Modelado Fuentes conmutadas -...

Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007

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Comportamiento en pequeComportamiento en pequeComportamiento en pequeññña sea sea señññal de las fuentes al de las fuentes al de las fuentes conmutadasconmutadasconmutadas

IntroducciónEstudio en pequeña señal de modelos promedio

Ejemplo de promediado del circuitoEjemplo con PspiceVariables de estadoEquivalente promedio de los elementos de conmutación

Modelado de convertidores en conducción discontinuaParadoja del promedioOrden reducidoOrden completoModelo continuoSimulación

Reguladores linealesEjemplo de diseñoConclusiones y comentarios finalesReferencias


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Introducción (I)

- Los convertidores son conmutados porque el interruptor es el único elemento activo con

capacidad de regulación cuyo rendimiento teórico es 100%.

- La regulación mediante dispositivos que trabajan en conmutación hace que los sistemas

resultantes no sean LTI (lineales e invariantes en el tiempo).

- Sólo es posible utilizar el diagrama de bode en sistemas LTI.

- El tipo de regulación que vamos a considerar es PWM (modulación de ancho de pulso) con

frecuencia de conmutación constante, fs=1/T.

- El parámetro de control es el ciclo de trabajo, d.

- El ciclo de trabajo se obtiene a partir de una “señal de control”, vc.

- El ciclo de trabajo no se puede modificar dentro de un periodo de conmutación.

- El ciclo de trabajo resulta, por tanto, de muestrear vc con un periodo T.


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Introducción (II)

t

Cerrado Abierto

D.T T

δ(t)

+

vg(t)

-

iC

R

L

iR+

v(t)

-

M

iM

C

iD

iL

-+

vref

Gc(s)PWMDriver

δ(t) vc(t) ε(t)

vc(t)

t

Objetivo: Diseñar Gc(s) y realizarlo en un dispositivo tipo 3525, u otra implementación, por ejemplo digital.

La señal vc(t) la podemos tratar como una señal moduladora, siendo la portadora una señal triangular de periodo T.

Generalización: vg(t) puede ser una tensión continua o alterna, vref puede ser una tensión continua o alterna. Con un esquema de control semejante podemos controlar iL(t) u otra variable, p.e. p(t). También aplicaríamos este esquema sobre otra topología básica o derivada.


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Introducción (III)

φ

Vd

Vd-

0

vab1

io1

En este ejemplo Vg es constante. La tensión vaN está controlada en bucle cerrado con vrefsinusoidal y vbN con la opuesta.A partir de dos convertidores Buck conectados de forma diferencial se obtiene un inversor.Esta configuración tiene una ventaja adicional, se eliminan armónicos pares

V g

+

v ab

+ -

a b

N

Ta+

Ta-

Tb+

T b-

L R

vc(t)


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Introducción (IV)

Ir a Simulink y hacer el muestreo con ZOH de periodo de muestreo constante sobre señales sinusoidales de diferentes frecuencias y obtener conclusiones:La señal muestreada permite reconstruir la señal original si la frecuencia de muestreo es al menos el doble de la frecuencia de la sinusoidal (teorema del muestreo). Esto indica el ancho de banda en el que nos podemos mover para reaccionar ante perturbaciones

El muestreo y reconstrucción producen distorsión y desfase. El desfase es T/2.

Si la frecuencia de la perturbación es alta la distorsión tiene componentes de baja frecuencia

Si la frecuencia de la perturbación es suficientemente baja la distorsión debida al muestreo es de “alta frecuencia” y se filtra fácilmente.

Si la frecuencia de la perturbación es suficientemente baja el desfase, en ángulo, es pequeño. Esto indica en qué medida, un sistema muestreado, nos acerca a una situación de inestabilidad.


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Muestreo 100kHzSeñal con perturbación de 10 kHz



Introducción (V)


7/68

Introducción (VI)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/fs

|ZO

H(jω

)|/T s

fm/fs0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/fs

|ZO

H(jω

)|/T s

fm/fs

Un convertidor conmutado con control PWM no es LTI. La transformada de Laplace de un muestreador ideal es

Las réplicas se encuentran en nfs ± fm, donde fs =1/T es la frecuencia de conmutación, fm la frecuencia de la perturbación, y n un entero.La función de transferencia del zero-order hold en el dominio de la frecuencia es

( ) ( )s

ss

Tj

TTTejZOH s

ωωω ω sin2/−=

∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n sc

sc T

njsvT

v π2ˆ1ˆ*


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Introducción (VII)

Si se desea realizar una regulación lineal de una fuente conmutada, el ancho de banda con el que se puede trabajar tiene que ser suficientemente inferior a fs. Desde el punto de vista teórico fs/2 y práctico fs/10 para no tener mucha influencia de la distorsión y retraso de fase generada por el muestreo de vc.

Las variables a regular serán las tensiones, intensidades o potencias pero sin las componentes de rizado de conmutación, es decir regularemos variables promedio tomando, en principio, como periodo para realizar el promedio, T.

Excepción: En el caso de la tensión de salida de un corrector de factor de potencia se realizará el promedio utilizando el periodo de la tensión de red rectificada (10ms).

Especificación de rizado la resuelve el filtro

Especificación de valor promedio la resuelve el regulador


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Estudio en pequeña señal de modelos promedio (I)

Inicialmente se realiza el estudio de circuitos en conducción continua utilizando una de las tres técnicas

- Promediado del circuito- Variables de estado promedio- Equivalente promedio de los elementos de conmutación

Esto permite obtener sistemas continuos, equivalentes al circuito conmutado.

Alrededor de un punto de funcionamiento se puede observar la aproximación lineal del comportamiento del sistema equivalente promedio. Con un equivalente LTI se puede estudiar el diagrama de bode

El resultado tiene validez en un ancho de banda limitado, no se modela la distorsión ni el desfase adicional.


10/68

Para calcular el valor medio en un periodo se utiliza la aproximación de bajo rizado, siempre que sea correcto

i

t

iL

<iL>

El área intensidad tiempo es idéntica si se calcula con iL o con la aproximación de bajo rizado < iL >

i

t

iL

<iL>

En este caso, el área intensidad tiempo es no se puede calcular con la aproximación de bajo rizado < iL >. Hay que realizar la integral.

Estudio en pequeña señal de modelos promedio (II)


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Ejemplo de promediado del circuito (I)

+

vg

-

iC

R

L

iR+

v

-

C

i

M

iD

iM+

vg

-

iC

R

L

iR+

v

-

C

i

M

iD

iM ( )( )dt

idLdvvdv gg =−−+ 1 ( )

dtvd

CdRv

idRv

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− 1

( )dt

idLdvvg =−+ 1 ( )

dtvd

CdiRv

=−+− 1

( ) ( )( )dtidL

dtdILdDvVvV gg

ˆˆ1ˆˆ +=−−+−+

( )( )dtvdC

dtdVCdDiI

Rv

RV ˆˆ1ˆˆ

+=−−++−−

DV

V g

−=

1 ( )RDVI

−=

1

( )dtidLDvdVvg

ˆ1ˆˆˆ =−−+ ( )

dtvdCDidI

Rv ˆ

1ˆˆˆ=−+−−

Régimen permanente

Pequeña señal

gv̂ dV ˆdI ˆ+

-

- +

1: D−11

C

L

gv̂ dV ˆdI ˆ+

-

- +

1: D−11

C

L

gv̂

dD

sLIV ˆ1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+

-

- +

1: D−11

Cd

DI ˆ

1−

( )21 DL

−

Rgv̂

dD

sLIV ˆ1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+

-

- +

1: D−11

Cd

DI ˆ

1−

( )21 DL

−

R Forma canónica

Método general, ejemplo Boost

gv+

-

1: d−11

C

L

gv+

-

1:

C

L


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Utilizando el circuito en pequeña señal y cortocircuitando la perturbación de la tensión de alimentación

( )

( ) RsC

RsC

DsL

RsC

RsC

DDsL

RVV

sdsv

svg

++

−

+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==

1

1

1

1

1

11

1)(ˆ)(ˆ

2

20)(ˆ

( )21 DLLeq −

=

RsC

RsC

sL

RsC

RsL

DV

sdsv

eq

eq

svg11

1

11)(ˆ

)(ˆ

0)(ˆ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

=

CLsR

Ls

RL

s

DV

sdsv

eqeq

eq

svg20)(ˆ 1

1

1)(ˆ)(ˆ

++

−

−=

=2

00

00)(ˆ 1

1

)(ˆ)(ˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

=

ωω

ω

sQ

s

s

Gsdsv z

dsvg

IdentificandoD

VGd −=

10eq

z LR

=ωCLeq

10 =ω

eqLCRQ =

Ejemplo de promediado del circuito (II)


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Ejemplo con PSpice (I)

C1100uF

IC = 5.5V

Rload0.5

R

10m

L

5uHIC = 9A

Vcontrol0.75V

Vd8V

PWM_SAW1

f s = 100kHz

c1 s 2 +

S1 1m

Vgg

v c

D

0

Radd0.5

U1

TCLOSE = 200us

12

v out

I

L1

5uH

IC = 10.65A

1 2R1

10m

C2100uFIC = 5.5V

B

R20.5

U3TCLOSE = 200us

12

R30.5

0

V18Vdc

F1

F

GAIN = 0.75

Vdc A B

-+

+-

E1

E

GAIN = 0.75

Vdc A

I

Time

0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us 350us 400us 450us 500usI(L1) I(L)

0A

10A

20A

30A

Método general, ejemplo Buck


14/68

F2

F

GAIN = 0.75

R S

-+

+-

E2

E

GAIN = 0.75

vg

- ++-

E3E

GAIN = 8

d

0 L2

5uH

1 2

C3100uF

R40.5

R SV2

0Vac0Vdc

V31Vac0Vdc

00

V

d

+-

G1

G

GAIN = 12

vgd

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(L2:2))

-180d

-90d

0dDB(V(L2:2))

-20

0

20

SEL>>

Ejemplo con Pspice (II)


15/68

Variables de estado (I)



16/68

Variables de estado (II)

)()()(

)()()(

tEutCxty

tButAxdt

tdxK

+=

+=)()()(

)()()(

11

11

tuEtxCty

tuBtxAdt

tdxK

+=

+=

)()()(

)()()(

22

22

tuEtxCty

tuBtxAdt

tdxK

+=

+=

x(t), vector de intensidad por inductancias y tensión en condensadoresK, valores de capacidades e inductancias (propias y mutuas)u(t), vector de fuentes independientesy(t), vector de salida

Tiempo de ON

Tiempo de OFF

Promedio ( ) ( )

( ) ( ) )())(1()()())(1()()(

)())(1()()())(1()()(

2121

2121

tuEtdEtdtxCtdCtdty

tuBtdBtdtxAtdAtddt

txdK

−++−+=

−++−+=

Régimen permanente EUCXYBUAX

+=+=0

( )UEBCAYBUAX

+−=

−=−

−

1

1

21

21

21

21

)1()1()1()1(

EDDEECDDCCBDDBBADDAA

−+=−+=−+=−+=

Pequeña señal ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } )(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ

2121

2121

tdUEEXCCtuEtxCty

tdUBBXAAtuBtxAdt

txdK

−+−++=

−+−++=


17/68

Variables de estado (III)

Vi

L

+C

D1

Q1

Vo

+

-

D2

D3

N 1N3 N 2

iCvce

+

-

iD3

iLrL

rC

Rx 1

x2+-

( ) 02111 =−+++− xCxRxrxLV Li && ( ) 02122 =−+−− xCxRxCrx C &&

( ) ( )

( ) ( )i

CC

CL

LCLC

vLxx

rRCrRCR

rRLR

rRLrrRrRr

xx

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

+−

+++

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

1

12

1

2

1

&

&

ON

ivBxAx 11 +=&

Método general, ejemplo Directo con aislamiento


18/68

Vi

L

+C

D1

Q1

Vo

+

-

D2

D3

N 1N3 N 2

iCvce

+

-

iD3

iLrL

rC

Rx 1

x2+-

OFF

( ) 02111 =−++ xCxRxrxL L && ( ) 02122 =−+−− xCxRxCrx C &&

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

+−

+++

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

1 xx

rRCrRCR

rRLR

rRLrrRrRr

xx

CC

CL

LCLC

&

&

xAx 2=&

Variables de estado (IV)

Método general, ejemplo Directo con aislamiento


19/68

( )21 xCxRvo &−= 21 xrR

RxrR

Rrvcc

co +

++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=2

1

xx

rRR

rRRrv

cc

co Cxvo =

Obtención del promedio

( )[ ] ( )[ ] ivdBdBxdAdAx −++−+= 11 2121&

( )[ ] xdCdCvo −+= 121

Variables de estado (V)


20/68

Si consideramos R>>(rC+rL)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

−=

RCC

LLrr

ALC

11

1

dLB⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

0

1[ ]1CrC =

Una vez definido el modelo promediado continuo se realiza análisis en régimen permanente o en pequeña señal

Variables de estado (VI)


21/68

Régimen permanente

0=x& 01 =+ iDVBAX CXVo = DBCAVV

i

o1

1−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

−

++

=−

Lrr

C

LCR

Rrr

LCALCLC 1

11

1

1

( ) DrrR

rRD

VV

LC

C

i

o ≅++

+=

Variables de estado (VII)


22/68

Pequeña señal

Causas:Efectos:

Para el caso de dVBxADVBAXxx iiˆˆˆ

11 +++=+ &&

dVBxAx iˆˆˆ

1+=& xCvo ˆˆ =

Función de transferencia )(ˆ)(ˆ)(ˆ 1 sdVBsxAsxs i+=

)(ˆ)(ˆ sxCsvo =

dDd ˆ+→ iii vVv ˆ+→xXx ˆ+→ ooo vVv ˆ+→

d̂

Variables de estado (VIII)


23/68

Pequeña señal

Función de transferencia( )( )

[ ] )(ˆˆ

11 sGVBAsIC

sdsv

io =−= −

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

+=

LCLrr

CRssLC

CsrVsGLC

Ci 11

12

El denominador es de la forma 22 2 oo ss ωςω ++

LCo1

=ωo

LC

Lrr

CRω

ς2

1 ++

=CrC

z1

=ω

ς21

=Q

Variables de estado (IX)


24/68

ωo

|G(s)| en dB

ωo ωz

ω

ωz

ω

fase de G(s)0o

-90o

-180o

Pequeña señal

Variables de estado (X)


25/68

Equivalente promedio de los elementos de conmutación (I)

Red de conmutación Equivalente promedio

<v2> <i1><v1>

++

--

<i1>+

-

<v2>

<i2>

1-dd

1-dd

1

1’

2

2’

1

v1

d

i1 i2

v2

+ +

- -1’

2

2’

Red LTILiL

C

iC

R

iR+

v

-

+

vg

-

+-

Red de conmutación

d

1

1’

2

2’


26/68

Equivalente promedio

Equivalente pequeña señal

<v2> <i1><v1>

++

--

<i1>+

-

<v2>

<i2>

1-dd

1-dd

1

1’

2

2’

( )( ) 21

21

1

1

idid

vdvd

=−

−=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )2211

2211

ˆˆˆˆ1

ˆˆ1ˆˆ

iIdDiIdD

vVdDvVdD

++=+−−

+−−=++

( ) ( )( ) ( ) 222111

222111

ˆˆˆˆ11

ˆˆ11ˆˆ

IdiDDIIdiDID

VdvDVDVdvDDV

++=−−+−

−−+−=++

Promedio

Perturbación

Lineal

( )( ) 21

21

11

DIIDVDDV

=−−=Régimen Permanente

( )( ) 2211

2211

ˆˆˆˆ1

ˆˆ1ˆˆ

IdiDIdiD

VdvDVdvD

+=−−

−−=+Pequeña señal

- +

( ) dDD

V ˆ1

1

−

1-D : D

1̂v

1̂i

( ) dDD

I ˆ1

2

− 2v̂

2̂i

+

-

+

-

Equivalente promedio de los elementos de conmutación (II)


27/68

Equivalente promedio de los elementos de conmutación (III)

V135Vdc

D1MUR480

M1

IRF530

L1

2.4mH1 2

C11u

R160

R2

47

PWM_SAW1

f s = 100kHz

c1 s 2V2

0.6Vdc

0

-+

+-

E1

E

GAIN = 15

V335Vdc

C21u

L2

2.4mH1 2

R360

0

U1 CCM1

1

2

3

45

A

V40.6Vdc

AI

I

Time

0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us 350us 400us 450us 500us 550us 600usI(L1) I(L2)

0A

200mA

400mA

600mA

.subckt CCM1 1 2 3 4 5Et 1 2 value={(1-v(5))*v(3,4)/v(5)}Gd 4 3 value={(1-v(5))*i(Et)/v(5)}.ends



28/68

Equivalente promedio de los elementos de conmutación (IV)

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(R3:1,A))

-180d

-90d

0d

SEL>>

DB(V(R3:1,A))-40

0

40

V335Vdc

C21u

IC = 21

L2

2.4mH

IC = 0.35

1 2

R360

0

U1 CCM1

1

2

3

45

A

V40.6Vdc

A

V51Vac0Vdc

V-

V+


29/68

Modelado de convertidores en conducción discontinua (I)

Para modelar un convertidor obtenemos el valor promedio de las variables de estado.

a) En conducción continua las variables promedio son una función continua.

b) En conducción continua no hay restricciones impuestas asumiendo régimen permanente.

En conducción discontinua pueden no cumplirse las condiciones a) y b)


30/68

Ejemplo conducción discontinua

gvBxAx 11 +=& [0, dT]

gvBxAx 22 +=& [dT, (d+d2)T]

gvBxAx 33 +=& [(d+d2)T, T]

t

t

vL

iL

vg

ip

im

dT

(1-d)T

T

v g -vd 2T

t

iD1 i

p

io

vg

L

+ C

D1

Q1v

+

-

Modelado de convertidores en conducción discontinua (II)


31/68


Lv

dtdi gL =

[0, dT]

Lvv

dtdi gL −

=

[dT, (d+d2)T]

[(d+d2)T, T]

CRvi

dtdv L −

=

CRv

dtdv −

=

0=dtdiL

CRv

dtdv −

=

vg

L

+ C

D1

Q1v

+

-

t

t

vL

iL

vg

ip

im

dT

(1-d)T

T

v g -vd 2T

t

iD1 i

p

io

Modelado de convertidores en conducción discontinua (III)


32/68


( )L

vdvdddtid gL 22 −+

=

( )

CRv

dtiT

dtvd

Tdd

dTL

c

−=

∫+ 21

Promedio

¿¿d2??

vg

L

+ C

D1

Q1v

+

-

t

t

vL

iL

vg

ip

im

dT

(1-d)T

T

v g -vd 2T

t

iD1 i

p

io

Modelado de convertidores en conducción discontinua (IV)


33/68

Paradoja del promedio (I)

En conducción discontinua la intensidad inicial y final en cada periodo es cero

Lv

dtdi gL =[0, dT]

[dT, (d+d2)T]L

vvdtdi gL −

=

[(d+d2)T, T] 0=dtdiL

02 =−

+ dL

vvd

Lv gg

g

g

vv

vdd

−=2

vg

L

+ C

D1

Q1v

+

-

t

t

vL

iL

vg

ip

im

dT

(1-d)T

T

v g -vd 2T

t

iD1 i

p

io


34/68

Paradoja del promedio (II)

En conducción discontinua la intensidad inicial y final en cada periodo es cero

Lv

dtdi gL =[0, dT]

[dT, (d+d2)T]L

vvdtdi gL −

=

[(d+d2)T, T] 0=dtdiL

02 =−

+ dL

vvd

Lv gg

g

g

vv

vd

−=2

??0¿¿ =dtid L

vg

L

+ C

D1

Q1v

+

-

t

t

vL

iL

vg

ip

im

dT

(1-d)T

T

v g -vd 2T

t

iD1 i

p

io


35/68

Paradoja del promedio (III)

Utilizar

g

g

vv

vdd

−=2 0=

dtid L

Supone decir que la función <iL> en la siguiente gráfica es constante

Y, sin embargo es

iL

t

t

<iL>


36/68

Paradoja del promedio (IV)

Si la intensidad en la inductancia tiene tiene una componente de baja frecuencia también existirá una componente de baja frecuencia de tensión.

Sin embargo, un muestreador de tensión promedio en cada periodo kT obtiene <vL>(kT)=0

t

t

vL

iL

v g

ip

d T

(1-d )T

T

v g -vd 2T


37/68

Paradoja del promedio (V)

¿Qué ocurre?

a) Se ha asumido d<iL>/dt=0b) No se ha calculado la función continua de <iL>, sino que hemos muestreado <iL> en

cada periodo kT.c) Se ha asumido el valor de <iL> muestreado constante para todo el periodo (hold de

orden cero).d) Se ha muestreado una función con una frecuencia de muestreo igual a la de la

función.e) Se da por hecho que dentro de un periodo la tensión de salida no cambia.


38/68

Orden reducido (I)

Si para realizar el modelo utilizamos la restricción 0=dtid L

El orden del modelo promediado se reduce en 1

( )L

vdvdddtid gL 22 −+

=

RCv

Cid

dtvd L −= 2

¡Aproximación de bajo rizado!

v g

L

+ C

D1

RGv

+

-+

d

iD1

Q1

iQ1

Ro

iL

Se utiliza como ejemplo el convertidor elevador


39/68

Orden reducido (II)

Cálculo sin aproximación de bajo rizado

g

g

vv

vdd

−=2

( )( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−++= ∫

+

TddRvdt

RvdTt

Lvv

LdTv

DTRv

Tdtvd

CTdd

dT

gg211 2

( ) RCv

vvLCTdv

dtvd

g

g −−

=2

22


40/68

Orden reducido (III)

Circuito equivalente (Boost)

0<t<dT: SW1 en ON, SW2 en OFFLtvi gA = iC = 0

DT<t<(D+D2)T: SW1 en OFF, SW2 en ON iC = −iA ( )( )LdTtvv

LdTvi ggC

−−+−=

(D+D2)T<t<T: SW1 en OFF, SW2 en OFF iA = 0 iC = 0

+v g

+v

iA iC

SW1

SW2

MISSCOL


41/68

Orden reducido (IV)

Circuito equivalente (Boost)

Respuesta promedio ( )22ddd

LTvi gA += 22

ddL

Tvi gC −=

Definiendo los parámetros G =T

2L 2

2

ddd

vv

Mg

+==

12

−−=

MGdvi gC

¿Desaparece L del modelo?

+<v >g - <v >g

C RL

<i >A

+

-

<v>

<i >C

MISSCO

2Ld (d +d 2)T d 2G

M-1


42/68

Orden reducido (V)

Circuito equivalentegeneralizado

LTvd

i2

132

1 =

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -

23

213

2

2 2 vLTvd

i −=

dvv

d23

132 −=


43/68

Orden completo (I)

0=dtid L

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -

2312 vvdtdiL L += 0<t<dT: S en ON, D en OFF

23vdtdiL L = dT<t<(d+d2)T: S en OFF, D en ON

0=Li (d+d2)T<t<T: S en OFF, D en OFF


44/68

Orden completo (II)

0=dtid L

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -

dTL

vvddiL23122

2++

=

¡Este modelo considera <vL>=0 y que la tensión media de salida dentro de cada periodo no varía!


45/68

Orden completo (III)

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -

dTL

vvddi DL

−+= 122

2

¡misma expresión que en orden reducido!

23vvv DL +=

Dvv −=23

dv

vvd

vv

dD

D−=−= 12

23

132

Se introduce un nuevo parámetro, ciclo de trabajo equivalente, m, que relaciona la tensión en los semiconductores.

12vv

m D=


46/68

Orden completo (IV)

D2 se calcula con <vL>=0 pero <iL> lo calculamos introduciendo m.Supone una mejora con respecto al orden reducido.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 11

2 12

2

mv

LTdiL

Lvvm

dtid L 1312)1( −−

=

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -

( )RCv

Cim

dtvd L 1212 1 −

−−

−=

Aparece L en el modelo, permite que iL cambie en sucesivos periodos, pero no dentro de cada periodo, la tensión de salida no cambia dentro de cada periodo.


47/68

Orden completo (V)

Modelo de resistencia sin pérdidas (ejemplo Boost, pero el resultado es generalizado)

( )221 1 ddvdvv g −−+=

LTdv

i g

2

2

1 =

( )( )22 1 ddvvdvv g −−−+=

LTddv

i g

22

2 =

g

g

vv

vdd

−=2

gvv =1

gvvv −=2

LTd

vv

vi

g

g

2

22

2 −=

Re p1v1

+

-

i1+

-

v2

i21

1’

2

2’

TdLRe 2

2=

1

v1

d

i1 i2

v2

+ +

- -1’

2

2’


48/68

Orden completo (VI)

Modelo de resistencia sin pérdidas

11 iRv e=TdLRe 2

2=

μμ−

=112 vv

μμ−

=112 iRv e

21

2

viRv

e +=μ

2

2

1

2

2d

viLfd

s +=μ

mm−

=1

μ

<v2> <i1><v1>

++

--

<i1>+

-

<v2>

1

1’

2

2’

μ1-μ

1−μμ

<i2>


49/68

U2 CCM-DCM1

L = 100UFS = 1E5

1

2

3

45

********************************************************************************************************************* MODEL: CCM-DCM1* Application: two-switch PWM converters, CCM or DCM* Limitations: ideal switches, no transformer*********************************************************** Parameters:* L=equivalent inductance for DCM* fs=switching frequency*********************************************************** Nodes:* 1: transistor positive (drain of an n-channel MOS)* 2: transistor negative (source of an n-channel MOS)* 3: diode cathode* 4: diode anode* 5: duty cycle control input**********************************************************.subckt CCM-DCM1 1 2 3 4 5+ params: L=100u fs=1E5Et 1 2 value={(1-v(u))*v(3,4)/v(u)}Gd 4 3 value={(1-v(u))*i(Et)/v(u)}* Ga 0 a value={MAX(i(Et),0)}Ga 0 a value={i(Et)}Va a bRa b 0 10kEu u 0 table {MAX(v(5),+ v(5)*v(5)/(v(5)*v(5)+2*L*fs*i(Va)/v(3,4)))} (0 0) (1 1).ends

Orden completo (VII)

Tomado de ref. 8:R.W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of Power Electronics 2nd edition. Kluwer Academic Publishers. 2001


50/68

1:NU3 CCM-DCM2

L = 100UFS = 1E5

N = 1

1

2

3

45

********************************************************************************************************************* MODEL: CCM-DCM2* Application: two-switch PWM converters, CCM or DCM* with (possibly) transformer* Limitations: ideal switches*********************************************************** Parameters:* L=equivalent inductance for DCM, * referred to primary* fs=switching frequency* n=transformer turns ratio 1:n (primary:secondary)*********************************************************** Nodes:* 1: transistor positive (drain of an n-channel MOS)* 2: transistor negative (source of an n-channel MOS)* 3: diode cathode* 4: diode anode* 5: duty cycle control input**********************************************************.subckt CCM-DCM2 1 2 3 4 5+params: L=100u fs=1E5 n=1Et 1 2 value={(1-v(u))*v(3,4)/v(u)/n}Gd 4 3 value={(1-v(u))*i(Et)/v(u)/n}* Ga 0 a value={MAX(i(Et),0)}Ga 0 a value={i(Et)}Va a bRa b 0 10KEu u 0 table {MAX(v(5),+ v(5)*v(5)/(v(5)*v(5)+2*L*n*fs*i(Va)/v(3,4)))}(0 0) (1 1).ends

Orden completo (VIII)

Tomado de ref. 8:R.W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of Power Electronics 2nd edition. Kluwer Academic Publishers. 2001


51/68

Modelo continuo (I)

Se trata de obtener d2 sin que intervenga <vo>, de esta forma vo puede variar dentro del periodo.

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -dtid

LdvdvvL3

22313 =+=

231 dd

dii+

=

2

232 dd

dii+

=

dvv

d23

132 −= d

dTvLi

d −=13

32

2

<i3> se obtiene integrando <vL>


52/68

Modelo continuo (II)

L

D1 2

3

Si1 i2

i3v13

v23

v12+

+ +

- -

-

vL

+

-

vD+ -

Circuito equivalente

+-

<vL>

L

rL

<i3>

<i1> <i2>

<i3>

1 2

3


53/68

Simulación

RLoad{RLoad}<BiasValue Power>

a

VDon

{VDon}<BiasValue Power>

+

-

Resr{Resr}<BiasValue Power>

0

Gb

V(Don)*I(Lmain)/(V(Don)+V(Doff))

GVALUE

<BiasValue Power>

OUT+OUT-

IN+IN-

EL

(V(Don)*V(a,b)+V(Doff)*V(a,c))

EVALUE

<BiasValue Power>OUT+OUT-

IN+IN-

EDoff

min(2*I(Lmain)*Lmain/(Ts*v(a,b)*V(Don))-V(Don),1-V(Don))

etable

<BiasValue Power>OUT+OUT-

IN+IN-

Gc

V(Doff)*I(Lmain)/(V(Don)+V(Doff))

GVALUE

<BiasValue Power>

OUT+OUT-

IN+IN-

Dbreak

Dmain<BiasValue Power>

0

PARAMETERS:FS = 100kTS = {1/fs}

Rsw{Rsw}<BiasValue Power>

Cout{Cout}

outVin_pulse<BiasValue Power>

+-Lmain

{Lmain}<BiasValue Power>

Don

Boost.sch

Doff

b

Vin_DC

{Vin_DC}<BiasValue Power>+

- PARAMETERS:LMAIN = 75uCOUT = 220uRLOAD = 10

SIM-Model under CCM & DCM for PWM Boost converter

PARAMETERS:VIN_DC = 10vVDON = 0.5

PARAMETERS:RESR = 0.07RINDUCTOR = 0.1RSW = 0.1

c

1

Ga

I(Lmain)GVALUE

<BiasValue Power>

OUT+OUT-

IN+IN-

Vexcitation

1V

<BiasValue Power>

+-

Rinductor

{Rinductor}

<BiasValue Power>

Tomado de Ref. 9:S. Ben Yaakov "Computer aided design of power factor correction systems" Professional education seminars workbook. Vol. III. Seminar 11. APEC`03


54/68

Reguladores lineales (I)

-

+

R

C

Vo

ViRb

Vref

ωc

ω

ωc

ω

0o

-90o

-180o

0-20dB/dec

( )RCs

sGc1

= ωc =1

RC

Tipo 1


55/68

Reguladores lineales (II)

Tipo 2

-

+Vo

ViRb

Vref

R1

C1R2

C2

ωz

ω

ωc

ω

0o

-90o

-180o

ΔV -20dB/dec

ωp

-20dB/dec0dB/dec

( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

++

=1

11

21

221

21

121

CCRCCss

RsCRCC

sGc

ωz =1

R2C1ωp =

1R2

C1 + C2

C1C2ΔV =

C1R2

C1 + C2( )R1

C2 << C1En este regulador y para ello , por lo que ωz < ω pωp ≅

1R2C2

ΔV ≅R2

R1


56/68

Reguladores lineales (III)

Tipo 3

-

+Vo

ViRb

Vref

R1

C1R2

C2

C3 R3

ωz1

ω

ω

+90o

0o

-90o

ΔV1

-20dB/dec-20dB/dec+20dB/dec

ΔV2

ωz2 ωp1 ωp2

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )11

111

3321

221

31321

121 +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

++++

=RsC

CCRCCss

RRsCRsCRCC

sGc

ωz1 =1

R2C1ωz2 =

1R1 + R3( )C3

ωp1 =1

R3C3

ωp 2 =1

R2

C1 + C2

C1C2

;

;

;ΔV1 =

C1R2

C1 + C2( )R1

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]12133

313212 RCCRC

RRCRCV

++

=Δ

ωz < ω p C2 << C1ωp 2 ≅

1R2C2

ΔV1 ≅R2

R1ΔV2 ≅

R2 R1 + R3( )R1R3

R3 << R1ΔV2 ≅

R2

R3si entonces


57/68

Cálculo del regulador en función del factor kLa frecuencia de corte a la que la ganancia global G(s)Gc(s) deberá tener ganancia unidad es ωco. Para obtener el máximo margen de fase .Tomando en el regulador de tipo 3 ωz1=ωz2=ωz y ωp1=ωp2=ωp, se define tanto para el regulador tipo 2 como para el tipo 3

Regulador tipo 2El adelanto de fase provocado por el cero en ωco es . El retraso de fase provocado por el polo en ωco es .El retraso total de la función Gc(s) es .

Conocido el retraso debido a la etapa de potencia y filtro G(s), y adoptando un valor para el margen de fase, MF se obtiene el valor del factor k de:El MF aumenta si se elige un valor de k superior. El factor k sitúa las frecuencias ωz y ωp y por tanto los valores de los componentes del regulador. La ganancia de H(s) tiene que ser tal que a ωco G(s)Gc(s)H(s)=0dB

Regulador tipo 3El adelanto de fase provocado por el cero doble en ωco es . El retraso de fase provocado por el polo doble en ωco es . El retraso total de la función Gc(s) es .El MF aumenta si se elige un valor de k superior. El factor k sitúa las frecuencias ωz y ωp y por tanto los valores de los componentes del regulador. La ganancia de Gc(s) tiene que ser tal que a ωco G(s)Gc(s)H(s)=0dB

Reguladores lineales (IV)

ωco = ω zω p

ωco

ωz=

ωp

ωco= k

θld = tan−1 kθ lag = tan −1 1

k⎛ ⎝

⎞ ⎠

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= −−

kko

sGc

1tantan90 11θ

( ) ( )o

sGsG MFc

180≤++θθ

θld = 2 tan−1 k

θ lag = 2 tan−1 1k

⎛ ⎝

⎞ ⎠

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= −−

kko

sGc

1tan2tan290 11θ ( ) ( )o

sGsG MFc

180≤++θθ


58/68

+

vg(t)

-

iC

R

L

iR+

v(t)

-

M

iM

C

iD

iL

-+

vref

Gc(s)PWMDriver

δ(t) vc(t) ε(t)

Ejemplo de diseño (I)

( )divftv Rg ,,)( =)(tvg

)(tiR

)(tdPWM

H(s)

)(tv

Convertidor

Gc(s))(tve )(tvcrefv

+-

perturbaciones

control


59/68

Ejemplo de diseño (II)

Modelo en pequeña señal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )siZsvsGsdsGsv acoutgvgvd argˆˆˆˆ −+=

( ) ( )( )

0ˆ0ˆ

arg

ˆˆ

==

=

ac

giv

vd sdsvsG ( ) ( )

( )0ˆ

0ˆ

arg

ˆˆ

==

=

acidg

vg svsvsG ( ) ( )

( )0ˆ

0ˆargˆ

ˆ

==

−=

gvdac

out sisvsZ

)(ˆ svg

)(ˆ)( sdse)(:1 DM

+

-

- +

C)(ˆ)( sdsj

eL

R )(ˆarg si ac

+

-

)(ˆ sv


60/68

Ejemplo de diseño (III)

)(ˆ svg

)(ˆ)( sdse)(:1 DM

+

-

- +

C)(ˆ)( sdsj

eL

R )(ˆarg si ac

+

-

)(ˆ sv

-+ Gc(s) PWM1/VM

H(s)

Sensor

)(ˆ)( svsH

)(ˆ sve)(ˆ svref )(ˆ svc

)(ˆ sd


61/68

Ejemplo de diseño (IV)

-+ Gc(s) PWM1/VM

H(s)

Sensor

)(ˆ)( svsH

)(ˆ sve)(ˆ svref )(ˆ svc )(ˆ sd

Gvd(s)

Gvg(s)

Zout(s)

)(ˆ svg

-

+

+

)(ˆarg si ac

)(ˆ sv

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mvdc

outac

Mvdc

vgg

Mvdc

Mvdcref VsGsGsH

ZiVsGsGsH

Gv

VsGsGsHVsGsGsvsv

+−

++

+=

1ˆ

1ˆ

1ˆˆ arg

Convertidor

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )sTZi

sTG

vsT

sTsH

svsv outac

vggref +

−+

++

=1

ˆ1

ˆ1

1ˆˆ arg

( ) ( ) ( ) ( ) Mvdc VsGsGsHsT = Ganancia del bucle


62/68

+

vg(t) = 28V

-

iC

R=3Ω

L = 50μH

iR+

v(t)

-

M

iM

C=500μF

iD

iL

-+

Vref=5V

Gc(s)PWMDriver

δ(t) vc(t) ε(t)VM=4V

fs=100kHz

H(s) Sensor

En régimen permanenteVg=28VV=15V, IR=5AD=15/28=0,536Vref=5VVc=DVM=2,14VH=Vref/V=5/15=1/3

Ejemplo de diseño (V)


63/68

Ejemplo de diseño (VI)

)(ˆ svg

)(ˆ2 sd

DV

D:1

+

-

- +

C)(ˆ sd

RV

L

R )(ˆarg si ac

+

-

)(ˆ sv

-+ Gc(s) PWM

Sensor

)(ˆ)( svsH

)(ˆ sve0)(ˆ =svref)(ˆ svc

)(ˆ sd

411

=MV

31)( =sH

)(sT


64/68

V10Vac0Vdc

0

1:N

U1 IDEALTRAN

N = 0.536

12

34

L1

50u

1 2

C1500u

R13

-+

+-

E1

E

GAIN = 0.33

0

V31Vac0Vdc

0

- ++-

E2E

GAIN = 52.24

d

0

d +-

G1

G

GAIN = 5

d

V

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(E1:3))

-180d

-90d

0d

SEL>>

DB(V(E1:3))-80

-40

0

40

Ejemplo de diseño (VII)


65/68

-+

+-

E3

E

GAIN = 0.25

1+9.25e-5*s1 + 1.1e-5*s

V41Vac0Vdc

0

3.7

0

1+3.18e-4*s3.18e-4*s

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(E1:3)) P(V(E3:3))

-180d

-90d

0d

90d

P(V(E3:3))

DB(V(E1:3)) DB(V(E3:3))-80

-40

0

40

SEL>>

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(E1:3))

-180d

-90d

0d

SEL>>

(5.1855K,-132.371)

DB(V(E1:3))

-40

0

40

(5.1855K,41.954m)

Polo en el origen + ceroAlta ganancia a baja frecuencia

Cero + poloMargen de fase

Ganancia0dB a ωco

Ejemplo de diseño (VIII)


66/68

Conclusiones comentarios finales1.- Los convertidores conmutados son procesadores digitales de energía2.- Para tratarlos como sistemas LTI se debe trabajar con un ancho de banda suficientemente inferior a la frecuencia de conmutación.3.- El modelado promedio permite tratar un sistema conmutado como un sistema continuo, pero hace perder información sobre distorsión y desfase.4.- Para obtener una buena regulación se requiere analizar la función de transferencia de todo el lazo de regulación, T(s), para:

Obtener la más alta frecuencia de corte, compatible con el punto 2.Margen de fase de al menos 50º para evitar respuestas oscilatoriasAlta ganancia de T(s) a baja frecuencia, para reducir el error y el efecto de las perturbaciones

5.- Una buena regulación requiere una buena referencia, inmune a ruido, temperatura, etc…6.- Además de regular en modo tensión, es habitual utilizar la regulación en modo corriente y un doble bucle; modo corriente interno y modo tensión externo que puede dotar al sistema de mayor robustez con reguladores sencillos.7.- En determinados sistemas es interesante plantear un control en modo potencia.8.- Se puede obtener un ancho de banda de mayor frecuencia utilizando reguladores no lineales, p.e. One cyclecontrol.9.- Para realizar reguladores digitales sin mayores prestaciones que los analógicos, cabe traducir la función de transferencia del modelo promediado del dominio s al dominio z diseñar el regulador correspondiente considerando el retraso de fase del tiempo de actualización de dato.10.- Para obtener mayores prestaciones cabe tratar directamente la fuente conmutada como un sistema digital y diseñar reguladores digitales no lineales.


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Referencias (I)

1. Jian Sun, Daniel M: Mitchell, Matthew F. Greuel, Philip T. Krein and Richard M. Bass. Modeling of PWM Converters in Discontinuous Conduction Mode – A Reexamination. Proc. of the IEEE PESC’98 pp. 615 –622. 1998

2. Sam Ben – Yaakov, Dov Wulich, William M. Polivka. Resolution of an Averaging Paradox in the Analysis ofSwitched –Mode DC-DC Converters. IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems. Vol. 30 No. 2 pp.626-632. April 1994

3. Billy Y. Lau and R.D. Middlebrook. Small-Signal Frequency Response Theory for Piecewise-Constant Two-switched-network DC-to-DC Converter Systems IEEE PESC 1986. pp. 186-200.

4. R.D. Middlebrook. Small-Signal Modeling of Pulse-Width Modulated Switched-Mode Power Converters. Proc. Of the IEEE, Vol. 76, No.4 April 1988. Pp.343-354.

5. Dragan Maksimovic and Slobodan Cuk. A Unified Analysis of PWM Converters in Discontinuous Modes. IEEE Trans. on Power Electronics Vol.6 No.3 July 1991. pp.476-490

6. Dragan Maksimovic. Computer-Aided Small-Signal Analysis Based on Impulse Response of DC/DC Switching Power Converters. IEEE Trans. on Power Electronics Vol.15 No.6 Nov. 2000. pp.1183-1191

7. Yim-Shu Lee. Computer-Aided Analysis and Design of Switch-Mode Power Supplies. Marcel Dekker 1993.

8. R.W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of Power Electronics 2nd edition. Kluwer AcademicPublishers. 2001

9. S. Ben Yaakov "Computer aided design of power factor correction systems" Professional education seminars workbook. Vol. III. Seminar 11. APEC`03


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Referencias (II)

10. N. Mohan, T.M. Undeland, W.P. Robbins. Power Electronics: Converters, Applications and Design. John Wiley & Sons. 1995. 2ª Edición

11. J.G. Kassakian, M.F. Schlecht y G.C. Verghese. Principles of Power Electronics. Addison Wesley Publishing Company. 1991

12. Rashid, M.H. Power Electronics. Circuits, Devices and Applications . Prentice Hall. 1993, 2ª Edición.

13. Francisco J. Azcondo, Christian Brañas, Rosario Casanueva, Dragan Maksimovic. Approaches to Modeling Converters with Current Programmed Control. Proc. of the 1st Power Electronics Education Workshop, PEEW 2005-PESC05. pp. 98- 104. ISBN: 0-7803-9002-4.

14. P. T. Krein, Elements of Power Electronics. New York and Oxford: Oxford University Press, 1998

15. The Student Edition of MATLAB V.4. The Math Works. Prentice Hall, 1995

16. The Student Edition of SIMULINK. The Math Works. Prentice Hall, 1996

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