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MINISTERIO DE EDUCACIÓNSECRETARÍA DE ESTADO DE EDUCACIÓN Y FORMACIÓN PROFESIONALDirección General de Formación ProfesionalInstituto de Formación del Profesorado, Investigación e Innovación Educativa

Edita:© SECRETARÍA GENERAL TÉCNICASubdirección General de Documentación y Publicaciones

Catálogo de publicaciones del Ministerio de Educación: educacion.esCatálogo general de publicaciones oficiales: 060.es

Fecha de edición: 2009NIPO: 660-09-127-3ISBN: 978-84-369-4756-4Depósito Legal: M-34482-2009

Maquetación: V.A. Impresores, S.A.

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Colección: AULAS DE VERANOSerie: Ciencias

DESARROLLO DE COMPETENCIAS BÁSICASA TRAVÉS DE LAS MATEMÁTICAS

Del 7 al 11 de julio de 2008, en el marco de los Cursos de Verano de El Escorial, tuvieron lugar los Cursos de For-mación para el Profesorado de Enseñanza Secundaria, organizados por el Ministerio de Educación y Ciencia (MEC) y laUniversidad Complutense de Madrid (UCM). Entre ellos, y como es habitual, hubo uno dedicado a la enseñanza de la mate-mática, titulado Desarrollo de competencias básicas a través de las matemáticas.

Los conferenciantes fueron: el director del curso, Eugenio Roanes Lozano, Mª. Dolores Rodríguez Soalleiro (MEC),Eugenio Roanes Macías (UCM), Mª. Francisca Blanco (Univ. de Valladolid), Tomás Recio (Univ. de Cantabria), AntonioR. Quesada (Univ. of Akron, Ohio) y Vicente Rivière (MEC).

Este volumen recoge los escritos realizados posteriormente por los conferenciantes sobre las ponencias presentadas(con la única excepción de la última), en el mismo orden en que se dictaron en el curso. Obsérvese, además, que las dosponencias del profesor Recio tenían el mismo título, seguido de un I o un II, y se han unificado en este libro en un únicoescrito.

El curso se orientó de una manera utilitaria. No se trataba de sentar cátedra, dando normas o técnicas milagrosas(matemáticas, didácticas, pedagógicas, tecnológicas…), sino de presentar nuevas perspectivas, puntos de vista y usos deherramientas tecnológicas. Su fin principal era hacer meditar a los profesionales de la enseñanza de las matemáticas desecundaria sobre posibles mejoras en su forma de impartir esta asignatura, teniendo en cuenta su objetivo último: la adqui-sición de competencias.

Creo por tanto que puede ser una obra muy útil para profesores de matemáticas de enseñanza secundaria.

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Deseo agradecer la extraordinaria colaboración de los ponentes y participantes en las mesas redondas, lamentandola ausencia entre ellos (por motivos de salud) de mi buen amigo el profesor Justo Cabezas Corchero, y agradecer tambiénel eficiente trabajo de Elisa de Dios Álvarez como secretaria del curso. Quiero señalar, finalmente, mi agradecimiento aAntonio Moreno, María Paz Soler y Elena Domínguez, del entonces Instituto Superior de Formación del Profesorado delMinisterio de Educación y Ciencia, por su invitación a organizar este curso, así como por su extraordinaria amabilidad ytodas las facilidades dadas.

Dirección editorial del volumen Desarrollo de competencias básicas através de las matemáticas: Eugenio ROANES LOZANO

Coordinación: DE DIOS ÁLVAREZ, Elisa

Autores:

BLANCO MARTÍN, M.ª FranciscaQUESADA, Antonio R.RECIO MUÑIZ, TomásROANES LOZANO, EugenioROANES MACÍAS, EugenioRODRÍGUEZ SOALLEIRO, M.ª Dolores

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ÍNDICE

Algunas reflexiones sobre modas y tendencias educativas en matemáticas: de los cuadernos escolaresde problemas al ordenador .................................................................................................................................. 7Eugenio Roanes Lozano

Las TIC y las competencias básicas, hacia un aprendizaje colaborativo en la enseñanza de las matemáticas 37M.ª Dolores Rodríguez Soalleiro

Sistemas de geometría dinámica y aprendizaje por vía experimental en matemáticas de secundaria .............. 75Eugenio Roanes Macías

Adquisición de competencias básicas transversales a partir de un modelo geométrico .................................... 149M.ª Francisca Blanco Martín

La evaluación de las competencias matemáticas: factores escondidos .............................................................. 189Tomás Recio Muñiz

La tecnología en la enseñanza de conceptos fundamentales de cálculo en secundaria ..................................... 209Antonio R. Quesada

La calculadora como una caja negra: el ajuste de datos en secundaria ........................................................... 253Antonio R. Quesada

Ediciones del Instituto de Formación del Profesorado, Investigación e Innovación Educativa ......................... 291

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ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE MODAS Y TENDENCIAS EDUCATIVAS EN MATEMÁTICAS: DE LOS CUADERNOS

ESCOLARES DE PROBLEMAS AL ORDENADOR

Eugenio Roanes LozanoDpto. de Álgebra, Facultad de Educación

Universidad Complutense de Madrid

Esta ponencia fue dedicada al Dr. Justo Cabezas Corchero,excelente catedrático de Secundaria de matemáticas y

entusiasta pionero del uso de las nuevas tecnologíasen la enseñanza de la matemática, invitado como ponente a

este curso, que no pudo asistir por problemas de salud.

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RESUMEN

INTRODUCCIÓN

1. UN GRAVE PROBLEMA: MOVIMIENTOS PENDULARES EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

2. MOVIMIENTOS PENDULARES EN OTRAS MATERIAS

3. REIVINDICANDO EL REGRESO DE LOGO Y LA GEOMETRÍA DE LA TORTUGA AL CURRÍCULO

4. SISTEMAS DE GEOMETRÍA DINÁMICA

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Desarrollo de competencias básicas a través de las matemáticas

RESUMEN

Se presentan algunas reflexiones sobre la evolución de la enseñanza de la matemática elemental, en particular lamotivada por la aparición de las nuevas tecnologías, que se expusieron en la primera ponencia del Curso de Verano de ElEscorial titulado Desarrollo de competencias básicas a través de las matemáticas, que tuvo lugar en el verano de 2008.Están basadas en mi experiencia docente (a nivel de formación de profesorado e impartiendo cursos específicos) y comoautor de libros sobre el tema.

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5. SISTEMAS DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL5.1. Aritmética exacta5.2. Manejo de variables sin asignación5.3. Algunas observaciones sobre los sistemas de álgebra computacional

6. USO DE LOS SISTEMAS DE GEOMETRÍA DINÁMICA Y DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL ENMATEMÁTICAS RECOGIDOS EN LOS REALES DECRETOS DE ENSEÑANZAS MÍNIMAS DE LOSDISTINTOS NIVELES EDUCATIVOS NO UNIVERSITARIOS6.1. RD de enseñanzas mínimas de Educación Primaria (RD 1513/2006 de 7 de diciembre de 2006)6.2. RD de enseñanzas mínimas de Educación Secundaria Obligatoria (RD 1631/2006 de 29 de diciembre de

2006)6.3. RD de enseñanzas mínimas de Bachillerato (RD 1467/2007 de 2 de noviembre de 2007)

7. OBSERVACIONES FINALES: USO DE ESTAS TECNOLOGÍAS

8. CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFÍA

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Eugenio Roanes Lozano

INTRODUCCIÓN

Como se apreciará en las páginas siguientes, soy un apasionado de la aplicación del uso de la tecnología en educa-ción matemática.

He impartido asignaturas de matemáticas y de matemáticas con ordenador en aula informática desde 1986 (primerocon ordenadores Apple II y más tarde con PCs), tanto a nivel de diplomatura y licenciatura como de doctorado y postgra-do. En dicha docencia utilizé o utilizo el lenguaje Logo (con énfasis en su geometría de la tortuga), el sistema de geome-tría dinámica The Geometer’s Sketchpad y los sistemas de cómputo algebraico Reduce, Derive y Maple. Además, he rea-lizado distintas implementaciones en BASIC, Pascal, C y Prolog.

Soy coautor de los siguientes libros sobre el tema: Matemáticas con Ordenador (Roanes Macías & Roanes Lozano, 1989)1,Nuevas Tecnologías en Geometría (Roanes Macías & Roanes Lozano, 1994)2 y Cálculos Matemáticos por ordenador con MapleV.5 (Roanes Macías & Roanes Lozano, 1999)3. Como curiosidad sobre la utilidad de este tipo de libros (de aplicación de la tec-nología en matemáticas), comentaremos que el citado en último lugar fue uno de los 400 libros más prestados por las bibliotecasde la Universidad Complutense en el curso 2003-2004, sin ser libro de texto de ninguna asignatura troncal u obligatoria.

La verdad es que hace 20 años habría predicho una utilización mucho más general de los medios tecnológicos en laclase de matemáticas para el año 2008 (y desde luego me habría sentido sorprendido si hubiera podido saber la masifica-ción a que ha llegado la sociedad en el uso de otras aplicaciones como procesadores de texto o navegadores).

Ha habido esfuerzos encomiables, como el de la Junta de Extremadura de transformar todas las aulas de todos suscentros de Secundaria en aulas informáticas (con un ordenador por cada dos alumnos). Pero, en la práctica diaria, surgen

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1 Colección de aplicaciones matemáticas diversas, desarrolladas en Logo.2 Colección de aplicaciones geométricas desarrolladas en Turbo-Pascal y de aplicaciones geométricas del álgebra computacional (tam-bién denominada cálculo simbólico) y la geometría dinámica.3 Introducción al sistema de cómputo algebraico Maple desde la perspectiva de un matemático.

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Desarrollo de competencias básicas a través de las matemáticas

muchos inconvenientes, desde la necesidad de formar a los docentes en el uso en el aula (no en el manejo) de esas nuevastecnologías, la inercia de este estamento en seguir trabajando como siempre se ha hecho, la falta (cada vez menos) de mate-riales específicos, los problemas propiamente de gestión del equipamiento4, etc.

Tratando de mantener a un lado la desilusión que me supone ese desacierto en mis predicciones, trataré de dar a con-tinuación una panorámica histórica, desde un punto de vista personal, de la evolución de la educación matemática y su usode la tecnología.

1. UN GRAVE PROBLEMA: MOVIMIENTOS PENDULARES EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Existen movimientos pendulares (extremistas) en educación matemática, como el resumido en la Figura 1.

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4 Me contaba no hace mucho un colega de Secundaria, antes entusiasta utilizador de la tecnología en el aula informática, que habíaabandonado. La razón es curiosa, a la vez que triste: como no hay en su centro personal de servicios dedicado a estos menesteres, eltiempo de clase perdido al instalar y desinstalar los ratones de todos los ordenadores en cada aula a la que iba (habían tomado en elcentro esta medida tras las continuas desapariciones de ratones, lo único no anclado al pupitre), además de instalar y desinstalar el pro-yector (portátil), no compensaba la ganancia que suponía incorporar la tecnología.

Figura 1. Un cambio pendular en la enseñanza de la geometría

Enseñanza tradicional de la matemática centrada en la enseñanzade la geometría

Desaparición de la geometría en los currícula en los ‘70(tras el muerte al triángulo de Dieudonné)

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El cambio es drástico tanto desde el punto de vista de los contenidos, originalmente eminentemente geométricos, que pasana tener una fortísima componente de álgebra abstracta, como por su presentación (aunque maquillada para adecuarse al nivel delalumno). Tengamos en cuenta que, por ejemplo en Gran Bretaña, se seguían tradicionalmente parte de los Elementos de Eucli-des, cuando esta magna obra no está desde luego orientada como un libro de texto, y, además, se escribió hacia el 300 a.C.

En España este punto de inflexión (irrupción de la matemática moderna) viene dado por el paso de Primaria–Bachille-rato Elemental y Superior–PREU/C.O.U. a E.G.B.–B.U.P.–C.O.U.5. Este cambio se resume muy condensado en la Figura 2.

Una muy buena noticia es que, en su última versión, los contenidos a impartir en la E.S.O. y el Bachillerato se orien-tan hacia el desarrollo de competencias matemáticas, esto es, se prioriza la utilidad de lo que se enseña. Por ejemplo, anivel de ciudadano de a pie:

— se es bombardeado diariamente con informaciones expresadas con terminología matemática, y no siempre pre-sentadas de modo imparcial, que hay que saber analizar críticamente (si, por ejemplo, queremos destacar unacaída de la bolsa, podemos representar gráficamente la evolución del índice IBEX 35 restringiendo el eje de orde-nadas al intervalo de variación de la semana, mientras que si queremos minimizar su impacto visual, podemospresentarlo en un rango 0-15.000),

— hay que tomar decisiones de diversa índole, por ejemplo económica (como decidir la mejor hipoteca, la inversiónmás conveniente, tributar a Hacienda juntos o por separado, etc.), en base a cómputos de índole matemática,

— cada vez se presenta más información organizada de forma lógica (por ejemplo en medicamentos: si el bebé pre-senta el síntoma X, así como el Y o bien el Z, hay que proceder a …),

— etc.

Creo que ni es bueno aprender una lista interminable de teoremas geométricos ni lo es no estudiar geometría. Posi-blemente tampoco haya que explicar a un alumno de 12 años la estructura abstracta de anillo conmutativo, pero tampocopuede llegar un alumno a un primer curso de Ingeniería sin saber lo que es la propiedad asociativa. Mantenerse en un tér-

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5 Quinto de E.G.B. se implanta en el curso 1970-71.

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Sistema educativo español clásico: Primaria–Bachillerato–PREU/C.O.U.

– en Primaria (6-10 años), se pone gran énfasis en la repetición de ejercicios (de caráctereminentemente práctico: se utilizan cuadernos escolares de ejercicios, complementarios delos libro de texto),

– Bachillerato (10-16 años) centrado en geometría,– paso de un nivel a otro tras superar exámenes (reválidas).

E.G.B.–B.U.P.–C.O.U.:

– enseñanza de estructuras algebraicas a nivel de E.G.B. (6-14 años), ¡con énfasis en el pro-ceso de abstracción!,

– reducción de contenidos geométricos e inclusión de gran cantidad de contenidos formalesde álgebra en E.G.B. y de álgebra y análisis en B.U.P. y C.O.U.,

– selectividad para ingresar en la universidad, único examen remanente de los exámenes depaso de un nivel a otro.

E.S.O./Bachillerato:

– desaparición de los procesos de abstracción, no complementados, sino sustituidos, casi exclu-sivamente, por procesos de experimentación en Primaria (6-12 años) y E.S.O. (12-16 años),

– se cuestiona la continuidad de la selectividad.

Figura 2. Resumen de la evolución del sistema educativo español en lo referente a la enseñanza de las matemáticas

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mino medio es siempre bueno. Actualmente, facultades como la de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutensede Madrid, imparten “cursos 0” (cero) con contenidos previos a los universitarios, que se consideran ya dominados por losalumnos que ingresan en la facultad, aunque en la práctica no sea así.

Además, a mi modo de ver, es muy positivo incentivar la vocación del alumno. No creo que sea bueno forzar a unalumno con una clara vocación, por ejemplo, artística, y una aversión por lo computacional, a aprender a programar, comotampoco creo que sea bueno no ofertar una asignatura de programación al alumno de Secundaria que lo desee. En este sen-tido creo que es muy positivo el reciente cambio en la selectividad: el alumno podrá optar a hacer un examen sobre unaasignatura elegida por él para mejorar la nota de selectividad.

Como resumen de buenas prácticas al diseñar el currículo a nivel de Secundaria, propondría:

— evitar seguir modas,— huir de supeditar los currículos a lo impartido habitualmente por la plantilla de docentes existente, en lugar de

adaptar lo que tienen que impartir esos docentes a las necesidades (cambiantes) de los alumnos, — determinar qué es en cada momento histórico cultura general, y cuáles son las necesidades en cada nivel educativo6,— buscar la utilidad de las materias que se imparten (por ejemplo, se suelen saltar los temas de estadística en Secun-

daria, cuando son muy útiles a los que estudian ciencias de la salud o letras).

2. MOVIMIENTOS PENDULARES EN OTRAS MATERIAS

Algo similar ocurre con la educación informática en Secundaria. La evolución de la opinión de muchos de losimplicados en este proceso docente quedaría seguramente resumida en la Figura 37 (notemos que, fuera del ambiente

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6 En este curso he tenido que detallar a unos alumnos de Magisterio (que tienen superada la selectividad y a los que se les exige unanota no baja), ¡cómo se calcula un descuento y qué significa que una cierta variable, por ejemplo económica, ha crecido un cierto por-centaje en un año!7 Véase BOE núm. 5, de 5 de enero 2007, págs. 724-725.

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matemático, de las ciencias más afines y de ingeniería, los únicos programas matemáticos que se conocen son los esta-dísticos).

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Segunda mitad de los 80:programación para todos (BASIC, Logo)

Años 90:manejo de un paquete integrado (procesador de textos-hoja de cálculo-base de datos)

y un navegador

Primeros años del siglo XXI:herramienta multimedia, difusión de contenidos vía Internet

(el manejo de un procesador de textos y de un navegador ya suele ser conocido por los alumnos)

Figura 3. Evolución de lo que se suele enseñar en informática a nivel de Secundaria

En mi opinión, se presentan los mismos problemas que en la educación matemática:

— seguimiento de modas: ni antes era una necesidad para el ciudadano medio ser un experto programador (aunquepara muchos alumnos que sigan una carrera de ciencias sea muy útil), ni ahora lo es ser un maestro en el diseñode páginas web (aunque ser capaz de crear uno mismo una sencilla página web puede ser conveniente),

— hay contenidos adecuados a lo que los profesores desean contar, no a lo que los alumnos necesitan.

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3. REIVINDICANDO EL REGRESO DE LOGO Y LA GEOMETRÍA DE LA TORTUGA ALCURRÍCULO

La geometría de la Tortuga (Abelson & diSessa, 1986), es un sistema de referencia ligado a un cursor móvil y orientable(no cartesiano), que resulta sumamente intuitivo: se mueve como un animalito que se encontrara sobre la pantalla (Figura 4).

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Figura 4. Dibujo y código que genera de una “L” invertida con la geometría de la tortuga en WinLogo(uno de los dialectos del Logo que se utilizaron en el Proyecto Atenea en los 80)

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La programación en Logo (Harvey, 1997) es sencilla pero potente. Por ejemplo, los bucles FOR...TO...DO... se sus-tituyen por intuitivos REPITE n [...]. Así pues, es brevísimo escribir, por ejemplo, un procedimiento general que dibujepolígonos regulares de N lados de longitud L (Figura 5).

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Figura 5. Código que genera polígonos regulares de N lados de longitud L y dibujo generado por la ejecución del mismopara N=8 y L=80 (en WinLogo)

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Pero no sólo se pueden realizar dibujos geométricos. Por ejemplo, en la Figura 6 se muestra un procedimiento quecalcula factoriales de enteros positivos de modo recursivo.

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Figura 6. Procedimiento factorial recursivo escrito en WinLogo y cálculo de 4!

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Logo proporciona, como se puede ver, un potentísimo entorno de trabajo (de hecho, en la nomenclatura de la épocase hablaba de los micromundos). Sus aplicaciones en geometría en particular, en matemática en general y en programación,son evidentes. Pero posiblemente fueron:

— los malos resultados de la sobreexplotación de estos micromundos, fuera de su entorno natural,

— la competencia de los sistemas de geometría dinámica, como:

• Cabri Geometry (http://www.cabri.com/es/),

• The Geometer’s Sketchpad

(http://www.keypress.com/x5521.xml),

• GeoGebra (http://www.geogebra.org/cms/),

• Calques3D (http://www.calques3d.org/),

• etc.

en el campo geométrico (véanse la Figura 7 y la sección 3 en este capítulo y el capítulo cuyo autor es el profe-sor Eugenio Roanes Macías en este mismo libro), y

— la competencia de otros lenguajes como

• Python (http://www.python.org/)

• Squeak (http://www.squeak.org/),

• Scratch (http://scratch.mit.edu/), etc. para programación,

los que llevaron al declive de Logo.

Obviamente las aplicaciones de la geometría de la tortuga son muy diversas, y no están restringidas a matemáticaelemental. Una curiosa aplicación es el dibujo de mosaicos periódicos almacenando el modus operandi de la tortuga pararellenar el dominio fundamental y el grupo de la replicación, en lugar del diseño geométrico final como un archivo gráfi-

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co (Figura 8), realizada sobre una implementación de la misma en Turbo-Pascal8 (Garbayo, Roanes Lozano & RoanesMacias, 2001).

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Figura 7. Construcción del incentro de un triángulo con el sistema de geometría dinámica The Geometer’s Sketchpad

8 Existen implementaciones de la geometría de la tortuga en otros lenguajes como Turbo-Pascal, Turbo-Prolog, Maple, Derive, Reduce, etc.

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Desarrollo de competencias básicas a través de las matemáticas

Posiblemente, aprender a manejar un poco Logo es formativo y, sobre todo, útil, para entender ciertos problemasgeométricos y para programar en otro lenguaje posteriormente. No obstante, se han abandonado proyectos exitosos y pro-metedores como el pionero Proyecto Atenea en España.

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Figura 8. Mosaico periódico dibujado usando un programa basado en la geometría de la tortuga

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En la actualidad, además de los antiguos IBM-Logo, Apple-Logo, Acti-Logo, LogoSB, WinLogo, etc., existe un dia-lecto muy potente, desarrollado e implementado en la Universidad de California en Berkeley: MSW-Logo, recientementemejorado y renombrado FMS-Logo (http://www.fmslogo.org/index2.html). Está disponible en inglés y también en español(http://roble.pntic.mec.es/~apantoja/familias.htm) y, además, es software libre.

Un buen resumen de la historia de Logo puede encontrarse en (Logo (Lenguaje de Programación), n.d.). Inclusoexiste un proyecto que detalla la situación y principales características de las decenas de dialectos de Logo (Boytchev,2008).

4. SISTEMAS DE GEOMETRÍA DINÁMICA

Además de permitir dibujar construcciones geométricas de una manera sencilla usando únicamente el ratón (Figu-ra 7), estos sistemas permiten alterar la construcción arrastrando con el ratón cualquiera de los elementos iniciales de laconstrucción (en el caso de la Figura 7, cualquiera de los tres vértices del triángulo). Esta es la aportación característica deestos sistemas.

Afortunadamente estos sistemas están de moda. Subrayemos que lo que aportan al proceso educativo, si se compa-ra con una enseñanza tradicional de la geometría o con herramientas informáticas más clásicas, es la posibilidad de llevara cabo un proceso de aprendizaje de la geometría de tipo experimental. Ello supone una auténtica revolución, al permitirque el alumno redescubra los resultados de una manera cómoda y eficiente. Puede verse sobre el tema el capítulo de estelibro cuyo autor es el profesor Eugenio Roanes Macías.

El futuro de los sistemas de geometría dinámica pasa, en mi opinión, por la cooperación de estos sistemas con lossistemas de cómputo algebraico (Roanes Lozano, 2002), como en el caso de:

— Lugares, GDI (Botana & Valcarce, 2003),— Geometry Expert (http://www.mmrc.iss.ac.cn/gex/),

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