Modelado transformador trifasico

CAPITULO 4

MODELADO DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS

4.1 INTRODUCCION Los transformadores de potencia son los elementos que permiten la transferencia de energía, desde los centros de generación a la red de transmisión (transformadores elevadores de tensión), y de esta hacia las redes de distribución (transformadores reductores de tensión), a fin de que se suministre bajo valores de tensión directamente utilizables por los consumidores finales. Por tal motivo, es importante obtener modelos de estos dispositivos a fin de estar en condiciones de conformar redes eléctricas de potencia con diferentes partes operando con su propio nivel de tensión. En este capítulo, se aplica lo presentado en el Capítulo 3, en lo referente a la manera de obtener la matriz de admitancias nodal para circuitos trifásicos acoplados magnéticamente, a fin de obtener los modelos de transformadores trifásicos. Para esto, se aplica los conceptos presentados en el Capítulo 2 para transformadores monofásicos. Con el objeto de simplificar los modelos de estos dispositivos, normalmente se ha supuesto que el transformador trifásico opera bajo condiciones de balance, lo cual en la mayoría de situaciones prácticas se justifica, permitiendo el uso de modelos matemáticos en función de sus componentes de secuencia desacopladas entre sí. Sin embargo, más recientemente, se ha desarrollado métodos para que todas las conexiones de los transformadores sean modeladas exactamente mediante el uso de la técnica de coordenadas de fase, la cual no requiere de suposiciones matemáticas, aunque todavía se recurre a justificaciones físicas para obtener modelos relativamente simples y precisos. 4.2 MATRIZ DE ADMITANCIAS PRIMITIVAS

DEL TRANSFORMADOR TRIFÁSICO La matriz de admitancias primitiva, usada como base para el modelo del transformador en coordenadas de fase, se obtiene de la red desconectada y utilizando el procedimiento de transformación lineal descrito anteriormente, se calcula la matriz de admitancias nodal. En general, un transformador trifásico de dos devanados consistirá de 6 admitancias acopladas magnéticamente entre sí, tal como lo muestra la Figura 4.1.

CAPITULO 4 MODELADO DE TRANSFORMADORES TRIFASICOS

Especialización en Sistemas Eléctricos de Potencia CFE/ITM-PGIIE José Horacio Tovar Hernández ©2007 88

Figura 4.1 Transformador trifásico de dos devanados. El conjunto de ecuaciones relacionando voltajes y corrientes de rama es el siguiente:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

i

i

i

i

i

i

(4.1)

donde los elementos de la matriz de admitancias primitiva pueden medirse directamente. Por ejemplo, mediante la energización del devanado i y cortocircuitando todos los demás devanados, se determina la i-ésima columna de la matriz, mediante la expresión siguiente:

i

kki v

iy = (4.2)

Considerando que los acoplamientos mutuos son recíprocos, se requeriría 21 mediciones para obtener la matriz de admitancias primitiva. Además, suponiendo que las trayectorias de flujo también están simétricamente distribuidas, la ecuación matricial (4.1) se simplifica a la siguiente:

2v 2i

5v 5i

3v 3i

6v 6i

1v 1i

4v 4i



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

i

i

i

i

i

i

s'''

m'''

mm''m

''m

'''ms

'''m

''mm

''m

'''m

'''ms

''m

''mm

m''m

''mp

'm

'm

''mm

''m

'mp

'm

''m

''mm

'm

'mp

(4.3)

donde:

'my = admitancia mutua entre devanados del primario.

''my = admitancia mutua entre los devanados primario y secundario y fases distintas.

'''

my = admitancia mutua entre devanados del secundario. Para tres unidades monofásicas separadas, todas las admitancias anteriores tienen magnitudes relativamente pequeñas, de modo que (4.3) se simplifica a:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

yy

yy

yy

yy

yy

yy

i

i

i

i

i

i

sm

sm

sm

mp

mp

mp

(4.4)

En unidades de transformación trifásicas, las admitancias '

my , ''my y '''

my , representando acoplamientos entre fases distintas no pueden despreciarse. Si los valores en (4.3) son conocidos, entonces esta interpretación de la red primitiva debe usarse. Si el acoplamiento entre fases distintas puede despreciarse, el acoplamiento entre devanados primarios y secundarios de la misma fase puede modelarse usando (4.4), cuya red desconectada se muestra en la Figura 4.2.



Figura 4.2 Red primitiva de un transformador trifásico despreciando los acoplamiento mutuos entre fases distintas.

De acuerdo a lo descrito en la sección 2.4, donde los transformadores tienen una relación de transformación por devanado, se puede generalizar el caso de la Figura 4.2 de la forma siguiente:

2i

piy

yα

= ; 2j

sjy

yβ

= ; ji

ijy

Mβα

= para i = 1, 2, 3 y j = 4, 5, 6. (4.5)

La nueva ecuación matricial relacionando corrientes y voltajes de rama es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

663

552

441

363

252

141

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

yM

yM

yM

My

My

My

i

i

i

i

i

i

s

s

s

p

p

p

(4.6)

4.3 TRANSFORMADORES CON CONEXIONES COMUNES La matriz de admitancias nodal para cualquier transformador trifásico de dos devanados puede formarse usando la transformación lineal de coordenadas de fase. 4.3.1 Transformador Estrella-Aterrizada/Estrella-Aterrrizada Este tipo de transformador puede representarse por el circuito de la Figura 4.3.

M25ys5y p2

i2 i5

M36 ys6y p3

i3 i6

M14 ys4 y p1

i1 i4



Figura 4.3 Circuito de un transformador estrella-aterrizada/estrella-aterrizada.

Observando este circuito, se nota que los voltajes nodales son iguales a los de rama, de modo que se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

c

b

a

V

V

V

V

V

V

v

v

v

v

v

v

1

1

1

1

1

1

6

5

4

3

2

1

(4.6)

Aplicando la transformación lineal CyCY prim

tnodal = , y debido a que C es diagonal, se

obtendrá que la matriz de admitancias nodal será igual a las matrices (4.3) o (4.4), dependiendo si se trata de un transformador trifásico o un banco de tres transformadores monofásicos. 4.3.2 Transformador Trifásico Estrella-Aterrizada/Delta El circuito de un transformador de este tipo se muestra en la Figura 4.4.

Figura 4.4 Transformador estrella-aterrizada/delta.



La relación de voltajes y corrientes de rama es la siguiente:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

c

b

a

V

V

V

V

V

V

v

v

v

v

v

v

11

11

11

1

1

1

6

5

4

3

2

1

(4.7)

Utilizando la expresión (4.3) para definir a la matriz de admitancias primitivas, y substituyendo en CyCY prim

tnodal = , se obtiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

11

11

11

1

1

1

11

11

11

1

1

1

s'''

m'''

mm''m

''m

'''ms

'''m

''mm

''m

'''m

'''ms

''m

''mm

m''m

''mp

'm

'm

''mm

''m

'mp

'm

''m

''mm

'm

'mp

nodal

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

Y

( )( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

+−+

++−

++−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

'''mss

'''mm

''m

''m

s'''

m'''

ms''mm

''m

s'''

m'''

ms''m

''mm

''mm

''mmp

'm

'm

''mm

''mm

'mp

'm

''mm

''mm

'm

'mp

nodal

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

Y

0

0

0

0

0

0

11

11

11

1

1

1

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+−+

−−−+−+

−−−++−

+−+

++−

++−

=

'''mss

'''ms

'''mm

''mm

''m

s'''

m'''

mss'''

mm''mm

''m

s'''

ms'''

m'''

msm''m

''mm

''mm

''mmp

'm

'm

''mm

''mm

'mp

'm

''mm

''mm

'm

'mp

nodal

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

Y

20

20

20

0

0

0

…(4.8)



En el sistema por unidad, la relación de voltajes de rama y voltajes nodales está dada por la ecuación matricial siguiente:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

c

b

a

V

V

V

V

V

V

v

v

v

v

v

v

31

31

31

3131

31

1

1

1

6

5

4

3

2

1

(4.9)

Entonces, la matriz de admitancias nodal será la siguiente:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

31

31

31

3131

31

1

1

1

31

313

131

31

31

1

1

1

s'''

m'''

mm''m

''m

'''ms

'''m

''mm

''m

'''m

'''ms

''m

''mm

m''m

''mp

'm

'm

''mm

''m

'mp

'm

''m

''mm

'm

'mp

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

+−+

++−

++−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

'''mss

'''mm

''m

''m

s'''

m'''

ms''mm

''m

s'''

m'''

ms''m

''mm

''mm

''mmp

'm

'm

''mm

''mm

'mp

'm

''mm

''mm

'm

'mp

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

310

31

31

310

03

13

13

103

13

13

10

03

131

31

313

131

31

31

1

1

1



De aquí, la matriz de admitancias nodal del transformador estrella-aterrizada/delta resulta en como sigue:

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+−

+

−−−+−

+

−−−++−

+−

+

++−

++−

'''mss

'''ms

'''m

''mm

''mm

s'''m

'''mss

'''m

''mm

''mm

s'''ms

'''m

'''msm

''m

''mm

''mm

''mmp

'm

'm

''mm

''mm

'mp

'm

''mm

''mm

'm

'mp

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyy

yyyyyy)yy(yy

yy)yy(yyy

yyyyyyy

yyyyyyy

32

31

31

31

310

31

32

310

31

31

31

31

32

310

31

31

03

13

1310

03

131

… (4.10) En el caso particular de un banco formado por tres unidades monofásicas, todos los términos 'y ,

''y y '''y desaparecen, resultando el siguiente conjunto de ecuaciones nodales:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

C

B

A

c

b

a

C

B

A

c

b

a

V

V

V

V

V

V

yyyyy

yyyyy

yyyyy

yyy

yyy

yyy

I

I

I

I

I

I

32

3333

332

333

3332

33

33

33

33

(4.11)

donde y es la admitancia de encadenamiento del transformador, expresada en p.u. Para este modelo de admitancias, es posible obtener el circuito libre de acoplamientos mutuos mostrado en la Figura 4.5.



Figura 4.5 Circuito equivalente libre de acoplamientos magnéticos del transformador estrella-aterrizada/delta.

En general, cualquier transformador trifásico de dos devanados puede representarse usando dos admitancias compuestas acopladas magnéticamente, tal como se muestra en la Figura 4.6.

Figura 4.6 Transformador trifásico de dos devanados usando el concepto de admitancias compuestas. Las relaciones matriciales nodales para este circuito son:

3y

3y

3y−

3y

3y

3y

3y

3y−y

y y

3y−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

psy

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ssy⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ppy

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

pi ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

si

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

spy⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sv ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

pv



⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

s

p

sssp

pspp

s

p

V

V

yy

yy

I

I

(4.12)

donde:

t

spps yy ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ (4.13)

De acuerdo a la matriz dada en la ecuación (4.8), para el caso del transformador estrella-aterrizada/delta, se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

p'm

'm

'mp

'm

'm

'mp

pp

yyy

yyy

yyy

y (4.14)

[ ]( )

( )( )⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−−−−

=

s'''

ms'''

ms'''

m

s'''

ms'''

ms'''

m

s'''

ms'''

ms'''

m

ss

yyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

y

2

2

2

(4.15)

[ ]( )

( )( )⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

++−

++−

=

m''mm

''m

m''mm

''m

m'''

mm''m

ps

yyyy

yyyy

yyyy

y

0

0

0

(4.16)

[ ]( )

( )( )⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+−+

++−

=

m''mm

''m

m''mm

''m

m''mm

''m

sp

yyyy

yyyy

yyyy

y

0

0

0

(4.17)



Usando el sistema en por unidad, y suponiendo que se tiene un banco de transformadores monofásicos, las expresiones anteriores pueden escribirse de la manera siguiente:

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

y

y

y

Yy Ipp (4.18)

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

==

yyy

yyy

yyy

Yy IIss

2

2

2

31

31 (4.19)

de donde:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

yyy

yyy

yyy

Y II

2

2

2

(4.20)

Además,

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

==

yy

yy

yy

Yy IIIps3

13

1 (4.21)

donde:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

yy

yy

yy

Y III (4.22)

Nótese que estas matrices pueden combinarse para obtener los modelos de transformadores trifásicos de dos devanados libres de acoplamientos magnéticos. La Tabla 4.1 resume los casos que pueden existir.



Tabla 4.1 Submatrices para circuitos equivalentes libres de acoplamientos magnéticos de bancos de transformadores trifásicos con conexiones comunes.

Conexiones del Transformador Admitancias Propias Admitancias Mutuas

Nodo p

Nodo s ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ppy ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ssy ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

psy

Estrella-aterrizada Estrella-aterrizada IY IY - IY Estrella-aterrizada Estrella 3IIY 3IIY - 3IIY Estrella-aterrizada Delta IY IIY /3 IIIY 3/

Estrella Estrella 3IIY 3IIY - 3IIY Delta Estrella 3IIY IIY IIIY Delta Delta IIY IIY - IIY Las matrices anteriores deben modificarse para considerar, si es el caso, las relaciones de transformación no nominales como sigue: • Dividir las matrices relacionadas con el lado primario entre 2α . • Dividir las matrices relacionadas con el lado primario entre 2β . • Dividir las matrices relacionadas con el lado primario entre βα . • Además, debe hacerse notar que en el sistema en por unidad, los devanados en delta tienen

una relación de transformación adicional de 3 .

Aplicando la transformación de componentes simétricas a las matrices del transformador estrella- aterrizada/delta, se obtiene los modelos en las secuencias cero, positiva y negativa. Los resultados son los siguientes:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+

=

'mp

'mp

'mp

pp

yy

yy

yy

y

2

012 (4.23)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

'''ms

'''msss

yy

yyy

0

012 (4.24)



[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠+−

∠+−=

o

o

30

30

0

012

)yy(

)yy(y

m''m

m''m

ps (4.25)

Nótese que en el caso del circuito equivalente de secuencia cero, existirá un circuito abierto entre los nodos primario y secundario del transformador, aunque existe una trayectoria a tierra a partir del nodo primario p. Esto puede corroborarse, si se construye la submatriz de admitancias nodal de secuencia cero:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

00

02

00

'mp yy

Y (4.26)

donde se observa claramente que no hay una admitancia de transferencia entre los nodos primario y secundario, tal como ocurre con las otras secuencias, cuyas matrices de admitancias nodal son las siguientes:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠+−

∠+−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

'''ms

''mm

''mm

'mp

yy)yy(

)yy(yyY

o

o

30

3011 (4.27)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−∠+−

−∠+−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

'''ms

''mm

''mm

'mp

yy)yy(

)yy(yyY

o

o

30

3022 (4.28)

Los circuitos equivalentes de secuencia de un transformador estrella-aterrizada/delta serían los mostrados en la Figura 4.7.



(a)

(b)

(c)

Figura 4.7 Circuitos de (a) secuencia cero, (b) secuencia positiva y

(c) secuencia negativa del transformador estrella-aterrizada/delta. En general, las tres impedancias de secuencia son distintas cuando el transformador es trifásico. La complejidad de estos modelos es normalmente eliminada mediante las siguientes simplificaciones:

( )'y ym m+ ∠30o

( ) ( )' ''y y y yp m m m− − + ∠30o ( ) ( )''' ''y y y ys m m− − + ∠30o

( )'y ym m+ ∠ − 30o

( ) ( )' ''y y y yp m m m− − + ∠ − 30o ( ) ( )''' ''y y y ys m m− − + ∠ − 30o

y yp m+ 2 '

p s



• Los desfasamientos de 30o de las conexiones estrella/delta son ignorados. • Las admitancias de acoplamiento mutuo entre fases distintas se suponen iguales:

y y ym m m' '' '''= = , o son cero para bancos de transformación monofásicos.

• Las diferencias ( )y yp m− y ( )y ys m− son muy pequeñas y pueden ser ignoradas. Con estas suposiciones, los circuitos de secuencia de transformadores monofásicos se simplifican a los mostrados en la Figura 4.8, donde la impedancia es la impedancia de corto circuito del transformador. (a) (b)

(c) (d) (e) (f)

Figura 4.8 Modelos simplificados de los circuitos de secuencia de transformadores trifásicos: (a) Secuencia positiva para cualquier tipo de conexión. (b) Secuencia negativa para cualquier tipo de conexión. (c) Secuencia cero para la conexión estrella-aterrizada/estrella-aterrizada. (d) Secuencia cero para las conexiones estrella-aterrizada/estrella y estrella/delta. (e) Secuencia cero para la conexión estrella-aterrizada/delta. (f) Secuencia cero para las conexiones estrella/estrella y delta/delta.

zsc p s zsc p s

zsc p s

zsc p s zsc p s

zsc p s



4.4 BANCOS DE TRANSFORMACION DE TRES DEVANADOS Los transformadores con tres devanados en el mismo núcleo son encontrados frecuentemente en sistemas eléctricos, sobre todo en las interfaces entre las redes de transmisión y de distribución. Cada devanado normalmente está a distinto nivel de tensión, con al menos un conjunto conectado en delta en el terciario, a fin de suprimir las armónicas múltiplos de tres y el aterrizaje del sistema. Dos designaciones comunes han sido usadas a través de los años para estos tres devanados:

(1) H: voltaje alto, M: voltaje medio y L: voltaje bajo. (2) H: voltaje alto, T: voltaje del terciario y L: voltaje bajo.

Semejante que en los transformadores de dos devanados, la impedancia de enlace puede medirse entre pares de devanados, de manera que:

MHHM ZZZ += (4.29) donde HMZ es la impedancia vista en el devanado H con el devanado M cortocircuitado y el devanado L abierto. Similarmente:

LHHL ZZZ += (4.30) donde HLZ es la impedancia vista en el devanado H con el devanado L cortocircuitado y el devanado M abierto. Adicionalmente:

LMML ZZZ += (4.31) donde MLZ es la impedancia vista en el devanado M con el devanado L cortocircuitado y el devanado H abierto. Normalmente, estas tres impedancias las proporciona el fabricante o pueden determinarse mediante pruebas. El fabricante da estos valores en porcentaje sobre los nominales de potencia en kVA (MVA) y de voltaje en kV de los dos devanados involucrados, de modo que no están dados sobre una base común. El primer paso es convertirlos a una base común, la cual usualmente es la base del sistema. Sobre una base común, cada una de las ramas de un circuito equivalente en estrella representan la transferencia de potencia entre terminales de los tres devanados son:

( )MLHLMHH ZZZZ −+=21 (4.32)



( )HLMLMHM ZZZZ −+=21 (4.33)

( )HMHLMLL ZZZZ −+=21 (4.34)

Cada uno de estos equivalentes puede ser cero o negativo y tiene que ser usado en esa forma. La estrella es un equivalente matemático entre las tres terminales y es válido únicamente para evaluar niveles de carga o fallas conectadas ya sea en tales terminales o fuera de ellas. Es importante reconocer que el punto común de la estrella es un nodo ficticio y no representa al neutro del sistema o cualquier otro punto físico del transformador. Después de resolver para estas tres ramas, puede verificarse los resultados, realizando las operaciones indicadas en las ecuaciones (4.29)-(4.33), sumando las impedancias equivalentes de cualquier par de ellas. Circuitos de Secuencia de Transformadores con Tres Devanados Las impedancias de secuencia y conexiones para los bancos de transformadores de tres devanados son una combinación de los circuitos presentados en la sección anterior. Los valores de secuencias positiva y negativa son independientes del tipo de conexión en los bancos. Las impedancias de secuencia cero toman el valor ya sea igual al de secuencia positiva o infinito, dependiendo de si las conexiones de banco permiten el flujo de corriente de secuencia cero. Si un valor de secuencia cero resulta algo diferente, es debido a que la construcción del transformador se define similarmente a la de transformadores de dos devanados. Ejemplo 1. Cálculo del circuito equivalente de un transformador de tres devanados en estrella con nodo común ficticio. Considere el transformador de tres devanados de 230 kV en estrella, 115 kV en estrella y 13.2 kV en delta, el cual es mostrado en la Figura 4.9(a), mientras que su equivalente es mostrado en la Figura 4.9(b). Las reactancias de los tres devanados son:

HMX = 5.5% con 150 MVA nominales.

HLX = 36% con 150 MVA nominales.

MLX = 28% con 150 MVA nominales. Como ya se explicó anteriormente, el primer paso es expresar estas reactancias con respecto a una base común, las cual es normalmente la base del sistema que, para este ejemplo, se establece como de 100 MVA.



(a) (b) Figura 4.9 Banco de transformación de tres devanados. (a) Arreglo físico (b) Circuito equivalente en estrella con un nodo ficticio en el punto común. Entonces, primeramente estas reactancias se expresan en términos de una base común:

( ) 0366700550150100 ..X HM == pu

( ) 2403600150100 ..X HL == pu

( ) 1866702800150100 ..X ML == pu

Aplicando las ecuaciones (4.43)-(4.45), se tiene:

L H

M

F

HZ LZ

MZ

H

L

M

MV

LV

HV



( ) 0450018667024003667021 .j...jZ H =−+= pu

( ) 00833024018667003667021 .j...jZ M −=−+= pu

( ) 1950003667018667024021 .j...jZ L =−+= pu

Entonces, el circuito equivalente será el mostrado en la Figura 4.9(b), con los parámetros obtenidos arriba. Ejemplo 2. Cálculo del circuito equivalente de un transformador de tres devanados donde una de las impedancias equivalentes es cero. Para este ejemplo, considere un transformador de tres devanados de 230 kV en estrella, 115 kV en estrella y 13.2 kV en delta, cuyas reactancias son las siguientes:

HMX = 10% con 30 MVA nominales.

HLX = 6% con 10 MVA nominales.

MLX = 14% con 15 MVA nominales. Considerando una base común de 100 MVA, estas reactancias se expresan en por unidad como sigue:

( ) 33333010030

100 ..X HM == pu

( ) 6006010

100 ..X HL == pu

( ) 93333014015

100 ..X ML == pu

Ahora, calculando las impedancias equivalentes del circuito:

( ) 09333306033333021 j...jZ H =−+= pu

( ) 3333306093333033333021 .j...jZ M −=−+= pu

( ) 603333309333306021 .j...jZ L =−+= pu



Entonces, de acuerdo a este resultado, el equivalente de este transformador de tres devanados se presenta en la Figura 4.10. En este caso, el nodo ficticio F es el mismo nodo H, debido a que hay una impedancia igual a cero entre ambos.

Figura 4.10 Circuito equivalente del transformador de tres devanados del ejemplo 2.

De acuerdo a los resultados obtenidos, puede haber casos en que una de las impedancias equivalentes tenga valores muy pequeños o iguales a cero, de modo que los algoritmos de flujos de potencia pueden tener problemas de convergencia. Esta situación se presenta con mayor frecuencia cuando se aplica el método desacoplado rápido como algoritmo de solución del problema de flujos. REFERENCIAS [1] J. Arrillaga, C.P. Arnold, B.J. Harker, Computer Modelling of Electrical Power Systems,

John Wiley & Sons, 1983. [2] P.M. Anderson, Analysis of Faulted Power Systems, University of Iowa Press, 1982.

H

LZ

MZ

L

M MV

LV

HV

Modelado transformador trifasico

Engineering

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