MODELIZACIÓN ACTUARIAL DEL VALOR RAZONABLE EN LAS … · 2014-02-06 · Modelización Actuarial...

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I

MODELIZACIÓN ACTUARIAL DEL VALOR RAZONABLE EN LAS ENTIDADES ASEGURADORAS DE

VIDA

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

PRESENTADA POR

Emiliano Pozuelo de Gracia

Bajo la dirección del doctor Fernando Ricote Gil

Madrid, 2006

• ISBN: 978-84-692-0057-5

MODELIZACIÓN ACTUARIAL DEL

VALOR RAZONABLE EN LAS

ENTIDADES ASEGURADORAS DE VIDA.

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

(Facultad de CC. Económicas y Empresariales. Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I)

Doctorando: D. Emiliano Pozuelo de Gracia Director de tesis: D. Fernando Ricote Gil

Modelización Actuarial del Valor Razonable en las Universidad Complutense de Madrid Entidades Aseguradoras de Vida

INDICE PRIMERA PARTE: INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y PRESENTACIÓN 15

1.1. OBJETIVO, MARCO Y ALCANCE DE LA

INVESTIGACIÓN. 15

1.2. CAMPO DE ESTUDIO. 22

1.3. ESTRUCTURA DE LA INVESTIGACIÓN. 27

1.4. FUENTES. 31

1.4.1. Búsqueda de información bibliográfica. 31

1.4.2. Datos para el ajuste de la mortalidad de

la población andaluza. 31

1.4.3. Aplicaciones informáticas. 31

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL VALOR RAZONABLE DE LA

PROVISIÓN TÉCNICA DEL SEGURO DE VIDA. 35

2.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO 35

2.2. CONSIDERACIONES PREVIAS DE LAS PTSV. 35

2.3. INTRODUCCIÓN A LA NIIF 4 Y VALOR RAZONABLE. 42

2.3.1. Introducción a la NIIF 4. 42

2.3.2. Valor Razonable Vs. Valor Específico de la Entidad. 44

2.4. PRINCIPIOS DE VALORACIÓN PARA INSTRUMENTOS

FINANCIEROS. 45

2.4.1. Jerarquía de métodos de valoración. 45

2.4.2. Valor de negociación en el mercado. 46

2.4.3. Replicación de valores de mercado. 47

2.4.4. Valoración de los flujos de caja futuros. 47

2.5. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO ESTOCÁSTICO

APLICADO AL CAMPO FINANCIERO – ACTUARIAL. 50

2.5.1. Introducción a los modelos dinámicos estocásticos. 50

2.5.2. Elementos de cálculo estocástico. 54

2.6. SERIES TEMPORALES. MODELOS ARIMA. 68

2.6.1. Serie temporal 68

2.6.2. Predicción con modelos ARIMA. 75

3


SEGUNDA PARTE:

SUBYACENTES AL VALOR RAZONABLE DE LAS PTSV

CAPÍTULO 3. LOS TIPOS DE INTERÉS Y EL VALOR RAZONABLE. 89

3.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO. 89

3.2. INTRODUCCIÓN A LOS TIPOS DE INTERÉS. 89

3.3. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE LA ETTI. 92

3.3.1. Modelos estáticos. 92

3.3.2. Modelos dinámicos. 92

3.3.2.1. Modelos que no se ajustan a la ETTI actual. 92

3.3.2.1.1. Modelos de una variable. 93

3.3.2.1.2. Modelos de dos variables. 93

3.3.2.2. Modelos que se ajustan a la ETTI actual. 95

3.4. DETERMINACIÓN DE LA ETTI ACTUAL. 96

3.5. MODELOS AFINES UNIFACTORIALES.

MODELO DE HULL – WHITE. 98

3.5.1. Modelos afines unifactoriales. 98

3.5.2. Modelo de Hull – White. 102

3.5.2.1. Resultados analíticos. 102

3.5.2.2. Implementación mediante árboles

trinomiales. 106

3.5.2.3. Calibración. 119

CAPÍTULO 4. RIESGO TÉCNICO Y EL VALOR RAZONABLE. 125


4.2. INTRODUCCIÓN AL RIESGO TÉCNICO EN LOS

SEGUROS DE VIDA. 126

4.3. INTRODUCCIÓN A LAS TABLAS DE MORTALIDAD. 130

4.4. TABLAS DE MORTALIDAD DINÁMICAS. 133

4.4.1. Métodos paramétricos. 134

4.4.1.1. Métodos estructurales. 134

4.4.1.2. Métodos no estructurales. 139

4.4.2. Métodos no paramétricos. 141

4


4.4.3. Métodos basados en factores de reducción

de la mortalidad. 143

4.5. APLICACIÓN A LA POBLACIÓN DE LA COMUNIDAD

ANDALUZA. 149

4.6. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO A LA MEDIDA

DE MORTALIDAD. 176

4.6.1. Resultados analíticos. 176

4.6.2. Implementación mediante árboles trinomiales. 184

4.6.3. Calibración. 192

4.7. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO AL FACTOR

DE DESCUENTO ACTUARIAL. 200

CAPÍTULO 5. EL RIESGO DE CRÉDITO Y EL VALOR RAZONABLE. 207


5.2. INTRODUCCIÓN AL RIESGO DE CRÉDITO EN

EL VALOR RAZONABLE. 208

5.3. MODELOS DE VALORACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO. 209

5.3.1. Método de valoración de opciones. 211

5.3.2. Modelo de Jarrow-Turnbull. 215

5.3.3. Modelo de Jarrow – Lando – Turnbull. 218

5.4. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO AL SPREAD POR

RIESGO DE CRÉDITO. 221

5.4.1. Resultados analíticos 221



5.5. DIFUSIÓN DEL TIPO DE INTERÉS, SPREAD POR

RIESGO DE CRÉDITO Y MEDIDA DE MORTALIDAD. 236


5.5.2. Implementación mediante árboles trinomiales 237

5


TERCERA PARTE: ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE

CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE. 245


6.2. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS. 246

6.3. OPCIÓN DE RESCATE. 250

6.4. OPCIÓN DE PARTICIPACIÓN EN BENEFICIOS. 253

6.5. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN LA MEDIDA DE

MORTALIDAD. 258

6.6. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS

Y MEDIDA DE MORTALIDAD. 260

6.6.1. Valoración sin opciones. 260

6.6.2. Opción de rescate. 262

6.6.3. Opción de participación en beneficios. 262

6.7. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS,

MEDIDA DE MORTALIDAD Y SPREAD POR RIESGO DE

CRÉDITO. 263

6.7.1. Valoración incluyendo spread de crédito. 263

6.7.2. Valoración con difusión en los tipos de interés,

spread de crédito y tanto de mortalidad. 265



6.8. RESUMEN DE VALORACIONES PROPUESTAS. 278

6


CUARTA PARTE: DETERMINACIÓN DE LAS NECESIDADES DE

RECURSOS PROPIOS.

CAPÍTULO 7. EL VALOR RAZONABLE Y SOLVENCIA II. 285


7.2. INTRODUCCIÓN A SOLVENCIA II. 285

7.3. SISTEMAS DE DETERMINACIÓN DEL CAPITAL MÍNIMO. 290

7.4. EL VALOR RAZONABLE Y EL MARGEN DE SOLVENCIA. 297

7.4.1. Necesidades de capital por riesgo de mercado. 297

7.4.2. Sensibilidad del valor razonable de las

provisiones técnicas ante cambios en los subyacentes. 298

7.5. VAR DE EXCEDENTE. 302

7.5.1. Introducción al VAR de excedente. 302

7.5.2. VAR de excedente con difusión en el tipo de

interés. 305


interés y el spread por riesgo de crédito. 311

7.5.3.1. VAR de excedente con difusión en el

tipo de interés y el spread por riesgo de

crédito para el activo afecto. 311



crédito para la aseguradora y el activo afecto. 316


interés, medida de mortalidad, spread por riesgo

de crédito de la aseguradora y el activo afecto. 320

7.5.5. RESUMEN DE VALORACIONES PROPUESTAS

PARA EL VAR DE EXCEDENTE. 322

7


QUINTA PARTE: CONCLUSIONES

CAPÍTULO 8. APLICACIÓN PRÁCTICA. 327


8.2. ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE. 328

8.2.1. Valor razonable sin opciones. 328


8.2.3. Opción de participación en beneficios 335

8.2.4. Valoración con opciones de rescate y participación

en beneficios. 340

8.3. SENSIBILIDAD DEL VALOR RAZONABLE DE LAS

PROVISIONES TÉCNICAS POR CAMBIOS EN EL

SUBYACENTE. 348

8.3.1. Posición Delta respecto a los tipos de interés. 348

8.3.2. Posición Vega respecto al tanto de mortalidad. 350


CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES. 361

9.1. MODELO PROPUESTO. 361

9.1.1. Estimación del valor razonable de las PTSV. 361

9.1.1.1. Subyacentes considerados 361

9.1.1.1.1. Tipo de interés libre de riesgo. 361

9.1.1.1.2. Tanto de mortalidad. 362

9.1.1.1.3. Spread por riesgo de crédito. 369

9.1.1.2. Difusión del valor actual actuarial. 370

9.1.1.3. Estimación del valor razonable de

las PTSV. 373

9.1.2. El valor razonable y la estimación de los recursos

propios. 376

9.1.3. Aplicación en la determinación del “European

Embedded Value”. 383

9.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL MODELO

PROPUESTO. 386

9.3. FUTURAS LINEAS DE INVESTIGACIÓN. 388

8


CAPITULO 10. BIBLIOGRAFÍA. 394

ANEXO I.: POLÍTICAS CONTABLES INTRODUCIDAS POR LA NIFF 4. 407

ANEXO II.: INFORMACIÓN ADICIONAL A REVELAR SEGÚN

LA NIIF 4. 408

ANEXO III. ESTIMACIÓN DEL PARÁMETRO F EN EL MODELO DE

HELIGMAN Y POLLARD PARA HOMBRES ANDALUCES, UNA

VEZ DETRAÍDA LA SOBREMORTALIDAD MASCULINA EN EL

INTERVALO DE 20 A 39 AÑOS. 409

ANEXO IV. EXCEDENTE NEGATIVO DEPENDIENTE DE LOS

DISTINTOS ESCENARIOS, CONSIDERANDO DIFUSIÓN EN EL

TIPO DE INTERÉS, EL TANTO DE MORTALIDAD Y LOS SPREAD

POR RIESGO DE CRÉDITO DE LA ENTIDAD ASEGURADORA Y

DEL ACTIVO AFECTO A LAS PTSV. 420

9

PRIMERA PARTE: INTRODUCCIÓN

11

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y PRESENTACIÓN 15

1.1. OBJETIVO, MARCO Y ALCANCE DE LA

INVESTIGACIÓN. 15

1.2. CAMPO DE ESTUDIO. 22

1.3. ESTRUCTURA DE LA INVESTIGACIÓN. 27

1.4. FUENTES. 31

1.4.1. Búsqueda de información bibliográfica. 31

1.4.2. Datos para el ajuste de la mortalidad de

la población andaluza. 31

1.4.3. Aplicaciones informáticas. 31

13

CAPÍTULO 1. Introducción y presentación.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y

PRESENTACIÓN. 1.1. OBJETIVO, MARCO Y ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN.

La investigación persigue el análisis de algunos de los conceptos y magnitudes, que los

artífices del actual cambio en la normativa contable y en el control y supervisión de las

aseguradoras europeas, han barajado en el ámbito de la cuantificación de los compromisos

asumidos por contratos de Seguros de Vida.

Esta investigación pretende proponer una metodología que permita la consideración

estocástica1 de los dos factores de riesgo más importantes en Seguros de Vida: el tipo de

interés técnico y la medida de mortalidad. De este modo se podrá acometer de forma natural

tanto el cálculo de algunas de las opcionalidades implícitas en las Pólizas de Seguros de Vida,

cómo la necesidad de recursos propios debidas a la operación de Seguro de Vida.

Entre los objetivos más importantes de la investigación, caben distinguir dos:

Elaborar la metodología que permita un acercamiento a lo que entendemos cómo valor

razonable de las Provisiones Técnicas de Seguros de Vida (PTSV).

Analizar de forma holística los riesgos de tipos de interés, técnico y de crédito, para

determinar las necesidades de recursos propios. Integraremos en un mismo marco el

activo y el pasivo de la entidad aseguradora por contratos de Seguro de Vida.

Valor razonable de las PTSV:

La metodología que proponemos abarca:

o Interés técnico consistente con el mercado:

Se considerara la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI) que se deriva

de los mercados de capitales, en lugar de un tipo de interés técnico lineal e

inalterable.

El tipo de interés técnico será un proceso estocástico, es decir, sobre la

mencionada ETTI, se considerará un proceso de difusión que recoja la

1 El término se refiere a introducir en el análisis el proceso estocástico en lugar de su esperanza matemática.

15


aleatoriedad que rodea a los tipos de interés, que la Aseguradora obtendrá en

el futuro en el mercado de capitales2.

o Tabla de mortalidad ajustada a la población objeto de aseguramiento y considerada

cómo un proceso estocástico:

Además de ajustar la estructura que se puede observar en la medida de

mortalidad, también se ajustará la dinamicidad inherente a esta estructura.

Propondremos un proceso de difusión sobre las tablas de mortalidad dinámicas

ajustadas, para incluir en el análisis la volatilidad manifestada en el ajuste3. Su

implementación se llevará a cabo discretizando el proceso estocástico

mediante árboles trinomiales recombinantes4.

La consideración estocástica de la medida de mortalidad, a incluir en la

valoración, sustituirá al recargo de seguridad5, incluido en lo que conocemos

cómo tablas de mortalidad de segundo orden o con recargo de seguridad

implícito.

o Spread por riesgo de crédito6 de la compañía aseguradora:

La metodología de valoración razonable, considera la cuantificación del

instrumento financiero de forma similar a cómo lo haría un mercado de

negociación vivo, amplio y abierto. Esto implica tener en cuenta entre otros, el

riesgo de impago de la propia aseguradora.

Al igual que con los otros dos subyacentes del valor razonable de las PTSV

(tipo de interés y tanto de mortalidad), incluiremos en la valoración el proceso

estocástico correspondiente al spread por riesgo de crédito, en lugar de su

esperanza matemática.

2 Suponiendo asimismo que las inversiones de la Aseguradora, se valorarán según su precio de cotización, de modo

que se tendrán en cuenta las expectativas de los intervinientes en el mercado sobre los tipos de interés vigentes a cada

fecha. 3 La valoración consistente con el mercado requeriría en su lugar un proceso de calibración, a partir de instrumentos

financieros negociados en el mercado de capitales. En defecto de éstos, extraemos conclusiones del proceso de ajuste

de la tabla de mortalidad. 4 Un árbol trinomial recombinante, es una representación en tiempo discreto de un proceso sujeto a una determinada

regla de evolución estocástica futura. 5 Trayectoria de la distribución correspondiente a la medida de mortalidad que deja a su izquierda el 95% de las

trayectorias posibles. 6 Diferencial respecto del tipo libre de riesgo, exigido a la aseguradora por los inversores, cómo consecuencia del

riesgo de impago.

16


o Opcionalidades implícitas en la Póliza de Seguros de Vida:

Las asimetrías que tradicionalmente se han obviado en las valoraciones

actuariales a través de la aplicación de amplios márgenes, se valorarán en la

presente investigación según los escenarios futuros probables. En este trabajo

se propone un método de valoración de la opción de rescate, y la de

participación en beneficios.

Necesidades de recursos propios.

Se proponen tres análisis complementarios para determinar estas necesidades de

recursos propios:

o El primer análisis y más obvio, es determinar la diferencia entre el valor razonable

determinado según la metodología que se expone a lo largo del trabajo, y el valor

contable de las PTSV.

o En segundo lugar, el análisis de sensibilidades del valor razonable a los cambios

en los tres subyacentes considerados (tanto de mortalidad, tipos de interés, y

spread por riesgo de crédito), tanto en los niveles del subyacente cómo en su

volatilidad.

o Integrar en un mismo análisis el activo y el pasivo de la entidad aseguradora, en lo

que se conoce cómo VAR de excedente7.

Nuestra pretensión fundamental es conjugar el rigor técnico con una implementación

numérica que sea desde el punto de vista computacional, rápida y fácilmente implementable en

la práctica.

Actual marco para las Provisiones Técnicas.

Actualmente nos encontramos en la Unión Europea con una profunda reforma en las

normas de valoración contables, así cómo en los conceptos de control y supervisión de las

entidades aseguradoras.

La Comisión Europea decretó que desde el año 2005, las compañías de la Unión

Europea cotizadas en bolsa reportarán sus estados financieros consolidados según un único

conjunto de normas, desarrolladas por el IASB8.

7 Riesgo de incurrir en déficit del valor de los activos afectos respecto a las PTSV cubiertas.

17


Debido a la complejidad del negocio asegurador, resulta complicado establecer un

marco especial para los aspectos contables específicos del seguro. De ahí que en mayo de

2002 el IASB decidió proceder en su Proyecto de Seguros en dos fases. La primera fase

abarca la actual NIIF 49, y en un sentido más amplio, la NIC 3210 y la NIC 3911. En la segunda

fase se están tratando los aspectos mas controvertidos, cómo la valoración de las PTSV. A

este respecto se han planteado, los criterios de medición “current values”12. En abril 2006, el

IASB adoptó el denominado “curren exit value”13.

Con respecto a los nuevos conceptos de control y supervisión de las entidades

aseguradoras, introducidos por el macroproyecto Solvencia II, la Comisión Europea mediante

las sucesivas calls for advice14, motiva la actuación del CEIOPS15 para la elaboración de una

directiva marco no más allá de julio 2007.

Recientemente a solicitud de la Comisión el CEIOPS ha reportado sus conclusiones

acerca del primer QIS16. El QIS 1 iniciado el 31 de diciembre de 2004 culminó el último

cuatrimestre de 2005, y versó sobre el impacto que supondría la determinación de los

compromisos de las aseguradoras mediante el best estimate al 75 o 90%17 (aún no

determinado).

El QIS 2 es más amplio, y cubre los aspectos más relevantes del Pilar 1 de Solvencia

II, incluyendo la valoración de los activos, de las provisiones técnicas, así cómo de otros

8 Consejo de Normas Internacionales de Contabilidad (IASB), cuyo objetivo es el desarrollo de un único conjunto de

Normas Internacionales para la Información Financiera de alta calidad, de fácil comprensión e implantación, que

puedan ser de utilidad a los inversores en acciones, a las entidades de crédito y a otros posibles usuarios de este tipo

de información a nivel internacional. Son los IAS o IFRS, en su denominación más actual, también conocidas en

España como NIC o NIIF. 9 La Norma Internacional de Información Financiera 4 es la primera orientación del IASB sobre la contabilización de los

contratos de seguros (aunque no la última). 10 Instrumentos financieros: presentación e información a revelar. 11 Instrumentos financieros: reconocimiento y valoración. 12 Vienen a significar, medir las provisiones técnicas de seguros por su precio de mercado actual. No obstante, y dado

que actualmente no existen mercados líquidos de provisiones técnicas, en los que observar estos precios, se usan

criterios market consistent ó “tal cómo lo haría el mercado”. 13 Lo podríamos definir cómo, la cantidad que un asegurador esperaría tener que pagar a otro asegurador si le

transfiriera de forma inmediata todos los derechos y obligaciones contractuales de seguro subsistentes (incluyendo

cualquier cantidad a cobrar o pagar por razón de otros derechos y obligaciones) 14 Las principales propuestas de la Comisión van acompañadas de una medida del impacto que supondría su

aceptación. 15 Comittee of European Insurance and Occupational Pension Supervisors. 16 Quantitative Impact Study. 17 Podemos definir el best estimate al 75 o 90%, cómo la cuantificación que deja a su izquierda el 75 o 90% de las

valoraciones posibles de los compromisos, en base a las expectativas de los intervinientes en el mercado respecto a

las hipótesis técnicas (salvando el interés técnico, que sería el derivado de los mercados de capitales).

18


compromisos de la aseguradora y por supuesto el MCR18 y el SCR19. Para el estudio de este

impacto se tomará cómo referencia el método de cálculo promulgado recientemente por el

regulador suizo, denominado SST20. En lo que respecta a la valoración de las provisiones

técnicas, el QIS 2 considera para la cuantificación del Margin Value Market21 (MVM), el

método del coste del capital22, mientras que el QIS 1 consideraba el método de los

percentiles23. Las conclusiones del CEIOPS se espera estén disponibles a finales del mes de

julio 2006.

Tanto en las últimas propuestas respecto de la contabilización de las provisiones

técnicas, cómo de los conceptos de control y supervisión de entidades aseguradoras, se usan

criterios market consistent ó “tal cómo lo haría el mercado”. La aplicación de criterios market

consistent, se complica en el negocio asegurador debido fundamentalmente a la ausencia de

un mercado vivo, amplio y abierto en el que se negocien activamente instrumentos de Seguro.

Por otra parte, si nos centramos en el Seguro de Vida, son muchas las opcionalidades

implícitas en las Pólizas de Seguro. Entre estas opcionalidades podemos destacar los valores

garantizados de rescate, reducción y anticipo, a disposición del Tomador de la Póliza, o el

incremento en las garantías de la Póliza, debido a la participación en los beneficios que la

aseguradora obtenga de la inversión de las Provisiones Técnicas.

Todo lo anterior implica recurrir en las valoraciones actuariales al cálculo estocástico y

la teoría de las opciones financieras.

18 Minimum capital requirement, representa el nivel de capital por debajo del cual el supervisor ha de adoptar medidas

especiales para garantizar la solvencia de la entidad. Se determinará de forma similar al actual mínimo del margen de

solvencia (en base a información contable). 19 Solvency capital requirement, se establece por encima del MCR y representa el nivel de capital que permite absorber

pérdidas significativas e imprevistas, y se calculará de modo que se tenga en cuenta el nivel real de exposición a los

riesgos derivados de la operativa de la entidad así cómo su capacidad para gestionarlos. 20 Swiss Solvency Test. En primer lugar define el Risk Bearing Capital, cómo la diferencia entre la valoración market

consistent de los activos y el best estimate de las provisiones técnicas, al cual se le añade un Margin Value Market. A

continuación establece una alerta temprana para el supervisor, que define cómo el Target Capital, que representa los

recursos propios suficientes para financiar durante un año, la desviación desfavorable en el Risk Bearing Capital (con

un nivel de confianza del 99%). 21 Pretende la protección del asegurado, de modo que sobre la esperanza matemática de los compromisos, se

incorpora éste margen de riesgo de mercado que garantice la transmisión a un tercero de estos compromisos. 22 Escogido por el regulador suizo, incrementa la valoración de las provisiones técnicas, con el coste que supone el

capital regulatorio. Se justifica por el regulador suizo, porque un tercero estaría dispuesto a asumir los compromisos de

la aseguradora, si también se le compensa por el coste exigido por el capital regulatorio. 23 Definido cómo la diferencia entre el best estimate al 75 o 90% y el best estimate según la esperanza matemática de

las hipótesis técnicas. Es el método aplicado por el regulador australiano.

19


La valoración consistente con el mercado, exige que el modelo sea calibrado a partir de

los valores de cotización de instrumentos financieros que coticen en el mercado. La calibración

a mercado es actualmente posible para:

• Estructura de los tipos de interés y su volatilidad.

• Estructura de la probabilidad de impago y su volatilidad.

• Tasa de recuperación.

• Correlación entre los tipos de interés y probabilidad de impago.

Sin embargo no existe un mercado vivo, amplio y abierto para la estructura de la

medida de mortalidad y su volatilidad. De ahí que su calibración no pueda llevarse a cabo a

mercado, debiendo recurrir a su ajuste histórico.

Por otra parte, muchas de las asunciones respecto a la cuantificación de los

compromisos de las aseguradoras, están abiertas tanto en la reforma contable, cómo en el

marco de Solvencia II. Así por ejemplo, el IASB aún no ha decidido si se debe reconocer y en

qué medida hacerlo, el spread por riesgo de crédito de la aseguradora. No obstante, el

CEIOPS – IAIS no aceptan en modo alguno, la reducción de éstos compromisos por una menor

calidad crediticia24.

La presente investigación, pretende el análisis de la metodología necesaria para la

cuantificación de los compromisos de la aseguradora, consistente con un mercado abierto, vivo

y amplio, y es consciente de que el planteamiento definitivo de los artífices del cambio divergirá

de ésta valoración.

Referencias para la modelización actuarial del valor razonable de las PTSV.

En la modelización actuarial del valor razonable cobra una gran importancia, recoger en

la cuantificación el riesgo técnico sistemático, por no ser éste diversificable.

Para modelizar el riesgo técnico sistemático, se han desarrollado varios modelos.

Tenemos el caso del modelo de Lee – Carter que considera para el factor de la medida de

mortalidad dependiente del tiempo cronológico un modelo ARIMA(0, 1, 0). Posteriormente ha

sido adaptado por Denuit, et. al (2005) para aplicarlo estocásticamente en tiempo continuo.

Milevsky y Promislow (2001) aplican el denominado modelo de Gompertz con reversión a la

media.

Asimismo para recoger en la valoración las expectativas en el mercado, las

valoraciones actuariales han de recurrir a técnicas cuantitativas. No es solamente el uso de

24 Las diferencias de valoración entre la contabilidad y los requerimientos de solvencia, se recogerán a través de los

prudential filtters, para no incrementar enormemente el reporting.

20


modelos de valoración de activos y opciones financieras, sino que además, modelos de

valoración desarrollados para el tratamiento estocástico de la Estructura Temporal de Tipos de

Interés (ETTI), han sido ya adaptados por un gran número de actuarios para su aplicación en la

modelización estocástica de la mortalidad, de manera que el riesgo técnico sistemático quede

adecuadamente recogido en la valoración, de forma agregada con el resto de riesgos

inherentes.

Los conocidos por la literatura para la modelización de la ETTI, cómo modelos afines

han sido ya aplicados en la modelización estocástica de la mortalidad25.

Modelos de la forma Heath – Jarrow – Morton26 han sido igualmente tratados para la

mortalidad27.

La familia de los Market Models28, también han sido analizados para su tratamiento en

el ámbito actuarial, en el trabajo Blake, et. al (2004). Éste último trabajo exploró ampliamente el

caso de las “Forward life annuity rates” y “Forward Survivor Credit Offer Rates (SCOR)”. Así

además de tratar cómo medidas forward no instantáneas las rentas diferidas garantizadas,

aborda la medida SCOR. Podemos considerar esta última medida, una reminiscencia del τ –

LIBOR (el London Interbank Offer Rate con duración o tenor τ ), adaptada a la medida de

mortalidad.

La presente investigación aporta una metodología de valoración de las PTSV que:

• también propone un modelo de evolución estocástico no homogéneo, para el tanto de

mortalidad, de manera que la valoración actuarial recoja el riesgo técnico sistemático;

• considera de forma agregada los modelos de evolución estocásticos correspondientes a la

medida de mortalidad, los tipos de interés y el spread por riesgo de crédito;

• discretiza el proceso a través de árboles trinomiales recombinantes, de manera que la

cuantificación séa abordable por grandes aseguradoras, cuyos tiempos de cálculo serían

de otro modo prohibitivos;

• los algoritmos de valoración resultantes de todo lo anterior, consigue que la determinación

de muchas opcionalidades implícitas en las Pólizas de Seguros de Vida, séa determinada

de forma natural, rápida y eficiente;

• es calibrable según las expectativas de los intervinientes en el mercado. Incluimos un

ejemplo de cómo hacerlo respecto a cada componente.

25 Por Dahl (2004) o Biffis y Millossovich (2006), entre otros. 26 Sobre tipos forward instantáneos 27 Ver el modelo de Smith – Olivier descrito en Olivier y Jeffrey (2004) 28 Sobre tipos forward no instantáneos. Han sido los últimos en aparecer en el ámbito de los tipos de interés.

21


Para calibrar a mercado el componente de mortalidad del modelo, apenas tenemos

instrumentos financieros, por lo que lo calibramos históricamente, a través del ajuste del

modelo de Lee – Carter (1992) y el de Helligman y Pollard (1980) a la población andaluza.

1.2. CAMPO DE ESTUDIO. El objeto de la presente investigación es la cuantificación del valor razonable del

compromiso de la aseguradora, cómo consecuencia de los contratos de Seguro de Vida

suscritos, así cómo de los recursos propios necesarios para garantizar la solvencia de la misma

por este motivo.

Así el ámbito de la presente investigación se encuadra en la ciencia actuarial, y cómo

tal siguiendo a Nieto y Vegas (1993) tiene una fundamentación interdisciplinar:

Fundamento económico.

El origen de la operación de aseguramiento es el contrato de Seguro de Vida. Según la

definición de Piniés y Tornil que se incluye en Pérez (1986), Seguro de Vida es “un

contrato por el cual una de las partes, el asegurador, se compromete mediante una

prima única o periódica que recibe del tomador del seguro, a pagar al beneficiario la

cantidad o cantidades estipuladas si acaece en el plazo convenido para la duración del

contrato, la eventualidad prevista en el mismo sobre la vida del asegurado”.

La Aseguradora constituye una unidad económica cuya misión fundamental es ofrecer

la adecuada cobertura frente a un riesgo. Esta labor de intermediación permite que el

riesgo al que se hallan sometidas una serie de unidades económicas pueda ser

sustituido por una Prima de Seguro.

El riesgo cubierto por la Aseguradora de Vida es la supervivencia o el fallecimiento del

Asegurado. De este modo se pretende hacer frente a las necesidades que se originan

al Beneficiario de la Póliza de Seguro, al acaecer el suceso supervivencia (el

Beneficiario suele ser el propio Asegurado) o fallecimiento del Asegurado (el

Beneficiario suele ser el cónyuge y/o resto de familiares).

Para proporcionar esta labor de protección, la Aseguradora se basa en la ley de los

grandes números, según la cual cuando un experimento aleatorio se repite un número

suficientemente grande de veces, la frecuencia relativa del suceso se aproxima a la

probabilidad teórica del suceso. Tratándose de una Aseguradora de Vida, el número de

fallecimientos que se producirán en la cartera asegurada se aproximará al estimado,

cuando la cartera incluya un número suficientemente grande de Asegurados.

22


Así para que la Aseguradora pueda ofrecer esta protección ha de alcanzar un volumen

de negocio suficiente, que permita minimizar las desviaciones de la siniestralidad real

respecto de la esperada.

Una gran parte de los fondos de una Aseguradora se destina a hacer frente a los

compromisos con los Tomadores de la Póliza por prestaciones garantizadas. De este

modo cobra una gran importancia el activo de la Aseguradora afecto a Provisiones

Técnicas y los fondos propios:

• El primero surge inmediatamente del contrato de Seguro cómo inversión de las

PTSV, para hacer frente a los compromisos que se derivarán de la Póliza.

• Buena parte del segundo, lo que se conoce cómo Margen de Solvencia, tiene por

finalidad garantizar la Solvencia de la Aseguradora en sentido amplio.

Las PTSV aunque tienen su origen en la base técnica de la Póliza, se determinan

según la legislación española de forma prudente, es decir, de modo que quede

adecuadamente cubierto el riesgo técnico de desviación de la siniestralidad real

respecto a la esperada. No obstante lo anterior, existe un riesgo técnico igual de

importante, que es el de desconocimiento de la prestación esperada, que vendría

cubierto al igual que otros riesgos inherentes a la industria aseguradora a través del

Margen de Solvencia.

Se pretende garantizar la Solvencia de la entidad aseguradora, entendida cómo la

capacidad para poder hacer frente a sus obligaciones futuras en sentido amplio. Las

Aseguradoras se hallan obligadas por parte de la Dirección General de Seguros y

Fondos de Pensiones (DGSFP) a mantener cómo mínimo un determinado Margen de

Solvencia en función de su negocio asegurador, es decir, la cantidad de fondos propios

que garanticen para cada momento del tiempo, que la compañía pueda hacer frente a

los compromisos asumidos.

Tanto las PTSV cómo el mínimo del Margen de Solvencia son una exigencia de origen

legal y objeto de supervisión por parte de la DGSFP.

Fundamento financiero.

Cómo se ha mencionado antes para el Tomador del Seguro, la Aseguradora supone un

vehículo para financiar las necesidades del Beneficiario de la Póliza al vencimiento del

Seguro. De lo anterior se deriva que:

23


• La aseguradora interviene cómo intermediario financiero.

• De la diferencia de fechas entre el efecto y el vencimiento de la Póliza, surge el

principio de rentabilidad.

Asimismo los fondos propios atribuibles a los titulares de la Aseguradora (los propios

Tomadores si se trata de una Mutualidad, los accionistas si es una sociedad anónima,

...) también han de ser adecuadamente retribuidos, ya que para los propietarios, éstos

fondos suponen una inversión.

De cualquier modo, tanto las PTSV cómo los fondos propios se invierten con el fin de

generar una rentabilidad suficiente para retribuir tanto unas cómo otros.

La inversión afecta a las PTSV además de la rentabilidad que proporciona, ha de

cumplir unos requisitos de congruencia con éstas, ya que ésta inversión supone:

• La principal fuente de la que manan los flujos de cobros, que permitirán hacer

frente a las prestaciones y gastos derivados de la Póliza.

• El activo de la Aseguradora que permite cubrir el pasivo que representan las

PTSV.

En algunos Seguros de Vida se vincula el activo al pasivo, hasta el punto que el

Tomador podrá ejercer su derecho de rescate, materializado en la inversión afecta por

la Aseguradora.

Debido entre otras cuestiones a lo mencionado en los párrafos precedentes, las

Aseguradoras se encuadran dentro del sector financiero, junto con las entidades de

crédito (Bancos, Cajas de Ahorro y Cooperativas de Crédito) y otras entidades

financieras como son las Agencias y Sociedades de valores, Instituciones de inversión

colectiva, …

Fundamento estocástico.

Como explica Nieto y Vegas (1993) el aspecto aleatorio se presenta en muy diversos

grados en el ámbito actuarial.

Como ya se ha expuesto, en Seguros de Vida la prestación asegurada tiene lugar al

acaecer el suceso supervivencia o fallecimiento del Asegurado. La aleatoriedad

24


inherente a esta prestación es abordada por el actuario a través de las tablas de

mortalidad29 de segundo orden, es decir, mediante la esperanza matemática de las

probabilidades condicionadas de supervivencia y fallecimiento ajustadas

históricamente, a las cuales se les adiciona un recargo de seguridad que permita cubrir

aproximadamente el 95% de las trayectorias estimadas.

No obstante, cómo ya se ha explicado existe el riesgo de que estas trayectorias

estimadas no sean adecuadas a la cartera asegurada. El motivo de que no coincidan

es muy diverso:

• La población objeto de ajuste es diferente de la asegurada. Así por ejemplo las

tablas GRM/F – 95 y GKM/F – 95 que son admitidas por la legislación española se

hallan ajustadas a la población suiza.

• La cartera asegurada no es representativa de la ajustada (sesgada). La cartera

asegurada de una Aseguradora no es más que una muestra del total poblacional, lo

que da lugar a una desviación o error llamado error muestral. Si los valores

poblacionales pertenecen al mismo ámbito geográfico que el de la cartera o con

unas características similares, el error muestral será menor que en otro caso, ya

que la correlación entre ambas medidas será mayor. Además este error también

será menor conforme la cartera asegurada aumente su tamaño, cómo se deriva de

la ley de los grandes números citada anteriormente, siempre y cuando la muestra y

la población se hallen altamente correladas.

• La esperanza de vida es dinámica. Esto quiere decir que la correspondiente a un

asegurado de x años de edad en el año 1995, es diferente de la de un asegurado

de x años de edad en el año 2015. Así la esperanza de vida de los asegurados en

cartera será diferente de la correspondiente a la ajustada, ya que se trata de

fallecimientos o supervivencias que tendrán lugar en un período futuro del tiempo.

Únicamente podemos ajustar modelos de series temporales que permitan

determinar las probabilidades de supervivencia o fallecimiento en el futuro, dando

lugar a las tablas de mortalidad dinámicas. No obstante, el ajuste de esta

dinamicidad dará lugar a un nuevo error a añadir al mencionado en los párrafos

precedentes.

La aleatoriedad también se encuentra en la rentabilidad futura que la Aseguradora

obtendrá de la inversión de las PTSV. Es decir, si bien es habitual que la Aseguradora

29 Las tablas de mortalidad cómo veremos más adelante, son en esencia, una forma de combinar las tasas de

mortalidad en una población a diferentes edades y se utilizan para medir el nivel de mortalidad de una determinada

población.

25


garantice en la Póliza un interés técnico fijo, las inversiones afectas a la Póliza

proporcionan una rentabilidad variable que dependerá, del mercado de negociación de

estas inversiones.

En el apartado previo se ha explicado que las PTSV y las inversiones afectas tienen

que guardar cierta congruencia en cuanto al flujo de caja. El riesgo de liquidez será

mayor cuanto más incapaces resulten ser las inversiones afectas, para hacer frente a

las prestaciones y gastos que se derivarán de las PTSV. En este sentido, entre las

funciones del actuario se encuentra la de estimar el flujo de caja derivado de la Póliza.

El ya mencionado riesgo de desviación de la prestación real respecto a la esperada,

puede ocasionar que el flujo de caja proporcionado por las inversiones afectas a las

PTSV, llegue a ser insuficiente para hacer frente a las prestaciones y gastos que

resulten de la Póliza.

Por otra parte, la congruencia entre las PTSV y las inversiones afectas, se ha de

manifestar también en términos de cobertura futura de las primeras respecto de las

últimas. La inadecuada cobertura futura puede venir motivada por la diferente dinámica

del valor de unas y otras:

• La valoración futura de las PTSV dependerá del número real de componentes del

grupo asegurado en el futuro. Al mismo tiempo estas PTSV engloban una serie de

opcionalidades implícitas cuyo valor y/o activación es aleatoria:

o Opción de rescate anticipado del Tomador de la Póliza por un precio

prefijado.

o Opción del Tomador de participación en los beneficios que proporcionen

las inversiones afectas.

o Opción del Tomador de cesar en el pago de primas periódicas, modificando

las prestaciones garantizadas según unas condiciones prefijadas. Incluso

rehabilitación de las prestaciones inicialmente garantizadas, mediante la

puesta al día en el pago de las primas periódicas según unas condiciones

prefijadas.

o ...

• Las inversiones afectas tienen un valor que dependerá de las expectativas de los

intervinientes en su mercado de negociación, en cuanto a los tipos de interés

implícitos en la negociación, al riesgo de impago del emisor del título, tasa de

recuperación en caso de impago, ....

Además de lo anterior, estas inversiones también pueden encerrar diversas

opcionalidades:

o Recompra por parte del emisor del título a un precio prefijado.

26


o Si se trata de un activo estructurado, puede contener derivados de crédito

que incrementen su rentabilidad, cómo CDSs, ...

o Si el activo estructurado incluye un derivado para cubrir frente a la

volatilidad de los tipos de interés, (Swap de tipos de interés), éste último

toma un valor que dependiendo de los tipos de interés implícitos en la

negociación, puede llegar a ser casi nulo.

o ...

A los riesgos financieros de liquidez y mercado mencionados, hemos de añadir el de

contrapartida, es decir, que los deudores de la Aseguradora incurran en impago. De

entre los deudores de la Aseguradora caben destacar:

• los emisores de títulos afectos a las PTSV, ó

• reaseguradores30 a los que se ha cedido parte de la cobertura de la Póliza.

Tanto en un caso cómo en el otro, la Aseguradora no queda eximida de sus

compromisos por lo que puede no tener recursos suficientes para hacer frente a las

prestaciones garantizadas.

Entre otras cuestiones por lo mencionado, para lograr los principales objetivos del

presente trabajo, haremos un especial recurso a los procesos estocásticos que

permitirán:

• La determinación del valor razonable de las PTSV incluyendo ajustes por:

o Riesgo de tipos de interés.

o Riesgo técnico.

o Riesgo de crédito.

o Opcionalidades implícitas.

• Determinar la congruencia del activo y pasivo en términos del valor razonable de

ambos, tanto en la fecha del cálculo cómo en los períodos que median hasta el

vencimiento de los compromisos de la Aseguradora.

1.3. ESTRUCTURA DE LA INVESTIGACIÓN.

La investigación se desarrolla a través de nueve capítulos, incluyendo éste en el que se

describe el ámbito de investigación. A continuación se incluyen las referencias bibliográficas,

para terminar con cuatro anexos.

30 El contrato de Reaseguro es un contrato en virtud del cual una Aseguradora (cedente), transfiere el riesgo asociado a

una operación de Seguro a otra Aseguradora (reasegurador), a cambio de una prima.

27


Planteamos la determinación del valor razonable de las PTSV según los niveles y

volatilidad de tres subyacentes: tipos libres de riesgo, spread por riesgo de crédito y tanto de

mortalidad. Asimismo se tendrá en consideración algunas de las asimetrías, que en el valor

razonable de las PTSV se manifiestan, cómo consecuencia de las opcionalidades implícitas en

la Póliza de Seguros de Vida.

Para lograr los dos objetivos expuestos, el trabajo plantea los siguientes hitos:

INTRODUCCIÓN.

Exposición del campo de estudio así cómo de los retos a los que actualmente se

enfrenta la ciencia actuarial con motivo de la reforma del tratamiento contable de las

provisiones técnicas.

El capítulo 2 comienza con una introducción a la composición y cuantificación de las

PTSV, así cómo a las opcionalidades implícitas en las mismas.

El apartado siguiente inicia en las Normas Internacionales de Contabilidad, y más en

particular en:

• la NIIF 4 de Contratos de Seguro, y

• las dos alternativas que se ha planteado la IASB, para la contabilización de los

instrumentos financieros en el ámbito internacional: el valor razonable y el valor

específico de la entidad.

Una vez centrados en el valor razonable de instrumentos financieros, se describen las

distintas posibilidades planteadas para su determinación a partir de la jerarquía establecida por

el Joint Working Group of Standard Setters (JWS)31.

A continuación se incorporan los rudimentos básicos estadístico – matemáticos a los

cuales será necesario recurrir a lo largo de todo el trabajo. Entre ellos caben destacar

elementos del cálculo estocástico cómo los procesos de wienner, el Lema de Ito, o los

procesos de Ornstein – Uhlenbeck, así cómo conceptos estadísticos cómo los modelos de

series temporales ARIMA y la metodología Box – Jenkins.

SUBYACENTES AL VALOR RAZONABLE DE LAS PTSV

31 Grupo de trabajo perteneciente a la American Academy of Actuaries encargado a solicitud entre otros reguladores

contables, de la IASB, de encontrar soluciones a los problemas que supone valorar todos los instrumentos financieros

por su valor razonable.

28


A partir de aquí incluimos una serie de tres capítulos que pretenden examinar los tres

subyacentes que consideraremos en la cuantificación consistente con el mercado de las PTSV.

En el capítulo 3 se presenta la manera de abordar la estimación del valor razonable de

las PTSV desde la perspectiva de los tipos de interés, propuesta por el presente trabajo.

Inicialmente se describen varias de las metodologías existentes para el tratamiento de los tipos

de interés de forma determinística y estocástica.

A continuación se explica cómo proceder al filtrado de la información existente en los

mercados de capitales, para delimitar la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI). Por

último se presentan los modelos afines unifactoriales, y más concretamente el modelo de Hull –

White (1990).

El capítulo 4 se centra en los sucesos objeto de aseguramiento en los Seguros de Vida:

supervivencia o fallecimiento del asegurado. Para ello presentamos en primer lugar diversos

modelos de ajuste de tablas de mortalidad dinámicas, haciendo especial énfasis en los

modelos de Heligman y Pollard (1980) y de Lee – Carter (1992). Éstos últimos serán los que se

ajusten a la población andaluza desde 1980 a 2000, también en el capítulo 4.

La parte final del capítulo 4, propone un proceso de difusión de la tabla de mortalidad

dinámica ajustada, de forma que quede recogida la volatilidad manifestada en el proceso de

ajuste.

El capítulo 5 presenta inicialmente varias alternativas para la incorporación del riesgo

de crédito en la estimación del valor razonable. Finalmente al igual que ya se ha hecho con el

tipo de interés y el tanto de mortalidad, se trata el spread por riesgo de crédito cómo un

proceso estocástico, implementado mediante un árbol trinomial recombinante calibrable a

mercado.

ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE.

Una vez expuestos los tres subyacentes, en el capítulo 6 se procederá a la

determinación del valor razonable de las PTSV según los escenarios considerados respecto a

estos subyacentes. Así en el capítulo 6 se expone cómo valorar el flujo de caja que se deriva

de los contratos de Seguros de Vida, según los subyacentes considerados, a través de un árbol

trinomial recombinante con tres o cuatro dimensiones. En el ejemplo considerando difusión en

los tres subyacentes, obtenemos a través del árbol cuatridimensional, el equivalente a valorar

con 514.000 trayectorias diferentes respecto a las posibles combinaciones entre los

subyacentes.

29


DETERMINACIÓN DE LAS NECESIDADES DE RECURSOS PROPIOS.

Una vez se ha expuesto la metodología para determinar el valor razonable de las

PTSV, planteamos en el capítulo 7 una propuesta para la determinación de los recursos

propios necesarios cómo consecuencia del riesgo inherente al valor razonable de las PTSV. En

este capítulo 7 se describen en primer lugar las distintas alternativas que han considerado las

distintas legislaciones para determinar las necesidades de recursos propios de las entidades

aseguradoras que operan en el ramo de Vida.

Tras la introducción mencionada se procede a la exposición de un análisis de

sensibilidad del valor razonable de las PTSV, ante variaciones en los niveles y volatilidad de los

distintos subyacentes.

Por último presentamos una propuesta para tratar los riesgos implicados en el Seguro

de Vida holísticamente, y la inclusión en un mismo análisis del activo y el pasivo que se deriva

del negocio asegurador.

Para ello se determina el VAR de excedente mediante árboles trinomiales

recombinantes similares a los descritos para la estimación del valor razonable de las PTSV,

incluyendo asimismo difusión respecto al spread por riesgo de crédito del activo afecto.

APLICACIÓN PRÁCTICA

En el capítulo 8 se aplican a un caso práctico los modelos de valoración expuestos,

para la estimación del valor razonable de las PTSV y para la determinación de las necesidades

de recursos propios.

CONCLUSIONES.

Se recogen las conclusiones finales de la investigación en el capítulo 9, los principales

problemas que han surgido a lo largo de la misma, así cómo cuales pueden ser las futuras

líneas de investigación.

Después del capítulo 9 se incluyen las referencias bibliográficas por orden alfabético de

autores, y que han sido fuentes de información para la investigación.

Finalizamos con cuatro anexos cuyo objetivo es no dilatar la exposición de algunos

conceptos a lo largo de la investigación, desviando la atención del objetivo de la investigación.

30


1.4. FUENTES.

1.4.1. Búsqueda de información bibliográfica.

Se han consultado múltiples trabajos de investigación que tratan sobre temas

relacionados con nuestro análisis. La localización de estas fuentes se ha llevado a cabo vía

internet, si bien existe algún trabajo que se ha localizado en biblioteca convencional. Se

identifican las referencias bibliográficas mediante el apellido del autor/es y el año de

publicación de la misma.

1.4.2. Datos para el ajuste de la mortalidad de la población andaluza.

En este trabajo, se han elaborado unas tablas de mortalidad dinámicas para la

población andaluza, sin recargo de seguridad implícito. Para ello se ha contado con la siguiente

información que facilita el Instituto Nacional de Estadística a través de su página web

www.INE.es:

• Población andaluza femenina y masculina por edades desde 1980 a 2000.

• Número de muertes para la población andaluza femenina y masculina por edades

desde 1980 a 2000.

1.4.3. Aplicaciones informáticas.

Con la finalidad de aplicar el modelo de Lee – Carter, se ha programado una función en

Matlab 6.5., llamada LeeCarter, que permite ajustar tablas de mortalidad dinámicas a cualquier

población siempre que se pueda contar con más de 5 años de experiencia.

Para ajustar los modelos ARIMA correspondientes a los parámetros de la segunda Ley

de Heligman y Pollard aplicados sobre la población andaluza, se ha utilizado el paquete

estadístico Statgraphics y SPSS.

Para aplicar un modelo estocástico de evolución para cada uno de los subyacentes del

valor razonable de las PTSV, se ha programado en VBA para Microsoft Excel 2000 una función

denominada ArbolHW1 que devuelve un árbol trinomial para la difusión gaussiana con un

factor.

31

http://www.ine.es/


Para los cálculos masivos del valor razonable de las PTSV y del activo afecto, así cómo

para determinar el VAR de excedente se ha utilizado el entorno de programación Visual Basic

de Microsoft Visual Studio 6.0. complementado con Matlab 6.5.

También se ha utilizado Matlab 6.5. para representar los gráficos tridimensionales.

32

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL VALOR RAZONABLE DE LA

PROVISIÓN TÉCNICA DEL SEGURO DE VIDA. 35

2.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO 35

2.2. CONSIDERACIONES PREVIAS DE LAS PTSV. 35

2.3. INTRODUCCIÓN A LA NIIF 4 Y VALOR RAZONABLE. 42

2.3.1. Introducción a la NIIF 4. 42

2.3.2. Valor Razonable Vs. Valor Específico de la Entidad. 44

2.4. PRINCIPIOS DE VALORACIÓN PARA INSTRUMENTOS

FINANCIEROS. 45

2.4.1. Jerarquía de métodos de valoración. 45

2.4.2. Valor de negociación en el mercado. 46

2.4.3. Replicación de valores de mercado. 47

2.4.4. Valoración de los flujos de caja futuros. 47

2.5. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO ESTOCÁSTICO

APLICADO AL CAMPO FINANCIERO – ACTUARIAL. 50

2.5.1. Introducción a los modelos dinámicos estocásticos. 50

2.5.2. Elementos de cálculo estocástico. 54

2.6. SERIES TEMPORALES. MODELOS ARIMA. 68

2.6.1. Serie temporal 68

2.6.2. Predicción con modelos ARIMA. 75

33

CAPÍTULO 2.Introducción al Valor Razonable de la Provisión Técnica de Seguro de Vida.

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL VALOR

RAZONABLE DE LAS PROVISIONES

TÉCNICAS DE SEGUROS DE VIDA. 2.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO. Este capítulo permite introducir los conceptos básicos acerca de las PTSV, así cómo

algunos rudimentos financieros – actuariales para aproximar su valor razonable.

Tiene cuatro partes claramente diferenciadas:

La primera introduce el concepto actuarial de PTSV en el apartado 2.2., así cómo los

actuales planteamientos de la International Acounting Standard Board (IASB) en materia de

Seguro y de valoración, en el apartado 2.3.

La segunda parte incorpora los conceptos financiero – actuariales necesarios para la

valoración consistente con el mercado de instrumentos financieros en general, y de Seguro

de Vida en particular en el apartado 2.4.

A continuación se introduce en el apartado 2.5., una serie de nociones básicas sobre

cálculo estocástico, necesarias para el tratamiento de los subyacentes al valor razonable

de las PTSV cómo procesos estocásticos.

El último apartado expone el concepto de series temporales ARIMA, así cómo la

metodología Box – Jenkins de selección de modelos de series temporales ARIMA. Esta

metodología nos será de utilidad para el ajuste de tablas de mortalidad dinámicas a la

población andaluza, en el capítulo 4.

Las nociones que proporcionan los dos últimos apartados, se hacen imprescindibles

para el entendimiento de algunas manipulaciones estadístico – matemáticas que se llevan a

cabo en los siguientes capítulos.

2.2. CONSIDERACIONES PREVIAS DE LAS PROVISIONES TÉCNICAS DE SEGUROS DE

VIDA.

Como explican Nieto y Vegas (1993) los elementos esenciales de la operación actuarial

que constituye el Seguro de Vida son:

35


a) Duración, [ , dividida en periodos, ]Tt, [ ]ttt ∆+, .

b) Sucesos, ω , que según el contrato dan lugar al cobro de las primas, ),( tωΠ , y al

pago de las cantidades estipuladas, ),( tK ω .

c) Capitales financiero – dinámicos asociados a estos sucesos, ),( tωΠ y ),( tK ω .

Los mencionados capitales financiero – dinámicos son procesos financiero –

estocásticos, ya que incluyen los siguientes elementos básicos:

Estocástico: Se hallan condicionados a los sucesos posibles, ω , los cuales forman un conjunto

. En nuestro caso tendremos Ω

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

2

1

ω

ω

1ω : supervivencia del asegurado.

2ω : fallecimiento del asegurado.

El conjunto Ω , se denomina espacio muestral, y forma parte de un espacio de

probabilidad . ( )PF ,,Ω

El segundo elemento del espacio de probabilidad, será la σ – álgebra, , o conjunto

de eventos relevantes a los que asignaremos cierta probabilidad. De modo que podemos

considerar cómo un conjunto de información. Una filtración

F

F 0≥∀ttF es una familia creciente

de σ – álgebras incluidas en tal que cada F σ – álgebra contiene todos los conjuntos

contenidos en la σ – álgebra anterior, de manera que para todo . Podemos

considerar una filtración, cómo la “historia” del proceso al tiempo t.

ts FF ⊆ ts ≤

tF

El último componente del espacio de probabilidad es la medida de probabilidad, P , y

que se corresponde con una función [ ]1,0: →FP que asigna a cada evento un

número .

FA∈

[ ]1,0)( ∈AP

36


Financiero: Se trata de capitales dinámicos, por lo que es preciso introducir el proceso

estocástico cuenta bancaria, 0≥∀ttβ , tal que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

t

dssrt0

)(exp)(β

siendo

)(sr : la intensidad de rentabilidad en el instante . s

En este aspecto profundizaremos en el capítulo 3.

Por otra parte, Nieto y Vegas (1993) distinguen a su vez dos subprocesos financiero –

estocásticos:

a) Aportaciones o primas pendientes de pago del Tomador de la Póliza:

[ ]Ttss ,,),( ∈∀Ω∈∀Π ωω

b) Prestaciones o pagos comprometidos por parte de la Aseguradora:

[ ]TtssK ,,),( ∈∀Ω∈∀ωω

Consideraremos para simplificar que los gastos incurridos por la aseguradora, son

asimismo prestaciones.

Las primas corresponden a un derecho de la aseguradora y es lo que De la Peña

(2003) denomina activo actuarial.

Las prestaciones aseguradas, junto a los gastos de administración y comercialización

del asegurador, determinan los compromisos de la aseguradora y es lo que De la Peña (2003)

denomina pasivo actuarial, ó pasivo de seguros.

Nieto y Vegas (1993) introducen el principio de equivalencia estática, como aquel que

considerando la operación actuarial en toda su duración, establece la igualdad entre el valor

actual de las aportaciones y de las prestaciones, determinados sobre la base de la esperanza

matemática de ambos procesos financiero – estocásticos. Es decir:

37


• Valor actual actuarial del subproceso de aportaciones:

∑−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅Π=Π

1

0 )(1),()(

m

it

ii F

ttEpt

βω

si consideramos independencia entre el proceso de las aportaciones y el de la cuenta bancaria

tenemos que

[ ]∑−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅Π=Π

1

0 )(1),()(

m

it

iti F

tEpFtEpt

βω

donde

t : tiempo en que toma efecto la Póliza.

m : número de pagos de primas.

10−

=miit : tiempos en los que se produce el pago de las primas.

[ ]),(),(

),(),(1

11 tP

tPtFtEp i

iti ωω

ωω ⋅Π=Π .

),(),(

1

1

tPtP i

ωω

: probabilidad de supervivencia en , condicionada a que se halla vivo en . it t

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ti

tt

i

dttrEpFt

Ep )(exp)(

1β

• Valor actual actuarial del subproceso de prestaciones, en tiempo discreto32:

[ ]∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

n

it

iti F

tEpFtKEptK

0 )(1),()(

βω

donde

n : número de períodos de cobertura del Seguro.

[ ]),(

),,(),(

),(),(

),(),(1

122

1

11 tP

ttPtK

tPtP

tKFtKEp iii

iiti ω

ωω

ωω

ωω +⋅+⋅=

32 En realidad el fallecimiento puede tener lugar en cualquier instante intermedio. Aquí asumimos para simplificar que el

fallecimiento únicamente puede tener lugar en los tiempos ti.

38


),(),,(

1

12

tPttP ii

ωω + : probabilidad de fallecimiento del asegurado en el intervalo [ ],

condicionada a que se halla vivo en .

1, +ii tt

t

Cómo veremos, la valoración consistente con el mercado, utiliza una probabilidad, Q ,

riesgo – neutro, diferente de la probabilidad real, P . Proponer una metodología para usar esta

probabilidad de valoración, será uno de los objetivos fundamentales de la presente

investigación.

Por otra parte, el principio de equivalencia estática establece que

)()( tKt =Π

Si bajo el principio de equivalencia estática, es decir, considerando la operación

actuarial en su duración total, nos situamos en un período u posterior al origen, t , tanto el

subproceso de prestaciones cómo el de aportaciones queda dividido en dos partes. Llamando

),(1 uK ω y ),(1 uωΠ a los capitales financiero – estocásticos correspondientes a las

prestaciones y aportaciones contenidas en el intervalo [ ]ut, ; y haciendo corresponder

),(2 uK ω y ),(2 uωΠ al intervalo que va desde u hasta el vencimiento T , podemos

establecer que

),(),(),(),( 2121 uKuKuu ωωωω +≈Π+Π

o lo que es lo mismo

),(),(),(),( 2211 uuKuKu ωωωω Π−≈−Π

El capital aleatorio

),(),(),(),(),( 2211 uuKuKuuV ωωωωω Π−≈−Π=

recibe el nombre de reserva matemática a priori o ex–ante de la operación en el período t.

Su esperanza matemática será

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ),(),(),(),(),( 2211 uEpuKEpuKEpuEpuVEp ]ωωωωω Π−≈−Π=

39


y recibe el nombre de reserva matemática (en el sentido actuarial del término) a priori o ex–

ante en el período t.

Si denominamos y a la realización concreta hasta de las

aportaciones y prestaciones, así como

)(0 uΠ )(0 uK u

),( TuΠ y a los capitales financieros –

estocásticos correspondientes al período

),( TuK

[ ]Tu, , condicionados a las realizaciones hasta u ,

tendríamos dos partes bien diferenciadas:

• La primera parte hasta u

)()( 00 uKu −Π (2.1)

es un valor cierto.

• Mientras que la segunda parte desde u

),(),( TuTuK Π− (2.2)

sigue siendo una variable aleatoria.

Por supuesto, ambas partes (2.1) y (2.2) además de ser la primera un valor cierto y la

segunda una variable aleatoria, no tienen por qué ser equivalentes, dependiendo las

diferencias entre una y otra de las desviaciones que con respecto al valor medio representan

las concreciones del suceso asegurado hasta . u

El capital aleatorio

),(),(),( TuTuKTuV Π−=

se denomina reserva matemática a posteriori o ex–post en el período u . Su esperanza

matemática

[ ] [ ]uu FTuTuKEpFTuVEp ),(),(),( Π−=

es la reserva matemática prospectiva en sentido actuarial, a posteriori, valorada en . u

La esperanza matemática de ambos procesos se determina generalmente en la

práctica actuarial a partir de la esperanza matemática del suceso supervivencia o fallecimiento

40


del asegurado así cómo de la esperanza matemática de la función de descuento. En este

trabajo abordaremos la valoración de la reserva matemática a posteriori, a partir de un modelo

de valoración financiero – actuarial que recoge la esperanza matemática del suceso

supervivencia o fallecimiento del asegurado cómo un proceso estocástico, al igual que la

función de descuento.

En su determinación, cobra una gran importancia el modelo considerado acerca de:

• La supervivencia del asegurado, y que subyace en las tablas de mortalidad utilizadas

en la operación actuarial.

• El tanto de descuento a considerar en la actualización de todos los flujos.

Debido a la importancia de las tablas de mortalidad en la estimación de la probabilidad

real de ocurrencia del escenario que da lugar a los flujos de caja, así como en la determinación

del riesgo de estimación de las prestaciones (y cobros futuros de primas, por supuesto),

profundizaremos en éstas en el capítulo 4.

Con respecto al mencionado tanto de descuento, la cuantificación de las PTSV se lleva

a cabo de acuerdo con la legislación vigente (art. 33. del ROSSP), según el tipo de interés

técnico, y en general es admitida su determinación según el rendimiento medio que obtendrá la

compañía de la inversión de las PTSV. No obstante si nos centramos en el Seguro de Vida, la

duración de los contratos en ocasiones es enorme, lo que provoca que también lo sea la

incertidumbre respecto al rendimiento que obtendrá la compañía durante la vigencia de la

Póliza. Por lo que profundizaremos bastante más en todo ello en el capítulo 3.

Por otra parte si valoramos la reserva matemática prospectiva en sentido actuarial,

desde el punto de vista del Tomador de la Póliza, ésta valoración tendría en cuenta entre otros,

el riesgo de impago de la Aseguradora. El objetivo de la investigación, es aproximar para esta

reserva matemática, en adelante PTSV, el valor por el que se intercambiaría el derecho que

representa, en un mercado de negociación. El riesgo de impago se expondrá en el capítulo 5.

En cuanto a la prima, ésta se determina a partir de las prestaciones garantizadas por la

Póliza, en función de las hipótesis técnicas del producto (interés técnico, gastos de

administración y comercialización, tabla de mortalidad,…), no obstante, existen varias

opcionalidades incorporadas a la Póliza, que no es habitual cuantificar ni en la prima ni en las

PTSV. La posibilidad de rescate anticipado de la Póliza, constituye una opción implícita en la

Póliza, que generalmente no se valora en el importe de la prima a cobrar al tomador de la

41


Póliza, ni en las PTSV. En realidad, si el valor de rescate se calcula en función del interés

técnico garantizado en la Póliza, estamos ante un intercambio de tipos33.

Otra opción implícita en la Póliza, y que tampoco se cuantifica en la prima es la

participación en beneficios. No es extraño encontrarse con Seguros de Vida que ofrecen al

tomador de la Póliza, la participación en un porcentaje de la rentabilidad obtenida por la

inversión de las PTSV por encima del interés técnico. En caso de que la rentabilidad de las

inversiones no alcance el interés técnico garantizado, no se produce en cambio, un menoscabo

en las prestaciones garantizadas. En todo esto profundizaremos en el capítulo 6.

2.3. INTRODUCCIÓN A LA NIIF 4 Y VALOR RAZONABLE. 2.3.1. Introducción a la NIIF 4.

En la actualidad los mercados de capitales mundiales carecen de fronteras, y sus

participantes han de disponer de información financiera comparable, que les permita tomar

decisiones de inversión. Durante más de 30 años, el Consejo de Normas Internacionales de

Contabilidad (IASB) y su antecesor, el Comité de Normas Internacionales de Contabilidad

(IASC), han trabajado para desarrollar, un conjunto de Normas Internacionales para la

Información Financiera de alta calidad, de fácil comprensión e implantación, que puedan ser de

utilidad a los inversores en acciones, a las entidades de crédito y a otros posibles usuarios de

este tipo de información. Son los IAS o IFRS, en su denominación más actual, también

conocidas en España como NIC o NIIF.

Para implantar su "Estrategia en materia de Información Financiera" adoptada por la

Comisión Europea en junio de 2000, el Parlamento y el Consejo de la Unión Europea (UE)

aprobaron un Reglamento en el que se exigía a todas las empresas cotizadas de la UE la

aplicación antes de 2005, de las normas contables emitidas por el IASB en la elaboración de

sus estados financieros consolidados. Se permitía no obstante, que los estados miembros

decidan si la obligación de cumplir con los requisitos de las NIIF se extiende también a los

estados financieros de grupos no cotizados y estados financieros individuales.

Asimismo, los estados miembros tienen la opción de eximir de forma temporal (sólo

hasta 2007) a algunas empresas del cumplimiento con NIIF:

(1) aquellas empresas que coticen tanto en la UE como en una Bolsa fuera de la UE y

que apliquen los US GAAP como sus principales normas de contabilidad, y

(2) empresas que sólo tienen títulos de deuda negociables que cotizan en Bolsa.

33 Se refiere a que la aseguradora garantiza un tipo fijo, cuando en realidad el mercado de capitales proporciona un

interés variable.

42


La obligación de cumplir con las NIIF se aplica no sólo a los veinticinco estados

miembros de la UE sino también a los tres estados del Espacio Económico Europeo. Muchas

empresas importantes de Suiza (que no es miembro de la UE ni del EEE) ya aplican las NIIF.

Debido a la complejidad del negocio asegurador, resulta complicado establecer un

marco especial para los aspectos contables específicos del seguro. De ahí que en mayo de

2002 el IASB decidió proceder en su Proyecto de Seguros en dos fases. La primera fase

abarca la NIIF 4 (Contratos de Seguro), y en un sentido más amplio, la NIC 32 (Instrumentos

financieros: presentación e información a revelar) y la NIC 39 (Instrumentos financieros:

reconocimiento y valoración). En la segunda fase prevista para más allá del 2007, se tratarán

aspectos tan controvertidos cómo la valoración de las PTSV.

La NIIF 4 es la primera orientación del IASB sobre la contabilización de los contratos de

seguros (aunque no la última). Hay una Segunda Fase del Proyecto de Seguros del IASB en

marcha. El Consejo emitió la NIIF 4 debido a la necesidad urgente de mejorar los desgloses de

los contratos de seguros y mejorar moderadamente las prácticas de reconocimiento y

medición, a tiempo para la adopción de NIIF por parte de empresas cotizadas de toda Europa y

del resto del mundo en 2005.

La NIIF 4 se aplica a la práctica totalidad de los contratos de seguros (incluyendo los

contratos de reaseguros) que emite una entidad y a los contratos de reaseguros que posee. No

se aplica a otros activos y pasivos de una aseguradora, como activos y pasivos financieros,

dentro del alcance de la NIC 39. Por otro lado, no aborda la contabilización por parte de los

tomadores de los seguros.

La definición que la NIIF 4 incluye sobre contrato de seguros es "contrato en virtud del

cual una parte (la aseguradora) asume un riesgo de seguro significativo de otra parte (el

tomador del seguro) aceptando compensar al tomador del seguro si un determinado

acontecimiento futuro incierto (el acontecimiento asegurado) afecta negativamente al tomador

del seguro".

En cuanto a su aplicación, la NIIF exime a una aseguradora temporalmente (hasta la

finalización de la fase II del Proyecto de Seguros) de determinados requisitos de otras IFRS,

incluyendo el requisito de tener en cuenta el Marco del IASB a la hora de seleccionar políticas

contables para contratos de seguros.

Se incluye en el anexo I un cuadro resumen acerca de las políticas contables

introducidas por NIIF 4.

43


Asimismo se incluye en el anexo II un cuadro resumen de la información a revelar por

parte de la aseguradora exigido por la NIIF 4.

2.3.2. Valor Razonable Vs. Valor Específico de la Entidad.

Se entiende actualmente por “Fair Value” o valor razonable, aquel valor por lo que se

puede “cambiar” un activo o cancelar una obligación, entre dos partes que disponen de

información en un mercado.

Hay que distinguir el valor razonable del “Entity Specific Value” o valor específico de la

entidad. Este último representa el valor de un activo o pasivo para la empresa, y puede reflejar

factores que no están disponibles o no son relevantes para otros miembros del mercado.

No obstante, hemos de tener en cuenta que las definiciones de estas dos medidas

están todavía siendo debatidas a la fecha de elaboración de este trabajo. Hemos de ser

conscientes de que ambas palabras y el entendimiento del objeto de medida puede cambiar

con el tiempo.

A continuación se incluye un cuadro ilustrativo.

Base lógica Asunciones Calidad crediticia

Valor del activo o pasivo de la Valor de Basadas en Posiblementeempresa, por el cual una compañía salidad o de el mercado. reflejado. Ambos implican el uso de la jerarquíaestaría dispuesta a transferir a otra fijación de métodos de valoración del JWS que el control sobre el activo y/o pasivo inmediata. veremos en el siguiente punto.existente en el balance a la fechaen que se produce la transacción, Ambos anticipan la actualización de entendida en un mercado de las asunciones de valoración a la fechalibre competencia de ésta.

Para el pasivo de una aseguradoraValor del activo o pasivo de la Fijación Específicas No en ambos se utilizan las técnicas empresa, que puede reflejar ordenada para la reflejado. del valor actualizado para reflejar factores que no están disponibles a lo largo entidad. estimaciones.o no son relevantes para otros del tiempo.miembros del mercado.

FAIR VALUE

ENTITY SPECIFIC

VALUE

MEDIDA CONCEPTO SIMILITUDESDIFERENCIAS

Cuadro 2.1. Cuadro comparativo entre Fair Value y Entity-Specific Value.

Cada uno de los objetos de medida propuestos representa un cambio importante de los

Principios Contables Generalmente Aceptados de España (PCGA).

Así en los PCGA se permite activar gastos que luego se amortizan a lo largo del

período durante el cual son reconocidos los ingresos. No hay lugar para tal amortización en un

sistema completamente prospectivo, cómo sería el del valor razonable.

44


En segundo lugar, actualmente las asunciones de valoración del pasivo están cerradas,

es decir se deben de cumplir “al pie de la letra”, sólo podrán ser cambiadas cuando se

necesiten reconocimientos de pérdida. Bajo el valor razonable, todas las asunciones de

valoración están abiertas y susceptibles de cambio en cada fecha de valoración.

Dada la profundidad de los contratos de Seguros de Vida, y la multitud de variables a

considerar, el valor razonable será muy sensible a las asunciones usadas, por lo que se debe

tener mucho cuidado en desarrollar un método consistente y disciplinado para establecer estas

asunciones; establecer éste método será todo un reto.

Al evaluar la dependencia de los resultados respecto de las asunciones tomadas, los

cuerpos que establecen la normativa contable enmarcarán muchas de sus discusiones en

términos de relevancia versus fiabilidad.

Las conclusiones que alcancen estos cuerpos se incluirán, al igual que las propuestas

actuales respecto de la normativa contable internacional, en el Draft Statement of Principles

(DSOP)34 establecido por el International Acounting Standard Board (IASB).

Por otra parte, el presente trabajo aborda exclusivamente la determinación del valor

razonable de las PTSV con un enfoque financiero – actuarial, sin entrar en más detalle en

cuanto a los aspectos contables de la norma.

2.4. PRINCIPIOS DE VALORACIÓN PARA INSTRUMENTOS FINANCIEROS.

2.4.1. Jerarquía de métodos de valoración.

Las distintas cuantificaciones que puede ofrecer una estimación derivan

fundamentalmente de los métodos utilizados en la valoración del instrumento financiero.

El “Joint Working Group of Standard Setters” (JWS) ha propuesto una jerarquía de

métodos para determinar el valor razonable de instrumentos financieros. Como muchos

contratos de seguro están incluidos dentro de su definición de instrumentos financieros, se

presume que esta jerarquía se aplicaría también a las PTSV.

La jerarquía (de mayor a menor fiabilidad) a utilizar en la valoración sería:

1. El valor de mercado cuando esté disponible.

34 Documento que incluye la proposición actualizada en materia de normativa contable internacional del IASB.

45


2. Cuando no exista valor de mercado para el instrumento que se quiera valorar, se usará el

valor de mercado de un instrumento análogo, ajustando las diferencias oportunas.

3. Si no existe un valor de mercado y no hay ningún instrumento análogo disponible, se

calculará el valor actual de los flujos esperados futuros de ese instrumento incluyendo un

ajuste en función del riesgo de impago.

2.4.2. Valor de negociación en el mercado.

Cuando séa posible disponer de un instrumento financiero en mercados vivos, amplios

y abiertos, entonces el precio de mercado es el valor razonable.

En algunas situaciones un mercado puede existir, pero el precio de mercado no sería el

valor razonable. Tales situaciones son las siguientes:

1. El mercado no es vivo, amplio, y abierto, o cada negociación puede tener lugar bajo

condiciones especiales o consideraciones únicas.

Por ejemplo, el volumen de negociación puede ser muy pequeño. Si ocurre eso, el precio

de mercado podría estar fuertemente influenciado por la oferta y demanda del día de

negociación y no representativas del curso de las condiciones del mercado general.

2. Puede haber restricciones en la negociación del mercado que hacen imposible completar

un intercambio de libre competencia.

Por ejemplo, si nos situamos en el caso de una operación de reaseguro, la compañía

aseguradora cedente no puede transferir sus PTSV completamente al reasegurador. Según

la legislación vigente, la cedente responde del pago de las prestaciones, haga o no frente

el reasegurador de sus obligaciones de reembolsar a la cedente su parte proporcional de la

prestación. Como la cedente no está completamente aliviada del riesgo en tal transacción

de reaseguro, el precio de la transacción no es el valor razonable. Sin embargo, el precio

de las transacciones de reaseguro puede proporcionar una guía para la determinación del

valor razonable, siempre que todos los riesgos inherentes sean tenidos en cuenta.

3. En casos extraños, puede haber consideraciones especiales debido al tamaño del

instrumento financiero.

Por ejemplo, un paquete de acciones que representa un interés de control en una

compañía puede tener un valor razonable mayor que el producto del número de acciones y

46


el precio del mercado por acción. En efecto, un interés de control tiene valor que se separa

del valor de las acciones individuales negociadas en el mercado.

2.4.3. Replicación de valores de negociación en el mercado.

Algunos productos ofrecidos por compañías de seguro se parecen mucho a otros

instrumentos ofrecidos por compañías no aseguradoras, por ejemplo, rentas temporales con un

mínimo riesgo de seguro.

En ocasiones es posible construir una cartera de títulos de negociación pública, que se

comporta de forma muy parecida a las PTSV, estando imbuida además de la mayoría de sus

riesgos. En tales situaciones el valor de la cartera de títulos puede servir como valor razonable

de las PTSV. Esta cartera de títulos se puede considerar como una “cartera de medida” ya que

sirve de guía para medir el valor de las PTSV, pero no es correcto referirse a tal cartera como

“cartera replicada” a no ser que encajen exactamente los flujos de caja de las PTSV en cada

escenario posible, incluyendo escenarios que implican impago por el riesgo de crédito.

En el caso de contratos que incluyen riesgos de seguro tales como la mortalidad, no

existen “carteras de medida” en mercados secundarios corrientes. Sin embargo, en algunas

situaciones, los riesgos de seguro son muy pequeños con relación al valor del instrumento

financiero. En aquellos casos, el valor de una cartera similar de títulos de negociación pública

puede proporcionar una guía para valorar las PTSV, siempre que se realicen los ajustes

necesarios para reflejar el riesgo de mortalidad.

2.4.4. Valoración de los flujos de caja futuros.

Lo que se pretende es encontrar en el mercado la información que nos permita poder

valorar los instrumentos que no cotizan. Esta valoración será relativa, no absoluta o

fundamental.

Cuando el valor de mercado no está disponible (o, debido a las consideraciones

mencionadas anteriormente, no representa el valor razonable), y para llevar a cabo una

valoración consistente con el mercado, hay al menos tres métodos teóricamente correctos para

estimar el valor de una serie de flujos de caja con riesgo de impago y dependientes del

escenario futuro respecto de la supervivencia o fallecimiento del asegurado:

1. El descuento de flujos de caja futuros ponderados con la probabilidad real del

escenario que proporciona estos flujos de caja, usando tipos de descuento

47


obtenidos de la suma de una tasa libre de riesgo y una prima de riesgo asociada al

riesgo de impago.

2. Modificar la probabilidad real de ocurrencia del escenario que da lugar a los flujos

de caja futuros con riesgo y descontar a los tipos de interés libres de riesgo, es lo

que se conoce como valoración riesgo – neutro.

3. Modificar la cuantía de los flujos de caja con riesgo y descontar a los tipos libres de

riesgo.

Veamos cada uno brevemente con un ejemplo para un único período.

Consideraremos una Póliza de Seguro de Vida con un valor consistente con el

mercado de , cuya prestación dentro de un año será , si el asegurado vive y si el

asegurado fallece a largo del año. Podemos aplicar los tres métodos de valoración como sigue.

S pxS qxS

Primero,

S

qxxpxx

rSpSp

Sλσ++

−+=

1)1(

(2.3)

donde

r : es el tipo libre de riesgo para un año,

),()1,(

1

1

xPxPpx ω

ω += : es la probabilidad real de supervivencia del Asegurado a un año,

λ : es el precio de mercado del riesgo asociado a la Póliza, y

Sσ : un parámetro de volatilidad asociado con este riesgo. Podemos considerar Sλσ cómo

una prima de riesgo de mercado.

Segundo,

rSS

S qxxpxx

+

−+=

1)1( ππ

(2.4)

donde

48


)1( xxxx ppp −⋅⋅−= λπ : es la probabilidad bajo una nueva medida de probabilidad, Q 35,

riesgo – neutro, es lo que conocemos cómo probabilidad martingala riesgo neutral, y que

analizaremos ampliamente más adelante.

O tercero,

[ ]r

ZSpSpS qxxpxx

+

−−+=

1)1(

(2.5)

donde

Z: es una cantidad que hace el numerador de (2.5) igual al equivalente cierto del pago

esperado con riesgo en el numerador de (2.4).

Con el objeto de ilustrar cómo la valoración con probabilidades martingala riesgo –

neutral compara la valoración con las probabilidades reales o usando un equivalente de

certeza, consideramos el ejemplo36 de una Póliza de Seguro de Vida.

Se trata de un Seguro Mixto cuyo capital garantizado por supervivencia a un año del

Asegurado es de 110€ y 90€ si fallece a lo largo del año. Consideraremos la probabilidad de

supervivencia, , y un tipo de descuento ajustado al riesgo. Este tipo de interés

será

9877,0=xp

0520995,0=+ Sr λσ

donde 02,0=λ y .104979,0. =Sσ De este modo, el valor de esta Póliza es

S

xx

rpp

λσ++⋅−+⋅

190)1(110

= 104,32€

De forma similar, este título puede ser valorado usando la probabilidad martingala,

9855,0=xπ , y descontándolo al tipo libre de riesgo, r = 0,05.

35 Se trata de la probabilidad que se está utilizando en la valoración. 36 Este ejemplo una vez modificado se ha extraído de la monografía de la SOA, Babel y Merrill (1996), Valuation of

Interest – Sensitive Financial Instruments, pp. 43-44.

49


rxx

+⋅−+⋅

190)1(110 ππ

= 104,32€

Finalmente, usando el método del equivalente de certeza con , el valor

sería

219,0=Z

rpp xx

+−⋅−+⋅

1219,090)1(110

= 104,32€

La conclusión es que el proceso de valoración puede contar para evaluar el riesgo,

tanto con las probabilidades reales, P , agregando al tipo libre de riesgo una prima de riesgo,

como con las probabilidades martingala riesgo – neutro, , y descontando al tipo libre de

riesgo, o por el ajuste de los flujos de caja a sus niveles de equivalente de certeza y

descontándo al tipo libre de riesgo. Sobre el cambio a la medida de probabilidad riesgo –

neutro Q , a través del teorema de Girsanov, profundizaremos en el apartado siguiente.

Q

2.5. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO ESTOCÁSTICO APLICADO AL CAMPO FINANCIERO – ACTUARIAL.

En la determinación del valor razonable de las PTSV, cobra una gran importancia la

cuantificación de los derivados implícitos, así cómo una cuantificación consistente con el

mercado, es decir, considerando la cuantificación en términos del valor de cotización de otros

instrumentos financieros.

Para abordar la valoración consistente con el mercado, haremos una primera

aproximación al cálculo estocástico.

2.5.1. Introducción a los modelos dinámicos estocásticos.

En ocasiones es muy complicado obtener información acerca de las expectativas sobre

los distintos escenarios a partir de los precios de mercado, debido a la inclusión en dichos

precios, de factores ajenos a los citados escenarios.

Para evitar el ruido inherente a los precios de mercado, así cómo los problemas que

hemos mencionado en el primer método de valoración de la jerarquía de la JWS, surgen los

modelos estocásticos de evolución.

50


A continuación expondremos una breve introducción a los modelos matemáticos que

devienen en modelos estocásticos de evolución.

Un modelo matemático supone la representación de un cierto aspecto de la realidad,

está basado en la lógica matemática, y sus elementos son variables y funciones, cuyas

relaciones matemáticas son similares a las del mundo real que modelizan.

Desde nuestro punto de vista nos interesa una primera clasificación de los modelos

matemáticos: modelos estáticos y dinámicos. En el primer caso la variable tiempo no es

importante, mientras que en el segundo caso, uno o varios de los elementos modelizados toma

valores dependientes del tiempo, describiendo trayectorias temporales.

Si nos centramos en los modelos dinámicos, podemos distinguir también entre modelos

dinámicos deterministas y estocásticos. En los primeros, tanto los parámetros cómo las

variables temporales, tienen asignados valores ciertos, mientras que en los modelos dinámicos

estocásticos, alguna variable o parámetro sigue un proceso estocástico, con lo cual las

variables temporales siguen una distribución de probabilidad.

Cómo regla general partiremos de modelos dinámicos estocásticos en tiempo continuo,

materializados a través de una ecuación diferencial estocástica. Por este motivo introduciremos

las ecuaciones diferenciales.

Resolución de ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida, con

sus derivadas (o derivadas parciales) hasta un cierto orden.

Podemos clasificar las ecuaciones diferenciales cómo ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDO) y ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Las primeras son aquellas en las

que la función incógnita es una función de una sola variable, mientras que en las EDPs, la

función incógnita es una función de varias variables, siendo las derivadas intervinientes en la

ecuación, derivadas parciales.

Para resolver una ecuación diferencial existen métodos analíticos y métodos

numéricos.

• Métodos analíticos: persiguen obtener la función solución de la ecuación diferencial

mediante una expresión analítica, que incluye funciones elementales. No obstante, es

habitual que no existan soluciones analíticas para las ecuaciones diferenciales, por lo

51


que se deba recurrir a los métodos numéricos. Serán estos últimos los que

emplearemos a lo largo del presente trabajo

• Métodos numéricos: suponen la obtención de soluciones numéricas de problemas de

valores iniciales. En este caso aunque desconozcamos la expresión analítica, la

solución viene dada mediante vectores de valores numéricos, de modo que podemos

determinar en cada período el valor numérico de esta solución.

Los métodos numéricos se aplican a problemas de valores iniciales (o finales) y se

basan en la discretización de la ecuación diferencial, es decir en la transformación de la

ecuación diferencial o en tiempo continuo en una ecuación en diferencias finitas o en tiempo

discreto.

Dado que más adelante haremos referencia al esquema de discretización de Euler,

explicaremos de forma somera cual es su planteamiento en un caso sencillo, cómo es una

EDO de orden 1 no lineal. Partimos de:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

00 )(

)),(()(

xtx

ttxfdt

tdx

Si la EDO es de orden n, basta con transformarla en un sistema equivalente de n

ecuaciones diferenciales de orden 1.

Para la resolución supondremos el intervalo [ ]Tt ,0 , y consideraremos que dicho

intervalo está dividido en subintervalos [ ]1, +ii tt , de manera que ttt ii ∆+=+1 , siendo la

longitud del subintervalo.

t∆

Si aplicamos a la función el desarrollo de Taylor de orden 1 obtenemos que: )(tx

)(')()( 2toxttxttx ii ∆+⋅∆+=∆+

siendo

52


)( 2to ∆ : el resto del polinomio de Taylor que depende de . Si 2t∆ t∆ es infinitesimal, a

se le conoce cómo infinitésimo de orden 2, y puede considerarse despreciable a

efectos de aproximación.

)( 2to ∆

Si sustituimos en la EDO, tenemos que:

)),(()(' iit

ttxfdt

tdxxi

==

De ambas expresiones nos queda:

)()),(()()( 2tottxfttxttx iiii ∆+⋅∆+=∆+

Si despreciamos el infinitésimo de orden 2, , obtenemos )( 2to ∆

)),(()()( iiii ttxfttxttx ⋅∆+≈∆+ ,

con lo cual hemos obtenido un algoritmo recursivo para obtener el vector de valores numéricos

que constituyen la resolución numérica. Si lo representamos cómo diagrama de flujo:

00 )( xtx =

0=i

)),(()()( iiii ttxfttxttx ⋅∆+≈∆+

1+= ii

Así conocido , determinamos el valor de , que a su vez se convierte en un

valor conocido a partir del cual determinar , y así sucesivamente.

0x )( 1tx

)( 2tx

Es necesario para ilustrar las especificaciones de los modelos estocásticos de

evolución introducir los siguientes conceptos de cálculo estocástico.

53


2.5.2. Elementos de cálculo estocástico.

Definiremos una variable aleatoria X cómo una función definida sobre el espacio

muestral, , que hace corresponder a cada Ω Ω∈ω un único número real, )(ωX .

es un vector aleatorio n – dimensional si sus componentes

son variables aleatorias.

),...,,( 21 nXXXX =

nXXX ,...,, 21

Podemos definir un proceso estocástico en tiempo continuo, 0≥∀ttX , cómo una

sucesión de variables aleatorias definidas en Ω , en la cual representa el valor del

fenómeno descrito por el proceso estocástico en el período t. De este modo una trayectoria

muestral sería una realización de la evolución del proceso. El espacio muestral es el

conjunto de todas las trayectorias muestrales.

tX

Ω

Supondremos que todas las variables aleatorias toman valores en el conjunto S,

denominado espacio de estados del proceso. Este espacio de estados, S, es el conjunto más

pequeño con la propiedad de que

tX

1=∈ SXP t t∀ .

Hasta un momento determinado del tiempo T , la evolución del fenómeno descrito por

el proceso estocástico , constituye la historia hasta el momento [ )TttX ,0∈ T , siendo los

valores posteriores a este momento estocásticos.

Esta historia del fenómeno nos permite revisar la distribución de probabilidad que

atribuimos al valor del proceso . Así suponiendo que nos situamos en el momento t y

consideramos el valor del proceso en algún momento futuro , la distribución del valor de

se halla caracterizada por las probabilidades

0≥∀ttX

tu >

uX ( )AXP u ∈ para subconjuntos medibles

del espacio de estados S. Si para todo

A

+∈ Rut, con , y siendo para todo : tu > SA ⊆

[ ][ ] ( )tutssu XAXPXAXP ∈=∈ ∈ ,0 ,

tenemos que es un proceso de Markov. Es decir, a partir de la información disponible

en el presente, el futuro es independiente del pasado, únicamente depende del valor presente.

0≥∀ttX

Martingalas.

54


Un proceso estocástico será martingala cuando en cualquier período, la variación

esperada para el valor del proceso en cualquier período futuro es igual a 0. Matemáticamente

diremos que un proceso estocástico 0≥∀ttX es martingala bajo P - martingala si para todo

tenemos 0≥t

( ) tuP

t XXE = tu ≥∀

siendo

P

tE : la esperanza cuantificada bajo la medida de probabilidad P , según la información en el

momento t.

De este modo tenemos que es la mejor predicción de dado . Para ello se

han de cumplir también las siguientes condiciones:

tX uX tF

• ∞<tXE t∀

• es un proceso adaptado a 0≥∀ttX 0≥∀ttF , es decir, t∀ , es medible en . tX tF

Se usa el concepto de “martingala” en teoría de la probabilidad entre otras muchas

cuestiones para hacer referencia al “juego equitativo”, consistente en un juego reiterativo a

partir de un valor , con la información, , hasta tiempo t . El juego será equitativo, si los

valores esperados futuros , según una medida de probabilidades,

tX tF

tuuX ≥∀ P , dada la

información , es precisamente el valor actual . tF tX

Procesos de Wiener.

Decimos que un proceso estocástico 0≥∀ttX es un proceso de Wiener o movimiento

Browniano estándar (MBE) si cumple:

1. . 00 =X

2. ),0( tuNXX tu −≈− 0≥>∀ tu . (Incrementos normalmente distribuidos)

55


3. son mutuamente independientes 112 ,..., −−− tntntt XXXX 0... 01 ≥>>∀ − ttt nn .

(Incrementos independientes).

De la condición 2 y 3 deviene que 0≥∀t , ),0( tNX t ≈ y [ ] ),min(, tuXXCov tu = ,

ya que : 0≥>∀ tu

[ ] ( )( )[ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] tttXEXXEXEXXXE

XXXXEXXCov

ttutttu

tttuut

=+=+−=++−

=+−=

0

,2

4. tiene trayectorias muestrales continuas con probabilidad 1. 0≥∀ttX

De este modo un MBE está definido según una medida de probabilidad P bajo la que

los incrementos tienen las propiedades anteriores, así

∫∞−

−≡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−

− h stu dsehh

tuXX

P 2

2

21)(π

φ

siendo

(.)φ : distribución acumulada de una normal estándar.

Hemos de caer en la cuenta de que un MBE es un proceso de Markov, ya que el

incremento desde el presente a cualquier período futuro es independiente del pasado. También

un MBE es martingala por ser el cambio esperado en el valor del proceso igual a 0.

Por otra parte Mikosch (1999) demuestra que las trayectorias muestrales de un MBE no

son diferenciables en ningún tiempo. A esta irregularidad hemos de añadir que la variabilidad

de estas trayectorias no se hallan acotadas en ningún intervalo finito [ . Estas dos

irregularidades son las que según Mikosch (1999) obligan a recurrir al cálculo estocástico.

]T,0

Proceso de Wiener generalizado

Consideremos un MBE y un proceso estocástico 0≥∀ttW 0≥∀ttX definido por:

tt WtXX σµ ++= 0 , 0≥t

siendo

56


σµ, : constantes y el valor inicial del proceso. 0X

A partir de las propiedades del MBE, tenemos que se distribuye normalmente con

media

tX

tµ y varianza . Así el cambio del proceso t2σ 0≥∀ttX se determinará a partir de

)()( tutu WWtuXX −+−=− σµ 0≥>∀ tu .

El incremento en el proceso para un intervalo infinitesimal será

tt dWdtdX σµ += ,

en el que , se puede considerar cómo una variable aleatoria de distribución . De

este modo el proceso se denomina proceso de Wiener generalizado donde el

parámetro

tdW ),0( dtN

0≥∀ttX

µ denominado componente tendencial, determina el cambio esperado por unidad

de tiempo, y el parámetro σ o volatilidad del proceso, refleja la incertidumbre acerca de los

valores futuros del proceso.

El proceso de Wiener generalizado sigue siendo un proceso de Markov, y sus

trayectorias son continuas no diferenciables en ningún punto, pero ya no es necesariamente

una martingala cómo si lo era el MBE. Sólo será una martingala cuando el componente

tendencial tome el valor 0.

Cuando los parámetros µ y σ varían determinísticamente en el tiempo será

un proceso de Wiener generalizado no homogéneo en cuanto al tiempo y se puede escribir

cómo

0≥∀ttX

tttt dWdtdX σµ +=

Para un intervalo de tiempo relativamente pequeño t∆ , tendremos un incremento

esperado en el proceso de aproximadamente t∆µ y su varianza será aproximadamente

también de . Rigurosamente el incremento para este intervalo será de t∆2σ

∫∫∆+∆+

∆+ +=−tt

tuu

tt

tuttt dWduXX σµ

57


siendo la denominada integral estocástica o Integral de Ito. ∫∆+ tt

tuu dWσ

De entre las muchas propiedades de la Integral de Ito, aquí destacaremos que si

)(uσ es una función determinística entonces tiene distribución . ∫∆+ tt

tuu dWσ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∆+ tt

tu duN 2,0 σ

Procesos de difusión.

Un proceso estocástico será un proceso de difusión unidimensional si se

puede representar para un intervalo de tiempo infinitesimal

0≥∀ttX

tttt dWtXdttXdX ),(),( σµ +=

pasando a ser ahora el componente tendencial y la volatilidad, funciones del tiempo y del valor

actual del proceso. Cuando el proceso estocástico se halla en las dos partes de la igualdad,

esta se denomina ecuación diferencial estocástica (EDE).

Dado que tiene una distribución , la media y varianza de los incrementos

en el proceso para un intervalo infinitesimal

tdW ),0( dtN

[ ]dttt +, condicionadas a la información

disponible en el instante t serán

[ ] dttXdXE ttt ),(µ=

[ ] dttXdXV ttt2),(σ=

Rigurosamente el incremento en el proceso de difusión para el intervalo [ ] será ttt ∆+,

∫∫∆+∆+

∆+ +=−tt

tss

tt

tsttt dWsXdssXXX ),(),( σµ ,

siendo

∫∆+ tt

ts dssX ),(µ una Integral de Riemann y

58


∫∆+ tt

tss dWsX ),(σ una Integral de Ito.

Un proceso de difusión es un proceso de Markov debido a que tanto el componente

tendencial cómo la volatilidad dependen exclusivamente del valor actual del proceso. Al igual

que el proceso de Wiener generalizado no es una martingala, salvo en este caso que

0),( =tX tµ , . Igualmente las trayectorias muestrales serán continuas y no

diferenciables en ningún punto. En cuanto al espacio de estados S y la distribución de los

valores futuros dependerán de las funciones

tX t ,∀

µ y σ .

Lema de Ito.

Un proceso estocástico unidimensional 0≥∀ttX es un proceso de Ito si sigue la

siguiente dinámica

tttt dWdtdX σµ += ,

con , donde RX t ∈ tµ y tσ son a su vez procesos estocásticos.

El Lema de Ito se puede considerar cómo la correspondencia estocástica de la regla de

la cadena del cálculo ordinario. Se hace indispensable para resolver ecuaciones diferenciales

estocásticas en las cuales el proceso estocástico, sigue una dinámica en la que se incluyen a

su vez otros procesos estocásticos.

Sea el proceso de Ito anterior y RtXf t ∈),( una función continuamente diferenciable

dos veces respecto a y una vez respecto a t . Entonces el proceso estocástico

definido por , será también un proceso de Ito, determinándose su dinámica cómo

sigue:

tX 0≥∀ttY

),( tXfY tt =

ttt

tt

ttt

t dWX

tXfdt

XtXf

XtXf

ttXf

dY σσµ∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

),(),(21),(),( 2

2

2

Su demostración se puede encontrar en Shreve (1997).

La expresión anterior se puede escribir cómo

59


22

2

)(),(

21),(),(

tt

ttt

t dXX

tXfdX

XtXf

dtt

tXfdY

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= ,

donde hemos de tener en cuenta para el cálculo de que 2)( tdX

0)( 2 == tdtdWdt

y

dtdWt =2)( ,

de manera que

dtdWdtdtdWdtdX tttttttttt2222222 )(2)()()( σσσµµσµ =++=+=

Teorema de Girsanov.

Una importante aplicación del teorema de Girsanov, es recoger la probabilidad de

valoración, en la ecuación diferencial estocástica que recoge la evolución del proceso

estocástico referente al precio del instrumento.

Según este teorema un proceso de Wienner generalizado con componente tendencial,

es decir, que no es martingala, se puede ver cómo un proceso de Wienner sin componente

tendencial, mediante un cambio sobre la medida de probabilidad, P .

Así, definido un espacio de probabilidad, ( )PF ,,Ω , consideramos una variable

aleatoria, , con esperanza la unidad, tenemos que 0≥L

( )LEAQ A1)( =

define una nueva medida de probabilidad. El hecho de que la esperanza de sea igual a 1

garantiza que

L

( ) 1)( ==Ω LEQ

Decimos que L es la densidad de respecto de Q P , en términos matemáticos

60


LdPdQ

=

La esperanza matemática de la variable aleatoria X en el nuevo espacio de

probabilidad será ( )QF ,,Ω

( )XLEXEQ =)(

Rigurosamente en términos generales, el teorema es el siguiente. Sea

un proceso adaptado que cumple la condición de Novikov:

[ ] TtX t ,0, ∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫T

t dtXE0

2

21exp .

y un movimiento browniano. [ ] TtWt ,0, ∈

Entonces, el proceso

∫+=t

stt dsXWW0

~

es un movimiento browniano respecto de la nueva medida de probabilidad Q .

Este teorema nos permitirá aplicar la nueva medida de probabilidad martingala riesgo -

neutral , usada en la valoración de instrumentos financieros cotizados, en lugar de la

probabilidad real,

Q

P .

Consideraremos cómo ejemplo el modelo de Black – Scholes, según el cual el precio

de un activo con riesgo, será

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ttWPP tt

20 2

1exp σµσ

donde interpretamos

61


µ : tanto de rendimiento medio

σ : volatilidad del rendimiento

Por otra parte tenemos el activo sin riesgo que evoluciona

rt

t e0ββ =

A continuación pretendemos encontrar la medida de probabilidad , que determina

que para esa probabilidad

Q

0

0

ββSSE

t

tQ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Por otra parte tenemos que según la medida de probabilidad real, P , se da

))exp(()21(exp

0

02

0

0 trS

trWESS

E tPt

tP −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡µ

βσµσ

ββ

De este modo, la medida de probabilidad, , riesgo – neutro ha de cambiar Q µ por r .

Llamando

trWW tt σµ −

+=~

tenemos que

tttt

t WdrdttrWdrdtdWdtS

dS ~σσ

µσσµ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=+=

Así según el teorema de Girsanov, existe una probabilidad, , bajo la cual el proceso Q

tW~ es un movimiento Browniano, con lo cual el rendimiento del activo , será equivalente al

de

tS

tβ , es decir, el rendimiento libre de riesgo. En definitiva, valorar bajo la medida de

probabilidad , será equivalente a valorar con el tipo libre de riesgo, mas una prima de riesgo, Q

)(tπ , que recoge el precio de mercado del riesgo inherente al instrumento financiero, es decir,

una medida de la aversión al riesgo agregado en el mercado.

62


En adelante, diremos que se dá una situación de ausencia de oportunidad de arbitraje

(AOA), si existe una medida de probabilidad, Q , riesgo – neutro, equivalente a la medida de

probabilidad real, P , en los términos mencionados arriba. Asimismo, diremos que el mercado

es completo, si esta medida de probabilidad, Q , es única.

Procesos de Ornstein – Uhlenbeck.

Un proceso estocástico unidimensional 0≥∀ttX es un proceso de Ornstein –

Uhlenbeck (O–U) si su dinámica es

[ ] ttt dWdtaXdX σθ +−=

siendo θ , y a σ constantes, con . 0>a

Una ventaja del proceso O-U es que exhibe reversión a la media, es decir, el

componente tendencial es positivo cuando

aX t

θ< ,

y negativo cuando

aX t

θ> ,

de manera que el proceso tiende permanentemente hacia su nivel de largo plazo

aθ

.

Cuanto más lejos se halla el proceso del nivel de largo plazo, mayor es el valor

absoluto del componente tendencial, de manera que revierte más rápidamente al nivel de largo

plazo.

El parámetro , determina la velocidad de ajuste hacia el nivel de largo plazo y se

denomina velocidad de ajuste o tasa de reversión a la media.

a

El valor que tome el proceso , en un instante , sigue una distribución normal,

cuya esperanza matemática será:

tX 0>t

63


[ ] ( )atatt e

aeXXE −− −+= 10

θ,

y varianza

[ ] ( )a

eXVat

t 21 2

2−−

= σ .

En el largo plazo la varianza tiende a

[ ]a

XV t 2

2σ=

Por otra parte el proceso O – U anterior se puede considerar el límite cuando

de un proceso autorregresivo de orden 1, concretamente del siguiente AR(1):

0→∆t

( ) ( ) εσθ⋅+−+−=− −

−−− tt

aatt Xee

aXX 11 11

siendo

( )atea

22

2 12

−−=σσ ε .

Así un valor pequeño de la tasa de reversión a la media deviene cómo veremos en un

alto grado de autocorrelación.

Esta discretización del proceso O–U, nos permitirá la implementación mediante árboles

trinomiales de los procesos estocásticos intervinientes en la determinación del valor razonable

de las PTSV.

Procesos de Cox.

Denotemos con ,... , los tiempos de ocurrencia de un evento físico. La sucesión

será un proceso homogéneo de Poisson con intensidad

, 21 TT

1≥iiT λ , si los lapsos entre eventos,

64


ii TT −+1 , son independientes y exponencialmente distribuidos con parámetro λ . Así

suponiendo que

∑ ≤=i

tTt iX 1

es el número de ocurrencias del evento en el intervalo [0, t], 0≥ttX es un proceso homogéneo

de Poisson con intensidad λ si los incrementos st XX − son independientes y cuentan con

una distribución Poisson de parámetro )( st −λ 0≥<∀ ts :

[ ] ( ))(exp)(!

1 ststk

kXXP kkst −−−==− λλ

Si suponemos que el momento de ocurrencia, τ , es el primer salto en un proceso de

Poisson con intensidad λ , entonces 1T=τ , se distribuye exponencialmente con parámetro

λ , y la probabilidad de ocurrencia será

[ ] TeTPTF λτ −−=≤= 1)(

y la intensidad de ocurrencia

( ][ ] λττ =>+∈∞→

tjttPjj

,1lim

El proceso , será un proceso no homogéneo de Poisson con intensidad

determinística

0≥ttX

tλ , si los incrementos st XX − son independientes y para tenemos ts <

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==− ∫

t

su

kt

sust dudu

kkXXP λλ exp

!1

siendo ahora la probabilidad de ocurrencia

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=≤= ∫ duTPTF

T

u0

exp1)( λτ

65


El proceso , es un proceso de Cox si la intensidad,0≥ttX tλ , es a su vez un proceso

estocástico, 0≥ttλ , es decir, el proceso 0≥ttX , se halla condicionado a las realizaciones de

la intensidad tλ . En este caso la probabilidad condicional de ocurrencia será

( ) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=≤= ∫≤≤≤≤ duETPTF

T

uTttTtt0

00 exp1)()( λλτλ

Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales estocásticas.

En el apartado sobre resolución de ecuaciones diferenciales se expuso el esquema de

discretización de Euler para el caso de una ecuación diferencial ordinaria. Aquí expondremos

su aplicación para la implementación numérica de una ecuación diferencial estocástica.

Suponemos el siguiente proceso de difusión homogéneo

tttt dWXdtXdX )()( σµ +=

donde,

)(),( tt XX σµ son independientes del tiempo. Adicionalmente conocemos el valor del proceso

en el instante t , . tX

Nuestro objetivo es conocer una realización del proceso estocástico .

Fijaremos un salto de tiempo , para el cual aplicando el desarrollo que sugiere la fórmula de

Ito – Taylor obtenemos:

0≥∀ttX

t∆

( )1)(')()()( 2 −⋅∆⋅⋅+⋅∆⋅+∆⋅+=∆+ εσσεσµ tXXtXtXXX ttttttt

siendo ε normales estándar independientes. Si consideramos que , podemos

despreciar la última parte del desarrollo anterior, con lo que tendríamos

0→∆t

εσµ ⋅∆⋅+∆⋅+= − tXtXXX tttt )()(1 .

66


La expresión anterior proporciona un algoritmo recursivo que si cómo antes lo

representamos cómo diagrama de flujo:

0XX ti =

ttt ii ∆+=+1

titiz ε=

tititititi ztXtXXX ⋅∆⋅+∆⋅+≈+ )()(1 σµ

ttt ii ∆+=+1

siendo , muestras independientes de la normal estándar. tiz

Cómo hemos podido comprobar en este caso únicamente podemos obtener muestras

del proceso estocástico, por lo que para obtener conclusiones sobre el mismo, tendríamos que

repetir el procedimiento anterior un número N de veces.

Volviendo al proceso de Ornstein – Uhlenbeck (O – U) expuesto anteriormente

[ ] ttt dWdtaXdX σθ +−=

tenemos que

[ ]tt aXX −= θµ )(

σσ =)( tX

Por otra parte cuando consideramos dos procesos de difusión correlados,

tttt dWXdtXdX )()( σµ +=

y

67


tttt WdYdtYdY ~)()( σµ +=

donde

dtWddW tt ρ=⋅ ~

tendremos que tener en cuenta en la discretización esta correlación ρ entre ambos, cómo

sigue

εσµ ⋅∆⋅+∆⋅+= − tXtXXX tttt )()(1

( )21 1~)()( ρερεσµ −⋅+⋅⋅∆⋅+∆⋅+= − tYtYYY tttt

siendo ε y ε~ dos normales estándar independientes.

2.6. SERIES TEMPORALES. MODELOS ARIMA.

2.6.1. Serie temporal Una serie temporal es el resultado de observar una secuencia ordenada de valores de

una variable a lo largo del tiempo y en intervalos regulares (diariamente, mensualmente,

anualmente, …).

Hay dos formas de clasificar las series temporales:

1. Discretas y continuas; las primeras son aquellas que se recolectan únicamente en

intervalos de tiempo específicos y las segundas son aquellas que pueden ser

recolectadas continuamente en el tiempo.

2. Univariantes y multivariantes; las primeras involucran a una sola variable y las

segundas involucran a mas de una variable.

En este apartado únicamente vamos a estudiar aquellas series temporales que son

discretas y univariantes.

El estudio de las series temporales tiene como principal característica que las

observaciones son dependientes entre sí, por lo tanto es necesario el desarrollo de una

68


metodología estadística apropiada y específica para el análisis de este tipo de series, esta

metodología fue introducida por Box-Jenkins (1970, “Time series análisis: forecasting and

control”).

Una serie temporal como proceso estocástico es una familia de variables aleatorias

indexada en el tiempo

RxTZ ⇒Ω:

( ) ( )twZtw ,, ⇒

Para un conjunto T discreto el proceso serie temporal es de la forma:

( ) ( ) ,...2,1,0,, ±±=≡∈ ttwZTttwZ

Procesos estacionarios Un proceso serie temporal se dice que es estacionario en sentido estricto si la función

de distribución conjunta no se modifica al trasladarla en el tiempo, es decir:

( ) ( )hkhihikii zzzFzzzF +++++ = ,...,,,...,, 11

La estacionaridad estricta es una condición muy fuerte ya que es muy difícil de

comprobar, por lo que surge una propiedad más débil pero más fácil de contrastar en la

práctica como es el concepto de estacionaridad en sentido débil, esta propiedad implica que los

momentos conjuntos existen y son independientes del origen temporal, es decir;

1. ctet == µµ

2. ctet == 22 σσ

3. Sea kρ la función de correlaciones y k= 21 tt − entonces =),( 21 ttρ kρ

4. Sea kγ la función de covarianzas y k= 21 tt − entonces =),( 21 ttγ kγ

Estimación de los momentos de los procesos estacionarios

69


Una serie temporal que sea un proceso estacionario viene caracterizado por su

media

tZ

µ , su varianza , sus autocorrelaciones simples 2σ kρ y autocorrelaciones parciales

kk ,φ .

Teniendo en cuenta que los valores exactos de estos parámetros únicamente podrían

ser calculados si se dispusiera de todas las trayectorias muestrales del proceso, lo cual en la

práctica es imposible, habría que estimar sus valores únicamente a través de un conjunto de

trayectorias de todas las anteriores, lo cual también es muy difícil en la práctica. De ahí que

generalmente, la solución final sea el cálculo de las incógnitas anteriores a partir de la

información obtenida a lo largo de la única trayectoria empírica.

Llamando z a la media muestral temporal se verifica que:

T

zz

T

tt∑

== 1

µ==∑

=

T

zEzE

T

tt

1)(

)(

Para la varianza, autocovarianza y autocorrelación los estimadores son los siguientes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=−= ∑∑

−

=

−

=

1

1

01

1

22 )/1(21)/1(21)()(T

ii

T

ii Ti

TTi

TzEzV ρ

γγσµ

∑+=

− −−=T

ktkttk ZZZZ

T 1))((1γ

0ˆˆˆγγ

ρ kk =

A partir de las estimaciones anteriores obtenemos la función de autocorrelación simple

muestral (a partir de ahora f.a.s. muestral) y la función de autocorrelación parcial muestral (a

partir de ahora f.a.p. muestral) que van a ser imprescindibles para los análisis posteriores.

70


Como función de k, a kρ se le denomina f.a.s. muestral y a su representación gráfica,

correlograma muestral.

La f.a.p. muestral se obtiene por el método de Durbin y sus cálculos son los

siguientes:

kkφ

111 ˆˆ ρφ =

∑

∑

=⋅

=−+⋅+

+⋅+

−

−= k

jjjk

k

jjkjkk

kk

1

111

11

ˆˆ1

ˆˆˆˆ

ρφ

ρφρφ

Proceso de ruido blanco Un proceso se denomina proceso de ruido blanco si viene definido por las siguientes

condiciones (t=1,2… y k≠0):

1. 0)( =tZE

2. 2)( σ=tZV

3. 0),( =−ktt ZZCov

La característica principal de un proceso ruido blanco es que su f.a.s. y f.a.p. son cero.

Este proceso no es muy usual encontrarlo en la práctica pero es muy útil como término

perturbador y convierte a en una sucesión de v.a.i.i.d. . tZ ),0( 2zN σ

Procesos autorregresivos

Sea tZ un proceso serie temporal, diremos que es una representación autorregresiva

si puede ser expresado por medio de una regresión de su pasado infinito. Si llamamos

µ−= tt ZZ~ entonces:

71


tttt aZZZ +++= −− ...~~~2211 ππ

El problema desde un punto de vista práctico es que este proceso contiene un número

infinito de parámetros. La solución a este problema será proponer modelos con un número

finito de parámetros, p , ó representaciones finitas autorregresivas de orden p , . )( pAR

Para ello se limita a un número finito de parámetros imponiendo que

11 φπ = ,…, pp φπ = , 0=jπ , , por lo que el modelo queda de la forma pj >∀ )( pAR

tptptt aZZZ +++= −−~...~~

11 φφ

siendo un ruido blanco. ta

Utilizando el operador retardo

ttp

p aZBB =−−− ~)...1( 1 φφ

y llamando

p

pp BBB φφφ −−−= ...1)( 1

obtenemos la expresión general de un proceso autorregresivo que es de la forma

ttp aZB =~)(φ

La estructura de un proceso indica que el valor en el instante t es regresado

sobre su propio pasado en

)( pAR

p retardos por lo que es autorregresivo hasta el instante pt − .

Procesos de medias móviles

Dado un proceso serie temporal la representación de medias móviles , asume

que el proceso puede expresarse como una combinación lineal de variables aleatorias

incorreladas de la forma:

)(MA

...~2211 ++++= −− tttt aaaZ ψψµ

72


Por lo comentado en el proceso anterior este proceso puede ser tratado de una manera

práctica imponiendo la condición: 0,,...,11 =−=−= kqq ψθψθψ siendo . 1+≥ qk

Se obtiene el proceso con representación general )(qMA

qtqtttt aaaaZ −−− −−−−= θθθ ...~2211

Introduciendo el operador retardo

)...1(~ 221

qqtt BBBaZ θθθ −−−−=

y escrito de forma más compacta tenemos

tqt aBZ )(~ θ=

Procesos mixtos (autorregresivos de medias móviles)

Este tipo de modelos surge porque en muchas ocasiones es más conveniente la

obtención de un modelo mixto que un o . La forma general de

un proceso es la siguiente:

),( qpARMA )( pAR )(qMA

),( qpARMA

tq

qtp

p aBBBZBB )...1(~)...1( 2211 θθθφφ −−−−=−−−

de forma compacta

tqtp aBZB )(~)( θφ =

En este modelo consideramos una serie de hipótesis:

• es un ruido blanco, ta

• El proceso es estacionario e invertible y

• Los órdenes p y son los mínimos posibles. q

Cómo casos particulares tenemos:

73


)()0,( pARpARMA ≡

)(),0( qMAqARMA ≡

Otra cuestión importante, es la posibilidad de incluir la constante y su significado en los

tres modelos anteriores:

• Si ...)()(0 0 tqt aBZqMAp θθ +=⇒⇒= donde µθ =0 .

• Si ttp aZBpARq +=⇒⇒= 0)()(0 θφ donde µφφθ )...1( 10 p−−−=

• Si µθ ≠⇒⇒≠ 0),(0, qpARMAqp

En el primer caso la constante coincide con la media, mientras que en los demás esto no es

así. Un contraste de hipótesis que se verá mas adelante indicará la idoneidad de incluir o no la

constante en el modelo.

Series temporales no estacionarias Los procesos serie temporal no estacionarios son aquellos que tienen una media no

constante, una varianza no constante o ambas no son constantes.

Una serie temporal no estacionaria en la media puede plantear graves problemas en la

estimación de tµ . Las series temporales no estacionarias de tipo homogéneo (aquellos en los

que aunque el nivel de tµ varíe en t el comportamiento general es muy parecido en sus

distintas partes) pueden convertirse en estacionarias mediante la operación de diferenciación

representada por . Se obtienen entonces procesos del tipo : dB)1( −

tq

qtdp

p aBBBZBBB )...1()1)(...1( 22101 θθθθφφ −−−−+=−−−−

que llamaremos procesos , utilizando el operador diferencia el

proceso anterior queda de la forma

),,( qdpARIMA B−=∇ 1

tqtd

p aBZB )()( 0 θθφ +=∇

donde: p es el orden de la parte autorregresiva estacionaria, d es el orden de integración del

proceso, es el orden de la parte media móvil, es ruido blanco de varianza y por q ta a2σ

74


último, 0θ es la constante (hay que ver si se omite o no en el modelo ya que es un término de

tendencia determinista). Para convertir el proceso a estacionario normalmente basta con que

ó . 1=d 2=d

Puede ocurrir también que el proceso sea no estacionario en varianza, esta corrección

no se realiza de la misma forma que para el caso de la media, sino mediante transformaciones

tZ , o mediante la familia de transformaciones de Box-Cox. )( tZLn

Es necesario destacar que cuando haya que diferenciar y transformar para estabilizar

la varianza primero se transforma y luego se diferencia.

Dentro de estos modelos hay un modelo que es ampliamente

utilizado (para describir cotizaciones bursátiles, para estimar K

),,( qdpARIMA

t en el modelo de Lee-Carter…) y

es el llamado “random walk” o paseo aleatorio, este modelo es un y su

expresión es de la forma:

)0,1,0(ARIMA

ttttt acZZacZB ++=⇔+=− −1)1(

En un paseo aleatorio, el valor de Z en t depende de su valor en t - 1 mas una

perturbación aleatoria (mas una constante c que sólo se incluye en aquellos casos en los que

sea fundamental su aparición, ya que es un término de tendencia determinista).

2.6.2. Predicción con modelos ARIMA La predicción de valores futuros es uno de los objetivos fundamentales en el análisis de

series temporales. Definimos los predictores óptimos como aquellos que minimizan en

promedio los errores de predicción al cuadrado, estos predictores se obtienen calculando los

valores esperados de las observaciones futuras condicionados a los datos observados.

Suponemos un modelo dado por la expresión ),,( qdpARIMA

tqtd

p aBZB )()( 0 θθφ +=∇

disponemos de las observaciones es decir, disponemos de información

hasta el instante n y pretendemos predecir un valor futuro, k > 0 periodos adelante,

,...,,, 21 −− nnn ZZZ

knZ + . Tal

predicción será una combinación lineal de la información disponible

75


1121 ...)(ˆ ZZZkZ nnnn ααα +++= −

Un predictor quedará definido una vez conocidos los valores iα que deben ser

calculados de manera óptima de acuerdo a algún criterio. Un criterio a utilizar sería minimizar el

error cuadrático medio

[ ]2)(ˆ kZZE nkn −+

En conclusión, el predictor de de mínimos errores de media cuadrática sería la

esperanza de condicionada a la información disponible.

)(kZ n

knZ +

En cuanto a

[ ]...,,/)(ˆ21 −−+= nnnknn ZZZZEkZ

es de vital importancia el error de predicción dado por

)(ˆ)( kZZke nknn −= +

suponiendo normal entonces ta

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ ∑

−

=

1

0

22,0)(k

jjan Nke ψσ

esto permite realizar inferencias respecto de . El intervalo de confianza de es knZ + knZ +

))(()(ˆ2/1 keVarzkZ nn α−±

con un nivel de confianza del 100 (1-α)% y donde

)...1())(( 21

21

2−+++= kn keV ψψσ

76


Estacionalidad La estacionalidad es un tipo de falta de estacionaridad en la media. Cuando ocurre esta

característica, la media de las observaciones no es constante pero evoluciona de forma

previsible de acuerdo con un patrón cíclico. El caso más habitual es que podamos incorporar la

estacionalidad dentro del modelo obteniendo un modelo estacional

multiplicativo.

ARIMA ARIMA

Diremos que una serie es estacional cuando su valor esperado no es constante pero

varía de acuerdo a una pauta cíclica, por ejemplo si

)()( stt ZEZE +=

el modelo tiene una estacionalidad de período s. El periodo estacional s define el número de

observaciones que forman el ciclo estacional (s=12 para series mensuales, s=4 para

trimestrales,…). El modelo que representa la estacionalidad se llama modelo

estacional multiplicativo

ARIMA

sQDPxqdpARIMA ),,(),,(

y su fórmula general es la siguiente

t

d

sq

c

sqt

dD

b

sp

a

sp aBBZBBBB

3214342132143421)()()()(

)()(~)1()1()()( θφ Θ=−−Φ

donde

(a)-> Polinomio autorregresivo de la parte estacional

(b)-> Polinomio autorregresivo de la parte regular

(c)-> Polinomio de media móvil de la parte estacional

(d)-> Polinomio de media móvil de la parte regular

D -> Orden de diferenciación de la parte estacional

d -> Orden de diferenciación de la parte regular

77


Metodología Box - Jenkins Hasta este momento hemos caracterizado los modelos de series temporales desde un

punto de vista teórico, pero en la práctica, la selección de un modelo concreto para representar

el fenómeno descrito debe estar basado en un procedimiento adecuado. La metodología

estándar fue propuesta por Box y Jenkins y consta de una serie de etapas:

a. Identificación: consiste en elegir uno o varios modelos ARIMA que puedan

representar de forma adecuada la serie temporal. En esta fase hay que decidir si se

debe transformar la serie, si incluir la constante en el modelo y establecer los

órdenes p y q.

b. Estimación, consiste en estimar los parámetros de cada uno de los modelos

propuestos en la fase de identificación.

c. Diagnosis, consiste en determinar si los modelos anteriores son adecuados para

representar los datos.

d. Predicción y validación, consiste en realizar la predicción de valores futuros por

medio de los modelos seleccionados y validar el modelo con datos de refresco.

Identificación del modelo Hay que realizar una serie de análisis y comprobaciones para identificar aquel modelo

o modelos que son los adecuados a través de los siguientes pasos:

1. Representación gráfica de la serie que permitirá observar si existe tendencia,

heterocedasticidad, estacionariedad, observaciones atípicas y otras características

típicas de no estacionariedad o no normalidad para posibilitar una posible

transformación de los datos.

2. Cálculo de la f.a.s. y f.a.p. muestrales una vez estabilizada la varianza (sólo si fuera

necesario), para decidir entonces si es necesario diferenciar la serie. Si la f.a.s.

decrece lentamente y la f.a.p. corta tras el primer retardo es indicio de no

estacionariedad. Hay que tener en cuenta que las consecuencias de no diferenciar son

mas graves que una diferenciación innecesaria, pero una sobrediferenciación complica

el modelo innecesariamente.

78


3. Calcular la f.a.s. y f.a.p. de la serie una vez transformada y diferenciada para

establecer los órdenes p y q de la forma:

Proceso f.a.s. f.a.p.

AR(p) Decrece exponencialmente o según

una sinusoidal amortiguada

Corta tras el retardo p

MA(q) Corta tras el retardo q Decrece exponencialmente o

según una sinusoidal

amortiguada

ARMA(p,q) Corta tras el retardo q-p Corta tras el retardo p-q

Cuadro 2.2. Determinación de los órdenes p y q.

Normalmente p, q ≤ 3.

Por otra parte, el número de retardos en los que hay que calcular la f.a.s. y f.a.p.

muestrales ha de ser el cociente entre el número de observaciones y la constante 4.

En cuanto al número recomendable de observaciones para identificar un modelo

ARIMA con garantías es de 50, aunque si los datos son muy regulares pueden ser

menos. También es conveniente proponer diversos modelos que se irán eliminando

posteriormente.

4. Contrastar el término constante (aunque se puede incluir en el modelo

automáticamente y decidir sobre su eliminación en la fase de estimación mediante un

contraste oportuno).

Estimación de parámetros

En el modelo dado por ),,( qdpARIMA

tq

qtdp

p aBBBZBBB )...1()1)(...1( 22101 θθθθφφ −−−−+=−−−−

los parámetros a estimar son (recordando que en el caso de que d=0 se sustituye 0θ por µ

como parámetro.):

• 0θ

79


• a2σ

• ),...,( 0 pθθθ =

• ),...,( 1 qφφφ =

Los métodos de estimación de parámetros en series temporales son:

1) Método de los momentos: este método consiste en sustituir los momentos poblacionales

por sus respectivos momentos muestrales y resolver las ecuaciones resultantes. En

general para cualquier tipo de modelo los estimadores por este método son muy sensibles

a errores de redondeo, por lo que usualmente se utilizan para dotar de valores iniciales a

otros métodos se estimación más potentes. En consecuencia no es muy recomendable

para la obtención de parámetros definitivos.

2) Método de máxima verosimilitud: es el principal método de estimación de parámetros. Este

método selecciona como estimación aquellos valores de los parámetros que hacen que la

muestra observada sea la de mayor probabilidad de ser obtenida.

El cálculo de los estimadores de máxima verosimilitud comprende de 2 etapas:

a) Determinar la función de verosimilitud de la serie (o bien su logaritmo neperiano.

b) Maximizar la función.

La aplicación de este método da lugar a lo que se conoce como función de

verosimilitud exacta, que precisa de métodos lineales de optimización para

maximizarse. Esta complicación puede evitarse considerando dos alternativas: función

de verosimilitud condicionada y no condicionada, que son aproximaciones de la exacta,

pero donde la obtención de estimadores es mas simple.

A pesar de lo anterior, para el modelo general se precisa de un procedimiento de

estimación no lineal para obtener los estimadores. Existen diversos procedimientos

pero el más utilizado en series temporales es el algoritmo de Marquard37.

37 Este algoritmo que es una variación del algoritmo de Gauss-Newton es un método de maximización numérica y

permite calcular iterativamente, el valor numérico de la función de verosimilitud para cualquier valor de los parámetros

del modelo, a partir de los datos observados.

80


3. Método de los mínimos cuadrados: este método no es muy útil en series temporales. En el

modelo general usualmente se da la situación de que los estimadores mínimo cuadrados

son inconsistentes excepto si q=0, es decir, en procesos AR(p), luego este método sólo es

recomendable para este tipo de modelos.

En general el método mas aceptado en series temporales es el de máxima

verosimilitud por optimización numérica.

Diagnosis El procedimiento de diagnosis consiste en realizar una serie de contrastes que nos

permitan decidir sobre las hipótesis básicas del modelo. Los contrastes son los siguientes:

• Análisis de estacionariedad: consiste en calcular las raíces de los polinomios

autorregresivo y de media móvil con objeto de comprobar la estacionariedad. Si alguna

raiz del polinomio autorregresivo estuviera próxima a la unidad nos indicaría que una

diferenciación adicional es necesaria, si esto ocurriera con alguna raiz del polinomio de

media móvil esto es indicio de sobrediferenciación.

• Análisis residual: en cualquier modelo ARIMA(p,d,q) siempre se impone que sigue

una normal , esto implica que las son variables aleatorias

independientes, normales, centradas y homocedásticas.

ta

),0( 2aN σ ta

Hay que tener en cuenta que desconocemos la perturbación pero en la práctica

disponemos de una estimación de la misma que son los residuos, que no son mas que

la diferencia entre el valor observado y el ajustado como habíamos visto anteriormente,

por tanto el análisis residual consiste en comprobar las hipótesis anteriores a partir de

los residuos.

ta

El primer paso es el de observar el gráfico de la serie para ver si existen valores

atípicos y ver si se deben a errores en la toma de datos o que en realidad pertenecen a

la serie, este segundo caso en un problema ya que este tipo de valores oscurecen la

forma de la f.a.s. y f.a.p. dificultando la etapa de identificación.

Para estudiar la independencia se pueden utilizar contrastes no paramétricos o el test

de Box-Pierce, este último trata de contrastar las hipótesis

• : 0H 0...21 ==== hρρρ

81


• : alguno distinto de 0 1H

Se utiliza el estadístico Q que es de la forma

mh

h

k aproxkkTTTQ −

=

−∑ →−+= 2

1 .

21 ˆ)()2( χρ

donde:

Th = ó Ln(T)

m = número de parámetros.

Rechazamos a un nivel 0H α dado cuando

mhXQ −−≥ ,12

α

Si aceptamos implica que las primeras autocorrelaciones simples no son

significativamente distintas de cero conjuntamente por lo que podemos considerar que

los residuos son un ruido blanco.

0H h

Gráficamente se puede comprobar lo anterior mediante la f.a.s. y f.a.p. de los residuos,

de tal forma que si no hay ningún pico significativo los residuos son ruido blanco. El

hecho de que aparezca en un retardo alto una autocorrelación significativa de forma

aislada no quiere decir que no sea un ruido blanco.

Para estudiar la normalidad de los residuos de forma gráfica se pueden utilizar un

histograma, Q-Q plot y P-P plot. De forma analítica se pueden aplicar el contraste de

Kolmogorov-Smirnov, el de Shapiro-Wilks…

Para comprobar si los residuos están centrados utilizamos un contraste de media t-

student, hay que tener en cuenta que este contraste se basa en la independencia de

los residuos, por lo que se tiene que comprobar cuando los residuos sean un ruido

blanco.

82


Para comprobar la homocedasticidad se puede utilizar el contraste de Chow que

consiste en dividir la muestra en dos partes y comprobando que la varianza permanece

igual.

• Sobreespecificación del modelo, sirve para comprobar si el modelo contiene

parámetros redundantes. El hecho de que haya un parámetro no significativo indica

que el modelo puede estar sobreespecificado y se puede simplificar. Si el parámetro no

significativo es el correspondiente a un orden alto (MA(q) o AR(p)) entonces se puede

eliminar dicho parámetro, si estuviese en un orden intermedio entonces hay que

estudiar las correlaciones con el resto de parámetros.

Una vez que los modelos hayan pasado por esta fase pueden ocurrir tres cosas: la

primera que el modelo cumpla con todas las hipótesis y por lo tanto es un candidato a

representar los datos; la segunda es que no cumpla alguna de las hipótesis pero que la

deficiencia pueda ser modificada obteniendo un modelo que sí cumple las hipótesis y la

tercera que es cuando el modelo no cumple con alguna de las hipótesis y es imposible

modificarlo, este modelo debe ser desechado.

Validación En muchas ocasiones una vez aplicadas las fases descritas anteriormente, se puede

dar la circunstancia de la existencia de mas de un modelo aceptable desde el punto de vista del

procedimiento utilizado y por lo tanto no hay un criterio para determinar que modelo es mejor

que otro, por ello es necesario la introducción de estadísticos denominados criterios para

seleccionar modelos y están basados en dos aspectos:

I. Criterios basados en los residuos del modelo ajustado

I.a. Criterio AIC de Akaike

Supongamos que hemos ajustado un modelo con un total de M parámetros a un

conjunto de datos, este criterio es de la forma:

AIC(M) = -2 Ln(Máxima Verosimilitud) + 2M

El primer sumando cuantifica la pobreza del ajuste y el segundo el número de

parámetros utilizado. Adaptando su expresión a un modelo generalizado estimado a través de

la verosimilitud no condicionada

MLnTMAIC a 2)ˆ()( 2 +⋅= σ

83


Cuanto más pequeño sea este valor mejor será el modelo, se puede observar por el

segundo sumando que penaliza a los modelos con un número mayor de parámetros.

I.b. Criterio de información bayesiano BIC.

Este modelo es una extensión bayesiana del criterio AIC y es de la forma:

)1

ˆˆ

()()1()()ˆ()(2

2

2

MLnMTLnM

TMLnMTLnTMBIC a

z

a

−⋅+⋅+−−−⋅=

σσ

σ

En este caso como en el anterior elegiremos aquel modelo con un BIC menor.

II. Criterios basados en los errores de predicción futura de la muestra

Cuando el propósito es predecir valores futuros se pueden utilizar criterios alternativos

para la selección del modelo que pueden basarse en muestras no utilizadas para estimarlos.

a) Error medio porcentual

∑= +

=N

k kn

k

Ze

NMMPE

1

1)(

b) Error cuadrático medio

∑=

=N

kke

NMMSE

1

21)(

c) Error absoluto medio

∑=

=N

kke

NMMAE

1

1)(

d) Error absoluto medio porcentual

∑= +

=N

k kn

k

Ze

NMMAPE

1

1)(

Cuanto menor sean estas medidas mejor es el modelo.

84

SEGUNDA PARTE: SUBYACENTES AL VALOR

RAZONABLE VALUE DE LAS PROVISIONES TÉCNICAS DE

SEGUROS DE VIDA

85

CAPÍTULO 3. LOS TIPOS DE INTERÉS Y EL VALOR RAZONABLE. 89


3.2. INTRODUCCIÓN A LOS TIPOS DE INTERÉS. 89

3.3. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE LA ETTI. 92

3.3.1. Modelos estáticos. 92

3.3.2. Modelos dinámicos. 92

3.3.2.1. Modelos que no se ajustan a la ETTI actual. 92

3.3.2.1.1. Modelos de una variable. 93

3.3.2.1.2. Modelos de dos variables. 93

3.3.2.2. Modelos que se ajustan a la ETTI actual. 95

3.4. DETERMINACIÓN DE LA ETTI ACTUAL. 96

3.5. MODELOS AFINES UNIFACTORIALES.

MODELO DE HULL – WHITE. 98

3.5.1. Modelos afines unifactoriales. 98

3.5.2. Modelo de Hull – White. 102

3.5.2.1. Resultados analíticos. 102

3.5.2.2. Implementación mediante árboles

trinomiales. 106

3.5.2.3. Calibración. 119

87

CAPÍTULO 3. Los tipos de interés y el Valor Razonable.

CAPÍTULO 3. LOS TIPOS DE INTERÉS

EN EL VALOR RAZONABLE. 3.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO. La finalidad de este capítulo es identificar el tipo de interés a considerar cómo

subyacente del valor razonable de las PTSV, así cómo proponer un proceso estocástico

inherente a este subyacente.

Tras una introducción a los tipos de interés en las PTSV, se procede a una descripción

de los distintos modelos sobre la ETTI.

A continuación en el punto 3.4. se expone cómo determinar la ETTI vigente en un

determinado período, a partir de un proceso de filtrado de la información presente en los

mercados de capitales.

Finalmente en el punto 3.5. abordamos el modelo de Hull – White, que permite tratar de

manera aproximada el proceso estocástico correspondiente a los tipos de interés en el futuro.

Este modelo nos permitirá la determinación del valor razonable de las PTSV, considerando

diversas trayectorias futuras en los tipos de interés.

3.2. INTRODUCCIÓN A LOS TIPOS DE INTERÉS EN LAS PTSV.

Al aplicar la jerarquía del JWS en las PTSV, el método más frecuente es el 3.

Una cuestión de gran importancia en la determinación del valor actual es la

determinación del tipo de descuento.

Según la legislación vigente el tipo de descuento máximo a aplicar en la valoración de

las PTSV, se fija cada año según el tipo de la deuda pública a 5 o más años, matizado para

evitar volatilidad (si éstas se determinan bajo el amparo del artículo 33.1. del ROSSP), o bien,

según el rendimiento medio que obtendrá la compañía de la inversión de las PTSV (si se

determinan según el artículo 33.2.).

No obstante, el tipo de descuento a aplicar en la estimación del valor razonable,

debería determinarse en cada momento según los tipos que se negocien en el mercado de

capitales.

89


Se acepta generalmente que el grado de riesgo de impago afecta al tipo de interés

exigido al título. Tipos de interés mayores están asociados a un mayor riesgo del propietario del

título. Lo anterior sugiere que existe un tipo de interés determinado por el mercado, asociado al

riesgo cero. Tal tipo de interés se llama “tipo de interés libre de riesgo”, el cual debe ser usado

en el cálculo del valor actual de flujos de caja con riesgo cero.

Para ser técnicamente correctos, el término “tipo libre de riesgo” debe realmente

referirse a la curva del tipo spot libre de riesgo, ya que el tipo libre de riesgo depende del

tiempo transcurrido antes del pago. En adelante siempre que hagamos referencia al término

“tipo libre de riesgo”, se tratará de la estructura temporal de tipos de interés (ETTI) o curva del

tipo spot libre de riesgo.

En España, se asume frecuentemente que el tipo libre de riesgo es el correspondiente

a la deuda pública. Hay al menos dos razones por las cuales este tipo no es realmente el tipo

libre de riesgo:

1. La deuda pública no está realmente libre de riesgo porque está denominada en

euros. El nivel futuro de inflación presenta un riesgo en la medida en que el poder

adquisitivo del título en el futuro es incierto.

2. La liquidez no es requerida en un título libre de riesgo con flujos de caja ciertos. La

deuda pública es un instrumento muy líquido, por la cual implícitamente se incluye una

opción a vender al valor corriente de mercado antes de la fecha de vencimiento. Si esta

opción tiene un valor, entonces un título puro libre de riesgo con flujos de caja ciertos

tiene un menor valor y un mayor rendimiento que la deuda pública.

En este contexto, el término “libre de riesgo” significa “libre de riesgo de impago” y

nominalmente cierto, pero puede retener otros riesgos como la inflación y riesgos de coste de

oportunidad.

Debido a la dificultad en la determinación práctica del tipo libre de riesgo y debido a la

rareza (o inexistencia) de flujos de caja que están verdaderamente libres de riesgo, un valor

presente tomado al tipo libre de riesgo es útil más como una línea divisoria que como un

resultado final. El valor razonable de cualquier instrumento financiero divergirá del valor

presente al tipo libre de riesgo debido a la valoración del mercado de los riesgos implicados en

el instrumento.

Por otra parte, el tipo libre de riesgo sigue una estructura temporal, y describir

exactamente esta estructura es fundamental para determinar el valor razonable de un

instrumento financiero.

90


Antes de proceder a una descripción de los modelos sobre la ETTI, incluiremos una

serie de definiciones:

Definimos el tipo de interés libre de riesgo vigente en , para el plazo que media hasta t

T , por , de tal forma que ),( TtR

( )),()(exp),( TtRtTTtP −−=

será el precio en del bono libre de riesgo que vence en t T . A partir del precio del bono libre

de riesgo, , podemos asimismo obtener ),( TtP

( )),(ln1),( TtPtT

TtR−

−=

Desarrollando la expresión anterior, obtenemos el tipo instantáneo en tiempo t , cómo

( )),(ln10

),(0

)( tttPtt

limtttR

tlim

tr ∆+∆→∆

−=∆+→∆

=

equivalente a

( )tTt

TtPtr=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−=),(ln)(

Por otra parte, el tipo de interés forward observado en t , , para el período

comprendido entre [ , siendo

),,( 21 tttF

]21 , tt 21 ttt << , será

( ) ( )12

2211

12

2121

))(,())(,(),(ln),(ln),,(tt

ttttRttttRtt

ttPttPtttF−

−−−=

−−

=

Del mismo modo que para el tipo instantáneo, obtenemos el tipo forward instantáneo,

cómo

TTtPTtf

∂∂

−=),(ln),(

91


3.3. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE LA ETTI.

Los modelos de la ETTI son muy utilizados para proporcionar un ajuste del riesgo del

tipo de interés, así como para valorar los derivados implícitos en el instrumento financiero.

Estos modelos se pueden clasificar siguiendo a Fernández (1997) en estáticos y

dinámicos; y dentro de estos últimos en aquellos que no se ajustan a la ETTI actual, y los que

sí se ajustan.

3.3.1. Modelos estáticos.

Los modelos estáticos a partir de la información existente en el mercado, determinan la

ETTI implícita en la negociación. De esta manera, los modelos estáticos no describen una

difusión de la ETTI, sino la situación al momento de valoración, ya que la ETTI no surge

explícitamente.

Como ejemplo de modelos estáticos tenemos los siguientes:

Modelos de esplines cuadráticos, cúbicos o exponenciales, como por ejemplo el modelo de

Vasicek y Fong adaptado al mercado español por Contreras et al (1996) y que se expone a

continuación.

Técnicas de bootstrapping a partir de bonos o tipos de interés de las ramas fijas de los

Interest Rate Swaps (IRSs).

3.3.2. Modelos dinámicos.

Si bien la ETTI del momento de valoración es perfectamente conocida, la ETTI

transcurrido un tiempo sigue una evolución estocástica. Por este motivo los modelos dinámicos

incorporan la evolución de los tipos de interés a lo largo del tiempo.

Dentro de los modelos dinámicos, existen varios que no replican la ETTI actual, e

incluso que generan ETTIs que no coinciden con las curvas reales del mercado. Esto no

tendría sentido de no ser que la finalidad de estos modelos no es simplemente valorar bonos,

sino valorar derivados de tipos de interés, o determinar la exposición al riesgo de tipo de

interés.

3.3.2.1. Modelos que no se ajustan a la ETTI actual.

92


Estos modelos como se ha mencionado antes, son fáciles de implementar, no obstante

al no ser consistentes con la ETTI actual no valoran correctamente bonos.

Dentro de éstos cabe distinguir entre modelos de una variable y modelos de dos

variables.

3.3.2.1.1. Modelos de una variable.

La ETTI se determina a partir de una variable, que generalmente suele ser el tipo a

corto, el cual sigue el siguiente proceso estocástico

)())(()( tdWrdttrmtdr γσβ +−=

Se incluye un cuadro con alguno de estos modelos.

Merton (1973) )()( tdWmdttdr σ+=

Black – Scholes (1973) ( ))()()( tdWdttrtdr σβ +=

Cox (1975) )()()()( tdWtrdttrtdr τσβ +=

Vasicek (1977) ( ) )()()( tdWdttrmtdr σβ +−=

Dothan (1978) )()()( tdWtrtdr σ=

Brennan y Schwartz (1979) ( ) )()()()( tdWtrdttrmtdr σβ +−=

Cox, Ingersoll y Ross (1985) ( ) )()()()( tdWtrdttrmtdr σβ +−=

Constantinides (1992) ( ) ( ) )()()()()( 103210 tdWtrdttrtrtdr σσαααα −+−++=

Chan et. al (1992) ( ) )()()()( 10 tdWtrdttrtdr τσαα ++=

Duffie y Kan (1996) ( ) )()()()( 1010 tdWtrdttrtdr σσαα +++=

Cuadro 3.1. Modelos de la ETTI dinámicos de una sola variable, que no se ajustan a la ETTI.

Como ventaja resaltar que la mayoría de estos modelos incorporan reversión a la

media; y como inconveniente (además de que no replican la ETTI) que en algunos, como el de

Vasicek, pueden aparecer tipos de interés negativos.

3.3.2.1.2. Modelos de dos variables.

La ETTI se determina a partir de dos variables. Por ejemplo:

93


- Tipo de interés real, , y tasa de inflación instantánea esperada, )(tR )(tπ 38.

- Tipo de interés a corto, , y a largo plazo, )(tr )(tl 39.

- Tipo de interés a largo plazo, , y spread entre tipos a largo y a corto, 40)(tl )(ts .

- Tipo de interés a corto plazo, , y volatilidad de los tipos a corto 41)(tr )(tv .

...

Richard (1978) ( ) )()()()( tdWtRdttRmtdR RRRR σβ +−=

( ) )()()()( tdWtdttmtd φπππ πσπβπ +−=

Brennan y Schwartz

(1980b), (1982)

dr ( ) )())()(()( tdWdttrtlmt rrrr σα +−+=

( ) )()())()()( tdWtldttltrmtdl lllll σβα +++=

Boyle (1980) ( ) )()()( tdWdttRmtdR RRRR σβ +−=

( ) )()()( tdWdttmtd φπππ σπβπ +−=

Langetieg (1980) ( ) )()()( tdWdttRmtdR RRRR σβ +−= ∑=

=n

ii txtr

1)()(

Schaefer y Schwartz

(1984)

( ) )()()( tdWdttsmt ssssds σβ +−=

)()(),,()( tdWtldttlstdl llσβ +=

Fong y Vasicek (1991),

(1992a), (1992b)

( ) )()()( tdWvdttrrtdr rr +−= β

( ) )()()( tdWvdttvvtdv vv εβ +−=

Longstaff y Schwartz

(1992)

( ) )()()( tdWxcdttxbat xxxx +−=dx

( ) )()()( tdWycdttybatdy yyyy +−=

Duffie y Kan (1996) ( ) )()()( tdWxdcdttxbatdx iiiiiiii +++= ni ,...1=

Chen (1996)

( ) )()()( tdWvdttrtdr rr +−= θβ

( ) )()()( tdWdtttd θθθ θσθθβθ +−=

( ) )()()( tdWvdttvvtdv vvv σβ +−=

Chen y Scott (1992) )()()( 21 tytytr +=

( ) )()()( tdWydttymtdy iiiiiii σβ +−= 2,1=i

Cuadro 3.2. Modelos de la ETTI dinámicos de varias variables, que no se ajustan a la ETTI.

38 Richard (1978) 39 Brennan y Schwartz (1980b y 1982) 40 Schaefer y Schwartz (1984) 41 Fong y Vasicek (1991, 1992a y 1992b)

94


Al permitir formas más complejas de la ETTI, se acerca más a la actual que los

modelos de una variable. Como inconveniente destacar su complejidad respecto de los

anteriores modelos, lo que motiva que se deba recurrir para su implementación a métodos

numéricos.

3.3.2.2. Modelos que se ajustan a la ETTI actual.

Podemos distinguir tres familias de modelos dinámicos que se ajustan a la ETTI actual.

La primera familia de modelos que se ajustan a la ETTI actual, son versiones

extendidas de los modelos descritos en el apartado 3.3.2.1.1. De las tres familias que

expondremos son los primeros en aparecer. En este tipo de modelos una determinada función

del tipo instantáneo evoluciona bajo la probabilidad riesgo – neutro según la difusión:

)())()(()( tdWdtraftrdf σθ +−= (3.1)

La función )(tθ se calibra de manera que el modelo sea consistente con la ETTI

inicial.

Como ejemplo de estos modelos tenemos:

Hoo - Lee (1986) )()()( tdWdtttdr σθ +=

Black, Derman y Toy (1990) )()()()(')())(ln( tdWtdt

ttttrd σ

σσθ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

Black y Karasinski (1991) )()))(ln()(())(ln( tdWdttrattrd σθ +−=

Hull - White (1990) )())()(()( tdWdttarttdr σθ +−=

Cuadro 3.3. Modelos de la ETTI dinámicos de una sola variable, que se ajustan a la ETTI.

Dentro de esta familia, tenemos también una serie de modelos de dos factores de

riesgo, que replican además la ETVs:

)()())()()(()( tdWtdtrftatrdf σθ +−=

Las dos funciones y )(ta )(tσ son parámetros de volatilidad que en este caso

proporcionan dos grados de libertad adicionales. Permiten replicar la ETVs inicial, así como la

volatilidad futura del tipo instantáneo.

95


De dos factores es por ejemplo el modelo de Hul – White extendido:

)()())()()(()( tdWtdttrtattdr σθ +−=

A la segunda familia pertenece el modelo de Heath, Jarrow y Morton (1992) (HJM) que

aborda la evolución de los tipos forward instantáneos. Su idea es modelizar la ETTI en su

totalidad. Utiliza la ETTI actual cómo valor inicial de modo que bajo la probabilidad, Q , riesgo –

neutro los tipos forward instantáneos evolucionan según la siguiente EDE

)()(),(),( tdWtdtTtTtdf σµ +=

Debiendo especificar una EDE para cada vencimiento T .

Posteriormente han aparecido los denominados “Market Models”, cómo el modelo de

Brace, et. al. (1997) (BGM) (considera que los tipos LIBOR implícitos son lognormales), o el

modelo de Jamshidian (1997)) (considera que los tipos swap forward son lognormales) que

abordan la evolución de tipos forward no instantáneos. Éstos modelos son en realidad más

realistas que los tipo HJM, ya que los tipos forward instantáneos no son observados en la

realidad.

Como ventajas de esta familia de modelos destaquemos que se puede extender a

varios factores de riesgo, permitiendo replicar además de la ETTI actual, cuyos tipos implícitos

son una de las variables explicativas del modelo, replicar también la estructura temporal de

volatilidades (ETVs) implícita en la negociaciación. Como principal inconveniente, decir que

debido a la propiedad de no markovianidad, son muy difíciles de implementar mediante

métodos numéricos (salvando la simulación de montecarlo).

La última generación de modelos, presenta cómo ventajas además de tomar cómo dato

los tipos implícitos en la ETTI actual, y replicar también la ETV, que es un modelo markoviano,

y cómo tal puede implementarse numéricamente en forma de árbol recombinante. Éste es el

caso del Markovian Function model (Hunt et. al. 2000).

3.4. DETERMINACIÓN DE LA ETTI ACTUAL.

Vamos a exponer de entre los métodos disponibles para determinar la ETTI actual, la

adaptación propuesta por Contreras et al. (1996) del modelo de Vasicek y Fong (1982) al caso

español.

96


Vasicek y Fong proponen un método no paramétrico que se basa en funciones splines

exponenciales para estimar la función de descuento. Su modelo es el siguiente:

kkkjk

p

jjkk WQtDCP ε+−−= ∑

=

)( ,1

, , nk ,...2,1=

kP : precio del k-ésimo bono,

jkC , : flujos de caja del k-ésimo bono como una fracción del valor a la par,

jkt , : plazo hasta el pago del flujo de caja,

)( , jktD : función de descuento,

kQ : descuento en el precio atribuible al efecto de los impuestos,

kW : descuento en el precio consecuencia de opciones de amortización anticipada (calls), y

n : número de bonos utilizados en la muestra para estimar la estructura temporal.

Otras asunciones de Vasicek y Fong son:

• [ kE ]ε = 0

• [ ] kk wsE 22 =ε

,

dónde

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

k

kk dY

dPw

kY es la TIR del bono k-ésimo

• k

k

k

kk dY

dPPC

qQ =

• , donde es una variable artificial que toma valor uno en el caso de bonos con

opciones de amortización anticipada y cero en caso contrario.

kk wIW = kI

Contreras et al. (1996) redefinen y para adaptarlos a las características de la

deuda pública española, eliminando dado que no existen bonos del Estado con opciones

de amortización anticipada y redefinen de acuerdo con el sistema impositivo español como:

kW kQ

kW

kQ

• para las Letras del Tesoro. 0=kQ

97


• para todos los Bonos y Obligaciones del Estado hasta

1998 y sólo en el caso de los no segregables a partir de 1999, donde es la

cuantía del cupón del k-ésimo bono.

jktk

p

jkk YqCQ ,)1(

1

−

=∑ +=

kC

Se utiliza un único nudo para ajustar las splines exponenciales. Dicho nudo se localiza

en el momento del tiempo que minimiza la suma de cuadrados de los residuos.

3.5. MODELOS AFINES. EL MODELO DE HULL – WHITE.

3.5.1. Modelos afines unifactoriales.

Dentro de los modelos dinámicos expuestos, existe un grupo conocido por la literatura

al respecto cómo modelos afines. Estos modelos se caracterizan porque el precio de los bonos

cupón cero, se puede expresar cómo

rBeAtrTtP )()())(,,( ττ=

siendo

tT −=τ

Estos modelos ofrecen una solución para el precio de los bonos cupón cero que cuenta

con importantes propiedades.

Este tipo de modelos suponen que el precio del bono de descuento, , depende

de un único factor de riesgo que identificamos con el tipo instantáneo, , por lo que lo

representaremos por .

),( TtP

)(tr

))(,,( trTtP

Asimismo parten de que la evolución del tipo instantáneo, , sigue la siguiente EDE )(tr

)())(,())(,()( tdWtrtdttrttdr σµ +=

donde el coeficiente de deriva, ))(,( trtµ y la volatilidad, ))(,( trtσ , vendrán especificados por

el correspondiente modelo afín unifactorial. Para modelizar el precio del bono de descuento,

, se introduce el numerario cuenta bancaria ))(,,( trTtP )(tβ , definida cómo

98


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

t

dssrt0

)(exp)(β

para considerar que existe una probabilidad, , riesgo – neutro, según la cual los precios Q

)())(,,(

ttrTtP

β

son martingala.

A partir del desarrollo de Itô – Taylor obtenemos

),()(21))(,,( 2

2

2

TtdrrPdr

rPdt

tPtrTtdP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

)(),(),(21

2

22 tdWTt

rPdtTt

rP

rPdt

tP

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= σσµ

Si identificamos

),(21),())(,,( 2

22 Tt

rP

rPdt

tPTttrTtP P ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ σµµ

),(),(),())(,,( TtrPrtTttrTtP P ∂

∂=⋅ σσ

podemos escribir

( ))(),(),())(,,())(,,( tdWTtTttrTtPtrTtdP PP σµ +=

En cuanto al cambio a la medida de probabilidad, , riesgo neutro, consideramos Q

),()(),()(

TttrTtt

P

P

σµ

π−

−=

cómo una prima asociada al factor de riesgo, e independiente del plazo [ ]Tt, . Así tenemos que

bajo esta nueva medida de probabilidad, que cumple ))(,,( trTtP

99


))(),())(),()())(((,,())(,,( tdWTtdttTttrtrTtPtrTtdP PP σπσ +−=

Aplicando el teorema de Girsanov podemos escribir lo anterior

))(~),()())((,,())(,,( tWdTtdttrtrTtPtrTtdP Pσ+= (3.1)

donde

dttdWWd )(~ π−=

Asimismo bajo esta medida, la difusión del precio del bono tendría lugar bajo un nuevo

coeficiente de deriva, así

),(21))((),(~))(,,( 2

22 Tt

rP

rPtdt

tPTttrTtP P ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

++∂∂

=⋅ σσπµµ

por lo que tendríamos que

( ))(~),(),(~))(,,())(,,( tWdTtTttrTtPtrTtdP PP σµ += (3.2)

Combinando (3.1) y (3.2) llegamos a:

021))(( 2

22 =−

∂∂

+∂∂

++∂∂ rP

rP

rPt

tP σσπµ

así cómo la condición final 1),( =TTP para todo r en Tt = .

Llegados a este punto, los modelos afines unifactoriales, solucionan el anterior

problema de valor final considerando que el precio del bono cupón cero es de la forma

rBeAtrTtP )()())(,,( ττ= , tT −=τ

La forma de las funciones )(τA y )(τB dependerán del modelo afín unifactorial.

En el caso del modelo de Vasicek (1977)

100


( ) )()()( tdWdttrmtdr σβ +−=

tenemos que

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

)exp(1(1)(

)(42

)())((1)( 23

22

0

βτβ

τ

τβ

σσσπββττβ

τ

B

BmBA

donde 0π es la prima de riesgo del modelo de Vasicek (1977) que es una constante.

O en el modelo de Cox, Ingersoll y Ross (1985)

( ) )()()()( tdWtrdttrmtdr σβ +−=

se obtiene

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

+−+−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+=

θθτψθθττ

θθτψθ

τψθθτ

σθ

2)1)(exp(()1)(exp(2)(

2)1)(exp((

)2)exp((2)(

22

B

A

k

donde

22 2σψθ += ,

πσβψ +=

En este modelo se considera que la prima de riesgo depende del nivel de tipos de

interés

σππ

)())(,( 0

trtrt =

101


Por el contrario no son modelos afines, aquellos que consideran para el tipo de interés

instantáneo un comportamiento lognormal, cómo por ejemplo el modelo de Black y Karasinski

(1991), o el modelo de Dothan (1978).

3.5.1. Modelo de Hull – White.

3.5.1.1. Resultados analíticos.

El modelo de Hull – White se viene utilizando activamente por un gran número de

mesas de mercados de capitales de las entidades financieras, para la valoración y cobertura de

derivados sobre tipos de interés.

Nos es útil principalmente por dos motivos:

• Para proporcionar un ajuste en el valor razonable por el riesgo de tipo de interés,

es decir, para incorporar en la valoración la incertidumbre asociada a la evolución

futura de los tipos de interés.

• Puede medir la asimetría derivada de muchas opcionalidades implícitas en las

pólizas de seguros de vida, y por tanto el incremento en el valor razonable de las

PTSV derivado de estas opcionalidades.

Usaremos la versión de un factor, que si bien no ajusta la ETVs, sí que ajusta la ETTI,

además de tener reversión a esta ETTI, lo cual será suficiente para exponer la metodología que

nos interesa abordar en la determinación del valor razonable de las PTSV.

Expondremos los resultados analíticos del modelo, para posteriormente llevar a cabo la

implementación numéricamente mediante un árbol trinomial de tipos de interés. De tal forma

que no implementaremos la evolución del tipo instantáneo, sino del tipo continuo a un plazo

corto determinado.

El modelo de Hull – White, se conoce también cómo Vasicek extendido y aporta sobre

este entre otras cosas que se puede replicar la ETTI. El modelo de Hull – White de un factor,

considera que el proceso riesgo – neutro para el tipo instantáneo tiene la forma

)())()(()( tdWdttarttdr σθ +−=

102


donde y a σ son constantes, pero la función θ depende del tiempo de modo que la ETTI

quede perfectamente replicada. No obstante, en su artículo de 1990 Hull y White consideran

también y a σ dependientes del tiempo de modo que también se puede replicar la ETVs.

El modelo de Hull – White pertenece al grupo de los modelos afines, y cómo tal,

proporciona al problema de valor final

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=−∂∂

+∂∂

++∂∂

1))(,,(

021))(( 2

22

trTTP

rPrP

rPt

tP σσπµ

una solución de la forma

rBeAtrTtP )()())(,,( ττ= , tT −=τ (3.3)

Si identificamos en este caso

))()(()( tartt −= θµ

y hacemos que 0)( =tπ , el anterior problema de valor final quedaría

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=−∂∂

+∂∂

−+∂∂

1))(,,(

021))()(( 2

22

trTTP

rPrP

rPtart

tP σθ

Diferenciando en la expresión anterior respecto a t y a r en los términos de la

solución propuesta, llegamos a:

( ) 01'21)(' 22 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−+− PraBBABABtA σθ

siendo

τττ

∂∂

=)()(' AA

103


τττ

∂∂

=)()(' BB

Dividiendo por y teniendo en cuenta que para todo ))(,,( trTtP r se ha de cumplir la

anterior expresión llegamos a

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−

=+−

01'

021)(' 22

aBB

ABABtA σθ

Por otra parte la condición final 1))(,,( =trTTP equivale a decir que y

.

1)0( =A

0)0( =B

Dado que la segunda ecuación no incluye la función θ , tenemos la misma solución que

para el modelo de Vasicek:

aeB

aτ

τ−−

=1)(

Para resolver la primera ecuación a partir de la solución anterior e integrando en el

intervalo , obtenemos [ Tts ,∈ ]

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2

)()(exp)( τσττστθτ Ba

Ba

dsBsAT

t

En cuanto al proceso , tenemos que )(tr

)()()( tdWedtetrdtaedrered atatatatat σθ +=+=

de manera que

∫∫ ++=t

aut

auat udWedueurtre00

)()()0()( σθ

lo cual una vez simplificado equivale a

104


∫∫ −−− ++=t

utat

utaat udWedueuertr0

)(

0

)( )()()0()( σθ

Podemos proceder por otra parte, descomponiendo el proceso cómo sigue:

)()()( tsttr +Ω=

donde el segundo es un proceso similar al del tipo instantáneo pero con reversión a 0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

+−=

0)0(

)()()(

s

tdWdttastds σ

cuya resolución proporciona para el proceso que )(ts

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≈

−−

aeeNts

atat

21,)(

2

σ

Para que se de la mencionada equivalencia entre el proceso y la suma de los

otros dos, una vez obtenida la evolución correspondiente a , se ha de cumplir que

)(tr

)(ts

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=Ω

=Ω+Ω

)0()0(

'

r

a θ

cuya resolución es inmediata

θatat ee −− =Ω)'(

por lo que obtenemos

∫ −− +=Ωt

utaat dueuert0

)()()0()( θ

De esta forma el proceso para será )(tr

105


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Ω≈

−

aetNtr

at

21),()(

2

σ

La labor del proceso es que el proceso replique perfectamente la ETTI. )(tΩ )(tr

Nos interesa trabajar con el tipo continuo a un plazo t∆ , ),( tttR ∆+ en lugar del tipo

instantáneo, , ya que de esta forma podemos acometer su implementación numérica

mediante árboles trinomiales.

)(tr

3.5.2.2. Implementación mediante árboles trinomiales.

Asumiremos que el tipo al plazo ∆t, ,sigue el mismo proceso estocástico descrito

para el tipo instantáneo

tR

)(tr

ttt dWdtaRtdR σθ +−= ))(( (3.4)

siendo por supuesto, los parámetros de volatilidad a y σ , distintos a los que resultarían para

el tipo instantáneo.

Cómo se expuso en el capítulo 2, el anterior proceso estocástico de Ornstein –

Uhlenbeck se puede escribir una vez discretizado cómo sigue:

( ) ( ) ttaa

tt ReeatRR εθ

+−+−=− −−−

− 11 11)(

siendo

),0( 2εσε Nt ≈ ,

donde

( )atea

22

2 12

−−=σσ ε .

106


Expondremos el algoritmo para la implementación en árbol, del modelo de un factor de

Hull – White.

En primer lugar cómo ya se ha expuesto para el tipo instantáneo se procede a la

descomposición del proceso en dos procesos claramente diferenciados: tR

)(tSR tt Ω+=

donde

tS es un proceso estocástico similar a , pero con nivel de reversión a 0. tR

)(tΩ es una función determinística dependiente de t.

La anterior descomposición permite acometer el proceso de implementación en dos

pasos. El primer paso se centra en la construcción del proceso , de manera que quede

recogida toda la volatilidad inherente al proceso . Mientras que en el segundo paso, se

adaptan los valores de , de modo que se repliquen perfectamente los precios de los

bonos .

tS

tR

)(tΩ

),0( tP

Primer paso.

Según la anterior descomposición el proceso tendrá la siguiente evolución

temporal:

tS

⎭⎬⎫

=+−=

0'

0SdWdtaSdS ttt σ

(3.5)

El proceso es un proceso de Ornstein – Uhlenbeck y como tal exhibe reversión a la

media, que en este caso es 0, es decir, el componente tendencial es positivo cuando , y

negativo cuando .

tS

0<tS

0>tS

Para su implementación hemos de discretizar el proceso, considerando un salto

temporal , que determina que la anterior dinámica pase a ser cómo vimos en el capítulo 2,

el siguiente proceso AR(1):

t∆

( ) ttta

tt SeSS ε+−=− −∆−

− 11 1

107


siendo

),0( 2εσε Nt ≈ ,

donde

( )atea

22

2 12

−−=σσ ε .

La aproximación mediante árboles trinomiales consiste en considerar esperanzas y

varianzas condicionales de los saltos de a partir de la anterior expresión de modo que: tS

[ ]

[ ] ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

⋅=−

−−

−−−

VSSSV

SMSSSE

iii

iiii

11

111

(3.6.)

siendo

( )1−= ∆− taeM

( )aeV

ta

21 22 ∆−−

=σ

Fijémonos que M y V son cantidades determinadas a partir de y , siendo

cuando :

a 2σ

0→∆t

taM ∆⋅−≈

y

tV ∆⋅≈ 2σ

Si consideramos saltos de tiempo constantes, t∆ , e igualmente unos parámetros a y

constantes, podemos fijar unos valores de , cuyo valor será múltiplo de un espacio, ,

por determinar.

2σ tS S∆

108


Para unas cantidades fijas de t∆ y S∆ , podemos identificar los valores del proceso

, por iS ),(),( SjtiSjiS ∆∆≡ .

Dado que pretendemos ajustar tres condiciones:

• media,

• varianza y

• probabilidades de transición,

hemos de construir árboles con ramificación trinomial.

Un árbol trinomial constituye la representación natural en tiempo discreto de un

determinado proceso estocástico, de la siguiente forma

Figura 3.1. Árbol trinomial para un paso temporal ∆t.

Cada nodo del mallado en el espacio (t, s), se denotará por (i, j) ≡ (i∆t, j∆s).

A continuación podremos comprobar que el esquema de bifurcación varía:

a) Configuración central

El esquema de bifurcación normal a partir del nodo ),1( ji − es:

(i, j + 1) 1

(i - 1, j)

Figura 3.2. Config

1

2 (i, j)

ur

09

3

(i, j - 1)

ación central


En este caso, si para ( ) ti ∆−1 tenemos un valor del proceso , entonces el

valor del proceso en el siguiente salto temporal, puede tomar tres valores: , y

.

),1( jiS −

)1,( +jiS ),( jiS

)1,( −jiS

Cómo ya se ha explicado, implementamos el árbol trinomial de manera que tanto la

media como la varianza proporcionadas por el árbol, sean idénticas a las que exhibe

localmente . De ahí que se pueda plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales con

incógnitas las probabilidades de transición sobre el árbol, , y :

tS

)(1 jp )(2 jp )(3 jp

[ ] ( )

[ ] ( ) ( ) (

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=++

∆⋅⋅+=−⋅+=+∆=−∆

∆⋅⋅=−⋅=−∆=−∆

1)()()(

),1()()(),1(

),1()()(),1(

321

2231

22

31

jpjpjp

SjMVjiSMVjpjpSjiSSV

SjMjiSMjpjpSjiSSE

) (3.7)

siendo

)(1 jp : probabilidad de transición del nodo ),1( ji − a )1,( +ji ;

)(2 jp : probabilidad de transición del nodo ),1( ji − a ; ),( ji

)(3 jp : probabilidad de transición del nodo ),1( ji − a )1,( −ji .

La resolución de (3.7) es:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−+=

−−=

++=

2)(

2)(

)(1)(

2)(

2)(

2

3

22

2

1

jMjMwjp

jMwjp

jMjMwjp

(3.8)

siendo

2StVw

∆∆

=

110


Fijado un parámetro de reversión a la media, , y un plazo ∆t, estas probabilidades

dependen de y de la altura del nodo correspondiente al árbol trinomial.

a

w j ),( ji

)( ni =Transcurridos n saltos temporales tenemos que la probabilidad de subida será

wjpjpn 21

61)()( 11, +−=

Para que las probabilidad de transición se tornen estacionarias42, basta con establecer

31

=w ,

de modo que todas ellas serán independientes del corte temporal, i , dependiendo

exclusivamente de la altura . j

Así a partir de V , determinamos el valor de

tVS ∆=∆ 3 ,

De esta forma:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−+=

−=

++=

2)(

61)(

)(32)(

2)(

61)(

2

3

22

2

1

jMjMjp

jMjp

jMjMjp

(3.9)

para todos los cortes temporales.

Por otra parte, es necesario que todas las probabilidades de transición se mantengan

positivas, no siendo así cuando

42 Independientes del nivel temporal i.

111


Mj 3

2−<

Para evitar que ocurra esto, hemos de plantear configuraciones alternativas de manera

que la probabilidad central se mantenga positiva sea cual sea el valor de . j

b) Configuración ascendente

(i, j + 2)

(i - 1, j)

1

2

3

(i, j + 1)

Figura 3.3. Config

En este otro esquema de bifurcación la

)(1 jp : probabilidad de transición del nodo (i −

)(2 jp : probabilidad de transición del nodo (i

)(3 jp : probabilidad de transición del nodo (i −

Al igual que hemos hecho en el ca

probabilidades

+=

−−=

+=

67)(

31)(

61)(

3

2

1

jp

jp

jp

(3.10)

Como en el caso de la configuración c

de signo según varía el índice j, siendo )(2 jp

1

(i, j)

uración ascendente

s probabilidades de transición son:

),1 j a )2,( +ji ;

),1 j− a )1,( +ji ;

),1 j a . ),( ji

so de la configuración central, obtenemos las

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−

+

−

23)(

2)(

2)(

2

2

2

jMjM

jMjM

jMjM

entral, es la probabilidad la que cambia

cuando

)(2 jp

0>

12


Mj

M3

21321 −

−<<+

−

Así los j´s que permiten la sustitución de la configuración ascendente por la central son

Mj

M min3

2132 −

−<<−

c) Configuración descendente

(i - 1, j)

Figura 3.4. Configurac

Aquí las probabilidades de transición son

)(1 jp : probabilidad de transición del nodo ,1( ji −

)(2 jp : probabilidad de transición del nodo ,1(i −

)(3 jp : probabilidad de transición del nodo ,1(i −

En este caso

+=

−−=

+=

(61)(

(31)(

(67)(

3

2

1

jMjp

jMjp

jMjp

113

1

(i, j)

2

3
(i, j - 1)
(i, j - 2)

ión descendente

) a ; ),( ji

)j a )1,( −ji ;

)j a )2,( −ji .

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

+

−

+

2)

2)

23)

2

2

2

jM

jM

jM

(3.11)


Siendo cuando 0)(2 >jp

Mj

M3

21321 +

<<−

Los j´s que permiten la sustitución de la configuración descendente por la central son

Mj

M max3

23

21<<

−

Las probabilidades de transición son simétricas de manera que , siendo

y . De esta manera podemos escoger como el entero

más próximo por la derecha del límite inferior del anterior intervalo de j´s permitidos, tomándose

.

maxmin jj −=

)()( 31 jpjp −= )()( 22 jpjp −= maxj

maxmin jj −=

La regla para decidir la ramificación adecuada para cada nodo, de acuerdo con las

anteriores restricciones, será una vez definida

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

ML 1835,0

,

de manera que

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⇒−<

⇒>

⇒≤≤−

ascendenteLj

edescendentLj

centralLjL

Llegamos de este modo a la siguiente configuración del árbol trinomial:

114


Figura 3.5. Árbol trinomial para un paso temporal ∆t.

Para ilustrar el proceso anterior, incluiremos un ejemplo. Si suponemos unos

parámetros de Vasicek de a=0,09860 y σ = 0,01103 obtenemos:

J p1(j) p2(j) p3(j)

2 0,902612 0,006984 0,090404

1 0,124127 0,657850 0,218023

0 0,166667 0,666667 0,166667

-1 0,218023 0,657850 0,124127

-2 0,090404 0,006984 0,902612

Cuadro 3.1.: Probabilidades estacionarias de transición en el árbol de la variable St

y

J S0 S1 S2

2 0,036401

1 0,018200 0,018200

0 0 0 0

-1 -0,018200 -0,018200

-2 -0,036401

Cuadro 3.2.: Valores temporales en el árbol de la variable St.

Segundo paso

115


El segundo paso en la implementación del modelo consiste en convertir este árbol para

en el correspondiente para . tS tR

Puesto que

ttt dWdtaRtdR σθ +−= ))((

y que

ttt dWdtaSdS σ+−=

tenemos que es totalmente determinístico: )(tΩ

dttattd ))()(()( Ω−=Ω θ

Para recuperar los tipos a plazo en el árbol ),(, tjtiRR ji ∆∆≡ , lo único que hay que

hacer es determinar en cada período el valor de )( tii ∆Ω≡Ω .

Precios Arrow – Debreu.

Introducimos como el valor actualizado de un activo cuyo flujo de caja es 1 en el

nodo (i, j) y 0 en cualquier otro caso, es lo que denominamos precios Arrow - Debreu. Tanto los

como los se pueden obtener mediante inducción forward para que la ETTI quede

replicada.

jiQ ,

iΩ jiQ ,

Supongamos que la curva cupón cero es:

t P(0, t)

0 1

1 0,977469

2 0,947188

3 0,912773

4 0,875619

5 0.837634

Cuadro 3.3.: CCC.

116


El proceso sería:

1. Inicializar la inducción forward haciendo = 1 y puesto que para i = 0, j toma

exclusivamente el valor 0, resulta

0,0Q

00 R=Ω .

Para nuestro ejemplo,

%27884,2977469,0

1ln0 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=R

2. El siguiente paso es calcular los precios Arrow-Debreu , y , que según

se ha establecido serán:

1,1Q 0,1Q 1,1 −Q

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⋅−⋅=

=⋅⋅=

=⋅⋅=

−−

−

−

0,162912)1,0(

0,651646)0,0(

0,162912)1,0(

0

0

0

30,01,1

20,00,1

10,01,1

R

R

R

epQQ

epQQ

epQQ

3. A partir del conjunto completo de precios Arrow - Debreu en un determinado paso de

tiempo, i, ya podemos proceder al cálculo de la cantidad iΩ .

Los precios observados en los nodos (i, j`s) para un bono con vencimiento en i + 1 serán

también los factores de descuento aplicables al período [i, i + 1], por lo que el precio del

bono que vence en el instante i = 2 tiene los precios en cada uno de los nodos (1, j`s):

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

∆−Ω−−

Ω−

∆+Ω−

)(1,1

0,1

)(1,1

1

1

1

)2(

)2(

)2(

S

S

eP

eP

eP

A partir de la ecuación fundamental de valoración en tiempo y pagos discretos, el precio

observado desde el inicio del bono que vence en i = 2 será:

)(

1,10,1)(

1,1111)2( SS eQeQeQP ∆−Ω−

−Ω−∆+Ω− ++=

117


Por lo que se obtiene

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=Ω∑ ∆∆−

)2(log

,1

1 P

eQj

tSjj

=0,031524

Quedando determinados

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=+Ω=

=+Ω=

=+Ω=

−− 0,013324

0,031524

0,049725

111,1

010,1

111,1

SR

SR

SR

Hemos obtenido un algoritmo recursivo.

En cuanto a la generalización de las expresiones anteriores:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=Ω

∆−+

∆∆−

∑

∑

tR

jjiji

j

tSjji

i

ijejjpQQ

iP

eQ

'´

'',,1

´,

),'(

)1(log

Para nuestro ejemplo obtenemos

J 0 1 2

2 0,01924

1 0,16291 0,20721

0 0 0,65165 0,48979

-1 0,16291 0,21099

-2 0,01995

Cuadro 3.4.: Precios Arrow Debreu.

y

118


J 0 1 2 3 4

2 7,36119% 7,83677% 8,14159%

1 4,97247% 5,54114% 6,01672% 6,32154%

0 2,27887% 3,15242% 3,72110% 4,19668% 4,50150%

-1 1,33237% 1,90105% 2,37663% 2,68145%

-2 0,08100% 0,55658% 0,86140%

Cuadro 3.5. Tipos R(t).

Gráficamente:

R i,j

0,000,010,020,030,04

0,050,060,070,080,09

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

Gráfico 3.1.: Árbol del tipo de interés a corto plazo.

3.5.2.3. Calibración.

La calibración del modelo Hull – White consiste en obtener el valor de los parámetros

de volatilidad y a σ , a partir del mercado de derivados.

Para que un instrumento financiero sea válido para calibrar, debe ser negociado

activamente. En España contamos por ejemplo con el caplet, como instrumento financiero

negociado activamente en el mercado de derivados OTC sobre tipos de interés.

Los caplets se suelen valorar con el modelo de Black. Según este modelo, el valor

actualizado de un caplet con fecha de inicio, t , del periodo de amortización del tipo interés

vigente entre y t T , sería

[ ])2()1(),,0()(),,0( ),0( dNRdNTtFetTLTtC capTR −−= −

119


siendo

)( tTL − : cantidad fija sobre la que se estima el caplet, también denominado nocional del

caplet,

),,0( TtF : el tipo forward para el período t a T observado en la fecha de valoración,

tt

ttRTtFd cap

)(

2/)()/),,0(log( 2

2,1 σ

σ ⋅±=

y )(tσ la volatilidad para el caplet con fecha de inicio t .

Identificamos esta volatilidad con la del proceso de forwards:

)),,(()( 12

−= ss GTtsFVtσ

siendo la información disponible hasta el período 1−sG 1−s .

Por otra parte obtenemos inmediatamente los tipos forward implícitos a partir de la

relación

tTttFTTFTtF

−⋅−⋅

=),0(),0(),,0(

Considerando:

1loglog −−= ttt FFφ

obtenemos un estimador insesgado de la volatilidad de , , utilizando las m

observaciones más recientes cómo sigue

tF t2σ

∑=

− −−

=m

iitt

m 1

22 )(1

1 φφσ

donde

∑=

−=m

iitm 1

1 φφ

120


Por último se ha de escoger una medida de bondad del ajuste. Si disponemos de

instrumentos podríamos escoger

n

∑=

−n

i i

ii

CMC

1

siendo

iC el precio de mercado del i-ésimo instrumento y

iM es el precio proporcionado por el modelo.

Los parámetros para los que el modelo quedaría calibrado, serían aquellos que

minimizaran esta distancia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∑

=

n

i i

ii

CaMC

1

),(minarg

σ (3.12.)

Una aplicación práctica de esta calibración se puede encontrar en Navarro (2003).

Hasta aquí, nos hemos centrado en el proceso estocástico correspondiente a los tipos

de interés para la determinación del valor razonable. El paso siguiente será identificar el

proceso estocástico correspondiente a la supervivencia del asegurado, durante los períodos de

vigencia de la póliza.

121

CAPÍTULO 4. RIESGO TÉCNICO Y EL VALOR RAZONABLE. 125


4.2. INTRODUCCIÓN AL RIESGO TÉCNICO EN LOS

SEGUROS DE VIDA. 126

4.3. INTRODUCCIÓN A LAS TABLAS DE MORTALIDAD. 130

4.4. TABLAS DE MORTALIDAD DINÁMICAS. 133

4.4.1. Métodos paramétricos. 134

4.4.1.1. Métodos estructurales. 134

4.4.1.2. Métodos no estructurales. 139

4.4.2. Métodos no paramétricos. 141

4.4.3. Métodos basados en factores de reducción

de la mortalidad. 143

4.5. APLICACIÓN A LA POBLACIÓN DE LA COMUNIDAD

ANDALUZA. 149

4.6. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO A LA MEDIDA

DE MORTALIDAD. 176




4.7. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO AL FACTOR

DE DESCUENTO ACTUARIAL. 200

123

CAPÍTULO 4. Riesgo técnico y el Valor Razonable.

CAPÍTULO 4. RIESGO TÉCNICO EN EL

VALOR RAZONABLE. 4.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO. En este capítulo se expone la influencia del riesgo técnico en el valor razonable de las

PTSV.

Descomponemos el riesgo técnico en dos clases de riesgo:

• Riesgo sistemático o de desconocimiento de la prestación esperada.

• Riesgo no sistemático o de desviación respecto de la prestación esperada.

La metodología propuesta para recoger en la estimación del valor razonable de las

PTSV las dos clases de riesgo mencionadas, se descompone en dos partes:

En primer lugar se ajusta la tabla de mortalidad dinámica correspondiente a la

población de donde se extrae el colectivo asegurado.

En segundo lugar se propone un proceso de difusión de la medida de mortalidad

inherente a esta tabla de mortalidad dinámica.

Así el apartado 4.2. introduce el riesgo técnico en los Seguros de Vida, para centrarse

en el riesgo biométrico.

A continuación se presenta el concepto de tablas de mortalidad y de sus diferentes

modalidades, para exponer en el apartado que sigue los distintos métodos de ajuste de tablas

de mortalidad dinámicas.

En el apartado 4.5. se ajustan las tablas de mortalidad dinámicas para Andalucía,

mediante dos métodos de ajuste: el modelo de Heligman y Pollard y el modelo de Lee – Carter.

Aunque será este último el escogido por el presente trabajo para ser incorporado a la

metodología propuesta, el modelo de Heligman y Pollard servirá de contraste de los resultados

obtenidos.

El último apartado propone un proceso de difusión para el tanto de mortalidad,

implementándose numéricamente a través de árboles trinomiales recombinantes. La

implementación en forma de árbol, permitirá en los capítulos que siguen la construcción de

algoritmos para la estimación del valor razonable de las PTSV, rápidos y fácilmente aplicables

125


4.2. INTRODUCCIÓN AL RIESGO TÉCNICO EN LOS SEGUROS DE VIDA.

El riesgo técnico puede ser definido como aquel derivado de una inadecuada o

insuficiente estimación de las prestaciones futuras de las pólizas. Este riesgo puede ser

dividido en dos partes:

1. Riesgo no sistemático o de desviación de la prestación real respecto de la prestación

esperada.

2. Riesgo sistemático o de desconocimiento de la prestación esperada.

Riesgo no sistemático.

El riesgo no sistemático puede ser reducido tomando un gran número de prestaciones

independientes. Si bien en ocasiones puede ser especialmente difícil de diversificar, no

existiendo además en la mayoría de los casos instrumentos financieros que permitan de

manera fácil y barata la negociación de tales riesgos.

Supongamos una Póliza de Seguro de Vida por la cual el Asegurado percibirá al

vencimiento la siguiente prestación

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤→

>→=

n

nXnX

τ

τ

0)(

siendo τ el tiempo hasta el fallecimiento. Es lo que denominamos en el argot actuarial “capital

diferido”. Si la aseguradora tiene contratos de estas características tenemos cómo valor

actualizado de la prestación correspondiente a un contrato de esta cartera

m

∑=

=m

ii nXnP

mV

1)(),0(1)0(

donde

),0( nP : precio del bono cupón cero,

)(nX i : prestación en n de la Póliza i – ésima.

Según la ley de los grandes números tenemos que

126


[ )()(exp)0(0

nXEpdttrVn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒ ∫ ] para ∞→m

es decir, la frecuencia relativa de las prestaciones tiende a la esperanza matemática de estas

prestaciones cuando el número de contratos tiende a infinito.

En los Seguros de Vida, la prestación esperada depende de la supervivencia humana o

de la muerte. Es por ello que para el análisis del riesgo técnico correspondiente a los Seguros

de Vida, nos centraremos en el riesgo biométrico.

El riesgo biométrico es aquel asociado al fenómeno de la supervivencia humana,

caracterizado por el suceso de que un individuo, perteneciente a un colectivo determinado

supere con vida una edad concreta. También se puede caracterizar por el complementario, que

sería el suceso de que un individuo perteneciente a un colectivo determinado, fallezca antes de

alcanzar una edad concreta.

Denominaremos por , a la esperanza matemática de fallecer en un año para un

individuo de edad

xq

x .

Si consideramos un grupo específico de individuos de edad x y que representaremos

por (donde toma un valor 10xl 0ln), la variable aleatoria número de fallecidos en un año ,

sigue una distribución binomial ( ~ ), con esperanza matemática y varianza:

xd

xd ),( xx qlB

( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−⋅⋅=

⋅=

)1( xxxx

xxx

qqldV

qldE

Cómo comenta Betzuen (1989) con antelación a la fijación del precio del Seguro de

Vida, es imprescindible analizar el comportamiento de la mortalidad para el colectivo a

asegurar. Existen dos posibilidades para definir la mortalidad del colectivo, la primera es

establecer la expresión analítica de la distribución de probabilidad sobre la variable tiempo

futuro de supervivencia, y la segunda es la construcción de la tabla de mortalidad.

127


Se incluye un cuadro resumen con la expresión analítica de la ley de mortalidad

propuesta por algunos autores. Esta viene expresada en función del tanto instantáneo o fuerza

de mortalidad43, o de la probabilidad de fallecimiento.

De Moivre (1724) xttxtx −<<

−−=+ ω

ωµ 0,1

Gompertz (1825) 0, >= ++ tBc tx

txµ

Makeham (1860) 0, >+= ++ tBcA tx

txµ

Weibull (1939) 0,,,)( >+=+ tnktxk ntxµ

Thiele (1972) )exp())(21exp()exp( 33

22211 xbacxbaxbax +−−+−=µ

Perks (1825) xx

x

x DcKcBcA++

+= − 1

µ

Heligman y Pollard (1980) ∑=

−−=−

n

i

Diiii

x

x iCxfBAq

q1

))((exp(1

Cuadro 4.1. Distribuciones analíticas del tiempo de supervivencia.

En cuanto a la construcción de tablas de mortalidad nos extenderemos ampliamente en

los apartados 4.3 y siguientes.

Riesgo sistemático.

El riesgo sistemático puede ser reducido por la suscripción de un gran número de

coberturas de seguro. Aunque los riesgos que tienen distribuciones con alta curtosis44, son

especialmente difíciles de reducir a través de la diversificación.

El riesgo técnico de desconocimiento de la prestación esperada se agrava en el caso

de los seguros de Vida, ya que la duración de los contratos es mucho mayor.

Para reducir este riesgo, se podrían utilizar activos referenciados explícitamente al

comportamiento de la cartera asegurada. Este enfoque se ha dado en llamar mercado de

“Reaseguro Dinamico” y ya fue propuesto por Sondermann (1991) y Delbaen y Haezendonck

(1989), analizado mas recientemente por Mǿller (2004). Algunas aplicaciones en Seguros de

Vida pueden encontrarse en Mǿller (1998) y Steffensen (2001).

43 Como veremos mas adelante, el tanto instantáneo de mortalidad es la intensidad de fallecimiento del asegurado. 44 Supone una probabilidad muy pequeña de una pérdida extremadamente grande.

128


Mas recientemente se han introducido los llamados “mortality bonds” y “mortality

swaps”45.

Los “mortality bonds” son en esencia un bono cuyo flujo de caja se halla referenciado al

comportamiento de la mortalidad de una cohorte de referencia. Tenemos cómo antecedentes el

EIB/BNP Long – term longevity bond, de noviembre 2004, que se trata de un bono de duración

25 años, cuyo flujo de caja se halla indiciado a una población de referencia consistente en una

cohorte de hombres de 65 años de Inglaterra y Gales, y cuyo objetivo es cubrir el riesgo de

longevidad. También tenemos otro antecedente, el Swis – Re Short – term catastrophe bond,

consistente en un bono de duración 3 años, cuyo flujo de caja se halla referenciado a los

fallecimientos debidos a catástrofes, de la cohorte de referencia compuesta por personas de

varios países. Cubre los fallecimientos debidos a catástrofes, que suelen ser excluidos de

muchos seguros de fallecimiento.

En cuanto a los “mortality swap” supone el intercambio de una corriente fija de pagos a

una cartera asegurada, por los que tendrán lugar en realidad según el comportamiento de la

cartera asegurada. Tenemos un ejemplo en lo que Schrager (2006) denomina GAOs

(Guaranteed Annuity Options) y que toman cómo subyacente una renta vitalicia, constante a

prima única, que se devenga en un tiempo posterior, T , a la fecha de valoración . t

Por otra parte, para modelizar el riesgo técnico sistemático, se han desarrollado

últimamente varios modelos. Así por ejemplo tenemos el caso del modelo de Lee – Carter46

que considera para el factor de la medida de mortalidad dependiente del tiempo cronológico un

modelo ARIMA(0, 1, 0). Posteriormente ha sido adaptado por Denuit, et. al (2005) para

aplicarlo estocásticamente en tiempo continuo. Milevsky y Promislow (2001) aplican el

denominado modelo de Gompertz con reversión a la media, mientras que Dahl (2004) aplica un

modelo afín de los ya expuestos para el proceso estocástico correspondiente al tanto

instantáneo de mortalidad. Biffis y Millossovich (2006) analizan modelos afines con saltos. En

cuanto a modelos de la forma HJM (sobre tipos forward) mencionados para los tipos de interés,

tenemos el caso del modelo de Smith – Olivier descrito en Olivier y Jeffrey (2004).

Blake, et. al. (2004) aplican modelos de la familia de los “Market Models” para “forward

life annuity rates” y “forward Survivor Credit Offer Rates (SCOR)”. El primer caso toma como

subyacente unas rentas diferidas a prima única del tipo de las ya mencionadas GAOs, mientras

que el segundo es una reminiscencia del τ –LIBOR (el London Interbank Offer Rate con

duración o tenor τ ), así si tenemos que respecto a los tipos de interés el τ –LIBOR se define

como

45 Ver Blake, et. al (2006) para mas detalle. 46 Ver Lee – Carter (1992) y Lee (2000).

129


),(),(1

τττ

++−

=ttPttPL

para un forward SCOR tendríamos

Qtx

Qtx

pp

L+

+−=

τ

τ

τ1

En nuestro caso una vez construida la tabla de mortalidad para la población andaluza

de los años 1980 a 2000 por los modelos de Heligman y Pollard y de Lee – Carter,

construiremos en el apartado 4.6. un modelo estocástico afín unifactorial no homogéneo, es

decir, que replique la tabla de mortalidad ajustada, similar al que Hull y White aplican a los tipos

de interés. Una vez definido el modelo para el tipo instantáneo,

)())()(()( tdWdttattd xx σµθµ +−=

lo implementaremos numéricamente mediante árboles trinomiales recombinantes. La

calibración del modelo debería llevarse a cabo a partir de “mortality bonds” o “mortality swap”,

de modo que quede recogida adecuadamente la probabilidad, Q , riesgo neutro. De no ser

posible proponemos como hacerlo a partir del ajuste del modelo ARIMA del modelo de Lee –

Carter, con lo cual no se habría calibrado a mercado, pero sí consideraría el riesgo sistemático

de desconocimiento de la prestación esperada.

4.3. INTRODUCCIÓN A LAS TABLAS DE MORTALIDAD.

Siguiendo a Palacios (1996) una tabla de mortalidad es una serie temporal en la que se

pone de manifiesto la reducción gradual de un grupo inicial de individuos, como consecuencia

de los fallecimientos. De esta manera, la tabla refleja los individuos que sobreviven a cada

edad.

Las dimensiones temporales que nos interesan desde el punto de vista de una tabla de

mortalidad, siguiendo a Montserrat y Guillén (1999) son las siguientes:

• Nos referiremos al tiempo cronológico o de calendario como al período en que se

realiza la observación demográfica, y lo denotaremos por t. Por ejemplo, la mortalidad

observada en el año 1990 será la correspondiente a t = 1990.

130


• El tiempo será una duración si hace referencia al período transcurrido desde el suceso

origen hasta un tiempo cronológico determinado. Así la edad o tiempo biológico de 29

años en el año 1990, corresponderá a x = 29.

• Por último el tiempo en el sentido de línea de vida, será aquella trayectoria de la cual

conocemos el suceso origen pero no el suceso final. A las personas que comparten el

suceso origen las denominamos cohorte. Así la cohorte de 1975, será g = 1975.

Estas tres dimensiones temporales se relacionan de la manera siguiente:

g + x = t

Para profundizar en todo lo anterior ver Montserrat y Guillén (1999).

La tabla de mortalidad facilita de manera asombrosa los cálculos de todo tipo de

valoraciones actuariales, y mucho más, cuando no existía la potencia en los cálculos que en la

actualidad proporcionan los medios computacionales

Tablas estáticas y dinámicas.

La tabla de mortalidad es una abstracción matemática que modeliza la supervivencia

de los individuos pertenecientes a un determinado colectivo. El fenómeno de la supervivencia

se halla caracterizado porque sus sucesos se refieren a la posibilidad de que un individuo

perteneciente al colectivo alcance y supere una edad concreta, siendo por tanto ésta última el

eje fundamental de la tabla de mortalidad.

Los postulados recogidos en Vegas (1982) respecto de las tablas de mortalidad son los

que siguen:

• Principio de Homogeneidad: según el cual todos los individuos considerados son

equivalentes en términos de mortalidad, es decir, la variable edad de muerte es una

variable aleatoria idénticamente distribuida.

• Principio de Independencia: las variables edad de muerte de los individuos pertenecientes

al colectivo, son además de variables aleatorias idénticamente distribuidas, como se citaba

en el Principio anterior, independientes entre sí (a partir de ahora v.a.i.i.d).

• Principio de estacionariedad: la probabilidad de un individuo de sobrevivir a una edad

concreta es independiente del tiempo cronológico.

131


Desde el punto de vista del tiempo cronológico las tablas de mortalidad pueden ser:

De momento: no tiene en cuenta el tiempo cronológico. La cohorte considerada por la tabla

de mortalidad se compone de múltiples generaciones, tratándose todas ellas cómo si se

trataran de una misma generación.

De generación: sí que considera en su estructura el tiempo cronológico para la

determinación del suceso origen nacimiento. De esta manera cada cohorte corresponderá

a una generación real.

Por otra parte, en la legislación española se aplican lo que se conoce por tablas de

mortalidad de segundo orden. Esto quiere decir que implícitamente incorporan un margen de

seguridad en sus probabilidades condicionadas, que será diferente según se trate de un

Seguro de Vida – Ahorro47 o de Vida – Riesgo48. La probabilidad de fallecimiento en el primer

caso se atenúa, mientras que en el segundo se agrava.

La finalidad de este margen de seguridad es, entre otras, la de hacer frente a

desviaciones desfavorables de la siniestralidad real respecto de la esperada. Si pretendemos

un acercamiento al valor razonable de las Provisiones Técnicas no es de recibo incorporar este

margen, por lo que las tablas vigentes no serían validas desde nuestro punto de vista.

Entre las tablas de mortalidad vigentes en la actualidad para los Seguros de Vida, y

más concretamente para los de Ahorro, tenemos las tablas de momento GRM/F – 95, y las

tablas generacionales PERM/F – 2000 P (para la nueva producción), y las PERM/F – 2000 C

(para los contratos en cartera).

De las tablas GRM/F – 95 (de momento y experiencia suiza), ha quedado demostrado

(Betzuen, 1997), que sobrevaloran la mortalidad española para edades mayores, lo cual,

infravaloraría por consiguiente el valor razonable de las PTSV de Seguros de Vida – Ahorro.

Con respecto a los Seguros de Vida – Riesgo contamos con las tablas de momento

GKM/F – 95.

Las actuales tablas de mortalidad quedan invalidadas en primer lugar porque están

elaboradas para una población genérica, con un comportamiento de mortalidad que no tiene

por qué ser similar al de la población objeto de aseguramiento, y en segundo lugar porque

incorporan el citado margen de seguridad.

47 Seguro cuya prestación consiste en un capital pagadero a la supervivencia del Asegurado. 48 La prestación en este caso, consiste en un capital pagadero al fallecimiento del Asegurado.

132


Es por ello que incluiremos los mecanismos básicos que permitan la construcción de

unas tablas de mortalidad dinámicas, más adecuadas y particularizadas para la población

objeto de estudio, por supuesto sin margen de seguridad.

Han sido escogidas las tablas de mortalidad dinámicas, debido a que en la literatura

actuarial se ha reconocido últimamente que éstas son las más adecuadas. Elaboraremos una

tabla de mortalidad dinámica sin margen de seguridad para la población andaluza. La tabla se

elaborará sobre la base de la experiencia de mortalidad de los años 1980 a 2000 en Andalucía,

a fin de mostrar como se implementarían los resultados obtenidos en la cuantificación del valor

razonable de las PTSV.

Antes haremos una exposición de varios modelos que permiten la obtención de tablas

de mortalidad dinámicas.

4.4. TABLAS DE MORTALIDAD DINÁMICAS.

Los métodos de obtención de tablas dinámicas se pueden clasificar siguiendo a Debón

et.al. (2004) en tres grandes grupos:

1.-Modelos paramétricos: ajustan a la mortalidad una función dependiente de unos

parámetros, (ó ) = txq , txm , ),( xf iα donde x es la edad (v.a. independiente) y iα

son los distintos parámetros a estimar. Como puede observarse, estamos ante un

problema de regresión, con las ventajas que esta técnica estadística tiene, entre las

que destaca la posibilidad de obtener una medida de la bondad del ajuste del modelo y

facilitar así la comparación.

Hay que tener en cuenta en esta metodología, que la introducción de más parámetros

al modelo dará lugar a una medida de la bondad del ajuste mejor, siendo de vital

importancia mantener un equilibrio entre el número final de parámetros escogidos y

esta bondad de ajuste, para evitar una sobreparametrización del modelo.

Los modelos paramétricos a su vez pueden ser:

a) Modelos estructurales: consideran que la influencia del tiempo afecta

únicamente a los parámetros: establecen un mismo modelo a lo largo de los

años calibrado según el tiempo cronológico.

b) Modelos no estructurales: incorporan el tiempo cronológico como variable.

133


2.-Modelos no paramétricos: se combinan las ideas básicas de procesos estocásticos

donde el tiempo cronológico es la escala de tiempo, y la edad una covariable del

proceso.

3.-Modelos basados en los factores de reducción: los cuales una vez modelizadas

las medidas de mortalidad, incorporan la evolución de éstas según el tiempo

cronológico a través de los factores de reducción.

Un procedimiento óptimo para la estimación de tablas de mortalidad dinámicas es,

primero utilizar la metodología no paramétrica, con la finalidad de aplicarla como método de

smoothing o suavizado de la mortalidad y posteriormente utilizar modelos paramétricos para su

estimación final (incluyendo o no factores de reducción).

4.4.1. Métodos paramétricos.

4.4.1.1. Métodos estructurales.

En estos métodos la medida de mortalidad , , ..., es función de la edad x, de

forma que el modelo se mantiene a lo largo de los años, dependiendo del tiempo cronológico a

través del valor de sus parámetros, es decir,

txq , txm ,

))(),...,(),(( 21, tttfq ntx ααα= , donde iα son

los parámetros a estimar.

Por lo tanto ajustan el mismo modelo para los distintos años, obteniendo una secuencia

de parámetros estimados, para posteriormente analizar la serie cronológica de cada parámetro

y ajustarla para obtener estimaciones de los parámetros a futuro.

Modelo de Heligman y Pollard.

Las leyes de Heligman y Pollard (1980) se ajustaron inspirándose en Thiele (1972) a la

Australia de la posguerra.

Su expresión genérica es:

∑=

−−=−

n

i

Diiii

x

x iCxfBAq

q1

))((exp(1

134


siendo Ai, Bi, Ci, Di, con i = 1, 2, ..., n, los parámetros a estimar.

Las tres expresiones que realmente se ajustaron son las que siguen:

• Primera ley.

( )( ) x

xBx

x GHGHFxEDAq

C

−+−−+= +

1lnlnexp 2)(

• Segunda ley.

( )( ) x

xBx

x KGHGHFxEDAq

C

−+−−+= +

1lnlnexp 2)(

• Tercera ley.

( )( ) K

KC

x

xBx

xKGH

GHFxEDAq−

+−−+= +

1lnlnexp 2)(

Como puede observarse en las tres leyes anteriores, la mortalidad en el método de

Heligman y Pollard está dividida en tres sumandos, donde cada uno de ellos tiene una

interpretación particular:

• Primer sumando, se refiere a la mortalidad infantil (en especial en el primer año de

vida), que hace que la función qx sea decreciente para valores de x pequeños.

• Segundo sumando, representa la mortalidad para edades más adultas, donde se

muestra una joroba que indica la existencia de una sobremortalidad debida al

fallecimiento por accidentes, enfermedades como el SIDA, mortalidad maternal…

• Tercer sumando, refleja el crecimiento de la mortalidad en relación con el aumento de

la edad x.

De las tres leyes anteriores vamos a utilizar la segunda ley en nuestro estudio, ya que

al introducir el parámetro k mejora el ajuste de la primera ley para edades altas (tercer

sumando) y su fórmula es menos laboriosa que la de la tercera ley por lo que se facilitarán los

cálculos.

135


Los parámetros se estiman para cada uno de los años mediante mínimos cuadrados

ponderados no lineales de la forma:

( )∑ −x

xx xFqw 2)(

donde es la función a ajustar y la inversa de es proporcional a la varianza de la

observación a la edad x, sirviendo como ponderación de la forma

)(xF xw

( )nxq1

.

La estimación de los parámetros se realiza mediante métodos iterativos de ajuste para

un modelo de regresión no lineal, el método más usual es el de Gauss-Newton.

Una vez estimados los valores de los parámetros para cada uno de los años hay que

determinar el modelo que siguen, para ello se ajusta una serie temporal a cada parámetro y se

obtienen las predicciones para posteriormente obtener la predicción de . xq

Para el ajuste de las series temporales utilizamos la metodología de Box-Jenkins que

expusimos en el capítulo 2, cuyo procedimiento resumido es el siguiente:

1. Se estabiliza la varianza para posteriormente diferenciar la serie (estos dos pasos no

son obligatorios, sólo se hacen si fuese necesario).

2. Observando las funciones de autocorrelación simple y de autocorrelación parcial se

asignan varios valores a p y . q

3. A partir de los valores de p y se proponen varios modelos que

cumplen una serie de hipótesis (normalidad, independencia…).

q ),,( qdpARIMA

4. De los modelos propuestos se escogerá aquel modelo que tenga una medida BIC

menor.

Con ello conseguimos reducir el número de series temporales a analizar, de 109 series

(que son las edades consideradas habitualmente en una tabla de mortalidad), analizamos 9

series.

Si bien algunos autores dudan de la robustez de este modelo (ver v.g. Gage y Mode

(1993)), servirá a nuestra causa cómo contraste de los resultados obtenidos respecto de la

población andaluza mediante el modelo de Lee – Carter que veremos a continuación.

136


Modelo de Lee-Carter.

El modelo de Lee – Carter (1992) ajusta a la medida de mortalidad la función:

xttxxxt kbaq ε++= )exp(

o equivalentemente

xttxxxt kbaq ')ln( ε++=

Éste modelo relaciona las tasas de mortalidad por edad con un único factor no

observable kt que engloba las características generales de la mortalidad en el año t conocidas

cómo índice de mortalidad.

Los parámetros y son los parámetros que dependen de la edad, siendo el

factor que captura la dinamicidad del proceso.

xa xb xb

En cuanto al ajuste del modelo para que la función tenga solución única los parámetros

han de ser normalizados, por lo que en primer lugar normalizamos resultando xa

T

qa t

xt

x

∑=

ln^

El modelo de Lee – Carter supone que los componentes de la serie vectorial ,

pueden escribirse como una combinación lineal de n factores comunes más un término error:

txq ,

ttt fPQ ε+=

111 ×××=× mnnmm

siendo un vector n-dimensional de factores comunes. tf

137


Es por ello que para estimar los valores y aplicamos el método del Singular

Value Decomposition

xb tk49 (SVD) a la matriz xxt aq )−)ln( .

A partir de los resultados, normalizamos los valores de y , de manera que

y .

xb tk

1=∑ xb 0=∑ tk

En función de estos valores normalizados, reestimamos utilizando la ecuación tk

))exp(( xtxx

xtt bkaND)) += ∑

donde:

tD : número total de muertes en el año . t

xtN : población de edad x en el año t .

Las estimaciones de se hallan mediante métodos iterativos. tk

Posteriormente hay que encontrar un modelo para t utilizando Box-Jenkins. En

muchas aplicaciones un buen modelo es un con una constante negativa que

refleja el decrecimiento de la mortalidad a través de los años, este modelo es de la forma:

^k

)0,1,0(ARIMA

ttt kck ε++= −1

donde

c: es la constante y

tε : es ruido blanco, es decir, tε ~ ),0( εσN .

49 Cualquier matriz Amxn, sea singular o no, puede ser descompuesta en un producto de tres matrices, de la forma A = U

D V’, donde Umxm y Vnxn son matrices ortogonales (por lo que sus inversas son iguales a sus transpuestas), y D es una

matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores singulares de A (son las raíces cuadradas positivas de los

valores propios de A’A). Las columnas de U son los vectores singulares por la izquierda de A y las columnas de V son

los vectores singulares de A por la derecha.

138


4.4.1.2. Métodos no estructurales.

Método logarítmico.

El modelo logarítmico es utilizado por Benjamín y Soliman (1995). Este modelo

representa la mortalidad en función del tiempo y de la edad t x mediante la expresión

t

xxxtq )(βα +=

tomando logaritmos

)ln()ln()ln( xxxt tq βα +=

donde los parámetros dependientes de la edad han de ser estimados por algún método de

optimización.

Otro método logarítmico con un planteamiento diferente al anterior considera que la

mortalidad decrece de forma exponencial para cada edad, x , de forma que para t > t0

))(exp( 00ttqq xxtxt −−= λ

donde

0xtq : es la mortalidad base

))(exp( 0ttx −−λ es el factor de proyección

xλ es la tasa anual media de mejora:

xx T

2ln=λ

siendo el tiempo necesario para que la tasa de mortalidad a la edad xT x disminuya a la mitad

del valor considerado en t0.

Funciones Gompertz-Makeham con respecto a la edad y el tiempo.

Renshaw et al. (1996) adaptan las funciones Gompertz-Makeham a fin de incluir el

tiempo como variable. El modelo es el siguiente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∑∑∑∑

= ===

r

i

s

j

ijij

r

i

ij

s

jjjxt txLtxL

1 1110 ')'(')'(exp γαββµ

139


donde ´ y son transformaciones de la edad y el tiempo de forma que los valores estén

dentro del intervalo [-1,1] y son los polinomios de Legendre generados por

'x 't

)'(xL j

1)(0 =xL

xxL =)(1

)()()( 11 xnLxxLxL nnn −+ −= ; (n es un nº entero mayor o igual que 1).

El modelo también se puede escribir de la forma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑ ∑∑

= ==

r

i

is

jjijj

s

jjjxt txLxL

1 110 ')'(exp)'(exp γαββµ

donde el primer término puede interpretarse como una función Gompertz – Makeham

LGM(0,s+1) correspondiente a la graduación y el segundo término como un ajuste del efecto

del año del calendario.

Para estimar los parámetros iα , jβ y ijγ se supone que las muertes observadas son

valores correspondientes a las variables aleatorias, , Poisson independientes de media y

varianza

txD ,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

==

xtxt

xtxtxtxt

DV

EDE

φλ

µλ

)(

)(

donde Ext son los expuestos centrales al riesgo y φ un parámetro de escala que hay que tener

en cuenta cuando los datos están basados mas en pólizas que en individuos (ya que a un

individuo le pueden pertenecer varias pólizas).

Las variables Poisson se suponen variables respuesta de un modelo lineal

generalizado cuyo link es

xtxtxtxt E ηµλ =+= loglog)log( ,

despejando

∑ ∑∑∑= = ==

++++=r

i

ij

r

i

s

jij

ii

s

jjjxtxt txLtxLE

1 1 110 ')'(')'(log)log( γαββλ .

140


La estimación de los parámetros se realiza usando la expresión

∑ ++−xt

xtxtxt d )log(1 λλφ

y es el núcleo de la función correspondiente a la log-verosimilitud de variables Poisson

independientes con media txD , xtxtDE λ=)( .

La bondad de ajuste se realiza mediante la Unscaled Deviance

∑⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

xtxtxt

xt

xtxtxt d

ddD )(log2),( λ

λλ

))

)

donde es el número de muertes que predice el modelo y la Scaled Deviance, obtenida

dividiendo la Unscaled Deviance por el parámetro de escala

^

xtλ

φ :

φλ

λ),(

),( xtxtxtxt

dDdS

))

=

La forma de proceder para determinar los parámetros es la siguiente:

1. Los valores de r y se optimizan calculando la mejora de la Deviance para sucesivos

incrementos de

s

r y y su comparación con el valor de una variable de un grado

de libertad. Los valores finales de

s 2χ

r y serán los máximos a partir de los cuales los

incrementos de la Deviance no resultan estadísticamente significativos.

s

2. Elección de los ijγ que determinan si el factor de actualización temporal depende de la

edad, para ello partiendo de los valores r y se analiza si el incremento de la

Deviance al introducir cada parámetro resulta significativo.

s

3. Determinación de los errores estándar de las estimaciones y su significación utilizando

la t-student.

4. Validación final del modelo analizando los residuos Deviance y Pearson.

141


4.4.2. Métodos no paramétricos.

Cómo ya se ha comentado, en los métodos no paramétricos se combinan las ideas

básicas de procesos estocásticos donde el tiempo cronológico es la escala de tiempo, mientras

que la edad se trata como una covariable del proceso. El método utilizado es el del smoother

kernel que veremos a continuación.

El modelo de mortalidad dentro del esquema de procesos estocásticos es una función

bidimensional. Sean t el tiempo cronológico y el proceso de edad. Observamos n

individuos . Sea el número de fallos observados para el i-ésimo individuo en el

intervalo [t1,t2]. Suponemos , modelamos la intensidad aleatoria del proceso

)(tX

),...2,1( ni = iN

),...( 1 nNNN =

),...,( 1 nλλλ = de N dependiente de los valores

)()),(()( tYttXt iii αλ =

sin restringir la forma funcional de α . es el proceso predecible unidimensional de la

edad y es un proceso predecible que toma el valor 1 cuando el individuo está bajo riesgo

y 0 en caso contrario.

)(tX i

)(tYi

La Estimación constante local de α dados el kernel unidimensional k y b=(b1,b2)

vector bandwidth bidimensional consiste en estimar

xt

xt

ED

tx =),(α)

donde

)()())((2

2

11

1sdNstKsXxKD ibi

n

i

t

t bxt −−= ∑∫=

)()())((2

2

11

1sdYstKsXxKE ibi

n

i

t

t bxt −−= ∑∫=

Para poder separar el efecto de las dos componentes nos restringimos a los

submodelos multiplicativos bidimensionales

)()(),( 21 txtx ααα =

142


que puede ser interpretado como un ratio de mortalidad continuo. Siendo y las

componentes univariantes de interés, donde

)(1 x−

α )(2 t−

α

1121211 )()()()()(),()( 2

1

2

1

2

1

cxdttxdttxdttxxt

t

t

t

t

tααααααα ==== ∫∫∫

2212212 )()()()()(),()( 2

1

2

1

2

1

ctdxxtdxtxdxtxxn

n

n

n

n

nααααααα ==== ∫∫∫

Los valores y la constante son estimados por

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

∫ ∫∫∫

2

1

2

1

2

1

2

1

),(

),()(

),()(

2

1

t

t

n

n

n

n

t

t

dxdttxc

dxtxx

dttxx

α

αα

αα

))

))

))

Las ventajas de este modelo son que puede aplicarse cuando hay pocos datos y

permite una rápida impresión del desarrollo de la mortalidad.

4.4.3. Métodos basados en factores de reducción de la mortalidad.

Los factores de mejora de la mortalidad RF(x,t) son valores que permiten proyectar las

tablas de mortalidad a lo largo del tiempo al tener en cuenta los cambios que la medida de

mortalidad ha sufrido en el transcurrir de los años.

Sea t el tiempo con origen en t=0, el factor de reducción está caracterizado por la

ecuación

0),,(0 ≥= ttxRFqq xxt

sujeto a las restricciones

1)0,( =xRF 0≥∀x

1),(0 ≤≤ txRF 0≥∀x 0≥∀t

donde qx0 es el tanto de mortalidad de la tabla base.

143


Modelización de los factores de reducción

Sean Dxt las variables aleatorias que representan el número real de muertes a edades

individuales y Ext los correspondientes expuestos iniciales en t = t1, t1+1,…,tmax. Las variables

Dxt son independientes donde cada una de ellas sigue una distribución binomial ~

y parámetro de sobredispersión

),( ,, txtx qEB

φ . Podemos definir el GLM cuyas variables de respuesta son:

xt

xtxt E

DY =

con

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

=

xt

xtxtxt

xtxt

Eqq

YVar

qYE

)1()(

)(

φ

con un predictor lineal xtη y una función monótona y diferenciable g tal que

)()( 1xtxtxtxt gqqg ηη −=⇔=

obteniendo

0

1 )(),(

x

xt

qg

txRFη−

=

Descomponiendo el predictor lineal

xtxxt '0 ηηη += con 0' 0 =xη

Hay que proporcionar una estructura paramétrica para η ´xt de forma que η ´x0=0 de la

que obtener

)()'(

),(0

10

1

x

xtx

gg

txRFη

ηη−

− +=

y que cumpla las dos restricciones expuestas anteriormente.

Las estructuras paramétricas consideradas pueden ser:

144


1. Una recta paramétrica que pasa por el origen y cuya pendiente dependa de la edad

xtxt βη ='

2. Caso general de splines con k+1 nodos

∑∑= =

∀+−r

i

k

j

ijij txtxx

1 1),(,)(β

como caso particular de splines cúbicos satisfactorios

2,1,03 =∀== iyr ijβ

Para ajustar la recta de la primera opción el predictor es

xtxxt qg βη += )( 0

donde g(qx0) se calcula aplicando el link a los valores graduados del periodo base. Los valores

ajustados son

xtxxt qg βη)) += )( 0

con el error

tsese xtxt )()( βη)) =

Aplicando la función inversa del link

))(()( 011

xtxxtxt qgggq βηη)

+== −−

que podemos sustituir en la expresión de los factores de reducción para calcular sus valores

ajustados o sus logaritmos

0

01

0

))((),(

x

xtx

x

xt

qqgg

qq

txFRβ))) +

==−

145


)log()))((log()),(log( 001

xxtx qqggtxFR −+= − β))

Por otra parte, es conveniente representar los resultados en escala logarítmica, el

objetivo de nuestro análisis son los factores de reducción

),(0

txRFqq

x

xt =

)),(log()log()log( 0 txRFqq xxt =−

suponiendo que conocemos dxt y Ext se pueden realizar estudios retrospectivos para años

posteriores al periodo base. Para tales datos podemos obtener ratios brutos

xt

xtxt E

dq ='

y sustituyendo nos proporcionan los valores

)log()'log( 0xxtxt qqz −=

que se puede representar gráficamente respecto de t para cada edad.

Modelo de Lee-Carter modificado

El modelo de Lee-Carter de ajustes y predicción de tendencias de mortalidad puede ser

adaptada a la construcción de factores de reducción de mortalidad. Formulando la metodología

en función de la fuerza de mortalidad tenemos la ecuación

)),(log()log()log( 0 txRFxxt += µµ

que adaptándola al modelo Lee-Carter

txxxt kβαµ +=)log(

sujeto a las restricciones k0=0 donde

146


)exp()log( 0000 xxxx αµµα =⇒=

)exp(),()),(log( txx ktxRFtxRF ββ =⇒=

Los parámetros estarán unívocamente determinados si se cumple además

)log(,1,0 000 xxx

xk µαβ === ∑

con t = t1, t1+1, …, tm, …, tn.

Sean:

11 +−= tth n rango de años de calendario de los datos

1+−= mn ttg rango de un subintervalo que especifica el periodo de datos que

han sido graduados y en cuyo centro se va a fijar el origen t0.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

20gtt n

donde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2g

es la parte entera de 2g

.

El modelo puede ajustarse siguiendo estos pasos:

1. Estimación de 0xα de una de estas formas

1.1 Dada la tabla de mortalidad estándar basada en un grupo de g años

)log( 0xµα =)

1.2 A partir de la tabla de mortalidad estándar basada en un grupo de g años

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

∑

∑

=

=

n

m

n

m

t

ttxt

t

ttxt

x

E

dlog0α)

147


1.3 La media geométrica de los datos de mortalidad brutos

xt

xtxt E

dr =

para los años de tm a tn ambos inclusive

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

=

n

m

t

tt

gxtx r /1

0 )(logα)

2. Suavizar si es necesario el valor anterior obtenido en los pasos 1.2 y 1.3

3. Estimar ( xβ , kt ) aplicando el SVD a la matriz formada por

0)log( xxtxt rz α)−=

4. Ajustar de forma que el total de muertes observadas tk^

∑x

xtd sea igual al total de

muertes ajustadas

∑ ∀x

xt td ,)

con )exp( 0 txxxtxt kEd))))

βα +=

5. Transformar en - tk tk^

0

^

tk

6. Suavizar si fuera necesario x

^β

7. Contrastar la bondad de ajuste calculando los residuos

xt

xtxt

d

dd)

)−

Posteriormente predecir los siguiendo el modelo de series temporales, según el

paso 5 con el proceso , este particular proceso queda

tk

)0,1,0(ARIMA

148


ttt kk ελ ++= −1

por lo que se predice linealmente. Denotando la predicción como tk 0: >+ sk stn, el factor de

predicción se predice mediante

stxn nkstxRF +=+ β

))),(log(

Para el proceso )0,1,0(ARIMA

λ))

skknn tst +=+

y de aquí

))(exp(),( λβ)))

skstxRFntxn +=+

4.5. APLICACIÓN A LA POBLACIÓN DE LA COMUNIDAD ANDALUZA.

Se han aplicado a la Comunidad Andaluza, la segunda ley de Heligman y Pollard

destacado por Felipe y Guillén (1999), y el modelo de Lee – Carter destacado por Debón et. al.

(2004).

Modelo de Heligman y Pollard.

Como ya se ha explicado antes, la segunda Ley de Heligman y Pollard es la que sigue:

( )( ) x

xBx

x KGHGHFxEDAq

C

−+−−+= +

1lnlnexp 2)(

Siendo éste el primer modelo que se ha ajustado a la mortalidad de la población

andaluza para los años 1980 – 2000.

No se han considerado menores de 15 años, por ser esta la edad mínima para ser

asegurado, ni los mayores de 84 años por la escasez de datos para éstas edades.

Al analizar esta función distinguimos tres términos:

149


Primer sumando: se trata de una exponencial de decrecimiento rápido que refleja la

caída de la mortalidad durante los primeros años de vida.

Dado que la edad mínima para ser asegurado es 15 años, vamos a obviar en

nuestro estudio este nivel.

Segundo sumando: con un comportamiento parecido al de la lognormal, tiene que

ver con la mortalidad para las edades juveniles. Provoca lo que se denomina

“joroba de los accidentes”, y cobra valor cuando existe un incremento en la

mortalidad para las edades juveniles más que proporcional al que resultaría de

tener en cuenta únicamente el primer sumando.

Tercer sumando: es la ley de Gompertz, y determina un crecimiento en la

mortalidad para las edades adultas prácticamente geométrico.

Al obviar el primer sumando la función que se ha ajustado es la que sigue:

( )( ) x

x

x KGHGHFxEDq

−+−−=

1lnlnexp 2

Recurrimos al algoritmo recursivo de Gauss – Newton, para obtener los estimadores de

cada uno de los años para los hombres que siguen:

AÑO D E F G H K(10 3 ) (10 5 )

1980 0,532 4,969 20,913 3,716 1,107 1,4081981 0,552 9,400 20,645 4,926 1,102 0,8171982 0,549 7,441 20,964 3,874 1,106 1,3551983 0,552 6,214 21,480 3,327 1,108 1,4881984 0,623 10,304 20,464 4,510 1,103 1,0181985 0,768 10,291 21,294 4,127 1,104 1,1551986 0,657 7,490 21,628 4,127 1,104 1,0631987 0,816 6,889 22,595 4,207 1,103 1,0701988 0,862 6,413 22,064 4,508 1,102 0,7911989 1,055 5,613 23,496 3,960 1,104 0,9921990 1,016 6,075 23,947 4,662 1,100 0,5501991 1,189 4,916 25,783 3,145 1,108 2,2301992 1,183 5,983 25,461 3,634 1,105 1,9721993 1,226 5,034 27,900 2,502 1,111 2,4691994 1,064 3,059 30,741 2,622 1,109 2,1691995 1,337 3,389 32,117 1,777 1,116 2,8371996 1,362 1,958 37,213 1,390 1,119 1,9791997 0,831 0,945 36,889 2,539 1,109 2,4661998 1,836 0,494 97,752 0,938 1,125 2,3691999 0,812 2,165 33,115 2,182 1,111 1,4532000 0,914 0,645 51,648 1,704 1,114 1,375

Cuadro 4.1: Estimaciones de los parámetros para la segunda ley de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Hombres.

150


Para las mujeres tendríamos los siguientes estimadores

AÑO D E F G H K(10 3 ) (10 5 )

1980 0,468 1,403 39,696 0,477 1,130 1,5421981 0,441 1,062 42,886 0,403 1,132 1,4481982 0,329 0,665 41,997 0,450 1,130 1,4561983 0,391 0,677 41,712 0,367 1,133 1,3781984 0,384 0,705 46,604 0,374 1,132 1,2811985 0,326 1,126 33,683 0,369 1,132 1,1211986 0,364 0,359 37,792 0,352 1,132 1,0701987 0,426 0,428 50,156 0,383 1,131 1,0631988 0,421 0,816 42,598 0,367 1,131 0,9431989 0,326 0,696 34,064 0,361 1,131 0,9671990 0,517 1,214 43,072 0,311 1,132 0,9311991 0,448 1,416 36,249 0,282 1,135 1,8791992 0,383 1,386 31,241 0,309 1,132 1,8421993 0,488 1,956 37,746 0,236 1,137 1,8961994 0,485 2,512 38,224 0,299 1,132 1,4441995 0,523 3,160 37,918 0,305 1,131 1,0621996 0,506 2,588 35,494 0,293 1,131 0,4331997 0,433 1,602 38,535 0,322 1,131 1,6691998 0,317 1,504 36,137 0,284 1,132 0,3081999 0,432 4,203 38,990 0,282 1,131 0,2672000 0,449 4,238 39,789 0,274 1,131 0,389

Cuadro 4.2: Estimaciones de los parámetros suavizados para la segunda ley de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Mujeres.

En cuanto a la bondad del ajuste se ha realizado la prueba del R2, dando lugar a la

siguiente tabla en la que también se ha incluido el error porcentual absoluto medio (MAPE). Los

resultados para los hombres son los que siguen:

AÑO R 2 (ajust.por g.l) MAPE1980 97,4953 13,26971981 97,5599 13,85741982 98,1975 9,72811983 98,0399 9,76791984 97,6367 15,06951985 98,6369 7,43771986 98,3238 8,25801987 98,3847 9,87071988 98,6398 10,65601989 97,5098 12,75471990 98,7028 8,33791991 98,4008 9,35021992 98,1446 8,04441993 98,2175 11,75081994 97,7508 17,61171995 97,2680 19,09851996 97,5964 13,30201997 97,7461 12,69471998 97,7243 16,24691999 98,0249 14,37922000 98,5396 10,6892

Cuadro 4.3: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Hombres.

151


Para las mujeres:


Cuadro 4.4: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Mujeres

No obstante si tenemos en cuenta la dispersión que provoca la mortalidad de los

últimos años de la serie, hemos de suavizar los estimadores con la finalidad de obtener una

serie temporal más adecuada, obteniendo la siguiente estimación:

AÑO D E F G H K(10 3 ) (10 5 )

1980 0,544 7,270 20,841 4,172 1,105 1,1931981 0,546 7,006 21,001 3,961 1,106 1,2671982 0,562 7,665 20,893 4,071 1,105 1,2171983 0,609 8,730 20,970 4,153 1,104 1,1671984 0,630 8,348 21,166 3,993 1,105 1,2161985 0,683 8,238 21,492 4,060 1,104 1,1591986 0,745 8,277 21,609 4,296 1,103 1,0201987 0,832 7,339 22,216 4,186 1,103 1,0141988 0,881 6,496 22,746 4,293 1,102 0,8931989 0,988 5,981 23,577 4,096 1,103 1,1261990 1,061 5,800 24,150 3,982 1,104 1,3071991 1,134 5,524 25,317 3,580 1,105 1,6421992 1,136 5,013 26,766 3,313 1,107 1,8781993 1,200 4,476 28,400 2,736 1,110 2,3351994 1,235 3,885 30,686 2,385 1,112 2,2851995 1,164 2,877 32,972 2,166 1,113 2,3841996 1,286 1,969 35,741 1,853 1,116 2,3641997 1,236 1,790 36,216 1,765 1,116 2,2211998 1,151 1,242 40,122 1,750 1,115 1,9281999 1,098 1,063 40,849 1,840 1,115 1,9162000 1,187 1,102 42,169 1,608 1,117 1,732

Cuadro 4.5: Estimaciones de los parámetros suavizados para la segunda ley de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Hombres.

152


Con respecto a las mujeres los estimadores suavizados son:

AÑO D E F G H K(10 3 ) (10 5 )

1980 0,413 1,043 41,527 0,443 1,131 1,4951981 0,407 0,952 41,573 0,424 1,131 1,4821982 0,403 0,902 42,579 0,414 1,131 1,4271983 0,374 0,847 40,625 0,392 1,132 1,3711984 0,359 0,706 42,119 0,382 1,132 1,2601985 0,378 0,659 42,077 0,369 1,132 1,1571986 0,384 0,687 40,944 0,369 1,132 1,0851987 0,373 0,685 41,138 0,366 1,132 1,0261988 0,411 0,703 39,659 0,355 1,132 0,9911989 0,428 0,914 39,310 0,341 1,132 1,1571990 0,419 1,106 39,304 0,326 1,133 1,3121991 0,433 1,334 37,599 0,300 1,133 1,5031992 0,464 1,697 36,931 0,288 1,133 1,5991993 0,466 2,086 37,135 0,286 1,133 1,6251994 0,477 2,320 36,487 0,288 1,133 1,3361995 0,487 2,363 36,471 0,291 1,132 1,3011996 0,453 2,273 37,578 0,300 1,132 0,9831997 0,442 2,611 37,870 0,297 1,131 0,8041998 0,427 2,827 37,789 0,291 1,131 0,7481999 0,408 2,887 38,363 0,290 1,131 0,6132000 0,399 3,315 38,305 0,280 1,131 0,658

Cuadro 4.6: Estimaciones de los parámetros suavizados para la segunda ley de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Mujeres.

En este caso los valores de R2 y del MAPE son los siguientes para hombres y mujeres

respectivamente:


Cuadro 4.7: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Heligman y Pollard suavizado, en la población andaluza . Hombres

153



Cuadro 4.8: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Heligman y Pollard suavizado, en la población andaluza . Mujeres

Posteriormente al igual que Felipe y Guillén (1999) aplicamos el método de series

temporales propuesto por Box y Jenkins (1976) sobre las estimaciones de los parámetros

anteriores, para obtener modelos ARIMA suficientemente válidos.

Los modelos elegidos son los que siguen para los hombres:

D E F G HModelo ARIMA(0,1,0) ARIMA(0,1,1) ARIMA(1,2,0) ARIMA(0,1,2) ARIMA(1,1,0) ARIMA(0,1,2)Constante XTrans. X X X

K

X

Cuadro 4.9: Modelo ARIMA aplicado en los parámetros suavizados para la predicción. Hombres.

Mientras que para las mujeres son:

D E F G HModelo ARIMA(0,1,1) ARIMA(1,1,0) ARIMA(5,1,0) ARIMA(0,1,0) ARIMA(0,1,0) ARIMA(0,1,0)Constante X XTrans. X X X X X

K

Cuadro 4.10: Modelo ARIMA aplicado en los parámetros suavizados para la predicción. Mujeres.

154


A partir de estos modelos ARIMA, los valores de los parámetros predichos desde 2001

a 2020 para los hombres son los siguientes:

AÑO D E F G H K(10 3 ) (10 5 )

2001 1,216 0,848 40,124 1,547 1,117 1,7692002 1,244 0,848 38,468 1,451 1,117 1,7692003 1,272 0,848 36,862 1,451 1,117 1,7692004 1,300 0,848 35,512 1,451 1,117 1,7692005 1,327 0,848 34,264 1,451 1,117 1,7692006 1,355 0,848 33,158 1,451 1,117 1,7692007 1,382 0,848 32,143 1,451 1,117 1,7692008 1,409 0,848 31,220 1,451 1,117 1,7692009 1,436 0,848 30,370 1,451 1,117 1,7692010 1,463 0,848 29,588 1,451 1,117 1,7692011 1,489 0,848 28,862 1,451 1,117 1,7692012 1,516 0,848 28,187 1,451 1,117 1,7692013 1,542 0,848 27,558 1,451 1,117 1,7692014 1,568 0,848 26,968 1,451 1,117 1,7692015 1,594 0,848 26,416 1,451 1,117 1,7692016 1,619 0,848 25,895 1,451 1,117 1,7692017 1,645 0,848 25,405 1,451 1,117 1,7692018 1,671 0,848 24,941 1,451 1,117 1,7692019 1,696 0,848 24,502 1,451 1,117 1,7692020 1,721 0,848 24,085 1,451 1,117 1,769

Cuadro 4.11: Predicciones de los parámetros para la segunda ley de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Hombres

Con respecto a las mujeres quedaría:

AÑO D E F G H K(10 3 ) (10 5 )

2001 0,397 3,564 38,187 0,270 1,131 0,7022002 0,397 3,564 38,265 0,262 1,131 0,7192003 0,397 3,564 38,265 0,253 1,131 0,7192004 0,397 3,564 38,265 0,245 1,131 0,7192005 0,397 3,564 38,265 0,237 1,131 0,7192006 0,397 3,564 38,265 0,228 1,131 0,7192007 0,397 3,564 38,265 0,220 1,131 0,7192008 0,397 3,564 38,265 0,211 1,131 0,7192009 0,397 3,564 38,265 0,203 1,131 0,7192010 0,397 3,564 38,265 0,195 1,131 0,7192011 0,397 3,564 38,265 0,186 1,131 0,7192012 0,397 3,564 38,265 0,178 1,131 0,7192013 0,397 3,564 38,265 0,169 1,131 0,7192014 0,397 3,564 38,265 0,161 1,131 0,7192015 0,397 3,564 38,265 0,152 1,131 0,7192016 0,397 3,564 38,265 0,144 1,131 0,7192017 0,397 3,564 38,265 0,136 1,131 0,7192018 0,397 3,564 38,265 0,127 1,131 0,7192019 0,397 3,564 38,265 0,119 1,131 0,7192020 0,397 3,564 38,265 0,110 1,131 0,719

Cuadro 4.12: Predicciones de los parámetros para la segunda ley de Heligman y Pollard, en la población andaluza. Mujeres.

155


Modelo de Lee – Carter.

También se ha ajustado el modelo de Lee – Carter (1992) a la población andaluza para

el mismo período, con la finalidad de contrastar ambos resultados. Recordemos que el modelo

de Lee – Carter ajusta la siguiente función:

yxyxxyx kbaq ,, ')ln( ε++=

No obstante, cómo ya se ha hecho referencia, para que el modelo tenga solución única,

los parámetros han de normalizados. Para ello en primer lugar normalizamos el valor de ax

resultando

T

qa y

yx

x

∑=

)ln(ˆ

,

Los resultados obtenidos para hombres y mujeres son los que siguen xa^

Edad Hombres Mujeres Edad Hombres Mujeres

15 -7,808 -8,357 51 -5,109 -6,00016 -7,508 -8,405 52 -5,014 -5,90517 -7,380 -8,301 53 -4,884 -5,81818 -7,171 -8,166 54 -4,794 -5,75319 -7,072 -8,170 55 -4,711 -5,61520 -7,046 -8,108 56 -4,605 -5,54121 -6,917 -8,182 57 -4,523 -5,48422 -6,883 -8,058 58 -4,429 -5,36023 -6,832 -8,181 59 -4,316 -5,24024 -6,857 -7,980 60 -4,246 -5,17525 -6,781 -8,036 61 -4,162 -5,05526 -6,723 -7,965 62 -4,085 -4,94927 -6,680 -7,874 63 -3,964 -4,85928 -6,670 -7,824 64 -3,902 -4,74829 -6,549 -7,741 65 -3,776 -4,62930 -6,567 -7,661 66 -3,709 -4,52631 -6,501 -7,556 67 -3,616 -4,43932 -6,463 -7,480 68 -3,527 -4,30633 -6,467 -7,456 69 -3,422 -4,17034 -6,487 -7,425 70 -3,316 -4,05035 -6,362 -7,260 71 -3,246 -3,91536 -6,336 -7,216 72 -3,123 -3,78337 -6,281 -7,203 73 -3,029 -3,67238 -6,232 -7,100 74 -2,930 -3,52939 -6,153 -7,015 75 -2,844 -3,40840 -6,080 -6,933 76 -2,723 -3,27141 -6,030 -6,928 77 -2,623 -3,13542 -5,916 -6,757 78 -2,535 -2,98243 -5,827 -6,694 79 -2,436 -2,85644 -5,784 -6,619 80 -2,314 -2,70745 -5,647 -6,534 81 -2,236 -2,59446 -5,565 -6,466 82 -2,128 -2,46547 -5,472 -6,338 83 -2,040 -2,35148 -5,396 -6,260 84 -1,962 -2,22549 -5,302 -6,185 >=85 -1,664 -1,76550 -5,171 -6,067

Cuadro 4.13: Valores de ak normalizados para el modelo de Lee - Carter.

156


A continuación estimamos los valores y a través del Singular Value

Decomposition (SVD), aplicado a la matriz

xb yk

xyx aq ˆ)ln( , − . No obstante y dado que para que el

modelo tenga solución única los parámetros y han de ser normalizados de manera que

y . Obteniendo:

xb yk

1=∑ xb 0=∑ yk

Edad Hombres Mujeres Edad Hombres Mujeres15 0,296 0,006 51 0,296 0,01016 0,268 0,015 52 0,230 0,01917 0,003 0,035 53 0,246 0,01518 0,009 0,024 54 0,222 0,01719 0,243 0,024 55 0,184 0,01420 -0,045 0,022 56 0,113 0,01421 -0,044 0,039 57 0,237 0,01722 -0,034 0,023 58 0,138 0,01623 -0,173 0,030 59 0,211 0,01924 -0,161 0,014 60 0,252 0,01925 -0,393 0,008 61 0,166 0,02026 -0,417 0,003 62 0,200 0,02327 -0,567 0,007 63 0,231 0,01828 -0,841 0,024 64 0,203 0,01729 -0,804 -0,001 65 0,207 0,01930 -1,021 0,001 66 0,203 0,01931 -0,733 0,007 67 0,205 0,01732 -0,982 0,008 68 0,176 0,01833 -0,882 0,002 69 0,222 0,01634 -0,928 0,008 70 0,284 0,01835 -0,690 0,007 71 0,241 0,01736 -0,397 -0,003 72 0,320 0,01737 -0,313 0,019 73 0,274 0,01638 -0,099 0,007 74 0,273 0,01639 -0,098 0,010 75 0,294 0,01640 0,067 0,005 76 0,322 0,01641 0,014 0,005 77 0,311 0,01542 0,228 0,014 78 0,257 0,01343 0,130 0,007 79 0,259 0,01244 0,178 0,012 80 0,238 0,01245 0,059 0,006 81 0,246 0,01346 0,170 0,009 82 0,219 0,01147 0,207 0,006 83 0,126 0,01248 0,179 0,012 84 0,241 0,01149 0,230 0,017 >=85 0,303 0,00750 0,192 0,018

Cuadro 4.14: Valores de bk normalizados para el modelo de Lee - Carter. Hombres y Mujeres

A continuación en lugar de considerar los resultados para obtenidos del SVD,

reestimamos utilizando la ecuación

yk

yk

157


∑ +=x

xyxyxy bkaND )ˆˆexp(,

Dando lugar a los siguientes resultados de yk

Año Hombres Mujeres Año Hombres Mujeres1980 0,50232 14,34867 1991 -0,01636 -3,546631981 0,56774 13,04597 1992 -0,22811 -8,147481982 0,38986 10,36936 1993 -0,21629 -5,849211983 0,35433 11,10903 1994 -0,37338 -9,231751984 0,34472 7,51604 1995 -0,29052 -9,572551985 0,39376 7,93592 1996 -0,25542 -6,682031986 0,25294 6,48588 1997 -0,48048 -9,192821987 0,17589 5,07784 1998 -0,28585 -7,665841988 0,18265 4,63239 1999 -0,39324 -9,270951989 0,15554 2,37694 2000 -0,62463 -11,604291990 0,13115 0,45904

Cuadro 4.15: Valores de ky reestimados. Hombres y Mujeres

De esta manera ya tenemos ajustados los parámetros, y sólo resta comprobar la

bondad del ajuste así como el análisis de los errores, antes de aplicar Box - Jenkins. Para ello

hemos realizado la prueba R2, así como la del error porcentual absoluto medio (MAPE), dando

lugar a los siguientes resultados para los hombres:


Cuadro 4.16: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Lee - Carter, en la población andaluza. Hombres.

158


Para las mujeres:


Cuadro 4.17: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Lee - Carter, en la población andaluza. Mujeres

Aplicamos para Box-Jenkins, obteniendo un buen modelo con

constante, que para hombres sería:

yk )0,1,0(ARIMA

yyy kk ε+−= − 05635,01

Mientras que para las mujeres quedaría

yyy kk ε+−= − 2976,11

Comparación de ambos modelos.

Si nos detenemos un momento y analizamos la determinación de la medida de

mortalidad según el modelo de Lee – Carter:

yxyxxyx kbaq ,, ')ln( ε++=

159


determinamos que si tenemos un positivo, tendremos un decremento de la mortalidad ante

un menor; y lógicamente, ocurre lo contrario ante un negativo, es decir, frente a un

menor, obtendremos un incremento de la mortalidad.

xb

yk xb yk

Si observamos los resultados obtenidos, podemos comprobar que se produce un

decremento de la mortalidad con el tiempo cronológico, para ambos sexos y todas las edades,

con la excepción de los hombres de entre 20 y 39 años.

Parece afectar este incremento de la mortalidad con el tiempo, a lo que conocemos

cómo la “joroba de los accidentes” de los hombres. Si bien el modelo de Heligman y Pollard

también predice un incremento de la mortalidad para este tramo de edad, este incremento es

mucho menos acusado que en el modelo de Lee – Carter, cómo puede apreciarse al

comprobar la medida de la mortalidad con el tiempo para una edad de 30 años:

0,00070

0,00120

0,00170

0,00220

0,00270

0,00320

0,00370

0,00420

0,00470

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.1.: Comparativa de la medida de la mortalidad qxy para una edad de 30 años. Hombres

No obstante, para las mujeres ambos modelos están de acuerdo en una disminución de

la medida de mortalidad para 30 años, la gráfica es la que sigue

160


0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

0,00070

0,00080

0,00090

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.2.: Comparativa de la medida de la mortalidad qxy para una edad de 30 años. Mujeres

En cuanto a una edad intermedia de 45 años, tanto para hombres como para mujeres,

ambos modelos coinciden en una pequeña disminución de la mortalidad con los años. Para

hombres quedaría como sigue:

0,00240

0,00290

0,00340

0,00390

0,00440

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.3.: Comparativa de la medida de la mortalidad qxt para una edad de 45 años. Hombres

161


Para mujeres sería:

0,00080

0,00100

0,00120

0,00140

0,00160

0,00180

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Real

Heligman y Pollard

Lee - Carter


Por último, si nos centramos en edades adultas, y más concretamente en una edad de

72 años, el modelo de Lee – Carter predice una disminución más acentuada que el modelo de

Heligman y Pollard, tanto para hombres cómo para mujeres; esto puede comprobarse

gráficamente:

0,02900

0,03400

0,03900

0,04400

0,04900

0,05400

0,05900

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Real

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.5.: Comparativa de la medida de la mortalidad qxy para una edad de 72 años. Hombres

162


0,01350

0,01850

0,02350

0,02850

0,03350

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

Real

Heligman y Pollard

Lee - Carter


Si representamos gráficamente la medida de mortalidad

[ ]yxyx q ,, ln=ω

para todas las edades según ambos modelos y comparados asimismo con las observaciones

reales, para los años 1980 y 2000, así como la predicción para 2010, podemos acotar las

tendencias en la mortalidad según tramos de edad.

Para el año 1980 los resultados son los que siguen:

-8,00

-7,00

-6,00

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

15 19

Gráfico 4.7.: Comparativa de los resultados para wxy obtenidos mediante el modelo de

23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Heligman y Pollard, Lee - Carter y los observados. Año 1980. Hombres.

163


-10,00

-9,00

-8,00

-7,00

-6,00

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.8.: Comparativa de los resultados para wxy obtenidos mediante el modelo de Heligman y Pollard, Lee - Carter y los observados. Año 1980. Mujeres.

Para el año 2000 tendríamos los siguientes resultados:

-9,00

-8,00

-7,00

-6,00

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.9.: Comparativa de los resultados para wxy obtenidos mediante el modelo de Heligman y Pollard, Lee - Carter y los observados. Año 2000. Hombres.

164


-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

Observados

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.10.: Comparativa de los resultados para wxy obtenidos mediante el modelo de Heligman y Pollard, Lee - Carter y los observados. Año 2000. Mujeres.

La predicción de ambos modelos para el año 2010, sería la siguiente:

-9,00

-8,00

-7,00

-6,00

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.11.: Comparativa de los resultados para wxy obtenidos mediante el modelo de Heligman y Pollard y Lee - Carter. Año 2010. Hombres.

165


-14,00

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

Heligman y Pollard

Lee - Carter

Gráfico 4.12.: Comparativa de los resultados para wxy obtenidos mediante el modelo de Heligman y Pollard y Lee - Carter. Año 2010. Mujeres.

De esta manera hemos comprobado que los resultados obtenidos mediante ambos

modelos para las mujeres, predicen una disminución para todas las edades.

La proyección de la curva de la medida de mortalidad para los próximos 50 años

correspondiente a las mujeres, según el modelo de Lee – Carter, es la que sigue:

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

2000

2010

2020

2030

2040

2050

Gráfico 4.13.: Resultados proyectados de wxy obtenidos mediante el modelo de Lee – Carter,. Mujeres.

En la cual observamos una disminución en la mortalidad para todas las edades.

166


No obstante, con respecto a los hombres hemos comprobado que ambos modelos

coinciden en predecir una disminución en la mortalidad para todas las edades salvo para los

adultos – jóvenes, en concreto en lo que conocemos como la “joroba de los accidentes”.

Coincidimos con Alonso et.al.(2005) en que el incremento de la mortalidad que

concluyen ambos modelos se puede deber al aumento de los accidentes de tráfico y la

epidemia del SIDA, y que en los últimos años está remitiendo. Esto último se puede comprobar

si analizamos las tasas reescaladas de manera que no influya el valor absoluto de la tasa, para

comparar las diferentes dinámicas:

Gráfico 4.14.: Tasas de mortalidad reales reescaladas. Hombres.

Si no eliminamos este efecto, el modelo sobreestimaría en el futuro la mortalidad para

estas edades, lo que se puede comprobar si proyectamos la curva de la medida de la

mortalidad para hombres andaluces a 50 años, mediante el modelo de Lee - Carter:

Gráfico 4.15.: Resultados proyectados de wxy obtenidos mediante el modelo De Lee – Carter,. Hombres.

0,00

50

00

1,50

00

50

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2,

2,

1,

0,

20

25

30

35

39

-10,00-9,00-8,00-7,00-6,00-5,00-4,00-3,00-2,00-1,000,00

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

2000

2010

2020

2030

2040

2050

167


Para eliminar el efecto de la sobremortalidad nos basaremos en el segundo sumando

del modelo de Heligman y Pollard, que es el que introduce el efecto de la “joroba de los

accidentes”, ajustando dicha función a las medidas de mortalidad de las cinco edades

anteriores (de 15 a 19 años de edad) y a las cinco posteriores (de 40 a 44 años de edad), para

utilizar de esta manera los valores estimados de las medidas de mortalidad para las edades de

20 a 39 en lugar de las reales.

Como resultado de introducir la modificación anterior, obtenemos los siguientes

resultados proyectados de la curva de la medida de mortalidad:

-10,00

-9,00

-8,00

-7,00

-6,00

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83

2000

2010

2020

2030

2040

2050

Gráfico 4.16.: Resultados proyectados de wxy obtenidos mediante el modelo de

Lee – Carter, detraída la sobremortalidad juvenil masculina. Hombres.

En el gráfico anterior no se observa el incremento que mucho menos pronunciado,

sigue existiendo en la joroba de los accidentes, si nos centramos en dicho intervalo de edad

obtenemos el siguiente gráfico:

168


0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

2000

2010

2020

2030

2040

2050

Gráfico 4.17.: Resultados proyectados de qxy para 20 a 39 años obtenidos mediante el modelo de Lee – Carter, detraída la sobremortalidad juvenil masculina. Hombres.

Esto sí se puede considerar más o menos lógico, si tenemos en cuenta que pese a que

dicha sobremortalidad ha remitido en los últimos años (años 1999 y 2000), se halla a niveles

superiores a los iniciales de la serie (año 1980).

De todo lo visto anteriormente en el modelo de Lee-Carter, se puede observar que el

proceso presenta dos incongruencias, que si bien al principio pueden pasar casi

desapercibidas, al proyectarse la mortalidad a lo largo de los años, éstas se acentúan de forma

considerable (como puede observarse en los gráficos 4.13, 4.15 y 4.16):

El primer problema es la existencia de unos saltos en algunas probabilidades de

fallecimiento entre dos edades consecutivas que en realidad se pueden considerar ilógicas ya

que deberían presentarse de una forma mucho mas atenuada.

El segundo problema es la presencia de unos valores de qx mayores para unas edades

más pequeñas (al margen del intervalo de edades donde existe el problema de la

sobremortalidad ya estudiada anteriormente) y que como en el caso anterior hay que

solucionar.

Por estas razones se presenta la necesidad de una suavización de los datos para

eliminar estos dos efectos, suavización que se va a realizar sobre los parámetros y de

las tablas de mortalidad femenina y de la masculina sin sobremortalidad.

xa xb

169


Existen muchos métodos de suavización de datos, el que se va a utilizar en este caso

va a ser el de las medias móviles ponderadas con información de los tres años anteriores y

posteriores, su fórmula general es la siguiente

∑=

−−++ ⋅+⋅+⋅=K

Ppxpxpxpxxxx wywywyy

1)(~

0000000

donde 1=∑∀x

xw

Para la población andaluza los parámetros suavizados quedan de la siguiente forma:


15 -7,790 -8,439 50 -5,193 -6,08216 -7,581 -8,362 51 -5,097 -5,99617 -7,393 -8,285 52 -4,999 -5,90718 -7,228 -8,228 53 -4,898 -5,81819 -7,088 -8,183 54 -4,802 -5,73020 -6,967 -8,151 55 -4,706 -5,63821 -6,856 -8,130 56 -4,611 -5,54622 -6,755 -8,106 57 -4,518 -5,45523 -6,661 -8,084 58 -4,426 -5,35724 -6,575 -8,042 59 -4,334 -5,25825 -6,498 -7,998 60 -4,246 -5,15926 -6,428 -7,945 61 -4,158 -5,05627 -6,366 -7,879 62 -4,069 -4,95328 -6,310 -7,812 63 -3,978 -4,85029 -6,260 -7,733 64 -3,887 -4,74430 -6,215 -7,655 65 -3,794 -4,63731 -6,175 -7,581 66 -3,703 -4,52832 -6,139 -7,508 67 -3,612 -4,41533 -6,107 -7,441 68 -3,518 -4,29734 -6,079 -7,375 69 -3,423 -4,17335 -6,054 -7,304 70 -3,326 -4,04736 -6,033 -7,236 71 -3,229 -3,91737 -6,021 -7,167 72 -3,130 -3,78938 -6,016 -7,096 73 -3,031 -3,66239 -6,011 -7,025 74 -2,931 -3,53240 -6,001 -6,948 75 -2,831 -3,40141 -5,969 -6,870 76 -2,731 -3,26642 -5,912 -6,784 77 -2,629 -3,12943 -5,838 -6,702 78 -2,529 -2,99144 -5,752 -6,617 79 -2,429 -2,85545 -5,659 -6,529 80 -2,329 -2,72246 -5,569 -6,445 81 -2,232 -2,59547 -5,477 -6,353 82 -2,134 -2,46948 -5,383 -6,263 83 -2,042 -2,34849 -5,291 -6,173 84 -1,988 -2,267

Cuadro 4.18: Valores de ax normalizados y suavizados para el modelo de Lee - Carter. Hombres y Mujeres.

170



15 0,007 0,009 50 0,014 0,01516 0,013 0,016 51 0,014 0,01617 0,018 0,021 52 0,014 0,01618 0,022 0,025 53 0,013 0,01619 0,026 0,026 54 0,012 0,01620 0,027 0,028 55 0,011 0,01621 0,028 0,028 56 0,010 0,01622 0,028 0,026 57 0,009 0,01723 0,028 0,022 58 0,010 0,01724 0,028 0,017 59 0,011 0,01825 0,028 0,013 60 0,011 0,01926 0,028 0,010 61 0,012 0,02027 0,027 0,009 62 0,012 0,02028 0,026 0,009 63 0,011 0,01929 0,025 0,007 64 0,012 0,01930 0,024 0,006 65 0,012 0,01931 0,023 0,006 66 0,012 0,01832 0,022 0,005 67 0,011 0,01833 0,020 0,005 68 0,011 0,01834 0,019 0,006 69 0,010 0,01735 0,017 0,006 70 0,010 0,01736 0,016 0,007 71 0,010 0,01737 0,014 0,008 72 0,010 0,01738 0,012 0,008 73 0,010 0,01739 0,010 0,008 74 0,010 0,01640 0,008 0,008 75 0,011 0,01641 0,005 0,008 76 0,010 0,01542 0,004 0,009 77 0,010 0,01443 0,004 0,009 78 0,010 0,01444 0,006 0,009 79 0,009 0,01345 0,008 0,009 80 0,009 0,01246 0,011 0,009 81 0,009 0,01247 0,012 0,010 82 0,009 0,01248 0,013 0,012 83 0,009 0,01149 0,014 0,014 84 0,009 0,011

Cuadro 4.19: Valores de bx normalizados y suavizados para el modelo de Lee - Carter. Hombres y Mujeres.

Al variar los parámetros anteriores obtendremos unas nuevas estimaciones

para los kt futuros que son los siguientes:

Año Hombres Mujeres Año Hombres Mujeres1980 9,55068 14,45367 1991 0,27982 -0,910381981 11,72585 12,90290 1992 -3,59045 -4,530711982 7,54060 10,60192 1993 -2,69844 -3,388051983 6,07352 10,54834 1994 -6,81826 -6,607901984 8,31936 7,37817 1995 -3,06554 -8,139511985 7,85675 6,90005 1996 -7,73414 -8,100531986 3,99908 5,45306 1997 -8,41794 -5,527601987 3,15486 4,54866 1998 -7,28777 -9,905891988 3,12874 3,66199 1999 -7,81119 -11,460651989 2,16672 1,40739 2000 -12,69314 -12,667551990 2,38255 -0,28630

Cuadro 4.20: Valores de ky reestimados una vez suavizados. Hombres y Mujeres

171


Variando también la constante de los modelos ARIMA(0,1,0) que ahora son de la forma

Hombres: yyy kk ε+−= − 1122,11


Mujeres: yyy kk ε+−= − 3561,11

Las medidas de bondad de ajuste de los nuevos modelos son:

Cuadro 4.21: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Lee – Carter, en la población andaluza suavizada. Hombres.

Cuadro 4.22: Bondad del ajuste y contraste MAPE del modelo de Lee - Carter,

en la población andaluza. Mujeres


172


Finalmente obtenemos los gráficos de la evolución de la mortalidad con los datos

suavizados:

-10,00-9,00-8,00-7,00-6,00-5,00-4,00-3,00-2,00-1,000,00

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

2000

2010

2020

2030

2040

2050


Lee – Carter suavizado. Hombres.

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 832000

2010

2020

2030

2040

2050


Lee – Carter suavizado. Mujeres.

Comparando estos últimos con los gráficos 4.13. y 4.16., llegamos a la conclusión de

que mediante el suavizado se ha conseguido eliminar los dos problemas anteriormente citados

y observamos además que tanto la mortalidad como las medidas de bondad de ajuste apenas

han sufrido variaciones.

A continuación elaboraremos la tabla de mortalidad a partir de cuya distribución

aproximada, abordaremos la influencia del riesgo biométrico en el valor razonable de las PTSV.

173


Construcción de la tabla de mortalidad.

Una tabla de mortalidad dinámica se trata actuarialmente como generacional, es decir,

se establece una tabla para cada generación.

En cuanto a la construcción de nuestra tabla generacional, a partir de los resultados

obtenidos del modelo de Lee - Carter, tenemos dos opciones dependiendo de la capacidad

computacional:

• Generar cómo paso previo a cualquier cálculo actuarial, la tabla de mortalidad

correspondiente a todas las generaciones, de manera que no sea necesario

generar la tabla de mortalidad individual para cada ocasión.

• Disponer de la información necesaria, para construir la tabla de mortalidad

correspondiente a la generación a la que pertenece el Asegurado cuyas

valoraciones actuariales se van a llevar a cabo.

En el primer caso partimos de la matriz cuadrada, en la que por columnas tenemos el

tiempo cronológico desde el año de nacimiento de la primera generación considerada hasta el

correspondiente a la última, y por filas las edades desde 15 (por ser ésta la edad mínima

considerada) hasta la edad máxima considerada.

A partir de aquí, asignamos a cada componente de la matriz la medida de mortalidad

qxy correspondiente según los resultados del modelo de Lee - Carter.

En cuanto a los valores de estas qxy, siempre que el valor no haya sido proyectado,

utilizaremos la correspondiente a este año 2000. En realidad estas medidas de mortalidad no

serán utilizadas siempre que estemos calculando valores actuariales posteriores al año 2000,

pero es necesario introducir éstas componentes con el fin de facilitar la utilización de las tablas.

La medida de mortalidad quedaría como sigue

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2000,222001,222002,222003,22

2000,212000,212001,212002,21

2000,202000,202000,202001,20

2000,192000,192000,192000,19

2004,222005,222006,222007,22

2003,212004,212005,212006,21

2002,202003,202004,202005,20

2001,192002,192003,192004,19

2000,182000,182000,182000,18

2000,172000,172000,172000,17

2000,162000,162000,162000,16

2000,152000,152000,152000,15

2000,182001,182002,182003,18

2000,172000,172001,172002,17

2000,162000,162000,162001,16

2000,152000,152000,152000,15

qqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqq

Qxt

174


Así, la primera columna sería la tabla correspondiente a la generación de 1985, la

segunda a la de 1984, y así sucesivamente (recordemos que la edad mínima que hemos

considerado es 15 años).

La tabla de mortalidad se obtiene a partir de la matriz anterior, y suponiendo una

cohorte de 100.000 individuos para una edad de 15 años (l(15) = 100.000) mediante el

siguiente proceso iterativo:

( )yxyxyx qll ,,1,1 1−⋅=++

En el segundo caso, es decir, cuando estimamos la tabla de mortalidad a aplicar al

caso particular del Asegurado objeto de valoración, tendríamos a partir de las estimaciones de

los parámetros y por edades y del parámetro por años, la tabla de mortalidad

generada cómo sigue:

xa xb yk

x xl yxq ,

0x nxl 10

0= ( )

00000exp, yxxyx kbaq +=

10 +x ( )0000 ,1 1 yxxx qll −=+ ( )1111,1 11111

exp +++++ += yxxyx kbaq

Tx +0 ( )1,11 00001 −+−+−++ −= TyTxTxTx qll

donde

0y : fecha de realización de los cálculos.

0x : edad del Asegurado en la fecha de los cálculos, . 0y

T : número de años de duración del seguro.

Una vez construida la tabla de mortalidad, podemos obtener la esperanza matemática

de los siguientes sucesos:

• Probabilidad de supervivencia en el año ty + de un asegurado de edad x , en el año

: y

yx

tytxyxt l

lp

,

,,

++=

175


• Probabilidad de fallecimiento en el intervalo [ ]tyy +, de un asegurado de edad x , en

el año : y

yx

yxtytxyxt l

llq

,

,,,

−= ++

• Probabilidad de fallecimiento en el intervalo [ ]Tyty ++ , de un asegurado de edad

x , en el año : y

yx

TyTxtytx

tytx

TyTxtytx

yx

tytxtytxtTyxtyxtT l

lll

lll

lqpqt

,

,,

,

,,

,

,,,,/ ++++

++

++++++++−−

−=

−⋅=⋅=

Si la probabilidad de supervivencia o fallecimiento no tiene un subíndice precedente, se

considera que el suceso abarca un año de duración, es decir,

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

=

++

++

yx

yxyxyx

yx

yxyx

lll

q

ll

p

,

,1,1,

,

1,1,

,

4.6. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO A LA MEDIDA DE MORTALIDAD.

4.6.1. Resultados analíticos.

Una vez construida la tabla de mortalidad generacional, disponemos de la esperanza

matemática de todas las probabilidades condicionadas de supervivencia y fallecimiento. No

obstante, esta esperanza matemática no es más que una representación de todas las posibles.

Nuestro objetivo aquí es considerar difusión sobre la tabla de mortalidad dinámica

ajustada, al igual que ya lo hemos hecho con la ETTI. Ello permitiría recoger en la valoración

un ajuste por el riesgo técnico de desconocimiento de la prestación esperada.

Cómo ya se expuso al inicio del presente capítulo, el riesgo técnico se puede separar

en dos partes claramente diferenciadas: riesgo de desconocimiento de la prestación esperada

o sistemático, y riesgo de desviación respecto de esta prestación esperada o no sistemático.

176


Recordemos que la medida de mortalidad que hemos ajustado mediante el método de

Lee – Carter ha sido

xyyxxyx kbaq ')ln( , ε++=

quedando determinado a su vez el valor del parámetro , mediante un modelo

con constante negativa

yk

)0,1,0(ARIMA

yy yckk ε+⋅+= 0

Así

xyyxxyx yckbaq ')()ln( 0, εε ++⋅+⋅+=

En media los resultados de nuestro ajuste son los siguientes:

[ ])ln( , yxqEp

y x

Gráfico 4.20.: Resultados proyectados de ln(qxt) obtenidos mediante el modelo de

Lee – Carter suavizado. Hombres.

177


[ ])ln( , yxqEp

y x

Gráfico 4.21.: Resultados proyectados de ln(qxt) obtenidos mediante el modelo de

Lee – Carter suavizado. Mujeres.

La variabilidad del parámetro , viene determinada por el ruido blanco, yk yε , que

constituye una distribución normal de media 0 y desviación típica yσ . Los intervalos de

confianza al 95% son en nuestro caso los que siguen:

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

KtInt.InfInt.Sup

Gráfico 4.22.: Intervalos de confianza para el kt correspondiente al modelo Lee – Carter. Hombres.

178


-40

-30

-20

-10

0

10

20

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

KtInt.InfInt.Sup

Gráfico 4.23.: Intervalos de confianza para el kt correspondiente al modelo Lee – Carter. Mujeres.

El riesgo de desconocimiento de la prestación esperada, se puede derivar del error,

yε , mientras que el riesgo de desviación de la prestación real respecto a la prestación

esperada se puede derivar del error xyε .

Consideraremos

[ ] )()ln( 0, yxxyx yckbaqEp ε+⋅+⋅+=

es decir, supondremos la esperanza matemática del suceso fallecimiento, para los años 2001 y

siguientes, cómo un proceso estocástico. Si para ilustrar lo anterior, representamos la

distribución de probabilidad correspondiente a la esperanza matemática, de una mujer de 70

años de edad en los años 2001 y siguientes, [ ][ ])ln(Pr ,70 yqEp , tendríamos:

179


[ ][ ])ln(Pr ,70 yqEp

y

[ ])ln( ,70 yqEp

Gráfico 4.24.: Distribución de la esperanza matemática de la medida de mortalidad para una mujer de 70 años en los años 2001 y siguientes.

El otro riesgo técnico, el de desviación de la prestación real respecto de la esperada, se

puede extraer de la distribución de probabilidad del número de fallecidos en un año, ,

consistente en una binomial, , y su aproximación aplicando el teorema de Moivre –

Laplace, a una normal,

xyd

),( ,, yxyx qlB

),( ddmN σ , siendo

yxyxd qlm ,, ⋅=

)1( ,,, yxyxyxd qql −⋅⋅=σ

Si bien el error xyε , o riesgo de desviación de la prestación real respecto de la

esperada puede llegar a ser importante, aquí nos centraremos en el error, yε , o riesgo de

desconocimiento de la prestación esperada. Dejaremos para futuras investigaciones el

desarrollo del modelo para la incorporación del error xyε .

180


Para introducir en la valoración el riesgo de desconocimiento de la prestación

esperada, usado en la valoración de las PTSV, consideraremos que el tanto instantáneo o

fuerza de mortalidad, )(txµ , definido cómo

tT

txtTx t

pt

=

+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−=)ln(

)(µ

sigue un proceso estocástico, cuya evolución cumple la siguiente EDE:

)())()(()( tdWdttattd xx σµθµ +−=

Hemos de diferenciar los parámetros a y b , de los parámetros de Vasicek, y b

correspondientes al modelo de Hull – White para los tipos de interés.

a

A partir de aquí introduciremos la probabilidad de supervivencia del Asegurado en , t

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

t

xxt dssp0

)(exp µ

para considerar que existe una medida de probabilidad, riesgo neutro, para la cual las

probabilidades de supervivencia del Asegurado en

Q

[ ]Tt, , condicionadas a la supervivencia en

, t

txtTxtxtT pppt +−− ⋅=/

son martingala. Esto nos permitirá determinar la probabilidad de supervivencia en el intervalo

, , la cual consideramos que sólo tiene un solo factor de riesgo, y que

identificamos con el tanto instantáneo de mortalidad,

[ ]Tt, txtT p +−

)(txµ . Por lo anterior, representamos la

probabilidad de supervivencia por ))(( tp xtxtT µ+− . Aplicando Itô – Taylor así cómo las

manipulaciones algebraicas expuestas para el tipo instantáneo obtenemos que

( ))(),(),( tdWTtTtmppd PPtxtx σττ += ++

donde

181


tT −=τ

),(21))()((1),( 2

22

Ttpp

tatdttp

pTtm

txp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

−+∂

∂⋅=

+ µσ

µµθ τττ

τ

),(),(1),( Ttp

tp

Tttx

p µµσσ τ

τ ∂∂

=+

Para determinar la probabilidad, , riesgo neutro, identificamos cómo prima asociada

al factor de riesgo,

Q

)(tµ , independiente del plazo [ ]Tt,

),()(),(

)(Tt

tTtmt

p

p

σµ

π−

−=

Bajo la nueva medida de probabilidad, , tenemos que Q ))(( tp xtx µτ + cumple

( ))(~),()( tWdTttppd Ptxtx σµττ += ++

donde hemos aplicado el teorema de Girsanov:

dttdWWd )(~ π−=

Ya se ha expuesto para el tipo instantáneo que el cambio a la medida de probabilidad

, riesgo neutro, a partir de las expresiones anteriores proporciona asimismo Q

( ))(~),(),(' tWdTtTtmppd PPtxtx σττ += ++

siendo

),(21))()()((1),(' 2

22

Ttpp

ttatdttp

pTtm

txp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+−+∂

∂⋅=

+ µσ

µπσµθ τττ

τ

A partir de las expresiones anteriores y haciendo que 0)( =tπ llegamos al siguiente

problema de valor final en el punto Tt = :

182


⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=−∂

∂+

∂∂

−+∂

∂

+

+

1

021))(( 2

22

tx

tx

p

ppp

attp

τ

ττττ µ

µσ

µµθ

cuya resolución proporciona

)()()( tBtx eAp µτ

τ τ −+ = (4.1)

siendo

aeB

aτ

τ−−

=1)(

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2


Ba

dsBsAT

t

En cuanto al proceso )(txµ , tendremos

∫∫ −−− ++=t

stat

stataxx sdWedseset

0

)(

0

)( )()()0()( σθµµ

Ya se ha expuesto cómo el anterior proceso se puede descomponer cómo la suma de

dos procesos:

)()()( tsttx +Ω=µ

con una evolución para similar al de )(ts )(txµ pero con reversión a 0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

+−=

0)0(

)()()(

s

tdWdttratds σ

cuya resolución da lugar a

183


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −≈

−−

aeeNts

tata

21,)(

2

σ

El proceso determinista será )(tΩ

)0()()(0

θθ +⋅=Ω ∫−t

uata duueet

y por consiguiente

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −Ω≈

−

aetNt

ta

x 21),()(

2

σµ

Usando el proceso , obtenemos que el proceso )(tΩ )(txµ replica perfectamente la

tabla de mortalidad previamente ajustada.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫+ t

T

txxtx FdssEptp )(exp))(( µµτ

donde cómo antes, tT −=τ .

4.6.2. Implementación mediante árboles trinomiales.

Implementaremos numéricamente el anterior proceso estocástico a través de un árbol

trinomial. Para ello supondremos que la difusión tiene lugar cada período de tiempo , para lo

cual definiremos el tanto de mortalidad a un plazo

t∆

[ ]ttt ∆+,

∫∆+

∆+ =

tt

tx

ttx dss)(µµ

de modo que la probabilidad de supervivencia del asegurado de edad tx + durante el plazo

será [ ]ttt ∆+,

184


( )ttxtxt p ∆

++∆ −= µexp

En adelante, y dado que la tabla de mortalidad se ha ajustado para tramos de un año

de duración, fijaremos para el tanto de mortalidad un plazo 1=∆t . De esta manera a partir de

la tabla de mortalidad ajustada obtenemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= +

x

xx

ll 11 logµ

No obstante, cómo ya se ha explicado en el punto anterior, la tabla de mortalidad lo es

de doble entrada: tiempo biológico y tiempo cronológico. De este modo la medida , ha de

tener dos subíndices, , para referirnos al tiempo cronológico, y

yx,1µ

y x para referirnos al tiempo

biológico. Así a partir de la tabla de mortalidad ajustada mediante el modelo de Lee – Carter

obtenemos

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ++

yx

yxyx

ll

,

1,1,

1 logµ

Sin olvidar lo anterior, usaremos para simplificar en la exposición de la implementación

mediante árboles trinomiales, la siguiente notación

ttytx1

,1 µµ ≡++

Supondremos que la medida de mortalidad, , es un proceso estocástico que sigue

la dinámica expuesta para

t1µ

)(txµ :

)())(( 11 tdWdtatd tt σµθµ +−=

Como ya se estableció para el tipo simple a corto, tenemos el proceso separado

en dos componentes: una determinística y otra estocástica con nivel de reversión a 0, como

sigue

t1µ

ttt S Ω+=1µ

donde

185


tΩ es una función determinística que únicamente depende de t . Su finalidad es que el

proceso replique la tabla de mortalidad ajustada mediante Lee – Carter. De este modo tΩ ,

depende de la edad del asegurado, x , el año de calendario en el que se efectúan los cálculos,

, y del tiempo transcurrido, . y t

tS es un proceso estocástico similar a pero con nivel de reversión a 0. t1µ

Primer paso.

Cómo antes el primer paso consiste en el ajuste del proceso estocástico auxiliar ,

cuya evolución recordemos que es

tS

⎭⎬⎫

=+−=

00SdWdtSadS ttt σ

Y que en tiempo discreto supone el proceso autorregresivo ya expuesto de primer

orden, AR(1)

( ) ttta

tt SeSS ε+−=− −∆−

− 11 1

siendo

),0( 2εσε Nt ≈ ,

donde

( )taea

22

2 12

−−=σσ ε .

A partir de la expresión anterior consideramos esperanzas y varianzas condicionales de

los saltos de : tS

[ ]

[ ] ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

⋅=−

−−

−−−

VSSSV

SMSSSE

iii

iiii

11

111

(4.2.)

186


siendo

( )1−= ∆− taeM

( )aeV

ta

21 22 ∆−−

=σ

El paso siguiente, consistía en plantear la igualdad entre la media y varianza

proporcionadas por el árbol y las que exhibe localmente el proceso , de manera que se

pueda dar solución a las probabilidades de transición sobre el árbol , y :

tS

)(1 kp )(2 kp )(3 kp

[ ] ( )

[ ] ( ) (

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=++

⋅+=+∆=∆

⋅=−∆=∆

1)()()(

)()(

)()(

321

231

22

31

kpkpkp

SMVkpkpSSSV

SMkpkpSSSE

kk

kk

) (4.3)

siendo

)(1 kp : probabilidad de transición del nodo a ),( ki )1,1( ++ ki ;

)(2 kp : probabilidad de transición del nodo a ),( ki ),1( ki + ;

)(3 kp : probabilidad de transición del nodo a ),( ki )1,1( −+ ki .

donde k = 0 es el nivel central.

La resolución de (4.3) es:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−+=

−−=

++=

2)(

2)(

)(1)(

2)(

2)(

2

3

22

2

1

kMkMwkp

kMwkp

kMkMwkp

(4.4)

siendo

187


2StVw

∆∆

=

Para que las probabilidades de transición sean estacionarias, fijamos cómo en el caso

del tipo simple a corto

31

=w ,

de lo que deviene que

tVS ∆=∆ 3 .

De este modo las probabilidades de transición tampoco dependen del tiempo, y se

determinarán de igual forma a cómo ya se ha hecho para el tipo a corto, dando lugar a las

siguientes probabilidades de transición:

)(1 kp : probabilidad de subida, que en función de la configuración del árbol para el

nodo correspondiente podrá ser de

- 1∆S para el siguiente nodo, si es una configuración normal,

- mantenimiento si corresponde a una configuración descendiente,

- 2∆S si se trata de una configuración ascendente.

)(2 kp : probabilidad de mantenimiento, que en función de la configuración del árbol

para el nodo correspondiente se traduce en

- mantenimiento para el siguiente nodo, si es una configuración normal,

- -1∆S si corresponde a una configuración descendiente,

- 1∆S si se trata de una configuración ascendente.

)(3 kp : probabilidad de bajada, que en función de la configuración del árbol

corresponde a

- -1∆S para el siguiente nodo, si es una configuración normal,

- -2∆S si corresponde a una configuración descendiente,

- mantenimiento si se trata de una configuración ascendente.

Así el proceso estocástico , no plantea ninguna diferencia respecto al considerado

para el tipo a corto, salvo por supuesto la calibración de los parámetros

tS

a y σ que veremos

más adelante.

Para ilustrar el procedimiento anterior, expondremos un ejemplo de implementación del

árbol trinomial recombinante para la medida, ki,µ .

188


Partimos de unos parámetros de Vasicek de a = 0,203954 y σ = 0,45231%

Siguiendo el proceso ya descrito obtenemos los siguientes valores para las

probabilidades de transición:

J p1(k) p2(k) p3(k)

1 0,906937 0,001627 0,091437

0 0,166667 0,666667 0,166667

-1 0,091437 0,001627 0,906937

Cuadro 4.24.: Probabilidades de transición en el árbol de la variable St que son estacionarias.

Igualmente los valores de Si son

J iS

1 0,70992%

0 0,00000%

-1 -0,70992%

Cuadro 4.25.: Valores temporales en el árbol de la variable St.

Segundo paso

El segundo paso en la implementación del modelo consiste en convertir este árbol para

en el correspondiente para , de manera que quede replicada la tabla de mortalidad del

asegurado correspondiente.

tS t1µ

Para determinar los valores de a cada plazo en el árbol t1µ

),(,1

,1 Sktiyxki ∆∆≡ µµ ,

lo único que resta es determinar en cada período las cantidades )( tii ∆Ω≡Ω

189


En cuanto a las cantidades iΩ , nos apoyaremos en los razonamientos que sugieren

los ya tratados precios Arrow – Debreu.

El sentido económico que le atribuiremos en este caso es el valor probable de un euro

prometido en el escenario correspondiente a:

- supervivencia del asegurado en i + 1, y

- que el tanto de mortalidad se halle en el nodo k, para el intervalo i + 1. ki,1µ

El proceso sería como antes el que sigue:

1. Inicializamos el algoritmo con = 1. Puesto que para i = 0, k toma el valor 0

únicamente, resulta que

0,0Q

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==Ω ++

yx

yx

ll

,

1,10

10 logµ

2. El siguiente paso consiste en calcular los seudo - precios , y . De su

definición, se deriva:

1,1Q 0,1Q 1,1 −Q

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅−⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

− yx

yx

yx

ppQQ

ppQQ

ppQQ

,10,01,1

,20,00,1

,30,01,1

)1(

)0(

)1(

siendo

yx

yxyx l

lp

,

1,1,

++=

la probabilidad de supervivencia del asegurado en el primer año.

4. Una vez se tiene un conjunto completo de seudo - precios en un determinado paso de

tiempo, i, ya podemos proceder al cálculo de la cantidad

kiQ ,

iΩ .

Por otra parte, la probabilidad de supervivencia del asegurado para un año, una vez

transcurrido el primer año, , será diferente según los siguientes nodos: 1,1 ++ yxp

190


( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∆−Ω−=−

Ω−=

∆+Ω−=

++

++

++

)(exp)1(

exp)0(

)(exp)1(

11,1

11,1

11,1

Sp

p

Sp

yx

yx

yx

Aplicando Bayes podemos determinar inmediatamente que:

( ) ( ) ( ))(expexp)(exp 11,110,111,12 SQQSQpx ∆−Ω−+Ω−+∆+Ω−= −

Por lo que se obtiene la expresión

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛∆−⋅

=Ω∑

−=

x

jj

p

SjQ

2

1

1,1

1

explog

Y ya es inmediato obtener los valores

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+Ω=

+Ω=

+Ω=

−−−+

+

+

111,11

000,11

111,11

S

S

S

x

x

x

µ

µ

µ

El enfoque anterior proporciona un algoritmo recursivo, ya que en general

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅−⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛∆−⋅

=Ω

−+−

+

∀

∑

∑

',1'

',1,

1

,

)',1(

explog

jixjj

jiji

xi

jji

i

pjipQQ

p

SjQ

Los seudo – precios Arrow – Debreu para nuestro ejemplo serían

191


J 0 1 2 3 4

1 0,164584 0,269280 0,334385 0,373259

0 1,000000 0,658335 0,433295 0,285227 0,187917

-1 0,164584 0,271159 0,338974 0,380767

Cuadro 4.26.: Valores temporales en el árbol de los precios Arrow – Debreu, para el tanto de mortalidad.

Y por último los valores correspondientes a ki,1µ

J 0 1 2 3 4

1 2,11482% 2,28046% 2,46667% 2,68457%

0 1,25767% 1,40490% 1,57054% 1,75675% 1,97465%

-1 0,69497% 0,86062% 1,04683% 1,26473%

Cuadro 4.27.: Valores temporales en el árbol de la variable tanto de mortalidad.

Gráficamente

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4

ki,1µ

Gráfico 4.23.: Árbol del tanto de mortalidad a cada plazo.

4.6.3. Calibración

Cómo hemos podido comprobar, la construcción del árbol trinomial para el tanto de

mortalidad se sirve de la tabla de mortalidad ajustada, de modo que las probabilidades de

supervivencia obtenidas con la tabla de mortalidad son equivalentes a las proporcionadas por

el árbol trinomial. La calibración que persigue este apartado es la determinación de los

parámetros de volatilidad a y σ .

192


El objetivo es pasar de la probabilidad real, P , a una probabilidad martingala riesgo –

neutro, , que considere las expectativas de los intervinientes en el mercado, en cuanto a la

futura evolución de la medida de mortalidad.

Q

Lamentablemente no tenemos un mercado de instrumentos financieros líquido y cuyo

subyacente sea el tanto de mortalidad. Como ya hemos mencionado, unicamente tenemos

cómo antecedentes el EIB/BNP Long – term longevity bond, de noviembre 2004, y el Swis – Re

Short – term.

Aquí expondremos cómo calibrar nuestro modelo a partir de un derivado OTC, que

tomará cómo subyacente una renta vitalicia, constante a prima única, que se devenga en un

tiempo posterior, T , a la fecha de valoración t . Es lo que Schrager (2006) denomina GAOs

(Guaranteed Annuity Options).

Denotemos por , la cuantía determinada en , de una pensión vitalicia

constante y pagadera a partir de

),( TtFx t

T (diferida por tiempo tT − ), por períodos vencidos de

longitud, , a cambio de una prima única de un euro, sin gastos que se devengará asimismo

en

t∆

T . El valor razonable de sería si no consideramos riesgo de crédito ),( TtFx

Qtx

Qtx

x aE

TtF+

+=/

),(τ

τ

siendo

tT −=τ

⇒⋅= ++QQ

txQ

tx TtPpE ),(ττ valor actual actuarial en t , de un euro prometido en T , para un

persona de edad tx + , en t , bajo la probabilidad martingala riesgo neutro, Q .

⇒⋅= ∑−−

+=+−+

1

1),(/

T

Ti

QQtxti

Qtx itPpa

ω

τ valor actual actuarial en t , de una renta vitalicia,

constante y postpagable pagadera a partir de T , para un persona de edad tx + , en , bajo la

probabilidad martingala riesgo neutro, Q .

t

ω : edad máxima que puede alcanzar la persona.

La valoración de esta pensión determinada en T , sería en cambio

193


QTx

x aTTF

+

=1),(

Así consideramos a continuación que existe una medida de probabilidad ,

equivalente según la cual

xQ

Qxtx

tT atV

+− /

)(

es martingala, siendo el proceso correspondiente a un instrumento financiero que cotiza

en el mercado. Bajo esta medida de probabilidad, , tenemos que es martingala,

viniendo reglada su evolución según la siguiente EDE

)(tV

xQ ),( TtFx

[ ])(),()(),(),(),( tdWTttdZTtTtFTtdF Pxxx σσ +=

siendo

)(tdZ : movimiento Browniano para la evolución de la medida de mortalidad, según la nueva

medida de probabilidad . xQ

),( Ttxσ : proceso de la volatilidad de , respecto de los cambios en la medida de

mortalidad.

),( TtFx

)(tdW : movimiento Browniano para la evolución de los tipos de interés sin riesgo, según la

nueva medida de probabilidad . xQ

),( TtPσ : proceso de la volatilidad de , respecto de los cambios en los tipos de

interés.

),( TtFx

Si consideramos que ),( Ttxσ y ),( TtPσ son determinísticos, entonces

para es log-normal bajo , siendo

),( TsFx

Tst ≤< xQ

[ ]

[ ] ( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

=

∫s

tPxtxQx

xtxQx

duTuTuFTsFVar

TtFFTsFE

22 ),(),(),(

),(),(

σσ

donde representa toda la información disponible en . tF t

194


Consideramos a continuación un contrato que tiene una garantía referenciada a esta

pensión vitalicia anual a partir de T . En el mercado abierto, cada euro en tiempo T , garantiza

una pensión vitalicia anual de (suponiendo ausencia de gastos y a valor razonable).

El mencionado contrato garantiza que la pensión por cada euro de prima en

),(Tx TF

T , será cómo

mínimo de K , por lo que se obtendrá

),(,max TTFK x

lo cual en términos de , será ),( TTFx

)(1

),(),(,max

TGTTF

TTFK

x

x +=

donde

),()),((

)(TTF

TTFKTG

x

x+−

= : representa el valor en T de la opción implícita.

Consideramos además que de un número inicial de asegurados, , de referencia

cómo nominal, cobrarán los que sigan vivos en

)0(N

T , y que denotamos por . Asimismo con

la información hasta

)(TN

T , , tenemos que el número de asegurados, , sigue una

distribución binomial de parámetros y , determinándose su valor esperado cómo

. Ésta última expresión también se puede definir cómo

TF )(TN

)(tN Qtxp +τ

QtxptN +τ)( Q

xt

QxT

pp

tN )( , de modo que

podemos reemplazar el valor esperado de por , siendo )(TN QxT ptn )(

Qxt ptNtn )()( =

Lo anterior nos será de utilidad más adelante en la expresión 4.4, debido a que el valor

de es condicionalmente independiente de la tabla de mortalidad en uso en tiempo )(TN T .

Por otra parte, el valor total del contrato en T , teniendo en cuenta este nominal

referenciado al número de supervivientes será

195


QTxx aTTFKTN +),(,max)(

y el de la opción implícita

),()),((

)()(TTF

TTFKTNTG

x

x+−

=

Suponemos que la opción implícita se cotiza con precio en t , de manera que )(tG

Qtxa

tG

+/)(

τ, es martingala bajo la medida de probabilidad . La propiedad martingala de ,

implica que

xQ xQ

Qtxa

tG

+/)(

τ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

+tQ

txQx F

aTGE

/)(

τ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

−=

+

+

tQtxx

xQx F

aTTFTTFK

TNE/),(

)),(()(

τ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

−=

+

+

tTQtxx

xQxQx FF

aTTFTTFK

TNEE/),(

)),(()(

τ

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

−=

+

+

tQtxx

xTQxQx F

aTTFTTFK

FTNEE/),(

)),(()(

τ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

−=

+

+

tQtxx

xQxTQx F

aTTFTTFK

ptnE/),(

)),(()(

τ (4.4)

[ ]txQx FTTFKtnE +−= )),()((

Llegando de éste modo a que

)(tG ))(),()((/)( 12 dTtFdKatn xQ

tx −Φ−−Φ= +τ

donde

Fx

Fxx KTtFd

σ

σ 2

2,12

1/),(log ±=

)(⋅Φ : distribución acumulada de la normal estándar.

196


( )∫ +=T

tPxFx duTuTu 222 ),(),( σσσ .

Los parámetros, a y σ , para los que el modelo quedaría calibrado, serían aquellos

que minimizaran esta distancia

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −∑

=

n

i i

ii

G

aMGmin

1

),(arg

σ

siendo

iG : el precio de mercado del instrumento financiero descrito, y

),( σaM i : el valor proporcionado por el modelo para este instrumento, considerando difusión

en los tipos de interés y el tanto de mortalidad, cómo expondremos largamente en el capítulo 6.

Dado que no existen en la actualidad instrumentos calibrantes de estas características,

determinaremos los parámetros a y σ , a partir del ajuste de las tablas de mortalidad. Para

ello nos serviremos del modelo de Lee – Carter, así cómo del ajuste del parámetro . yk

Recordemos que la medida de mortalidad ajustada fue

xyyxxyx kbaq ε++= )exp(, ,

Además de los resultados del ajuste para los parámetros , y , disponemos de

la volatilidad de la serie temporal del parámetro , al que ajustamos un modelo ARIMA. Tanto

para mujeres cómo para hombres andaluces ha ajustado bien un ARIMA(0, 1, 0) con constante

negativa:

xa xb yk

yk

yyy ckk ε++= −1

siendo

),0( yy N σε ≈

197


Teniendo en cuenta que el valor del tanto de mortalidad yµ , en términos del parámetro

, se determina cómo sigue: yk

( ))exp(1ln yitxitxy kba −+−+ +−−=µ

obtenemos un estimador insesgado de la volatilidad inherente al parámetro yµ :

∑= −+−+

−+−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−

−=

t

ty yytxytx

yytxytx

kbakba

n 0

2

)exp(1)ˆexp(1

ln1

1µσ

donde

t : es el año final de la serie ajustada.

0t : es el año inicial de la serie ajustada.

yk : valor del parámetro obtenido por el método del SVD para el modelo de Lee – Carter una

vez normalizado, para el año de calendario . y

yk : valor del parámetro ajustado por el modelo , para el año de calendario . )0,1,0(ARIMA y

Para el caso de las mujeres andaluzas podemos representar gráficamente el parámetro

, y el ajustado por el , , para una mujer de 70 años en el año 2005, cómo

sigue

yk )0,1,0(ARIMA yk

-15

-10

-5

0

5

10

15

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

kt(real)

kt(arima)

Gráfico 4.24.: Parámetro ky del modelo de Lee – Carter y su ajuste mediante un ARIMA(0, 1, 0).

198


Con respecto al parámetro a o tasa de reversión a la media, nuestra propuesta para

simplificar los algoritmos de valoración que surgen y que el arbol trinomial resultante, no sea

especialmente abierto, es hacer

21835,0≤=

ML

siendo

L = apertura máxima del árbol trinomial; Ljabs ≤)(

1)exp( −−= aM

con lo cual

09624,0≥a

Una vez conocido el valor del parámetro a , obtenemos el valor de σ a considerar en

el árbol como

( )

aa)exp(1 −−

⋅= ωσσ

Cómo ya se ha mencionado anteriormente, únicamente se ha tenido en cuenta el

riesgo de desconocimiento de la prestación esperada. Dejamos abierta la línea de investigación

correspondiente al riesgo técnico de desviación de la prestación real respecto a la esperada.

Decir aquí que a partir de la esperanza matemática anterior, obtenemos la distribución

de probabilidad de la variable aleatoria número de fallecidos en un año, para una cartera de

asegurados de yxl , x años de edad, en el año de calendario . Esta variable aleatoria sigue

una distribución binomial

y

),( ,,, yxyxyx qlBd ≈ ,

siendo el número de fallecidos de edad yxd , x en el año de calendario . Si aplicamos el

teorema de Moivre – Laplace, podemos aproximar la distribución binomial a una normal de

parámetros

y

[ ]

[ ] ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−⋅⋅=

⋅=

)1( ,,,,

,,,

yxyxyxyx

yxyxyx

qqldD

qldE

199


Por otra parte y para efectuar los cálculos a nivel de póliza, si tenemos en cartera

contratos de las mismas características, las anteriores medidas estadísticas serían:

yxl ,

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

yx

yxyx

yx

yx

yxyx

yx

lqq

ld

D

qld

E

,

,,

,

,

,,

,

)1( (4.5)

Así cuanto mayor es la cartera asegurada menor resulta la desviación típica.

Por otra parte cualquier estructura tipo árbol recombinante, tendría que tener distintos

escenarios incluso desde el nodo inicial, ya que es posible la desviación de la prestación real

respecto de la esperada para cualquier período.

Una representación de este tipo de árbol sería:

",1

niµ

',1

kiµ

y

Gráfico 4.23. Árbol de transición conjunto de µ1i,k‘ y µ1

i,n”, considerando la distribución de µ1i,n” ‘desde el

período inicial

siendo en este caso

200


',1

kiµ : nivel de la medida de mortalidad esperada,

",1

niµ : nivel relativo de la medida de mortalidad real, respecto de la esperada,

considerando de este modo, que la medida de mortalidad a emplear en los cálculos sería la

suma de ambos componentes.

4.7. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO AL FACTOR DE DESCUENTO ACTUARIAL.

Vegas y Nieto (1993) definen la fuerza de capitalización actuarial )(sγ , que permite

determinar el valor actual actuarial de un euro prometido en t para el caso de supervivencia

del asegurado, a partir del factor de descuento actuarial ( ) cómo sigue txtT E +−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫+− dssEE

T

ttxtT )(exp γ

siendo

)()()( srss += µγ

)(sµ : fuerza de mortalidad para el instante s.

)(sr : tipo instantáneo para el instante s.

llegamos a que el precio del bono con riesgo sería ahora

)()()(),( tBtxtT

xeATtPE µττ −+− = (4.5)

donde

),( TtP : precio del bono sin riesgo según la dinámica de la expresión 3.3

tT −=τ

[ ]ττ aea

B −−= 11)(

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2

)()(~exp)( τσττστθτ Ba

Ba

dsBsAT

t

2σ y a : parámetros correspondiente a la calibración del tanto instantáneo de mortalidad.

201


)()()()()(~ τσσρθθ Bsstt ⋅⋅⋅+=

ρ : correlación entre el tipo instantáneo de interés y el tanto instantáneo de mortalidad

[ ]ττ aea

B −−= 11)(

σ y : parámetros correspondiente a la calibración del tipo instantáneo. a En adelante, supondremos que la probabilidad de supervivencia y precio del bono

cupón cero, son procesos estocásticos independientes que evolucionan según ya se ha

expuesto en los apartados anteriores. En estas circunstancias, el factor de descuento actuarial,

, sería el siguiente proceso estocástico txtT E +−

txtTtxtT pTtPE +−+− = ),(

donde ahora

),( TtP : precio en t del bono cupón cero con vencimiento en T, según la expresión 3.3;

txtT p +− : probabilidad de supervivencia en T , para un Asegurado de edad , según la

expresión 4.1.

t

La implementación práctica la llevaremos a cabo mediante métodos numéricos y más

concretamente, un árbol trinomial recombinante tridimensional.

Si consideramos el tanto de capitalización actuarial a corto en tiempo continuo derivado

de la tabla de mortalidad dinámica cómo

ttt R+= 11 µγ

obtenemos el siguiente factor de descuento actuarial

( )ttytxE 1,1 exp γ−=++

El paso siguiente sería considerar la difusión en el tanto de mortalidad conjuntamente

con la del tipo de interés.

Para el árbol trinomial conjunto obtenemos la siguiente configuración:

202


ki,1µ

),( 1µR

jiR ,

Figura 4.1. Transición del tipo de interés libre de riesgo y tanto de mortalidad a partir de un nodo central

Es decir, cada nodo da lugar a nueve ramas con sus correspondientes probabilidades

de ocurrencia.

Estas probabilidades de transición conjuntas, suponiendo independencia entre la curva

de mortalidad y la ETTI, se obtienen simplemente como sigue

ki,1µ

Subida mantenim. bajada

Subida Rpp 11 ⋅µ Rpp 12 ⋅µ Rpp 13 ⋅µ

jiR , mantenim. Rpp 21 ⋅µ Rpp 22 ⋅µ Rpp 23 ⋅µ

bajada Rpp 31 ⋅µ Rpp 32 ⋅µ Rpp 33 ⋅µ

Cuadro 4.23. Probabilidades de transición conjuntas del tipo de interés libre de riesgo y tanto de mortalidad a partir de un nodo central

En adelante para identificar la transición a la que se halla referida la probabilidad,

emplearemos dos subíndices: el primero corresponderá al tipo de interés, , y el segundo a

la medida de mortalidad, , de manera que

jiR ,

ki,1µ

203


µk

Rjkj ppp ⋅=,

Dado que en este caso estamos tratando con tres dimensiones (tiempo, nivel de tipos a

corto y nivel de mortalidad), cada nodo se especificará (i, j, k), siendo el primer índice el nivel

temporal, el segundo el nivel del nodo respecto al tipo a corto, donde j = 0 es el nivel central, y

el último el nivel del nodo desde el punto de vista de la mortalidad, siendo k = 0 el nivel central.

El tipo a plazo en el nodo (i, j, k) se denotará por , y la medida de mortalidad se

denotará por . De este modo el tanto de capitalización actuarial sería en el nodo (i, j, k):

jiR ,

ki,1µ

kijikji R ,1

,,,1 µγ +=

Él árbol de transición conjunto para nuestro ejemplo será

jiR ,

ki,1µ

i

Gráfico 4.24. Árbol de transición conjunta de del tipo de interés libre de riesgo y tanto de mortalidad

Hasta aquí hemos introducido en el análisis el ajuste por riesgo de interés y el riesgo

técnico y sólo resta el ajuste por riesgo de crédito que veremos en el capítulo siguiente.

204

205

CAPÍTULO 5. EL RIESGO DE CRÉDITO Y EL VALOR RAZONABLE. 207


5.2. INTRODUCCIÓN AL RIESGO DE CRÉDITO EN

EL VALOR RAZONABLE. 208

5.3. MODELOS DE VALORACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO. 209

5.3.1. Método de valoración de opciones. 211

5.3.2. Modelo de Jarrow-Turnbull. 215

5.3.3. Modelo de Jarrow – Lando – Turnbull. 218

5.4. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO AL SPREAD POR

RIESGO DE CRÉDITO. 221

5.4.1. Resultados analíticos 221



5.5. DIFUSIÓN DEL TIPO DE INTERÉS, SPREAD POR

RIESGO DE CRÉDITO Y MEDIDA DE MORTALIDAD. 236


5.5.2. Implementación mediante árboles trinomiales 237

CAPÍTULO 5. El riesgo de crédito y el Valor Razonable.

207

CAPÍTULO 5. EL RIESGO DE CRÉDITO

EN EL VALOR RAZONABLE.

5.1. ORGANIZACIÓN DEL CAPÍTULO.

Aunque no nos decantamos sobre si debe y en qué grado debe ser incluído el riesgo

de crédito en el valor razonable de las PTSV, se exponen una serie de propuestas para

hacerlo.

El capítulo comienza con una pequeña introducción, en la que se expone una breve

clasificación de los modelos de valoración del riesgo de crédito.

Destacamos el modelo de Jarrow – Turnbull (1995) a través del apartado 5.3.3., ya que

este modelo permite su calibración a mercado, lo cual es requerido para nuestro objetivo de

acercamiento al valor razonable.

En el siguiente apartado se expone el modelo de Jarrow – Lando – Turnbull (1997), y

que incorpora sobre el anterior la información del rating crediticio, en las probabilidades de

dafault.

En el apartado 5.4. presentamos el modelo para la difusión del spread de crédito de

Schönbucher (1999), y que desarrolla a partir del trabajo de Lando (1998). El motivo es que

nos permitirá crear un árbol trinomial recombinante para el spread por riesgo de crédito y con

éste implementar un árbol trinomial en cuatro dimensiones, para la determinación del valor

razonable de las PTSV.

El apartado 5.4.3. expone la calibración de los parámetros de Vasicek,

correspondientes al proceso estocástico del spread por riesgo, a partir de una opción sobre

CDSs. Ya se ha expuesto previamente, que para que un instrumento financiero séa apto para

calibrar, ha de ser negociado activamente. Encontrar este tipo de instrumento para la empresa

aseguradora de la cual estamos valorando las PTSV, quizás puede ser complicado.

Hasta que exista este mercado, tendríamos que inferir esta distribución a partir de

información histórica, cómo ya hemos hecho con el tanto de mortalidad.

De cualquier modo, con la incorporación de la difusión en el spread por riesgo de

crédito, queda completo nuestro modelo teórico de determinación del valor razonable de las

PTSV, tomando cómo subyacentes el tipo de interés libre de riesgo, el tanto de mortalidad y

este spread por riesgo de crédito


208

5.2. INTRODUCCIÓN AL RIESGO DE CRÉDITO EN EL VALOR RAZONABLE.

Durante la realización del presente trabajo, se está debatiendo si debe ser y en qué

grado debe ser reflejado el riesgo de crédito en la valoración de las PTSV. La discusión de este

tema nos podría llevar un libro entero.

Más que abordar una exposición profunda de las dos posturas enfrentadas, nuestro

propósito aquí es resaltar la base lógica que hay detrás de cada reflexión del riesgo de crédito

en las estimaciones del valor razonable, presentar algunos argumentos que rebaten tal postura,

y listar algunas cuestiones que merecen también ser comentadas, así como proponer varios

métodos de determinación y cuantificación del riesgo de crédito en el ámbito del valor

razonable.

La base racional que sustenta el reflejo de la calidad crediticia en el valor razonable de

las PTSV es la siguiente:

• Las PTSV de una compañía es el activo de “alguien”. Desde la perspectiva del poseedor de

la póliza, su valor se ve reducido por el riesgo de crédito de la compañía aseguradora. Por

tanto, la calidad crediticia de la compañía aseguradora debe ser reflejada en el precio.

• Desde otro punto de vista, la compañía aseguradora mantiene en su balance las PTSV

como pasivo para responder de los compromisos que surgen por la póliza. La compañía

aseguradora podría extinguir su obligación pagando una cantidad al poseedor de la póliza.

Esta cantidad deberá ser la misma que cualquier otra compañía pagaría por la póliza.

Como el precio de la póliza refleja el riesgo de crédito de la aseguradora, la cantidad que le

cuesta a la aseguradora mantener tal obligación refleja su propia calidad crediticia.

• La mayoría de los pasivos financieros de muchas industrias cuenta con un mercado de

negociación pública, y el precio para tales deudas ya refleja la calidad crediticia del emisor.

Posiblemente, una compañía podría comprar su deuda o negociar mas deuda en el

mercado. En consecuencia, a no ser que el valor razonable de sus deudas sea establecido

a su valor de mercado (el cual refleja su calidad crediticia), una compañía podría manipular

sus ganancias por la negociación de su propia deuda.

Alguno de los argumentos principales en contra del reflejo de la calidad crediticia en los

pasivos de una aseguradora incluyen lo siguiente:

• Si el valor de las PTSV refleja la calidad crediticia de la aseguradora, entonces las

ganancias de la aseguradora pueden aumentar si su calidad crediticia disminuye. Ello es


209

contrario a lo que en un principio se podría pensar, y proporciona información menos

relevante a los usuarios sobre sus estados financieros.

• Los argumentos para reflejar la calidad crediticia en las PTSV se basan en la valoración de

activos. Los activos se negocian, y sus valoraciones reflejan la calidad crediticia. Pero las

PTSV, no se negocian. Por tanto, no hay valor de mercado para estas, y los modelos de

valoración de activos no necesariamente se aplican a la valoración de las PTSV.

• Los valores de las PTSV que no son ajustados para reflejar el rating de crédito son más

útiles a los usuarios de los estados financieros, incluyendo acreedores y compradores

potenciales de la firma. Por ejemplo, el valor de las PTSV de una parte que asume

responsabilidad para el pago de las prestaciones sería independiente de la calidad

crediticia de la original parte responsable para cumplir con la obligación.

Para profundizar más en este tema,consultar:

• “Understanding deh Issues –Credit Standing and Liability Measurement”. Junio 2001 –

Volumen 4, Serie 1, FASB, disponible en http://www.fasb.org/articles&reports/vol4

series1.shtml

• Casualty Actuarial Society –“White Paper on Fair Valuing Property/Casualty Insurance

Liabilities”, Section H –Credit Standing and Fair Value, disponible en:

http://www.casact.org/research/tffvl/inditex.htm

• Girard, Luke, 2002. “An approach to Fair Valuation of Insurance Liabilities Using the Firm´s

Cost of Capital”, Vol. 4.

La principal dificultad de la consideración del riesgo de crédito en el valor razonable,

estriba en reflejar de alguna manera el precio del riesgo en el mercado.

5.3. MODELOS DE VALORACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO.

Podemos clasificar en tres grupos los distintos modelos de valoración del riesgo de

crédito elaborados hasta ahora:

• En la primera clase de modelos, los pasivos se entienden como opciones establecidas

contra los activos subyacentes de la compañía, con los pagos a todos los pasivos de la

http://www.casact.org/research/tffvl/inditex.htm


210

entidad en quiebra completamente especificados. La quiebra es determinada mediante la

evolución de los activos de la firma en conjunción con varios pactos de deuda50.

Este enfoque es difícil de implementar en la práctica, porque la prioridad de la

estructura de pagos a todos los pasivos de la compañía debe ser especificada e incluida en

el proceso de valoración y esto es complicado51. Además, como este enfoque no usa

información del rating, no nos sirve para valorar derivados crediticios cuyos pagos

dependen directamente de la calidad crediticia, por ejemplo, los pagarés sensibles al

crédito y los pagarés con difusión ajustada52.

• La segunda clase de modelos trata el riesgo de crédito como el pago de una fracción de

cada euro prometido en el momento de quiebra. Dicha fracción viene dada exógenamente.

La quiebra se produce cuando el valor de los activos subyacentes de la compañía queda

por debajo de una frontera especificada exógenamente53. Este enfoque simplifica el

cálculo, ya que los flujos de caja vienen determinados exógenamente y esto evita el tener

que establecer la prioridad de la estructura de pagos a todos los pasivos en quiebra de la

compañía. Aún así, presenta dos inconvenientes: primero, se requieren estimaciones para

los parámetros del valor de activos, lo cual no siempre es observable y segundo, no

funciona con varios derivados crediticios cuyos pagos dependen del rating crediticio de la

deuda.

• La tercera clase de modelos evita estos dos últimos problemas. Esta clase, como la

anterior, también contempla el riesgo de crédito como pago de una fracción de cada euro

prometido en el momento de la quiebra; pero dicho momento es ahora dado como un

proceso exógeno54. Es decir, el proceso de quiebra viene especificado exógenamente y no

depende explícitamente de los activos subyacentes de la compañía. La ventaja de este

enfoque es que permite establecer asunciones exógenas en observables. Esta clase de

modelos presume la ausencia de oportundidad de arbitraje55.

Este tercer enfoque puede ser fácilmente modificado para incluir la información del

rating en el proceso de quiebra, y por tanto, puede ser utilizado para valorar derivados

crediticios dependientes del rating. El modelo de Jarrow – Lando – Turnbull incorpora sobre el

50 Por ejemplo, Black y Cox (1976), Chance (1990), Merton (1974), y Shimko, Tejima, y Van Deventer (1993).51 Jones, Mason, y Rosenfeld (1984).52 Das y Tufano (1995)53 Hull y White (1991) o Longstaff y Schwartz (1992)54 Jarrow y Turnbull (1995) y Litterman e Iben (1991)55 Se puede hacer una analogía entre esta clase de modelos y aquellos usados para valorar opciones sobre acciones

de interés variable, es decir, las asunciones exógenas en observables, de Jarrow y Turnbull (1995) es igual que Black y

Scholes (1973), como la asunción de Merton (1974) en valores de la firma es equivalente al enfoque de Geske (1979).


211

modelo de Jarrow y Turnbull precisamente esta mejora, es decir, caracterizar el proceso de

quiebra como un estado finito del proceso de Markov en el rating de crédito de la firma.

Por otra parte existe multitud de modelos para cuantificar este riesgo que recogen

ideas de algunos de los enfoques anteriores y que son utilizados habitualmente por diversas

compañías, como el modelo de Credit-Suisse (CreditRisk+), el modelo de J. P. Morgan (Credit

Metrics), que supone un desarrollo sobre el conocido Risk Metrics, …

Se incluye el siguiente cuadro resumen

METODOLOGÍA ENFOQUE

Credit Metrics

Supone que el precio de la deuda depende del Rating,

centrando su atención en la incertidumbre asociada a la

variación en el mismo.

Credit Risk +Adopta un punto de vista actuarial y está diseñado para

medir el riesgo de una cartera de deuda minorista.

Modelo de Vasicek en Basilea IIMetodología parecida a la anterior, es la que se ha

adoptado en el Nuevo Acuerdo de Capital de Basilea

Credit Portfolio ViewIntroduce aspectos econométricos y la incertidumbre de

ciclos económicos.

Credit Manager

Incorpora un índice que intenta capturar la calidad crediticia

de una empresa a partir de datosde balance y de la

volatilidad que tiene el activo de la empresa.Cuadro 5.1. Modelos de cuantificación del riesgo de crédito.

A continuación, se presentan cuatro métodos que proporcionan una base teórica sobre

cómo medir el precio del riesgo de crédito en el mercado, así como ejemplos de aplicación.

5.3.1. Método de valoración de opciones.

Tanto Merton (1974) como Black y Scholes (1973) ya sugirieron que los títulos

corporativos se pueden considerar como opciones sobre los activos de la compañía. Estos

activos incluyen el valor del inmovilizado, el fondo de comercio, etc., en definitiva, partidas

difíciles de valorar.

Supongamos el caso de una compañía sencilla del sector no financiero, con accionistas

y negociación de bonos. Los titulares de los bonos, lo son por el valor de los activos hasta el


212

nominal de la deuda, y los accionistas son titulares por el valor de los activos en exceso de este

nominal. Lo anterior se traduce en que se puede considerar una acción, como una opción de

compra sobre los activos, y cuyo strike será el nominal de la deuda.

De este modo para un bono cupón cero, si suponemos tipos de interés constantes, el

valor de una acción se puede determinar a partir de la fórmula de Black – Scholes de

valoración de opciones de compra. El valor del bono sería la diferencia entre la opción de

compra de la acción y el activo subyacente. Así, los titulares de los bonos se les puede

considerar poseedores de acciones y deudores de la venta de una opción de compra a

accionistas.

Recordemos la fórmula de Black – Scholes para una opción de compra:

)()( 21 dNXedANC rT−−=

donde

TTrXAd

σσ /)2/()/ln( 2

1++

=

Tdd σ−= 12

siendo

C = valor de la opción call = valor de la acción en el modelo de Merton

A = valor actual del activo de la compañía,

N(d) = densidad normal estándar función de d,

X = precio de ejercicio = valor nominal de la deuda,

r = tipo libre de riesgo constante,

T = vencimiento para la opción,

σ = desviación típica anual de la rentabilidad de las acciones.

Entonces el valor del bono es A-C.

Cabe hacer en este punto tres consideraciones:

Primero, el valor del bono con riesgo converge al valor del bono libre de riesgo

conforme aumenta el valor de activo de la compañía.

Segundo, el valor del bono decrece conforme aumenta la volatilidad del activo.


213

Tercero, la rentabilidad esperada sobre los activos no es un componente explícito del

valor del bono.

Para analizar la primera observación nos fijamos en que un incremento en el valor del

activo provoca un aumento en el valor de la acción y el valor de la deuda, hasta un límite. Lo

más que un bono puede valer al vencimiento es X, el valor nominal de la deuda. Conforme el

valor de los activos aumenta, el valor de la acción converge a

.rTXeAC −−= (5.1.)

También observamos que conforme A crece mucho respecto a X, 1d y 2d incrementan

y el valor de la opción call (acción) aumenta hacia un limite superior de (5.1.). Luego el valor del

bono es

.rTXeCA −=−

De este modo, para numerosos valores de activos, el bono está libre de riesgo y el

precio del bono es el flujo de caja prometido descontado al tipo libre de riesgo. Vemos que este

resultado se mantiene para activos relativamente “conservadores” con una reducida desviación

típica o para activos muy arriesgados con una desviación típica alta. Para cualquier nivel de

riesgo dado (la desviación típica de activos) el bono estará libre de riesgo para un número

suficiente de activos.

El segundo punto trata con la volatilidad. Un incremento en la volatilidad hace aumentar

el valor de una opción. Esto se puede ver tomando la derivada respecto a σ de la fórmula de

valoración de la opción. Por consiguiente, en igualdad de condiciones, el valor del bono

decrece cuando aumenta la volatilidad. Intuitivamente a mayor volatilidad en los activos, mayor

probabilidad de que la compañía no pueda hacer frente a sus pagos y los titulares de los bonos

reciban los activos de la firma como pago parcial de su prestación. Así, el primer punto no viola

la intuición de este segundo punto.

En cuanto a la última consideración, ya hemos visto en el punto 2.3.4. que en la

valoración de un Seguro de Vida al tipo libre de riesgo, consideramos las probabilidades

martingala riesgo neutral cómo sigue:

rSS

S qxxpxx

+

−+=

1)1( ππ

determinándose la probabilidad riesgo neutral como vimos,


214

xxxx qpp ⋅⋅−= λπ

es decir, en función de las probabilidades ciertas y el precio de mercado del riesgo asociado

con la incertidumbre sobre el pago prometido.

La misma intuición se mantiene en una fórmula más complicada de valoración de

opciones de Black-Scholes. El precio de mercado del riesgo de activo de la compañía entra en

la relación entre la medida de martingala, N(d) en la fórmula de valoración de la opción, y la

densidad de probabilidad “cierta”.

Tenemos una representación alternativa del valor de un bono corporativo en el marco

de la valoración de una opción. Recordemos la relación de paridad “put-call”

AXeCP rT −+= −

donde P es el precio de una opción de venta sobre los mismos activos, A, teniendo el mismo

precio de ejercicio, X, y el mismo vencimiento, T, que la opción de compra, C. La expresión de

paridad put-call se puede volver a escribir como

.PXeCA rT −=− − (5.2.)

Obsérvese que el lado de la izquierda de esta expresión es el valor del bono, como se

ha descrito arriba. La parte derecha es el precio del bono con riesgo menos una opción de

venta. Así, el valor de un bono corporativo puede ser descompuesto en un bono libre de riesgo

y una opción de venta sobre los activos de la compañía. Por conveniencia referiremos el valor

del flujo de caja del bono, descontado a los tipos libres de riesgo, como valor de un bono

sintético libre de riesgo. De esta manera, la descomposición implica dos términos: el valor de

un bono sintético libre de riesgo y la opción de venta.

Esta es una descomposición útil para determinar la sensibilidad respecto a los cambios

en el tipo de interés y los cambios en la calidad de crédito. Cambios en el tipo de interés

impactarán en ambos términos, pero el precio del bono libre de riesgo capturará sólo el puro

valor del dinero en el tiempo. Cambios en la calidad crediticia, serán capturados por el valor de

la opción de venta.

Es importante caer en la cuenta de que la forma de valorar una opción difiere del

simple descuento del flujo de caja del pasivo a los tipos libres de riesgo, sino que ha de haber

alguna medida del riesgo. Dicha medida se toma de manera adecuada en el presente método

de descomposición. No es sin embargo, una buena medida del riesgo, usar la rentabilidad de la


215

cartera de activo como tipo de descuento, ya que el rendimiento de la cartera de activo no es la

clave del riesgo en pasivos. Las claves son la sobrecapitalización (A-X) y la volatilidad del

rendimiento de activos.

Cuando hablamos de más de un periodo podemos recurrir a un modelo dinámico de

estimación de la ETTI, como por ejemplo el de Hull y White. La diferencia con la ecuación (5.2.)

anterior es que rTXe−

tendría que ser sustituído por

[ ]rTr XeE −

,

tal como se ha establecido en el apartado anterior. Siendo como ya se ha visto Er, la esperanza

de riesgo neutral (martingala) sobre posibles tipos de interés.

La ecuación (5.2.) anterior, quedaría como sigue:

[ ] .PXeECA rTr −=− − (5.3.)

El valor de la put, P, dependerá de la sobrecapitalización actual,

[ ]rTr XeEA −− ,

y de la volatilidad del activo, como se comentó arriba.

5.3.2. Modelo de Jarrow-Turnbull.

Este modelo utiliza la información disponible en precios del mercado, más algún dato

exógeno de análisis, para de ahí, suponiendo que el mercado está libre de arbitraje, deducir la

probabilidad que el mercado está adjudicando, a través de precios, a la evolución estocástica

(riesgo - neutro) de los distintos subyacentes.

El modelo de Jarrow-Turnbull requiere de:

1. La ETTI sin riesgo actual, así como su evolución obtenida mediante un modelo

dinámico de estimación que ajuste la ETTI actual, como puede ser el de Hull - White.

2. La ETTI actual de las deudas cuyo riesgo queremos analizar.


216

Esta última se sitúa por encima de la anterior, además, el diferencial crece con el

tiempo a vencimiento.

Este modelo asume que dicho diferencial se debe exclusivamente al riesgo de

contrapartida (riesgo de crédito), haciendo caso omiso de liquidez u otros posibles

factores.

3. Tasa de recuperación asociada a la deuda en caso de insolvencia. Será un número

comprendido entre 0 y 1. En caso de impago, por cada euro se recuperan δ euros.

Éste es el único dato exógeno.

El intervalo de tiempo fijo lo denotamos cómo antes por ∆t, que en los ejemplos será 1

año. La ETTI sin riesgo hoy la denotamos como hemos hecho con anterioridad por P(0; n), e

incorporamos la ETTI con riesgo (correspondiente a la deuda que pretendemos valorar), y que

denotamos por Pc(0; n): es el precio hoy del bono cupón cero con riesgo que vence en tiempo

n∆t, cuyo nominal es 1 y también es un dato de mercado.

El diferencial de precios lo denotamos por

),0(),0(),0(

nPnPn

c

=φ

y debe cumplir que

1)1,0(),0(0 ≤−≤≤ nn φφ

es decir, el precio del bono con riesgo tiene que decrecer con el tiempo con respecto al bono

sin riesgo, debido a la acumulación progresiva del riesgo.

Recordemos que hemos llamado Ri al tipo continuo anual sin riesgo para el período i∆t,

siendo una variable aleatoria, cuya evolución la tenemos ya especificada a partir del modelo

Hull – White que expusimos en el capítulo 3.

A continuación introducimos el proceso de la cuenta bancaria, )(nβ , la variable

aleatoria definida mediante

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

−

=

1

0

exp)(n

jjRnβ ,

Inicializándola con el dato adicional de que 1)0( =β tenemos


217

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)(1),0(n

EpnPβ

Introducimos *τ cómo el tiempo aleatorio en el que ocurre el estado de quiebra56, el

cual consideramos estado absorbente, es decir, que una vez se ha producido no es posible

cambiar de estado.

Los flujos de caja procedentes del bono ),0( nPc serán δ si n≤*τ , y 1 si n>*τ .

Así

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= ≤ )1 1(

)(1),0( n*n* fττδnB

EpnPc

siendo n≤*1τ

la función indicadora del evento n≤*τ .

A continuación, asumimos que el proceso estocástico de evolución de tipos iR y el

proceso del momento de quiebra, representado como *τ son estadísticamente independientes.

Bajo esta asunción, podemos calcular

( ) ( )),0()1(),0(1 1)(

1),0( n*n* ncnPEpnB

EpnPc ⋅−+⋅=+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ≤ δδδ ττ f

donde

( )nEpnc >= *),0( τ

De aquí podemos deducir

( )),0()1(),0(),0(),0( nc

nPnPn

c

⋅−+== δδφ

y ya es inmediato

56 El término quiebra no debe ser interpretado demasiado literal. En nuestro contexto, se refiere a cualquier caso de

“peligro” financiero que lleve a los propietarios de bonos a recibir menos de lo que se les prometió.


218

δδφ

−−

=1

),0(),0( nnc (5.4.)

Como ejemplo vamos a considerar un título de renta fija cupón cero de duración 5

años, cuya tasa de recuperación vamos a suponer del 75%.

Si suponemos que el precio de un bono cupon cero de las mismas características pero

sin riesgo de credito es 831644,0)5,0(),0( == PnP , y que el precio del título cupón cero con

riesgo que nos ocupa es Pc(0, 5) es 0,821249:

831644,0821249,0

)5,0()5,0(

),0(),0(),0( ===

PP

nPnPn

cc

φ =0,9875

nos queda

0,9575,01

75,09875,01

)5,0()5,0( =−

−=

−−

=δδφc

El modelo de Jarrow – Turnbull considera únicamente dos estados, si la compañía se

encuentra en estado de quiebra o solvencia, mientras que el modelo de Jarrow – Lando –

Turnbull, el estado de solvencia queda asimismo caracterizado en función del rating de crédito

asignado al emisor del bono.

5.3.3. Modelo de Jarrow – Lando – Turnbull.

Este modelo además de los requerimientos del modelo de Jarrow – Turnbull, necesita

el rating de crédito de la compañía.

Nos interesa incorporar la información que aporta el rating crediticio, desde una doble

vertiente:

• probabilidad de incumplimiento de cada rating de crédito, y

• probabilidades de transición entre los diferentes ratings de crédito.

De esta manera además de incorporar el riesgo de crédito en la determinación del valor

razonable de las PTSV, podemos incorporar simulaciones sobre los diferentes estados posibles

en el futuro de la entidad.


219

El modelo de Jarrow – Lando – Turnbull obtiene la distribución para el momento de

quiebra *τ a través de las cadenas de Markov en tiempo homogéneo para un espacio finito de

estados KS ,...1= . El espacio de estados S representa los ratings de crédito posibles,

siendo 1 el mayor (AAA en el ranking de Moody) y K –1 el menor (C en el ranking de Moody).

El último estado, K, representa la quiebra. Se pueden obtener estimaciones de esta matriz de

transición (a un año), del Moody´s Special Report (1992), siendo por otra parte extraño que se

produzcan movimientos de dos ratings en un mismo año.

Llamemos Q a la matriz K x K de transición:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−−−

1......

00

......

,12,11,1

,22,21,2

,1...2,11,1

kkkk

k

k

qqq

qqqqqq

Q

donde

jijiq ji ≠∀≥ ,,,0,

y

jijiqqk

jjiii ≠∀−≡ ∑

=

,,,11

,, .

La entrada (i,j)-ésima, jiq , , representa la actual probabilidad de migración de un estado

i a otro j. Asumamos para simplificar que la quiebra (estado K) es un estado absorbente, de tal

forma que 0, =ikq para i = 1,…,K – 1 y 1, =kkq , lo que explica la última fila de la matriz de

transición.

Sea ),0(, nq ji la probabilidad de transición del estado i en el momento 0 al estado j en

el momento n. Es bien conocido que la matriz de transición KxK de n intervalos, nQ ,0 , cuya

entrada (i, j) es ),0(, nq ji satisface nn QQ =,0 (producto n de la matriz doblada de Q).

Bajo la asunción de mercado perfecto y ausencia de arbitraje, la matriz de transición

del tiempo t al tiempo t + 1 bajo martingala es dada por:


220

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

++++++

=−−−

+

1)1,´(

...

...0

)1,´(0

)1,´(

...)1,´(...)1,´()1,´()1,´(...)1,´()1,´(

',12,11,1

,22,21,2

,12,11,1

1,

ttqttqttq

ttqttqttqttqttqttq

QKKKK

K

K

tt

donde

jijittq ji ≠∀≥+ ,,,0)1,(',

y

jijittqttqk

jjiii ≠∀+−≡+ ∑

=

,,,)1,('1)1,('1

,,

si y sólo si 0, ≥jiq

Sin restricciones adicionales, las martingalas )1,(', +ttq ji pueden depender de la

historia completa de todo el proceso hasta el momento t. Por lo tanto, bajo martingalas, el

proceso no tiene por qué ser de Markov. Para facilitar la implementación práctica, es deseable

imponer mayor estructura a estas probabilidades. Es por ello que incluimos los ajustes de

proporcionalidad )(tiπ que satisfacen

jijiqtttq jiiji ≠∀⋅=+ ,,)()1,(' ,, π (5.5.)

siendo )(tiπ una función determinística del tiempo, tal que

jijittq ji ≠∀≥+ ,,,0)1,(',

y

1)1,('1

, ≤+∑=

k

jji ttq para i=1, …, K.

En forma de matriz, podemos escribirlo como:


221

[ ]IQtIQ tt −Π=−+ )('1,

donde I es la matriz identidad KxK y ( )1),(),...()( 11 ttdiagt k−=Π ππ es una matriz diagonal

KxK .

La última fila en la matriz de transición para '1, +ttQ en conjunción con la ecuación (5.5.)

implica que

ttk ∀≡ ,1)(π

Los ajustes de proporcionalidad )(tiπ tienen la interpretación de ser primas de riesgo,

las cuales transforman las actuales probabilidades a aquellas usadas en la valoración.

Dada esta estructura, podemos ahora calcular la probabilidad de que ocurra la quiebra

después de la fecha n, es decir, )('),( * nQntc t >= τ .

Suponiendo que la compañía se encuentra en el estado i al tiempo t, denotado por

it =η , la probabilidad de que ocurra quiebra después del momento n es

∑≠

−==>=kj

kijit ntqntqnQntc ),('1),(')('),( ,,*τ

5.4. PROCESO ESTOCÁSTICO ASOCIADO AL SPREAD POR RIESGO DE CRÉDITO.


Siguiendo a Lando (1998) consideraremos el tiempo hasta el default, *τ , a partir de un

proceso de Cox. Consideramos )(tN cómo un proceso de Poisson en tiempo no homogéneo e

intensidad )(tλ . La intensidad )(tλ , también denominada intensidad del proceso de Cox, es

un proceso estocástico adaptado con

∫ ∞<t

dss0

)(λ 0>∀t ,


222

Siendo

∑∞

=≤

=≤=1

1:)(i

tii

timaxtNτ

τ

La probabilidad de obtener exactamente n saltos sin conocer la realización del proceso

sería:

[ ] [ ][ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

=−==−

∫∫

≥≥

T

t

nT

tt

tsTtt

dssdssn

E

sntNTNPEntNTNP

)(exp)(!

1

)()()()()(

λλ

λ

Definimos el proceso

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ t

T

tt FdssETtc )(exp),( λ

Para t>τ , ),( Ttc será la probabilidad de supervivencia de la entidad desde t hasta

T . Así en general tendremos que

[ ]Ttt ETtc >> = ττ 1),(1

Definimos el factor para la reducción del tanto de incumplimiento, q’, cómo

consecuencia de la tasa de recuperación, δ , de manera que

),(),(),()('exp Tt

TtPTtPdssqE

cT

tt φλ ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∫

En primer lugar analizaremos el caso de independencia entre el proceso del tipo libre

de riesgo, y el spread por riesgo de crédito. Supondremos que existe una probabilidad P ,

riesgo neutro, tal que para esta probabilidad, los diferenciales de precios, ),( Ttφ , por el

numerario, ),0( tφ ,

),0(),(

tTt

φφ


223

son martingala. Suponemos asimismo que la intensidad de default reducida, λ'q , cumple la

siguiente ecuación diferencial estocástica:

)())(')(()(' tdWdttqattdq σλθλ +−= (5.6)

A partir de un desarrollo similar al que seguimos para el tipo instantáneo llegamos a

que

)(')()(),( tqBeATt λττφ −= , tT −=τ

donde

a

eBaτ

τ−−

=1)(

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2


Ba

dsBsAT

t

Supongamos ahora que existe cierta correlación, ρ , entre el tipo libre de riesgo y la

tasa de default reducida. En este caso no podemos separar la evolución de ambos procesos.

Siendo la difusión del tipo libre de riesgo

)())()(()( tdWdttarttdr σθ +−=

y la del spread por riesgo de crédito

)())(')(()(' tdZdttqattdq σλθλ +−=

así cómo la correlación

dttdZtdW ρ=)()(

llegamos a que el precio del bono con riesgo sería ahora

)(')()(),(),( tqBc eATtPTtP λττ −= (5.7)


224

donde


tT −=τ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= − ττ ae

aB 11)(

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2


Ba

dsBsAT

t

2σ y a : parámetros correspondiente a la calibración de la tasa de incumplimiento reducida.

)()()()()(~ τσσρθθ Bsstt ⋅⋅⋅+=

[ ]ττ aea

B −−= 11)(

σ y a : parámetros correspondiente a la calibración del tipo instantáneo.

Al igual que ya hemos hecho en el caso del tipo continuo a corto definimos

∫+

=1

1 )('t

tt dttqq λλ

cómo el spread por riesgo de crédito vigente para el intervalo [ ]1, +tt .

Aquí el valor de la reducción sobre la tasa de default queda determinado cómo sigue

( )[ ]δ

δλ−

−−=+

1exp

)1,(1tt qE

ttc

( )[ ] ( )δδλ −⋅++=− 1)1,(exp 1 ttcqE tt

con lo cual tenemos


225

( )( ) 1

11)1,(logt

ttcqλ

δδ ⋅−⋅++−=

De esta forma el valor de q será menor cuanto mayor sea la tasa de recuperación. Si

0=δ el valor de q será 1.

En adelante, tomaremos el valor conjunto de tq 1λ , cómo un spread por riesgo de

crédito, que determina el diferencial de tipos de bonos con riesgo respecto a los de bonos sin

riesgo.

Usando el spread por riesgo de crédito, tq 1λ , evitamos añadir una rama adicional que

recoja la posibilidad de quiebra en el árbol trinomial. La medida que realmente

implementaremos en nuestro modelo será la correspondiente a la expresión (5.6), con tq 1λ .


La implementación será diferente según exista correlación o no entre el tipo a corto,

tR , y el spread por riesgo de crédito, tq 1λ .

Si suponemos independencia entre tq 1λ y el tipo tR podemos generar árbol trinomial

correspondiente a tq 1λ , de forma independiente. Simplemente hemos de llevar a cabo los dos

pasos expuestos para el tipo a corto suponiendo:

ttttt dWdtqadq σλθλ +−= )( 11

El árbol trinomial con reversión a 0 de tS no plantea ninguna diferencia respecto al

correspondiente al tipo a corto.

En cuanto al paso 2 simplemente nos hemos de basar en el diferencial de precios de

manera que

[ ] ),0()exp( 1 nnqE t φλ =⋅− ,


226

Para determinar las cantidades iΩ , nos apoyaremos igualmente en los precios Arrow

– Debreu. En este caso los seudo - precios de Arrow – Debreu se determinan exactamente

igual, pero sustituyendo el tipo a corto por tq 1λ .

El proceso sería como antes el que sigue:

• Inicializamos el algoritmo con 0,0Q = 1. Puesto que para i = 0, j toma el valor 0

únicamente, resulta que )1,0(log01

0 φλ −==Ω q

• El siguiente paso consiste en calcular los seudo - precios 1,1Q , 0,1Q y 1,1 −Q . De su

definición, se deriva:

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−⋅−⋅=

−⋅⋅=

−⋅⋅=

− 01

30,01,1

01

20,00,1

01

10,01,1

exp)1(

exp)0(

exp)1(

λ

λ

λ

qpQQ

qpQQ

qpQQ

• Una vez se tiene un conjunto completo de seudo - precios jiQ , en un determinado

paso de tiempo, i, ya podemos proceder al cálculo de la cantidad iΩ .

Aplicando Bayes determinamos:

( ) ( ) ( ))(expexp)(exp)2,0( 111,110,1111,1 SQQSQ ∆−Ω−+Ω−+∆+Ω−= −φ

Por lo que se obtiene la expresión

( ) ( ))2,0(logexplog1

11,11 φ−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆−⋅=Ω ∑

−=ll SlQ

Quedaría perfectamente identificado el proceso como sigue


227

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−⋅−⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

∆−⋅=Ω

−−

−=

∑

∑

)exp()',1(

)1,0(

explog

',11

'',1,

1

1,

lill

lili

lili

i

qlipQQ

i

SlQ

λ

φ

Lo anterior sería suficiente de no existir correlación entre el tipo tR y tq 1λ . Si

suponemos que existe una correlación de ρ entre ambos, hemos de generar

conjuntamente el árbol ( tR , tq 1λ ).

El proceso siguiendo a Schönbucher (1999) sería en este caso en primer lugar

construir un árbol trinomial para el tipo jiR , , donde

ttttt dWdtRadR '')''( σθ +−=

A continuación se determinan las probabilidades conjuntas de transición ( )liji qR ,1

, , λ .

Para ello introduciremos el factor ε, de la siguiente manera si 0<ρ

tq 1λ


Subida ελ −⋅ Rpp 33 ελ 432 −⋅ Rpp ελ 531 +⋅ Rpp

tR mantenim. ελ 423 −⋅ Rpp ελ 822 +⋅ Rpp ελ 421 −⋅ Rpp

bajada ελ 513 +⋅ Rpp ελ 412 −⋅ Rpp ελ −⋅ Rpp 11

Cuadro 5.1.: Probabilidades conjuntas de transición para rho<0

Mientras que si 0>ρ


228

tq 1λ


Subida ελ 533 +⋅ Rpp ελ 432 −⋅ Rpp ελ −⋅ Rpp 31

tR mantenim. ελ 423 −⋅ Rpp ελ 822 +⋅ Rpp ελ 421 −⋅ Rpp

bajada ελ −⋅ Rpp 13 ελ 412 −⋅ Rpp ελ 5511 +⋅ Rpp

Cuadro 5.2: Probabilidades conjuntas de transición para rho>0

Siendo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

>

=

0361

0361

ρρ

ρρ

ε

No obstante la implementación conjunta sólo puede llevarse a cabo cuando el valor de

ε no es demasiado elevada, ya que de no ser así daría lugar a probabilidades de

transición negativas.

Tenemos de esta manera una configuración tridimensional para cada nodo:

lixq ,1

+λ

),( 1λqR

jiR ,

Figura 5.1. Transición del tipo libre de riesgo y spread por riesgo de crédito a partir de un nodocentral


229

• El proceso expuesto respecto al paso 2 para i ≥ 1 sería sustituido por

( )[ ] ),0()(exp 1 nPnqRE cnn =⋅+− λ

De esta forma se tendría en cuenta los tipos tR en los precios Arrow – Debreu, como

sigue. Como antes 0,0Q = 1 y

)1(log01

0 φλ −==Ω q

A continuación

( )∑∀

−−− +−⋅⋅−=','

',11

',1',',1,,, )(exp)',',1(lj

lijiljiljlji qRQljipQ λ

Y de esta forma

( )∑ ∆+Ω+−⋅=+lj

iijiljic SlRQiP

,,,, (exp)1,0(

Así ya tenemos el algoritmo recursivo perseguido:

( )

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+−⋅⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

∆+−⋅=Ω

∑

∑

∀

−−−lj

lijiljiljlji

clj

ijilji

i

qRQljpQ

iP

SlRQ

,',1

1',1',',1,,,

,,,,

)(exp)','(

)1,0(

explog

λ

Para ilustrar lo anterior incluiremos un ejemplo que parte de los siguientes precios de

bonos cupón cero sin riesgo y arriesgados:


230

0,000,000,000,010,010,010,010,010,020,020,02

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

t P(0, t) Pc(0, t)

1 0,977469 0,967345

2 0,947188 0,927384

3 0,912773 0,884212

4 0,875619 0,839357

5 0,837634 0,794676Cuadro 5.3.: Curva cupón cero con y sinriesgo.

Si partimos de unos parámetros de Vasicek para tq 1λ , de a = 0,4 y σ =0,49452%, y

suponemos que no existe correlación, los valores de liq ,1λ son

J 0 1 2 3 4

1 0,017833 0,017790 0,017649 0,017508

0 0,010412 0,010727 0,010684 0,010543 0,010402

-1 0,003620 0,003577 0,003436 0,003295Cuadro 5.4.: Valores temporales en el árbol del spread por riesgo de crédito a corto.

Gráficamente:

liq ,1λ

Gráfico 5.1.: Árbol de spread de riesgo de crédito a corto.


231

En cuanto a la valoración del bono con riesgo, se llevaría a cabo en nuestro caso con el

siguiente árbol conjunto:

jiR ,

liq ,1λ

Gráfico 5.2.: Árbol conjunto del tipo libre de riesgo y el spread por riesgo de crédito a corto.

5.4.3. Calibración.

Para poder calibrar el modelo necesitamos un derivado sobre el spread por riesgo de

crédito, y una cotización de la correlación entre este spread y el tipo libre de riesgo.

En primer lugar introduciremos el concepto de derivados de crédito.

Los derivados de crédito son instrumentos financieros over the counter (OTC), cuyo

flujo de caja se halla vinculado al cambio en la calidad crediticia del subyacente. Desde su

introducción, los mercados han crecido enormemente, pasando a ser un importante vehículo

para que las instituciones financieras puedan protegerse o asumir riesgo crediticio.

Cabe destacar la figura del credit default swap (CDS). Un CDS consiste en un contrato

entre dos partes, comprador y vendedor de protección, sobre el posible default también

denominado evento de crédito, por parte del emisor de un título de referencia, conocido cómo

nombre de referencia. Así el comprador de protección paga una prima periódica y constante

hasta el vencimiento del contrato, también denominada spread del CDS, a cambio de una

eventual contraprestación del vendedor de protección, en caso de que se produzca un default


232

por parte del emisor del título de referencia. El CDS vence cuando se produzca el default o al

término del plazo establecido en el contrato si éste ocurre con anterioridad.

La contraprestación en caso de que se produzca el evento de crédito, consiste en la

diferencia entre el nominal del título y su valor de mercado a la fecha del evento de crédito. La

liquidación puede ser por diferencia entre los dos importes o por entrega física por parte del

comprador de protección, del título a cambio de su valor nominal.

Para su valoración introducimos el ya expuesto proceso de la cuenta bancaria, en

tiempo continuo esta vez:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

t

dttrt0

)(exp)(β

y suponemos cómo antes τ , el tiempo hasta el default.

Cómo ya se ha explicado el compromiso del comprador de protección supone el pago

de una prima periódica postpagable. Los tiempos it , ni ≤≤1 en que se devenga la prima

)( 0ts del CDS serán equidistantes, ttt ii ∆+= , salvo si ocurre el default, en cuyo caso y para

el período que media desde aquel en que se pagó la última prima, *it , y la fecha del default,

*it−=∆ ττ ,

el comprador de protección habrá de pagar la prima proporcional. De este modo la valoración

del compromiso del comprador de protección será:

)()()( 000 tCDStstC c⋅=

donde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∆⋅+⋅∆⋅= ≤≤

=∑ 0

10 1

)(11

)(1)( ttt

n

i i

c Ftt

EptCDSni ττ τ

τββ

En cuanto al compromiso del vendedor de protección, si suponemos que la tasa de

recuperación, viene determinada exogenamente y es independiente del tiempo de default, su

valor vendría dado por:


233

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≤≤⋅−= 000 1)1(

)(1)( tn FttEptV τδτβ

Dado que en 0t , ambos compromisos han de ser equivalentes,

)()( 00 tCtV = ,

el valor de la prima se determina inmediatamente

)()(

)(0

00 tCDS

tVts c=

Existen ya cotizaciones de derivados sobre los CDS, y podemos encontrar una

descripción en Patel (2003), donde también se incluyen aplicaciones prácticas. En Hull y White

(2002) y Schönbucher (2003) se adapta el modelo de Black para aplicarlo a opciones sobre

CDS.

Supondremos ahora que valoramos en 1tt < , es decir, antes del primer pago de prima

del CDS, de la siguiente forma:

)()()( tCDStstC c⋅=

donde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∆⋅+⋅∆⋅= ≤≤

=∑ ttt

n

i i

c Ftt

EptCDSni ττ τ

τββ1

)(11

)(1)(

1

y

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≤≤⋅−= tn FttEptV τδ

τβ 01)1()(

1)(

siendo ahora

)()()(

tCDStVts c=


234

la prima del CDS que correspondería según la filtración hasta t , tF , respecto al tiempo hasta

el default.

Consideremos también un derivado sobre el CDS, cuyo flujo de caja será

( ) )()( * tCDSsts c+− ,

es decir, otorga el derecho pero no la obligación de comprar protección por la prima *s en

tiempo t .

El valor de este derivado es

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−= >

+

> ttc

t FtCDSststtEptCDSO 00

*0

0

1)()()()(1)( ττ β

β

Mediante el cambio a la medida de probabilidad Q expuesto por Schönbucher (2003)

llegamos a

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

+

> tQc

t FstsEtCDStCDSO *0 )()(1)( τ

de manera que las primas )(ts , son martingalas. Suponiendo que la difusión es lognormal, es

decir,

)()()( tdWtstds σ=

podríamos obtener explícitamente el valor de la opción anterior, a partir de la fórmula de Black:

[ ])()()()(1)( 2*

1 dNsdNtstCDStCDSO ct −= >τ

donde

TTstsd

⋅⋅±

=σ

σ 2*

2,1)/)(ln(


235

En cuanto a la volatilidad σ de los spread )(ts , se determinada históricamente. Se

seguiría un proceso similar al descrito en la calibración del tipo de interés. Puede verse un

ejemplo en Hull y White (2002). Para ello y considerando:

)ln()ln( 1−−= iii ssϕ

obtenemos un estimador insesgado de la volatilidad de is , i2σ , utilizando las m observaciones

más recientes:

∑=

− −−

=m

jjii

m 1

22 )(1

1 ϕϕσ

siendo

∑=

−=m

jjim 1

1 ϕϕ

No obstante, si encontramos cotización de la correlación entre el tipo libre de riesgo y la

probabilidad de default del nombre de referencia, se tendría en cuenta a efectos de la evolución

futura de )(ts .

Finalmente en cuanto a la calibración, hemos de de escoger una medida de bondad del

ajuste. Si disponemos de n instrumentos podríamos escoger

∑=

−n

j j

jj

CDSO

MCDSO

1

siendo

CDSOj el precio de mercado del j-ésimo instrumento y

Mj es el precio proporcionado por el modelo. El flujo de caja que tomaría sería

( )+−= *,

1),( sqliF liλ

El modelo quedaría calibrado para los parámetros que minimizaran esta distancia


236

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −∑=

n

j j

jj

CDSO

aMCDSOmin

1

),(arg

σ(5.8)

5.5. DIFUSIÓN DEL TIPO DE INTERÉS, SPREAD POR RIESGO DE CRÉDITO Y TANTO DEMORTALIDAD.


Si introducimos este spread por riesgo de crédito, tq 1λ , el valor actual actuarial de un

euro prometido en caso de supervivencia del asegurado, será ahora

( )[ ])(exp 111 ttxttx

c qREE λµ ++−= ++ (5.6)

correspondiente a la suma de los importes que recibiría el Tomador en caso de solvencia de la

aseguradora:

( )[ ])(exp' 111 tttxtx REE λµ ++−= ++

y en caso de quiebra de la aseguradora:

( ) ( )( )[ ]δλµ ⋅−−⋅+−= ++11

1 exp1)(exp" tttxtx REE

Cómo ya se ha expuesto consideraremos el spread por riesgo de crédito para

simplificar.

Suponiendo difusión en todos los términos del tanto de capitalización actuarial, e

independencia entre el tanto de mortalidad y el resto de subyacentes considerados, el proceso

para el valor actual actuarial en tiempo continuo sería:

txtTc

txtT pTtPE +−+− = ),(

donde

),( TtPc : el valor del bono con riesgo, según la dinámica de la expresión 5.7.


237

txtT p +− : probabilidad de supervivencia en T , para un Asegurado de edad t , según la

expresión 4.1.


En cuanto a su implementación mediante árboles trinomiales, podemos partir del árbol

conjunto ( tq 1λ / tR ), y combinarlo con el correspondiente a t1µ . Para ello obtenemos las

probabilidades de transición conjuntas, suponiendo independencia entre t1µ y el resto cómo:

t1µ subida tq 1λ


Subida µλ3

,3,3 pp Rq ⋅ µλ

3,

3,2 pp Rq ⋅ µλ3

,3,1 pp Rq ⋅

tR mantenim. µλ3

,2,3 pp Rq ⋅ µλ

3,

2,2 pp Rq ⋅ µλ3

,2,1 pp Rq ⋅

bajada µλ3

,1,3 pp Rq ⋅ µλ

3,

1,2 pp Rq ⋅ µλ3

,1,1 pp Rq ⋅

t1µ mantenimiento tq 1λ


Subida µλ2

,3,3 pp Rq ⋅ µλ

2,

3,2 pp Rq ⋅ µλ2

,3,1 pp Rq ⋅

tR mantenim. µλ2

,2,3 pp Rq ⋅ µλ

2,

2,2 pp Rq ⋅ µλ2

,2,1 pp Rq ⋅

bajada µλ2

,1,3 pp Rq ⋅ µλ

2,

1,2 pp Rq ⋅ µλ2

,1,1 pp Rq ⋅

t1µ bajada tq 1λ


Subida µλ1

,3,3 pp Rq ⋅ µλ

1,

3,2 pp Rq ⋅ µλ1

,3,1 pp Rq ⋅

tR mantenim. µλ1

,2,3 pp Rq ⋅ µλ

1,

2,2 pp Rq ⋅ µλ1

,2,1 pp Rq ⋅

bajada µλ1

,1,3 pp Rq ⋅ µλ

1,

1,2 pp Rq ⋅ µλ1

,1,1 pp Rq ⋅

Cuadro 5.5.: Probabilidades conjuntas

Siendo Rqkjp ,

,λ las probabilidades de transición conjuntas ( tq 1λ / tR ), cómo se ha visto

en los cuadros 5.1. y 5.2. según la correlación existente entre ambos subyacentes.


238

A partir de ahora y para identificar la transición a la que se halla referida la probabilidad,

emplearemos tres subíndices: el primero corresponderá al tipo jiR , , el segundo a la medida

ki ,1µ y el último para liq ,

1λ , de manera que

µλk

qRljlkj ppp ⋅= ,

,,,

Dado que en este caso estamos tratando con cuatro dimensiones (tiempo, nivel de

tipos a corto, nivel de tanto de mortalidad y nivel de spread de crédito), cada nodo se

especificará (i, j, k, l):

• siendo el primer índice el nivel temporal,

• el segundo corresponde al nivel del tipo a corto,

• el tercero al nivel desde el punto de vista de la mortalidad,

• y el último el nivel del spread por riesgo de crédito..

El tipo a plazo en el nodo (i, j, k, l) se denotará por jiR , , la medida de mortalidad se

denotará por ki,1µ y el spread por riesgo de crédito por liq ,

1λ . De este modo el tanto de

capitalización actuarial sería en el nodo (i, j, k, l):

likixjilkji qR ,1

,1

,,,,1 λµγ ++= +

De este modo un nodo normal tendría una configuración de transición

cuatridimensional con 27 ramas, siendo para el nodo (0, 0) de nuestro ejemplo:


239

jiR ,

ki,1µ

liq ,1λ

Figura 5.2. Transición de los tres subyacentes considerados a partir del nodo origen

241

TERCERA PARTE: ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE.

243

CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE. 245


6.2. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS. 246

6.3. OPCIÓN DE RESCATE. 250

6.4. OPCIÓN DE PARTICIPACIÓN EN BENEFICIOS. 253

6.5. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN LA MEDIDA DE

MORTALIDAD. 258

6.6. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS

Y MEDIDA DE MORTALIDAD. 260

6.6.1. Valoración sin opciones. 260



6.7. VALORACIÓN CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS,

MEDIDA DE MORTALIDAD Y SPREAD POR RIESGO DE

CRÉDITO. 263

6.7.1. Valoración incluyendo spread de crédito. 263

6.7.2. Valoración con difusión en los tipos de interés,

spread de crédito y tanto de mortalidad. 265



6.8. RESUMEN DE VALORACIONES PROPUESTAS. 278

CAPÍTULO 6. Estimación del Valor Razonable.

245

CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DEL VALOR

RAZONABLE.


Este capítulo expone la metodología para el cálculo de las PTSV con difusión en los

tipos de interés, el spread por riesgo de crédito y el tanto de mortalidad. Asimismo presenta un

método simplificado de estimación del valor razonable correspondiente a las opciones de

rescate y de participación en beneficios implícitas en gran parte de Pólizas de Seguros de Vida.

El apartado 6.2. sin considerar riesgo de crédito, explica cómo se valoran las PTSV a

través del árbol trinomial, cuyas dimensiones serán el tiempo y el nivel de tipos de interés. De

esta manera el tanto de capitalización actuarial tendría difusión únicamente en el tipo de interés

y no consideraría spread por riesgo de crédito:

ijiji R 1,,

1 µγ +=

En los apartados 6.3. y 6.4 se propone una metodología para estimar el valor razonable

correspondiente a una póliza de seguro que incluye una opción de rescate y participación en

beneficios.

El apartado 6.5. expone la valoración a través del árbol trinomial, cuyas dimensiones

serán el tiempo y el nivel del tanto de mortalidad. En este caso el tanto de capitalización

actuarial consideraría difusión en el tanto de mortalidad:

kiiki R ,1

,1 µγ +=

El siguiente apartado se refiere a la forma de valorar a través del árbol trinomial

tridimensional, cuyas dimensiones serán el tiempo, el nivel de tipos de interés y el nivel del

tanto de mortalidad. Es decir, con difusión en el nivel de tipos de interés y del tanto de

mortalidad:

kijikji R ,1

,,,1 µγ +=

En dos subapartados se detiene en la opción de rescate y de participación en

beneficios.


246

El apartado 6.7. incorpora en la valoración el spread por riesgo de crédito. En un

principio se toma este spread sin difusión, para dar cuenta del efecto que tiene incorporarlo en

la valoración:

ikijikjic qR 1

,1

,,,1

λµγ ++=

Por último consideramos difusión también en este spread de crédito, de forma que la

valoración incluya difusión en todos los subyacentes.

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++=

6.2. VALORACIÓN DE LAS PTSV CON DIFUSIÓN DEL TIPO DE INTERÉS.

La valoración de las PTSV bajo la probabilidad Q , riesgo – neutro si mantenemos la

notación que usamos en el capítulo 2 sería

[ ] [ ]tQtQ FTtTtKEFTtVE ),(),(),( Π−=

donde

),( TtK : es el proceso de las prestaciones y gastos, y

),( TtΠ : es el proceso de las primas.

Nuestra propuesta es valorar las PTSV en tiempo discreto a través del árbol trinomial

para la difusión de los subyacentes considerados.

Valorar con el árbol trinomial para la difusión de los tipos de interés, consiste

básicamente en descontar desde el corte temporal en que tiene lugar el vencimiento de la

Póliza hasta el de la fecha de valoración, el flujo de caja proporcionado por la Póliza de Seguro

de Vida.

Para este descuento se tendrá en cuenta el tipo jiR , y el tanto de mortalidad, i1µ ,

correspondiente a cada nodo. El transcurso desde un determinado nodo a otro se realizará,

según las probabilidades de transición entre nodos.


247

Recordemos que los nodos en el árbol se especifican (i, j), siendo el primer índice el

nivel temporal y el segundo el nivel del nodo, donde j = 0 es el nivel central.

Para los primeros i´s el índice j vá desde j = - i hasta j = i; pero más adelante para i´s

posteriores el índice j vá desde j = - L hasta j = L, para garantizar la estabilidad del árbol

trinomial y por tanto que todas las probabilidades de transición son positivas (incluida p2).

El tipo a plazo en el nodo (i, j) se denotará por jiR , , y el tanto de mortalidad para el

período i por i1µ (no estamos suponiendo aún difusión en este término), de manera que el

valor de las PTSV en el nodo (i, j) de V(i, j), será:

( )( ))exp(1

),1(exp),(

1

3

11,

1

tF

jiVpStjiV

ii

kkkiji

∆⋅−−⋅+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅∆⋅−= ∑

=+

µ

γ (6.1.)

siendo

Si+1 : flujos de caja por garantías, gastos o primas pagaderos a la supervivencia del asegurado

en i+1. Las primas a cobrar se considerarán con signo menos.

Fi : flujos de caja por garantías o gastos pagaderos al fallecimiento del asegurado entre i e i+1.

En este caso hemos establecido la hipótesis de fallecimiento al inicio del periodo considerado.

ijiji R 1,,

1 µγ += : tanto de capitalización actuarial con difusión en los tipos de interés.

Si suponemos el fallecimiento al final del período considerado:

( )( ) ( ))exp(1exp

),1(exp),(

1,

3

11,

1

ttRF

jiVpStjiV

ijii

kkkiji

∆⋅−−⋅∆⋅−⋅+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅∆⋅−= ∑

=+

µ

γ

Y por último si tiene lugar a mitad del período:

( )

( ))exp(121exp

),1(exp),(

1,

3

11,

1

ttRF

jiVpStjiV

ijii

kkkiji

∆⋅−−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆⋅−⋅+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅∆⋅−= ∑

=+

µ

γ

En adelante y para simplificar consideraremos el fallecimiento a comienzos del período.


248

Este proceso se repite hasta obtener el valor V(0, 0), que sería el valor actual en el

árbol trinomial.

Los flujos de caja serán positivos si son de pago y negativos si son de cobro (primas

pendientes de cobro). Esto es así debido a que las PTSV son una obligación para la compañía

aseguradora, y como tal queda minorada por los flujos de cobro a los que tiene derecho.

Para ilustrar la valoración en el árbol en un contexto de Pólizas de Seguros, nos

centraremos en la más simple PTSV, como es una Póliza de Seguro pura de Ahorro, lo que

denominamos Capital Diferido. En su forma más sencilla, el Capital Diferido es un poco más

que un bono cupón cero.

Como hipótesis técnicas, consideramos un interés técnico garantizado del 3%, los

gastos de gestión son del 1% para adquisición (gadq) sobre la prima de tarifa, para

administración (gadm) del 0,08% sobre el capital garantizado y del 0,02% para gastos de

gestión de siniestros (ggs), también sobre el capital garantizado.

La medida de mortalidad que consideraremos será la resultante de nuestro ajuste del

modelo de Lee – Carter a la población andaluza.

El asegurado será una mujer de 70 años (x = 70) en el año 2005, siendo este último a

su vez el año de efecto. De esta manera nos centraremos en la tabla de mortalidad

generacional resultante de nuestro ajuste, para una mujer nacida en el año 1935.

Dado que el seguro dura 5 años (n = 5), hemos de recurrir a los resultados de la

medida de mortalidad para una edad a partir de 70 años

El valor de la prima de tarifa (todos los valores son tanto por uno del capital

garantizado) será

gadqggsgadmE yxnnx −

++⋅¬=Π

11" ,:

=−+

⋅¬=Π%11%11" 2005,7055:70 E 0,812797


249

La PTSV a determinar según el ROSSP será a prima de inventario y al tipo de interés

utilizado en la tarifa, siempre y cuando cumpla los requisitos establecidos en el artículo 33. Su

expresión es la siguiente:

( )ggsgadmEV tytxtnxt ++⋅= ++− 1' ,

Si determinamos el valor de la PTSV a la fecha de efecto obtenemos:

( ) ( ) =+⋅⋅=++⋅= %111' 5

2005,70

2010,752005,705700 v

ll

ggsgadmEV 0,804669

En cambio, la valoración de la PTSV en el árbol trinomial partiría del flujo de caja

nominal, que sería:

)1( ggsgadmSn ++=

5S = %)11( +

Lo que daría lugar a la siguiente valoración en el árbol:

J 0 1 2 3 4

2 0,766351 0,832314 0,912894

1 0,759437 0,805345 0,861695 0,929661

0 0,781374 0,808963 0,846328 0,892115 0,946737

-1 0,861716 0,889394 0,923606 0,964125

-2 0,934649 0,956209 0,981834Cuadro 6.1. Precios en el árbol trinomial con difusión en el tipo de interés libre de riesgo.

No hemos incluido el valor en el período igual a 5 debido a que será igual en todo caso

a S5.

En este caso la valoración en el árbol de la PTSV es menor que valorada según el

ROSSP debido a que la ETTI libre de riesgo que hemos considerado de mercado, proporciona

una tasa de descuento a 5 años mayor que el 3% de tipo de interés técnico garantizado.

Hasta aquí se ha expuesto la forma de valoración más sencilla, que es cuando el flujo

de caja coincide con los cortes temporales ∆t. Esto no siempre es así, ya que es muy posible

que la fecha de efecto de la Póliza, no coincida con la fecha del cálculo; o bien, que el seguro


250

considere unos cortes temporales ∆t, diferentes a los que hemos supuesto para implementar el

árbol.

Cuando la póliza que valoramos proporciona flujos que no coinciden con los cortes

temporales ∆t, hemos de generar un árbol trinomial para un intervalo de tiempo que recoja los

cortes temporales en los cuales caen los flujos57.

De ser variables las distancias entre los cortes temporales, es decir, con ∆tidependientes del corte temporal ti, tendríamos una distancia vertical entre nodos adyacentes y

una esperanza condicionada también variables, ya que

( )

( )⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=

−=

∆−

∆−

ae

V

eM

i

i

ta

i

tai

21

1

22σ(6.2)

Las probabilidades de transición entre nodos no sufrirían ninguna modificación.

6.3. OPCIÓN DE RESCATE.

En cuanto a opcionalidades implícitas en pólizas de seguros, podemos encontrar

multitud de ellas, por la posibilidad de rescate anticipado de la Póliza, liberación del pago de

primas en el caso de pago periódico, participación en beneficios, …

Si nos centramos en una de las más importantes, como es la opción de rescate, existen

dos tendencias en cuanto a su consideración en el ámbito del valor razonable.

Una de ellas considera la opción de rescate como un flujo probable de pago más,

determinado según su probabilidad de ocurrencia, de modo que el resto de flujos de caja

probables queda minorado. A partir de aquí, el valor razonable se determinaría con esta nueva

corriente de flujos de caja probables.

La otra tendencia considera la opción de rescate como una cierta asimetría en la

valoración que puede tomar el valor razonable, en la medida en que si bien este valor no se

halla acotado en cuanto a sus valores máximos, si lo está en sus mínimos que no pueden ser

inferiores al valor de rescate.

57 Ver Hull y White (1996)


251

Este enfoque es similar al que aborda la IAS 39 al establecer el “deposit floor” ó mínimo

en la posible valoración del pasivo en la medida en que pueda ser cancelado anticipadamente

por el poseedor del titulo a un precio determinado previamente.

También cabría considerar el enfoque aportado por esta segunda tendencia, si

tenemos en cuenta que la compañía aseguradora ha de mantener en su balance como PTSV

una cantidad, que no puede ser inferior a la cuantía comprometida en concepto de rescate con

el Tomador del seguro, con independencia de los tipos del mercado.

Son muchas y muy variadas las ventajas e inconvenientes de tomar una u otra

hipótesis, siendo asimismo los resultados muy diferentes en uno y otro caso. Si tenemos en

cuenta que generalmente el valor de rescate se determina cómo un porcentaje de las PTSV,

estimadas según la base técnica de la Póliza, al aplicar el primer método, obtendríamos un

resultado mucho menor que el obtenido de aplicar el segundo método.

Cabe incluso la posibilidad de que al valorar la opción de rescate cómo una cadena de

flujos que matizan el resto, la cuantificación resulte menor que la obtenida sin considerar dicha

opción. Si tenemos en cuenta que el rescate es un derecho, y cómo tal su valor mínimo es

nulo, lo anterior sería una incongruencia.

Independientemente de todo lo anterior, aquí no pretendemos defender uno u otro

método, simplemente prentendemos la exposición de la metodología a aplicar en cualquier

caso. Dado que el primer enfoque únicamente supone considerar unos flujos probables en

lugar de otros, nos extenderemos más en el segundo.

Así si lo que estamos valorando es una Póliza de Seguro con opción de rescate a un

tipo de interés garantizado, siendo el valor de rescate en tiempo ti∆ de xi R ; el valor de la

Póliza V(i, j) será como mínimo de xi R :

[ ]

( )( ) ⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

∆⋅−−⋅+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅∆⋅−=

=

∑=

+

)exp(1

),1(exp),(

);,(max),(

1

3

11,

1

tF

jiVpStjiV

RjiVjiV

ii

kk

Rkiji

xiR

µ

γ

(6.3)


252

Las implicaciones que tiene tomar este enfoque en cuanto a la opción de rescate en el

cálculo, son de una doble vertiente:

1. Límite al valor de las PTSV en el nodo (i, j).

2. Dado que en el valor de las PTSV en el nodo (i, j) influye el valor en los nodos (i+1, j1),

(i+1, j2) y (i+1, j3), al hallarse estos condicionados por el límite que establece el valor

xi R1+ , indirectamente también se halla afectado el valor en el nodo (i, j). Esto sucede

como paso previo a la comparación con el mínimo que representa xi R .

Si volvemos al ejemplo anterior, y consideramos que el Tomador del Seguro tiene la

opción de rescate al 98% del valor de la PTSV valorada al interés técnico, tendríamos los

siguientes valores de reserva y rescate:

Final del año tV’x xi R

1 0,839109 0,822327

2 0,876555 0,859024

3 0,917079 0,898737

4 0,961561 0,942330Cuadro 6.2. Valores de reserva y rescate.

Tomando estos valores de rescate, obtenemos la siguiente valoración en el árbol

trinomial condicionado:

J 0 1 2 3 4

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

0 0,803044 0,825940 0,859167 0,898925 0,946736

-1 0,865431 0,890828 0,923605 0,964125

-2 0,935255 0,956209 0,981833Cuadro 6.3. Precios en el árbol incluyendo opción de rescate.

No sería necesario valorar de esta manera, si la póliza contiene lo que se denomina

“cláusula antiarbitraje”, consistente en determinar el valor de rescate como el menor entre la

PTSV y el valor de realización de los activos afectos a estas PTSV.

Por otra parte cabe la posibilidad de que los flujos probables que proporciona la póliza,

como se ha comentado antes, no tengan un devengo en los cortes anuales. Asimismo es


253

posible que el rescate se pueda producir todos los meses y no exclusivamente en cada

anualidad completa. En este caso habría que considerar una distancia temporal, ∆t, tan

pequeña cómo séa necesaria para que la valoración evalúe bien la opción de rescate, aunque

con ello el árbol trinomial recombinante será mucho más abierto.

6.4. OPCIÓN DE PARTICIPACIÓN EN BENEFICIOS.

En multitud de ocasiones se incluye en la póliza de seguro la cláusula de participación

en beneficios (PB). La aseguradora ofrece al tomador un porcentaje de la rentabilidad obtenida

de la inversión de las PTSV en la medida en que supera el interés técnico garantizado en

Póliza.

La materialización de esta PB puede ser un extorno de prima, una reducción en el

compromiso pendiente por parte del Tomador, o bien un incremento en las prestaciones

garantizadas.

Si bien en Pólizas de exteriorización de compromisos por pensiones, es corriente

cualquiera de las dos primeras opciones, en caso de Pólizas de Seguro individuales, es muy

habitual el tercero de los casos, es decir, incrementar las prestaciones garantizadas.

En este último caso desde nuestro punto de vista, se verían incrementados los flujos

probables de pagos correspondientes a la Póliza.

El incremento que se produce en los flujos probables de pagos de la Póliza por PB,

tendría que incrementar consecuentemente el valor razonable de la PTSV, ya que hemos de

considerar la totalidad de los flujos que proporciona el instrumento financiero.

También incrementaría el valor razonable cualquiera de las otras dos posibilidades de

materialización de la PB, ya que si se materializa en un extorno de prima se puede considerar

como en un flujo probable de pago por la cuantía del extorno; y si se materializa en una

reducción del compromiso pendiente para el Tomador, podría considerarse como un flujo

probable de cobro menor por dicho concepto; de ambas posibilidades deviene un incremento

en el valor razonable.

Cualquiera de las modalidades de PB provoca una asimetría en el resultado de la

operación de seguro para la compañía aseguradora, ya que cuando la rentabilidad de las

inversiones en que se halla materializada la PTSV supera el interés técnico, corresponde a la

aseguradora el beneficio que proporciona únicamente el resultado después de imputar la PB.


254

Mientras que si no consigue una rentabilidad igual o mayor al interés técnico, la pérdida

resultante es asumida íntegramente por la aseguradora.

Aquí nos centraremos en la PB que se materializa en un incremento en las

prestaciones garantizadas por la Póliza.

Para determinar el incremento que proporciona la PB en el valor razonable de la PTSV,

hemos de tener en consideración la rentabilidad de las inversiones afectas.

Un problema surge en la determinación de la rentabilidad futura de las inversiones en

que se materializa la PTSV. Además es posible que esas inversiones puedan ser sustituidas

por otras si la aseguradora lo estima conveniente y así se halla establecido en los

condicionados de la Póliza.

Para obviar toda esta problemática, consideraremos a los fines de determinar esta

rentabilidad, las plusvalías que puedan existir actualmente en el valor razonable de las

inversiones afectas, y considerar a continuación una hipótesis diferente según la consideración

o nó en el valor razonable de las PTSV el spread por riesgo de crédito de la aseguradora. Si la

determinación del valor razonable de las PTSV no considera el spread por riesgo de crédito,

únicamente se tendría en cuenta la rentabilidad del activo libre de riesgo, mientras que si el

valor razonable de las PTSV incluye el spread por riesgo de crédito de la aseguradora,

consideraremos para estimar la PB futura, la rentabilidad del activo libre de riesgo más este

spread por riesgo de crédito.

El principal motivo por el que este método no carece totalmente de rigor técnico,

cuando la aseguradora cuenta con la posibilidad de elección discrecional del activo afecto, es

que la aseguradora podría realizar las actuales inversiones con la consecuente plusvalía y

sustituirlas por un activo libre de riesgo de similar flujo de caja.

Lo anterior siempre y cuando la rentabilidad del activo libre de riesgo séa como mínimo

igual al tipo de interés técnico garantizado, de acuerdo con el artículo 33 del ROSSP. De otro

modo habría que modificar el tipo de interés técnico, determinándose las PTSV a contabilizar

según el nuevo tipo de interés técnico.

Por todo lo anterior proponemos la siguiente metodología para la determinación del

valor razonable correspondiente a la opción de PB, cuando esta supone un incremento en las

prestaciones garantizadas:


255

• En primer lugar se determina para cada nodo del árbol trinomial, las consecuencias en

términos de incremento de las prestaciones garantizadas según los condicionados y las

hipótesis técnicas de la Póliza.

• A continuación se determina la cuantía de los flujos de caja en que se traduce la PB,

incluyendo los que devienen por supervivencia y fallecimiento.

• Posteriormente descontamos a través del árbol trinomial y hasta el nodo origen de la

PB, la totalidad de los flujos de caja proporcionados por dicha PB según el algoritmo

( ))exp(1),1(

)exp(

13

11

,1

,

tFjiVpS

tPB

iiPB

ss

PBsi

PB

jiji

∆⋅−−⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

∑=

+ µ

γ

siendo

SPBi+1 : flujos de caja por garantías, gastos o primas pagaderos a la supervivencia del

asegurado en i+1 provenientes de la PB.

FPBi : flujos de caja por garantías o gastos pagaderos al fallecimiento del asegurado

entre i e i+1 provenientes de la PB.

),1( sPB jiV + : valoración en el nodo ),1( sji + del árbol trinomial, del flujo de caja

derivado de la PB generada en el nodo ),( ji .

jiPB , : descuento hasta el nodo origen, a través del árbol trinomial, del flujo de caja

derivado de la PB generada en el nodo ),( ji .

• Y por último, consideramos estos valores descontados para cada nodo, como un flujo

de caja con devengo en el nodo origen de la correspondiente PB, para descontar y

agregar desde el final del árbol hasta el nodo origen (0, 0) todo el flujo de caja:

( ) jik

kPB

kjixPB PBjiVpjiV ,

3

1, ),1(exp),( ++⋅⋅−= ∑

=+γ

La mejor manera de explicar la metodología expuesta es a través de un ejemplo

numérico.


256

Nos centraremos en el ejemplo anterior en el que supondremos que la participación en

beneficios se determina a partir del 90% de la rentabilidad de las inversiones afectas y que

supondremos equivalente a la del activo libre de riesgo.

Partiremos del árbol trinomial de tipos de interés que aparece en el cuadro 3.5.

Asimismo suponemos idénticas hipótesis técnicas, es decir, un interés técnico

garantizado del 3% (IT), los gastos de adquisición del 1% sobre la prima de tarifa, del 0,08% de

administración sobre el capital garantizado y del 0,02% de gastos de gestión de siniestros

también sobre el capital garantizado. La tabla de mortalidad será igualmente la resultante de

nuestro ajuste a la población andaluza.

En cuanto a la PB, consideraremos que proporciona una prima de inventario, es decir

sin considerar gastos de adquisición, que incrementa la garantia para supervivencia. Esta

prima se considera con efecto al comienzo de la anualidad en que se devenga. Supondremos

asimismo que esta PB no proporciona futura PB, siendo la base del cálculo la PTSV

determinada con el criterio fijado al respecto actualmente por el ROSSP. La prima de inventario

del bono por PB se determinará cómo sigue:

+−⋅⋅= )),(%90('),( ITjiRVjipb xi58

El capital del bono será:

¬Π=

−−++ 1:1'),(),(

inix

jipbjicb

dado que

xiixininix VggsgadmE ')1(' : =++⋅=¬Π +−−+

tenemos que

+−⋅= )),(%90(),( ITjiRjicb

La cuantía de los capitales por PB en nuestro caso serán:

58 En adelante el operador ()+, hará referencia al máximo entre 0 y el resultado de la expresión incluída entre

paréntesis.


257

J 0 1 2 3 4

2 0,036251 0,040531 0,043274

1 0,014752 0,019870 0,024151 0,026894

0 0,003490 0,007770 0,010513

-1

-2Cuadro 6.4.: Árbol de cuantías del capital del bono considerando el nodo origen de la PB.

Por otra parte el flujo de caja proporcionado por la PB es de la misma estructura que el

original, es decir,

),( jicbSS nPB

n ⋅=

por lo que para descontarlo hasta el nodo origen, simplemente hemos de hacer:

),(),(),( jicbjiVjiPB ⋅=

En nuestro ejemplo obtenemos:

J 0 1 2 3 4

2 0,027781 0,033734 0,039505

1 0,011203 0,016002 0,020810 0,025002

0 0,002954 0,006932 0,009953

-1

-2Cuadro 6.5.: Árbol de flujos probables de pagos procedentes de la PB descontados hasta el nodo origen de la PB.

El paso siguiente sería considerar estos flujos probabilizados y descontados hasta el

nodo en que se origina la PB, como unos flujos que caen en dicho nodo y que hay que llevar

hasta el origen según las probabilidades de cada nodo, descontando y acumulando:

El resultado para nuestro ejemplo es el siguiente árbol:


258

J 0 1 2 3 4

2 0,084866 0,067108 0,039505

1 0,058258 0,053321 0,042574 0,025002

0 0,025165 0,022562 0,020832 0,017111 0,009953

-1 0,007920 0,005032 0,002082

-2 0,002317 0,000879Cuadro 6.6.: Precios en el árbol de la opción de participación en beneficios.

Cuando no coincidan los cortes temporales de la Póliza con los cortes ∆t, considerados

para el árbol trinomial, procederíamos cómo ya se ha expuesto anteriormente, modificando la

distancia temporal, ∆ti, así cómo la construcción del árbol trinomial recombinante según

establece la expresión 6.2.

Hasta aquí hemos considerado el valor razonable libre de riesgo de crédito, y hemos

sido coherentes con ello en la determinación de la opción de PB. Una vez incluyamos en la

determinación del valor razonable de las PTSV el riesgo de crédito, modificaremos toda la

metodología anterior, de manera que la opción de PB considerará el tipo libre de riesgo más un

spread por riesgo de crédito.

6.5. VALORACIÓN DE LAS PTSV CON DIFUSIÓN DEL TANTO DE MORTALIDAD.

En los apartados anteriores hemos considerado difusión únicamente en el tipo de

interés, por lo que el paso siguiente es analizar cómo procederíamos con la difusión del tanto

de mortalidad.

Para centrarnos en la difusión del tanto de mortalidad consideraremos que el tipo iR

será único para cada plazo, siendo este tipo el que servirá para descontar los flujos cuya

probabilidad de ocurrencia dependerá de cada nodo dentro del árbol.

Siguiendo con la notación anterior tenemos que:

( )( ))exp(1

),1(exp),(

,1

3

11,

1

tF

jiVpStjiV

jii

kkkiji

∆⋅−−⋅+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅∆⋅−= ∑

=+

µ

γ(6.4)

siendo en este caso


259

jiiji R ,1

,1 µγ +=

Este proceso se repite hasta obtener el valor V(0, 0), que sería el valor actual actuarial

a través del árbol trinomial, de las PTSV con difusión en el tanto de mortalidad.

Para ilustrar esta valoración volveremos al ejemplo anterior, con las mismas hipótesis

en cuanto a gastos, pero reemplazando la difusión en la ETTI, por la difusión en el tanto de

mortalidad, que en este caso sería la correspondiente al cuadro 6.2. El tipo continuo a corto

sería:

Año Rt

1 2,27887%

2 3,14690%

3 3,70104%

4 4,15562%

5 4,43498%Cuadro 6.7. ETTI

De esta forma obtenemos la siguiente valoración en el árbol trinomial:

J 1 2 3 4 5

1 0,792253 0,832303 0,881483 0,940593

0 0,781374 0,809438 0,847089 0,892917 0,947294

-1 0,826995 0,862138 0,904500 0,954043Cuadro 6.8. Precios en el árbol.

El resultado es el mismo que obtuvimos con difusión en el tipo de interés y valor

esperado del tanto de mortalidad.

Para valorar las asimetrías correspondientes a las opcionalidades implícitas

recurriremos al árbol conjunto que surge al considerar el tanto de capitalización actuarial cómo

kijikji R ,1

,,,1 µγ +=


260

6.6. VALORACIÓN DE LAS PTSV CON DIFUSIÓN DEL TIPO DE INTERÉS Y DEL TANTODE MORTALIDAD.

6.6.1. Valoración sin opciones.

Cómo ya se ha expuesto considerando difusión en ambos subyacentes, trabajamos

con una medida de la distribución de probabilidad de ambos procesos estocásticos más

completa que la esperanza matemática.

Recordemos que las probabilidades de transición conjuntas suponiendo independencia

entre la curva de mortalidad y la ETTI, se obtienen simplemente como sigue

ki ,1µ


Subida Rpp 33 ⋅µ Rpp 32 ⋅µ Rpp 31 ⋅µ

jiR , mantenim. Rpp 23 ⋅µ Rpp 22 ⋅µ Rpp 21 ⋅µ

bajada Rpp 13 ⋅µ Rpp 12 ⋅µ Rpp 11 ⋅µ

Cuadro 6.9. Probabilidades de transición conjuntas para el tipo de interés librede riesgo y el tanto de mortalidad a partir de un nodo central

En adelante supondremosµk

Rjkj ppp ⋅=,

especificándose cada nodo cómo (i, j, k), siendo el primer índice el nivel temporal, el segundo

el nivel del nodo respecto al tipo a corto, donde j = 0 es el nivel central, y el último el nivel del

nodo desde el punto de vista de la mortalidad, siendo k = 0 el nivel central.

El tipo a plazo en el nodo (i, j, k) se denotará por jiR , , y la medida de mortalidad

denotará por ki,1µ ; siendo el valor de las PTSV en el nodo (i, j, k) de V(i, j, k), que se

determinará a partir del flujo de caja como sigue:

( ))exp(1),,1(

)exp(),,(

,1

3

1

3

1,1

,,1

tFkjiVpS

tkjiV

kiis r

rsrsi

kji

∆⋅−−⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

⋅∆⋅−=

∑∑= =

+ µ

γ(6.5)

siendo


261

kijikji R ,1

,,,1 µγ +=

En nuestro ejemplo, obtenemos el siguiente árbol de valoración

µJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,752883 0,821557 0,906367

1 0,743256 0,791192 0,850558 0,923014

1 0 0,791728 0,831455 0,880584 0,939967

-1 0,843357 0,873764 0,911669 0,957232

-2 0,918224 0,943851 0,974813

2 0,766259 0,832214 0,912824

1 0,759379 0,805248 0,861592 0,929590

0 0 0,781374 0,808901 0,846226 0,892007 0,946664

-1 0,861650 0,889287 0,923495 0,964051

-2 0,934537 0,956095 0,981758

2 0,779872 0,843010 0,919327

1 0,775851 0,819554 0,872768 0,936213

-1 0 0,826447 0,861260 0,903579 0,953408

-1 0,880341 0,905086 0,935475 0,970920

-2 0,951140 0,968497 0,988753Cuadro 6.10. Valoración en el árbol conjunto para el tipo de interés libre de riesgo y el tanto de mortalidad de laPTSV.

Cómo podemos comprobar las distintas valoraciones efectuadas sin considerar

opciones, son equivalentes. Esto es así debido a que el árbol trinomial es simétrico en cuanto a

los subyacentes considerados (tipos de interés y tanto de mortalidad), siéndolo también las

valoraciones que en el mismo se realicen.

La finalidad perseguida es valorar las opciones implícitas, al suponer éstas una

asimetría en sus posibles valoraciones. De este modo, cuanto más difusión tenga lugar en la

valoración más importancia cobran estas opciones, por lo que tenemos que tener un especial

cuidado en cuantificar esta difusión.

En cuanto al caso de no coincidir los cortes temporales de los flujos de caja con los del

árbol trinomial, se procedería como ya se expuso anteriormente.


262

6.6.2. Opción de rescate.

Con la misma notación anterior tenemos

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

∆⋅−−⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

=

∑∑= =

+ )exp(1),,1(

)exp(),,(

);,,(max),,(

,1

3

1

3

1,1

,,1

tFkjiVpS

tkjiV

RkjiVkjiV

kiis r

rsR

rsi

kji

xiR

µ

γ

Para el ejemplo los resultados son:

µJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,851173 0,877538 0,912100 0,957232

-2 0,919854 0,944033 0,974813

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

0 0 0,804595 0,826892 0,859167 0,898925 0,946664

-1 0,866002 0,891038 0,923575 0,964051

-2 0,935288 0,956128 0,981758

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0 0,838686 0,867578 0,904859 0,953408

-1 0,882770 0,905745 0,935519 0,970920

-2 0,951425 0,968516 0,988753Cuadro 6.11. Valoración en el árbol conjunto para el tipo de interés libre de riesgo y el tanto de mortalidadde la PTSV incluyendo la opción de rescate.

6.6.3. Opción de participación en beneficios.

Una vez incluida la difusión en el tanto de mortalidad, el proceso a seguir sería similar

al expuesto anteriormente, pero modificando debidamente el descuento a través del árbol:


263

( ) kjir s

srPB

kjiPB PBkjiVptkjiV ,,

3

1

3

1,

1 ),,1(exp),,( ++⋅⋅∆⋅−= ∑∑= =

γ

Obtenemos los siguientes resultados para nuestro ejemplo

µJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,083375 0,066241 0,039222

1 0,057017 0,052384 0,042024 0,024823

1 0 0,022081 0,020466 0,016890 0,009882

-1 0,007751 0,004943 0,002055

-2 0,002276 0,000868

2 0,084856 0,067100 0,039502

1 0,058254 0,053314 0,042569 0,025000

0 0 0,025165 0,022560 0,020830 0,017109 0,009953

-1 0,007919 0,005031 0,002082

-2 0,002316 0,000879

2 0,086363 0,067970 0,039783

1 0,059517 0,054261 0,043121 0,025178

-1 0 0,023049 0,021200 0,017331 0,010024

-1 0,008091 0,005121 0,002109

-2 0,002357 0,000891Cuadro 6.12. Valoración en el árbol conjunto para el tipo de interés libre de riesgo y el tanto de mortalidad,de la opción de participación en beneficios correspondiente a las PTSV.

La valoración correspondiente a la PTSV incluída la opción de PB, corresponde a la

suma de la valoración de la opción de PB cómo se ha expuesto, más la de la PTSV sin

opciones.

6.7. VALORACIÓN DE LAS PTSV CON DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS, MEDIDA DEMORTALIDAD Y SPREAD POR RIESGO DE CRÉDITO.

6.7.1. Valoración incluyendo spread de crédito.


264

Introduciendo el riesgo de crédito bajo las asunciones previamente mencionadas, y

suponiendo difusión únicamente en el tipo de interés, tendríamos que sustituir la expresión

(4.4) por.

( ))exp(1),1(

)exp(),(

13

11

,1

tFjiVpS

tjiV

iis

sc

si

jicc

∆⋅−−⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

∑=

+ µ

γ

siendo

jiiijic Rq ,

11,

1++= λµγ

Volviendo a nuestro ejemplo, la valoración de las PTSV según la expresión anterior

sería:

J 0 1 2 3 4

2 0,742574 0,815134 0,903492

1 0,728030 0,780358 0,843909 0,920087

0 0,741301 0,775508 0,820070 0,873700 0,936986

-1 0,826079 0,861800 0,904542 0,954196

-2 0,905651 0,936472 0,971722Cuadro 6.13.: Precios en el árbol incluyendo riesgo de crédito.

Suponiendo asimismo difusión en la variable liq ,1λ , tendríamos la siguiente expresión

( ) iir s

src

sri

ljicc

FtljiVpS

tljiV

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

∑∑= =

+ )exp(1),,1(

)exp(),,(

13

1

3

1,1

,,1

µ

γ

siendo

liijiljic qR ,

11,,,

1λµγ ++=

Los resultados para nuestro ejemplo serían


265

λJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,731415 0,805453 0,897050

1 0,715577 0,768632 0,833885 0,913526

1 0 0,762243 0,807746 0,863323 0,930305

-1 0,811950 0,848849 0,893798 0,947392

-2 0,892041 0,925349 0,964793

2 0,742515 0,815070 0,903448

1 0,727994 0,780297 0,843842 0,920041

0 0 0,741301 0,775469 0,820006 0,873631 0,936940

-1 0,826038 0,861732 0,904470 0,954149

-2 0,905580 0,936398 0,971674

2 0,753785 0,824803 0,909891

1 0,740626 0,792139 0,853918 0,926603

-1 0 0,788925 0,832451 0,884063 0,943622

-1 0,840372 0,874811 0,915270 0,960953

-2 0,919324 0,947580 0,978603Cuadro 6.14. Valoración en el árbol conjunto para el tipo de interés libre de riesgo y el spread por riesgo decrédito de las PTSV.

6.7.2. Valoración con difusión en los tipos de interés, spread de crédito y tanto demortalidad

Suponiendo difusión en todos los términos del tanto de capitalización actuarial,

obtenemos el valor de las PTSV como sigue:

( ) iis r t

trsc

rsi

lkjicc

FtlkjiVpS

tlkjiV

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

⋅∆⋅−=

∑∑∑= = =

+ )exp(1),,,1(

)exp(),,,(

13

1

3

1

3

1,1

,,,1

µ

γ

siendo

likijilkjic R ,

1,

1,,,, λµγ ++=

Las probabilidades de transición conjuntas, suponiendo independencia entre el tanto

de mortalidad, tx+1µ , y el resto se obtienen cómo ya se ha expuesto en el cuadro 5.5.


266

Los resultados para nuestro ejemplo teniendo en cuenta total ausencia de correlación y

los árboles de transición de las tres medidas, así como sus probabilidades de transición son los

que siguen:

λJ µJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,718561 0,795043 0,890636

1 0,700331 0,755124 0,823108 0,906994

1 0 0,746003 0,793552 0,852165 0,923653

-1 0,794650 0,833932 0,882246 0,940618

-2 0,876365 0,913390 0,957895

2 0,731327 0,805356 0,896981

1 0,715522 0,768539 0,833785 0,913456

1 0 0 0,762185 0,807650 0,863219 0,930234

-1 0,811887 0,848747 0,893691 0,947320

-2 0,891934 0,925238 0,964719

2 0,744320 0,815803 0,903372

1 0,731043 0,782193 0,844601 0,919964

-1 0 0,778717 0,821998 0,874417 0,936861

-1 0,829498 0,863826 0,905284 0,954069

-2 0,907780 0,937240 0,971592

2 0,729467 0,804536 0,896988

1 0,712483 0,766585 0,832936 0,913463

1 0 0,758947 0,805595 0,862340 0,930240

-1 0,808439 0,846589 0,892781 0,947326

-2 0,889666 0,924296 0,964726

2 0,742426 0,814972 0,903378

1 0,727938 0,780203 0,843741 0,919971

0 0 0 0,741301 0,775410 0,819907 0,873527 0,936868

-1 0,825975 0,861629 0,904362 0,954076

-2 0,905471 0,936286 0,971599

2 0,755616 0,825544 0,909814

1 0,743728 0,794064 0,854686 0,926525

-1 0 0,792230 0,834473 0,884858 0,943543

-1 0,843892 0,876936 0,916093 0,960873


267

-2 0,921557 0,948432 0,978521

2 0,740538 0,814142 0,903385

1 0,724846 0,778219 0,842882 0,919977

1 0 0,772117 0,817822 0,872637 0,936875

-1 0,822467 0,859437 0,903441 0,954082

-2 0,903168 0,935333 0,971606

2 0,753694 0,824704 0,909821

1 0,740569 0,792044 0,853816 0,926532

-1 0 0 0,788865 0,832351 0,883957 0,943549

-1 0,840307 0,874706 0,915160 0,960880

-2 0,919213 0,947466 0,978528

2 0,767084 0,835402 0,916303

1 0,756633 0,806116 0,864891 0,933133

-1 0 0,805976 0,847138 0,895424 0,950272

-1 0,858535 0,890245 0,927032 0,967725

-2 0,935544 0,959756 0,985500Cuadro 6.15. Valoración en el árbol de difusión de los tres subyacentes para las PTSV.


El riesgo de crédito minoraría la valoración de las PTSV si consideramos difusión

únicamente en el tipo de interés, al modificar la expresión (6.2) como sigue:

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

=

∑=

+ iis

sRc

si

jicc

xicRc

FtjiVpS

tjiV

RjiVmaxjiV

)exp(1),1(

)exp(),(

);,(),(

13

11

,1

µ

γ

Es decir, seguiría existiendo la asimetría que proporciona el valor de rescate a cada

plazo, pero el resto de valoraciones serían ahora menores.

En nuestro ejemplo si consideramos el valor de rescate y el riesgo de crédito

obtenemos el siguiente árbol de valoración


268

J 0 1 2 3 4

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

0 0,788239 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,838396 0,867796 0,905632 0,954196

-2 0,908282 0,936932 0,971721Cuadro 6.16. Precios en el árbol de difusión del tipo de interés llibre de riesgo incluyendo la opcion de rescatey riesgo de crédito.

Suponiendo asimismo difusión en el spread de crédito la expresión sería la siguiente

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

=

∑∑= =

+ iir s

srRc

sri

ljicc

xicRc

FtljiVpS

tljiV

RljiVmaxljiV

)exp(1),,1(

)exp(),,(

);,,(),,(

13

1

3

1,1

,,1

µ

γ

Los resultados para nuestro ejemplo serían

λJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,827942 0,859167 0,898925 0,947392

-2 0,895521 0,926203 0,964793

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

0 0 0,788325 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,838816 0,868113 0,905616 0,954149

-2 0,908247 0,936882 0,971674

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,943622

-1 0,850427 0,879197 0,915651 0,960953

-2 0,921189 0,947740 0,978603Cuadro 6.17. Valoración en el árbol de difusión de los tres subyacentes para las PTSV incluyendo opción derescate.


269

Suponiendo difusión en todos los términos del tanto de capitalización actuarial,

obtenemos el valor de las PTSV como sigue:

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⋅∆⋅−=

=

∑∑∑= = =

+ iir s t

tsrRc

trsi

lkjicc

xicRc

FtlkjiVpS

tlkjiV

RlkjiVmaxlkjiV

)exp(1),,,1(

)exp(),,,(

);,,,(),,,(

13

1

3

1

3

1,,1

,,,1

µ

γ

Para nuestro ejemplo:

λJ µJ RJ 1 2 3 4 5

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,819691 0,859167 0,898925 0,942253

-2 0,881008 0,914713 0,957895

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

1 0 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,828871 0,859167 0,898925 0,947320

-2 0,895456 0,926107 0,964719

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,841676 0,869999 0,906401 0,954069

-2 0,910216 0,937684 0,971592

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,827151 0,857890 0,898925 0,947326

-2 0,893496 0,925251 0,964726

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253


270

0 0 0 0,788562 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,839345 0,868525 0,905607 0,954076

-2 0,908195 0,936800 0,971599

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,943543

-1 0,853069 0,881052 0,916510 0,960873

-2 0,923233 0,948601 0,978521

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

1 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0,837429 0,867189 0,904919 0,954082

-2 0,906199 0,935935 0,971606

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0 0 0,822513 0,859167 0,898925 0,943549

-1 0,850755 0,879393 0,915700 0,960880

-2 0,921165 0,947690 0,978528

2 0,859167 0,898925 0,942253

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253

-1 0 0,828161 0,859239 0,898925 0,950272

-1 0,865000 0,892556 0,927241 0,967725

-2 0,936517 0,959842 0,985500Cuadro 6.18. Valoración en el árbol de difusión de los tres subyacentes para las PTSV incluyendo opción derescate.


En cuanto a la participación en beneficios, recordemos que nuestra propuesta ha sido

considerar a efectos de determinar el valor razonable de la opción de PB, siempre que exista

asignación discrecional por parte de la entidad aseguradora de los activos afectos a las PTSV,

la plusvalía existente al momento de la valoración y la rentabilidad del activo libre de riesgo

para el período restante hasta el vencimiento de la Póliza. De esta manera existía una cierta

coherencia entre el descuento a través del árbol y la opción de PB, al tomar como referencia

ambos al tipo libre de riesgo.


271

Al incluir el spread de crédito correspondiente a la aseguradora, es más coherente

tomar como referencia para determinar las primas por PB la rentabilidad del activo libre de

riesgo más este spread de crédito.

En nuestro ejemplo haríamos:

+−+⋅= ))(%90(),( 1, ITqRjicb iji λ

obteniendo

J 0 1 2 3 4

2 0,045845 0,049985 0,052592

1 0,024399 0,029464 0,033605 0,036211

0 0,008018 0,013084 0,017224 0,019831

-1 0,000844 0,003450

-2Cuadro 6.19. Árbol de cuantías del capital por PB obtenidos según el nodo origen Incluyendo riesgo de crédito y difusión en tipo de interés libre de riesgo.

Por otra parte al incluir el riesgo de crédito, hemos de descontar hasta el nodo origen

de la PB según la expresión:

),(),(),( jicbjiVjiPB cc ⋅=

Los resultados para nuestro ejemplo son los que siguen

J 0 1 2 3 4

2 0,034043 0,040745 0,047516

1 0,017763 0,022993 0,028359 0,033317

0 0,006218 0,010730 0,015049 0,018581

-1 0,000763 0,003292

-2Cuadro 6.20. Árbol de flujos probables de pagos procedentes de la PB descontados hasta el nodo origen de la PB Incluyendo riesgo de crédito y difusión en el tipo de interés libre de riesgo.

En cuanto al descuento a través del árbol de estas cantidades se haría


272

( ) jis

sPBc

jjicPBc PBjiVptjiV ,

3

1,

1 ),1(exp),( ++⋅⋅∆⋅−= ∑=

γ

La valoración del ejemplo sería:

J 0 1 2 3 4

2 0,103225 0,081024 0,047516

1 0,082907 0,073627 0,057536 0,033317

0 0,044676 0,045388 0,040971 0,032288 0,018581

-1 0,016155 0,011114 0,006667 0,003292

-2 0,004333 0,001647Cuadro 6.21. Árbol de valoración de la opción de PB de las PTSV incluyendo riesgo de crédito, y difusión en tipo de interés libre de riesgo.

Si consideramos también difusión en el spread de crédito la cuantía del capital por PB

se determinaría según el nodo origen.

En nuestro ejemplo se determinaría cómo sigue:

+−+⋅= ))(%90(),,( ,1

, ITqRljicb liji λ

siendo los resultados para nuestro ejemplo:

λJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,052262 0,056415 0,059032

1 0,030802 0,035881 0,040035 0,042651

1 0 0,014421 0,019501 0,023654 0,026271

-1 0,003120 0,007274 0,009890

-2

2 0,045866 0,050019 0,052636

1 0,024406 0,029485 0,033639 0,036256

0 0 0,008026 0,013105 0,017258 0,019875

-1 0,000878 0,003495

-2

2 0,039470 0,043624 0,046240

1 0,018010 0,023090 0,027243 0,029860

-1 0 0,001630 0,006709 0,010863 0,013479


273

-1

-2Cuadro 6.22. Árbol de cuantías del capital por PB de las PTSV incluyendo riesgo de crédito, con difusión para el tipo de interés libre de riesgo y el spread por riesgo de crédito.

A continuación se descontaría a través del árbol trinomial tridimensional el flujo de caja

proporcionado hasta el nodo origen.

En nuestro caso se haría simplemente:

),,(),,(),,( ljicbljiVljiPB cc ⋅=

Los resultados para el ejemplo serán

λJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,038225 0,045440 0,052954

1 0,022041 0,027579 0,033384 0,038963

1 0 0,010993 0,015752 0,020421 0,024440

-1 0,002649 0,006501 0,009370

-2

2 0,034056 0,040769 0,047554

1 0,017768 0,023007 0,028386 0,033357

0 0 0,006224 0,010746 0,015077 0,018622

-1 0,000794 0,003334

-2

2 0,029752 0,035981 0,042074

1 0,013339 0,018290 0,023263 0,027668

-1 0 0,001286 0,005585 0,009603 0,012719

-1

-2Cuadro 6.23. Árbol de flujos probables de pagos procedentes de la PB descontados hasta el nodo origen de la PB incluyendo riesgo de crédito, con difusión para el tipo de interés libre de riesgo y el spread porriesgo de crédito.

Por último se descuentan las cantidades anteriores a través del árbol trinomial

tridimensional:


274

ljir s

src

sr

ljicPBc

PBljiVp

tljiV

,,

3

1

3

1,

,,1

),,1(

)exp(),,(

++⋅⋅

∆⋅−=

∑∑= =

γ

En nuestro ejemplo obtenemos:

λJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,111617 0,088705 0,052954

1 0,092585 0,082977 0,065805 0,038963

1 0 0,056210 0,051393 0,041200 0,024440

-1 0,021239 0,019045 0,015798 0,009370

-2 0,005082 0,002004

2 0,103250 0,081058 0,047554

1 0,082966 0,073670 0,057577 0,033357

0 0 0,045173 0,045830 0,041262 0,032408 0,018622

-1 0,017189 0,011943 0,007008 0,003334

-2 0,004356 0,001652

2 0,094610 0,073215 0,042074

1 0,073032 0,064078 0,049143 0,027668

-1 0 0,035518 0,031279 0,023596 0,012719

-1 0,014293 0,009024 0,003842

-2 0,003636 0,001299Cuadro 6.24. Árbol de valoración de la opción de PB de las PTSV incluyendo riesgo de crédito, condifusión para el tipo de interés libre de riesgo y el spread por riesgo de crédito.

Y por último considerando también difusión en el tanto de mortalidad no se verían

modificados los capitales obtenidos por PB, considerados en el ejemplo anterior, ya que se han

considerado dependientes únicamente del nivel de tipos de interés, jiR , , y spread por riesgo

de crédito, liq ,1λ .

En nuestro ejemplo se obtiene

+−+⋅= ))(%90(),,,( ,1

, ITqRlkjicb liji λ


275

Cómo se ha expuesto, a continuación se descuenta el flujo de caja proporcionado

hasta el nodo origen. En nuestro ejemplo, simplemente

),,,(),,,(),,,( lkjicblkjiVlkjiPB cc ⋅=

siendo los resultados:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,037553 0,044852 0,052576

1 0,021572 0,027095 0,032953 0,038684

1 0 0,010758 0,015475 0,020157 0,024265

-1 0,002602 0,006417 0,009303

-2

2 0,038220 0,045434 0,052950

1 0,022039 0,027576 0,033380 0,038960

1 0 0 0,010992 0,015750 0,020419 0,024438

-1 0,002648 0,006500 0,009369

-2

2 0,038899 0,046023 0,053328

1 0,022517 0,028066 0,033813 0,039238

-1 0 0,011230 0,016030 0,020684 0,024612

-1 0,002695 0,006585 0,009436

-2

2 0,033458 0,040242 0,047214

1 0,017389 0,022603 0,028019 0,033118

1 0 0,006091 0,010557 0,014883 0,018489

-1 0,000784 0,003311

-2

2 0,034052 0,040764 0,047550

1 0,017766 0,023005 0,028382 0,033354

0 0 0 0,006223 0,010745 0,015076 0,018620

-1 0,000794 0,003334

-2

2 0,034657 0,041293 0,047889


276

1 0,018152 0,023413 0,028751 0,033592

-1 0 0,006358 0,010936 0,015271 0,018753

-1 0,000804 0,003358

-2

2 0,029229 0,035516 0,041773

1 0,013055 0,017969 0,022963 0,027470

1 0 0,001259 0,005487 0,009479 0,012628

-1

-2

2 0,029748 0,035976 0,042070

1 0,013338 0,018288 0,023261 0,027666

-1 0 0 0,001286 0,005585 0,009602 0,012718

-1

-2

2 0,030277 0,036443 0,042370

1 0,013627 0,018613 0,023562 0,027863

-1 0 0,001314 0,005684 0,009727 0,012809

-1

-2Cuadro 6.25. Árbol de flujos probables de pagos procedentes de la PB descontados hasta el nodo origen de la PB Incluyendo riesgo de crédito, con difusión en los tres términos considerados del tanto decapitalización actuarial.

Finalmente la valoración considerando difusión en los tres términos de la opción de PB

sería

lkjis r t

trsc

trs

lkjicPBc

PBlkjiVp

tlkjiV

,,,

3

1

3

1

3

1,,

,,,1

),,,1(

)exp(),,,(

++⋅

∆⋅−=

∑∑∑= = =

γ

Los resultados para el ejemplo:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,109663 0,087571 0,052576

1 0,090621 0,081524 0,064963 0,038684

1 0 0,055018 0,050493 0,040674 0,024265


277

-1 0,020790 0,018712 0,015597 0,009303

-2 0,004993 0,001979

2 0,111611 0,088707 0,052950

1 0,092587 0,082973 0,065806 0,038960

1 0 0 0,056212 0,051390 0,041201 0,024438

-1 0,021241 0,019045 0,015799 0,009369

-2 0,005082 0,002005

2 0,113594 0,089857 0,053328

1 0,094596 0,084447 0,066660 0,039238

-1 0 0,057431 0,052303 0,041736 0,024612

-1 0,021702 0,019383 0,016004 0,009436

-2 0,005172 0,002031

2 0,101442 0,080022 0,047214

1 0,081206 0,072380 0,056841 0,033118

1 0 0,044859 0,040541 0,031994 0,018489

-1 0,016826 0,011735 0,006919 0,003311

-2 0,004280 0,001631

2 0,103245 0,081060 0,047550

1 0,082968 0,073666 0,057578 0,033354

0 0 0 0,045167 0,045832 0,041261 0,032409 0,018620

-1 0,017191 0,011943 0,007009 0,003334

-2 0,004356 0,001652

2 0,105079 0,082111 0,047889

1 0,084768 0,074975 0,058325 0,033592

-1 0 0,046826 0,041994 0,032830 0,018753

-1 0,017564 0,012156 0,007100 0,003358

-2 0,004434 0,001673

2 0,092954 0,072280 0,041773

1 0,071484 0,062957 0,048515 0,027470

1 0 0,034767 0,030733 0,023295 0,012628

-1 0,013991 0,008867 0,003794

-2 0,003573 0,001282

2 0,094606 0,073217 0,042070


278

1 0,073035 0,064075 0,049145 0,027666

-1 0 0 0,035521 0,031279 0,023597 0,012718

-1 0,014295 0,009024 0,003843

-2 0,003636 0,001299

2 0,096287 0,074167 0,042370

1 0,074619 0,065214 0,049782 0,027863

-1 0 0,036291 0,031834 0,023903 0,012809

-1 0,014605 0,009184 0,003893

-2 0,003701 0,001316Cuadro 6.26. Árbol de valoración de la opción de PB de las PTSV incluyendo riesgo de crédito, con difusión en los tres términos considerados del tanto de capitalización actuarial.

6.8. RESUMEN DE VALORACIONES PROPUESTAS.

En resumen, las distintas valoraciones de las PTSV dan lugar al siguiente cuadro:

Capitalización actuarial Sin opciones Rescate PB

ijiji R 1,,

1 µγ += 0,781374 0,803044 0,806539

kijikji R ,1

,,,1 µγ += 0,781374 0,804595 0,806539

iijijic qR 11

,,1

λµγ ++= 0,741301 0,788239 0,785977

liijiljic qR ,

11,,,

1λµγ ++= 0,741301 0,788325 0,786474

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++= 0,741301 0,788562 0,786467

Cuadro 6.27. Resumen de valoraciones de las PTSV efectuadas a lo largo del capítulo 6.

Si bien al incorporar difusión en un nuevo subyacente, han crecido en complejidad los

algoritmos de valoración resultantes, también es cierto que los resultados son más ajustados,

ya que las asimetrías implícitas en el contrato de Seguro de Vida, se manifiestan más

adecuadamente.

Podemos comprobar que incorporar el spread por riesgo de crédito de la aseguradora,

minora de forma notable el resultado de la valoración, por lo que la decisión que se tome

finalmente en cuanto a su incorporación tendrá que tener muy en cuenta esta circunstancia.


279

También es cierto que al introducir el riesgo de crédito, las opcionalidades implícitas

cobran una importancia relativa más importante, siendo la opción de rescate la que presenta un

valor razonable mayor, por suponer un suelo en las posibles valoraciones futuras que ahora

son más bajas.

281

CUARTA PARTE: DETERMINACIÓN DE LAS NECESIDADES DE

RECURSOS PROPIOS.

283

CAPÍTULO 7. EL VALOR RAZONABLE Y SOLVENCIA II. 285


7.2. INTRODUCCIÓN A SOLVENCIA II. 285

7.3. SISTEMAS DE DETERMINACIÓN DEL CAPITAL MÍNIMO. 290

7.4. EL VALOR RAZONABLE Y EL MARGEN DE SOLVENCIA. 297

7.4.1. Necesidades de capital por riesgo de mercado. 297

7.4.2. Sensibilidad del valor razonable de las

provisiones técnicas ante cambios en los subyacentes. 298


7.5.1. Introducción al VAR de excedente. 302


interés. 305


interés y el spread por riesgo de crédito. 311



crédito para el activo afecto. 311



crédito para la aseguradora y el activo afecto. 316


interés, medida de mortalidad, spread por riesgo

de crédito de la aseguradora y el activo afecto. 320

7.5.5. RESUMEN DE VALORACIONES PROPUESTAS

PARA EL VAR DE EXCEDENTE. 322

CAPÍTULO 7. El Valor Razonable y Solvencia II.

285

CAPÍTULO 7. EL VALOR RAZONABLE Y

SOLVENCIA II.


El objetivo de este capítulo es determinar las necesidades de recursos propios de la

compañía, como consecuencia de su negocio asegurador. Se pretende estimar estas

necesidades a partir del tratamiento holístico de la mayoría de riesgos asumidos por la entidad

aseguradora al suscribir los contratos de Seguros de Vida.

En el primer apartado se expone el concepto de Solvencia, y a grandes rasgos

describe la evolución que ha sufrido los requerimientos de recursos propios por parte del

supervisor en Europa.

A continuación se presentan los requerimientos de recursos propios establecidos por

otras legislaciones, así como sus características más importantes.

En el apartado 7.4. se explica cómo utilizar las conclusiones obtenidas en los capítulos

previos para estimar las necesidades de recursos propios de la entidad aseguradora, así cómo,

lo que se podría considerar el VAR del valor razonable de las PTSV por los cambios de sus

diferentes subyacentes (tipos de interés, tanto de mortalidad y spread por riesgo de crédito).

El último apartado se refiere al VAR de excedente, o en nuestro caso, medida del

riesgo de superar el valor razonable de las PTSV, el valor razonable de los activos en los que

se hallan materializadas.

7.2. INTRODUCCIÓN A SOLVENCIA II.

Como peculiaridad inherente a la actividad aseguradora podemos destacar la

solvencia, desde el punto de vista de la capacidad de respuesta al riesgo presente y futura,

tanto del riesgo propio de su actividad (riesgo técnico), como del resto del riesgo al que se halla

sometida.

Para garantizar esta capacidad, es necesario el establecimiento de unas necesidades

de solvencia a las entidades aseguradoras, pudiendo distinguir entre solvencia estática y

dinámica.


286

La primera, se refiere a la capacidad técnica y financiera para hacer frente en un

determinado momento a los compromisos adquiridos, a través de las PTSV y su cobertura

mediante activos aptos.

La segunda se refiere a la capacidad para hacer frente a futuros quebrantos derivados

de otros riesgos a los que se halla sometida, y será cubierta mediante el patrimonio propio no

comprometido y garantizada a través del margen de solvencia y fondo de garantía.

Para analizar la exigencia en términos de margen de solvencia en la Unión Europea,

comenzaremos por la definición de solvencia de la aseguradora en el marco de las directivas

comunitarias. Tenemos una triple conceptualización en función de su alcance:

• En primer lugar el "margen de solvencia" de las directivas europeas consiste en un

conjunto de normas para el cálculo de una exigencia de fondos propios mínimos por una

parte (mínimo de margen), y de los fondos propios aceptables para satisfacer esta

exigencia por otra parte (margen disponible).

• Por otra parte la “garantía de solvencia financiera” se refiere al conjunto de normas

destinadas a garantizar la solvencia técnico – financiera de la empresa. Estas normas

hacen referencia al cálculo de las PTSV, a los activos representativos (solvencia estática),

así como a la exigencia de margen de solvencia mencionada.

• La denominada "solvencia global”, tiene que ver con la solvencia de una empresa en un

sentido más amplio. Con respecto al concepto anterior, esta concepción tiene en cuenta

factores que no son sólo financieros. El control de la solvencia global justifica la existencia

de un conjunto mucho más variado de medios a disposición de las autoridades

supervisoras.

La exigencia de margen de solvencia para las empresas de seguros no vida se inicia

en la denominada Primera Directiva del Seguro no Vida del año 1973, mientras que el margen

de solvencia del Seguro de Vida data del año 1979.

La Primera Generación de directivas en el mundo del Seguro armonizaba las normas

nacionales de supervisión en el ámbito comunitario (y entre ellas de la exigencia del margen de

solvencia).

Posteriormente, a través de la Segunda Generación de Directivas (1988 y 1990 para

los seguros no vida y vida respectivamente), se pretendió armonizar las exigencias aplicadas

para la denominada “libre prestación de servicios”. Supuso un paso intermedio entre los


287

mercados nacionales con regulaciones propias, y el mercado único europeo. De esta forma

estas segundas directivas apenas tuvieron influencia en el margen de solvencia.

Por último, la Tercera Generación de Directivas establecen el mercado único, con lo

que la actividad aseguradora en el ámbito comunitario se halla sometida a las normas y

supervisión financiera del Estado miembro en el que reside la sede social de la entidad,

independientemente del país en el que se preste el servicio asegurador.

En estas Terceras Directivas, de junio y noviembre de 1992 respectivamente para los

Seguros No Vida y Vida, se incluyen recomendaciones sobre la necesidad de revisar las

normas del margen de solvencia y fondo de garantía.

Así la Comisión Europea encargó a la Conferencia Europea de Autoridades de

Supervisión de Entidades Aseguradoras la elaboración de un informe. Esta última por

mediación de un grupo técnico, denominado Grupo Müller, emitió el informe conocido como

Informe Müller, con sus conclusiones acerca de las posibilidades de mejora en el margen de

solvencia y fondo de garantía comunitarios.

A partir de aquí, la Comisión Europea desarrolla en enero de 2001 dos propuestas de

directivas, las cuales no obstante, contradicen en algunos puntos el Informe Müller.

Estas propuestas de directivas, una vez aprobadas por el Comité de Seguros, fueron

remitidas al Consejo de Europa, quien mediante el apoyo del Parlamento Europeo las adapta

para emitir en junio de 2002 las Directivas 2002/13/CE sobre requisitos del margen de

solvencia de las empresas de seguros distintos del seguro de vida y la 2002/12/CE para

seguros de vida.

La transposición de diversas disposiciones contenidas en ambas directivas a la

normativa española se ha realizado recientemente a través de la publicación del Real Decreto

297/200459 y 298/200460.

Por otra parte, la fase final de tramitación del proyecto Solvencia I se ha solapado con

un nuevo proyecto denominado Solvencia II.

Solvencia II es una de las consecuencias de la globalización y de la implantación del

mercado único. Mientras que Solvencia I se basa en la continuidad del esquema tradicional de

59 RD.297/2004 de 20 de febrero (BOE. Núm.45, 21 de febrero de 2004), por el que se modifica el Reglamento de

ordenación y supervisión de los seguros privados, aprobado por el RD.2486/1998 de 20 de noviembre.60 RD.298/2004 de 20 de febrero (BOE. Núm.45, 21 de febrero de 2004), por el que se modifica el Plan de Contabilidad

de las entidades aseguradoras y normas para la formulación de las cuentas de los grupos de entidades aseguradoras,

aprobado por el RD.2014/1997, de 26 de diciembre.


288

las Primeras Directivas, Solvencia II supone un cambio no solamente en los aspectos

cuantitativos, sino y sobre todo, en los cualitativos para la determinación de los recursos

propios mínimos necesarios de las entidades aseguradoras, así como en su supervisión.

Es por ello que las entidades aseguradoras no sólo deben tener presente el impacto de

las dos directivas del proyecto Solvencia I, sino que además deberán tener muy en cuenta las

materializaciones del proyecto Solvencia II, que plantea un avance más importante. Esto ya se

está abordando, al menos por las grandes compañías aseguradoras.

Hasta la fecha se han llevado a cabo diferentes actuaciones y estudios por parte de

todos los organismos y asociaciones europeos involucrados en el proyecto de Solvencia II.

Aquí haremos mención a dos de los que más trascendencia han tenido:

• informe de la consultora KPMG, y

• informe Sharma emitido por la Conferencia de Autoridades Supervisoras Europeas.

El informe KPMG

Cabe destacar de entre los estudios realizados al efecto el Informe elaborado por

KPMG a encargo de la Comisión Europea. Su título es “Metodologías de valoración de la

posición financiera global de una entidad aseguradora desde la perspectiva de una supervisión

prudencial”. Y si bien en el mismo se pone de manifiesto que sus conclusiones son

responsabilidad de la consultora y no, necesariamente, deben coincidir con el punto de vista de

la Comisión, supone no obstante, un buen punto de partida.

En este informe el alcance de Solvencia II se divide en tres pilares (similares a los que

se han considerado en el proyecto Basilea II para la banca). Se incluye un cuadro resumen.


289

Pilar I. Exigencia deRecursos Propios

Pilar II: Procesos deSupervisión

Pilar III: Disciplina demercado

Recursos propios mínimos

según un modelo basado en el

riesgo realmente asumido

Revisión de la exposición al

riesgo de cada entidad.

Requerimientos de

información a las entidades

para garantizar transparencia

en el mercado.

Posibilidad de aplicación de

modelos internos de

escenarios o probabilísticos,

una vez validados por el

supervisor.

Evaluación de los modelos

internos de gestión de riesgos.

Requerimientos de recursos

propios mínimos a nivel de

grupos consolidados.

Valoración de las pruebas

efectuadas sobre PTSV y

activos individualmente

considerados así cómo del

mistmatching.

Facilidades por parte de las

entidades para que los

participantes en el mercado

puedan acceder a información

clave (recursos propios,

exposición al riesgo, ...)

Normas prudentes sobre

activos y pasivos de

aseguradoras.

Evaluación de la honorabilidad

y profesionalidad de la

dirección.

Facilitarán el grado de

sensibilidad de la exposición

al riesgo, así cómo los

escenarios clave utilizados en

el análisis de activos y

pasivos.Cuadro 7.1. Alcance del macroproyecto Solvencia II.

Entre otras muchas cuestiones este informe manifiesta que la determinación de un futuro

sistema de solvencia será necesario acordar una agrupación de riesgos que como mínimo

debería contemplar las siguientes categorías de riesgo:

• Riesgos de suscripción

• Riesgos de mercado

• Riesgo de crédito

Asimismo, deberían contemplarse el riesgo operacional y el riesgo de mistmatching. No

obstante, se pone de manifiesto la dificultad existente para su medición y, en consecuencia,

para establecer un margen de solvencia basado en los mismos. Sin embargo, podrían

establecerse requerimientos adicionales de recursos propios como consecuencia de la

existencia de estos dos tipos de riesgo.


290

El informe Sharma

El segundo informe general redactado en el marco de Solvencia II es el informe de la

Conferencia de Autoridades Supervisoras Europeas (también denominado "informe Sharma",

nombre del Presidente del Grupo de trabajo).

Este Grupo de trabajo, dispuso de la experiencia concreta de sus miembros, ya que

cada autoridad supervisora nacional cuenta con información y elementos de análisis con los

que ningún otro participante del sector puede contar en su totalidad.

Para desarrollar el informe el grupo basó su análisis en primer lugar en el estudio de las

sociedades con graves dificultades (a través del cuestionario sobre las quiebras y situaciones

próximas a la quiebra acontecidas durante los seis últimos años, así como numerosos estudios

de casos detallados).

A partir de aquí, el grupo examinó los instrumentos normativos a su disposición y los

sometió a crítica en cuanto a su adecuación a los problemas revelados del análisis anterior.

Como conclusión principal del informe se determinó que el sistema prudencial ha de

comportar toda una serie de instrumentos normativos, preventivos o correctivos, que permitan

actuar en todas las etapas de manifestación posible de un problema: desde la fase más precoz

en la que, por ejemplo, la mala gestión de una compañía sólo es perceptible en la actitud de los

directivos o empleados de la compañía, hasta la fase última en la que una secuencia de causas

y efectos ya ha provocado una grave degradación de la situación financiera

7.3. SISTEMAS DE DETERMINACIÓN DEL CAPITAL MÍNIMO.

Según la normativa local de cada país, podemos encontrarnos con una gran diversidad

en cuanto al enfoque para la determinación de la cuantía mínima del margen de solvencia.

Podemos distinguir dos enfoques, el europeo o comprensivo y el anglosajón o analítico

El enfoque europeo considera a la aseguradora como un todo indivisible, para

determinar la cantidad de recursos necesarios en función de sus magnitudes agregadas. En

cambio, el enfoque anglosajón analiza los riesgos individuales a los que se halla sometida la

aseguradora y determina la necesidad de recursos propios en función de los primeros.


291

Como ejemplos del enfoque europeo tenemos el utilizado en España o Finlandia,

mientras que el anglosajón, con origen en los Estados Unidos han sido adoptados

posteriormente, con algunas variaciones, por Japón y Canadá y, recientemente, se están

empezando a desarrollar en Australia.

A continuación expondremos varios sistemas de determinación de la cuantía mínima

del margen de solvencia para Seguros de Vida.

Sistema de determinación del margen de solvencia español.

El sistema de determinación del margen de solvencia es regulado en España en los

artículos 58 y siguientes del Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre, por el que se

aprueba el Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados, modificado por

el Real Decreto 297/2004, de 20 de febrero y es regulado también por la Ley 34/2003, de 4 de

noviembre, de modificación y adaptación a la normativa comunitaria de la legislación de

seguros privados.

Para ilustrar este sistema incluiremos algunos de los párrafos del artículo 62 del Real

Decreto 2486/1998, así como las modificaciones a los mismos establecidos por el Real Decreto

297/2004:

Artículo 62. Cuantía mínima del margen de solvencia en los seguros de vida.

1. Para el ramo de vida, la cuantía mínima del margen de solvencia será la suma de los

importes que resulten de los cálculos a que se refieren los dos párrafos siguientes:

a) Se multiplicará el 4 por 100 del importe de las PTSV por seguro directo, sin deducir

el reaseguro cedido, y por reaseguro aceptado, por la relación que exista, en el

ejercicio que se contemple, entre el importe de las PTSV, deducidas las

correspondientes al reaseguro cedido y retrocedido, y el importe bruto de las

mismas, sin que esta relación pueda ser, en ningún caso, inferior al 85 por 100.

b) Para los contratos cuyos capitales en riesgo sean positivos se multiplicará el 0,3

por 100 de los capitales en riesgo, sin deducir reaseguro cedido ni retrocedido, por

la relación existente, en el ejercicio que se contemple, entre los capitales en riesgo

deducido el reaseguro cedido y retrocedido y el importe bruto de dichos capitales,

sin que esta relación pueda ser, en ningún caso, inferior al 50 por 100.

El Real Decreto 297/2004 da nueva redacción a la letra c) del número 2 y se añade un nuevo

apartado 5 al artículo 62.


292

La letra c) del número 2, reproduce en su tenor literal lo establecido en el número 7 del

artículo 28 de la Directiva 2002/12/CE sobre los seguros de vida, en relación con el margen de

solvencia de los seguros de vida vinculados a la evolución de activos específicamente afectos

o de índice o activos que se hayan fijado como referencia y para las operaciones de gestión de

fondos colectivos de jubilación. El porcentaje del importe de las PTSV para la determinación

del margen de solvencia se fija en función de que la entidad asuma el riesgo de inversión y, en

caso de que no se asuma, en relación con el período en que se cubran los gastos de gestión,

así como con la asunción de riesgos para caso de muerte.

El nuevo número 5 se corresponde en su integridad con el número 4 ter del artículo 61.

El mencionado porcentaje del 4% sobre las PTSV, es fruto de unos estudios llevados a

cabo hace más de cuarenta años. Se ajustó una distribución de probabilidad al ratio de

resultados anuales entre las PTSV y se estimó que para garantizar una probabilidad de ruina

menor del 1% durante tres años, bastaba con un patrimonio propio no comprometido

equivalente al 4% de las PTSV.

El sistema finlandés.

El sistema reglamentario finlandés basado en un modelo de riesgo se introdujo para el

caso de no vida en el año 1952 y sólo incluía los riesgos de seguro, posteriormente se reformó

a principios de los años ochenta donde se estudió la modelización de los riesgos de activo y al

final de la década de los noventa se introdujo en la normativa para los fondos de pensiones y

para las compañías de no vida, estando en proyecto la introducción de unas exigencias

similares para el caso de vida.

Esta normativa es un caso particular dentro de la Unión Europea, ya que exige un

"capital económico" mínimo según la formula derivada de un modelo de riesgo, en la

formulación de este modelo de exigencia de capital se identifican una serie de riesgos. El

planteamiento inicial adoptado consistió en modelizar primero el comportamiento del riesgo

global de una empresa tipo, posteriormente este comportamiento se adaptó seleccionando

aquellos parámetros que reflejasen lo mejor posible el mercado finlandés.

Las características más importantes del sistema son:

1. Para evitar penalizar a aquellas compañías que además de activos necesarios, tuvieran

inversiones arriesgadas, el "riesgo de activo" sólo se evalúa con arreglo a los activos que

cubren las provisiones técnicas del asegurador y el importe del margen calculado.


293

2. El establecimiento de un objetivo relativamente amplio dentro del cual deben situarse los

fondos propios de la compañía, un descenso por debajo de este objetivo funciona como

mecanismo de detección precoz. Además los límites de este objetivo fluctúan en función de

las condiciones económicas generales y reducen de este modo los efectos derivados de

los ciclos económicos.

3. La utilización y supervisión de este sistema es sencilla, sin embargo, al imponer un marco

teórico a todas las compañías, corre el riesgo de frenar la evolución de los modelos

internos de las empresas más sofisticadas, especialmente los modelos de grupos

transnacionales cuyo enfoque y métodos no corresponden necesariamente con el marco

reglamentario finlandés.

En comparación con los sistemas RBC este sistema presenta dos grandes diferencias

que son las siguientes:

1. La correspondencia entre un riesgo tenido en cuenta en el modelo y la necesidad de

capital correspondiente al mismo no es tan simple como en los sistemas de tipo RBC.

2. La compañía de seguros puede proponer a la autoridad de supervisión su propia

estimación de algunos parámetros sin quedarse por ello fuera del marco del modelo.

El sistema RBC de Estados Unidos.

El sistema denominado "Risk-Based Capital" fue introducido por la NAIC (National

Association of Insurance Commissioners), a principios de los años noventa.

Cómo ya se ha explicado antes el sistema RBC consiste en asociar cada uno de los

principales riesgos que tienen las compañías con las necesidades de capital, teniendo en

cuenta de esta manera, las peculiaridades de cada compañía. No obstante como veremos, el

sistema es algo más complicado que la simple agregación de cada necesidad de capital

individualizada por riesgo considerado.

La fórmula utilizada para el cálculo del RBC para el caso de vida es la siguiente (para el

caso de no vida la manera de calcularlo es parecida):

( ) bbcsAAVIDA CCCCCCCCRBC 42

32

22

122

31040 +++++++=


294

donde cada iC corresponde a una de las distintas categorías de riesgos considerados para el

cálculo. Estas categorías son las siguientes:

1. C0, es el riesgo vinculado a los compromisos fuera del balance y a las filiales de sequro, se

refiere a las necesidades de margen RBC de las filiales, y al vinculado a compromisos no

registrados en el balance de la empresa.

2. C1, es el riesgo de colocación o riesgo de activo, se determina ponderando las

colocaciones con coeficientes que van del 0% al 30%. Además existen unos factores de

ajuste por fiscalidad. Se distinguen las siguientes partes:

• C1cs, riesgo de colocación o riesgo de activo para las acciones.

• C1o, riesgo de colocación o riesgo de activo para otras colocaciones.

• C3b, riesgo adicional que hay que añadir a aquellas sociedades que operen con

seguros sanitarios.

3. C2, es el riesgo de seguro, es decir, para desviaciones desfavorables de la mortalidad o la

morbilidad. Este valor cubre a la vez el riesgo de desviación de la prestación real respecto

de la prestación esperada y el de desconocimiento de la prestación esperada. La

necesidad de margen RBC se calcula en función de las primas para los seguros de ahorro

(porcentaje entre el 7% y el 35%) y en función del capital de riesgo para los seguros de

riesgo (porcentaje entre el 0,5% al 0,15%).

4. C3, es el riesgo vinculado al tipo de interés y se determina aplicando a las provisiones

matemáticas de cada categoría un factor que va del 0,75% para contratos no redimibles de

muy corta duración al 3% para contratos redimibles sin penalización de rescate o casi sin

ella. Estos factores aumentan un 50% salvo para aquellas compañías que puedan

demostrar que su activo y pasivo se ajustan convenientemente mediante la aplicación de

pruebas basadas en proyecciones de movimientos efectivos ("cash flow test").

5. C4, es el riesgo comercial general y se refiere a aquellos riesgos no tenidos en cuenta en

los puntos anteriores. Se distinguen dos apartados:

• C4a calculado como el 2% de las primas del seguro de vida.

• C4b referido a los gastos administrativos de las compañías que operan con

seguros sanitarios.


295

El sistema canadiense.

Sigue los principios del RBC americano con la excepción de que la determinación del

RBC total supone la suma de las exigencias correspondientes a cada riesgo, esto supone que

no se tiene en cuenta la correlación existente entre los riesgos considerados.

Para el seguro de vida el sistema canadiense se considera las siguientes categorías:

1. Riesgo de rendimiento insuficiente del activo. Es el que se corresponde con el riesgo de

colocación en el RBC americano. La diferencia más importante con éste último es que no

tiene en cuenta el ajuste por concentración de activos o por tamaño de cartera, que

considera el americano.

2. Riesgo de mortalidad. morbilidad e incumplimiento. Corresponde al riesgo de seguro del

RBC, pero incluyendo además el riesgo vitalicio vinculado a las rentas que no figura en el

RBC. Él riesgo relativo a las rentas vitalicias se determina aplicando un coeficiente del 1%

al total de sus provisiones técnicas. El riesgo vinculado a las garantías de fallecimiento se

calcula por ponderación de los capitales sometidos a riesgo.

3. Riesgo de margen de interés en la fijación de los precios. Cubre del riesgo de establecer

una tarifa inadecuada. El coeficiente aplicado es del 0,5% o del 1% de las provisiones

técnicas, según los casos. No es contemplado en el RBC americano.

4. Riesgo de cambio de los tipos de interés vinculado al entorno. Se corresponde con el

riesgo vinculado al tipo de interés del RBC. Se aplican unos coeficientes a las provisiones

técnicas que van del 1 al 5% según la duración y tipo de los contratos.

5. Riesgo vinculado a lo no registrado en balance. Se aplican el coeficiente de riesgo de

activo anteriormente mencionado.

6. Riesgo relativo a los fondos distintos. A partir de cuadros de factores muy detallados, que

catalogan distintos tipos de garantías, fondos comercializados y de reaseguro escogido, el

actuario debe elegir o interpolar los coeficientes aplicables a los productos de la empresa y

corregir sus cálculos en función de las observaciones efectuadas en estos productos. Si el

actuario considera que su producto o cobertura no se corresponde con los casos previstos,

debe efectuar modelos estocásticos que permitan determinar los coeficientes adecuados.

A diferencia del RBC, no se prevé un riesgo comercial general.


296

El proyecto australiano para el seguro de no vida.

El supervisor australiano (APRA) se encuentra en la actualidad en pleno proceso de

reforma pero ya ha determinado un conjunto de normas prudenciales que van más allá de la

modificación del margen mínimo exigido, imponiendo nuevas normas para la determinación de

provisiones técnicas, margen de solvencia, gestión interna de los riesgos y acuerdos de

reaseguro.

Las características principales de este proyecto son las siguientes:

1. La evaluación desde un punto de vista prudencial del pasivo de seguro, lejos de enfoques

fiscales o contables, estableciendo que las provisiones deben tener una probabilidad de ser

suficientes del 75%, lo cual ha de ser aprobado por el actuario designado.

2. Permitir a las aseguradoras la posibilidad de determinar sus necesidades de fondos propios

en función de un modelo interno de riesgo. Este modelo tiene que ser aprobado de forma

individual por la APRA según un conjunto de criterios establecidos por ésta.

La APRA distingue tres grandes riesgos, cada uno con su necesidad de margen

específico, siendo la necesidad total de margen la suma de los tres conceptos siguientes:

1. Riesgo de seguro. Se corresponde con el riesgo de infratarificación y el de insuficiencia de

provisiones para siniestros pendientes. Es más simple que el RBC americano tanto por el

número de clases como por el método de cálculo.

2. El riesgo de inversión. Al igual que el RBC americano pondera los activos según unos

coeficientes fijos con la diferencia de que considera menos coeficientes pero tiene en

cuenta más criterios como son: calidad de los emisores, existencia de garantías, madurez

de la colocación. Además la APRA penaliza las colocaciones concentradas en una única

contrapartida, salvo que ésta tenga una calificación de al menos AA. Por otra parte, incluye

normas para los compromisos no registrados en balance y derivados.

3. El riesgo de concentración de riesgo. Es el riesgo al que se expone la aseguradora en caso

de catástrofe. Se exige como capital la retención máxima de la aseguradora en tales

circunstancias.

Los sistemas analizados han nacido dentro de contextos reglamentarios más amplios, y

resultan de enfoques esencialmente empíricos, influidos los unos por los otros, pero que

reflejan también decisiones individuales de las autoridades normativas.


297

7.4. EL VALOR RAZONABLE Y EL MARGEN DE SOLVENCIA.

7.4.1. Necesidades de capital por riesgo de mercado.

Emplearemos las conclusiones alcanzadas en los apartados anteriores para determinar

las necesidades de capital como consecuencia del riesgo de mercado considerado desde una

triple perspectiva:

• Exceso sobre el valor reconocido en balance de las PTSV y su valor razonable

determinado como ya se ha expuesto.

• Las pérdidas posibles para un período de tiempo por variaciones en el valor razonable

de las PTSV, debido a la exposición a modificaciones del subyacente.

Consideraremos como subyacente el tipo de interés libre de riesgo, el tanto de

mortalidad y el spread por riesgo de crédito.

• El VAR de excedente, es decir, la exposición a que el valor razonable de los activos en

los que se hallan materializadas las PTSV se vea superado por el valor razonable de

éstas últimas.

No nos detendremos mucho más en la determinación del valor razonable de las PTSV,

y por tanto en la diferencia entre éste y el valor reconocido en balance. A continuación

determinaremos una estimación de las posibles pérdidas a las que se halla expuesta la

aseguradora, como consecuencia de la modificación en el subyacente del valor razonable.

Desde el punto de vista del valor razonable del activo y el pasivo de una aseguradora

podemos destacar los siguientes riesgos:

• Riesgo de interés. Es el riesgo que corre la empresa de que disminuya el resultado

técnico financiero, o se deteriore el valor patrimonial de la compañía como

consecuencia de un cambio en los tipos de interés

• Riesgo técnico. En este caso consideraremos la posibilidad de incrementos en el valor

de los compromisos de la aseguradora como consecuencia de variaciones en la

esperanza de vida, respecto a las estimaciones de la industria aseguradora. Asimismo

consideraremos también el riesgo de una disminución de los contratos de Seguros de

Vida, que motive un incremento en la volatilidad de los resultados para la compañía

aseguradora.


298

• Riesgo de spread de crédito. Posibilidad de pérdidas de valor en los activos o

incremento de los compromisos de la compañía, como consecuencia de alteraciones

en la prima de riesgo de crédito.

7.4.2. Sensibilidad del valor razonable de las PTSV por cambios en el subyacente.

Hemos considerado como subyacentes del valor razonable de las PTSV, el tipo de

interés, el tanto de mortalidad y el spread por riesgo de crédito. Para estudiar la sensibilidad del

valor razonable de las PTSV por cambios en estos subyacentes, consideraremos las

posiciones que se relacionan tradicionalmente con los análisis de sensibilidad de los derivados

financieros:

• Posición Delta. Recoge la sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante cambios en

los niveles del subyacente. Dado que las PTSV, suponen un compromiso para la

compañía, la posición Delta, medirá el incremento en su valor razonable por

modificaciones del subyacente.

Si consideramos el tipo de interés como subyacente, la posición Delta medirá cómo afecta

al valor razonable de las PTSV una disminución en la ETTI.

Cuando el subyacente sea el tanto de mortalidad, la posición Delta se medirá de manera

diferente si el Seguro de Vida es de Riesgo (cubre el fallecimiento) o de Ahorro (cubre la

supervivencia). En el primer caso se considerarán incrementos y en el segundo

decrementos de la curva de mortalidad. Tratándose de Seguros de Vida Mixtos (cubre

tanto la supervivencia cómo el fallecimiento), dependerá de la cobertura que cobre mayor

importancia.

Por último en cuanto al spread por riesgo de crédito, la posición Delta medirá la

sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante incrementos en la calidad crediticia de la

aseguradora.

• Posición Gamma. Mide el cambio esperado en la posición Delta a partir de cambios en los

niveles del subyacente.

• Posición Vega. Medida de sensibilidad del valor razonable de las PTSV por cambios en la

volatilidad del subyacente.


299

El valor razonable de las opcionalidades implícitas en las PTSV, que representan una

asimetría en sus posibles valoraciones, crecerá ante volatilidades más elevadas del

subyacente.

• Posición Theta. Mide el riesgo de modificación del valor razonable como consecuencia de

la aproximación a la fecha de vencimiento de la póliza.

Las opcionalidades mencionadas anteriormente disminuirán su valor conforme se acerca

el vencimiento de la póliza.

Para ilustrar la medición de las posiciones anteriores más importantes, referidas al

valor razonable de las PTSV, consideraremos los resultados para nuestro ejemplo.

Posición Delta.

Consideraremos para determinar la posición Delta respecto a los tipos de interés, la

sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante un movimiento paralelo a la baja de 100

puntos básicos en la ETTI.

Dado que la ETTI de nuestro ejemplo es considerablemente baja, supondremos que

originalmente es 100 puntos básicos más alta y compararemos los resultados con los

obtenidos previamente para nuestro ejemplo.

La curva cupón cero en este caso será la siguiente:

t P(0, t)

0 1

1 0,967743

2 0,928432

3 0,885796

4 0,841285

5 0,796782Cuadro 7.2.: Curva cupón ceroincrementada en 100 p.b.


300

Manteniendo los mismos parámetros de Vasicek obtenemos el siguiente árbol trinomial

para el tipo a corto:

Gráfico 7.1.: Árbol del tipo de interés a corto, según la ETTI del cuadro 7.2.

Los resultados equivalentes a los obtenidos con anterioridad una vez modificada la

ETTI serán:


ijiji R 1,,

1 µγ += 0,743266 0,788796 0,783809

kijikji R ,1

,,,1 µγ += 0,743266 0,788908 0,783809

iijijic qR 11

,,1

λµγ ++= 0,705147 0,777892 0,766880

liijiljic qR ,

11,,,

1λµγ ++= 0,705147 0,778062 0,766880

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++= 0,705147 0,778239 0,766880

Cuadro 7.3. Valoraciones de las PTSV según la composición del tanto de capitalización actuarial, para la ETTI del cuadro 7.1.

De esta forma la sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante una bajada paralela

de 100 puntos básicos en la ETTI, será según la composición del tanto de capitalización

actuarial:

R i,j

0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,10

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00


301

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0 1 2 3 4


ijiji R 1,,

1 µγ += 5,12710% 1,80630% 2,89994%

kijikji R ,1

,,,1 µγ += 5,12710% 1,98850% 2,89994%

iijijic qR 11

,,1

λµγ ++= 5,12716% 1,33013% 2,49022%

liijiljic qR ,

11,,,

1λµγ ++= 5,12716% 1,31905% 2,55503%

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++= 5,12716% 1,32646% 2,5542%

Cuadro 7.4. Posición Delta de las PTSV ante una bajada de 100 p.b. en la ETTI del cuadro 7.1.

Exactamente igual se haría para el tanto de mortalidad y el spread por riesgo de riesgo

de crédito.

Posición Vega.

Para ilustrar la sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante variaciones en la

volatilidad del subyacente, nos centraremos en el tanto de mortalidad como subyacente.

Supondremos que la situación es la del ejemplo y pretendemos analizar la sensibilidad del

valor razonable ante el incremento en la volatilidad del tanto de mortalidad. Para ello

supondremos que la volatilidad, σ , pasa a ser de un 0,67846%.

El árbol trinomial recombinante para la medida de mortalidad ki,1µ sería ahora:

ki,1µ

Gráfico 7.2.: Árbol del tanto de mortalidad suponiendo que el valor de σ asciende a un 0,67846%.


302

Por supuesto en este caso, consideraremos únicamente el efecto sobre las

valoraciones sensibles al incremento en la volatilidad del tanto de mortalidad, es decir, aquellas

en que se aplica el tanto de capitalización actuarial con difusión en el tanto de mortalidad:


kijikji R ,1

,,,1 µγ += 0,781374 0,805950 0,806539

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++= 0,741301 0,789030 0,786467

Cuadro 7.5. Valor razonable de las PTSV suponiendo que el valor de la volatilidad, σ, para el tanto demortalidad pasa a ser de 0,67846%.

Así la sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante un descenso del 50% en el

número de asegurados de características similares a las del ejemplo, será según la

composición del tanto de capitalización actuarial:


kijikji R ,1

,,,1 µγ += 0,00000% 0,16837% 0,00000%

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++= 0,00000% 0,05930% 0,0000%

Cuadro 7.6. Posición Vega de las PTSV suponiendo que el valor de la volatilidad, σ, para para el tanto demortalidad pasa a ser de 0,67846%.

Llevaríamos a cabo el mismo proceso para analizar la sensibilidad del valor razonable

de las PTSV por incrementos en la ETV o la volatilidad asociada al spread por riesgo de

crédito.

7.5. VAR DE EXCEDENTE.

7.5.1. Introducción al VAR de excedente.

En general el VAR (Value at Risk) se define como una medida probabilística de las

pérdidas esperadas para un período de tiempo en condiciones normales de mercado. Podemos

decir que el VAR, es la máxima pérdida en el valor razonable de la cartera de activo, que se

puede esperar para un plazo e intervalo de confianza determinados.

Esta medida permite:


303

• Analizar si es o no excesivo el nivel de riesgo de la cartera de activo

• Decidir qué activos se pueden retirar de la cartera para reducir el riesgo e incluso

redistribuir niveles de riesgo entre diferentes carteras.

• Ayuda a analizar la distribución del valor futuro de la compañía e identifica los

escenarios en los cuales se mantiene el nivel de solvencia deseado.

Para llevar a cabo este análisis se han de seguir los siguientes pasos:

1) Determinación del horizonte temporal y nivel de confianza deseados:

• Horizonte temporal: período de tiempo a considerar para estimar la pérdida potencial

de la cartera.

El VAR considera que la cartera es la misma durante el horizonte temporal, con lo cual

si se producen cambios frecuentes en la misma, no será adecuado utilizarlo en

horizontes temporales excesivamente grandes.

El error de predicción sobre los parámetros utilizados, volatilidades y correlaciones, es

mayor a medida que aumenta el horizonte temporal.

Es habitual considerar cómo horizonte temporal 1 año.

• Nivel de confianza: Este variará según las pretensiones del VAR. Lo habitual es que se

halle entre el 95-99%

2) Identificar los factores de riesgo de mercado de la cartera: aquellas variables (tipos de

interés, tipos de cambio, etc.) que se hallan afectadas por cierta incertidumbre durante el

horizonte temporal.

3) Determinar los escenarios futuros: relativos a los factores de riesgo de mercado, posibles

en el futuro.

4) Llevar a cabo las modificaciones previstas sobre la cartera actual, de manera que se pueda

estimar la distribución del valor de la cartera al final del horizonte temporal.

5) Seleccionar el percentil apropiado basándonos en la distribución resultante.


304

Esta técnica ha venido siendo desarrollada por las instituciones bancarias para la

cartera de activo. El siguiente gran paso de la normativa española será su extensión desde el

ámbito bancario al asegurador.

Efectivamente, aunque el VAR se encamina a la gestión de la cartera de activo, su

metodología puede aportar múltiples beneficios en la gestión del casamiento activo – pasivo de

una aseguradora.

Analizar la exposición al riesgo del excedente, es decir, la diferencia entre el valor

razonable del activo y del pasivo supone además las siguientes ventajas:

• Una medida de múltiples clases de riesgo tratados de forma holística.

• Posibilidad de establecer límites a los riesgos.

• Tratamiento de las interdependencias existentes entre activos y obligaciones en el

mismo marco de análisis.

Las operaciones de Seguros de Vida integran una posición activa y pasiva, y sus

resultados futuros dependen de la evolución conjunta de ambas posiciones, es decir, del flujo

de caja comprometido por las PTSV y del prometido por los activos afectos a estas PTSV.

Dada la complejidad inherente a los cálculos financieros actuariales que se derivan de

los contratos de Seguros de Vida, existen múltiples opcionalidades implícitas en las Pólizas de

Seguros de Vida, que se han cubierto tradicionalmente mediante el establecimiento de ciertos

márgenes:

• margen de seguridad implícito en las tablas de mortalidad;

• aplicación de un tipo de interés único para toda la operación de Seguro de Vida, fruto

de penalizar la TIR de compra del activo, según la calidad crediticia del emisor;

• ...

Estos márgenes suponen una desviación de escenarios realistas.

La determinación de las necesidades de recursos propios, debería tener en cuenta,

además de escenarios realistas, todas las opcionalidades implícitas no solamente en los

activos afectos sino también en las propias PTSV.


305

Bajo las asunciones establecidas en los apartados anteriores, llevaremos a cabo la

valoración de las necesidades de capital debidas a la posición activa y pasiva de la

aseguradora.

7.5.2. VAR de excedente con difusión en el tipo de interés.

Al igual que hemos hecho con las PTSV, consideraremos la determinación del valor

razonable de los activos afectos según el mismo modelo de valoración, pero por supuesto esta

vez sin considerar el tanto de mortalidad. No obstante, hemos de corregir las diferencias

oportunas, de manera que converja esta valoración con la que arroja el mercado de

instrumentos financieros para el mencionado activo.

La finalidad de valorar el activo según el modelo expuesto, es determinar el valor futuro

dependiente de los distintos escenarios considerados respecto a los subyacentes tipos de

interés, jiR , , y spread por riesgo de crédito del activo, lic ,1λ .

La determinación de las necesidades de capital que expondremos en los apartados que

siguen, es dinámica, debido a que depende de los niveles y la volatilidad de los subyacentes

correspondientes tanto del valor razonable de las PTSV, cómo de los considerados para el

valor razonable del activo afecto a estas PTSV, vigentes para cada período.

Siempre que no consideremos difusión para el tanto de mortalidad, x1µ , podremos

considerar el VAR de excedente a nivel de cartera, no obstante en caso contrario, los cálculos

que se proponen se han de realizar a nivel de subcarteras de asegurados de la misma edad x,

debido a que son cantidades que se descuentan actuarialmente considerando la difusión de la

tabla de mortalidad para dicha edad.

El primer caso que consideraremos será el más sencillo, consistente en considerar

difusión únicamente en cuanto al tipo de interés, y dado que no suponemos difusión para el

tanto de mortalidad, podríamos determinar el VAR de excedente a nivel de cartera.

En primer lugar, y esto es común a todas las valoraciones del VAR de excedente

propuestas, se ha de determinar el valor razonable de las PTSV para cada Póliza en cartera,

cómo se ha expuesto en el capítulo 7, incluyendo en su caso las opciones de rescate y PB.

A continuación hemos de agregar el valor razonable de las PTSV a nivel de cartera

ponderando por la probabilidad de supervivencia a cada período, de manera que las

cantidades obtenidas puedan ser comparadas con el valor razonable del activo, que no se halla

afectado por este subyacente. Así


306

∑∀

⋅=x

yxiyxPTSV pjiVjiV ,, ),(),(

siendo

),(, jiV yx : valor razonable de las PTSV correspondiente a la subcartera de edad x , en el año

y .

yxi p , : probabilidad de supervivencia en ti∆ para un asegurado de edad x en la fecha de

cálculos y .

En cuanto al activo en que se materializan las PTSV, cómo ya hemos explicado, lo

valoraremos de forma similar a cómo le hemos hecho con las PTSV. Incluimos la asimetría

proporcionada por las opcionalidades implícitas dependientes de los tipos de interés. Así por

ejemplo, cuando se trate de un activo con opción de compra por parte de su emisor, el strike de

dicha opción implicará un mínimo para el activo en la fecha de ejecución.

Siguiendo la notación de los apartados anteriores, y siendo CalljiV ),( el precio del

activo con riesgo y opción de compra por el emisor, en que se halla materializadas las PTSV,

tenemos que:

[ ]

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅+−=

=

∑=

+

3

11

1, ),1()(exp),(

);,(min),(

k

Callkkiiji

iCall

jiVpCcRjiV

StrikejiVjiV

λ

(7.1)

siendo

1+iC : flujo de caja derivado del activo para i + 1, si el emisor del título no incurre en default,

ic 1λ : spread por riesgo de crédito del emisor del título, teniendo en cuenta su probabilidad de

insolvencia y tasa de recuperación.

Cuando el flujo de caja se corresponda con gastos, y dado que el activo representa un

derecho para la compañía, se considerará con signo menos.

Para simplificar supondremos que los activos de la compañía aseguradora se

componen exclusivamente de renta fija europea. De esta manera acotamos el factor de riesgo


307

de la cartera de activo al riesgo de crédito y tipo de interés, obviando otros factores de riesgo

como es el tipo de cambio, los precios de las acciones,…

Para analizar el VAR de excedente únicamente nos interesan los escenarios en los que

el valor razonable del activo se encuentre superado por el valor razonable de las PTSV.

De este modo, si denominamos PTSVjiV ),( el valor razonable de las PTSV (incluido el

riesgo de crédito así cómo las opciones de rescate y PB), y CalljiV ),( al valor razonable del

activo afecto (incluida la opción de compra), determinaríamos el excedente negativo para cada

nodo cómo

+−= )),(),((,CallPTSV

ji jiVjiVSP

No obstante, y dado que cada instrumento financiero tiene su correspondiente spread

por riesgo de crédito, hemos de ajustar estas cantidades de manera que sean comparables.

Así el excedente negativo se determinará cómo sigue:

+⋅−⋅= )),0(),(),0(),((),( CallCallPTSVPTSV ijiVijiVjiSP φφ (7.2)

siendo

PTSVi),0(φ : diferencial de precios de los bonos correspondientes a la aseguradora.

Calli),0(φ : diferencial de precios del activo afecto.

Así podemos descontar las anteriores cantidades riesgo – neutro utilizando

exclusivamente el tipo libre de riesgo cómo sigue:

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++⋅

⋅−=

∑=

3

1

,

),1(),1(

exp),(

kkSPkk

jiSP

jiVARjiSPp

RjiVAR(7.3)

De este modo las necesidades de recursos propios debidas al VAR de excedente, sería

el valor de )0,0(SPVAR .

Para ilustrar el procedimiento anterior volveremos a nuestro ejemplo al que

incorporaremos un activo afecto a nuestras PTSV.


308

En nuestro ejemplo consideraremos el valor razonable de las PTSV incluida la opción

de rescate. Recordemos que obteníamos:

J 0 1 2 3 4 5

2 0,859167 0,898925 0,942253 1,010000

1 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253 1,010000

0 0,788239 0,822513 0,859167 0,898925 0,942253 1,010000

-1 0,838396 0,867796 0,905632 0,954196 1,010000

-2 0,908282 0,936932 0,971721 1,010000Cuadro 7.7.: Valor razonable de las PTSV en el árbol trinomial incluida la opción de rescate y riesgo de crédito.

Si ponderamos las anteriores cantidades según la probabilidad de supervivencia a cada

período, yxi p , , tenemos:

J 0 1 2 3 4 5

2 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

1 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

0 0,788239 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

-1 0,827918 0,845002 0,868127 0,898798 0,932832

-2 0,884425 0,898131 0,915306 0,932832Cuadro 7.8.: Valor razonable de las PTSV en el árbol trinomial ponderado por la probabilidad de supervivencia.

Una vez hemos terminado con las PTSV, nos centraremos en el activo afecto.

En cuanto al activo, consideraremos un título de renta fija con duración 5 años cupón

cero, cuyo precio de compra es 0,786617, que incorpora una opción de recompra el segundo

año cuyo Strike será de 0,860000.

Supondremos asimismo que el valor de ic 1λ para el emisor del título será constante e

igual a 1%.

El árbol correspondiente según la expresión 7.1 sería el que sigue:


309

J 0 1 2 3 4 5

2 0,776311 0,838358 0,912638 1,000000

1 0,772422 0,815812 0,867952 0,929401 1,000000

0 0,786617 0,816247 0,857328 0,898593 0,946471 1,000000

-1 0,839604 0,860000 0,930313 0,963855 1,000000

-2 0,860000 0,963153 0,981558 1,000000Cuadro 7.9.: Precios en el árbol trinomial para la difusión del tipo de interés del activo con opción de compra.

Suponiendo que la cantidad del activo expuesto que puede adquirir la compañía, es el

valor de las provisiones técnicas, determinado como establece el ROSSP y que se cuantificó

en el capítulo 6. en 0,804699, podríamos afectar 1,022987 unidades de nominal del título, o lo

que es lo mismo, por cada unidad de capital garantizado en póliza podemos afectar 1,022987

unidades de nominal de activo.

Afectar estas 1,022987 unidades de nominal de activo daría lugar al siguiente árbol

trinomial:

J 0 1 2 3 4 5

2 0,794156 0,857630 0,933617 1,022987

1 0,790178 0,834565 0,887904 0,950765 1,022987

0 0,804699 0,835010 0,877035 0,919249 0,968228 1,022987

-1 0,858905 0,879769 0,951698 0,986011 1,022987

-2 0,879769 0,985293 1,004121 1,022987Cuadro 7.10.: Precios en el árbol trinomial del activo con opción de compra, por cada 1,022987 unidades denominal del título.

En cuanto a los diferenciales de precios para la deuda de la aseguradora y para el

activo afecto tenemos

Año PTSVi),0(φ Calli),0(φ

0 1,000000 1,000000

1 0,989642 0,990050

2 0,979092 0,980199

3 0,968710 0,970446

4 0,958587 0,960789Cuadro 7.11. Diferenciales de precios de bonos de la aseguradora y del activo afecto


310

Si aplicamos la expresión 7.2 obtenemos para nuestro ejemplo los siguientes

resultados:

J 0 1 2 3 4 5

2 0,040678 0,002453 0,000000 0,000000

1 0,021505 0,001069 0,000000 0,000000 0,000000

0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,003585 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro 7.12.: Árbol del excedente correspondiente a cada unidad monetaria de capital garantizado a lasupervivencia del asegurado con difusión en el tipo de interés.

A continuación descontamos las anteriores cantidades según la expresión 7.3,

obteniendo las siguientes necesidades de capital debidas al VAR de excedente:

J 0 1 2 3 4 5

2 0,042681 0,002453 0,000000 0,000000

1 0,027246 0,001349 0,000000 0,000000 0,000000

0 0,004541 0,000213 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000428 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,003585 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro 7.13.: Árbol de valoración del VAR de excedente, correspondiente a cada unidad monetaria de capitalgarantizado a la supervivencia del asegurado, considerando difusión únicamente en el tipo a corto.

Así, las necesidades de recursos propios en nuestro ejemplo será de 0,004541,

determinadas por cada unidad monetaria de capital garantizado a la supervivencia del

asegurado.

7.5.3. VAR de excedente con difusión en el tipo de interés y el spread por riesgode crédito.

7.5.3.1. VAR de excedente con difusión en el tipo de interés y el spreadpor riesgo de crédito para el activo afecto.

Dado que no establecemos difusión para el tanto de mortalidad, se pueden determinar

las necesidades de recursos propios a nivel de cartera.


311

En este supuesto, para el valor razonable de las PTSV bastaría con el árbol de tipos y

su valoración seria equivalente a la del apartado anterior. Para el activo afecto, sería necesario

construir el árbol conjunto de tipos, jiR , , y del spread por riesgo de crédito, mic ,1λ .

La valoración en árbol del activo afecto se lleva a cabo cómo sigue:

[ ]

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅+−=

=

∑∑= =

+

3

1

3

1,1,

1, ),,1()(exp),,(

);,,(min),,(

r s

Callsrsrimiji

iCall

mjiVpCcRmjiV

StrikemjiVmjiV

λ

(7.4)

Por otra parte, determinar el excedente negativo ya no es tan fácil cómo en el caso de

no considerar difusión en el spread de crédito del activo afecto. Antes bastaba con aplicar el

diferencial de precios correspondiente a la aseguradora y el correspondiente al activo, para

ajustar las diferencias oportunas debidas a sus correspondientes spread por riesgo de crédito.

Al considerar difusión en el spread para el activo afecto, hemos de tener en cuenta el

nivel de este spread en el nodo en que existe excedente negativo.

Es por lo anterior, que hemos de cambiar la estructura de los algoritmos a emplear en

la determinación del VAR de excedente. A partir de aquí, no descontaremos las cantidades

resultantes para cada nodo del árbol, acumulándolas desde el final hasta el origen del árbol,

cómo lo venimos haciendo a lo largo de nuestro trabajo.

Para el algoritmo que se propone a continuación hemos de remontarnos a la

construcción del árbol trinomial. Recordemos que en el apartado 3.5.2., que trataba sobre la

implementación numérica del modelo de Hull- White, se expuso el paso 2, consistente en pasar

del árbol trinomial con reversión a 0, al árbol trinomial con reversión a la media del tipo de

interés sin riesgo a corto plazo para cada período. El procedimiento expuesto se apoyaba en

los razonamientos teóricos que proponen los precios Arrow – Debreu. Así definimos los precios

Arrow – Debreu en el nodo (i, j), ),( jiAD , cómo el valor actualizado de un activo cuyo flujo de

caja es 1 en el nodo (i, j) y 0 en cualquier otro caso.

En cuanto al spread por riesgo de crédito, el paso 2, se apoyaba en la misma

fundamentación que los precios Arrow – Debreu. En nuestro caso, definíamos los seudo –

precios Arrow – Debreu, cómo el valor probable de un euro cuyo devengo tiene lugar en i,

siempre y cuando el emisor del título no hubiera hecho default con anterioridad a i, siendo en


312

caso contrario su cuantía de δ , multiplicado por la probabilidad de que en i, el spread por

riesgo de crédito se halle en el nodo (i, j).

Suponiendo ausencia de correlación entre los subyacentes, el excedente negativo

ponderado según la probabilidad del escenario en que tiene lugar sería ahora:

+⋅−⋅⋅= )),(),,(),(),0(),((),,( CallcCallcPTSVPTSV miADmjiVmipijiVmjiSP λλφ (7.5)

siendo

),( miADcλ : seudo precio Arrow – Debreu, para el nodo (i, m), correspondiente al spread por

riesgo de crédito del activo afecto.

),( mipcλ , probabilidad de hallarse el spread por riesgo de crédito del activo afecto en m, para

el período i. Esta probabilidad supone aplicar el Teorema de Bayes a las probabilidades de

transición entre nodos, de manera similar a cómo se implementan los precios Arrow – Debreu.

Determinamos el VAR de excedente, recorriendo el árbol trinomial combinado para el

tipo de interés libre de riesgo, y el spread por riesgo de crédito del activo afecto, de la siguiente

manera:

),(),,(1

jiADmjiSPVARn

i

L

Lj

L

LmSP

j

j

k

k

⋅= ∑ ∑ ∑= −= −=

(7.6)

Los escenarios considerados en este supuesto son los correspondientes al tipo de

interés y spread por riesgo de crédito del activo afecto, con lo que tendríamos un árbol trinomial

tridimensional.

Para ilustrar esta metodología volveremos a nuestro ejemplo.

Consideraremos que los parámetros a y σ , para el spread por riesgo de crédito del

activo afecto, son 0,3 y 0,43197% respectivamente. Supondremos asimismo que no existe

correlación entre este spread por riesgo de crédito y el tipo libre de riesgo. En este caso, el

árbol trinomial para el spread por riesgo de crédito será:


313

0,0000,0020,0040,0060,008

0,0100,0120,0140,0160,018

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

mic ,1λ

Gráfico 7.1.: Árbol trinomial del spread de riesgo de crédito a corto del activo afecto.

En cuanto al árbol trinomial conjunto del tipo a corto y el spread por riesgo de crédito

del activo afecto, tendríamos:

jiR ,

mic ,1λ

Gráfico 7.2. Árbol trinomial tridimensional conjunto del tipo de interés y el spread por riesgo de crédito a cortoplazo del activo afecto a las PTSV

Siendo el valor razonable del activo afecto en cada nodo la que sigue:


314

λJ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,765644 0,829255 0,906690 1,000000

1 0,760236 0,804603 0,858528 0,923343 1,000000

1 0 0,804415 0,845548 0,888835 0,940302 1,000000

-1 0,832386 0,860000 0,920211 0,957573 1,000000

-2 0,860000 0,952694 0,975161 1,000000

2 0,776247 0,838290 0,912592 1,000000

1 0,772065 0,815744 0,867882 0,929353 1,000000

0 0 0,785545 0,815234 0,857257 0,898520 0,946423 1,000000

-1 0,839265 0,860000 0,930238 0,963806 1,000000

-2 0,860000 0,963075 0,981508 1,000000

2 0,786996 0,847424 0,918532 1,000000

1 0,783233 0,827040 0,877339 0,935403 1,000000

-1 0 0,823577 0,860000 0,908310 0,952583 1,000000

-1 0,845335 0,860000 0,940374 0,970079 1,000000

-2 0,860000 0,973569 0,987897 1,000000Cuadro 7.14.: Precios en el árbol trinomial para el tipo de interés y el spread por riesgo de crédito del activoafecto, incluyendo la opción de compra a favor del emisor.

Al incluir difusión en el spread por riesgo de crédito del activo afecto, el precio del

activo resulta ser de 0,785545. Supondremos que este precio es a su vez el precio de compra.

De este modo podemos afectar 1,024383 unidades de activo a las PTSV.

En cuanto a los seudo - precios Arrow – Debreu para el spread de crédito del activo

afecto, tendríamos:

J 0 1 2 3 4

1 0,165008 0,252240 0,297445 0,319990

0 1,000000 0,660033 0,474148 0,371995 0,315350

-1 0,165008 0,253810 0,301005 0,325449Cuadro 7.15.: Árbol de los seudo - precios Arrow – Debreu correspondiente al spread por riesgo de crédito del activo afecto.

Mientras que las probabilidades de hallarse en cada nodo serían:


315

J 0 1 2 3 4

1 0,166667 0,258135 0,308334 0,335884

0 1,000000 0,666667 0,483729 0,383331 0,328232

-1 0,166667 0,258135 0,308334 0,335884Cuadro 7.16.: Árbol de probabilidades correspondientes a cada nodo para el spread por riesgo de crédito del activo afecto.

Aplicando la expresión 7.5 obtenemos las siguientes cantidades:

λJ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,013606 0,004706 0,000000 0,000000

1 0,005466 0,003539 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,001312 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,019196 0,000537 0,000000 0,000000

1 0,013866 0,000012 0,000000 0,000000 0,000000

0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,001167 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,006823 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,001579 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro 7.17.: Excedente negativo ponderado por la probabilidad del escenario en que tiene lugar.

Los precios Arrow – Debreu para el tipo a corto son:

J 0 1 2 3 4

2 0,019241 0,040468 0,058054

1 0,162912 0,207210 0,207740 0,193812

0 1,000000 0,651646 0,489793 0,405896 0,355203

-1 0,162912 0,210990 0,214976 0,203273

-2 0,019954 0,043693 0,065276Cuadro 7.18.: Árbol de precios Arrow – Debreu correspondiente al tipo a corto.


316

Con toda la información anterior podemos aplicar la expresión 7.6 obteniendo:

λJ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,000262 0,000190 0,000000 0,000000

1 0,000890 0,000733 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000026 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000369 0,000022 0,000000 0,000000

1 0,002259 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000

0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000023 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000131 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000257 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro 7.19.: Excedente negativo ponderado por la probabilidad del escenario en que tiene lugar, ydescontado según el tipo de interés libre de riesgo.

La suma de las cantidades del cuadro 7.13 da lugar a un VAR de excedente de

0,005167.

7.5.3.2. VAR de excedente con difusión en el tipo de interés y el spreadpor riesgo de crédito para la entidad aseguradora y para el activo afecto.

En este supuesto, los algoritmos ha considerar son similares a los del apartado

anterior, aplicándose en la determinación del valor razonable de las PTSV las expresiones del

capítulo 6 para la difusión del tipo de interés y el spread por riesgo de crédito de la

aseguradora.

Suponiendo ausencia de correlación entre los subyacentes, el excedente negativo para

cada nodo una vez ponderada según la probabilidad del escenario en que tiene lugar se

determinaría como sigue


317

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅−

⋅⋅=

),(),(),,(),(),(),,(

,0max),,,(lipmiADmjiV

mipliADljiVmljiSP

qcCall

cqPTSV

λλ

λλ

(7.7)

siendo

),( liADqλ : seudo precio Arrow – Debreu, para el nodo (i, l), correspondiente al spread por

riesgo de crédito de la entidad aseguradora.

),( lip qλ , probabilidad de hallarse el spread por riesgo de crédito de la entidad aseguradora en

l, para el período i.

De este modo el VAR de excedente sería

∑ ∑ ∑ ∑= −= −= −=

⋅=n

i

L

Lj

L

Ll

L

LmSP

j

j

k

k

l

l

jiADmljiSPVAR1

),(),,,(

Si bien en este caso no se puede representar el árbol trinomial que engloba todos los

escenarios considerados por tratarse de 4 dimensiones, sí podemos representar la estructura

del nodo origen, ya que para ello no es necesario reservar una dimensión para el tiempo

(queda recogida por las ramas adyacentes). Tendríamos el siguiente nodo origen:

jiR ,

mic ,1λ liq ,

1λ



318

En nuestro ejemplo, el valor razonable del activo afecto sería el del apartado anterior,

mientras que el correspondiente a las PTSV, una vez ponderado por la probabilidad de

supervivencia del asegurado sería el que sigue:

λJ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

1 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

1 0 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

-1 0,817594 0,836600 0,861698 0,892389 0,932832

-2 0,872000 0,887846 0,908780 0,932832

2 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

1 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

0 0 0,788325 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

-1 0,828332 0,845311 0,868112 0,898753 0,932832

-2 0,884390 0,898083 0,915261 0,932832

2 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

1 0,812233 0,836600 0,861698 0,887549 0,932832

-1 0 0,812233 0,836600 0,861698 0,888838 0,932832

-1 0,839798 0,856104 0,877731 0,905163 0,932832

-2 0,896993 0,908491 0,921788 0,932832Cuadro 7.20.: Valor razonable de las PTSV con difusión en el tipo de interés y el spread por riesgo de crédito,una vez ponderado por la probabilidad de supervivencia del asegurado.

A partir del valor razonable de las PTSV y del activo afecto, así cómo de los precios

Arrow – Debreu correspondientes a cada escenario de tipos de interés, spread por riesgo de

crédito del activo afecto y de la entidad aseguradora, obtenemos las siguientes necesidades de

recursos propios para los escenarios considerados:

qJ λcJ λ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,000060 0,000035 0,000000 0,000000

1 0,000148 0,000142 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


319

2 0,000083 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000377 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000028 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000043 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000135 0,000086 0,000000 0,000000

1 0,000594 0,000379 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000013 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000191 0,000010 0,000000 0,000000

1 0,001506 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000012 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000068 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000171 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000066 0,000070 0,000000 0,000000

1 0,000148 0,000212 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000025 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000095 0,000028 0,000000 0,000000

1 0,000377 0,000066 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


320

-2 0,000041 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000035 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000043 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000019 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro 7.21.: Excedente negativo ponderado por la probabilidad del escenario en que tiene lugar, ydescontado según el tipo de interés libre de riesgo, considerando difusión en el tipo de interés y en ambosspread por riesgo de crédito: para el activo y la entidad aseguradora.

Al sumar todas las cantidades anteriores obtenemos un VAR de excedente de

0,005307.

7.5.4. VAR de excedente con difusión en el tipo de interés, el tanto de mortalidady el spread por riesgo de crédito tanto para las PTSV, cómo para el activo afecto.

En este caso, las valoraciones se han de realizar a nivel de subcarteras de asegurados

de la misma edad, debido a que la probabilidad de supervivencia dependiente de los distintos

escenarios analizados será diferente según la edad a la fecha de valoración.

De este modo en lugar de ponderar por la probabilidad de supervivencia del asegurado

en cada período, utilizaremos el seudo – precio Arrow – Debreu correspondiente al tanto de

mortalidad, correspondiente a cada uno de los nodos que surgen de la difusión del mismo.

El excedente negativo correspondiente a la subcartera de edad x, se obtiene para cada

uno de los nodos que surgen de la siguiente forma:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

),(),(),(),,(

),(),(),(),,,(,0max),,,,(

kiplipmiADmjiV

mipkiADliADlkjiVmlkjiSP

qcCall

cqx

µλλ

λµλ

siendo

),,,( lkjiVx : Valor razonable de las PTSV de la subcartera de edad x en 0, en el nodo

),,,( lkji .

),( kiADµ : seudo precio Arrow – Debreu, para el nodo (i, m), correspondiente al tanto de

mortalidad para la subcartera de edad x.


321

),( kip µ , probabilidad de hallarse el tanto de mortalidad de la subcartera de edad x en l, para

el período i.

Así el el VAR de excedente correspondiente a la subcartera de asegurados de edad x

sería ahora:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑= −= −= −= −=

⋅=n

i

L

Lj

L

Lk

L

Ll

L

LmSP

j

j

k

k

l

l

m

m

jiADmlkjiSPVAR1

),(),,,,(

La estructura del nodo origen para el árbol trinomial que resulta en éste caso no se

puede representar gráficamente, ya que necesita de 4 dimensiones, dando lugar cada nodo a

81 ramas.

Dado el elevado número de nodos, no incluiremos aquí la valoración del excedente

negativo probabilizado y descontado, para cada nodo. Se incluye un anexo con dicha

valoración.

El VAR de excedente en este caso resulta ser de 0,005414.

7.5.5. Resumen de valoraciones propuestas para el Var de excedente.

En resumen, las distintas valoraciones del VAR de excedente dan lugar al siguiente

cuadro:

jiijic RcR ,

1, += λ mijimji

c cRR ,1

,,, λ+=

iijiji qR 11,,

1 λµγ ++= 0,004541 0,005167

liijilji qR ,11

,,,1 λµγ ++= 0,005307

likijilkji qR ,1

,1

,,,,1 λµγ ++= 0,005414

Cuadro 7.22. Resumen de valoraciones del VAR de excedente efectuadas a lo largo del capítulo 7.

siendo cR el tipo de interés incrementado con el spread por riesgo de crédito del activo afecto.

Cómo es lógico cuanto menor sea el número de subyacentes al valor razonable con

difusión, menor será la complejidad de los algoritmos resultantes para determinar el VAR de

excedente de las PTSV. No obstante al igual que se explicó en el capítulo 6, antes de

simplificar es necesario determinar el error al que nos exponemos.


322

Existe una diferencia muy importante entre valorar sin difusión en el spread por riesgo

de crédito y hacerlo con difusión. Además tenemos que tener en cuenta que en ambos casos

podemos efectuar las valoraciones a nivel de cartera.

No obstante, la diferencia entre valorar sin difusión en el tanto de mortalidad y hacerlo

con difusión es cuantitativamente pequeña. En cambio al tener que efectuar la valoración a

nivel de subcarteras ésta sería mucho más laboriosa.

Por otra parte, estas diferencias dependen de las garantías de la Póliza de Seguro de

Vida, así cómo de la duración del seguro. Es por ello que también se ha de acotar el error al

que nos exponemos al no considerar esta difusión.

Valorar a nivel de subcarteras, implica asimismo, que el excedente positivo para una

subcartera de edad x, no puede compensar el posible excedente negativo de otra subcartera

de edad y, con lo que los resultados diferirían de los ajustados al nivel de riesgo asumido.

Todo lo anterior tendría que ser tenido en cuenta, en la elección del sistema de cálculo

escogido para la determinación del VAR de excedente.

323

QUINTA PARTE: CONCLUSIONES

325

CAPÍTULO 8. APLICACIÓN PRÁCTICA. 327


8.2. ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE. 328

8.2.1. Valor razonable sin opciones. 328


8.2.3. Opción de participación en beneficios 335

8.2.4. Valoración con opciones de rescate y participación

en beneficios. 340

8.3. SENSIBILIDAD DEL VALOR RAZONABLE DE LAS

PROVISIONES TÉCNICAS POR CAMBIOS EN EL

SUBYACENTE. 348

8.3.1. Posición Delta respecto a los tipos de interés. 348

8.3.2. Posición Vega respecto al tanto de mortalidad. 350


CAPÍTULO 8. Aplicación práctica.

327

CAPÍTULO 8. APLICACIÓN PRÁCTICA.


Este capítulo incluye un caso práctico de la metodología expuesta a lo largo de los

capítulos precedentes.

El apartado 8.2. expone la determinación del valor razonable de las PTSV según los

algoritmos de valoración explicados a lo largo del capítulo 6. Comienza sin considerar riesgo de

crédito y suponiendo difusión exclusivamente en el tipo de interés libre de riesgo. A

continuación incorpora también difusión en la medida de mortalidad, exponiendo la

determinación de la determinación del valor razonable de las opciciones de rescate y

participación en beneficios. Finalmente incluye el riesgo de crédito, considerando asimismo

difusión en el spread por riesgo de crédito.

El apartado 8.3. desarrolla la metodología explicada a lo largo del capítulo 7 haciendo

un especial énfasis en el VAR de excedente. En primer lugar obtiene el resultado de considerar

que no existe difusión en la medida de mortalidad, de modo que se pueda estimar el VAR de

excedente a nivel de cartera independientemente de la edad de cada asegurado, a partir del

valor razonable esperado de las PTSV esperadas de cada escenario futuro probable. Por

último se incluye difusión en la medida de mortalidad para considerar el VAR de excedente

total, cómo la suma de los correspondientes a cada subcartera de edad x .

8.2. ESTIMACIÓN DEL VALOR RAZONABLE.

8.2.1. Valor razonable sin opciones.

Para ilustrar la valoración en el árbol en un contexto de Pólizas de Seguros, nos

centraremos en un Seguro Mixto con el mismo capital para supervivencia y fallecimiento.

Como hipótesis técnicas, consideramos un interés técnico garantizado del 2,75%, los

gastos de gestión son:

• Gastos de adquisición (gadq) 1% de la prima de tarifa.

• Gastos de administración (gadm) del 0,08% del capital garantizado.

• Gastos de gestión de siniestros (ggs) del 0,02% del capital garantizado.


328

La medida de mortalidad que consideraremos será la resultante de nuestro ajuste del

modelo de Lee – Carter a la población andaluza. Siendo el asegurado una mujer de 70 años (x

= 70) en el año 2005 (y = 2005)

El valor de la prima de tarifa (todos los valores en tanto por uno del capital garantizado)

será

[ ])1(

)1(" :,,:, gadqggsgadmAE nyxyxnnyx −

++⋅¬+=¬Π

[ ]%)11(%)11(" 5:2005,702005,7055:2005,70 −

+⋅¬+=¬Π AE = 0,896237

La PTSV a determinar según el ROSSP será a prima de inventario y al tipo de interés

utilizado en la tarifa, siempre y cuando cumpla los requisitos establecidos en el artículo 33. Su

expresión es la siguiente:

[ ] ( )ggsgadmAEV nyxyxtnyxt ++⋅¬+= − 1' :,,,

Si determinamos el valor de la PTSV a la fecha de efecto obtenemos:

[ ] ( )%11' 5:2005,702005,7052005,700 +⋅¬+= AEV = 0,887274

En cambio, la valoración de la PTSV en el árbol trinomial partiría del flujo de caja

nominal, que sería en este caso para supervivencia al vencimiento:

)1( ggsgadmSn ++=

5S = %)11( +

y al comienzo de cada anualidad por fallecimiento:

)1( ggsgadmFt ++=

%)11( +=tF


329

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4

Suponiendo difusión en todos los subyacentes del valor razonable de las PTSV y

considerando los árboles trinomiales para el tipo de interés:


El tanto de mortalidad a un año equivalente sería:

ki,1µ


R i,j

0,000,010,020,030,04

0,050,060,070,080,09

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00


330

0,000,000,000,010,010,010,010,010,020,020,02

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

Para el spread por riesgo de crédito de la aseguradora tendríamos:

liq ,1λ


De este modo para el primer nodo tendríamos la siguiente configuración con 27 ramas:

jiR ,

ki,1µ

liq ,1λ

Figura 5.2. Transición de los tres subyacentes a partir del nodo origen

Supondremos cómo antes ausencia de correlación entre los subyacentes. Cómo ya se

ha expuesto para la determinación del valor razonable de las PTSV aplicamos la siguiente

expresión:


331

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4

( ) ikir s t

tsrc

sri

lkjicc

FtlkjiVpS

tlkjiV

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅

⋅∆⋅−=

∑∑∑= = =

+ )exp(1),,,1(

)exp(),,,(

,1

3

1

3

1

3

1,1

,,,1

µ

γ

Lo que daría lugar a la siguiente valoración en el árbol:

ki,1µ


λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,781545 0,842214 0,917389

1 0,777606 0,819175 0,870693 0,933748

1 0 0,825205 0,858701 0,900172 0,950407

-1 0,875857 0,900213 0,930683 0,967372

-2 0,943810 0,962265 0,984648

2 0,778768 0,840565 0,916730

1 0,774253 0,816832 0,869318 0,933205

1 0 0 0,822483 0,856819 0,899081 0,949982

-1 0,873817 0,898820 0,929888 0,967068

-2 0,942936 0,961778 0,984467

2 0,775953 0,838898 0,916065

1 0,770844 0,814456 0,867927 0,932658

-1 0 0,819716 0,854910 0,897978 0,949555

-1 0,871743 0,897407 0,929085 0,966762

-2 0,942050 0,961285 0,984286


332

2 0,792831 0,851868 0,923741

1 0,790391 0,831027 0,880685 0,940216

1 0 0,838808 0,871147 0,910515 0,956994

-1 0,890329 0,913283 0,941388 0,974080

-2 0,957536 0,973344 0,991479

2 0,790170 0,850307 0,923127

1 0,787181 0,828807 0,879401 0,939719

0 0 0 0,811981 0,836241 0,869397 0,909519 0,956616

-1 0,888459 0,912031 0,940692 0,973824

-2 0,956812 0,972961 0,991347

2 0,787472 0,848729 0,922508

1 0,783917 0,826557 0,878103 0,939218

-1 0 0,833631 0,867622 0,908512 0,956236

-1 0,886556 0,910760 0,939989 0,973566

-2 0,956077 0,972573 0,991215

2 0,804286 0,861636 0,930138

1 0,803396 0,843056 0,890796 0,946731

1 0 0,852643 0,883780 0,920980 0,963628

-1 0,905049 0,926550 0,952219 0,980836

-2 0,971468 0,984555 0,998359

2 0,801743 0,860164 0,929569

1 0,800331 0,840963 0,889605 0,946280

-1 0 0 0,850236 0,882164 0,920081 0,963298

-1 0,903351 0,925441 0,951624 0,980628

-2 0,970897 0,984276 0,998277

2 0,799165 0,858677 0,928996

1 0,797215 0,838840 0,888401 0,945826

-1 0 0,847787 0,880525 0,919172 0,962965

-1 0,901624 0,924315 0,951023 0,980419

-2 0,970317 0,983995 0,998193Cuadro 8.1. Valoración en el árbol de difusión de los tres subyacentes para las PTSV.



333

Consideraremos que el Tomador tiene el derecho de rescate al 92% de la PTSV

determinada al interés técnico.

De este modo aplicaríamos en la determinación del valor razonable de las PTSV la

ya conocida expresión 6.2:

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

⋅∆⋅−=

=

∑∑∑= = =

+ ikir s t

tsrRc

tsri

lkjicc

xicRc

FtlkjiVpS

tlkjiV

RlkjiVmaxlkjiV

)exp(1),,,1(

)exp(),,,(

);,,,(),,,(

,1

3

1

3

1

3

1,,1

,,,1

µ

γ

siendo

likijilkjic qR ,

1,

1,,,,

1λµγ ++=

Los valores de rescate, serían en este caso:

Final del año xiV ' xi R

1 0,903585 0,831298

2 0,928410 0,854137

3 0,954318 0,877973

4 0,981454 0,902937Cuadro 8.2. Valores de reserva y rescate.

Los resultados de aplicar la expresión 6.2. para nuestro ejemplo son los siguientes:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,858962 0,894496 0,917389

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,933748

1 0 0,837272 0,861901 0,900172 0,950407

-1 0,876465 0,900213 0,930683 0,967372

-2 0,943810 0,962265 0,984648

2 0,858962 0,894496 0,916730

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,933205


334

1 0 0 0,837272 0,860212 0,899081 0,949982

-1 0,875369 0,898820 0,929888 0,967068

-2 0,958674 0,961778 0,984467

2 0,858962 0,894496 0,916065

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,932658

-1 0 0,837272 0,858962 0,897978 0,949555

-1 0,872482 0,897407 0,929085 0,966762

-2 0,942050 0,961285 0,984286

2 0,858962 0,894496 0,923741

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,940216

1 0 0,844624 0,873326 0,910515 0,956994

-1 0,890791 0,913283 0,941388 0,974080

-2 0,957536 0,973344 0,991479

2 0,858962 0,894496 0,923127

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,939719

0 0 0 0,824767 0,842480 0,871755 0,909519 0,956616

-1 0,889164 0,912031 0,940692 0,973824

-2 0,956812 0,972961 0,991347

2 0,858962 0,894496 0,922508

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,939218

-1 0 0,840336 0,870163 0,908512 0,956236

-1 0,887100 0,910760 0,939989 0,973566

-2 0,956077 0,972573 0,991215

2 0,858962 0,894496 0,930138

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,946731

1 0 0,856787 0,884914 0,920980 0,963628

-1 0,905366 0,926550 0,952219 0,980836

-2 0,971468 0,984555 0,998359

2 0,858962 0,894496 0,929569

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,946280

-1 0 0 0,854775 0,883464 0,920081 0,963298

-1 0,903771 0,925441 0,951624 0,980628

-2 0,970897 0,984276 0,998277


335

2 0,858962 0,894496 0,928996

1 0,837272 0,858962 0,894496 0,945826

-1 0 0,852743 0,881994 0,919172 0,962965

-1 0,902010 0,924315 0,951023 0,980419

-2 0,970317 0,983995 0,998193Cuadro 8.3. Valoración en el árbol de difusión de los tres subyacentes para las PTSV incluyendoopción de rescate.


Supondremos igualmente que la participación en beneficios se determina cómo el

exceso sobre el interés técnico del 90% de la rentabilidad de las inversiones afectas y que

supondremos equivalente a la del activo libre de riesgo más el spread por riesgo de crédito del

escenario en que tenga lugar. Se aplicará sobre la PTSV determinada según el ROSSP cómo

sigue:

( )+−+⋅⋅= ITqRVlkjipb lijixi )(%90'),,,( ,1

, λ

siendo

),,,( lkjipb : prima del bono generada en el nodo ),,,( lkji .

Consideraremos que la prima generada por PB, se determina a prima de inventario, de

manera que el capital garantizado por supervivencia se determinará:

¬Π=

−++ iniyix

lkjipblkjicb:,'

),,,(),,,(

siendo

[ ] xiiniyixiyixininiyix VggsgadmAE ')1(' :,,:, =++⋅¬+=¬Π −++++−−++

tenemos

( )+−+⋅= ITqRlkjicb liji )(%90),,,( ,1

, λ


336

Fijémonos que el capital por PB es independiente del nivel del tanto de mortalidad. De

este modo los resultados para el ejemplo serán teniendo en cuenta los niveles respecto del tipo

de interés y el spread por riesgo de crédito:

λJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,054508 0,058788 0,061532

1 0,033010 0,038128 0,042408 0,045151

1 0 0,016629 0,021747 0,026027 0,028771

-1 0,000249 0,005367 0,009647 0,012390

-2

2 0,048112 0,052393 0,055136

1 0,026614 0,031732 0,036012 0,038756

0 0 0,010233 0,015351 0,019632 0,022375

-1 0,003251 0,005995

-2

2 0,041717 0,045997 0,048740

1 0,020218 0,025336 0,029616 0,032360

-1 0 0,003838 0,008956 0,013236 0,015979

-1

-2Cuadro 8.3. Árbol de cuantía de capitales proporcionados por la PB según el nodo origen, con difusión en los tres términos considerados del tanto de capitalización actuarial.

Supondremos asimismo que la participación en beneficios, a su vez no genera más

participación en beneficios y que en caso de rescate anticipado de la Póliza el Tomador no

tiene derecho de rescate sobre la participación en beneficios generada.

El paso siguiente será descontar hasta el nodo origen el flujo de caja procedente de la

PB. El flujo de caja será para supervivencia al vencimiento:

),,,()1( lkjicbggsgadmS nPB ⋅++=

y para fallecimiento al comienzo de cada uno de los nodos probables hasta el vencimiento

),,,()1( lkjicbggsgadmF iPB ⋅++=


337

De este modo el flujo de caja derivado de la PB, es proporcional al que originalmente

garantiza la Póliza:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅=

⋅=

),,,(

),,,(

lkjicbFF

lkjicbSS

ttPB

nnPB

Lo anterior permite que el descuento del flujo de caja originado por la PB en el nodo

),,,( lkji hasta el mismo nodo, se determine simplemente cómo el producto:

),,,(),,,(),,,( lkjicblkjiVlkjiPB cc ⋅=

Los resultados del ejemplo son:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,042600 0,049512 0,056448

1 0,025668 0,031233 0,036924 0,042160

1 0 0,013722 0,018674 0,023429 0,027344

-1 0,004831 0,008978 0,011986

-2

2 0,042449 0,049415 0,056408

1 0,025558 0,031144 0,036866 0,042135

1 0 0 0,013677 0,018633 0,023401 0,027332

-1 0,004824 0,008971 0,011982

-2

2 0,042296 0,049317 0,056367

1 0,025445 0,031053 0,036807 0,042111

-1 0 0,013631 0,018592 0,023372 0,027319

-1 0,004816 0,008963 0,011979

-2

2 0,038145 0,044632 0,050931

1 0,021035 0,026370 0,031715 0,036439

1 0 0,008584 0,013373 0,017875 0,021413

-1 0,003061 0,005839

-2


338

2 0,038017 0,044550 0,050897

1 0,020950 0,026300 0,031669 0,036419

0 0 0 0,008558 0,013347 0,017855 0,021404

-1 0,003058 0,005838

-2

2 0,037887 0,044467 0,050863

1 0,020863 0,026228 0,031622 0,036400

-1 0 0,008531 0,013319 0,017836 0,021396

-1 0,003056 0,005836

-2

2 0,033552 0,039633 0,045335

1 0,016243 0,021360 0,026382 0,030636

1 0 0,003272 0,007915 0,012190 0,015398

-1

-2

2 0,033446 0,039565 0,045307

1 0,016181 0,021307 0,026347 0,030621

-1 0 0 0,003263 0,007900 0,012178 0,015393

-1

-2

2 0,033338 0,039496 0,045279

1 0,016118 0,021253 0,026311 0,030607

-1 0 0,003254 0,007886 0,012166 0,015388

-1

-2Cuadro 8.4. Árbol de valoración de la opción de PB de las PTSV, con difusión en los tres subyacentesconsiderados.

Por último se descuentan las anteriores cantidades según la siguiente expresión

lkjic

r s ttsr

ctrs

lkjicPBc

PBlkjiVp

tlkjiV

,,,

3

1

3

1

3

1,,

,,,1

),,,1(

)exp(),,,(

++⋅

∆⋅−=

∑∑∑= = =

γ


339

Los resultados para el ejemplo:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,121372 0,095490 0,056448

1 0,103548 0,091708 0,071946 0,042160

1 0 0,065414 0,058984 0,046679 0,027344

-1 0,025905 0,024870 0,020301 0,011986

-2 0,005759 0,002254

2 0,121926 0,095694 0,056408

1 0,104325 0,092173 0,072121 0,042135

1 0 0 0,065987 0,059323 0,046808 0,027332

-1 0,026243 0,025061 0,020371 0,011982

-2 0,005820 0,002269

2 0,122483 0,095899 0,056367

1 0,105110 0,092642 0,072297 0,042111

-1 0 0,066566 0,059664 0,046937 0,027319

-1 0,026586 0,025253 0,020441 0,011979

-2 0,005881 0,002284

2 0,112643 0,087605 0,050931

1 0,093411 0,082026 0,063481 0,036439

1 0 0,054256 0,048387 0,037609 0,021413

-1 0,020874 0,015244 0,011112 0,005839

-2 0,005018 0,001897

2 0,113188 0,087806 0,050897

1 0,094165 0,082472 0,063647 0,036419

0 0 0 0,053294 0,054791 0,048695 0,037723 0,021404

-1 0,021161 0,015400 0,011164 0,005838

-2 0,005071 0,001910

2 0,113738 0,088008 0,050863

1 0,094928 0,082921 0,063814 0,036400

-1 0 0,055333 0,049007 0,037837 0,021396

-1 0,021452 0,015558 0,011218 0,005836

-2 0,005125 0,001922

2 0,103632 0,079525 0,045335


340

1 0,082925 0,072042 0,054810 0,030636

1 0 0,043179 0,037690 0,028348 0,015398

-1 0,017340 0,011177 0,004810

-2 0,004264 0,001532

2 0,104166 0,079721 0,045307

1 0,083652 0,072465 0,054965 0,030621

-1 0 0 0,043675 0,037966 0,028446 0,015393

-1 0,017586 0,011295 0,004843

-2 0,004310 0,001542

2 0,104704 0,079918 0,045279

1 0,084389 0,072891 0,055121 0,030607

-1 0 0,044178 0,038245 0,028544 0,015388

-1 0,017836 0,011415 0,004876

-2 0,004357 0,001553Cuadro 8.5. Árbol de valoración de la opción de PB de las PTSV incluyendo riesgo de crédito, con difusión en los tres subyacentes considerados.

8.2.4. Valoración con opción de rescate y participación en beneficios.

La anterior valoración de la opción de PB únicamente es válida cuando nuestro interés

es determinar su cuantía en la fecha de valoración. Si nuestro interés estriba en su valoración

en cada uno de los nodos subsiguientes, hemos de recurrir a otro algoritmo de valoración.

El árbol de valoración expuesto en el apartado anterior, descuenta y acumula la

aportación proporcionada por cada nodo a la opción de PB. No obstante, en el mencionado

árbol no se recoge el aporte de cada nodo a la opción de PB, a partir de dicho nodo y hasta el

vencimiento de la Póliza.

Para que en cada nodo ),,,( lkji quede recogido el aporte de la PB de los nodos

precedentes )'( ii < , y dado que el valor de dicho aporte, en nuestro ejemplo, es

),,,()',',','( lkjiVlkjicb ⋅

procedemos para cado nodo en tres pasos:

1. Determinamos el capital por PB acumulado según el aporte del nodo y de los nodos

precedentes (según las ramas de transición):


341

)',',',1(),,,( ,,,',','

',',',1,,, lkjipCBlkjicbCB lkjilkj

lkjilkji −⋅+= ∑∀

−

siendo

),,,( lkjiCB : capital garantizado acumulado en el nodo ),,,( lkji procedente de la

PB de dicho nodo y de los precedentes según las probabilidades de transición.

)',',',1(,,, lkjip lkji − : probabilidad de transición del nodo )',',',1( lkji − al nodo

),,,( lkji .

En nuestro ejemplo tendríamos:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,058782 0,123428 0,190588 0,194956

1 0,033010 0,063496 0,092823 0,121082 0,101649

1 0 0,016629 0,040129 0,068688 0,101454 0,106633

-1 0,008086 0,021050 0,036782 0,040312

-2 0,000890 0,003078 0,006762

2 0,056965 0,094377 0,119829 0,074190

1 0,033010 0,052715 0,066969 0,077740 0,038966

1 0 0 0,016629 0,032317 0,049670 0,064896 0,046688

-1 0,006930 0,015150 0,022778 0,015125

-2 0,000439 0,001202 0,002129

2 0,058782 0,123428 0,190170 0,193789

1 0,033010 0,063496 0,092823 0,121635 0,103257

-1 0 0,016629 0,040129 0,074344 0,115378 0,130198

-1 0,008086 0,021050 0,037341 0,041937

-2 0,000890 0,003078 0,006797

2 0,052351 0,121014 0,198687 0,223752

1 0,026614 0,056385 0,088100 0,121120 0,114420

1 0 0,010233 0,031550 0,066927 0,112238 0,140312

-1 0,002188 0,008894 0,021155 0,038451

-2 0,000478 0,002116 0,005546


342

2 0,050550 0,090103 0,119282 0,083466

1 0,026614 0,045908 0,061177 0,073297 0,042219

0 0 0 0,010233 0,024666 0,042524 0,059152 0,048976

-1 0,001258 0,004068 0,007957 0,012045

-2 0,000206 0,000696 0,001435

2 0,052351 0,117612 0,190782 0,211934

1 0,026614 0,056385 0,088080 0,121230 0,114926

-1 0 0,010233 0,031550 0,066927 0,112736 0,141887

-1 0,002188 0,008894 0,021322 0,039056

-2 0,000478 0,002116 0,005532

2 0,044750 0,098809 0,158544 0,170724

1 0,020218 0,042468 0,066664 0,092120 0,084140

1 0 0,003838 0,018500 0,044912 0,078825 0,100064

-1 0,001054 0,005097 0,013319 0,025549

-2 0,000218 0,001133 0,003287

2 0,043461 0,075133 0,098147 0,064255

1 0,020218 0,035187 0,047614 0,057584 0,031203

-1 0 0 0,003838 0,014444 0,028637 0,041844 0,035130

-1 0,000606 0,002295 0,004905 0,007853

-2 0,000087 0,000341 0,000780

2 0,044750 0,098809 0,158126 0,169521

1 0,020218 0,042468 0,066664 0,092158 0,084353

-1 0 0,003838 0,018500 0,044912 0,079463 0,101991

-1 0,001054 0,005097 0,013362 0,025777

-2 0,000218 0,000893 0,002186Cuadro 8.6.: Capital por PB acumulado para cada nodo y los precedentes según las probabilidades detransición.

2. El paso siguiente será multiplicar el capital acumulado en el nodo, lkjiCB ,,, , por la

valoración en el árbol sin opciones, ),,,( lkjiV . En nuestro caso obtenemos:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,045941 0,103952 0,174843 0,196906

1 0,025668 0,052014 0,080820 0,113060 0,102665


343

1 0 0,013722 0,034459 0,061831 0,096423 0,107699

-1 0,007279 0,019591 0,035582 0,040715

-2 0,000856 0,003031 0,006830

2 0,044363 0,079330 0,109851 0,074932

1 0,025558 0,043059 0,058218 0,072547 0,039356

1 0 0 0,013677 0,027690 0,044658 0,061650 0,047155

-1 0,006229 0,014088 0,022028 0,015276

-2 0,000423 0,001184 0,002151

2 0,045612 0,103543 0,174208 0,195727

1 0,025445 0,051715 0,080563 0,113444 0,104290

-1 0 0,013631 0,034307 0,066760 0,109558 0,131500

-1 0,007256 0,019557 0,036100 0,042356

-2 0,000855 0,003030 0,006865

2 0,041506 0,103088 0,183535 0,225990

1 0,021035 0,046857 0,077589 0,113879 0,115565

1 0 0,008584 0,027485 0,060938 0,107411 0,141715

-1 0,001999 0,008372 0,020607 0,038835

-2 0,000465 0,002098 0,005601

2 0,039943 0,076615 0,110113 0,084300

1 0,020950 0,038049 0,053799 0,068879 0,042641

0 0 0 0,008558 0,021445 0,038677 0,056585 0,049466

-1 0,001148 0,003827 0,007749 0,012165

-2 0,000201 0,000690 0,001449

2 0,041225 0,099821 0,175998 0,214053

1 0,020863 0,046605 0,077344 0,113861 0,116076

-1 0 0,008531 0,027374 0,060804 0,107803 0,143306

-1 0,001993 0,008360 0,020759 0,039446

-2 0,000465 0,002097 0,005587

2 0,035992 0,085137 0,147467 0,172431

1 0,016243 0,035803 0,059384 0,087213 0,084982

1 0 0,003272 0,016350 0,041363 0,075958 0,101064

-1 0,000977 0,004854 0,013064 0,025804

-2 0,000215 0,001131 0,003320


344

2 0,034845 0,064627 0,091234 0,064898

1 0,016181 0,029591 0,042357 0,054490 0,031515

-1 0 0 0,003263 0,012742 0,026348 0,040308 0,035482

-1 0,000561 0,002184 0,004810 0,007931

-2 0,000085 0,000341 0,000788

2 0,035763 0,084845 0,146898 0,171217

1 0,016118 0,035624 0,059225 0,087165 0,085196

-1 0 0,003254 0,016290 0,041281 0,076520 0,103011

-1 0,000974 0,004848 0,013101 0,026035

-2 0,000214 0,000892 0,002208Cuadro 8.7.: Capital por PB acumulado para cada nodo y los precedentes según las probabilidades detransición.

3. El árbol de valoración anterior, considera los capitales por PB acumulados para cada

nodo, pero no tiene en cuenta la valoración en el nodo de los correspondientes a nodos

posteriores. Para ello hemos de agregarle, el árbol de valoración de la PB que

utilizamos en el capítulo 7 y que partía del descuento en el árbol del flujo de caja

derivado de la PB hasta el nodo origen, es decir, las cantidades que hemos

denominado lkjiPB ,,, . Sería el árbol correspondiente al cuadro 8.5.

No obstante, de hacerlo así duplicaríamos el reconocimiento de la PB generada en en

cada nodo, ya que se incluye tanto en el cuadro 8.5., cómo en el cuadro 8.7. La

operación a realizar sería:

lkjiPB

lkjiPBT PBlkjiVlkjiVCBlkjiV ,,,,,, ),,,(),,,(),,,( −+⋅=

Obtenemos el siguiente árbol:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,124712 0,149930 0,174843 0,196906

1 0,103548 0,112489 0,115842 0,113060 0,102665

1 0 0,065414 0,074768 0,085082 0,096423 0,107699

-1 0,025905 0,027318 0,030914 0,035582 0,040715

-2 0,005759 0,003110 0,003031 0,006830

2 0,123839 0,125609 0,109851 0,074932

1 0,104325 0,104088 0,093473 0,072547 0,039356

1 0 0 0,065987 0,068379 0,068065 0,061650 0,047155


345

-1 0,026243 0,026466 0,025488 0,022028 0,015276

-2 0,005820 0,002692 0,001184 0,002151

2 0,125800 0,150125 0,174208 0,195727

1 0,105110 0,113303 0,116053 0,113444 0,104290

-1 0 0,066566 0,075379 0,090325 0,109558 0,131500

-1 0,026586 0,027692 0,031035 0,036100 0,042356

-2 0,005881 0,003140 0,003030 0,006865

2 0,116004 0,146062 0,183535 0,225990

1 0,093411 0,102513 0,109354 0,113879 0,115565

1 0 0,054256 0,062499 0,080672 0,107411 0,141715

-1 0,020874 0,017243 0,016423 0,020607 0,038835

-2 0,005018 0,002362 0,002098 0,005601

2 0,115114 0,119872 0,110113 0,084300

1 0,094165 0,094221 0,085777 0,068879 0,042641

0 0 0 0,053294 0,054791 0,056794 0,058544 0,056585 0,049466

-1 0,021161 0,016548 0,011933 0,007749 0,012165

-2 0,005071 0,002110 0,000690 0,001449

2 0,117076 0,143362 0,175998 0,214053

1 0,094928 0,103298 0,109535 0,113861 0,116076

-1 0 0,055333 0,063061 0,080806 0,107803 0,143306

-1 0,021452 0,017551 0,016521 0,020759 0,039446

-2 0,005125 0,002388 0,002097 0,005587

2 0,106072 0,125030 0,147467 0,172431

1 0,082925 0,086485 0,087812 0,087213 0,084982

1 0 0,043179 0,046125 0,057521 0,075958 0,101064

-1 0,017340 0,012153 0,009663 0,013064 0,025804

-2 0,004264 0,001746 0,001131 0,003320

2 0,105565 0,104784 0,091234 0,064898

1 0,083652 0,080749 0,070975 0,054490 0,031515

-1 0 0 0,043675 0,042808 0,042616 0,040308 0,035482

-1 0,017586 0,011856 0,007027 0,004810 0,007931

-2 0,004310 0,001628 0,000341 0,000788

2 0,107129 0,125267 0,146898 0,171217


346

1 0,084389 0,087262 0,088034 0,087165 0,085196

-1 0 0,044178 0,046649 0,057660 0,076520 0,103011

-1 0,017836 0,012389 0,009723 0,013101 0,026035

-2 0,004357 0,001767 0,000892 0,002208Cuadro 8.8.: Capital por PB acumulado para cada nodo y los precedentes según las probabilidades detransición.

Una vez determinada la valoración de la PB para cada nodo, y suponiendo que la PB

no tiene derecho de rescate, el valor razonable de las PTSV incluyendo ambas opcionalidades

sería la suma de los cuadros 8.2 y 8.8, dando lugar a:

λJ µJ RJ 0 1 2 3 4

2 0,983674 1,044425 1,092233 1,206906

1 0,940821 0,971451 1,010338 1,046808 1,112665

1 0 0,902687 0,936669 0,985254 1,046829 1,117699

-1 0,902370 0,927531 0,961597 1,002954 1,050715

-2 0,949569 0,965374 0,987679 1,016830

2 0,982801 1,020105 1,026581 1,084932

1 0,941597 0,963050 0,987968 1,005752 1,049356

1 0 0 0,903259 0,928591 0,967146 1,011632 1,057155

-1 0,901612 0,925285 0,955377 0,989096 1,025276

-2 0,964494 0,964469 0,985651 1,012151

2 0,984761 1,044621 1,090274 1,205727

1 0,942382 0,972265 1,010549 1,046102 1,114290

-1 0 0,903838 0,934341 0,988303 1,059113 1,141500

-1 0,899068 0,925099 0,960120 1,002862 1,052356

-2 0,947930 0,964425 0,987315 1,016865

2 0,974965 1,040557 1,107276 1,235990

1 0,930683 0,961475 1,003850 1,054095 1,125565

1 0 0,898880 0,935824 0,991187 1,064405 1,151715

-1 0,911665 0,930526 0,957811 0,994687 1,048835

-2 0,962554 0,975706 0,993577 1,015601

2 0,974076 1,014367 1,033239 1,094300

1 0,931437 0,953182 0,980273 1,008598 1,052641

0 0 0 0,878061 0,897271 0,928548 0,968063 1,013202 1,059466


347

-1 0,910325 0,928578 0,952625 0,981573 1,022165

-2 0,961883 0,975071 0,992038 1,011449

2 0,976037 1,037858 1,098506 1,224053

1 0,932200 0,962260 1,004031 1,053080 1,126076

-1 0 0,895668 0,933225 0,989318 1,064039 1,153306

-1 0,908552 0,928311 0,956510 0,994325 1,049446

-2 0,961203 0,974960 0,993312 1,015587

2 0,965034 1,019525 1,077606 1,182431

1 0,920197 0,945447 0,982307 1,033943 1,094982

1 0 0,899966 0,931039 0,978500 1,039586 1,111064

-1 0,922707 0,938703 0,961883 0,993900 1,035804

-2 0,975733 0,986301 0,999491 1,013320

2 0,964526 0,999279 1,020803 1,074898

1 0,920925 0,939711 0,965471 1,000770 1,041515

-1 0 0 0,898450 0,926271 0,962697 1,003606 1,045482

-1 0,921358 0,937297 0,958651 0,985438 1,017931

-2 0,975207 0,985904 0,998617 1,010788

2 0,966090 1,019762 1,075895 1,181217

1 0,921661 0,946224 0,982530 1,032992 1,095196

-1 0 0,896921 0,928643 0,976831 1,039485 1,113011

-1 0,919846 0,936705 0,960746 0,993519 1,036035

-2 0,974674 0,985762 0,999085 1,012208Cuadro 8.9. Árbol de valoración de la opción de PB de las PTSV incluyendo riesgo de crédito, con difusión enlos tres subyacentes considerados.

En resumen, las distintas valoraciones de las PTSV dan lugar al siguiente cuadro:

Capitalización actuarial Sin opciones Rescate PB Rescate+PB

Rqc ++= 111λµγ 0,811981 0,824767 0,865275 0,878061

Cuadro 8.10. Resumen de valoraciones efectuadas respecto al valor razonable de las PTSV.


348

8.3. SENSIBILIDAD DEL VALOR RAZONABLE DE LAS PTSV POR CAMBIOS EN ELSUBYACENTE.

8.3.1. Posición delta respecto a los tipos de interés.

Consideraremos al igual que se expuso en el capítulo 7 la posición delta del valor

razonable de las PTSV, ante un cambio paralelo en la ETTI de 100 p.b..

De este modo consideraremos que la ETTI originalmente era:

Gráfico 7.1.: Árbol del tipo de interés a corto, según la ETTI del cuadro 7.1.

De ser así las anteriores valoraciones pasarían a ser:

Capitalización actuarial Sin opciones Rescate PB Rescate & PB

jilikilkjic Rq ,,

1,

1,,,

1++= λµγ 0,774363 0,807910 0,847473 0,881020

Cuadro 8.11. Resumen de valoraciones efectuadas respecto al valor razonable de las PTSV a partir de la ETTIincrementada en 100 p.b..

La sensibilidad del valor razonable de las PTSV sería considerando la ETTI del gráfico

8.5. cómo la original, y la del gráfico 8.1. cómo la reducida en 100. p.b., la que sigue:

Capitalización actuarial Sin opciones Rescate PB Rescate & PB

jilikilkjic Rq ,,

1,

1,,,

1++= λµγ

4,85793% 2,08649% 2,10060% <0,3359%>Cuadro 8.12. Sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante un descenso paralelo de 100 p. b. en la ETTI.

R i,j

0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,10

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00


349

Si representamos gráficamente las distintas valoraciones considerando variaciones

paralelas de 10 p.b. en la ETTI, tendríamos

Gráfico 8.1.: Posición Delta de las distintas valoraciones de las PTSVrespecto de los tipos de Interés.

Si nos centramos en la valoración incluyendo las opciones de rescate y PB tenemos

Gráfico 8.1.: Posición Delta de la valoraciones de las PTSVrespecto de los tipos de Interés.

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

100806040200-20-40-60-80-10

0

Rescate & PB

PB

Rescate

Sin opciones

0,876

0,878

0,880

0,882

0,884

0,886

0,888

100806040200-20-40-60-80-10

0


350

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0 1 2 3 4

8.3.2. Posición vega respecto al tanto de mortalidad.

Si suponemos al igual que en el capítulo 7, un incremento en la volatilidad del

parámetro 1µ , pasando a ser de σ = 0,67846%, tendríamos según las hipótesis del modelo, el

siguiente árbol trinomial recombinante:

El tanto de mortalidad equivalente sería:

ki,1µ

Gráfico 7.2.: Árbol del tanto de mortalidad suponiendo que el valor de σ asciende a un 0,67846%.

El resumen de valoraciones sería ahora:

Sin opciones Rescate PB Rescate+PB

jilikilkjic Rq ,,

1,

1,,,

1++= λµγ

0,811981 0,824781 0,865275 0,878075Cuadro 8.13. Resumen de valoraciones efectuadas respecto al valor razonable de las PTSV para un parámetroσ del tanto de mortalidad de 0,67846%.

La sensibilidad del valor razonable de las PTSV ante un descenso del 50% en el

número de asegurados según las opcionalidades consideradas:

Sin opciones Rescate PB Rescate+PB

jilikilkjic Rq ,,

1,

1,,,

1++= λµγ 0,00000% 0,00192% 0,00000% 0,00180%

Cuadro 8.14. Sensibilidad del valor razonable de las PTSV cuando el parámetro σ del tanto de mortalidad pasa de un 0,45231% a un 0,67846%.


351

8.4. VAR DE EXCEDENTE

Para la estimación del VAR de excedente, consideraremos que el activo afecto tiene el

mismo spread por riesgo de crédito que el activo considerado en el capítulo anterior. Siendo su

árbol trinomial el que sigue:

Gráfico 7.1.: Árbol trinomial del spread de riesgo de crédito a corto del activo afecto.

Consideraremos una SPV cuyos flujos tienen una estructura similar a la esperanza

matemática a la fecha de efecto del Seguro de los flujos por prestaciones y gastos

proporcionados por la Póliza (a excepción de los gastos de adquisición). Estos flujos

determinados según nuestra tabla de mortalidad serán:

Año tF nS

0 0,012623

1 0,013906

2 0,015298

3 0,016811

4 0,018530

5 0,932832Cuadro 8.7. Flujos probables de pagos de la Póliza.

No obstante para poner de manifiesto cierta asimetría, consideraremos igualmente que

tiene opción de compra por parte del emisor en el segundo año por 0,840000. De este modo

para determinar el valor razonable aplicaremos la misma expresión 7.1. que en el capítulo

anterior. No obstante y dado que los flujos son prepagables, la expresión que realmente

aplicaremos será:

cλ 1 i,m

0,0000,0020,0040,0060,008

0,0100,0120,0140,0160,018

0 1 2 3 4 5


352

[ ]

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅⋅+−=

=

∑=

ik

Callkkiji

iCall

CjiVpcRjiV

StrikejiVjiV

3

1

1, ),1()(exp),(

);,(min),(

λ

La valoración en el árbol en términos del capital garantizado en la Póliza es la

siguiente:

λJ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,760365 0,807219 0,864319 0,932832

1 0,766741 0,797535 0,834835 0,879854 0,932832

0 0,806761 0,836584 0,863422 0,895674 0,932832

-1 0,828703 0,840000 0,893011 0,911785 0,932832

-2 0,840000 0,923640 0,928191 0,932832

2 0,770524 0,815757 0,869825 0,932832

1 0,777274 0,808205 0,843673 0,885461 0,932832

0 0 0,797813 0,814291 0,840000 0,872570 0,901384 0,932832

-1 0,834414 0,840000 0,902480 0,917599 0,932832

-2 0,840000 0,933441 0,934112 0,932832

2 0,780822 0,824388 0,875366 0,932832

1 0,787644 0,819022 0,852607 0,891104 0,932832

0 0,820908 0,840000 0,881817 0,907130 0,932832

-1 0,839835 0,840000 0,912052 0,923451 0,932832

-2 0,840000 0,943349 0,940072 0,932832Cuadro 8.8.: Árbol de valoración del activo afecto considerando difusión en el tipo de interes y el spread porriesgo de credito del activo afecto, incluyendo la opcion de compra a favor del emisor.

Cómo antes la cantidad invertida es la cuantía de las PTSV determinadas según el

ROSSP, yxtV ,' , y que asciende a 0,887274. De este modo se compra el equivalente a

1,112133 unidades por cada unidad de capital garantizado, dando lugar a la siguiente

valoración en el árbol:


353

λJ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,845627 0,897735 0,961238 1,037433

1 0,852718 0,886966 0,928448 0,978515 1,037433

1 0 0,897226 0,930393 0,960240 0,996109 1,037433

-1 0,921628 0,934192 0,993147 1,014026 1,037433

-2 0,934192 1,027211 1,032272 1,037433

2 0,856925 0,907231 0,967361 1,037433

1 0,864432 0,898832 0,938277 0,984750 1,037433

0 0 0,887274 0,905600 0,934192 0,970414 1,002459 1,037433

-1 0,927979 0,934192 1,003678 1,020492 1,037433

-2 0,934192 1,038111 1,038857 1,037433

2 0,868378 0,916829 0,973524 1,037433

1 0,875965 0,910861 0,948212 0,991026 1,037433

-1 0 0,912959 0,934192 0,980698 1,008850 1,037433

-1 0,934009 0,934192 1,014323 1,027001 1,037433

-2 0,934192 1,049130 1,045485 1,037433Cuadro 8.9.: Árbol de valoración del activo afecto considerando difusión en el tipo de interes y el spread porriesgo de credito del activo afecto, incluyendo la opcion de compra a favor del emisor, proporcional a las PTSVdeterminadas según el ROSSP.

Una vez tenemos el árbol de valoración de las PTSV y del activo afecto, aplicamos

para determinar el excedente negativo correspondiente a cada nodo, la expresión descrita en el

capítulo anterior:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

),(),(),(),,(),(),(),(),,,(

,0max),,,,(kiplipmiADmjiV

mipjiADliADlkjiVmlkjiSP

qcCall

cqRPBc

µλλ

λµλ

siendo

),,,( lkjiV RPBc : valor razonable de las PTSV incluyendo la opción de rescate y participación

en beneficios, en el nodo ),,,( lkji .




354




riesgo de crédito del activo afecto.




),( kiADµ : seudo precio Arrow – Debreu, para el nodo (i, k), correspondiente al tanto de

mortalidad.

),( kip µ , probabilidad de hallarse el tanto de mortalidad de la subcartera de edad x en k, para

el período i.

Así el el VAR de excedente correspondiente a la subcartera de asegurados de edad x

sería ahora:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑= −= −= −= −=

⋅=n

i

L

Lj

L

Lk

L

Ll

L

LmSP

j

j

k

k

l

l

m

m

jiADmlkjiSPVAR1

),(),,,,(

Siendo tanto los seudo - precios de Arrow – Debreu, cómo las probabilidades de

hallarse en los nodos correspondientes, similares a los del capítulo anterior, el excedente

negativo correspondiente a cada nodo, una vez multiplicado por el precio Arrow - Debreu para

los tipos de interés, ),( jiAD , es el siguiente:

µJ qJ λcJ λ RJ 0 1 2 3 4 5

2 0,000036 0,000115 0,000133 0,000219

1 0,000057 0,000199 0,000214 0,000012 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000058 0,000122 0,000100 0,000158

1 0,000192 0,000276 0,000152 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


355

2 0,000027 0,000080 0,000070 0,000152

1 0,000039 0,000095 0,000028 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000073 0,000193 0,000263 0,000457

1 0,000197 0,000375 0,000347 0,000175 0,000088

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000171 0,000610

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000003 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000118 0,000205 0,000213 0,000350

1 0,000648 0,000497 0,000244 0,000023 0,000000

1 0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000344

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000053 0,000136 0,000173 0,000366

1 0,000128 0,000153 0,000043 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000197

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000032 0,000102 0,000140 0,000219

1 0,000042 0,000131 0,000123 0,000044 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000076

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000051 0,000105 0,000107 0,000157

1 0,000131 0,000150 0,000039 0,000000 0,000000

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000011 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000023 0,000067 0,000078 0,000152

1 0,000024 0,000028 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


356

-2 0,000005 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000057 0,000077 0,000004 0,000000

1 0,000229 0,000279 0,000086 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000094 0,000078 0,000000 0,000000

1 0,000777 0,000368 0,000009 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000043 0,000048 0,000000 0,000000

1 0,000160 0,000113 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000117 0,000127 0,000028 0,000000

1 0,000797 0,000518 0,000126 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000005 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000190 0,000128 0,000006 0,000000

1 0,002628 0,000640 0,000000 0,000000 0,000000

0 0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000003 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000086 0,000079 0,000000 0,000000

1 0,000519 0,000162 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000051 0,000069 0,000016 0,000000

1 0,000168 0,000185 0,000034 0,000000 0,000000


357

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000011 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000083 0,000068 0,000000 0,000000

1 0,000533 0,000193 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000018 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000037 0,000040 0,000000 0,000000

1 0,000099 0,000019 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000008 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000037 0,000121 0,000145 0,000228

1 0,000058 0,000208 0,000242 0,000059 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000037 0,000223

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000060 0,000129 0,000111 0,000165

1 0,000197 0,000294 0,000186 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000062

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000028 0,000086 0,000082 0,000161

1 0,000041 0,000105 0,000056 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000075 0,000197 0,000261 0,000428

1 0,000201 0,000396 0,000392 0,000240 0,000131

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000304 0,000708

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000003 0,000000 0,000000 0,000000


358

2 0,000122 0,000209 0,000211 0,000325

1 0,000666 0,000537 0,000300 0,000086 0,000015

-1 0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000020 0,000427

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000055 0,000140 0,000170 0,000337

1 0,000132 0,000175 0,000088 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000296

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000033 0,000107 0,000153 0,000227

1 0,000043 0,000141 0,000151 0,000088 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000012 0,000152

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000053 0,000112 0,000119 0,000165

1 0,000135 0,000168 0,000073 0,000000 0,000000

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000002

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000011 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000024 0,000072 0,000090 0,000160

1 0,000025 0,000037 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000005 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro 8.10.: Excedente negativo ponderado por la probabilidad del escenario en que tiene lugar, ydescontado según el tipo de interés libre de riesgo, considerando difusión en el tipo de interés, el tanto demortalidad y en el spread por riesgo de crédito de la entidad aseguradora y del activo afecto a las PTSV.

La suma de las anteriores cantidades da lugar a un VAR de excedente de 0,03477, es

decir, según las hipótesis del modelo, las necesidades de recursos propios para hacer frente al

riesgo de que el valor razonable de las PTSV supere al de los activos afectos, según la

probabilidad de ocurrencia y el importe del déficit que supondría son equivalentes a 0,03477.

359

CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES. 361

9.1. MODELO PROPUESTO. 361

9.1.1. Estimación del valor razonable de las PTSV. 361

9.1.1.1. Subyacentes considerados 361

9.1.1.1.1. Tipo de interés libre de riesgo. 361

9.1.1.1.2. Tanto de mortalidad. 362

9.1.1.1.3. Spread por riesgo de crédito. 369

9.1.1.2. Difusión del valor actual actuarial. 370

9.1.1.3. Estimación del valor razonable de

las PTSV. 373

9.1.2. El valor razonable y la estimación de los recursos

propios. 376

9.1.3. Aplicación en la determinación del “European

Embedded Value”. 383

9.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL MODELO

PROPUESTO. 386

9.3. FUTURAS LINEAS DE INVESTIGACIÓN. 388

CAPÍTULO 9. Conclusiones.

361

CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES.

9.1. MODELO PROPUESTO.

Hemos propuesto un proceso de estimación de los compromisos de la asegurador

debidos a contratos de Seguros de Vida, de forma consistente con el mercado. También se ha

expuesto una metodología para la cuantificación de los requerimientos de solvencia, según la

metodología del valor razonable.

9.1.1. Estimación del valor razonable de las PTSV.

9.1.1.1. Subyacentes considerados.

Los subyacentes al valor razonable de las PTSV considerados, han sido los siguientes:

• Tipo de interés libre de riesgo.

• Tanto de mortalidad.

• Spread por riesgo de crédito de la aseguradora.

9.1.1.1.1. Tipo de interés libre de riesgo.

La determinación de la ETTI vigente en cada período, no es inmediata a partir del

mercado de capitales, sino que requiere de un proceso de filtrado previo.

Para este proceso de filtrado, proponemos el modelo de Vasicek y Fong adaptado al

mercado español por Contreras et al (1996) expuesto en el capítulo 3.

Una vez disponemos de la ETTI vigente en la fecha de valoración, aplicamos el modelo

de Hull – White con un factor de riesgo, para recoger las expectativas del mercado acerca de la

difusión de la ETTI a futuro.

Este modelo calibrable a mercado, permite replicar la ETTI. Para replicar también la

ETVs tendríamos que recurrir al modelo de dos factores.

Dado que nos interesa trabajar con tiempo discreto, aplicamos el algoritmo robusto de

dos pasos propuesto por Hull y White, para la implementación numérica de este modelo

mediante árboles trinomiales recombinantes.


362

Este modelo considera que el tipo de interés libre de riesgo a corto plazo sigue el

siguiente proceso estocástico:

ttt dWdtaRtdR σθ +−= ))((

La consideración en tiempo discreto de este modelo a través de árboles trinomiales,

simplifica y facilita su implementación. En uno de los ejemplos ilustrativos que incluimos

obtenemos el siguiente árbol trinomial recombinante:


9.1.1.1.2. Tanto de mortalidad.

Tratándose de Seguros de Vida, el riesgo técnico se centra fundamentalmente en el

riesgo biométrico, considerado cómo el riesgo derivado de la realización del suceso

fallecimiento o supervivencia del Asegurado.

Podemos dividir el riesgo biométrico en dos partes:

1. Riesgo sistemático o de desconocimiento de la esperanza matemática de la realización

del suceso.

2. Riesgo no sistemático o de desviación de la realización del suceso respecto a su

esperanza matemática.

Este trabajo se ha centrado en el riesgo sistemático o de desconocimiento de la

esperanza matemática de la realización del suceso. Dejamos abierta la línea de investigación

R i,j

0,000,010,020,030,04

0,050,060,070,080,09

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00


363

consistente en reconocer en el valor razonable de las PTSV, el riesgo de desviación respecto a

la esperanza matemática.

Dado que no existe un mercado en el que se negocie activamente cómo subyacente,

una medida de la realización del mencionado suceso, hemos de recurrir a su ajuste histórico.

En este trabajo de investigación se han expuesto varios modelos de graduación de tablas de

mortalidad dinámicas.

Asimismo se han graduado unas tablas de mortalidad dinámicas para la población

andaluza. Los modelos de ajuste empleados han sido el de Helligman y Pollard, y el modelo de

Lee – Carter. Si bien proponemos el modelo de Lee – Carter, el modelo de Helligman y Pollard

ha servido de contraste de los resultados obtenidos.

El modelo de Lee – Carter considera la probabilidad de fallecimiento a un año, yxq , ,

cómo sigue:

xyyxxyx kbaq ε++= )exp(, ,

Los parámetros xa y xb dependen de la edad, x , quedando caracterizada la

mortalidad en el año y mediante el factor no observable, yk , de manera que el factor xb

recoge la dinamicidad del proceso.

En general, suele ajustar bien para el factor yk un modelo ARIMA(0, 1, 0) con

constante negativa:

yyy kck ε++= −1

Entre las ventajas más importantes del modelo, podemos destacar la rapidez en su

aplicación. Si bien en nuestro ajuste de la mortalidad andaluza, ha sido algo más lento debido

al problema de la sobre-estimación de la mortalidad masculina para edades jóvenes. No

obstante, este problema es independiente del modelo escogido, debiendo realizar los ajustes

oportunos también para el modelo de Helligman y Pollard.

Consideraremos que el error yx,ε se relaciona con el riesgo de desviación de la

siniestralidad real respecto de la esperada, mientras que el error yε se corresponde con el

riesgo de desconocimiento de la siniestralidad esperada en el año futuro y .


364

Siendo

yxyxxyxyx kbaq ,,, ')ln( εω ++==

los resultados de nuestro ajuste de la mortalidad a la población andaluza han sido, cómo

expusimos en el capítulo 4 los siguientes:

[ ][ ]yxEEp ,ω

y x

Gráfico 4.20.: Resultados proyectados del logaritmo de la probabilidad de fallecimiento obtenidos mediante el modelo de Lee – Carter suavizado. Hombres.

[ ][ ]yxEEp ,ω

y x

Gráfico 4.21.: Resultados proyectados del logaritmo de la probabilidad de fallecimiento obtenidos mediante el modelo de Lee – Carter suavizado. Mujeres.


365

Los resultados anteriores, proporcionan la esperanza matemática del suceso

fallecimiento a un año. No obstante si nos centramos en la caracterización de la mortalidad

para el año y , a partir del valor del parámetro yk , junto a su esperanza matemática hemos

obtenido los intervalos de confianza al 95% siguientes:

Gráfico 4.20.: Intervalos de confianza para el kt correspondiente al modelo Lee – Carter. Hombres.

Gráfico 4.21.: Intervalos de confianza para el kt correspondiente al modelo Lee – Carter. Mujeres.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

KtInt.InfInt.Sup

-40

-30

-20

-10

0

10

20

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

KtInt.InfInt.Sup


366

Esto nos induce a considerar la esperanza matemática del suceso fallecimiento cómo

un proceso estocástico. Si representamos la distribución de probabilidad correspondiente a

[ ]yxE ,ω , de una mujer de 70 años de edad en los años 2001 y siguientes, donde

[ ] yxxyx kbaE +=,ω

siendo, cómo ya se ha expuesto, yk , un )0,1,0(ARIMA con constante negativa, tendríamos

[ ][ ]yxE ,Pr ϖ

y

[ ]yxE ,ω

Gráfico 4.22.: Distribución de la esperanza matemática de la medida de mortalidad para una mujerde 70 años en los años 2001 y siguientes.

Para reconocer este riesgo de desconocimiento de la prestación esperada, nuestra

propuesta es considerar que el tanto de mortalidad, sigue un proceso estocástico de Ornstein –

Uhlenbeck, similar al considerado para el tipo de interés libre de riesgo a corto.

Definimos el tanto de mortalidad a un año cómo

∫+

=1

,1 )()(

t

t

yx dsst µµ

siendo


367

00,010,020,030,04

0,050,060,070,080,09

0 5 10 15

tT

tytxtT

tp

t=

++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−=

)ln()( ,µ : tanto instantáneo de mortalidad,

tytx

TyTxtytxtT l

lp

++

++++− =

,

,, : probabilidad de supervivencia en T , de un asegurado de edad tx + ,

en t .

Consideraremos que en tiempo continuo esta medida sigue el siguiente proceso

estocástico:

( ) tyxyx dWdttattd σµθµ +⋅−= )()()( ,1

,1

Proponemos un algoritmo para su resolución numérica a través de árboles trinomiales,

que desarrollamos en el capítulo 4. El resultado para el ejemplo de una señora de 70 años en

el 2005, cuya estructura temporal para el tanto de mortalidad es la siguiente para los próximos

14 años:

i1µ

Gráfico 9.1.: Tanto de mortalidad a cada plazo.


368

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0 5 10 15

sería la siguiente:

ki,1µ


La difusión sobre la medida de mortalidad, tiene por finalidad introducir en la

cuantificación de las PTSV, la probabilidad usada en la valoración a mercado, para estimar así

las opcionalidades implícitas por asimetrías en la posible valoración futura de las PTSV.

En cuanto a la calibración de este subyacente, exponemos en el capítulo 4, el proceso

que se seguiría si disponemos de GAOs (Guaranteed Annuity Options) cómo instrumentos

calibrantes.

Dado que a fecha de elaboración de la presente investigación, no se dispone de

suficientes instrumentos calibrantes, exponemos cómo se calibraría el modelo a partir de

información histórica.

Proponemos una calibración a partir del ajuste de la serie temporal )0,1,0(ARIMA de

la componente, yk , del modelo de Lee – Carter. Así consideramos cómo volatilidad del tanto

de mortalidad a un año, t1µ , el estimador

∑= −+−+

−+−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−

−=

t

ty yytxytx

yytxytx

kbakba

n 0

2

)exp(1)ˆexp(1

ln1

1µσ

donde

t : es el año final de la serie ajustada.


369

0t : es el año inicial de la serie ajustada.

yk : valor del parámetro obtenido por el método del SVD para el modelo de Lee – Carter una

vez normalizado, para el año de calendario y .

yk : valor del parámetro ajustado por el modelo )0,1,0(ARIMA , para el año de calendario y .

En el ejemplo incluido en el capitulo 6, 7 y 8 obtenemos el siguiente parámetro yk , y

yk , para las mujeres andaluzas:

Gráfico 4.24.: Parámetro ky del modelo de Lee – Carter y su ajuste mediante un ARIMA(0, 1, 0).

9.1.1.1.3. Spread por riesgo de crédito.

Se han expuesto varios métodos para introducir en el análisis el riesgo de crédito. No

obstante, en nuestro objetivo de proporcionar un modelo de estimación del Fair Value de las

PTSV, estocástico con tres factores de riesgo, se ha considerado igualmente para esta

subyacente un proceso estocástico afín unifactorial.

Para este subyacente, hemos considerado el modelo propuesto por Schönbucher y que

considera para el spread por riesgo de crédito un proceso estocástico de Ornstein – Uhlenbeck

similar al que Hull y White consideran para el tipo de interés a corto, y nuestra propuesta para

el tanto de mortalidad. Así tenemos que:

-15

-10

-5

0

5

10

15

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

kt(real)kt(arima)


370

0,000,000,000,010,010,010,010,010,020,020,02

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

tttt dWdtqadq σλθλ +−= )( 11

En cuanto a la posibilidad de correlación entre el tipo a corto y el spread por riesgo de

crédito, queda resuelto cuando esta correlación no es demasiado elevada mediante la

propuesta de Schönbucher, descrita en el apartado 5.4.

Igualmente su resolución numérica a través de árboles trinomiales recombinantes se ha

descrito en el apartado 5.4.

Para determinar los spread de la aseguradora a cada plazo, usaríamos:

• la emisión de deuda de la aseguradora a cada plazo, y de ahí extraer los diferenciales

de precios respecto a la deuda sin riesgo de crédito, o bien,

• si es posible del mercado de CDSs.

Asimismo se ha expuesto en el capítulo 5, un método de estimación de la prima

correspondiente a una opción sobre CDS, y la calibración de nuestro modelo a partir de su

precio de cotización.

En el ejemplo del capítulo 5, obtenemos para el spread por riesgo de crédito de la

aseguradora el siguiente árbol trinomial recombinante:

liq ,1λ


9.1.1.2. Difusión del valor actual actuarial.

El modelo de evolución de la función valor actual actuarial aplicado ha sido


371

txtTc

txtT pTtPE +−+− = ),(

donde

),( TtPc : el valor del bono con riesgo, según la dinámica de la expresión 5.7.

)(')()(),(),( tqBc eATtPTtP λττ −=

donde

tT −=τ


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= − ττ ae

aB 11)(

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2


Ba

dsBsAT

t

2σ y a : parámetros correspondiente a la calibración de la tasa de incumplimiento reducida.

)()()()()(~ τσσρθθ Bsstt ⋅⋅⋅+=

[ ]ττ aea

B −−= 11)(

σ y a : parámetros correspondiente a la calibración del tipo instantáneo.

txtT p +− : probabilidad de supervivencia en T , para un Asegurado de edad t , según la

expresión 4.1:

)()()( tBtxtT eAp µττ −

+− =

siendo

tT −=τ

aeB

aτ

τ−−

=1)(

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−−= ∫ 2

2

2

2

)(4

)(2


Ba

dsBsAT

t


372

El factor de descuento actuarial propuesto tiene tres factores de riesgo, que podemos

representar por ))(),(),(( tqttrE xtxtT λµ+− .

La medida realmente implementada numéricamente mediante árboles trinomiales, ha

sido la función valor actual actuarial a corto plazo en tiempo discreto:

( )tqRE likijilkjixc ∆⋅++−=+ )(exp ,

11,,,,, λµ

o lo que es lo mismo, se ha implementado el tanto de capitalización actuarial modificado

siguiente:

likijilkjic qR ,

1,

1,,,, λµγ ++=

ya que

( )tE lkjic

lkjixc ∆⋅−=+ ,,,,,, exp γ

Así obtenemos árboles trinomiales recombinantes de cuatro dimensiones, en los cuales

cada nodo tiene la forma del cuadro 5.2., con 27 ramas:

jiR ,

ki,1µ

liq ,1λ



373

9.1.1.3. Estimación del valor razonable de las PTSV.

Hemos propuesto la determinación del valor razonable de las PTSV a través del árbol

trinomial anterior. La determinación del valor razonable, se lleva a cabo iterativamente a través

del descuento desde el corte temporal en que tiene lugar el vencimiento de la Póliza, hasta la

fecha de valoración, del flujo de caja proporcionado por la Póliza de Seguro de Vida.

La expresión a aplicar en este caso es la que sigue:

( ) ikir s t

tsrc

rsi

lkjicc

FtlkjiVpS

tlkjiV

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

⋅∆⋅−=

∑∑∑= = =

+ )exp(1),,,1(

)exp(),,,(

,1

3

1

3

1

3

1,1

,,,

µ

γ

siendo

1+iS : flujos de caja por garantías, gastos o primas pagaderos a la supervivencia del asegurado

en i+1. Las primas a cobrar se considerarán con signo menos.

iF : flujos de caja por garantías o gastos pagaderos al fallecimiento del asegurado entre i e

i+1. En este caso hemos establecido la hipótesis de fallecimiento al inicio del periodo

considerado.

El valor razonable de las PTSV sería el valor que el árbol trinomial en el nodo origen,

)0,0,0,0(cV .

Opción de rescate.

Las hipótesis que se están barajando en cuanto a la valoración de la opción de rescate

en el marco del Valor Razonable, son dos:

• se puede considerar cómo un conjunto de flujos de caja probables que matizan el

resto, o bien,

• cómo un suelo a los posibles valores que puede tomar el valor razonable de las PTSV

en el futuro.

En la presente investigación exponemos el segundo método de valoración, en cuyo

caso la expresión a aplicar sería:


374

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

⋅∆⋅−=

=

∑∑∑= = =

+ ikir s t

tsrRc

trsi

lkjicc

xicRc

FtlkjiVpS

tlkjiV

RlkjiVmaxlkjiV

)exp(1),,,1(

)exp(),,,(

);,,,(),,,(

,1

3

1

3

1

3

1,,1

,,,

µ

γ

Al tomar esta alternativa, la opción de rescate se ha de valorar cómo implícita, es decir,

que su determinación ha de ser inherente a la del total del valor razonable de las PTSV, ya que

para su determinación requiere la información del valor razonable de las PTSV en cada nodo,cV .

Así el valor razonable de las PTSV incluida la opción de rescate sería el valor que tome

el nodo origen en este caso, )0,0,0,0(RcV .

Opción de participación en beneficios.

Esta opción puede presentar múltiples formas, desde una disminución en el

compromiso pendiente del Tomador, hasta un incremento en la cuantía de los capitales

garantizados, pasando por un extorno de primas para el Tomador.

De cualquier modo, supone una asimetría en los resultados de la operación de seguro

para la entidad aseguradora, debido a que si la rentabilidad de los activos afectos a las PTSV

supera el interés técnico, tiene lugar una mejora en la situación del Tomador, mientras que en

caso contrario, no se produce un menoscabo en la misma.

La manera de valorar será diferente según la modalidad de participación en beneficios

(PB) imputada. Para ilustrar una de ellas, en el presente trabajo se ha expuesto el caso de

incremento en los capitales garantizados.

Hemos supuesto que la participación es de un porcentaje β en la rentabilidad que la

aseguradora obtendrá en el futuro, cuando supere el interés técnico, y aplicado sobre la PTSV

determinada según el ROSSP, a partir de la base técnica de la Póliza.

Para simplificar, y dado que nuestra intención es exponer la metodología

inherente, hemos considerado en los ejemplos expuestos, que la rentabilidad que obtendrá la

aseguradora en el futuro, vendrá determinada por el tipo libre de riesgo más su spread por

riesgo de crédito


375

En este caso, la PB dependiente del nodo en que tiene lugar, suponiendo que se aplica

sobre la Provisión Técnica de Seguros de Vida, estimada según el ROSSP, sería:

( )( )+−+⋅⋅= ITqRVP lijixilkjipb

,1

,,,, ' λβ

siendo

IT: interés técnico de la Póliza.

iV’x: PTSV a prima de inventario determinada según el ROSSP a partir de la base técnica de la

Póliza.

Esta participación da lugar al correspondiente flujo de caja dependiente de las hipótesis

técnicas de la Póliza:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

)()(

)()(

,,,,,,

,,,,,,

lkjipb

lkjipbpb

lkjipb

lkjipbpb

PfPF

PgPS

siendo

pbS : flujo de caja cuyo devengo tiene lugar al fallecimiento del asegurado, obtenido a partir de

la PB, según las hipótesis técnicas de la Póliza.pbF : flujo de caja cuyo devengo tiene lugar al fallecimiento del asegurado, obtenido a partir de

la PB, según las hipótesis técnicas de la Póliza.

El paso siguiente sería descontar financiero – actuarialmente a través del árbol

trinomial conjunto, este flujo de caja, cómo antes:

( ) ipb

kir s t

tsrPBc

rsipb

lkjicPBc

FtlkjiVpS

tlkjiV

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

⋅∆⋅−=

∑∑∑= = =

+ )exp(1),,,1(

)exp(),,,(

,1

3

1

3

1

3

1,1

,,,

µ

γ

Este descuento tiene lugar hasta el nodo origen de la PB, considerando

),,,(,,, lkjiVPB PBclkji

c = ,

cómo un nuevo flujo de caja que tiene lugar exclusivamente en el nodo origen de la PB.


376

Por último descontamos estos flujos de caja por PB acumulados y descontados

actuarialmente cómo sigue:

lkjir s t

tsrc

trs

lkjicPBc

PBlkjiVp

tlkjiV

,,,

3

1

3

1

3

1,,

,,,

),,,1(

)exp(),,,(

++⋅

∆⋅−=

∑∑∑= = =

γ

El valor razonable de la opción de PB de las PTSV sería la cuantía correspondiente a

)0,0,0,0(PBcV

9.1.2. El valor razonable y la estimación de los recursos propios.

La propuesta del presente trabajo para la determinación de los recursos propios

debidas al riesgo derivado del negocio asegurador, es obtenerla entre otros, a partir de los tres

análisis que siguen:

• diferencia entre el valor razonable de las PTSV y su valor contabilizado;

• resultado de las pruebas de stress, del valor razonable de las PTSV, por variación en

los niveles del subyacente o incremento en su volatilidad;

• VAR de excedente según el valor razonable de las PTSV y de sus activos afectos.

El primero es el más evidente y supone la diferencia entre la valoración a mercado y la

correspondiente según el Plan Contable de Entidades Aseguradoras. Mientras no se lleve a

cabo la contabilización a valor razonable tendrá que ser tenido en cuenta.

En cuanto al segundo análisis se han considerado en el apartado 7.4.2. cuatro

posiciones:

• Posición Delta. Sensibilidad del valor razonable de las PTSV por cambios en los

niveles del subyacente.

• Posición Gamma. Mide el cambio esperado en la posición Delta a partir de

cambios en los niveles del subyacente.

• Posición Vega. Sensibilidad del valor razonable de las PTSV por cambios en la

volatilidad del subyacente.


377

• Posición Theta. Mide el riesgo de cambios en el valor razonable de las PTSV

como consecuencia de la aproximación a la fecha de vencimiento de la póliza.

Estas cuatro posiciones se deberán considerar en cuanto a los tres subyacentes

incluidos en el análisis: tipos libres de riesgo, tanto de mortalidad y spread por riesgo de crédito

de la aseguradora.

En el ejemplo del capítulo 8 la posición delta respecto de los tipos de interés libres de

riesgo de las PTSV, incluyendo opción de rescate y opción de participación en beneficios, viene

dada por el siguiente gráfico:

Gráfico 8.1.: Posición Delta respecto de los tipos de Interés de las PTSV incluyendo opciones de rescate y participación en beneficios.

VAR de excedente.

El VAR de excedente cuantifica en nuestro caso, el riesgo de que el valor razonable de

los activos afectos a las PTSV, se encuentre superado por el valor razonable de éstas últimas.

Mediante la determinación de esta medida conseguimos integrar en un mismo marco,

el activo y el pasivo derivado de una Póliza de Seguros de Vida, analizando holísticamente

todos los riesgos inherentes a ambas patas (riesgo de interés, crédito, técnico,..).

Para su determinación, hemos considerado un método de cálculo para el valor

razonable de los activos afectos a las PTSV, similar al que ya hemos expuesto para éstas. No

obstante y cómo ya hemos explicado al exponer la jerarquía de métodos de determinación del

0,876

0,878

0,880

0,882

0,884

0,886

0,888

100806040200-20-40-60-80-10

0


378

valor razonable propuesta por la JWS, si el activo es negociado activamente en el mercado de

capitales, será su valor de negociación el que se tome cómo valor razonable. Por ello se

deberán de corregir las diferencias oportunas entre la determinación del valor razonable por

aplicación simple del modelo expuesto y el valor de negociación.

En la determinación del valor razonable del activo afecto a las PTSV, se ha

considerado el árbol trinomial conjunto de tipos de interés y spread por riesgo de crédito del

activo. En el ejemplo que hemos incluido consideramos el siguiente árbol trinomial conjunto:

jiR ,

lic ,1λ

Gráfico 7.2. Árbol trinomial tridimensional conjunto del tipo de interés y el spread por riesgo de crédito a cortoplazo del activo afecto a las PTSV

Para ilustrar las asimetrías del activo, que no tienen su contraparte en el pasivo, y que

derivan en una diferente valoración respecto a este último, se ha expuesto el caso de un activo

financiero “calleable” o con opción de recompra del emisor del título. En este caso se haría:

[ ]

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅−=

=

∑∑= =

+

3

1

3

1,1,, ),,1(exp),,(

);,,(min),,(

r s

Callsrsrimji

c

iCall

mjiVpCRmjiV

StrikemjiVmjiV

siendo


379

mijimjic cRR ,

1,,, λ+=

mic ,1λ : spread por riesgo de crédito del emisor del título, teniendo en cuenta su probabilidad de

insolvencia, tasa de recuperación y correlación con el tipo libre de riesgo.

1+iC : flujo de caja derivado del activo para i + 1, si el emisor del título no incurre en default,

iStrike : precio de recompra por el emisor del título en el período i.

Cuando el flujo de caja se corresponda con gastos, y dado que el activo representa un

derecho para la compañía, se considerarán negativos.

El valor razonable del activo afecto a las PTSV sería el valor que tome CallV )0,0,0(

Se han propuesto varias alternativas para la determinación del VAR de excedente

desde el punto de vista del pasivo. Siempre y cuando no consideremos difusión también en el

tanto de mortalidad, podríamos estimar el VAR de excedente a nivel de cartera de Pólizas. En

caso contrario, la determinación del VAR de excedente, tendría que realizarse a nivel de

subcarteras de asegurados de la misma edad.

VAR de excedente con difusión en el tipo de interés, el spread por riesgo de crédito de

la entidad aseguradora y del activo afecto.

Suponiendo difusión en todos los subyacentes salvo en el tanto de mortalidad,

tendríamos para el valor razonable de las PTSV, incluyendo opción de rescate, la siguiente

expresión:

[ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅∆⋅−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

∆⋅−=

=

∑∑= =

+ ikir s

srRc

sri

ljicc

xicRc

FtljiVpS

tljiV

RljiVmaxljiV

)exp(1),,1(

)exp(),,(

);,,(),,(

,1

3

1

3

1,1

,,

µ

γ

siendo ahora:

ilijiljic qR 1

,1

,,, µλγ ++=

De este modo podríamos agrupar todas las Pólizas en Cartera cómo sigue:


380

∑∀

⋅=x

xixPTSV pljiVljiV ),,(),,(

siendo

),,( ljiVx : valor razonable de las PTSV correspondiente a la subcartera de edad x,

xi p : probabilidad de supervivencia en i para un asegurado de edad x en la fecha de

valoración61.

Por otra parte se ha considerado en nuestro ejemplo, que la cantidad de activo que la

aseguradora ha afectado a la cobertura de las PTSV, es equivalente a la cuantía de éstas

últimas determinadas según exige el ROSSP.

Así sólo resta determinar:

• la cuantía del excedente negativo, considerado cómo exceso del valor razonable de

las PTSV sobre el activo afecto,

• así cómo la probabilidad del escenario en que este excedente negativo tiene lugar.

En nuestro modelo se han considerado los escenarios que se derivan del árbol

trinomial recombinante en cuatro dimensiones, teniendo el nodo origen la siguiente estructura:

61 Hemos de aplicar esta probabilidad antes de comparar con el activo afecto, debido a que éste último es

independiente del estado del asegurado.


381

jiR ,

mic ,1λ

liq ,1λ

Figura 7.1. Transición del tipo libre de riesgo y los spread por riesgo de crédito de la aseguradora y del activo afecto a las PTSV.

El excedente negativo para cada nodo, se obtiene en este caso suponiendo ausencia

de correlación entre el spread por riesgo de crédito de la aseguradora y el del activo afecto,

como sigue

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅−

⋅⋅=

),(),(),,(),(),(),,(

),,,(lipmiADmjiV

mipliADljiVmljiSP

qcCall

cqPTSV

λλ

λλ

siendo


riesgo de crédito del activo afecto, según se ha explicado en el capítulo 5.






La relación entre el seudo – precio Arrow – Debreu y esta probabilidad es:


382

λ

λλ

φ c

cc

imiADmip

),0(),(),( =

donde λφ ci),0( es el diferencial de precios del activo afecto respecto al bono sin riesgo de

crédito.



A partir de aquí el VAR de excedente se obtendría

∑ ∑ ∑ ∑= −= −= −=

⋅=n

i

L

Lj

L

Lk

L

LlSP

j

j

k

k

l

l

jiADmljiSPVAR1

),(),,,(

siendo

),( jiAD : precio Arrow – Debreu en el nodo (i, j), considerado cómo el valor actualizado de un

activo cuyo flujo de caja es 1 en el nodo (i, j) y 0 en cualquier otro caso.

VAR de excedente con difusión en todos los subyacentes.

Suponiendo difusión también en el tanto de mortalidad, la determinación del VAR de

excedente se realizaría a nivel de subcarteras de edad x.

El activo afecto se trataría cómo antes, mientras que el valor razonable de las PTSV,

en este caso no se acumularía.

El VAR de excedente se obtendría suponiendo cómo antes ausencia de correlación, de

la siguiente forma:

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

),(),(),(),,(

),(),(),(),,,(),,,,(

kiplipmiADmjiV

mipkiADliADlkjiVmlkjiSP

qcCall

cqx

µλλ

λµλ

siendo

),,,( lkjiVx : valor razonable de las PTSV de la subcartera de edad x en el año y, para el nodo

),,,( lkji .


383

),( kiADµ : seudo precio Arrow – Debreu, para el nodo (i, k), correspondiente al tanto de

mortalidad para la subcartera de edad x.

),( kip µ , probabilidad de hallarse el tanto de mortalidad de la subcartera de edad x en k, para

el período i. A partir de los seudo precios Arrow – Debreu para el tanto de mortalidad,

obtenemos esta probabilidad cómo

xi pkiADkip ),(),(

µµ =

Así el VAR de excedente correspondiente a la subcartera de asegurados de edad x

sería ahora:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑= −= −= −= −=

⋅=n

i

L

Lj

L

Lk

L

Ll

L

LmSP

j

j

k

k

l

l

m

m

jiADmlkjiSPVAR1

),(),,,,(

9.1.3. Aplicación en la determinación del “European Embedded Value”.

Podemos traducir el término embedded value cómo valor intrínseco.

La aparición de esta medida en los años sesenta tenía por objetivo ofrecer una visión

alternativa del negocio de Seguros de Vida a la mera cuenta de resultados del Seguro de Vida.

La producción de Seguros de Vida acarrea unos elevados gastos y comisiones iniciales, que

ocasionan (salvando en su caso la activación de los mismos) unas cuentas de resultados en

los primeros ejercicios negativas. En cambio su embedded value, entendido cómo el patrimonio

propio ajustado más el “Value of in-force (VIF)” o valor del negocio en vigor, una vez detraído el

coste del capital retenido en el negocio (habitualmente el margen de solvencia mínimo),

resultaba positivo.

En los años ochenta pasó a convertirse en una importante herramienta para analistas

financieros y demás agentes económicos interesados en el valor de las empresas

aseguradoras de Vida. En los años noventa, ya muchas aseguradoras de Vida publicaban junto

a sus cuentas de resultados y demás información contable tradicional, su embedded value, el

impacto que en el mismo tendría el cambio en las hipótesis aplicadas, y el RoEV 62. De este

modo en los últimos veinte años se ha aplicado cómo una herramienta de gestión del negocio

62 “Return on Embedded Value” o retorno sobre el valor intrínseco, determinado cómo el valor añadido en el ejercicio

entre el valor intrínseco al cierre del ejercicio precedente.


384

asegurador, hasta el punto de que en muchas aseguradoras se ha considerado para la

determinación de la remuneración de sus ejecutivos.

No obstante, las continuas bajadas en los tipos de interés y caída en los mercados de

valores, producidos en los últimos años han puesto de manifiesto algunas deficiencias en la

técnica del embedded value, en las cuales cabe destacar:

• Spread por el riesgo asumido a aplicar en el descuento.

• Cuantía del capital retenido.

• Valoración de las opcionalidades implícitas en la mayoría de los Seguros de Vida.

El spread por el riesgo asumido aplicado generalmente en el embedded value era el del

mínimo requerido cómo margen de solvencia, sin reflejar los riesgos realmente asumidos. Por

otra parte, la cuantía del capital retenido se ha manifestado en los últimos años, según las

conclusiones del macroproyecto Solvencia II, igualmente cómo inadecuado al riesgo realmente

incurrido. En cuanto a las opcionalidades implícitas en Seguros de Vida, nos remitimos a las

consideraciones descritas en los capítulos anteriores.

Para corregir estas inconsistencias surge el “Market Consistent Embedded Value

(MCEV)”, consistente en una metodología cómo las expuestas en el presente trabajo, cuyo

objetivo es medir el embedded value de forma consistente con el mercado. De ahí la aparición

de conocido cómo “European Embedded Value (EEV)” propuesto por el CFO Forum63. Éste

último publicó en 2004 doce principios para la determinación del EEV. Las compañías que han

suscrito los principios del european embedded value (EEVP), se han comprometido a

adoptarlos al cierre de 2005. Se incluye en un cuadro resumen ilustrativo de los mismos.

Principio 1: Embedded Value

(EV).Medida del valor de los accionistas en el negocio cubierto.

Principio 2: Identificación del

Negocio cubierto (NC).

El NC ha de identificarse claramente, facilitando la compañía la

adecuada información.

Principio 3: Composición del

EV.

Se compone de:

• Activos excedentarios asignados al NC.

• Capital requerido neto del coste de mantenimiento.

• Valor actual de los beneficios futuros distribuibles,

correspondiente al NC.

No se compone en cambio del nuevo negocio futuro.

Principio 4: Capital

excedente.

El capital excedente es la suma del valor de mercado del

capital y beneficios retenidos asignados, no requerido por el

regulador para el negocio en vigor cubierto.

63 Nombre con el que conocemos al comité fundado a principios de 2003 y formado por los directores financieros de 19

multinacionales aseguradores europeas


385

Principio 5: Capital requerido

y su coste de oportunidad.

El capital requerido incluirá los activos asignados al NC por

encima de los activos necesarios para cubrir los pasivos del

NC. El EV tendrá en cuenta no obstante, el coste de

oportunidad de mantener este capital en el negocio.

Principio 6: Valoración del

NC

Valor actual de los flujos para los accionistas, de los activos

que cubren la provisión matemática del NC, neto de

opcionalidades recogidas en el principio 7.

Principio 7: Estimación de

opcionalidades implícitas.

El EV considerará el impacto potencial en los flujos de los

accionistas, de opcionalidades y garantías implícitas en estos

flujos, aplicando técnicas estocásticas consistentes con la

metodología e hipótesis del EV.

Principio 8: Nueva

producción.

Se corresponde con los contratos vendidos durante el período

reportado. Asimismo incluye tanto las renovaciones esperadas,

cómo las modificaciones contractuales mas probables en estas

renovaciones. No reconoce la nueva producción futura.

Principio 9: Hipótesis

técnicas.

Las hipótesis técnicas se determinarán a partir de la

experiencia pasada, actual y la esperada en el futuro así cómo

cualquier otra relevante. Sólo se cambiarán cuando exista

evidencia suficiente y los cambios sean razonablemente

ciertos. No obstante se revisarán activamente.

Principio 10: Hipótesis

económicas.

Serán consistentes internamente y calibrables con un mercado

adecuado. No se permitirá la suavización en la información de

mercado, balances de cuentas, plusvalías latentes o

rendimientos financieros.

Principio 11: Participación en

beneficios futura.

Cuando el Seguro incluya la opción de PB, se tendrá en

cuenta en la proyección de beneficios futuros, de forma

consistente con la práctica tanto de la compañía cómo del

mercado local.

Principio 12: Consolidación a

nivel de grupo.

El EV se reportará a nivel de grupo consolidable en base a la

clasificación del negocio, empleada en las cuentas anuales.Cuadro 9.1. Principios del CFO Forum para la estimación del European Embedded Value.

En la determinación del VIF puede resultar de utilidad el modelo propuesto, para:

• Dar cumplimiento al principio 6 y 7 de los EEVP, en la determinación del valor de las

opcionalidades implícitas en los flujos futuros para los accionistas.

• Calibrar el EEV según la experiencia de la entidad y considerar el proceso estocástico

correspondiente a la siniestralidad de Vida, cómo establece el principio 9.

• Calibrar a mercado el EEV, según establece el principio 10, en cuanto a la valoración

del activo y pasivo del negocio asegurador.


386

• Por último y según establece el principio 11, incluir en la estimación la participación en

beneficios del Tomador de la Póliza en su caso, analizada estocásticamente.

9.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL MODELO PROPUESTO.

Ventajas del modelo.

Entre las ventajas de la metodología expuesta podemos destacar:

• El ajuste de tablas de mortalidad dinámicas sin margen de seguridad implícito, a la

zona de procedencia de la población objeto de aseguramiento, incorpora no solamente

las probabilidades de supervivencia y fallecimiento reales asociadas a dicha población,

sino también la dinamicidad que se observa en su esperanza de vida. La rapidez y

flexibilidad en la aplicación del modelo de Lee – Carter, lo constituye cómo apto para

calibrar nuestro modelo respecto al riesgo biométrico.

• La aplicación a los subyacentes al valor razonable de las PTSV de los conocidos cómo

modelos estocásticos afines, con reversión a la media y con la estructura del modelo

de Hull – White (o Vasicek extendido) permite:

o obtener expresiones analíticas de las magnitudes empleadas en la valoración;

o la reversión a la media consigue la deseada convergencia para la valoración;

o replicación de la estructura temporal de los tipos de interés libres de riesgo de

mercado, medida mortalidad ajustada a la población objeto de aseguramiento,

y spread por riesgo de crédito de la entidad aseguradora.

• El árbol recombinante tridimensional propuesto para la implementación numérica,

permite establecer los escenarios futuros en los cuales:

• la entidad debería de realizar imputaciones adicionales con la finalidad de

cubrir el valor de rescate garantizado, ó

• la entidad asigna una mayor garantía a la póliza fruto de las realizaciones de

participación en beneficios futuras.

así como las probabilidades de ocurrencia de dichos escenarios, que está valorando el

mercado, si el modelo ha sido calibrado a mercado, o bien, la probabilidad real si ha

sido ajustado en base a información histórica.

• Se ha expuesto cómo determinar el VAR del valor razonable correspondiente a las

provisiones técnicas, según las posiciones:

o Delta: incremento en el valor razonable debido a modificaciones en la ETTI,

curva de mortalidad y en su caso spread de crédito.


387

o Vega: incremento en el valor razonable como consecuencia de variaciones en

la ETV, en la volatilidad correspondiente a la curva de mortalidad y en su caso

de la curva de spread de crédito.

o Etc.

• El modelo propuesto admite la determinación de los recursos propios necesarios

debidas al VAR de excedente, considerado cómo el defecto de cobertura de las PTSV

con los activos financieros afectos. De esta manera integramos en un mismo marco el

activo y el pasivo de la Póliza de Seguros de Vida.

Inconvenientes del modelo.

Cómo inconvenientes destacamos:

• Nuestro modelo para la valoración consistente con el mercado, requiere de

instrumentos financieros líquidos para que pueda ser adecuadamente calibrado.

o Actualmente no encontramos problema para calibrar el modelo de Hull – White

para los tipos de interés a corto, ya que tras un proceso de filtrado previo

podemos extraer del mercado la ETTI, y además en el mercado español

tenemos entre otros el caplet como instrumento financiero ampliamente

negociado.

o En cuanto al modelo para el spread por riesgo de crédito, si bien es posible

calibrar a partir de los CDSs, el diferencial de precios para cada plazo, es difícil

encontrar instrumentos “plain vanilla” suficientemente líquidos, para calibrar los

parámetros de volatilidad del modelo de Schönbucher. Asimismo es

complicado encontrar cotizaciones de la correlación entre los tipos de interés y

el spread por riesgo de crédito del nombre de referencia64.

o Para nuestra propuesta sobre la evolución estocástica del tanto de mortalidad,

los únicos antecedentes que conocemos de instrumentos financieros

cotizados, son el EIB/BNP longevity bond (2004) y el Swiss Re catastrophe

bond (2003). El primero toma cómo subyacente una cohorte masculina de 65

años de edad, de origen inglés y galés, mientras que el segundo se halla

referenciado a los índices de mortalidad de cinco países: Estados Unidos,

Reino Unido, Francia, Italia y Suiza. Si bien el primero tenía una duración de 25

años, a finales de 2005 fue retirado por falta de inversores. En cuanto al último

su duración se fijó en 3 años. Por lo tanto, no encontramos en la actualidad

suficientes instrumentos financieros calibrantes.

64 Aseguradora en el caso de las PTSV, o el emisor del título afecto a estas PTSV.


388

Cuando no disponemos de instrumentos financieros calibrantes hemos de recurrir a la

estimación por ajuste histórico de la volatilidad.

• Por otra parte, uno de los problemas más importantes que presenta el modelo de Hull –

White, es que se puede dar lugar a subyacentes negativos. Es por ello que hay que

vigilar los resultados obtenidos y ajustar las diferencias oportunas.

• En cuanto al modelo propuesto por Schönbucher para incluir en la valoración la posible

correlación entre el tipo libre de riesgo y la probabilidad de default, este no sería

aplicable cuando esta correlación es elevada, ya que daría lugar a probabilidades de

transición negativas.

• En cuanto a la inclusión en el análisis del spread por riesgo de crédito del activo afecto

a las PTSV (para la opción de PB y el VAR de excedente), se debe de incluir en el

modelo el tratamiento de la correlación entre el spread por riesgo de crédito de la

aseguradora y del activo afecto a las PTSV.

• Por otra parte cómo ya se ha mencionado, los cálculos para un horizonte temporal

demasiado largo serán extremadamente sensibles a las asunciones subyacentes del

modelo. Si el modelo considera una distribución inadecuada o se halla calibrado

incorrectamente, se pueden obtener resultados erróneos y magnificados a lo largo del

horizonte temporal considerado. Por ello se tienen que vigilar muy estrechamente estos

resultados con la finalidad de determinar incoherencias. Es lo que Panning (1999)

denomina “riesgo de estimación”.

• Asimismo en el largo plazo, el modelo debería de incorporar cómo la aseguradora

reaccionará a diversos grupos de escenarios. Así por ejemplo, si bien es cierto que en

los escenarios en los que exista excedente negativo, la aseguradora puede tener

problemas, cuando ocurra lo contrario la aseguradora podría incrementar la cuantía del

activo afecto. Panning (1999) denomina al impacto de estas decisiones futuras,

“modificación adaptativa del riesgo”.

9.3. FUTURAS LINEAS DE INVESTIGACIÓN.

• En primer lugar incorporar en la calibración del modelo biométrico, el riesgo derivado

de la desviación respecto de la esperanza matemática. Se ha considerado que en la

cartera de seguro éste riesgo se halla adecuadamente diversificado por la

aseguradora, mediante un elevado número de asegurados. No obstante, en el mejor de


389

los casos éste riesgo no desaparece del todo, y en la mayoría de los casos la cartera

no es suficientemente elevada.

De ahí que nuestra pretensión sea incluir en futuras investigaciones, el riesgo no

sistemático o de desviación de la siniestralidad real respecto de la esperada. Así la

desviación típica que consideraría el modelo sería del modo

),( , iyiyixi f +++= σσσ µ

siendo

iy+σ : desviación típica de la esperanza matemática ajustada. Corresponde al riesgo de

desconocimiento de la esperanza matemática, y su difusión tendrá en consideración los

intervalos de confianza de la medida de fallecimiento ajustada.

iyix ++ ,σ : desviación típica correspondiente al número de supervivientes de la cartera

asegurada, según la distribución derivada de la esperanza matemática ajustada.

Proviene de considerar la distribución binomial para el número de supervivientes,

tomando cómo probabilidad de ocurrencia la esperanza matemática ajustada.

Corresponde al riesgo de desviación de la siniestralidad real respecto a la esperanza

matemática.

La primera se considerará para los nodos correspondientes a 1≥i , mientras que la

última se ha de considerar desde el nodo origen.

• De incorporar incertidumbre en cuanto al tanto de mortalidad desde el nodo origen,

para recoger el riesgo de desviación respecto a la esperanza matemática, tendríamos

que modificar la arquitectura del árbol trinomial recombinante, de modo que existan

varios nodos origen con sus correspondientes probabilidades. Así el valor razonable de

las PTSV sería:

∑−=

⋅=k

k

L

Lk

PTSV kpkVV ),0()0,0,,0,0( µ

El árbol trinomial recombinante correspondiente a esta nueva estructura sería

tridimensional para recoger:

o esperanza matemática del tanto de mortalidad futuro, ",1

niµ ;

o desviación respecto a la esperanza matemática, ',1

kiµ .

La representación del árbol trinomial tendría la siguiente arquitectura:


390

",1

niµ

',1

kiµ

Gráfico 4.23. Árbol de transición conjunto de la esperanza matemática del tanto de mortalidad y de ladesviación del tanto de mortalidad real respecto a esta esperanza matemática.

En cuanto al nodo origen suponiendo difusión en el tipo de interés libre de riesgo, el

spread por riesgo de crédito de la aseguradora y el tanto de mortalidad, tendríamos

",1

niµ

jiR ,

',1

kiµ

Figura 9.2. Transición del tipo libre de riesgo, de la esperanza matemática del tanto de mortalidad, y de ladesviación del tanto de mortalidad real respecto del esperado.


391

• Otra línea de investigación abierta sería resolver el problema que surge para una

elevada correlación entre el tipo de interés libre de riesgo y el spread por riesgo de

crédito según el modelo de difusión de ambos subyacentes. Cómo ya se ha expuesto,

cuando esta correlación es elevada, dada la solución propuesta por Schönbucher, se

generarían probabilidades de transición negativas, lo que invalidaría el modelo.

• Por otra parte, si bien los modelos estocásticos afines, suponen un proceso de Markov

de baja dimensión que proporciona expresiones analíticas, tiene por el contra (además

de la posibilidad de subyacentes negativos ya mencionada) que muy difícilmente puede

replicar la estructura temporal de volatilidades. Si bien tenemos a nuestra disposición el

modelo de Hull – White Extendido, su implementación numérica se complica

enormemente.

De ahí que estudiaremos la posibilidad de incorporar los conocidos cómo Market

Models.

Estos modelos además de replicar naturalmente la ETTI, la cual en su conjunto es una

de las variables explicativas, consiguen replicar la ETVs. Los últimos modelos

aparecidos (Markovian Function65) en la línea de los Market Models, ya no cuentan con

los problemas de los primeros aparecidos (Brace, A. et. al. (1997), o Jamshidian

(1997)), en cuanto a su difícil implementación numérica, permitiendo estructuras en

forma de arbol recombinante para una mejor implementacion. No obstante, tampoco

tienen las posibilidades analíticas de los modelos afines, y han de confeccionarse a

medida del instrumento a valorar.

• Por último, se analizará también la aplicación de las conclusiones obtenidas en esta

investigación en cuanto al valor razonable de las PTSV y las necesidades de recursos

propios, en la metología para la determinación del “Market Consistent Embedded

Value” y del “Return on Embedded Value (RoEV)” tomando cómo referencia este

MCEV.

65 Ver Hunt, J. et. al (2000) o Hughston, L. P. (2000)

393

CAPITULO 10. BIBLIOGRAFÍA. 394

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ANEXO I.: Políticas contables introducidas por la NIIF4.

407

ANEXO I.: POLÍTICAS CONTABLES INTRODUCIDAS POR LA NIFF 4.

Obliga aPermite mantener, aunque no

introducirPermite

Eliminar la provisión para

catástrofes y de estabilización

Valorar pasivos de seguros

según los tipos de interés

vigentes en el mercado.

Realizar la prueba de

idoneidad de los pasivos de

seguros registrados.

Valoración de pasivos de

seguros sin descontar

financieramente.Valorar activos a Fair Value

con cargo a la cuenta de

pérdidas de ganancias.

Llevar a cabo la prueba de la

pérdida del valor de los

activos de reaseguros.

No valorar derivados

implícitos, cuando se ajusten a

la definición de contratos de

seguros.

Mantener pasivos de seguros

hasta que sean liquidados o

venzan.

Valoración de futuras

comisiones de gestión, por

valor superior al de mercado. La contabilidad tácita, para

evitar asimetrías por cambios

en la política contable.

No compensación de pasivos

de seguros con activos de

reaseguro.

Políticas contables no

uniformes para los pasivos de

seguros de las filiales.

Reconocer márgenes de

inversión futuros, aunque

considera así los estados

financieros menos relevantes

y fiables.

Separar los componentes de

depósito de pasivos de

seguro.

Valorar según contabilidad

local pasivos de seguros

adquiridos, manteniendo un

activo intangible por la

diferencia con el Fair Value.

Separar derivados implícitos

que no cumplan la definición

de contrato de seguro.

Valoración de pasivos de

seguros con prudencia

excesiva.Valorar separadamente el

componente garantizado y la

participación discrecional

dentro de un pasivo de

seguro.Cuadro A.I. Políticas contables introducidas por la NIIF 4.

ANEXO II.: Información a revelar según la NIIF 4.

408

ANEXO II.: INFORMACIÓN ADICIONAL A REVELAR SEGÚN LA NIIF 4.

Explicación de los importes reconocidosNaturaleza y alcance de los riesgos de

contratos de seguro.

Desglose de la información que permita

entender los importes reconocidos por


Objetivos, políticas y procesos de gestión del

riesgo por contratos de seguro, así cómo los

métodos utilizados en dicha gestión.

Desglose de políticas contables aplicados para

contratos de seguro en cuanto a su activo,

pasivo, ingresos, gastos y flujos de caja.

Información sobre el riesgo de seguro,

incluyendo la sensibilidad respecto a este

riesgo.

Si la aseguradora es cedente, además

revelará el resultado por reaseguro cedido.

Información sobre concentraciones del riesgo

de seguro, así cómo la política seguida por la

dirección para su concreción.

Hipótesis de mayor efecto en la medición de

activos, pasivos, ingresos y gastos por


Comparación entre la siniestralidad real y la

esperada para el ejercicio.

Efecto de cambios en hipótesis para contratos

de seguro.

Información sobre el riesgo de crédito, liquidez

y de mercado, equivalentes a los exigidos por

la NIIF 7, con ciertos matices.

Conciliación de los cambios en pasivos de

seguro, activos de reaseguro y en su caso

costes de adquisición diferidos derivados.

En caso de no valorar a Fair Value derivados

implícitos, facilitará el riesgo de mercado

asumido en los mismos.Cuadro A.II. Información adicional a revelar según la NIIF 4.

ANEXO III.: Estimación del parámetro F en el modelo de Heligman y Pollard para mujeres andaluzas.

409

ANEXO III.: ESTIMACIÓN DEL PARÁMETRO F EN EL MODELO DE HELIGMAN YPOLLARD PARA MUJERES ANDALUZAS.

1.-Identificación del modelo

El primer paso es el de representar gráficamente la serie;

Gráfico A.3.1. Serie temporal del parámetro F.

Una vez representada la serie tenemos que comprobar si es necesario transformar y

diferenciar la serie temporal. Para ello y utilizando las transformaciones de Box-Cox vemos que

valor de lambda hace mínima la varianza:

ADJDATA1c75n ADJDATA2c25n ADJDATA2c5n F

----------------------------------------------------------------------------------------

Count 21 21 21 21

Variance 4,0899 4,088 4,13333 4,13903

----------------------------------------------------------------------------------------

ADJDATA1c5 ADJDATA2 ADJDATA0c5 ADJDATA0

----------------------------------------------------------------------------------------

Count 21 21 21 21

Variance 4,16071 4,18602 4,12094 4,1065

----------------------------------------------------------------------------------------

ADJDATA0c5n ADJDATA1n ADJDATA1c5n ADJDATA2n

----------------------------------------------------------------------------------------

Count 21 21 21 21

Variance 4,09491 4,08773 4,08185 4,05357

----------------------------------------------------------------------------------------Cuadro A.3.2. Salida de statgraphics para comprobar si es necesario transformar el parámetro F.


410

La varianza mínima es 4,05357 por lo que hay que hacer una transformación de Box-

Cox con un valor de lambda=-2. Posteriormente hay que determinar si tambien es necesario

diferenciar para estabilizar la media. Claramente se ve que esta diferenciación es necesaria. El

nuevo gráfico, junto con su f.a.s. y su f.a.p. quedan de la forma:

Gráfico A.3.3. Serie temporal del parámetro F transformado y diferenciado.

Gráfico A.3.4. f.a.s. del parámetro F transformado y diferenciado.

Gráfico A.3.5. f.a.p. del parámetro F transformado y diferenciado.


411

Lo primero que es necesario destacar observando la f.a.s. y f.a.p anteriores es que hay

pocos retardos (por el hecho de tener muy pocos datos muestrales) y esto implica que no

podemos deducir de manera exacta la forma que siguen estos gráficos, lo que parece claro es

que la f.a.s. no decrece lentamente por lo que se puede deducir que la media está estabilizada

y no es necesario volver a diferenciar.

Utilizamos la f.a.s. y la f.a.p. ya diferenciadas para proponer los órdenes p y q del

modelo, viendo que tanto en la f.a.s. y como en la f.a.p. el primer retardo no es significativo

pero el tercero puede serlo, sobre todo en la f.a.p., se proponen los siguientes modelos:

(A) ARIMA(0,1,0)

(B) ARIMA(1,1,0)

(C) ARIMA(0,1,1)

(D) ARIMA(3,1,0)

(E) ARIMA(0,1,3)

2.-Estimación de los parámetros y diagnosis de los modelos

(A) ARIMA(0,1,0)

Lo primero es determinar si la constante permanece en el modelo o se excluye:

B SEB T-RATIO APPROX. PROB.

CONSTANT -,15000000 ,19283208 -,77787887 ,44621937

Cuadro A.3.6. Salida de SPSS para evaluar la permanencia de la constante en el modelo ARIMA(0, 1, 0).

Con un 95% de confianza no hay evidencia significativa para rechazar la hipótesis nula

por lo que consideramos que la constante toma el valor cero y por tanto se excluye del modelo.

Diagnosis:

Test para la Aleatoriedad de residuos

Runs above and below median

---------------------------

Median = -0,0266532

Number of runs above and below median = 14

Expected number of runs = 11,0

Large sample test statistic z = 1,14867

P-value = 0,250691


412

Runs up and down

---------------------------

Number of runs up and down = 14



P-value = 0,780959

Box-Pierce Test

---------------

Test based on first 6 autocorrelations

Large sample test statistic = 6,54408

P-value = 0,365073

Cuadro A.3.7. Salida de statgraphics para hacer una diagnosis del modelo ARIMA(0, 1, 0).

Con un 95% de confianza no hay evidencia significativa para rechazar las hipótesis

nulas de aleatoriedad e independencia. . Vemos la f.a.s. y la f.a.p. de los residuos:

Gráfico A.3.8. f.a.s. residual de un ARIMA (0,1,0).

Gráfico A.3.9. f.a.p. residual de un ARIMA (0,1,0).


413

Se observa que hay retardos algo significativos por lo que puede haber problemas a la

hora de considerar los residuos como un ruido blanco, estudiamos ahora la normalidad:

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

RESID010

N 20

Normal Parameters Mean -,1537

Std. Deviation ,8670

Most Extreme Differences Absolute ,179

Positive ,089

Negative -,179

Kolmogorov-Smirnov Z ,802

Asymp. Sig. (2-tailed) ,542

a Test distribution is Normal.

b Calculated from data.

Cuadro A.3.10. Salida de statgraphics para el estudio de la normalidad de los residuos del modelo ARIMA(0, 1, 0).

No hay evidencia significativa para rechazar la hipótesis de normalidad.

(B) ARIMA(1,1,0)


CONSTANT -,15275469 ,17002990 -,89839900 ,38083358


ARIMA Model Summary

Parameter Estimate Stnd. Error t P-value

----------------------------------------------------------------------------

AR(1) -0,0000012322 0,0000268918 -0,0458206 0,963931

----------------------------------------------------------------------------Cuadro A.3.12. Salida de Statgraphics para evaluar la permanencia de AR(1) en el modelo ARIMA(1, 1, 0).


de los dos contrastes por lo que consideramos que tanto la constante como AR(1) toman el

valor cero y por tanto se excluye del modelo. Esto implica que el modelo ARIMA(1,1,0) queda

reducido al modelo anterior, es decir, un ARIMA(0,1,0).


414

(C) ARIMA(0,1,1)


CONSTANT -,15445359 ,16929889 -,91231303 ,37366160


ARIMA Model Summary


----------------------------------------------------------------------------

MA(1) 0,108882 0,227526 0,478549 0,637721

----------------------------------------------------------------------------Cuadro A.3.14. Salida de Statgraphics para evaluar la permanencia de MA(1) en el modelo ARIMA(0, 1, 1).


de los dos contrastes por lo que consideramos que tanto la constante como MA(1) toman el

valor cero y por tanto se excluyen del modelo. Esto implica que el modelo ARIMA(0,1,1) queda

reducido al modelo anterior, es decir, un ARIMA(0,1,0).

(D) ARIMA(3,1,0)


CONSTANT -,12279891 ,26549705 -,4625246 ,64993296


ARIMA Model Summary


----------------------------------------------------------------------------

AR(1) -0,00000123167 0,0000249712 -0,0493237 0,961236

AR(2) -0,0000249453 0,0000249712 -0,998966 0,331819

AR(3) 0,0000501963 0,0000249712 2,01017 0,060555

----------------------------------------------------------------------------Cuadro A.3.16. Salida de Statgraphics para evaluar la permanencia de AR(3) en el modelo ARIMA(3, 1, 0).


de los dos contrastes por lo que consideramos que tanto la constante como AR(3) toman el

valor cero y por tanto se excluyen del modelo. Esto implica que el modelo ARIMA(3,1,0) queda

reducido al caso primero, es decir, un ARIMA(0,1,0).


415

(E) ARIMA(0,1,3)


CONSTANT -,18884707 ,2612229 -,72293462 ,48015537


Con un 95% de confianza no hay evidencia significativa para rechazar la hipótesis nula,

por lo que se excluye la constante del modelo.

ARIMA Model Summary


----------------------------------------------------------------------------

MA(1) -0,0980605 0,154281 -0,635596 0,533503

MA(2) 0,0324382 0,162859 0,199179 0,844485

MA(3) -0,854502 0,144003 -5,93392 0,000016


Estamos en un caso donde la parte MA(1) y MA(2) del modelo es significativo mientras

que la parte MA(3) no lo es. Es necesario recurrir entonces a la matriz de correlación de tal

forma que si esta medida es alta decidimos eliminar el parámetro más alto, en este caso MA(3),

si no mantenemos el orden q=3 en el modelo.

Correlation Matrix:

MA1 MA2 MA3

MA1 1,0000000 -,9777366 ,9632282

MA2 -,9777366 1,0000000 -,9551184

MA3 ,9632282 -,9551184 1,0000000Cuadro A.3.19. Salida de statgraphics para el estudio de la correlación del modelo ARIMA(0, 1, 3).

El coeficiente de correlación entre los tres es bastante alto por lo que eliminamos la parte

MA(3), quedando un modelo ARIMA(0,1,2) que estudiamos a continuación.


416

ARIMA Model Summary


----------------------------------------------------------------------------

MA(1) 0,500184 0,180758 2,76715 0,012699

MA(2) -0,640793 0,172167 -3,72192 0,001561


Rechazamos la hipótesis nula por lo que mantenemos la parte MA en el modelo.

Diagnosis:

Test para la Aleatoriedad de residuos

Runs above and below median

---------------------------

Median = -0,0139762

Number of runs above and below median = 10


Large sample test statistic z = -0,229734

P-value = 0,818294

Runs up and down

---------------------------

Number of runs up and down = 13



P-value = 1,0

Box-Pierce Test

---------------

Test based on first 6 autocorrelations

Large sample test statistic = 2,09331

P-value = 0,718602

Cuadro A.3.21. Salida de statgraphics para hacer una diagnosis del modelo ARIMA(0, 1, 2).

Con un 95% de confianza no hay evidencia significativa para rechazar las hipótesis

nulas de aleatoriedad e independencia. . Vemos la f.a.s. y la f.a.p. de los residuos:


417

Gráfico A.3.22. f.a.s. residual de un ARIMA (0,1,2).

Gráfico A.3.23. f.a.p. residual de un ARIMA (0,1,2).

Consideramos los residuos se comportan como un ruido blanco, estudiamos ahora la

normalidad:

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

RESID012

N 20

Normal Parameters Mean -,1377

Std. Deviation ,7843

Most Extreme Differences Absolute ,104

Positive ,064

Negative -,104

Kolmogorov-Smirnov Z ,463

Asymp. Sig. (2-tailed) ,983

a Test distribution is Normal.

b Calculated from data.

Cuadro A.3.24. Salida de statgraphics para el estudio de la normalidad de los residuos del modelo ARIMA(0, 1, 2).


418

No hay evidencia significativa para rechazar la hipótesis de normalidad.

De los modelos propuestos inicialmente nos quedan dos modelos competitivos,

ARIMA(0,1,0) y ARIMA(0,1,2), a los que hacemos un contraste de homocedasticidad para ver

si siguen siendo validos.

Model VAR

-------------------

(A) OK

(E) OK Cuadro A.3.25. Salida de statgraphics para el estudio de la homocedasticidad de los residuos del modelo ARIMA(0, 1, 2).

3.-Validacion

En nuestro caso hay dos modelos competitivos, mediante los criterios AIC y SBC de

selección de modelos elegiremos como modelo final aquel que tenga menores estas medidas.

(A) ARIMA(0,1,0)

FINAL PARAMETERS:

Number of residuals 20

Standard error ,86237127Log likelihood -24,917382

AIC 51,834764

SBC 52,830497

(E) ARIMA(0,1,2)

FINAL PARAMETERS:

Number of residuals 20

Standard error ,82065656

Log likelihood -23,878028

AIC 51,756056

SBC 53,747521Cuadro A.3.25. Salida de statgraphics con las medidas AIC y SBC.


419

Como las medidas de ambos modelos son muy parecidas y hay dudas en el primer

modelo con el ruido blanco, el modelo seleccionado es un ARIMA(0,1,2) sin cte y con lambda=-

2

4.-Predicciones

Lower 95,0% Upper 95,0%

Period Forecast Limit Limit

------------------------------------------------------------------------------

2001 38,1871 36,683 39,8928

2002 38,2654 36,5855 40,2002

2003 38,2654 35,9302 41,1243

2004 38,2654 35,4535 41,8737

2005 38,2654 35,0668 42,5367

2006 38,2654 34,7369 43,1468

2007 38,2654 34,4468 43,7212

2008 38,2654 34,1864 44,2698

2009 38,2654 33,9494 44,7992

2010 38,2654 33,7313 45,314

2011 38,2654 33,5288 45,8175

2012 38,2654 33,3397 46,3122

2013 38,2654 33,1619 46,8

2014 38,2654 32,9941 47,2827

2015 38,2654 32,8351 47,7614

2016 38,2654 32,6837 48,2374

2017 38,2654 32,5394 48,7114

2018 38,2654 32,4013 49,1845

2019 38,2654 32,2689 49,6572

2020 38,2654 32,1417 50,1303

------------------------------------------------------------------------------Cuadro A.3.26. Salida de statgraphics para la predicción del modelo ARIMA(0, 1, 2).

Gráfico A.3.27. Serie temporal y sus predicciones con el modelo ARIMA(0,1,2).

ANEXO IV.: Excedente negativo dependiente de los distintos escenarios, considerando difusión en el tipo de interés,el tanto de mortalidad y los spread por riesgo de crédito de la entidad aseguradora y del activo afecto a las PTSV..

420

ANEXO IV.: EXCEDENTE NEGATIVO DEPENDIENTE DE LOS DISTINTOS ESCENARIOS,CONSIDERANDO DIFUSIÓN EN EL TIPO DE INTERÉS, EL TANTO DE MORTALIDAD YLOS SPREAD POR RIESGO DE CRÉDITO DE LA ENTIDAD ASEGURADORA Y DELACTIVO AFECTO A LAS PTSV.

Jµ Jqλ Jcλ JR 0 1 2 3 4 5

2 0,000016 0,000005 0,000000 0,000000

1 0,000025 0,000029 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000021 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000063 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000036 0,000019 0,000000 0,000000

1 0,000099 0,000083 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000049 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000251 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000017 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000029 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


421

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000017 0,000018 0,000000 0,000000

1 0,000025 0,000049 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000025 0,000001 0,000000 0,000000

1 0,000063 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000009 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000027 0,000010 0,000000 0,000000

1 0,000099 0,000063 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000037 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000251 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000013 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000029 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


422

2 0,000060 0,000025 0,000000 0,000000

1 0,000396 0,000169 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000006 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000085 0,000003 0,000000 0,000000

1 0,001004 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

0 0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000005 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000030 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000114 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000030 0,000021 0,000000 0,000000

1 0,000099 0,000094 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000011 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000042 0,000008 0,000000 0,000000

1 0,000251 0,000029 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000018 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000016 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000029 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000008 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000018 0,000019 0,000000 0,000000

1 0,000025 0,000050 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000


423

-2 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000025 0,000003 0,000000 0,000000

1 0,000063 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000003 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000009 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000040 0,000041 0,000000 0,000000

1 0,000099 0,000127 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000017 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000057 0,000017 0,000000 0,000000

1 0,000251 0,000041 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000027 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000021 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000029 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000013 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000019 0,000031 0,000000 0,000000

1 0,000025 0,000069 0,000000 0,000000 0,000000

1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000013 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000028 0,000018 0,000000 0,000000

1 0,000063 0,000038 0,000000 0,000000 0,000000


424

-1 0 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000023 0,000000 0,000000 0,000000

2 0,000011 0,000000 0,000000 0,000000

1 0,000007 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-2 0,000011 0,000000 0,000000 0,000000Cuadro A4.1.: Excedente negativo ponderado por la probabilidad del escenario en que tiene lugar, ydescontado según el tipo de interés libre de riesgo, considerando difusión en el tipo de interés, el tanto demortalidad y en el spread por riesgo de crédito de la entidad aseguradora y del activo afecto a las PTSV.

MODELIZACIÓN ACTUARIAL DEL VALOR RAZONABLE EN LAS … · 2014-02-06 · Modelización Actuarial...

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