propiedades, junto con la propiedad distributiva, cuando el multiplicador tiene dos o más dígitos:

Practícalo

Calcula

1. 296 x 2372. 1 056 x 5803. 25 856 x 9074. 1 034 874 x 3665. 2 783 005 x 5 001

6. La circunferencia de la Tierra medida en el ecuador es aproximadamente 40 075 km. ¿Qué distancia equivale a 25 vueltas de la Tierra?

7. Una agencia de automóviles vende 58 unidades en un año. Si cada coche se vende en $174 999, ¿cuánto recibió la agencia en total durante el año por estos coches?

8. Cada uno de los 128 senadores de la República Mexicana recibe anualmente un salario de $1 816 572 netos. ¿Cuánto reciben en total todos los senadores?

Recuerda

5 x 6 = 6 x 5 34 x 93 = 93 x 34

(5 x 2) x 3 = 10 x 3 = 30 5 x (2 x 3) = 5 x 6 = 30

4 6 3

x 5 7

3 2 4 1

2 3 1 5 0

2 6 3 9 1

Cuando multiplicamos

por 10, todos los

digitos se trasladan

una columna a la

izquierda

7 x 463 = 3 241

= 2 315 = 5 x 10 x 463 = 5 x 463 x 10 = 23 150

5 x 463 50 x 463

123



¿Qué te resultó el mayor reto en los problemas anteriores? ¿Por qué?

¿Qué aprendiste nuevo sobre la multiplicación?


Más práctica

9. La pintura azul cuesta $159 el litro y la pintura amarilla $164 el litro. ¿Cuánto cuestan 16 litros de pintura azul?

10. Un restaurante compra 25 kg de res a $179 el kilo y 34 kg de pollo a $119 el kilo. ¿Cuánto cuesta la carne de res en total? ¿Cuál es más saludable: pollo o res?

11. El circuito del Autódromo Hermanos Rodríguez en la Ciudad de México tiene 4 304 m de largo y está a una altura de 2 200 m sobre el nivel del mar. La carrera

de Fórmula Uno consta de 71 vueltas de la pista. ¿Cuánto recorren los coches que terminan la carrera?

12. En 2018, cada persona en México consumió un promedio de 149 litros de refresco y cada persona en Brasil consumió un promedio de 67 litros. Si la población de Brasil era 209 469 323 y la de México era 126 190 788 ¿cuántos litros de refresco se consumieron en México? ¿Qué opinas al respecto?

Reto

13. Unas hormigas caminan en fila india. De repente una hormiga deja la fila y las que quedan siguen caminando, pero ahora de dos en dos. Un poco después otra hormiga sale del grupo y las que quedan ahora caminan de tres en tres. ¿Cuántas hormigas había al principio? ¿Hay una sola respuesta? Intenta encontrar más. Si otra hormiga sale y las que quedan ahora caminen de cuatro en cuatro ¿cuántas hormigas había al principio?


124

Sesión 3

La siguiente tabla muestra la cantidad de grasas saturadas, azúcar y proteína en 100 g de varios diferentes alimentos.

Encuentra una combinación de estos alimentos que tenga menos de 30 g de grasas saturadas, menos de 20 g de azúcar y por lo menos 150 g de proteína. Debes incluir un mínimo de 100 g de cada alimento.

Huevo

3.3 g

1.1g

13 g

Pollo

3.8 g

0 g

27 g

Almendras

4 g

5 g

22 g

Granos de elote

0.2 g

3.2 g

3.2 g

Aguacate

2.1 g

0.7 g

2 g

Grasas saturadas

Azúcar

Proteína

125


•

• La multiplicación de un multiplicando decimal por un multiplicador natural sigue exactamente el mismo procedimiento que cuando el multiplicando es natural, como en este ejemplo:

• Para estimar el resultado de una multiplicación, hay que empezar considerando el dígito de cada número que se encuentra en el lugar con mayor valor, por ejemplo 6 000 en el caso del número 6 712 y 0.4 en el caso de 0.439. Sabemos que:

Pero 6 712 es más cercano a 7 000 que a 6 000 y 0.439 es más cercano a 0.4 que a 0.5, entonces podemos estimar que 6 712 x 0.439 es cercano a 7 000 x 0.4 o sea 2 800.

Practícalo

Para cada pregunta, estima primero la respuesta y luego calcula el resultado exacto:

1. 3.5 x 782. 1.98 x 2563. 0.0022 x 5894. 0.409 x 3 099 5. 0.000374 x 2 512 908

6. En una gasolinera el precio de la gasolina Regular es $17.84 por litro y el de Premium es $18.24 por litro. ¿Cuánto cuestan 58 litros de Regular?

7. Si las hojas de un libro tienen un grosor de 0.103 mm y pesan 2.4 g, y el libro tiene 234 páginas ¿cuál es el grosor del libro?

8. Una receta utiliza 250 g de harina, 125 g de mantequilla y 90 g de azúcar. Si hay 0.51 g de grasas saturadas por gramo de mantequilla, ¿cuántos gramos de grasas saturadas hay en la receta? ¿Qué podrías usar en lugar de mantequilla para reducir las grasas saturadas?

Recuerda

6712 x 0.439 > 6000 x 0.4 (2 400) 6712 x 0.439 < 7000 x 0.5 (3 500)

7 1 6

x 4 2

1 4 3 2

2 8 6 4 0

3 0 0 7 2

71.6 x 2 = 143.2

= 286.4 = 286.4 x 10 = 2 864

71.6 x 4 71.6 x 40


126

Resumen del tema

• La propiedad distributiva nos permite descomponer una multiplicación por un multiplicador de varios dígitos en una serie de operaciones sencillas, y luego sumar los resultados.

• La propiedad asociativa y el valor posicional nos ayudan a multiplicar por decenas, centenas, etc. simplemente trasladando los dígitos del resultado a la izquierda por la cantidad de columnas correspondientes.

• La multiplicación de un multiplicando decimal por un multiplicador natural sigue el mismo procedimiento que cuando el multiplicando es un número natural.

• Para estimar el resultado de una multiplicación hay que considerar los dígitos del multiplicando y del multiplicador que se encuentran en los lugares con mayor valor.

Autoevaluación¿Qué fue lo que me costó más trabajo? ¿Qué fue lo que me pareció fácil?

¿Qué sé ahora que no sabía antes?


Estrategias

Estima la respuesta primero

• Antes de realizar algún cálculo, y sin ver las respuestas, estima el resultado.

• Revisa las opciones de respuesta para ver si alguna está cerca a tu estimación.

• Realiza las operaciones necesarias para calcular la respuesta correcta.

127


Más práctica

9. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 2 098 por 35?

A) 2 133 B) 73 430 C) 10 430 D) 16 784

10. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 1.034 por 8?

A) 8.272 B) 10.72 C) 827.2 D) 8 272

11. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 0.0308 por 26?

A) 8.008 B) 0.988 C) 0.2464 D) 0.8008

12. ¿Cuál es el producto de 252 y 1 056 700?

A) 266 288 400 B) 2 662 884 C) 39 488 400 D) 9 510 300

13. Un edificio de 127 pisos tiene una base rectangular que mide 25 m por 32 m. La altura de cada piso es 3.24 m. ¿Qué es la altura del edificio?

A) 2 592 m B) 800 m C) 411.48 m D) 81 m

14. El coche de Ángela recorre un promedio de 12.34 km por litro de gasolina. Ella llena el tanque con 56 litros de gasolina a $17.89 por litro. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer?

A) 691.04 km B) 1 001.84 km C) 220.76 km D) 12 362.71 km

15. Si hay ocho vuelos diarios entre dos ciudades y cada avión tiene 145 asientos, ¿cuál es el máximo número de pasajeros que pueden viajar en una semana?

A) 1 015 B) 1 160 C) 8 120 D) 56

16. Un grano de arroz en promedio pesa 0.029 g. Si un paquete de arroz contiene 17 339 granos, ¿cuánto pesa?

A) Menos de 400 g B) entre 400 y 500 g C) entre 500 y 600 g D) más de 600 g

17. Miguel corre 5.32 km todos los días y en promedio se tarda 35 minutos. ¿Cuántos kilómetros corre en un año?

A) 1 941.8 km B) 186.2 km C) 12 775 km D) 67 963 km

18. Según el Departamento de Agricultura de los Estados Unidos, una manzana roja grande tiene aproximadamente 5 g de fibra, 0.013 g de calcio, 0.239 g de potasio y 0.01 g de vitamina C. ¿Cuántos gramos de calcio habrá en una caja de 36 manzanas rojas?

A) 0.36 g B) 0.468 g C) 8.604 g D) 4.68 g


128

Actividades

de vacaciones


130

Actividades de vacaciones


El 9 debe valer 9 000 en 89 657

El 4 debe valer 41 000

en 145

El 8 debe valer 800 en 1 082

El 2 debe valer dos décimos en 8 201

El 3 debe valer treinta en 876 356

2. Escribe con letra los siguientes números

30 005

1 202

400 008

6 090 105

724 001

3. Resuelve los siguientes problemas.

A) A Pepe le dan $27 de cambio cuando compra unos bolillos con un billete de $50. ¿Cuánto costaron los bolillos?

B) María mide 13 cm más que su hermano Carlos. Si María mide 152 cm ¿cuánto mide Carlos?

131


4. Resuelve los siguientes problemas.

A) ¿Cuál es el resultado de restar 507 de 30 042?

a) 29 535 b) 30 535 c) 25 035 d) 30 545

B) ¿Cuál es el resultado de restar 34?78 de 59.125?

a) 25.47 b) 55.647 c) 25.047 d) 24.345

5. Analiza cada uno de los triángulos de colores, identifica todos aquellos que cumplen con la característica dada y escribe la letra que le corresponde.

A) Tiene un ángulo recto

B) Todos sus lados son de igual longitud

C) Todos sus lados son de diferente longitud

D) Tiene un ángulo obtuso K J

OY

UM

Para cada tipo de los siguientes triángulos, encuentra dos o más triángulos de colores que lo formen al unirlos.

E) Triángulo rectángulo

F) Triángulo equilátero

G) Triángulo isósceles

H) Triángulo obtusángulo

6. Calcula el área y el perímetro de los siguientes rectángulos:

5 m

5.2 mm

1.4

mm 6 cm

8 cm7.5 cm

10 cm5 m

Área de A

Perímetro de A _________

Área de B

Perímetro de B _________

Área de C

Perímetro de C _________

A) B) C)


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7. Esté dado se formó con uno de los siguientes desarrollos planos, ¿cuál es?

A B C D

8. Para armar el prisma que se muestra, ¿qué figuras geométricas se necesitan y cuántas de cada una?

A) 3 rectángulos y 1 hexágono

B) 6 rectángulos y 1 hexágono

C) 2 hexágonos y 6 rectángulos

D) 12 rectángulos y 2 hexágonos

9. Escribe de dos maneras diferentes la fracción representada en cada dibujo.

10. Mónica repartió seis salchichas entre 8 niños sin que hubiera sobrantes y de manera que a todos les tocara la misma cantidad de salchicha. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

A) 88 de salchicha

B) 34 de salchicha

C) 43 de salchicha

D) 23 de salchicha

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Miguel Ángel Riquelme Solís Gobernador Constitucional del ...

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