1

Derivada de una funcin real

x

y

0x

x

xfxxfxf

x

)()(lim:)( 00

00

xx 0x

)( 0xf

)( 0 xxf

Si no existe el lmite, no existe la

derivada en x0. Decimos

entonces que f(x) no es derivable

o no es diferenciable en x0.

Podemos hacer el lmite por la

derecha y por la izquierda, y

ambos deben coincidir.

2 x

y

0z

z

zfzzfzf

z

)()(lim:)( 0

00

z

u

v)( 0 zzf

)( 0zf

)()( 00 zfzzf zz 0

Derivada de una funcin compleja

Observemos que ahora el lmite se puede hacer no

solamente por la derecha o por la izquierda, sino

por infinitos caminos. Para que la derivada est definida

el lmite debe existir y ser el mismo independientemente

del camino.

3

Mostrar que f(z) = zn es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1.

Ejemplo:

1

0

1

0

10

0

1

0

00

0

0

00

00

)(lim

)(

lim

)(

lim)(

lim:)(

niinn

iz

iinn

i

z

niinn

i

z

nn

z

nzzzi

n

z

zzi

n

z

zzzi

n

z

zzzzf

Observa que el resultado es independiente de la trayectoria

con que se aproxima a cero. Como z0 es arbitrario, el

resultado es vlido para todo z y f(z) = nzn-1. z

4

La reglas de derivabilidad son las mismas que en clculo

de funciones reales de variable real:

(c f)/ = c f/

(f+g)/ = f/ + g/

(f g)/ = f/ g + f g/

(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2

La regla de la cadena rige de la misma forma.

Ejercicio:

Demostrar las reglas a

partir de la definicin

de derivada.

5

Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningn punto

Ejemplo zzf )(

yix

yix

yix

yix

z

z

z

zzz

z

zfzzfzf

zz

zz

z

00

00

0

limlim

limlim

)()(lim)(

Sigamos dos caminos distintos: x

y

zz

z

x

y 1 2

1 2 1lim0

z

1lim0

z

El lmite no es nico, por lo tanto no existe lmite.

Como z es arbitrario, no existe derivada en ningn punto.

(funcin continua en todo el

plano complejo porque sus

componentes u y v lo son)

6

Ejemplo 2||)( zzf

z

zzzz

z

zzzzzz

z

zzz

z

zfzzfzf

z

z

z

z

0

0

22

0

0

lim

))((lim

||||lim

)()(lim)(

Sigamos de nuevo los dos

caminos distintos anteriores:

(funcin continua en todo el

plano complejo porque sus

componentes u y v lo son)

1

2

zzzzz

0

lim;

Como el lmite debe ser nico:

zzzzz

0

lim;

0 zzzzz La derivada existe solo en z = 0 y vale 0. Este ejemplo muestra como una funcin

puede ser diferenciable en un punto sin

serlo en ningn otro de su entorno.

7

Obtener los puntos del plano complejo donde la funcin

es diferenciable. Calcular su derivada.

)Re()( zzzf

yix

yxyxxyixxx

yix

xiyxxxyyixx

z

zzzzzz

z

zfzzf

z

z

zz

2lim

lim

ReRelimlim

2

0

0

00

0)0(

0RelimRe

lim00

lim

:0z Si

000

f

zz

zz

z

fzf

zzz

8

0;

0;

0

22

limlimlim

:0

22lim

2limlim

:0

:0z Si

000

0

2

00

y

x

y

xxxiyx

xxy

yxi

z

zfzzf

yiz

iyxiyxx

x

xiyxxx

z

zfzzf

ixz

yyz

x

xz

z=0

0z puntos losen blediferencia es no f(z)

9

La existencia de derivada en un punto implica la

continuidad de la funcin en ese punto.

Supongamos que existe f(z):

)()(lim00)('

)(lim)()(

lim

)()(lim

00

0

0

0

0

00

0

zfzfzf

zzzz

zfzf

zfzf

zz

zzzz

zz

10 x

y

z

zz

x

y1

1

x

yxvyxxvi

x

yxuyxxuzf

x

x

),(),(lim

),(),(lim)(

0

0

x

vi

x

u

dz

df

Seguimos el camino : sea y0

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

yix

yxviyxuyyxxviyyxxu

z

zfzzfzf

z

z

),(),(),(),(lim

)()(lim)(

0

0

Si la derivada existe, el lmite

es independiente del camino

11

x

y

z

zz

x

y 2

2

y

v

y

ui

dz

df

Seguimos el camino : sea x0

xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222

zyixyixx

vi

x

u

dz

df2)(2)2(2

zyixxyiy

v

y

ui

dz

df2)(22)2(

Ejemplo:

y

y x v y y x v

y

y x u y y x u i z f

y

y

) , ( ) , ( lim

) , ( ) , ( lim ) (

0

0

12

y

v

y

ui

x

vi

x

u

Igualando ambas expresiones:

Igualando las partes real e imaginaria obtenemos las

ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Tenemos:

x

vi

x

u

dz

df

y

v

y

ui

dz

df

x

v

y

u

y

v

x

u

13

Podemos dar en forma polar una funcin de variable

compleja cualquiera. Por ejemplo, sea:

)0(1

)( zz

zzfEn forma polar,

tendremos:

),(),(

sin1

cos1

)sin(cos1

)sin(cos

)sin(cos

1)sin(cos)(

rvru

rri

rr

ir

ir

irirzf

14

)),(

sincos

i v(r,r uf(z)

)i r(z

En forma polar

tenemos:

)0(

11

r

u

rr

vv

rr

u

ECR en forma polar

Demostrar que las ECR toman la forma:

Ejercicio: Comprobarlo para la funcin f(z) = 1/z.

15

Recuerda que hemos tomado dos caminos muy particulares

para encontrar las ECR. Hemos demostrado que si

f(z) = u(x,y)+iv(x,y) es diferenciable en un punto z0,

entonces las primeras derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y)

existen en ese punto y satisfacen en l las ECR.

Adems, podemos calcular el valor de f(z0) a travs

de las expresiones:

Las ECR son una condicin necesaria para la derivabilidad.

x

vi

x

u

dz

df

y

v

y

ui

dz

df

16

)2()(

)()(

22

2

xyiyx

yixzf

yx

vy

y

u

xy

vx

x

u

2,2

,2,2

Ejemplos: Veamos que , que hemos probado que es diferenciable en todas partes, cumple las ECR:

Sin embargo para:

2)( zzf

)(||)( 222 yxzzf

0,2

,0,2

x

vy

y

u

y

vx

x

u

Las ECR no se satisfacen excepto

para z = 0. Entonces la derivada no

existe para ningn z distinto de 0.

Pero no podemos asegurar la

existencia de la derivada en z = 0,

aunque en este caso la hemos

demostrado anteriormente.

17

Condiciones suficientes de derivabilidad

Sea f(z) = w = u(x,y) + iv(x,y) definida en un entorno del punto

z0= x0 + iy0, supongamos que las primeras derivadas parciales de

u(x,y) y v(x,y) existen en el entorno de ese punto y son continuas

en z0. Entonces, si las parciales satisfacen las ECR en z0, la derivada

f(z) en z0 existe.

.00cuando00donde

)},(),({)},(),({

),(),(

11

11

11

yyxy

yxyy

ux

x

uu

yy

ux

x

uu

yxuyyxuyyxuyyxxuu

yxuyyxxuu

Sumamos y restamos

18

.00cuando00donde 22

22

yyxy

yxyy

vx

x

vv

De la misma manera, para v(x,y):

.00cuando

00donde 2121

yyx

iyi

yxyy

vi

y

ux

x

vi

x

uviuw

As que:

Podemos utilizar en esta ltima igualdad las ECR:

x

v

y

u

y

v

x

u

19

x

vi

x

u

z

w

dz

dwzf

yxyixx

vi

x

uw

yxyx

ui

x

vx

x

vi

x

uviuw

z

z

yix

vi

x

u

0lim)('

)(

yxyy

vi

y

ux

x

vi

x

uviuw

x

v

y

u

y

v

x

u

20

Estudiar la derivabilidad de la funcin

y en caso afirmativo hallar la derivada.

21)( z

zzf

2222

222

)(yx

yi

yx

yxxzf

u iv

02

02

222

222

yxyx

v

y

u

yxxy

v

x

u

se cumplen las ECR

slo en x=0, y=0

C

zderivable no f(z)

0y 0, xpara definidasestn no y)y v(x, y)u(x, Pero

Examen

JUNIO 02/03: P-1

21

Funciones analticas u holomorfas

Una funcin f(z) es analtica (u holomorfa) en un

abierto A si posee derivada en todo punto de A.

Cuando se dice que una funcin f es

analtica en un conjunto S que no es

abierto, quedar sobrentendido que f es

analtica en algn abierto que contiene a S.

Cuando decimos que una funcin

es analtica en un punto z0 , la

derivada debe existir en todos los puntos

de algn entorno de z0.

Nota: observa que f(z) = |z|2 es solo derivable en

z = 0, pero tampoco ah es analtica. x

y

0z

x

y

A

22

),(),()( yxviyxuzf continua en un dominio D:

Existe una forma rpida y fcil de comprobar

si una funcin f (z) es analtica?

Sea

x

v

y

u

y

v

x

u

en todo punto de D.

f(z) es analtica en un dominio D sii u(x,y) y v(x,y)

son continuas y poseen primeras derivadas parciales

continuas en D y satisfacen las ecuaciones de CR:

23

Resumen: Es f(z) analtica en z0?

1. Escribe f(z) como f(z) = u(x,y) + iv(x,y).

2. Encuentra ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y) y vy(x,y).

3. Comprueba que se cumplen las ecuaciones

de Cauchy-Riemann:

ux(x0,y0) = vy(x0,y0)

uy(x0,y0) = -vx(x0,y0)

4. Comprueba que ux(x,y), uy(x,y),vx(x,y) y

vy(x,y) son continuas en (x0,y0).

24

2222

1)(

yx

yi

yx

x

yix

yix

yixzf

222222

22

)(

2,

)( yx

xy

x

v

y

u

yx

yx

y

v

x

u

Ejemplo Es 1/z analtica?

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Pero f(z)

no es continua en cero ni sus parciales tampoco.

La funcin es analtica en todo punto, excepto en z = 0.

),( yxu ),( yxv

25

2222

22

)1(

2

)1(

1

)1(

)1(

)1(

)1(

1

1

1

1)(

yx

yi

yx

yx

yix

yix

yix

yix

yix

yix

z

zzf

u v

x

v

yx

xy

y

u

y

v

yx

yx

x

u

222222

22

)1(

)1(4,

)1(

)1(2

excepto en x = 1 e y = 0, en z = 1.

Ejemplo Es (1+z)/(1-z) analtica?

Al igual que antes, la funcin es analtica en todo punto,

26

Respuesta.

Encontrar todas las posibles funciones complejas

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analticas en la regin D = {z C/ |z| 3}, que

cumplan simultneamente:

(a) Re(f(z)) = u(x)

(b) f(0) = 0

(c) mx |f(z)| = 6, z D

1. f(z) = u(x) + iv(x,y) analtica en D => Se cumplen ecuaciones de

Cauchy Riemann en D

Ady

dv

dx

duzfDyx

dy

dv

dx

duvv

v(y)vu(x)uvu

yx

xy

)(),(,

ser por ,0

27

RCBACAyv

BAxu

,,

2. f(0) = 0 = B + iC B = 0, C = 0

zAiyxAzfAyv

Axu

)()(

3.

zzf

zzf

AzAAzzfDzDzDz

2)(

2)(:funciones Dos

26maxmax)(max

2

1

3

28

P2. Junio 2006

a) De la funcin f(z) se sabe:

1. Es analtica en |z 2| < 3,

2. f(z) = f(z) en |z 2| < 3,

3. |f(z)| =

Respuesta.

Dar la expresin de f(z) en |z 2| < 3 y, en particular, calcular el

valor de f(2 + i).

3

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

D : |z - 2| < 3

29

1.- f(z) analtica en D.

D.en

xy

yx

vu

vuRiemannCauchy

2.- f(z) = f(z), en D.

D.en ,0),(

D.en ),,(),(),(),(

yxv

yxivyxuyxivyxu

30

De las condiciones 1 y 2,

D.en .)(Den D.en 0

0ctezfcte.u

u

u

y

x

3.- |f(z)| = 3

f(z) = en D.

z = 2+i pertenece a D:

f(2 + i) = 3

3

31

Sol.: (a) a = -b; c = 1. (b) a = b = -1

(a) En ningn punto. (b) En ningn punto.

(c) C - {z = +i, -i} (d) C (e) En ningn punto.

(f) C - {z = 0} (g) En ningn punto.

32

(1) Las funciones polinmicas son analticas en todo punto.

Son funciones enteras.

n

nzczczczczcczf 4

4

3

3

2

210)(

Gracias a las propiedades de las derivadas, si dos funciones

son analticas en un dominio D, su suma y su producto son

analticos en D. Y su cociente es analtico en D si el

denominador no se anula en ningn punto de D.

Una composicin de funciones analticas ser analtica.

)(

)()(

zh

zgzf

(2) La funciones racionales

donde g(z) y h(z) son polinomios,

son analticas excepto, quizs,

en los puntos donde h(z) se anula.

33

Qu tienen de especial las funciones analticas?

Veremos ms adelante cosas como:

Si una funcin es analtica entonces todas sus derivadas tambin son analticas (en franco contraste con las funciones de variable

real).

Toda funcin analtica puede expresarse como serie de potencias.

Las funciones analticas estn determinadas por sus valores de contorno: si disponemos de los valores de una funcin analtica

para los puntos de la circunferencia unidad, estos valores determinan

totalmente los valores en todo el crculo unidad. Podemos expresar

los valores de la funcin en los puntos interiores a travs de una

frmula integral que involucra los valores del contorno.

34

Ejercicio: Encontrar la forma ms general de la funcin

analtica f(z) cuya parte real u(x,y) es: u(x,y) = x2 - y2 - x.

Exigimos que se cumplan las ECR: y

vx

x

u

12

k(x)yxyxkdyxxkdyy

vyxv

2)()12()(),(

ctekxkdx

xdky

x

vy

y

u

)(

)(22

ikzzzf

kyxyixyxyxivyxuzf

2

22

)(

)2(),(),()(

Integrando respecto a y:

Exigiendo que se cumpla la segunda ECR:

35

Funciones armnicas

u(x,y) y v(x,y), las componentes de una funcin analtica,

son funciones armnicas: cumplen la ec. de Laplace.

Partiendo de

la ECR: x

v

y

u

y

v

x

u

y

yx

v

y

u

yx

v

x

u

2

2

22

2

2

y

02

2

2

2

y

u

x

u

Derivando

respecto

a x e y:

02

2

2

2

y

v

x

vDerivando respecto a

y y x:

Suponiendo que sus segundas derivadas existen y son continuas

(ms adelante se demostrar que si f es analtica en z0, u y v poseen

parciales continuas de todo orden en ese punto):

36

Una funcin (x,y) es armnica en un dominio si (x,y)

es C2 (i.e.: tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son

continuas) y satisface la ecuacin de Laplace en dicho

dominio:

02

2

2

22

yx

Hemos visto que si f(z) es analtica en cierto dominio, entonces su

parte real u(x,y) y su parte imaginaria v(x,y) son armnicas en dicho

dominio (ambas cumplen la ecuacin de Laplace).

Dada una (x,y) armnica en un dominio simplemente conexo D,

existe una funcin analtica en D cuya parte real es (x,y) y tambin

existe una funcin analtica en D cuya parte imaginaria es (x,y).

Dada una funcin armnica u(x,y), parte real de una funcin compleja,

decimos que v(x,y) es la funcin armnica conjugada de u(x,y), si

u(x,y) + iv(x,y) es analtica.

37

12y 2

y

y

ux

x

u

Ejemplo: Verificar que u(x,y) = x2 - y2 - y es armnica en todo

el plano complejo y encontrar la funcin armnica conjugada

v(x,y).

02y 22

2

2

2

2

2

2

2

y

u

x

u

y

u

x

u

Si v(x,y) es la armnica conjugada de u(x,y), entonces

ambas cumplen las ECR:

12y 2

y

x

v

y

ux

y

v

x

u

38

k(x)xyxkdyxxkdyy

vyxv

2)(2)(),(

cxxyyxv

cxxkdx

xdky

x

vy

y

u

2),(

)()(

212

c) i (z zzf

c) x xy i (y - y x i v u f(z)

2

22

)(

2

xy

v

x

u2

39

(a) Verifica que u(x, y) = x3 3xy2 5y es armnica en todo

el plano complejo.

(b) Encontrar la funcin armnica conjugada de la funcin u.

066

6 ,56 ,6 ,33 )(

2

2

2

2

2

2

2

222

xxy

u

x

u

xy

uxy

y

ux

x

uyx

x

ua

Cxyyxx,yv

Cxxhxhxhxyx

v

xhyyxyx,v

xyy

u

x

v yx

x

u

y

vb

53)( :entonces Y

5)( ,5)(' ),('6

)(3) ( primera,laIntegrando

56 ; 33 )(

32

32

22

40 Como veremos en el siguiente captulo..

41

En el siguiente ejercicio se resuelve la misma cuestin de

forma alternativa...

42

Ejercicio: Demostrar que si u y v son armnicas conjugadas

mutuamente, entonces son funciones constantes.

Ejercicio: Si u es armnica conjugada de v en un dominio D,

entonces u es armnica conjugada de v en D.

xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222

v(x,y) es armnica conjugada de u(x,y), pero que si

intercambiamos ambas no es cierto. Es decir, que 22),(;2),();,(),()( yxyxvxyyxuyxivyxuzf

no es analtica.

Ejercicio: Demuestra que para

43

Nikolai Egorovich Zhukovskii (1847-1921)

(o Zhukovsky o Joukowski)

La transformacin de

Zhukovsky

zzw

1

Ms general:

z

azw

2

La imagen de un crculo que pasa por z = 1 o z = -1 es una curva

similar a la seccin transversal de un ala de avin.