Mis Notas de Clase de Algebra Lineal

Algebra Lineal

con problemas de aplicacin orientados hacia la administracin y la economa

Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso 2

Algebra Lineal

Con especial cario a mi

madre Delva por su crianza, por la

semilla que sembraste en m, a Lilia

mi esposa, por su apoyo, estimulo,

comprensin y sacrificio, a mis hijos

porque son la fuente de inspiracin,

todas aquellas personas que han

credo en mi trabajo y que me han

dado la oportunidad de seguir

creciendo cada da y en especial a

mis estudiantes a quienes va

dirigido este trabajo y que son mis

verdaderos pares acadmicos.

Gracias

Jos Francisco Barros Troncoso Mayo 18 de 2014


Algebra Lineal

TABLA DE CONTENIDO

ALGEBRA LINEAL ..................................................................................................................... 4

ARREGLO ................................................................................................................................... 5

MATRICES ................................................................................................................................ 5

Suma y Diferencia de Matrices ................................................................................................. 9

Multiplicacin de Matrices ..................................................................................................... 18

Multiplicacin entre Matrices ................................................................................................ 22

REDUCCIN DE GAUSS-JORDAN ........................................................................................... 37

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ....................................................................................... 51

Determinante de una Matriz de orden 2 ............................................................................... 51

Solucin Matricial de un Sistemas de Ecuacin lineal de 2x2 (Regla de Cramer) .................. 51

Determinante de una Matriz de Orden 3 .............................................................................. 56

Regla de Sarrus ........................................................................................................................ 56

Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales de por determinante ........................ 57

INVERSA DE UNA MATRIZ ..................................................................................................... 61

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos ................................................. 61

ECUACIONES MATRICIALES .................................................................................................. 64

APLICACIN DE LAS MATRICES EN LA ECONOMA ............................................................ 65

Modelos de Entrada-Salida de Leontief ................................................................................ 65

Modelo de Salida o Cerrado de Leontief ............................................................................... 79

DESIGUALDADES .................................................................................................................... 86

INTERVALOS ........................................................................................................................... 87

INECUACIONES LINEALES ..................................................................................................... 88

SOLUCIN GRFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES .............................................. 96

ESPACIOS VECTORIALES ..................................................................................................... 107

BIBLIOGRAFA ....................................................................................................................... 118

Web-Grafa ............................................................................................................................. 118


Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL

La palabra lgebra deriva del tratado escrito por el matemtico persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en rabe ) (que significa "Compendio de clculo por el mtodo de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simblicas para la solucin sistemtica de ecuaciones lineales y cuadrticas.

Etimolgicamente, la palabra lgebra (tambin nombrado por los rabes Amucabala) (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del rabe y significa "reduccin", operacin de ciruga por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el mdico reparador de huesos).

El lgebra lineal es la rama de las matemticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque ms formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.

Es un rea activa que tiene conexiones con muchas reas dentro y fuera de las matemticas como anlisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigacin de operaciones, grficas por computadora, ingeniera, etc.

La historia del lgebra lineal moderna se remonta a los aos de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del trmino vector) cre los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann public su libro Die lineale Ausdehnungslehre.

Ejemplo de Aplicacin del Algebra Lineal 1. Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte

regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma tabular. Por ejemplo un contratista de una construccin que construye diferentes estilos de casa puede catalogar el nmero de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa en una tabla de datos as:

Materiales Rancho Colonial Clsica Madera 28 35 23 Tablas 34 19 25 Techado 12 25 27


Algebra Lineal

De acuerdo a la informacin suministrada responda Cul es el tipo de vivienda que ms necesita material? Cul es el tipo de vivienda que ms necesita madera? Cul es el material que ms se gasta?

2. El presupuesto anual de una compaa tiene los siguientes gastos, en miles de dlares, en los departamentos seleccionados.

Rubro Departamento

Man

ufac

Oficin

a

Ven

ta

Distrib

uci

n

Co

ntab

ilidad

Ad

m

n

Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Telfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0

Cules fueron los departamentos de menor y mayor gasto? Cules fueron los rubros de menor y mayor gasto?

ARREGLO

Conjunto o agrupacin de variables o cantidades de la misma estructura cuyas posiciones se referencian por medio de sub-ndices. Existen arreglos unidimensionales denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales.

El subndice es un entero que indica la posicin de un elemento del arreglo. El Rango es el nmero de elementos del arreglo.

MATRICES Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la matriz A que representa el ejemplo del nmero de unidades de ciertos materiales


Algebra Lineal

necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de materiales y las columnas a los de vivienda. A= Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nmero indica el tamao de la matriz y el nmero de elementos que esta contiene, se puede representar: Cada elemento aij de A est ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la posicin del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una matriz cuadrada de orden n.

Consideremos la matriz B de orden 4:

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

A31 A32 A33 A34

A41 A42 A43 A44

TIPOS DE MATRICES Matrices Equidimensionales: Son las que tienen el mismo tamao

Columna 1 Columna 2 Columna 3 28 35 23 Fila 1 34 19 25 Fila 2 12 25 27 Fila 3

DIAGONAL

PRINCIPAL

DIAGONAL

SECUNDARIA

TRIANGULAR

SUPERIOR

TRIANGULAR

INFERIOR


Algebra Lineal

Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales Atendiendo a la forma Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn.

A = (a1, a2, a3,, an)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1.

A =

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definicin se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.

Matriz simtrica: Una matriz cuadrada A es simtrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Matriz antisimtrica: Una matriz cuadrada es antisimtrica si A = At, es decir, si

aij = aji " i, j.

a1 a2 a3 an


Algebra Lineal

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que estn a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que estn por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i


Algebra Lineal

Suma y Diferencia de Matrices

La suma de dos matrices A= (aij), B= (bij) equidimensionales, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensin que los sumandos y con trmino genrico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensin.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe

el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por AB, y se define como: AB = A + (B) Ejercicio

1. Sean A= B= C= Hallar:

a. La traspuesta de A b. A + B c. ( + ) d. C B e. A + C B

1 3 5

3 8 7

3 6 1

2 0 1

2 0 6

3 -2 -1


Algebra Lineal

f. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula

2. Dadas las matrices:

= [2 0 13 0 05 1 1

] = [1 0 11 2 11 1 0

]

Calcular: A + B; A - B; At; Bt.

3. Ejercicio encuentre w, x, y y z si:

a. [ 44

] + [4 23 2

] = [12 8 6

]

b. [2 3

] + [ 32 2

] = [6 83 1

]

c. [ 23

] + [2 1 2

] = [4 22 4

]

4. Dadas las matrices

= [1 2 31 0 2

] = [1 5 22 2 1

]

Hallar A + B, A B, B - A

5. Dadas las matrices A, B y C hallar p, q, r, s, t y u de tal manera que A + B + D = 0

= [1 23 45 6

] = [3 21 54 3

] = [

]

http://ima.u cv. cl/hipertexto /ali neal /cap1 /ejer5.h tml

6. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son

validas

[ 3 42 1 1

] + [1 13 4

] = [2 7 + 15 2 30 5

]


Algebra Lineal

7. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son validas

[ 4 3 2

] + 2 [1 21 32

] = 3 [1 41 2

]


= [

1 2 3 52 2 1 13 1 3 15 1 1 1

] = [

1 2 1 12 1 3 41 3 1 11 4 1 1

]

= [

1 0 12 1 12 1 21 2 0

] = [

1 20 12 02 1

]

a. Cules son los tamaos de cada una de las matrices? b. Cules son cuadradas? c. De las matrices cuadradas indicar los elementos de la diagonal principal,

secundaria, triangular superior e inferior de cada una. d. Cules son los elementos: A[3,2], B[2,3], C[4,1], D[1,3] y B[3,4] e. Escribe la traspuesta de C f. Alguna de las matrices es simtrica, antisimtrica, nula, diagonal, escalar?

cul? por qu? g. Calcule A+B

9. Sea A la matriz de tamao 3x2, dada por la expresin Aij=B2i-j. La matriz correspondiente a esta relacin, es

. [1 03 25 4

] = [1 13 25 4

] = [1 03 25 3

] = [1 03 24 5

]

Tecnologa: En la pgina www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma, resta, multiplicacin, obtencin de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas. Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted indague por bibliografa o web-grafa. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm


Algebra Lineal

Problemas de Aplicacin 1. Suponga que en un organismo del estado la informacin fluye constantemente entre

oficinas de acuerdo con el siguiente diagrama

a. Construya la matriz A con los elementos

1 Si el flujo de informacin fluye directamente de i a j aij 0 Si el flujo de la informacin no fluye directamente de i a j

b. Construya una matriz B con los elementos

1 Si la informacin fluye de i a j a travs de no ms de un intermediario, con ij

aij 0 En caso contrario

c. La persona de la oficina i tiene mayor poder de influencia si la suma de los elemento

de la fila i en la matriz A+B es la mayor cul es el nmero de la oficina de esta persona?

2. La administracin trata de identificar a la persona ms activa en los esfuerzos laborales para la sindicalizacin. El siguiente diagrama muestra como fluye la influencia de empleado hacia otro entre los cuatro empleados ms activos

1 2

5

3 4

1 2

3 4


Algebra Lineal

a. Construya la matriz A con los elementos 1 Si i fluye directamente a j aij 0 de otra manera

b. Construya una matriz B con los elementos

1 Si i fluye a j a travs de no ms de un 1 persona, con ij aij 0 En caso contrario

c. La persona i es ms activa en la influencia con otras si la suma de los elementos de la fila i de la matriz A +B es la ms grande quin es la persona ms activa?

3. Cierta compaa tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices

cuyas filas, en orden representan el nmero de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el nmero de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son

= [2 6 1 20 1 3 52 7 9 0

] , = [0 2 8 42 3 3 24 0 2 6

]

a. Se pregunta: Cuntas unidades de modelos extra lujos se vendieron? En qu mes

se vendieron ms modelos regulares amarillos? De qu modelo y color se vendi el mismo nmero de unidades en ambos meses? Cuntos artculos se vendieron en enero?

b. F E Qu encuentra? c. El administrador pronostica una disminucin de las ventas para el mes de marzo

del 35%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente. d. El administrador pronostica un incremento de las ventas para el mes de abril del

45%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente.

4. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y caf para nios damas y caballeros. La capacidad de produccin (en miles de pares) en la planta 1 est dada la siguiente matriz


Algebra Lineal

Hombres Mujeres Nios Negro 30 34 20 Caf 45 20 16 Blanco 14 26 25

La produccin en la planta 2 est dada por


Determine la produccin matricial de la produccin total de cada tipo de zapato en ambas plantas

5. Una compaa que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz X representa la produccin de las dos plantas en el mes de enero y la matriz Y la produccin de las dos plantas para el mes de febrero. Las matrices X y Y son como sigue

A B A B LCD 20 40 LCD 28 35

X= PLASMA 45 30 Y= PLASMA 40 25

3D 15 10 3D 25 18

a. Calcule Y X b. De a. responda:

Qu pasa con la produccin de televisores durante los dos meses? Qu pasa con la produccin de las plantas durante los dos meses?

6. Un agricultor que posee tres fincas, muestra en el siguiente cuadro las prdidas o

ganancias de sus productos, medidas en toneladas, en los dos ltimos aos:

Trigo Arroz Frijol Maz Caf Finca 1 -0,5 10 3 7 2 A2009= Finca 2 -3 0,6 0 12 -1 Finca 3 4 -2 -1 15 13

Trigo Arroz Frijol Maz Caf Finca 1 3 2 -4 3 5 A2010= Finca 2 1,6 1 -2 0 4 Finca 3 8 -3 4 7 10


Algebra Lineal

a. Cul considera usted fue el mejor ao para el agricultor? por qu? b. Calcule A2009 + 2010 c. Cul fue la finca que arroja mayores ganancias y cul la que arrojo mayores

prdidas? En los dos aos d. Cul fue el producto que arroja mayores ganancias y cul la que arrojo mayores

prdidas? En los dos aos e. Cul fue el producto y en que finca que arrojo ms ganancias? y Cul fue el

producto y en que finca que arrojo ms perdidas? En los dos aos

7. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 pases A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los aos 2009 y 2010 vienen dadas por las matrices:

X Y

Z

A 11 6,7 0,5

A2009= B 14,5 10 1,2

C 20,9 3,2 2,3

X Y Z

A 13,3 7 1

A2010= B 15,7 11,1 3,2

C 21 0,2 4,3

a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos aos.

b. Si se proyecta para el 2011 un incremento en las exportaciones en un 6% halla el escalar y la nueva matriz con dicho incremento

c. Calcule e indique el pas que ms exportara en el 2011 8. Del problema 3

a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos aos.

b. Debido a la crisis mundial se proyecta para el 2011 una disminucin en las exportaciones en un 6% halle el escalar y la nueva matriz con dicho decremento

c. Calcule e indique el pas que ms importara en el 2011

9. Del problema 3 Calcula el incremento de las exportaciones del ao 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.

10. Una compaa de artculos electrnicos fabrica TV, VCR y reproductores de CD en dos plantas, A y B. La matriz X representa la produccin de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y la produccin de las dos plantas para el minorista Y. Escriba


Algebra Lineal

una matriz que represente la produccin total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue

A B A B TV 20 40 TV 20 40

X= VCR 45 30 y= VCR 45 30 CD 15 10 CD 15 10

11. El inventario de la librera universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficcin, 1680; no ficcin, 2320; consultas, 1890. Rstica: ficcin, 2810; no ficcin, 1490; consultas, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de la librera acadmica es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficcin, 2220; no ficcin, 1790; consultas, 1980. Rstica: no ficcin, 1720; ficcin, 3100; libros de texto, 2050; consultas, 2710. a. Represente el inventario de la librera universitaria como una matriz A. b. Represente el inventario de la librera acadmica como una matriz B. c. Si las dos libreras deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario

total de la nueva empresa.

12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes

hasta el primero de enero en un banco

Cuentas

Corrientes Ahorro Depsito

Principal 2820 1470 1120

A= Sucursal uno 1030 520 480

Sucursal dos 1170 540 460

La matriz B representa los nmeros y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre del ao y la matriz C se refiere a los nmeros y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo. As

= [260 120 110140 60 50120 70 50

] = [120 80 8070 30 4060 20 40

]


Algebra Lineal

Encuentre la matriz D que represente el nmero de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada local.

13. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una compaa en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en miles de millones de pesos) para la misma compaa en el 2007 en las mismas ciudades.

= 450 280 850400 350 150

375 300 710410 300 200

a. Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos

aos. b. Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007

a 2006. c. Determine cules son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta

al menudeo

14. A partir de los datos de las siguientes tabla:

Importaciones

PAISES 83 84 85

Desarrollados 122 822 135 884 134 018 En vas de desarrollo 72 342 74 421 72 673

Comunistas 5 085 7 214 7 091 Otros 289 369 365

Exportaciones

PAISES 83 84 85

Desarrollados 152 117 200 714 223 314 En vas de desarrollo 102 266 119 790 116 161 Comunistas 3 604 5 221 5 801

Otros 1 1 0 a. Elabore una matriz A que d el valor (en millones de dlares) de las

importaciones de diversas agrupaciones de pases en los aos 1983-1985 b. Elabore una matriz B que d el valor (en millones de dlares) de las

exportaciones de las mismas agrupaciones en los mismos aos. c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupacin de pases en cada ao

encontrando B A d. Haga un anlisis de la matriz resultante http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm


Algebra Lineal

Multiplicacin de Matrices

Producto de una matriz por un Escalar

Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz

Ejercicio:

1. 5 [3 24 16 9

] = [15 1020 530 45

]

3. 0.5 [2 3 06 1 4

] = [1 1.5 03 0.5 2

]

4. Encontrar el valor de las variables si

a. [1 2 3

] 4 [2 20 3

] = [3 104

]

b. [1 23 4 1

] 3 [ 1 21 24 2 + 1

] = 2 [4 0 14 4

]

c. 3[ 1 10 2 31 2

] + 2 [2 0 1 1 2

] = [4 1 4 2 1 7 12

]


= [1 2 31 0 2

] = [1 5 22 2 1

]

Hallar A - 2B


= [2 1 35 2 03 1 4

] = [6 2 10 1 20 1 0

] = [4 1 20 3 21 2 3

]

Determinar tal que 2A+3X= (12C)(23B)


Algebra Lineal

4. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y caf para nios damas y caballeros. La capacidad de produccin (en miles de pares) en la planta 1 est dada la siguiente matriz


La produccin en la planta 2 est dada por


a. Si la produccin de la planta 1 se incrementa en un 50% y la produccin de la

planta 2 disminuye un 25% de la encuentre los escalares, las nuevas matrices. b. Determine la diferencia de produccin total antes y despus en ambas plantas

5. Una compaa que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La

matriz X representa la produccin de las dos plantas en el mes de febrero

A B

LCD 20 40 X= PLASMA 45 30

3D 15 10

a. Por la diminucin en las ventas la direccin establece para marzo una disminucin

en la produccin 25% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de produccin proyectada para marzo.

b. Por el incremento en las ventas la direccin establece para abril un incremento en

la produccin del 35% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de produccin proyectada para abril.

6. La siguiente tabla muestra el presupuesto del gasto anual de una compaa, en miles de dlares, en los departamentos seleccionados.


Algebra Lineal

Rubro Departamento

Man

ufac

Oficin

a

Ven

ta

Distrib

uci

n

Co

ntab

ilidad

Ad

m

n


Encuentre el escalar y la matriz presupuesto para los siguientes cambios en el

presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8%

7. Una cadena de tiendas de electrnica tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de los televisores, DVD y equipos de sonidos estuvo dada por

Distribuidor TV DVD E Sonido A 22 34 16 B 14 40 20

a. Si la direccin establece ventas objetivo para junio de un 25% de aumento sobre las ventas de mayo, halle el escalar y las ventas proyectadas para junio.

b. Si la direccin establece ventas objetivo para julio de un 15% de disminucin sobre las ventas de junio, halle el escalar y las ventas proyectadas para julio.

8. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes

tiene los gastos diarios ( en dlares) que se muestran en la matriz A

=

[

22 40 100 5 20 40 20 0 28 70 45 0 15 70 20 10 20 0 100 5 ]


Algebra Lineal

a. El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en

cada categora) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la

segunda semana.

b. Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana

son 4% menores (en cada categora) de lo que fue en la segunda semana.

9. El inventario total de una librera universitaria es:

Libros de Texto Ficcin No Ficcin Consultas

Pasta Dura 11620 3900 4110 3870

Pasta Rstica 486 4590 3790 4680

Debido a la apertura de una universidad en las cercanas se decide incrementar el

inventario en un 12%. Halle el escalar por el cual se debe multiplicar la matriz C y

escribir una matriz D con el nuevo inventario, redondeando cada cifra al entero ms

cercano.

10. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes

en el primer trimestre del ao en un banco

Cuentas

Corrientes Ahorro Depsito

Principal 2960 1510 1150

A= Sucursal uno 1100 540 490

Sucursal dos 1230 590 470

Se prev que para el segundo trimestre se incrementara el nmero de cuentas en un

15%. Encuentre el escalar por el que se debe multiplicar la matriz D para que se refleje

el incremento previsto y escriba la matriz resultante.

11. Una compaa de inversiones vende tres tipos de fondos de inversin, estndar (E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8 tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 B y 28 C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 B y 36 C. a. Represente la informacin en forma de matriz. b. Debido a una crisis en la bolsa se proyecta un disminucin de las acciones en un

12%, calcule el escalar y la nueva matriz.


Algebra Lineal

Multiplicacin entre Matrices

En el caso de la multiplicacin de matrices, para que dicha operacin pueda realizase, se requiere que el nmero de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz.

Grficamente Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si:

fA x cB x fB x cB = fA x cB Si dicha condicin se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicacin sea resultado de aplicar de la siguiente frmula:

, donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Ntese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:

A B C

1 2 3 4 1 5 10 30 70 120

5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304

9 10 11 12 3 7 12 110 278 488

4 8 13

Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones:

C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5

A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6

A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7

A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8

Suma: 174

Ejercicios: 1. Dadas las matrices

=


Algebra Lineal

= [2 31 45 1

] = [1 2 34 5 6

] . = [2 31 45 1

] [1 2 34 5 6

]

= [21 + 34 22 + 35 23 + 3611 + 44 12 + 45 13 + 4651 + 14 52 + 15 53 + 16

] = [2 + 12 4 + 15 6 + 181 + 16 2 + 20 3 + 245 + 4 10 + 5 15 + 6

] = [14 19 2417 22 279 15 21

]


= [2 3 51 4 51 3 4

] = [132] . = [

2 3 51 4 51 3 4

] [132]

= [2(1) + (3)3 + (5)(2)(1)(1) + 43 + 5(2)

1(1) + (3)3 + (4)(2)] = [

2 9 + 101 + 12 101 9 + 8

] = [132]

3. Calcular

[2 1 0 13 2 1 1

] [

3 1 21 2 32 3 11 2 1

]

4. Dadas las matices:

= [1 2 05 3 4

] = [2 5 6 2 0 1

] = [1 0 1 75 3 5 22 4 3 2

]

Verifique que se cumple: ( + ) = + Veamos

( + ) = ([1 2 0 5 3 4

] + [ 2 5 6 2 0 1

]) [ 1 0 1 7 5 3 5 22 4 3 2

]

= [1 7 67 3 3

] [1 0 1 75 3 5 2 2 4 3 2

]

= [46 45 52 92 3 1 61

]


Algebra Lineal

+ = [1 2 0 5 3 4

] [ 1 0 1 7 5 3 5 22 4 3 2

] + [2 5 6 2 0 1

] [ 1 0 1 7 5 3 5 22 4 3 2

]

= [11 6 11 32 7 2 49

] + [35 39 41 120 4 1 12

]

= [46 45 52 92 3 1 61

]

Por lo tanto se cumple ( + ) = +

5. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

= [0 1 11 0 11 1 0

]

( ) 2 = [ 0 1 1 1 0 11 1 0

] [0 1 1 1 0 11 1 0

] [0 1 1 1 0 11 1 0

] 2 [1 0 00 1 00 0 1

]

= [2 1 11 2 1 1 1 2

] [0 1 11 0 11 1 0

] [2 0 00 2 00 0 2

] = [0 0 00 0 00 0 0

]

Por tanto A2 - A- 2 I = 0

6. Dadas las matrices:

= [2 0 13 0 05 1 1

] = [1 0 11 2 11 1 0

]

Calcular: A x B; B x A

7. Encuentre A2 +2A 3I si

1 2 A= 2 3

8. Determine 2 5 + 2 si


Algebra Lineal

= [1 0 00 2 10 0 3

]

9. Demostrar que: A2 - 3A+2 I = 0, siendo:

= [1 0 00 4 100 3 7

]

10. Sean las matrices:

= [ 12 1 1

] ; = [1] ; = [

2] ; = [

101/3

]

, donde x, y, z son desconocidos. a. Calcular las matrices (AB) + C y 3D b. Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los

valores de x, y, z.

11. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)

a. = [2 13 1

] ; = [1 11 0

] ; = [1 42 3

]

b. = [2 1 13 1 2

] ; = [1 12 03 1

] ; = [13]


= [2 3 51 4 51 3 4

] = [1 3 51 3 51 3 5

] = [2 2 41 3 41 2 3

]

a. Verifique que AB = BA = 0; AC = C y CA=A b. Use los resultados de (a) para comprobar que:

ACB = CBA A2 B2 = (A B) (A + B)


Algebra Lineal

(A + B)2 = (A B)2 = A2 + B2

13. Calcule los productos matriciales AB y BA si

= [1 2 3 10 1 1 11 2 0 5

] = [

2 1 32 3 13 4 31 1 1

]

14. Sean = [1 0 0] = [3 1 52 0 11 1 7

]

a. Determinar el orden de XA y comparar con las filas o columnas de

b. Si = [00 1 00] donde 1 aparece en la posicin (1,i) determinar el orden de XA y AXt, comparar con las filas o columnas de A con

Ejercicios Determine si los valores dados de y, x y z son la solucin para la ecuacin matricial dada sustituyendo los valores dados en la ecuacin matricial y efectuando la multiplicacin matricial.

1. [1 1 24 0 12 1 1

] [ ] = [

555]

Solucin: Al realizar la multiplicacin de matrices nos queda el siguiente sistema de ecuaciones

+ + 2 = 5 (1) 4 + = 5 (2) 2 + + = 5 (3)

Hallamos los valores de X Y y Z: Utilizamos el mtodo de eliminacin en (1) y (3) X+Y+2Z=5 (multiplicamos por -2) 2X 2 4Z =10 2X+Y+Z=5 (multiplicamos por 2) 4 + 2 + 2 = 10 2X = 0 (4) Aplicamos el mtodo de eliminacin en (2) y (4) 4 + = 5 ( 2) 8 + 2 = 10


Algebra Lineal

2 2 = 0 ( 1) 2X 2Z = 0 X= 1 10X = 10

Reemplazo el valor de X en (2) 4(1)+Z=5 4+Z=5 Z=1

Reemplazo el valor de X y Z en (3) 2(1)+Y+(1)=5 2+Y+1=5 Y=5-3 Y=2

Por lo tanto X=1, Z=1 y Y=2 Verificando:

(1 1 24 0 12 1 1

)(121) = (

555)

[1 0 11 1 00 1 1

] [] = [

103] [

1 1 11 1 11 1 1

] [] = [

204]

[2 1 13 2 14 3 2

] [] = [

1311

] [3 1 02 2 11 1 2

] [] = [

492]

[1 1 24 0 12 1 1

] [] = [

555] [

1 0 23 1 01 2 1

] [] = [

073]

Ejercicios El siguiente sistema matricial representa el portafolio de dos productos (X, Y), cuyos costos totales ascienden a 15 (millones de pesos), y el total de las unidades producidas es de 5 (miles):

[7 21 1

] [] = [

155]


Algebra Lineal

La solucin del sistema matricial anterior arroja los siguientes resultados para los dos productos (X, Y), respectivamente en miles de unidades producidas: a. 15 Y 5 b. 40 y 10 c. 1 y 4 d. 7 y 2 e. 1 y 15

Aplicacin de la Multiplicacin entre Matrices 1. Una pequea empresa constructora cobra a $10 800 la hora por camin sin conductor,

$36 000 la hora por un tractor sin conductor y $18 000 la hora por conductor. La empresa utiliza la matriz A para diversos tipos de trabajo

Tipo de trabajo I II III IV A= 1 1 1 2 Camin 2 0 1 1 Tractor 3 1 3 4 Conductor

a. Construya una matriz de fila P con los precios que la empresa fija.

Camin Tractor Conductor P= 10 800 36 000 18 000

b. Calcule el producto PA. Qu encuentra?

Tipo de trabajo I II III IV

Camin 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1

Conductor 3 1 3 4

Camin Tractor Conductor Precios 10 800 36 000 18 000

Tipo de Trabajo I II III IV PA= Precios 136 000 28 800 100 800 129 600

El costo por tipo de trabajo


Algebra Lineal

c. Suponga que para un pequeo proyecto la empresa utilizo 20 horas de trabajo del tipo I, 30 horas de trabajo del tipo II, 10 del tipo III y 10 del tipo IV. Construya una matriz de columna S que denota la matriz de oferta.

Horas I 20 II 30 S= III 10 IV 10

d. Determine e intrprete los elementos de AS.

Tipo de trabajo I II III IV

Camin 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1

Conductor 3 1 3 4

Horas I 20 II 30 III 10 IV 10

Horas Camin 80 AS= Tractor 60 Conductor 160

El nmero de horas de trabajo requerido por camin, tractor y conductor para el proyecto.

e. Evale e interprete el producto de matrices PAS

Camin Tractor Conductor Precio 10 800 36 000 18 000

Horas Camin 80 Tractor 60

Conductor 160

PAS Precio 5904 000

Obtenemos como resultado el valor del proyecto.

2. Tres familias F1, F2 y F3 tienen los siguientes consumos de pan, carne y cereales: F1

consume 160 kg de pan, 200 Kg de carne y 1,5 Kg de mantequilla, F2 consume 200 Kg de pan, 230 Kg de carne y 2 Kg de mantequilla, F3 consume 90 Kg de pan, 150 Kg de carne y 1,75 Kg de mantequilla.


Algebra Lineal

Los precios, en miles de pesos, del pan, de la carne y de la mantequilla en los aos 2010, 2011, 2012 y 2013 fueron: 2010: el pan costaba $1,45, la carne $13 y la mantequilla $0.15; 2011: el pan costaba $1,56, la carne $13 y la mantequilla $0.16; 2012: el pan costaba $1,71, la carne $13,5 y la mantequilla $0.16; 2013: el pan costaba $1,80, la carne $14 y la mantequilla $0.18 Utiliza matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro productos.

3. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, concreto, vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor por unidad de los cinco materiales esta dados en la matriz A

Proveedor Madera Ladrillo Concreto Vidrio Pintura P1 8 5 7 2 4 A= P2 9 4 5 2 5 P3 9 5 6 1 5

El contratista tiene la poltica de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay tres obras en construccin actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de ladrillo, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10, y 12 respectivamente.

a. Represente en una matriz B la informacin de las unidades requeridas en cada obra. b. Calcule el producto AB c. Interprete los elementos de este producto y selos para decidir cul proveedor

debera utilizar en cada obra

4. Un hospital local reuni datos relacionados con personas admitidas para servicios de pacientes internados. La matriz P indica los porcentajes de todos los pacientes admitidos en unidades hospitalarias diferentes, S la duracin promedio de la permanencia de un paciente (en das) para cada unidad de hospitalizacin y C el costo diario (en miles de pesos) para las diferentes unidades del hospital.

= [

0.180.100.240.48

]

= [3 16 2 4] = [680 1400 540 360]

Si se admiten300 pacientes nuevos utilizar la operacin con matrices para calcular a. El nmero de pacientes admitidos en cada unidad b. El nmero total de da por paciente esperado


Algebra Lineal

c. El costo total por da para los 300 pacientes

5. Una fbrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminacin N, 200 unidades en la terminacin L y 50 unidades en la terminacin S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminacin N, 100 unidades en la terminacin L y 30 unidades en la terminacin S. La terminacin N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracin. La terminacin L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administracin. La terminacin S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administracin. a. Representar la informacin en dos matrices. b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracin empleadas

para cada uno de los modelos.

6. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteras: A, B y C. En cada uno de los tamaos, grande y pequeo. Produce diariamente 1000 estanteras grandes y 8000 pequeas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeas de tipo C. Cada estantera grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantera pequea lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a. Representar esta informacin en dos matrices. b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccin diaria de cada uno de los seis modelos-tamao de estantera.

7. Suponga que un contratista acepta pedidos para materia prima que se utilizan para la

construccin de tres tipos de vivienda. La matriz R dan el nmero de unidades de cada materia prima que se utilizar en cada tipo de casa, as

Acero Madera Vidrio Pintura Mano de

Obra Rstico 5 20 16 7 17

R= Moderno 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13

a. El contratista est interesado en conocer los costos que tendr que pagar por estas

materias primas. Suponga que el acero cuesta $2500 por unidad, la madera $1200 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra cuestan $800, $150 y $1500 por unidad respectivamente. Escriba una matriz de columna C que represente los costos por unidad. Obtenga el producto RC, qu encuentra?


Algebra Lineal

b. Suponga que se construirn 5 casas de estilo rustico, 7 estilo moderno y 12 colonial, escriba una matriz de fila Q que represente la cantidad de vivienda a construir por estilo y obtenga el producto Q(RC), qu encuentra?

8. El comit de admisiones de cierta universidad anticipa la inscripcin de 800 estudiantes de primer semestre para el prximo ao para satisfacer las cuotas de ingreso se ha clasificado los futuros estudiantes segn sexo y lugar de residencia. El nmero de estudiantes en cada categora esta dado por la matriz

Hombres Mujeres Locales 2700 3000 A= Forneos 800 700 Extranjeros 500 300

Al utilizar los datos acumulados de aos anteriores el comit de admisiones considera que estos estudiantes optarn por asistir a las facultades de derecho, diseo, administracin e ingeniera segn los porcentajes que aparecen en la matriz

Derecho Diseo Administracin Ingeniera B= Hombres 0.25 0.20 0.30 0.25 Mujeres 0.30 0.35 0.25 0.10 Encuentre la matriz AB que muestre el nmero de estudiantes locales, forneos y extranjeros que se espera se inscriban en cada facultad

9. Las acciones de dos personas B y C estn dadas por la matriz

Acciones BAC GM IBM TRW A= B 200 300 100 200 C 100 200 400 0

Al cierre de las operaciones de cierto da, los precios de las acciones estn dados por la matriz

BAC 54 GM 48 D= IBM 98 TRW 82

a. Calcule AD b. Explique el significado de las entradas de AD.


Algebra Lineal

10. Un viajero est regresando de Londres despus de un viaje por Europa y desea cambiar

las diversas divisas por euros. Al contar su dinero encontr que tena 80 chelines austriacos, 26 francos franceses, 18 guilders suecos y 20 marcos alemanes. Suponga que las tasas de cambio de moneda extranjera son 0.0727 por un cheln, 0.1524 por un franco, 0.4538 por un guilder y 0.5113 por un marco. a. Escriba una matriz A de fila que represente los valore de las divisas b. Escriba una matriz B de columna que represente las tasas de cambio c. Si el viajero cambia todas las divisas que tiene, cuntos euros recibir?

11. Una empresa de bienes races construye casas en tres estados. El nmero proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado esta dado por la matriz Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25 000 y $30 000, respectivamente, para cada modelo de casa, del I al IV respectivamente. a. Escriba una matriz de columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa b. Encuentre la utilidad total esperada en cada estado si se venden todas las casas

12. Las calificaciones de matemticas, de cuatro alumnos, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:

CALIFICACIONES

Alumnos 1 Ev 2 Ev 3 Ev

Antonio 2.5 3.2 3.0

Jaime 4.0 2.5 3.5

Roberto 3.5 2.5 3.5

Santiago 3.0 2.0 2.5

Modelo

I II III IV

N.Y. 60 80 120 40

A= Conn 20 30 60 10

Mass 10 15 30 5


Algebra Lineal

Para calcular la calificacin final, el departamento de matemticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1 Ev: 30 %, 2 Ev: 30 % y 3 Ev: 40 %. Se pide la nota final de cada uno de los alumnos.

13. Un cinema tiene cuatro salas de la I a la IV, el precio de cada funcin es de $2 mil pesos por nio, $3 mil pesos por estudiante y $4 mil pesos por adulto. La asistencia a la matin del domingo est dada por la matriz

Escriba una matriz de columna B que represente el precio de la entrada. Luego calcule A.B Qu encuentra?

14. Un vendedor de automviles puede comprar automviles puede comprar automviles

medianos en 12% por debajo del precio de lista y tambin automviles de lujo en 15%

por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos

automviles medianos y dos automviles de lujo

Medianos 25 000 28 000 De lujo 36 000 42 000

Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz

0,88 0 0 0,85

Qu representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el proceso?

Nio Estudiante Adulto Cinema I 225 110 50 A= Cinema II 75 180 225 Cinema III 280 85 110 Cinema IV 0 250 225


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15. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (prstamos empresariales, prstamos para automviles e hipotecas de casas) y que retira fondos de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios. Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 aos se da la siguiente tabla y el banco utiliza 45% de su ingreso de los prstamos empresariales, 20% de su ingreso de los prstamos para automviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que d el capital de riesgo disponible en cada uno de los tres aos

2001 63300 20024 518202002 48305 15817 637222003 55110 18621 64105

16. Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los departamentos necesitan

Acero Plstico Madera Departamento A 30 20 10 Departamento B 20 10 20

Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que se dan en la siguiente tabla

Ace Kink Acero 3000 280 Plstico 150 100 Madera 150 200

a. Use la multiplicacin de matrices para encontrar cunto costarn estos pedidos con

los proveedores. b. A qu proveedor debe comprar cada departamento?

17. La siguiente tabla muestra el presupuesto anual de gastos de una compaa, en miles de dlares, en los departamentos seleccionados.


Algebra Lineal

Rubro Departamento

Man

ufac

Oficin

a

Ven

ta

Distrib

uci

n

Co

ntab

ilidad

Ad

m

n


a. Cules fueron los departamentos de menor y mayor gasto? Cules fueron los

rubros de menor y mayor gasto? b. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios a lo largo de la tabla

en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% c. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricacin, un aumento de 3% en

oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribucin, un incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administracin. Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la matriz original.

97.000000

005.10000

002.1000

00005.100

000003.10

000002.1

Investigar. El uso de la funcin MMULT de Excel y haga una aplicacin


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REDUCCIN DE GAUSS-JORDAN

Solucin matricial de Sistemas de Ecuaciones

El mtodo de Eliminacin de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro equivalente ms sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspeccin). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 R (Coeficientes)

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los coeficientes del sistema en la matriz ampliada.

Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua aplicando cada una de los siguientes pasos:

1. Tener uno en la fila uno columna uno. 2. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno 3. Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos 4. Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos. 5. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres. 6. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres

Matriz de los coeficientes


Algebra Lineal

7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuacin es de orden 3, obtenemos

{1 0 00 1 00 0 1

|123}

Donde d1, d2 y d3 R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solucin.

Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucin se dice compatible sino es incompatible. Ejercicio. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan

2x + 3y z = 70 3x y - 2z = -19

-2x + 2y + z = 35 La matriz ampliada sera

(2 3 13 1 22 2 1

|701935

)1/2

(1 3/2 1/23 1 22 2 1

|351935

) 1 3 + 21 2 + 3

(1 3/2 1/20 11/2 1/20 5 0

|35124105

) 2/(11/2)

(1 3/2 1/20 1 1/110 5 0

|35

248/11105

)2

3

2+ 1

2 5 + 3

(1 0 7/110 1 1/110 0 5/11

|13/11248/1185/11

)3/(

5

11)(1 0 7/110 1 1/110 0 1

|13/11248/1117

)

3 7/11 + 13 1/11+ 2(

1 0 00 1 00 0 1

|122117)

= 12 = 21 = 17

Veamos: En la Ec1: 2(12)+3(21)-17=24+63-17=70; En la Ec2: 3(12)-21-2(17)=36-21-34=-19; En la Ec3: -2(12)+2(21)+17=-24+42+17=35


Algebra Lineal

Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan

2x + y 2z = 4 x + 3y z = -3 3x + 4y z = 7

2x+ 3y - 2z = 10 3x - 2y + 2z = 0 4x y + 3z = -1

2x + 2y + z = 9 x + z = 3 4y 3z = -10

2x + 4y - 6z = 38 x + 2y + 3z = 7 3x - 4y + 4z = -19

x + y + z = 0 2x- y + z = 1 x + y - 2z = 2

+ 2 = 0 3 + = 7 + 2 + = 3

+ + = 2 2 + + = 3 3 + 2 + = 3

3 + 2 + 4 = 5 2 + 2 = 0 2 + 4 = 0

+ 2 + 2 = 3 2 = 4 = 1

3 + 4 = 2 2 2 = 1 + 2 + = 1

+ + 2 = 5 4 + = 5 2 + + = 5

+ 2 + = 2 3 + 4 2 = 2 2 = 2

3 + = 4 2 2 + = 9 + + 2 = 2

2x y 2z = -1 3x + 3y + 4z = -2 2x y z = -3

+ + = 6 + 2 + 5 = 12 + 4 + 25 = 36

3 + 2 = 1 2 2 = 1 2 + 3 + 3 = 1

Ejercicio. Obtener las matrices y que verifiquen el sistema:

2 + = [1 2 22 1 0

]

3 = [4 3 21 0 1

]

Problemas de aplicacin 1. Una empresa fabrica 3 tipos de tabletas de chocolate: con leche, blanco y negro. Los

principales ingredientes para la produccin del chocolate son cacao, leche y caf. Para la produccin de chocolate con leche requiere de 5 unidades de cacao, 3 de leche, y 2 de caf, para el blanco necesita 5 unidades de cacao, 4 de leche y 1 de caf, mientras que para la elaboracin del negro se emplean 5 unidades de cacao, 1 de leche y 3 de caf. Antes de llegar el prximo pedido quedan en reserva 12000 unidades de cacao, 6800 de leche y 4600 de caf. Cuntas tabletas de cada tipo de chocolate puede producir con los ingredientes en existencia? Representamos los datos de forma matricial

2 + + = 3 3 2 2 = 8 2 + 3 = 6


Algebra Lineal

Ingredientes Tipos de Chocolate Con leche

(x) Blanco

(y) Negro

(z) Cacao 5 5 5 Leche 3 4 1

Caf 2 1 3 Representamos la situacin en forma de sistema de ecuaciones lineales

5x + 5y + 5z = 12000 3x + 4y + z = 6800 2x + y + 3z = 4600

Escribimos la matriz ampliada

(5 5 53 4 12 1 3

|1200068004600

)1/5

(1 1 13 4 12 1 3

|240068004600

)1 3 + 21 2 + 3

(1 1 10 1 20 1 1

|2400400200

)2 1 + 1

2 1 + 3

(1 0 30 1 20 0 1

|2800400600

)3/1

(1 0 30 1 20 0 1

|2800400600

)3 3 + 13 2 + 2 (

1 0 00 1 00 0 1

|1000800600

) = 1000 = 800 = 600

Por lo tanto con los ingredientes en existencia se puede producir 1000 unidades de chocolate con leche, 800 unidades de chocolate blanco y 600 unidades de chocolate negro.

2. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al da de nitrato y 3 toneladas al da de fosfato. Qu cantidad de fertilizantes en kg (1 ton =1000 Kg) deber producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? Por datos, la matriz de coeficientes sera

25 15 0 45 50 75 30 35 25


Algebra Lineal

Suponiendo que x es la cantidad de fertilizante tipo A, y la cantidad de fertilizante tipo B y z la cantidad de fertilizante tipo C, el sistema de ecuaciones sera 25x + 15y = 1.5 45x + 50y + 75z = 5 30x + 35y + 25z = 3 La matriz ampliada quedara

(25 15 045 50 7530 35 25

|1.553)1/25

(1 3/5 045 50 7530 35 25

|3/5053) 1 45 + 21 30 + 3

(1 3/5 00 23 750 17 25

|3/5023/106/5

)2/23

(1 3/5 00 1 75/230 17 25

|3/501/106/5

)2

3

5+ 1

2 17 + 3

(1 0 20 1 75/230 0 700/23

|0

1/101/2

)3/(

700

23)(1 0 20 1 75/230 0 1

|0

1/100.02

)

3 2 + 13 75/23 + 2 (

1 0 00 1 00 0 1

|0.040.030.02

) 0.04 0.03 0.02

Veamos: En la Ec1: 25(0.04)+15(0.03)+0(0.02)=1.451.5

En la Ec2: 45(0.04)+50(0.03)+75(0.02)=1.8+1.5+1.5=4.85 En la Ec3: 30(0.04)+35(0.03)+25(0.02)=1.2+1.05+0.5=2.83

Es decir que para agotar los suministros de ingredientes se deben producir aproximadamente 0.04 ton (40 Kg) de fertilizante tipo A, 0.03 ton (30Kg) de fertilizante tipo B y 0.02 ton (20Kg) de fertilizante tipo C

3. Tres trabajadores A,B y C, para terminar un determinado mes, presenta a su empresa la siguiente plantilla de produccin, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y kilmetros de desplazamiento fijadas para cada uno de ellos

HORAS DE TRABAJO VITICO KILMETROS A 40 10 150 B 60 20 250 C 30 6 100

Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribucin: x miles de pesos por hora trabajada, y miles de pesos por cada dieta y z miles de pesos por


Algebra Lineal

kilometro de desplazamiento y que paga ese mes un total de 3690 mil pesos al trabajador A, 6060 mil pesos al trabajador B y 2520 mil pesos al C. Calcular x, y, z. Representamos la situacin como sistema de ecuaciones lineales:

40x + 10y + 150z = 3690 (Ec 1) 60x + 20y + 250z = 6060 (Ec 2) 30x + 6 y + 100z = 2520 (Ec 3)


(40 10 15060 20 25030 6 100

|369060602520

)1/40

(1 1/4 15/460 20 25030 6 100

|369/460602520

)1 60 + 21 30 + 3

(1 1/4 15/40 5 250 3/2 25/2

|369/4525

495/2)2

5

(1 1/4 15/40 1 50 3/2 25/2

|369/4105

495/2)2 1/4 + 1

2 3/2 + 3(1 0 5/20 1 50 0 5

|6610590

)3/5

(1 0 5/20 1 50 0 1

|6610518

)3 5/2 + 13 5 + 2

{1 0 00 1 00 0 1

|211518}

= 21 = 15 = 18

Verificacin En la (Ec1): 40(21)+10(15)+150(18) = 369 840 + 150 + 2700 = 3690 3690 = 3690

En la (Ec2): 60(21)+20(15)+250(18)= 6060 1260 + 300 + 4500 = 6060 6060 = 6060

En la (Ec3): 30(21)+6(15)+100(18)=2520 630 + 90 + 1800 = 2520 2520 = 2520

Por lo tanto el valor de la hora trabajada es de 21 mil pesos, la unidad de vitico 15 mil y la de transporte 18 mil

4. Una compaa fabrica tres tipos de muebles para jardn: sillas, mecedoras y sillones.

Cada uno requiere madera, plstico y aluminio, como se muestra en la tabla. La compaa tiene un almacn de 400 unidades de madera, 1500 de aluminio y 600 de plstico. Para su produccin de final de temporada desea agotar toda la existencia. Para lograrlo cuntas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?

Sillas Mecedoras Sillones Madera 1 1 1 Aluminio 2 3 5 Plstico 1 1 2


Algebra Lineal

Si consideremos x la cantidad de sillas, y la cantidad de mecedoras y z la cantidad de

sillones, el sistema de ecuacin sera

x + y + z = 400

2x + 3y + 5z = 1500 x + y + 2z = 600


(1 1 12 3 51 1 2

|4001500600

) 1 2 + 21 1 + 3

(1 1 10 1 30 0 1

|400700200

)2 1 + 1

(1 0 20 1 30 0 1

|300700200

)3 2 + 13 3 + 2

(1 0 00 1 00 0 1

|100100200

) = 100 = 100 = 200

Veamos en

En Ec1 100 + 100 + 200 = 400 400 = 400

En Ec2 2(100) + 3(100) + 5(200)=1500 200 + 300 + 1000 =1500 1500=1500

En Ec3 100 + 100 + 2(200)=600 200 + 400 =600 600=600

La produccin final de temporada para agotar existencia tiene que ser 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones

5. Una compaa tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el

volumen en pies cbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dlares para una unidad de cada uno de los productos. Si el camin puede transportar 8 000 pies cbicos, 12 400 libras y est asegurado por $52 600 cuntas unidades de cada producto se pueden transportar?

PRODUCTOS

A B C Volumen unitario (pies cbicos) 24 20 40 Peso unitario (libras) 40 30 60 Valor (dlares) 150 180 200

Consideremos x el volumen en pies cbicos, y el peso en libras y z el costo del seguro entonces el sistema de ecuaciones sera


Algebra Lineal

24X + 20Y + 40Z = 8000

40X + 30Y + 60Z = 12400 150X + 180Y + 200Z = 52600 La matriz ampliada quedara

(24 20 4040 30 60150 180 200

|80001240052600

)

1

24(1

56

53

40 30 60150 180 200

|

10003

1240052600

) 1 40 + 21 150 + 3

(

1

56

53

0 103

203

0 55 50

||

10003

28003

2600 )

2

103(1

56

53

0 1 20 55 50

|

100032802600

)2

5

6+ 1

2 55 + 3

(1 0 00 1 20 0 160

|100280

12800) 3

160

(1 0 00 1 20 0 1

|10028080

) 3 2 + 2 (1 0 00 1 00 0 1

|10012080

)

= 100 = 120 = 80

Veamos

En Ec1: 24(100)+20(120)+40(80)=8000 2400 +2400 +3200 =8000 8000=8000

En Ec2: 40(100)+30(120)+60(80)=12400 4000 +3600 + 4800 =12400 12400=12400

En Ec2: 150(100)+180(120)+200(80)=52600 15000 +21600 +16000 =52600 52600=52600

Es decir que se puede transportar un volumen de 100 pies cbicos, un peso de 120 libras y el costo del seguro es de 80 dlares por cada unidad de producto.

6. El precio de entrada a cierta exposicin es de $2 000 para los nios, $5 000 para los adultos y $2 500 para los adultos mayores. En una jornada concreta, la exposicin fue visitada por 200 personas en total, igualando el nmero de visitantes nios al de adultos y adultos mayores juntos. La recaudacin de dicho da ascendi a $650 000. a. Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos nios, adultos y adultos

mayores visitaron la exposicin ese da. b. Resolver el problema.

Solucin a. Por datos

n + a + j =200 (Ec1) n = a + j podemos expresar como n a j = 0 (Ec2) 2000n + 5000a + 2500j = 650 000 (Ec3)


Algebra Lineal

b. Escribimos la matriz ampliada

(1 1 11 1 1

2000 5000 2500|2000

650000) 1 1 + 21 2000 + 3

(1 1 10 2 20 3000 500

|200200250000

)2

2

(1 1 10 1 10 3000 500

|200100

250000)

2 1 + 1

2 3000+ 3(1 0 00 1 10 0 2500

|150100

50000) 3

2500

(1 0 00 1 10 0 1

|10010020

) 3 1 + 2 (1 0 00 1 00 0 1

|1008020

) = 100 = 80 = 20

Verificando: En (Ec1): 100 + 80 + 20 = 200, 200=200 En (Ec2): 100 80 20 = 0, 0=0 En (Ec3): 2 000(100)+ 5000(80) + 2500(20)=650 000 200 000 + 400 000 + 50 000 = 650 000 = 650 000 650 000 = 650 000 Por lo tanto la exposicin la visitaron 100 nios, 80 adultos y 20 adultos mayores.

7. En una fbrica de ropa se produce tres estilos de camisas que llamaremos A, B y C, cada

prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo A se necesitan 30 min para cortarlas, 42 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo B, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo C, 65 min para cortar, 50 min para coser y 38 min para planchar y empaquetar. Cuntos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Por datos, organizamos las matrices

=

30 50 65 42 50 50

50 50 38

=

480 480

480

Como 1 hora tiene 60 minutos, 8 horas es equivalente a 480 minutos


Algebra Lineal

Escribimos el sistema de ecuacin. Consideremos: Los lotes de las camisas tipo A, el tipo B y el tipo C

30 + 50 + 65 = 480 (1) 42 + 50 + 50 = 480 (2) 50 + 50 + 38 = 480 (3)


|30 50 6542 50 5050 50 38

| |480480480

|1/30

|1 5 3 13 642 50 5050 50 38

| |16480480

|

1 42 + 21 50 + 3

|1 5 3 13 60 20 410 100/3 211/3

| |16192320

|

2/20

|1 5 3 13 60 1 41/200 100/3 211/3

| |1648/5320

|2 5/3 + 1

2 100/3+ 2

|1 0 5/40 1 41/200 0 2

| |0

48/50

|

3/2

|1 0 5/40 1 41/200 0 1

| |0

48/50|

3 5/4 + 13 41/20 + 2

|1 0 00 1 00 0 1

| |0

48/50| = 0

= 48/5 = 0

Verificando

En (1): 30(0) + 50 (48

5) + 65(0) = 480; En (2) 42(0) + 50 (

48

5) + 50(0) = 480; En

(3): 50(0) + 50 (48

5) + 38(0) = 480

Solo se pueden producir 9.6 lotes de camisa tipo B.

8. Una empresa fabrica 3 productos A, B y C, cada uno de los cuales debe pasar por 3 diferentes mquinas M1, M2 y M3, a los largo del proceso de produccin. Cada unidad A requiere 1 hora en la mquina A, 2 horas en M2 y 1 hora en M3. De la misma forma cada unidad del producto B necesita 2 horas, 2 Horas y 4 horas en las mquinas M1, M2 y M3 respectivamente y cada unidad del producto C necesita 3 horas, 5 horas y 2 horas en cada mquina. Las mquinas M1, M2 y M3 el nmero de horas mximo de produccin son de 150 horas, 370 horas y 385 horas respectivamente. a. Organice los datos en forma de tabla b. Formule el sistema de ecuaciones que permite obtener el nmero de unidades

mximas que se puede producir por producto. c. Resuelva el sistema planteado utilizando el mtodo de reduccin de Gauss-

Jordan.

9. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al da de


Algebra Lineal

nitrato y 3 toneladas al da de fosfato. Qu cantidad de fertilizantes deber producir de modo que se agote los suministros de ingredientes?

10. Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones:

Mina A Mina B Mina B Nquel (%) 1 2 3 Cobre (%) 2 5 7 Hierro (%) 1 3 1

Cuntas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de nquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

11. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimentos a un lago que mantiene tres especias de peces. Cada pez de la especie I consume cada semana un promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2, y dos unidades de alimento 3. Cada pez de la especie II consume cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, cuatro unidades de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3. Para un pez de la especie III, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 29 000 unidades del alimento 1, 34 000 unidades del alimento 2 y 55 000 unidades del alimento 3. Suponemos que los tres alimentos se consumen. Qu cantidad de cada especie existe en el lago?

12. Tres familias numerosas van a una heladera. La primera familia pidi 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumi 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.

a. Obtn una matriz A, 3 x 3, que exprese el nmero de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.

b. Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 , 12 y 15, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.

13. Un nutrilogo desea planear cierta dieta con base a tres tipos de alimentos. Los porcentajes de requisitos diarios de protenas, carbohidratos y hierro contenidos en cada onza de los tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla


Algebra Lineal

Tipo de Alimento I

Tipo de Alimento II

Tipo de Alimento III

Protenas(%) 10 6 8 Carbohidratos(%) 10 12 6 Hierro(%) 5 4 12

Indique cuantas onzas de cada tipo de alimento debe incluir el nutrilogo en la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de protenas, carbohidratos y hierro 100% de cada uno.

14. Un fabricante de blusas produce tres tipos: sin manga, manga corta y manga larga. El tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada tipo aparecen en la siguiente tabla

Sin mangas Manga Corta Manga larga Corte 9 12 15 Confeccin 22 24 28 Empaquetado 6 8 8

Los departamentos de corte, confeccin y empaquetado disponen de un mximo de 80, 160 y 48 horas de trabajo respectivamente, por da. Cuntas docenas de cada tipo de blusa se pueden producir al da si la planta opera a toda su capacidad?

15. Una areo lnea tiene tres tipos de avin que transportan tres tipos de carga. En la

siguiente tabla se resume la carga area de cada tipo

Tipo de Avin Unidades transportadas Pasajero Transporte Jumbo Correo de primera clase 100 100 100 Pasajeros 150 20 350 Carga area 20 65 35

Suponga que en un da determinado, la compaa debe transportar 1100 unidades de correo de primera clase, 460 unidades de carga area y 1930 pasajeros. Cunta carga area de cada tipo debe programar?

16. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que

se deben pintar ensamblar y empacar para su distribucin. La tabla da el nmero de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si


Algebra Lineal

el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 para empacar, cuntas sierras de cada tipo se pueden producir al da?

Deluxe Premium Ultimate

Pintura 1.6 2 2.4 Ensamble 2 3 4 Empaque 0.5 0.5 1

17. Un viajero que acaba de regresar de Europa gast $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en Espaa por concepto de hospedaje. En comida gast $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en Espaa. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada pas. Los registros del viajero indican que gast un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres pases. a. Represente la situacin en un sistema de ecuaciones lineales b. Utilice el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan para calcular el nmero de das que

pas el viajero en cada pas.

18. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos qumicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del qumico A, 12 unidades del qumico B, y 8 unidades del qumico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galn de la marca X contiene los qumicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galn de la marca Y contiene los qumicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galn de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. Qu cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los qumicos requeridas para el control de la enfermedad?

19. Una empresa transportadora de maquinaria pesada posee tres tipos de camiones, A, B

y C. Los camiones estn en capacidad de transportar 3 clases de maquinaria. El nmero de mquinas de cada clase que puede transportar cada camin es

Tipos de Camiones

Clase de Maquinaria

A B C 1 2 1 1 2 0 1 2 3 1 2 0


Algebra Lineal

A la empresa le adjudican un contrato para transportar 34 mquinas clase 1, 10 clase 2 y 25 clase 3. Encuentre el nmero de camiones de cada tipo que se requiere para cumplir con el contrato

20. Una refinera produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre

requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinacin. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinacin. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinacin 2, cuntas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al mximo?.

21. Un industrial produce dos tipos de plstico: regular y especial. Cada tonelada de plstico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plstico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al da y la planta B 15 horas al da, cuntas toneladas de cada tipo de plstico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?

22. Un dietista est preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza

del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de protena, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de protena, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, cuntas onzas de cada comida se necesitan?


Algebra Lineal

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante es una funcin que le asigna a una matriz de orden n, un nico nmero real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o tambin por ||

Determinante de una Matriz de orden 2

Si = [, ,, ,

] el determinante de A es el nmero que se obtiene de

() = , , , , Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz

1. = [

] ; () = |

| = ( ) ( ) = =

2. = [

]; () = |

| = ( ) ( ) = () = +

=

3. = [

]

4. = [

]

5. = [

]

6. = [

]

Solucin Matricial de un Sistemas de Ecuacin lineal de 2x2 (Regla de Cramer)

Dado el sistema de ecuacin lineal

ax + by = c dx + ey = f

, con a, b, c, d, e y f R se cumple

=[

]

[

] ; =

[ ]

[

]

Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuacin lineal por la regla de Cramer


Algebra Lineal

3x + 2y = -7 x - 3y = 4

Aplicando la regla de Cramer

x=[-7 24 -3

]

[3 22 -3

]=(-7)(-3)-(4)(2)

(3)(-3)-(2)(2)=21-8

-9-4=

13

-13=-1 , entonces x=-1

y=[3 -72 4

]

[3 22 -3

]=(3)(4)-(-7)(2)

(3)(-3)-(2)(2)=12+24

-9-4=

26

-13=-2 , entonces y = -2

Verificando En la (Ec1) En la (Ec2)

3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) 3(-2) = 4

-3 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4

Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuacin lineal

4x 3y = -5

3x - 2y = 4

3x + 4y = 1

2x 3y = 12

5x 2y = 4

2x 3y = 5

2x + 3y = 12

3x + 2y =13

3x + 4y = 1

2x 3y =12

5x 2y = 4

2x - 3y = 5

-4x + 3y= -5

3x 2y = 4

x + 2y =3

3x + 6y = 6

0.2x 0.3y = 4 2,3x y = 1.2

113

8;12

7

2

5

yx

yx

x y = 2

2x + 2y = -2

Problemas de Aplicacin 1. En un teatro hay 70 personas entre adultos y nios cada adulto paga $4 000 y cada nio

$1 500. Si el recaudo fue de $230 000 cuntos adultos y cuntos nios entraron? Definimos las magnitudes: , el nmero de nios y : el nmero de adultos. Organizamos el sistema, por datos Como hay 70 personas: + = 70 (1) Como el recaudo fue de $230 000: 1 500 + 4 000 = 230 000 (2)


Algebra Lineal


=|

70 1230 000 4 000

|

|1 1

1 500 4 000|=(70 4 000) (1 230 000)

(1 4 000) (1 1 500)=280 000 230 000

4 000 1 500

=50 000

2 500= 20

=|1 70

1 500 230 000|

2 500=(1 230 00) (70 1 500)

2 500=230 000 105 000

2 500

=125 000

2 500= 50

Verificando en En (1) + = 70 20 + 50 = 70 70 = 70

En (2) 1 500 + 4 000 = 230 000 1 500(20) + 4 000(50) = 230 000 30 000 + 200 000 = 230 000

2. Una compaa tiene ingresos gravables por $312 000. El impuesto federal es 25% de la

parte que queda despus de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es el 10% de la parte que queda despus de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto de los impuestos federal y estatal. Sea el monto del impuesto federal e el monto del impuesto estatal Por datos

= (312 000 ) 0.25 operando = 78 000 0.25 (1)

= (312 000 ) 0.10 operando = 31 200 0.10 (2) Despejando (1) y (2)

+ 0.25 = 78 000 0.10 + = 31 200


=|78 000 0.2531 200 1

|

|1 0.250.10 1

|=78 000 7 800

1 0.025=70 200

0.975= 72 000

=|1 78 0000.10 31 200

|

0.975=31 200 7800

0.975=23 400

0.975= 24 000


Algebra Lineal

Verificamos En (1) 72 000 = 78 000 0.25(24 000) 72 000 = 72 000

En (2) 24 000 = 31 200 0.10(72 000) 24 000 = 24 000

Por tanto el monto del impuesto federal ser de $72 000 y el del estatal $24 000

3. Si fabrican 65 artculos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 Cuntas pulseras y cuntas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? Cunto dinero ganarn con esta venta?

4. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de caf y 3 de azcar, por lo que paga $60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al da siguiente y compra 1 Kg. de caf y 10 Kg. de azcar por lo que paga $33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada producto

5. La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses

producidos es $180 000 cules son los capitales si se sabe que el primero se prest al 5% y el segundo al 8%?

6. En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nios cuestan $51 200 y 17 de nios y 15 de

adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de nio y una de adulto.

7. El viernes en el almacn trapos se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una, las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000. El sbado el almacn vendi cada pantaln y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 cuntas pantalones y cuntas camisas se vendieron?

8. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional.

9. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa cobra una tarifa fija ms un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 cul es la tarifa fija y el costo por invitado?


Algebra Lineal

10. El alquiler de un automvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilmetros cuesta $440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilmetro recorrido.

11. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros cuntos boletos de cada tipo debe vender?

12. Por usar el servicio de internet una compaa cobra un cargo de $2 000 hora/da y

$2 500 hora/noche. si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nmero de horas diurnas y nocturnas del servicio.

13. Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene un rdito de 10% sobre la inversin y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000 En qu tasa tiene la mayor inversin y de cunto es el monto?

14. El nmero total de pasajeros matutinos de cierta lnea de autobuses urbanos es de

1000. Si el pasaje para nios cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. Cuntos nios y cuantos adultos utilizaron el bus en la maana?

15. Juan compr plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si Juan

compr 24 plumeros con el costo total de $24 800 cuntos plumeros de cada color compr?


Algebra Lineal

Determinante de una Matriz de Orden 3

Dado el sistema de ecuacin lineal

= [

, , ,, , ,, , ,

]

, el determinante de A se obtiene: () = ||

= ,(, , , ,) ,(, , , ,)

+ ,(, , , ,)

Ejercicio Hallar el determinante de la matriz A

= [

]

() = ||

|| = ( ) ( + ) + ( + ) = () () + () = + =

Regla de Sarrus

Se obtiene ampliando la matriz con las dos primeras filas o dos primeras columnas luego se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas menos las suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas Ejercicio Hallar el determinante de la matriz A

= [

]

Escribimos la matriz ampliada, agregando las dos primeras filas al final de esta, luego sumamos

los productos de los elementos de las diagonales principales menos la sume de los productos de

las diagonales secundarias


Algebra Lineal

|| = ||

||

|| = [( ) + ( ) + ( )] [( ) + ( )+ ( )] || = [ + ] [ + + ] = =

Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz

= [

] = [

] = [

]

Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales de por determinante

Ejercicio. Resolver el sistema de ecuacin lineal por determinante 2 + = 1 (1) + 2 + 3 = 0 (2) 3 4 = 1 (3)

Los valores de las variables se obtienen:

=||

|| , =

||

|| =

||

||

El determinante || se obtiene de la matriz de coeficientes, as

|| = |

| =2(-8+3)-1(-4-9)+(-1)(-1-6)=2(-5)-(-13)-(-7)=-10+13+7=10

El determinante || se obtiene remplazando en la columna de la columna de resultados, as

|| = |

| = ( + ) ( ) ( ) = () () () =


|| = |

| = () + ( ) = =


Algebra Lineal


|| = |

| = ( ) () ( ) = + =

Remplazando

=||

||=

= , =

||

||=

= =

||

||=

=

Verificando

En (1) En (2) En (3)

+ = () + () = = =

+ + = + () + () = + = 0=

= () () () = + = =

Por tanto el conjunto solucin es (1, -2, 1) Ejercicio. Resolver cada sistema de ecuacin lineal por determinante

+ + = + = =

+ = = + =

= + = + =

2x + y - z = -1 3x 2y + z = 3 -4x + 3y + 2z = -11

x + z -1 x + y = 0 y + z = -3

x + y + z = -2 2x y + z = 1 -x + 2y z = -1

x + 2y z = 3 3x y + 2z = =-8 2x + 3y + z = -1

x + y + z = 6 2x + y z = 1 x 2y + z =

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