Un modelo para describir la propagacin de un contaminante en el aire

Alfredo Enrique Lora

alora@uninorte.edu.co

Contenido1. Introduccin.

2. Ilustracin del problema.

Derivacin de la ecuacin que describe el problema (Ecuacin de Adveccin-Difusin).

Condiciones iniciales y condiciones en la frontera.

Mtodo de diferencias finitas.

4. Solucin del problema usando el mtodo explcito.

5. Solucin del problema usando el mtodo implcito (Crank-Nicholson + Algoritmo de Thomas).

6. Conclusiones.

3. Formulacin de un modelo matemtico para describir la propagacin de un contaminante en el aire.

Ilustracin del problema

Formulacin de un modelo matemtico para describir la propagacin de un

contaminante en el aire

Hiptesis simplificadoras

1. La atmsfera es homognea

4. La atmsfera es unidimensional.

5. La atmsfera es isotrmica y adiabtica.

3. La velocidad del viento u es uniforme.

2. El contaminante es incompresible.

Derivacin de la ecuacin que describe el problema (Ecuacin de Adveccin-Difusin)

Concentracin de contaminante en el punto x en el instante t; [c] = M/L.

( , ) :x t Flujo de contaminante que pasa por el punto xen el instante t; [] = M/T.

( , ) :c x tz

x

y

c x

x xx

Concentracin del contaminante en el intervalo [x, x+x]

( ),x x

x

c x t dx+

Rata de la concentracin de contaminante en el intervalo [x, x+x]

( ) ( ) ( ) ( ),, , , (1)x x x x

x x

c x tdc x t dx dx x t x x t

dt t

+ + = = +

Rata de la densidad lineal de flujo de la concentracin asociada a las fuentes y/o sumideros dentro en el intervalo [x, x+x]

( ), (2)x x

x

f x t dx+

( ), :f x t

Flujo de contaminante en el intervalo [x, x+x] producido por las fuentes y/o sumideros dentro del mismo,

Principio de conservacin de la masa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, , , , (3)x x x x x x

x x x

c x tdc x t dx dx x t x x t f x t dx

dt t

+ + + = = + +

Aplicando el teorema del valor medio para integrales

( ) ( ) ( ) ( ), , , , con i i ic t x x t x x t f x x x xt = + + < < +

O equivalentemente:

( ) ( ) ( ), ( , ) ,i ic t x t x x t ft x + = +

Tomando0

limx

Se obtiene finalmente:

(4)c c cf ft x t c x

= + = +

Efectos de la adveccin ( ) , ( , ) ,x t B x t c = y de acuerdo con

,u Bc

= =

haciendo f = 0, se obtiene la Ecuacin de Adveccin Pura:

(5)c cut x

=

Efectos de la difusin

( ) ( ),, (6)c x tx tx

=

Ley de Fick.

(5) y (6) en (4) y haciendo f = 0

Ecuacin de Adveccin Difusin

( ) ( ) ( )22

, , ,

(7)c x t c x t c x tut x x

=

Condiciones Inicial y de Frontera

c0

c

x

( ) 0,c x t c= ( ) ( )0, 0 y , 0 c t c l t= =

Solucin de Ecuaciones Diferenciales Parciales usando el Mtodo de Diferencias Finitas

t

xx0 x j -1 x j x j + 1 x j = d

t 0

t j -1

t j

t j + 1

t N = tm ax

x

t c( xj , tn)

c(x j ,t n+ 1)

c(x j + 1,t n+ 1)

Solucin de la Ecuacin de Adveccin-Difusin (Mtodo de Diferencias Finitas- Forma Explcita)

( )( ) [ ] 1

,

, 1 , (8)

j n

n n

j j

x t

c j x n t c j x n t c cct t t

+ + = =

( )[ ] ( ) 1

,

, 1 , (9)

j n

n n

j j

x t

c j x n t c j x n t c ccx x x

= =

( )2

1 12 2

,

2 2 (10)

j n

n n n

j j j

x t

c c cc

x x

+ +=

Sustituyendo (8), (9) y (10) en (7)

( )1 1 1 12

2n cn c n c nj jj j j j jc cc c c c cu

t x x

+ +

++ =

( ) ( )1 1 1 12 2 (11)n n n n n n nj j j j j j jt tc c u c c c c cx x+ +

= + +

( ) ( ) ( )22

, , ,c x t c x t c x tu

t x x

=

nt uu

x v

= =

Condicin de Estabilidad (CLF)

0 1<

1 >

Mtodo Estable

Mtodo Inestable

Presentacin Visual de la Solucin

Solucin de la Ecuacin de Adveccin-Difusin (Mtodo de Diferencias Finitas Forma Implcita Usando Cranck-Nicholson y el Algoritmo de

Thomas)

( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1 12 2 2 (12)2n n n n n c n n c nj j j j j j j j j jt t

c c u c c c c c c c cx x

+ + + + + +

= + + + +

( ) ( ) ( )22

, , ,c x t c x t c x tu

t x x

=

Presentacin Visual de la Solucin

Conclusiones

1. Se implement un modelo para describir la propagacin de un Contaminante en el aire.

2. Se solucion numricamente la que resulta para el modelo implementado.

3. Se ilustr la contribucin de la fsica en el estudio y eventual solucin del problema de la contaminacin atmosfrica.

4. El modelo queda abierto por cuanto las hiptesis simplificadoras lo muestran como un primer intento por abordar un problema muy complejo.