MODELANDO EL RIESGO DE LA

TASA DE INTERS

Paul Collazos

Motivacin

a) Necesidad de medir el impacto de la tasa de

inters sobre el precio de los intrumentos de

renta fija.

b) Diseo estrategias de cobertura.

c) Permite una modelacin adecuada de la

estructura temporal de las tasa de inters.

Conceptos Bsicos

Nos concentraremos en dos clases de bonos: Bonos de descuento (o bono cupn cero) y Bonos Cupn.

Los bonos descuento generan un nico pago en una fecha futura conocida como la fecha de maduracin (o vencimiento).

Los bonos cupn dan una fraccin del valor nominal (conocida como cupn) en periodos igualmente espaciados hasta una fecha de maduracin en la cual el valor nominal es completamente pagado.

Bonos Descuento

El rendimiento de un bono (Y) es la tasa de descuento que iguala el valor presente de los

pagos del bono a su precio (P):

n

nt

ntY

P)1(

1

Bonos Cupn

El precio de un Bono Cupn no slo depende de su maduracin n y la fecha t sino del valor del

Cupon C:

n

cntcntcnt

cntY

C

Y

C

Y

CP

)1(

1...

)1()1( 2

Maduracin vs. Duracin

La maduracin mide el tiempo durante el cual el el tenedor del bono ha invertido su dinero.

La duracin de Macaulay (1938) busca ser una mejor medida.

Bono Cupon = Varios Bonos Descuento

Duracin = Maduracin Ponderada

Duracin Macaulay

cnt

n

cntcntcntcnt

P

Y

Cn

Y

C

Y

C

D)1(

1...

)1(2

)1(1

2

cnt

cnt

cnt

cntcnt

P

Y

Yd

dPD

)1(

)1(

Duracin Modificada

Duracin Modificada = Duracin de Macaulay sobre Rendimiento Bruto.

cntcnt

cnt

cnt

cnt

PdY

dP

Y

D 1

1

Convexidad de un Bono

Como la relacin entre el Precio del Bono y el rendimiento es convexa antes que lineal

entonces la segunda derivada nos aporta

informacin.

cntcnt

cnt

PY

PConvexidad

12

2

Impacto del cambio en el Precio

Usando la aproximacin de segundo orden de la serie de Taylor:

2

mod

)(cncn

cn

cncn dYconvexidaddYificada

duracin

P

YdP

Modelo de Maduracin

Ejemplo 1: Un banco posee 100 dlares de un bono de 3 aos con cupones de 10%, y capta 90 dlares en depsitos por un ao con tasa fijada en 10%.

a) Hallar la brecha de maduracin.

b) Hallar el valor de mercado del patrimonio del banco si la tasa es 10% y 11%

c) Hallar la prdida esperada en el patrimonio si la tasa aumenta.

a) La brecha es 3 -1 = 2 aos.

b) Si la tasa de inters es 10%:

MVA = 10/1.1 + 10/1.12 + 110/1.13 = 100

MVL = (90 + 9)/1.1 = 90

MVE = 100 90= 10

b) Si la tasa de inters es 11%:

MVA = 10/1.11 + 10/1.112 + 110/1.113 = 97.56

MVL = (90 + 9)/1.11 = 89.19

MVE = 97.56 89.19 = 8.37

c) Por lo tanto el patrimonio se reduce en 1.63 dlares por una cada de 100 puntos base.

Modelo de Duracin

Ejemplo 2: Un banco tiene 100 dlares de un bono de 1 ao que paga luego de seis meses la mitad del principal, y los intereses correspondientes a una tasa anual de 15%. Adems, capta 100 dlares en un depsito de un ao a una tasa de 15% anual.

a) Hallar la brecha de maduracin,

b) Hallar la prdida esperada en su patrimonio si la tasa cae a 12%.

c) Hallar la duracin.

a) 1 1 = 0

b) Si la tasa de inters es 15%, entonces los flujos de caja son:

ao : 50 + 100*15%/2 = 50+ 7.5 = 57.5

1 ao : 50 + 50*15%/2 = 50 + 3.75 = 53.75

111.25

Ms la reinversin de los 57.5 dlares: 4.31

115.56

Pero si la tasa es 12%, los intereses de la reinversin son: 3.45 y entonces los flujos de caja totalizan solamente: 114.7 dlares < 115 requeridos para pagar los depsitos.

c) Para hallar la duracin se requiere el VP de los FC:

VP : 57.5/1.075 = 53.49

VP 1: 53.75/1.0752 = 46.55

100.00

Luego hallamos, las ponderaciones:

W : 53.5%

W 1: 46.5%

Y finalmente ponderamos los periodos de

maduracion de los pagos:

D = x 53.5% + 1 x 46.5% = 0.7326 aos.

Ejemplo 3: Hallar la duracin de un Eurobono de 6

aos con cupones de 8%, cuando la tasa de inters es

8%.

T FC TD FC X TD FC X TD X T

1 80 0.9259 = 1/1.08 74.07 74.07

2 80 0.8573 = 1/1.082 68.09 137.18

3 80 0.7938 = 1/1.083 63.51 190.53

4 80 0.735 = 1/1.084 58.8 235.2

5 80 0.6806 = 1/1.085 54.45 272.25

6 1080 0.6302 = 1/1.086 680.6 4083.5

1000 4992.71

Duracin = 4992.71/1000 = 4.99 aos

Ejemplo 4: Halle la duracin de una perpetuidad (consol en ingls) que paga 5% anual (Tarea).

Ejemplo 5: Si un inversionista que tiene 1000 dlares busca cubrirse de fluctuaciones en la tasa de inters, es equivalente comprar el eurobono del ejemplo 3 y mantenerlo hasta su duracin, a comprar bonos de cinco aos con cupn cero y que pagan 8%?

El precio de los cupones cero de 5 aos es 1000/1.085 = 680.58 entonces debe comprarse 1.469 de estos bonos, para garantizar esa cifra al final de los 5 aos.

En cambio si compra el eurobono y la tasa es 8%

Cupones hasta el 5to ao: 400

Intereses por los cupones: 69

Venta del bono al 5to ao: 1000

1469

Y si la tasa es 7%:

Cupones hasta el 5to ao: 400

Intereses por los cupones: 60

Venta del bono al 5to ao: 1009

1469

Ejemplo 6: Hallar la duracin de un Eurobono de 6

aos con cupones de 8%, cuando la tasa de inters es

8%, pero la estructura temporal de las tasas de inters

tiene pendiente positiva.

1 80 0.9259 = 1/1.08 74.07 74.07

2 80 0.8448 = 1/1.0882 67.58 135.16

3 80 0.7637 = 1/1.0943 61.1 183.3

4 80 0.688 = 1/1.0984 55.04 220.16

5 80 0.6153 = 1/1.1025 49.22 246.1

6 1080 0.5553 = 1/1.1036 599.72 3598.32

906.73 4457.11

Duracin = 4992.71/1000 = 4.99 aos

Modelo de Repreciacin

Ejemplo 7: Cul es la brecha de sensibilidad a la tasa

de inters del siguiente banco?Activos Pasivos

Creditos a 1 ao 50 Patrimonio 20

Creditos a 2 aos 25 Depsitos a la vista 40

Bonos a 3 meses 30 Depositos de ahorro 30

Bonos a 6 meses 35 CDs a 3 meses 40

Bonos a 3 aos 70 Depsitos a Plazo 1 ao 20

Creditos Hipotecarios 20 Depsitos a Plazo 2 ao 40

Creditos Hipotecarios 40 Adeudados corto plazo 80

(con tasa variable) ___ ___

Activos Sensibles = 155

Pasivos Sensibles = 140

Brecha = 15