INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICA AREA DE INGENIERIA MECATRONICA ANALISIS Y SIMULACION DE SISTEMAS PROYECTO DE CURSO: Manipulador robtico Estudiantes: Mario Rios Mora Braulio Solano Rivas Profesor: Juan Crespo Primer semestre 2015 1 Contenido Introduccin ......................................................................................................................................... 2 Descripcin del problema .................................................................................................................. 3 Anlisis del problema .......................................................................................................................... 5 Resolucin ............................................................................................................................................ 8 Circuito elctrico ...................................................................................................................... 8 Mecanismo de rotacin: ......................................................................................................... 9 Variables de estado: ............................................................................................................. 11 Ecuaciones de estado: .......................................................................................................... 11 Sistema con carga: ................................................................................................................ 12 Modelado mediante Matlab ........................................................................................................... 14 Anlisis de resultados ........................................................................................................................ 19 Conclusiones ...................................................................................................................................... 21 Anexos ................................................................................................................................................. 22 Bibliografa .......................................................................................................................................... 26 2 Introduccin Elpresentedocumentocorrespondealaresolucindelproyectodecursodeanlisisy simulacin de sistemas. El cual consiste en el anlisis y modelado de un manipulador robtico ysuposteriorsimulacinutilizandolaherramientadeprogramacinMathlab.Parala resolucindelproblemaseprocederenunaprimerainstanciaaladescripcindel problema, es decir a la exposicin de aquello que se solicita, de las consideraciones a tomar en cuenta as como cualquier informacin y/o dato necesario para la resolucin de la tarea expuesta. Se continuar entonces con el anlisis de lo expuesto anteriormente, as como la estrategiaescogidaparaabordarlaproblemticaylosmodelosmatemticosquese utilizarn.Deestaformaseprocederadescribirelfenmenoestudiadomediante ecuaciones matemticas congruentes con el anlisisrealizado, explicando lo acontecido encadaetapaysujustificacinparaeldesarrollodelproyecto.Deestaformase determinarn las funciones de transferencia y sus ecuaciones de estado. Una vez hecho esto se proceder con la simulacin del sistema con y sin carga. En base a esto se analizarn los resultados obtenidos y se elaboraran las conclusiones correspondientes. 3 Descripcin del problema Se considerar el manipulador robtico de una sola unin que se muestra en la figura 1. El movimientodelbrazoescontroladovaengranajeporunmotorDCcontroladopor armadura. Figura 1: Manipulador robtico a estudiar Seasumirqueelmomentodeinerciadelmotoresdespreciablecomparadoconeldel brazo. De mismo modo el brazo puede modelarse como un punto de masa m al final de una barra de longitud L (figura 2). Figura 2: Esquema del manipulador 4 Por otro lado se cuenta con la siguiente informacin sobre algunas de las caractersticas del manipulador robtico. Las cuales se exponen a continuacin: VariableValorDescripcin L1 mLongitud del brazo m1kgMasa del brazo N1: N21:10Relacin de engranes Km1 Nm/AConstante del par del motor Kb1V.s/radConstantedefuerzacontra electromotriz de motor Ra1 Resistencia de armadura del motor La0 HInductancia de armadura G9.8 m/s2Constante de gravedad Tabla 1: Datos conocidos del problema. Con base a lo anterior se solicita lo siguiente: 1)Obtenerdescripcindelsistemamanipuladormediantesuecuacinde transferencia. 2)Obtener descripcindel sistema manipulador mediante ecuaciones de estado. 3)Reformar las descripciones anteriores para considerar la existencia de una carga en el extremo del actuador del robot. 4)Obtener la respuesta del sistema (desde el segundo 0 al 25) ante:-Una entrada escaln.-Unarampaqueen10segundospasede0a10luegopermanezca constante. 5 Anlisis del problema El sistema a estudiar supone la siguiente lgica: Se aplica un voltaje a la armadura delmotor DC. Dichovoltaje genera una corriente de armadura que a su vez da lugar una fuerza electromotriz produciendo un torque en el eje del motor. Dicho torque se transmite por medio de engranes a otro eje, en el extremo del cual hay un brazo que puede rotar con relacin a dicho eje. El brazo posee masa y una inercia asociada que se opone al movimiento. Considerando el torque transmitido as como la inercia del brazo, este se desplaza de manera angular un cierto ngulo. La secuencia de eventos descrita se puede resumir como que la aplicacin de un voltaje da paso a un desplazamiento angular. Se toma de esta forma el voltaje aplicado como la entrada del sistema y el movimiento angular resultante como la salida. Se reconocen variables necesarias para analizar el sistema. Se cuenta con un circuito por lo que se requieren de corrientes y voltajes. Del mismo modo la parte mecnica supondr una utilizacindevariablesasociadasatorquesymagnitudesangulares.Porsuladoel modeladodelmotorrequieredelusodeunacorrientedearmaduraydesutorque correspondiente. De esta forma se presenta a continuacin las variables a considerar: VariableDescripcin u(t)Voltajeaplicadoa armadura del motor DC Ia(t)Corriente de armadura m(t)Desplazamiento angular del eje del motor m(t)Velocidadangulardeleje del motor Tm(t)Torqueproducidoporel motor T(t)Torquetransmitidoportren de engranes. (t)Desplazamiento angular del brazo. (t)Aceleracin angular del eje brazo. Tabla 2 Variables del sistema Se debe tener en cuenta que el sistema a estudiar cuenta con dos etapas: -Parte elctrica: se aplica un voltaje al motor lo que da lugar a la generacin de torque. En esta etapa se consideraran aspectos elctricos como voltajes y corrientes. Debido a esto se recurrir a las leyes de Kirchhoff para el anlisis de circuitos. 6 Del mismo modo se recurren a los siguientes modelos matemticos (Kuo, B.): Ley de mallas de Kirchhoff = 0

Voltaje en resistencia = () Voltaje en inductancia = ()

Fuerza contra electromotriz = (t) -Parte mecnica: el torque generado se transmite por medio engranes y ejes. En esta etapa se consideran aspectos fsicos como relacin de engranes, torques, inercias y magnitudes angulares (desplazamiento, velocidad y aceleracin) as como las leyes que los describen (extensin de la ley de Newton para el movimiento de rotacin): Ley de Newton = Torque del motor = () Relacin de engranes

=12=

= Cabe mencionar que el momento de inercia del motor se considera despreciable es decir se supondr nulo. Por otro lado para la determinacin del momento de inercia del brazo, puestoqueestesehaestablecidocomounamasapuntualaunadistanciaLdelejese recurre a la siguiente ecuacin (Beer, F., & Johnston, R.): = Esdecirqueparaunsistemadepartculas(1enelacasoconsiderado)lainercia corresponde a la suma de los productos de las masas de cada partcula por el cuadrado de la distancia r de cada partcula al eje considerado. Por otro lado no se dice nada sobre fuerzas de rozamiento ni coeficientes viscosos por lo que estos sern de igual manera omitidos en la resolucin del ejercicio. Por otro laso se debe notar lo siguiente: -La masa al extremo de brazo de longitud L, efecta un par (Tb) debido al peso (W) que posee. Este est definido de la siguiente manera: = () 7 -Cmo podemos ver la relacin no es lineal por lo que se requerir aproximar de la funcinseno.ParaellosehareldesarrollodelaseriedeTaylordedichafuncin utilizando la cantidad de trminos apropiados. Finalmenteseconsiderarunacargasobreelbrazo.Estasemodelardelasiguiente manera: -Objeto cilndrico de masa mayor a la del brazo. -Posee momento de inercia. -Genera un torque debido al peso que posee. -Utilizacin del teorema de ejes paralelos. -Dimensiones y caractersticas del cilindro se delimitarn como sigue: VariableValorDescripcin r8 cmRadio del cilindro m22 kgMasa del cilindro Tabla 3: Caractersticas de la carga a aplicar. 8 ResolucinCircuito elctrico Se tiene el siguiente circuito a analizar: Figura 3: Circuito elctrico del motor DC Fuente: elaboracin propia Se aplica la ley de mallas de Kirchhoff: () () () () = 0 () () ()

() = 0 En este punto notamos que el tercer trmino se anula puesto que La=0H. Del mismo modo notamos que existe una variable fsicaque corresponde a la velocidad angular del eje del motor o dicho de otra manera la derivada del desplazamientoangular del eje del motor. Finalmente cabe resaltar que se requiere de la corriente de armadura para el clculo del torque proporcionado por el motor y mediante esta ecuacin se puededespejar. () () () = 0 () =()

()

(1) 9 Mecanismo de rotacin: Figura 4: Mecanismo del brazo. Fuente: elaboracin propia Aplicando la ley de Newton para rotaciones se tiene: () () = () Sedebeaclararquelaaceleracindelbrazocorrespondealasegundaderivadade desplazamientoangular.Porotroladoelmomentodeinerciasegnloexpuestoenel apartadoanteriorcorrespondenicamenteaI=m*L2 puestoquesetratadeunasola partcula. Se tiene entonces: () (()) = 2 ()(2) Sin embargo el toque T no es ms que el torque del motor Tm transmitido directamente por la relacin de engranes: () = () Utilizando el resultado de (1): () = ()

() (3) Conociendo la relacin de engranes se tiene que: () =21 ()

=21 10 Reemplazando con la expresin obtenida en (3): () =2 ()1

22 ()

12 De esta forma volviendo a la expresin (2): 2()1

22 ()

12 (()) = 2 () (4)Notar que en esta ecuacin se cuenta con la entrada (u (t)) y la salida ( (t)) sin embargo se tiene un inconveniente. Se tiene a la variable de salida en el interior de una funcin seno. Para solventar dicha problemtica se recurre al desarrollo de Taylor de la funcin seno. Se tiene entonces: (()) = () Ver anexo para explicacin de esa igualdad. Esto a su vez nos da sobre la ecuacin (4) que se presenta a continuacin: 2 ()1

22 ()

12 () = 2 ()(5) Notar que en la ecuacin (5) se cuenta nicamente con las variables de entrada y salida, relacionadasentresporunaecuacindiferencial.Seprocedeentoncesadeterminarla funcin de transferencia. De esta forma mediante Laplace en (5) obtenemos U(s) y (s) las cuales con despejes matemticos nos permiten obtenerla funcin de transferencia para este sistema sin carga: 2 ()1

22 ()

12 () = 2

()(6) Funcin de transferencia (sin carga): de esta manera se da solucin al enunciado a) del presente proyecto: ()()=

2

1

2

+ (

2

1 )2

11 Seguidamente se presenta lo anterior mediante ecuaciones y variables de estado para con ello dar la solucin a la seccin b) de este proyecto. Variables de estado:

1=

()

=

() Ecuaciones de estado: Mediante la ecuacin (4) despejamos () lo cual nos permite obtener la primera de las ecuaciones de estado:

() =2 ()1 2

22 ()

12 2 () 2(7) Sabiendo que x1 es simplemente la derivada de x1, se tienen las 2 ecuaciones de estado:

=

22

12 2

1 2

2+ 2 1 2()

= 1 [

] = [

22

12 2 21 0] [

1

2] +[2 1 20]() 12 Sistema con carga: Ahora bien, si se considera que el sistema est bajo una determinada carga, las ecuaciones anteriores van a variar debido a que se estara presentando un caso eventualmente real en elfuncionamientodedichosistema.AsdeestamaneraalasumatoriadeTorqueso momentos habra que agregarle un trmino ms que se determin como

; siendo en el torque un subndice L haciendo alusin a Load = Carga.La carga viene dada por un cilindro de masa m2 superior a la del brazo. Eso da pie a un momento de inercia adicional el cual se determin mediante el teorema de ejes paralelos (ver anexo). 2 ()1

22 ()

12 ()

= (1

2+0.52

2+2

2) ()(8) Donde TL se define como sigue:

=

(()) O bien basndonos en el desarrollo de Taylor:

=

() Mediante Laplace en (8) obtenemos U(s) y (s) las cuales mediante despejes matemticos permiten obtenerla funcin de transferencia para este sistema con carga de la siguiente manera: 2 ()1

22 ()

12 ( +

) () = (1

2+0.52

2+2

2)

()(9) Funcin de transferencia (con carga), de esta manera dando la solucin para el enunciado c) del presente proyecto: ()()=

2

1

(1

2+0.52

2+2

2)

+ (

2

1 )2

( +

) Se tienen las mismas variables de estado escogidas anteriormente:

1=

()

2=

() 13 Con base a la ecuacin (9) se despeja () lo cual nos permite obtener la primera de las ecuaciones de estado:

() =2()1(1

2+0.52

2+2

2)

22 ()

12(1

2+0.52

2+2

2)(+

)()(1

2+0.52

2+2

2) Sabiendo que x1 es simplemente la derivada de x1, se tienen las 2 ecuaciones de estado:

=22

12(1

2+0.52

2+2

2)

1+

1

2+0.52

2+2

2

2+ 2 1(1

2+0.52

2+2

2)()

= 1 [

] = [

22

12 (1

2+0.52

2+2

2) +

1

2+0.52

2+2

21 0] [

1

2]+ [2 1 (1

2+0.52

2+2

2)0]() 14 Modelado mediante Matlab Enesteapartadoseprocederasimularlarespuestadelsistemaconysincargaante diferentes tipos de entrada segn dos casos: uno con el torque debido al peso a favor del sentido de rotacin y otro en contra. En una primera instancia se procede a reemplazar los valores de los datos de la tabla 1: Sistema sin carga ()()= 101 1

1 12 1 + (101)2 1 1 1 9.8 1 ()()= 10

+100 9.8 Mediante matlab se obtiene la respuesta del sistema ante entrada de escaln unitario (ver cdigo utilizado en anexo): Imagen 1: Respuesta del Sistema sin carga ante entrada de Escaln unitario (torque debido al peso a favor del sentido de giro) 15 Imagen 2: Respuesta del Sistema sin carga ante entrada de Escaln unitario (torque debido al peso en contra del sentido de giro)Del mismo modose obtiene larespuestadelsistemaanteunaentradaderampacon las caractersticas mencionadas en la descripcin del problema: Imagen 3: Respuesta del Sistema sin carga ante entrada de rampa (torque debido al peso a favor del sentido de giro) 16 Imagen 4: Respuesta del Sistema sin carga ante entrada de rampa (torque debido al pesoen contra del sentido de giro) Sistema con carga Se procede ahora a simular el sistema con la carga considerada. Se hace uso de los valores de la tabla 1 y 3: ()()=101 1

(1 12+0.5 2 0.082+2 12) 1 + (101)2 1 1 1(9.8 + 9.8 2) ()()=103.0064 2+100 29.4 17 Mediante matlab se obtiene la respuesta del sistema ante entrada de escaln unitario (ver cdigo utilizado en anexo): Imagen 5: Respuesta del Sistema con carga ante entrada Escaln unitario con y sin ejes normalizados (torque debido al peso a favor del sentido de giro) Imagen 6: Respuesta del Sistema con carga ante entrada Escaln unitario (torque debido al peso en contra del sentido de giro) 18 Del mismo modose obtiene larespuestadelsistemaanteunaentradaderampacon las caractersticas mencionadas en la descripcin del problema: Imagen 7: Respuesta del Sistema con carga ante entrada rampa con y sin ejes normalizados (torque debido al peso a favor del sentido de giro) Imagen 8: Respuesta del Sistema con carga ante entrada rampa (unitario (torque debido al peso en contra del sentido de giro). 19 Anlisis de resultados Respuesta a escaln sin carga. (torque debido al peso a favor del sentido de giro) Iniciando el anlisis con el estudio de la respuesta a la funcin de transferencia segn una entrada de forma de escaln se observa que los valores obtenidos van a ser validos mientras que la amplitud de la respuesta sea aproximadamente 0.5 radianes (30 grados), luego de ello larespuestapierdevalidezdebidoaque lasuposicinqueutilizamos(sen()= )solo aplicaparangulospequeos,luegodeellolarespuestatiendeaelevarse considerablemente.Respuesta a escaln sin carga. (torque debido al peso en contra del sentido de giro) Para este caso se nos da a entender que la respuesta tiene validez, ya que por un lado los valoresobtenidosenlarespuestaseencuentrandentrodelrangoaceptablesegnla suposicin de (sen()= ), y esta respuesta tiende a estabilizarse en un valor se acerca a la realidad fsica y mecnica del sistema.La entrada escaln permite movimientos puntuales los cuales, en un brazo robtico son muy importante para una serie de aplicaciones, tales como colocacin ubicar inicial y finalmente elbrazoasuposicinoriginal.Sinembargo,sedebetenercuidadocuandoseaplican entradas de este tipo, pues al ser entradas tan bruscas se da pie a sobre corrientes las cuales podran llegar a afectar el motor e inclusive al brazo robtico en s. Al estar sin carga esto minimiza la afectacin al sistema, posteriormente se analizar la respuesta bajo carga. Respuesta a rampa sin carga. (torque debido al peso a favor del sentido de giro) Seguidamente el anlisis al estudio de la respuesta a la funcin de transferencia segn una entrada de forma de rampa se observa que, primero que todo la amplitud de la entrada va a ser un orden a la 10 mayor, lo cual nos va a dar una respuesta mayor a la obtenida en la grfica obtenida en el apartado anterior, por otro lado, se nota que segn se va elevando la entrada nuestra respuesta nos brinda valores fidedignos mas segn se va estabilizando la seal de entrada as se va perdiendo lavalidez de la respuesta obtenida por la misma razn que en el apartado anterior.Respuesta a rampa sin carga. (torque debido al peso en contra del sentido de giro) Al igual que en la respuestasin carga con entrada de escaln, la respuesta en este caso parece estabilizarse pero no dentro de valores aceptablesya que cuenta con amplitudes mucho mayores debido al tipo de entrada (rampa), la suposicin (sen()= ) no es vlida ya que la respuesta involucra valores superiores a los contemplados bajo esa suposicin.Laentradarampapermitemovimientosmssuavesyarmoniososloscualesenunbrazo robticoesimportantesucuidadoenlainteraccinconloselementosquelorodea.Se debetomarencuentaqueunelementodeestetipovaaestar,porlogeneral,en movimiento de un lugar a otro y entrando en contacto con otras mquinas. Con el caso de 20 la rampa es bueno contemplar que va a brindar una respuesta ms lenta que la del escaln. Que sea ms lenta no necesariamente significa que sea algo perjudicial, al contrario segn su aplicacin es valioso que la respuesta sea as de cuidadoso, por ejemplo que este brazo lo que mueva sea una compuerta o vlvula de control de un segundo proceso. Respuesta a escaln y a rampa con carga. (torque debido al peso a favor del sentido de giro) Ahora el anlisis al estudio de la respuesta a la funcin de transferencia segn una entrada de forma de escaln se observa que el comportamiento de la respuesta es similar alcaso deescalnsincarga.Con lasalvaguardadquelos valoresdeamplitudvanaser mucho mayoresdebidoaltoquedebidoalpesodelacargaquevieneafacilitarelefectodel torqueenelmismosentidodegiro.Recordarquelarespuestaservlidaparangulos pequeos de alrededor de 30 grados. Respuestaaescalnyarampaconcarga.(torquedebidoalpesoencontradel sentido de giro) Eslamejorrespuestaadquiridaluegodelasimulacinyaquelosvaloresobtenidosenla curva de la respuesta son vlidos ante la suposicin hecha por medio de la serie de Taylor y se estabilizaalrededor de un valor cercano a los 0.5 radianes. Por su parte la respuesta dada en la simulacin de rampa con carga en este caso da mejores resultados que su homloga sin carga, sin embargo, sigue sin estar dentro de los requerimientos establecidos. 21 Conclusiones A manera de conclusin es importante destacar lo hecho en este proyecto de curso. Iniciando por el anlisis del problema hasta llegar al modelo del sistema que nos facilit la comprensindelsistemaplanteadoporelprofesordelcursodeAnlisisySimulacinde Sistemas. El estudio de ambos casos del problema, iniciando con el caso sin carga, siguiendo conelsistemaconcarga.Senotqueconlaadicindecargaalmismosistemasu respectiva funcin de transferencia cambiaba de manera notable as como sus ecuaciones de estado, pero no as sus variables de estado. La respuesta ante cada entrada, ya fuera escalonada as como con rampa, tambin vario segn el caso estudiado en su respectiva seccin. Luego de todo el anlisis se not que la magnitud del ngulo debe ser pequeo y lamejorrespuestaobtenidafueladeentradaaescalnconcargaytorqueopuestoal sentido de giro y se debe a que la magnitud de la entrada es pequea, y el torque debido alpesolimitalarespuestaalosvalorespermitidos.Tambinesconsiderablemente importante mencionar que segn sea su aplicacin as debe ser la eleccin de anlisis, de entradasysalidas,quesedebeimplementarparaenprimerlugarobtenerrespuestas confiables y en segundo, y no menos importante que el primero, para cuidar el equipo. Con la realizacin de este proyecto se implement gran parte detodo lo aprendido en este y en otros cursos lo cual nos permiti sacarle provecho y aplicar los conocimientos adquiridos hasta el da de hoy como futuros ingenieros. 22 Anexos Demostracin de uso de serie de Taylor La serie de Taylor una herramienta esencial para la realizacin de este proyecto. Mediante su utilizacin se pudo llegar a la conclusin de que: (()) = () Lo cual se demostrara tomando como ejemplo 20, los cuales son equivalentes a 0.349 radianes (. ) = . .

!+.

!.

!+.

! (. ) = . Adems los trminos de Taylor siguientes a 1, tienden a 0 por ello podemos tomar solo el primer trmino de Taylor.(. ) = . + +. .. (. ) = . Como se demostr, para ngulos pequeos esa igualdad elegida se cumple. 23 Clculo del momento de inercia para el sistema bajo carga La carga se determin como un cilindro que se acopla al brazo. La inercia del cilindro se calcula como se presenta en la figura 5, notar que dicha inercia es conrespecto al eje del cilindro. Puesto que la carga girar con respecto al eje del brazo se debe hacer uso del teorema de ejes paralelos para obtener el momento de inercia correspondiente: Ahora bien el teorema de ejes paralelos establece que:

=

+2 La expresin aadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, ms el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa-sobreeseejeparalelo.ElLibroMecnicaVectorialparaIngenierosdeBeer& Johnston explica la manera de aplicar ese teorema de Steiner para esos momentos de inercia que no estn sobre el eje del sistema.De esta forma basndonos en la siguiente figura que describe al sistema con carga: Figura 5: Momento de Inercia del cilindro con respecto a su eje Tomado de Mecanica vectorial para ingenieria 24 Figura 6: Sistema con Carga Fuente elaboracin propia De esta forma se tiene que: J = 1 2+(

2 22+2 2)

1=

2= = = Donde los trminos fuera del parntesis representan el momento de inercia del brazo y los trminosdentrodelparntesisrepresentanelmomentodeinerciadelacargaysu respectivo clculo de ejes paralelos. J = 1

2+0.52

2+2

2 25 Cdigos utilizados: Respuesta del sistema sin carga ante escaln unitario >>num=[0 0 10];%Numerador de la funcin de transferencia >> den=[1 100 9.8]; % Denominador de la funcin de transferencia 9.8 segn convenga >> t=[0:0.01:25];% vector de tiempo de 0 a 25 s en intervalos de 0.01s >> escalon=[zeros(1,500),ones(1,2001)];% vector de funcin escaln >> lsim(num,den,escalon,t) Respuesta del sistema sin carga ante rampa: >> t=[0:0.01:10];% vector de tiempo de 0 a 10 s en intervalos de 0.01s >> ram=(t).*heaviside(t);%rampa de 0 a 10 s >> ram2=[10*ones(1,1500)];% rampa de 10 a 25 s >> rampa=[ram ram2]; %rampa completa >> t=[0:0.01:25];% vector de tiempo de 0 a 25 s en intervalos de 0.01s >> num=[0 0 10];%Numerador de la funcin de transferencia >> den=[1 100 9.8]; % Denominador de la funcin de transferencia 9.8 segn convenga >> lsim(num,den,rampa,t) Respuesta del sistema con carga ante escaln unitario >> num=[0 0 10];%Numerador de la funcion de transferencia >> den=[4.0096 100 29.4]; % Denominador de la funcion de transferencia 29.4 segn convenga >> t=[0:0.01:25];% vector de tiempo de 0 a 25 s en intervalos de 0.01s 26 >> escalon=[zeros(1,500),ones(1,2001)];% vector de funcion escalon >> lsim(num,den,escalon,t) Respuesta del sistema con carga ante rampa >> t=[0:0.01:10];% vector de tiempo de 0 a 10 s en intervalos de 0.01s >>ram=(t).*heaviside(t);%rampa de 0 a 10 s >>ram2=[10*ones(1,1500)];% rampa de 10 a 25 s >>rampa=[ram ram2]; %rampa completa >>t=[0:0.01:25];% vector de tiempo de 0 a 25 s en intervalos de 0.01s >>num=[0 0 10];%Numerador de la funcin de transferencia >> den=[4.0096 100 29.4]; % Denominador de la funcion de transferencia 29.4 segn convenga >> lsim(num,den,rampa,t) Bibliografa Beer, F., & Johnston, R. (s.f.). Mecanica vectorial para ingenieria. McGrawHill. Kuo, B. (s.f.). Sistemas de control automatico. Prentice Hall. Ogata, K. (s.f.). Ingeniera de control moderna. Pearson .