Razonamiento Lógico y Matemático para ingresar a la U

(Tareasplus)

Joshua Medina1101

Módulos 1-4.

Lección 1(DEFINICIÓN DE CONJUNTO Y CÓMO SE EXPRESAN POR COMPRENSIÓN Y EXTENSIÓN)

• En este tutorial se ilustra el concepto de "conjuntos" y se presentan las formas matemáticas en que se expresan normalmente los conjuntos, las cuales son por "comprensión" y por "extensión". Se indica la forma en que se nombra un conjunto, mediante letras mayúsculas. Cada uno de los conjuntos de los ejemplos ilustrados, se expresan respectivamente, de acuerdo con las formas de expresión de conjuntos, tanto por "comprensión" como por "extensión".

Lección 2 (CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS EN UNIVERSAL, UNITARIO, VACÍO Y SUBCONJUNTO)

Se explican los tipos de conjuntos, de acuerdo a su clasificación como conjuntos: universal, unitario, vacío y subconjunto. Se presentan algunos ejemplos de conjuntos nombrados y expresados por extensión, y se solicita indicar a qué tipo de conjunto pertenecen de acuerdo a la clasificación indicada.

Lección 3 (OPERACIONES DE UNIÓN, INTERSECCIÓN Y COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS)

Se explican las operaciones entre conjuntos, las cuales son "unión, "intersección" y "complemento". Se ilustran los símbolos utilizados para describir las operaciones entre conjuntos. Se describe como ejemplo el conjunto universal de las vocales, para el cual se definen dos conjuntos, el primero conformado por las vocales "a", "e" e "i", y el segundo por las vocales "e" y "o". Se presentan las operaciones de unión e intersección para los dos conjuntos señalados y se obtienen los conjuntos complementarios para cada uno de ellos. Se introduce el concepto de conjuntos disyuntos.

Lección 4 (DIAGRAMA DE VENN Y SU RELACIÓN CON LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS)

El Diagrama de Venn es para el análisis de las características de conjuntos, las cuales están relacionadas con las operaciones de unión, intersección y complemento entre conjuntos.

Se desarrolla un ejemplo en el cual se solicita determinar el resultado de las operaciones de unión y de intersección, entre tres conjuntos ilustrados mediante un "Diagrama de Venn".

Lección 5 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NATURALES, ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES. PARTE 1)

Se describen los Conjuntos Numéricos. Específicamente, se describen los conjuntos de los Números Naturales, los Números Enteros, los Números Racionales y los Números Irracionales, y se explica la forma en que se concibieron y estructuraron dentro de la teoría matemática.

Lección 6 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NATURALES,

ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES. PARTE 2)Se resuelve un ejemplo en el cual se tienen varios tipos de números diferentes y se solicita identificar a qué clase de conjunto ó conjuntos numéricos pertenece cada uno de ellos. Es decir, se debe indicar si los números dados pertenecen a los conjuntos de los números naturales, los enteros, los racionales y/o los irracionales. Se ilustra el concepto de números primos para el caso de los números irracionales.

Lección 7 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS. PARTE 1)

Se describen los conjuntos de los Números Reales y los Números Complejos. Se presenta la relación entre los conjuntos numéricos de los números reales y los números complejos con los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se define para un número complejo, la parte real y la parte imaginaria. Se resuelve un ejemplo en el cual se ilustran los conceptos referentes a la parte real y a la parte imaginaria de un número complejo.

Lección 8 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS. PARTE 2)

Se continúa con el ejemplo del tutorial previo .Se representa el número complejo obtenido en el tutorial previo, empleando para ello un sistema de coordenadas cartesiano en dos dimensiones: en el eje horizontal se representa la parte real y en el eje horizontal se representa la parte imaginaria, ambas partes para el número complejos considerado.

Se resuelve un nuevo ejemplo en el cual se ilustran las operaciones de suma, resta y multiplicación para dos números complejos diferentes.

Lección 9 (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN)

Se describen las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, para los números reales y las relaciones entre dichas operaciones. Se presentan los conceptos de: inverso aditivo, inverso multiplicativo e inverso potencial. Se resuelven algunos ejemplos numéricos para ilustrar la forma en que se realizan estas operaciones entre números reales.

Lección 10 (SUMA, MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES)

Se ilustran las propiedades para las operaciones de suma y de multiplicación en los números reales. Las propiedades que se explican son la conmutativa, asociativa, distributiva y modulativa. Se resuelven varios ejemplos sobre la forma como se cumplen las propiedades consideradas en las operaciones que se ilustran considerando los valores de tres números reales diferentes.

Lección 11 (POTENCIACIÓN Y PROPIEDADES ENTRE POTENCIAS DE IGUAL BASE)

Se ilustran las propiedades de la potenciación en los números reales. Las propiedades que se explican son: la potencia de un producto, la potencia de una razón (división), producto de potencias de igual base con distinto exponente, cociente de dos potencias, potencia de una potencia y potencias inversas (exponentes negativos). Se resuelve un ejemplo aplicando todas las propiedades estudiadas para la potenciación en números reales.

Lección 12 (RESTA, DIVISIÓN Y RADICACIÓN. PROPIEDADES A PARTIR DE SUS OPERACIONES INVERSAS)

Se explican las propiedades de las operaciones: resta, división y radicación en los números reales. Las propiedades a estudiar son: inverso aditivo, inverso multiplicativo e inverso potencial. Tal explicación se basa en la comparación de dichas operaciones con las operaciones inversas relacionadas en forma respectiva: suma, multiplicación y división. Se realiza un ejemplo para cada una de las operaciones estudiadas relacionándolas con su operación inversa respectiva.

Lección 13 (RACIONALIZACIÓN Y SUS PROPIEDADES)

Se explica paso a paso el método por el cual evitar que hayan radicales en un denominador generando las conocidas "expresiones irracionales". Para ello, se muestra cómo operar con el fin de desaparecer radicales de los denominadores y se visualiza un ejemplo con el fin de dar mas claridad.

Lección 14 (NÚMEROS PRIMOS Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA EN NÚMEROS NATURALES)

Se ilustra cómo factorizar un número en función de los números primos; es decir, aquellos que son divisibles por el número uno y por sí mismos, a partir de un proceso de simplificación. Se muestra cómo al realizar este proceso entre varios números se puede encontrar el Máximo Común Divisor (MCD) y el Mínimo Común Múltiplo (MCM) entre dichos números. Se explica de manera conceptual lo que es un Número Primo, la Simplificación y el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Lección 15 (MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM))

Se ilustran los conceptos del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y del Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.); además, la forma en que se aplican estos conceptos en el proceso de Simplificación. Se desarrollan ejemplos aplicando los conceptos ilustrados con Números Enteros.

Lección 16 (MAYOR, MENOR O "IGUAL QUE" Y TRANSITIVIDAD EN LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN)

Se explican las Relaciones de Orden: "mayor que", "menor que", "Igual que", "mayor o igual que" y "menor o igual que". Se ilustra el concepto de "desigualdad". Se explica la propiedad de la "transitividad" aplicada a las operaciones de "suma" y "multiplicación". Se resuelven ejemplos aplicando las relaciones de orden ilustradas.

4<8<10

4<10

Lección 17 (FRACCIONES PROPIAS, IMPROPIAS Y MIXTAS)

Se ilustra el concepto de Número Fraccionario, la forma en que se expresa matemáticamente y sus diferentes aplicaciones. Se explica el concepto de Numerador y de Denominador para un Número Fraccionario, así como las relaciones de orden entre ellos. Se describen los conceptos de: Fracciones Propias, Fracciones Impropias y Fracciones Mixtas. Se resuelven diversos ejemplos donde se ilustra la aplicación de los conceptos estudiados

X y Y son reales.

X----Numerador.

Y--Denominador.

Lección 18 (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 1)

Se describen las operaciones de: suma, resta, multiplicación, división y simplificación en los Números Fraccionarios. Se ilustra la forma en que se aplican dichas operaciones. En la suma se halla el MCM, en la multiplicación es simple y directo y en la división se multiplica en cruz o se usa la ley de extremos y medios.

Lección 19 (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 2)

3 + 7 - 2= 4 5 3(60/4)*3+(60/5)*7-(60/3)*2=

60 45+84-40 = 89 60 60

Lección 20 (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 3)

Enteros y fraccionarios:

a) 2 * 3/5= 2/1 *3/5=6/5

b) 2 / 3/5 =2/1 / 3/5=

2/1 * 5/3= 10/3

Lección 21 (PROPORCIONES Y SUS PROPIEDADES)Se ilustran los conceptos de Razón y Proporción (Proporcionalidad). Se describen las principales propiedades de las Proporciones. Se resuelven varios ejemplos numéricos aplicando las propiedades de las Proporciones.• Razón: Relación entre dos números

enteros , puede dar como resultado entero o racional.

• Proporcionalidad: relación entre dos o mas razones.

Propiedades: a/b = c/d• a*d =b*c• a/c=b/d• b/a=d/c• a+b/b=c+d/d a/b+b/b=c/d+d/d

a/b+1=c/d+1 a/b = c/d• a+c/b+d=a/b

Lección 22 (PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA)

Definición concreta de Proporcionalidad. Se presentan también los conceptos de Proporcionalidad Directa y de Proporcionalidad Inversa, empleando para ello los conceptos de constante, variable dependiente e independiente, en una ecuación. Se resuelve un ejemplo para ilustrar una proporción directa: la expresión para la distancia recorrida igual al producto de la velocidad (rapidez) y el tiempo en física clásica. Se resuelve otro ejemplo en el cual se utiliza la ecuación de estado para gases ideales, ilustrando como en ésta ecuación el volumen de un gas varía de forma inversamente proporcional con la presión del gas.• Proporcionalidad

Sea y=f(x) donde x es una variable independiente y Y la dependiente

Puede ser proporcional:• Directamente: Cada vez que haya un cambio

en X, Y variara de la misma forma.• Inversamente: Cada vez que haya un cambio

en X , Y variara de forma contraria.

Lección 23 (REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA)

Definición de la Regla de Tres, y su clasificación en Regla de Tres Simple y Regla de Tres Compuesta. Se describe específicamente la Regla de Tres Simple, la cual se clasifica en Regla de Tres Simple Directa y Regla de Tres Simple Inversa. Se presenta la ecuación de distancia igual a velocidad por tiempo, para ilustra la diferencia entre la Regla de Tres Simple Directa e Inversa.

Regla de 3: sean x1, y1 un par de datos iniciales y x2 un dato final . Si Y es proporcional a X, entonces y2 se calcula mediante regla de 3.

Lección 24 (REGLA DE TRES COMPUESTA)

Maq Días Metros

A 40 20 5000

B x 14 8000

X = 20 * 800040 14 5000

Se explica la Regla de Tres Compuesta. Para ello, se presentan dos ejemplos detallados: el primero, trata del cálculo del número de días que debe trabajar un empleado relacionando el número de días y el pago; el segundo, trata de dos plantas de textiles, conociendo para la primera el número de máquinas, días y metros de tela utilizados, y se solicita calcular el número de máquinas para la segunda planta, conociendo el número de días y los metros de tela utilizados.

Lección 25 (TABLAS DE FRECUENCIAS RELATIVA Y ABSOLUTA)

Edad fi hi Fi hi%

16 16 0,314 16 31,4

17 12 0,235 28 23,5

18 15 0,294 43 29,4

19 8 0,157 51 15,7

N 51 1 100

Definen las Tablas de Frecuencias empleadas en Estadística, se muestra concepto de Frecuencia, Frecuencia Relativa y Frecuencia Absoluta. Se resuelve un ejemplo en el cual conoce para los alumnos de último grado de bachillerato, la Frecuencia por Edades de los alumnos (es decir, cuántos tienen 16, 17, 18 y 19 años); se solicita en este ejemplo, calcular la Frecuencia Relativa y la Frecuencia Absoluta para el conjunto de alumnos distribuidos por edades.

Sumatoria de hi = 1

Lección 26 (DIAGRAMAS CIRCULAR Y DE BARRAS)

Se describen los tipos de gráficos empleados en Estadística: el Diagramas de Barras y el Diagrama Circular, para representar las frecuencias (relativas y/o absolutas) de un conjunto de datos. Se resuelve un ejemplo en el cual se conoce para los alumnos de último grado de bachillerato, la Frecuencia por Edades de los alumnos (es decir, cuántos tienen 16, 17, 18 y 19 años); se solicita calcular en este ejemplo, calcular la Frecuencia Relativa y la Frecuencia Absoluta para el conjunto de alumnos distribuidos por edades, y se solicita graficar las Frecuencias por medio de un Diagrama de Barras y un Diagrama Circular.

Lección 27 (POLÍGONOS DE FRECUENCIAS)

Se describen los Polígonos de Frecuencias, utilizados también para representar las frecuencias relativas de un conjunto de datos, siendo muy utilizada para conocer variaciones en el tiempo. Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita representar mediante un polígono de frecuencias, la frecuencia relativa de la tasa de muertes de motociclistas desde el año 2007 hasta el año 2010.

Año fi

2007 131

2008 128

2009 148

2010 142

Lección 28 (HISTOGRAMAS)Histogramas: gráficos utilizados para representar distribuciones de frecuencias en los que los valores de las variables estadísticas se presentan agrupados. Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita representar mediante un Histograma, los valores de los Salarios Mínimos Legales Mensuales Vigentes (SMLMV) agrupados por intervalos de valores y relacionados con el Porcentaje del Trabajo efectuado.

Lección 29 (CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA)

Definiciones de algunos de los principales conceptos en Álgebra Elemental, tales como: "variable", "constante", "termino" y "expresión algebraica". Se explican los conceptos de "monomio", "binomio", "trinomio", "polinomio" y de "grado de polinomio"; además, se relacionan estas últimas definiciones con los ejemplos anteriormente citados.

Lección 30 (SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS,

AGRUPACIÓN POR TÉRMINOS SEMEJANTES. PARTE 1)Se describe la forma en que se pueden aplicar las operaciones de "suma" y "resta" con expresiones (o ecuaciones) algebraicas; tales operaciones aplicadas en Algebra Elemental se les conoce como "operaciones algebraicas". Se resuelven varios ejemplos en los cuales se aplican estas operaciones algebraicas y además se explica la "agrupación por términos semejantes" (términos que tienen igual variable elevada a la misma potencia) en una expresión algebraica o polinomio.

+

Lección 31 (SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS,

AGRUPACIÓN POR TÉRMINOS SEMEJANTES. PARTE 2)Dos ejemplos en los cuales se aplican las operaciones de "suma" y "resta" en Algebra Elemental. Se aplica la "agrupación por términos semejantes" (términos que tienen igual variable elevada a la misma potencia) en una expresión algebraica. En el primer ejemplo, se suman dos polinomios ambos con una sola variable denotada como "x", siendo uno de los polinomios de grado 3 y otro de grado 4. En el segundo ejemplo, se restan dos polinomios ambos con términos en las variables "x" y "y".

Lección 32 (MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS)

Multiplicación entre expresiones (o ecuaciones) algebraicas. Se aplica la agrupación por términos semejantes (términos que tienen igual variable elevada a la misma potencia). Se resuelven dos ejemplos: en el primero, se multiplican dos polinomios, uno de grado dos en "x" con otro de grado uno en "x"; en el segundo, se multiplican dos polinomios, uno de grado tres en las variables "x" y "y", con otro de grado uno también en las variables "x" y "y".

Lección 33 (DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE LA DIVISIÓN POLINOMIAL)

Se aplica la operación de la "división" entre expresiones (o ecuaciones) algebraicas. Se describen los términos de una división algebraica, siendo P(x) el "dividendo", d(x) el "divisor", Q(x) el "cociente" y r(x) el "residuo". Se explica uno de los métodos utilizados para la división entre expresiones algebraicas denominado "división polinomial"; para ello, se resuelve un ejemplo en el cual se tiene un polinomio de grado cuatro en el numerador de una expresión dada, el cual se divide entre un polinomio de grado uno en el denominador; ambos polinomios están definidos en términos de la variable "x".

Lección 34 (DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA. PARTE 1)

Se describen los términos de una división algebraica, siendo P(x) el "dividendo", d(x) el "divisor", Q(x) el "cociente" y r(x) el "residuo". Se explica uno de los métodos utilizados para la división entre expresiones algebraicas denominado "división sintética"; para ello, se resuelve un ejemplo en el cual se tiene un polinomio de grado tres en el numerador de una expresión dada, el cual se divide entre un polinomio de grado uno en el denominador; ambos polinomios están definidos en términos de la variable "x".

Lección 35 (DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA. PARTE 2)

Se resuelve un ejemplo en el cual se describe el Método de la División Sintética. El ejemplo trata de un polinomio de grados tres de una variable para el cual se efectúan las divisiones respecto de los valores apropiados para expresar dicho polinomio en términos de sus raíces (soluciones en los reales).

Lección 36 (PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUADRADO)

Se define y explica el concepto de "productos notables". Se presentan para ello los diferentes casos en que se pueden aplicar los "productos notables" explicando su utilidad a la hora de resolver operaciones con expresiones algebraicas de una forma menos extensa. Se explican mediante varios ejemplos, la "potencia con exponente dos de una suma (y resta) de dos términos" denominada "binomio al cuadrado"

Lección 37 (PRODUCTOS NOTABLES: DIFERENCIA DE CUADRADOS)

Se explica la "diferencia de cuadrados", la cual mediante factorización equivale al producto entre dos términos con dos variable diferentes, siendo el primer termino igual a la suma de dos términos denotados como "a" y "b", en tanto que, el segundo termino es igual a la diferencia entre los dos términos indicados. Se resuelven varios ejemplos referentes al uso de la "diferencia de cuadrados" para facilitar el proceso de resolución algebraica de expresiones extensas en donde pueda ser aplicable.

Lección 38 (PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUBO)

Se explica mediante varios ejemplos, la "potencia con exponente tres de una suma (y resta) de dos términos" denominada "binomio al cubo". Se resuelven varios ejemplos referentes al uso del "binomio al cubo" para facilitar el proceso de resolución algebraica de expresiones extensas en donde pueda ser aplicable.

Lección 39 (BINOMIO DE NEWTON Y TRIANGULO DE PASCAL)

Binomio de Newton ;se utiliza para expandir un binomio a cualquier potencia. Se ilustra el Triangulo de Pascal y su relación con el Binomio de Newton, siendo el Triangulo de Pascal utilizado para obtener los valores predeterminados de los coeficientes que acompañan a la expresión resultante, luego de haber efectuado la expansión mediante el binomio de Newton. Se resuelve un ejemplo donde se deben obtener los coeficientes mediante el Triangulo de Pascal y se deben utilizar para la expansión mediante el Binomio de Newton.

Lección 40 (FACTOR COMÚN, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO,

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS)Se define el concepto de "factorización". Se explican los diferentes "casos de factorización":

factor común;

factor común por agrupación de términos;

diferencia de cuadrados;

trinomio cuadrado perfecto;

trinomio de la forma: ax^2 + bx + c=0 ;

trinomio de la forma: x^2 + bx + c=0;

trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción;

suma y diferencia de cubos perfectos;

y, cubo perfecto de binomios.

Por último, se relacionan las estructuras de los polinomios (numero de términos: 2, 3 y 4) con el tipo de caso que se presenta.

Lección 41 (FACTOR COMÚN (MONOMIO) Y DIFERENCIA DE CUADRADOS)

Se describen los casos de factorización denominados "factor común monomio" y "diferencia de cuadrados". Se resuelve un ejemplo en el cual se tiene una expresión algebraica con tres variables "x", "y" y "z" para la cual se solicita identificar las diferentes estructuras existentes en dicha expresión algebraica y luego factorizar, haciendo uso de los casos de factorización expuestos en el presente tutorial, determinando las raíces (soluciones) de la expresión algebraica.

Lección 42 (TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y

SUSTRACCIÓN. DIFERENCIA DE CUADRADOS)Se describen los casos de factorización denominados "trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción" y "diferencia de cuadrados", luego de utilizar la formula cuadrática para la posterior verificación de las raíces (soluciones). Se resuelve un ejemplo en el cual se tiene una expresión algebraica en función de la variable "x" para la cual se solicita identificar las diferentes estructuras existentes en la expresión algebraica y luego factorizar, utilizando los casos de factorización expuestos en el presente tutorial, determinando las raíces (soluciones) de la expresión algebraica.

Lección 43 (TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA AX^2+BX+C)

Se describe el caso de factorización denominado "trinomio cuadrado de la forma ax^2+bx+c "; luego de utilizar la formula cuadrática para la posterior verificación de las raíces (soluciones). Se resuelve un ejemplo en el cual se tiene una expresión algebraica en función de la variable "x" para la cual se solicita identificar las diferentes estructuras existentes en la expresión algebraica y luego factorizar, utilizando el caso de factorización expuesto en el presente tutorial, determinando las raíces (soluciones) de la expresión algebraica.

Lección 44 (FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE

TÉRMINOS Y DIFERENCIA DE CUADRADOS)Se describen los casos de factorización denominados "factor común por agrupación de términos" y "diferencia de cuadrados". Se resuelve un ejemplo en el cual se tiene una expresión algebraica en función de las variables "x" y "y" para la cual se solicita identificar las diferentes estructuras existentes en la expresión algebraica y luego factorizar, utilizando los casos de factorización expuestos en el presente tutorial, determinando las raíces (soluciones) de la expresión algebraica.

= 60

Lección 45 (DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUBO,

DIFERENCIA DE CUBOS Y FACTOR COMÚN)Se describen los casos de factorización denominados "diferencia de un binomio al cubo", "diferencia de cubos", "factor común monomio" y "factor común polinomio". Se resuelve un ejemplo en el cual se tiene una expresión algebraica en función de la variable "x" para la cual se solicita identificar las diferentes estructuras existentes en la expresión algebraica y luego factorizar, utilizando los casos de factorización expuestos en el presente tutorial, determinando las raíces (soluciones) de la expresión algebraica.

Lección 46 (ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA)

Conceptos de "ecuación" y de "igualdad' en Algebra, considerando la diferencia entre ambos conceptos de acuerdo al concepto de "igualdad algebraica". Se describe el primer tipo de "ecuaciones algebraicas" ha considerar, el cual es la "ecuación algebraica de primer grado con una incógnita", que presenta la forma siguiente: " a.x + b =0". Se resuelve un ejemplo de "solución de ecuaciones de primer grado con una incognita", en el cual se resuelve la expresión algebraica: 5.x -- 2 = 0.

5x+4=3x-25x-3x=-2-4

2x=-6x=-6 2X=-3

Lección 47 (ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA)

Se describe el segundo tipo de "ecuaciones algebraicas" ha considerar, el cual es la "ecuación algebraica de segundo grado con una incógnita", que presenta la forma siguiente: " a.x^2 + b.x + c =0". Se resuelve un ejemplo de "solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita", en el cual se resuelve la expresión algebraica: 5.x^2 - 8.x - 2 = 0 , aplicando la "ecuación cuadrática para su solución".

Lección 48 (MÉTODO DE SUSTITUCIÓN EN SISTEMAS DE DOS

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS)Se explica la forma en que se puede resolver un "sistema de dos ecuaciones lineales (de primer grado) de dos incógnitas con única solución", es decir, para un valor definido de la primer variable denotada como "x" y para la segunda variable denotada como "y". Se explica el "método de sustitución" para la resolución del tipo de sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita determinar el valor de la variable "x" y de la variable "y" para el sistema de ecuaciones lineales que se indica a continuación: " 2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 49 (MÉTODO DE IGUALACIÓN EN SISTEMAS DE DOS

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS)Se explica la forma en que se puede resolver un "sistema de dos ecuaciones lineales (de primer grado) de dos incógnitas con única solución", es decir, para un valor definido de la primer variable denotada como "x" y para la segunda variable denotada como "y". Se explica el "método de igualación" para la resolución del tipo de sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita determinar el valor de la variable "x" y de la variable "y" para el sistema de ecuaciones lineales que se indica a continuación: " 2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 50 (MÉTODO DE ELIMINACIÓN EN SISTEMAS DE DOS

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS)Se explica la forma en que se puede resolver un "sistema de dos ecuaciones lineales (de primer grado) de dos incógnitas con única solución", es decir, para un valor definido de la primer variable denotada como "x" y para la segunda variable denotada como "y". Se explica el "método de eliminación" para la resolución del tipo de sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita determinar el valor de la variable "x" y de la variable "y" para el sistema de ecuaciones lineales que se indica a continuación: " 2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 51 (MÉTODO GRÁFICO EN SISTEMAS DE DOS

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS)Se explica la forma en que se puede resolver un "sistema de dos ecuaciones lineales (de primer grado) de dos incógnitas con única solución", es decir, para un valor definido de la primer variable denotada como "x" y para la segunda variable denotada como "y". Se explica el "método gráfico" para la resolución del tipo de sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita determinar el valor de la variable "x" y de la variable "y" para el sistema de ecuaciones lineales que se indica a continuación: " 2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 52 (ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS)

Se describe el segundo teorema referente a los diferentes tipos de ángulos entre rectas paralelas y secantes. Se define, mediante el "teorema 2", el concepto de "ángulos alternos internos", y se ilustra gráficamente la representación de dichos ángulos. Se presenta la demostración de que los "angulos alternos internos" son "congruentes".

Lección 53 (ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS)

Se describe el tercer teorema referente a los diferentes tipos de ángulos entre rectas paralelas y secantes. Se define, mediante el "teorema 3", el concepto de "ángulos alternos externos", y se ilustra gráficamente la representación de dichos ángulos. Se presenta la demostración de que los "ángulos alternos externos" son "congruentes".

Lección 54 (ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS)

Se define, mediante el "teorema 4", el concepto de "ángulos correspondientes", y se ilustra gráficamente la representación de dichos ángulos. Se presenta la demostración de que los "ángulos correspondientes" son "congruentes".

Lección 55 (EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA DE ÁNGULOS. PARTE 1)

Se resuelve un ejemplo detallado sobre el tema de congruencia de ángulos, considerando los ángulos que se forman a partir de dos rectas paralelas y una recta secante, esto con el propósito de ilustrar la aplicación de cada uno de los teoremas (1 al 4) expuestos en los tutoriales previos sobre congruencia de ángulos: opuestos por el vértice, alternos internos, alternos externos y correspondientes. Para este ejemplo se conoce el valor de uno de los ángulos internos (130 ), y se solicita determinar los valores de los demás ⁰ángulos formados haciendo uso de los teoremas de congruencia y aplicando los conceptos de "ángulos complementarios" y "ángulos suplementarios".

m(DOC)=m(AOB)m(AOB)=m(EOD)m(EOD)= m(FOG)

Lección 56 (EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA DE ÁNGULOS. PARTE 2)

Se resuelve un ejemplo detallado sobre el tema de congruencia de ángulos, considerando los ángulos que se forman a partir de dos rectas paralelas y dos rectas secantes, esto con el propósito de ilustrar la aplicación cada uno de los teoremas (1 al 4) expuestos en los tutoriales previos sobre congruencia de ángulos: opuestos por el vértice, alternos internos, alternos externos y correspondientes. Para este ejemplo se conoce el valor de dos de los ángulos formados (40 y 110 ), y se solicita determinar los valores ⁰ ⁰de los demás ángulos formados haciendo uso de los teoremas de congruencia y aplicando los conceptos de "ángulos complementarios" y "ángulos suplementarios".

m(ZCX)=m(Teta1)m(B)=m(YCX)m(YCX)=110°

Lección 57 (INTRODUCCIÓN A LOS POLÍGONOS)

Clasificación de un "polígono" en: "regular" e "irregular". Se describen algunos de los "polígonos regulares" más conocidos: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, entre otros. Se da inicio a la explicación de los triángulos. Se ilustra la forma en que se puede clasificar un "triangulo", ya sea según sus "lados" o también según sus "ángulos". Se empieza el estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a partir de sus "lados", partiendo del "triangulo equilátero" Se resuelve un ejemplo referente al tema en donde también se tienen en cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Lección 58 (TRIÁNGULO ISÓSCELES Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS)

Se ilustra la forma en que se puede clasificar un "triángulo", ya sea según sus "lados" o también según sus "ángulos". Se da continuación al estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a partir de sus "lados", en este caso considerando el "triangulo isósceles". Se resuelve un ejemplo referente al tema, en donde, también se tienen en cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Lección 59 (TRIÁNGULO ESCALENO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS)

Se ilustra la forma en que se puede clasificar un "triángulo", ya sea según sus "lados" o también según sus "ángulos". Se da continuación al estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a partir de sus "lados", en este caso considerando el "triangulo escaleno" Se resuelve un ejemplo referente al tema, en donde, también se tienen en cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Lección 60 (TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS)

Se ilustra la forma en que se puede clasificar un "triangulo", ya sea según sus "lados" o también según sus "ángulos". Se da continuación al estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a partir de sus "ángulos", en este caso considerando el "triangulo acutángulo". Se resuelve un ejemplo referente al tema, en donde, también se tienen en cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Ángulos < 90°

Lección 61 (TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS)

Se da continuación al estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a partir de sus "ángulos", en este caso considerando el "triángulo rectángulo". Se resuelve un ejemplo referente al tema, en donde, también se tienen en cuenta algunas relaciones trigonométricas.

TRIANGULO RECTANGULO:

Lección 62 (TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Y SU

CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS)Se ilustra la forma en que se puede clasificar un "triángulo", ya sea según sus "lados" o también según sus "ángulos". Se da continuación al estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a partir de sus "ángulos", en este caso considerando el "triangulo obtusángulo". Se resuelve un ejemplo referente al tema, en donde, también se tienen en cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Lección 63 (DEFINICIÓN DE CUADRILÁTERO Y CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS)

Se ilustra el concepto de los "cuadriláteros" y se presenta la clasificación de los mismos de acuerdo a sus lados paralelos, en: "trapecios" y "paralelogramos". Se presenta la clasificación de los "trapecios" en: "trapecio regular" y "trapecio irregular". Se aborda una explicación más detallada acerca de los "trapecios regulares".

Lección 64 (TRAPEZOIDES O TRAPECIOS IRREGULARES. PARTE 1)

Se continúa la explicación de los "cuadriláteros". Específicamente, se consideran los "trapecios", divididos en "trapecios regulares" y "trapezoides" ("trapecios irregulares"). En este caso, se exponen los "trapezoides" ,se ilustra la diferencia conceptual y grafica entre los "trapecios regulares" y los "trapezoides". Se resuelve un ejemplo en el cual se solicita determinar si el "trapecio" indicado en una figura es un "trapecio regular" o un "trapezoide".

Lección 65 (TRAPEZOIDES O TRAPECIOS IRREGULARES. PARTE 2)

Continúa la explicación del ejemplo sobre "trapezoides" que se había empezado en el videotutorial previo del tema de los "trapecios". Se ilustra la no congruencia entre los lados opuestos (los no paralelos).

Lección 66 (EL RECTÁNGULO Y SUS PROPIEDADES)

Se explica el concepto de "paralelogramo", efectuando primero un breve resumen de los temas vistos hasta el momento. Se explica el primer tipo de "paralelogramo" denominado "rectángulo". Se efectúa la demostración del cumplimiento de las propiedades de los "rectángulos", realizando para ello un ejemplo aplicado.

Lección 67 (EL ROMBO Y SUS PROPIEDADES)

Se explica el concepto de "paralelogramo", efectuando primero un breve resumen de los temas vistos hasta el momento. Se explica el segundo tipo de "paralelogramo" denominado "rombo". Se efectúa la demostración del cumplimiento de las propiedades de los "rombos", realizando para ello un ejemplo aplicado.

Lección 68 (EL CUADRADO Y SUS PROPIEDADES. PARTE 1)

Se continúa con la explicación de los tipos de "paralelogramos", efectuando primero un breve resumen de los temas vistos hasta el momento. Se explica el tercer tipo de "paralelogramo" denominado "cuadrado". Se efectúa la demostración del cumplimiento de las propiedades de los "cuadrados", realizando para ello un ejemplo aplicado.

Lección 69 (EL CUADRADO Y SUS PROPIEDADES. PARTE 2)

Se continúa con el desarrollo del ejemplo detallado al cual se ha dado inicio en el videotutorial previo al presente. El ejemplo trata de la demostración que el cuadrilátero indicado es un "cuadrado", y continuamos en el presente tutorial demostrando la congruencia entre sus ángulos.

Lección 70 (EL ROMBOIDE Y SUS PROPIEDADES. PARTE 1)

Se continúa con la explicación de los tipos de "paralelogramos", efectuando primero un breve resumen de los temas vistos hasta el momento. Se explica el cuarto tipo de "paralelogramo" denominado "romboide". Se efectúa la demostración del cumplimiento de las propiedades de los "romboides", realizando para ello un ejemplo aplicado.

Lección 71 (EL ROMBOIDE Y SUS PROPIEDADES PARTE 2)

Se continúa con el desarrollo del ejemplo detallado al cual se ha dado inicio en el videotutorial previo al presente. El ejemplo trata de la demostración que el cuadrilátero indicado es un "romboide", y continuamos en el presente tutorial demostrando la congruencia entre sus ángulos.

Lección 72 (LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS)

Se ilustra la forma en que a partir de los conceptos ilustrados en "polígonos" se puede llegar al concepto de "circunferencia". Se ilustran también algunos de los elementos característicos de una circunferencia como son: cuerda, segmento de recta que atraviesa la circunferencia por dos puntos, radio, segmento de recta que parte desde el origen de la circunferencia hasta su línea limitante, ángulo central, ángulo cuyos segmentos que lo forman parten desde el origen hasta dos puntos distintos de la circunferencia y arco. Se resuelve un ejemplo para el cual se solicitan los diferentes elementos citados anteriormente para una circunferencia de radio 2 cm (dos centímetros).

Lección 73 (PERÍMETRO Y ÁREA DE UN RECTÁNGULO)

«Perímetro" y «Área". Para un mejor entendimiento, se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el "perímetro" como el "área" de un "rectángulo", presentando las expresiones algebraicas utilizadas para dicho cálculo; además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro" y el "área" para un "rectángulo' cuyas medidas son 5 (cinco) unidades de largo y 3 (tres) unidades de ancho.

Lección 74 (PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CUADRADO)

Se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el "perímetro" como el "área" de un "cuadrado", presentando las expresiones algebraicas utilizadas para dicho cálculo, partiendo de las que se obtuvieron en el tutorial previo para el "rectángulo"; además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro" y el "área" para un "cuadrado" que presenta una medida de un lado de 3 unidades.

Lección 75 (PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO)

Se da a continuación la explicación del tema de "perímetros" y "áreas", recordando las definiciones de los tutoriales previos de los conceptos de "perímetro" y "área". Se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el "perímetro" como el "área" de un "triángulo", presentando las expresiones algebraicas utilizadas para dicho cálculo; además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro" y el "área" para un "triángulo" que presenta una medida de un lado de 5 unidades, otro lado de 2 unidades y un ángulo de 50 .⁰

Lección 76 (PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO)

Se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el "perímetro" como el "área" de un "rombo", presentando las expresiones algebraicas utilizadas para dicho cálculo; además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro" y el "área" para un "rombo" que presenta una distancia menor entre vértices de 2 cm (dos centímetros) y el ángulo formado entre uno de los lados del rombo y la distancia mayor entre vértices (ambos valores desconocidos).

Lección 77 (PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRAPECIO)

Se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el "perímetro" como el "área" de un "trapecio", presentando las expresiones algebraicas utilizadas para dicho cálculo; además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro" y el "área" para un "trapecio" que presenta una altura de 2 cm (dos centímetros), la base menor vale 2 cm (dos centímetros), la base mayor vale 6 cm (seis centímetros), y el ángulo formado entre la base menor y el lado inferior del trapecio es de 30 ; para ello, se hace uso ⁰de algunas funciones trigonométricas útiles y del Teorema de Pitágoras.

Lección 78 (PERÍMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DE UN CÍRCULO)

Se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el "perímetro de una circunferencia" como el "área de un círculo", presentando las expresiones algebraicas utilizadas para dichos cálculos; además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro de una circunferencia" y el "área de un círculo", conociendo para ello el radio del círculo.

Lección 79 (ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS REGULARES)

Lección 80 (VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO)

Lección 81 (VOLUMEN DE UN CILINDRO)Se continúa con el tema del cálculo del "área" y del "volumen" para un sólido regular. En el presente caso, se explica la forma como se obtiene la expresión matemática para el cálculo del "área" y del "volumen" de un "cilindro". Se resuelve un ejemplo en el cual se conocen el radio de la base circular del cilindro de 4 cm (cuatro centímetros) y la distancia diagonal entre dos puntos de las áreas circulares superior e inferior del cilindro que es de 10 cm (diez centímetros).

Lección 82 (VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE)

Lección 83 (VOLUMEN DE UNA ESFERA)

Lección 84 (DEFINICIÓN DE FUNCIÓN)«Relaciones" y "funciones". Se ilustra y explica la definición de "función", tanto desde la parte conceptual como grafica. Se desarrolla un ejemplo en el cual se presenta el desplazamiento de un carro como función del tiempo transcurrido.

Lección 85 (DOMINIO DE UNA FUNCIÓN)

«Dominio de una función", tanto desde la parte conceptual como gráfica. Se desarrolla un ejemplo en el cual se presenta el lanzamiento de una pelota, para la cual se tiene la posición vertical como función del tiempo, y se solicita determinar el dominio de la función posición vertical.

Lección 86 (RANGO DE UNA FUNCIÓN)Se ilustra y explica la definición de "rango de una función", tanto desde la parte conceptual cómo gráfica. Se desarrolla un ejemplo en el cual se presentan valores de la posición como función del tiempo, y se solicita determinar el rango de la función indicada. Se resuelve otro ejemplo en el cual se tiene una función: y = √(x - 9), y se solicita calcular el "dominio" y el "rango" de dicha función.